Ejercicios Resueltos De Anderson.pdf 2y2v3g

Gerencia de Operaciones I

Ing. Oscar Mendoza Macías

Aplicaciones de la programación Lineal Hasta estos momentos el estudio se ha orientado a la comprensión de la programación lineal en términos del método gráfico de solución, del análisis de sensibilidad y de la interpretación de las soluciones computadorizadas para problemas de programación lineal. Estos antecedentes son esenciales para saber cuándo la programación lineal es una herramienta apropiada para resolver problemas y, también,

para

interpretar

los

resultados

que

la

solución

de

programación lineal da para un problema.

En la práctica, la programación lineal ha probado ser uno de los enfoques cuantitativos más exitosos para la toma de decisiones en la istración. Se han reportado numerosas aplicaciones en las industrias química, del aerotransporte, del acero, del papel, del petróleo y en otras. Los problemas específicos que han sido estudiados son diversos e incluyen programación de la producción, selección de medios publicitarios, planeación financiera, presupuestos de capital, transporte, ubicación de plantas, mezcla de productos, asignación de personal, mezclados y muchas otras.

Tal como sugiere la variedad de las aplicaciones que se menciona, la programación lineal es una herramienta flexible para resolver problemas, con aplicaciones en muchas disciplinas. En este capitulo, se exponen aplicaciones en las áreas de mercadotecnia, finanzas y istración de la producción. En la sección final se presenta una aplicación en el campo relativamente nuevo del análisis global de datos. En muchos de los ejemplos se presentan soluciones por computadora que se obtienen utilizando el paquete de programas denominado The Management Scientist.

1


4.1

ALGUNOS


LINEAMIENTOS

PARA

LA

FORMULACION DE LOS MODELOS En las aplicaciones que siguen se vera la forma en la que se pueden plantear diversos problemas como programas lineales. Aunque el proceso de formulación o planteamiento de modelos de programación lineal es un arte que se aprende con la práctica y la experiencia, los siguientes lineamientos o casos generales pueden ser útiles al comenzar a formular los propios modelos de programación lineal. 1. Entender por completo el problema 2. Plantear el problema en forma tan concisa como sea posible, formulando enunciados verbales de lo siguiente: •

Objetivo. El propósito del problema, tal como maximizar utilidades, minimizar tiempo, etc.

•

Variables de decisión. Los aspectos del problema que se pueden controlar o determinar y que ayudan a alcanzar el objetivo que se plantea.

•

Restricciones. Las limitaciones o condiciones que se deben satisfacer para que la solución sea factible.

3. Utilizando las variables de decisión como incógnitas (por ejemplo x1, x2, etc.), formular expresiones matemáticas que describan el objetivo y cada una de las restricciones. Se debe recordar que como el método es de programación lineal, las expresiones que se utilizan para el objetivo y para las restricciones deben ser relaciones lineales. 4. Añadir los requisitos de no negatividad (Xi ≥ 0) para cada una de las variables de decisión.

2



En este punto debe tenerse un modelo de programación lineal que represente el problema o aplicación que se estudia. La solución del modelo proporcionará los valores óptimos de las variables de decisión, así como también información acerca del análisis de sensibilidad. La interpretación adecuada puede ofrecer información valiosa sobre la toma de decisiones para los es.

4.2

APLICACIONES EN MERCADOTECNIA

Selección de medios de publicidad

Las aplicaciones de programación lineal para la selección de medios publicitarios están diseñadas para ayudar a los gerentes de fijos de publicidad a diversos medios. Los medios potenciales incluyen periódicos, revistas, radio, televisión y correo directo. En la mayor parte el objetivo es maximizar Ia exposición a la audiencia. Las restricciones sobre las asignaciones permisibles usualmente se producen

por

consideraciones

como

politicas

de

la

compañía,

requisitos contractuales y disponibilidad de los medios. En Ia aplicación que se presenta enseguida, se ilustra la forma en que podría plantearse un problema de selección de medios, y su solución utilizando un modelo de programación lineal.

Considérese

el

caso

de

la

empresa

Relax-and-Enjoy

Lake

Development Corporation. La Relax-and-Enjoy está realizando el proceso de desarrollo de un centro habitacional que se ubicará en las riberas de un lago de propiedad privada, y el negocio consiste en la

3



venta de inmuebles para vacaciones o de albergues para retiro.

El

principal mercado para esto lotes en las orillas del lago incluye a todas las familias de ingresos medios y altos dentro de un radio de aproximadamente 100 millas desde tal centro. La Relax – and - Enjoy ha utilizado los servicios de la firma de publicidad Boone Phillips and Jackson para el proyecto de la campaña promocional. Después de considerar los posibles medios publicitarios y el mercado que se debe cubrir, la Boone ha hecho la recomendación preliminar de restringir la publicidad del primer mes a cinco fuentes. Al final del mes, la empresa reevaluara su estrategia, con base en los resultados. La Boone ha recopilado datos acerca del número de familias potencialmente compradoras a las que se llega, el costo por publicidad, el número máximo de veces que esta disponible cada medio, y la disposición esperada para cada uno de los cinco medios publicitarios. La exposición esperada se mide en términos de una unidad de exposición, que es una del valor relativo de un anuncio en cada uno de los medios. Tales medidas, con base en la experiencia que la compañía tiene en el negocio de la publicidad, toman en consideración factores tales como perfil de la audiencia (edad, ingresos y grado de educación), imagen que se presenta y calidad del anuncio. En la tabla 4.1 se presenta la información recopilada. La

firma

Relax-and-Enjoy

ha

proporcionado

a

la

Boone

un

presupuesto de publicidad de $30.000 (dólares) para la campaña del primer mes. Además, ha impuesto las siguientes restricciones sobre la forma en que la Boone puede asignar esos fondos: se deben utilizar cuando menos 10 anuncios (o comerciales) de televisión, y se debe llegar cuando menos a 50000 compradores potenciales durante el mes. Además, no pueden invertirse mas de $ 18000 en anuncios por televisión. ¿Que plan de selección de medios debe recomendar la empresa publicitaria?

4



TABLA 4.1 Alternativas de medios de publicidad para la Relax – and – Enjoy Lake Development Corporation

Medios de publicidad TV diurna (1 min) estacion WKLA

# familias Costo compradoras por anuncio 1000 $ 1.500

TV nocturna (30 2000 seg), estacion WKLA Periodico diario The 1500 Morning Journal

# ocasiones disponibles

Unidades esperadas

15

65

$ 3.000

10

90

$ 400

25

40

Suplemento de periodico dominical

2500

$ 1.000

4

60

Radio: noticias 8:00 A.M. o 5:00 P.M.

300

$ 100

30

20

•

El numero máximo de las ocasiones que esta disponible el medio es el numero máximo de ocasiones en que se presenta el medio de publicidad (por ejemplo, 4 domingos para el medio numero 4) o el numero máximo de ocasiones en que Boone permitirá que se utilice el medio.

Se comienza definiendo las variables de decisión de la siguiente manera: X1 = numero de ocasiones en que se utiliza la TV diurna X2 = numero de ocasiones en que se utiliza la TV nocturna X3 = numero de ocasiones en que se emplea el periódico diario X4 =

numero de ocasiones en que se emplea el periódico

dominical X5 = numero de ocasiones en que se utiliza la radio.

5



Con el objetivo de maximizar la exposición esperada, la función objetivo se convierte en:

max 65 X1 + 90 X2+ 40 X3 + 60

X4+ 20 X5. Ahora pueden plantearse las restricciones para el modelo a partir de la información dada: X1

≤15 X2

≤ 10 X3

≤ 25 X4

≤4 X5

≤ 30

1500 X1 + 3000 X2 + 400 X3 + 1000 X4 + 100 X5 ≤ 30000 Prepuesto X1 +

X2

≥

10

1500 X1 + 3000 X2 1000 X1

+

≤ 18000

2000 X2

+

1500X3

+

2500 X4

+

300 X5

≥

50000 Audiencia X1, X2, X3, X4, X5 ≥ 0 En la Tabla 4.2 se presenta la solución para este modelo de programación lineal con nueve restricciones y cinco variables. TABLA 4.2 Plan de publicidad para la Relax-and-Enjoy Lake Development Corporation

Medios publicitario TV diurna Periodico diario Periodico dominical

Presupuesto $ Frecuencia 10 15000 25 10000 2 2000 6

Gerencia de Operaciones I Radio

Ing. Oscar Mendoza Macías 30

3000 30000

Total de audiencia alcanzada = 61500 Exposicion esperada = 2370

Un posible defecto de este modelo es que, aun cuando la medida de la exposicion esperada no estuviera sujeta a error, no existe garantía de que maximizar la exposicion esperada total conducirá a la maximización de las Utilidades o las ventas (un sustituto común para las utilidades). Sin embargo este no es un defecto de la programación lineal; más bien es una desventaja de utilizar la exposicion como criterio. Ciertamente, si fuera posible medir en forma directa el efecto que la publicidad tiene sobre las utilidades, se utilizaran las utilidades totales como el objetivo a minimizar. Además, se debe estar consciente de que el modelo de selección de medios, tal como se planteo en esta sección, no incluye consideraciones como las siguientes: 1. El valor de la exposición se reduce con la repetición en el uso de los medios. 2 Descuentos en costos por utilización repetida de los medios. 3. Traslape de la audiencia en los distintos medios. 4. Recomendaciones de tiempo para los anuncios. Con frecuencia es posible utilizar un planteamiento más complejo (más variables y restricciones) para vencer estas limitaciones, pero no siempre será posible superarlas todas con un modelo de programación lineal. Sin embargo, aun en estos casos, con frecuencia 7



puede utilizarse un modelo de programación lineal para llegar a una aproximación de la mejor decisión. La evaluación de los es, combinada con la solución de la programación lineal, debe hacer posible entonces la elección de una estrategia global efectiva para la publicidad.

Notas y Comentarios 1. En general, se utilizan x1, x2, etc., para denotar las variables de decisión en un modelo de programación lineal. Al comenzar el planteamiento del modelo, se expone en forma cuidadosa la notación utilizada y la definición de cada variable de decisión. Al mismo tiempo que se puede utilizar la notación x1, x2, etc., en cualquier modelo de programación lineal, algunos científicos de la istración prefieren hacer uso de un esquema de notación más descriptivo para cada variable de decisión. Por ejemplo, el modelo de selección de medios podría haber sido formulado como DTV para denotar “televisión durante el día”; por NTV, para “televisión durante la noche”; por P, para periódicos; por PD, para publicaciones domésticas; por R, para revistas. En este caso, la función objetivo quedarla expresada de la siguiente manera: Max

65DTV

+

9OIVTV

+

40P

+

6OPD

+

20R

Las restricciones se plantearían en términos de la notación ideada: DTV, NTV, P, PD, R. En cualquier caso, es importante observar que el modelo se puede formular con cualquier notación o combinación de notaciones para las variables de decisión. Sin importar cuál sea la decisión, siempre es conveniente definir con cuidado las variables de decisión y la notación que se utiliza desde el principio del planteamiento del modelo. 2. Debe observarse que el modelo de selección de medios, quizá más 8



que la mayoría de los demás modelos de programación lineal, requiere de evaluaciones subjetivas críticas para las calificaciones sobre la exposiciOn de los diversos medios alternos. Aun cuando los gerentes de mercadotecnia pueden contar con considerables datos acerca de la exposición a la publicidad, los coeficientes finales que se utilizan en la función objetivo incluyen consideraciones que se basan primordialmente en el criterio de los es. Sin embargo, la introducción de juicios es una forma aceptable de obtener datos para un modelo de programación lineal.

Investigación de Mercadotecnia Diversas organizaciones Llevan a cabo investigaciones mercadotécnicas para determinar características de los consumidores, actitudes y preferencias con respecto a productos o servicios que las organizaciones ofrecen. Con frecuencia, las investigaciones reales las lleva a cabo una empresa de investigación de mercadotecnia que se especializa en ofrecer a sus clientes la información que desean sobre el mercado. Los servicios que las empresas de investigación mercadotécnica ofrecen por lo común incluyen el diseño del estudio, la realización de las encuestas de mercado, el análisis de los datos recopilados y reportes resumidos y recomendaciones para el cliente. En la fase de diseño de la investigación, es posible que se establezcan objetivos o cuotas para el número y tipos de entrevistados que la investigación debe alcanzar. Cuando se establecen lineamientos sobre cuotas, el objetivo de la empresa investigadora es Llevar a cabo la encuesta de manera que se satisfagan las necesidades de los clientes a un costo mínimo. La firma Market Survey, Inc. (MSI), es una empresa de investigación de mercadotecnia que se especializa en evaluar la reacción de los consumidores ante productos, servicios y campañas de publicidad nuevos. Una empresa cliente ha solicitado que le ayude a determinar la reacción de consumidores ante un producto recientemente comercializado para uso domestico. En el curso de algunas reuniones con el diente, se acordó que se utilizarían entrevistas personales de puerta en puerta para obtener información tanto de hogares con niños los como de hogares sin ellos. Además, se acordó que seria necesario realizar entrevistas tanto diurnas como nocturnas, con objeto de incluir diversos horarios de trabajo en los hogares Específicamente, el contrato de este cliente exigía a la SMI realizar 1000 entrevistas con los siguientes lineamientos sobre cuotas:

1. Se entrevistarían cuando menos 400 hogares con niños. 2. Se entrevistarían cuando menos 400 hogares sin niños. 9



3. El numeró total de hogares entrevistados durante la noche seria cuando menos igual al número de hogares entrevistados durante el día. 4. Cuándo menos el 40% de las entrevistas para hogares con niños se realizarían durante la noche. 5. Cuando menos el 60% de las entrevistas para hogares sin niños se realizarían durante la noche.

Como las entrevistas en hogares con niños requieren de tiempo adicional del entrevistador, y como a los entrevistadores nocturnos se les paga más que a los que trabajan de día, el costo de las entrevistas varía según su tipo. Con base en estudios previos, las estimaciones sobre los costos de las entrevistas son:

Hogar Niños No niños

Costo de la entrevista Diurna Nocturna $ 20 $ 25 $ 18 $ 20

¿Cual es el plan de entrevistas, por hogar y por parte del día, que satisface los requerimientos contractuales a un costo mínimo total para las entrevistas? El planteamiento de un modelo de programación lineal para el problema de la Market Survey es buena oportunidad para introducir el uso de variables de decisión con doble subíndice. Utilizando x para representar las variables decisorias, se utilizan dos subíndices para x, en donde el primer subíndice señala si la entrevista implica a niños o no, y el segundo indica si la entrevista se realiza durante el día o durante la noche. Utilizando 1 para niños y 2 para no niños, y 1 para día y 2 para noche, se pueden utilizar subíndices dobles para identificar las siguientes variables de decisión: X11 = número de entrevistas en hogares con niños a realizar durante el día X12 = número de entrevistas en hogares con niños a realizar durante la noche

10



X21 = número de entrevistas en hogares sin niños a llevar a cabo durante el día X22 = número de entrevistas en hogares sin niños a llevar a cabo durante la noche Se comienza el planteamiento del modelo de programación lineal utilizando los datos de costos por entrevista para elaborar la siguiente función objetivo: min. 20 X11 + 25 X12 + 18 X21 + 20 X22 La restricción que exige un total de 1000 entrevistas se expresa como X11 + X12 + X21 + X22 = 1000 Las cinco especificaciones que se refieren a los tipos de entrevistas son las siguientes: 1. Hogares con niños X11 + X12 ≥ 400 2. Hogares sin niños: X21 + X22 ≥ 400 3. Cuando menos tantas entrevistas nocturnas como diurnas: X12 + X22 ≥ X11 + X21 El formato normal para el planteamiento del modelo de programación lineal y para la introducción de datos en la computadora hace que se coloquen todas las variables de decisión en el lado izquierdo de la desigualdad, y una constante (posiblemente cero) en el lado derecho. Por ello, se reescribirla esta restricción como —X11 + X12 — X2I + X22 ≥ 0

11



4. Cuando menos 40% de las entrevistas en hogares con niños durante la noche: X12 ≥ .4(X11 + X12) O - .4 X11 + .6X12 ≥ 0 Añadiendo los requisitos de no negatividad, el modelo de programación lineal de cuatro variables y seis restricciones se convierte en Min

20X11 + 25X12 + 18X21 + 20X22

Sujeto a X11 + X12 + X21 + X22 = 1000 Total de entrevistas X11 + X12

≥ 400 Hogares con niños X21 + X22 ≥ 400 Hogares sin niños

—X11 + X12 — X21 + X22 ≥ 0 mas entrevistas nocturnas — .4X11 + .6X12

≥ 0 Hogares con niños,

noche — .6X21 + .4X22 ≥ 0 Hogares sin niños, noche X11, X12, X21, X22 ≥ 0

En la Fig. 4.1 se muestra la solución por computadora del programa lineal anterior. Utilizando los resultados de la solución por computadora, se observa que el costo mínimo de $20,320 se presenta con el siguiente programa de entrevistas:

Hogar Niños

Numero de entrevistas diurnas nocturnas 240 160

totales 400

12

Gerencia de Operaciones I No niños Totales

Ing. Oscar Mendoza Macías 240 480

360 520

600 1000

Como se puede observar, se programan 480 entrevistas durante el dia y 520 durante la noche. Los hogares con niños se cubren mediante 400 entrevistas, y los hogares sin niños, mediante 600 entrevistas. Una información seleccionada sobre el análisis de sensibilidad de la Fig. 4.1 muestra un precio dual de —19.2 para la restricción 1. Esto indica que la función objetivo empeoraría

Variable X11 X12 X21 X22

Restriccion 1 2 3 4 5 6

Costos Valor reducidos 240,000015 0,000001 159,999985 0,000001 240 0,000002 360 0 Holgura / Excedente 0 0 200 40 0 0

Precios duales -19,200001 -2,799999 0 0 -4,999998 -1,999998

FIGURA 4.1 Solución por computadora del problema de investigación de mercados utilizando The Management Scientist. (el costo aumentaría) en $19.20 si se aumenta el numero de entrevistas de 1000 a 1001. Por ello, $19.20 es el incremento en los costos al obtener entrevistas adicionales. También representa los ahorros que se podrían lograr al reducir el número de entrevistas de 1000 a 999. El precio dual para el requisito de 400 hogares con niños (restricción 2) indica que solicitar entrevistas adicionales en hogares con niños no mejora la función objetivo. De hecho, las entrevistas adicionales en hogares con niños aumentarían el costo total a razón de aproximadamente $2.80 por entrevista.

13



La variable de excedente que tiene un valor de 200 para la restricción 3, muestra que se van a entrevistar 200 más hogares con niños que los que se requieren. De manera similar, la variable de excedente que tiene un valor de 40 para la restricción 4 muestra que el número de entrevistas nocturnas excede al número de entrevistas diurnas en 40. Los valores nulos para las variables de excedente de las restricciones 5 y 6 indican que se mantienen en un mínimo las entrevistas nocturnas, que son las más costosas. 4.3 APLICACIONES FINANCIERAS Selección de cartera Los problemas de selección de cartera implican situaciones en las que los gerentes financieros deben elegir inversiones especificas (por ejemplo, acciones, bonos) a partir de diversas alternativas de inversión. Los es de fondos mutualistas, de uniones de crédito, de compañías de seguros y de bancos, encuentran frecuentemente este tipo de problemas. La función objetivo para los problemas de selección de cartera es por lo común la maximización del rendimiento esperado o la minimización de los riesgos. Las restricciones asumen, por lo general, la forma de restricciones sobre el tiempo de inversiones permisibles, leyes estatales, politicas de la compañía, máximo riesgo permisible, etcétera. Se han planteado y resuelto problemas de este tipo utilizando diversas técnicas de programación matemática. Sin embargo, si es posible plantear una función objetivo lineal y restricciones lineales en un problema específico de selección de cartera, entonces puede utilizarse la programación lineal para resolverlo. En esta sección se muestra la forma en la que puede plantearse un problema de selección de cartera y el modo en que se puede resolver como programa lineal. Considérese el caso de la firma Welte Mutual Funds, Inc., ubicada en la ciudad de Nueva York. La empresa acaba de obtener $100,000 al convertir bonos industriales en efectivo, y ahora está en busca de otras oportunidades de inversión para esos fondos. Considerando las inversiones de la Welte en esos momentos, el principal analista financiero de la empresa recomienda que se hagan todas las nuevas inversiones en la industria petrolera, en la industria del acero o en bonos gubernamentales. Específicamente, el analista ha identificado cinco oportunidades de inversión y proyectado sus tasas anuales de 14



rendimiento. Las inversiones y las tasas de rendimiento son las que se muestran en la Tabla 4.3. La dirección de la Welte ha impuesto los siguientes lineamientos sobre la inversión: 1. Ninguna de las industrias (petróleo o acero) debe recibir más de 50% de la inversión nueva total.

2. Los bonos de gobierno deben ser de cuando menos 25% de las inversiones en la industria siderúrgica. 3. Las inversiones en la Pacific Oil, la inversión con altos rendimientos pero también altos riesgos, no puede ser más de 60% del total de las inversiones en la industria petrolera. ¿Qué recomendaciones de cartera (inversiones y montos) se deben hacer para los $100,000 disponibles? Dado el objetivo de maximizar los rendimientos proyectados, sujeto a las restricciones presupuestales y istrativas que se han impuesto, puede contestarse esta pregunta planteando un modelo de programación lineal para el problema. La solución para este modelo de programación lineal ofrecerá, entonces, recomendaciones sobre inversión para los es de la Welte Mutual Funds.

Sean, X1 = dólares invertidos en Atlantic Oil X2 = dólares invertidos en Pacific Oil X3 = dólares invertidos en Midwest Steel X4 = dólares invertidos en Huber Steel X5 = dólares invertidos en bonos gubernamentales Utilizando las tasas de rendimiento proyectadas que se muestran en

15



la Tabla 4.3, la función objetivo para maximizar el rendimiento total sobre la cartera puede escribirse como Max O.073X1 + 0.103X2 + 0.064X3 + 0.075X4 + 0.045X5

TABLA 4.3 Oportunidades de inversión para Welte Mutual Funds

Tasa de rendimienlo proyectada

Inversion

(%)

Atlantic Oil

7.3

Pacific Oil

10.3

Midwest Steel

6.4

Huber Steel

7.5

Bonos gubernamentales

4.5

La restricción que especifica la inversión de los $100000 se expresa como X1 + X2 + X3 + X4 + X5 = 100000 Los requisitos de que ni la industria del petróleo ni la industria del acero reciban más de 50% de la inversión de $100,000, se escribe de la siguiente manera: X1 + X2 ≤ 50,000 Industria petrolera x3 + x4 ≤ 50,000 Industria siderurgia

16



El requisito de que los bonos de gobierno sean de cuando menos 25% de la inversión en la industria siderurgia se expresa de la siguiente manera: X5 ≥ 0.25 (X3 + X4) o bien —0.25X3 — 0.25X4 + X5 ≥ 0

Finalmente, la restricción de que la inversión en Pacific Oil no puede ser más de 60% de la inversión total en la industria petrolera se convierte en: X2 ≤ 0.60 (X1 + X2) o bien —0.60X1 + 0.40X2 ≤ 0 Sumando las restricciones de no negatividad, el modelo completo de programación lineal para el problema de inversión de la Welte Mutual Funds es el siguiente: Max 0.073X1 + 0. 103X2 + 0.064X3 + 0.075X4 + 0.045X5 Sujeta a X1 + X2 + X3 + X4 + X5 = 100,000 Fondos disponibles

17



X1 + X2 petrolera

≤ 50,000 Máximo de la industria X3 + X4

≤ 50,000 Máximo de la industria

del acero -0.25X3 — 0.25X4 + X5 ≥ 0 Mínimo de bonos gubernamentales —0.6X1 + 0.4 X2

≤ 0 Restricción de la Pacific Oil x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0

Valor de la función objetivo= 8000.000000 Variable X1 X2 X3 X4 X5

Restriccion 1 2 3 4 5

Valor Costos reducidos 19999.998000 0.000000 3000.002000 0.000000 0.000000 0.011000 40000.000000 0.000000 10000.000000 0.000000 Holgura / Excedente 0 0 10000 0 0

Precios duales 0.069000 0.022000 0.000000 -0.024000 0.030000

18



FIGURA 4.2 Solución por computadora del problema de Welte Mutual Funds utilizando The Management Scientist. Se resuelve este problema utilizando The Management Scientist y el listado se muestra en la Fig. 4.2. En la Tabla 4.4 se muestra la forma en la que se dividen los fondos entre los valores. Obsérvese que la solución optima señala que la cartera se debe diversificar entre todas las oportunidades de inversión, exceptuando a Midwest Steel. El rendimiento anual proyectado para esta cartera es $8,000, lo cual significa una tasa global de rendimiento del 8%. Utilizando el listado de la computadora para el problema de inversión de la Welte que se muestra en la Fig. 4.2, se observa que es cero el precio dual para la restricción 3. Esto es así porque el máximo de la industria del acero no es una restricción limitante; aumentos en el límite de la industria siderúrgica de $50,000 no mejorarían el valor de la función objetivo. De hecho, la variable de holgura para esta restricción muestra que la inversión actual en la industria del acero está $10,000 por debajo de su límite de $50,000. Los precios duales de las demás restricciones son diferentes de cero, lo cual señala que son restricciones limitantes en la solución óptima. TABLA 4.4 Selección Optima de cartera para Welte Mutual Funds

Inversión Atlantic Oil Pacific Oil Huber Steel Bonos gubernamentales

Rendimiento anual Monto esperado 20,000 $ 1.460 30,000 3090 40,000 3000

10,000 100,000 Rendimiento anual esperado de $8000 = 8%

450 8000

El precio dual de 0069 para la restricción 1 muestra que es posible aumentar la función objetivo en 0.069 si se puede tener a disposición un dólar más para inversión en la cartera. Si es posible obtener fondos a un costo inferior a 6.9%,los es deberían considerar obtenerlos. Por otro lado, si puede adquirirse un rendimiento superior a 6.9% invirtiendo los 19



fondos en alguna, otra parte (que no sean estos cinco títulos-valor) los es deben considerar cuán conveniente será invertir la totalidad de los $100,000 en esta cartera. Se pueden dar interpretaciones similares para los otros precios duales. Sin embargo, nótese que es negativo el precio dual para la restricción 4; su valor es —O 024. Esto indica que aumentar en una unidad el valor en el lado derecho de una restricción puede ocasionar, posiblemente, un cambio en la función objetivo de —0.024. En términos de la cartera Optima, esto significa que si la Welte invierte un dólar más en bonos del gobierno, su rendimiento total disminuirá en 2.4 centavos. Para ver por qué sucede esto, obsérvese de nueva cuenta en el precio dual de la restricción 1 que el rendimiento marginal de los fondos invertidos en la cartera es 6.9% (el rendimiento promedio es 85). La tasa de rendimiento de los bonos gubernamentales es 4.5%. Par ella, el costo de invertir un dólar más en bonos de gobierno es la diferencia entre el rendimiento marginal de la cartera y el rendimiento marginal de los bonos gubernamentales: 6.9% — 4.5% = 2.4%. Obsérvese que la solución Optima con x = 0 muestra que la Midwest Steel no debe incluirse en la cartera. El costo reducido correspondiente a x3, 0.011, indica que el coeficiente de la función objetivo-para la Midwest Steel tendría que aumentar en 0.011 antes de que fuera deseable considerar a esta empresa coma alternativa de inversión. Con este aumento, el rendimiento de la Midwest Steel sería 0.064 + 0.011 = 0.75, hacienda que esta inversión fuera justamente tan deseable como la alternativa de inversión que actualmente se utiliza, la de Huber Steel. Finalmente, una modificación sencilla sobre el modelo de programación lineal de la Welte permite determinar la fracción de los fondos disponibles que se invierten en cada alternativa. Es decir, se dividen entre 100,000 los valores del lado derecho. Entonces, los valores óptimos para las variables proporcionan la fracción de los fondos que deben invertirse en cada título, para una cartera de cualquier tamaño.

NOTAS Y COMENTARIOS La solución óptima para el problema de la Welte Mutual Funds indicaba que se debían invertir $20,000 en acciones de la Atlantic Oil. Si la Atlantic Oil se vende en $75 por acción, se tendrían que comprar exactamente 266 2/3 acciones para invertir exactamente $20,000. Por lo general, la dificultad para adquirir acciones fraccionarias se maneja adquiriendo el mayor número entero posible de acciones con los fondos asignados (por ejemplo, 266 acciones para la Atlantic Oil). Este método garantiza que no se infringe la restricción presupuestal. 20



Por supuesto, lo anterior introduce la posibilidad de que la solución ya no sea la óptima, pero el peligro es reducido si se trata de un número grande de acciones. En los casos en que el analista considere que es crucial que las variables de decisión tengan valores enteros, el problema debe plantearse coma modelo de programación lineal según enteros. Esta programación lineal es la materia del Cáp. 8.

Estrategia de Combinación Financiera Las estrategias de mezcla o combinación financiera implican la selección de medios para financiar proyectos de la compañía, inventarios operaciones de producción y otras actividades. En esta sección se ilustra la forma en que puede utilizarse la programación lineal para resolver problemas de este tipo, planteando y resolviendo un problema que implique el financiamiento de operaciones de producción. En esta aplicación específica, se debe tomar una decisión financiera respecto a cuanta producción se debe financiar mediante fondos generados internamente, y qué tanta producción se debe financiar mediante fondos externos. La Jefferson Adding Machine Company va a comenzar la fabricación de dos nuevos modelos de calculadoras electrónicas en los tres meses próximos. Como la fabricación de estos modelos exige ampliar la operación de producción que se tiene en esos momentos, la compañía necesitará fondos de operación para cubrir los costos de materiales, mano de obra y otros gastos, durante el periodo inicial de producción. Los ingresos provenientes de este periodo inicial de producción no estarán disponibles sino hasta después del final del periodo. Así, la compañía debe obtener financiamiento para estos gastos de operación, antes de que pueda empezar a fabricar. La Jefferson ha apartido $3,000 de fondos internos para cubrir los gastos de la operación. Si se requieren fondos adicionales, tendrán que ser generados en el exterior. Un banco local ha ofrecido una línea de crédito a corto piazo para una cantidad que no exceda de $10,000. La tasa de interés para la vigencia del préstamo será de 12% anual sobre la cantidad que se tenga a crédito. Una estipulación fijada por el banco exige que la parte restante del efectivo que la compañía aparto para esa operación, más las cuentas por cobrar provenientes de esta línea de productos, sean de cuando menos el doble del crédito pendiente de pagar, más los intereses al final del periodo inicial de producción. Además de las restricciones financieras sobre la operación, la capacidad de la mano de obra es también un factor que la Jefferson

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debe tomar en consideración. Solo se tienen disponibles 2500 horas de tiempo de ensamble y 150 horas de tiempo de empaque y envío para la nueva línea de productos, durante el periodo inicial de producción de tres meses. En la Tabla 4.5 se muestran los datos relevantes sobre costos, precios y requisitos de tiempos de producción para los dos niveles, a los que se denomina Y y Z. Los es de la compañía han impuesto restricciones adicionales con objeto de garantizar que es posible probar la reacción del mercado ante ambos productos; es decir, deben fabricarse cuando menos 50 unidades del modelo Y y cuando menos 25 unidades del modelo Z en ese primer periodo de producción.

TABLA 4.5 Datos de costos, precios y mano de obra para Jefferson Adding Machine Company

Modelo Y Z

Costo unitario (materiales y otros gastos variables) $ 50 $ 100

Precio de venta $ 58 $ 120

Margen de utilidad $8 $ 20

Horas de mano de

obra que se requieren

Ensamblado 12 25

Empaque y envío 1 2

Como el costo de las unidades que se fabrican utilizando fondos crediticios sufrirá, en efecto, un cargo por interés, se reducen las contribuciones a las utilidades para los modelos Y y Z que se fabrican con fondos obtenidos a crédito. Por ello, se adopta la siguiente notación para las variables de decisión del problema: X1 = unidades del modelo Y fabricadas con fondos de la compañía X2 = unidades del modelo Y fabricadas con fondos obtenidos a crédito X3 = unidades del modelo Z fabricadas con fondos de la compañía

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X4 = unidades del modelo Z fabricadas con fondos obtenidos a crédito ¿Qué tanto se reduce la contribución a las utilidades de las unidades que se fabrican con fondos obtenidos a crédito? Para resolver esta pregunta, debe saberse durante cuánto tiempo estará vigente el préstamo. Se supone que todas las unidades de cada modelo se venden, conforme se fabrican, a distribuidores independientes, y que la tasa promedio de rotación de las cuentas por cobrar es de tres meses. Como los es de la compañía han especificado que el crédito debe pagarse con los fondos generados por las unidades que se fabrican mediante fondos crediticios, los fondos que se obtienen a crédito para fabricar una unidad del modelo Y o una unidad del modelo Z se pagarán aproximadamente tres meses de después Por ello, la contribución a las utilidades para cada unidad del modelo Y que se fabrica con fondos crediticios se reduce de $8 a $8 —($50 x 0.12 x ¼ yr) = $6.50, y la contribución a las utilidades para cada unidad del modelo Z que se fabrica con fondos crediticios se reduce de $20-a $20—($l00 x 0.12 x ¼ yr) = $17. Con esta información se puede ahora plantear la función objetivo para la mezcla financiera de la Jefferson: Max 8x1 + 6.5x2 + 20x3 + 17x4 Pueden también especificarse las siguientes restricciones para el modelo: 12x1 + 12x2 + 25x3 + 25x4 <= 2,500 Capacidad de ensamble x1 + x2 + 2x3 + 2x4 <= 150 Capacidad de empaque y envío 50x1 50x2

disponibles

x1 + Y

>= 25

x2

+ 100x3 <= 3,000 Fondos internos disponibles +100x4<= 10,000 Fondos externos >= 50 x3+

Requerimiento del modelo

x4

Requerimiento del modelo Z

Además, se debe incluir la siguiente restricción para satisfacer el requisito bancario sobre el crédito:

23



Efectivo + cuentas por cobrar <= 2(crédito + intereses)

Esta restricción debe satisfacerse al final del periodo. Recordando que las cuentas por cobrar se mantienen vigentes para un promedio de tres meses, puede utilizarse la siguiente relación para deducir una expresión matemática para la desigualdad anterior, al final del periodo: Efectivo = 3000 – 50X1 – 100x3 Cuantas por cobrar = 58x1 + 58x2 +120x3 + 120x4 Crédito = 50x2 + 100x4 Intereses= (0.12 X ¼ yr)(50x2l 100x4) = 1.5x2 + 3x4 Por lo tanto, la restricción que resulta por la limitación del banco se puede expresar como: 3000 – 50x1 – 2(51.5x2+103x4)

100x3

+58x2

+

120x3

+

120x4>=

O bien 3000>= -8x1 + 45x2 – 20x3 Lo cual es equivalente a -8x1 + 45x2 – 20x3 + 86x4 <= 3000 Añadiendo las restricciones de no negatividad, el modelo completo de programación lineal para la Jefferson Adding Machine Company puede plantearse de la siguiente manera: En la Fig. 4.3 se muestra la solución por computadora para este problema de combinación financiera con cuatro variables y siete restricciones. Se obtiene la utilidad de $1,191.86 con la solución Optima de x1 = 50, x2 = 0, x3 = 5, y x4 = 40.7. Obsérvese que el costo reducido de cero para x2 indica que no es necesario que aumente el coeficiente de la función objetivo para que se pueda evaluar la inclusión de x2 con la solución óptima. Esto es una indicación de que existe una solución óptima alternativa para el problema. En la Fig. 4.4 se muestra una polución por computadora que ofrece una solución óptima alternativa. La utilidad de $1,191.86

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corresponde ahora a la solución x1 = 0, x2 = 50, x3 = 30, yx4 = 15.7. Evidentemente, los es podrían poner en práctica cualquiera de las soluciones que se muestran en esas figuras, y maximizar las utilidades. La solución de la Fig. 4.4 se resume en la Tabla 4.6, junto con la utilidad esperada y los fondos obtenidos a crédito para cada modelo de calculadora. Esta solución exige que la compañía emplee todos

Variable X1 X2 X3 X4

Valor Costos reducidos 50,000000 0,000001 0,000000 0,000000 5,000000 0,000001 40,697674 0,000000

Holgura / Restriccion Excedente Precios duales 1 757,558230 0,000000 2 8,604660 0,000000 3 0,000000 0,239535 4 5930,232400 0,000000 5 0,000000 -2,395349 6 20,697670 0,000000 7 0,000000 0,197674 Figura 4.3 Solución por computadora del problema de Jefferson Adding Machines, utilizando The Management Scientist Valor de la función objetivo = Variable X1 X2 X3 X4

Valor 0,000000 50,000000 30,000000 15,697672

1191.860350 Costos reducidos 0,000001 0,000000 0,000001 0,000000

Holgura / Restriccion Excedente Precios duales 1 757,558230 0,000000 2 8,604660 0,000000 3 0,000000 0,239535 4 5930,232400 0,000000 5 0,000000 -2,395349 6 20,697670 0,000000 7 0,000000 0,197674

25



FIGURA 4.4 Solución Optima alternativa para el problema de Jefferson Adding Machines, utilizando The Management Scientist.

TABLA 4.6 Combinación financiera Optima Jefferson Adding Machine para la producción en la Jefferson Adding Machine

Modelo Modelo Y Fondos obtenidos a credito (X2) Modelo Z Fondos de la compañía(X3) Fondos obtenidos a credito (X4) Totales

Unidades

utilidad esperada

monto de fondos

50

$ 325

$ 2.500

30

600

15,7

267

1570

1192

4070

Sus fondos internos ($3000), pero sólo un poco mas de $4,000 de los $10,000 disponibles en la línea de crédito. Algunas interpretaciones adicionales sobre el listado de computadora de la Fig. 4.4 muestran que la capacidad de ensamblado (restricción 1, holgura = 757.6 horas) y la capacidad de empaque y envió (restricción 2, holgura = 8.6 horas) son adecuadas para satisfacerlos requisitos de producción. Asignar horas adicionales a estos recursos no mejora el valor de la solución optima. El precio dual correspondiente a la restricción de los fondos internos (restricción 3) muestra que se puede obtener un mejoramiento de las utilidades de aproximadamente $0.24 si se invierte un dólar adicional de fondos internos. Con este elevado rendimiento sobre la inversión de fondos internos, es posible que la Jefferson desee seriamente considerar la asignación de fondos internos adicionales para este producto.

26



El precio dual negativo para la restricción 5 indica que los aumentos en el requisito de producción del modelo Y reducirían el margen de utilidad. De hecho, el precio dual negativo indica que reducir el requerimiento actual de 50 unidades para el modelo Y, produciría en realidad aumentos en las utilidades a razón de aproximadamente $2.40 por unidad que se reduzca en el requisito.

Notas y Comentarios Las contribuciones a las utilidades para los dos productos de la Jefferson Adding Machine se basaron en la diferencia entre el precio unitario por unidad y el “costo” por unidad. Una consideración interesante al determinar el costo por unidad es la diferencia entre los costos irrelevantes (sunk) y los costos relevantes. Costos irrelevantes son aquéllos que ya se han realizado, tales como compras previas de materiales, gastos generales, mano de obra indirecta, etcétera. Como son costos en los que ya se ha incurrido, o costos que se realizarán sin importar las decisiones que se tomen, tales conceptos carecen de relevancia; es decir, no son afectados por los valores de las variables de decisión. -Los costos irrelevantes no deben considerarse cuando se desarrolla la función objetivo para un modelo de programación lineal. Obsérvese que la Tabla 4.5 muestra que los costos unitarios se basan en los costos relevantes variables para los materiales, así como también en otros gastos variables. En el caso referente a la protección ambiental que aparece al final del capitulo se da oportunidad de identificar los costos relevantes al desarrollar un modelo de programación lineal. 4.4 APLICACIONES EN ISTRACION DE LA PRODUCCION Programación de la producción Una de las áreas más importantes de la programación lineal trata de las aplicaciones en periodos múltiples de planeación, tales como la programación de la producción. La resolución de un problema de esta clase permite a los es establecer un programa de producción eficiente y a costos reducidos, para uno o más productos, a lo largo de diversos periodos, como semanas, meses, etcétera. En esencia, se puede contemplar un problema de programación de la producción como uno de combinación o mezcla de productos para cada uno de diversos lapsos hacia el futuro El debe determinar los niveles de producción que permitirán a una compañía a satisfacer los requisitos de demanda del producto, considerando 27



limitaciones sobre la capacidad de producción, La capacidad de mano de obra y el espacio de almacenamiento Al mismo tiempo, se desea minimizar el costo total para llevar a cabo esa labor Un motivo importante de la generalizada aplicación de la programación lineal en problemas de programación de la producción, es que estos son de naturaleza recurrente. Se debe establecer un programa de producción para el mes en curso, después para el mes siguiente, luego para el que sigue, y así sucesivamente. Cuando el gerente de producción considera el problema cada vez, se encuentra con que, aunque la demanda de los productos varia, las limitaciones sobre el tiempo y las capacidades de producción, y sobre el espacio de almacenamiento, son básicamente Las mismas. Por ello, el gerente de producción resuelve en esencia el mismo problema que se ha manejado en meses anteriores. Por tanto es posible aplicar con frecuencia un modelo general de programación lineal para el procedimiento de programado de la producción. Una vez que se planteó el modelo, el puede simplemente proporcionar los datos (demanda, capacidades, etc.) para el periodo de producción dado, y puede entonces utilizarse el modelo de programación lineal para desarrollar el programa de producción. De modo que un planteamiento de programación lineal puede tener muchas aplicaciones sucesivas. Considere el caso de la empresa Bollinger Electronics Co., que fabrica dos componentes electrónicos distintos para un importante fabricante de motores de avión. Tal fabricante notifica a la oficina de ventas de la Bollinger, cada trimestre, cuáles serán los requerimientos de componentes para los tres meses siguientes. Las demandas mensuales de los componentes pueden variar considerablemente dependiendo del tipo de motor que produce el fabricante El pedido que se muestra en la Tabla 4.7 acaba de ser recibido, y corresponde al siguiente lapso de tres meses. Después de que se procesa el pedido, se envía una constancia de demanda al departamento de control de la producían. A su vez, este departamento debe elaborar un plan de producción a tres meses para los componentes. Conociendo La preferencia de el gerente del departamento de producción, por niveles constantes de demanda que den como resultado cargas de trabajo equilibradas y utilización constante de las máquinas y la mano de obra, la persona encargada del programa de producción debe tomar en consideración la alternativa de fabricar a una tasa constante durante los tres meses. Esto fijarla cuotas de producían de 3000 unidades por mes para el componente 322A y 1500 unidades al mes para el componente 802B. Por qué no adoptar este programa Aunque tal programa resultaría atractivo para el departamento de producción, puede resultar indebido, desde el punto de vista de los costos totales. En 28



particular, omite los costos de inventarios. Considérense los niveles proyectados de inventario que se producirían TABLA 4.7 Programa de la demanda a tres meses para Boilinger Electronic Company

Abril

Mayo

Junio

Componente 1000 322A

3000

5000

Componente 1000 8022

500

3000

30 de Abril

31 de Mayo

Componente 322A

Componente 802B

2000 Unidades

2000 Unidades

500

1500

unidades

unidades

FIGURA 4.5 Nive1es proyectados de inventario con un programa de producción a tasa constante. Con este programa que exige producción constante (Fig. 4.5). Se observa que el programa de producción conduciría a niveles elevados de inventarios. Cuando se considera el costo del capital y del espacio de almacenamiento comprometidos, un programa que produzca menores niveles de inventarios puede resultar más deseable en términos económicos. En el otro extremo del programa de producción a tasas constantes se 29



encuentra el método de “fabricar para satisfacer La demanda”. Aunque este tipo de programas elimina el problema de los costos de mantener inventario, las amplias fluctuaciones mensuales en los niveles de producción pueden ocasionar algunas dificultades y costos de producción considerables. Por ejemplo, tendría que haber capacidad de producción disponible para satisfacer la demanda pico de 8000 unidades en junio. También, y a menos que se pudieran programar otros componentes para el mismo equipo de producción en abril y mayo, habría una cantidad considerable de capacidad no utilizada y, por ello, una subutilización importante en esos meses. Tales importantes variaciones en la producción podrían también exigir ajustes considerables en la mano de obra que, a su vez, conducirán mayores problemas de rotación y de capacitación del personal. Por do, parece que el mejor programa de producción seria aquel que equilibrara las dos alternativas. Al gerente de producción le agradarla identificar y considerar los siguientes costos 1. Costos de producción 2. Costos de almacenamiento 3. Costos por cambios en el nivel de producción En la parte restante de esta sección se muestra la forma en la que puede plantearse un modelo de programación lineal para el proceso de producción e inventarios de la firma Boilinger Electronics, que toma en consideración esos costos de manera que se minimicen los costos totales. Para desarrollar el modelo se utiliza una notación con doble subíndice para las variables de decisión. El primer subíndice indica el número del producto, y el segundo, el mes. Así, en general, se utiliza xm para denotar el volumen de producción en unidades para el producto i en el mes m. Aquí, i = 1,2, y m = 1,2,3; se tiene que i = 1 se refiere al componente 322A, i = 2 se refiere al componente 802B, m = 1 corresponde a abril, m = 2 se refiere a mayo y m = 3 corresponde a junio. El propósito del doble subíndice es ofrecer una notación más descriptiva. Se podía simplemente utilizar x6 para representar el número de unidades del producto 2 que se fabrica en el mes 3, pero X23 es más descriptiva en cuanto a que señala directamente el mes y el producto que la variable representa. 30



Si cuesta $20 (dólares) cada unidad que se fabrica del componente 322ª y $10 cada componente 802B, la parte de los costos de producción de la función objetivo se convierte en Costo de producción = 20X11 + 20X12 + 20X13 + 10X21 + 10X22 + 10X23 Se debe observar que en este problema el costo por unidad de producción es el mismo en todos los meses. Por ello, no es necesario incluir los costos de producción en la función objetivo, es decir; independientemente de cuál sea el programa de producción que se elija, los costos totales de producción seguirán siendo los mismos. En otras palabras, los costos de producción son costos no relevantes para la decisión sobré el programa de producción que se considera. En casos en que se espera que el costo unitario varié cada mes, los costos unitarios variables de producción deben incluirse en la función objetivo. Como la solución para el problema de la Bollinger Electronics será la misma independientemente de si se incluyen estos costos o no, se ha decidido elegirlos para que el valor de la función objetivo de programación lineal incluya todos los costos correspondientes al problema. Para incluir los costos relevantes de inventarios en el modelo, se introduce una variable de decisión con doble subíndice que indica el número de unidades de inventario pana cada producto y para cada mes. Se utiliza Sim para representar el nivel de inventario para el producto i al final del mes m. La Bollinger ha determinado que, sobre una base mensual, los costos de mantener el inventario son de 1.5% del costo del producto; es decir, (0.015)($20) = $0.30 por unidad del componente 322A y (0.01 5)($ 10) = $0.15 por unidad para el componente 802B. Enseguida se comenta un supuesto que comúnmente se hace al utilizar el método de la programación lineal para programar producción. Se supone que los inventarios de fin de mes son una aproximación aceptable de los niveles promedio de inventarios durante el propio mes. Dado este supuesto, la porción del costo del mantenimiento de inventarios de la función objetivo se puede expresar de la siguiente manera: Costo de mantenimiento de inventarios = 0.30s11 + 0.30s12 + 0.30s13 + 0.l5s21 + 0.l5s22 + 0.15s23 Con objeto de incluir los costos que se producen por las fluctuaciones en los niveles de producción de un mes a otro, es necesario definir las dos variables de decisión adicionales que siguen:

31



Im = aumento en el nivel total de producción durante el mes m en comparación con el mes m — 1 Dm = disminución en el nivel total de producción durante el mes m en comparación con el mes m — I Después de estimar los efectos de los despidos temporales de los empleados, de la rotación de personal, de los costos de asignaciones a capacitación, y de otros costos asociados a los niveles fluctuantes de producción, la Bollinger estima que el costo correspondiente a un aumento en el nivel de la producción para cualquier mes es $0.50 (de dólar) por aumento unitario. A una disminución en el nivel de producción le corresponde un costo similar, para cualquier mes, y es de $0.20 por unidad. Así, la tercera porción de la función objetivo puede escribirse de la siguiente manera: Costos por fluctuaciones en la producción = 0.50I1 + 0.50I2 + 0.50I3 + 0.20D1 + 0.20D2 + 0.20D3 Se debe observar aquí que la Bollinger ha decidido medir los costos correspondientes a las fluctuaciones en la producción como función del cambio en el número total de unidades que se fabrican en el mes m, en comparación con el número total de unidades fabricadas en el mes m-1. En otras aplicaciones a programas de producción, pueden medirse las fluctuaciones en la producción en términos de horasmaquina o de horas-trabajo que se requieren, en vez de hacerlo en terminas del numero total de unidades que se fabrican. Combinando todos esos tres costos, la función objetivo completa se convierte en: Min 20X11 + 20X12 + 20X13 + 10X21 + 10X22 + 10X23 + 0.30S11 + 0.30S12 + 0.30S13 + 0.15S21 + 0.15S22 + 0.15S23 + 0.50I1 + 0.50I2 + 0.50I3 + 0.20D1 + 0.20D2 + 0.20D3 Considérese ahora las restricciones. En primer lugar, debe garantizarse que el programa satisface la demanda del cliente. Como las unidades que se envían pueden provenir de la producción del mes en curso, o de los inventarios de periodos previos, se tienen los siguientes requerimientos básicos:

Inventario Final del mes

Producción +

en

Demanda del ≥

mes

32

Gerencia de Operaciones I Anterior

Ing. Oscar Mendoza Macías Curso

La diferencia entre lado izquierdo y el lado derecho será la cantidad del inventario final, al final de ese mes. Por ello, el requerimiento de la demanda asume la forma

Inventario Final del mes

Producción +

en curso

Inventario -

final de este

Anterior

Demanda =

de este

mes

mes

Supóngase que los inventarios al principio del periodo del programa de tres meses fueran de 500 unidades para el componente 322A y 200 unidades para el componente 802B. Recordando que la demanda para ambos productos en el primer mes (abril) es de 1000 unidades, las restricciones para satisfacer la demanda en el primer mes se convierten en 500 + x1 — S11 = 1000 200 + x21 — S21= 1000 Pasando las constantes al lado derecho, se tiene: X11 – S11 = 500 X21 – S21 = 800 De manera similar, se requieren restricciones de demanda para ambos productos en los meses segundo y tercero. Esas pueden escribirse de la siguiente manera: Mes 2:s11 + x12 — S12 = 3000 S21+XS= 500

33



Mes 3: S12 + X13— S13 = 5000 S22 + X23 – S23 = 3000

Si la compañía especifica un nivel minino de inventario al final del periodo de tres meses de cuando menos 400 unidades del componente 802B, pueden entonces incluirse las restricciones. S13≥400 S23≥200 Supóngase que se tiene información adicional disponible sobre la capacidad de producción, de mano de obra y almacenamiento, y es la que se presenta en la Tabla 4.8. En la Tabla 4.9 se presentan los requerimientos de maquinaria, mano de obra y almacenamiento. Las siguientes restricciones son necesarias para reflejar esas limitaciones:

Capacidad de las maquinas: 0.10X11 + 0.08X21 ≤ 400 Mes 1 0.10X12 + 0.08X22 ≤ 500 Mes 2 0.10X13 + 0.08X23 ≤ 600 Mes 3 Capacidad de mano de obra: 0.05X11 + 0.07X21 ≤ 300 Mes 1 0.05X12 + O.07X22 ≤ 300 Mes 2 O.05X13 + 0.07X23 ≤ 300 Mes 3 Capacidad de almacenamiento: 2S11 + 3S21 ≤ 10,000 Mes 1 2S12 + 3S22 ≤ 10,000 Mes 2 2S13 + 3S23 ≤ 10,000 Mes 3 TABLA 4.8 Capacidades de maquinaria, mano de obra y almacenamiento para la Bollinger Electronics Capacidad de maquinas (horas)

Capacidad de Capacidad de Mano de almacenamiento (pies Obra

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Abril Mayo Junio

(horas)

cuadrados)

300 300 300

10000 10000 10000

400 500 600

Tabla 4.9 Requerimientos de maquinaria, mano de obra y almacenamiento para los componentes 322A y 802B

Componente 322A Componente 802B

Maquinas (horas/unidad)

Mano de Obra (horas/unidad)

almacenamiento (pies cuadrados/unidad)

0.10 0.08

0.05 0.07

2 3

Se debe incluir un conjunto final de restricciones. Estas se requieren para garantizar que Im y Dm reflejarán el aumento o la disminución en el nivel total de producción en el mes m. Supóngase que los niveles de producción para marzo (el mes anterior al inicio del problema de programación de la producción que se este trabajando) hubiera sido de 1500 unidades del componente 322A y 1000 unidades del componente 802B, para un nivel total de producción de 1500 + 1000 = 2500 unidades. Puede determinarse la magnitud del cambio en la producción para abril, a partir de la relación: Producción en abril — producción en marzo = cambio Utilizando las variables de decisión para la producción de abril X11 y 35



X21, y la producción de marzo de 1500 unidades, se puede reescribir la relación anterior coma sigue: x11 + x — 2500 = cambio Obsérvese que el cambio puede ser positivo o negativo. Un cambio positivo refleja un aumento en el nivel total de producción, y uno negativo refleja una disminución. Utilizando la relación anterior, pueden utilizarse el aumento en la variable de producción para abril I1 y la disminución en la variable de producción para abril D1, para especificar la siguiente restricción que corresponde al cambio en la producción total para el mes de abril: X11 + X21 — 2500 = cambio Por supuesto, no puede tenerse un aumento en la producción y una disminución en el mismo periodo de un mes; por ello, I1 o bien D, será cero. Si en abril se requieren 300000 unidades de producción, se tendría I1 = 500 y D1 = 0. Si en abril se requieren 2200 unidades de producción, se tendrá I1 = 0 y Dt = 300. Esta forma de denotar el cambio en el nivel de producción como la diferencia entre dos variables no negativas I1 y D1, permite considerar cambios tanto positivos como negativos en el nivel total de producción. Si se hubiera utilizado una sola variable, per ejemplo Cm para representar el cambio en el nivel de producción, entonces solo serian posibles los cambios positivos debido al requerimiento de no negatividad. Aplicando el mismo método para mayo y junio (siempre restando la producción total del mes anterior, de la producción total de mes en curso), se tendrían las siguientes restricciones para los meses segundo y tercero del periodo de programación de la producción: (X12 + X22) — (X11 + X21) = I2 — D2 (X13 + X23) — (X12+X22) = I3—D3 Colocando las variables en el lado izquierdo y las restricciones en el lado derecho, el conjunto completo de lo que comúnmente se denominan restricciones de suavización de la producción, puede expresarse de la siguiente manera: X11 + X21

—

I1

+

D1

=

2500

36



-X11 - X21 + X12 + X22 — I2 -X12 – X22 + X13 + X23 – I3 + D3 = 0

+

D1

=

0

El problema de programación inicial, relativamente reducido con dos productos y tres meses, se ha convertido ahora en un problema de programación lineal con 18 variables.

Tabla 4.10 Información sobre el programa de producción de costos mínimos para Bollinger Electronics Actividad Produccion Componente 322A Componente 802B Totales Inventario final Componente 322A Componente 802B Utilizacion de la maquinaria Horas programadas Horas de holgura en capacidad Utilizacion de mano de obra Horas programadas Horas de holgura en capacidad Utilizacion del almacenamiento almacenamiento programado capacidad holgura

Abril

Mayo

Junio

500 2500 3000

3200 2000 5200

5200 0 5200

0 1700

200 3200

400 200

250

480

520

150

20

80

200

300

260

100

0

40

5100 4900

10000 0

1400 8600

Costo total del programa(incluyendo produccion, inventarios y alisado de la produccion) = $225295

37



y 20 restricciones. Obsérvese que lo que importaba en el problema era solamente un tipo de proceso en máquinas, un solo tipo de mano de obra y un solo tipo de área de almacenamiento. En los problemas reales de programación de la producción pueden encontrarse varios tipos de máquinas, varios tipos de mano de obra y/o varios espacios de almacenamiento. Por ello, es posible que el lector esté comenzando a darse cuenta de la forma en la que se presentan los sistemas de programas lineales de producción en gran escala. Una aplicación típica podría implicar el desarrollo de un programa de producción para 100 artículos y un horizonte de tiempo de 12 meses. Un problema como éste podría tener más de 1000 variables y restricciones. En la Fig. 4.6 se presenta la solución computadorizada del problema de programación de la producción de la Bollinger Electronics. En la Tabla 4.10 se muestra una parte del reporte para los es que se basa en esta solución por computadora. Se procederá ahora a considerar la variación mensual en el programa de producción de inventarios que se muestra en la Tabla 4.10. Recuérdese que el costo de los inventarios para el componente 802B es la mitad del costo de inventario para el componente 322A. Por lo tanto, tal como podría esperarse, el componente 802B se fabrica en gran cantidad en el primer mes (abril) y después se mantiene en inventario para la demanda que se presente en los meses siguientes. Se tiende a fabricar el componente 322A cuando se le necesita y solo se mantiene en cantidades pequeñas en los inventarios. Los costos por los aumentos o disminuciones en el volumen total de producción tienden a suavizar las variaciones mensuales. De hecho, un programa de costo mínimo exige un aumento de 500 unidades en la producción total de abril y un aumento de 2200 unidades en la producción de mayo. El nivel de durante junio. La sección del reporte sobre utilización de las maquinas muestra que existe considerable capacidad disponible en los tres meses. Sin embargo, Se observa también que las capacidades de mano de obra y almacenamiento se utilizan en su totalidad (holgura = 0 para la restricción 13 y para la restricción 16 de la Fig. 4.6) en el mes de mayo. El precio dual muestra que una hora adicional de capacidad de mano de obra en mayo mejoraría la función objetivo (menores 38



costos) en aproximadamente $2.14. Esta información podría ayudar al gerente de producción a decidir si debe añadir tiempo extra de la mano de obra durante el mes de mayo. Una interpretación similar para el precio dual de la restricción 16 muestra que cada pie cuadrado adicional de espacio de almacenamiento que Se tenga disponible durante mayo mejorará la función objetivo en poco menos de 5 centavos por pie cuadrado.

Valor de la función objetivo = 225294 .953000

Variables X11 X12 X13 X21 X22 X23 S11 S12 S13 S21 S22 S23 I1 I2 I3 D1 D2 D3

Restriccion 1 2 3 4 5 6 7 8

Valor 500 3199,999 5199,9995 249,9995 2000,00098 0 c 200,000977 400 1699,99951 3200 200 500,00146 2199,9988 0 0 0 0

Holgura/excedente 0 0 0 0 0 0 0 0

Costos reducidos 0,000002 0,000003 0,000004 0,000002 0,000001 0,060719 0,19286 0 0 0 0,000003 0 0 0 0 0,7 0,7 0,7

Precios duales -20,000002 -10,000002 -20,107142 -10,150002 -20,499996 -10,439282 -20,799995 -10,589281 39

Gerencia de Operaciones I 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Ing. Oscar Mendoza Macías 149,999939 20,000015 80 100,000061 0 39,999985 4899,9971 0 8600 0 0 0

0 0 0 0 2,142897 0 0 0,046428 0 0,5 0,5 0,5

FIGURA 4.6 Solución por computadora del problema de programación de la producción para Bollinger Electronics utilizando The Management Scientist.

Ya se ha visto en esta ilustración que un modelo de programación lineal para un sistema de producción de dos artículos y tres meses ofrece alguna valiosa en términos de identificar un programa de costo mínimo. En sistemas de producción más grandes, en los que el numero de variables y restricciones es demasiado grande para seguirlo en forma manual, los modelos de programación lineal pueden ofrecer una ventaja importante en la elaboración de programas de producción para ahorrar costos. NOTAS Y COMENTARIOS Al revisar la adecuación de un modelo de programación lineal, siempre resulta conveniente revisar las unidades de medición para la función objetivo y para las restricciones. Por ejemplo, las capacidades de las maquinas para el problema de la Bollinger Electronics se plantearon en unidades de horas. Como el componente 322A requería 0.10 horas (6 minutos) por unidad y el componente 802B requería 0.08 (4.8 minutos) por unidad, la restricción para las 400 horas disponibles en el mes se planteo, correctamente, de la siguiente manera:

40



0.10x11 + 0.08x12 ≤ 400 La unidad de medición es consistente, ya que se utilizan horas tanto para el lado izquierdo como para el lado derecho. La restricción 6x11 + 4.8X12 ≤ 400 No seria un planteamiento correcto porque el uso de minutos en el lado izquierdo seria inconsistente con el uso de horas en el lado derecho. Esta incongruencia podría corregirse convirtiendo la capacidad del lado derecho a (400 horas) x (60 minutos por hora) = 24,000 minutos. Por ello, aunque exista flexibilidad al elegir la unidad de medición que se utiliza, es necesario verificar la consistencia. Planeación de la mano de obra Con frecuencia se presentan problemas de planeación o de programación de la mano de obra cuando los es deben tornar decisiones que implican requerimientos departamentales de mano de obra para un periodo dado de tiempo. Esto es particularmente cierto cuando las asignaciones de mano de obra tienen cierta flexibilidad y en los casos en los que cuando menos cierta parte de la mano de obra puede asignarse a más de un departamento a centro de trabajo. Este es con frecuencia el caso cuando se ha capacitado a los empleados para realizar dos o más tareas. En el siguiente ejemplo se muestra la forma en la que puede utilizarse la programación lineal para determinar no solo una mezcla optima de productos sino también una asignación Óptima de mano de obra para los diversos departamentos. La firma McCarthy’s Everyday Glass, Co., esta planeando fabricar dos estilos de vasos para el siguiente mes. Los vasos se procesan en cuatro departamentos distintos. Existe capacidad de equipo en exceso, y no resultará ser un factor limitante. Sin embargo, los recursos de mano de obra de la compañía son limitados y es posible que restrinjan el volumen de producción para los dos artículos. Los requerimientos de mano de obra por cada caja que se fabrica (una docena de vasos) son los que se muestran en la Tabla 4.11. Departamento

Producto 1

Producto 2

41



1

0.070

0.100

2

0.050

0.084

3

0.100

0.067

4

0.010

0.025

La compañía obtiene utilidades de $1.00 (dólar) por cada caja del producto I y $0.90 (de dólar) por cada caja del producto 2. Si el número de horas disponibles en cada departamento es fijo, se puede plantear el problema de la McCarthy como un programa lineal estándar de mezcla de productos. Se utiliza la notación común: X1 = cajas del producto 1 que se fabrican X2 = cajas del producto 2 que se fabrican X3 = horas de mano de obra disponibles en el departamento i, i = 1, 2, 3, 4 El programa lineal puede escribirse de la siguiente manera: Max 1.00X1 + 0.90X2 Sujeta a 0.070x1 + 0.100x2 ≤b1 0.050x1 + 0.084x2 ≤ b2 0.100x1 + 0.067x2 ≤ b3 0.010x1 + 0.025x2 ≤ b4 X1, X2 ≥0 Para resolver este problema de combinación de productos, se pediría al gerente de producción que especificara las horas disponibles en cada departamento (b1, b2, b3, y b4); después, podría resolverse para obtener la mezcla de productos que maximiza las utilidades.

42



Sin embargo, en este caso se supone que el tiene cierta flexibilidad para asignar los recursos de mano de obra y serla conveniente hacer una recomendación para esa asignación, al igual que para determinar la combinación optima de productos. Supóngase que, después de considerar las calificaciones de capacitación y experiencia de los trabajadores, se tiene la siguiente información adicional: Posibles asignaciones de mano de obra

Horas de mano de obra disponibles

Solo en el departamento 1

430


400


500


135

Departamentos 1 o 2

570

Departamentos 3 o 4

300

Total disponible

2335

Se observa que, de las 2335 horas disponibles para la producción del mes, pueden asignarse 870 de ellos a discreción del . Las restricciones para las horas disponibles en cada departamento son las siguientes: B1≤ 430 + 570 = 1000 B2≤ 400 + 570 = 970 B3≤ 500 + 300 = 800 B4≤ 135 + 300 = 435

43



Como no es posible asignar en forma simultanea a ambos departamentos las 570 horas que pueden asignarse con flexibilidad entre los departamentos 1 y 2, es necesaria la siguiente restricción adicional: -b1 -+ b2 ≤ 430 + 400 + 570 = 1400 De manera similar para las 3O0 horas que es posible asignar entre Los departamentos 3 y 4, se requiere la restricción —b3 + b4 ≤ 500 + 135 + 300 = 935 En este planteamiento se están manejando como variables las horas de mano de obra que se asignan a los departamentos. Los coeficientes de la función objetivo para estas variables serán cero, porque las variables b no afectan las utilidades en forma directa. Después de colocar todas las variables del lado izquierdo de las restricciones, se obtiene el siguiente programa lineal Max 1.00x1 + 0.90x2 + 0b1 + 0b2 + 0b3 + 0b4 Sujeta a 0.07x1 + 0.100x2— b1 0.050x1 + 0.084x2 0.100x1 + 0.067x2 0.010x1 + 0.025x, b1

— b2

— b3 — b4

b2 b3 b1+ b2

b4

b3+ b4

≤0 ≤0 ≤0 ≤0 ≤ 1000 ≤ 970 ≤ 800 ≤435 ≤1400 ≤ 935

x1, x2, b1, b2, b3, b4 ≥ 0

Este modelo de programación lineal resolverá en realidad dos problemas: (1) permitirá encontrar la mezcla optima de productos para el periodo de planeación y (2) permitirá asignar las horas disponibles de mano de obra a los departamentos, de manera que se maximicen las utilidades. En la Tabla 4.12 se muestra la solución para este modelo de 10 restricciones y 6 variables.

44



Obsérvese que el plan óptimo de mano de obra utiliza todas las 2,335 horas disponibles. En esta solución, no existe tiempo ocioso en ninguno de los departamentos. No es este siempre el caso en los problemas de este tipo. Sin embargo, si el tiene de hecho la libertad de asignar a ciertos empleados a distintos departamentos, el efecto será probablemente una reducción en el tiempo ocioso global. El modelo de programación asigna automáticamente a los empleados a los departamentos de la manera mas redituable. Si el hubiera efectuado una asignación, según su juicio, de las horas a los departamentos, y si hubiera después resuelto el problema de mezcla de productos utilizando unas b1 fijas, es probable que hubiera tenido holgura en algunos departamentos, al mismo tiempo que otros departamentos hubieran representado congestionamientos debido a recursos insuficientes.

Pueden utilizarse variantes en el planteamiento básico de esta sección en casos como la asignación de materias primas a productos, en la asignación de tiempo de máquina a productos ven la asignación de tiempo de fuerza de ventas a líneas de productos o a territorios de ventas.

Plan de producción Producto 1 = 4700 cajas Producto 2 = 4543 cajas

Asignación de mano de obra Departamento 1

783 horas

Departamento 2

617 horas

Departamento3

774 horas

Departamento4

161 horas

Total

2335 horas

Utilidad = $ 8789

45



4.5 PROBLEMA DE MEZCLAS Los problemas de mezclas se presentan cuando los es deciden la forma en que deben combinarse dos o más recursos para fabricar uno o más productos. En estos casos, los recursos contienen uno o más ingredientes esenciales que deben mezclarse de manera que los productos finales contengan porcentajes específicos de los ingredientes esenciales. Por ello, en la mayor parte de estas aplicaciones, los es deben decidir qué tanto de cada recurso deben adquirir para satisfacer las especificaciones de los productos y las demandas de los productos a un costo mínimo. Con frecuencia se presentan problemas de mezclas en la industria del petróleo (problemas como la combinación de petróleos crudos para fabricar gasolinas con octanajes diferentes), en la industria química (tales como la mezcla de productos químicos para fabricar fertilizantes o para controlar hierbas, etc.) y en la industria de los alimentos (como mezcla de ingredientes para fabricar bebidas, sopas, etc.). Debido ala extensa aplicación de los problemas de mezclas, el objetivo de esta sección es ilustrar la forma en que se puede aplicar la programación lineal para resolver este tipo de problemas. La empresa Grand Strand Oil, Co., fabrica gasolinas de grado normal y de grado extra, que se venden en gasolineras independientes en el sureste de Estados Unidos. La refinería de la Grand Strand fabrica las gasolinas mezclando tres componentes de petróleo. Las gasolinas se venden a precios distintos, y los componentes de petróleo tienen costo diferente. La empresa pretende determinar cOmo mezclar o combinar los tres componentes para obtener las dos gasolinas, de manera que se maximicen las utilidades. Los datos disponibles muestran que la gasolina de grado normal se puede vender en $0.50 (de dólar) por galón y la gasolina de grado extra en $0.54 por galón. Para el periodo en curso de la planeación de la producción, la Grand Strand puede obtener los tres componentes de petróleo a los costos por galón y en las cantidades que se muestran en la Tabla 4.13. Las especificaciones de los productos para las gasolinas restringen las cantidades de cada componente que se pueden utilizar en cada gasolina. Las especificaciones de los productos se listan en la Tabla 4.14. Los compromisos actuales con los distribuidores requieren que la Grand Strand fabrique cuando menos 10,000 galones de la gasolina de grado normal. El problema de mezcla de la Grand Strand 46



consiste en determinar cuántos galones de cada componente se deben utilizar en la mezcla de la gasolina de grado normal, y cuántos galones de cada componente en la mezcla de la gasolina de grado extra. La solución de la mezcla Optima debe maximizar las utilidades de la empresa, sujeta a las restricciones que se tienen sobre la disponibilidad de componentes de petróleo que se muestra en la Tabla 4.13, y sujeta a las especificaciones de los productos que se muestran en la T9a 4.14 y a los 10,000 galones que se requieren de gasolina de grado normal. Tabla 4.13 Costos y ofertas de petróleo para el problema de mezclado en la Grand Strand Componentes de Costo por galon petroleo Componente 1 $0.25 Componente 2 $0.30 Componente 3 $0.42 Tabla 4.14 Especificaciones de los productos mezclado de la Grand strand producto Gasolina Normal

Gasolina Extra

Máximo disponible 5000 galones 10000 galones 10000 galones para el programa de

Especificaciones Cuando mucho 30% del componente 1 Al menos 40% del componente 2 Cuando mucho 20% del componente 3 Al menos 25% del componente 1 Cuando mucho 40% del componente 2 Al menos 30% del componente 3

Se puede utilizar la notación para definir a las variables de decisión: Sean: Xij = galones del componente i que se utiliza en la gasolina j, en donde i = 1, 2 o 3 para los componentes 1, 2 o 3; se tiene que j = p si es extra. Las seis variables de decisión se convierten en x1r = galones del componente 1 en la gasolina normal x2r = galones del componente 2 en la gasolina normal x3r = galones del componente 3 en la gasolina normal x1p = galones del componente I en la gasolina extra

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x2p = galones del componente 2 en la gasolina extra x3p = galones del componente 3 en la gasolina extra Obsérvese que antes se había utilizado siempre números como subíndices para las variables de decisión. Continuando con el uso de subíndices numéricos, se hubiera podido fijar j = I para la gasolina normal y j = 2 para la gasolina extra. Sin embargo, el uso de los subíndices r y p resulta descriptivo y permite identificar con facilidad la gasolina a la que se refiere la variable de decisión . Utilizando las seis variables decisorias, puede expresarse el número total de galones de cada tipo de gasolina que se fabrica sumando el numero de galones que se fabrican utilizando cada uno de los tres componentes de petróleo. Es decir, Total de galones que se producen Gasolina normal = x1r + x2r + X3r Gasolina extra = x1p + x2p + x3p De manera similar, es posible expresar el total de galones de cada componente de petróleo que se utilizan mediante las siguientes sumas:

Utilización total de los componentes de petróleo Componente 1 = x1r + x1p Componente 2 = x 2r + x2p Componente 3 = x3r + x3p Puede desarrollarse la función objetivo para maximizar la contribución a las utilidades identificando la diferencia entre los ingresos totales provenientes de los dos tipos de gasolina y el costo total de los tres

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componentes de petróleo. La función objetivo puede escribirse de la siguiente manera; multiplicando el precio por galón de $0.50 por el total de galones de gasolina normal; el precio por galón de $0.54, por el total de galones de gasolina extra; y las cifras de costo por galón de cada componente de la Tabla 4.13, por el total de galones de cada componente que se utilizan: Max 0.50 (x1r + x2r + x3r) + 0.54 (x1p + x2p + x3p) -0.25 (x1r + x1p) — 0.30 (x2r + x2p) — O.42 (x3r + x3p) Combinando términos semejantes, puede escribirse: la función objetivo como sigue: max 0.25x1r + 0.20x2r + 0.08x3r + 0.29x1p + 0.24x2p + 0.12x3p

Las limitaciones sobre la disponibilidad de los tres componentes de petróleo se pueden expresar mediante las siguientes tres restricciones: x1r + x1p x2r + x2p x3r + x3p

≤ 5,000 ≤ 10,000 ≤ 10,000

Componente 1 Componente 2 Componente 3

Ahora se requieren seis restricciones para satisfacer las especificaciones de los productos. La primera especificación plantea que el componente 1 puede constituir cuando mucho 30% del total de galones que se fabrican de gasolina normal. Es decir,

-

x1r ≤ 0.30 x1r + x2 r + x3r

o bien x1r ≤ 0.30 (x1r + x2r + x3r) Replanteando esta restricción con las variables en el lado izquierdo y una constante en el lado derecho, la restricción sobre la especificación del primer producto se convierte en 0.70x1r - 0.30x2r - 0.30x3r ≤ 0 La especificación para el segundo producto puede escribirse como:

49



x2 r ≥ 0.40 x1r + x2 r + x3r o bien X2r ≥ O.40 (X1r + X2r + X3r) y así -0.40x1r + 0.60x2r - 0.40x3r ≥ 0 De manera similar, pueden escribirse de la siguiente manera las cuatro especificaciones adicionales sobre las mezclas.

-0.20x1r - 0.20x2r +0.80x3r ≤ 0 0.75x1P - 0.25x2p -0.25x3p ≥ 0 0.401p +0.60x2p -0.40x3p ≤ 0 -0.30x1p -0.30x2p +0.70x3p ≥

0

La restricción para el mínimo de 10,000 galones de la gasolina de grado normal se escribe: x1r + x2r + x3r ≥ 10,000 Por ello, el modelo completo de programación lineal con seis variables de decisión y dos restricciones se puede escribir de la siguiente manera:

max 0.25x1r+0.20x2r+0.08x3r+0.29x1p+0.24x2p+0.12x3p sujeta a x1r

+ +

x2r

+ x3r 0.70x1r- 0.30x2r- 0.30x3r - 0.40x1r+0.60x2r- 0.40x3r -0.20x1r- 0.20x2r+ 0.80x3r

x1p

+

x2p

x3p

0.75x1p -0.25x2p -0.25x3p -0.40x1p +0.60x2p -0.40x3p -0.30x1p -0.30x2p +0.70x3p

≤ 5,000 ≤ 10,000 ≤ 10,000 ≤ 0 ≥ 0 ≤ 0 ≥ 0 ≤ 0 ≥ 0

50


x1r +


x2r + x3r x1r, x2r, x3r, x1p, x2p, x3p ≥

≥ 10,000 0

Se muestra la solución por computadora para el problema de las mezclas de la Grand Strand. La solución de mezclado que ofrece una utilidad de $4,650 se resume. La estrategia óptima de mezclado señala que se deben fabricar 10,000 Galones de gasolina normal. La gasolina normal consistirá en una mezcla del componente 1 (1,250 galones) y el Componente 2 (8,75 galones). Los 15,000 galones de la gasolina extra se deben elaborar con una combinación de los tres componentes de petróleo: 3,750 galones del componente 1, 1,250 galones del componente 2 y 10,000 galones del componente 3. Valor de la función objetivo = 4650.000500

Variable X1R X2R X3R X1P X2P X3P

Restricción 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Solución

por

Valor 1249.999020 8749.997100 0.000000 3750.001000 1250.005860 10000.000000

Holgura/Excedente 0.000000 0.000000 0.000000 1750.000490 4749.999000 1999.999390 0.000000

computadora

4749.998000 5499.997100 0.000000

del

problema

Costos Reducidos 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

Precios Duales 0.290000 0.240000 0.120000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.040000

de

mezclado

de

la

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Grand Strand utilizando The Management Scientist. Estrategia de mezclado de gasolina de la firma Grand Strand Componentes de los galones (porcentaje)

Gasolina Normal

Componente 1 1250(12.5%) 3750(25.0%)

Componente 2 8750(87.5%) 1250(8.3%)

Componente 3 _ 10,000(66.7%)

Total 10,000 15,000

Extra

Es necesario aclarar un poco la interpretación de las variables de holgura y de excedente correspondientes a las restricciones de especificación de los productos (restricciones 4 a 9). Si la restricción es del tipo ≤, el valor de la holgura se puede interpreta como los galones del componente utilizado por debajo de la cantidad máxima especificada por la restricción, Por ejemplo, la holgura de 1,750 para la restricción 4. muestra que el uso del componente 1 se encuentra 1,750 galones por debajo de la cantidad máxima del componente 1 que se hubiera podido utilizar en la producción de los 10.000 galones de la gasolina normal. Si la restricción de especificación del producto es del tipo ≥ una variable de excedente muestra los galones del componente que se utilizan por encima de la cantidad mínima especificada por la restricción de mezclado. Por ejemplo. el excedente de 4.750 para la restricción 5 muestra que el componente 2 se utiliza en 4.750 galones por encima de la cantidad mínima de ese componente 2 que se hubiera podido utilizar en la producción de los 10.000 galones de gasolina normal. NOTAS Y COMENTARIOS Una forma conveniente de definir las variables de decisión en un problema de mezclas es utilizar una matriz en la que los renglones correspondan a las materias y las columnas correspondan a los productos finales. Por ejemplo. en el problema de mezclado de la Grand Strand se podrían definir las variables de decisión de la siguiente manera; Materias Primas

Componente Componente Componente

1 2 3

Gasolina normal

x1r x2r x3r

Gasolina extra

x1p x2p x3p

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Existen dos ventajas con este método: (1) ofrece una forma sistemática de definir las variables de decisión para cualquier problema de mezcla. (2) es una imagen visual de las variables de decisión en términos de la forma en la que se relacionan con las materias primas. los productos. y entre sí.

ANÁLISIS GLOBAL DE DATOS El análisis global de datos (AGD) (DEA. en inglés. de data envelopment analysis) es una nueva aplicación de la programación lineal que se ha estado utilizando para medir la eficiencia relativa de unidades de operación con las mismas metas y objetivos. Por ejemplo. El AGD se ha utilizado para medir la eficiencia relativa de expendios de ''comida instantánea" (fast food) pertenecientes a la misma cadena. En este caso, la meta del AGD consistía en identificar los expendios ineficientes que debían programarse para realizar mayores estudios y, si fuera necesario, emprender acciones correctivas. Mediante otras aplicaciones del AGD se han medido las eficiencias relativas en hospitales, bancos, tribunales, escuelas, etcétera. En estas aplicaciones se midió el desempeño de cada hospital, banco, tribunal o escuela, en relación con el desempeño de todas las unidades operativas pertenecientes al mismo sistema.

Las unidades de operación de la mayor parte de las organizaciones tienen insumos múlti ples, tales frecuencia resulta difícil a los es determinar qué unidades operativas son ineficientes para convertir sus insumos múltiples en productos múltiples. Es aquí donde el análisis global de datos ha probado ser una útil herramienta istrativa. El método del AGD utiliza un modelo de programación lineal para constituir una unidad operativa compuesta e hipotética, con base en todas las unidades del grupo de referencia. Se determinan los resultados de tal unidad calculando un promedio ponderado de los resultados de todas las unidades de grupo de referencia. Las restricciones del modelo de programación lineal requieren que todos los resultados de la unidad compuesta sean mayores que o iguales a los resultados de la unidad que se evalúa. Si se puede probar que los insumos para la unidad compuesta son inferiores a los insumos para la unidad que se evalúa, se tiene que la unidad citada obtiene el mismo resultado (o mayor) con menos insumos. En este caso, el modelo señala que la unidad compuesta es más eficiente que la unidad evaluada. En otras palabras, la unidad que se evalúa es menos eficiente que la unidad compuesta. Como la unidad en cuestión se basa en todas las unidades del grupo de referencia, puede calificarse a la unidad en evaluación como relativamente indeficiente cuando se la compara con las otras unidades del grupo.

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Evaluación del desempeño en hospitales Se procede a evaluar la ilustración del análisis global de datos para valorar el desempeño de un grupo de cuatro hospitales. En el ejemplo se consideran tres medidas de insumos y cuatro medidas de resultados. Tales medidas son las siguientes:

Medidas de insumos: 1. El número de elementos del personal, equivalentes, de tiempo completo y que no son médicos. 2. La cantidad que se invierte en suministros 3. El número de díascama disponibles. Medidas de los resultados: 1. Días-paciente de servicio según Medicare* General

Universitario Distrital

Estatal

Medida del insumo Personal no medico equivalente de tiempo completo

285.20

162.30

275.70

210.40

Gastos en suministros (miles) Días-cama disponibles (miles)

123.80 106.72

128.70 64.21

348.50 104.10

154.10 104.04

2. Días-paciente de servicios que no están bajo Medicare. 3. Número de enfermeras en capacitación. 4. Número de médicos internos en capacitación. *N. del T. Medicare es un seguro de gastos médicos patrocinado en parte por el gobierno de Estados Unidos.

Recursos anuales que se consumen (insumos) en los cuatro hospitales Hospital

Servicios anuales que ofrecen (resultados) los cuatro hospitales Hospital

Medida del insumo Días-paciente con Medicare (miles) Días-paciente sin Medicare (miles) Enfermeras en capacitación Médicos internos en capacitación

Universitario

Distrital

Estatal

48.14

34.62

36.72

33.16

43.10

27.11

45.98

56.46

253 41

148 27

175 23

160 84

General

Se presentan resúmenes de las medidas de los insumos y de los resultados para un periodo de cuatro años en cada hospital. Enseguida se muestra la forma en la que puede utilizarse el AGD con

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estos datos para identificar cualquier hospital relativamente ineficiente. Al aplicar el AGD, será necesario desarrollar un modelo de programación lineal para cada hospital cuya eficiencia se desee evaluar. En el análisis que-sigue, se desarrolla un modelo que puede emplearse para valorar la eficiencia relativa del Hospital Distrital (en el Problema 26 del final del capítulo se pide desarrollar un modelo para evaluar la eficiencia relativa del Hospital General). Al elaborar el modelo de programación lineal para el Hospital Distrital, las ponderaciones que se utilizan para construir al hospital compuesto son las variables. Estas se definen de la siguiente manera: wg = ponderación aplicada a insumos y resultados del Hospital General wu = ponderación aplicada a insumos y resultados del Hospital Universitario we = ponderación aplicada a insumos y resultados del Hospital de Distrito ws = ponderación aplicada a insumos y resultados del Hospital Estatal

Como se mencionaba, se utilizarán los pesos para determinar los insumos y los resultados para el hospital compuesto hipotético. Las relaciones de insumos/resultados que se incluyen en el modelo tendrán la siguiente forma general: insumos / ⎛ ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ resultados en ⎜ ⎟=⎜ ⎜ el hospital compuesto ⎟ ⎜ el ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ ⎜ +⎜ ⎜ el ⎝

insumos / insumos / ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ + resultados en wg resultados en ⎟ ⎜ ⎟ wu ⎟ ⎜ ⎟ hospital general ⎠ ⎝ el hospital universitario ⎠ insumos / ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ + wc resultados en ⎟ ⎜ ⎟ ws ⎟ ⎜ ⎟ Distrital ⎠ ⎝ el hospital estatal ⎠

insumos / resultados en hospital

Al plantear el modelo de programación lineal de AGD. se utiliza la expresión anterior para desarrollar una restricción para cada medida de los insumos y para cada medida de los resultados. El calcular los pesos para los cuatro hospitales que conforman el hospital compuesto, el modelo de programación lineal de AGD requerirá que la suma de laS ponderaciones sea igual a la unidad. Por ello, para el ejemplo de los cuatro hospitales, la primera restricción será: wg + wu + wc + ws = 1

Utilizando la relación general de insumos/resultados para cada una de las cuatro medidas de los resultados, las cuatro restricciones de resultados para el modelo de AGD se escriben de la siguiente manera:

55



48.14wg + 34.62wu + 36.72wc + 33.16ws ≥ 36.72 Medicare - 43.1Owg + 27.11wu + 45.98wc + 56.46ws ≥ 45.98 Sin Medicare 253wg + 148wu + 175wc + 160ws ≥ Enfermeras 41wg + internos

27wu +

23wc +

84ws ≤

23

Con

175

Médicos Resultados

para el Resultados para el Hospital Compuesto

Hospital

Distrital

Las restricciones anteriores requieren que la solución de programación lineal proporcione ponderaciones, de manera que cada resultado para el hospital compuesto sea mayor que o igual a cada uno de los cuatro resultados del Hospital Distrital. Si se puede obtener una solución que satisfaga las restricciones de los resultados, entonces el hospital compuesto produce cuando menos la misma cantidad de cada resultado que el Hospital Distrital. Después es necesario considerar las tres medidas de insumos. El modelo de programación lineal de AGD contiene la variable E, que determina la fracción de los insumos del Hospital de Distrito que el hospital compuesto requiere. El uso de E, a la cual se denomina índice de eficiencia, se muestra en la siguiente tabla. Recursos de entrada (insumos)

Medida de los insumos

Utilizados por el

Disponibles para el

Hospital Distrital Hospital Compuesto

Personal no médico, tiempo completo equiv. Suministros (miles) Días cama (miles)

275.70

275.70E

348.50 104.10

348.50E 104.10E

Como se muestra antes, los recursos disponibles para el hospital compuesto son simplemente un múltiplo de los recursos que se utilizan en el Hospital Distrital. Si E = 1, los recursos disponibles para el hospital compuesto son los mismos que se emplean en el Hospital Distrital. Si E es mayor que 1, el hospital compuesto tendría a su disposición proporcionalmente más recursos, mientras que si E es

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menor que 1, el hospital compuesto tendría a su disposición una cantidad proporcionalmente menor de recursos. Las restricciones de programación lineal para las tres medidas de insumos-se expresan de la siguiente manera:

285.20wg + 162.30wu +275.70wc + 210.40ws ≤ 275.70E

Personal no medico de tiempo completo equivalente

123.80wg + 128.70wu +348.50wc + 154.10ws ≤ 348.50E

Suministros

106.72wg + 104.10E

Dias-cama

64.21wu + 104.10wc + 104.04ws ≤

Insumos para el hospital compuesto Capacidades de insumos para el hospital compuesto

Si se puede encontrar una solución con E < 1e¡ hospital compuesto no requiere tantos recursos como los que necesita el Hospital de Distrito. La función objetivo para el modelo de AGD consiste en minimizar el valor de E, que equivale a minimizar los recursos disponibles-comoinsumos- para el hospital compuesto. Por ello, la función objetivo es min E La conclusión sobre eficiencia en el AGD se basa en el valor óptimo de la función objetivo para E. La regla de decisión es la siguiente: Si E = 1,

Si E < 1,

el hospital compuesto requiere tantos insumos como el Hospital Distrital. No hay evidencia de que este Hospital es ineficiente. el hospital compuesto requiere ,de menos insumos para obtener los resultados que se logran en el Hospital Distrital. El hospital compuesto es más eficiente. Por ello, se puede decir que el Hospital de Distrito es relativamente ineficiente.

El modelo de programación lineal de AGD para evaluar la eficiencia en el Hospital de Distrito tiene cinco variables de decisión y ocho

57



restricciones. En seguida se expresa de nuevo el modelo completo: Min E sujeta a wg

+

wu

+

wc

48.14wg

+ 34.62wu

+ 36.72wc

43.10wg

+ 27.11wu

+ 45.98wc

253wg

148wu

41wg

27wu

23wc

- 275.50E +285.20wg

+162.30wu

+275.70wc

- 348.50E +123.80wg

+128.70wu

+348.50wc

- 104.10E +106.72wg

+ 63.21wu

+104.10wc

+

175wc

ws 1 + 33.16ws 36.72 + 56.46ws 45.98 + 160ws 175 + 84ws 23 + 210.40ws 0 + 154.10ws 0 + 104.04ws 0

= ≥ ≥ ≥ ≥ ≤ ≤ ≤

wg, wu, wc, ws ≥ 0

SOLUCIÓN ÓPTIMA Valor de la función objetivo = 0.905238 Variable

Costos reducidos

Valor ---------------------- ------------------------

E WG WU WC WS

0.905238 0.212266 0.260447 0.000000 0.527286

Restricción

Holgura/Excedente

---------------------- ------------------------

1 2 3 4 5 6 7 8

0.000000 0.000000 0.000000 1.615387 37.027027 35.642986 174422.297000 0.000000

----------------------

0.000000 0.000000 0.000000 0.094762 0.000000 Precios duales ----------------------

0.238886 -0.000014 -0.000014 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000010

58



Solución por computadora del análisis global de datos. para el problema del modelo del Hospital de Distrito, utilizando The Management Scientist. Obsérvese que en el planteamiento anterior del modelo, se han pasado al lado izquierdo de las tres restricciones de insumos los términos que incluyen a E, porque ésta es una variable de decisión. Se resolvió el programa lineal anterior utilizando el paquete de computación The Management Scientist. Se muestra un listado de computadora con la solución. En primer lugar, se observa que la función objetivo muestra que la calificación de la eficiencia para el Hospital Distrital es 0.905. Esto indica que el hospital compuesto puede obtener cuando menos el mismo nivel de cada resultado que lo que obtiene el Hospital de Distrito, teniendo a su disposición no más del 90.5% de los recursos de insumos que requiere el Hospital Distrital. El hospital compuesto es más eficiente, el análisis de AGD ha identificado que el Hospital de Distrito es relativamente ineficiente. A partir de la solución de la Fig. 4.8, se observa que el hospital compuesto está formado a partir del promedio ponderado del Hospital General (wg = 0.212), Hospital Universitario (wu = 0.260) Y Hospital Estatal (ws = 0.527). Se determina cada insumo y cada resultado para el hospital compuesto mediante el mismo promedio ponderado de los insumos y los resultados de estos tres hospitales. La columna "Holgura/Excedente" ofrece información adicional sobre la eficiencia del Hospital de Distrito, en comparación con el hospital compuesto. Específicamente, el hospital compuesto tiene cuando menos la misma cantidad de resultados que el Hospital de Distrito (restricciones 2-5) y ofrece 1.6 más enfermeras en capacitación (el excedente de la restricción 4) y 37 médicos internos más en capacitación (excedente de la restricción S). La holgura de O para la restricción 8 muestra que el hospital compuesto emplea aproximadamente 90.5% de los díascama que utiliza el Hospital de Distrito. Los valores de holgura para las restricciones 6 y 7 muestran que el hospital compuesto utiliza menos de 90.5% de los recursos de suministros y del personal de tiempo completo que no sean médicos en el Hospital de Distrito. Resulta evidente que el hospital compuesto es más eficiente que el Hospital Distrital, y que se justifica concluir que este Hospital es relativamente ineficiente en comparación con los hospitales del grupo .Con los resultados del análisis de AGD, los es del hospital deben examinar sus operaciones para determinar la forma en la que se pueden utilizar de manera más efectiva los

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recursos del Hospital de Distrito.

NOTAS y COMENTARIOS 1. Se debe recordar que el propósito del análisis global de datos consiste en identificar unidades operativas que son relativamente ineficientes. El método no necesariamente identifica las unidades operativas que son relativamente eficientes. El simple hecho de que el índice de, eficiencia sea E = 1, no permite concluir que la unidad que se analiza es relativamente eficiente. De hecho, no puede decidirse que cualquier unidad que tenga los mayores resultados en cualquiera de las medidas correspondientes es relativamente ineficiente. Por ello, sigue siendo posible mejorar la eficiencia absoluta de las unidades que no son relativamente ineficientes. 2. Si existe alguna unidad que mostrará que todas las demás ineficientes. Este sería el caso mayor parte de los resultados cantidad de insumos. En la extremadamente raros.

sea supereficiente, el AGD unidades son relativamente si la unidad que produce la consume también la menor práctica, estos casos son

3. Al aplicar el análisis global de datos a problemas que implican grupos grandes de unidades operativas, los practicantes han encontrado que aproximadamente 50% de las unidades operativas pueden clasificarse como ineficientes. Comparar cada unidad relativamente ineficiente con las unidades que contribuyen a la unidad compuesta puede resultar útil para comprender la forma en la que se puede mejorar hi operación de cada unidad relativamente ineficiente.

RESUMEN En este capítulo se expuso una amplia gama de aplicaciones para ilustrar la forma en que la programación lineal puede ayudar en el proceso de toma de decisiones. Utilizando situaciones, se plantearon y resolvieron ¡Problemas en las áreas de mercadotécnica, finanzas y istración de la producción. Además, se mostró la forma en que

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puede aplicarse la programación lineal a problemas de mezclas, y al área relativamente nueva del análisis global de datos. Muchas de las ilustraciones que se presentaron en este capítulo son versiones en pequeña escala de situaciones reales en las que se ha aplicado la programación lineal. En dichas aplicaciones, el problema puede no estar planteado en forma tan concisa, los datos para el problema pueden no estar tan fácilmente disponibles, y es muy probable que el problema implique más variables de decisión y/o restricciones. Sin embargo, un estudio exhaustivo de las aplicaciones de este capítulo es un buen comienzo para una persona que espera en algún momento dado estar en posibilidades de aplicar la programación lineal a problemas reales. Se incluyó un listado del paquete de computación The Management Scientist (o TMS) para muchas de las aplicaciones que se presentaron en el capítulo. Los resultados por computadora ofrecen una oportunidad para analizar la información correspondiente y para hacer interpretaciones con base en el análisis de sensibilidad.

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