El Pendulo Conico 6t4y2r

PÉNDULO CÓNICO

GENERALIDADES.-El péndulo cónico está constituido por un cuerpo pesado de pequeñas dimensiones (puntual, idealmente) suspendido de un punto fijo mediante un hilo inextensible y de masa despreciable. Su construcción es la misma que la de un péndulo simple, pero, a diferencia de éste, el péndulo cónico no oscila, sino que la masa pendular describe una trayectoria circular en un plano horizontal con aceleración constante. Su nombre proviene del hecho de que el hilo traza una superficie cónica. El péndulo cónico es un caso particular del péndulo esférico. En concreto es un péndulo esférico en el que el vector velocidad (inicial) es perpendicular al plano determinado por la vertical y el hilo

OBJETIVOS GENERALES • •

Analizar de forma teórica el movimiento del péndulo Dar a conocer los factores que influyen es este tipo de movimiento

ANALISIS DEL MOVIMIENTO Consideremos un péndulo cónico

consistente en una pequeña esfera de masa m que se mueve sin fricción en una circunferencia horizontal con una celeridad constante v, suspendida de un hilo de longitud L que forma un ángulo constante θ con la vertical. Sobre la masa m actúan dos fuerzas: su propio peso, mg, y la tensión del hilo, T. La componente horizontal de la tensión del hilo proporciona la aceleración centrípeta, , asociada con el movimiento circular. La componente vertical de la tensión se compensa exactamente con el peso de la masa m. La aplicación de la segunda ley de Newton en las direcciones horizontal y vertical nos permite escribir:

(1)

(2) Dividiendo miembro a estas dos ecuaciones, eliminamos T y m, resultando:

(3) Puesto que la celeridad v es constante, puede expresarse en función del tiempo requerido para realizar una revolución completa o periodo de revolución,

(4) y sustituyendo en la ecuación (3), después de fáciles operaciones, obtenemos:

(5) En la ejecución práctica de la experiencia, r varía y no es tan fácil de medir como la longitud constante L del hilo. Recurriendo a la relación trigonométrica entre r, h, y L, esto es, , la relación (5) se escribe en la forma:

(6) Para pequeños ángulos será cos(θ) ≈ 1 y el periodo de revolución del péndulo cónico resulta ser casi igual al periodo de oscilación del péndulo simple de la misma longitud. Además, para pequeños ángulos, el periodo de revolución es aproximadamente independiente del valor del ángulo θ, lo que significa que, a pesar de que el ángulo vaya disminuyendo (por fricción con el aire, por ejemplo), el periodo permanece prácticamente constante. Esta propiedad, llamada isocronismo, la poseen también los péndulos ordinarios.

Sistema de referencia no inercial

Para hacer funcionar al péndulo cónico deberemos sustituir el hilo por una varilla rígida de la misma longitud l que supondremos de masa despreciable. El extremo superior de la varilla estará fijado a un gozne en el eje de un motor que gira con velocidad angular  . En el sistema de referencia que gira con la varilla, tenemos un sólido rígido (la varilla) con un punto fijo O y un sólo grado de libertad, el ángulo  .

Debido a la fuerza centrífuga sobre la partícula, la varilla se desviará de su posición vertical un ángulo  cuando la velocidad angular  del motor sea lo suficientemente grande. En el sistema de referencia en rotación con el eje del motor, la varilla se encontrará en equilibrio si el momento total del peso y de la fuerza centrífuga respecto del eje O es cero. •

El momento del peso es

mg·l·sen θ . •

El momento de la fuerza centrífuga es

mv2·l·sen θ ·l·cos θ Ambos momentos tienen la misma dirección (perpendicular al plano formado por la fuerza y el punto O) pero sentidos opuestos. Igualando el momento total a cero ml·sen θ (v2l·cos θ -g)=0 Tenemos de nuevo, dos soluciones sen θ =0 v2·l·cos θ =g

Estabilidad de las soluciones

El peso es una fuerza conservativa. La energía potencial aumenta cuando la partícula se desvía un ángulo  Eg= mg(l-l·cos θ )

La fuerza centrífuga depende solamente de la distancia x al eje de rotación, es una fuerza conservativa similar a la que ejerce de un muelle elástico. La fuerza que ejerce un muelle elástico es de sentido contrario al desplazamiento F=-kx, su energía potencial es positiva Ep=kx2/2 La fuerza centrífuga tiene el mismo sentido que el desplazamiento F=mv2·x

y su energía potencial será por tanto negativa Ec=- m v2x2/2. La energía potencial inicial para x=0, se toma como Ec=0. Cuando el péndulo se ha desviado un ángulo θ , el desplazamiento horizontal es x=l·sen . La energía potencial total de la partícula será la suma de ambas contribuciones Ep=Eg+Ec.

La condición de equilibrio se establece cuando Ep sea un extremo (máximo o mínimo)

Que proporciona dos soluciones θ=0 ó π

La estabilidad de la solución depende de la derivada segunda.

1. Para la primera solución  =0

• •

Siempre que v2 g/l, la derivada segunda es negativa y el equilibrio es inestable, véase la figura de la derecha

2. Para  = la derivada segunda es siempre negativa y el equilibrio es inestable, en ambas figuras 3. Para =arccos(g/l v2)

•

Si v2>g/l, la solución es estable, figura de la derecha

El péndulo cónico está por tanto, caracterizado por una velocidad angular crítica

por encima de la cual el péndulo se desvía de la vertical. Por debajo de esta velocidad angular crítica, el péndulo permanece en la posición vertical =0. En el siguiente ejercicio planteado se demostrara la teoría que se expuso anteriormente también los factores que influyen en el movimiento del péndulo cónico

Se hace girar un objeto mediante una cuerda de 0,5 m de longitud, atada al techo en el extremo libre, de modo que la cuerda forma un ángulo constante de 37° con la vertical (péndulo cónico). Calcular el período del movimiento circular uniforme que describe el objeto. Analizar si dependerá de su masa.

Como siempre, hay que arrancar con un DCL, pero también se realizara un esquema del péndulo que creo que te va a ayudar y seguro que lo usaremos durante la resolución del ejercicio.

DCL, describe las dos únicas fuerzas que actúan sobre el péndulo cuando se halla en la misma posición La fuerzas son; el peso de la masa, P; y la tensión con que lo tira la cuerda, T. Cosas destacables del esquema. La circunferencia que describe el péndulo es horizontal y tiene su centro en O (¡no en A!), y su radio r. En una posición , ac , y una velocidad tangencial, vT, ¿te cierra todo? Bueno, tenemos que escribir las ecuaciones de Newton, pero, como las fuerzas no son co-direccionales, debemos descomponer una de ellas. Lo más prácrico es descomponer T. se realizara otro DCL.

TV = T .cosα Tc = T .senα

Ahora sí, vamos a Newton. En el eje vertical tenemos que la aceleración es cero (la circunferencia no cambia de altura). ΣFy = 0 → TV — P = 0 → TV = m . g [1]

En se se

nuestra maqueta que se muestran en las fotos trabajó con un sistema inercial cabe señalar que uso un motor para hacer girar el péndulo también se uso un alambre de cobre de 10cm. Del cual colgaba una esfera de masa 5gr. Como el alambre no era flexible el ángulo era constante 37º Por lo cual el radio también era constante

M= 5gr

α=37º L= 10cm UNIV. Taquimallcu Mamani Jhoary Choque Mamani Julio Cesar Colque Llave Elvis