Ejercicios-de-estadistica-en-minitab.docx 2b1v14

La estadística paramétrica es una rama de la estadística inferencial que comprende los procedimientos estadísticos y de decisión que están basados en las distribuciones de los datos reales. Estas son determinadas usando un número finito de parámetros. Esto es, por ejemplo, si conocemos que la altura de las personas sigue una distribución normal, pero desconocemos cuál es la media y la desviación de dicha normal. La media y la desviación típica de la distribución normal son los dos parámetros que queremos estimar. Cuando desconocemos totalmente qué distribución siguen nuestros datos entonces deberemos aplicar primero un test no paramétrico, que nos ayude a conocer primero la distribución. La mayoría de procedimientos paramétricos requiere conocer la forma de distribución para las mediciones resultantes de la población estudiada.

Ejemplo: se realizó un estudio en el instituto tecnológico de Pochutla para saber los pesos de los alumnos, se tiene una población de 40 alumnos y una muestra de 4 a continuación realizaremos el muestreo aleatorio con el programa minitab. Paso 1. Capturar los datos en minitab como se muestra a continuación:

Paso 2. Seleccionar en la barra de menú la opción de Calc en seguida se despliega una ventana y seleccionamos la opción de datos aleatorios.

Paso 3. En seguida se despliegara una ventana en la cual seleccionamos la opción de muestreo por columna.

Paso 4. Se abrirá una ventana en el centro en donde se introducirán los siguientes valores 

Tamaño de la muestra.

En este, se introducirá en tamaño de la muestra que para nuestro caso es “4” 

Desde las columnas

En este espacio damos un click sobre el recuadro en blanco y al instante en un recuadro del lado izquierdo se activaran las opciones (variables) que para nuestro ejemplo son dos “personas y peso”. Seleccionamos cada una de las variables que introdujimos con la opción de seleccionar que aparece en la parte inferior del recuadro, o bien con doble click sobre cada una de las variables. 

Almacenar muestras en:

En este apartado describiremos las celdas en la cual queramos que aparezcan los resultados de nuestros datos, en nuestro ejemplo, escribimos C3,C4.

Paso 5. Seleccionamos el botón de aceptar en la parte inferior de la ventana, y automáticamente generara el muestreo aleatorio.

2. DISTRIBUCIONES DE MUESTREO PARA LA MEDIA. Es la distribución de probabilidad de una estadística; es una función de las variables aleatorias que se observan en la muestra, que resulta de un número infinito de muestras aleatorias de tamaño, mutuamente independientes; provenientes de la población de interés. Ejemplo: una persona arrojo un dado 50 veces, la probabilidad de que una de las caras del dado caiga del 1 al 6, se desconoce la media y la desviación estándar de estos datos. A continuación se presenta los pasos para generarla con el programa de minitab. Paso 1. Buscamos en la barra de menú la opción Calc y se despliega una ventana.

Paso 2. De la ventana antes mencionada en el paso 1. Seleccionamos la opción de datos aleatorios, ala derecha se despliega una barra y seleccionamos la opción de distribución entera.

Paso 3. Se genera una ventana en la cual se requisitaran los siguientes datos



Numero de filas de datos que se generaran.

En este apartado se introducen los datos, que en nuestro ejemplo serán 50 intentos que son los tiros de los dados. 

Almacenar en columnas.

En este apartado se introducen la muestra, que en nuestro caso son 20 personas por lo cual escribimos en el recuadro la función de C1- C20. 

Valor mínimo.

Introducimos el valor mínimo que en nuestro caso es 1. 

Valor máximo.

Introducimos el valor máximo que para nuestro ejemplo es 6.

Paso 5. Aceptar enseguida se generara los datos aleatorios.

Paso 6. Buscamos en la barra de menú la opción de estadística y seleccionamos estadística básica en seguida se despliegara una barra en la cual ejecutaremos la opción de almacenar estadística descriptiva.

Paso 7. Aparecerá una ventana en la cual introduciremos lo siguiente: 

Variables.

Adjudicándolo a nuestro ejemplo escribimos lo siguiente C1-C20.

Paso 8. Seleccionamos el botón estadística que aparece en la parte inferior del recuadro. Automáticamente se abrirá una nueva ventana en la cual seleccionamos únicamente la opción de media, y le damos un click en aceptar.

De esta manera se obtienen las medias de cada una de las columnas, en nuestro caso 20 columnas.

Paso 9. Insertamos una nueva columna en C21 dando click derecho y seleccionando la opción de insertar columna.

Paso 10. En la barra de menú seleccionamos la opción de datos y damos en la opción de Apilar seleccionamos Apilar columna

Paso 11. Aparecerá un cuadro en el cual introduciremos lo siguiente: 

Apilar las siguientes columnas.

En nuestro caso nuevamente escribimos en el recuadro C1-C20, damos click en la opción de hoja de trabajo actual, seguido en el recuadro escribimos C21 y damos click en aceptar.

De esta manera aparecerán los 1000 datos en una sola columna. Paso 12. Nos vamos al menú de gráfica y seleccionamos histograma

Paso 13. Aparecerá un recuadro y seleccionamos histograma con ajuste

De esta manera nos damos cuenta que los datos salen un número muy similar de veces.

3. ESTIMACIÓN PUNTUAL. La estimación de parámetros tiene por finalidad asignar valores a los parámetros poblacionales a partir de los estadísticos obtenidos en las muestras. Dicho de otra manera, la finalidad de la estimación de parámetros es caracterizar las poblaciones a partir de la información de las muestras (por ejemplo, inferir el valor de la Media de la población a partir de los datos de la muestra). Ejemplo: en el proceso de evaluación del semestre pasado en el grupo A1, Una de las variables criticas es que el promedio de los alumnos. se toma una muestra aleatoria de n=10 estudiantes los datos obtenidos son los siguientes: 9.7,7.2,8.5,9.3,8.8,9.2,8.7,9.6,7.8,7.9 con base en estos datos se interesa estimar puntualmente y por intervalo la media y la desviación estándar para la población de alumnos del grupo A1 el NC = 95%. Paso 1. Capturar los datos en minitab en nuestro caso los promedios de los alumnos.

Paso 2. Nos vamos a menú estadística básica y seleccionamos t de 1 muestra.

paso 3. Del paso 2 se apertura una ventana 

Muestra en columna

En el recuadro en blanco damos un click y en la barra izquierda seleccionamos la variable que en ejemplo es promedio de los alumnos.

Paso 4. Seleccionaos el botón de opciones y verificamos el nivel de confianza que para el ejemplo es de 95% damos click en Aceptar y nuevamente en Aceptar. Y obtenemos los resultados. T de una muestra: PROMEDIO DE LOS ALUMNOS

Variable PROMEDIO DE LOS ALUMNOS

N 10

Media 8.670

Desv.Est. 0.827

Error estándar de la media 0.262

IC de 95% (8.078, 9.262)

Nivel de confianza: 95% podemos afirmar quela desviacion estandar poblacional del proceso de evaluacion en cuanto a las calificaciones obtenidas se encuentranentre entre 0.827 y 0.262. Su varianza se encuentra entre 8.078 y 9.262 en el promedio de los estudiantes.

4. INTERVALO DE CONFIANZA PARA MEDIAS POBLACIONALES.

Dada una variable aleatoria con distribución Normal N(μ σ, el objetivo es la construcción de un intervalo de confianza para el parámetro μ, basado en una muestra de tamaño n de la variable. Desde el punto de vista didáctico hemos de considerar dos posibilidades sobre la desviación típica de la variable: que sea conocida o que sea desconocida y tengamos que estimarla a partir de la muestra. El caso de σ conocida, ya comentado anteriormente, no pasa de ser un caso académico con poca aplicación en la práctica, sin embargo es útil desde el punto de vista didáctico. Ejemplo: en el proceso de inyección de plástico una característica de calidad del producto (disco) es su grosor, el cual debe ser de 1.20 mm con una tolerancia de ± 0.10 mm. Asi el grosor del disco debe de estar dentro de la especificación inferior El = 1.10 y la superior ES=1.30, para considerar que el proceso de inyección fue satisfactorio. Para evaluar esta característica de calidad, durante una semana se hace un muestreo sistemático en una línea de producción, y se obtiene 25 muestras de tamaño 5 cada una. Al final se considera la muestra de n= 125 y se obtiene la media maestral de 1.179 mm. Y la varianza de 0.00071 (S =0.026645825) Paso1. En la barra superior de menú damos click en la opción de estadística, posteriormente nos posicionamos en la opción de estadística básica, en seguida se desprenderá una barra de opciones y seleccionamos Z de 1 Muestra.

Paso 2. Al seleccionar las opciones antes mencionadas se abrirá una ventana en la cual daremos un click en la opción de Datos resumidos.

Paso 3. Requisitamos lo siguiente la tamaño de muestra que para nuestro ejemplo es de 125, la media que es de 1.179 y la desviación estándar de S =0.026645825. en la parte inferior derecha aparecerá un recuadro de opciones,

damos click y verificamos que el nivel de confianza sea de 95% y damos en aceptar.

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA PROPORCIONES. En la inferencia sobre una proporción el problema se concreta en estimar y contrastar la proporción p de individuos de una población que presentan una determinada característica A (proporción de votantes a un partido político, proporción de parados,). El problema se modeliza mediante una variable dicotómica que toma el valor 1 si se presenta la característica de interés y 0 en caso contrario, esto es, una variable de Bernoulli, ,de la que se dispone de una muestra de tamaño n. Entonces, la proporción poblacional p no es otra cosa que la media poblacional de dicha variable, estimándose con la correspondiente proporción muestral o media muestral,

Ejemplo: en una muestra aleatoria simple de 400 individuos, 100 de las respuestas fueron sí. a) de la estimación personal proporcional de individuos cuya respuesta será si. B) calcule el intervalo de confianza de 95% para la proporción poblacional. Paso 1. En la barra de menú damos click en estadística y posicionamos el culsor en estadística básica se despliega de lado derecho una barra y seleccionamos 1 P proporción.

Paso 2. Se abrirá una ventana y damos click en la opción de datos resumidos, y requisitamos el número de eventos que para nuestro caso es 100 y el número de ensayo que para el ejemplo es de 400.

Paso 3. Damos click en aceptar y obtenemos el intervalo de confianza. Prueba e IC para una proporción Muestra 1

X 100

N 400

Muestra p 0.250000

IC de 95% (0.208302, 0.295442)

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA VARIANZAS.

Dada una variable aleatoria con distribución Normal N(μ σ, el objetivo es la construcción de un intervalo de confianza para el parámetro σ, basado en una muestra de tamaño n de la variable. A partir del estadístico

Ejemplo: se tienen dos muestras de tiros de golf en la cual se tienen los siguientes datos: M1 5 8 9 12 2 6 9

M2 4 7 3 7 9 4 13

Determinar la varianza. Paso 1. Insertamos los datos en minitab de la muestra 1 y 2 Paso 2. En la barra de menú damos click en estadística y posicionamos el cursor en estadística básica de lado derecho se despliega una barra y seleccionamos a opción de 1 Varianza.

Paso 3. Se abrirá una ventana en la cual seleccionamos muestras en columnas.

Paso 4. Damos un click en el recuadro en Bco. De columnas y seleccionamos las dos opciones que aparecen en el recuadro del lado izquierdo, dando doble click a cada una de ellas.

Paso 5. Damos click en realizar prueba de hipótesis y enseguida se activara el recuadro que se encuentra de bajo colocamos el cursor y seleccionamos varianza hipotética, del lado derecho en la opción de valor colocamos 1.

Paso 6. Damos un click opciones para verificar el nivel de confianza que para nuestro caso es de 95%.

Paso 7. Damos click en aceptar y nos arroja e resultado. Prueba e IC para una varianza: M1, M2 Método Hipótesis nula Hipótesis alterna

Sigma-cuadrado = 1 Sigma cuadrado no = 1

El método de chi-cuadrada sólo se utiliza para la distribución normal. El método de Bonett se utiliza para cualquier distribución continua. Estadísticas Variable M1 M2

N 7 7

Desv.Est. 3.25 3.50

Varianza 10.6 12.2

Intervalos de confianza de 95% Variable M1 M2

Método Chi-cuadrada Bonett Chi-cuadrada Bonett

IC para Desv.Est. (2.10, 7.16) (1.76, 8.33) (2.25, 7.70) (1.63, 10.43)

IC para varianza (4.4, 51.3) (3.1, 69.3) (5.1, 59.3) (2.7, 108.7)

Pruebas Variable M1 M2

Método Chi-cuadrada Bonett Chi-cuadrada Bonett

Estadística de prueba 63.43 — 73.43 —

GL 6 — 6 —

Valor P 0.000 0.003 0.000 0.007

DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT.

Supóngase que se toma una muestra de una población normal con media y varianza Si es el promedio de las n observaciones que contiene la muestra aleatoria, entonces la

distribución población reemplaza

es una distribución normal estándar. Supóngase que la varianza de la  es desconocida. ¿Qué sucede con la distribución de esta estadística si se por s? La distribución t proporciona la respuesta a esta pregunta.

La media y la varianza de la distribución t son respectivamente.

 y

para

>2,

La siguiente figura presenta la gráfica de varias distribuciones t. La apariencia general de la distribución t es similar a la de la distribución normal estándar: ambas son simétricas y unimodales, y el valor máximo de la ordenada se alcanza en la media  Sin embargo, la distribución t tiene colas más amplias que la normal; esto es, la probabilidad de las colas es mayor que en la distribución normal. A medida que el número de grados de libertad tiende a infinito, la forma límite de la distribución t es la distribución normal estándar.

Propiedades de las distribuciones t 1. 2. 3. 4.

Cada curva t tiene forma de campana con centro en 0. Cada curva t, está más dispersa que la curva normal estándar z. A medida que aumenta, la dispersión de la curva t correspondiente disminuye. A medida que , la secuencia de curvas t se aproxima a la curva normal estándar, por lo que la curva z recibe a veces el nombre de curva t con gl =

La distribución de la variable aleatoria t está dada por:

Ejemplo: en un estudio sobre presión sanguínea se mide la presión diastólica de 37 pacientes hipertensos al principio del estudio, se someten a tratamiento y acabo de dos semanas se mide de nuevo la presión diastólica. La variable descenso (presión basal – presión a as dos semanas) presenta una media en la muestra de 2,36 mm Hg y una desviación estándar de 4,80 ¿puede decirse, con un nivel de significación del 5% que e tratamiento produce un descenso estadísticamente significativo en lapresion diastólica media de los pacientes hipertensos? TC= 3,35 Paso 1. Vamos al menú de estadística colocamos el cursor en estadística básica y seleccionamos t de 1 muestra.

Paso 2. Se abrirá una ventana damos click en datos resumidos y en seguida se activaran los recuadros donde insertaremos: tamaño de la muestra que para el ejemplo es de 37, media de 2.36 y desviación estándar 4.80. 2.1. Damos un click en realizar prueba de hipótesis y en el recuadro en Bco. insertamos la media hipotética que en el ejemplo es de 5.

Paso 3. Damos click en opciones se abrirá una ventana donde podemos poner a confiabilidad que para el ejemplo es de 95% y seleccionamos la hipótesis alternativa de no es igual a damos aceptar.

Paso 4. Obtención de resultados T de una muestra Prueba de mu = 5 vs. no = 5

N 37

Media 2.360

Desv.Est. 4.800

Error estándar de la media 0.789

IC de 95% (0.760, 3.960)

T -3.35

P 0.002

Conclusion:  el descenso medio de la presion diastolica basada tras 2 semanas de tratamiento esta entre 0.76 y 3.96 mm Hg con un nivel de confianza del 95 %.  La diferencia de medias es significativamente distinta de cero (p= 0.002): osea que hay una diferencia estadisticamente entre la media basal y la media al cabo de 2 semanas.

Paso 5. Para graficar. Seleccionamos en la barra de menú gráfica y buscamos grafica de distribución de probabilidad y damos click.

Paso 7. Se abrirá una ventana con los tipos de graficas seleccionamos con un click la de ver probabilidad y damos click en aceptar.

Paso 8. Enseguida se abrirá una ventana en la cual seleccionaremos la distribución para el ejemplo es t y los grados de libertad que es de 37. Damos aceptar.

Grafica.