Electromagnetismo 643h1e

Factorizando tenemos el resultado final ke Q VP = 2R

r2 3− 2 R

r

104

electromagnetismo fmf-241 (2014)

EJEMPLO 3.7: Potencial de un plano infinito Este es una caso especial donde no podemos asumir que el potencial es cero en el infinito. Podríamos intentar usar el resultado del potencial de un disco infinito y tomar el límite cuando el radio es infinito p l´ım Vdisco = l´ım ke σ2π ( z 2 + R2 − z ) = ∞ R→∞

R→∞

es decir esta ecuación no puede ser usada. Pero conocemos el campo eléctrico de un plano infinito ~ = σ iˆ E 20 donde hemos puesto el plano coincidente con el plano yz, así que el campo va en la dirección positiva del eje x ~ · d~l = − σ iˆ · d~l = − σ dx dV = −E 20 20 donde hemos usado el hecho de que iˆ · d~l = iˆ · (dxiˆ + dy jˆ + dz kˆ ) = dx. Ahora integramos V =−

σ x + V0 20

x>0

donde la constante de integración V0 es el potencial en x = 0. Notar que el potencial decrece cuando x crece. De hecho V → −∞ si x → ∞. Si x < 0 el potencial es σ V = x + V0 x<0 20

El potencial también disminuye si x se hace más negativo. Podemos resumir los dos resultados en una sola fórmula para cualquier valor de x: σ V =− |x| + V0 20

3.7 Las ecuaciones de Poisson y Laplace Recordemos la forma diferencial de la ley de Gauss ~ = ∇E

1 ρ(~r) 0

~ = −∇V , podemos combinar estos dos y puesto que ahora sabemos que E términos 1 ∇ (−∇V ) = −∇ ∇V = ρ(~r) 0 La expresión ∇ ∇ corresponde al laplaciano ∇2 , el producto “punto” entre dos operadores “nabla” (ver sección 1.2), entonces obtenemos la ecuación de Poisson ρ ∇2 V = − 0 El operador ∇2 involucra derivadas parciales respecto a las coordenadas. Si conocemos ρ(x, y, z ) y las condiciones de borde apropiadas, estaremos en condiciones de resolver esta ecuación diferencial en derivadas parciales.

Ecuación de Poisson

el potencial electrostático

Hay algunos problemas de electrostática donde ρ es cero en casi todas las partes del espacio. Entonces la ecuación de Poisson se reduce a la ecuación de Laplace:

105

ecuación de Laplace

2

∇ V =0 Para resolver cualquiera de las dos ecuaciones diferenciales, tendremos que hacer consideraciones de simetría y expresar el Laplaciano en un sistema de coordenadas adecuado para facilitar los cálculos.

3.8 Conexión entre el campo eléctrico, el potencial eléctrico y la densidad de carga Es interesante hacer un resumen de la relación entre las tres cantidades más importantes que hemos visto hasta ahora: el campo eléctrico, el potencial eléctrico y la densidad de carga. La figura 3.6 resume estas ecuaciones y puede ser de ayuda cuando se trate de obtener una de estas cantidades a partir de otra. Campo eléctrico

Densidad de carga

Figura 3.6: Ecuaciones que relacionan la densidad de carga, el potencial eléctrico y el campo eléctrico.

Potencial eléctrico

106


EJEMPLO 3.8 Se sabe que el potencial está dado por V = 80 r0.6 . Asumiendo condiciones del espacio libre, encontrar: ~ = −∇V , pero puesto que V depende de r el campo eléctrico debe ser (a) El campo eléctrico: sabemos que E expresado en coordenadas esféricas. El operador gradiente en coordenadas esféricas es ∇ = rˆ

∂ 1 ∂ 1 ∂ + θˆ + φˆ ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ

y como V = V (r ) se reduce a: ~ = −∇V = − ∂V rˆ = −80(0.6)r−0.4 rˆ = −48r−0.4 rˆ E ∂r ~ = ρ/0 . En coordenadas (b) La densidad de carga volumétrica en r = 0.5 m: La densidad se obtiene de ∇ · E esféricas ∂ 1 ∂Eφ ~ = 1 ∂ ( r 2 Er ) + 1 (Eθ sin θ ) + ∇·E 2 r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ y nuevamente por se ve reducido a

ρ ( r ) = 0

~ = 1 ∂ ( r 2 Er ) ∇·E r2 ∂r

76.80 1 ∂ 2 1 ∂ 1 ∂ 1 (r Er ) = 0 2 (−r2 48r−0.4 ) = −480 2 (r1.6 ) = −480 2 (1.6)r0.6 = − 1.4 r2 ∂r r ∂r r ∂r r r

y evaluada en r = 0.5 ρ(0.5) = −1.79 nC/m3 Por supuesto que hubiéramos obtenido ρ directamente de la ecuación de Poisson ∇2 V = − esféricas el laplaciano es:

ρ . En coordenadas 0

∂ ∂2 1 ∂ 1 2 ∂ r + 2 sin θ + 2 2 ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂φ2 ∂ y que en nuestro caso se reduce a ∇2 V = r12 ∂r r2 ∂V ∂r . 1 ∂ ∇ = 2 r ∂r 2

(c) La carga total encerrada en la superficie r = 0.6: La manera más fácil es usando la ley de Gauss eligiendo una superficie esférica de radio r:ˆ ˆ ˆ −0.4 −0.4 ~ ~ ~ Qenc = 0 E dA = −48r rˆ · dA = −48r dA esf era

~ y además es constante en cualquier donde hemos usado el hecho de que el campo es radial y es paralelo a dA parte de la superficie de la esfera. Qenc = −480 r−0.4 4πr2 y al evaluar Qenc (0.6) = −2.36 nC. 0 usando coordenadas esféricas en Otra manera es integrar la densidad de carga ρ(r ) = − 76.8 r1.4

ˆ Qenc =

ρ(r )dV


107

EJEMPLO 3.9 Este es un ejemplo sencillo y muy conocido donde se resuelve la ecuación de Laplace con condiciones de borde. Se tienen dos planos conductores aislados infinitos. Uno de ellos está a potencial 0 (conectado a tierra) y el otro a potencial V0 . Los planos forman un ángulo α tal como se muestra en la figura. Determinar el potencial en función del ángulo φ en las regiones:

Espacio aislante para que los planos no se toquen

(a) 0 < φ < α: Es decir, se pide calcular el potencial en la región entre los dos planos. En este caso elegimos coordenadas cilíndricas para resolver la ecuación de Laplace: 1 ∂ ∂2V ∂V 1 ∂2V ∇2 V = + =0 r + 2 2 r ∂r ∂r r ∂φ ∂z 2 Puesto que los planos son infinitos, podemos decir es que V no cambiará con z (plano infinito). Las superficies equipotenciales son planos radiales con φ constante tal como se muestra en la figura. A partir de esto podemos asumir que el potencial sólo depende de φ y la ecuación de Laplace se reduce a: 1 ∂2V =0 r2 ∂φ2 y para r 6= 0 se tiene veces

∂2V ∂φ2

=0 . Esta es una ecuación diferencial simple, que puede resolverse integrando dos V ( φ ) = C1 φ + C2

Las constantes C1 y C2 se obtienen de las condiciones de borde V (0) = 0 y V (α) = V0 V (0) = 0 + C2 = 0

⇒ C2 = 0

V (α) = C1 α + C2 = V0

⇒ C1 =

De esta manera la solución es V (φ) =

V0 φ α

V0 α

0<φ<α

(b) α ≤ φ ≤ 2π: En este caso estamos en la región exterior y las condiciones de borde son V (α) = V0 y V (2π ) = 0 V (α) = C1 α + C2 = V0 V (2π ) = C1 2π + C2 = 0 V0 despejando, obtenemos C1 = − 2π−α y C2 =

V (φ) =

2πV0 2π−α

y la solución queda

V0 (2π − φ) 2π − α

Superficies equipotenciales

α ≤ φ ≤ 2π

Ahora como ejercicio adicional, podemos calcular el campo eléctrico para el caso 0 < φ < α. El operador gradiente en coordenadas cilíndricas es

108


∇ = rˆ

1 ∂ ∂ ∂ + φˆ + zˆ ∂r r ∂φ ∂z

∂ el cual se ve reducido a ∇ = φˆ 1r ∂φ en este problema. De esta forma

~ = −∇V = − 1 ∂ E r ∂φ

V0 V0 φ φˆ = − φˆ α αr

~ es función de r y no de φ, pero E ~ depende de φ pues φˆ aparece en la ecuación. Notar que la magnitud de E EJEMPLO 3.10 Supongamos que tenemos dos cilindros coaxiales muy largos, a diferente potencial como se muestra en la figura. Encontrar el potencial entre los cilindros. Solución: Debido a la simetría del problema, las superficies equipotenciales son cilindros concéntricos de radio r = constante. Usando coordenadas cilíndricas, el potencial no depende de φ ni de z. La ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas es ∂2V 1 ∂ ∂V 1 ∂2V ∇2 V = r + 2 + =0 2 r ∂r ∂r r ∂φ ∂z 2 la cual se ve reducida a

1 ∂ r ∂r

∂V r ∂r

=0

para ello debe cumplirse que r

∂V =A ∂r

⇒

∂V A = ∂r r

⇒

V (r ) = A ln r + B

donde A y B son constantes, que se determinan con las condiciones de borde V (a) = V0 y V (b) = 0, obteniéndose ln(b/r ) V ( r ) = V0 ln(b/a) De aquí podemos obtener inmediatamente el campo eléctrico ∂V 1 ∂V ∂V V0 ~ ˆ E = −∇V = − rˆ +φ + zˆ = rˆ ∂r r ∂φ ∂z r ln(b/a) EJEMPLO 3.11

Espacio

Ahora un ejemplo donde se involucren coordenadas esféricas. Se tiene un cono conductor a potencial V0 como se muestra en la figura. Calcular el potencial en todo el espacio. Solución: Debido a la simetría, las superficies equipotenciales son conos con θ = constante, independiente del ángulo φ y de r. El laplaciano en coordenadas esféricas es (ver sección 1.2) 1 ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂2 2 2 ∂ ∇ = 2 r + 2 sin θ + 2 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂φ2


109

y puesto que V solo depende del ángulo azimutal θ, la ecuación de Laplace queda 1 ∂ ∂V sin θ =0 r2 sin θ ∂θ ∂θ al excluir r = 0 y θ = 0 ∂ ∂θ

∂V sin θ ∂θ

=0

vemos que al integrar una vez en θ sin θ La segunda integral es

ˆ V =

∂V =A ∂θ A dθ + B sin θ

donde A y B son constantes de integración. Esta integral no es trivial y se puede buscar en una tabla θ +B V = A ln tan 2 Con las condiciones de borde V (π/2) = 0 y V (α) = V0 , α < π/2, se obtienen las constantes V (θ ) = V0

ln(tan 2θ ) ln(tan α2 )

~ = −∇V = − 1 ∂V θˆ El campo eléctrico se obtiene de E r ∂θ ~ (r, θ ) = − E

V0 θˆ r sin θ ln(tan α2 )

Todavía le podemos sacar más información de este problema. Por ejemplo el campo eléctrico en la superficie del cono es (haciendo θ = α) V0 ~ (r, α) = − θˆ E r sin α ln(tan α2 )

y es perpendicular a la superficie del cono. Usando el teorema de Gauss podemos determinar la densidad de carga superficial del cono (para ello elegimos un cilindro perpendicular a la superficie del cono como superficie Gaussiana). Obtenemos σ=−

0 V0 r sin α ln(tan α2 )

110


3.9 El momento dipolar eléctrico El concepto de momento dipolar eléctrico merece una sección especial. Es un concepto útil en átomos y moléculas y también en dieléctricos como veremos más adelante. Se define un dipolo eléctrico a un sistema de dos cargas iguales y de signo contrario, separadas entre sí por una pequeña distancia. El momento dipolar eléctrico p~ es una magnitud vectorial cuyo módulo equivale al producto de la carga Q por la distancia entre las cargas

Figura 3.7: Un dipolo son dos cargas de igual magnitud y signo contrario separadas por una distancia.

p = Qd La dirección del vector p~ va desde la carga negativa a la positiva p~ = Qd~ y la unidad de momento dipolar es [C.m], pero en la práctica se usa la unidad Debye [D], donde 1 D = 3.335 × 10−30 C.m. Ahora procederemos a calcular el potencial eléctrico debido a un dipolo. En la figura 3.8 elegimos coordenadas esféricas para describir el problema. Figura 3.8: Geometría del problema para calcular el campo eléctrico producido por un dipolo.

El punto P tiene coordenadas (r, φ, θ ), pero da lo mismo cualquier valor de φ, así que colocamos el punto P en el plano yz (φ = 0). El potencial en P será la suma de los potenciales de las cargas puntuales por separado: Q (−Q) 1 1 R2 − R1 + ke = ke Q − = ke Q V = ke R1 R2 R1 R2 R1 R2 Ahora la idea es expresar el potencial en función de r y θ. Esto no resulta en una expresión simple, pero para efectos prácticos necesitamos conocer el potencial a una distancia r muy grande comparada con d (d r). Cuando P se encuentra muy alejado del dipolo, las líneas R1 , r y R2 son prácticamente paralelas, tal como muestra la figura 3.9. Podemos seguir dos caminos para la aproximación: (a) De acuerdo a la figura R2 − R1 ≈ d cos θ y R1 R2 ≈ r2 , con lo cual el potencial es V ≈ ke Q

R2 − R1 R1 R2

= ke

Qd cos θ r2


Figura 3.9: Situación donde el punto P se encuentra muy alejado del dipolo, es decir r d.

muy alejado

(b) La otra forma es que de acuerdo a la figura R1 ≈ r − R2 ≈ r + d2 cos θ 1 1 − R1 R2

d 2

1 1 V = V ≈ ke Q = ke Q − d d r − 2 cos θ r + 2 cos θ ! d d r + 2 cos θ − r + 2 cos θ = ke Q (r − d2 cos θ )(r + d2 cos θ )

111

cos θ y

!

después de simplificar V ≈ ke

Qd cos θ r2

−

d2 4

cos2 θ

y después de considerar que d r , r2 − V ≈ ke

d2 4

cos2 θ ≈ r2 y tenemos

Potencial de un dipolo a una gran distancia.

Qd cos θ r2

Notar que el potencial es cero en el plano xy (θ = π/2). Además de ~ podemos reescribir el la figura anterior d~ · rˆ = d cos θ, y como p~ = Qd, potencial en función del momento dipolar:

V ≈ ke

p~ · rˆ r2

El campo eléctrico producido por el dipolo se calcula usando el gradiente en coordenadas esféricas ∂V 1 ∂V 1 ∂V ~ ˆ ˆ E = −∇V = − rˆ +θ +φ ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ ~ = ke Qd (2 cos θrˆ + sin θθˆ) E r3

Campo eléctrico de un dipolo a una gran distancia.

112


Figura 3.10: Lineas de campo eléctrico (negro) y superficies equipotenciales (azul) de un dipolo eléctrico.

3.10 Conductores En la sección 1.1 clasificamos los tipos de materiales de acuerdo a la mayor o menor facilidad con que los electrones se mueven en un material. En los conductores, por ejemplo los metales, los electrones son esencialmente libres de moverse dentro del material. Estos electrones son sensibles a fuerzas producidas, incluso, por pequeños campos eléctricos y estos siguen moviéndose mientras persista el campo eléctrico.

3.10.1 Conductores en equilibrio electrostático Ahora vamos a examinar un caso especial cuando las cargas en un conductor no se mueven, es decir están en equilibrio electrostático. El equilibrio electrostático es una situación estacionaria e independiente del tiempo, y establece que en un conductor (cargado), las cargas (en exceso) se distribuyen de tal manera de reducir la repulsión entre ellas. Como resultado no hay movimiento neto de carga dentro del conductor. Por ejemplo en la figura 3.11-a, supongamos que existe un campo eléctrico en el interior de un conductor. Este campo ejerce una fuerza sobre las cargas que las ponen en movimiento (situación de no equilibrio). El equilibrio se logra por medio de una redistribución de las cargas libres de tal manera que ellas no sufran ninguna fuerza neta. El tiempo que esto toma depende de la composición molecular del conductor. Como consecuencia el campo eléctrico en el interior es cero, pero al estar las cargas separadas (polarizadas), estas generarán un campo eléctrico que irradia hacia el exterior del conductor (Fig. 3.11-b). Además en el exterior el campo eléctrico no es cero.

Figura 3.11: En (a) las cargas no están en equilibrio, pues existe un campo eléctrico en el interior. En (b) el campo es cero en el interior cuando se logra el equilibrio electrostático.


113

3.10.2 Propiedades de conductores en equilibrio electrostático Un conductor en equilibrio electrostático tiene las siguientes propiedades: 1. El campo eléctrico dentro de un conductor en equilibrio electrostático es cero. 2. Cualquier carga neta en un conductor aislado debe estar en la superficie. 3. El campo eléctrico justo afuera de un conductor cargado es perpendicular a la superficie y la magnitud debe tener magnitud σ/0 . 4. En un conductor de forma irregular, la densidad de carga es mayor donde el radio de curvatura de la superficie es menor el campo eléctrico dentro de un conductor en equilibrio electrostático es cero: Esto ya lo vimos en la figura anterior, pero para ilustrar con un caso especial, consideremos una placa ~ ext (Fig. 3.12). conductora en presencia de un campo eléctrico externo E Antes de que se aplique el campo externo, los electrones estarán uniformemente distribuidos dentro del conductor. Una vez que se aplica el ~ ext , las cargas positivas serán repelidas por el campo mientras campo E que las cargas negativas serán atraídas. Al estar la cargas separadas se ~ int en dirección contraria a E ~ ext . Al creará un campo eléctrico interno E ~ int será pequeño, pero después de un tiempo muy corto (10−16 s) inicio E ~ int = −E ~ ext de tal manera que el campo en el interior será nulo. E Figura 3.12: Ilustración de que el campo eléctrico en el interior de un conductor en equilibrio electrostático es cero. Al inicio el conductor no estará en equilibrio pues las cargas serán movidas por el campo eléctrico externo. Debido a la separación de las cargas aparece un campo eléctrico interno que se opone al campo eléctrico externo. Después de un tiempo corto se logrará el equilibrio cuando la magnitud del campo eléctrico interno sea igual a la del campo eléctrico externo.

Si el campo en el interior no fuera nulo entonces, las cargas serían aceleradas por el campo; eso sería una contradicción de que el conductor está en equilibrio electrostático. Esta propiedad es válida para conductores cargados o conductores en presencia de campos eléctricos. Además, puesto que el conductor puede tener cualquier forma la distribución de carga es, en general, no uniforme para poder anular el campo eléctrico en el interior. La figura 3.13 muestra una caja metálica en presencia de

114


tres campos eléctricos externos. También se han representado las líneas de campo. Independientemente si la caja tiene carga en exceso (cargada), la acción de cada campo es ejercer una fuerza sobre las cargas y distribuirlas de forma no uniforme. El campo eléctrico en todo punto del espacio (incluyendo el interior de la caja) es la suma del campo debido a la distribución de cargas en la caja y el campo externo. Como resultado el campo al interior de la caja es nulo. Figura 3.13: El campo eléctrico es nulo en cualquier punto interior de una caja conductora cerrada.

Por otro lado, la figura 3.14 es otro ejemplo donde se muestra una carga puntual en presencia de tres conductores. La carga en los conductores se polariza para a su vez generar campos eléctricos. El resultado es que el campo eléctrico al interior de cada conductor en nulo.

+

+ +

+

++ + +

+

−

+

− −

+

+ + +

− − − −−

+ −

+

+ +

−−− − − −

− − − −− −− − ++ + + ++

−

Figura 3.14: Líneas de campo de una carga puntual en presencia de tres conductores. La configuración produce además una polarización electrostática en los conductores, los que a su vez generan campos eléctricos.


115

cualquier carga neta en un conductor aislado debe estar en la superficie: Podemos usar la ley de Gauss para demostrar esta propiedad. Supongamos que tenemos un conductor cargado. Imaginemos una superficie gaussiana muy cercana a la superficie del conductor tal como muestra la figura. La ley de Gauss dice que el flujo a través de esa superficie debe ser igual a la carga encerrada: ˛ Φ= S

~ · dA ~ = Qenc /0 E

~ = 0 en el interior, Φ=0, y en consecuencia Qenc = 0. pero, puesto que E Es decir no hay carga en el interior.6 Ahora si colocamos la superficie gaussiana arbitrariamente muy cerca de la superficie conductora, el resultado será el mismo. Por lo tanto, si el conductor está cargado, la carga debe estar necesariamente localizada en la superficie. La figura 3.16 muestra dos esferas conductoras, una esfera más pequeña cargada y la otra más grande neutra. El campo eléctrico radiado por la esfera cargada mueve las cargas en la esfera neutra de tal forma que la distribución de cargas no es uniforme. En efecto, la esfera neutra queda con cargas negativas inducidas en un lado y con cargas positivas inducidas en el otro lado (polarización electrostática). En ambos casos la carga se distribuye sobre la superficie de las esferas conductoras.

Figura 3.15: Un conductor de forma arbitraria y una superficie gaussiana que podemos colocar a cualquier distancia de la superficie conductora. También podemos decir que la densidad de carga es cero en el interior. La forma diferencial de la ley de Gauss es~ = ρ/0 y recordando tablece que ∇E ~ = 0 en el interior, entonces ρ=0. que E 6

Figura 3.16: Lineas de campo eléctrico (sólidas) alrededor de dos esferas conductoras esféricas. La esfera de la izquierda tiene una carga neta Q , y la esfera de la derecha es neutra. La carga en ambas esferas se distribuye sobre la superficie. Las líneas punteadas son superficies equipotenciales.

el campo eléctrico justo afuera de un conductor cargado es perpendicular a la superficie y la magnitud debe tener magnitud σ/ 0 : El campo en la superficie debe ser necesariamente perpendicular a la superficie, pues si no lo fuera, existiría una componente paralela a la superficie, lo que haría mover a los electrones libres en contradicción con la condición de equilibrio electrostático. Para demostrar que el campo tiene una magnitud de σ/0 , usamos la ley de Gauss. Elegimos un cilindro como superficie gaussiana (Fig. 3.18).

116


Figura 3.17: Si existiera una componen~ k los electe paralela a la superficie, E trones acelerarían en contradicción con la condición de equilibrio electrostático.

Como el campo en el interior es cero el flujo a través de la tapa interior del cilindro es cero. Además como el campo es perpendicular a la superficie del conductor, el flujo a través del manto del cilindro también será cero. Por lo tanto, el flujo total a través del cilindro será Φ = EA. La carga encerrada por el cilindro será simplemente la carga superficial contenida en la superficie de área A. Es decir, Qenc = σA. Así la ley de Gauss queda expresada: EA = σA/0 lo que demuestra que E = σ/0 . El hecho de que el campo sea perpendicular a la superficie significa que el conductor es una superficie equipotencial (∆V = 0). Efectivamente si A y B son dos puntos en la superficie del conductor entonces ˆB ~ · d~r ∆V = VB − VA = − E

Figura 3.18: Un pequeño cilindro es usado como una superficie gaussiana para calcular el campo afuera del con~ es perpendicular a la ductor. Como E superficie, el flujo a través de las caras del cilindro es EA.

A

~ · d~r = 0, entonces ∆V = 0. y puesto que E en un conductor de forma irregular, la densidad de carga es mayor donde el radio de curvatura de la superficie es menor: Esto es también conocido como “efecto punta”. Si un conductor tiene un exceso de electrones libres, estos electrones se repelerán y tratarán de estar lo más alejados posible unos de otros. En superficies planas los electrones sienten una repulsión mayor que si estuvieran en una región con alto grado de curvatura. En regiones con puntas los electrones sentirán menos repulsión entre sí y habrá una mayor densidad de carga en esa región y como consecuencia el campo eléctrico será más intenso. Figura 3.19: Efecto “punta”. A medida que aumenta la curvatura la densidad de carga aumenta y como consecuencia el campo eléctrico incrementará su intensidad.

"Plano"

Aumento de curvatura

"Punta"

"Puntas"

Aumento de la magnitud del campo elećtrico

Conductor

Podemos ilustrar el “efecto punta” calculando la magnitud del campo eléctrico para un caso especial. Supongamos que tenemos un conductor

Figura 3.20: Una superficie con dos “puntas”. cada punta se puede imaginar como dos esferas con diferentes radios que dan cuenta del radio de curvatura.


117

con una superficie irregular y localizamos dos puntas, tal como se muestra en la Figura 3.20. Estas puntas las podemos aproximar como pequeñas esferas conectadas entre sí, para que estén al mismo potencial. La figura 3.21 muestras estas dos esferitas con cargas q1 y q2 y que tienen radios r1 y r2 respectivamente. La condición de superficie equipotencial de las dos esferas es: V = ke es decir

q1 q2

=

r1 r2 .

Figura 3.21: Las dos esferitas conectadas por un alambre están al mismo potencial. Esta configuración se usa para ilustrar el “efecto punta”.

q1 q2 = ke r1 r2

Los respectivos campos eléctricos son: E1 = ke

q1 r12

y

E2 = ke

q2 r22

Lo que trae como consecuencia que E1 r2 = E2 r1 De este resultado se desprende que si r1 < r2 entonces E1 > E2 . Es decir, el campo es más intenso en las cercanías de la esfera más pequeña (con mayor grado de curvatura).

El “efecto punta”. La esfera más pequeña genera un campo eléctrico más intenso.

EJEMPLO 3.12: Esfera neutra conductora Una carga puntual positiva Q está en el centro de una capa conductora esférica con radio interior a y radio exterior b. Determinar el campo eléctrico y el potencial en términos de la distancia radial r. Solución: Usaremos la ley de Gauss. En la figura hemos dibujado tres superficies gaussianas para los tres casos posibles. Caso r > b: La superficie gaussiana S1 rodea a la carga Q y a la esfera conductora. Como la esfera no tiene carga neta, la carga encerrada es simplemente Q : ˛ ~ · dA ~ = Q/0 E

Capa conductora

y puesto que el campo es radial y de magnitud constante en la superficie, se obtiene Er = ke

Q r2

r>b

el campo resultó ser el mismo de una carga puntual Q en ausencia de la esfera. El potencial considerando V = 0 en el infinito es: ˆr ˆr Q ~ ~ V1 = − E · dl = − Er dr = ke r ∞

∞

Caso a < r < b: Estamos en un punto del interior del conductor y consideramos la superficie gaussiana S2 . No hay que hacer ningún cálculo en realidad, el campo debe ser cero en el interior del conductor Er = 0

a

Como el campo es cero, eso significa que el potencial V2 debe ser constante. Para calcular la constante, usamos

118


la continuidad del potencial en la frontera r = b V2 = V1 (b) = ke

Q b

Como el campo es cero y la carga encerrada por la superficie S2 deber ser cero, eso significa, que necesariamente, la cara interior del conductor debe estar cargada con carga −Q y la cara exterior con carga −Q (ver figura).

Caso r < a: La superficie gaussiana S3 rodea a Q y el campo tiene la misma forma que en el caso r > b Er = ke y el potencial

Q r2

r

ˆ V3 = −

Er dr + C = ke

Q +C r

donde la constante de integración se calcula por la continuidad en r = a, V2 (a) = V3 (a) Q 1 1 Q ke = ke + C ⇒ C = ke Q − b a b a y así obtenemos finalmente V3 = ke Q

1 1 1 + − r b a


119

3.11 Condensadores Comenzaremos por la definición más general de condensador.7 Un condensador tiene gran importancia práctica, y se compone de dos conductores aislados eléctricamente uno del otro, ya sea por medio del vacío o un aislante (dieléctrico). Los conductores pueden tener cualquier forma (ver figura 3.22), tienen cargas iguales y opuestas, y además existe una diferencia de potencial entre ellos. se puede demostrar experimentalmente que la magnitud de la carga Q es proporcional a la diferencia de potencial V , y la constante de proporcionalidad C se denomina capacidad del condensador y se escribe como C≡

También conocido por el nombre de “capacitor”. 7

Q V

La unidad de capacitancia es el Faradio (F) 1F =

1C 1V

Figura 3.22: Dos conductores aislados, cargados y separados constituyen un condensador.

La capacidad de un condensador es una propiedad física de dos conductores. La capacidad del condensador depende de dos factores: la geometría del condensador y la permitividad () del medio.

3.11.1 Cálculo de capacidad Puesto que la capacidad se define como Q/V necesitamos dos conductores con cargas opuestas de magnitud Q y además debemos calcular la diferencia de potencial entre los conductores. Esta diferencia de potencial se puede calcular con las técnicas que ya hemos vistos en las secciones anteriores. EJEMPLO 3.13: Condensador de placas paralelas Este condensador consiste en dos placas metálicas paralelas de área A, cargadas con una carga Q y separadas por una distancia d. Si ignoramos los efectos de borde podemos considerar el campo en el interior como uniforme, es decir estamos haciendo la aproximación de dos planos infinitos. Si las placas tienen una densidad superficial de carga σ, la carga se puede expresar como Q = σA. Fácilmente se obtiene que la magnitud del campo en el interior es E = σ/0 La diferencia de potencial se obtiene de ˆb

ˆb ~ d~l = − E

∆V = VB − VA = − a

ˆb σ/0 dl = −σ/0

a

dl = − a

σ d = −Ed 0

120


donde b − a = d. Tomando el módulo de ∆V , la capacidad es C=

0 A Q σA = σ = |∆V | d d 0

EJEMPLO 3.14: Condensador cilíndrico Este condensador consiste en un cilindro sólido de radio a y carga +Q rodeado coaxialmente por una cáscara cilíndrica de radio b y carga opuesta −Q. La capacidad se calcula conociendo el campo eléctrico entre a y b el cual es idéntico al del alambre infinito: ~ = 2ke λ rˆ E r El campo es radial y hemos elegido el largo L del cilindro lo suficientemente grande como para que la aproximación sea válida. La diferencia de potencial entre los puntos a y b es ˆb

ˆb ~ d~l = − E

∆V = Vb − Va = − a

2ke λ rˆ d~l r

a

en coordenadas cilíndricas rˆ d~l = rˆ (drrˆ + rdφφˆ + dz zˆ ) = dr por lo tanto

ˆb ∆V = Vb − Va = −2ke λ

dr = −2ke λ ln(b/a) r

a

por lo tanto la capacidad es C=

Q Q = |∆V | 2ke λ ln(b/a)

pero λ = Q/L, donde L es el largo del cilindro C=

L 2ke ln(b/a)

también se expresa como capacidad por unidad de longitud: C 1 = L 2ke ln(b/a)

Para calcular el campo eléctrico entre a y b, se usa la ley de Gauss. Para ello elegimos una superficie gaussiana consistente en un cilindro coaxial de radio r (ver figura). El procedimiento es casi idéntico al del alambre infinito y el resulttado es ~ = 2ke λ rˆ E r Superficie gaussiana


121

EJEMPLO 3.15: Condensador esférico Un condensador esférico consiste de un cascarón conductor de radio b y carga −Q concéntrico con una esfera conductora más pequeña de radio a y carga +Q. Encontrar la capacidad de este sistema. Solución: Lo primero es encontrar la diferencia de potencial entre los conductores. Por medio de la ley de Gauss encontramos fácilmente que el campo eléctrico para una distancia desde el centro de la esfera más pequeña es Q Er = ke 2 a < r < b r Este campo es radial, y por medio de integración obtenemos la diferencia de potencial ˆb Vb− Va = −

ˆb Er dr = −

a

Q ke 2 dr = −ke Q r

ˆb

a

dr = ke Q r2

1 1 − b a

a

Notar que la diferencia de potencial es negativa. A nosotros nos interesa la magnitud para calcular la capacidad ∆V = |Vb− Va | = ke Q

(b − a) ab

entonces C=

Q ab = ∆V ke (b − a)

Con la expresión anterior podemos calcular la capacidad de un conductor aislado. Si hacemos que b → ∞, la capacidad es ab a a C = l´ım = l´ım = = 4π0 a ke b→∞ ke (b − a) b→∞ ke (1 − a/b)

122


3.11.2 Conexión de condensadores En primer lugar vamos a describir el proceso de carga del un condensador. En el caso de un condensador de placas paralelas, inicialmente las placas están neutras. Al conectar una batería los electrones son empujados desde una placa hasta la otra de tal manera que una placa queda con deficiencia de electrones (positiva) mientras que la otra placa queda con exceso de electrones (negativa). En el proceso de carga, la batería pierde energía al efectuar trabajo sobre los electrones. El proceso continua hasta que las placas llegan a su capacidad máxima de recibir carga.

Figura 3.23: Símbolos para batería y condensador.

Figura 3.24: Proceso de carga de un condensador. La energía invertida por la batería se utiliza para trasferir electrones de una placa a la otra.

3.11.3 Energía almacenada en un condensador Supongamos que tenemos un condensador con capacidad C y una diferencia de potencial ∆V entre las placas. De acuerdo a la definición de capacidad, la carga q es igual a C∆V . Si transportamos una carga +dq desde la placa negativa a la positiva, actuando contra la diferencia de potencial ∆V . El trabajo realizado es dW = ∆V dq =

q dq C

Ahora, partiendo de un condensador totalmente descargado, el trabajo para llegar hasta una carga total Q es: ˆQ W = 0

1 q dq = C C

ˆQ qdq = 0

Q2 2C

Este trabajo aparece como energía potencial U almacenada en el condensador. Usando la definición C = Q/∆V , la energía potencial se puede escribir de tres maneras: W =

Q2 1 1 = Q∆V = C (∆V )2 2C 2 2

Esta ecuación es válida para cualquier condensador no importando su geometría.


123

3.12 Dieléctricos Hasta aquí hemos considerado solamente cargas en el vacío. En el caso del condensador de placas paralelas supusimos que no había ningún medio material entre las placas (vacío). Si colocáramos el condensador en un medio no conductor o dieléctrico, entonces la capacidad cambiaría. Las moléculas son neutras a nivel macroscópico, pero si éstas son sometidas a un campo eléctrico externo, se producen desplazamientos de cargas dentro de la molécula de tal forma que se crean pequeños dipolos eléctricos (momentos dipolares inducidos). La mayoría de las moléculas tienen un momento dipolar permanente así que las moléculas se reorientan en presencia de un campo eléctrico externo (Fig. 3.26).

Figura 3.25: Representación de una molécula con un momento dipolar permanente.

Figura 3.26: a) Las moléculas están orientadas en forma aleatoria en un material dieléctrico. b) Se aplica un campo eléctrico externo y las moléculas se orientan con el campo.

a) Sin campo

b) Campo aplicado

Al ser orientadas las moléculas en el dieléctrico, estas generan “dipolitos” que a su vez generan pequeños campos eléctricos en dirección contraria al campo eléctrico externo (Fig. 3.27). La suma de estos peque~ ind ) da origen a un campo eléctrico inducido ños campos eléctricos (∆E ~ ~ 0. Eind que se opone al campo externo E X ~ ind = ~ ind E ∆E

Figura 3.27: Al reorientarse los dipolos, estos crean un campo eléctrico inducido que se opone al campo eléctrico externo.

~ en el interior del dieléctrico, Como resultado tenemos un campo neto E ~0 y E ~ ind : que es la suma vectorial de E ~ =E ~0 + E ~ ind E ~0 y E ~ ind apuntan en dirección contraria, la magnitud de E ~ Puesto que E se expresa como E = E0 − Eind En el caso de un condensador de placas paralelas (Fig. 3.28), experimentalmente se demuestra que al introducir un dieléctrico entre

124


las placas, la diferencia de potencial y la magnitud del campo eléctrico disminuyen en un factor κ

V =

~ ~ = E0 E κ

V0 κ

donde κ rel="nofollow"> 1 es llamada la constante dieléctrica del dieléctrico. Puesto que C0 = Q0 /V0 , la nueva capacidad se obtiene C=

Q0 Q0 Q0 = V =κ = κC0 0 V V0 κ

Figura 3.28: Al introducir un dieléctrico entre las placas de un condensador de placas paralelas, la capacidad aumenta en un factor κ > 1.

C = κC0 es decir, la nueva capacidad aumenta en un factor κ. ~ ind en el condensador de placas paralelas es equivaLa aparición de E lente a la aparición de una densidad de carga superficial en ambas caras del dieléctrico (Fig. 3.29). Partiendo de E = E0 − Eind y dado que E0 = σ/0 , E = E0 /κ = σ/κ0 y Eind = σind /0 σ σ σ = − ind κ0 0 0 y se obtiene la densidad de carga superficial inducida σind =

κ−1 κ

σ

Figura 3.29: El campo eléctrico inducido es equivalente a un campo generado por dos placas paralelas con densidad de carga σind .

3.12.1 Vector de polarización Para formalizar todo lo anterior, vamos a introducir el concepto de vector de polarización P~ . Este vector expresa la densidad permanente o inducida de momento dipolar en un medio dieléctrico. Supongamos una región pequeña ∆v de un dieléctrico y sea N el número de dipolos que hay en el interior de ∆v,8 entonces se define P~ : N X

P~ ≡ l´ım

∆v→0

p~i

Si n es el número de dipolos por unidad de volumen (dipolos/volumen), entonces en un volumen ∆v hay N = n∆v dipolos. 8

i=1

∆v

El vector de polarización es la densidad de volumen del momento dipolar ∆~ p eléctrico. También en los libros de texto P~ se define como ∆v cuando ~ ∆v → 0. De este modo P se convierte en una función de las coordenadas, P~ (x, y, z ). ¿Se acuerdan del potencial en función del momento dipolar? p~ rˆ V = ke 2 r

Figura 3.30: El número dipolos en un pequeño volumen ∆v define el vector de polarización en esa región.


125

de aquí

d~ p rˆ r2 Si consideramos un volumen elemental dv (Fig. 3.31), el momento dipolar se puede escribir en función de P~ dV = ke

d~ p = P~ dv por lo tanto P~ rˆ (P~ dv ) rˆ = ke 2 dv 2 r r Ahora integramos sobre el volumen V del dieléctrico para obtener el potencial total ˆ ~ P rˆ dv V = ke 2 V r dV = ke

Figura 3.31: El potencial dV a una distancia r del elemento de volumen dv en un dieléctrico.

Análogamente el potencial expresado en función de los vectores de posición (Fig. 3.32) se expresa como: ˆ V (~r) = ke

P~ (~r0 ) (~r − ~r0 )

V0

|~r − ~r0 |3

dv 0

La expresión anterior se puede escribir de otra manera más conveniente:9 ˛ V (~r) = ke

A0

ˆ P~ nˆ (−∇0 P~ ) 0 0 dA + k dv e |~r − ~r0 | r − ~r0 | V 0 |~

donde ∇0 P~ significa derivadas con respecto a las coordenadas primas (x0 , y 0 , z 0 ) en el dieléctrico, V 0 es el volumen del dieléctrico, A0 es la superficie que rodea a V 0 y el vector nˆ es un vector unitario normal saliendo desde el elemento de superficie dA0 .

Figura 3.32: El potencial en un punto cuyo radio vector es ~ r. Se deja al lector la deducción o puede consultar el libro de Reitz-MilfordChristy, páginas 100-101. 9

Los términos P~ nˆ y −∇0 P~ reciben nombres especiales: Densidad superficial de carga de polarización σP ≡ P~ nˆ

[C/m2 ]

Densidad volumétrica de carga de polarización ρP ≡ −∇ P~

[C/m3 ]

Con esto reescribimos el potencial: ˆ ˛ σP ρP 0 V (~r) = ke dA + k dv 0 e 0| 0| |~ r − ~ r |~ r − ~ r 0 0 A V EJEMPLO 3.16 El vector de polarización en una esfera dieléctrica de radio R es P~ = P0 iˆ. Determinar: (a) La densidad superficial de polarización y la carga de polarización: La densidad de carga de polarización superficial es σP = P~ n, ˆ donde nˆ es normal a la superficie de la esfera de radio R. En este caso usamos ren ˆ vez de nˆ σP = P~ nˆ = P~ rˆ = P0 iˆ rˆ

126


obviamente aquí tenemos la dificultad de calcular cuanto vale iˆ · r. ˆ Para ello escribimos el vector unitario rˆ ˆ de tal modo expresado en función de los vectores unitarios cartesianos, rˆ = sin θ cos φiˆ + sin θ sin φjˆ + cos θk, que iˆ rˆ = iˆ (sin θ cos φiˆ + sin θ sin φjˆ + cos θkˆ ) = sin θ cos φ es decir

σP = P0 sin θ cos φ

La carga superficial de polarización se calcula con dA en coordenadas esféricas, dA = R2 sin θdθdφ ˆ2πˆπ

˛ QS =

σP dA = 0

(P0 sin θ cos φ)R2 sin θdθdφ = P0 R2

ˆ2πˆπ 0

0

sin2 θ cos φdθdφ = 0

0

´π

es cero pues integral 0 cos φdφ = 0 (b) La densidad volumétrica de polarización y la carga de polarización: El resultado es inmediato, pues ρP = −∇ P~ = −∇ (P0 iˆ) = −P0 ∇ (iˆ) = 0 así que la carga dentro de la esfera es

˛ Qv =

ρP dv = 0

Nota: La carga total de la esfera es QS + Qv = 0. Es un resultado esperado pues la esfera es neutra.

3.12.2 Vector de desplazamiento Como vimos anteriormente, cuando un dieléctrico está polarizado, aparece una densidad volumétrica de carga ρP . Esta densidad genera a su vez un campo eléctrico, el cual se superpone a cualquier otro campo eléctrico presente. Si partimos de la forma diferencial de la ley de Gauss en el vacío ~ = ρ/0 ∇E en el caso de un dieléctrico hay que incluir la densidad ρP en la ecuación10 ~ = ∇E

1 ( ρ + ρP ) 0

pero como ρP = −∇ · P~ , lo reemplazamos en la ecuación anterior

En algunos libros de texto, ρ se llama “densidad de carga libre” y ρP se llama “densidad de carga ligada”. Entonces se escribe: ~ = 1 (ρlibre + ρligada ) ∇·E 10

0

~ = 1 (ρ − ∇ P~ ) ∇E 0 y reordenando ~ + P~ ) = ρ ∇ ( 0 E La expresión entre paréntesis se llama densidad de flujo eléctrico o des~ que tiene unidades de [C/m2 ] plazamiento eléctrico, D ~ = 0 E ~ + P~ D Esto nos permite formular la forma diferencial de la ley de Gauss en forma más general ~ =ρ ∇D

Forma diferencial de la ley de Gauss en un dieléctrico.


donde ρ es la densidad de carga volumétrica de las cargas libres (o densidad de carga externa). Análogamente la forma integral de la ley de Gauss en presencia de dieléctricos es ˛ ~ dA ~=Q D

127

Forma integral de la ley de Gauss en un dieléctrico.

S

3.12.3 Susceptibilidad eléctrica y constante dieléctrica El grado de polarización de un dieléctrico va a depender de la naturaleza molecular del dieléctrico y también del campo eléctrico aplicado. A nivel macroscópico, experimentalmente se encuentra que P~ depende de ~ P~ = P~ (E ~ ), es decir si E ~ varía en todo punto del material, entonces E, así lo hará P~ . La forma más sencilla es cuando el material es isotrópico y P~ depende ~ linealmente de E: ~ P~ = χ(E )E donde la cantidad escalar χ(E ) es llamada susceptibilidad eléctrica del material. ~ = 0 E ~ + P~ Podemos combinar esta ecuación con D ~ = 0 E ~ + χ(E )E ~ = (0 + χ(E ))E ~ D y definir la permitividad del material (E ) ( E ) = 0 + χ ( E ) de tal forma que el desplazamiento toma una forma más simple11 ~ = (E )E ~ D Recordemos que ya habíamos introducido la constante dieléctrica κ, la cual ahora podemos relacionar con

~ es paSi es constante, entonces D ~ ralelo a E.

= κ0 y puesto que κ es una cantidad adimensional, es más conveniente trabajar con ella χ κ= = 1+ 0 0

por lo tanto, para un medio lineal

~ = ( − 0 ) E ~ P~ = (κ − 1)0 E

Escribimos χ(E) o (E ) diciendo que ~ pero estas “constantes” dependen de E, en algunos materiales lineales estas son independientes del campo y escribimos simplemente = 0 + χ. ~ es paSi χ es constante, entonces P ~ ralelo a E. 11

y

~ = κ0 E ~ D

128


EJEMPLO 3.17: Carga puntual en un medio dieléctrico Este es el ejemplo muy sencillo, pero muy ilustrativo. Sea una carga puntual q localizada en el origen y sumida en un dieléctrico de extensión infinita y constante κ. Encontrar el campo eléctrico en el dieléctrico. Solución: Si la carga estuviera situada en el vacío el campo sería simplemente ke q/r2 . Vamos a suponer que ~ D ~ y P~ son paralelos. el material es lineal de forma que E, ~ y P~ también lo El campo eléctrico es radial, así que D son. Vamos a proceder a usar la ley de Gauss y elegimos como superficie gaussiana una esfera de radio r ˛ ~ dA ~=q D

Superficie gaussiana

S

~ tiene magnitud constante en la carga encerrada es q, D toda la superficie gaussiana de radio r y además es pa~ ralelo a dA

˛ dA = q

D

D4πr2 = q

⇒

⇒

S

D=

q 4πr2

En forma vectorial queda ~ = D

q q rˆ = ~r 4πr2 4πr3

~ = E ~ = κ0 E ~ El campo eléctrico se evalúa de D ~ = E ~ y la polarización de P~ = (κ − 1)0 E

q q rˆ = ~r 2 4πκ0 r 4πκ0 r3

(κ − 1)q P~ = ~r 4πκr3

Nota: Como se puede observar en la figura, el campo eléctrico generado por q hace que el medio dieléctrico se polarice y puesto que κ > 1, el campo eléctrico se debilita en un factor κ. Además si el medio dieléctrico es el vacío, κ = 1 y la polarización se anula.


129

3.12.4 Condiciones de borde Ahora vamos a considerar dos dieléctricos separados por una superficie de frontera (lado izquierdo de la figura 3.33). Queremos saber como ~ yD ~ cuando estos cruzan la frontera. cambian los vectores E Figura 3.33: Superficie de separación entre dos medios dieléctricos. A la izquierda una trayectoria rectangular y a la derecha una superficie gaussiana en forma de cilindro. En ambos casos ∆h es muy pequeño de tal forma que se cumpla la condición de frontera.

Región 2

b

a

c

d

Región 1 Primero comenzamos con el hecho de que el campo eléctrico es conservativo, y por lo tanto la integral de línea a través de un camino cerrado es cero. En nuestro caso elegimos el camino abcd de la figura 3.33 y hacemos ∆h muy pequeño para que se cumpla la condición de frontera: ˛ ~ d~l = 0 E abcda

Ahora descomponemos la trayectoria abcd en los trazos ab, bc, cd y da: ˆ ˆ ˆ ˆ ~ d~l + ~ d~l + ~ d~l + ~ d~l = 0 E E E E ab

bc

cd

da

´ ´ ~ d~l = ~ ~ Vemos que bc E da E dl = 0 si hacemos que ∆h → 0, pues de esa forma las contribuciones de estos dos trazos se hace cero. Entonces sólo nos queda evaluar la expresión: ˆ ˆ ~ ~ ~ d~l = 0 E dl + E ab

cd

En los trazos ab y cd, sólo las componentes tangenciales contribuyen a las ~ 2 d~l = E2t ∆w y E ~ 1 d~l = E1t (−∆w ), por lo tanto integrales. Entonces E ˆ ˆ ~ d~l + ~ d~l = E2t ∆w − E1t ∆w = 0 E E ab

cd

de ese modo E2t ∆w − E1t ∆w = (E2t − E1t )∆w = 0 Puesto que ∆w 6=0, tenemos la condición de frontera para el campo eléctrico es E1t = E2t

Condición de frontera para el campo eléctrico. La componente tangencial es continua a través de una superficie de separación.

130


~ = E, ~ si tenemos dos medios con permitividades Recordando que D 1 y 2 , se cumple que D1t D2t = 1 2 La otra condición de frontera es para el vector desplazamiento ~ Para ello construimos una caja de “píldoras” que esté entre eléctrico D. la frontera de los dos medios (lado derecho de la figura 3.33). Usamos la ley de Gauss ˛ ~ =Q ~ dA D S

Descomponemos la integral en dos partes correspondientes a los dos medios dieléctricos: ˆ ˆ ~ + ~ =Q ~ 1 dA ~ 2 dA D D S1

S2

Donde S1 y S2 representan las superficies parciales del cilindro en el medio 1 y medio 2 respectivamente. Nuevamente consideramos que la altura ∆h del cilindro es muy pequeña tal que las contribuciones del manto es cero. Sólo no queda la contribución de las dos tapas, donde las componentes ~ son paralelas a dA: ~ perpendiculares del vector D ˆ

ˆ

ˆ

~ dA ~+ D S1

S2

~ = −D1n ~ dA D

S1

ˆ dA + D2n

dA = Q S2

~ forma un ángulo de 180° El signo menos viene del hecho de que dA ~ con D1n en el medio 1. La carga encerrada se expresa en función de la densidad superficial de carga, Q = σ∆A −D1n ∆A + D2n ∆A = σ∆A con lo que se obtiene la segunda condición de frontera: D2n − D1n = σ

ó

2 E2n − 1 E1n = σ

Se debe tener en cuenta que D1n , D2n , E1n y E2n son todos valores absolutos. Una forma menos peligrosa de escribir lo anterior es: ~1 −D ~ 2 ) · nˆ 2 = σ (D donde el vector unitario normal nˆ 2 apunta hacia afuera del medio 2 (o hacia adentro del medio 1).

~ es disconLa componente normal de D tinua a través de una superficie de separación cuando existe una carga superficial.


131

EJEMPLO 3.18: Lámina dieléctrica en un campo eléctrico uniforme Se introduce perpendicularmente una lámina de dieléctrico con κ = 3.2 en un ~ 0 = E0 iˆ en el espacio libre. Determinar E ~i , D ~ i y P~i campo eléctrico uniforme E en el interior de la lámina. ~ 0 no cambiará al introducir Solución: Vamos a suponer que el campo eléctrico E la lámina. En la figura las superficies de separación son perpendiculares al campo eléctrico y además no hay cargas libres (σ = 0). Aplicamos la segunda condición de frontera que relaciona las componentes normales del vector desplazamiento (D2n − D1n = σ). Di − D0 = 0 |{z} |{z} dielectrico

Espacio libre

Espacio libre

vacio

pero como el campo eléctrico y el desplazamiento son paralelos y van en la dirección x, D0 = 0 Eo , tenemos Di = D0 = 0 Eo

o en forma vectorial ~ i = 0 Eo iˆ D El campo eléctrico es

~i = 1 D ~ i = 0 Eo iˆ = 1 Eo iˆ = Eo iˆ E κ 3.2

~i La polarización se calcula de P~i = (κ − 1)0 E Eo P~i = (κ − 1)0 iˆ = 0.68750 Eo iˆ κ Finalmente si aplicamos las mismas condiciones de borde en el lado derecho de la lámina, el resultado será el mismo. EJEMPLO 3.19

Superficie sin carga

Dos medios dieléctricos con permitividades 1 y 2 están separados ~ 1y E ~ 2 forman ángulos por una frontera libre de cargas. Los vectores E θ1 y θ2 con la normal respectivamente, tal como se muestra en la figura. De la condición E1t = E2t se obtiene: E1 sin θ1 = E2 sin θ2

(∗)

~ es D1n − D2n = 0 Por otro lado, ya que σ = 0, la condición para D D1 cos θ1 = D2 cos θ2 pero como D1 = 1 E1 y D2 = 2 E2 reemplazamos en la anterior 1 E1 cos θ1 = 2 E2 cos θ2

(∗∗)

132


dividiendo (*) por (**) llegamos a E1 sin θ1 E2 sin θ2 tan θ1 tan θ2 = ⇒ = 1 E1 cos θ1 2 E2 cos θ2 1 2 es decir

1 tan θ1 = tan θ2 2

~ 2 se calcula de La magnitud de E E2 =

q

2 + E2 = E2t 2n

q

(E2 sin θ2 )2 + (E2 cos θ2 )2

θ1 si ahora reemplazamos E2 = E1 sin sin θ2 en la expresión anterior:

r E2 = de la expresión

tan θ1 tan θ2

sin θ1 sin θ1 (E1 sin θ2 )2 + (E1 cos θ2 )2 = sin θ2 sin θ2

=

1 2

se encuentra que r E2 =

sin θ1 cos θ2 sin θ2

=

r

(E1 sin θ1 )2 + (E1

1 cos θ1 2

(E1 sin θ1 )2 + (

sin θ1 cos θ2 )2 sin θ2

y

1 E1 cos θ1 )2 2

obteniéndose finalmente E2 = E1

r 1 sin2 θ1 + ( cos θ1 )2 2

EJEMPLO 3.20: Condensador con dos dieléctricos Ahora vamos a considerar un condensador de placas paralelas con dos medios dieléctricos de permitividad distinta. Suponemos un diferencia de potencial V entre las placas. Los campos eléctricos en las dos regiones son uniformes y debe cumplirse que V = E1 d1 + E2 d2

(∗)

~ En la interfaz dieléctrica no hay carga libre y debe cumplirse la condición de frontera para D D1n = D2n

o´

1 E1 = 2 E2

Si eliminamos E2 y reemplazamos en (*) V = E1 d1 + despejamos E1 E1 =

1 E 1 1 d2 = E1 (d1 + d2 ) 2 2 V d1 + 12 d2

(∗∗)

~ placa = 0 y como la condición de frontera dice Por otro lado, la placa inferior es un conductor, por lo tanto D que D1 − Dplaca = D1 − 0 = σ, se obtiene D1 = 1 E1 = σ


133

y reemplazamos esto en (**) V σ = 1 d1 + 12 d2

σ 1 V = (d1 + d2 ) = σ 1 2

⇒

d1 d2 + 1 2

Puesto que D1 = D2 , la magnitud de la carga superficial es la misma en ambas caras. La capacidad se calcula de: Q 1 σA σA = C= (∗ ∗ ∗) = = d1 d2 d1 V V + d2 σ + 1

2

1 A

2 A

Si imaginamos que el condensador está compuesto por dos condensadores en serie con capacidades C1 = vemos que de (***)

1 A d1

C2 =

y

2 A d2

1 d1 d2 1 1 = + = + C 1 A 2 A C1 C2

que es la fórmula para calcular la capacidad de dos condensadores en serie. EJEMPLO 3.21 Las placas conductoras del condensador de la figura tienen largo L (hacia el fondo) y una densidad de carga +σ (r ) y −σ (r ) respectivamente. Donde σ (r ) = Ar , A > 0. Calcular: (a) La carga por unidad de largo en cada una de las placas. (b) La diferencia de potencial entre las placas. (c) Las cargas de polarización del dieléctrico. Solución (a): La carga se calcula integrando la densidad en una de las superficies metálicas y considerando el elemento de área dado por dA = drdz

ˆ Q=

ˆL ˆb σdA =

placa

0 a

A drdz = LA ln r

b a

donde L es el largo del la placa. Por lo tanto la carga por unidad de longitud es Q = A ln L

b a

Solución (b): Suponemos que las placas están a una diferencia de potencial V0 . Ahora vamos a calcular el potencial en cualquier punto entre las placas con el objetivo de calcular el campo eléctrico y luego el vector desplazamiento. Por la simetría del problema las superficies equipotenciales corresponden a planos que pasan por el vértice y por lo tanto el potencial sólo dependerá del ángulo φ en coordenadas cilíndricas (esta parte del problema es idéntica al ejemplo 3.9). 1 ∂2V =0 r2 ∂φ2 y para r 6= 0 se tiene

∂2V ∂φ2

=0 . Esta es una ecuación diferencial simple, que puede resolverse integrando dos

veces V (φ) = C1 φ + C2 . Las constantes C1 y C2 se obtienen imponiendo las condiciones de borde V (0) = 0

134


y V (α) = V0 para llegar a: V (φ) =

V0 φ α

0<φ<α

El campo eléctrico se obtiene de ~ = − 1 ∂V φˆ = − V0 φˆ E r ∂φ rα

~ = E ~ = − V0 φˆ D rα

Vamos a usar la condición de discontinuidad del vector desplazamiento en la frontera dieléctrico-conductor. Vamos a considerar la placa superior que está a potencial V0 . Entonces el medio 2 es el conductor y el medio 1 es el dieléctrico. Usando D2n − D1n = σ V0 =σ 0 − Dn = − − rα

⇒

σ=

V0 rα

(∗)

donde el vector desplazamiento dentro del conductor (medio 2) es cero. Ahora igualamos (*) con V0 A = rα r

⇒

V0 =

A r

Aα

~1 −D ~ 2 ) nˆ 2 = σ. En nuestro caso el medio 1 es el dieléctrico, También podríamos haber usado la forma (D el medio 2 es la placa (conductor) de arriba y nˆ 2 = −φˆ sale de la placa (entra en el dieléctrico). Además ~ 2 = 0. Si ponemos D ~ 1 = D, ~ tenemos que sabemos que en el conductor no hay campo eléctrico, luego D ~ · nˆ 2 = σ D ~ (−φˆ ) = σ ⇒ − V0 φˆ (−φˆ ) = V0 = σ D rα rα Solución (c): La cargas de polarización se obtienen calculando primero: ~ = −( − 0 ) V0 φˆ = −( − 0 ) A φˆ P~ = ( − 0 )E rα r La densidad volumétrica de carga de polarización es ρP = −∇ · P~ ρP = −∇ P~ = −

1 ∂ (rPr ) 1 ∂Pφ ∂Pz + + r ∂r r ∂φ ∂z

=−

1 ∂Pφ =0 r ∂φ

es cero porque Pφ no depende de φ. La densidad superficial de carga de polarización es σP = P~ · n, ˆ donde nˆ es un vector normal que sale de la superficie del dieléctrico. Tenemos dos fronteras: σP = P~ · nˆ = −( − 0 )

A A ˆ φ · (−φˆ ) = ( − 0 ) r r

A A σP = P~ · nˆ = −( − 0 ) φˆ · (+φˆ ) = −( − 0 ) r r Notar que la suma de todas las cargas de polarización es cero.

θ=0

θ=α


135

3.12.5 La ecuación de Poisson y Laplace en un medio dieléctrico Si el medio dieléctrico es lineal, estas ecuaciones se pueden deducir de ~ = ρ, D ~ = E ~ y de E ~ = −∇V ∇·D ∇2 V = −

ρ

donde todo parece suponer que se ha reemplazado 0 por . Por otro lado la ecuación de Laplace queda idéntica a la del vacío

Ecuación de Poisson en un dieléctrico de permitividad .

Ecuación de Laplace.

∇2 V = 0 EJEMPLO 3.22 Considere dos placas rectangulares conductoras perfectas dispuestas con sus planos formando un ángulo α como muestra la figura. El largo de las placas en dirección perpendicular al papel es L. El espacio entre las placas se rellena con materiales dieléctricos distintos, de constantes dieléctricas 1 , 2 y 3 . Se conecta la placa inferior a tierra (V = 0) y la superior a un potencial V = V0 . Considerando solo el primer trozo, en a < r < b, calcule los ~ D, ~ P~ , la densidad de carga libre sobre cada placampos E, ca, las densidades superficiales de carga de polarización y la capacidad. Solución: En un problema anterior habíamos calculado el potencial entre las placas resolviendo la ecuación de Lapla2 ce en coordenadas cilíndricas: r12 ∂∂φV2 = 0 cuya solución era V (φ) = C1 φ + C2 y con las condiciones de borde obtuvimos V (α ) = El campo eléctrico es

V0 φ α

~ = −∇V = − 1 ∂ E r ∂φ

0<φ<α

V0 V0 φ φˆ = − φˆ α αr

El desplazamiento en el dieléctrico 1 es ~ 1 = 1 E ~ 1 = − 1 V0 φˆ D αr ~ = ( 1 − 0 ) E ~ = −(1 − 0 ) V0 φˆ P~1 = (κ1 − 1)0 E αr ~ La densidad de carga libre se obtiene de la discontinuidad del vector D ~1 −D ~ 2 ) · nˆ 2 = σ (D donde nˆ 2 es el vector unitario normal que sale de la superficie 2.

136


~ 1 en el dieléctrico y D ~ 2 = 0 dentro de la placa metálica y además nˆ 2 = φˆ Para la placa de abajo elegimos D (saliendo de la región 2, la placa). Nos quedamos con la condición: ~ 1 − 0) · φˆ = − σ = (D

1 V0 1 V 0 ˆ ˆ φ·φ = − αr αr

En la placa superior el vector normal nˆ 2 = −φˆ y la superficie 2 es la placa ~ 1 − 0) · (−φˆ ) = − σ = (D

1 V 0 ˆ 1 V 0 φ · (−φˆ ) = + αr αr

Ahora calculamos la carga en la placa superior teniendo en cuenta que el elemento de área en la placa es dA = drdz: ˆb ˆL ˆb ˆ 1 V0 dr 1 V 0 1 V0 drdz = L =L ln(b/a) Q1 = σdA = αr α r α 0 a

a

entonces la capacidad es Q/V0 C1 =

L1 ln(b/a) α

Las densidades superficiales de carga de polarización se calculan de σP = P~1 · nˆ 2 . En la superficie inferior ˆ por lo tanto nˆ 2 = −φ, V0 V0 σP = −(1 − 0 ) φˆ · (−φˆ ) = (1 − 0 ) φˆ αr αr ˆ en la placa superior es el negativo pues nˆ 2 = φ. Cada placa es una equipotencial, por lo tanto la diferencia de potencial es la misma en todos los trozos ~ Todo lo demás depende de la permitividad, así que con diferente permitividad. Lo mismo ocurre con E. serán distintos en cada dieléctrico. Cada trozo está entre placas a igual potencial, por lo que están en paralelo y la capacidad total será: C=

L [1 ln(b/a) + 2 ln(c/b) + 3 ln(d/c)] α

EJEMPLO 3.23 Considere dos cascarones metálicos cilíndricos y concéntricos de radios a y b y largo L b, a. El interior de este condensador se llena con 8 materiales distintos de forma regular, es decir, cada material ocupa el mismo espacio entre los conductores, como se muestra en la figura. Cada material es caracterizado por una constante dieléctrica uniforme. Suponiendo que el conductor interior se conecta a un potencial V0 y el exterior a tierra (V = 0), determinar: (a) La capacitancia de un condensador consistente de un sólo dieléctrico con las dimensiones de la figura. Puede ocupar por ejemplo el condensador que tiene permitividad 1 . (b) La capacitancia total del sistema mostrado en la figura. ¿Como es la conexión de los dieléctricos? ¿En paralelo o en serie? (c) Determine P~ y la densidad superficial de carga de polarización sobre las superficies de o cada dieléctrico. Solución:


137

(a) Para calcular la capacidad necesitamos primero calcular la carga sobre la superficie de una de las esferas. ~ = 1 E. ~ El campo lo obtenemos del potencial que se calcula de Para ello necesitamos calcular el vector D la ecuación de Laplace en coordenada cilíndricas. El potencial dependerá solamente de r pues las superficies equipotenciales son cilindros concéntricos: 1 ∂ ∂V ∇2 V = r =0 r ∂r ∂r para r 6= 0 se tiene ∂ ∂r

r

∂V ∂r

=0

⇒

r

∂V =A ∂r

⇒

V = A ln r + B

las constantes A y B se encuentran a partir de las condiciones de borde V (a) = V0 y V (b) = 0, es decir V0 ln b V0 y B=− A= ln(a/b) ln(a/b) V =

V0 V0 ln b V0 ln r − = ln(r/b) ln(a/b) ln(a/b) ln(a/b)

El campo eléctrico es V0 1 ~ = −∇V = −rˆ ∂V = − V0 1 rˆ = E rˆ ⇒ ∂r ln(a/b) r ln(b/a) r

~ = 1 E ~ = D

1 V0 1 rˆ ln(b/a) r

~ es radial y por lo tanto Ahora procedemos a calcular la carga a partir de la ley de Gauss considerando que D ~ es paralelo al vector dA ˛ ~ · dA ~ Q= D S

para ello elegimos la superficie gaussiana como un cilindro que encierra la región del dieléctrico de largo L ~ es paralelo al y que corresponde a un octavo del cilindro con un ángulo 2π/8 = π/4. Considerando que D ~ vector dA y que el elemento de área en coordenadas cilíndricas es dA = rdφdz   π/4ˆL π/4 ˆL ˆ ˆ 1 V 1 V0 Lπ 1 0  rdz  dφ = Q= DdA = ln(b/a) r 4 ln(b/a) 0

0

0

0

Finalmente la capacidad es C1 =

Q 1 Lπ = V0 4 ln(b/a)

~ en la superficie: Otra forma de haber calculado la carga es usando la discontinuidad del vector D D1n − D2n = σ donde D2n = 0, que corresponde adentro del conductor, entonces σ = de ˆ Q= σdA

1 V0 1 ln(b/a) r

y se obtiene la misma carga

S

(b) Para calcular la capacidad total debemos observar que todos los condensadores están a una misma diferencia de potencial, por lo tanto están en paralelo. La capacidad total es la suma de las capacidades C=

1 Lπ 2 Lπ Lπ + +··· = ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 ) 4 ln(b/a) 4 ln(b/a) 4 ln(b/a)

138


~ = V0 (1 −0 ) 1 r. (c) La carga de polarización es σP = P~ n, ˆ donde P~ = (1 − 0 )E ˆ Para la superficie a potencial ln(b/a) r cero nˆ = rˆ y para la superficie a potencial V0 nˆ = −rˆ y obtenemos dos densidades de polarización: V 0 ( − 0 ) 1 σP0 = P~ (rˆ) = ln(b/a) r

y

V0 ( − 0 ) 1 σPV = P~ (−rˆ) = − 0 ln(b/a) r

Por supuesto que la carga total de polarización es cero. De forma análoga obtenemos las densidades para el resto de los dieléctricos. El campo eléctrico no depende de las permitividades . Eso es una consecuencia directa de la continuidad de la componente tangencial del campo eléctrico en la frontera de los dieléctricos. En efecto como el campo es radial, este será tangente al la frontera entre dos dieléctricos.

~ yD ~ 3.12.6 Energía electrostática en términos de E Partiendo de la expresión de energía electrostática de una distribución continua de cargas ˆ 1 U= ρV dv 2 V’

~ sustituimos ρ = ∇ · D 1 U= 2

ˆ ~ )V dv (∇ · D V’

~) = V∇·D ~ +D ~ · ∇V y usando la identidad ∇ · (V D ˆ ˆ ˆ 1 ~)−D ~ · ∇V )V dv = 1 ∇ · (V D ~ )dv − 1 D ~ · ∇V dv (∇ · (V D U= 2 2 2 V’

V’

V’

Para la primera integral usamos el teorema de la divergencia ˆ ‰ ~ )dv = V D ~ · dA ~ ∇ · (V D V’

S0

~ y sustituimos ∇V = −E U=

1 2

‰ S0

~ · dA ~+1 VD 2

ˆ ~ · Edv ~ D V’

Podemos hacer una simplificación a la expresión anterior. La superficie puede ser cualquiera que rodee a las cargas, por lo tanto podemos elegir una esfera de radio R. A medida que R → ∞ el potencial disminuye a razón de 1/R mientras que el desplazamiento disminuye a razón de 1/R2 . Por otro lado la superficie S 0 aumenta a razón de R2 . Es decir la primera integral disminuye a razón de 1/R y se hará cero conforme R → ∞. De esta manera podemos despreciar la integral de superficie y quedarnos con S0

1 U= 2

ˆ ~ · Edv ~ D V’

~ y D. ~ Energía eléctrica en términos de E


~ = E ~ Para un medio lineal e isótropo D 1 U= 2

ˆ V’

E 2 dv

139

Energía eléctrica para un medio lineal e isótropo.

140


PROBLEMAS 3.1 Dado el potencial V = (Ar4 + Br−4 ) sin 4φ (a) Demuestre que ∇2 V = 0 ~ (b) Encuentre las constantes A y B para que se cumpla que V = 100 V y E = 500 V/m en el punto P (r = 1, φ = 22.5°, z = 2). Resp.: (b) A = 112.5; B = −12.5 (o ; B = 112.5) 3.2 Un disco de radio R tiene una densidad de carga superficial dada por σ = σ0 r2 /R2 , donde σ0 es una constante y r es la distancia desde el centro del disco. Encontrar: (a) La carga total sobre el disco. (b) Encontrar la expresión para el potencial electrostático a una distancia z desde el centro del disco, sobre el eje que pasa a través del centro del disco hy es perpendicular al plano del i disco. √ 2 − 2x2 ) x2 + R2 + 2x3 e σ0 Resp.: (a) Q = 12 πσ0 R2 ; (b) V = 2πk ( R 3R2

4

CAPÍTULO

Corriente eléctrica En el capitulo anterior las cargas involucradas en los procesos físicos estaban en reposo, de ahí la palabra electrostática. Ahora vamos a revisar procesos donde las cargas están en movimiento que constituyen el flujo de corriente.

4.1 Corriente eléctrica

Potencial alto

te rien Cor

nte

rrie

Co

El circuito de la figura 4.1 tiene una batería la cual establece una diferencia de potencial entre sus terminales (bornes). Cuando se cierra el circuito para encender la ampolleta, la batería invierte energía (química) para mover carga desde el terminal negativo (potencial bajo) hasta el terminal positivo (potencial alto). Este movimiento de cargas se hace en el circuito interno de la batería. Si la batería se mantiene conectada entonces habrá un flujo constante de carga a través del circuito interno y las cargas saldrán por el terminal positivo hacia el circuito externo para pasar a través de la ampolleta. Después de eso, las cargas habrán perdido energía y volverán a pasar por el terminal negativo. A este flujo de cargas la llamaremos corriente eléctrica. Al establecer esta diferencia de potencial, se hace posible que la carga fluya a través del circuito externo. Este movimiento de carga es natural y no requiere energía. La figura 4.2 muestra una analogía con el caso gravitacional, donde para elevar un objeto se necesita hacer un trabajo contra las fuerza de gravedad, es decir hay que aumentar la energía potencial gravitacional. Para que el objeto vuelva a bajar no se necesita invertir energía, pues el proceso es espontáneo. Por otro lado, los cargas (electrones) no fluirán si ambos bornes de la batería tienen el mismo potencial; las cargas fluirán desde un punto a otro solamente si existe una diferencia de potencial (voltaje) entre esos dos puntos. Un voltaje alto resulta en una mayor tasa de flujo de carga. Como ya mencionamos anteriormente este flujo se llama corriente. La figura 4.3 muestra una analogía con el caso gravitacional; una persona no se deslizará hacia abajo si no hay una diferencia de altura; la persona se deslizará solamente si existe una diferencia de alturas (diferencia de energía potencial gravitatoria) entre dos puntos. A mayor diferencia de altura resultará en una mayor rapidez de deslizamiento y esto es equivalente a una mayor cantidad de corriente fluyendo por el circuito.

Potencial bajo

nte

Corrie

Figura 4.1: Al conectar la ampolleta, la batería gastará energía química para mover cargas de un potencial bajo a uno más alto.

142


No se requiere energía para que el objeto se mueva hacia abajo

Se requiere energía para mover un objeto desde un potencial bajo a un potencial más alto

Figura 4.2: Analogía gravitacional: Se necesita energía para elevar un objeto. Para que el objeto caiga no es necesario invertir energía; el proceso es espontáneo.

Potencial alto

Potencial bajo

Potencial bajo

Borne

No se requiere energía para que la carga se mueva hacia un un potencial más bajo.

Se requiere energía para mover positivo. la carga desde un potencial Potencial alto. bajo a un potencial más alto

ría

l oa

r rio e t n

la de

te ba

Fl

uj

o

a

tr a

i

j Flu

Borne negativo. Potencial bajo.

vé s

de

l ci

rcu

ito

Borne negativo. Potencial bajo.

Figura 4.3: Otra analogía con el caso gravitacional. Mayor diferencia de alturas es análogo a mayor diferencia de potencial.

Alto voltaje

Alta elevación

Bajo voltaje

Baja elevación

corriente eléctrica

143

Para ser más precisos vamos a suponer un alambre conductor de sección transversal A. Se define corriente como la velocidad o razón con que pasan las cargas a través de esta superficie. Si ∆Q es la carga que pasa a través de esta superficie un un intervalo de tiempo ∆t, la corriente promedio es:

Iprom =

∆Q ∆t

Si la carga que fluye a través de A varía en el tiempo, definimos la corriente instantánea I I≡

Figura 4.4: La corriente tiene que ver con el número de coulombs de carga que pasan a través de un punto del circuito por unidad de tiempo.

dQ dt

La unidad de corriente es el ampere (A) 1 A = 1 C/s convención para la dirección de la corriente: Las partículas que transportan carga a través del alambre son los electrones móviles. La dirección del campo eléctrico dentro del circuito es, por definición, la dirección que tomaría una carga de prueba positiva. Entonces, los electrones se mueven en la dirección contraria al campo eléctrico. Decimos que los electrones son los portadores de carga en alambres metálicos. Dentro de la batería la corriente va desde el terminal negativo al positivo, mientras que en el circuito externo, la corriente va desde el terminal positivo al negativo.

4.2 Densidad de corriente Vamos a introducir este concepto de la forma más sencilla posible. La densidad de corriente J se define como la cantidad de corriente por unidad de área. Si tomamos como referencia la figura 4.4

J≡

I A

A/m2

Esta definición sólo es válida si la densidad de corriente es uniforme y la corriente es perpendicular a la superficie. En realidad la densidad de ~ Si el flujo de carga es a través de cualquier corriente es un vector J. superficie S, la corriente se puede calcular: ˆ ~ J~ · dA

I= S

Convención: La dirección de la corriente es opuesta al movimiento de los electrones. Esta convención ha permanecido así sólo por razones históricas.

144


EJEMPLO 4.1 Suponer que la densidad de corriente a lo largo de un alambre es J~ = −2.4kˆ (A/mm2 ). Calcular al corriente total que pasa por una capa semiesférica de radio R = 5 mm. Solución: La densidad de corriente va en la dirección −z. Por otro lado ~ tiene dirección radial dada por dA ~ = dAr. dA ˆ El ángulo que forman rˆ y ˆk es θ, así que kˆ · rˆ = cos θ ~ = (−2.4kˆ ) dArˆ = −2.4dAkˆ rˆ = −2.4dAkˆ rˆ = −2.4dA cos θ dI = J~ dA el elemento de área en coordenadas esféricas es dA = R2 sin θdθdφ. Para una semiesfera 0 ≤ φ ≤ 2π y 0 ≤ θ ≤ π/2. De esto la corriente se obtiene de la integración:

Detalle

I=

π/2 π/2 ˆ2π ˆ ˆ2π ˆ (−2.4 cos θ )R2 sin θdθdφ = (−2.4 cos θ )52 sin θdθdφ 0

0

0 π/2 ˆ

60 sin θ cos θdθ = −120π

= −2π 0

4.3 Ecuación de continuidad La densidad de corriente J~ y la densidad volumétrica de carga ρ son cantidades que están relacionadas por medio de una ecuación diferencial, ´ ~ en una llamada ecuación de continuidad. Si calculamos I = S J~ · dA superficie cerrada que encierra un volumen V , entonces la corriente que entra en la superficie es ˛ ~ I = − J~ dA S

~ siempre apunta hacia afuera en una superficie el signo menos es porque dA ~ cerrada mientras que J entra. Aplicando el teorema de la divergencia ˛ ˆ ~ = − ∇ Jdv ~ I = − J~ dA (∗) S

V

pero sabemos que I = dQ y la carga Q se puede obtener a partir de la ´dt densidad de carga Q = V ρdv, así que   ˆ d  ρdv  I= dt V

el volumen es fijo y debemos considerar que la densidad depende de las coordenadas y también del tiempo, por lo tanto la derivada dentro de la integral debe ser una derivada parcial ˆ ∂ρ I= dv (∗∗) ∂t V

0

sin2 θ 2

π/2 0

= −60π = −188.5 A


igualando (*) y (**) ˆ ˆ ∂ρ ~ = − ∇ Jdv dv ∂t V

ˆ ⇒

145

∂ρ ~ + ∇ J dv = 0 ∂t

V

V

puesto que V es arbitrario, entonces para que la expresión anterior sea cero, el integrando deber ser cero

Ecuación de continuidad.

∂ρ + ∇ · J~ = 0 ∂t La ecuación de continuidad es una ley fundamental de la física relacionada con la conservación de la carga: las cargas eléctricas no se crean ni se destruyen. EJEMPLO 4.2 Consideremos una densidad de corriente dirigida radialmente hacia afuera y que decrece exponencialmente ˆ Calcular la densidad de carga. con el tiempo, J~ = 1r e−t r. ~ Solución: Usando la ecuación de continuidad ∂ρ ∂t + ∇ J = 0 ∂ρ − = ∇ J~ = ∇ ∂t

1 −t e rˆ r

aquí debemos recordar que la divergencia en coordenada esféricas es ∇ · J~ = depende de r como es en el presente caso: ∂ρ 1 ∂ 1 1 − = 2 r2 e−t = 2 e−t ∂t r ∂r r r

1 ∂ (r2 Jr ) r2 ∂r

cuando J~ sólo

con esto se establece una ecuación diferencial en derivadas parciales 1 ∂ρ = − 2 e−t ∂t r la densidad depende de las coordenadas y del tiempo, así que al integrar con respecto a t aparece una constante de integración que depende de las coordenadas. ˆ 1 1 ρ(r, t) = − 2 e−t dt + C (r ) = 2 e−t + C (r ) r r asumiendo que la densidad se anula en un tiempo largo (ρ → 0 si t → ∞), se encuentra que C (r ) = 0. Por lo tanto 1 ρ(r, t) = 2 e−t r

4.4 La ley de Ohm Experimentalmente se encuentra que en un metal, a temperatura constante, la densidad de corriente J~ es directamente proporcional al campo ~ es decir eléctrico E, ~ J~ = g E la constante de proporcionalidad g se llama conductividad.1 Esta ecuación se llama forma puntual de la ley de Ohm y es una muy buena aproximación para una gran cantidad de materiales conductores. Nosotros

Forma puntual de la Ley de Ohm.

En algunos libros se usa el símbolo σ que es el mismo símbolo para expresar la densidad superficial de carga. Aquí usaremos el símbolo g para evitar confusiones. 1

146


trataremos con medios lineales isotrópicos, donde la conductividad g se mantiene constante.2 Sin embargo en el caso general g puede depender ~ ). del campo eléctrico g = g (E También se acostumbra a definir la resistividad µ como el recíproco de la conductividad3 1 µ= g que tiene unidades de ohm.metro donde 1 ohm = 1 Ω ≡

2

Materiales óhmicos.

En algunos libros se usa el símbolo ρ que es el mismo símbolo para expresar la densidad volumétrica de carga. Aquí usaremos el símbolo µ para evitar confusiones. 3

1 volt 1 ampere

Consideremos ahora un alambre homogéneo de sección A y largo L que obedezca a la ley de Ohm con conductividad g (Fig. 4.5). ~ y J~ son uniformes, bajo estas condiciones E ~ y J~ Asumiremos que E son perpendiculares a la sección de área A del del cilindro. La corriente se calcula de la definición básica

Figura 4.5: Alambre homogéneo que obedece la ley de Ohm.

I (∗) A por otro lado notemos que el punto 1 está a mayor potencial que el punto 2. De esto la diferencia de potencial (positiva) entre los extremos del alambre es J=

ˆ1

ˆ1 ~ · d~l = −E E

V = V21 = − 2

ˆ2 dl = E

dl = EL

2

(∗∗)

1

Combinando la ley de Ohm J = gE con (*) y (**) J= es decir

V I = gE = g A L

I V =g A L

⇒

V =

L I gA

Si llamamos resistencia al término R=

L µL = gA A

[Ω]

obtenemos la formula más familiar de la ley de Ohm: V = IR La ecuación V = IR nos permite obtener la resistencia de objetos conductores que poseen campos uniformes. Si los campos no son uniforme, la resistencia puede ser definida de todas maneras como V /I, donde V es la diferencia de potencial entre dos superficies a distinto potencial en el material, y I es la corriente total que va del conductor positivo al negativo. Recordando que ˆ ‰ ~ · dl y I = ~ V =− E J~ · dA C

S

En la mayoría de los libros se llama a esta ecuación “ley de Ohm”, aunque algunos autores difieren de este nombre pues esta ecuación simplemente define resistencia R y sólo provee una relación entre voltaje, corriente y resistencia.


147

de aquí obtenemos la resistencia ´ ´ ~ · dl ~ · dl − CE − CE V R= = = ~ ~ ~ ~ I S J · dA S g E · dA La integral de linea se toma entre dos superficies equipotenciales en el conductor (potencial menor a potencial mayor), y la integral de superficie se evalúa sobre la superficie más positiva de las dos superficies equipotenciales.

4.5 Conexión de resistencias en serie: En el circuito de la figura 4.6 tenemos dos resistencias conectadas en serie, donde la corriente I es la misma que pasa por ambas resistencias: Figura 4.6: Resistencia equivalente de dos resistencias en serie.

∆V = V1 + V2 aplicando V = IR: ∆V = IR1 + IR2 = I (R1 + R2 ) vemos que podemos definir una resistencia equivalente Req = R1 + R2 La generalización para varias resistencias en serie es Req = R1 + R2 + R3 + · · · en paralelo: En el circuito de la figura 4.7 tenemos dos resistencias conectadas en paralelo, donde ambas están a la misma diferencia de potencial. Además la corriente I de bifurca en I1 y I2 y como la carga debe conservarse I = I1 + I2

148


Figura 4.7: Resistencia equivalente de dos resistencias en paralelo.

De la expresión I = V /R obtenemos ∆V ∆V I = I1 + I2 = + = ∆V R1 R2

1 1 + R1 R2

=

∆V Req

donde Req es la resistencia equivalente del circuito 1 1 1 = + Req R1 R2 La generalización para varias resistencias en paralelo es 1 1 1 1 = + + +··· Req R1 R2 R3 EJEMPLO 4.3 Un material de resistividad uniforme µ tiene forma de cuña tal como se muestra en la figura. Encontrar la resistencia entre la cara A y la cara B.


149

Solución: La clave es usar la fórmula R = µL A , pero en este caso el área transversal no es constante. Procedemos a usar diferenciales y a considerar pequeños bloques de largo dx, altura y ancho w (figura de la derecha). El área transversal de cada bloque es A = wy y la resistencia es dR = µ

dx µdx = A wy

tanto x como y son variables a lo largo de la cuña. La variable y se puede calcular teniendo en cuenta que la 1 línea inclinada obedece a la ecuación de una recta con pendiente h2 −h e intercepto h1 L h2 − h1 y= x + h1 L es decir µdx dR = 1 w h2 −h L x + h1 Cada uno de los bloques está en serie para formar la cuña, entonces integramos (sumamos) para calcular la resistencia total L ˆL µ h2 − h1 µ 1 µL h2 dx = R= ln x + h1 ln = h −h 2 1 h −h w w L w (h2 − h1 ) h1 2 1 0 x+h 0

L

1

L

Si la sección transversal es constante, h2 = h1 , entonces debemos tomar el límite en la expresión anterior: µL R = l´ım ln h2 →h1 w (h2 − h1 )

h2 h1

µL = l´ım h2 →h1 w

1 h2 /h1

1

µL 1 µL = = h1 wh2 A

Obviamente este es un resultado esperado. El área transversal es A = wh2 y puesto que el límite es del tipo 0/0, hemos empleado la regla de L’hôpital. EJEMPLO 4.4: Resistencia radial de un cable coaxial Una cable coaxial consiste de dos conductores cilindros concéntricos. La región entre los conductores está completamente llena con silicio. Un efecto indeseable es que la corriente se filtre a través del silicio, en la dirección radial (el cable está diseñado para conducir corriente a lo largo de su longitud y no en forma radial). El radio interior es a, el radio exterior es b y la longitud de los cilindros es L. Calcular la resistencia del silicio entre los conductores.

Conductor externo

Dirección de la corriente

Silicio

Conductor interno

Solución: La corriente indeseable es en dirección radial y en consecuencia vamos a calcular la resistencia en dirección radial y no a lo largo. Para un alambre con sección constante la resistencia se calcula con R = µL/A. Para aplicar esta ecuación vamos a dividir la capa de silicio en cilindros huecos concéntricos de radio r y de

150


espesor dr. Entonces para aplicar la ecuación anterior debemos reemplazar L por dr y escribir µdr A

dR =

que es la resistencia del cilindro de espesor dr y área A. Consideremos que cualquier carga que pase desde el conductor interno al conductor externo debe pasar en forma radial a través del cilindro de espesor dr, y el área por la cual pasa la carga tiene el valor 2πrL (esto equivale a desenrollar el cilindro). Luego dR =

µdr 2πrL

Cada capa de espesor dr se encuentra en serie con la siguiente, así que la resistencia total, se obtiene integrando ˆb R= a

µdr µ = 2πrL 2πL

ˆb a

dr µ = ln(b/a) r 2πL

EJEMPLO 4.5: Resistencia de una arandela Un material conductor de grosor uniforme h y conductividad g tiene la forma de un cuarto de arandela circular plana, con radio interior a y radio exterior b. Determinar la resistencia entre las caras de los extremos. Solución: Dada la simetría de la arandela, vamos a usar coordenadas cilíndricas. Vamos a suponer que hay una diferencia de potencial V0 entre las caras. Por simplicidad suponemos que V = 0 en la cara de abajo (y = 0, φ = 0) y que V = V0 en la cara de arriba (x = 0, φ = π/2)  0 si φ = 0 V = (∗) V0 si φ = π/2

Vista a lo largo de x

El potencial sólo dependerá de φ y podemos usar la ecuación de Laplace para determinar el potencial d2 V =0 dφ2 cuya solución general es: V = c1 φ + c2 con las condiciones (*) se encuentran las constantes V =

2V0 φ π

~ = −g∇V Para encontrar la corriente, primero obtenemos la densidad de corriente de J~ = g E 1 ∂V ˆ 2gV0 ˆ ~ J = −g φ =− φ r ∂φ πr donde hemos usando el gradiente en coordenadas cilíndricas. Para calcular la corriente, integramos sobre ~ la superficie (cara) que esta a mayor potencial, es decir φ = π/2. Para encontrar el elemento de área dA


151

~ es la dirección −φˆ en debemos tener en cuenta la figura de la izquierda donde dA = hdr y la dirección de dA ~ es decir dA ~ = −hdrφˆ esa cara (la dirección de J), ˆ ~= J~ · dA

I= S

ˆ S

ˆ 2ghV0 b dr 2gV0 ˆ 2ghV0 ˆ φ · (−hdrφ) = − = ln(b/a) πr π r π a

finalmente la resistencia es R=

2ghV0 π

V0 ln(b/a)

=

π 2gh ln(b/a)

152


4.6 Dieléctricos imperfectos Recordemos que la resistencia se puede obtener de ´ ~ · dl − CE R= ~ · dA ~ gE S

donde la integral de linea se toma entre dos superficies equipotenciales en el conductor, y la integral de superficie se evalúa sobre la superficie más positiva de las dos superficies equipotenciales. Por otro lado, si los conductores se encuentran en un medio dieléctrico, la capacidad se puede calcular como ~ · dA ~ ~ ~ E Q S D · dA C= = ´ = S´ ~ · dl ~ · dl V − CE − CE

Figura 4.8: Dos conductores en un medio dieléctrico con pérdidas. Se establece una corriente en el dieléctrico y es aplicable la ley de Ohm.

Cuando el medio dieléctrico es imperfecto (con pérdidas), es decir tiene una conductividad muy pequeña, fluirá una corriente del conductor positivo al negativo y se establecerá en el medio una densidad de corriente (Fig. 4.8). Entonces si el medio es homogéneo (independiente de las coordenadas espaciales) podemos juntar las dos ecuaciones anteriores ´

~ · dl ~ · dA ~ ~ ~ ~ ~ E SE S E · dA S E · dA = × ´ = ~ · dl ~ · dA ~ ~ ~ ~ ~ − CE g SE S g E · dA S g E · dA

− RC =

C

es decir

Relación entre la permitividad y la conductividad de un dieléctrico con pérdidas.

RC = g

Si se conoce la capacidad entre los conductores, podemos obtener la resistencia o la conductividad (g) directamente sin necesidad de hacer nuevos cálculos. EJEMPLO 4.6 El material dieléctrico entre las placas de un condensador de placas paralelas tiene una conductividad distinta de cero g . Si A es el área de cada placa y d es la distancia entre ellas. Sea κ la constante dieléctrica del material entre las placas. Mostrar explícitamente que RC = κg0 .

κ0 A Solución: La capacidad del condensador de placas paralelas se conoce C = A d = d , y la resistencia del d dieléctrico de conductividad g, largo d y área transversal A es R = gA , por lo tanto

RC =

κ0 A d κ0 × = = d gA g g


153

4.7 Densidad de corriente en régimen permanente Si los campos eléctricos aplicados son estacionarios,4 entonces las corrientes estarán en estado estacionario y la densidad de carga no variará en el tiempo. Esto se expresa como

En estado estacionario o en régimen permanente. 4

∂ρ =0 ∂t ~ Si recordamos la ecuación de continuidad ∂ρ ∂t + ∇ · J = 0, entonces las corrientes estacionarias tienen divergencia nula ∇ · J~ = 0 esto tiene como consecuencia inmediata que5 ‰ ~=0 J~ · dA S

Recordar que hicimos el mismo razonamiento para el vector desplaza~ donde teníamos que cuando no hay cargas libres miento eléctrico D ¸ ~ ~ S D · dA = 0 y se obtuvo la condición de frontera D1n = D2n . En nuestro caso la condición de frontera para J~ es: J1n = J2n

ó

g1 E1n = g2 E2n

La condición de frontera para el campo eléctrico es idéntica a la anterior: E1t = E2t ~ obtenemos una condición para la componente tanpero como J~ = g E, ~ gencial de J J2t J1t = g1 g2 Estas condiciones de frontera para J~ se pueden combinar con las con~ en un dieléctrico isotrópico: diciones de frontera para el vector D ~ = E ~ D

~ J~ = g E

E1t = E2t

E1t = E2t

D1t D2t = 1 2

J2t J1t = g1 g2

D1n − D2n = σ

J1n = J2n = Jn

1 E1n − 2 E2n = σ g1 E1n = g2 E2n 1 2 Jn − =σ g1 g2

de la divergencia ´ Recordar el teorema ¸ ~ )dv = ~ dA. ~ F F ( ∇ V S 5

154


EJEMPLO 4.7 Dos bloques de material conductor están en o en el plano z = 0. En el punto P de la superficie de separación, la densidad de corriente del medio 1 es J~1 = 10(3jˆ + 4kˆ ) (A/m2 ). Determinar J~2 en el medio 2 si g2 = 2g1 . ˆ La primera Solución: El vector J~1 no tiene componente x, por lo tanto podemos suponer que J~2 = J2 jˆ + J2 k. condición es para las componentes normales: J1z = J2z

⇒

J2z = 40

Por otro lado, las componentes tangenciales del campo eléctrico deben cumplir con E1y = E2y , o equivalentemente J1y J2y 30 J2z g 2 30 2g1 30 = ⇒ = ⇒ J2z = = = 60 g1 g2 g1 g2 g1 g1 de este modo

J~2 = 20(3jˆ + 2kˆ ) (A/m2 )

EJEMPLO 4.8: Resistencia de esféricas concéntricas Dos cascarones esféricos concéntricos de radios a y c están rellenos por dos materiales conductores distintos, uno en a < r < b con conductividad g1 y el otro en b < r < c con conductividad g2 . a) Calcule la resistencia entre los dos cascarones. b) Se conecta una pila a la resistencia. El potencial es Vo en el cascarón interno y V = 0 en el externo. Describa lo que pasa después de conectar la pila. c) Se espera hasta que se llegue al régimen estacionario. En este régimen, calcule ~ en ambas regiones de la la densidad de corriente J~ y el campo eléctrico E resistencia y la densidad superficial de carga en la interfaz. Si el material interno es mejor conductor que el externo, ¿que signo tiene esta densidad de carga? Solución: Llamamos región 1 a la que va entre a < r < b y región 2 a b < r < c. Se procede en forma similar al problema 4.4 de los cilindros concéntricos. En este caso son dos cascarones esféricos y vamos a calcular la resistencia en dirección radial. Dirección de la corriente

(a) La resistencia total puede interpretarse como dos resistencias conectadas en serie, R = R1 + R2 . Para un alambre con sección constante la resistencia se calcula con R = L/gA. Para aplicar esta ecuación vamos a considerar capas esféricas concéntricas de radio r y de espesor dr. Entonces para aplicar la ecuación anterior debemos reemplazar r por L y escribimos dR =

dr gA

Consideremos que cualquier carga que pase desde el conductor interno al conductor externo debe pasar en forma radial a través de la capa de espesor dr, y el área por la cual pasa la carga tiene el valor 4πr2 . La resistencia de los dos conductores se obtiene integrando: ˆ b ˆ c dr dr 1 1 1 1 1 1 R= + = − + − 2 2 4πg1 a b 4πg2 b c a 4πr g1 b 4πr g2


155

(b) Como el cascarón interno está a mayor potencial, comenzará a fluir corriente radialmente entre r = a y r = b. Al tener distintas conductividades, los dos materiales permitirán el paso de distintas intensidades de corriente, por lo que se acumulará carga libre en la interfaz entre los dos materiales. La densidad de carga superficial en la interfaz hará que disminuya el campo eléctrico en un material y que aumente en el otro, hasta que las intensidades de corriente a través de ambos sean iguales. En ese momento se alcanza el régimen estacionario. (c) Primero calculamos la corriente mediante I = Vo /R con R calculado en la parte (a). La corriente debe fluir en forma radial por lo que la densidad de corriente es J~ =

I rˆ 4πr2

Como en régimen estacionario la intensidad de corriente a través de cada material debe ser la misma, esta ~ ecuación es válida para ambos materiales. El campo eléctrico se encuentra usando la relación J~ = g E ~ 1 = J~/g1 E

=

~ 2 = J~/g2 E

=

Vo rˆ 4πr2 Rg1 Vo rˆ 4πr2 Rg2

La densidad superficial de carga en la interfaz se encuentra por la discontinuidad en el campo eléctrico radial (normal), que es la dirección perpendicular (normal) a la superficie cargada. 1 1 V o o − σ = ∆(En )o = (E2 − E1 )o = 4πr2 R g2 g1 Si el material interno es mejor conductor que el externo entonces g1 > g2 , por lo tanto la carga en la interfaz es positiva.

4.8 Leyes de Kirchhoff Uno de los objetivos principales de la teoría de circuitos es saber cuales son las corrientes que circulan por un circuito determinado. Ahora vamos a ocuparnos de corrientes estacionarias, es decir corrientes en circuitos de corriente continua. Vamos a comenzar por definir el concepto de fem (fuerza electromotriz)6 de una batería, que el es máximo voltaje que la batería puede suministrar entre sus terminales. En una batería real que está hecha de materiales conductores hay una resistencia al paso de las cargas dentro de la batería. Esta resistencia se llama resistencia interna r. Si miramos la figura 4.9, podemos esquematizar la batería internamente. Si hay una corriente circulando por el circuito (circuito cerrado), la diferencia de potencial entre los puntos a y d no es igual a la fem ε. Si una carga pasa desde a hasta b su potencial se ve incrementado en ε y cuando pasa por la resistencia interna el potencial disminuye en Ir por lo tanto ∆V = Vd − Va = ε − Ir

Por razones históricas se usa este término. No es una fuerza sino una diferencia de potencial en volts. 6

Estructura interna de la batería

pero ∆V debe ser también la diferencia de potencial entre e y f de la resistencia R (resistencia de carga) que está dada por IR IR = ε − Ir

Figura 4.9: Estructura interna de una batería.

156


de aquí se tiene que ε = I (R + r )

ó

I=

ε R+r

En un circuito cerrado como el de la figura 4.9, si medimos con un instrumento (voltímetro), la diferencia de potencial ∆V = Vd − Va , lo que estaremos midiendo, en realidad, es la tensión de la batería (el valor práctico) menos la caída de tensión Ir debido a la resistencia interna. En un circuito abierto (no existe ningún circuito conectado a la batería) no circula corriente, por lo tanto el voltímetro mediría ∆V = Vd − Va ≈ ε. Ponemos el signo de aproximación (≈) porque el voltímetro también tiene una resistencia interna. Esta resistencia debe ser lo más alta posible (infinita para un voltímetro ideal) para que la corriente que pase por el sea ínfima. Un circuito puede consistir de varias ramas o mallas cada una con una fem distinta. El problema central del análisis de circuitos consiste en que dadas las resistencias y las fems de cada rama, se pide encontrar las corrientes que circulan por cada una de las ramas. Por ejemplo la figura 4.10 muestra un circuito donde las cinco resistencias y las dos fems son conocidas. El problema consiste en determinar las seis corrientes. Figura 4.10: Un circuito ejemplo donde las incógnitas son las seis corrientes.

Para resolver este problema necesitamos formular las dos leyes de Kirchhoff 1. la suma algebraica de las corrientes que fluyen hacia un nodo es cero, es decir X

Ij = 0

Esta ley es una manifestación de que la carga no se acumula en un nodo del circuito debido al régimen estacionario de la corriente.


157

2. la suma algebraica de las fems en cualquier malla del circuito es igual a la suma algebraica de los productos I R en esa malla, es decir X

εi =

X

Ij Rj

⇐⇒

X

εi −

X

Ij Rj = 0

Esta ley es una generalización de la expresión ε = IR + Ir que obtuvimos para una batería. Con estas dos leyes estamos en condiciones de resolver el problema de la figura 4.10. Se pueden establecer seis ecuaciones para determinar las corrientes que son las seis incógnitas. Por ejemplo: −I1 + I3 + I5 = 0 ε1 = I6 R6 + I5 R5 + I1 R1

etc

Para aplicar la segunda ley, podemos imaginarnos moviéndonos alrededor de una malla y considerando cargas en un potencial eléctrico en vez de cambios en energía potencial. La figura 4.11 ilustra cuatro casos de la convención de signos para determinar las diferencias de potenciales a través de una resistencia y una batería. Recorrido del circuito

Recorrido del circuito



Figura 4.11: Reglas para determinar las diferencias de potencial a través de una resistencia y una batería (se supone una batería sin resistencia interna). Cada elemento de circuito es recorrido de izquierda a derecha como indica la flecha de arriba.

EJEMPLO 4.9 En el circuito de la figura se pide determinar las tres corrientes. Solución: Aplicando la primera regla de Kirchhoff en cualquiera de los dos nodos (b) o (c) I1 + I2 = I3 Ahora aplicamos la segunda regla de Kirchhoff a la malla (abcda) 10.0 V − (6.0 Ω)I1 − (2.0 Ω)I3 = 0 Para la malla (bef ce) −14.0 V + (6.0 Ω)I1 − 10.0 V − (4.0 Ω)I2 = 0

158


Tenemos tres ecuaciones y tres incógnitas, las cuales forman un sistema de tres ecuaciones lineales:  I1 + I2 − I3 = 0    3I1 + I3 = 5   3I − 2I = 12 1

2

Aunque este sistema de ecuaciones es sencillo de resolver, una forma cómoda de resolverlo es usar el método de eliminación gaussiana, que consiste en transformar este sistema de ecuaciones en una matriz aumentada y luego efectuar operaciones entre filas: 1

1

−1

  3

0

1

−2

0



3

0

1

1

−1

  5  (1) + (2)  4 −−−−−−→ 12 3

1

0

−2

0





0





1

  5  2 × (2) + (3)  4 −−−−−−−−−→ 12 11

1 −1

0

1

0

0

0

 5 



22

De aquí se desprende fácilmente que 11I1 = 22 ⇒ I1 = 2.0. También de la fila (2): 4(2) + I2 = 5 ⇒ I2 = −3.0. De la primera fila: 2 − 3 − I3 = 0 ⇒ I3 = −1.0 I1 = 2.0 A

I2 = −3.0 A

I3 = −1.0 A

Las corrientes I2 e I3 son negativas indicando en realidad que estas corrientes van en el sentido contrario en la figura. EJEMPLO 4.10

En el circuito de la figura si está en condiciones estacionarias, encontrar las corrientes. Solución: En primer lugar hay que notar que en la figura se han dibujado sólo tres corrientes, pero ninguna en los trazos (bg) y (ah). La razón es que estamos en condiciones estacionarias donde el condensador ya se ha cargado completamente y ya no recibe más carga. Por lo tanto Iah = 0 y Ibg = I1 . En el nodo (c) o (f ) se cumple I1 + I2 = I3 En la malla (def cd) hacemos el recorrido horario 4 − 3I2 − 5I3 = 0


En la malla (cf gbc)

159

+3I2 − 5I1 + 8 = 0

Con estas tres ecuaciones construimos la matriz aumentada:      1 1 1 −1 0 1 1 −1 0      5 4  −1 × (2) + (3)  0 5 4  −5 × (1) + (3)  0 3  0 3 −−−−−−−−−−→ −−−−−−−−−−→ 0 0 −8 5 8 5 −3 0 8

1

−1

3

5

−11

0

0



 4 

4

De esto se ve de inmediato que −11I2 = 4 ⇒ I2 = −4/11 = −0.364. Los otros dos valores se obtienen sustituyendo I2 . I1 = 1.38 A I2 = −0.364 A I3 = 1.02 A ¿Cual es la carga en el condensador? Solución: Si aplicamos la segunda regla en la malla (bghab) nos estamos moviendo en el sentido horario −8 + ∆VC − 3 = 0 y la carga se obtiene de Q = C∆VC , luego

⇒

∆VC = 11.0 V

Q = 66.0 µC

EJEMPLO 4.11 En el circuito de la figura calcular la diferencia de potencial entre los puntos a y b e identificar el punto que está a mayor potencial. Solución: En la malla asignamos una corriente I y aplicamos la segunda regla de Kirchhoff ()

+12 − 2I − 4I = 0

⇒

I = 2.0 A

Aplicamos la segunda ley de Kirchhoff a la malla de circuito abierto

(Va − Vb ) + 4.0 V − (2.0 A)(4.0 Ω)

⇒

El signo negativo indica que el punto a está a mayor potencial.

Vb − Va = −4.0 V

160


4.9 El método de las mallas El número de corrientes a determinar en un circuito crece con el número de mallas. Las leyes de Kirchhoff permiten determinar todas las corrientes, pero se necesita resolver un sistema lineal de ecuaciones, cuyo número es igual al número de corrientes a determinar. En el caso del circuito de la figura 4.10 el sistema consiste consta de seis ecuaciones. Para simplificar el problema, vamos a introducir el método de corrientes de malla, que aplicado con cuidado, permite minimizar los cálculos. La metodología consiste en asignar a cada una de las mallas del circuito una corriente imaginaria o ficticia que circula en sentido horario o antihorario y de preferencia se asignan a todas las corrientes el mismo sentido. Usando las leyes de Kirchhoff se plantean tantas ecuaciones como el número mallas. La ventaja es que estas corrientes ficticias permiten reducir drásticamente el número de ecuaciones. EJEMPLO 4.12 Puesto que no hay nada mejor que un ejemplo, revisemos el circuito de la figura 4.10 donde hemos asignado valores a las resistencias y a las fems: Hemos creado tres corrientes ficticias i1 ,i2 y i3 correspondientes a tres mallas tal como se indica en la figura. Para utilizar el método de las mallas sólo utilizaremos estas corrientes. Primero aplicamos el método a la malla superior izquierda donde circula i1 por toda la malla, pero también la corriente i2 pasa por la resistencia de 4 Ω y i3 pasa por la resistencia de 2 Ω −3i1 − 4i1 + 4i2 − 8 − 2i1 + 2i3 = 0 notar que hemos sumado los términos 4i2 y 2i3 porque esas corrientes son compartidas con las otras mallas y además esas corrientes circulan en sentido contrario a la dirección de circulación que hemos elegido (). Simplificando −9i1 + 4i2 + 2i3 = 8 (∗) En la malla de la derecha o sea En la malla de abajo:

−2i2 − 6i2 + 6i3 + 8 − 4i2 + 4i1 = 0 2i1 − 6i2 + 3i3 = −4

(∗∗)

−2i3 + 2i1 − 6i3 + 6i2 − 10 − 5i3 = 0 2i1 + 6i2 − 13i3 = 10

De (*), (**) y (***) formamos la matriz aumentada:

(∗ ∗ ∗)




4

−9

  2 2

6 − 31 2

8





−9

  −4  (2) + (3)  4 −−−−−−→ −13 10 2 3

−6

  

2

4

2

6 −13

16

2

2

0

−5

2

6 −13

  3  (1) × 5 + (2) × 16  −−−−−−−−−−−−−→ 10





 6  (1) × 3/2 − (3) −−−−−−−−−−−→ 10

0 −10

0



8

161

0

0

2

0

−5

2

6 −13

− 91 2

58



 3 

10

116 de aquí se desprende que − 91 2 i1 = 58 ⇒ i1 = − 91 A. Ahora resulta más fácil obtener las otras corrientes:

116 57 101 A i2 = − A i3 = − A 91 182 91 Recordemos que las corrientes que hemos obtenidos son ficticias. Ahora debemos asociarlas con las seis corrientes I1 · · · I6 . En el circuito vemos que i1 = −

101 A = 1.11 A 91

I1 = −i3 =

I3 = −i1 =

I2 = i2 − i1 ==

116 A = 1.27 AA 91

I4 = −i2 =

15 A = −0.16 A 91 Notar que I5 + I3 = I1 , I2 + I5 = I6 y I2 + I4 = I3 .

57 A = 0.31 A 182

I6 =i2 -i3 =

I5 = i1 − i3 = −

25 A = 0.96 A 26

145 A=0.80 A 182

4.10 La ley de Joule En términos simples el ”efecto Joule” es el fenómeno que ocurre en conductor por el cual circula una corriente eléctrica. Parte de la energía cinética de los electrones se transforma en calor debido a los choques que sufren con los átomos del material conductor por el que circulan, en consecuencia la temperatura del conductor aumenta. De acuerdo a la figura 4.12 las cargas eléctricas que atraviesan una resistencia entran con una energía qV1 mayor que con la que salen qV2 . La diferencia de energía es:

Figura 4.12: Efecto Joule: cuando la corriente pasa por la resistencia se produce una caída de potencial.

∆U = qV2 − qV1 = q (V2 − V1 ) = qIR La rapidez con la que las cargas pierden la energía es la potencia disipada en la resistencia R P =

dU d dq = (qIR) = IR dt dt dt

⇒

P = I 2R

[W ]

A nivel microscópico la potencia es: ˆ ~ · Jdv ~ E

P = V

Un caso especial para la expresión anterior es cuando tenemos un conductor de sección transversal constante. En ese caso dv = dAdl y además

Ley de Joule.

162


la densidad de corriente y el campo van en la dirección de la longitud ~ k J~ k d~l). Considerando esto la expresión anterior se puede escribir (E ˆ ˆ ˆ ~ · Jdv ~ = P = E Edl JdA V | L{z } | S {z } V

I

donde I es la corriente y como V = IR recobramos la expresión para el caso macroscópico P = I 2 R.

5

CAPÍTULO

Magnetismo Aparte del campo eléctrico que vimos en la primera parte, ahora necesitamos el concepto de campo magnético que se origina debido al movimiento de las cargas. El origen del magnetismo se remonta al descubrimiento de la magnetita (Fe3 O4 ) que es capaz de atraer pedazos de hierro. También se descubrió que cualquier magneto (imán) no importa su forma, tiene dos polos, llamados polo norte (N) y polo sur (S), los cuales ejercen fuerzas sobre otros polos magnéticos similarmente como lo hacen las cargas eléctricas entre ellas. Al igual que las cargas eléctricas, los polos iguales se repelen y los polos distintos se atraen. El nombre “polo” viene del hecho de que una brújula se orienta de acuerdo al campo magnético de la tierra y los polos magnéticos son cercanos a los polos geográficos (Fig. 5.1). La designación tradicional de polos norte y sur tiene su analogía con las cargas positivas y negativas. En el caso eléctrico podemos tener cargas positivas o negativas aisladas, pero en el caso magnético no es posible aislar los polos. Si uno considera un imán con sus dos polos es imposible separarlos. Si partimos el imán en dos partes aparecerán dos nuevos polos norte y sur en cada uno de los trozos. Si después partimos estos dos imanes en dos trozos tendremos cuatro imanes cada uno con un polo norte y sur. Podríamos seguir así casi indefinidamente. En consecuencia no se pueden aislar los polos magnéticos.

S N

Figura 5.1: Lineas de campo magnético de la tierra apuntan desde el polo norte magnético a polo sur magnético. Además el polo sur magnético no coincide exactamente con el polo geográfico norte, hay una desviación de 11°. N

N

N S N

S

S

N

N S N

S

S

S

Figura 5.2: La división sucesiva de una barra magnética vuelve a formar los polos norte y sur.

5.1 Campo magnéticos y fuerzas A continuación vamos a estudiar los campos magnéticos estáticos, pero, por el momento, sin preocuparnos cual es el origen de ellos. En la primera parte vimos que si poníamos una carga de prueba q en presencia ~ la carga experimenta una fuerza dada por de una campo eléctrico E, ~ F~e = q E Ahora si ponemos la misma carga en movimiento con velocidad ~v en presencia del campo magnético, experimentalmente se demuestra que la carga experimenta una fuerza ~ F~m = q~v × B ~ se llama inducción magnética.1 La unidad de B ~ es el donde el vector B 2 Tesla (T) o Weber por metro cuadrado (Wb/m ) donde 1T = 1

N A.m

En otros textos también se usa el término densidad de flujo magnético. 1

164


Figura 5.3: Fuerza magnética sobre una carga en movimiento. Si q > 0 la fuerza apunta hacia arriba. Si q < 0 la fuerza se invierte.

(a)

(b)

Como hay un producto cruz involucrado el vector F~m es perpendicular ~ (Fig. 5.3). La magnitud de la fuerza magnética sobre la carga a ~v y a B es Fm = |q| vB sin θ ~ De esta expresión se desprende donde θ es el ángulo menor entre ~v y B. ~ (θ = 0 o θ = 180°) que la fuerza es nula si ~v es paralelo o antiparalelo a B ~ son perpendiculares (θ = 90°). y es máxima cuando ~v y B También se pueden usar reglas gráficas para recordar la dirección de la fuerza, tal como se muestra en las dos figuras siguientes:

z

F

B

B

v +

x

Figura 5.4: Regla de la mano derecha para determinar la dirección de la fuer~ za sobre q. Notar que la dirección de F cambia si la carga cambia de signo.

v

v

+

B

-

y

F

F

Si sumamos la fuerza eléctrica y la magnética obtenemos la fuerza de Lorentz: ~ + ~v × B ~) F~ = q (E

Figura 5.5: Otra versión de la regla de la mano derecha.

5.2 Fuerza magnética sobre un conductor con corriente Ya vimos que existe una fuerza sobre una carga en movimiento en presencia de un campo magnético. Ahora si tenemos una alambre por el cual pasa una corriente, entonces es de esperar que se ejerza una fuerza sobre el alambre, pues después de todo una corriente son cargas en movimiento. La fuerza total sobre el alambre será la suma vectorial de todas las fuerzas sobre cada una de las cargas. Consideremos un conductor con una sección de área A (Fig. 5.6). El volumen del trozo de largo ∆x es A∆x. Si n representa el número de portadores de carga2 móviles por unidad de volumen (densidad de portadores de carga), entonces el número de portadores de carga en la sección

Figura 5.6: Sección de un alambre por donde se mueven los portadores de carga con velocidad ~vd . 2 Los portadores de carga son los responsables de la corriente eléctrica: cargas positivas o negativas.

magnetismo

165

de largo ∆x es nA∆x. En consecuencia la carga total en esa sección es ∆Q = (número de portadores)×(carga del portador) = (nA∆x)q Si los portadores se mueven con velocidad de deriva ~vd entonces en un intervalo de tiempo ∆t estos se desplazarán una distancia ∆x = vd ∆t si suponemos que este tiempo es el mismo que se demoran los portadores para pasar de una cara a la otra: ∆Q = (nAvd ∆t)q al dividir ambos lados por ∆t, obtenemos la corriente en un conductor en términos de cantidades microscópicas I=

El campo entra en la página

∆Q = nAvd q ∆t

Consideremos ahora un campo magnético perpendicular al segmento de alambre tal como muestra la figura 5.7. La fuerza magnética sobre una carga q con velocidad ~vd es ~ F~q = q~vd × B Para encontrar la fuerza total sobre el segmento multiplicamos q~vd × ~ por el número de cargas en el segmento de alambre. El volumen del B segmento es AL, lo que significa que el número de cargas es nAL

Figura 5.7: Sección de segmento de alambre por donde se mueven los portadores de carga con velocidad ~vd . el campo magnético es perpendicular al segmento y va entrando en la página.

F~m = nAL(q~vd × B~) pero ya sabemos que la corriente es I = nAvd q y si la reemplazamos en la expresión anterior ~ ×B ~ F~m = I L

Fuerza sobre un segmento de alambre cuando es campo magnético es perpendicular al alambre.

~ es un vector de magnitud L y apunta en la misma dirección que donde L la corriente. El resultado anterior es muy importante y nos vamos a encontrar frecuentemente con campos magnéticos que son perpendiculares a un seg~ ×B ~ indica claramente que la mento de alambre. La expresión F~m = I L fuerza es perpendicular al campo magnético y a la dirección de la corriente. Esto queda ilustrado en la figura 5.8 donde el campo magnético se muestra entrando en la página o apuntando hacia arriba. La magnitud de la fuerza es: Fm = IBL Ahora vamos a ver el caso general donde el alambre no necesaria~ y puede tener cualquier dirección. La mente está en una linea recta y B referencia es la figura 5.9 y supongamos que por el elemento de linea d~l pasa una corriente I. La fuerza sobre ese segmento es ~ dF~m = Id~l × B

Fuerza saliendo

Figura 5.8: En ambos casos el campo magnético uniforme es perpendicular al alambre. La magnitud de la fuerza magnética es F = IBL.

166


donde dF~m se dirige hacia afuera de la página. La ecuación anterior puede ser integrada sobre un circuito parcial o completo. ˆb ~ d~l × B

F~m = I a

donde a y b representan los extremos del alambre. Si el circuito es cerrado ˛ ~ d~l × B

F~m = I C

~ es uniforme, pues este puede salir fuera de Un caso especial es cuando B la integral ˛ ~ ~ ~ Fm = I dl × B

Figura 5.9: Caso general de un alambre con corriente en presencia de una campo magnético.

C

La integral de linea cerrada es fácil de evaluar, pues la suma de vectores infinitesimales que forman un circuito cerrado es cero. De este modo ˛ ~ = 0 (B ~ uniforme) F~m = I d~l × B C

EJEMPLO 5.1 Un alambre que se dobla en forma de un semicírculo de radio R forma un circuito cerrado y lleva una corriente I. El alambre está obre el plano xy, y un campo uniforme se dirige a lo largo del eje +y como se muestra en la figura. Encontrar la magnitud y dirección de la fuerza sobre la parte recta del alambre y sobre la parte curva. Solución: Como el campo magnético uniforme es perpendicular al segmento recto ab, la magnitud de la fuerza sobre ese segmento es simplemente Fab = ILB = I2RB, además la dirección de la fuerza es hacia afuera de la página. Sólo nos falta calcular la fuerza sobre el segmento curvo. la respuesta es muy sencilla pues sabemos que la fuerza total sobre el circuito cerrado es cero, entonces la magnitud de la fuerza es también es I2RB, pero con dirección entrando en la página. En resumen, las dos fuerzas son: F~ab = 2RIB kˆ F~ba = −2RIB kˆ Es un buen ejercicio obtener en forma explícita F~ba . EJEMPLO 5.2

a

En la figura, el cubo tiene un lado de 40.0 cm. Los cuatro segmentos rectos de alambre ab, bc, cd, y da forman un circuito cerrado que lleva una corriente I = 5.00 A, en la dirección mostrada. Un campo magnético uniforme de magnitud B = 0.0200 T se dirige a lo largo de la dirección y. Determinar la magnitud y dirección de la fuerza magnética sobre cada segmento..

b

Solución: Este es un caso de un segmento de alambre recto en presencia de un campo magnético uniforme. Entonces podemos usar la ecuación ~ ×B ~ para este problema. F~m = I L En primer lugar, obtenemos las direcciones de las corrientes (en uni-

d

c

magnetismo

167

dades de metros): ~ ab = −0.400 jˆ L

~ bc = 0.400 kˆ L

~ cd = −0.400 iˆ + 0.400 jˆ L

~ da = 0.400 iˆ − 0.400 kˆ L

~ = 0.0200 jˆ , formamos los productos cruz para obtener la fuerzas Considerando que el campo magnético es B ~ es paralelo al segmento ab (en Newton). En el primer caso la fuerza es nula porque B ~ ab × B ~ =0 F~ab = I L Similarmente

~ bc × B ~ = −40.0 × 10−3 iˆ F~bc = I L ~ cd × B ~ = −40.0 × 10−3 kˆ F~cd = I L ~ da × B ~ = 40.0 × 10−3 (iˆ + kˆ ) F~da = I L

Notar que la fuerza total sobre el circuito es cero. EJEMPLO 5.3 Un conductor es suspendido por dos alambres flexibles como se muestra en la figura. El conductor tiene una masa por unidad de longitud de 0.0400 kg/m. batería Existe un campo campo magnético uniforme entrando en la página de magnitud 3.60 T. ¿Cuál debe ser la corriente en el conductor para que la tensión en los entrando alambres de soporte sea cero? ¿Cuál es la dirección de la corriente? Solución: En ausencia de campo magnético, la tensión de los cables debe igualar al peso del conductor. Para que conductor la tensión de los cables sea cero, la fuerza magnética debe ser igual al peso del conductor. La figura muestra la dirección que debe tener la corriente para que la fuerza magnética apunte hacia arriba. Entonces la condición es alambres flexibles

mg = Fm = ILB donde L es el largo y m la masa del conductor. De esta expresión obtenemos la corriente I=

mg LB

De esta expresión no conocemos ni L ni m. Sin embargo m/L = 0.0400 kg/m es la masa por unidad de longitud. Luego I=

0.0400 kg/m × 9.8 m/s2 = 0.109 A 3.60 T

entrando

168


5.3 Torque sobre una espira con corriente En la sección vimos que un campo magnético ejerce una fuerza sobre un conductor con corriente y también concluimos que si el el campo es uniforme la fuerza neta sobre un circuito cerrado es cero. Sin embargo a pesar que la fuerza neta es cero, eso no significa que el torque neto sea cero. Por ejemplo la figura 5.10 muestra una espira rectangular en pre~ La magnitud de las fuerzas sencia de una campo magnético uniforme B. sobre los segmentos de longitud a son Figura 5.10: Una espira rectangular donde el vector unitario nˆ forma un ángulo θ con el campo magnético unifor~ me B.

(a) Vista superior

(b) Vista de perfil

F1 = IaB

F2 = IaB

pero con direcciones opuestas de tal manera que ellas forman una par de fuerzas que ejercen un torque que hace girar la espira. Para cada fuerza, el brazo de palanca es 2b sin θ, entonces la magnitud de los torques es: τ1 =

b b sin θF1 = sin θIaB 2 2

y τ2 =

b b sin θF2 = sin θIaB 2 2

La magnitud del torque total sobre la espira es τ = τ1 + τ2 = IabB sin θ = IAB sin θ donde A = ab es el área de la espira. Si la espira tiene N vueltas el torque es τ = N IAB sin θ

magnetismo

169

Este torque hace girar la espira de tal forma que nˆ tiende a estar paralelo ~ Una forma conveniente de expresar este torque es en forma vectorial a B. ~ ×B ~ ~τ = I A ~ es un vector de magnitud A = ab y es perpendicular a la superdonde A ficie formada por la espira. El torque sobre una espira con corriente en presencia de un campo magnético es la base como funcionan los motores eléctricos. Como muestra la figura 5.11, la armadura de un motor consiste en una espira de alambre (con muchas vueltas) que puede rotar en un eje. Cuando una corriente pasa a través de la espira, el campo magnético ejerce un torque sobre la armadura y causa que esta rote. La corriente no puede ser constante porque la armadura solo oscilaría alrededor de la posición de equilibrio. Para mantener el motor girando, se usa un conmutador, que tiene como función revertir la dirección de la corriente cada 180°. La inversión de la corriente hace que el motor siempre e impide que este llegue a la posición de equilibrio.

Rotación

N S Escobilla o o fijo.

Escobilla o o fijo. El Conmutador invierte la corriente en la espira cada medio ciclo. De ese modo la fuerza en la parte izquierda de la espira es siempre hacia arriba.

Figura 5.11: Principio básico de un motor eléctrico. Notar que el conmutador está dividido en dos partes, de tal forma que el terminal positivo de la batería envía corriente a cualquiera de los alambres que toque la mitad derecha del conmutador.

170


5.4 La ley de Biot y Savart La fuente de un campo magnético estático puede ser un magneto (imán), un campo eléctrico que varía en el tiempo, o una corriente continua. Vamos a considerar por el momento una corriente continua que pasa por un elemento diferencial de alambre, tal como muestra la figura 5.12. El campo magnético en el posición 2 debido a ese elemento diferencial viene dado por la expresión ~2 = dB

µ0 I1 d~l1 × rˆ12 2 4π r12

(?)

donde rˆ12 es un vector unitario dirigido desde el punto 1 (punto fuente) hasta el punto 2 (punto campo). La expresión anterior no puede ser verificada experimentalmente porque es imposible aislar el elemento diferencial de corriente. La constante µ0 /4π se define en función de la permeabilidad del espacio libre, µ0 , por medio de

Punto 2

Punto 1

Figura 5.12: La ley de Biot-Savart ex~ 2 produpresa el campo magnético dB cido por un elemento diferencial d~l1 . La ~ 2 es entrando en la padirección de dB gina.

µ0 = 10−7 N/A2 4π La expresión (?) también se puede escribir como ~2 = dB

µ0 I1 d~l1 × ~r12 3 4π r12

En régimen permanente (ver sección 4.7) vimos que la densidad de carga debe ser constante en el tiempo ( ∂ρ ∂t = 0) y de acuerdo a la ecuación ∂ρ ~ de continuidad ∂t + ∇ · J = 0, entonces las corrientes estacionarias tienen divergencia nula, ∇ · J~ = 0. Esto tiene como consecuencia inmediata que3 ‰ ~=0 J~ · dA S

es decir, la corriente total que cruza cualquier superficie cerrada es cero, y esta condición solo puede ser cumplida asumiendo una corriente alrededor de una trayectoria cerrada. Entonces, bajo esta condición, puede ser demostrada experimentalmente la ley de Biot-Savart: ~ (~r2 ) = µ0 I1 B 4π

˛ C1

d~l1 × ~r12 3 r12

Esta fórmula permite encontrar la inducción magnética causada por la corriente I1 en una trayectoria cerrada C1 . El campo magnético también se puede escribir en función de la densidad de corriente J~1 . En una alambre delgado (Fig. 5.12) con sección transversal A, el volumen es dv1 = Adl1 y el flujo de corriente es totalmente a lo largo del alambre. Tenemos J~1 dv1 = J~1 Adl1 = (J1 A)d~l1 = Id~l1

3

Recordar el teorema de la divergencia.

magnetismo

171

entonces al sustituir obtenemos: ˆ

~ (~r2 ) = µ0 B 4π

V

J~1 × ~r12 dv1 3 r12

Como es de costumbre, las dos fórmulas principales anteriores se pueden escribir en función de los radios vectores, considerando que ~r12 = ~r2 − ~r1 ˛ d~l1 × (~r2 − ~r1 ) ~ (~r2 ) = µ0 I1 B 4π C1 |~r2 − ~r1 |3 ~ (~r2 ) = µ0 B 4π

ˆ

J~1 × (~r2 − ~r1 ) |~r2 − ~r1 |3

V

dv1

También podemos usar la notación “prima” para indicar la fuente de la inducción magnética 0 ~ (~r) = µ0 I B 4π 0 ~ (~r) = µ0 I B 4π

˛ C0

˛ C

d~l0 × ~r r3

I d~l0 × (~r − ~r0 ) |~r − ~r0 |3

Antes de ver un ejemplo vamos a mencionar que existe una regla gráfica para determinar la dirección del campo magnético, si conocemos la dirección de la corriente. La figura 5.13 ilustra el método para un alambre muy largo con corriente, pero el método también se puede aplicar a conductores con otra forma.

B Figura 5.13: Regla de la mano derecha para determinar la dirección del campo magnético alrededor de un alambre largo que lleva una corriente. La punta ~ de los dedos da la dirección de B.

EJEMPLO 5.4: Campo magnético debido a un alambre largo Considerar un alambre recto y delgado que lleva una corriente constante I y colocado a lo largo del eje x. Determinar el campo magnético en el punto P debido a la corriente. Solución: Vamos a obtener el campo magnético en el punto P a una distancia y del eje x. El campo magnético debido al diferencial dx es ~ (~r2 ) = dB

µ0 I d~l1 × (~r2 − ~r1 ) 4π |~r2 − ~r1 |3

(∗)

en nuestro caso ~r1 = xiˆ, ~r2 = y jˆ y d~l1 = d~x. Por la regla de la mano derecha el campo en el punto P apunta ˆ Además la expresión d~l1 × (~r2 − ~r1 ) = d~x × (y jˆ − xiˆ) = dxiˆ × (y jˆ − xiˆ) = hacia afuera de la hoja (dirección k). ydxkˆ indica la misma dirección. Entonces al reemplazar en (*) ~ (~r2 ) = dB

µ0 I ydx ˆ k 4π |~r2 − ~r1 |3

(∗∗)

p De la figura se tiene que |~r2 − ~r1 | = x2 + y 2 y podemos expresar (**) en función de x, para luego integrar entre −∞ y +∞. Sin embargo, podemos seguir un camino alternativo y expresar la integral en función de θ.

172


En efecto, de la figura

|~r2 − ~r1 | = y csc(π − θ ) = y csc θ

y también

y = tan(π − θ ) = − tan θ x

⇒

dx = y csc2 θdθ

y remplazamos todo en (**) ~ (~r2 ) = dB

µ0 I dθ ˆ µ0 I µ0 I y (y csc2 θdθ ) ˆ k= k= sin θkˆ 4π (y csc θ )3 4π y csc θ 4πy

para un alambre infinito integramos entre θ = 0 y θ = π ~ (y ) = µ0 I kˆ B 4πy

ˆπ

sin θ =

0

π µ0 I ˆ µ0 I ˆ k (− cos θ ) = k 4πy 2πy 0

Podríamos haber buscado en una tabla, la integral ˆ du u = √ 2 2 3/2 2 (u + a ) a u2 + a2 para obtener el campo ~ (~r2 ) B

=

=

µ0 Iy 4π µ0 Iy 2π

+∞ ˆ −∞

µ0 Iy dx kˆ = 2 4π (x2 + y 2 )3/2 #+∞

1

" y2

p

1 + (y/x)2

0

"

#+∞

x y2

p

µ0 Iy kˆ = 2π

kˆ

x2 + y 2

0

1 µ0 I ˆ − 0 kˆ = k y2 2πy

EJEMPLO 5.5: Campo magnético sobre el eje de una espira con corriente Considerar una espira circular de radio a localizada en el plano xy y que lleva una corriente I. Calcular el campo magnético en un punto axial a una distancia z del centro de la espira. Solución: De acuerdo a la figura: ˆ ~r1 = ar, ˆ ~r2 = z k, d~l = adθθˆ y ~r2 − ~r1 = z kˆ − arˆ Aquí tenemos una mezcla de coordenadas cartesianas y coordenadas cilíndricas. Expresamos todo en coordenadas cartesianas: θˆ = −iˆ sin θ + jˆ cos θ

y

rˆ = iˆ cos θ + jˆ sin θ

entonces ~r2 − ~r1 = z kˆ − iâ cos θ − jˆ a sin θ además |~r2 − ~r1 | =

p

a2 + z 2

y

d~l = adθ (−iˆ sin θ + jˆ cos θ )

magnetismo

173

por lo tanto ~ (z ) = dB

µ0 I d~l × (~r2 − ~r1 ) µ0 I adθ (−iˆ sin θ + jˆ cos θ ) × (z kˆ − iâ cos θ − jˆ a sin θ ) = 3 4π |~r2 − ~r1 | 4π (a2 + z 2 )3/2

y que debido a la ortogonalidad de los vectores unitarios se reduce a: ~ (z ) = dB

ˆ sin2 θ + iˆz cos θ + ka ˆ cos2 θ ) ˆ ) µ0 I (jˆ z sin θ + ka µ0 I (jˆ z sin θ + iˆz cos θ + ka adθ = adθ 4π 4π (a2 + z 2 )3/2 (a2 + z 2 )3/2

Finalmente integramos en θ ~ (z ) = µ0 I B 4π

ˆ2π ˆ ˆ 2) (j za sin θ + iˆza cos θ + ka dθ (a2 + z 2 )3/2 0

resulta que los dos primeros términos son cero y nos quedamos con el resultado final: a2 a2 ~ (z ) = µ0 I 2π ˆ = µ0 I B k kˆ 4π 2 (a2 + z 2 )3/2 (a2 + z 2 )3/2 Otra forma: Podemos resolver este problema más fácilmente usando argumentos de simetría para evitar trabajar con vectores. Trabajaremos con la formula ~ (~r) = µ0 I B 4π

˛

˛ ~ d~l × ~r µ0 I dl × rˆ = r3 4π r2

donde rˆ es un vector unitario que apunta desde el elemento de longitud d~l al punto P .

De acuerdo a la figura de la izquierda, el vector d~l es perpendicular al vector rˆ que apunta desde el elemento ~ en P será la dirección del producto cruz d~l × r, ~ será de longitud al punto P . La dirección de dB ˆ es decir dB ~ ~ ~ perpendicular a dl y a r. ˆ Puesto que dl × rˆ = dl sin 90° = dl, la magnitud de dB es dB =

µ0 I dl 4π r2

174


de la figura r2 = a2 + z 2 y entonces µ0 I dl 4π a2 + z 2 Por otro lado, si consideramos que para cada elemento de longitud, existe otro al lado opuesto que hace que las componentes x del campo magnético se anulen. Por lo tanto el campo magnético solo tiene dirección z. Esto es ilustrado en la figura de la derecha donde se muestran las lineas de campo. La línea que pasa justo por el centro de anillo va en la dirección de eje z. De la figura de la izquierda dB =

dBz = dB cos θ =

µ0 I dl µ0 I dl a √ cos θ = 2 2 2 2 2 4π a + z 4π a + z a + z2

al integrar ˆ Bz =

µ0 I µ0 I dl a a √ = 4π a2 + z 2 a2 + z 2 4π (a2 + z 2 )3/2

ˆ dl =

µ0 I a 2πa 4π (a2 + z 2 )3/2

Finalmente obtenemos el mismo resultado: Bz =

a2 µ0 I 2 (a2 + z 2 )3/2

5.5 Propiedades del campo magnético en el espacio libre Es un hecho experimental que todos lo campos magnético pueden ser descritos en función de una distribución de corriente. Es decir, para corrientes estacionarias, el campo magnético siempre toma la forma descrita en la sección anterior: ~ (~r2 ) = µ0 B 4π

ˆ V

J~1 × (~r2 − ~r1 ) |~r2 − ~r1 |3

dv1

donde J~1 es una densidad de corriente. Se puede demostrar matemática~ tiene la forma de la ecuación anterior entonces se cumple mente que si B que ~ (~r2 ) = 0 ∇·B

~ es nula. También La divergencia de B se le conoce como ley de Gauss del magnetismo.

Esta forma diferencial también se puede expresar en forma integral al aplicar el teorema de la divergencia: ‰

~ (~r2 ) · dA ~=0 B

S

Donde la integral de superficie se aplica a una superficie que rodea a un volumen arbitrario. Este hecho implica que no hay fuentes de flujo magnético y la lineas de flujo magnético siempre se cierran sobre si mismas.4 El hecho de que la divergencia del campo magnético se anule puede ser ser postulada sin mayor demostración. Similarmente se puede postular que

En otras palabras, no hay polos magnéticos aislados (monopolos). 4

Forma diferencial de la ley de Ampère

magnetismo

175

~ (~r2 ) = µ0 J~(~r2 ) ∇×B En resumen, las dos expresiones ~ =0 ∇·B

y

Postulados de la magnetostática en el vacío.

~ = µ0 J~ ∇×B

constituyen los postulados fundamentales de la magnetos~ = 0 también se conoce tática en el vacío. En especial, la expresión ∇ · B como la ley de Gauss en magnetismo.

176


5.6 La ley de Ampère Esta ley permite encontrar campos magnéticos en casos donde la ley de Biot-Savart resultaría muy complicada de aplicar. Si Partimos con ~ = µ0 J~ ∇×B y evaluamos una integral de superficie en ambos ˆ ˆ ~ ~ ~ ( ∇ × B ) · dA = µ0 J~ · dA S

S

y aplicamos el teorema de Stokes5 a la integral del lado izquierdo: ˆ ˛ ~ ) · dA ~= ~ · d~l (∇ × B B S

El teorema de Stokes establece que ~ paraúna campo vectorial ¸ F se cumple ~ ) · dA ~ = ~ · d~l donde que S (∇ × F F C la integral se linea se hace a través de una curva que rodea la superficie. 5

C

de esta forma se tiene la ley de Ampère ˛ C

ˆ ~ · d~l = µ0 B

~ J~ · dA S

y puesto que la integral del lado derecho es la corriente ˛ C

~ · d~l = µ0 I B

EJEMPLO 5.6: Campo magnético debido a una alambre largo Este problema se resuelve muy fácilmente usando la ley de Ampère ˛ ~ · d~l = µ0 I B C

Para ello elegimos una curva que rodee al alambre. En este caso elegimos una circunferencia por conveniencia. Si observamos la ~ es paralelo al elemento de longitud d~l, por lo figura vemos que B ~ ~ tanto B · dl = Bdl ˛ ˛ ~ · d~l = B Bdl = µ0 I C

C

el campo puede salir fuera de la integral pues este constante en cualquier punto de la trayectoria circular de radio y. Entonces obtenemos ˛ B C

dl = µ0 I

⇒

B2πy = µ0 I

⇒

B=

µ0 I 2πy

magnetismo

177

EJEMPLO 5.7: Campo magnético debido a una alambre grueso Calcular el campo magnético producido por un alambre largo de radio R y que lleva una corriente uniformemente a través de su sección.

Solución: Para r ≥ R elegimos un circulo de radio r. De la misma forma que en el ejemplo anterior, vemos ~ es paralelo al elemento de longitud d~l y por lo tanto B ~ · d~l = Bdl que B ˛ ˛ ~ · d~l = B Bdl = µ0 I C

C

donde I es la corriente que pasa a través de la superficie rodeada por la circunferencia de radio r. Obtenemos el mismo resultado que para un alambre delgado B=

µ0 I 2πr

r≥R

Para r < R la corriente que pasa a través del circulo no es la corriente total I sino que una fracción de ella. Si aplicamos la ley de Ampère obtenemos el resultado similar µ0 I 0 2πr 0 donde I es la corriente que pasa a través del circulo de radio r. Podemos establecer una proporcionalidad directa entre las corrientes y las respectivas áreas de cada circulo B=

I I0 r2 0 = ⇒ I = I πR2 πr2 R2 Esta proporcionalidad directa se justifica porque corriente/área no es otra cosa que la densidad de corriente uniforme en el alambre. Entonces B=

µ0 0 µ0 r2 µ0 I I = I 2 = r 2πr 2πr R 2πR2

r

178


EJEMPLO 5.8: Campo magnético de un solenoide

Un solenoide es un alambre largo enrollado en la forma de una hélice. Con esta configuración se produce ~ un campo magnético aproximadamente uniforme en el espacio (interior) rodeado por el alambre. Calcular B cuando el largo del solenoide es lo suficientemente largo para evitar problemas de borde. Solución: Cuando el alambre es suficientemente largo, el campo en el interior es aproximadamente uniforme. En la figura de la izquierda se muestra un corte vertical del solenoide. Para usar la ley de Ampère elegimos una trayectoria rectangular (1234) de tal manera que la corriente la atraviese ˆ ~ · d~l = µ0 I 0 B 1234

~ es uniforme y paralelo a d~l. En (2) La integral se puede dividir en cuatro contribuciones: En el interior (1) B ~ es perpendicular a d~l y las contribuciones serán cero. En el exterior (3) B ~ es aproximadamente nulo, y (4) B es decir la contribución en el segmento 3 es aproximadamente cero: ˆ ˆ ˆ ˆ ~ · d~l = µ0 I 0 ~ · d~l + B ~ · d~l + B B dl + B | {z1 } | 2 {z } | 3 {z } | 4 {z } ~ ~l) (Bkd

~ ~l) 0 (B⊥d

~ 0 (B≈0 )

~ ~l) 0 (B⊥d

Aquí I 0 es la corriente que atraviesa el rectángulo. Por el rectángulo pasan varias vueltas del alambre. Si definimos n como el número de vueltas por unidad de longitud del solenoide n=

vueltas longitud

entonces el número de vueltas en la longitud L es nL. Con esto la corriente es I 0 = nLI y tenemos ˆ B dl = µ0 nLI ⇒ BL = µ0 nLI ⇒ B = µ0 nI 1

Solución: Cuando el alambre es suficientemente largo, el campo en el interior es aproximadamente uniforme. En la figura de arriba a la derecha se muestra un corte vertical del solenoide. Para usar la ley de Ampère elegimos una trayectoria rectangular de tal manera que la corriente la atraviese ˆ ~ · d~l = µ0 I 0 B 1234

~ es uniforme y paralelo a d~l. En (2) La integral se puede dividir en cuatro contribuciones: En el interior (1) B ~ ~ ~ es aproximadamente nulo, y (4) B es perpendicular a dl y las contribuciones serán cero. En el exterior (3) B es decir la contribución en el segmento 3 es aproximadamente cero:

magnetismo

179

ˆ ˆ ˆ ˆ ~ · d~l = µ0 I 0 ~ · d~l + B ~ · d~l + B B dl + B | {z1 } | 2 {z } | 3 {z } | 4 {z } ~ ~l) (Bkd

~ ~l) 0 (B⊥d

~ 0 (B≈0 )

~ ~l) 0 (B⊥d

aquí I 0 es la corriente que atraviesa el rectángulo. Por el rectángulo pasan varias vueltas del alambre, si definimos n como el número de vueltas por unidad de longitud del solenoide n=

vueltas longitud

entonces el número de vueltas en la longitud L es nL. Con esto la corriente es I 0 = nLI y tenemos ˆ B dl = µ0 nLI ⇒ BL = µ0 nLI ⇒ B = µ0 nI 1

180


EJEMPLO 5.9: Campo magnético de un toroide Un toroide de sección rectangular y radio interior R consiste de N vueltas de alambre que lleva una corriente I. Calcular el campo magnético dentro del toroide. Solución: Este es un problema estándar en todos los libros de texto. ~ solo tiene componente La simetría cilíndrica asegura que B φ y que es constante a lo largo de la trayectoria circular de radio r de la figura de abajo. Además suponemos que el campo magnético al exterior del toroide en nulo. Es el mismo argumento que usamos para resolver el problema 5.8 de un solenoide (esto es razonable, pues después de todo un toroide es un solenoide doblado). Para aplicar la ley de Ampère usamos el contorno (trayectoria) circular de radio r. Además consideramos el he~ es tangente a la trayectoria y por lo tanto cho de que B ~ ~ B dl = Bφ dl ˛ ˛ ˛ ~ ~ B dl = Bφ dl = Bφ dl = µ0 N I C

C

C

La cantidad N I representa la corriente total que atraviesa el círculo de radio r. Luego µ0 N I Bφ 2πr = µ0 N I ⇒ Bφ = 2πr Notar que el resultado no depende de R y tampoco de la forma de la sección transversal del toroide.

magnetismo

181

5.7 Propiedades magnéticas de la materia El campo magnético producido por una corriente en una espira nos da un indicio acerca de lo que causa por las cuales ciertos materiales poseen fuertes propiedades magnéticas. Cuando calculamos el torque sobre una espira cuadrada con corriente I, la fórmula que obtuvimos es ~ ×B ~ ~τ = I A pero a pesar de que la deducción fue para un caso especial, la fórmula ~ anterior es válida para una espira con cualquier forma. La cantidad I A aparece en forma muy frecuente en la teoría magnética, así que le daremos un nombre, momento magnético dipolar:

Figura 5.14: Momento dipolar de una espira con corriente. La magnitud de m = IA.

~ m ~ = IA ~ es un vector perpendicular a la superficie y de magnitud A. En donde A general cualquier espira con corriente tiene un campo magnético y por lo tanto un dipolo magnético, incluso a nivel atómico donde se puede imaginar al electrón como una corriente eléctrica en una espira circular. Como todos los materiales están compuestos por átomos, es razonable pensar que a nivel macroscópico los materiales también posean un momento magnético. Cuando no hay un campo magnético externo, los dipolos magnéticos de los átomos de la mayoría de los materiales tienen orientaciones aleatorias (Fig. 5.15) de tal manera que no hay un momento magnético neto.6 La aplicación de un campo magnético externo implica una alineación de los momentos magnéticos de los electrones. Tal como el estado de polarización de una substancia se describe por medio del vector de polarización P~ , el estado magnético de una substancia se describe mediante el vector ~ de magnetización M n∆v X

~ = l´ım M

∆v→0

Figura 5.15: Dipolos magnéticos en un material, con orientaciones aleatorias. El momento magnético neto es aproximadamente cero. 6 Con excepción de los imanes permanentes.

m ~k

k =1

∆v

donde n es la cantidad de átomos por unidad de volumen y la expresión n∆n es la cantidad de átomos en el volumen ∆v. De acuerdo a esta ~ representa una densidad volumétrica de momento magnético definición M y tiene una analogía directa con el vector de polarización P~ .7 ~ 0 y el vector M ~ , el campo Teniendo un campo magnético externo B magnético total en un punto dentro de un material o substancia depende de ambos. En la sección de electrostática definimos dos cantidades escalares, densidad superficial de polarización y densidad volumétrica de polarización. Análogamente en magnetismo, es conveniente definir dos cantidades vectoriales: El vector ~ J~v = ∇ × M [A/m2 ]

n∆v X 7

~ = lim Recordar que P

∆v→0

p ~i

i=1

∆v

182


es la densidad volumétrica de corriente de magnetización. Y el vector ~ × nˆ J~s = M

[A/m]

es la densidad superficial de corriente de magnetización. Donde nˆ es un vector unitario normal que apunta hacia afuera de la frontera. Figura 5.16: La corriente total I que atraviesa la longitud transversal b donde hay una densidad superficial de corriente de magnetización es I = Js b.

La unidad de Js es “amperes por metro de ancho”, es decir si la densidad de corriente superficial, Js , es uniforme, la corriente total I en un ancho b es (Fig. 5.16) I = Js b donde asumimos que el ancho b es medido perpendicularmente a la dirección de la corriente. Para una Js no uniforme es necesario integrar ˆ I = Js dN

Frontera

B

donde dN es el diferencial de longitud transversal a la dirección de la corriente. ~ × nˆ podemos recurrir a la figura Para entender la expresión J~s = M 5.17 que representa un corte transversal de un material magnetizado de cierto espesor. En la superficie del material (lado izquierdo y derecho de las lineas punteadas), los dipolos magnéticos contribuyen a una corriente ~ × nˆ es un vector que superficial efectiva. Claramente el producto cruz M sigue la trayectoria circular de cada dipolo.

5.8 Intensidad de campo magnético ~ los dipolos magnéCuando se aplica un campo magnético externo B, ~ ticos del material se alinean con B y lo mismo ocurre con el momento magnético inducido. El resultado es que el campo magnético total en presencia de un material magnético sea diferente de su valor en el espacio libre. A nivel macroscópico la magnetización se puede describir en términos de la densidad de corriente volumétrica de magnetización, J~v . Si a la ecuación ~ = µ0 J~ ∇×B le agregamos J~v , tenemos ~ = µ0 (J~ + J~v ) ∇×B ~ y como J~v = ∇ × M ~ = µ0 (J~ + ∇ × M ~) ∇×B

⇒

∇×

~ B ~ −M µ0

!

= J~

Figura 5.17: Corte transversal de un material magnetizado. El vector mag~ apunta hacia afuera de netización M la página. En el interior, los dipolos se anulan entre si, pero en la frontera los dipolos contribuyen a una corriente superficial.

magnetismo

183

con esto definimos una nueva cantidad, llamada intensidad de campo ~ magnético H ~ ~ = B −M ~ H µ0 de tal forma que obtenemos una nueva ecuación: ~ = J~ ∇×H Notar que J~ es la densidad de corriente libre (de una batería, etc). La forma integral de la ecuación anterior se obtiene tomando la integral de superficie en ambos lados y aplicando el teorema de Stokes: ˛

ˆ ~ · d~l = H

C

‰ ~ J~ · dA

~ · d~l = I H

⇒

S

C

donde C es el contorno (trayectoria cerrada) que limita la superficie S. Esta ecuación es la ley de Ampère en un medio magnético. En situaciones cuando el medio magnético es lineal e isótropo, la mag~ netización es directamente proporcional a H ~ = χm H ~ M donde la cantidad adimensional χm es la susceptibilidad magnética.8 Al ~ ~ = B~ − M sustituir esta ecuación en H µ0 ~ ~ ~ = B −M ~ = B − χm H ~ H µ0 µ0

Aquí hay una clara analogía con las ~ = χE. ~ susceptibilidad eléctrica P 8

⇒

~ = µ0 (1 + χm )H ~ = µ0 µr H ~ = µH ~ B con µr = (1 + χm ) =

µ µ0

aquí µr es una cantidad adimensional llamada permeabilidad relativa del medio y µ = µr µ0 es la permeabilidad absoluta.9 En general todos los materiales son magnéticos (aunque la mayoría muy débilmente). Para ver el grado de magnetismo de un material es útil analizar los valores de χm , que se obtienen de observaciones expe~ = µ0 (1 + χm )H ~ vemos rimentales. En efecto, al analizar la fórmula B que dependiendo del signo de χm el campo magnético en el interior de una material puede aumentar o disminuir. La tabla siguiente muestra valores de la susceptibilidad magnética para algunos materiales. Los materiales son clasificados de acuerdo al signo de χm . Si χm > 0 decimos que es un material paramagnético. En cambio si χm < 0 el material es diamagnético.

Notar la analogía de ~ = µH ~ y µ = µr µ0 B con el caso de un dieléctrico ~ = 1D ~ y = κ0 . E

9

184


Substancia

χm

paramagnética

Substancia

χm

diamagnética

Aluminio

2.3 × 10−5

Bismuto

−1.66 × 10−5

Calcio

1.9 × 10−5

Cobre

−9.8 × 10−6

Cromo

2.7 × 10−4

Diamante

−2.2 × 10−5

Litio

2.1 × 10−5

Oro

−3.6 × 10−5

Magnesio

1.2 × 10−5

Plomo

−1.7 × 10−5

Niobio

2.6 × 10−4

Mercurio

−2.9 × 10−5

Oxigeno

2.1 × 10−6

Nitrógeno

−5.0 × 10−9

Platino

2.9 × 10−4

Plata

−2.6 × 10−5

Tungsteno

6.8 × 10−5

Silicio

−4.2 × 10−6

Tabla 5.1: Susceptibilidad magnética de algunas substancia paramagnéticas y diamagnéticas a 300 K.

5.8.1 Materiales diamagnéticos En los materiales diamagnéticos el valor de χm es negativo y el campo magnético se debilita por la presencia del material. Esto se justifica por medio de la figura 5.18. En ausencia de un campo magnético externo ~ tenemos un material con sus dipolos atómicos nulos y por tanto una B, ~ = 0. Al aplicar un campo magnético externo B ~ el magnetización total M ~ se opone a B. ~ Esto material se magnetiza de tal forma que el vector M es debido a la ley de Lenz que veremos más adelante. Figura 5.18: Material diamagnético, χm < 0, los momentos magnéticos atómicos son nulos y la aplicación de una ~ induce un magnecampo magnético B ~ tización contraria a B.

5.8.2 Materiales paramagnéticos El paramagnetismo solo ocurre ante la presencia de un campo magnéti~ externo, el momento magnético atómico co externo. En ausencia de un B o molecular es distinto de cero, m ~ 6= 0, pero como estos están orientados ~ , es nula. Al aplicar el campo magaleatoriamente, la magnetización, M ~ los dipolos se orientan en favor de B ~ de tal forma que aparece nético B ~ ~ Como conuna magnetización M que va en la misma dirección de B. secuencia el campo magnético total se incrementa por la presencia del material (Fig. 5.19). Figura 5.19: Material paramagnético, χm > 0, los m ~ 6= 0 pero están orien~ = 0. tados aleatoriamente tal que M ~ hace que los dipolos La aplicación de B atómicos se alineen tal que aparece una magnetización en el mismo sentido que ~ B.

5.8.3 Materiales ferromagnéticos Los materiales ferromagnéticos (por ejemplo hierro, níquel y cobalto) son otra clase de material magnético. Como muestra la figura 5.20 el

magnetismo

material tiene una magnetización permanente incluso en ausencia de una campo magnético externo. Estos tipos de materiales son no lineales, es ~ = χm H ~ yB ~ = µH. ~ Además decir no están regidos por las ecuaciones M χm es un número muy grande. El ferromagnetismo puede ser ilustrado con la figura 5.21 donde se muestran que el material se divide en dominios magnetizados, que contienen una gran cantidad de átomos (1015 o 1016 ) magnetizados dando como resultado una magnetización neta en esa región, incluso en ausencia de una campo magnético. Cada dominio es separado por una pared de dominio que no está magnetizada. Dominio Pared de magnetizado Dominio

(a)

Dominios con mayor volumen

185

Figura 5.20: Un material ferromagnético tiene una magnetización permanente, incluso si no hay una campo externo aplicado.

Figura 5.21: (a) En ausencia de un cam~ los momentos magnéticos de dopo B minio tiene una orientación aleatoria. ~ cre(b) Los dominios alineados con B cen y como consecuencia aparece un momento magnético neto.

(b)

En una muestra no magnetizada, los momentos magnéticos en los dominios están orientados aleatoriamente de tal forma que el momento magnético neto es cero. Cuando la muestra se coloca en un campo magnético externo, los dominios alineados con el campo magnético aumentan su volumen EJEMPLO 5.10 ~ en el eje de un cilindro circular Determinar el campo magnético B uniformemente magnetizado de material magnético. El cilindro tiene ~ = M0 k. ˆ Solución: Puesto radio b, longitud L y magnetización axial M ~ es uniforme (constante) a lo largo del eje z, la densidad de que M ~ = 0. Por otro corriente volumétrica de magnetización es J~v = ∇ × M lado la densidad de corriente superficial de magnetización es ~ × nˆ J~s = M dondenˆ es normal a la pared lateral (manto) del cilindro, que en este caso es radial, es decir nˆ = rˆ (en coordenadas cilíndricas) ~ × rˆ = (M0 kˆ ) × rˆ = M0 φˆ J~s = M Es decir esta barra magnetizada (imán) se comporta como una lamina cilíndrica con una densidad lineal de corriente circunferencial M0 . Además no hay corriente superficial en las ~ × nˆ = 0). tapas del cilindro (M ~ en P (0, 0, z ) consideraremos una cinta de ancho dz 0 a una distancia z 0 del origen. Esta cinta Para hallar B lleva una corriente dada por Js dz 0 pues la corriente atraviesa una distancia transversal dz 0 (ver figura 5.16). En un problema anterior habíamos encontrado que el campo magnético en el eje de un anillo de radio a y

186


que lleva una corriente I era: Bz =

µ0 I a2 2 (a2 + z 2 )3/2

en nuestro caso a → b, z → z − z 0 y I = Js dz 0 , entonces al reemplazar dB =

µ0 (Js dz 0 ) M0 µ0 b2 dz 0 b2 = 2 2 (b2 + (z − z 0 )2 )3/2 (b2 + (z − z 0 )2 )3/2

y al integrar M0 µ0 b2 B (z ) = 2

ˆL 0

dz 0

(b2 + (z − z 0 )2 )3/2

=

L M0 µ0 b2 z0 − z p 2 b2 b2 + ( z − z 0 ) 2 0

y obtenemos finalmente ~ (z ) = M0 µ0 B 2

"

# z−L z √ −p kˆ b2 + z 2 b2 + ( z − L ) 2

magnetismo

187

5.9 Condiciones de borde Para resolver problemas de campos magnéticos debemos saber como ~ yH ~ al pasar la frontera entre dos medios. Usacambian los vectores B remos técnicas similares a las usadas en los dieléctricos. Lo primero es que como divergencia del campo magnético es nula, ~ = 0 y al pasar de un medio al otro, la componente normal del ∇·B campo es continua B1n = B2n ~ 1 = µ1 H ~1 y B ~ 2 = µ2 H ~ 2 y tenemos y en el caso de materiales lineales B la condición µ1 B1n = µ2 B2n Ahora necesitamos una condición de borde para la componente tan~ La componente tangencial no será continua si existe una gencial de H. corriente superficial en la superficie de separación (frontera). Procede ~ · d~l = I en la configuración de la figura remos a usar la ecuación C H 5.22. La trayectoria cerrada abcda está en la superficie de separación de los dos medios: ‰ ˆ ˆ ˆ ˆ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ · d~l H · dl = H · dl + H · dl + H · dl + H C

ab

bc

cd

da

si hacemos que ∆h se aproximen a cero, podemos ignorar las integrales ´ ´ ~ · d~l = ~ ~ en esos segmentos pues bc H ad H · dl = 0. Tenemos ‰

ˆ ~ · d~l = H

C

ˆ ~ ~ ~ · d~l = H ~ 1 · ∆w ~ 2 · (−∆w H · dl + H ~ +H ~) = I ab cd | {z } | {z } ~ 1 ·∆w H ~

~ 1 ·(−∆w H ~)

en este caso I es una corriente superficial que pasa a través de la superficie rodeada por el contorno abcda. La corriente en función de la densidad superficial de corriente se expresa como I = Jsn ∆w. Tenemos ~ 1 · ∆w ~ 2 · (−∆w H ~ +H ~ ) = Jsn ∆w donde hemos puesto Jns para indicar que J~s es normal a la superficie rodeada por el contorno, es decir J~s apunta hacia afuera de la hoja. La ecuación anterior es equivalente a: H1t − H2t = Jsn y la forma más general de escribir esta ecuación es ~1 − H ~ 2 ) = J~s nˆ 2 × (H donde nˆ 2 es un vector unitario normal que apunta hacia afuera del medio 2. Afortunadamente las dos ecuaciones anteriores pueden ser empleadas de una forma más simple, pues en la mayoría de los medios físicos la

a

Medio 1

b d

Medio 2

c

Figura 5.22: Condición de frontera para ~ H.

188


~ es continua a través de la frontera y no componente tangencial de H existen corrientes libres superficiales. Por lo tanto podemos suponer que

~ es conLa componente tangencial de H tinua en la mayoría de los casos.

H1t = H2t

5.10 Flujo magnético El flujo magnético se define de la misma forma que el flujo eléctrico. La integral de superficie ˆ Φm =

~ · dA ~ B S

es el flujo magnético a través de la superficie S limitada por un contorno C. Una situación especial es cuando la superficie es cerrada. En ese caso ~ = 0 (ley de Gauss en magnetismo), lo que usamos el hecho de que ∇ · B trae como consecuencia que ˛ Φm =

~ · dA ~=0 B

S

es decir, el flujo magnético a través de una superficie cerrada es nulo. EJEMPLO 5.11 Una espira rectangular de ancho a y largo b está localizada cerca de un alambre largo que lleva una corriente I. La distancia entre el alambre y el lado más cercano a la espira es c. el alambre es paralelo a lado de largo b. Encontrar el flujo total de campo magnético a través de la espira, debido a la corriente en el alambre. Solución: En la figura, la magnitud del campo magnético generado un alambre con corriente I es B=

µ0 I 2πr

donde r es la distancia al alambre y el campo apunta hacia adentro en la región donde se encuentra la espira. Puesto que el campo es variable con la distancia al alambre, elegimos una franja de ancho dr y largo b a una distancia r del alambre. El flujo es: ˆ ˆ ~ · dA ~= Φm = B BdA S

S

~ · dA ~ = B · dA porque B ~ es paralelo a dA. ~ Además dA = bdr. Reemplazando: donde hemos puesto B ˆ Φm = c

a+c

µ0 I µ0 Ib bdr = 2πr 2π

ˆ c

a+c

a + c dr µ0 Ib µ0 Ib a = ln r = ln 1 + r 2π 2π c c

magnetismo

189

EJEMPLO 5.12 Un conductor delgado a lo largo del eje z lleva una corriente de 16 A ˆ un cascarón cilíndrico de radio r = 6 lleva una en la dirección k, corriente de 12 A en la dirección −kˆ y otro cascarón cilíndrico de ˆ radio r = 10 lleva una corriente de 4 A en la dirección −k. ~ en todo el espacio. (a) Encontrar H

~ · d~l = I donde ya sabeSolución: Usamos la ley de Ampère C H ~ ˆ ˆ mos que H tiene la dirección φ o −φ de acuerdo al la regla de la mano derecha. La trayectoria C será una circunferencia de radio r y concéntrica con el eje z. ~ = 16 φˆ H (i) Para 0 < r < 6 : 2πrH = 16 ⇒ 2πr ~ = 4 φˆ (ii) Para 6 < r < 10 : 2πrH = 16 − 12 ⇒ H 2πr ~ =0 H (iii) Para r > 10 : 2πrH = 16 − 12 − 4 = 0 ⇒ (b) Hallar el flujo total a través de la superficie 1 < r < 7, 0 < z < 1. Solución: La superficie corresponde a un rectángulo de ancho 6 elemento de área en este rectángulo es dA = dzdr, además usamos ˆ ˆ ˆ ~ · dA ~ = BdA = B Φ = ˆ1 ˆ6

= 0

1

16µ0 drdz + 2πr

ˆ1 ˆ7 0

6

y alto 1 perpendicular al plano xy. Un ~ = µ0 H ~ para calcular el flujo B Bdrdz

4µ0 drdz 2πr

µ0 = 2 [4 ln 4 + ln 7/6] = 5.9 µWb π ~ · d~l = I, de la ley de Ampère, aunque en este caso no era Nota: Hemos usado a propósito la forma, C H ~ ~ necesario pues con C B · dl = µ0 I habría sido más directo.

5.11 Inducción electromagnética Michael Faraday contribuyó a uno de los mayores avances en la teoría electromagnética. El descubrió que si en una espira había un flujo variable de campo magnético, entonces se inducía una fem en la espira. En otras palabras, se establece una corriente eléctrica en la espira sin que esté conectada una batería. La ley de Faraday es establece que la fem inducida en un circuito está relacionada con la variación del flujo magnético:10 ε=−

dΦ dt

Esta es una ley experimental que no puede ser deducida de otras leyes experimentales.

El signo negativo indica que la dirección de la fem inducida es tal que se opone al cambio que la produce (ver ley de Lenz). 10

190


Por definición la fem es ˛ ~ · d~l E

ε= y también ˆ Φm =

~ · dA ~ B S

de ε = − dΦ dt escribimos

ˆ d ~ · dA ~ B dt S para un circuito que no cambia de forma, la derivada total puede pasar hacia adentro de la integral en forma de derivada parcial ε=−

ˆ ε=− S

~ ∂B ~= · dA ∂t

˛ ~ · d~l E

aplicamos el teorema de Stokes a la integral del lado derecho ´ ~ ) · dA ~ de tal forma que (∇ × E

¸

~ · d~l = E

S

ˆ

ˆ ~ ) · dA ~=− (∇ × E

S

S

~ ∂B ~ · dA ∂t

ˆ ⇒ S

~ ~ + ∂B ∇×E ∂t

!

~=0 · dA

Este resultado es válido para cualquier superficie, por lo tanto si la in~ + ∂ B~ = 0 independiente de la superficie. tegral es nula, entonces ∇ × E ∂t Con esto obtenemos la ley de Faraday en forma diferencial:11

Para campos estáticos teníamos que ~ = 0. La ley de Faraday es una ∇×E generalización. 11

~ ~ = − ∂B ∇×E ∂t LEY DE LENZ “Las fems inducidas son de un sentido tal que se oponen a la variación del flujo magnético que las produjo” Por ejemplo, si intentamos incrementar el flujo a través de un circuito, la fem inducida tiende a causar corrientes en una dirección para decrementar el flujo. EJEMPLO 5.13

Un circuito circular formado por N vueltas de alambre conductor está en el plano xy con el centro en el origen de un campo magnético dado ~ = kB ˆ 0 cos(πr/2b) sin ωt, donde b es el radio del circuito y ω es por B la frecuencia angular. Determinar la fem inducida en el circuito. Solución: El campo magnético es variable con el tiempo y el circuito no cambia de forma, es decir el flujo del campo magnético depende del tiempo. Primero calculamos el flujo y después la fem ˆ ~ · dA ~ Φm = B S

~ es el área de una franja circular de radio r y apunta en este caso dA

magnetismo

191

~ = dAkˆ = 2πrdrkˆ en la dirección z, es decir dA ˆ Φm =

0

b

ˆ 0 cos(πr/2b) sin ωt) · (2πrdrkˆ ) = (kB

8b2 π − 1 B0 sin ωt π 2

puesto que hay N vueltas, el flujo total es N Φ y obtenemos ε = −N

8N 2 π dΦ = − b − 1 B0 ω cos ωt dt π 2

EJEMPLO 5.14: Conductor movil en un campo magnético estático Cuando un conductor se mueve en un campo magnético estático con una velocidad ~v , los electrones en el conductor experimentarán una fuerza hacia arriba dada por ~ F~m = q~v × B en esta situación la parte abajo del conductor quedará con deficiencia de electrones y la parte de arriba con exceso de electrones. Esto significa que se establecerá un campo ~ y por lo tanto una fuerza en dirección contraria a la fuerza magnética. Esta eléctrico E separación de cargas será hasta que las fuerzas magnética y eléctrica se equilibren, es decir qE = qvB ⇒ E = vB pero el campo eléctrico está relacionado con la diferencia de potencial ∆V entre ambos extremos del conductor, que está dada por ∆V = EL entonces tenemos la condición ∆V = vBL se establece una diferencia de potencial entre los extremos del conductor, donde el extremo de abajo está a mayor potencial. EJEMPLO 5.15 Dos alambres paralelos e infinitos separados por una distancia d llevan corrientes iguales y en direcciones opuestas, con I incrementándose a una razón de dI dt . Una espira cuadrada de alambre de lado d se coloca a un lado y en el mismo plano de los alambres a una distancia d de uno de los alambres. Encontrar la fem inducida y la dirección de esta en la espira.

Ampère:

Solución: El campo magnético producido por una alambre con corriente I a una distancia r es un resultado muy conocido que puede obtenerse fácilmente por medio de la ley de

µ0 I 2πr y su dirección es tangencial a la circunferencia de radio r (regla de la mano derecha). Entonces el flujo B=

192


magnético a través de la espira debido al alambre más alejado es ˆ Φ1 =

ˆ ~ · dA ~= B

ˆ3d BdA =

S

S

2d

µ0 Id 3 µ0 Id dr = ln 2πr 2π 2

donde dA = (d)dr es un elemento de superficie que corresponde a una cinta de alto d y ancho dr en la espira. En este caso el flujo se dirige hacia adentro de la página. Análogamente para el otro alambre ˆ2d Φ2 =

µ0 Id µ0 Id dr = ln 2 2πr 2π

d

apuntando hacia afuera de la página. Entonces el flujo total es Φ = Φ2 − Φ1 = apuntando hacia fuera de la página. En consecuencia la fem inducida en la espira es ε=−

µ0 Id 4 ln 2π 3

dΦ µ0 d 4 dI = − ln dt 2π 3 dt

El campo magnético producido por la corriente inducida debe tender a oponerse al cambio de flujo magnético, de tal forma que el campo debe entrar en la página. Entonces por la regla de la mano derecha la corriente debe fluir en el sentido horario.

5.12 Inductancia e inductancia mutua 5.12.1 Inductancia La inductancia12 es uno de los tres parámetros importantes en la teoría de circuitos. Los otros dos parámetros ya los vimos y son la resistencia y la capacidad. Vamos a considerar la relación entre el flujo magnético y la corriente asociados a un circuito aislado. Si queremos calcular el flujo magnético asociado a un circuito aislado depende de su geometría, y de acuerdo ´ r12 ~ (~r2 ) = µ0 I1 d~l1 ×~ a la ley de Biot-Savart B depende linealmente de 4π r3 12

la corriente en el circuito. Entonces para un circuito que no cambia de forma, la única manera que cambie el flujo es debido al cambio en la corriente. La expresión de flujo la podemos escribir dΦ dI dΦ = dt dI dt

~ es proporcional a Puede suceder que la ley de Biot-Savart sea válida (B I) o que el flujo sea directamente proporcional a la corriente (en ese caso dΦ Φ dI es una constante igual a I ). En cualquiera de los dos casos definimos la inductancia L como dΦ L= dI de este modo la ley de inducción se puede escribir

También conocida como auto inductancia. 12

magnetismo

ε = −L

193

dI dt

que es una ecuación de considerable utilidad. La unidad de inductancia es el henry (H). EJEMPLO 5.16: Inductancia de un toroide Un dispositivo llamado toroide se usa frecuentemente para crear un campo magnético aproximadamente uniforme. un toroide consiste de un alambre conductor enrollado alrededor de un anilla (toro) hecho de un material no conductor. Para un toro con N vueltas, calcular la auto inductancia. Solución: Debemos calcular el flujo magnético, pero primero hay que calcular el campo magnético. De ~ k d~l, es decir B ~ · d~l = Bdl. La aplicación de la ley de Ampère nos lleva a acuerdo a la figura B ˛

˛ ~ · d~l = B

Bdl = µ0 N I

el campo magnético es constante en cualquier punto de una circunferencia de radio r ˛ B dl = µ0 N I ⇒ B2πr = µ0 N I B=

µ0 N I 2πr

Este campo depende de r por lo tanto no es uniforme dentro del toroide. Sin embargo para r mucho mayor que el radio de la sección transversal de toro, podemos considerar un campo aproximadamente uniforme. N IA Ahora procedemos a calcular el flujo. El flujo para cada vuelta es µ02πr , donde A es el área de la sección transversal del toro. Como hay N vueltas, el flujo total es µ0 N IA µ0 N 2 AI = 2πr 2πr de esta forma, la inductancia es aproximadamente Φ=N

L=

µ0 N 2 A 2πr

5.12.2 Inductancia mutua En la sección anterior sólo consideramos un circuito aislado. Ahora consideremos que hay n circuitos. El flujo sobre el i-ésimo circuito debido a al resto de los n − 1 circuitos se calcula como Φi = Φi1 + Φi2 + · · · + Φii + · · · + Φin =

n X

Φij

j =1

donde Φi1 significa el flujo sobre el circuito i debido al circuito 1, etc. la fem inducida sobre el i-ésimo circuito es n X dΦij dΦi dΦi1 dΦi2 dΦii dΦin ε=− =− + +···+ + +···+ =− dt dt dt dt dt dt j =1

Si cada uno de los circuitos es rígido y estacionario, entonces dΦij dΦij dIj = dt dI dt

194


al igual que en el caso de un sólo circuito, los términos dIij son constantes y definimos la inductancia mutua entre el circuito i y el circuito j como dΦ

Mij =

dΦij dIj

i 6= j

Se puede demostrar que Mij = Mji . EJEMPLO 5.17 Supongamos que en el toroide del problema 5.16 hay N1 vueltas y le enrollamos otro alambre con N2 vueltas. Calcular la inductancia y la inductancia mutua. Solución: El campo magnético producido por la corriente 1 es (ver problema 5.16) µ0 N1 I1 2πr

B= en consecuencia los flujos son: Φ11 =

µ0 N12 AI1 2πr

De estos flujos sigue que L1 = De la misma manera

µ0 N12 A 2πr

y

y

Φ21 =

M21 =

µ0 N1 N2 AI1 2πr µ0 N1 N2 A 2πr

µ0 N22 A µ0 N1 N2 A y M12 = 2πr 2πr demostrando, que en este caso, se cumple M12 = M21 . L2 =

Nota: Puesto que M12 = M21 , es interesante considerar 2 M12 M21 = M12 =

es decir M12 =

√

L1 L2

µ0 N1 N2 A 2πr

2

=

µ0 N12 A µ0 N22 A = L1 L2 2πr 2πr

magnetismo

195

5.13 Ecuaciones de Maxwell La ecuaciones de Maxwell representan una de las formas más elegantes y concisas de establecer los fundamentos de la electricidad y el magnetismo. De estas ecuaciones podemos desarrollar la mayoría de las relaciones necesarias en este campo. La formulación concisa de estas ecuaciones involucran un alto nivel de sofisticación matemática, y son usadas como punto de partida para cursos más avanzados. James Clerk Maxwell fue un genio al mismo nivel que Einstein o Newton. Maxwell tomó un conjunto de leyes experimentales conocidas (ley de Faraday, ley de Ampère) y las unificó en un conjunto simétrico y coherente de ecuaciones conocidas como ecuaciones de Maxwell. Maxwell fue uno de los primeros en determinar que la rapidez de propagación de las ondas electromagnéticas es la misma que la rapidez de luz; con esto concluyó que las ondas electromagnéticas y la luz son la misma cosa. Originalmente las ecuaciones de Maxwell fueron escritas para campos en el vacío, en presencia de una densidad de carga eléctrica ρ, y densidad de corriente J~ (cargas en movimiento). Durante el curso hemos formulado algunas de las ecuaciones de Maxwell sin haberlo mencionado:

5.13.1 Forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell Las cuatro ecuaciones para ~ ~ = − ∂B ∇×E ∂t ~ ~ = µ0 ε0 ∂ E + µ0 J~ ∇×B ∂t ~ = 1ρ ∇E ε0 ~ =0 ∇B

el vacío son: Ley de inducción de Faraday Ley de Ampère Ley de Gauss de la electricidad Ley de Gauss del magnetismo

Las mismas ecuaciones también pueden ser escritas para medios magnéticos o medios polarizables

Con:

~ ~ = − ∂B ∇×E ∂t ~ ∂ D ~ = ∇×H + J~ ∂t

Ley de inducción de Faraday

~ =ρ ∇D

Ley de Gauss de la electricidad

~ =0 ∇B

Ley de Gauss del magnetismo

Ley de Ampère

Figura 5.23: James Clerk Maxwell [1831-1879] fue un físico escocés, quien originó la idea de radiación electromagnética. Su trabajo fue la base para la teoría especial de la relatividad de Einstein. El también determinó la naturaleza de los anillos de Saturno e inventó la teoría cinética de los gases. La ideas de Maxwell son la base de la mecánica cuántica y de la teoría de la estructura de los átomos y las moléculas.

196


~ = ε0 E ~ + P~ D

Caso general

~ = ε0 E ~ D

Espacio libre

~ = εE ~ D

Dieléctrico lineal isotrópico

~ = µ0 (H ~ +M ~) B

Caso general

~ = µ0 H ~ B

Espacio libre

~ = µH ~ B

Medio magnético lineal isotrópico

5.13.2 Forma integral de las ecuaciones de Maxwell Durante el curso hemos estado más familiarizados con la forma integral de las ecuaciones de Maxwell. Las cuatro ecuaciones para el vacío son: ‰ ~ d~l = − dΦ E Ley de inducción de Faraday dt C ˆ ‰ ~ ∂E ~ ~ ~ Ley de Ampère B dl = µ0 I + µ0 ε0 dA S ∂t C ˆ ~ dA ~= 1Q E Ley de Gauss de la electricidad ε0 S ˆ ~ dA ~=0 B Ley de Gauss del magnetismo S

Las mismas ecuaciones también ticos o medios polarizables ‰ ~ d~l = − dΦ E dt C ‰ ˆ ~ ∂D ~ ~ ~ H dl = I + dA C S ∂t ˆ ~ dA ~=Q D

pueden ser escritas para medios magnéLey de inducción de Faraday Ley de Ampère Ley de Gauss de la electricidad

S

ˆ

S

~ dA ~=0 B


magnetismo

5.13.3 Ecuaciones fundamentales del electromagnetismo Las ecuaciones de Maxwell en sus formas diferencial e integral se encuentran resumidas en la tabla siguiente: Forma diferencial ~ ~ = − ∂B ∇×E ∂t ~ ~ = ∂ D + J~ ∇×H ∂t ~ =ρ ∇D

Forma integral ‰ ~ d~l = − dΦ E dt C ‰ ˆ ~ ∂D ~ d~l = I + ~ H dA C S ∂t ˆ ~ dA ~=Q D

Significado Ley de inducción de Faraday Ley de Ampère Ley de Gauss de la electricidad

S

~ =0 ∇B

ˆ

~ dA ~=0 B


S

Las ecuaciones de Maxwell, junto con la ecuación de continuidad ∂ρ + ∇ · J~ = 0 ∂t y la fuerza de Lorentz ~ + ~v × B ~) F~ = q (E constituyen las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo. Estas ecuaciones pueden ser usadas para explicar y predecir todos lo fenómenos macroscópicos electromagnéticos.

197

Apéndice A Elementos diferenciales d~s

~ dA

dV

Cartesianas

dx iˆ + dy jˆ + dz kˆ

ˆ dxdz jˆ ; dydz iˆ dxdy k;

dxdydz

Cilíndricas

dr rˆ + rdφ φˆ + dz kˆ

rdφdz r; ˆ rdφdr kˆ

rdφdzdr

Esféricas

dr rˆ + r sin θdφ φˆ + rdθ θˆ

r2 sin θdθdφ rˆ

r2 sin θdθdφdr

~ =0 Demostración de que ∇ × E Partiendo de

ˆ ~ (~r) = ke E V

~ es el rotor de E

~r − ~r0 ρ(r~0 )dv 0 |~r − ~r0 |3

ˆ ~r − ~r0 ~ = ∇ × ke ∇×E ρ(r~0 )dv 0 |~r − ~r0 |3 V

El campo depende solo de ~r, así que ˆ ρ(r~0 )dv 0 ∇ ×

~ = ke ∇×E

V

~r − ~r0

|~r − ~r0 |3

Para desarrollar esta expresión usamos una identidad vectorial. Sea f una ~ un campo vectorial, entonces se cumple que función escalar y A ~) = f ∇ × A ~ + ∇f × A ~ ∇ × (f A En el término

~ r−~ r0 , |~ r−~ r 0 |3

~r − ~r0 es un vector y

1 |~ r−~ r 0 |3

es un escalar que

depende de ~r. Si aplicamos la identidad anterior ~r − ~r0 1 1 0 ∇× = ∇ × (~r − ~r ) + ∇ × (~r − ~r0 ) |~r − ~r0 |3 |~r − ~r0 |3 |~r − ~r0 |3 Se puede demostrar fácilmente que ∇ × (~r − ~r0 ) = 0. Por otro lado ! 1 1 ∇ =∇ |~r − ~r0 |3 [(x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 ]3/2 Empezaremos con la componente x del gradiente: ! 1 ∂ 1 ∇ = ∂x [(x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 ]3/2 |~r − ~r0 |3 x

= −

3 2(x − x´) 2 [(x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 ]5/2

= −3

x − x0 |~r − ~r0 |5

200


Similarmente para las otras componentes: y − y0 1 z − z0 1 = −3 y ∇ = −3 ∇ |~r − ~r0 |3 y |~r − ~r0 |5 |~r − ~r0 |3 z |~r − ~r0 |5 es decir

1

∇

|~r − ~r0 |3

= −3

~r − ~r0 |~r − ~r0 |5

Por lo tanto 0

∇×

~r − ~r0 |~r − ~r0 |3

= 0−3

~r − ~r0 |~r − ~r0 |5

× (~r − ~r0 ) = −3

}| { z (~r − ~r0 ) × (~r − ~r0 ) |~r − ~r0 |5

=0

~ el producto vectorial A ~ ×A ~ = 0. es cero porque para cualquier vector A, Finalmente ˆ ~r − ~r0 ~ = ke ∇×E ρ(r~0 )dv 0 ∇ × =0 |~r − ~r0 |3 V | {z } 0

Ecuaciones de Maxwell Forma diferencial ~ ~ = − ∂B ∇×E ∂t ~ ∂ D ~ = ∇×H + J~ ∂t ~ =ρ ∇D ~ =0 ∇B

Forma integral ‰ ~ d~l = − dΦ E dt ˆ ‰C ~ ∂D ~ ~ ~ H dl = I + dA S ∂t ˆC ~ dA ~=Q D ˆS ~ dA ~=0 B

Significado Ley de inducción de Faraday Ley de Ampère Ley de Gauss de la electricidad Ley de Gauss del magnetismo

S

~ = ε0 E ~ + P~ D

Caso general

~ = ε0 E ~ D

Espacio libre

~ = εE ~ D

Dieléctrico lineal isotrópico

~ = µ0 (H ~ +M ~) B

Caso general

~ = µ0 H ~ B

Espacio libre

~ = µH ~ B

Medio magnético lineal isotrópico

Índice alfabético adición de vectores, 10 aisladores, 46 base ortonormal, 34, 36 campo conservativo, 29, 62 campo eléctrico, 55 campo escalar, 19 campo irrotacional, 27 campo magnético, 163 campo solenoidal, 26 campo vectorial, 19 capacidad, 119 carga de prueba, 55 carga eléctrica, 43 carga fundamental, 45 carga puntual, 47 circulación, 30 condensadores, 119 condición de frontera, 129 condiciones de borde, 129 conducción, 46 conductores, 46, 112 conjunto completo, 13 conservación de la carga, 45 constante dieléctrica, 124, 127 coordenadas cilíndricas, 36 coordenadas curvilíneas, 33 coordenadas esféricas, 34 coordenadas polares, 37 corriente continua, 155 corriente eléctrica, 141 cuantización de la carga, 45 curvas de nivel, 20 densidad de corriente, 143 densidad de corriente en régimen permanente, 153 densidad de flujo eléctrico, 126 densidad lineal de carga, 59 densidad superficial de carga, 59 densidad superficial de carga de polarización, 125 densidad volumétrica de carga, 59 densidad volumétrica de carga de polarización, 125 desplazamiento eléctrico, 126 diagrama de contorno, 19

dieléctricos, 123 dieléctricos imperfectos, 152 diferenciación vectorial, 21 distribución continua de carga, 58 divergencia, 26 ecuación de continuidad, 144, 197 ecuación de Laplace, 29, 105, 135 ecuación de Poisson, 28, 104, 135 ecuaciones de Maxwell, 195 efecto Joule, 161 efecto punta, 116 electrostática, 43 elemento infinitesimal de área, 33 elemento infinitesimal de línea, 33 elemento infinitesimal de volumen, 33 energía electrostática, 138 energía potencial, 94 energía potencial eléctrica, 94 equilibrio electrostático, 112 espacio vectorial, 9 forma diferencial de la ley de Gauss, 82, 126 forma integral de la ley de Gauss, 81, 127 fricción, 46 fuente, 26 fuerza conservativa, 93 fuerza de Lorentz, 164, 197 fuerza eléctrica, 47, 69 funciones vectoriales, 21 gradiente, 22 inducción, 46 inducción magnética, 163 inductancia, 192 inductancia mutua, 194 Laplaciano, 28 Ley de Coulomb, 47 ley de Gauss, 81 ley de Joule, 161

ley de Ohm, 145 leyes de Kirchhoff, 155 lineas de campo, 56 lineas de fuerza, 56 método de corrientes de malla, 160 magnitud de un vector, 14 manantial, 26 momento dipolar eléctrico, 110 operador nabla, 23 operadores, 38 permitividad del espacio vacío, 47 potencia disipada, 161 potencial eléctrico, 94 potencial electrostático, 93 principio de superposición, 52, 56 producto cruz, 16 producto escalar, 15 producto punto, 15 producto vectorial, 16 proyección de un vector, 18 regla del paralelogramo, 10 regla del triángulo, 10 rotacional, 27 rotor, 27 semiconductores, 46 sumidero, 26 superficie de frontera, 129 superficie equipotencial, 117 Susceptibilidad eléctrica, 127 sustracción de vectores, 10 teorema de la divergencia, 32 teorema de Stokes, 32 vector, 9 vector base, 12, 13 vector de desplazamiento, 126 vector de polarización, 124 vector posición, 12, 21 vector unitario, 12 velocidad de deriva, 165 Volt, 94

Electromagnetismo 643h1e

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