Fasores - Circuitos Electricos 3c4n1o

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE CARRERA DE INGENIERIA MECATRONICA CIRCUITOS ELECTRICOS II

TEMA:

FASORES

OBJETIVOS -

Familiarizar conceptos básicos que engloben el tema fasores. Conocer la importancia y la aplicación de fasores en circuitos eléctricos de corriente alterna. Aplicar impedancia y itancia en los ejercicios con fuentes de tensiones y corrientes senoidales que nos brinden una mejor resolución de problemas. Comprobar que las leyes de Kirchhoff tanto de voltaje como corriente se realiza de la misma manera tanto en corriente continua, como en corriente alterna. ALCANCE

-

En el presente trabajo nos proponemos alcanzar en nuestros compañeros el aprendizaje de un tema base y por ende muy importante como lo es fasores para el desarrollo de circuitos eléctricos en corriente alterna. Dar a conocer de una manera fácil y comprensible con ejercicios resueltos básicos pero a la vez muy interesantes y asi facilitar cada uno de los temas a exponer. INTRODUCCION

En el presente informe vamos a poder conocer, entender y aprender el tema sobre fasores el cual es muy importante aplicarlos en circuitos de corriente alterna, en el que nuestras tensiones ya sea de voltaje o de corriente son senoides, es decir, se encuentran de la forma seno o coseno. Mediante la aplicación de este tema vamos a poder ayudar a la realización de problemas en AC utilizando la ayuda de los números complejos y sus propiedades que se encuentran más adelante en el documento evitando analizar estos ejercicios en función de expresiones senoidales que lo hacen difícil de analizar. Vamos a poder observar que tanto las leyes de corriente como de tensión de Kirchhoff se cumplen tanto en circuitos DC como circuitos AC.

DESARROLLO DEL TEMA

FASORES La senoide se expresa fácilmente en términos de fasores, con los que es más cómodo trabajar que con las funciones seno y coseno. Los fasores brindan un medio sencillo para analizar circuitos lineales excitados por fuentes senoidales; las soluciones de tales circuitos serian impracticables de otra manera. (Sadiku, 3era Edicion, Pag 376) El concepto de fasor se puede emplear cuando el circuito es lineal, se busca la respuesta en estado estable y todas las fuentes independientes son senoidales y tienen la misma frecuencia. (Dorf, 6ta Edicion, Pag 411) Un fasor es un número complejo que representa la amplitud y la fase de una senoide, por ejemplo:

V = Acos( w t+ φ) En fasor seria :V = A ∠ φ

Números complejos: 

Forma rectangular :



Forma polar: o



z=x + jy

z=r ∠ φ

r= √ x 2 + y 2 , φ=tan−1

Forma exponencial:

( yx )

z=r e

jφ

z=x + jy=r ∠ φ=r ( cos ( φ ) + jsin ( φ ) ) Operaciones con números complejos: 

Suma y Resta :

z 1 ± z2 =( x 1 ± x 2 ) + j ( y1 ± y 2)

z 1 z 2=r 1 r 2 ∠ ( φ1+ φ2 )



Multiplicación:



División:

z1 r1 = ∠ ( φ1 −φ2 ) z2 r2



Inverso:

1 1 = ∠ (−φ ) z r



Raíz cuadrada:

√ z=√ r ∠ ( φ /2 )



Conjuga complejo:

z ¿=x− jy=r ∠ (−φ )=r e− jφ

La idea de la representación fasorial se basa en la identidad de Euler. En general,

e ± jφ =cosφ ± jsenφ Lo que indica que se puede considerar a cos φ imaginaria de

φ

como las partes real e

e jφ .

Dada una senoide manera V =

y sen

v ( t )=V m cos ⁡( wt +φ)

es expresada en fasores de la siguiente

V m∠φ .

V es entonces la representación fasorial de la senoide v(t). Por tanto:

v ( t )=V m cos ( wt + φ ) … … .. Representacion en el dominio temporal . V m ∠ φ … … … … … … Representacionen el dominio fasorial .

Diferencias entre v(t) y V. 1. v(t) es la representación instantánea o en el dominio temporal, mienras que V es la representación de frecuencia o en el dominio fasorial. 2. v(t) depende del tiempo, mientras que V no.

3. v(t) siempre es real y no tiene ningún termino en complejo, mientras que V es generalmente compleja.

(figura 9.8, SADIKU, página 380)

(tabla9.1, SADIKU, pagina 380)

Para obtener el dominio fasorial de una senoide, el dominio temporal debe estar expresada en la forma de coseno y se toman la magnitud y la fase. La frecuencia no se muestra en el dominio fasorial ya que w es una constante, sin embargo la respuesta depende de w. Por esta razón, el dominio fasorial también se conoce como dominio frecuencial.

v ( t )=V m cos ( wt + φ )

Derivando



dV =−w V m sen ( wt +φ ) dt



dV =w V m cos ( wt +φ+90 ) dt o

w V m e jwt e jφ e j 90° ℜ¿

o

ℜ( jw V e jwt )

obtenemos:

Esto indica que la derivada de v(t) se transforma al dominio fasorial como jwV.

dV ⇔ jw V dt Dominio Temporal

Dominio

Fasorial De igual modo, la integral de v(t) se transforma al dominio fasorial como

V iw

V

∫ V dt ⇔ jw Dominio Temporal Fasorial

Ejemplos: 1. Transforme estas senoides en fasores: 

i=6 cos ⁡( 50 t−40 ° ) A



v =−4 sen ⁡( 30t +50 °)

Solucion.

V

Dominio

.



i=6 cos ⁡( 50 t−40 ° )

tiene el fasor I=



6 ∠−40 °

A

Puesto que – sen A = cos (A + 90 ° )

v =−4 sen(30 t+ 50° )

= 4 cos(30t + 50 °

+ 90 ° )

= 4 cos(30t +140 ° ) V La formula fasorial de v es: V = 4

2. Dadas

i 1 ( t )=4 cos ⁡( w+ 30° ) A

e

∠

140 °

i 2 ( t )=5 sen ⁡( wt−20 ° ) A , halle su suma,

multiplicación y división. Solucion. Este es un uso importante de los fasores: recordemos que tanto para la suma como la resta es conveniente tener números complejos en forma rectangular, mientras que para dividir o multiplicar es necesario transformar a forma polar.

I 1 =4 ∠30 ° Como podemos observar

i2 ( t )

debemos transformar a la forma coseno. La regla

para convertir el seno en coseno es restar 90 ° . Asi: e

i 2 ( t )=5 cos ( wt −20 °−90 ° )=5cos ( wt −110 ° ) I 2 =5∠−110 °

y su fasor es:



SUMA: (transformamos a la forma rectangular).

I =I 1 + I 2

=

4 ∠ 30 °

+

5 ∠−110 °

= 3.464 +j2 -1.71 –j4.698 = 1.754 –j2.698

3.218 ∠−56.97 °

= 

MULTIPLICACION:

I =I 1∗I 2

=

4 ∠30 °

= 4*5 = 20 

A

*

5 ∠−110 °

∠ 30 °−110 °

∠−80°

DIVISION:

I =I 1 / I 2

=

4 ∠30 °

/

5 ∠−110 °

=

4 ∠ 30° −(−110° ) 5

=

4 5

∠140°

RELACIONES FASORIALES DE ELEMENTOS DE CIRCUITOS

Ahora que ya se sabe como representar una tensión o una corriente en el dominio fasorial o frecuencial, ahora lo vamos a aplicar eso a circuitos que implican a los elementos pasivos R, L y C. Lo que se debe hacer es transformar la relación de tensión-corriente del dominio temporal al dominio fasorial en cada elemento. 

RESISTOR: La forma fasorial de esta tensión es:

v =iR=R I m cos ⁡( wt + φ) v =R I m ∠ φ Pero la representación fasorial de de la corriente es I = V= R I

I m ∠φ

Lo que indica que la relación tensión-corriente del resistor en el dominio fasorial sigue siendo la Ley de Ohm.



INDUCTOR: La forma fasorial de esta tensión es:

v =L

di =−w L I m sen (wt + φ) dt

Expresando en la forma coseno obtenemos: Por lo tanto



v =w L I m cos (wt + φ+90 °)

V = jw L I

CAPACITOR: la forma fasorial de esta tensión es:

i=C

dV dt

Al seguir los mismos pasos en el caso del inductor se obtiene:

I = jw CV → V =

I jwC

(table 9.2, SADIKU, pagina 386)

Ejemplo: 1.

La tension v = 12cos(60t + 45 ° ) se aplica a un inductor de 0.1 H. Halle la corriente en estado estable que circula por el inductor.

Solucion. En el caso del inductor, V = jw LI, donde w= 60 rad/s y V = 12 ∠ 45 °

I=

V, asi:

V 12 ∠45 ° 12∠ 45° = = =2 ∠−45 ° jwL j60∗0.1 6 ∠90° i ( t )=2 cos ⁡( 60 t−45 ° ) A

IMPEDANCIA Y ITANCIA

En la sección anterior se obtuvieron las relaciones de tensión – corriente de los tres elementos pasivos como:

V =RI , V = jwLI ,V =

I jwC

Estas ecuaciones pueden escribirse en términos de la razón entre la tensión fasorial y la corriente fasorial como:

V V V 1 =R , = jwL , = I I I jwC De estas tres expresiones de obtiene la ley de Ohm en forma fasorial para cualquier tipo de elemento como:

Z=

V osea V =ZI I

Donde Z es una cantidad dependiente de la frecuencia conocida como IMPEDANCIA, medida en Ohms.

Nota: La impedancia Z de un circuito es la razón entre la tensión fasorial V y la corriente fasorial I, medida en ohms.

La itancia Y de un elemento (o circuito) es la razón entre la corriente fasorial y la tensión fasorial a través de el, es decir, es el inverso de la IMPEDANCIA, medido en Siemens.

I 1 Y= = Z V

(tabla 9.3, SADIKU, pagina 387)

Ejemplo: 1. Halle v(t) e i(t) en el circuito que aparece en la figura. (ejemplo 9.9, SADIKU, pagina 389)

Solución. A partir de la fuente de tensión 10 cos 4t, w=4,

Vs=10 ∠ 0 °

V

La impedancia es:

Z =5+

1 1 =5+ =5− j 2.5 Ω jwC j 4∗0.1

Asi la corriente,

10 ∠ 0 ° ∗5+ j 2.5 V s 5− j 2.5 10 ( 5+ j 2.5 ) I= = = 2 =1.6+ j 0.8=1.789∠ 26.57 ° Z 5+ j 2.5 5 +2.52

A

La tensión a través del capacitor es:

V =I Z c =

I 1.789 ∠ 26.57 ° = =4.47 ∠−63.43 ° V jwC 0.4 ∠ 90°

Ahora convertimos I y V al dominio temporal:

i ( t )=1.789 cos ( 4 t+26.57 ° ) A v ( t )=4.47 cos ( 4 t −63.43 ° ) V

LAS LEYES DE KIRCHHOFF EN EL DOMINIO FASORIAL

No se puede hacer un análisis de circuitos en el dominio fasorial sin las leyes de la corriente y de la tension de kirchhhoff. Por lo tanto, se deben expresar en ese dominio. Las tensiones a lo largo de un circuito cerrado :

v 1 + v 2+....+ v n=0 En estado senoida;, cada tension puede escribirse de la forma coseno:

V m 1 cos ( wt + φ1 ) +V m 2 cos ( wt + φ2 ) +…+V mn cos ( wt +φ n )=0 V 1+ V 2+ …+V n=0 Lo que indica que la ley de la tension de Kirchhoff es valida en el caso de los fasores. Siguiendo un procedimiento igual, se puede demostrar que la ley de la corriente de Kirchhoff se cumple en el caso de los fasores, entonces tenemos que:

I 1 +I 2+ …+I n=0

COMBINACIONES DE IMPEDANCIAS Consideramos n impedancias conectadas en serie que aparecen en la figura 9.18. A traves de ellas fluye la misma corriente I.

V =V 1 +V 2 +…+V n=I (Z 1 +Z 2 +…+ Z n)

(figura 9.18, SADIKU, pagina 390)

La impedancia equivalente en las terminales de entrada es:

Z eq =

V =Z 1 +Z 2 +…+ Z n osea que Z eq=Z 1 +Z 2 +…+ Z n I

De la misma manera, se puede obtener la impedancia equivalente de n impedancias conectadas en paralelo que se representan en la figura.

I =I 1 + I 2+ …+ I n=V (

1 1 1 + +…+ ) Z1 Z2 ZN

(figura 9.20, SADIKU, pagina 391)

La impedancia equivalente es:

1 I 1 1 1 = = + + …+ Z eq V Z 1 Z 2 ZN Y la itancia equivalente es

Y eq =Y 1+ Y 2+ …+Y n

Ejemplo: 1. Determine

v o (t )

en el circuito de la figura: (ejemplo 9.11, SADIKU, página 390)

Lo primero que hacemos es transformar el circuito en el dominio temporal, a un circuito en el dominio fasorial para esto hacemos lo siguiente:

Por lo que a continuación obtenemos un circuito en dominio fasorial.

Sean:

1=¿ Z¿ 2=¿ Z¿

impedancia del resistor de 60Ω

Impedancia de la combinación en paralelo del capacitor de 10mF y el

inductor de 5H.

ANALISIS DE CIRCUITOS EN AC – NODOS Y MALLAS

ANALISIS NODAL La base del análisis nodal es la ley de la corriente de Kirchhoff, dado que es valido en el caso de los fasores analizar circuitos de CA por medio del análisis nodal. Ejemplo: 1. Halle

ix

en el circuito de la figura aplicando el análisis nodal. (ejemplo 10.1, SADIKU, pagina 414)

De la misma manera convertimos el circuito en dominio fasorial.

Así, el circuito equivalente en dominio fasorial es como se muestra en la figura.

Aplicamos la ley de corrientes de Kirchhoff. 

NODO 1.



NODO 2.

Como podemos ver hemos obtenido dos ecuaciones con dos incognitas por l oq podemos calcular tranquilamente sus voltajes.

La corriente Ix está dada por:

ANALISIS MALLAS La ley de la tensión de Kirchhoff, constituye la base del análisis de mallas. La validez para circuitos de CA ya se demostró y se ilustrara en el siguiente ejemplo Ejemplo: 1. Determine la corriente Io en el circuito de la figura aplicando el análisis de mallas. (ejemplo 10.3, SADIKU, pagina 418)

Al aplicar malla 1 obtenemos. (8+j10-j2) I1 - (-j2) I2 - j10 I3 = 0 Al aplicar malla 2 obtenemos. (4-j2-j2)I2 -(-j2) I1 - (j2) I3 + 20 ∠ 90 °

=0

Al aplicar malla 3 obtenemos. I3 = 5 Al sustituir I3 en las ecuaciones obtenemos : (8+j8) I 1 + j2 I2 = j50 J2 I1 + (4-j4) I2 = -j20 –j10 Entonces tenemos las siguiente ecuaciones:

Por lo que obtenemos las corriente I2 que pasa por la malla 2.

TEOREMA DE SUPERPOSICION

Dado que los circuitos de CA son lineales, el teorema de superposición se aplica a ellos del mismo modo que a los circuitos de CD. Este teorema cobra importancia si el circuito tiene fuentes que operan en diferencias frecuencias. La respuesta total debe obtenerse sumando las respuestas individuales en el dominio de tiempo. Es incorrecto tratar de sumar las respuestas en el dominio fasorial o frecuencial. Ejemplos: 1. Aplique el teorema de superposición para hallar Io en el circuito de la figura. (ejemplo 10.5, SADIKU, pagina 421)

Solucion:

I o=I ´ o+ I ´ ´ o Donde

I ´o e

I ´ ´o

se deben a las fuentes de tensión y de corriente,

respectivamente. Para hallar

I ´ o considerese el circuito de la figura literal a.

Si tomamos que Z es la combinacion en paralelo de –j2 y 8 + j10, entonces:

Para obtener 

I ´ ´o

se considera el circuito de la figura literal b.

LAZO 1. (8+j8) I1 -j10 I3 + j2 I2 = 0



LAZO 2. (4-j4) I2 +j2 I1 +j2 I3 = 0



LAZO 3 I3 = 5

EJERCICIO DE DEBER 

Realizar el mismo ejercicio anterior por teorema de superposicion pero con valores cambiados, como se muestran en la figura.

PARTE 1

Como vamos a trabajar con el teorema de superposición vamos primeramente a trabajar con nuestra fuente de tensión, por tanto eliminamos nuestra fuente de corriente con un circuito abierto:

Como podemos observar en la gráfica calculamos z que es igual a la combinación en paralelo de –j8 con la serie de 8 +j10, entonces:

z=

− j 8 (8+ j10) − j 64+ 80 = =7.529− j 9.88 − j8+ 8+ j 10 j2+ 8

Ahora calculamos la corriente solicitada en el grafico que es ´

I o=

´

Io

V 5 cos 45+ j 5 sen 45 = =0.013+ j 0.24 Z 7.529− j 9.88− j 4+ 8

PARTE 2 Ahora vamos a trabajar con nuestra fuente de corriente por tanto anularemos nuestra fuente de voltaje mediante un corto circuito como se muestra en la figura.

En esta parte vamos a trabajar con el análisis de mallas. Mediante Malla 1 del grafico podemos decir que:

I 1 =10∠30 °=10 cos 30° + j10 sen 30° =8.66+ j5 Malla 2:

I 2 ( j 10− j8+ 8 )−I 1 ( j10 )−I 3 (− j8)=0 Reemplazando

I1

en la ecuación obtenemos:

I 2 ( j 2+8 ) + I 3 ( j8 )=−50+ j 86.6( ECUACION 1) Malla 3:

I 3 (− j 8− j 4+8 )−I 1 (− j 4 )−I 2 (− j8)=0 Reemplazando

I1

en la ecuación obtenemos:

I 2 ( j 8 ) + I 3 (− j 12+8 )=20− j34.64 (ECUACION 2)

Como tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas podemos desarrollarla por cualquier método entonces tenemos:

I 2 =−1.206+ j 6.82

I 3 =4.3+ j3.34

I3

Como

tiene dirección contraria a

I ´o´

entonces cambiamos de signo y

obtenemos:

I 3 =−I ´o´ ´´

I o =4.3+ j 3.34 Ahora para obtener la corriente original del ejercicio sumamos las corrientes obtenidas en cada parte es decir,

´

´´

I o=I o + I o

I o=0.013+ j0.24 +4.3+ j3.34 I o=−4.287− j 3.1 Transformando a forma fasorial obtenemos:

I o=5.3 ∠ 35.87 °

CONCLUSIONES -

-

Hemos podido mejor nuestra visión o conocimiento acerca del tema fasores. Se pudo reforzar lo expuesto en clase mediante ejercicios básicos resueltos y de esta manera poder despejar cualquier duda generada en nuestros compañeros. Hemos observado que se trabaja de la misma manera con las leyes de Kirchhoff tanto en DC, como en AC.

BIBLIOGRAFIA o o

SADIKU, Matthew. Fundamentos de Circuitos Electricos. Tercera Edicion . DORF. Circuitos Electricos. 6ta Edicion.