Ejercicios Resueltos De Recta 6g1654

SEMINARIO CONCILIAR LA SERENA

PROFS: Mª CECILIA PIZARRO C. RICARDO URIBE R.

EJERCICIOS RESUELTOS 1. -

Hallar la ecuación de la recta que pasa por ( 1, -3 ) y tiene de pendiente m = 2 Sol. Ecuación punto pendiente. y - y = m ( x - x1 ) , entonces y + 3 = 2 (x - 1 )

2. -

→

y + 3 = 2x - 2 → L: 2x - y - 5 = 0

Hallar la ecuación de la recta que pasa por ( 5, -1 ) que tiene la misma pendiente que la recta determinada por ( 0, 3 ) y ( 2, 0 ) Sol. Ecuación punto pendiente

pendiente

m =

y - y1 = m ( x - x1 )

y 2 − y1 x 2 − x1

m1 = m2 Î las rectas son //s. m1

=

0−3 2−0

m1 = -3/2

Por lo tanto la ecuación pedida es: y+ 1 = − 3. -

3 (x - 5) 2

2 ( y + 1 ) = - 3( x – 5 ) → L: 3x + 2y – 13 = 0

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos m=

( 2, -1 ) y ( -2, 3 ).

3 + 1 ⇒ m = -1 −2−2

y + 1 = -1 ( x - 2 ) y + 1 = -x + 2 L: x + y - 1 = 0 4. -

→

y - 3 = -1 ( x + 2 ) y - 3 = -x - 2 L: x + y - 1 = 0

o

Hallar la ecuación de la recta que pasa por ( 2/3, 8/3 ) y por el punto de intersección de las rectas 3x - 5y - 11 = 0 y 4x + y - 7 = 0. 3x - 5y = 11 4x + y = 7 3x - 5y = 11 20x + 5y = 35 23x

/

*5

Si x=2 se reemplaza en cualquiera de las dos Ecuac. se obtiene y = - 1 luego el punto de ∩ es P ( 2 , - 1 ) m = - 11/ 4

= 46 x = 2

y + 1 = − 11 ( x - 2 ) → 4( y + 1 ) = - 11 ( x – 2 ) → 4 1

L: 11x + 4y - 18 = 0

SEMINARIO CONCILIAR LA SERENA 5.-

PROFS: Mª CECILIA PIZARRO C. RICARDO URIBE R.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos de intersección de las rectas L1: 2x – y – 1 = 0 y L2: x – y + 7 = 0 con el punto de intersección de las rectas L3: x – 7y – 1 = 0 y L4: 2x – 5y + 1 = 0. Sol. 2x - y = 1 x - y = -7

/* -1

x - 7y = 1 2x - 5y = -1

2x - y = 1 -x + y = 7

-2x + 14y = -2 2x - 5y = -1

x = 8

9y = -3 y = -1/3 x = 1 + 7y x = 1 - 7/3 x = -4/3 ( -4/3, -1/3 )

x + 7 = y 8 + 7 = y y = 15 ( 8, 15)

/ * -2

m = 23 14 y - 15 = 23 ( x - 8 ) → 14 (y - 15 ) = 23 (x - 8 ) → L: 23x - 14y + 26 = 0 14 6.-

Hallar la ecuación de la recta que pasa por ( 2, -3 ) y es paralela a la recta 2x + y - 7 = 0. Sol. m = -A/B m1 = m2 por ser //s., entonces m = -2/1 Î m = -2 y + 3 = -2 ( x - 2 ) y + 3 = -2x + 4 L: 2x + y - 1 = 0

7.-

Hallar la ecuación de la recta que pasa por (2, -3) y es perpendicular a L1 : 7x - 4y - 1 = 0 Sol. m = -A/B, como son perpendiculares se cumple que m1 * m2 = -1 m1 = 7/4 Î m2 = - 4/7 y + 3 = -4/7 ( x - 2 ) → 7 ( y + 3 ) = -4 (x - 2 ) → L: 4x + 7y + 13 = 0

8.-

Hallar la ecuación de la recta que pasa por ( 2 , - 3 ) y es paralela a la recta L1: 2x + y - 7 = 0 Sol. Si L1 // L2 → m1 = m2 si m1 = - 2 → m2 = -2 y+ 3 = -2(x–2) L: 2x + y - 1 = 0

2

SEMINARIO CONCILIAR LA SERENA

9.-

PROFS: Mª CECILIA PIZARRO C. RICARDO URIBE R.

Hallar un punto sobre la recta L: 2x + 3y - 6 = 0 que equidiste de los puntos ( 4 , 4 ) y ( 6 , 1 ). Sol. Existe un punto (x, y) sobre la recta que está a la misma distancia de los puntos dados, entonces las distancias son iguales. ( x − 4) 2 + ( y − 4) 2 = ( x − 6) 2 + ( y − 1) 2

x2 - 8x + 16 + y2 - 8y + 16 = x2 - 12x + 36 + y2 - 2y + 1 -8x - 8y + 32 = -12 x - 2y + 37 -8x + 12x - 8y + 2y = 37 - 32 4x - 6y = 5 La ecuación encontrada y la ecuación dada forman un sistema para encontrar el punto sobre la recta. 2x + 3y = 6 4x - 6y = 5

/*2

3y = 6 - 2x 3y = 6 - 2(17/8) 3y = 48 - 34 8 3y = 14/8 y = 14/24 y = 7/12

4x + 6y = 12 4x - 6y = 5 8x

/ x

= 17 = 17/8 pto.

10. -

⎛ 17 7 ⎞ ⎜ , ⎟ ⎝ 8 12 ⎠

Hallar el ángulo agudo comprendido entre las rectas L1: x - y + 4 = 0 L2: 3x - y + 6 = 0. Sol. Debes encontrar la pendiente de cada recta y así aplicar la formula:

tan θ =

m 2 − m1 1 + m1 * m2

tanθ =

3 −1 1 + 1* 3

tanθ =

1 2

Y

y

L2 L1

6

Θ

4

⎛1⎞ ⎝2⎠

θ = arctan⎜ ⎟ = 26º 33 ’ -4 -2

3

X

SEMINARIO CONCILIAR LA SERENA 11.-

PROFS: Mª CECILIA PIZARRO C. RICARDO URIBE R.

Los puntos extremos de un segmento son P1 (2, 4 ) y P2 (8, -4). Hallar el punto P (x, y) que divide a éste segmento en la razón r = -2. Sol. x =

x1 + 5 x 2 1+ 5

y=

y1 + 5 y 2 1+ 5

x=

2 + − 2 *8 1− 2

y=

4 + −2 * −4 1− 2

x = 14

y = -12

Por lo tanto el pto. es (14, -12)

12.-

Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto (7, 8) y su punto medio es (4, 3). Hallar el otro extremo. Sol.

x=

x1 + x2 2

y=

y1 + y 2 2

4=

7 + x2 2

3=

8 + y2 2

4 * 2 = 7 + x2

3 * 2 = 8 + y2

x2 = 8 - 7

y2 = 6 - 8

x2 = 1

y2 = -2

Por lo tanto el punto P (x, y) = P (1, -2) 13. -

Hallar la distancia dirigida de la recta x + 2y + 7 = 0 al punto P (1, 4). Sol.

d=

d=

Ax1 + By1 + C A2 + B 2 x + 2y + 7 1+ 4

⇒d =

⇒ d=

1+ 2*4 + 7 1+ 4

− 16 u 5

4