Estrategias Puras Y Mixtas 14437

1. Estrategias Puras y Mixtas Una estrategia pura es aquella decisión que se toma con certeza y una estrategia mixta es una combinación de decisiones tomada de acuerdo a una serie de probabilidades, la suma de las cuales debe necesariamente dar el 100%. Cuando un problema no alcanza una solución vía estrategias puras, con frecuencia puede ser enfocado desde una perspectiva de estrategias mixtas. Un equilibrio de estrategia pura es una situación final cuya probabilidad de dar máximo beneficio a los dos jugadores es uno

En otras palabras: Se dice que un jugados usa una estrategia pura si usa la misma acción a cada turno del juego. El jugador usa una estrategia mixta si a cada turno escoge al azar una acción para que cada acción se está usado una fracción determinada del tiempo. Representamos una estrategia mixta (o pura) del jugador reglón por una matriz con un solo renglón (vector probabilidad): R = [a b c . . . ] con lo mismo número de entradas que renglones, y en cual cada entrada representa la fracción de tiempo que está usada la correspondiente acción (o la probabilidad de usar aquel acción) y donde a + b + . . . = 1. Una estrategia mixta para el jugador renglón se represente por un vector probabilidad similar, pero en forma de columna C. Para ambos jugadores, estrategias puras son representadas por vectores probabilidad con un solo 1 y el resto de las entradas 0. El valor esperado del juego con matriz de pagos P que resulta por las estrategias mixtas R y C es dado por e = RPC El valor esperado del juego es el pago promedio por turno si cada jugador usa su estrategia mixta especificada por R y C después de un gran número de turnos. Ejemplo

Piedra vence a las tijeras rompiéndolas, las tijeras vencen al papel cortándolo, y el papel vence a la piedra envolviéndola. Cada entrada +1 indica una ganancia para el jugador renglón, -1 indica una pérdida, y 0 indica un empate. Aquí es una variante de "piedra, papel, tijera" en la que "papel/papel" y "piedra/piedra" ya no está un empate.

2 1 -1

-1 0 1

1 -1 -2

Suponga el jugador de renglón usa la estrategia mixta R = [0.75 0 0.25] (juega papel 75% del tiempo, tijeras 0% del tiempo y piedra 25% del tiempo) y el jugador columna juega tijeras y piedra 50% del tiempo cada uno;

0 C=

0.5 0.5

Entonces el valor esperado del juego es e = RPC = [0.75 0 0.25] = -0.125

2 1 -1

-1 0 1

1 -1 -2

0 0.5 0.5

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Waner, Stefan, Septiembre 2007, Teoría de juegos, Estrategias puras y mixtas, [http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Summary3b.html#top], [Consulta en Línea], [ Fecha de Consulta: 20/08/2015]

2. Diagramas de probabilidades o curvas de reacción:

El diagrama de probabilidades nos muestra de una forma gráfica como se comportan las estrategias de la empresa 1 y las de la empresa 2 y sirven para visualizar de una manera fácil de interpretar en que punto corta la intersección de dichas curvas en el eje X, como podemos ver en la imagen siguiente, nos damos cuenta que cuando analizamos la estrategia de tener negocio propio de la empresa 1, las curvas cortan exactamente a la mitad lo que significa 0.5 o un 50% y las curvas de la empresa 2 cortan el eje X en aproximadamente 0.3 o un 30%. Esto lo interpretamos de la siguiente manera en las áreas coloreadas con color azul y verde.

El color azul representa la estrategia de tener transporte propio y la verde el de tener negocio externo. Los valores que vimos anteriormente se leen en el area azul de la siguiente manera, la empresa 1 tiene un 50% de probabilidad de éxito en optar por transporte propio mientras que la empresa 2 tiene solo un 30% de éxito, sin embargo al optar por la otra estrategia, la empresa 1 tiene siempre el mismo 50% de probabilidad de éxito con esa nueva estrategia pero la empresa 2 tiene un 70% de éxito por lo que según la gráfica esa es la estrategia que debería seguir.

López, Jorge, Octubre 2013, Juegos Gerenciales, Diagramas de probabilidades o curvas de reacción, [http://juegosgerencialesjorgelopezumg.blogspot.com/2012/10/semana-3juegos-gerenciales-jorge-lopez.html], [Consulta en Línea], [Fecha de consulta: 20/08/2015] 3. Juego de Halcon y La Paloma MODELO HALCÓN-PALOMA DATOS IMPORTANTES Paloma-paloma: Ambos llegan a un acuerdo mutua repartiéndose la mitad del recurso ANÁLISIS Halcon-halcon: Ambos jugadores se traicionan y ninguno se retira perdiendo gran parte del recurso siendo perjudicial para ambos. ESTRATEGIAS Halcon-paloma: El primero ataca y obtiene el mayor beneficio mientras el otro se retira y evita una guerra de precios pero pierde parte del recurso El modelo Halcón-Paloma sirve para analizar situaciones de conflicto entre estrategias agresivas y conciliadoras HACER LO CONTRARIO DEL ENEMIGO: si el contrincante coopera nos interesa traicionar y si traiciona nosotros cooperamos ( guerra de precios) IMPORTA EL ORDEN: el primero en intervenir decidirá traicionar forzando al otro a cooperar y llevarse el mayor beneficio ANALISIS Ejercicio: Gallina ó Halcón-Paloma: Dos adolescentes “Gabo” y “Juan” los cuales se creen muy machos participan en el juego de la “gallina”, que consiste en ir a toda velocidad en sentido contrario por una carretera de un solo carril. El primero que frene es calificado de gallina,

mientras que el otro consigue la estima del. Naturalmente si ninguno de los dos frena, ambos mueren en el choque resultante.

Juan

GAB O

Gallina

No gallina

Gallina

2,2

1,3

No gallina

3,1

0,0

4. Juego de la guerra de los sexos El juego de "La guerra de los sexos" es un ejemplo muy sencillo de utilización de modelos de la teoría de juegos para analizar un problema frecuente en la vida cotidiana. Hay dos jugadores: "ÉL" y "ELLA". Cada uno de ellos puede elegir entre dos posibles estrategias a las que llamaremos "Fútbol" y "Discoteca". Supongamos que el orden de preferencias de ÉL es el siguiente: 1º (lo más preferido) ÉL y ELLA eligen Fútbol. 2º ÉL y ELLA eligen Discoteca. 3º ÉL elige Fútbol y ELLA elige Discoteca. 4º (lo menos preferido) Él elige Discoteca y ELLA elige Fútbol. Supongamos que el orden de preferencias de ELLA es el siguiente:

1º (lo más preferido) ÉL y ELLA eligen Discoteca. 2º ÉL y ELLA eligen Fútbol. 3º ÉL elige Fútbol y ELLA elige Discoteca. 4º (lo menos preferido) Él elige Discoteca y ELLA elige Fútbol. La matriz de pagos es como sigue:

d o

e s

n a

d É

L

e

p

r

e

f

.

Este juego, tal como lo hemos descrito, es un juego sin repetición y sin transferencia de utilidad. Sin repetición significa que sólo se juega una vez por lo que no es posible tomar decisiones en función de la elección que haya hecho el otro jugador en juegos anteriores. Sin transferencia de utilidad significa que no hay comunicación previa por lo que no es posible ponerse de acuerdo, negociar ni acordar pagos secundarios ("Si vienes al fútbol te pago la entrada"). El problema que se plantea es simplemente un problema de coordinación. Se trata de coincidir en la elección. Al no haber comunicación previa, es posible que el resultado no sea óptimo. Si cada uno de los jugadores elige su estrategia maximín el pago que recibirán (3\3) es subóptimo. Esa solución, marcada en la matriz con un asterisco, no es un punto de equilibrio de Nash ya que los jugadores están tentados de cambiar su elección: cuando ELLA llegue a la discoteca y observe que ÉL se ha ido al fútbol, sentirá el deseo de cambiar de estrategia para obtener un pago mayor.

El modelo que hemos visto es un juego simétrico ya que jugadores o estrategias son intercambiables sin que los resultados varíen. Podemos introducir una interesante modificación en el juego convirtiéndolo en asimétrico a la vez que nos aproximamos más al mundo real. Supongamos que las posiciones 2ª y 3ª en el

e

r

orden de preferencias de ÉL se invierten. ËL prefiere ir solo al Fútbol más que ir con ELLA a la Discoteca. La matriz de pagos queda como sigue: Montaña ÉL Montañ a Si de

2,1

Fútbol

Playa Fútbol 0,0

Discoteca

ELLA Discoteca

1 \ 2*

2\3

4\4

3\1

ELLA conoce la matriz pagos, es decir, las preferencias de ÉL, el problema de coordinación desaparece. Está muy claro que ÉL elegirá siembre la estrategia Fútbol, sea cual sea la elección de ELLA. Sabiendo esto ELLA elegirá siempre la estrategia Fútbol también, ya que prefiere estar con ÉL aunque sea en el Fútbol que estar sola aunque sea en la Discoteca. La estrategia maximín de ambos jugadores coincide. El resultado, marcado con un asterisco, es un óptimo, un punto de silla, una solución estable, un punto de equilibrio de Nash. Obsérvese que esta solución conduce a una situación estable de dominación social del jugador que podríamos calificar como el más egoísta. Playa

0,0

1,2

Ejemplo: La guerra de los sexos María y Jorge están planeando unas vacaciones. María prefiere la playa, Jorge la montaña. Ambos jugadores prefieren pasar sus vacaciones juntos a pasarlas separados. Su matriz de ganancias es: Maria

Jorge

5. Aplicaciones de teoría de Juegos en las empresas.

Ejemplo de la aplicación de La Teoría de juegos en el terreno empresarial Supongamos que una empresa tiene previsto la presentación de un producto en una determinada fecha y todavía no lo ha anunciado ante los medios. Esta empresa sabe además que su competencia más directa también tiene previsto presentar un producto similar al suyo en fechas cercanas. ¿Qué puede hacer la primera empresa? En este caso, tendríamos que valorar si presentar el producto con anterioridad a nuestra competencia resulta beneficioso: analizando toda la información disponible, comprobando las prestaciones de productos anteriores, posibles mejoras que hayan podido incluir en este nuevo producto o estimando el precio del producto de nuestra competencia para intentar predecir cómo podría afectar éste a la demanda. El estudio de esta información no garantiza el éxito de nuestras acciones, ya que el mercado es imprevisible, pero ayuda a reducir la incertidumbre. Si la empresa que hemos mencionado anteriormente presenta su producto a un precio de 700 euros y su competencia lanza a los pocos días un producto similar con mejores prestaciones a un precio de 450 euros, podría partir con desventaja en el Mercado. En muchas ocasiones una continua bajada de precios en el Mercado desencadena guerras de precios que pueden generar pérdidas económicas a todas las empresas involucradas o también desencadenar que una de ellas alcance una mayor cuota de mercado y se sitúe como líder del sector.

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Tinsa el valor de las cosas, 19 de abril 2012, aplicación empresarial de la teoría de juegos, [http://www.elvalordelascosas.es/2012/04/aplicacionempresarial-de-la-teoria-de-los-juegos/],[ Consulta en línea],[ Fecha de consulta: 20/08/2015]

Un Juego de Negociación 

Dos jugadores deben repartirse los beneficios unitarios de un negocio y acuerdan el siguiente procedimiento.

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 El jugador 1 hace una propuesta al jugador 2, quién puede aceptarla o rechazarla. Si la acepta el juego termina (con s 1 para el jugador 1 y (1 s1 ) para 2), si la rechaza se pasa a la siguiente etapa.  El jugador 2 hace una nueva propuesta al jugador 1, quien puede aceptarla o rechazarla. Si la acepta el juego termina (con s 2 para el jugador 1 y (1 s2 ) para 2), si la rechaza se pasa a la siguiente etapa. así sucesivamente. El problema es interesante porque postergar el acuerdo tiene costos. El factor de descuento es 0 < δ < 1.

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Se puede demostrar que bajo información completa este juego lleva a un acuerdo en el primer período (aplicando backward induction) y los pagos de equilibrio son:(s , 1 s ) = (1/(1 + δ), δ/(1 + δ))

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Si los agentes son impacientes (δ cercano a cero) la repartición favorece a quién hace la primera oferta. Por el contrario si son pacientes (δ cercano a uno), es el jugador 2 quién obtiene el mayor pago.

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Las aplicaciones y variantes de este modelo son muchas:  Variantes: alterar el timming del juego o plantearlo con información incompleta.  Aplicaciones: Ej. definición del precio de un insumo que una se negocia con un proveedor.

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Muñoz, Roberto, Noviembre 2010, Profesor Departamento de industrias, Universidad Técnica Federico Santa María, La teoría de Juegos y su aplicación a las empresas Chilenas, [http://www.ceas.usm.cl/documentos/Presentaciones/Congreso %20Nacional%20de%20Economia%202010/Teor%C3%ADa%20de %20Juegos%20y%20su%20Aplicaciones%20a%20las%20Empresas %20Chilenas%20-%20Roberto%20Mu%C3%B1oz.pdf],[consulta en línea], [Fecha de consulta: 20/08/2015]