Esta 2 p531r

Nombre de la asignatura:

Estadística Descriptiva

Parcial de estudio:

Segundo

Introducción Los eventos probabilísticos pueden referirse a variables aleatorias discretas o continuas. Aquí se estudian las siguientes distribuciones de probabilidad de variable discreta: Binomial, Poisson e Hipergeométrica. Las distribuciones de probabilidad discreta, continua y los números índice son parte del mundo de los negocios y de la istración de empresas, muchas veces los gerentes y es deben tomar decisiones en condiciones de incertidumbre, razón por la que es necesario aprender a evaluar los riesgos. Una distribución de probabilidad de variable aleatoria continua es la distribución normal, debido a que esta tiene algunas propiedades que la hacen aplicable a la resolución de problemas de inferencia estadística. Un gran número de distribuciones naturales como los pesos de las personas, las estaturas, el coeficiente intelectual y muchos procesos físicos, biológicos y económicos, presentan las características de una distribución normal. Por tanto su estudio reviste gran interés para los gerentes y es de empresas. Finalmente se estudiarán los números índice, los cuales son de fundamental importancia en el mundo financiero, en la istración empresarial y en el manejo de la economía de los estados. Es tarea de los es el análisis e interpretación de índices del mercado de valores, como por ejemplo el Promedio Industrial Down Jones, Nasdaq y otros; y la elaboración de diversos índices como: el índice de precios al consumidor (IPC), el índice de precios al productor (IPP).

Asesoría didáctica En este periodo de estudio resolverá cuatro actividades de aprendizaje. Para resolver la actividad de aprendizaje 2.1 Estudie el capítulo 5: Distribuciones de probabilidad. Estudie el apartado 5.1: ¿Qué es una distribución de probabilidad?, pp. 178179. Usted verá que una distribución de probabilidad es semejante a una distribución de frecuencias, aprenderá a representar gráficamente una distribución de probabilidad y a reconocer los tipos de distribución de probabilidad. De ejercicios 5.1, p. 180, realice en su cuaderno de trabajo los ejercicios de Conceptos básicos 5-1 y 5-2. Estudie el apartado 5.2 Variables aleatorias, pp. 181-184, aquí aprenderá a diferenciar entre una variable aleatoria discreta y variable aleatoria continua, a calcular el valor esperado, para ello lea sugerencias y suposiciones de la p. 184. De ejercicios 5.2, p. 184, realice los ejercicios de autoevaluación 5-1 y 5-2. Sus soluciones se hallan en la p.187. Estudie el apartado 5.3 Uso del valor esperado en la toma de decisiones, pp. 187-190, lea con detenimiento el ejemplo expuesto. De ejercicios 5.3 resuelva el ejercicio de autoevaluación 5-3. Su solución la puede ver en la p. 191.

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Estudie el apartado 5.4 La distribución binomial, pp. 191-199. Aquí se explica que un proceso de Bernoulli es aquel que cumple las tres características que se señalan; el uso de la fórmula para calcular la probabilidad binomial, el uso de la tabla de distribución binomial, la representación gráfica de la distribución binomial y su variación para diferentes valores de probabilidad y diferentes valores de n y como calcular las medidas de tendencia central μ y σ de la distribución binomial. De ejercicios 5.4, Ejercicios de autoevaluación, p. 200, resuelva 5-4, 5-5 y 5-6. Sus soluciones se hallan en las pp. 201-202. Estudie el apartado 5.5 La distribución de Poisson, pp. 2002-206, aquí aprenderá a identificar una distribución de Poisson sobre la base de sus características, a usar la fórmula para calcular la probabilidad y a usar la tabla 4a del apéndice (ver CD). De ejercicios 5.5, p. 207 realice los ejercicios de autoevaluación 5-7 y 5-8. Sus soluciones las puede ver en la p. 209. Para resolver la actividad de aprendizaje 2.2: Distribuciones de probabilidad discreta Variable aleatoria: discreta y continua. Media, varianza y desviación estándar de una distribución de probabilidad

    X . P( X ) 

Media o valor esperado:



 2    X   2 .P( X )

Varianza: Puede usar la fórmula alterna.



 2   X 2 P (X )   2   2

Desviación estándar: Distribución de probabilidad binomial Características:

1. Solo tiene dos resultados posibles en cada ensayo de un experimento: Éxito o fracaso 2. La variable aleatoria es el resultado del conteo del número de éxitos en n ensayos. 3. La probabilidad de éxito en cada ensayo es siempre igual en cada ensayo. 4. Los ensayos son independientes. Fórmula:

P ( X ) n C x p x ( 1  p ) n  x Tablas de probabilidad binomial Se las usa para calcular las

probabilidades binomiales para n desde 1 a 15

Media de una distribución binomial:

  np

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 2  n p (1  p)

Varianza de una distribución binomial:

  n p (1  p)

Desviación estándar: Probabilidad acumulada

Se calcula sumando las probabilidades de cada uno de los eventos involucrados. Distribución de probabilidad de Poisson Características: 1. La variable aleatoria es el número de veces que ocurre un evento en un intervalo dado. 2. La probabilidad de que ocurra un evento es proporcional al tamaño del intervalo. 3. Los intervalos no se superponen y son independientes. Fórmula:

P (X ) 

 X e  x!

Dónde:

 np

Nota: en los ejercicios de probabilidad acumulada, se suman las probabilidades de cada uno de los eventos involucrados. Distribución hipergeométrica Esta distribución se refiere a los experimentos estadísticos que consisten en tomar una muestra sin reemplazo, de un conjunto finito el cual contiene algunos elementos considerados “éxitos” y los restantes son considerados “fracasos”. Tomar una muestra sin reemplazo significa que los elementos son tomados uno a uno, sin devolverlos. Podemos concluir entonces que los ensayos ya no pueden ser considerados independientes porque la probabilidad de “éxito” al tomar cada nuevo elemento es afectada por el resultado de los ensayos anteriores debido a que la cantidad de elementos de la población está cambiando. Sean:

N : Cantidad de elementos de elementos del que se toma la muestra. K : Cantidad de elementos existentes que se consideran " exitos " n : Tamaño de la muestra. X : Variable aleatoria discreta (cantidad de resultados considerados exitos ) x  0,1,2,3,........, n Valores que puede tomar X . K   x   P (X )  

N  K   nx     N   n   

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Ejemplo Una caja contiene 9 pelotas de tenis, de las cuales 4 están en buen estado y las restantes defectuosas. Se toma una muestra eligiendo al azar tres pelotas. Calcule la probabilidad que en la muestra se obtengan: a) Ninguna pelota en buen estado. b) Al menos una pelota en buen estado. c) No más de dos pelotas en buen estado. Este es un experimento de muestreo sin reemplazo, por lo tanto es un experimento hipergeométrico con: N=9; K=4; n=3; x: Cantidad de pelotas en buen estado en la muestra (variable aleatoria discreta).  4   x  P(X )   

a)

9  4  3  x    , x  0,1,2,3 9   3   

 4  0  P ( X  0)   

9  4  3  0    9   3   

 0.119

b) P(X>=1) = 1 - P(X<1) =1-P(0)=1- 0.119 = 0.881. c) P(X<=2) = P(X=0)+P(x=1)+P(X=2).

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 4 9  4  4 9  4  4 9  4           0   3  0   1   3  1   2   3  2       0.119  0.4762  0.3571  0.9523 9 9 9        3  3  3 Estudie el apartado 5.6 La distribución normal: distribución de una variable aleatoria continua, pp. 209-219 del texto guía Estadística para istración y Economía de Levin, Richard I. y Rubin, David S. Aquí se expone lo que es una distribución continua, la importancia de la distribución normal, sus características, la estandarización de la variable aleatoria normal, el cálculo del área bajo la curva normal usando la tabla de distribución normal estándar, sus limitaciones y la aproximación de la distribución binomial normal. Revise con detenimiento los 6 ejemplos expuestos en las pp. 214, 215, 216 y 217. De ejercicios 5.6, p. 219, realice los ejercicios de autoevaluación 5-9 y 5-10, cuyas soluciones las encuentra en las pp. 221-222. Lea Repaso del capítulo: términos introducidos en el capítulo 5, tema que le permitirá recordar los conceptos, pp. 225-226; luego lea ecuaciones introducidas en el capítulo 5, pp. 226-227, aquí se compendian las fórmulas utilizadas para calcular las probabilidades de las distribuciones: binomial, de Poisson y Normal estándar.

Para resolver la actividad de aprendizaje 2.3: Familia de distribuciones de probabilidad normal Se habla de familia de distribuciones de probabilidad normal, porque todas ellas tienen las tres características que se señalan en las páginas 209-210, conviene que haga un resumen de ellas. Tenga presente que la distribución de probabilidad normal estándar N(0,1) es aquella en la que μ = 0 y σ = 1 Una distribución normal cualquiera N(μ, σ) se convierte en una distribución normal estándar N(0,1) mediante el cálculo del valor normal z el cual expresa el número de desviaciones estándar de la distribución normal dada. Valor normal estándar:

z

x



Cálculo de aéreas bajo la curva normal Una vez calculado el valor z para un X, μ y σ dados, Se usa la tabla que aparece en el reverso de la portada del texto. Para encontrar el área bajo la curva normal estándar, comprendida entre la media µ y el valor z. Tenga presente que a z le corresponde la primera columna y la primera fila; mientras que el área bajo la curva o probabilidad se lee en la intersección de la fila con la columna. Por ejemplo para z = 1.84 nos situamos en la fila 1.8 y en la columna 0.04, allí leemos 0.467, este es el valor del área bajo la curva o la probabilidad. Problema inverso El otro uso de la tabla de distribución normal estándar, es aquel en el que dada una probabilidad (área bajo la curva normal estándar) hay que buscar el valor z correspondiente; y a partir de este se puede a su vez calcular el X de la distribución normal dada. Para ello recuerde signo de z, el cual será negativo si se halla a la izquierda de la media y positivo en caso contrario. Ejemplo

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Un estudio del INEC determinó que la media del gasto mensual en alimentación de una familia integrada por cuatro personas es de $480 y que este rubro sigue una distribución normal con una desviación estándar de $100. Si se elige al azar una familia: a) b) c) d) e)

¿Cuál ¿Cuál ¿Cuál ¿Cuál ¿Cuál

es es es es es

la la la la el

probabilidad de que esta gaste entre $ 480 y $ 580? probabilidad de que gaste entre $300 y $480? probabilidad de que gaste entre $300 y $580? probabilidad de que gaste un mínimo de $650? gasto mínimo del 12% de las familias que mas gastan?

Solución En este caso: μ = 480, a)

X = 580, luego:

z

σ = 100

580  480 1 100

Para z = 1 la probabilidad es 0.3413; b)

X = 300, luego:

z

Por tanto:

300  480  1.80 100

P (480 < X ≤ 580) = 0.3413

Para usar la tabla tomamos z = 1.80 cuyo

valor del área o de la probabilidad es 0.4641 Por tanto: P (300 < X ≤ 480) = 0.4641 Observe que el área se halla a la izquierda de la media. c)

Para responder c) observe que la probabilidad de que esta familia gaste entre $300 y $580 es la suma de las probabilidades calculadas en a) y b), es decir: P(300 < X ≤ 580) = P(300 < x ≤ 480) + P(480 < x ≤ 580) = 0.3413 + 0.4641 = 0.8054

d)

X = 650, luego:

z

650  480  1.7 100

Para z = 1.70 la probabilidad es 0.4554

Esta es el área entre la media y x = 650, pero se pide la probabilidad de que gaste un mínimo de $650, significa que puede tener un gasto de $650 o más. Por tanto la probabilidad se obtendrá restando 0.4554 de o.5., es decir: P (650 < X) = 0.5 – P (480 < X≤ 650)=0.0446

= 0.5 – 0.4554

e) El 12% de los que más gastan corresponde al área sombreada, entonces el área entre la media y la x es: 0.5 – 0.12 = 0.38. En la tabla buscamos el valor del área más cercano a 0.38, en este caso hay dos valores equidistantes de 0.38, que son: 0.3790 y 0.3810, el primero se halla a 0.0010 por debajo y el segundo a 0.0010 por arriba; cuando esto sucede, se escoge el más alto, de lo contrario se escogerá aquel que sea más cercano. En este caso escogemos A(z) = 0.3810, cuyo valor de z es: z = +1.18 por encontrarse a la derecha de la media. Si se encontrara a la izquierda, se tomará z con signo negativo.

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A continuación, de la fórmula de z se despeja x y se calcula su valor:

z

x



 x    z    100(1.18)  480  598

Entonces este 12% de familias gastará como mínimo $598 Es decir: X ≥ 598

Aproximación de la distribución normal a la binomial Una aplicación importante de la distribución normal es: La distribución normal como una aproximación de la distribución binomial, pp. 218-219. Se aplica cuando n sea grande, entendiéndose como grande cuando n>25y además se cumpla con la condición de que: n p  5 y nq  5 . Como la distribución normal es continua y la binomial discreta, se debe aplicar el factor de corrección por continuidad. Regla práctica: Una idea sencilla que permite una correcta aplicación de la corrección por continuidad, es la de pensar que la gráfica de la distribución normal (ver página 218) está formado por un conjunto de rectángulos, cada uno de los cuales se forma al fundir varillas (Las varillas están separadas unas de otras) las cuales al fundirse formarían una sola lámina continua, de manera que por ejemplo la varilla 6 al fundirse formará el rectángulo que va desde 5.5 hasta 6.5. Entonces es fácil comprender que para x ≥ 6, se incluye el resultado de la fundición de la varilla 6, por lo que irá desde 5.5; para X > 6, no se incluye el resultado de la fundición de la varilla 6, por lo que irá desde 6.5; Para x < 15, el resultado de la fundición de la varilla 15 no se incluye, por lo que se tomará hasta 14.5; etc. Lo dicho es equivalente a las siguientes reglas para aplicar el factor de corrección por continuidad Valores a determinar X> X≥ X< X≤ ≤ x ≤ < x < X=

Correcciones +0.5 -0.5 -0.5 +0.5 -0.5 Y +0.5 +0.5 Y -0.5 -0.5 Y +0.5

Ejemplo. Suponga una distribución binomial con n = 40, p = 0.55. Calcular: a) b) c) d)

La media y la desviación estándar de la variable aleatoria. La probabilidad de que x ≥ 25 La probabilidad de que X < 15 La probabilidad de que 15 ≤ x ≤ 25

Solución μ = np = 40x0.55 = 22;

b)

Para calcular P(x ≥ 25) , hay que tomar X = 24.5

z

σ=

n p (1  p)  9.9  3.14

a)

24.5  22  0.796178  0.80 3.14

cuya probabilidad

es 0.2881, entonces: P(x ≥ 25) = 0.5 - 0.2881 = 0.2119 c)

Para calcular P(X < 15), hay que tomar x = 14.5

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z

14.5  22  2.3885  2.39 , A(z = 2.39) = 0.4916 3.14

Entonces: d)

P(X < 15) = 0.5 - 0.4916 = 0.0084

Para encontrar P(15 ≤ x ≤ 25) binomial , al aplicar las correcciones de continuidad se debe calcular P(14.5 ≤ x ≤ 25.5) = P(14.5 ≤ x ≤ 22) + P(22< x ≤ 25.5) = 0.4916 + 0.3665 = 0.8581

Para resolver la actividad de aprendizaje 2.4: Estudie el capítulo 16: números índice. Estudie el apartado 16.1 Definición de número índice, pp. 720-722. Aquí conocerá los tipos de números índice, su uso y las precauciones que se deben tomar en la estimación de los números índice. En su cuaderno de trabajo responda las preguntas planteadas en ejercicios 16.1. Estudie el apartado 16.2. Índice de agregados no ponderados, pp. 723-725. Aquí aprenderá a calcular e interpretar un índice no ponderado, así como las limitaciones de este. De ejercicios 16.2, p. 725, realice el ejercicio de autoevaluación, cuya solución está en la pág. 727. Estudie el apartado 16.3 Índice de agregados ponderado, pp. 727-732. Aquí aprenderá que existen tres métodos de cálculo del índice de agregados ponderado, estos son: El método de Laspeyres, el método de Paasche y el método de agregados con peso fijo. Examine con mucha atención los ejemplos expuestos y luego de ejercicios 16.3, p. 732, realice los ejercicios de autoevaluación 16-2, 16-3 y 16-4, cuyas soluciones se hallan en la p. 734. Estudie el apartado 16.4 Métodos de promedio de relativos, pp. 735-737. Aquí se estudia el Método de promedio no ponderado de relativos y el Método de promedio ponderado de relativos. Este a su vez, dependiendo de la forma de la ponderación, se subdivide en: Índice de precios de promedio ponderado de relativos (Método de Laspeyres) e Índice de promedio ponderado de relativos con valores del año base como pesos. Examine los ejemplos y luego, de ejercicios 16.4, resuelva el ejercicio de autoevaluación 16-5, pp. 737-738, cuya solución se hallan en la p. 740. Estudie el apartado 16.5. Índices de cantidad y de valor, pp. 740-741, revise el ejemplo de la tabla 16.12, p. 741 y luego de ejercicios 16.5 realice el ejercicio de autoevaluación 16-6. Su solución se encuentra en la p. 744. Índice de valor. Un índice de valor mide los cambios tanto de los precios como en las cantidades, para su cálculo se requiere conocer los precios y cantidades del año base y los precios y cantidades del año presente. Se calcula con la fórmula:

V

P Q P Q n

n

0

0

x100

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Índice de precios al consumidor (IPC). El índice de precios al consumidor mide los cambios de los precios de una canasta básica fija de artículos y servicios en el mercado de un período a otro. El IPC tiene varios usos, entre ellos, para determinar el ingreso real.

Ingreso real 

ingreso monetario x100 IPC

Para determinar el poder adquisitivo del salario actual respecto del año o período base.

Poder adquisitiv o del dinero 

$1 x100 IPC

Ejemplo: Supongamos que el IPC del año 2009 respecto de 2005 fuese 120 y que el sueldo de Juan Simpático en el 2009 es de $2000, mientras que en 2005 percibía $1800. ¿Cuál es su ingreso real en comparación con el que percibía en 2005?

Ingreso real 

2000 x100  1666.67 120

Esto significa que actualmente el ingreso real de Juan Simpático es menor que el que percibía en 2005. Ejemplo: Con los datos del problema 1 determine el poder adquisitivo del dólar en 2009 respecto de 2005.

Poder adquisitiv o del dolar 2009 

1 x100  0.8333 120

Significa que el dólar de 2009 equivale a 0.833 del dólar de 2005. Dicho de otro modo lo que en 2005 costaba $83.33, ahora cuesta $100.

Actividades de aprendizaje Actividad de aprendizaje 2.1. Problema 1 (1 punto) Para una distribución binomial con n =7 y p =0.2, encuentre: a) b) c) d)

P(r P(r P(r P(r

= 5). >2). <8). ≥4).

Problema 2 (1 punto) Planteamientos

El último sondeo político nacional indica que la probabilidad de que estadounidenses elegidos al azar sean conservadores es de 0.55; de que sean liberales es de 0.30, y de que estén entre una y otra orientación es 0.15. Suponga que estas probabilidades son exactas

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y responda a las siguientes preguntas referidas a un grupo de 10 estadounidenses seleccionados de manera aleatoria. (No use la tabla 3 del apéndice del texto guía). a) b) c) d)

¿Cuál es la probabilidad de que cuatro sean liberales? ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno sea conservador? ¿Cuál es la probabilidad de que dos estén entre una y otra orientación? ¿Cuál es la probabilidad de que al menos ocho sean liberales?

Problema 3 (1 punto) En un estudio reciente acerca de cómo pasan los estadounidenses su tiempo libre se entrevistó a trabajadores con más de 5 años en su empleo. Se calculó en 0.45 la probabilidad de que un empleado tuviera 2 semanas de vacaciones; en 0.10 que contara con 1 semana, y en 0.20 que disfrutara de 3 semanas o más. Suponga que se seleccionan 20 empleados al azar. Responda a las siguientes preguntas sin usar la tabla 3 del apéndice del texto guía: a) b) c) d)

¿Cuál es la probabilidad de que 8 empleados tengan 2 semanas de vacaciones? ¿Cuál es la probabilidad de que solo 1 trabajador tenga 1 semana de vacaciones? ¿Cuál es la probabilidad de que cuando mucho 2 trabajadores tengan 3 semanas o más de vacaciones? ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 2 empleados tengan 1 semana de vacaciones?

Problema 4 (1 punto) Harry Ohme está a cargo de la sección de electrónica de una gran tienda departamental. Se ha dado cuenta de que la probabilidad de que un cliente que solamente se encuentre curioseando compre algo es de 0.3. Suponga que 15 clientes visitan la sección de electrónica cada hora. Utilice la tabla 3 del apéndice para responder a las siguientes preguntas: a) b) c) d)

Objetivo

Orientaciones didácticas

¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las personas que curiosea compre algo durante una hora dada? ¿Cuál es la probabilidad de que al menos cuatro personas que curiosean compren algo en una hora dada? ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las personas que curiosean compre algo durante una hora dada? ¿Cuál es la probabilidad de que no más de cuatro personas que curiosean compren algo durante una hora dada?

Comprender que son las probabilidades y como se realiza la distribución binomial.

Los problemas 1, 2, 3 y 4 contemplan el cálculo de distribución de probabilidades a través de una distribución binomial.

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Criterios de evaluación

Resolución correcta aplicando los fundamentos de la distribución de probabilidades.

Actividad de aprendizaje 2.2. Problema 1 (1 punto) La compañía Southwestern Electronics ha diseñado una nueva calculadora de bolsillo con una serie de funciones que otras calculadoras todavía no tienen. El Departamento de Comercialización está planeando hacer una demostración de la calculadora a un grupo de clientes potenciales, pero está preocupado por algunos problemas iniciales: el 4% de las calculadoras nuevas produce ciertas incongruencias matemáticas. El vicepresidente de Comercialización planea seleccionar aleatoriamente un grupo de calculadoras para su demostración y está preocupado por la posibilidad de elegir una que empiece a funcionar mal. Tiene la creencia de que el hecho de que una calculadora funcione o no es un proceso de Bernoulli, y está convencido de que la probabilidad de que se presente un mal funcionamiento es en realidad de alrededor de 0.04. Suponiendo que el vicepresidente elija exactamente 50 calculadoras para ser utilizadas en la demostración y utilizando la distribución de Poisson como aproximación de la binomial, a) ¿cuál es la probabilidad de obtener al menos tres calculadoras que no funcionen bien? b) ¿Cuál es la probabilidad de no tener ninguna calculadora que funcione mal? Problema 2 (1 punto)

Planteamientos

La oficina de Impresión y Grabado de Estados Unidos es la responsable de imprimir el papel moneda en ese país. El departamento tiene una sorprendente baja de frecuencia de errores de impresión; solo el 0.5% de los billetes presenta errores graves que no permiten su circulación. Cuál es la probabilidad de que de un fajo de 1000 billetes: a) Ninguno presente errores graves. b) Diez presenten errores que no permitan su circulación. c) Quince presenten errores que no permitan su circulación. Problema 3 (1 punto) Guy Ford, supervisor de Producción de la planta de Charlottesville de la compañía Winstead, está preocupado por la habilidad de un empleado ya mayor para mantener el menor ritmo de trabajo.

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Además de los descansos diarios obligatorios, este empleado deja de trabajar durante periodos cortos un promedio de 4.1 veces por hora. El periodo de descanso que se toma es de 3 minutos cada vez. Ford ha decidido que si la probabilidad de que el descanso adicional, 12 minutos o más por hora, del empleado (es decir, además del obligatorio), es mayor que 0.5, entonces lo cambiará a una tarea diferente. ¿Deberá hacer esto? Problema 4 (1 punto) Dado que ƛ= 6.1 para una distribución Poisson, encuentre: a) b) c) d)

P(x P(x P(x P(1

≤3). ≥2). =6). ≤x≤ 4).

Problema 5 (1 punto) Si los precios de los automóviles nuevos se incrementan en un promedio de cuatro veces cada 3 años, encuentre la probabilidad de que: a) ningún precio se incremente en un periodo de 3 años seleccionado de manera aleatoria. b) dos precios aumenten. c)

cuatro precios aumenten.

d) aumenten cinco o más.

Objetivo

Orientaciones didácticas

Reconocer las distribuciones de probabilidad de variable discreta.

Para resolver los problemas 1, 2, 3, 4 y 5 aplique las fórmulas de la distribución de probabilidades a través de la distribución de Poisson.

Sabe construir y/o interpretar distribuciones de frecuencia de variable aleatoria discreta. Criterios de evaluación

Reconoce cuando un problema de distribución de probabilidades de variable discreta es binomial o de Poisson sobre la base del análisis de sus propiedades. Calcula probabilidades puntuales y acumuladas.

Actividad de aprendizaje 2.3. Planteamientos

Problema 1(1 punto)

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Use la aproximación normal para calcular las probabilidades binomiales en los incisos a)-d): a) b) c) d)

n n n n

=30, =42, =15, =51,

p p p p

=0.35, =0.62, =0.40, =0.42,

entre 10 y 15 éxitos, inclusive. 30 éxitos o más. a los más 7 éxitos. entre 17 y 25 éxitos, inclusive.

Problema 2 (1 punto) La a de una pequeña subestación postal intenta cuantificar la variación de la demanda semanal de los tubos de envío de correo. Ella decide suponer que esta demanda sigue una distribución normal. Sabe que en promedio se compran 100 tubos por semana y que el 90% del tiempo, la demanda semanal es menor que 115: a) ¿Cuál es la desviación estándar de la distribución? b) La a desea almacenar suficientes tubos de envío cada semana de manera que la probabilidad de quedarse sin tubos no sea mayor que 0.05. ¿Cuál es el nivel de inventario más bajo? Problema 3 (1 punto) Glenn Howell, vicepresidente de personal de la Standard Insurance, ha desarrollado un nuevo programa de capacitación completamente adaptable al ritmo de los s. Los nuevos empleados trabajan en varias etapas a su propio ritmo de trabajo; el término del entrenamiento se da cuando el material es aprendido. El programa de Howell ha resultado especialmente efectivo en acelerar el proceso de capacitación, ya que el salario de un empleado durante el entrenamiento es de solo el 67% del que ganaría al completar el programa. En los últimos años, el promedio de término del programa ha sido de 44 días, con una desviación estándar de 12 días. a) Encuentre la probabilidad de que un empleado termine el programa entre 33 y 42 días. b) ¿Cuál es la probabilidad de terminar el programa en menos de 30 días? c) ¿De terminarlo en menos de 25 o más de 60 días? Problema 4 (1 punto) La compañía Nobb Door fabrica puertas para vehículos recreativos. La compañía tiene dos propósitos en conflicto: desea construir puertas lo más pequeñas posible para ahorrar material pero, para conservar su buena reputación con el público, se siente obligada a fabricar puertas con la altura suficiente para que el 95% de la población adulta de Estados Unidos pueda pasar sus marcos. Con

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Parcial de estudio:

Segundo

el fin de determinar la altura con la cual fabricar las puertas, la Nobb está dispuesta a suponer que la altura de la gente adulta de Estados Unidos está distribuida normalmente con una media de 73 pulgadas (1.85 m), con una desviación estándar de 6 pulgadas (15.24 cm). ¿Qué tan altas deberán ser las puertas que fabrica la compañía Nobb? Problema 5 (1 punto) Dado que una variable aleatoria X tiene una distribución binomial con media de 6.4 y desviación estándar de 2.7, encuentre: a) b) c) d)

Objetivo

P(4.0 <x <5.0). P(x >2.0). P(x <7.2). P((x <3.0) o (x >9.0)).

Preparar en el conocimiento de la distribución normal y sus aplicaciones, mediante el estudio de las propiedades de esta distribución de probabilidades y el correcto uso de la tabla de distribución normal estándar para la resolución de problemas.

El problema 1 tiene por objeto el adiestramiento en el uso de la tabla de distribución normal. Orientaciones didácticas

El problema 2 permite poner en práctica la aplicación de la corrección por continuidad, para aproximar la distribución binomial por la normal. El Problema 3,4 y 5 es una aplicación de la distribución normal.

Conoce las propiedades de la distribución normal y para qué se estandariza.

Criterios de evaluación

Calcula probabilidades usando en forma correcta la tabla de distribución normal estándar. Resuelve el problema inverso, en el que dada la probabilidad hay que calcular el valor de la variable. Resuelve problemas de distribución binomial para n grande, aplicando con acierto la corrección por continuidad.

Actividad de aprendizaje 2.4. Problema 1 (1 punto) Planteamientos

Suponga que una población consta de 10 artículos, 6 de los cuales están defectuosos. Se selecciona una muestra de 3. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 2 tengan defectos?

Nombre de la asignatura:

Estadística Descriptiva

Parcial de estudio:

Segundo

Problema 2 (1 punto) El Departamento de Sistemas de Informática de una institución está formado por ocho profesores, seis de los cuales son de tiempo completo. La doctora Vonder, quien es la directora, desea establecer un comité de tres académicos del departamento, para que revise el plan de estudios. Si selecciona el comité al azar: a)

¿Cuál es la probabilidad de que todos los del comité sean de tiempo completo?

b)

¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos un miembro no sea de tiempo completo?

Problema 3 (1 punto) Un entrenador de un equipo colegial de basquetbol tiene 12 jugadores. Ocho de ellos tienen becas deportivas y 4 no. Recientemente el equipo ha perdido la mayoría de los partidos. El entrenador decide seleccionar los nombres de 5 jugadores tomando papeletas de un sombrero, y utilizarlos como la alineación inicial. ¿Cuál es la probabilidad de que 4 de los 5 jugadores seleccionados tengan beca? Problema 4 (1 punto) El profesor Jon Hammer tiene un conjunto de 15 preguntas de opción múltiple referentes a distribuciones de probabilidad. Cuatro de estos interrogantes se relacionan con la distribución hipergeométrica. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 1 de tales preguntas sobre la distribución hipergeométrica, aparezca en el examen con 5 preguntas del próximo lunes? Problema 5 (1 punto) Gray P. Saeurs es propietario de un puesto de frutas situado en una esquina de un pequeño poblado. Después de escuchar varias quejas de que sus precios cambiaban constantemente durante el verano, ha decidido ver si esto es cierto. Basándose en los datos siguientes, ayude al señor Saeurs a calcular los índices de precios de agregados ponderados para cada mes. Utilice el mes de junio como periodo base. ¿El resultado que obtuvo es un índice de Laspeyres o de Paasche?

Problema 6 (1 punto)

Nombre de la asignatura:

Estadística Descriptiva

Parcial de estudio:

Segundo

Eastern Digital ha desarrollado una participación de mercado sustancial en la industria de las PC. Los precios y número de unidades vendidas de sus cuatro mejores computadoras de 1993 a 1996 fueron:

Construya un índice de Laspeyres para cada uno de los 4 años, con 1993 como periodo base.

Objetivo

Aplicar la distribución Hipergeométrica y el cálculo de números índice mediante las fórmulas que correspondan a índice de agregados no ponderados, índice de agregados ponderados usando los métodos de Laspeyres y de Paasche, para que tengan un criterio bien formado sobre su uso como indicadores económicos.

Orientaciones didácticas

Para resolver los ejercicios de esta actividad de aprendizaje revise los ejemplos que trae el texto guía, tenga presente que los factores de ponderación no son los mismos en el índice de precios al consumidor que en un índice de cantidad.

Calcula números índice de precios y de cantidad de agregados no ponderados y ponderados. Criterios de evaluación

Calcula el ingreso real y el poder adquisitivo del dinero en relación con un período base. Sabe como se aplica los números índice como indicadores del desenvolvimiento económico de un país.

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Preguntas o dudas

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Nombre de la asignatura:

Estadística Descriptiva

Parcial de estudio:

Segundo

Puntaje por actividad Actividades de aprendizaje Actividad Actividad Actividad Actividad

de de de de

aprendizaje aprendizaje aprendizaje aprendizaje

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. Suman

“En caso de que para el examen sea estrictamente necesaria la consulta de tablas, fórmulas, esquemas o gráficos, estos serán incluidos como parte del examen o en un anexo”.

El tutor de la asignatura

Puntaje 4 5 5 6 20