Estadistica Modulo t6149

Universidad de las Regiones Autónomas de la Costa Caribe Nicaragüense (URACCAN)

NUEVA GUINEA

MÓDULO DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y PROBABILIDADES RECUERDOS Hay recuerdos gratos, un atardecer bajo la lluvia en la vecina caracoles negros. Un beso tierno con el alba en Managua, un almuerzo frugal en plaza inter. Un beso, un suspiro, un adiós.

Napoleón Rojas Robles

“NO TENDRÉ LIBERTAD MIENTRAS TE AME Y ESO ES UNA DESIGUALDAD”

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UNIDAD No. I

INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS.

Introducción a la Estadística (Estadística Descriptiva) ¿Qué entendemos cómo Estadística? Estadística, derivado del latín status, que significa estado, posición o situación. Definición 1.1: Estadística: Disciplina que estudia cuantitativamente los fenómenos de masa o colectivos, o sea, aquellos fenómenos cuyo estudio sólo puede efectuarse a través de una colección de observaciones. Definición 1.2: La Estadística es la ciencia de los datos, explica o se ocupa de la colección, clasificación, síntesis, organización, análisis e interpretación de los datos. Aplicaciones de la Estadística La estadística es un potente auxiliar de muchas ciencias y actividades humanas: sociología, psicología, biología, química, ciencias naturales, geografía humana, economía, etc. Es una herramienta indispensable para la toma de decisiones. También es ampliamente empleada para mostrar los aspectos cuantitativos de una situación. La estadística está relacionada con el estudio de proceso cuyo resultado es más o menos imprescindible y con la finalidad de obtener conclusiones para tomar decisiones razonables de acuerdo con tales observaciones. Entre las áreas principales de aplicación está:         

Colección y compendios de datos. Diseño de experimentos y reconocimientos. Medición de la valoración, tanto de datos experimentales como de reconocimientos, detección de causas. Control de la calidad de la producción. Estimación de parámetros de población y suministro de varias medidas de la exactitud y precisión de esas estimaciones. Estimación de cualidades humanas. Investigación de mercados, incluyendo escrutinios de opiniones emitidas. Ensayo de hipótesis respecto a poblaciones. Estudio de la relación entre dos o más variables.

La Estadística suele aplicarse a 2 tipos de situaciones o problemas: 1- Resumir, Describir y Explorar datos. 2- Utilizar datos de una muestra para inferir la naturaleza del conjunto de datos del que se escogió la muestra. Ej.: Consideremos el Censo en Nicaragua, que implica la recolección de un conjunto de datos que pretende caracterizar los rasgos socioeconómicos de aproximadamente 6 millones de habitantes. Censo Término que se refiere al recuento oficial y periódico de la población de un país o de

2 una parte de un país. Designa también el registro impreso de dicho recuento. En nuestros días se llama así a la información numérica sobre demografía, viviendas y actividades. Divisiones De La Estadística Tradicionalmente la Estadística se divide en: Estadística descriptiva y Estadística Inductiva o Estadística Inferencial. La rama de la Estadística que se dedica a la organización, síntesis y descripción de un conjunto de datos se llama Estadística descriptiva. La Estadística descriptiva encierra cualquier tratamiento de datos numéricos que comprenda generalizaciones, agrupa todas aquellas técnicas asociadas justamente con el tratamiento o procesamiento de conjuntos de datos, su objetivo comprende la caracterización de conjuntos de datos numéricos, la misma pretende poner de manifiesto las propiedades de estos conjuntos lo cual se puede lograr de forma gráfica o analítica. La Estadística Inferencial es la rama de la Estadística que se encarga de determinar o inferir la naturaleza de un conjunto de datos poblacionales por medio de una o varias muestras. La Estadística Inferencial se ocupa del problema de establecer previsiones y conclusiones generales relativas a una población a partir de los datos muestrales disponibles y del cálculo de probabilidades. Población y muestra Al recoger datos relativos a las características de un grupo de individuos u objetos, sean alturas y pesos de estudiantes de una universidad o tuercas defectuosas producidas en una fábrica, suele ser imposible o nada práctico observar todo el grupo, en especial si es muy grande. En vez de examinar el grupo entero, llamado Población o Universo, se examina una pequeña parte del grupo, llamada Muestra. Una población puede ser finita o infinita. Por ejemplo, la población consistente en todas las tuercas producidas por una fábrica un cierto día es finita, mientras que la determinada por todos los posibles resultados (caras, cruces) de sucesivas tiradas de una moneda, es infinita. Si una muestra es representativa de una población, es posible inferir importantes conclusiones sobre las poblaciones a partir del análisis de la muestra. Variable: Es la característica o fenómeno que puede tomar diferentes valores. Las variables son magnitudes numéricas, es decir, son características de una población determinada, susceptible de medición. Son características que pueden ser observadas en determinado fenómeno natural, social, económico, político etc. Lo datos o valores que toman las variables se clasifican en dos tipos: 1 – Cuantitativos o Numéricas: Son aquellas variables que toman valores numéricos, son las que representan la cantidad de algo. A estas variables le corresponde la escala de medición de intervalo y razón o proporción. Estas a su vez se clasifica en dos tipos:

3 a – Discretas: Es aquella variable que solo puede tomar valores enteros en la escala de los números naturales, es decir, la variable no puede tomar valores fraccionarios. Por ejemplo, el número de hijos en un matrimonio puede ser: 0,1, 2, 3 ó 4; pero ningún matrimonio tiene 0,5 ó 3,89 hijos. b – Continuas: Es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de la escala de los números reales, es decir, es aquella que teóricamente puede tomar cualquier valor, bien sean valores enteros o fraccionados. Los valores que puede tomar esa es cualquiera e incluso valores fraccionados por ejemplo, un alumno A mide 1,68 m y otro alumno B mide 1,69 y otro C mide 2,00 m. 2 – Cualitativas o categóricas: Son aquellas variables cuyos valores son del tipo categórico, es decir; que indican categorías o son etiquetadas numéricamente o con nombres. Son las que se refieren a clasificaciones, como: estado civil, profesión, color de los ojos, etc. Esta a su vez, se clasifica en: a – Variables Categóricas Nominales: son las variables categóricas que, además de que sus posibles valores son mutuamente excluyentes entre sí, no tienen alguna forma “natural” de ordenación. Por ejemplo, cuando sus posibles valores son: “Sí” y “No”. A este tipo de variable le corresponde las escalas de medición nominal. b – Variables Categóricas Ordinales: Son las variables categóricas que tienen algún orden. Por ejemplo, cuando sus posibles valores son: “siempre”, “casi siempre” y “nunca”. A estos tipos de variables le corresponden las escalas de medición ordinal. Si suponemos que ya recabamos un conjunto de datos que nos interesa, al cabo de cierto tiempo nos hacemos las siguientes preguntas: ¿Cómo puedo sacar conclusiones de estos datos?, ¿Cómo puedo organizar y resumir el conjunto de datos de modo que sea más comprensible? Para contestar las preguntas anteriores existen métodos numéricos y gráficos para describir un conjunto de datos. El procedimiento adecuado en cada caso dependerá del tipo de datos (ya sea cualitativo o cuantitativo) que queramos describir.

4 EJERCICIOS I.1.-

Clasifique cada uno de los siguientes casos como variable discreta o continua o variable cualitativa (atributo), escribiendo en la raya lo que usted considere. El número de preguntas contestadas correctamente en un examen. ______

2.-

El número de señales de tránsito, en poblados pequeños.

3.-

El tiempo que se necesita para contestar una llamada telefónica en una oficina.

______

_____ 4.-

Las ganancias en córdobas de las ventas de un determinado producto. _________

5.-

El peso en Kg de cada estudiante de un grupo de clases.

______

6.-

El resistencia a la rotura de un determinado tipo de cuerda.

______

7.-

El color de cabello de los niños que están viendo televisión

______

8.-

La cantidad de páginas impresas en una impresora láser.

______

II.-

Identifique los elementos que se le indican

1.-

Un fabricante de medicamentos desea conocer la proporción de personas cuya hipertensión puede ser controlada por un nuevo medicamento. Al realizar un estudio con 5,000 individuos hipertensos se encontró que el 80% de ellos puede controlar su hipertensión utilizando el nuevo medicamento. Suponiendo que estas 5,000 personas son representativas del grupo de hipertensos. Conteste:

a) ¿Cuál es la población? b) ¿Cuál es la muestra? c) ¿Cuál es la estadística? d) ¿Cuál es el parámetro? e) ¿Cuál es la variable o variables? 2.-

Se quiere saber el costo de la educación; uno de los gastos que hace un estudiante es la compra de sus libros de texto. Sea x el costo de todos los libros comprados este semestre por cada estudiante en cierta universidad. Describa: a) La población b) La variable c) La muestra

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INTRODUCCIÓN AL MUESTREO Una población está determinada por sus características definitorias. Por lo tanto, el conjunto de elementos que posea esta característica se denomina población o universo. Población es la totalidad del fenómeno a estudiar, donde las unidades de población poseen una característica común, la que se estudia y da origen a los datos de la investigación. Entonces, una población es el conjunto de todas las cosas que concuerdan con una serie determinada de especificaciones. Un censo, por ejemplo, es el recuento de todos los elementos de una población. Cuando seleccionamos algunos elementos con la intención de averiguar algo sobre una población determinada, nos referimos a este grupo de elementos como muestra. Por supuesto, esperamos que lo que averiguamos en la muestra sea cierto para la población en su conjunto. La exactitud de la información recolectada depende en gran manera de la forma en que fue seleccionada la muestra. Cuando no es posible medir cada uno de los individuos de una población, se toma una muestra representativa de la misma. A menudo los compradores prueban una porción pequeña de queso antes de comprar alguno. Determinar a partir de un pedazo el sabor del trozo completo. Si los compradores probaran todo el queso, no quedaría nada par vender. Así que probar todo el queso es innecesario y a menudo destructivo. Para determinar las características del todo, tenemos que muestrear solo una porción. Estadísticos y Parámetros Matemáticamente, podemos describir muestras y poblaciones al emplear mediciones como la media, mediana, moda y la desviación estándar que introdujimos anteriormente. Cuando los términos describen las características de una muestra, a este valor calculado se le denomina Estadísticas. Cuando describen las características de una población se llaman Parámetros. Ejemplo 1: N ,  ,  2  Parametros n, X , s 2  Estadisticas

Tipos de Muestreo En una muestra aleatoria o de probabilidad conocemos las probabilidades de que un elemento de la población se incluye o no en la muestra. Como resultado de lo anterior podemos determinar objetivamente las estimaciones de las características de la población que resultan de nuestra muestra. Los 4 métodos del muestreo aleatorio más usados por los investigadores son: 1. Muestreo Aleatorio Simple

6 2. Muestreo Sistemático 3. Muestreo Estratificado 4. Muestreo de Racimos o por Conglomerado 1- Muestreo aleatorio simple: la forma más común de obtener una muestra es la selección al azar, es decir, cada uno de los individuos de una población tiene la misma posibilidad de ser elegido. Si no se cumple este requisito, se dice que la muestra es viciada. Para tener la seguridad de que la muestra aleatoria no es viciada, debe emplearse para su constitución una tabla de números aleatorios. Ejemplo 2: Supongamos que tenemos una población de cuatro estudiantes en un seminario y que queremos muestras de dos estudiantes a la vez para entrevistas: Solución: Tenemos lo estudiantes A, B, C, D Muestras de dos estudiantes: AB, AC, AD, BC, DC, BD. La probabilidad de extraer esta muestra de dos estudiantes es de 1/6 para cada par de estos estudiantes. Como hacer un muestreo Aleatorio La forma más fácil de seleccionar una muestra de manera aleatoria es mediante el uso de Números aleatorios. Estos números se pueden generar ya sea con una computadora o calculadora programada o mediante una tabla de números aleatorios ya hecha. 2- Muestreo Sistemático: Cuando los elementos de la población están ordenados en fichas o en una lista, una manera de muestrear consiste en  Sea ;  Elegir aleatoriamente un número m, entre 1 y k;  Tomar como muestra los elementos de la lista:

Esto es lo que se denomina muestreo sistemático. Cuando el criterio de ordenación de los elementos en la lista es tal que los elementos más parecidos tienden a estar más cercanos, el muestreo sistemático suele ser más preciso que el aleatorio simple, ya que recorre la población de un modo más uniforme. El muestreo sistemático difiere del muestreo aleatorio simple en que cada elemento tiene igual oportunidad de ser seleccionado, pero cada muestra no tiene una posibilidad igual de ser seleccionada. 3- Muestreo estratificado: una muestra es estratificada cuando los elementos de la muestra son proporcionales a su presencia en la población. La presencia de un elemento en un estrato excluye su presencia en otro. Para este tipo de muestreo, se divide a la población en varios grupos o estratos con el fin de dar representatividad a los distintos factores que integran el universo de estudio. Para la selección de los elementos o unidades representantes de cada estrato, se utiliza el método de muestreo aleatorio.

7 4- Muestreo de Racimos o por Conglomerado: Si intentamos hacer un estudio sobre los habitantes de una ciudad, el muestreo aleatorio simple puede resultar muy costoso, ya que estudiar una muestra de tamaño n implica enviar a los encuestadores a n puntos distintos de la misma, de modo que en cada uno de ellos sólo se realiza una entrevista. En esta situación es más económico realizar el denominado muestreo por conglomerados, que consiste en elegir aleatoriamente ciertos barrios dentro de la ciudad, para después elegir calles y edificios. Una vez elegido el edificio, se entrevista a todos los vecinos. Tanto el muestreo por racimos como el estratificado, la población se divide en grupos bien definidos. Usamos el muestreo estratificado cuando cada grupo tiene una pequeña variación dentro de sí mismo, pero hay una amplia variación entre los grupos. Usamos el muestreo de racimos en el caso opuesto, cuando hay una variación considerable dentro de cada grupo, pero los grupos son esencialmente similares entre sí. Estimaciones ¿Cómo conocemos la población de la Tierra? ¿Cómo determinar entre qué límites se sitúa la cantidad de glóbulos rojos por litro de sangre en un individuo sano? Este tipo de valoración se hace a partir de modelos probabilistas empleando las técnicas estadísticas de la estimación de parámetros. El material sobre la teoría de probabilidad que se cubrió en los capítulos anteriores constituye la base de la inferencia estadística, rama de la estadística que tiene que ver con el uso de los conceptos de la probabilidad para tratar con la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre. La inferencia estadística está basada en la estimación y en la prueba de hipótesis, en ambas haremos inferencias acerca de ciertas características de las poblaciones a partir de la información contenida en las muestras. Tipos de Estimaciones: Podemos hacer dos tipos de estimaciones, una llamada Estimación Puntual y otra llamada Estimación por Intervalo. Una estimación puntual es solo un número o un punto que se utiliza para estimar un parámetro de la población desconocido. Ejemplo 3: el jefe de departamento de alguna universidad estaría haciendo una estimación puntual si afirmara “Nuestros datos actuales indican que en esta materia tendremos 350 estudiantes en el siguiente semestre”. Una estimación por intervalo es un intervalo de valores que se utiliza para estimar un parámetro de población. Esta estimación indica el error de 2 maneras, por la extensión del intervalo y por la probabilidad de obtener el verdadero parámetro de la población que se encuentra dentro del intervalo. Ejemplo 4: si el jefe de departamento dice algo como lo siguiente, “Estimo que la inscripción real de este curso para el próximo semestre estará entre 330 y 380 y es muy probable que la inscripción exacta caiga dentro de este intervalo.

8 Cualquier estadístico de muestra que se utilice para estimar un parámetro de población se conoce como estimador, es decir, un estimador es una estadística de muestra utilizada para estimar un parámetro de población. Características para la selección de un buen estimador 1- Imparcialidad: el término de imparcialidad se refiere al hecho de que una media de muestra es un estimador no sesgado de una media de población, por que la media de la distribución de muestreo de las medias de muestras tomadas de la misma población es igual a la media de la población misma. También a este tipo de estimador se le denomina Estimador sin sesgo. 2- Eficiencia: la eficiencia se refiere al tamaño del error estándar de la estadística. Si comparamos dos estadísticas de una muestra del mismo tamaño y tratamos de decidir cuál de ellas es un estimador más eficiente, escogeríamos la estadística que tuviera el menor error estándar o la menor desviación estándar de la distribución de muestreo. 3- Coherencia: una estadística es un estimador coherente de un parámetro de población si al aumentar el tamaño de la muestra, se tiene casi la certeza de que el valor de la estadística se aproxima bastante al valor del parámetro de la población. 4- Suficiencia: un estimador es eficiente si utiliza una cantidad de información contenida en la muestra de tal forma que ningún otro estimador podría extraer información adicional de la muestra sobre el parámetro de la población que se está estimando.

Técnicas de recolectar información 1. ENTREVISTAS Las entrevistas son el método de recolección de datos más comúnmente usado en el trabajo de desarrollo. Las entrevistas obtienen información sobre lo que las personas piensan, sienten, y perciben. Proporcionan profundidad a los datos cuantitativos, siendo una óptima fuente de información cualitativa del tema a trabajar. Normalmente, para llevar a cabo una entrevista, se emplea una guía del tema con el objetivo de ayudar a estructurar la discusión del (los) tema(s). La guía asegura que la información sea recabada de la misma manera durante todas las entrevistas. Por lo general, esta guía temática se divide en cuatro secciones: Introducción, construcción de una buena interrelación, discusiones a profundidad y cierre. Esto se explica con el siguiente ejemplo:

9 Propósito de la investigación: Saber lo qué los/ de la comunidad piensan acerca de incluir un currículum de educación para la vida familiar en escuelas secundarias. I. Introducción: A. Explique quién es usted y el propósito de la investigación. B. Explique el procedimiento (por ejemplo, me gustaría hacerle algunas preguntas; ¿podría tomar alrededor de 15 minutos de su tiempo?). C. Ponga énfasis en que no hay respuestas correctas o incorrectas a las preguntas que hará. II. Creación de una buena interrelación: Esto implica iniciar una conversación para establecer una relación cómoda. Pregunte algo general y apropiado al/la entrevistado/a acerca de su familia, hijos, trabajo, o comunidad (por ejemplo, ¿en qué año(s) de escuela está(n) su(s) hijo/a(s)?. III. Discusión a profundidad: Haga preguntas secuencialmente, yendo desde preguntas que buscan información objetiva a preguntas que requieren la opinión del entrevistado. - ¿Existe algún tipo de educación para la vida familiar que actualmente se ofrezca en la escuela de su(s) hijo/a(s)? Si la respuesta fuese sí, ¿en qué año se introduce? Si la respuesta fuese no, ¿le gustaría ver un currículum de educación para la vida familiar de las escuelas? - ¿En qué años de estudio piensa usted que debería ofrecerse? - ¿Piensa que las autoridades escolares deben requerir el consentimiento de los padres para que su(s) hijo/a(s) participen en la educación para la vida familiar? Esté preparado para hacer un seguimiento con preguntas de sondeo para aclarar o explorar más allá. IV. Cierre: Brevemente haga un resumen de lo que usted ha escuchado y solicite la reacción final del/la entrevistado/a (por ejemplo, ¿hay alguna cosa que no hayamos discutido y que a usted le gustaría agregar?) Agradezca al/la entrevistado/a por su tiempo.

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TIPOS DE ENTREVISTAS Existen tres tipos básicos de entrevistas, los que se diferencian por la forma en la que se determinan y estandarizan anticipadamente las preguntas para la entrevista. De esta manera encontramos

la entrevista informal, la entrevista semi estructurada y la

entrevista formal (estandarizada). a. La entrevista informal trabaja principalmente con la generación espontánea de preguntas en el flujo natural de una conversación. Este tipo de entrevista es adecuado cuando el evaluador desea mantener la mayor flexibilidad posible para poder guiar las preguntas hacia la dirección que parezca la más adecuada, según la información que surja en un ambiente en particular, o de la conversación con una o más personas en ese ambiente. Bajo estas circunstancias, no es posible tener un conjunto predeterminado de preguntas. La fortaleza de este enfoque es que el entrevistador es flexible y altamente sensible a las diferencias individuales, los cambios en la situación y la aparición de información nueva. La debilidad es que puede generar datos menos sistemáticos, cuya clasificación y análisis serán difíciles y lentos.

b. Las entrevistas semi estructuradas involucran la preparación de una guía para la entrevista que enumere un conjunto predeterminado de preguntas o temas que se van a tratar. Esta guía sirve como una lista de verificación durante la entrevista y asegura que se obtenga básicamente la misma información a partir de varias personas. Aun así, existe bastante flexibilidad. El orden y el funcionamiento real de las preguntas no se determinan por anticipado. Además, dentro de la lista de temas o áreas temáticas, el entrevistador tiene la libertad de dar mayor profundidad a determinadas preguntas. La ventaja del estilo de la guía de entrevista es que el hecho de entrevistar a diferentes personas se hace más sistemático e integral, ya que se delimitan los temas que se tratarán. La debilidad de este enfoque es que no permite que el entrevistador guíe los temas o tópicos de interés que no se anticiparon en el momento de la elaboración de la guía. Además, la flexibilidad del entrevistador en la formulación y ordenamiento de las preguntas podría originar respuestas sustancialmente diferentes según las personas, lo que reduce la capacidad de comparación.

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c.

La entrevista estandarizada consiste en un conjunto de preguntas abiertas

cuidadosamente formuladas y ordenadas anticipadamente. El entrevistador hace las mismas preguntas a cada uno de los entrevistados, esencialmente con las mismas palabras y en el mismo orden. Este tipo de entrevista puede ser especialmente adecuado cuando existen varios entrevistadores y el evaluador desea minimizar la variación de las preguntas. Resulta útil también cuando se desea obtener la misma información de cada entrevistado en diversos puntos en el tiempo o cuando hay limitaciones de tiempo para la recopilación y el análisis de los datos. Las entrevistas de desarrollo estandarizadas permiten que el evaluador reúna sistemáticamente datos detallados y facilitan la posibilidad de comparación entre todos los entrevistados. La debilidad de este enfoque es que no permite que el entrevistador guíe los temas o tópicos que no se anticiparon en el momento de la elaboración del instrumento. Además, las entrevistas abiertas estandarizadas limitan el uso de preguntas alternativas a diferentes personas, dependiendo de sus experiencias particulares. Esto reduce la posibilidad de incorporar completamente las diferencias y circunstancias individuales en la evaluación. Finalmente podemos establecer que las características generales de las entrevistas son: 

Bajo costos.



Son una buena fuente de datos cualitativos.



Producen mucha información en corto tiempo.



Pueden ser informales o formales. 2. LA ENCUESTA O CUESTIONARIO

La encuesta es una técnica de interrogatorio que emplea el cuestionario, el cual se define como un conjunto de preguntas respecto a una o varias temáticas a consultar. Se caracteriza por ser estructurado, presentarse por escrito y por sobre todo, ser el principal instrumento de datos cuantitativos. Dentro de sus limitaciones, el cuestionario tiende a reducir y simplificar el fenómeno social de su contexto, es decir, sólo da cuenta de las tendencias globales de la realidad social, ante esto, se sugiere el uso complementario de técnicas cualitativas

12 permite devolver los detalles a la realidad como lo son las entrevistas a profundidad o grupos focales entre otros. ¿QUÉ TIPOS DE PREGUNTAS DEBE HABER? Básicamente, podemos hablar de dos tipos de preguntas: cerradas y abiertas. Las preguntas cerradas contienen categorías o alternativas de respuestas que ya han sido delimitadas. Es decir, se presentan a los sujetos las posibilidades de respuestas y ellos deben acotarse a ellas. Pueden ser dicotómicas (dos alternativas de respuestas) o incluir varias alternativas de respuesta. 

Ejemplo de preguntas cerradas dicotómicas:

1. ¿Le gusta el fútbol? ___si ____no ____. 2. ¿Estudia usted actualmente? ( ) Sí 

( ) No Ejemplo de preguntas cerradas con varias alternativas de respuesta:

1. ¿Cómo evalúa la gestión del gobierno en el ámbito educacional? Excelente

buena

regular

2. ¿Cuánta televisión ves los domingos? ( ) No veo televisión ( ) Menos de una hora ( ) 1 o 2 horas ( ) 3 horas ( ) 4 horas ( ) 5 horas o más.

mala

muy mala

13 Como es posible observar, en las preguntas cerradas las respuestas son definidas con anterioridad, y la persona debe elegir la opción que más describa su respuesta. 

Ahora bien, hay preguntas cerradas, donde el respondiente puede seleccionar mas de una opción.

Ejemplo: 1. Esta familia tiene: _ radio _ televisión _ teléfono _ auto _ Ninguno de los anteriores. Ante esto, las personas pueden responder una, dos, tres o cuatro opciones, ya que las categorías no son mutuamente excluyentes. 

En otras ocasiones, la persona puede jerarquizar las respuestas. Por ejemplo:

1. ¿Cuál de estos lugares para vacacionar considera usted el mejor? Indique del 1 al 4 según su interés. _ Playa _ Campo _ Nieve _ Lago. Por otro lado, las preguntas abiertas, no delimitan de ante mano las alternativas de respuesta. Por lo tanto, el numero de categoría de respuesta es infinito.

14 

Ejemplo de preguntas abiertas:

1. ¿Por qué asiste a psicoterapia? 2. ¿Qué piensa de los partidos políticos? ¿CONVIENE USAR PREGUNTAS ABIERTAS O CERRADAS? Cada cuestionario obedece a distintas necesidades y problemas, lo que hace que en cada caso el tipo de preguntas sea diferente. Algunas veces solo se incluyen preguntas cerradas o solo abiertas o mezcla de ambas. Cada clase de preguntas tiene sus ventajas y desventajas. 

Las preguntas cerradas son fáciles de codificar y analizar. Además requieren de menor esfuerzo por parte de los respondientes, ellos solo deben seleccionar la mejor alternativa y no verbalizar o escribir sus pensamientos. La principal desventaja es que limitan las respuestas de las personas

y no siempre

describen con exactitud lo que realmente piensan los sujetos. 

Las preguntas abiertas son útiles cuando la información derivada de preguntas cerradas es insuficiente o cuando se desea profundizar en opiniones o motivos de comportamientos. Su mayor desventaja es que son más difíciles de codificar, clasificar y analizar.

EL MODO DE FORMULAR LAS PREGUNTAS: 

Claras y precisas, de fácil comprensión: Deben evitarse términos confusos o ambiguos. Por ejemplo, ¿ve Ud. Televisión? , es confusa, seria mas adecuado preguntar ¿acostumbra ver televisión diariamente? Y después preguntar los horarios, canales, etc.



Contener una sola idea: Debe referirse a un solo aspecto. Por ejemplo; ¿acostumbra ver televisión y escuchar radio diariamente? Expresa dos aspectos y puede confundir. Es adecuado hacer dos preguntas.



No hacer preguntas dirigidas: Se sugiere no realizar preguntas que den pie a elegir algún tipo de respuesta. Por ejemplo: ¿Los trabajadores chilenos son muy

15 productivos?. Se insinúa la respuesta en la pregunta. Resulta más conveniente preguntar ¿qué tan productivos considera Ud. a los trabajadores chilenos?. 

Utilizar un lenguaje adecuado y respetando el lenguaje del grupo entrevistado. Es decir, considerar nivel educativo, socioeconómico, palabras que maneja, etc.



Debe evitarse los términos vagos (mucho, poco, etc.)

3. MÉTODOS DE OBSERVACIÓN La observación en una comunidad es otra fuente importante de datos cualitativos. El objetivo principal de la observación es obtener una descripción detallada del tema a trabajar en la comunidad a través de una identificación atenta y una descripción exacta de las interacciones, realidades sociales y de las personas en su contexto cotidiano. Existen

varias

ventajas

del

trabajo

observacional

en

terreno:

- Ofrece una mejor comprensión del contexto en el que se producen las intervenciones. - Permite conocer cosas importantes que personas de la comunidad pudieran ignorar u omitir

voluntaria

o

involuntariamente

en

una

entrevista.

- Permite que el evaluador presente una visión más integral, combinando sus propias percepciones

y

las

de

otros.

Existe una cantidad de variaciones en los métodos de observación. La diferencia fundamental entre ellos radica en la función que tiene el observador, ya sea como participante en la comunidad, como espectador o alguien entre ambos procesos. De esta manera tenemos en un polo la observación participante y al otro extremo la observación

directa.

A. LA OBSERVACIÓN PARTICIPANTE Se encuentra en un extremo del espectro de participación y consta de un observador, quien se convierte en miembro de la comunidad o de la población que se estudia. El investigador participa en actividades de la comunidad, observa la manera en que las personas se comportan e interactúan entre sí y con organizaciones externas. El observador intenta ser aceptado como vecino o participante, en lugar de ser un externo.

16 El objetivo de dicha participación no sólo es ver lo que sucede, sino sentirse parte del grupo. La posibilidad de éxito de éste depende de las características de la comunidad en que se esta, el tipo de preguntas que se estudian y el contexto socio político del ambiente. La fortaleza de este enfoque es que el investigador puede experimentar y presumiblemente, entender mejor cualquier impacto del proyecto. La principal debilidad es que puede alterar el comportamiento que se observa. Además, podrían surgir problemas éticos si el observador participante se representa de manera fraudulenta con el fin de ser aceptado por la comunidad que estudia. METODOLOGÍA 1. PREPARACIÓN DE CAMPO: Como primer paso es necesario preparar el campo, es decir, el identificar el emplazamiento donde se va a situar el investigador como observador, siendo en una comunidad en particular (aldea, pueblo, barrio, Centro de Salud, sala de Hospital, etc.) o en un grupo especifico (ancianos de una residencia, colectivo profesional, alumnos de un colegio, etc). 2. RELACIONES EN EL CAMPO: Se sugiere que en la fase de acercamiento y presentación, el observador se muestre ingenuo y se realicen preguntas aunque puedan parecer evidentes. Para establecer un clima de buenas relaciones es necesario compartir el mundo de los informantes, como lo es el lenguaje, costumbres, participar en algún trabajo, etc. 3. QUE OBSERVAR-“Mirar y ver mientras se convive”. En caso de una comunidad o grupo: 

Lo que dicen discursos.



Lo que hacen, es decir, sus conductas y comportamientos.



Los objetos que utilizan.



La ocupación del espacio como lugares de vida social.



El tiempo ordinario y extraordinario de trabajo y ocio.



La forma de vivir.

17 

Las relaciones - agrupaciones, distribución edad – sexo, conflictos, etc.



Los acontecimientos inesperados: visitas, catástrofes, etc.

4. PAPEL DE LOS INFORMANTES: 

Sirven de introductores al investigador en la comunidad



Se requiere que sean representativos en su grupo.



Son las fuentes primarias del investigador.



Colaboradores, consejeros e informantes sobre la comunidad.



No elegir a los no representativos o pertenecientes a una parte en conflicto.



Elegir varios informantes.



No comunicar a los informantes los objetivos precisos de la investigación para evitar que manipulen la realidad.

5. EL ARTE DE PREGUNTAR. Antes de preguntar es necesario saber escuchar. “El mejor observador no es el que habla mucho, sino el que hace hablar a los demás”. Es tan importante saber lo que preguntar como saber lo que no se debe preguntar. Una buena estrategia es esperar a que suceda algo y luego preguntar sobre ello. Recomendaciones para ayudar a estimular la comunicación con los informantes:  Cuando surge algo que nos interesa, inducirles a continuar.  Pedir aclaraciones sobre sus comentarios.  Preguntar sobre el significado de lo observado.  Evitar, al principio, grabaciones, cuestionarios, confrontar versiones de otros observadores, etc.  Comprobar la veracidad de la información: lo que se nos dice con lo observado. 6. CUADERNO DE CAMPO: Es el instrumento de registro de datos, donde se anotarán las observaciones - NOTAS DE CAMPO - de forma completa precisa y detallada.

18 Qué registrar: 

Hechos observados: Descripciones de personas.



.

Actividades.

.

Conversaciones.

.

Estructura del escenario, etc.

Comentarios del observador: Lo que los hechos producen en el observador:



·

Experiencia vivida.

·

Sentimientos.

·

Dudas, etc.

Lo que el observador conceptualiza en la observación: ·

Reflexiones teóricas.

·

Hipótesis.

·

Líneas de actuación, etc.

Cómo registrar: Se sugiere limitar el tiempo de observación a las posibilidades reales de registro. Escribir con disciplina por ejemplo, siempre una hora de observación, lo que día a día seria equivalente a varias horas de registro. Utilizar técnicas para recordar palabras y acciones, como

palabras clave y/o resúmenes. También es de gran utilidad las

grabadoras y videos, siempre y cuando no interfieran en el proceso de observación. Tratamiento de los datos:

No olvidar que la observación participante es un proceso continuo que se desarrolla a la vez que se recibe la información: 

Seleccionar las conductas y situaciones relevantes.



Organizar el material según el interés temático o metodológico.

7. RETIRADA DEL CAMPO:

19 Es preciso dejarlo cuando se ha alcanzado la saturación, es decir, cuando los datos empiezan a ser repetitivos y no generan conceptos ni teorías nuevas. Es un momento difícil para el observador por los lazos de afecto desarrollados en este tiempo de convivencia. Hay que expresar nuestro agradecimiento a las personas que han colaborado o que nos han prestado ayuda. Debemos dejar un buen recuerdo, por si posteriormente necesitamos volver para verificar datos o completar la investigación.

B. LA OBSERVACIÓN DIRECTA Tiende a estar en el otro extremo del espectro de participación. Esta involucra la anotación y registro sistemático de las actividades, comportamientos y objetos físicos en el ambiente de la evaluación como un observador no intruso. Por lo general, puede ser una forma rápida y económica de obtener información socioeconómica básica acerca de hogares o comunidades. La ventaja principal de este método es que, si los participantes no saben que están siendo observados, hay menos probabilidades de que cambien su comportamiento y se comprometan con la validez de la evaluación. Es importante recordar que existe gran variación entre los dos extremos y que el nivel de participación puede cambiar con el tiempo. Por ejemplo, el evaluador puede comenzar la observación como externo y convertirse gradualmente en participante a medida que avance el estudio. Todo esto se plasma en un Cuaderno de campo o en un Libro diario, anteriormente descrito. VENTAJAS y LIMITACIONES 

Se puede obtener información independientemente del deseo de proporcionarla.



Los fenómenos se estudian dentro de su contexto.



Los hechos se estudian sin intermediarios.



La proyección del observador.



Es posible confundir los hechos observados y la interpretación de esos hechos.

20 

Es posible la influencia del observador sobre la situación observada.



Existe el peligro de hacer generalizaciones no válidas a partir de observaciones parciales.

UNIDAD No. II

ORGANIZACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE DATOS.

Distribución de Frecuencias Es una tabla que divide un conjunto de datos en un número de clases (Categorías) apropiadamente mostrando también el número de elementos en cada clase llamados también frecuencias. Este agrupamiento hace resaltar características importantes de los datos. Existen dos tipos de distribución: 1 – Distribuciones Numéricas: los datos se hallan agrupados por su tamaño. 2 – Distribuciones Categóricas: los datos se hallan agrupados de acuerdo con alguna cualidad o atributos. Construcción de una tabla de Frecuencias 1 – Se recomienda ordenar los datos en forma ascendente. 2 – Decidir el número de clases que se usarán en la tabla de frecuencias. Esto lo decide el estadístico o el investigador en cuestión. Existen varias formas de calcular el número de clases de las cuales aprenderemos la siguiente: m = 1 + 3.3 * log10(n) 3 – Calcular el rango o Amplitud de la muestra. Este se calcula de la siguiente forma: A = Observación Mayor – Observación Menor 4 – Calcular el ancho de la Clase. Este es: C = A / m. Redondeando C a la unidad más próxima. 5 – Contar el número de observaciones de la muestra que pertenece a cada uno de las clases. Nota: La primera clase se formara colocando la observación menor como su límite inferior de esa clase, como límite superior se le suma al límite inferior la amplitud de la clase. Para formar el límite inferior de la siguiente clase simplemente sumamos una unidad al valor del límite superior de la clase anterior y para formar el límite superior de la segunda clase a este le sumamos nuevamente la amplitud de la clase. Para comprender mejor realicemos el siguiente ejemplo: construya una tabla de distribución de frecuencias con el conjunto de datos siguientes: Tabla1.

21 17

51

10

35

26

13

21

11

7

52

5

56

6

20

15

40

14

42

12

32

28

13

19

28

45

8

19

21

38

20

Siguiendo los pasos para formar la tabla de distribución de frecuencias, lo primero que tenemos que hacer es ordenar los valores. Tabla2. 5

11

15

20

28

42

6

12

17

21

32

45

7

13

19

21

35

51

8

13

19

26

38

52

10

14

20

28

40

56

Ahora calculamos el número de clases que se presentarán en la tabla, esto es: sabemos que n = 30 por lo tanto: m = 1 + 3.3 * log 10(n) = 1 + 3.3 * log10 (30) = 5.87  6 Ahora calculamos el rango de la muestra: A= Observación. Mayor – Observación. Menor = 56 – 5 = 51 Ahora calculamos la amplitud de la clase, esto se hace de la siguiente forma: C = A / m = 51 / 6 = 8.5  9. Por lo tanto L= 9–1=8 Tabla3. Números de Clases 5 - 13 14 - 22 23 - 31 32 - 40 41 - 49 50 - 58 Total

Frecuencias (Fi) 9 9 3 4 2 3 30

Representaciones graficas de las distribuciones de frecuencias Marca de clase: se representa con la letra Xi y es el punto medio de cada clase, esta se obtiene sumando y dividiendo entre 2 lo limites inferior y superior. Limites reales de la Clase (también se le conoce como fronteras de clase) L.R.I. = Límite real inferior: es media unidad menos que el límite inferior de la clase

22 O sea 5 – 0.5 = 4.5 L.R.S. = Límite real superior: es media unidad más que el límite superior de la clase 13 + 0.5 = 13.5 La frecuencia relativa se encuentra como: Fr = (Frecuencia de la clase / Número total de Observaciones) = F i / n Frecuencia porcentual, se calcula como: %Fi = (Fi / n)*100 Frecuencia acumulada de una clase (Fa): se determina sumando el total de observaciones de todas las clases precedentes más la clase en cuestión. Frecuencia porcentual acumulada de una clase (%Fa): es la frecuencia acumulada de la clase expresada como porcentaje del total de observaciones. Para la tabla 4 del primer ejemplo el cálculo de los valores anteriores se obtiene Tabla5. Numero de clases 5 - 13 14 - 22 23 - 31 32 - 40 41 - 49 50 - 58 Total

Fi

Xi

L.r.i. - L.r.s

%Fi

Fa

%Fa

9 9 3 4 2 3 30

9 18 27 36 45 54

4.5 13.5 22.5 31.5 40.5 49.5

30 30 10 13.3 6.7 10 100

9 18 21 25 27 30

30 60 70 83.3 90 100

13.5 22.5 31.5 40.5 49.5 58.5

Elabore la distribución de frecuencias de las siguientes series de datos, con sus respectivas gráficas: Los siguientes datos son el número de meses de duración de una muestra de 40 baterías para coche.

22 34 25 33 47

41 16 43 31 38

35 31 34 37 32

45 33 36 44 26

32 38 29 32 39

37 31 33 41 30

30 47 39 19 42

26 37 31 34 35

1. Los resultados siguientes representan las calificaciones del examen final de un curso de estadística elemental.

23

60

79

32

57

74

52

70

82

36

23

80

77

81

95

41

65

92

85

55

76

52

10

64

75

78

25

80

98

81

67

41

71

83

54

64

72

88

62

74

43

60

78

89

76

84

48

84

90

15

79

34

67

17

82

69

74

63

80

85

61

2. El gerente de una firma especializada en renta de condominios para vacacionistas, quiere saber cómo están distribuidas los montos de las rentas mensuales de los departamentos de la firma. Seleccionó una muestra de departamentos cuyas muestras son mostradas abajo.

Rentas mensuales de los condominios 1170 1207 1581 1277 1305 1472 1077 1319 1537 1849 1332 1418 1949 1403 1744 1532 1219 896 1500 1671 1471 1399 1041 1379 821 1558 1118 1533 1510 1760 1826 1309 1426 1288 1394 1545 1032 1289 695

803

1440 1421 1329 1407 718 1457 1449 1455 2051 1677 1119 1020 1400 1442 1593 1962 1263 1788 1501 1668 1352 1340 1459 1823 1451 1138 1592 982 1981 1091 3. Los siguientes datos representan la duración de la vida en meses de 30 bombas de combustible similares.

24

36

4

40

16

5

18

6

30

60

3

72

66

78

3

28

67

72

15

3

18

48

71

22

57

9

54

4

12

72

4. Los siguientes datos representan la duración de la vida, en segundos, de 50 moscas sometidas a un nuevo atomizador en un experimento de laboratorio controlado.

17

20

10

9

23

13

12

19

18

24

12

14

6

9

13

6

7

10

13

7

16

18

8

13

3

32

9

7

10

11

24

13

7

18

7

10

4

27

19

16

8

7

10

5

14

15

10

9

6

7

15

5. Se aplicó una encuesta donde se les pide indicar el número de amigos o parientes que visitan cuando menos una vez al mes. Los resultados son los siguientes:

3

5

2

3

3

4

1

8

4

2

4

2

5

3

3

3

0

3

5

6

4

3

2

2

6

3

5

4

14

3

5

6

3

4

2

4

9

4

1

4

2

4

3

5

0

4

3

5

7

3

5

6

2

2

6. Una compañía de cambio de aceite tiene varias sucursales en la zona metropolitana. El número de cambios de aceite en la sucursal de la calle Roble en los pasados 20 días son:

66

98

55

62

79

59

51

90

72

56

70

62

66

80

94

79

63

73

71

85

7. El gerente de un negocio de comida rápida está interesado en el número de veces que un cliente compra en su tienda durante un periodo de dos semanas. Las respuestas de los 51 clientes fueron:

5 3

3

1

4

4 5 6 4

2

6 6

6

7 1 1

14

1 2

4

4

4

5 6 3 5

3

4 5

6

8 4 7

6

5 9

11 3 12 4 7 6 5 15 1 1 10 8 9 2

12

8. El presidente de una agencia de viajes, quiere información sobre las edades de la gente que toma cruceros por el Caribe. Una muestra de 40 clientes que tomaron un crucero el año pasado reveló estas edades:

77

18

63

84

38

54

50

59

54

56

36

26

50

34

44

41

58

58

53

51

25

62

43

52

53

63

62

62

65

61

52

60

45

66

83

71

63

58

61

71

60

9. Una cadena de tiendas de artículos deportivos al servicio de esquiadores principiantes, planea hacer un estudio de cuánto gasta un esquiador principiante en su primera compra de equipo. Una muestra de recibos de sus cajas registradoras reveló esas compras iniciales.

140

82

265 168

90

114 172 230 142

86

125

235 212 171 149 156 162 118 139 149 132 105 162 126 216 195 127 161 135 172 220 229 129 87

128 126 175 127 149 126 121 118 172 126

10.- Se conduce un estudio de los efectos de fumar sobre los patrones de sueño. La medición que se observa es el tiempo, en minutos, que toma quedar dormido. Se obtienen estos datos:

69

56

22

28

41

28

47

53

48

30

34

13

52

34

60

25

21

37

43

23

13

31

29

38

26

36

30

11. Un banco seleccionó una muestra de 40 cuentas de cheques de estudiantes. Abajo aparecen sus saldos de fin de mes.

404

74

234

149

279

215

123

55

43

321

87

234

68

489

57

185

141

758

72

863

703

125

350

440

37

252

27

521

302

127

968

712

503

498

327

608

358

425

303

203

26

12.- Una compañía de luz seleccionó una muestra de 20 clientes residenciales. Los siguientes datos son las cuentas que se les facturó el mes pasado:

54

48

58

50

25

47

75

46

60

70

67

68

39

35

56

66

33

62

65

67

13.- Una muestra de suscriptores de una compañía telefónica reveló los siguientes números de llamadas recibidas en la última semana.

52

43

30

38

30

42

34

46

32

18

41

5

12

46

39

37

Representaciones graficas para datos Cuantitativos Histograma: es una representación grafica de una tabla de distribución de frecuencia a partir de datos cuantitativos, esta se construye en un sistema de coordenadas rectangulares. En el eje horizontal se indican los límites reales de cada clase haciendo coincidir el origen con el límite real inferior de la clase. En el eje vertical se señalan las frecuencias haciendo coincidir con el origen la frecuencia cero, luego se erige sobre el intervalo real de la clase correspondiente un rectángulo de altura igual a la frecuencia de la clase y de base igual a la longitud del intervalo real de la clase. Escala de los ejes: en la representación grafica de la frecuencia, el eje vertical debe hacerse de tal modo que la altura del punto máximo que representa el resultado asociado con la frecuencia más alta sea aproximadamente igual a 2/3 de la longitud del eje horizontal. Para ilustrar esto miremos el siguiente ejemplo: en la siguiente tabla se nos presenta la distribución del rendimiento de la gasolina en millas por galón en 50 automóviles. Construir un Histograma

Tabla6. Millas / Galón 22.5 - 24.9 25.0 - 27.4 27.5 - 29.9 30.0 - 32.4 32.5 - 34.9 Total

Fi 9 10 15 11 5 50

L.R.I. 22.45 24.95 27.45 29.95 32.45

-

L.R.S. 24.95 27.45 29.95 32.45 34.95

27 Graficando los valores tenemos la siguiente grafica

Rendimiento de gasolina en mi/galón en 50 automóviles

15

10 5

22.45

24.95

27.45

29.95

32.45

34.95

Representaciones gráficas para datos Cualitativos Gráficos de barras: sirven para representar al total de cada categoría presentada en la distribución, para cada categoría se traza una barra vertical en que la altura representa el número de de esa categoría. Ejemplo: la tabla siguiente muestra el estado civil de hombres y mujeres mayores de 14 años en una ciudad en 1995. Tabla7 Estado civil Solteros Casados Viudos Divorciados Total

Sexo Hombre 2,450 6,980 390 180 10,000

% 24 70 4 2 100

Mujer 1,880 6,600 1,200 230 9,990

Graficando los valores tenemos la siguiente gráfica

% 19 66 13 2 100

Total 4,330 13,580 1,670 410 19,990

% 22 68 8 2 100

28

Gráfico de Pastel o de Sectores: se usa para mostrar como una cantidad total, se reparte en un grupo de categorías, la construcción de un diagrama de pastel se facilita teniendo en cuenta que el círculo tiene 360 0 grados y que el Angulo debe corresponder al 100% del total representado. Utilizando una regla de tres se calcula cada ángulo de cada categoría de la siguiente manera: % 100%

grado(X) 360° despejando tenemos X = (% * 3600)/100

Hagamos el diagrama de pastel para los datos presentados en la tabla7 anteriormente expuesta en el que representaremos el estado civil de todas las personas de esa ciudad. Para eso tenemos que calcula los grados que tendrá cada dedazo de pastel o categoría, esto es: Para los solteros tenemos Para los casados tenemos Para los viudos tenemos Para los divorciados tenemos

X = (22 * 3600)/100 = 790 X = (68 * 3600)/100 = 2450 X = (8 * 3600)/100 = 290 X = (2 * 3600)/100 = 70

Graficando los valores tenemos la siguiente gráfica

Ejercicios

29 La siguiente tabla representa las alturas de los pinos de 9 meses de edad en un bosque de Matagalpa. Tabla4. 0.59 0.95 1.55 1.15 1.12 0.60

1.35 1.20 0.84 0.79 1.30 1.75

0.98 1.92 1.73 1.04 1.60 1.98

0.76 1.00 1.01 1.10 1.74 0.86

0.84 0.63 1.42 0.62 1.70 1.50

Obtenga una tabla de distribución de frecuencia para este conjunto de datos y haga una representación grafica que más se ajuste a este tipo de datos. 1.- En la siguiente representación tallo – hoja se indica el número de días que pasa un paciente bajo tratamiento, de acuerdo con una muestra aleatoria seleccionada de los registros de una clínica 1 2 3 4 5

5 0 4 1 0

1 2 4

3 5

5 0

3

0

4

a) ¿Cuántos pacientes están representados? b) ¿Cuál fue el período de tratamiento más corto? c) ¿Cuál fue el período de tratamiento más largo? d) ¿Cuál fue el período de tratamiento más frecuente? 2.- En un curso donde se utilizaron computadoras se distribuyó un cuestionario a 200 estudiantes. Una de las cuestiones era “Me gusta utilizar las computadoras”. Las apreciaciones a esta interrogante fueron: Respuestas Totalmente de acuerdo De acuerdo Apenas de acuerdo Apenas en desacuerdo En desacuerdo

Número 50 75 25 15 15

3.- En el primer día de clases del semestre pasado se preguntó a 50 estudiantes de istración y contabilidad acerca del tiempo requerido para desplazarse de su casa a la universidad. Los datos fueron los siguientes: 20 35 25

30 15 15

20 25 20

25 40 25

10 5 10

30 15 5 20 25 30 20 20

20 20 25 25 20 20 10

20 10 20 25 45 20 5

25 20 15 30 25 20 10

15 25 40 25 10 20 15

Elabore una tabla de distribución de frecuencias para datos no agrupados. 4.- Elabore una tabla de distribución de frecuencias para datos agrupados con los siguientes datos y construya un histograma y un polígono de frecuencias. 5

11

15

20

28

42

6

12

17

21

32

45

7

13

19

21

35

51

8

13

19

26

38

52

10

14

20

28

40

56

Después que los datos han sido reunidos y tabulados, se inicia el análisis con el fin de calcular un número único, que represente o resuma todos los datos. Por lo general, las frecuencias de los intervalos centrales de una serie de datos son mayores que el resto, ese número se le denomina medida de posición.

III Unidad: Medidas de tendencia central y de dispersión MEDIDAS DE TENDENCIAS CENTRALES Media Aritmética: La media aritmética ( X ) o simplemente la media es el parámetro de posición de más importancia en las aplicaciones estadísticas. Se trata del valor medio de todos los valores que toma la variable estadística de una serie de datos. La media aritmética de un conjunto de observaciones X 1, X2, X3, … Xn, se define como la suma de todos los valores de las observaciones dividida por el total de observaciones (total de N datos), esto es: Media Aritmética para la Población n

X

X i 1

i

Media Aritmética para la Muestra

N

CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES DE LA MEDIA ARITMÉTICA

31 1. El valor de la media depende de cada una de las medidas que forman la serie de datos, y se halla afectada excesivamente por los valores extremos de la serie de datos. 2. La media se calcula con facilidad y es única para cada caso y permite representar mediante un solo valor la posición de la serie de valores. CÁLCULO DE LA MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS Para calcular la media de datos no agrupados en clases se aplica la siguiente formula: X

X

. En donde N es el número total de datos

i

N

y

Xi

son los valores de la

variable. Ejemplo: 1. – Calcule la media aritmética de los siguientes valores: 5, 7, 8, 9, 11, 14 X

X

i

N

5  7  8  9  11  14 54   9. Por lo tanto la media es 9. 6 6



CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS AGRUPADOS Cuando se construye una distribución de frecuencia, los datos se agrupan en clases definidas por unos límites. Cuando se trabaja con la distribución de frecuencia se parte del supuesto de que todos los datos comprendidos en un intervalo de clase se distribuyen uniformemente a lo largo de este. Los pasos a seguir para calcular la media con este método. 1. Se agrupan los datos en clases y se llevan a una columna, se calculan los puntos medios de cada clase y se colocan en sus respectivas columnas, se determinan las frecuencias de cada clase y se ubican en sus respectivas columnas. 2. Se multiplican los puntos medios de cada clase por sus respectivas frecuencias, luego se obtiene la sumatoria de las frecuencias (f i) multiplicadas por el punto medio (Xi) así:  f i X i 3. Luego se calcula la media aritmética aplicando la formula: X 

f X f X N f N i

i

i

i

En donde N es igual al número total de datos. Ejemplo:

i

CLASES 75-----79 80-----84 85-----89 90-----94

X

fi

f i X

77 82 87 92

20 40 60 100

140 320 480 900

32 95 ----99 TOTAL

97

140

f

i

n

=360

f

1260 i

X i  3100

Aplicando la fórmula se tiene: X 

f X i

N

i



3100  8.61 360

~ La mediana ( X o Md): se define como mediana el valor de un conjunto de datos X 1, X2, X3; X4,.........Xn, ordenada de menor o mayor, que deja a su izquierda y a su derecha la misma cantidad de observaciones o sea que es el valor que divide en dos partes iguales al conjunto de datos, es decir el valor de la variable que ocupa el lugar central.

CÁLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS Hay dos casos que se pueden dar para el cálculo de la mediana: 1. Si el número de observaciones es par se elige como mediana el valor medio de las dos observaciones centrales, esto es:

~ X 

 N  N   1   X  2  2  2

X

Ejemplo: Encuentre la mediana para el siguiente conjunto de datos: 18, 5, 5, 11, 9, 7, 12, 15. Sabemos por medio del número de datos que N = 8 por lo tanto es par, ordenando los datos de menor a mayor tenemos 5, 5, 7, 9, 11, 12, 15, 18, ahora aplicando la formula: ~ X 

 8  8    X   1  2  2   X  4  X  5  9  11  10 2 2 2

X

2. Si el número de datos es impar se elige como mediana el valor que esta exactamente a la mitad o en medio de todas las observaciones, esto es: 3. ~  N 1 X  X   2 

Ejemplo: Encuentre la mediana para el siguiente conjunto de datos: 4, 3, 8, 8, 4, 5, 10, 8, 6 Sabemos por medio del número de datos que N = 9 por lo tanto es par, ordenando los datos de menor a mayor tenemos 3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 8, 10, ahora aplicando la formula:

33 ~  9 1 X  X   X  5  6  2 

PASOS PARA DETERMINAR LA MEDIANA EN DATOS AGRUPADOS 1. Se elabora la tabla de frecuencia de datos con sus diferentes intervalos de clases, se ubican las frecuencias fi y se calculan las frecuencias acumuladas Fa de esa distribución. 2. Se determina la ubicación

o posición

de la mediana en el intervalo de la

distribución de frecuencia, mediante la fórmula

PMd 

N . El resultado obtenido 2

determinará la clase donde se encuentra ubicada la mediana, lo cual se conseguirá en la clase donde la frecuencia acumulada Fa sea igual o superior a este resultado. Luego se aplica la formula:  N   2  Faa  Md  Li    Ic, fm    

en esta fórmula Md es la mediana, Li es el límite real inferior de la clase donde se encuentra ubicada la mediana, Faa es el valor de la frecuencia acumulada anterior a la clase donde se encuentra la mediana, fm es el valor de la frecuencia fi de la clase donde se encuentra la mediana, Ic es el valor o longitud de la longitud o intervalo de clase mas 1 (Ic = L+1 = £) y N es el número total de datos de la distribución en estudio. NOTA: la amplitud de la clase debe de ser la misma para cada clase. Ejemplo: Dada la siguiente distribución de frecuencia referida a las horas extras laboradas por un grupo de obreros. Calcule la mediana. Realice los cálculos respectivos para completar el siguiente cuadro. N° de Extras CLASES 55------59 60------64 65------69 70------74 75------79 80------84 85------89

horas Obreros Fi 6 20 18 50 17 16 5 N = 132

Completando la tabla para obtener las frecuencias acumuladas obtenemos: N°

de

horas Obreros

Obreros

34 Extras CLASES 55------59 60------64 65------69 70------74 75------79 80------84 85------89

Ahora se aplica la fórmula: n 132   66, 2 2

n = 132,

Fi 6 20 18 50 17 16 5 n = 132

fa 6 26 44 94 111 127 132

 n   2  Fac  Md  Li    C fm    

luego la mediana se encuentra en la clase 70----74, por lo

tanto el limite real inferior de esa clase es 69.5 = Li. La frecuencia fi de esa clase es 50 = fm , Faa = 44 y el Ic = 5. Aplicando la fórmula se tiene:  66  44   22  5  69.5    .5  69.5  2.2  71.70.  50    50 

Md  69.5  

CARACTERÍSTICAS DE LA MEDIANA  La mediana no es afectada por los valores extremos de una serie puesto que la misma no es calculada con todos los valores de la serie.

de valores,

 La mediana no está definida algebraicamente, ya que para su cálculo no intervienen todos los valores de la serie.  La mediana se puede calcular en aquellas distribuciones de frecuencia de clases abierta, siempre y cuando los elementos centrales puedan ser determinados La moda: la moda de un conjunto de datos, es el valor que aparece con mayor frecuencia, es decir es el valor que más se repite o el valor más común. La moda puede no existir o incluso si existe, puede no ser única. De las medias de posición central la moda es la que se determina con mayor facilidad, ya que se puede obtener por una simple observación de los datos en estudio, puesto que la moda es el dato que se observa con mayor frecuencia. La moda se designa con las letras Mo. CÁLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS Cuando una serie de valores es simétrica, la media, la mediana y el modo coinciden, y si la asimetría de la serie es moderada, la mediana estará situada entre la media y la moda con una separación de un tercio entre ambas; la moda simple mente se encuentra por inspección de los datos

35 Ejemplo: encuentre la moda para los siguientes conjuntos de datos: 1.

2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 11, 12, 18.

En este caso la moda es 9.

2.

3, 5, 8, 10, 12, 15, 16.

En este caso la moda no existe.

3.

2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9.

En este caso hay dos modas, el 4 y el 7, A este tipo de casos en se le llama bimodal.

Una distribución que contenga una solo moda se le llama unimodal, en contraste si posee más de dos modas se le llama multimodal. CÁLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS Para calcular la moda en datos agrupados existen varios métodos; cada uno de los métodos puede dar un valor diferente de la moda: En este curso se dará un método el cual se puede considerar uno de los más precisos en el cálculo de esta. Es un método matemático que consiste en la interpolación mediante la siguiente fórmula:  1   .Ic , Mo  Li    1   2  en donde Mo es la moda, Ic = longitud de la clase más uno (L + 1), Li es el límite real de la clase que presenta el mayor número de frecuencia; la clase que presenta el mayor número de frecuencias fi se le denomina clase modal y a las frecuencias de esa clases se les denomina frecuencia modal fm,  1 es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal ( fm) y la frecuencia de la clase anterior a la modal, la cual se designa con fa , entonces,  1  ( fm  fa) ;  2 es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal (fm) y la frecuencia de la clase siguiente a la modal, esta se designa con fs , entonces,  2  ( fm  fs ). 1. Dada la siguiente distribución de frecuencia correspondiente al peso en Kg de un grupo de trabajadores de una empresa, calcule la moda. CLASES fi 30-----39 2 40-----49 2 50-----59 7 60-----69 11 70-----79 12 80-----89 16 90-----99 2 TOTAL La clase modal es 80----89, entonces Lri = 79.5 y su fm = 16, fa = 12 C  10 entonces:  1  f m  f a   1  16  12  4;.. 2  f m  f s  16  2  14

Aplicando la fórmula se tiene:  1  40  4    Mo  79.5   Mo  L i    79.5  2.22  81.71.  .10  79.5  18  4  14   1   2 

y

fs = 2,

36 CARACTERÍSTICAS DE LA MODA 

El valor de la moda puede ser afectado grandemente por el método de elaboración de los intervalos de clases.



El valor de la moda no se halla afectado por la magnitud de los valores extremos de una serie de valores, como sucede en la media aritmética.



La moda se puede obtener en una forma aproximada muy fácilmente, puesto que la obtención exacta es algo complicado.



La moda tiene poca utilidad en una distribución de frecuencia que no posea suficientes datos y que no ofrezcan una marcada tendencia central.

MEDIDAS DE DISPERSIÓN Las medidas de variabilidad son números que expresan la forma en que los valores de una serie de datos cambian alrededor de una medida de posición central la cual por lo general es la media aritmética. La variabilidad es la esencia de la estadística, puesto que las variables y atributos se caracterizan siempre por diferencias de valores entre observaciones individuales. Casi siempre en una distribución de frecuencia el promedio obtenido difiere de los datos de la serie; por esto es importante determinar el grado de variación o dispersión de los datos de una serie de valores con respecto al promedio. Rango o Recorrido: Es la primera medida de dispersión, no está relacionada con ningún promedio en particular, ya que este se relaciona con los datos mismos, puesto que su cálculo se determina restándole al dato mayor de una serie el dato menor de la misma. El rango es el número de variables diferentes que posee una serie de valores. Su fórmula se calcula así: Rango(R) = Dato mayor (XM)Dato Menor (Xm): R = XM  Xm. El rango es la medida de dispersión más sencilla e inexacta dentro de las medidas de dispersión absoluta. Esta medida tiene bastante uso en el control de calidad de los productos manufacturados. Desviación típica o estándar: Es la medida de dispersión más utilizada en las investigaciones por ser la más estable de todas, ya que para su cálculo se utilizan todos los desvíos con respecto a la media aritmética de las observaciones, y además, se toman en cuenta los signos de esos desvíos. Se le designa con la letra castellana S cuando se trabaja con una muestra y con la letra griega minúscula  (Sigma) cuando se trabaja con una población. Es importante destacar que cuando se hace referencia a la población él número de datos se expresa con N y cuando se refiere a la muestra él número de datos se expresa con n. La desviación típica se define como: “La raíz cuadrada positiva del promedio aritmético de los cuadrados de los desvíos de las observaciones con respecto a su media aritmética”. La desviación típica es una forma refinada de la desviación media”. Características de la Desviación Típica: 

La desviación típica se calcula con cada uno de los valores de una serie de datos.

37



La desviación típica se calcula con respecto a la media aritmética de las observaciones de una serie de datos, y mide la variación alrededor de la media.



La desviación típica es susceptible de operaciones algebraicas, puesto que para su cálculo se utilizan los signos positivos y negativos de los desvíos de todas las observaciones de una serie de valores, por lo tanto es una medida completamente matemática.



Es siempre una cantidad positiva.

Cálculo de la Desviación Típica: La desviación típica para calcularla se procede de dos formas: A).- Para datos no agrupados, B). - Para datos agrupados en clases. A) Para datos no Agrupados.- Las fórmulas para determinar la desviación típica de una muestra es:

(X

1.  .S 

i

 X )2

n 1

X

2.  .S 

( X i ) 2



2 i

n

n 1

N  X i2  ( X i ) 2



n(n  1)

Para caular la desviación tipica de una poblacián para datos no agrupados, se utilizan las siguientes formulas:

(X

3.  . 

4.  . 

i

  )2

N

X N

2 i

X 

  

N

X

2

 

i

  

N

2 i

 2

Ej.1 – Los siguientes valores corresponden a la edad de ñiños de una muestra tomada de una población: Xi =  3, 4, 5, 6, 7 . Determine la desviación típica. X 

X n

S

i



25 5 5

n X i2  

Utilizando la formula 2 nos da

X 

n(n  1)

i

2



5(135)  625  5(4)

50  1.58 20

Interpretación.- El resultado obtenido con las fórmulas 1 y 3 indican que en promedio, las edades de los niños de esa muestra se desvian o varian con respecto a la media aritmética en una cantidad igual a 1.58 años.

38 B) – Para datos Agrupados en Clases.- Para calcular la desviación típica en datos agrupado existen varios criterios en relacion a la corrección del sesgo que se produce al tomar una muestra, en este estudio se considerará la fórmula que corrige el sesgo de aquellas muestras en estudio. Fórmulas Para calcular la muestra y la población de una desviación típica con datos agrupados en clases:

1.  .S 

 ( X

2.  .S 

 X

 X )2 fi

i

n 1 f i  nX 2

2 i

n 1

Ejemplos: Los siguientes datos corresponden a las horas extras trabajadas por los obreros de la empresa RINACA, en un mes (se resolverá considerando los datos como de una S y

3.  . 

 f ( X

4.  . 

 f X

i

i

  )2

N

i

N

2 i

 2

di =  X i  X 

 X 

CLASES

fi

X i

40 — 44

1

42

42

- 15.26

232.87

1764

45 — 49 50 — 54 55 — 59 60 — 64 65 — 69 70 — 74

6 21 75 23 7 2

47 52 57 62 67 72

282 1092 4275 1426 469 144

- 10.26 - 5.26 - 0.26 4.74 9.74 14.74

631.60 581.02 5.07 516.75 664.07 434.54

13254 56784 243675 88412 31423 10368

f i X

 f X i

=7730

i

d

i

 1.82

f i d i2

f

f d i

=3065.92

2 i

i

2

i

 f X i

2 i

=445680

Para resolver el problema lo primero que se debe hacer es calcular la media aritmética así: X 

f

S

X i



n

 f X i

7730  57.26 Ahora aplicando la fórmula 2 135

2 i

 nX 2

n 1



445680  135(57.26)  135  1

3065.93  22.88  4.78. 134

39 Interpretación.- Los resultados obtenidos con los cálculos anteriores, indican que el promedio de las horas extras laboradas por los trabajadores se desvían o varían con respecto a su media aritmética en una Cantidad igual a 4.78 y 4.76 respectivamente. La Varianza: Es otra de las variaciones absolutas y la misma se define como el cuadrado de la desviación típica; viene expresada con las mismas letras de la desviación típica pero elevadas al cuadrado, así S 2 y 2. Las fórmulas para calcular la varianza son las mismas utilizadas por la desviación típica, exceptuando las respectivas raíces, las cuales desaparecen al estar elevados el primer miembro al cuadrado. La varianza general de la población se expresa de la forma siguiente: 2.  . 2 

 f ( X

3.  .S 2 

(X

i

i

 )2

N

i

 X )2

n 1

..,. para.datos.agrupados.

..,. para.datos.no.agrupados.

La varianza general de la muestra se expresa así: 4.  .S 2 

 f ( X i

i

 X)

..,. para.datos.agrupados. n 1 La mayor utilidad de la varianza se presenta en la estadística Inferencial.

Propiedades de la Desviación Típica: 1. La desviación típica de una constante k es cero. Si se parte de que la media aritmética de una constante es igual a la constante, esto es así, debido a que al ser todos los datos iguales no habrá dispersión en la serie de datos con respecto a la media aritmética, por lo tanto  (k) = 0. 2. Para distribuciones normales siempre se cumple que: 68.27 % de los datos se encuentran en el intervalo ( X  ). 95.45 % de los datos se encuentran en el intervalo ( X  2). 99.73 % de los datos se encuentran en el intervalo ( X  3). Estos valores se cumplen con bastante aproximación, para distribuciones que son Normales y para las que son ligeramente asimétricas

40 Dispersión Relativa o Coeficiente de dispersión Las medidas de variabilidad, estudiadas hasta ahora, solo permitían medir las dispersiones absolutas de los términos de la muestra. Las medidas, tomadas en esas condiciones, serán de utilidad, solo cuando se trata de analizar una sola muestra; pero, cuando hay que establecer comparaciones entre distintas muestras, será necesario expresar tales medidas en valores relativos, que pueden ser proporciones o porcentajes. Las medidas de dispersión relativas permiten comparar grupos de series distintas en cuanto a su variación, independientemente de las unidades en que se midan las diferentes características en consideración. Generalmente las medidas de dispersión relativas se expresan en porcentajes, facilitando así el estudio con medidas procedentes de otras series de valores La dispersión relativa viene a ser igual a la dispersión absoluta dividida entre el promedio. 1.  . 2 

(X

i

  )2

.., para.datos.no.agrupados. N Existen varias medidas de dispersión relativa, pero, la más usada es el coeficiente de variación de Pearson, este es un índice de variabilidad sin dimensiones, lo que permite la comparación entre diferentes distribuciones de frecuencias, medidas en diferentes unidades. El coeficiente de variación de Pearson se designa con las letras CV. La fórmula matemática es:  CV 

X

x100.

El CV pierde utilidad, cuando la X es muy cercana a cero. Una serie de valores será más dispersa que otra respecto a su X mientras que su CV sea mayor. Ejemplo: La venta en el mercado de tres productos, varía de acuerdo al siguiente cuadro. Determine el CV de cada uno y diga cuál de ellos presenta mayor variación y cuál la menor. Producto S Unidades CV X 1 45 5 Bs. 11.11 % 2 450 40 Bs. 8.87 % 3 4500 350 Bs. 7.78 % Para resolver el problema se calcula el CV de cada producto y luego sé determina cuál presenta mayor o menor variación CV = Sx100/ X CV1 = 5x100/45 = 11.11 %. CV2 = 40x100/450 = 8.87 %. CV3 = 350x100/4500 = 7.78 %. Se puede observar que la menor dispersión la presenta el producto 3, por lo tanto, de los 3 productos el que menos varia es ese; por otro lado el de mayor dispersión o variabilidad es el producto 1.

41

MEDIDAS DE POSICIÓN Las medidas de posición forman parte del conjunto de medidas descriptivas numéricas, entre las que se encuentran los parámetros y los estadígrafos. Una medida de posición es un número que se escoge como orientación para hacer mención a un grupo de datos, estas pueden ser de tendencia central o no, las más importantes son: La Media Aritmética, la Mediana, la Moda, la Varianza, la Desviación Estándar y los Cuartiles. Un promedio es un valor que es típico o representativo de un conjunto de datos ya que representan un gran número de valores individuales por uno solo. Como tales valores tienden a distribuirse centralmente dentro de un conjunto de datos ordenados de acuerdo con su magnitud, los promedios son llamados también medidas de tendencia central Parámetro: son medidas descriptivas numéricas calculadas a partir del total de observaciones de la población EJ: a media poblacional, la varianza, la proporción, etc. Estadístico: son medidas calculadas a partir de las observaciones de una muestra. CARACTERÍSTICAS DE LAS MEDIDAS DE POSICIÓN 1. Deben ser definidas interpretaciones.

rigurosamente y no ser susceptibles de diversas

2. Deben depender de todas las observaciones de la serie, de lo contrario no sería una característica de la distribución. 3. No deben tener un carácter matemático demasiado abstracto. 4. Deben ser susceptibles de cálculo algebraico, rápido y fácil. Cuando se estudió la mediana se pudo detectar que esta divide la serie de valores en dos partes iguales, una generalización de esta medida da origen a unas nuevas medidas de posición denominadas: Cuartiles; Deciles y Percentiles. Estas nuevas medidas de posición surgen por la necesidad de requerir de otras medidas que expresen diferentes situaciones de orden, aparte de las señaladas por la mediana. Por lo tanto, es interesante ubicar otras medidas que fraccionen una serie de datos en diferentes partes. Es bueno destacar que los cuartiles, los Deciles y los Percentiles son unas variantes de la mediana: De la misma forma los percentiles abarcan tanto a los cuartiles como a los Deciles. CÁLCULO DE LOS CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES PARA DATOS NO AGRUPADOS Los cuartiles.- Son medidas posiciónales que dividen a un conjunto de datos o a una distribución de frecuencia en cuatro partes iguales. Se designa por el símbolo Q a en la

42 que a corresponde a los valores 1, 2 y 3., que viene a ser el número de Q a que posee una distribución de frecuencia de clase. El Q 1 divide la distribución de frecuencia en dos partes, una corresponde a 25 % que está por debajo de Q 1 y el otro 75 % por encima de Q1. El Q2 divide la distribución de frecuencia en dos partes iguales, un 50 % que está por debajo de los valores de Q 2 y otro 50 % que está por encima del valor de Q2. El Q2 es igual a la mediana. Se hace difícil calcular estas medidas, sin embargo, siguiendo los mismos principios mencionados para la mediana, se pueden localizar en la forma siguiente: Si tenemos una serie de valores X1, X2, X3… Xn, se localiza el primer cuartil como el 1 * (n  1) 1* n valor Q1  cuando n es par y Q1  cuando n es impar. 4 4 El segundo cuartil coincide exactamente con la mediana. Para el tercer cuartil será 3 * ( n  1) 3* n Q3  (n par) y Q3  (n impar) 4 4 Los Deciles: los deciles dividen a un conjunto de datos exactamente en 10 partes A * (n  1) A* n iguales Para calcular los deciles será D A  (n es par) o D A  (n es 10 10 impar) siendo A el número del decil. NOTA: los valores que se obtienen de los cuartiles, percentiles y deciles son la posición donde se encuentra el valor real de ellos mismos, por lo tanto hay que ordenar los datos primero. Los percentiles: los percentiles dividen exactamente a un conjunto de datos en 100 A * ( n  1) A* n partes iguales, para calcular los percentiles tenemos PA  o PA  , 100 100 siendo Al número del percentil a determinar. Ejemplo: En una serie de 11 términos, 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 11, 12, 18, se desea localizar el primer cuartil, el sexto decil y el percentil 95. Como n es impar por haber 11 casos, tenemos que: Q1 

1 * (11  1) 12   3 Por lo tanto, el valor que está en la posición 3 es el 5 4 4

D6 

6 * (11  1) 72   7.2  7 Por lo tanto, el valor que está en la posición 7 es el 9 10 10

P95 

95 * (11  1) 1140   11.4  11 Por lo tanto, el 18 ocupa la posición 11 100 100

CÁLCULO DE AGRUPADOS

LOS CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES PARA DATOS NO

Cuartiles: Para calcular los cuartiles por el método numérico se procede de la siguiente manera:

43 1 – Se PQa

localiza la posición del cuartil solicitado aplicando la fórmula de posición:

aN  , en donde a viene a ser el número del cuartil solicitado, N corresponde al 4

número total de datos de la distribución y 4 corresponde al número de cuartiles que presenta una distribución de frecuencia. 2 – Luego se aplica la fórmula para determinar un cuartil determinado, así:  aN   4  Faa  Qa  Li    .Ic. fm    

En esta fórmula,

Qa = El cuartil solicitado, en esta

a

corresponde al número del cuartil solicitado; Li = Limite real inferior de la clase donde se encuentra ubicado el cuartil; Faa = Frecuencia acumulada anterior a la clase donde se encuentra el cuartil; fm = Frecuencia fi que posee el intervalo de clase donde se encuentra el cuartil;

PQa 

aN = Posición que ocupa el cuartil en la distribución de 4

frecuencia, este resultado obtenido determinará la clase donde se encuentra ubicado el cuartil, el mismo se encontrará en la clase donde la frecuencia acumulada Fa sea igual o superior a este resultado. Deciles: El cálculo de los deciles es similar al cálculo de los cuartiles, solo que en estos varía la posición, la misma se calcula con la fórmula: PDa 

aN , en esta 10

a

corresponde al número del decil que se desea calcular, N

equivale al número de datos de la distribución y 10 corresponde a las diez partes en la que se divide la serie de valores de la distribución.

La fórmula para su cálculo es:

 aN   10  Faa  Da  Li    .Ic fm    

.

En este caso se aplica la fórmula de la misma manera que se hizo para calcular los cuartiles, solo que en esta fórmula varia la posición de ubicación de la clase donde se encuentra ubicado el decil. Percentiles: El percentil 50 es igual a la mediana, al decil 5 y al cuartil 2, es decir: Md  Q2  D5  P50 .  50% por encima y 50 % por debajo de los datos de la distribución. El cálculo de los percentiles es similar al cálculo de los cuartiles y los deciles con una variante en la posición de ubicación de estos, que viene expresada por la siguiente formula: PPa

 aN







 Faa   aN   .Ic . . Con esta posición se aplica la fórmula: Pa  Li   100 fm 100  

Ejemplo: Dada la siguiente distribución correspondiente al salario semanal en dólares de un grupo de obreros de una empresa petrolera trasnacional. Calcule: a) Q 1, b) Compare los resultados con la mediana, D5, c) P70 SALARIO EN $ Fi Fa 200-----299 85 85 300-----399 90 175

44 400-----499 500-----599 600-----699 700-----799 Totales = N a) PQ1

Para

calcular

Q 1,

120 70 62 36 463 se

determina

295 365 427 463 primero

la

posición

así:

1x 463 463    115 .75. 4 4

PQ1 = 115.75. Con ese valor de la posición encontrado se busca en las frecuencias acumuladas para ver cuál de esas contiene ese valor. Observando las frecuencias acumuladas se puede detectar que la posición 115.75 se encuentra en la clase 300------399, por lo tanto el Li = 299.5, fm = 90, y la Faa = 85 y Ic = 100, aplicando la formula se tiene: 3075  115 .75  85  .100  299.5   299.5  34.17  333.67.  90 90  

Q1  299.5  

Este valor de Q1 indica que el 25 % de los obreros en estudio, devengan un salario semanal por debajo de 333.67 $ y el 75 % restante gana un salario por encima de 333.67 $. b) PQ 2

Para calcular

Q 2=Md =D5 se determina primero la posición de este así.

2 x 463   231.5 , ahora se ubica esta posición en las frecuencias acumulados para 4

determinar la posición de Q 2, se puede observar en la distribución que esta posición de Q2 esta ubicada en la clase 400----499, entonces, Li = 399.5, fm = 120, Faa = 175 y Ic = 100, aplicando la formula se tiene: 5650  231.5  175  .100  399.5   399.5  47.08  446.58.  120 120  

Q2  399.5  

Este resultado de Q2 establece que el 50 % de los obreros de este estudio, devengan un salario semanal por debajo de 446.58 $ y el otro 50 % devenga un sueldo por encima de 446.58 $. Calcule la mediana y compárela con este resultado. c)

Para calcular

PP 70

70 x 463   324.10 . Ahora se ubica este resultado en la columna de frecuencias 100'

P 70

lo primero que se hace es determinar la posición,

acumuladas para encontrar la posición de P 70 en la distribución de frecuencia. Como se puede observar en la tabla de distribución de frecuencia, P 70 se encuentra ubicado en la clase 500-------599, entonces, Li = 499.5, fm = 70, Faa = 295 y Ic = 100, aplicando la formula se tiene: 2910  324.10  295  .100  499.5   499.5  41.57  541.07.  70 70  

P70  499.5  

Esto indica que el 70 % de los obreros devengan un sueldo semanal que está por debajo de 541.07 $ y que el 30 % de los restantes obreros, ganan un salario por encima de 541.07 $. UNIDAD No. IV

CONCEPTOS DE PROBABILIDAD

45

Experimentos Aleatorios La teoría de probabilidades es muy extensa y sus aplicaciones han adquirido mucha importancia en la istración pública y empresarial. Las probabilidades son de gran importancia en la estadística. Todos estamos familiarizados también con la importancia de los experimentos en ciencias e ingeniería. La experimentación es útil porque si suponemos que llevamos a cabo cierto experimento bajo condiciones esencialmente idénticas, llegaremos a los mismos resultados. En estas circunstancias, estamos en capacidad de controlar el valor de las variables que afectan el resultado del experimento. Sin embargo en algunos experimentos, no somos capaces de indagar o controlar el valor de determinada variable, de manera que el resultado cambiara de un experimento a otro, a pesar de que la mayoría de las condiciones son las mismas. Estos experimentos se describen como aleatorios. Los siguientes son algunos ejemplos: Ejemplo1: Si lanzamos una moneda, el resultado del experimento será “sello”, simbolizado por S, o puede caer “cara”, simbolizado por C. Ejemplo2: Si lanzamos un dado, el resultado del experimento será uno de los números del conjunto 1, 2, 3, 4, 5, 6. Para comprender mejor el estudio de las probabilidades es necesario definir una serie de términos básicos para su mejor comprensión. Una variable aleatoria es una función que asocia un número real a cada ele mento del espacio muestral. O también, una Variable Aleatoria es una función que asigna un número real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio. Experimento.- Es el proceso mediante el cual se obtiene una observación o una medición de un fenómeno. En este hay tres cosas de importancia: Acción, Medición y Observación. Existen 2 tipos de experimento: Experimento Determinante y Experimento Aleatorio. Experimento Determinante.- Es aquel experimento en el que es posible predecir el resultado final de ese proceso aún sin haberlo realizado. Ej. Cuando los químicos combinan oxigeno más hidrógeno el resultado es agua; este experimento no es necesario realizarlo para conocer el resultado. Experimento Aleatorio.- Es aquel que puede dar lugar a más de un resultado, por lo que, no se puede predecir uno de ellos en una prueba en particular. Ej. Los experimentos relacionados con juegos de azar, no se pueden predecir los resultados de los ganadores del 5 y 6 en un domingo cualquiera.

46 Espacio Muestral.- Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio; generalmente se le designa con la letra S. Ejemplo: El espacio muestral al lanzar un dado es: S = {1, 2 3 ,4 ,5 ,6} esto es así puesto que un dado tiene 6 caras numeradas de 1 al 6 y cualquiera de estas puede salir. El espacio muestral de lanzar una moneda es: S = {c, s}, esto es así puesto que al lanzar una moneda puede salir una cara ó un sello. Sucesos ó Eventos.- Es todo aquel resultado o grupo de resultados que pueden dar origen un experimento aleatorio. También se puede decir que es un subconjunto del espacio muestral. Ejemplo. El espacio muestral de lanzar un dado está formado por varios eventos: { 1 },{ 2 }, { 3 }, { 4 },{ 5 } y {6}. Los eventos pueden ser simples ó compuestos. Eventos Simples.- Son aquellos eventos cuyas características son las de estar constituidos por un solo elemento; por lo tanto no se pueden descomponer en otros elementos. Ej. Al lanzar un dado se pueden obtener 6 eventos simples que serian el 1, 2, 3, 4, 5 y 6 respectivamente. Eventos Compuestos.- Son aquellos eventos que se pueden descomponer en una combinación de eventos. Ej. Obtener un número par al lanzar un dado, el espacio muestral de este evento es: E = {2, 4, 6}, este es el evento par del lanzamiento de un dado, pero este evento se puede descomponer en 3 eventos simples a saber {2}, {4}: y  6 . Eventos Mutuamente Excluyentes.- Son aquellos eventos que no pueden ocurrir simultáneamente al realizar una sola vez un experimento. Se dice que dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si y solo si, su intersección es el conjunto vacío, es decir AB = Ø. Ej. El resultado obtenido al lanzar un dado, si sale una cara con un 3, no puede salir otro número en este mismo lanzamiento. Eventos Exhaustivos.- Dos eventos A y B son colectivamente exhaustivos si su unión es la totalidad del espacio muestral, es decir, AB = S. Eventos Imposibles.- Son aquellos sucesos que nunca ocurren. Ej. Obtener un 7 al lanzar un dado normal, esto es imposible por cuanto un dado normal tiene solamente 6 caras por lo tanto este resultado es el conjunto vacío, {Ø}. Eventos Seguros.- Son aquellos sucesos constituidos por todos los eventos simples del espacio muestral. Ejemplo: Al lanzar un dado, sacar cualquiera de sus caras. Eventos complementarios.- Dos eventos A y Ā son complementarios si y solo si, se cumple que: P(A) + P (Ā) = P(S), es decir, son eventos mutuamente excluyentes y su unión es el espacio muestral, entonces tenemos, P(A) + P(Ā) = P(S), pero P(S) = 1, entonces: P(A) + P(Ā) = 1

P(A) = 1 - P(Ā), donde P(Ā), se lee probabilidad de A Complemento. El concepto de probabilidad

47 En cualquier experimento aleatorio hay siempre incertidumbre sobre si ocurrirá un evento en particular. Como una medida de oportunidad, o probabilidad, con que esperamos que ocurra cierto evento, es conveniente asignar un numero entre 0 y 1. Si estamos seguros de que tal evento ocurrirá, decimos que tiene 100% de probabilidad o 1, pero si estamos seguros del que tal evento no ocurrirá, decimos que su probabilidad es cero. Hay dos enfoques o procedimientos importantes mediante los cuales podemos calcular la probabilidad de un evento: Enfoque Clásico: si un evento puede ocurrir en h maneras diferentes de un número total de n maneras posibles, todos ellos son igualmente probables. Entonces la probabilidad del evento es h/n. Ejemplo: supongamos que queremos saber la probabilidad de que ocurra cara en el lanzamiento sencillo de una moneda. Dado que hay dos maneras igualmente probables como puede caer una moneda, a saber: cara o sello, y que de esas dos maneras puede aparecer cara de una solo forma, deducimos que la probabilidad es de 1/2. Para llegar a esto debemos suponer que la moneda es balanceada, es decir, que no está cargada de alguna manera. Enfoque Frecuentista: Si después de n repeticiones de un experimento, donde n es muy grande, se observa que un evento ocurre h veces, entonces la probabilidad de dicho evento es h/n. Esto también se denomina la probabilidad empírica de un evento. Ejemplo: si lanzamos 1000 veces una moneda y encontramos que 532 veces obtenemos caras, estimamos que la probabilidad de que ocurra cara es de 532/1000 = 0.532 Tanto el enfoque Clásico como el Frecuentista presentan serios inconvenientes. El primero porque las palabras “igualmente probables” son vagas y el segundo porque el “número grande” es vago. Debido a estas dificultades, los matemáticos y estadísticos se han regido por el enfoque axiomático de la probabilidad. Axiomas de la Teoría de Probabilidades Supongamos que tenemos un espacio muestral S. Para cada evento del espacio muestral asociamos un numero real P(A). Entonces P se denomina la función de probabilidad, y P(A) la probabilidad del evento A. Los axiomas de las probabilidades son los fundamentos básicos de las reglas del cálculo de las probabilidades de eventos; estas reglas también se conocen como propiedades de las probabilidades y son: 1.- La probabilidad de todo evento o suceso es un número no negativo, es decir: P(A)0. 2.- La suma de las probabilidades de todos los sucesos posibles simples, de un n

experimento aleatorio es la unidad, es decir:

 P( A )  i 1

P(A3)+.............+ P(An) = 1 = S

i

P(A1) + P(A2) +

48 3.- La probabilidad de cualquier suceso varía entre 0 y 1, es decir 0  P(A)  1. 4.- La probabilidad de un evento imposible es cero, es decir:

P ()  0

Pasos para calcular la probabilidad de un evento 1.

Defina el experimento, es decir describa el proceso empleado para efectuar una observación y el tipo de observación que se registra.

2.

Enumere lo eventos simples o el espacio muestral.

3.

Asigne probabilidades a los eventos simples.

4.

Determine la colección de eventos simples contenida en el evento de interés, si se trata de un evento compuesto.

5.

Sume las probabilidades de los eventos simples para obtener la probabilidad del evento.

Ejemplo: Un dado se lanza una vez. Encuentre la probabilidad de a) que caiga un 2, b) que caiga un número par, c) que caiga un número mayor que 4. Respuesta: Los eventos simple que componen el lanzar un dado esta dado por su espacio muestral el cual es S = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Si asignamos probabilidades iguales a los puntos muestrales, es decir, si suponemos que el dado esta balanceado, entonces: P (1) = P (2) = P (3) = P (4) = P (5) = P (6) = 1/6. Ya que tenemos las probabilidades de los eventos simples resolvamos los incisos. a) Sea A el evento que caiga un 2, por tanto la probabilidad P(A) = 1/6. b) Sea B el evento que caiga un numero par, por lo tanto como hay 3 posibles número pares que son el 2, 4, 6 la probabilidad P(B) = P(2) + P(4) + P(6) =1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 =1/2. c) Sea C el evento que caiga un número mayor que 4, por lo tanto como solo hay 2 números mayor que 4 los cuales son el 5 y el 6, entonces la probabilidad P(C) = P(5) = P(6) = 2/6 = 1/3 Muchas veces se puede considerar que un evento es una composición de 2 o más eventos distintos, ya sea simple o compuestos, estos eventos los podemos formar de dos maneras: 1. La unión de dos eventos A y B es el evento que ocurre si A o B o ambos ocurren en una sola realización del experimento. La unión de A y B se denota por A  B . 2. La intersección de dos eventos A y B es el evento que ocurre si tanto A como B ocurren en una sola realización del experimento. Este se denota por A  B .

49 Regla de probabilidad para las uniones e intersecciones: Puesto que las uniones y las intersecciones de los eventos son ellas mismas eventos, siempre podremos calcular sus probabilidades sumando las probabilidades de los eventos simples que lo componen. Sin embargo cuando se conocen la probabilidad de ciertos eventos, es más fácil utilizar una de dos reglas o ambas para el cálculo de la probabilidad. Regla aditiva de la probabilidad: la probabilidad de la unión de los eventos A y B es la suma de las probabilidades del evento A más la probabilidad del evento B menos la intersección de ambos, esto es: P ( A  B )  P ( A)  P ( B )  P ( A  B )

De manera más general, si A1, A2, A3 son 3 eventos cualquiera, entonces P( A1  A2  A3 )  P( A1 )  P( A2 )  P( A3 )  P( A1  A2 )  P( A2  A3 )  P( A3  A1 )  P( A1  A2  A3 )

Ejemplo: retomemos el ejemplo de lanzar un dado, sabemos que su espacio muestral está dado por S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 y además tenemos los siguientes eventos: A = observar un número impar, B = observar un número menor que 3, calculemos la probabilidad de la unión de estos dos eventos. Tomando la ecuación anterior tenemos que P ( A  B )  P ( A)  P ( B )  P ( A  B ) , por lo tanto debemos encontrar cada una de sus probabilidades, esto es: 1 , por lo tanto 6 1 1 1 4 2 P ( A  B )  P ( A)  P ( B )  P ( A  B )      2 3 6 6 3

P ( A) 

1 , 2

1 P( B)  , 3

P ( A  B) 

Regla aditiva de probabilidad para eventos mutuamente excluyente: si dos eventos son mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de la unión es: P ( A  B )  P ( A)  P ( B ) , dado que al ser A y B excluyente la P ( A  B)  0

Ejemplo: Se lanzan dos monedas al aire al mismo tiempo, y se tienen los siguientes eventos, A: observar al menos una cara. B: observar exactamente una cara. C: observar exactamente dos caras. Calcule la probabilidad P( B  C ) Sabemos que son dos monedas y además que cada moneda tiene solo dos posibles resultados, el caer cara (C) o el caer cruz (X) por lo tanto tendremos 4 posibles resultados, ósea 4 eventos simples de los cuales formaremos nuestro espacio muestral, esto es: S = CC, CX, XC, XX. Las probabilidades de cada evento son

50 3 1 1 , P( B )  , P(C )  , como B y C no pueden ocurrir a la misma vez entonces 4 2 4 P ( B  C )  0 , entonces P( A) 

P ( A  B )  P ( A)  P ( B ) =

1 1 3   2 4 4

Probabilidad Condicionada La probabilidad de que ocurra un evento B cuando se sabe que ha ocurrido algún otro evento A, se denomina PROBABILIDAD CONDICIONADA y se designa como P(B/A). Él símbolo P(B/A) se lee como la probabilidad de que ocurra B sabiendo que ocurrió A o sencillamente probabilidad de B dado A. Se dice que la probabilidad de ocurrencia de un evento dado es condicionada, si esta se afecta por la ocurrencia de otro evento presente. Definición.- Sean A y B dos eventos asociados a un experimento aleatorio. La probabilidad que ocurra el evento B, dado que ocurrió el suceso A se llama probabilidad condicionada del suceso B, esta se simboliza por P(B/A) y se calcula mediante la fórmula:

 A  P PA AB  , Si

PB

P(A) = 0, entonces P (B/A), no está definida.

El conjunto P(AB), se le denomina probabilidad conjunta de los eventos A y B. El conjunto AB se define como la intersección de A y B, es decir, los eventos comunes entre A y B.

 A  P PA AB 

PB

o

 B   P PA B B 

PA

Ejemplo: Un curso de matemáticas avanzada está formado por 10 es, 30 ingenieros y 10 economistas. Al finalizar el curso 3 es, 10 ingenieros y 5 economistas aprueban el curso con 20 puntos. Se seleccionó un al azar un participante del mismo y se detectó que la calificación obtenida en el curso había sido de 20 puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que ese participante sea un ingeniero? Solución: si llamamos A al evento en que un participante obtuvo una calificación de 20 puntos; si denominamos como B el evento de seleccionar un ingeniero y si llamamos AB, los eventos comunes entre A y B, tenemos los siguientes sucesos: El total de participantes en este caso será el espacio muestral, que en el problema planteado es de 50, por lo tanto los diferentes eventos serán: A =  3 ist., 10 ing. 5 econ.,  ,Luego

P(A) = 18 / 50.

B =  10 ing. con 20 ptos., 20 ing., con menos de 20 ptos. .

51 AB =  10 ing. Con 20 puntos , luego

P(AB) = 10 / 50.

10 P  A  B  10 5 PB   50   , A 18 P  A 18 9 50

 

Por lo tanto 5/9=0.5556 = 55.56 %, es la probabilidad de extraer un ingeniero con 20 puntos. Regla multiplicativa de la probabilidad P(AB) = P(A) P(B/A) = P(B) P(B/B). Ejemplo: A un procesador de datos le interesa el evento de que un trabajo sea procesado inmediatamente el momento de presentarse. Este evento es la intersección de los eventos siguientes: A: la computadora está funcionando. B: el trabajo se procesa de inmediato. Además se sabe que P(A) = 0.9 y P(B/A) = 0.5. Calcule la probabilidad de que un trabajo presentado sea procesado de inmediato. P(AB) = P(A) P (B/A) = 0.5 * 0.9 = 0.45 Independencia de eventos Se dice que 2 eventos (A y B) cualesquiera son independientes si la ocurrencia de A no afecta la ocurrencia de B o viceversa. Esto es: Si P(A/B) = P(A) se dice que el evento B es dependiente del evento A. o Sí P(B/A) = P(B), se dice que el suceso B es independiente del suceso A Ejemplo: Se lanza un dado y se tienes los siguientes eventos A: se observa un número par, B:  se observa un número menor o igual a 4. ¿Son independientes A y B? Sabemos que P(A) = 1/2, P (B) = 2/3 y

P(AB) = 2/6 entonces

2 P(A  B) 1  6   P(A) . P(A/B)  4 P(B) 2 6 2 P(A  B) 2 P(B/A)   6   P(B) 3 3 P(A) 6

Por lo tanto los eventos son independientes.

Regla multiplicativa para eventos independientes

52 Si los eventos A y B son independientes, entonces la probabilidad de la intersección de A y B es: P(AB) = P(A) P(B). Ejemplo: en el ejemplo anterior demostramos que los eventos A y B eran independientes entonces: P(AB) = P(A) P(B) = (3/6) * (4/6) = 1/3

Teorema o Regla de Bayes Unos de los primeros intentos por utilizar la probabilidad para hacer inferencias es la base de una rama de la metodología estadística llamada métodos estadísticos bayesianos. Dados K estados de la naturaleza (Eventos) mutuamente excluyentes A1, A2, A3.....An y un evento observado E, entonces la P(A k /E ) para k = 1, 2, …, n es: P(A k /E) 

P(A k  E ) P(A )P(E A k ) P(A k )P( E A k )  n k  n P(E)  P( A j  E )  P( A j ) P( E A j ) j 1

j 1

Ejemplo: Suponga que la caja A contiene 3 canicas rojas y 2 azules mientras que la caja B contiene 2 canicas rojas y 8 azules. Se lanza una moneda balanceada, si se tiene cara se saca una canica de la caja A y si se obtiene cruz se saca una canica de la caja B: a-) encuentre la probabilidad de que se saque una canica roja. b-) suponga que quien lanza la moneda no revela si obtiene cara o cruz (de manera que no sabemos de cual caja se sacó la canica) pero si dice que sacó una canica roja. ¿Cuál es la probabilidad de que la canica haya sido sacada de la caja A (es decir de que la moneda sea cara). a-) Sea R:  se escoge una canica roja , C1:  se escoge de la caja A y C2:  se escoge de la caja B . Por lo tanto la probabilidad de escoger una canica roja es: P ( R )  P ( R  C1 )  P ( R  C 2 )  P (C1 ) P ( R C1 )  P (C 2 ) P ( R C 2 ) 2  1  3   1  2         5  2  3 2  2  2 8



b-) usemos la misma terminología que en el inciso a-). Busquemos la posibilidad de que la caja A haya sido escogida dado que sabemos que la persona sacó una canica roja. Usando el teorema de Bayes con n = 2, la probabilidad está dada por:

53

P  C1 R  

P(C1 ) P ( R C1 )  P(C1 ) P( R C1 )  P (C 2 ) P ( R C 2 )   

 1  3     3  2  3 2  1  3   1  2  4       2  3 2  2  28

Técnicas de Conteo o Teoría Combinatoria Algunos experimentos a veces tienen tantos eventos simples que no resulta práctico enumerarlos a todos. Sin embargo, muchos de estos experimentos tienen eventos simples con idénticas características. Las reglas de conteo nos ayudan a resolver algunos de estos problemas. Principio de Multiplicación.- El mismo está basado en el método de razonamiento del diagrama de árbol; el mismo se define así: " Si una acción puede efectuarse, de a maneras diferentes, una segunda acción puede efectuarse de b maneras diferentes, una tercera acción puede efectuarse de c maneras diferentes, y así sucesivamente para n acciones, entonces el número total de maneras diferentes en que pueden efectuarse todas estas acciones en el orden mencionado está dado por: a*b*c*...*n". Ejemplo: Un joven tiene cuatro camisas de los siguientes colores: roja (R), blanca (B), negra (N) y verde (V), también posee dos pantalones, gris (G) y azul (A). ¿De cuántas maneras pueden combinarse los pantalones con las camisas o viceversa? Camisa

Pantalones G

Arreglos RG

R A G

RA BG

B A

BA

G

NG

A

NA

G A

VG VA

J N

V

Ejemplo: Suponga que se han programado cinco vuelos espaciales distintos, cada uno de los cuales requiere de un astronauta. Se supone que ningún astronauta puede ir en más de un vuelo. ¿De cuántas formas diferentes se pueden asignar cinco de los 100 mejores astronautas del país a los cinco vuelos distintos? Resolviendo por la regla multiplicativa y tomando en cuenta que son 5 de 100 astronautas tenemos: n1 * n 2 * n3 * n 4 * n5  (100) * (99) * (98) * (97) * (96)  9,034,502,400

54 Una disposición de elementos en un orden específico se denomina Permutación. Del ejemplo anterior hay más de 9 mil millones de permutaciones distintas de 5 elementos extraídos de un conjunto de 100 elementos. Permutación: Dado un conjunto de m objetos claramente distintos, se desea seleccionar n elementos de los m y acomodarlos dentro de n posiciones. Se llaman permutaciones de esos elementos tomados de n en n, al conjunto formado por todas las colecciones de n elementos elegidos entre los elementos dados, considerando como distintas dos colecciones que difieran en algún elemento o en el orden de colocación de los mismo. N! Esta es una notación matemática que recibe el nombre FACTORIAL y se define como el producto de todos los números consecutivos decrecientes que comienzan en 1 hasta n, entonces si n es entero positivo tenemos: N! = n(n-1) (n-2) (n-3)..................1. 6! = 6x5x4x3x2x1 =720. En particular, 1! = 1; por definición, 0! = 1. Fórmula de las Variaciones:

m

Pn 

m!  m  n !

Ejemplo: Aplique la formula de la permutación para el ejemplo de los astronautas. Pn  m m  1 m  2  m  3............ m  n  2  m  n  1 m! 100! 100 * 99 * 98 * 97 * 96 * 95!  P   9,034,502,400 m Pn   m  n ! 100 5 100  5! 95! m

Combinaciones: Se llama combinación de m elementos tomados de n en n al conjunto de todas las colecciones de n elementos dados, considerando distintas, dos colecciones cuando difieran en uno o más elementos. m!

Fórmula de las combinaciones: m Cn  n! m  n !

Ejemplo: Se contrata cinco ingenieros de ventas de entre un grupo de 100 solicitantes. ¿De cuantas maneras podemos seleccionar grupos de 5 ingenieros de ventas?. m

Cn 

m! 100! 100 * 99 * 98 * 97 * 96 * 95! 100 C5    75,287,520 n! m  n ! 5!100  5! 5!*95!

Como el orden de los elementos no afecta la combinación, hay menos combinaciones que permutaciones. Algunas observaciones para calcular permutaciones y combinaciones Para diferenciar en la resolución de un problema y determinar si es una permutación o una combinación se hace lo siguiente:

55 1.-Se forma un grupo cualquiera, según el enunciado del problema y con los mismos elementos de ese grupo se trata de formar otro grupo, si se consigue formar otro grupo diferente, el problema en cuestión es una permutación, si por el contrario no se logra formar otro grupo, el problema es una combinación. Cuando en el grupo entran todos los elementos y los grupos difieran en el orden de colocación, es una permutación, de no ser así son combinaciones. 2.- Cuando una persona forma un grupo y otra persona que no haya visto la formación del mismo es capaz de decir en qué orden se colocaron los elementos, entonces se afirma que el grupo formado es una permutación, si por el contrario no se puede decir el orden de colocación de los elementos que conforman el grupo, entonces, el mismo es una combinación. Cálculo de probabilidades usando las técnicas de conteo Al resolver un problema de probabilidad debemos examinar detenidamente el experimento para determinar se es posible aplicar un o más de las técnicas de conteo que hemos visto. Ejemplo: se contrata un servicio de calificaciones de computadoras para encontrar las 3 mejores marcas de monitores EGA. Se incluirá un total de 10 marcas en el estudio. a-) ¿De cuántas formas distintas puede el servicio de calificaciones llegar al ordenamiento final? b-) Si el servicio de calificaciones no puede distinguir diferencias entre las marcas y por lo tanto obtiene el ordenamiento al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la marca de la compañía Z quede en primer lugar. Y de que quede entre los 3 primeros lugares? Solución: a-) como nos interesa el orden de calificación es una permutación, esto es 10

P3 

10! 10 * 9 * 8 * 7!   720 10  3! 7!

b-) para el cálculo de la probabilidad usaremos los 5 pasos mostrado anteriormente. 1-) El experimento consiste en seleccionar y ordenar 3 marcas de monitores EGA de entre 10 marcas. 2-) Hay demasiados eventos simples como para enumerarlos todos. Sin embargo sabemos por el inciso a-) que hay 720 resultados distintos (es decir 720 eventos simples) de este experimento. 3-) Si suponemos que el servicio de calificaciones determina el ordenamiento al azar, cada uno de los 720 eventos tendrá la misma probabilidad de ocurrir, por lo tanto P(cada evento simple) = 1/720 4-) Un evento de interés para la compañía Z es que su marca quede en primer lugar. Llamemos a este evento el evento A

56 Si la marca de la compañía Z queda en primer lugar solo hay una solo posibilidad de que esto ocurra. Por lo tanto hay 9 puestos disponibles para ocupar el segundo y el tercer lugar, entonces: 1*9 P2  1 *

9!

 9  2!

 72

Por lo tanto el evento A puede ocurrir de 72 formas.

Definamos ahora el evento B como el evento de que la marca de la compañía Z quede en uno de los 3 primeros lugares. Ahora calcularemos los posibles n eventos para los 3 primeros lugares. Ya calculamos la probabilidad para el primer lugar, haciendo lo mismo para el segundo y el tercer lugar nos daremos cuenta que hay 3*(72) formas de ocurrencia del evento B. por tanto ahora calculando las probabilidades tenemos que: P  A 

72 1  720 10

y

P B  

216 3  720 10

Ejercicios de Probabilidad Resuelva los siguientes ejercicios, analizándolos cuidadosamente. 1.-

La probabilidad de que una persona, que desea viajar a cierto lugar de Centro América, seleccione la línea aérea NICA es de 0.3; la línea aérea TACA es de 0.45 y la línea aérea LACSA es de 0.25. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente de un día determinado seleccione la línea aérea LACSA o NICA?

2.-

En Nueva Guinea disponemos de un camión de bomberos y una ambulancia de la Cruz Roja para atender las emergencias. La probabilidad de que el camión de los bomberos esté disponible es de 0.84 y la que la ambulancia esté disponible es 0.9, en el caso de que haya un herido en un incendio ¿Cuál es la probabilidad de que los dos vehículos estén disponibles?

3.-

En una farmacia se obtiene una muestra de tres frascos de medicina de forma aleatoria entre un lote recién recibido, para revisar si tiene la cantidad especificada en los documentos de remisión. La forma de clasificar los elementos es en completo e incompleto. Escriba los elementos del espacio muestral.

4.-

Si en una lista se tienen los nombres de 6 varones y 10 mujeres quienes son candidatos y candidatas para asistir a una conferencia científica, ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccionen dos mujeres? Una caja con 9 guantes de Béisbol contiene dos para jugadores zurdos y siete para derechos. a) Si se seleccionan al azar dos guantes de la caja sin reposición, ¿Cuál es la probabilidad? - Qué ambos guantes sean para jugadores derechos. - Se escogiera un guante para jugador derecho y otro para jugador zurdo.

5.-

b) Si se seleccionan tres guantes ¿Cuál es la probabilidad de que los tres sean para jugadores zurdos? c) Si se está realizando el muestreo con reposición, ¿Cuál sería la respuesta a y b?

57

6.-

Los exámenes parciales del grupo de segundo año de la carrera de istración de Empresas. Demostraron que el 12% de los estudiantes reprobaron Cálculo; el 10% Contabilidad y el 2% ambas asignaturas. ¿Son independientes los eventos?

7.-

De 400 estudiantes que ingresan a primer año en la Educación Secundaria, según el Ministerio de Educación, 100 se retiran en primer año, 70 en segundo año, 50 en tercer año y 25 en cuarto año, si selecciona un estudiante al azar cuando ingresa al primer año. ¿Cuál es la probabilidad de que este se gradúe de Bachiller?

Momentos Sean X1, X2, X3, ..........Xn, los valores que toma la variable Xi; se define entonces, momento mi de orden r con respecto al promedio aritmético ( X ) de los valores de la variable Xi elevados a la potencia r; siendo r cualquier valor comprendido entre,1 , 2, 3,....,n. Matemáticamente: mi

(X 

i

 X )r

n

Si r = 1 entonces Si r = 2 entonces

m1 m2

(X  X )   ( Xn  X ) 

1

i

i

n

2

0  S2

o sea es igual a la varianza

Medidas de Asimetría y Kurtosis Simetría: En estadística se dice que una distribución de datos es simétrica si se le puede doblar a lo largo de un eje vertical de una manera tal que coincidan los dos lados de la distribución. Las distribuciones que no tienen simetría con respecto al eje vertical se les llama sesgada o asimétrica. Una distribución sesgada a la derecha tiene una cola prolongada del lado derecho de la distribución y una cola más corta del lado izquierdo de la misma; esta asimetría se le denomina positiva, cuando la cola de la distribución del lado izquierdo es más larga que la del lado derecho, entonces la asimetría es negativa. En una distribución simétrica la media, la mediana y la moda son iguales. La simetría se mide por medio del coeficiente de asimetría. Una distribución simétrica tiene un coeficiente de asimetría igual a cero. Cuando una distribución de frecuencia es asimétrica, la media, la mediana y la moda se alejan una de otra, es decir, las tres medidas de posición son diferente; mientras más se separe la media de la moda, mayor es la asimetría. Si la distribución de frecuencia es asimétricamente negativa, la cola de la curva de distribución se encuentra hacia los valores más pequeños de la escala de las X y si la distribución es asimétricamente positiva la cola de la distribución se ubica hacia los valores más grandes de la escala de las X.

58 Karl Pearson un estudioso de la estadística designó el coeficiente de asimetría con las letras SK y determinó la fórmula para su cálculo, al cual se le denominó primer coeficiente de asimetría de Pearson Si SK = 0, entonces la distribución es simétrica. SK 

3( X  Md ) S

Si SK > 0, entonces la distribución es asimétrica a la derecha. Si SK < 0, entonces la distribución es asimétrica a la izquierda. Kurtosis: Es el grado de apuntamiento o altura de la curva de una distribución de frecuencia. La finalidad de la Kurtosis es determinar si la distribución de los términos de una serie de valores responde a una curva normal o no. Por medio de la Kurtosis se determinará si la distribución de frecuencia es demasiado puntiaguda, normal o muy achatada. El grado de apuntamiento o altura de una curva de distribución se determina por medio del coeficiente de Kurtosis, el cual se calcula utilizando el momento cuatro de una serie de valores con respecto a su media aritmética. La Kurtosis se designa con la letra K 4 y la fórmula de cálculo es:

m4 S4 En esta fórmula m4 es el momento cuatro con respecto a la media aritmética y S 4 es la desviación típica elevada a la cuarta potencia, K 4 es el coeficiente de Kurtosis. Tomando en cuenta la Kurtosis el k4 de una curva de distribución puede ser: Mesocurtica, Platicurtica y Leptocurtica. K4 

Mesocurticas.- Es aquella curva de una distribución de frecuencia que no es ni muy alta ni muy achatada, es la llamada curva normal. La curva Mesocurtica tiene un coeficiente de Kurtosis igual a tres, es decir, K4 = 3. Leptocurtica.- Es aquella curva de la distribución que presenta un apuntamiento o altura relativamente más alta que la curva Mesocurtica, en esta los datos se encuentran más concentrados alrededor del máximo valor. El coeficiente de Kurtosis para curva Leptocurtica es mayor de tres, es decir, K4  3. Platicurtica.- Es la curva de una distribución de frecuencia que presenta un achatamiento más pronunciado que la Mesocurtica, encontrándose los datos más dispersos alrededor del máximo valor de la distribución. En esta curva el coeficiente de Kurtosis es menor de tres, es decir, K4  3.

59 En la gráfica 1 de Kurtosis se pueden observar los tres tipos de Kurtosis antes descritos, siendo la primera curva Platicurtica (la más baja), la segunda Mesocurtica (la de en medio) y la última es Leptocurtica (la más alta):

KURTOSIS

1° PLATIKURTICA 2° MESOKURTICA 3° LEPTOKURTICA

Ejemplo: Para los siguientes datos calcule la simetría y la Kurtosis: 3, 2, 0, 15, 2, 3, 4, 0, 1, 3. Cálculo de la simetría: La media es X  3.3 , La moda es Mo  3 y la desviación típica es S  4.3 , entonces SK 

3( X  Md ) 3(3.3  2.5)  0.558 S 4.3

Por lo tanto la el conjunto de datos es asimétrica a la derecha Cálculo de la Kurtosis: Como ya sabemos el valor de S solo nos falta calcular el valor del cuarto momento y esto se hace así: m4

(X 

i

 X )4

n

4 4 4  3  3.3   2  3.3     3  3.3 

10

 1900.978

Por lo tanto

K4 

m4 1900.978   5.56 S4 4.34

Como K4 es mayor que 3 entonces la distribución es Leptocurtica UNIDAD No. V VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

MODELOS DE PROBABILIDAD

60 Modelo de Bernouilli ● Corresponde a experimentos como el lanzamiento de una moneda. Sirve de modelo para muchas situaciones en las que sólo puede haber dos posibles resultados complementarios (A y no A): uno de ellos con probabilidad p y el otro con probabilidad (1-p). Ejemplos: - Inspeccionar un objeto para ver si es o no es defectuosos. - Preguntar a una persona si tiene o no tiene trabajo - Comprobar si una empresa está o no está en quiebra - Ver si un alumno apruebe o no aprueba un examen ●

Normalmente se denomina éxito (x=1) al suceso con probabilidad p y fracaso (x=0) al suceso con probabilidad 1-p. Por tanto, diremos que una variable aleatoria x tiene una distribución de Bernouilli si:

P { e x ito }  P { x  1}  p P { fr a c a s o }  P { x  0}  1  p ●

Si x es una variable aleatoria con distribución de Bernouilli su media será:

m

x



k



x i p i  1  p  0  (1  p )  p

i1

y su desviación típica:

x 

k



x i2 p i  m

2 x



1 2  p  0 2  (1  p )  p

2



p  p

2



i1



p (1  p )

Ejemplo: Sabemos que una máquina produce un 3% de piezas defectuosas. La variable es x=1 si la pieza no es defectuosa y x=0 si la pieza es defectuosa, es decir:

P { x  0 }  1  p  0 ,0 3 P { x  1}  p  0 ,9 7 La variable x sigue una distribución de Bernouilli con p=0,97, luego:

61

m

x

 p  0 ,9 7

x 

p (1  p ) 

0 , 9 7  0 , 0 3  0 ,1 7 0 6

La distribución Binomial ●

Se repite n veces de forma independiente un experimento de Bernouilli con probabilidad de éxito igual a p. La variable aleatoria x que expresa el número de “éxitos” obtenidos en este proceso sigue una distribución binomial con parámetros n y p: B(n,p). Ejemplo: En un país en el que está en paro el 25% de la población activa, se realiza una encuesta sobre distintos temas a 12 personas. La variable aleatoria x que expresa el nº de encuestados que están en paro sigue una binomial con parámetros n=12 y p=0,25, es decir, una B(12,0,25). ●

La distribución de Bernouilli es B(1,p), un caso particular de la binomial en que el experimento se realiza una sóla vez.

●

Para conocer la distribución de una variable binomial x tendremos que especificar la probabilidad de que tome cualquier valor k entre 0 y n. La Tabla 1 del Apéndice B de Peña y Romo, presenta la probabilidad de k éxitos en una B(n,p), para distintos valores de n y de p. Ejemplo: (continuación del B(12,025)) La probabilidad de que al realizar la encuesta se pregunte a 4 personas en paro (es decir, P(x=4)) se puede encontrar en la Tabla 1 (con n=12, k=4 y p=0,25) y es igual a 0,1936.

●

Si x es una variable B(n, p) su media, varianza y desviación típica serán:

m x  np



2 x

 n p (1  p )

x 

n p (1  p )

Para un valor de n, la dispersión es máxima cuando p=0,5. Ejemplo: (continuación del B(12,025))

m

x

 n p  1 2  0 ,2 5  3

x 

n p (1  p ) 

1 2  0 , 2 5  ( 1  0 , 2 5 )  1 ,5

62

●

La forma de la distribución depende del valor de p: si es menor que 0,5 es asimétrica a la derecha, si es mayor que 0,5 asimétrica a la izquierda y si es igual a 0,5 es simétrica.

Ejercicio 16.2 (Peña y Romo) Se sabe que el 40% de los habitantes de una ciudad consumen café diariamente: a) Se pregunta a una persona si toma café a diario. La variable aleatoria x1 vale 1 si la respuesta es afirmativa y 0 en caso contrario. Hallar la media y la desviación típica de x1. La distribución de x1 es una Bernoulli con p=0,4: x 1  1 con probabilidad p=0,4 Si toma café: Si no toma café: Luego:

m

x1

 p  0 ,4



x1



x1  0

p (1  p ) 

con probabilidad 1-p=0,6

0 ,4  0 ,6  0 ,4 8 9 9

b) Se encuesta a 20 personas sobre su consumo diario de café. Sea x el nº de personas encuestadas que consume café a diario. Calcular la probabilidad de que x sea igual a 12. Hallar la media y desviación típica de x. Obtener la probabilidad de que nadie tome café a diario y de que lo hagan al menos tres personas. La variable aleatoria x sigue una distribución B(20,0,4) (n=20 y p=0,4). Mirando en la Tabla 1 para k=12, n=20 y p=0,4 tenemos que:

P ( x  1 2 )  0 ,0 3 5 5

La media y desviación típica de x son:

m

x

 n p  2 0  0 ,4  8

x 

n p (1  p ) 

2 0  0 , 4  ( 1  0 , 4 )  2 ,1 9 0 8

La probabilidad de que ninguna persona tome café diariamente, es decir, P ( x  0 ) podemos encontrarla en la Tabla 1 para k=0, n=20 y p=0,4:

P (x  0)  0

La probabilidad de que al menos tres personas tomen café a diario será:

P (x  3)  1  P (x  3)  1  P (x  0)  P (x  1)  P (x  2 )

63 Mirando en la Tabla 1 los valores para k=0, k=1 y k=2 (para n=20 y p=0,4) tenemos:

P ( x  3 )  1  ( 0  0 ,0 0 0 5  0 ,0 0 3 1 )  0 ,9 9 6 4

Ejercicio 16.3 (Peña y Romo) Un partido político consigue el 20% de los votos en unas elecciones. Se realiza una encuesta a 15 personas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya entre ellas ningún votante del partido? Sea x el nº de votantes del partido entre los encuestados, que sigue una distribución B(15,0,2) (n=15 y p=0,2), entonces nos piden P ( x  0 ) . Si miramos en la Tabla 1 para k=0, n=15 y p=0,2, tendremos:

P ( x  0 )  0 ,0 3 5 2

b) Hallar la probabilidad de que no haya más de 3 votantes de ese partido.

P ( x  3)  P (x  0)  P (x  1)  P (x  2 )  P (x  3)

Si miramos los valores en la Tabla 1 para k=0,1,2 y 3 (para n=15 y p=0,2) obtenemos:

P ( x  3 )  0 , 0 3 5 2  0 ,1 3 1 9  0 , 2 3 0 9  0 , 2 5 0 1  0 , 6 4 8 1

c) Obtener la probabilidad de que al menos tres personas voten a dicho partido

P ( x  3)  1  P ( x  3)  1  P (x  0)  P (x  1)  P (x  2 )   1  ( 0 , 0 3 5 2  0 ,1 3 1 9  0 , 2 3 0 9 )  0 , 6 0 2

d) Calcular la media y la desviación típica del nº de votantes entre los 15 encuestados.

m 

x x

 n p  1 5  0 ,2  3  n p ( 1  p )  1 5  0 , 2  ( 1  0 , 2 )  1 ,5 4 9

Ejercicio 16.5 (Peña y Romo) Un examen consta de 15 preguntas cada una de las cuales tiene 4 posibles respuestas. Una persona sin conocimientos del tema responde las preguntas al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que acierte la respuesta si contesta sólo una pregunta?

P ( a c e r t a r )  p  1 / 4  0 ,2 5

b) Hallar la probabilidad de que dicha persona no conteste bien a ninguna de las 15 preguntas. Calcular la probabilidad de que acierte alguna. Sea la variable aleatoria x el nº de aciertos en las 15 preguntas que sigue una distribución B(15,0,25) (n=15 y p=0,25). Nos piden la probabilidad de que no acierte ninguna, es decir, P ( x  0 ) que, mirando en la Tabla 1 para k=0, n=15 y p=0,25, será:

P ( x  0 )  0 ,0 1 3 4

La probabilidad de que acierte alguna será:

P ( x  1 )  1  P ( x  1 )  1  P ( x  0 )  1  0 ,0 1 3 4  0 ,9 8 6 6

c) Obtener la probabilidad de que responda bien a todas las preguntas. Mirando en la Tabla 1 para k=15, n=15 y p=0,25, tendremos que:

P (x  15)  0

64 d) ¿Cuál es la probabilidad de que conteste acertadamente a más de la mitad de las cuestiones? Mirando en la Tabla 1 para k=8,9,..,15, (para n=15 y p=0,25), tendremos que:

P ( x  8 )  P ( x  8 )  P ( x  9 )  . . . P ( x  1 5 )   0 ,0 1 3 1  0 ,0 0 3 4  0 ,0 0 0 7  0 ,0 0 0 1  0 ,0 1 7 3

e) ¿Cuál es la probabilidad de que el nº de preguntas acertado sea distinto de tres?

P (x  3)  1  P (x  3) Mirando en la Tabla 1 para k=3 (para n=15 y p=0,25), tendremos que:

P ( x  3 )  1  0 ,2 2 5 2  0 ,7 7 4 8

Ejercicio 16.9 (Peña y Romo) El 25% de las personas con tarjeta de crédito liquidan sus pagos cada mes. Se pregunta a 15 personas con tarjeta. a) Hallar el nº esperado entre ellos que liquidan sus deudas cada mes. ¿Cuál es la desviación típica de esta variable? Sea x el nº de personas (de entre los 15) que liquidan sus deudas cada mes que se distribuye como una B(15,0,25) (n=15 y p=0,25). Por tanto:

m 

x x

 n p  1 5  0 ,2 5  3 ,7 5  4  n p (1  p )  1 5  0 ,2 5  (1  0 ,2 5 )  1 ,6 7 7

b) Obtener la probabilidad de que ninguno pague todas sus deudas mensualmente. Nos piden P ( x  0 ) que, mirando en la Tabla 1 para k=0, n=15 y p=0,25, será:

P ( x  0 )  0 ,0 1 3 4

c) Calcular la probabilidad de que el nº de personas encuestadas que liquida mensualmente las deudas supere en más de una desviación típica al valor esperado.

m x   x  3 ,7 5  1 ,6 7 7  5 ,4 2 7 P ( x  6 )  P ( x  6 )  P ( x  7 )  . . . P ( x  1 5 )   0 ,0 9 1 7  0 ,0 3 9 3  0 ,0 1 3 1  0 ,0 0 3 4  0 ,0 0 0 7  0 ,0 0 0 1   0 ,1 4 8 3 La distribución geométrica ●

Supongamos que un experimento Bernouilli se repite hasta que aparece el primer éxito. Se llama distribución geométrica a la de una variable x que expresa el instante en que ocurre el primer “éxito”. Por ejemplo, el nº de personas a las que hay que entrevistar hasta encontrar una que esté en paro.

●

Esta distribución depende sólo de la probabilidad p de obtener “éxito” en cada ensayo y se representa como G(p). La probabilidad de que el primer éxito surja en el instante k es:

P ( x  k )  p ( 1  p ) k 1

k  1 ,2 , . . .

65 Ejemplo: Si la probabilidad de que una persona esté en paro es p=0,25, la probabilidad de que haya que realizar 6 entrevistas hasta encontrar una persona en paro es:

P ( x  6 )  0 ,2 5 ( 1  0 ,2 5 ) 6 1  0 ,0 5 ●

Si x es una variable G(p) su media y desviación típica serán:

m

1 p



x

1 p p2

x 

Ejemplo: (continuación) El número medio de entrevistas que habrá que realizar para encontrar una persona en paro será:

m

x



1 1   4 p 0 ,2 5

y la desviación típica es:

x 

1 p  p2

1  0 ,2 5  3 ,4 6 0 ,2 5 2

Ejercicio 16.4 (Peña y Romo) En base al Ejercicio 16.3 (un partido político obtiene el 20% de los votos), se pide: a) Obtener la probabilidad de que el primer votante del partido al que se pregunta sea la tercera persona entrevistada. Sea x la variable aleatoria que representa el número de entrevistas que habrá que realizar hasta encontrar al primer votante del partido que sigue una distribución G(0,20). Entonces:

P ( x  3 )  p ( 1  p ) k  1  0 , 2 ( 1  0 , 2 ) 3  1  0 ,1 2 8 b) ¿Cuál es el número medio de personas que hay que entrevistar hasta llegar al primer votante del partido?

m c)

x



1 1   5 p 0 ,2

personas

Hallar la probabilidad de que sean necesarias más de 6 entrevistas para llegar al primer votante del partido.

P ( x  6 )  1  P ( x  6 )  1  [ P ( x  1 )  P ( x  2 )  . . . P ( x  6 ) ]   1  [ 0 , 2  0 ,8 0  0 , 2  0 ,8 1  . . . 0 , 2  0 ,8 5 ]  0 , 2 6 2 1

Ejercicio 16.6 (Peña y Romo) En base al Ejercicio 16.5 (un examen en el que cada pregunta tiene 4 posibles respuestas), y suponiendo que el examinado contesta tantas preguntas como sea necesario, se pide: a) Calcular la probabilidad de que la primera pregunta acertada sea la quinta. Sea x la variable aleatoria que representa el número de preguntas que habrá que contestar hasta acertar la primera respuesta que sigue una distribución G(0,25). Entonces:

66

P ( x  5 )  p ( 1  p ) k 1  0 ,2 5 ( 1  0 ,2 5 ) 5 1  0 ,0 7 9 1 b)

m

¿Cuál es el número esperado de preguntas que debe responder hasta contestar una correctamente?



x

1 1   4 p 0 ,2 5

preguntas

La distribución de Poisson ● Una variable aleatoria x con distribución de Poisson expresa el nº de “sucesos raros” que ocurren en una proporción fija de espacio o de tiempo. Por ejemplo, el nº de accidentes en un día, el nº de llamadas a un teléfono en una hora, nº de erratas por página en un libro… ●

La intensidad con que aparecen dichos sucesos se representa mediante el parámetro positivo λ.

●

La probabilidad de que x tome el valor k en una distribución de Poisson con parámetro de intensidad λ puede verse en la Tabla 2 del Apéndice B (de Peña y Romo).

Ejemplo 16.3 de Peña y Romo: La variable aleatoria x, con distribución de Poisson con parámetro λ=0,8, representa el número de accidentes diarios en una ciudad. La probabilidad de que hoy ocurran exactamente 3 accidentes será (ver Tabla 2 con k=3 y λ=0,8):

P ( x  3 )  0 ,0 3 8 3

●

Si x es una variable con distribución Poisson su media y varianza serán:

m

x

 

2 x

 

y su desviación típica

x 



Ejemplo 16.4 de Peña y Romo: El número medio de errores que comete una persona al mecanografiar una página es 2. Si suponemos que la distribución de x (errores al mecanografiar una página) es de Poisson entonces, la probabilidad de que en una página no haya ningún error será (ver Tabla 2 con k=0 y λ=2):

P ( x  0 )  0 ,1 3 5 3 Ejercicio 16.7 (Peña y Romo) El número de clientes x que llegan a la caja de un supermercado en un cuarto de hora sigue una distribución de Poisson con media 5. a) Hallar la probabilidad de que lleguen al menos 4 personas en un cuarto de hora.

67

m

La variable x sigue una distribución de Poisson con (mirar las probabilidades en la Tabla 2 para

  5

x

   5

. Se pide

y k=0,1,2 y 3):

P ( x  4 )  1  P ( x  4 )  1  [ P ( x  0 )  P ( x  1)  P ( x  2 )  P ( x  3)]   1  ( 0 , 0 0 6 7  0 , 0 3 3 7  0 , 0 8 4 2  0 ,1 0 4 )  0 , 7 3 5 b) Obtener la probabilidad de que no llegue nadie a la caja en un cuarto de hora.

P ( x  0 )  0 ,0 0 6 7

c) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen entre 2 y 4 clientes a la caja en un cuarto de hora?

P (2  x  4 )  P (x  2 )  P (x  3)  P (x  4 )   0 , 0 8 4 2  0 ,1 4 0 4  0 ,1 7 5 5  0 , 4 0 0 1

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS La distribución normal o gaussiana ● Se utiliza como modelo para variables como el peso, la altura, la calificación en un examen…, es decir, en variables cuya distribución es simétrica con respecto a un valor central (alrededor del cual toma valores con gran probabilidad) y apenas aparecen valores extremos. ●

Si una variable aleatoria x tiene distribución normal suele representarse como N(m,σ) donde m=mx es la media o valor esperado de la variable y σ= σx es la desviación típica de la variable, que son los dos parámetros que caracterizan la distribución normal. Ver en Figuras 18.2 y 18.3 la densidad de una variable normal.

●

En la distribución normal, la mayoría de la probabilidad se concentra en la zona central. Ver Figura 18.5 Ejercicio 18.8 (Peña y Romo) El peso de los atletas de pruebas de medio fondo sigue una distribución normal con media 64,3 kilos y desviación típica 2,3 kilos. Hallar un intervalo centrado alrededor de la media que contenga: a) El 68,3% de la población. En la distribución normal se concentra el 68,3% de la probabilidad en el intervalo de valores

m

x

comprendido

 6 4 ,3

 x  2 ,3

entre será:

m x 

x

y

m x 

x

.

En

este

caso

como

68

m x 

x

 6 4 ,3  2 ,3  6 6 ,6

m x 

x

 6 4 ,3  2 ,3  6 2

b) El 95,5% de la población. En la distribución normal se concentra el 95,5% de la probabilidad en el intervalo de valores comprendido entre

m x  2 m x  2

m x  2

x

m x  2

y

x

. Luego será:

 6 4 ,3  2  2 ,3  6 8 ,9  6 4 ,3  2  2 ,3  5 9 ,7

x x

c) El 99,7% de la población En la distribución normal se concentra el 99,7% de la probabilidad en el intervalo de valores comprendido entre

m x  3 m x  3 ●

m x  3

x

y

m x  3

x

. Luego será:

 6 4 ,3  3  2 ,3  7 1 ,2  6 4 ,3  3  2 ,3  5 7 ,4

x x

Las transformaciones lineales de una variable que sigue una distribución normal, también tendrán una distribución normal. Es decir: x es N ( m

x

, x )

entonces y=ax+b será N ( a

m x b,a x)

Ejemplo: La variable x que expresa el tiempo en horas que tarda un empleado en hacer una tarea sigue una distribución normal con

m

x

 1 ,5

y

 x  0 ,1

.

¿Cómo será la distribución de la variable y que expresa lo mismo pero en minutos? y  6 0 x luego seguirá una distribución normal con:

m

y

 60m

x

 6 0  1 ,5  9 0

 y  6 0  x  6 0  0 ,1  6 ●

Si tipificamos una variable x con una distribución N ( m

z 

x  m x

x

x

, x )

la nueva variable

tiene una distribución N(0,1) o normal estándar.

● La Tabla 3 del Apéndice B (Peña y Romo) nos proporciona la probabilidad de que una variable z con una distribución N(0,1) tome un valor menor que una cierta cantidad, es decir P ( z  b ) . A partir de ellas también podremos obtener:

P (z  a )  1  P (z  a ) P (a  z  b )  P (z  b )  P (z  a )

Ver Figura 18.7

69

Ejemplo: Sea z una variable normal estándar - P ( z  1 , 3 5 )  0 , 9 1 1 5 (mirar en la fila de 1,3 y en la columna de 0,05) - P ( z  0 , 8 6 )  1  P ( z  0 , 8 6 )  1  0 , 8 0 5 1  0 ,1 9 4 9 (mirar en la fila de 0,8 y columna de 0,06) - P (  0 , 3  z  0 ,8 3 )  P ( z  0 ,8 3 )  P ( z   0 , 3 ) 

 0 ,7 9 6 7  0 ,3 8 2 1  0 ,4 1 0 5

(mirar en la fila de 0,8 y columna de 0,03 y en la fila de –0,3 y columna de 0,00) Ejercicio 18.2 (Peña y Romo) Si z es una variable normal estándar hallar: a) P ( z  2 , 2 3 )  0 , 9 8 7 1 b) P ( z  3 , 4 8 )  0 , 9 9 9 7 c) P ( z   1 , 7 6 )  0 , 0 3 9 2 d) P ( z  2 , 4 5 )  1  P ( z  2 , 4 5 )  1  0 , 9 9 2 9  0 , 0 0 7 1 e) P ( z  3 , 2 3 )  1  P ( z  3 , 2 3 )  1  0 , 9 9 9 4  0 , 0 0 0 6 f) P ( z   3 , 0 7 )  1  P ( z   3 , 0 7 )  1  0 , 0 0 1 1  0 , 9 9 8 g) P ( 1 , 1 3  z  2 , 6 9 )  P ( z  2 , 6 9 )  P ( z  1 , 1 3 ) 

9

 0 , 9 9 6 4  0 , 8 7 0 8  0 ,1 2 5 6 h) P (  0 , 8 6  z  1 , 2 8 )  P ( z  1 , 2 8 )  P ( z   0 , 8 6 )   0 , 8 9 9 7  0 ,1 9 4 9  0 , 7 0 4 8 i) P (  2 , 9 8  z   1 , 3 2 )  P ( z   1 , 3 2 )  P ( z   2 , 9 8 )   0 ,0 9 3 4  0 ,0 0 1 4  0 ,0 9 2 Ejercicio 18.6 (Peña y Romo) Hallar el valor a de la variable z normal estándar tal que: a) P ( z  a )  0 , 2 0 3 3

a   0 ,8 3 b) P ( z  a )  0 , 7 7 3 4 a  0 ,7 5 c) P ( z  a )  0 , 9 2 2 Sabemos que P ( z  a )  1  P ( z  a ) P ( z  a )  1  0 ,9 2 2  0 ,0 7 7 8 a   1 ,4 2 d) P ( z  a )  0 , 0 3 1 4 Sabemos que P ( z  a )  1  P ( z  a ) P ( z  a )  1  0 ,0 3 1 4  0 ,9 6 8 6 a  1 ,8 6

luego:

luego:

● Como al tipificar cualquier variable x con una distribución N (

m x , x )

, obtenemos

una variable z con una distribución normal estándar, podremos calcular probabilidades para cualquier variable normal usando la Tabla 3.

70 ● Si x tiene una distribución N ( m

x

, x )

, podremos calcular

P (x  b)

de la siguiente

manera:

 x  m  x

P (x  b)  P 

x



 b  m x b  m x   P z   x  x  

y calcular esta probabilidad con la Tabla 3. Ejemplo: Si x tiene una distribución N ( 3 , 2 , 1 , 2 2 ) , entonces:

 x  3 ,2 3 ,4 5  3 ,2     P  z  0 ,2 0   0 ,5 7 9 3  1 ,2 2 1 ,2 2  El valor de P  z  0 , 2 0  se busca en la Tabla 3  2 ,9 2  3 ,2 x  3 ,2 3 ,4 3  3 ,2    - P ( 2 ,9 2  x  3 ,4 3 )  P     1 ,2 2 1 ,2 2 1 ,2 2   P   0 , 2 2  z  0 ,1 9    P ( z  0 ,1 9 )  P ( z   0 , 2 2 )   0 , 5 7 5 3  0 , 4 1 2 9  0 ,1 6 2 4 Si x tiene una distribución N ( m x ,  x ) e y una distribución N ( m y ,  y ) -P

●

( x  3 ,4 5 )  P 

independientes, entonces x+y tendrá una distribución N ( m Ejercicio 18.4 (Peña y Romo) Si x es una variable N ( 8 , 4 7 ; 1 , 1 a) P ( x  9 , 1 2 )

5)

x

 m y ,  x2   y2 )

, hallar:

 x  8 , 4 7 9 ,1 2  8 , 4 7     P  z  0 ,5 6   0 , 7 1 2 3  1 ,1 5  1 ,1 5

P ( x  9 ,1 2 )  P  b)

P ( x  1 2 ,3 4 )

 x  8 ,4 7 1 2 ,3 4  8 ,4 7     P  z  3 ,3 6   0 ,9 9 9 6  1 ,1 5  1 ,1 5

P ( x  1 2 ,3 4 )  P  c)

P ( x  6 ,4 2 )

6 ,4 2  8 ,4 7   P ( x  6 ,4 2 )  P  z     1 ,1 5 d) P ( x  1 0 , 5 3 ) 1 0 ,5 3  8 ,4 7  P ( x  1 0 ,5 3 )  P  z   1 ,1 5 e)

 P  z   1 ,7 8   0 ,0 3 7 5 

  P  z  1 ,7 9   

 1  P ( z  1 ,7 9 )  1  0 ,9 6 3 3  0 ,0 3 6 7 P ( x  1 2 ,6 2 )

y son

71

1 2 ,6 2  8 ,4 7  P ( x  1 2 ,6 2 )  P  z   1 ,1 5  1  P ( z  3 ,6 1 )  1  f)

P ( x  4 ,0 1 )



  P z  3 ,6 1   

1  0

4 ,0 1  8 ,4 7   P ( x  4 ,0 1 )  P  z    P  z   3 ,8 8     1 ,1 5  1  P ( z   3 ,8 8 )  1  0  1 g)

P ( 6 ,1 2  x  1 1 , 9 2 )

1 1 ,9 2  8 ,4 7   6 ,1 2  8 , 4 7  z      1 ,1 5 1 ,1 5  P  2 ,0 4  z  3    P ( z  3 )  P ( z   2 ,0 4 )   0 ,9 9 8 7  0 ,0 2 0 7  0 ,9 7 8

P ( 6 ,1 2  x  1 1 , 9 2 )  P 

h)

P ( 7 ,5 2  x  1 0 , 3 2 )

1 0 ,3 2  8 ,4 7   7 ,5 2  8 , 4 7  z      1 ,1 5 1 ,1 5  P   0 ,8 3  z  1 ,6 1    P ( z  1 , 6 1 )  P ( z   0 ,8 3 )   0 ,9 4 6 3  0 ,2 0 3 3  0 ,7 4 3

P ( 7 ,5 2  x  1 0 ,3 2 )  P 

i)

P ( 5 ,0 6  x  6 ,8 4 )

6 ,8 4  8 , 4 7   5 ,0 6  8 ,4 7  z      1 ,1 5 1 ,1 5  P  2 ,9 6  z   1 ,4 2    P ( z   1 ,4 2 )  P ( z   2 ,9 6 )   0 ,0 7 7 8  0 ,0 0 1 5  0 ,0 7 6 3

P ( 5 , 0 6  x  6 ,8 4 )  P 

Ejercicio 18.7 (Peña y Romo) Si x es una variable con distribución N(4,3;1,2) hallar el valor de a tal que: c) P ( x  a )  0 , 7 3 8 9

a  4 ,3   x  4 ,3 a  4 ,3      P z    0 ,7 3 8 9  1 ,2  1 ,2  1 ,2 

P (x  a)  P  luego:

72

a  4 ,3  0 ,6 4  a  0 ,6 4  1 ,2  4 ,3  5 ,0 6 8 1 ,2 d) P ( x  a )  0 , 6 1 7 9 a  4 ,3   x  4 ,3 a  4 ,3   P (x  a)  P     P z    0 ,6 1 7 9  1 ,2  1 ,2  1 ,2  luego:

a  4 ,3  0 ,3  a  0 ,3  1 ,2  4 ,3  4 ,6 6 1 ,2 a) P ( x  a )  0 , 2 9 8 1 a  4 ,3  a  4 ,3    P (x  a)  P  z    1 P z    0 ,2 9 8 1   1 ,2  1 ,2  luego:

a  4 ,3   P z    1  0 ,2 9 8 1  0 ,7 0 1 9  1 ,2  a  4 ,3  0 ,5 3  a  0 ,5 3  1 , 2  4 , 3  4 , 9 3 6 1 ,2 b) P ( x  a )  0 , 5 8 7 1 a  4 ,3  a  4 ,3    P (x  a)  P  z    1 P z    0 ,5 8 7 1   1 ,2  1 ,2  luego:

a  4 ,3   P z    1  0 ,5 8 7 1  0 , 4 1 2 9  1 ,2  a  4 ,3   0 ,2 2  a   0 ,2 2  1 ,2  4 ,3  4 ,0 3 6 1 ,2

Ejercicio 18.3 (Peña y Romo) La variable x que expresa la altura en metros de los jugadores de baloncesto tiene una distribución normal con media mx=1,89 y desviación típica σx=0,07. Si la variable y es la altura en centímetros: a) Escribir la relación entre x e y.

y  100x

b) Obtener la distribución de y. Como y es una transformación lineal de una variable con distribución normal tendrá una distribución N( m y ,  y ) con:

m y  1 0 0 m x  1 0 0  1 ,8 9  1 8 9  y  1 0 0  x  1 0 0  0 ,0 7  7

c) Hallar la probabilidad de que un jugador de baloncesto elegido al azar mida más de 180 centímetros.

73

180 189  P (y  180)  P  z    1  P  z   1 , 2 8   1  0 ,1 0 0 3  0 , 8 9 9 7   7 Aproximación mediante la normal ● Si x tiene una distribución B ( n

,p)

entonces la variable tipificada

x  np n p (1  p )

tiene una distribución próxima a la normal estándar. La aproximación será buena si n>30 y tanto np como n(1-p) son mayores o iguales que 5. ●

Podremos entonces calcular probabilidades de x aproximándolas mediante la normal estándar (usando los valores de la Tabla 3).

●

Si x es una variable discreta (la binomial) e y una variable continua (la normal) si queremos aproximar probabilidades de x mediante y funcionará mejor si hacemos la corrección por continuidad: P ( a  x  b ) → P ( a  0 ,5  y  b  0 ,5 )

P (x  b) P (x  a)

( y  b  0 ,5 ) → P ( y  a  0 ,5 )

→P

Ejemplo: El 35% de los habitantes de una ciudad votan a un partido. Se hace una encuesta a 200 personas. La variable x que representa el nº de personas encuestadas que vota al partido sigue una distribución B(n=200;p=0,35). Por tanto:

m x  n p  2 0 0  0 ,3 5  7 0  x  n p (1  p )  2 0 0  0 ,3 5  (1  0 ,3 5 )  6 ,7 4

Queremos saber la probabilidad de que haya entre 82 y 106 votantes del partido: P ( 8 2  x  1 0 6 ) . Podemos aproximarla por la normal estándar (n=200>30; np=70>5 y n(1-p)=130>5) para lo que haremos la corrección por continuidad y tipificaremos la variable:

1 0 6  0 ,5  7 0   8 2  0 ,5  7 0  z      6 ,7 4 6 ,7 4  P (1 ,7 0  z  5 ,4 1 )  P ( z  5 ,4 1 )  P ( z  1 ,7 0 )   1  0 ,9 5 5 4  0 ,0 4 4 6

P (8 2  x  1 0 6 )  P 

Ejercicio 18.9 (Peña y Romo) El 40% de los relojes que se venden en una tienda son digitales y el resto analógicos. Se consideran las ventas de los 100 próximos relojes. a) Hallar el nº esperado de relojes digitales que se venderán entre los 100. ¿Cuál es la desviación típica? La variable aleatoria x representa el nº de relojes digitales vendidos entre los 100 próximos. Sigue una distribución B(100,0,4).

74

m  n p  1 0 0  0 ,4  4 0   n p (1  p )  1 0 0  0 ,4  (1  0 ,4 )  4 ,9 x

x

b) Obtener la probabilidad de que se vendan entre 30 y 50 digitales.

5 0  0 ,5  4 0   3 0  0 ,5  4 0  z      4 ,9 4 ,9  P (  2 ,1 4  z  1 , 9 4 )  P ( z  1 , 9 4 )  P ( z   2 ,1 4 ) 

P (30  x  5 0)  P 

 0 ,9 7 3 8  0 ,0 1 6  0 ,9 5 7 8 c) Calcular la probabilidad de que se vendan al menos 15 relojes digitales.

1 5  0 ,5  4 0   P (x  15)  P  z    P ( z   5 ,2 0 )    4 ,9  1  P ( z   5 ,2 0 )  1  0  1 d) Hallar la probabilidad de que no se vendan más de 60 relojes digitales.

6 0  0 ,5  4 0   P (x  60)  P  z    P ( z  4 ,1 8 )  1   4 ,9

Ejercicio 18.10 (Peña y Romo) Una empresa tiene 2000 trabajadoras de las que el 60% son mujeres. Se encuesta a 200 personas de la empresa tomadas al azar. a) Hallar la probabilidad aproximada de que al menos 40 de los encuestados sean mujeres. La variable aleatoria x representa el nº de mujeres entre los 200 entrevistados. Sigue una distribución B(200;0,6).

m  n p  2 0 0  0 ,6  1 2 0   n p (1  p )  2 0 0  0 ,6  (1  0 ,6 )  6 ,9 x

x

4 0  0 ,5  1 2 0   P (x  40)  P  z    P ( z   1 1 ,6 7 )    6 ,9  1  P ( z   1 1 ,6 7 )  1  0  1 b) Obtener la probabilidad de que el nº de encuestadas esté entre 80 y 150.

1 5 0  0 ,5  1 2 0   8 0  0 ,5  1 2 0  z      6 ,9 6 ,9  P (  5 ,8 7  z  4 , 4 2 )  P ( z  4 , 4 2 )  P ( z   5 ,8 7 ) 

P (8 0  x  1 5 0 )  P 

1  0 1 c) Calcular la probabilidad de que no se pregunte a más de 150 mujeres.

75

1 5 0  0 ,5  1 2 0   P (x  150)  P  z    P ( z  4 ,4 2 )  1   6 ,9

Unidad IV. DISTRIBUCIONES MUESTRALES 1. Introducción A las distribuciones de los estadísticas muestrales se les llama distribuciones muestrales.

76

ESTADÍSTICA INFERENCIAL: La estadística inferencial involucra el uso de un estadístico para sacar una conclusión o inferencia sobre el parámetro correspondiente de la población Por ejemplo se usa:

X media de muestra para estimar la  media poblacional

s desv. Est. De muestra para estimar la  desv. Est. poblacional p proporción en la muestra para estimar la  proporción poblacional ERROR DE MUESTREO: es la diferencia entre el parámetro poblacional y el estadístico de la muestra utilizado para estimar el parámetro. Por ejemplo la diferencia entre:

X y 

s y

p y

Población 

Con N elementos

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL: es un conjunto de todos los valores posibles para un estadístico y la probabilidad relacionada con cada valor. Media muestral Xi      P (cada. Xi ) Xmedia 1 Desv.est. 1

Xmedia K Desv.est. K

150

1/6

200

1/6

250

2/6

300

1/6

350

1/6

Tomando K=6 muestras de

1.0

tamaño n cada una

77 MEDIA DE LAS MEDIAS MUESTRALES o GRAN MEDIA o MEDIA DE MEDIAS:

X 

 Xi

K 150  200  250  250  300  350 X   250 6

VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN MUÉSTRAL DE LAS MEDIAS MUESTRALES

 X2 

(X  X ) K

2



(X  )

2

K

Del ejemplo anterior:

 X2 

(150  250) 2  (200  250) 2  ...  (350  250) 2  4.167 6

ERROR ESTÁNDAR DE LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LAS MEDIAS MUESTRALES

 X   X2

En el caso anterior vale 64.55

X 

 n

Si el muestreo se realiza sin reemplazo y si el tamaño de muestra es más del 5% de la población (n > 0.05N) debe aplicarse el factor de corrección para poblaciones finitas (FPC) al error estándar.

78 X 

 n

N n N 1

2. TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL La distribución de las medias de las muestras tiende a la normalidad independientemente de la forma de la distribución poblacional de la que sean obtenidas. Es la base de las cartas de control X-R. F(X) Distribución de las medias muestrales Distribución de valores individuales

Distribución muestral de la media X 1 , X 2 ,..., X n

A medida que n se vuelve más grande, la distribución de las medias muestrales se aproximará a una distribución normal con una media X      X   / n

Si

es una muestra aleatoria de una Poblacion (X) con

distribución normal n(  ,  2 )

.EntoncesX se 2 distribuye normalmente con media  , y varianza / n Por ejemplo, para los siguientes datos de la población: DATOS DE LA POBLACIÓN PARA MOSTRAR EL TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL 2 1 5 7

PROMEDIO 7 7 8 1

5 7 1 4

5 9 1 1

2 4 5 4

4.2 5.6 4.0 3.4

79 7 1 7 6 9 8 5 5 5 3 4 9 2 7 3 4 5 8 7 2 3 9 6 5 9 2 9 2 5 4 8 3 5 7 5 9 7 5 8 8 5 7 9 2 4 9 1 7

6 6 3 7 7 3 3 9 5 1 3 1 1 7 4 8 3 1 5 2 1 3 2 2 6 6 2 6 4 2 1 2 8 9 6 6 9 5 4 7 5 7 5 5 5 2 7 7

9 4 1 9 7 4 3 9 3 9 9 7 7 9 5 3 2 5 9 7 4 2 7 6 2 3 2 6 2 9 2 8 9 3 8 4 9 1 7 7 1 2 2 3 8 6 7 2

8 7 7 4 6 4 4 1 9 1 5 7 8 8 6 4 2 5 6 2 1 3 4 8 9 5 3 8 1 4 1 5 6 8 7 8 8 4 8 1 7 9 5 5 4 6 3 8

5 9 3 3 1 7 2 9 5 5 5 8 6 3 8 5 6 9 8 1 7 8 4 6 4 5 6 3 9 2 4 4 2 5 5 7 3 6 7 8 5 8 9 8 2 1 4 7

7.0 5.4 4.2 5.8 6.0 5.2 3.4 6.6 5.4 3.8 5.2 6.4 4.8 6.8 5.2 4.8 3.6 5.6 7.0 2.8 3.2 5.0 4.6 5.4 6.0 4.2 4.4 5.0 4.2 4.2 3.2 4.4 6.0 6.4 6.2 6.8 7.2 4.2 6.8 6.2 4.6 6.6 6.0 4.6 4.6 4.8 4.4 6.2

80 8 2 9 7 1 2 2 2

1 2 4 8 2 4 9 6

1 1 3 4 9 6 3 7

7 4 7 3 3 2 3 8

6 9 3 2 8 8 1 7

4.6 3.6 5.2 4.8 4.6 4.4 3.6 6.0

El histograma de los datos de la población, es el siguiente:

Histogram of Poblacion 40

Frequency

30

20

10

0

2

4

6

8

Poblacion

Al hacer una prueba de normalidad de Anderson Darling en los datos se tiene:

81

Probability Plot of Poblacion Normal 99.9

Mean StDev N AD P-Value

99

Percent

95 90

5.073 2.584 300 5.965 <0.005

80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 0.1

-5

0

5 Poblacion

10

15

Como el P value es menor a 0.05 los datos no siguen una distribución normal. El histograma de los promedios muestrales (subgrupos de 5 datos) se muestra a continuación:

Al hacer una prueba de normalidad de Anderson Darling se tiene:

82

Probability Plot of Muestra Normal 99.9

Mean StDev N AD P-Value

99

Percent

95 90

5.073 1.118 60 0.527 0.172

80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 0.1

1

2

3

4

5 Muestra

6

7

8

9

Como el P value es mayor a 0.05 incluso mayor a 0.10, las medias siguen una distribución normal. La sigma de la población estimada con la media de la muestra es: S pob. Sn=5

2.5840 1.1181

Raiz(n) Spob est. 2.2361 2.5001243

Tomando un tamaño de subgrupo de n = 10 se tiene: PROM. N=10 4.9 3.7 6.2 5.0 5.6 5.0 4.6 5.8 5.8 5.0 4.6 4.9 4.1 5.0 5.1

4.7 4.2 3.8 6.2 6.5 5.7 6.5 5.6 5.3 4.7 5.3 4.1 5.0 4.5 4.8

83

Histogram of PROM. N=10 9 8

Frequency

7 6 5 4 3 2 1 0

3.5

4.0

4.5

5.0 PROM. N=10

5.5

6.0

6.5

Por lo que con un tamaño de muestra de n = 5 es suficiente para mostrar normalidad. 3. APLICACIÓN DE LAS DISTRIBUCIONES MUESTRALES Muchas decisiones en los negocios dependen de una muestra completa no tanto de una observación, por tanto se trabaja con la distribución muestral de las medias o de las proporciones, para el caso de las medias se tiene:

Z

X  X   X / n

Con este valor se determina P(Z <= z)

Donde n es el tamaño de la muestra y si no se conoce sigma, se estima con el valor de S. Ejemplos páginas 153 – 156. Ejemplo: Una empresa de constestación de llamadas telefónicas, está interesada en conocer la probabilidad de que la media de n llamadas dure un cierto periodo de tiempo, no le interesa una llamada individual, ya que no le permitiría determinar la cantidad de personas que requiere: Las llamadas durante un mes promediaron 150 seg. Con una desviación estándar de 15 seg. a. ¿Cuál es la probabilidad de que una llamada en particular dure entre 150 y 155 segundos?

84 Z

X  

155  150 Z 155   0.33 15

;

En tablas P(Z <= 0.33) = 0.6293 ;

150  150 Z 150   0.0 15

P(Z<=0) = 0.500

Por tanto P( 0 <= Z <= 0.33) = 0.1293 o 12.93% Por tanto la probabilidad de que una llamada dure entre 150 y 155 segundos es del 12.93%. b. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de n=50 llamadas esté entre 150 y 155 segundos? Ahora se aplica la distribución muestral de las medias, con: X  Z / n 155  150 Z 155   2.36 15 / 50

;

En tablas P(Z <= 2.36) = 0.9909 ;

150  150 Z 150   0.0 15 / 50

P(Z<=0) = 0.500

Por tanto P( 0 <= Z <= 2.36) = 0.4909 o 49.09%

P(150 <= X < = 155)

150

155

150

155

P (150  X  155)

Para el caso de las medias el área es mayor debido a que las medias muestrales están menos dispersas que los valores individuales de llamadasc.

85 ¿Cuál es la probabilidad de que la media de n=35 llamadas esté entre 145 y 155 segundos? Ahora se aplica la distribución muestral de las medias, con: X  Z / n 155  150 Z 155   1.97 15 / 35

;

145  150 Z 150   1.97 15 / 35

En tablas P(Z <= -1.97) = 0.0244 ;

P(Z<=1.97) = 0.9756

Por tanto P( -1.97 <= Z <= 1.97) = 0.9512

o 95.12%

d. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de n=35 llamadas sea mayor a 155 segundos? Ahora se aplica la distribución muestral de las medias, con: X  Z / n 155  150 Z 155   1.97 15 / 35

En tablas P(Z <= -1.97) = 0.0244 o Por tanto P(Z >= 1.97) = 0.0244

1-P(Z<=1.97) = 1 - 0.9756 = 0.0244 o

2.44%

Con la información anterior ahora la empresa ya puede tomar decisiones. Ejercicios: 1. Los choferes de camniones de una empresa recorren en promedio 8,500 km. cada trimestre, con una desviación estándar de 1,950 Km. Si se toma una muestra de n = 100 choferes, Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra sea o encuentre en: a. ¿Mayor a 8,500 Km.? b. ¿Menor a 8,000 Km.? c. ¿Entre 8,200 y 8,700 Km? d. ¿Entre 8,100 y 8,400 Km.?

86 2. Los refrescos de una embotelladora tienen una media de 16.1 oz., con una desviación estándar de 1.2 oz. Si se toma una muestra de n = 200 refrescos, cuál es la probabilidad de que la media sea: a. ¿Menor que 16.27 oz.? b. ¿A lo más 15.93 oz.? c. ¿Entre 15.9 y 16.3 oz.? d. ¿Más de 16.2 oz.? Para el caso de proporciones se tiene:

E ( p)  p 

p

i

K

p 

 (1   ) Si n>0.05N puede requerirse el F n

Una vez calculando lo anterior ahora se determina Z

Z

p  p

Ejemplo: Una empresa adquiere lotes de partes de tamaño n = 200, el lote tiene una tasa de partes con falla del 10%, la política de la empresa ahora es que: a. Si hay más del 12% de defectos se buscará un nuevo proveedor. b. Entre el 10 y 12% se considerará la búsqueda de un nuevo proveedor c. Entre el 5 y 10%, se seguirá con el mismo proveedor d. Menos del 5%, se incrementarán los pedidos Solución: p 

 (1   )  n

0.1(1  0.1)  0.021 200

a. P(p > 0.12)

Z

p  0.12  0.1   0.95 p 0.021

P(Z >= 0.95) = 0.1711 o sea el 17.11%

87 b. P(0.10 <= p <= 0.12) = 0.3289 o el 32.89% c. P(0.05 <= p <= 0.10) Z 0.05 

p  0.05  0.1   2.38 p 0.021

Z 0.1 

p  0.1  0.1   0.0 p 0.021

P(-2.38 <= Z <= 0.1) = 0.4913 o el 49.13% d. P(p <= 0.05) = 0.0087 o el 0.87% Por tanto como la mayor probabilidad es la del inciso c, no se cambia al proveedor actual. Ejercicios: 1. La proporción de personas que comen en un restaurante es del 75%. En una muestra de 100 clientes, ¿Cuál es la probabilidad de que menos del 20% compren comida para llevar? 2. El 60% de los empleados en una empresa vive cerca. De 100 empleados al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 30 vivan cerca?

4. Distribuciones muestrales derivadas de la normal: Chi 2, tyF

Distribución Chi Cuadrada Esta distribución se forma al sumar los cuadrados de las variables aleatorias normales estándar.

88 Si Z es una variable aleatoria normal, entonces el estadístico Y siguiente es una variable aleatoria Chi cuadrada con n grados de libertad.

Media y varianza de una ji-cuadrada. E(X)=k V(X)=2k Calculo de puntos críticos usando las tablas de ji-cuadrada

Ejemplo: Calcule el valor critico que satisface

89

De tablas de ji-cuadrada con alfa=.05 y k=20

Si X 1 , X 2 ,..., X n

es una muestra aleatoria de una Poblacion (X) con

( n  1) 2 .Entonces S

2 distribución normal n(  ,  )



se distribuye ji-

2

cuadrada con k= n-1 grados de libertad.

Donde S cuadrada es la varianza muestral.

Distribución t-student Si X 1 , X 2 ,..., X n

es una muestra aleatoria de una población (X) con

distribución normal n(  ,  2 )

(X . Entonces

t-student con n-1 grados de libertad

  ) (s /

n)

se distribuye

90

La media y la varianza de la distribución t son:

De una muestra aleatoria de n artículos, la probabilidad de que

Caiga entre dos valores especificados es igual al área bajo la distribución de probabilidad t de Student con los valores correspondientes en el eje X, con n1 grados de libertad Ejemplo: La resistencia de 15 sellos seleccionados aleatoriamente son: 480, 489, 491, 508, 501, 500, 486, 499, 479, 496, 499, 504, 501, 496, 498 ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia promedio de los sellos sea mayor a 500?. La media es 495.13 y la desviación estándar es de 8.467. t = -2.227 y el área es 0.0214

Distribución F Surge de dividir dos ji-cuadradas independientes

91 F=(W/u)/(Y/v) W se distribuye ji-cuadrada con u g.l. Y se distribuye ji-cuadrada con v g.l. El uso de esta distribución es para comparar varianzas (Recuerde el análisis de varianza)

Para determinar la otra cola de la distribución F se determina con la expresión.

92

Falfa, k1, k2 = 1 / F(1-alfa), k2, k1 Dado K1 = 8 y K2 = 10, F0.05 = 3.07, encontrar el valor de F0.05 con K1 = 10 y K2 = 8 F0.05,10,8 = 1/ F0.95,8,10 = 1/ 3.07 = 0.326