Esercizi Risolti Sulle Travi Di Fondazione 4o3eg

TRAVI di FONDAZIONE Esercizio 1.

F12

F3

F2 F1 6 m

6m B

A

C

F1= 20t

F2= 10t F3= 30t L 12 B= 2m = = 2m 6 6 R= F1+F2+F3 = 20+10+30 = 60t Equilibrio alla rotazione intorno al punto A: F1⋅6 + F3⋅12 = R⋅x0 → 20⋅6 + 30⋅12 = R⋅x0 x0 =

120 + 360 480 = = 8m → R in corrispondenza del raggio di nocciolo 60 60

x

F1

F2

R

F3

−

q

qt ⋅

qt

L 2 * 60t t = R → qt = 2 R = = 10 2 12m m L

σterreno =

qt qt Kg =2 2 →b= = 50 cm b σ terreno cm

dT = −q poiché nelle travi di fondazione q < 0, dT/dx è sempre positivo e quindi T(x) crescente. dx dM =T dx q lineare → T(x) parabolico

qt > 0 → T(x) crescente, qt crescente ⇒

dT crescente dx

Diagramma del taglio e del momento

15

10 x

30

5

30

32.6

49.7

T(x)

A

B' B

C

M(x) Tratto AB’: T < 0 → M decrescente, T decrescente→ tangente al diagramma del momento decrescente Tratto B’B: T > 0 → M crescente, T crescente → tangente al diagramma del momento crescente MB = − F2 *

L qt L 1 L + * * * = −60 + 30 = −30 Kgm 2 2 2 2 6

Calcolo del momento in B’: T(x) = -F2 + q x *

x 2

qx : qt = x : L → q x = qt

x L

x = punto di nullo del diagramma del taglio (B’) x

x x x2 − F2 + q t * * = 0 → * qt = F2 L 2 2L qx qt

x = 2L

F2 10 = 2 * 12 * = 4.9m qt 10

qx = 10 *

4. 9 = 4. 1 t / m 12

L=12m

x x 4. 1 Mmax,AB = -F2 ⋅ x + q x * * = −10 * 4.9 + * 4.9 2 = −32.6 Kgm 2 3 6

Calcolo del momento nella sezione corrispondente al secondo punto di nullo del taglio:

x=8,5m

3,5m

qx

qt qx

T(x) = -F2 –F1 + q x * − 30 + q t *

x x → q x = qt * 2 L

x x x2 * = 0 → −30 + 10 * =0 ⇒ x= 12 2 24

M max BC = − F3 * 3.5 + 7.1 * 3.5 * 3 .5

7 .1

3.5 3.5 2 + 2.9 * * * 3.5 = −30 * 3.5 + 43.5 + 11.8 = −49.7tm 2 2 3

F3= 30 10

2 .9

24 * 30 8.5 Kg = 8.5m → q x = 10 * = 7.1 10 12 m

Esercizio 2. x

3F A

R

F

10m

B

F = 24t R= F + 3F = 4F Equilibrio alla Rotazione in A: FL FL L R⋅x - F⋅L = 0 → x = + = = = 2.5 m R 4F 4 L 10 = = 1.67 m → sez.parzializzata in quanto la risultante R cade fuori dal nocciolo. 6 6

x

3F

R=4F

qmax d0 Calcolo punto d0 dall’equilibrio alla traslazione: 1 1 d q max * d o * = 4 F q max * d o * * o − 4 F * x = 0 2 2 3 d d 4 F * 2 8F 8F qmax = = → * o * o − F * 4x = 0 do do do 2 3 do d  − 4 F * x = 0 → 4 F  o − x  = 0 → d o = 3 x = 7.5cm 3  3  Kg 8 F 8F Kg Kg = 256 q max = = = 1.067 F = 25608 cm d o 7.5 m m

4F

σmax,t =

q max q 256 → b = max = = 130cm b σ max, t 2

F

3F

F

x

2.5

A

B q1

C

qt

−

3F

D

B

C

F

A +

T(x)

x

M (x)

T(x) Tratto CB: q = 0 → T costante positivo Tratto AC: q > 0 → T crescente lineare → T parabolico q decrescente → pendenza decrescente di T(x) M(x) Tratto AD: Taglio < 0 → M decrescente Tratto DC: Taglio > 0 → M crescente Tratto CB: Taglio costante → M lineare

Ricerca punto nullo (D) del diagramma del Taglio: F − q1

x =0 2

q1 = q t

x 7. 5

x x x2 qt = 256Kg/cm * = 0 → F − qt * =0 7.5 2 1500 1500 * 24000 3.75 Kg x2 = → x = 3.75m → q1 = * 256 = 128 256 7.5 cm Calcolo del momento in D: 3.75 2 3.75 2 M D = −3F * 3.75 + q1 * + (qt − q1 ) * * * 3.75 = 2 2 3 2 2 128 * 375 375 = −3 * 24000 * 375 + + 128 * = 12000000 Kgcm = 120000 Kgm = 120tm 2 3 F − qt *

Esercizio 3. x

F

R

F

B

A

C

R = F+F = 2F Calcolo della posizione della risultante R dall’equilibrio alla rotazione intorno al punto C: L L 1 FL L L = 10m → L/4 = 2.5m R ⋅ x − F⋅ = 0 → x = F⋅ ⋅ = = 2 2 R 2 ⋅ 2F 4 2.5

F A

D

R

B

F C qt

3u A

B

D

C F

T(x)

A

D

B

M(x)

3u = 3⋅2.5 = 7.5m 3u 2 4 10 q t ,max ⋅ = 2F, q t ,max = 2F * * u = * F * u = F 2 3 3 3 Diagramma del taglio T(x): tratto AD: T=0 tratto DB → q lineare, positivo, crescente T parabolico, crescente con pendenza crescente Tratto BC → T crescente con pendenza crescente, positivo in C

C

Diagramma del momento tratto AD: M=0 tratto DB: T>0 → M crescente a partire da 0 tratto BE: T<0, in modulo decrescente → M decresce con pendenza decrescente tratto EC: T>0, in modulo crescente → M crescente con pendenza crescente, MC=0

Esercizio 4. 2

M

F=15t

R

F=15t

L

M = 30tm, L = 6m, F1=F2=15t R= F1+F2 = 2F = 30t Calcolo della posizione della risultante R dall’equilibrio alla rotazione intorno al punto C: FL − M FL − M 15 * 6 − 30 = 2m = → x= F⋅L – M = R⋅x → x = R 2F 30 L 6 = = 1m ⇒ la risultante R capita sul nocciolo 6 6 L 2 t q t ,max * = R → q t ,max = R * = 10 2 L m m

F

F q tmax

B

C

A

m

T(x)

A

M(x)

D

B

C

Diagramma del taglio - tratto AB: TA=F1 (<0) con pendenza orizzontale perché q=0, T(x) crescente con pendenza crescente (q>0, crescente) - tratto BC: TC=F2 (>0), T(x) crescente con pendenza crescente (q>0, crescente) Diagramma del momento - tratto AD: T<0 crescente → M decrescente con pendenza crescente Punto D: discontinuità di M(x) - tratto DB: T<0, crescente → M(x) decrescente con pendenza crescente Punto B: pendenza nulla di M(x) - tratto BC: T>0 decrescente → M(x) crescente con pendenza crescente M sx D = − F1

L L 1 1 + q1 * * * 2 2 2 3

F1

q1 =

qt 10 = = 5t / m ; 2 2

F2

D

q1

q2

q tmax

L/2 x

F1=15t ; L = 6m

MD

sx

= −15 * 3 + 5 *

32 = −37.5tm 6

Calcolo del momento in D a destra: MDdx = -37.5 tm + 30 tm = -7.50 tm Punto nullo di T(x) x F1 − q 2 * = 0 2 x 4.24 = 10 * = 7.1tm L 6 F * 2 L 15 * 2 * 6 x x x2 F1 − q t * * = 0 → F1 − q t * = 0 → x2 = 1 = = 18 → x = 4.24m ; L 2 2L qt 10 LBC=L – x = 6 - 4.24 = 1.76m 1.76 2 1.76 2 M B = − F2 *1.76 + q 2 * + (q t − q 2 ) * * * 1.76 = 2 2 3 7.1 * 1.76 2 1.76 2 2 = −15 * 1.76 + + 2.9 = −12.4tm 2 2 3 qt,max = 10t/m = 10000 Kg/m = 100 Kg/cm → b= 50 cm → q/b= 2Kg/cm2

qt : q2 = L : x → q 2 = q t *

Esercizio 5. x

F1 R A

B

q t2

F2 C q t1

F1 = 2.5 F, F2 = F AC = 12m, AB = BC = 6m L 12 = = 2m 6 6 R = F1 + F2 = 3.5 F Calcolo della posizione della risultante R dall’equilibrio alla rotazione intorno al punto C: L 12 * 2.5 L L 1 = = = 4.3m R * x − F1 * = 0 → x = F1 * * 2 2 3. 5 F 7 7 L R = ( qt 2 + qt1 ) 2 2 L L L R * x − qt 2 − (q t1 − q t 2 ) * * = 0 2 2 3 2 R*2 (qt 2 + qt1 ) = R * → qt 2 = − qt1 L L L2 L2 L2 R * x − qt 2 − qt1 + qt 2 =0 2 6 6  L2 L2  L2 R * x + q t 2  −  − qt1 =0 2  6  6 2 2 L2 L − qt1 =0 6 6 2 (qt1 + 2qt 2 ) L = + R * x → (qt1 + 2qt 2 ) = 62 R * x 6 L 2* R 6 q t1 + 2 − 2q t1 = 2 R * x L L 6 4R − qt1 = 2 R * x − L L 6 4R 6 4 * 3.5 F q t1 = − 2 R * x + =− * 3.5 F * 4.3 + = 0.54 F L 144 12 L F = 5t R = 3.5⋅5 = 17.5t R * x − qt 2

qt1 = 0.54⋅5 = 2.7 t/m qt2 = R⋅2/L - qt1 = 2⋅17.5/12 – 2.7 = 0.2 t/m

F1

F2

qt1

qt2

D A

C

B

2.9

T(x) A

B

C D

M(x) M B = 0.2 *

L L L L 1 0. 2 2 L2 * + (1.35 − 0.2 ) * * = L + 1.15 = 0.12 L2 = 17.4tm 2 4 2 2 3 8 12 x

A

L/2

D

B

C

0.2=qt2 1.35 q

2.7=qt1

q

(

) x2 = 0

F2 − q t1 + q t1 − q ⋅

q : (q t1 − q t 2 ) = x : L

q = 2.5

x L

x x  F2 −  5.4 + 2.5  = 0 12  2 

xx  F2 −  2q t1 + 2.5  = 0 L 2 

0.104x2 + 2.7x – 5 = 0 x=

−2.7 + 3.1 = 1.9 m 0.208

M D = −F2 ⋅ x + 2.3 ⋅

MB > 0 = 17.4 tm MD < 0 = 5.2 tm

∆ = 2.7 2 + 20 * 0.104 = 9.37 → ∆ = 3.1

q = 2.5

1.9 = 0.4 t /m 12

x2 x 2 1.9 2 1.9 2 + q ⋅ x = −5 ⋅1.9 + 2.3 ⋅ + 0.4 = = -9.5 + 4.15 + 0.18 =- 5.2 t m 2 2 3 2 3