Ejemplos Del Reglamento Aci- 318-83 6c2lg

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stitU1D mexicano del cemento y del concreto, a.c.

P R E S E N T A C ION: El IMCYC es una asociación patrocinada ~éxico,

civil fundada en 1963,

por la mayor parte de la industria

con el fin de difundir

todo lo relativo

cementera

de

el más amplio conocimiento

al cemento, que conduzca

de

a obtener una ma--

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yor aplicación

y mejor anrovechamiento

Sus objetivos

fundamentales

del mismo.

son:

Promover y divulgar un mayor conocimiento y un uso más racional y económico del cemento, del concreto y sus productos. Organizar congresos, conferencias y estudios relacionados con cemento, concreto y sus productos. Promover y realizRr trabajos de investiqación sobre problemas relacionados con cemento y concreto y fomentar nuevas aplicaciones. Proporcionar, difundir y publicar información sobre los usos del cemento y sus productos afines. Fomentar la creación de industrias basadas nuevos usos del cemento y del concreto. Servir como organo de consulta relacionados con el concreto. Prestar

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RESUMEN

SUMMARY

El primer Reglamento de las Construcciones del ACJ apareció en 1909 y desde esa fecha se han realizado una serie de cambios. adiciones y mejoras hasta llegar a la actual versión de 1983. En este artículo se analiza brevemente la historia del Reglamento y cómo se ha hecho 17UÚ extenso, 'más complicado y más complejo; además. se tratan aspectos de segt4ridad. serviaabilidad y econom[a. os( como los cambios que han JUfrido al com!r de ll. ~a,los

The first AC1 Building Code was issued ;n 1909 . and since then a series of changes. additions, and improvements hove been de~'eloped as far as the present 1983 version. /n this papero a briej'history ol the codeo and how it has become Jonger. more complicated, and more complex is analysed. Also. it deols with saj'ety. serviciability and economy. and with the lvay these hove changed over the years.

•

11a. Conferencie Jesús Berrera dictada por el autor en el 120. Seminario Internacional ACI.IMCYC. el 6 y 7 de diciembre de 1984 .

celebrado en la ciudad de Monterrey. N. L..

•• Profesor Emérito de Ingenierfa Civil de la Univer~idad de IlIinois en UraJna-Chilrnpaign. E.U.A.

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INTRODUCCION Es para mi un placer y un privi'legio acudir de nuevo a un Simposio del IMCYC y presentar la 11 a. Conferencl¡ Jesus Barrera. Como algunos de ustedes recordarán, asistí hace justamente 10 años, cuando el profesor Nathan Newmark presentó la 1a. Conferencia Jesús Barrera. En esa ép.oca yo era presidente del Instituto Americano del.Concreto y fui invitado para presentar al Profesor Newmark, quien había sido .mi maestro, mi amigo y mi colega. Me complace que ahora, diez años después, Ignacio Martín, el primero de mis alumnos en convertirse en presi. dente del ACI, .haya sido elegido para hacer mi presentación. Estoy muy orgulloso de Ignacio y me complace que pueda estar hoy aqu (. Esta ocasión marca otro aniversario importante. Hace casi exacta. mente 25 años la Sra. Siess y yo visitamos México por primera vez en octubre de 1960, para asistir a la primera convención del ACI que se celebraba en este país. En dicha convención dicté una conferencia titulada "Investigación, reglamentos de construcción y práctica de la ingenier ía". Es posi ble que algunos de quienes hoy están presentes hayan escuchado dicha conferencia, aunque la mayoría de ustedes no se ven de edad tan avanzada como para haber asistido a dicha reunión. Si no estuvieron, tal vez la hayan leído, ya que fue publicada tanto en Estados Unidos como en México. Me siento orgulloso de dicha conferencia; creo que es la mejor que haya dictado. Pero lo que es más importante: . expresaba algunas observaciones sobre cómo y por qué se publica el Reglamento ACI y por qué es importante para el ingeniero que desea diseñar edificios de concreto seguros, útiles y económicos. . Aunque mucho de lo que dije en aquella ocasión aún es válido e 18

importan te hoy en día -después de 25 años y 4 versiones del Reglamento ACI- no voy a repetir lo que entonces dije; tengo cosas nuevas que deci r. Dos son las razones por las que eleg( el Reglamento ACI como tema de esta plática. Primero, porque ha sido el tema de este simposio y pensé que les agradaría escuchar algunos comentarios filosóficos y en general no técnicos, como un cambio de las presentaciones técnicas de Jos últimos dos días. Y segundo, porque durante los últimos 32 años he dedicado una parte relativamente grande de mi tiempo a trabajar en el Comité ACI 318, y no hay mucho más de lo que pueda hablar exc~pto de alguna vieja investigación sobre concreto o de mis actividades relacionadas con la seguridad de plantas de energía nuclear. Aunque el título de mi conferencia contiene las palabras "Qué, Por qué y Cómo", todas con signos de interrogación, no vaya tratar directamente dichas preguntas particulares en esta conferencia. En vez de ello, voy a hablar un poco de la hi!>toria del Reglamento y de cómo se ha hecho más extenso, más complicado y más complejo. y después vaya. hablar sobre la manera en que el Reglamento trata aspectos de seguridad, serviciabilida:1 y econom(a, y los cambios que han sufrido éstos al correr de los años. HISTORIA Antes que nada, un poco de historia. Además de los aniversarios que he mencionado, probablemente ustedes saben que en 1984 el Instituto Americano del Concreto cumple 80 años. El actual ACI fue fundado en 1904 con el nombre de Asociación Nacional de s de O:mentr,. Apenas un año después, se organizó un comité para elaborar un reglamento de construccio-

nes o reglas de construcción para concreto reforzado. Se llamaba "Comité de leyes y ordenamientos ti porque en Estados Unidos un reglamento de construcciones es una ley, usualmente de una ciudad o de un estado. Este comité expidió su primer informe sobre "Reglas estándar de construcción para el uso de concreto reforzado" en 1909, las cuales fueron adoptadas como normas en 1910. Este fue el primer Reglamento del ACI. En Jos años siguientes se propusieron mlJchas modificaciones, pero ninguna fue adoptada sino hasta 1920. La versión siguiente se adoptó en 1928 como "Norma tentativa", a la que siguieron otras en 1936, 1941,1947,1951,1956,1963, 1971,1977 Y 1983, que es de la que se ha estado hablando en este simposio. EXTENSION DEL REGLAMENTO Cada una de estas 12 versiones del Reglamento ha incluido cambios, adiciones y mejoras, que representan nuevos conocimientos adquiridos por medio de la investigación o por experiencia. Este desarrollo no siempre ha seguido claramente una dirección. Por ejemplo, en el primer reglamento el diseño por flexión se basó en la resistencia última y no en esfuerzos de trabajo. Esto, sin embargo, cambió pronto y no se regresó al diseño por resistencia sino hasta 1956 cuando se introdujo como Apéndice al Reglamento. En 1963, se cambió del Apéndice al texto del Reglamento y se dejaba a elección del diseñador emplear el diseño por resistencia o por esfuerzos de trabajo. En 1971, el Reglamento en sí sólo indura diseño por resistencia y el diseño por esfuerzos de trabajo se pasó al Apéndice, donde ha permanecido hasta la fecha. Uno de los cambios más importantes que con el tiempo ha sufri. do el Reglamento es el notable in-

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cremento de su extensión. Aquí tengo un ejemplar del Reglamento . de 1936; sólo tiene 38 páginas y alrededor de 28 000 palabras de texto, tablas y ecuaciones. En comparación, tenemos el Reglamento de 1983 con 96 páginas y alrededor de 74 000 palabras. Como quiera que se mire, es alrededor de dos veces y media más extensos que el de 1936. Otra comparación que resulta aún más notoria es el nrjmero de ecuaciones. El Reglamento de 1936 ten ía un total de 31 ecuaciones numeradas; en el Reglamento de 1983 hay 90. Y casi la mitad de las ecuaciones en el Reglamento de 1983 -42 para ser exactos- están en el cap ftulo sobre cortante. En 1936, el capítulo sobre cortante sólo tenía dos páginas e inclu ía nada más 4 ecua. ciones. Ahora tenemos ¡once páginas y media, y 42 ecuaciones! ¿Por qué se ha hecho tan extenso el Reglamento? Existe una razón obvia: se ha incrementado su aicance para cubrir nuevos tipos de construcción y nuevos materiales. Por ejemplo, el Reglamento de 1936 no con ten ía nada sobre concreto presforzado, concreto prefabricado, construcción compuesta, cascarones y placas plegadas, diseño s{smico o disposiciones para concretos ligeros. Todos estos aspectos están cubiertos en el Reglamento de 1983.

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Condiciones

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que el Reglamento parece demasiano incluidos en la versión de 1936. do complicado o demasiado comPero aun así, creo que es legítimo plejo. Hace diez años, en lasección preguntarnos si todas estas nuevas Mensajes del Presidente del AC! disposiciones realmente han hecho ¡ouma! expuse las interrogantes nuestras estructuras más seguras o respecto a lo demasido complicamenos costosas o más fáciles y económicas de diseñar que. en do o demasiado complejo. Todas las personas del ACI relacionadas 1936. ¿Cuántas fallas por cortante con reglamentos o normas han o por tensión hemos experimentado? ¿Cuántas se han evitado por el estado tratando de hacer algo resOtra razón para que creciera el aumento de nuestros requisitos de pecto a la complejidad y lo compliReglamento fue el interés por indiseño por cortante? No sé la res- cado, y el lema de esta cruzada es crementar los conocimientos, al puesta a estas preguntas; tampoco "Simplificación del Reglamento". menos me inclino a pensar así. Gran creo que alguien las sepa. Pero lo parte de la ampliación del capítúlo que me preocupa es que nadie se Durante varios años fui presidensobre cortante puede atribuirse al ha tomado el trabajo de plantearte de un subcomité del Comité enorme aumento en la cantidad de las y mucho menos tratado de 318 encargado de la simplificación investigaciones sobre esta área, contestarlas. del Reglamento. Trabajamos intensobre todo durante los últimos 25 samente pero no logramos progreaños. El Reglamento de 1983 com¿DEMAS1DO COMPLEJO O . so alguno, en parte debido a que prende disposiciones para cortanCOM PU CA DO? nadie pod ía ponerse de acuerdo te más torsión, cortante en vigas sobre lo que queríamos decir con de gran peralte, cortante por fric- Aunque hemos oído muy pocas "simplificación". ¿Queríamos simción, cortante en concreto presfor- quejas respecto a la extensión del plificar el Reglamento en sí, o Reglamento, sí hemos escuchado zado, as í como para otros aspectos REVISTA IMCYC. VOL. 22. NUM. 166/ FEBRERO / 1985

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queríamos simplificar el proceso de diseño empleado en el Reglamento? Por ejemplo, se propuso un cambio para simplificar el proceso de diseño para controlar la deflexión de vigas, pero este cambio hubiera hecho mucho más complicado al Reglamento en sí. Según mi interpretación, "complicado" se refiere a la dificultad para: entender el Reglamento, tratar de encontrar las disposiciones apropiadas, tener que localizar muchas referencias cruzadas y, lo que es más importante, tratar de comprender por qué el Reglamento exige lo que exige. No hay duda de que el Reglamento actual es culpable de todos estos pecados. Probablemente sea peor que los reglamentos anteriores sólo porque es más extenso. Y por supuesto, un reglamento nuevo es más dif(di de usar porque no es fácil encontrar lo que es nuevo o lo que ha cam biado del reglamento anterior, con el que está uno familiarizado. Espero que este Seminario sobre el nuevo Reglamento haya sido de utilidad para superar en parte esta última dificultad .

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Creo que el Reglamento puede hacerse menos complicado, es decir más fácil de usar si se mejora su organización y disposición, si se cambia ,su formato mediante el uso de árboles o tablas de decisión o quizás con el uso simplemen~ del sentido común. Algunos de nosotros hemos pensado en intentar un amplio y hasta radical reordenamiento del Reglamento. Opina~os que sería de gran ayuda, pero solo después de que uno se familiarice con él y tras haber aprendido la nueva ubicación de los temas que le interesen. Al principio podría ser tan diferente que parecería ser aún más complicado que antes. Pienso que el Reglamento puede hacerse menos complicado y

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que clara para que los métodos simples será no se empleen donde no son aplia la' cables. algo Algunos de ustedes pueden estar familiarizados con el libro recien¿Qué es complejidad? En la temente preparado por la Asociación del Cemento Portland (PCA) sección Mensajes del Presidente que mencioné antes, di una defi- bajo la dirección editorial de Gerald nición de diccionario, pero no Neville, quien fue Secretario del trataré de repetirla ahora en su Comité ACI 318 durante muchos traducción al español. Es más años. Su título es "Diseño simplifácil presentar un ejemplo. Com- ficado de edificios de concreto de plejidad es una ecuación con poca altura*. Trata de estructuras cuatro variables, como la Ecua- simples pero no es un reglamento; simplifición 11-6 para obtener la "resis- presenta procedimientos cados de diseño basados y ajustatencia al cortante proporcionada dos completamente al Reglamento por el concreto", en la que la resistencia al cortante depende de la actual. Sin embargo, logra una bueresistencia del concreto, del por- na definiCión delos tipos de estructuras -estructuras simples- a las centaje de refuerzo y del momenque es aplicable y, en la sección to y cortante de la 'sección trans-titulada' "El Reglamento Compleversal. En contraste, la Ecuación jo", proporciona una explicación 11-3 es una expresión más sencilla excelente de por qué el Reglamende la misma cantidad que comprento ACI es complejo. de sólo una variable: la resistencia del concreto. Esta es mucho más Hay' algo que podemos hacer sencilla pero, para algunas persopara que el Reglamento sea útil nas, el uso de la raíz cuadrada de para estructuras, tanto simples la resistencia del concreto en la como complejas, sin requerir el Ecuación 11-3 es todav(a consideempleo de métodos complejos en rado como complejo. todos los casos. Un ejemplo es el de las dos ecuaciones para resistenCuando se trata con fenómenos cia al cortante del concreto meny estructuras complejos, como en cionadas antes. En estas ecuaciones este Reglamento, sólo tenemos dos se presenta una alternativa. Con opciones. Podemos hacer compleuna, se puede ser simple y conserjas las cláusulas del Reglamento y vador; con la otra se puede ser más lo más correctas posibles. O podecomplejo pero menos conservador. mos hacer simples las cláusulas De hecho, puede escribirse una pero adecuadamente conservadoecuación más sencilla si se está ras. En otras palabras, para estructuras complejas no podemos ser dispuesto a limitar la resistencia simples y correctos al mismo tiem- del concreto, por ejemplo a 210 2 po .. O dicho de otra manera, si kg/cm , con lo cual se puede remplazar entonces el término igual a tUVIéramos que tratar sólo con 0.53 117 por un solo número: estructuras simples, probablemen2• 7.7 kg/cm Dudo, sin embargo, te podríamos escribir un reglamenque muchas personas quieran realto simple o, al menos más que el mente algo tan simple, al menos que tenemos ahora. Pero el probleno a ese precio. No, obstante, hay ma con un reglamento simple para estructuras simples, está en definir qué entendamos por este tipo de estructuras. Esa definición debe • Próximamente c~ar.í dl~;lonlblll 13 versIón en es~ñol editada por el IMCYC. ser lo suficientemente correcta y algún día lo será, pero no creo ocurra pronto y sé que no fácil. ¿Pero qué hay respecto complejidad? ¿Podemos hacer al respecto? '

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pocás secciones en el Reglamento donde una jerarqu (a de métodos permita elegir entre "simple y conservador" o "complejo y correcto". Hay muchos otros casos donde esto podr(a hacerse. Pero lo que no se puede es contar con un reglamento simple para todo tipo de estructuras, incluyendo las complejas, sin tener una tendencia conservadora que se incremente agudamente conforme decrece la complejidad, con lo "cual se obtienen resultados de una inaceptable carencia 'de econom ía.

SEGURIDAD, SERVICIABllIOAO ECONOMIA"

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Quiero hablarles ahora de los tres objetivos básicos del Reglamento: • Seguridad • Serviciabilidad • Economía El propósito del Reglamento es proveer requisitos o directrices para el diseño de edificios que tengan seguridad y serviciabilida.d, y que se ajusten a estos requisitos sin un costo excesivo. Obviamente la seguridad es lo primero. Si un edificio no es seguro, no importa la serviciabilidad que tenga o lo económico que haya resultado. MáS adelante diré algo m~ sobre la seguridad. La serviciabilidad dif(cilmente putlde separarse de la econom (a; el único costo real de un edificio es el costo total de diseño, construcción y mantenimiento de por vida. En muchos casos, el propietario reconoce que un edificio que no tenga serviciabilldad es tan inaceptable como uno que no sea seguro. Sin embargo, no es fácil saber qué tanta serviciabilidad debe tener un edificio y justamente cuánto está dispuesto el propietario a pagar

por ese nivel de serviciabilidad; éstas son preguntas que nose enfocan muy claramente en el Reglamento del ACI. El Reglamento analiza tres aspectos de la serviciabilidad: • Durabilidad del concreto, en cuanto a su control por aspectos tales como diseño de la mezcla y empleo de aditivos. • Deflexión de elementos como vigas y losas. • Agrietamiento de elementos tales como vigas o losas. Los requisitos relacionados con el recubrimiento de concreto sobre el acero de refuerzo son" en parte, para durabilidad, pero están mucho más relacionados con la seguridad . El control del agrietamiento fue introducido en el Reglamento cuando el procedimiento de dise"ño para elementos sujetos a flexión se cambió de esfuerzos de trabajo a resistencia. Antes de dicho cambio, se aplicaban límites estrictos sobre los esfuerzos permisibles en el acero de refuerzo a niveles de carga de servicio y no había necesidad de otros requisitos para con. trolar el agrietamiento. Con el diseño por esfuerzos de trabajo, el esfuerzo permisi ble en el acero de refuerzo en elementos sujetos a flexión no podía exceder de 1 400 kgJcm', sin importar qué tan elevada era la resistencia a la fluencia. Est~ límite sobre el esfuerzo, y por lo tanto sobre la deformación, proporcionó un límite totalmente satisfactorio para el ancho de grietas. Cuando se eliminó este límite y se incrtmentó el esfuerzo permisible a niveles de carga de servicio hasta una fracción relativamente grande de la resistencia a la f1uencia, fue necesario proporcionar los I(mites expl (citos adicionales sobre ancho de grietas, que tenemos actualmente.

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La misma situación existfa en el caso de control 'de deflexiones para vigas, pero no para losas. Al limitar los esfuerzos permisibles en las cargas de servicio, tanto para el concreto como para el acero de refuerzo, se limitaron efectivamente las deformaciones, las curvaturas y por lo tanto, las deflexiones. Cuando los J ímites en los esfuerzos fueron elevados con el diseño por resistencia, este sencillo método para controlar las deflexiones fue eliminado y hubo que agregar algunas cláusulas expl ícitas al texto del Reglamento . La situación era algo diferente para las losas en dos direcciones, es decir, losas reforzadas en dos direcciones. El Reglamento siempre ha tenido cláusulas para controlar la deflexión de dichas losas, limitando la relación entre el"espesor de la losa y el claro. De hecho, los límites en el Reglamento de 1983 no son muy diferentes de los del Reglamento de 1936. La razón de esto es que el principal causante de la deflexión de la losa no es el esfuerzo o la deformación del acero de refuerzo, sino el cambio . en la rigidez de la losa cuando se agrieta el concreto. Si el concreto no se agrieta, no es probable, ni aon posible que ocurran deflexiones grandes cuando el espesor es adecuado. Puesto que los momentos positivos usualmente son pequeños en losas en dos direcciones, no es probable que se presente algún agrietamiento a niveles de carga de servicio, a no ser que el porcentaje de acero de refuerzo sea muy elevado. Por estas razones, si fijamos I í"!lites al espesor de la losa, tendemos a mantener bajo el porcentaje de refuerzo y probablemente haya poco o nada de agrietamiento en las regiones de momento positivo a niveles de carga de servicio y, al no haber agrietamiento, no habrá deflexión excesiva. Cuando cam-

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cia del elemento en la estructura. Aplicamos factores de reducción de resistencia (factores 1/» a las resistencias para permitir condiciones de incertidumbre en las rcsbtencias de los materiales y en las dimensiones de los elementos. así como para las condiciones de incer. tidumbre en nuestros análisis o en la construcción de la estructura.

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biamos el diseño por esfuerzos permisibles a diseño por resisten. cia. en las cláusulas sobre espesor de losas sólo se cambió lo necesario para permitir los esfuerzos más elevados bala cargas de servicio que se permitran con acero de refuerzo de mayor resistencia a la f1uencia.

algún nivel de probabilidad. Lo mismo es cierto respecto a la resistencia de los materiales y las di. mensiones de los elementos. Pueden ser menores que los valores supuestos de diseño mediante la variación de las cantidades y a niveles variables de probabilidad.

No es nada nuevo .que exista incertidumbre en las situaciones a Esto es todo lo que quiero decir las que se enfrenta el ingeniero. Lo sobre serviciabilidad y econom ía; que causa que un ingeniero sea dedicaré el resto del tiempo a ha- diferente de un científico es su blar de seguridad. Creo que es capacidad de producir diseños en obvio que la seguridad es la razón ausencia de datos complejos o del principal de la existencia de un total conocimiento de la situación; reglamento. La seguridad es la esto es, haciendo frente a las con. preocupación más importante del diciones de incertidumbre. La maingeniero, del propietario y de la nera en que hemos hecho esto en sociedad. El problema básico que el diseño estructural ha sido protenemos al hablar de seguridad es porcionando mJrgenes que permique ésta no es algo absoluto; no tan o compensen dichas condiciopodemos, o no sabemos. cómo nes de incertidumbre. Cuando diseñábamos por esfuerzos permisibles, garantizar una seguridad absoluta: asegurar que jamás fallará ningún había un margen en la diferencia entre el esfuerzo permisible y la edificio, o incluso que un determi. nado edificio nunca fallará. La resistencia nominal del material. Con el diseño por resistencia terazón es que existen demasiadas condiciones de incertidumbre. No nemos dos tipos de márgenes. se conocen las cargas a que se so- Aplicamos factores de sobre carga meterá la estructura e, indepen- a las cargas, para dar lugar a condidientemente de la carga para la ciones de incertidumbre en magnique diseñemos, existe cierta carga tud y distribución de las cargas y. mayor que puede preverse con en algunos casos, en la importanSEGURIDAD

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REVISTA

La historia de la evolución de los márgenes o factores de seguridad sería un proyecto interesante pero difícil. Hace poco estaba hojeando mi traducción al inglés del libro de Considere sobre concreto reforzado. que fue escrito hace unos 80 años. En ese libro propuso procedimientos de diseño basados en sus primeras) pero bastante exhaustivas. investigaciones sobre resistencia y comportamiento de elementos de concreto reforzado y en cada caso, recomendaba factores de seguridad que debían usarse en el diseño y daba algunas razones interesantes para sus elecciones. Entre otras cosas. estaba interesado en el modo de falla, ya fuera frágil o dúctil. súbita o con advertencia; preocupaciones que tendemos a olvidar durante el régimen de diseño por esfuerzos permisibles, pero que de nuevo consideramoS importantes conforme una vez más tomamos en cuenta los modos de falla.

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Cuando se reincorporq el diseño por resistencia en el Apéndice del Reglamento de 1956, los márgenes adoptados fueron los que había propuesto el Comité Conjunto sobre Diseño por Resistencia Ultima. No se propuso margen alguno para la resistencia de los elementos; es decir, los diseños se basarían en las resistencias nominales. Todo el margen fue proporcionado en factores de sobrecarga, que eran de 1.2 para carga muerta y de 2.4 para carga viva. Dichos factores de carga guardan poca relación con los que usamos actualmente y de

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hecho. sabemos POc.orespecto a la manera en que fueron elegidos. Sospecho que estuvieron bas.'\dos más en experiencias con puentes que con edificios. pero no existen registros al respecto. Sin embargo, además de los factores s;¡rados para carga muerta y carga viva, las recomendaciones del Comité Conjunto incluían un factor de 1 8 en la carga total, que es I~.suma de los efectos de cargas muej'tas y cargas vivas. Esto, por :;upuesto, era s610 un factor de seguridad de alrededor de 1.8 sobre resistencias nominales y, por lo tanto, propordonaba resultados que no eran ~.ignificativamente diferentes de los obtenidos mediante los entonces contemporáneos métod()s de diseño por esfuerzos permisibles, en los que el factor m ínimo de seguridad para elementos sujetos a flexión era ce alrededor de ~ .e. Este empleo de un factor adicional de carga sobre la carga total significaba que, cuando la relación entre carga muerta y carga viva era mayor de uno, los diseños resultantes serían esencialmente los mismos que resultaban del empleo del método de diseño por esfU'Crzos permisibles entonces en uso. En otras palabras, el procedimiento de di. seña por resist~ncia hab ía sido ajustado -o calibrado- para dar el mismo resultado que el que se obtuvo al tes en este caso. Cuando el diseño por resistenda se introdujo dentro del texto del Reglamento de 1963, el enfoque del Comité Conjunto fue rechazado, principalmente porque no se encontraba ninguna base racional para el mismo y se estipulaban factores separados para sobrecargas y reducción de resistencias. Esta elección fue en parte por el con0cimiento inicial del empleo de h teoría de la probabilidad, para cuantificar condiciones de ince~tidu~'lb;~ l' r;'\ra inci):p.)",',rlas en un procedimlentu de diseño REVISTA

.'4CYC, VOL. 22. NUM. 166/

basado en una prqbabilidacJ de falla. P~r?-:,t::l~lcc('r factores de 'reducción de n:si:..tf.'nci,1(fa,; tares 1/» exar:linamos lo:> Jatos f:sv,~Hsticos dispúni Hes solJl"t~ia .•ar;adón y distribución de la resistencia :, la coml'rcsi6n del concret.u y la rcsistenda a h flu~ilcia del acero de refuerzo, aunque 110 consideramos variaciones ~n dimensicn/~s simplemente porque no había datos disponibles. También examinamos - o más bien buscamos - datos sobre la véiriau,lidad de cargas, pero no Cllcontramos ningul'::). En esta circunstancia bastante c:ásica de tener que hacer algo ~in centar con todos los datos o conocimientos que necesitábamos tener, nos apoyamos en el mayor recurso de la ingenier(a: la experiencia. Lo que hicirr"lS fue muy sencil!o. Se. leccionamos. una c~mbinación de factores de carga y de factoíe5 t/J para obtener U'1 faclor g~::lbé'1¿~ seguridad de alrededor de 1.8 para una gama razona'.Jle de relaciones de carga muerta - carga viva. De esta manera cc.libramos nuestro nuevo procedimiento con el procedimiento anterior, al menos para elementos sujet('l~ a flexi6n y fallas por flexión. Debo mencionar esta importante r~stricción porque redujimo. en gran medida nuestros factores de seguridad previos para columnas cargadas axialmente, y escogimos nlJc!ttn factor úe se~uridad pílfa ('orlar te en vig•.s sin refuerzo del alm?, sin importar las condiciones {j'~ incertidumbre :-ela. tivamente grane;.:; exhibidas en I~ pruebas disponiblc3. Lo q' le he :rat2.do (~e ser,alétr es que aunque ':.'1en foqu,: ra:3 diseño por resistencia en el Reg!amento de 1963 yen los subsecuentes ten ía una base probabil ística, lo~ márgenes proporcionados en r~alidad estaban basados en grado muy considerab1p', en la experiencia y el r'lzonamiento. ¿n

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FEBRERO /1385

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do :wanceó importantes en la cienci.~.0 arte del análisis de confiabilidad p,'obabil ística como base para regbrn..:nto5 de diseño estructural. MacGrcgoí y sus colaboradores han proporcion:ldo una firme base cm1) írica para ev.'\ uar y cuan tificar condicione:: de incertidumbre en la resistencia de elem~ntos de concreto reforzado, tomando en cuenta pro;:¡iedades de los materiales, dimensi()nes reales y condiciones de inceitidumbre en el análisis. ElIingwood y sus colaboradores han hecho lo mis'TIo para cargas en estructuras, principalmente en colaboración con la nueva Norma Nacional Americana A:58.1. Como resultado de este trabajo, así como de trabajos similares en otros p? íscs, incluyendo México, ahoq' tenemos 105 datos y las he. rr?mientas para seleccionar proce{/linicntos d,~ diseño, factores de carga y factores de reducción de resistencia, que resultan en edifides con cualquier probabilidad deseada de falla a cualquier nivel deseado de seguridad. El único rroblema que nos queda es deci. dir cuál debe ser la probabilidad de falla y determinar con qué nivel de seguridad debemos tratar de enfrentarla.

Dada la situaci<.-n actual, parece que la solución de este problema es la ni:ma que se adoptó cuando ~edactamose' Reglamento de 1963: depender de la experiencia. llevar esto (\ cab.) comprende tres pasos. Primero, emplear nuestras herrarr. ¡en tas proba 'Ji Iísticas y estadJ'sticas par,' examinar los procedimientos actuales d~ diseño y determinar oué probabilidad de talla se está logrando actualmente. Después, suponer que esta probabilidad de ~'dlla e~ aceptable par a la profesión y para la sociedad. Y fir.almcnte, ck;gir un juego de factores de carga y de factores 4Jque .11;;" :--. .:i'-¡,'a :Jrobbilid"o de falla que se ..:stá.logrando actualmente. 23

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"-"

= 1.3 v'r;; bwd .

tres se presenten en el diseño o en la construcción: con gran frecuencia se encuentra una mezcla de errores. de diseño y de corstrucción en los casos en que se investi. gan fallas en servicio.

21

1 /'

14

I I I -----

I

re = 350 kg/cm2

28

I

\.

--.-..,

•.•.•.......-....~..

I I I

25

7

o

...l..-..L_

I

~ 3Q -4Q 8 8 Di5tancla desde el apoyo libIe, x

--

Aplicación de la ecuación 11.10 a elementos presforzados cargados uniformemente.

Aunque pudiera parecer que este procedimiento de comprobación contra la experiencia es necesario sólo porque no sabemos cuál debe ser la probabilidad de falla, existe otra razón importante por la que debemos emplearlo. A pesar de que las técnicas y métodos de análisis de confiabilidad probabil (stica se han vuelto muy complejos y muy poderosos, aún abordan principalmente las probabilidades de sobrec~rgas y subresistencias. Pero la mayor(a de las fallas no son causadas por cualquier combinación aleatoria de sobrecargas y subresistencias: son el resultado de equivocaciones en el diseño y en la construcción. A esta conclusi6n han llegado muchos de quienes trabajan en el campo de la con fiabilidad estructural y puede ser confirmada por quienes, como yo, han investigado las causas de muchas fallas reales. Puesto que las equivocaciones son la causa principal de las fallas, es esencial que los márgenes de diseño estén basados en la experiencia porque dicha experiencia incluye todas las fallas que han ocurrido, no s610 las debidas a sobrecargas o subresistencias aleatorias.

Con base en mi propia experiencia y en lo que he le ído, quisiera presentarles una teoría cualitativa y no verificada de fallas debidas a equivocaciones. Las equivocaciones en el diseño y la construcción, si se grafican en frecuencia contra magnitud, tendrían una distribución exponencial inversa. Esto es, habr(a muchas equivocaciones pequeñas, un núrr,ero menor de equivocaciones de tamaño medio y un número todavía menor de equivocaciones grandes. Las equivocaciones menores muy rara vez causan problemas. Estas serán favorables o desfavorables en distintos grados y es probable que su efecto acu: mulada se conserve nentro de los márgenes previstos. La!; equivocaciones realmente grandes ~on las más probables causas de falla durante la construcción, especialmente cuando afectan la resistencia de la estructura a cilrgas gravitacionales que siempre están presentes. Frecuentemente, sólo una equivocación grande es suficiente. En cuanto a las equivocacion~s de tamaño medio, I~ experiencia me enseñó que no es 5uficiente una sola de ésta5. Por Jo general, se requieren dos o tl~S de estas equivocaciones para provocar una falla. Y es poco pr'J~
Comu bi~n saben y itirán los expertÍ)~ en con1iubilidad, sus métot:!0s no pueden tomar en cuenta la probabilidad de equivocaciones en términos ya sea de frecuencia o de magnitud. No podemos reducir la probabilidad de fallas debidas a er¡uivocaciones mediante algún ajuste razonable o económico en nuestros márg~nes de seguridad. Si se quiere reducir esta fuente de fallas, debe disminuirse el nú. mero de equivncacior.es mejorando la caiidad od diseño y de la construcción. El papel de un documento como el Reglamento AC! en este tipo de mejora no es claro. Los rcglaf11entos pueden pro porchnar reglas y procedimientos basados en la experiencia, en investigaciones y en juicios, pero los dise~ ños son el;aborados y las estructuras son construidas por personas. El) consecuencia, quisiera cone/ui resta conferencia citando una frase que escribí hace UllOS 25 años para su inclusión en el primer informe que proporcionaba" Recomendaciones tentativas para concreto presforzado". He modificado un' poco la redacción, pero dice algo como lo siguiente: L1 se.guridad y econom ía de las estructuras de concreto reforz<\do dependerá tanto de la inteli. gencia e integridad de los ingenieros que preparan el diseño y supervisan o llevan a cabo la construcción, como del grado en que se sigan las recomendaciones 0~1 R~fl"mento". 11

Much

1S

gracias

Las figuras presentadas en este art(culo fueron reproducidas del Reglamento de las Construc~i('\nes de Concreto Reforzado (ACI 318~3) y Comentarlos editado por eIIMCYC.

24

nf;VISTA

Ir-leye, VOL. 22, NUM. 166/ FEBF1ERO / 11)85

I I I I

1\

1

1I I

I

t

1,

!

" FLEXION DE TRABES Y LOSAS EN UNA DlRECCION "

1

11 :1

I

;. I .

,1

~I \1 I I

.••.__

..t'

,1

l. I¡

I

1I ¡I I

ING','

.JORGE

AVILA

RODRIGUEZ

,1 I --

~....:....

--

I I I I I I I I I I l' I I \1 I I l.

.

EJEMPW 9.1

Diseño de t.maviga rectangular

s:i.rrq:>lemente annada

Cbtener las dimensiones de t.maviga rectangular .As para resistir

los siguientes

y la cuanUa de acero

m:mentos (en condiciones de servicio):

M = 7.50 tcn"'11\Y M:t = 5.00 ton-1l\.,El agrietamiento por flexi6n debe d ser revisado con el refuerzo; supcmga que la viga está expuesta a la intanperie. Usar

, fc

= 280

2

fy

=

42~0 Kg/an

Z

=

145 (exposici6n al exterior)

Kg/an 2

referencias

CAI..CUWS y DIOCUSICN

10.3.3 .1. - El procedimiento de diseoo canpleto para secciones

silrplenente ni:LrD,

amadas se presenta

usando el porcentaje

a flexioo,

a partir

de calcular

rectangulares

un peral te ro!-

máxiIro que se pennite para los núanbros

0.75 Pb

Paso 1. Cálculo del porcentaje

rnáxirro de acero*

6000

-----= 6000 + f

0.0283 Y

1

I

81

=

Pmáx

Paso 2.

0.85 (f~ ~280

=

=

0.75 Pb

2

Cálculo del 00 Resistencia

2

Kg/an )

0.75 (0.0283)

=

0.0212

10.3.3

necesario

a la flexi6n necesaria:

U= 1.4 D+ 1.7 L

1I 11

Mu=

1.4 x 7.50 + 1.7 x 5.0

ec (9-1)

I

. Mu= 19.00 ton-m

__ J

I I I I I I I I I

*

Los valores de P y 0.75 Pb se pueden obtener también directamenb te de la tabla 9.1 pf

I

0.85 fe

=

I

0.0212 x 4200 ( 1 -

0.5 x 0.0212 x 4200 0.85 x 280

R

n

= 72.38 Kg/cnl

:::

l:rl2

2

9.3.2.1

0.90 (flexi6n)

nec.

19.00 x 100,000 ::: -------.::: 0.9 x 72.38

:::

3 29,167 an

Paso 3. Dimensionesdel elenento bd2

I I I! I '! I I il I I I I

Y

<

nec. -

l:rl2 .

disp.

sea b= 25.0 an (ancho de colunna)

~::: d:::~ 25

•

34.16 an

Peralte nún.inototal Para la resistencia

=

34.16 + 6.25 ::: 40.4 an .

a la flexión, resulta

adecuada una viga de

25 en x 40 an. Sin embargo, debe observarse que el peralte total de 40 an es un f.X>Co menor que el requerido según el crite-

I

rio de esfuerzos isibles. Debido a eso que las deflexianes

1)

,

pueden ser importantes en las via,as diseñadas can el criterio

I

de resistencia

I1

última.

Paso 4. Can el peralt:e total de 40 cm, se calcula un valor revisado de p. Caro ilustración,

SE:

diferr.ntes nl6todos d; ~O - (,.2 = 33.8 cm

calcula el p con cuatro

I I I I I I I

!I

\

"

(1) por f6nnula (l'fétodoexacto) :

Rn

1\'

=

19.00 x 100,000

= -------

2

0.9 (25x 33.82)

4>(bd disp) .

=

73.92 Kg/an2

, . 0.85 fe p=

(1-

2~ 0.85 f' c

0.85 x 0.28

p=

2 x 73.9

(1-

1-0.85 x 280

4.2

)=

0.0218 ~ Pmáx

(2) Can las cw:vas de resistencia

=

para ~

caro las de la fíQ •. 73.92 Kg/ar? (1051lb/pulg2), ~ 0.0214

9.1

1

I l il

(3) Can las tablas de resistencia

caro la tabla 9.2:

i

I

¡I il

19 x 100,000

= --------2

para

=

0.2640

0.9 x 280 x 25 x 33.8

w= 0.327 p='wf'e /f y

=

0.327 x 0.28/4.2~ 0.0218

(4) Cal aproximaci6n lineal:

~

(Poriginal)

(~revisado) (Rn original)

,

\1

~

I

Paso 5.

0.0212 x 73.92/72.38= 0.0217

Cálculo de As necesaria

1

1I I

I

As= (Previsado) (bd)disp.

As= 0.0218 x 25 x 33.8

=

18.42 cm2

[1 I

_ ••

~

0.

._

._.~_.

__

~

•

:----..:3

li

i

I I I I I I I

2.- Revisi6n de la correci6n de los cálculos,

fX)rsimple estática

(ver la siguiente figura) : T= pbd.f = A f . = 18.42 x 4.2

y

e6 ----

a=

sy

T

0.85 fl b c

=

77.36 ton

77.36

= --------

=

13 an

0.85 x 0.28 x 25

Resistencia de diseño a la flexi6n;

I I I ,1

=

a (d - 2) ] = [ 0.9 x 77.36 (33.8 - 13.00/2)]

[~Asfy

,t, M == 1900.74 ton-an ;;:;19.01 ton-m n

cano (resistencia

19.00=

necesaria) ~_(resistencia

disponible),

o sea que

19.01

~~~.o

I I II I I I '1 I

+-+-

-+I

,--- -

.

i

!

11 (

t

~¡CM

.

t

1I

L ..

••• ts ~O.oo3"

. .-

T':::11. 3~ 'li:;f) .

-_

de~()(ff\aóuY\~ _ S.

Sec.<.\on

tr;:lsy~~~r. I .~.

........

_-----(

..

_----

__ ._--

.

--_ .._---

._---

.._---

I I I I I I I I I I

3. Cálculo del refuerzo que satisfaga

•

"

\.

elementos a la intemperie,

As necesario

=

2 18.42 cm

con 3 var # 9, As

=

19.23

2

00

ec(10.4)

z= fs (5.60) ~dc A \ d e

=

(recubrimiento necesario) + (1/2 diámetro varilla) 3.8 + 1.43 + 1.27 = 6.50

(diámetro estribo)=

(recubrimiento para var # 9 = 3.8 + 1. 27

I I I I I

1; 1

5.07

00)

7.7.1

e

=

2 x 6.50 x 25/3

'can f

s

=

0.6 fy

=

2

108.3 cm /var. 2

10.6.4

0.6 x 4.2 ~ 2.52 tan/cm r---- ----.--..,

z= 2.52 x 5.60~6.5

x 108.3

+ +

+

1I

I

1: •

10.0

00

A= 2d bino. de var.

I

1I

=

+

(expuesta a la intemperie)

I I

1\

10.6

de la distri-

buciál del annado a flexión de la sección 10.6.Usar z= 145 para

= 1:

los requisitos

!

=

125.5 -:145

bien

I I I I

I

4. Revisi6n del ancho de viga

bdisp•

+ 3 x 2.86 + 2 x 2.86=

7.6.1

24.4 < 25 'en (ancho dis¡x:mible)

7.7.1

.:.2 x (tecubrimiento)

= 2 x 5.07 + 14.30

=

bien

! •

I I

•

I \

I

I I I

1 1\

I I I I

\. 1

I I I

I I I I I I I I I I I I I I

1I

l.

I

1I I I

EJEMPW

9.2

DlSE!'lO DE llNA

V [tiA HECTl\NGUIAR [x)BLEMENTE

Se tiene una sección trunsvcrsa.l de caro se observa en la siguiente

lUk,

A.RM..Z\Di\

viga, can las dimensiones

fi~rur<",y se pide calcular

las

cuantlas de acero para resisU r un nanento factorizado M= 124 ton-rn ti

t

+ b:: ~~.t-

2

fc

=

280 Kg/ cm

fy

=

4200 Kg/cm

+

2

5

z= 145 (ex¡;x:>sici6n a2. :.~xterior)

A~

1?2??1..

......+-

cn..I.CULOS y DISCUSICN

1.

Revisi6n caro simplenente annada (acero a tensioo) Cálculo del acero de refuerzo a tensión que se requiere,

can la

ayuda de la tabla 9.2: 124 X 100,000

= ------------

0.9 x 280 x 30 x 762

=

0.2840

de la tabla 9.2, w= 0.361 Porcentaje de acero a tensión nc"Cesario:

p= wf~/~ = 0.36] x 0.28/4.2 = 0.241 Ccnsiderando solo refucr¿o a tensión: 10.3.3

Pmáx ::;: 0.75 Pb

de la tabla 9.1, con fl .: 280 Kg/an2 (4000lb/pulg2) y e f ::;: 4200 Kg/cm2 y

Prnáx

==

(60000 Jb/pulg2):

0.0214

camo 0.0241 > 0.0214

se Decesita acero de canpresi6n

I I I I I I I I I I I I I

.1

2. Cálculo del acero necesario, La w máxima ~

,

se pe.nnite para vigas s~lanente

(acero de tensi6n) w~0.75

%f.Jf~

As.Y AI S : annadas

es: = 0.321;de la tabla

= 0.0214 x 4.2/0.28

9.2, can w= 0.321: 2 M /f' c bd . -n

=

0.2602

La resistencia

~

de diseño a la flexi6n

CCJ'OO

s~lercente

annada vale:

loh = =

0.9 (0.2602) (0.28 x 30) (762)/100 113.62 tan-m

y la resistencia M'U

=

necesaria tanada.

124 - 113.62

=

el refuerzo a canpresi61:

CCI'l

10.38 tan~

SUp:lniendoque el acero a canpresi6n fluye, pi

=

p'

=

A's bd

f~

=

f.y:

M'u

=



(d-d ¡)bd

10.38 x 100,000 ----.-..-------

=

0.00173

0.9 x 4200 (76 - 6.3) 30 x 76 p

=

0.75

Pb + p' =

0.0214 + 0.00173

=

0.0231

1

1

1\ ,

NOTA:para elanentos doblanente annados, el porcentaje

de

I

contribuye el refuerzo de canpresi6n no se necesita

i..

por el factor de 0.75

1 I II r

l' 1

1

Ver la tabla 10.3.2 de los canentarios

%

can que

rOOucir

del Reglamento

I I I ¡ '1

Al

= p'bd =

A

= pbd =

s

s

0.00173 x JO x 76 - 3.'94 cm

0.0231 x JO x 76

=

2

2 52.67 cm

1

Psvisi6n de que se cunpla que el acero de canpresi6n esté fluyendo:

!I

A

I

s

I

I I li I

f d Y

6000

4.2 x 76

6000 - fy

s.1:fluye el acero de ccrnpresi6n cano se supusoI bien. 3. se pued.ellevar a cabo una, revisión dé las correcciones a los cálculOS según las ecs. de resistencia

que se dan en la secclón 10.3 (A)(3) de

los comentarios del Reglumento. CU1ndoel anmadoa compresi6n fluye:

+ A~ fy Id - dI)]



n

=

[0.9

=

124.0H ton-m

donde a

I

x 4.2) (76 - ?8 70. ) + j.94

2

{(48.79

,(A

=

s

0.~5 fl c 4.

48.'/9

- l~')f

s

x 4.2

("16 - b.3)~,'

bien

y b

x 4.2

_. -----..----O.~5 x U.2~ x 3u

=

28.70

Distribuci6n del acero para sal.Ls facer el criter:LO de agrietamiento (por fle.xi6n) de la secci6n lO.G

II

perie.

I

Refuerzo a tensión:

1II

x 0.U5 x U.28 x 6.3

>

0.0:'H4 .:..0.0133

,1

1I

Y

0.85

I

¡I

------600U - f

>

0.0231 - 0.U0173

¡I

6000

0.85 l\f~ dI

s

bd

II '1

i,l '1

- Al

sean 8 varo ~ 9 (As = 51.28 cm2

par:a elementos colocados a la intem

an2) (2~,menos que 10 necesario ....

=

5'") 6'" .L.

I

bien)

I

I

!

I I I I 1 I I I I I I :1

:['1

I

I :'1 '1

:1

Acero a

carpresioo:

sean 2 var. # S (A's = .:S.96 en2

3.94 cm2, bien)

~9

+

(cm)

á\

- ' .. -+-c:J

.:: ..:=--:r_ -t- 9»

~

"",.. .....

i:::

~.

+

+""

+-

b:!o

•

-+ ec(10.4)

10.u

=

= 6.50

3.81 + 1.43 + 1.27

, (recubrimiento oara var. tt 9

en

=

j.

81 + 1.27

=

5.08 an)

.(expuesta a la intanper~e)

A= 18.36 x 30/8 can f

.

s

= 68.85

= 0.6 .fy = 2.52.

z= 2.52 x 5.60

5. Ievisi(Jl

an2¡varilla

1U.0

tan/an2

.. 3r--\ ~6.5 x 68.85

10.6.4

=

108 < 145

-----bien

del ancho de viga

b= 2 x (recubr.irni.ento ) + 4 x 2.86 + 3 x 2.86

=2

x 5.08 + 11.44 + 8.58

=

7.7.1

JO an

----

bien

I I I

6.

tencia se necesitan estribos

16.x 1.59

sep. máx <

48 x 1.27

I

\1

usar E

#

I

=

"I7.J5 ton

Así necesario con que contribuye el patin: Cf

= -sf

A

77.35

= ---

fy

2

=

18.42

cm

4.2

Contribuci6n, a la resistencia,

del patín:

~Mnf = ~ [Asf fy (d - o.~ hf)J

=

0.9

x 4.2

[ lH.42

(49 - U.5 x 6.5»)/100

=

31.1j5 t-m

funento que debe tarar el alm:"1 de la viga: 4JM

=

M

-

=

55.0

=

- 31.85

23.15

ton-m

uw u n 3. Con la ayuda de la tabla 9.2 se calcula el área de acero Agw necesario para absorver 2J • 1:' t-rn 23.15 x lOO

=

._ =

0.153

2

0.9 x 0.28 x 25 x 49 de la tabla 9.2 • w= 0.167 A

w

=

1.18 wd

=

1.18 x 0.167 x 49 ~ 9.7 cm

II r

11

=

0.t15 x U.21:5 (75-25) 6.5

11

I

7.10.5.2

60.9 cm

Resistencia a la canpresi6n del patín:

I

I

25.4 cm

;¿5 cm

4 ~

i

;1

= =

con:

dimensión menor de 1a Vl.qa = 30 cm

'1

I I I I I I I I I 1 ( '1

7.11.1

Para el tramo donde el annado de canpresiál se requiere por resis-

l

I I I I I I I

A&vi

=

O.H5 f~

bJ\¡

=

0.85 X 0.28 X 25 X 9.7 = 13,74 am2

4.2

~ igual nodo, A~ se puede calcular directanalte

wfl

A sw

b d

e w

= f

Y

de

= 0.167 x 0.28 x 25 x 49 = 13.b4 cm2

4.2

1I I '1 I I I I I I I I I

J

I I I I I I I I I I '1 I I I I I I I ,1

EJEMPLO ~. 5

DI~O

DE UNA SOCClOO TIPO

"T"

SIMP~TE

ARWillA

1

Calcular el aunado a tensión de una secci6n "T" que debe resistir un m:mentoya afectado };X)rel factor de carqa de M u = 55 ton-m

i---._._'--

2

1 I

--_ ..___ . ._-f-

"=t 5cm

ti = 28u K9/cm C

II

2 f = 42UOKg/cm y

+

z= 145 (expuesta a la intemperie)

I

I .~ I 1

I

.

1

1

A: I \:'

I

I

lA

1

L ~7LA-t------

- I

I I

I

+

'2.~O etn

+

CAI.aJLOSy DIS:USlrn

1I

I 1

I

1. Can la aytrla de la tabla Y.2 se determina la orofundidad del bloque

\,

equivalente de esfuerzos, a, cano secc1.6nrectangular 55 x 100

=

para

2

=

I

9.3.2.1

0.121

0.9 x U.2H x 75 x 4~

Y c = O.13¿

de tabla 9.2, w= pf /f' "a"

=

1.19 vrl

= 1.1H x 0.13¿ x 49 = 7.63 Cano el valor de "a" necesario, caro si lar,

es mayor que el espesor del patín,

>

b.5 cm

fuera secci6n rectanguentonces el diseño debe

hacerse caro sección liT". 2. Cálculo del armadonecesano Asf y de la resistencia contribuye el p3t1n de la viga.

iI Ij, 'JII.u.:..i ','

u

I

===_

.. -

o



f.hf

con que

1 I 1 I 1

4. Así, el refuerzo

1 1.-

(2) para secciones

I I '1 I I I I I l'

total necesario

para tornar el M u= 55 ton-m

=

=

es

+ Asw

As=A

sf

18.42 + 13.74

32.16 cm

2

10.3.::, 5. Revisi6n 10.3.3.

del porcentaje

máximo

segün la secei6n

(e) y tabla 10.3.2 de los co

Ver la fig. 10.3.2

mentarios

permitido

del Reglamento: simplemente

Il

IlT

armadas: I

I

I

• ¡ 1

fl

Pf = 0.85

=

0.85

de la tabla 9.1, Pb

1

e

ry

¡

w

1I

i

°4~~(75 =

1

( b - b

25) 6.5/(25 x 49)

=

I

I

0.0150

I

I

0.0285

I

I Pmáx =,0.75

25 [ 75 (0.0285 + 0.015)] = 0.0109

As máx = 0.0109 x 75 x 49

6. Selecci6n

=

2

40.06 em

>

del armado tal que satisfaga

trol de agrietamiento ( z

=

para exposici6n

32.16

bien

el criterio

de con-

a la intemperie

145 )

sean 4 var # 9 Y 2 var # 7, (As

=

2

33.40 cm )

1

I

1I

+-

I ----

..

_._-

-----

-~-~

I I I I I I I I I I I I '1 I I I I I I

dc

=

5.08 + 1.43

=

6.50 cm

\

área efectiva de tensi6n del concreto: A

z

=

(2dc + 2.5 + 2.86) bw/No. equivalente

=

18.36 x 25/(33.40/6.45)

=

f8(5.6)

I

~

= 118 < 145

d A e

"' =

=

de var # 9

89.71 em2 \

0.6 x 4.2 x 5.6 ~6.5

x 89.7

bien

7. Revisi6n del ancho del alma necesario bw necesario

=

2 (recubrimiento)

=

2 x 5.08 + 4 x 2.86 + 2.22

=

23.8 cm < 25 cm

+ 2d

bl

+ 2d

*

bl

+ db2

bien

*La distancia libre entre dos varillas debe ser mayor que .db (5 2".5 em

I I I I I I I I I I I I I

1600

1400

1200

-

.••...

cl

N

:2

;;

11

e

1000

a::. ti Q) (.)

e o

+oCf) Cf)

800

Q)

~

.•...

o e Q) (.)

600

.•...

-Q)

O

U

1I

400

\

1

200

\

,

I

I

1 1

1

1

i

I I

1I

1,

F'g. 9-1 - strength Curves (R

n

vs p) for Grade 60 Re'nforcement

I I

1;

I I ;'1

l¡-~- -~~-

9-& .

I I I I I il

TABLE 9-2.

POnent Strength PI 1", f'txf

u

or •• /f'txf

e

Seetiorls with Tcnsion Reinforeement

On1y*

1

1

ill l' I I I I I II 1

--

.000

w

.001

O .0010 .0099 .0109 .0197 .0207 .0295 .0304 .0391 .0400 .0485 .0495 .0579 .0588 .0671 .0680 .0762 .0771 .0852 .0861 .0941 .0950 .1029 .1037 .1115 .1124 .1200 .1209 .1284 .1293 .1367 .1375 .1449 .1457 .1529 .1537 .1609 .1617 .1687 .1695 .1764 .1772 .1840 .1847 .1914 .1922 .1988 .1995 .2060 .2067 .2131 .2138 .2201 .2208 .2270 .2277 .2331 .2344 .2404 .2410 .2469 .2475 .2533 .2539 .2596 .2602 .2657 .2664 .2118 .2724 .2717 .2783 .2835 .2841 .2892 .2898 .2948 .2954 .3003 .3008

0.0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 .0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 . 0.20 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26. 0.27 . 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39

.002

.003

.004

.0020 .0119 .0217 .0314 .0410 .0504 .0597 .0689 .0780 .0870 .0959 .1046 .1133 .1217 .1301 .1384 .1465 .1545 .1624 .1703 .1179 .1855 .1929 .2002 .2075 .2145 .2215 .2284 .2351 .2417 .2482 .2546 .2608 .2670 .2730 .2789 .2841 .2904 .2959 .3013

.0030 .0129 .0226 .0324 .0420 .0513 .0607 .0699 .0789 .0879 .0967 .1055 .1141 .1226 .1309 .1392 .1473 .1553 .1632 .1710 .1787 .1862 .1931 .2010 .2082 .2152 .2222 .2290 .2357 .2423 .2488 .2552 .2614 .2676 .2736 .27g5 .2853 .2909 .2965 .3019

.0040 .0139 .0236 .0333 . .0429 .0523 .0616 .0708 .0798 .0888 .0976 .1063 .1149 .1234 .1318 .1400 ,1481 .1561 .1640 .1718 .1794 .1870 .1944 .2017 .2089 .2159 .2229 .2297 .2364 .2430 .2495 .2558 .2621 .2682 .2742 .2801 .2858 .2915 .2970 .3024

I

~I I I I

l~~

*K If'bd n

e

and a

Design:

=

.005

.006

.007

.008

.009

.0050 .0149 .0246 .0343 .0438 .0532 .0625 .0717 .0801 .0897 .0985 .1072 .1158 .1243 .1326 .1408 .1489 .1569 .1648 .1126 .1802 .1877 .1951 .2024 .2096 .2166 .2236 .2304 .2371 .2437 .2501 .2565 .2f>21 .2688 .2748 .2807 .2864 .2920 .2975 .3029

.0060 .0159 .0256 .0352 .0448 .0541 .0634

.0070 .01&8 .0266 .0362 .0457 .0551 .0643 .0735 .0825 .0915 .1002 .1089 .1175 .1259 .1342 .1425 .1506 .1585 .1664 .1141 .1817 .1892 .1966 .2039 .2110 .2180 .2249 .2317 .2384 .2450 .2514 .2577 .2639 .2700 .2760 .2818 .2875 .2931 .2986 .3040

.‫סס‬oo .0178 .0275 .0372 .0467 .0560 .0653 .0744 .0834 .0923 .1011 .1098 .1183 .1268 .1351 .1433 .1514 .1593 .1671 .1749 ..1825 .1900 .1973 .2046 .2117 .2187 .2256 .2324 .2391 .2456 .2520 .2583 .2645 .2706 .2766 .2824 .2881 .2937 .2992 .3045

.0090 .0188 .0285 .0381 .0476 .0569 .0662 .0753 .0843 .0932 .1020 .1106 .1192 .1276 .1359 .1441 .1522 .1601 .1619 .1756 .1832 .1907 .1981 .2053 .2124 .2194 .2263 .2331 .2397 .2463 .2527 .2590 .2651 .2712 .2711 .2830 .2887 .2943 .2997 .3051

.on£>

.0816 .0906 .0994 .1081 .1166 .1251 .1334 .1416 .1497 .1517 .1656 .1733 .1810 .1885 .1959 .2031 .2103 .2173 .2243 .2311 .2371 .2443 .2508 .2511 .2633 .2694 .2754 .2812 .2870 .2926 .2981 .3035

.

1

\1

of Rectangular

n e

2

=

A f (d-a/2)f'bd sy

e

2

=

w(I-0.59w). where w

=

pf If' yc

A f 10.85f'b. s y e Using faetcred ¡ronent Pi enter tahl€: with

u

carpute stee1 percentage

Investigation:

p

fran

p ::: ,,,{'/f'. e y

Enter tab1e with w from w:::

and solve for nanina1 moment strength. H . n

9--7

11 lq>f'bJ;

u

e

find wand

•

pf If" find value of M If'~ Y e' n e

I I I I I ,1 I

I I I I 1I I

1 I

n

CORTANTE Y TORSION

n

'1 :1 I

I 11

1I

I ~I I

II ¡L

_

ING,

- ---

-

VICTOR

---~-

rAVON

- ----

----

I I I I I I I I I I I I I I I I~I I

Cortante

•....

EJEMPLO 13.1 Diseño por cortante. sometidos solamente a cortante y flexibn . Determinar el tamaño y la separaci6n de los estribos verticales en U. para una viga simplemente apoyada. con un claro de 9 m. bw =

30cm

f'e

= 210

Wu

= 5.7 ton/m

kg/cm2

d

=

fy

= 2800 kg/cm2

50cm

Cálculo y análisis

Referencia en el Regla,mento

Para este ejemplo. se supone que la carga viva esttl fija. de tal modoque el cortante de diseño en el centro del claro es igual a cero. (Se obtiene un cortante de diseño mayor que ccro si se considera una carga viva parcial sobre el claro).

=

1. Dererminarlasfuerzascortantesfactorizadas@apoyo: Vu 6.7 x 4.50 == 30.1 ton. @distancia d del apoyo: Vu = 30.1 - 6.7 x 0.5 = 26.8 ton. 2. Determinar la resistencia al cortante proporcionada por el concreto. ecuación 11-13

= 0.85

lI.

0.53.../200

x 30 x 50

=:

9 500 kg

= 9.5 ton

54

I

1;

I I 11

!I

L_____

----

--------

---_._------ --

-------

-------

------

---~~

1:

I I I I I I I I I I I I -' I I

CORTANTE 3. Determinar la ctlistancia Xc desde el apoyo, más allá de la cual el concreto puede soportar el cortante total. Del dibujo (4.5';0 - xc)/4.50 l{JVeN u en el apoyo :.xc 4.50 [li - (l{JVcNull 4.50 [ 1 - (9.5/30.1)] = 3.08 m 4. Determinar la djistancia xn, desde el apoyo hasta dánde sea preciso proporcionar refuerzo minimro por cortllnte. es decir,

=

=

=

Vu

=

xm

= 4.50 (30.1 - 4.75)/30.1 = 3.79 m

11.5.5.1

l{J'Ve/2

Retuerto extendido

---.---

T Vu

25.8

= JO.1 ton

J~1V'=.~V¿Z

= 4.75

~:_d

.-J_I----

.__ 4_.50

5. Determinar la separación requ?rida de los estribos en U. Comentarios al Reglamento sección 11.5.6 . Suponiendo estribos en U d~1 núm. 4 V'v = 2.54 e~2l apl:ndice F @ distancia d del apoyo: a s{requerida)

::: 0.85 (2.54) 2.8 (501/{26.3 - 9.5)

=

17.4 cm

=

Puesto que (Vu -;-l{JVel varia linealmente entre)( d Y x = Xc y la separaci6n requerida var ia inversamente con (Vu - 't" Vel. la separación requerida en cualquier secci6n entre esos dos puntos se puede obtener directamente del valor de s(requeri. do), correspondiente a x d. Por ejemplo, en 1" secCión x d + [(xc -d)/2] 1.79 m. del apoyO

l'I

=

I ,1 I

s(requeridal

--

=

=

35 em

. 6. Verificar la separación máxima pprmisible de los estribos. s(máx.) de los L'5tribos vr: ,t:cales ~

'1 '- -

::: 17.'1/0.5

=

----

dn.

= 25 cm

11.5.4.1

I

1-

I

I I I I I I I I I

,

,

OISElQO DE ESTRUCTURAS DE CONCRETO

..

'

o tambié':l

C;;'"60 cm

s(máx.) de los eStribos'en U del núm. 4 correspondientes tos m ¡nimos de áreas de refuerzo'

s(máx.)

= Av fy/3.5

¡

I

bw == 2.54 (2800}/3.5

:. s(rnáx.)

a los rcqu~;mien.

.

==

68 cm

==

25 cm

x 30

I

ecuaci6n 11.14

I I

Resumen

I

Separación de los CS1rib05utili7anClO estribos en U del núm. 4:

I

.'

I I 1-' I I

1.1 7Se,;,

l.

f

I

JI

I ,

I

[email protected] cm .~2@~2'~_,

J

I

J

9 _@_2s_an

375 cm

=

3.75 m

G

1

.¡

\

1I

•

r

6 estribos

@ 1B.7 cm

2 estribos

@ 22.5 cm

9 estribos

@ 25 cm

'-

EJEMPLO 13.2 Diseño por cortante con tensIón axial Determinar la separación que se requiere pélra estribos velticales en U, para una viga sometida a tensión axial. f' e == 250 kg/cm'1 (concreto ligero con arena; fet no se especifica) fy

== 2800 kg/cm2 ,

1

Md == 6.0 ton-m

.-

M£ == 4.4 ton m

",

Vd == 5.8 ton V~ == 4.1 ton' Nd == -0.9 ton (tensión)

I I I

N2 ==

-1.1 ton (tensión)

---_._-

-------

------------

I .I I

il

i

I

I

I CORTANTE

1I I

I

I

JI

1

i

1\

1

I

I!

I

45 cm

11

iI l

I

.

I

I

I I I I I I I I '1 I I

Cálculo y análisis

Referencia en el Reglamento

1. Determinar las earg;¡s f.:Jcloriladas. Mu

=

1.4 (6.0)

+

ecuación 9.1

=

1.7l4.41

15.9 ton. m

Vu = 1.4 (5.8)

+

1.7 (4.1) = 15.1 ton

Nu = 1.4 (-D.9)

+

1.7 (-7.1) = -13.3 ton (tensión)

2. Determinar la resistencia al GOrtanle pr::Jporc.ionada por el concrelO. Puesto que no se especifica la re~iSlcncia promedio a la l.cnsión fe1 se redueeylP; mediante un factor de 0.85 (concreto ligero con arenal. 11.2.1.2

Ve

=

0.85 'P 0.53 {I

+

= 0.85 (0.85) 0.t13 [1

= 3980

0.07.9~~ Ag

h(f'~bwd

+9..:9-7.9.1. ~~

3~J (25) 4:'>

ecuriei6n 1 1-9

ly'2bo

(25) 40 .

kg ~ 4.0 ton

3. Veri ficar que la ~ecl.;i61l st;¡¡adecuada. 11.5.6.8 11.1 ton <24.0 ton

(correcto)

1I I

L~:--- ~~-

-------

--_._-~~_

.._---

_._-----

~~------------

11

I I I I I I I I I I I I I I I I I I (l'

DISEtirD DE :::ESTRUCTURAS DE CONCRETO

4. Oett.er'mir=mr la ~raei6n

requerida de los estribos en U.

slra:querida)

= 'P Ay fy d/(V u - 'P Ve) ,

SlCJoniendo

estribos en U del núm. 3 (Ay == 1.42 cm')

'slr=querida}

== 0.85(1.42) 2.8 (40}/1(1

Comentarios al Reglamento sección 11.5.6. apéndice F

I

5. Verificar

la separaci6n máxima permisible de los estribos.

(\i.!.J -

'P Ve)

1 í 1 ton ..•..

== 12cm

< 0.85

< 14.7

'P 1.1

JT';b..,¡:J

11.5.4.3 (correcto) .'

tpn

~.

:~ ::;e aplican las recomendaciones si;¡áx.}

de la sección 11.5.4.1 _

de los estrioos vertiCales <:d/2 = ,20 cm

11.5.4.1

<. 60 e;'

o también

s ,áx.} de los estribos en U del núm. 3. correspondientes r- ~~imos del área de refuerzo s . -náxJ

==

Av fy/3.5 bw

:. s(máx.)

= 1.42

a los requisitos ~

(2 800}/3.5 (25) == 45 cm

= 20 cm

Resum.en Utilizar estribos verticales del núm. 3. @ 12 cm de separación. EJEMPLO 13.3 Diseño por cortante con compresión axial La secci6n de un miembro sujeto a compresión con estribos se ha diseñado para las condiciones de carga dadas. Sin embargo. no se ha tenido en cuenta el hecho de que. bajo una inversión en la dirección de la carga lateral de diseño (víentoLla carga axial causada por los efectos combinados de la gravedad y las cargas laterales. se convierte en Pu == 4.5 ton. sin cambios importantes en los valores de Mu y V . Revisar los u requisitos de refuerzo por cortante para la columna bajo: a) cargas de diseño originales. y b) carga axial reducida.

Mu = 11.9 ton-m Pu

= ,72.6 ton

Vu

=

f'c

= 210 kg/crn2

fy

== 2 800 kgícm~

,

9.1 ton

I

l~~-

-------

--------

---_._----_.~

1: I

li

I I I I I I I I I I I I -~ I I I I I I I

!.--..:.-

---

-_._-

CORTANTE

\------.40

l.

----

cm

-----1

I

------

Vu

-

# Estribos del núm. 3C =m

3 @ 30 cm AS!

= 8 varillas del núm. 6

4cm

Cálcule y análisis

Referencia en el Reglamento

=

Condic.":>n 1: Pu = Nu 1. Det~'minar

la resistencia al cortante dada por el concreto.

+

d = 40 -{ 4 '" V ~

72.6 ton

= '" 0.53

.-

1.0 (1.9/2)] == 34.0\, cm

+ 0.0071

[1

j

~

v'~

bwd

ecuación 11-4

Ag '" V c

(O.53)[ 1

= 0.85

+ -(O:.--__ 0071. ) 72 600J ~._ 40

=

9 350 kg

>9

_ ¡---V 200 x 30 x 34.05

x 30

100 k 9

2. Detr:rminar la separación máxima perrni5ible para estribos del núm. 3. s(máx.} = Av 1/3.5

Condición 2: Pu

=

38 cm

=

Nu

bw :: 1.42 (2800)/3.5

le

30

ecuación 11-14

> 30 cm dada

(correcto)

= 4.5 ton

'. Determinar la resistencia al cortante suministrada por el concreto. ",Vc

= 0.85

(0.53) [1

+ 0.0_~_~_(~5?O)] 40 x 30

x [vi 200

= 6670

---_.-

kg

ecuación 11-14

(30) (34.051]

<9

100 kg

----------

--

------

.--------------

----

I I

-

I I I I I I I I

•

DISElQO DE ESTRUCTURAS DE CONCRETO

:. es preciso suministrar refuerzo por c:ortante para tomar el exceSo de cortante. 2. Determinar la separaci6i1 ~xima s(máx.)

!

, I

1I I

/

< 30

'-

11.5.4.1

(dada) no cumple

:. reducir la separación de los zunchos del núm. 3 de

30 a t 7 cm centro

a centro.

-"" "

EJEMPLO 13.4 Dlsef'io por cortante: nervadura de concreto Revisar los requerimientos de cortante de la nervadura con cargas uniformemente' di~rlbuidas como se muestra a continuaci6n.

r

> f'c.

=

250 kg/cm2

fy w

2

= 2 800

=

.

kg/cm2

580 kgi;"2

Refuerzo longItudinal supuestó: Una varilla inferior del núm. 5 ,

,

Una varilla con doblez del núm~6

I I

'-Una varilla superior del n6m. 7

j

!

-.

iI

6.10 m

,1

Varilla del núm. 6

==

---::===== -===

==-.

r-I Varilla del

I

I

'.

= d/2 = 34.05/2

= 17 cm

-._-'

I I

permisible de estribos del núrn. 3

"

I I

11I I

\

Varilladel n~m. 6,'

Mm.5

=:.====.::::!

.1_ ------~

) EI6V8ci6n de la viga

-.:-=-

~

I

75 cm

-Yr

d=30an

25 cm

•• . 1.

7Scm Secclón A-A

L

/

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I _

~L

__

. 1. Determinar la carga factorlzada ..

=

W

u.

2.

+

[1,4 (280)

1.7 (580)) 0.88

= 1 378 kg/m1

ecuación

9.1

.

Determinar la fuerza cortante faetorizada. A una distancia d del apoyo: Vu

= 1.37 (3.05) - 1.37 (0.30) = 3.7 ton

3. Determinar la reSistencia al cortante suministrada por el concreto. De acuerdo con las especificaciones de la sección 8.11.8, se puede aumentar Vc en un

10 % 'PYc

ecuación 11-3

= 1.1 'PO.53~bwd

l'

= 1.1 (0.85) 0.53 ";250 (13)30

=

3055 kg

<3 700

kg "(se excede)

Calcular Ve utilizando la ecuaci6n 11-6 Calcuiar

Pw y Vu d/Mu a una distancia d del apoyo: + 2.86)/13(30)

Pw

= AJbwd = (1.99

Mu

= -wu 'f/l1 + Wu 2 = .1.37(6.10)1/11 .= -4.63

+

+

d/2 - wud'

t2

1.37(6.10)

x 0.30/2-1.37~0.30)'/2

124 - 0.06 == -3.43 kg/m

Vu d/Mu = 3.7(0.30)/3.43 == 0.32

~ 1.1 (0.85)[ 0.5 v' 250

) . I{JVe

x[

.'

= 0.0124

+

<1

.

1'.3.~. ,.

"

175 (0.024) 0.32]

13 (3D))

. = 3374

< 3 700

kg se excede

. De acuerdo canJas especi ficacioneS de la sección 8.11.8, la resistencia al oortante . ., 18 construcción de la nervadura puede aumentar con el uso de refuerzo por cor,tanta o ensanchando el extremo de las nervaduras. Por consiguiente, se considerará un aumento en la sección de la nervadura cerc
Cllcular bw• la distancia d del paño del apoy~ :¡,

(;, .. ,'"

.'

bw

= 13

1";;;';;'_ .'~~':

I{JVc

+ 13('(90

- 30)190 )

= 21.7 cm

al "",,"ot. que proporejona el cooCr.to • l. áostanclad del aPoloo.

=- 'P0•63 ~bwd == 0.85 = 4 640 k9 >\. 3 700 kg

(0.53) "¡2fJJ (21.7) 30 ecuación 11~ (correcto)

r3>=i I 1.-

-.

I

! ._--

I

2Scm

j

l.

_'o

,

-----------

----

--

I I I I I I I I I I I I I I I I

-

----

Torsión

EJEMPLO 14.1 Diseño de u na trabe de borde con cortante y torsi6n combinados Diséñese una viga de borde el en el segundo nivel de un estacionamiento con coro tante y torsi6n combinados, suponiendo secciones que se considera han sido adecuadamente diseñadas para flexi6n y cortante. La omisión de columnas en las estructuras para estacionamiento introduce en muchos casos, 'Jna torsión apreciable en los de borde.

,1

I I I I I I I I I I I I I I I I I I ~I

( OISEIi)O DE ESTRUCTURAS

DE CUNCReTO

------'lr-------.--.f{f--

t

3.65 m

_

+--

,3.65'"

@ I

------ ..-----

t

'@

.

-t



--------

1(0

I

t

Q)

3.65 m

t t

I@

------_._.

+- .-I

3.65 m 7.30m



-----

I

t

IQ)

I

I I

3.65 m

I

lr--

1 1_.

J

¡ II

15.85 m

15_._85_m

I

5ecd6n d. una planta de un estacionamiento Nota: Se omitieron 181 columnas F V H para la entrada y la salida !

1I 1

Criterios de diseño: Tablero típico = 3.65 m x 15.85 m

I

EsPt';S0r de la losa = 11.5 cm

I

Carga viva = 244 kg/m2 uniforme.

,

f e = 280 kg/c~" fy

=4

1

° 910 k9 concentrada

Ji

11

.-'

ji

(concreto de peso normal)

I

200 kglcm"

Altura = 3.00 m (de piso a piso)

1

Todas las vigas = 38 cm x 76 cm

\ I

I

Columnas elCteríores = 38 cm x 60 cm Columnas interiores

II

= 60 cm x 60 cm Referencia en el Reglamento

Cálculo yanáfis/¡

I

1. Las nuevas disposiciones de la sección 11.6.3 simpl ifican en gran parte la deter. minación del momento torsional en la viga CI, ya que es parte de una estructura' indeterminada en la que puede haber redistribución de (as fuerzas intem:>!. El momento torsional para el diseño se puede suponer como: (l.l ~'£

x" yrJ)

Hallar 11.1 JfT;'£ x" yrJ) para la viga CI.

11.6.3

-- ------------------------------------=--=--------_._---------------- -------

I

j

----

~

I I

I

1:

I I I I I I I I I I I I I I I I

TORSION

,L

11.5 cm

I

76 cm

11

1:

1I

L

J

I

I

Para la pro;:.orción de la losa

y

1; x'

l{)(1.1

= 3 x 11.5= 34.5

y = 382x

l{)

=

76

+

11.52 x 34.5 = 114306cm3

0.85

R~ 1; xl y/3}

= 0.85(1.1

J

. 114306 280x---) 3

= 5.9ton.m

Este valor se debe usar para determinar la redistribución de momentos en la viga FG. La reacción resultante en F determinará el cortante en la viga el para utili. zarse en combinación con la torsión. 2. Determinar Jos mon1entos de empotramiento en los extremos de la viga FG. O L de servicio = /0.115 x 3.65 0.635 x 0.38) 2400 = 1 584 kglm

+

"

LL de servicio

= 244 x 3.65=

Carga factorilada,

U

w~

M. E.

1/

= --

12

I I I ,-------

~'m

I

----

=

890 kg/m

1.4 x 1 584.+

3.73 x 15.85:1 = .---"_'_

12

1.7 x 890 = 3730

= 78.32 ton-m

kg/m

9.2.1

11 I I I I

DISEf:!O

3.

ore

DE r",';TRUCTURAl;

Apli<'~"l

Corno 10 en

'~I

IUI~,ínllill

IIIOllllln\l)

l()I~IOll,d

f:';IO rlll)rlll~nlI1

el ex tierno

dI'

,':ONCH[10 11::.11ic.'il!o

V I¡,(hu,ido, rlt:I 11;".0 1 , ,', ~l tI 'l' m. :.¡: :lp\;r,\ dtw.dc lo'; d()~ l'(lWIIIII~ de f • d lIIorner ••

FC ~."r(\2 )( 1).9 -

1,.n

1ml m.

~

r--+- -

~ -.

---- ..-----.----------.--

7 B 32 _ 11.80

ME M

_-~.~

Me 66.52 ( - (15) -

+66-.5-2

MA

33.26

-

-

11'.58

-' ME

¡

Me

\

M

. y&f11ÍGJ1Tir¡-illf _

11.BO

'

.

_-

4. Hallar la reacción de

i-

:8 viCió

en [. y "'!

(0r12IP':

111.58

resultante en la vio;¡ el.

1- .'¿~~_._-_--_- ..2::.~0n/m

-

"')ton.m

C A-', -----==~.:::--.=._--,-------==-.::.-=--=--=--=------.,

I I

~-'-----_._-_._~.~,~.=~----~

II

,1

1585

RF

+

15JP' 111.58 -

n.BCJ -

3.73 x .~-

:::: o 2

RF ,

I I

=

-111.58

+

n,80

.

15.85

+.,.----,':6'3.52

,=

23.26 ton

,. '1 "

I I

1\

i

I

I

I I I I I I I I I I I I I I I I

,1

_1

1

1

1I

11

,I I

I 1

I I

TORSION \

OL en U

=

e

~ O.i6

1.~

0693

)C

0.38 )( 2400

=0.970

=

693.17 kg/m 9.2.1

I

-

I

ton/m ,.'

"[1

Seccibn crític

, + .. = .'

70

V

u

el: suponer d = 70 cm .

I

~ 11.6.4

89 cm del centro de la columna

-= -~ -;?6 ,__ + .0970

(3.65 - 0.89) == 14.30 ton

. '2

~

; !umna

5.9 ton.m

:ro~í6n

3.65 m

23.?~ :; t t.63 ton 2

Viga

el

o 5. Calcular el ~

.1

requerida de estribos ccrrad()~

¡¡

torsión.

11.6.5

I

I I I I I I I I I I I

OIS(l\)O

DE ESTRUCTURAS

0= CONCRCTO

T ha sido reducida <,5.9 tor ..m en la etapa 1 anterior u

ecuación

b••"o

Ct

:.3 x 70

= -'-

I:x~'1

Suponiendo

:-.:---.-~ -

O 02327

':0

11.0

114~')::,

un recubriT,;C:,',o de 3. 7S y estribos del núm. 4

Xl

=

38 - 2 (3_75 -1;-0.625)

VI

=

76 - 2 (3.h

el t

+

O 625)

=

29.25 cm

=

,'7.25 cm

.6. Calcular

= 0.66 + O.3~;

0.85>..',

.- • :::::i.42 ')fl'Z::,j

)Il:::.

I 1;']

el área rCl.l'Jt:i ¡d3 '.Jr;

0.[>3

Ve

.rf~bw'-l

tstrilJOS

=.------ ...-- _.

rara (;ortante.

= 9 073

25 k~

'.I,.1'!

::=

1200 x 38)(

0.53

70

.... ,...-----.---------

~-~-r).~ -~~y /1-; / "

00295cm:1/cm

x :l0. x 67

el

Ve

7.7.1

,.'5~1.?'r~"

= s

"-2~

ecuación 11-5

í2-~~~.02327 x 590000YZ

\

143001

3.07 10:1

ecuación 11.1

_.-

------

------------

--

------

------------

I

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

I

I

iI

I !

TOR$IO~

Vu

14300

= _.-

Vs

Ve

= ----

'"

9073,25

----

4200

s 105

requisitos para estribos de cortante y torsión combinados.

== 0.0426

em'2/ cm

2

~

0.70

=

1.7 ton

ecuación ".17

0.0263 cm'2/crn

Probar ~na varilla del núm. 3. L\b

S

=

x 70

0.0263 _Al +_Av = 0.0295 +----

s

7 75IJ kg

ecuaci6n 11-2

=----=

7. Determinar

=

0.85

=

::=

0.70 crn2

16.50 cm. Cclocar est:iboscerrados

del núm.3a

16.50 cm.

0.0426 8. Verificar la separación máxima de los estribos. Xl + VI 29.25 + 67.25 ----= ---_.--_ .._-

==

24.13

>

16.50

correcto

116.8.1

correcto

11.5.4.1

4

4

d

70

_::=-

2

==

>

3500

16.50

2

9. Verificar los requisitos al centro del claro.

1

"----

,

V

s

=

11.63

-

4.61 -Av =~----_.

A

Av

S

~

t __ +_

=

0.70

0.0374

------

---

------

==

4.61 ton

:=

0.0157

4.2 x 70

S

5

9.07

0.85

== 00295

0.0157

+ .-----

== 0.0374

2 ==

18.71 cm. Utilizar longitud.

16.50 cm para una $eparacíóo en toda la

I I I I I I I I I I I I I I I I I I

l~I

DISEF.tO DE ESTRUCTURAS

DE CONCRETO

11.6.9.2

10. Verificar el áreét.mlnima de estribo.

3.5 bwS A.¡.+ 24t = ---

3.5 x 38 x 16.50

= -------

.

cm'

0.52

= 2 x 6.70 =

correcto

1.40 cm'

11. Ca.'cula'r el refuerzo longitudinal a torsión.,

A£

= -2~

(xl

ecuación 11-6

4200

fy

Arca dada

=

+Yl)

=

11.6.9

+

2 x 0.0295 (29.25

67.25)

ecuación 11-24

s

= 5.69 cm2 A£

= 28 -[

x s ( ----.

fV .

3.5 bwS

Tu

.

) -2A , t ] (x .

+3C

1 + 1) _Y

s .

'

t

3.5 bwS . --por 2At) fV

(o su'tituyendo

---

Tu

',Vu

=

0.52

< 2At

= 2)( 0.0295 x 16.5

= 0.9735

tv Usar 2Ar 28 x 38 AS!

x

16.5 (

= [ --4 -;-~

590000 590

oo~ + -, ~30-º3

29 25

-

O.973S,

]

+

)' x

002327

67 25)

( '---'6.;---' --

A£ ", '7_4~J Cfl:~. ('nlp(Jr v"rilidS lungitudin,.!es ;;Ir.'dt'dor del d" lo:. (:'.l/il,os (':rr;"je)';. ,;,'p;,'r;.do,,, no rn¿s de 3ncm. y col0Car una "alilla lon~J1"Jr!lfl;¡1en c.ad" ('Sl'""" ti': ICl~e,tribos cerrad"s. l.il~ \'¡¡rill;¡~, longitu. dil\,1le:,.sp IlJ':c!"fl' ()fllblfl;1I :<'[1 t~1Ir,f,,1 I/O;¡ f1e.ión. SUffliniSlrdr

peliflll!l(Cl

---

-------

--------------

--------

----------------

o

1-

,-

I I I I I I I I I I I I I I I I I I --

TORSION

, 12. Análisis a flexión de la viga CI: (se ignora la acción del patin). Considerar la unión columna-viga -Rigidez de la columna 4E I

en C:

60 x 383

-= (arriba)

= 3658E

l

300

Rigidez de la columna

= 3658E

(abajo)

Trabe da horde

)

Columna

I J8 cm

,

.

60 cm

Planta

....

4Et

Rigidez d~ viga CI =-l-

dI) 18

unión

4Ex38x753

= 730 x 12

4E I 4E x 38 x 753 Rigidez de viga AC =- = __ ----=. l 365 x 12 o

:E Factores de distribuci6n

e

=

7320E

=

14640E

=

29276E

en C (yen 1):

3658

Columna

(arriba y abajo)

= ----- =

0_124

29 276

-- --

._----_._------

-----------------

------'-

I

I I I

'!

DISEIQO DE ESTRUCTURAS

DE CONCRETO

í

14640

CA

=--=

0.500

29 276 1 1

7320

•

Cl

I

=--= 0.250 29 276

: '1

I 1I

M. E:

0.970 x 3.652

w£1 CA

=-=-----

.,...- ,

12

CI

pi =-

w22

+-

8

I

=

23.26 x 7 30

=--------.

12

I I '1 I

I 1I I 1I

0.970 )( 7.302

+ ------

8

= 25.52 ton-m

12

Distribución del momento en dos etapas: (No se muestran los momentos distribuidos a las columnas a la columna arriba y abajo).

I '1

1.08

12.

e FD

0.500

0.250

0.250

1.08

- 25.52

- 25.52

-

0.500

"-\!

-

o

- 12.34

+

6.11

+

6.11

- 12.34

o

-

3.09

-

3.09

o

+

0.78

4-

018

Me

-

.0

'.53

- 14.96

- 21.12

- 21.72

Momentos finales eQlos extremos de la viga el = 21.72 ton-m

P2

Momento al centro del claro en CI =--

w22

+ --

8 23.26 x 7.30

= -----

8

0.970 x 7302

+ ------

24

+ 3.80

+

(25.52

-

24

= 27.17 ton-m

21.72)

-

1.08

1.53

_ ••••.gS

1 1 1

_. TORSION

I

11 1 1 1 I I I I I I I

•- Usar varillas del núm. 5 (Ab == 2.00 cm') Varillas de torsión en las e.quinas superiores de la viga: Alargar dos varillas de momento negativo. en las esquinas de la viga, en toda la longitud de la viga. ' Usar vi1f;J!as del núm. 5 (Ab == 2.00 cm') .•....

I

11.25 cm

6 varillas del núm. 5

t

2 varillas del núm. 5 Euribos del núm. 3 en 17.5 cm 2 varillas del núm. 5

3 varillas del núm. 6

Secci6n de momento negativo

EJEMPLO 14.2

Diseño de una -trabe de borde prefabricada para cortante y torsibn combinados Diseñar una trabe de borde prefabricada de concreto reforzado para cortante y tor.si6n combinados. Los del techo están simplemente apoyados sobre el reborde de la trabe. Las trabes de borde se unen a las columnas para transferir la torsión. No se da continuidad entre las trabes de borde. . Criterios de diseño Carga viva == 146.5 kg/m'

I

Carga muerta

== 312.5 k.g/rn' (viga doble T

f'e == 350 kg/cm' fv'

I

== 4 200 kg/cm'

+ aislamiento +

cubierta)

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I 1-

TORSION

RefufflrzO para el momento

negativo

Usancj~ la tabla 2, página 182. torno 1:

Calcuiar

___Mu .p f 'e

=

2172 000

bd2

= 0.0463

0.9 x 280 x 38 x 10~

De la tabla 2, leer

w :::::0.048 . Wf'cbd

0.048x2BOx38x70

As = P bd = ---

o: -_

..- --------

fy . Refu =:rzo para el momento

= 8.51 cm2

4200 positivo

Calc~lar Mu

27.17000

---== -------_._._op f 'e bd2 0.9 x 280 x 38 x 702

=

0.0579

I

!I

De la tabla 2, leer W ::::: 0.061

w I te- bd

As. =----

I

0:061 x 280 x 38 x 70

= --_.-

..----

--=

10.81

cm'

4200

fy

13. Tamaño del refuerzo longitudinal combinado. Se requieren ocho varillas longitudinales para el r~fuerlo de torsión, para cumplir corl los requisitos máximos de separación. 11.6.8.2 Se combinarán dos varillas adicionales en las esquinas (lecho superior e inferior) con el refuerlo

por flexión.

Sección de momento positivo.

A2

-- + 4

As

12.45

= .-"- +

lO 61 == 13.72 cm'

4

Usar 6 varillas del núm. 6 (As. == 17.03 cm')

I 1

I

I

I

-

----

-

--

-

---

--

-

----------

-----.--.

-

_1

I

I I I I I I I I I I I I I '1 I I I I I

DISEIilO DE ESTRUCTURAS DE CONCRETO

. Sección de momentos negativos;

Ai

-

+ As

12.45

=-

4.

+ 8.51

12.1

=

11.62cm2

4 L

Usar 6 varillas del núm. 5 (As

= 12.00 cm2)

Varillas extendidas de momento positivo:

12.1

'-../

A2

As

12.45

8.51

+= -- 4 + --4. .4 '4

= 5.23cm2 .'

Usar 3 varillas del núm, ~ lAs

= 8.51

cm2)

Varillas de torsi6n en los lados de la viga:

A2

12.45

8

8

- =-- =

-'

1.55cm2

2 vwlnas del núm. 5

,

t 2 "lIfllla del núm. &

7San

Estribosdtl nUn\. 3.n 17.5 cm 2 varllllls dol nCun. &

6 varilla d.1 IlÓm. 6

6.25 c:rn

.•.

l.

38 c:rn

J

Sec:dbn d. momento positivo

-

----

I 11.25)(m

--- ----

I I I ~ I iI 1:

I

I

I

I I I I I I I I I I I I I I

DISElQO DE ESTRUCTURAS

DE CONCRETO

I

I

I

I I

I I

I

I

I

~1

I

18.30m _o'

.OOx O.60~ Vioa doble T hipo)

I

I

"L-

I

Viga de borde

401140cm columnlU pie

A 9.15 m

9,15m

9:'5 m

9016m

Secci6n de la planta del sistema de techado

prefabricado

Los que forman el techo son elementos doble T de 3.00 m de ancho y 60 cm de peralte. IEI diseño de estos elementos no se incluye en este ejemplo.) Para el apoyo lateral. los extremos alternados de los se fijan a las vigas de soporte.

_.

o

GOcm TT

7.5em

.f> ... .

., o

'q

. '.> ....

V.

~

1'-

..~

20em

o

.~

v.

q

0.95 cm cojín soldado

' 00

t>

o',

lextremos opuestos en las vigas doble T "Itelnadas) 0.95 cm cojín elaUomérico

SeC'Ci6n A.A

~ Columna

------- -

----

----

----_. - ---_._-- -------_.

I I I I I I I I I I I I I I I .1

TORSION

Réferencis en el Reglamento

ellculo y análisis

.•.... 1. Suponer que la

Caf~"'1 de

las

coble 1 sobre las trabes de borde es uniforme.

vj~dS

Calcular las carga~ fxtorizadas

M'J' Vu y Tu para la trabe de botde.

Carga muerta: 18.3

Superpuesta

= (.312 x-2

Trabe de borde

=

(il40 x 0.80

= 2.85 ton/m

+ 0.15

x 0.20) 2.4

'--'"

Total

18.3 = 0.146 ~ __ 2

Carga viva

=

Carga factorizada En el centro del

.+

ton/m

= 3.70 ton/m

1.3-1 tor./m

1.7 x 1.34

= 7.45 ton/m

9.2.1

dé3l'(1

7.45 x

Mu

1.4 x 3.7

=

= 0.85

= -----

!¡1

= :-5.4 ton.:-n

e

Cortante en el extmmo Vu

= 7.45 x !'!!2. = 33.5 ton

Carga torsional factorizada

= 1.4 x 2.85

+

.¡

1.7)( 1.34

= (;.2::> t('n/m

" ..•'

Momento torsional E:n el cxtr¡;:o:o Tu' = 6.25

JO:

~V2 x O.Lf) = 7.;0 ,on

la sección crítica esq

:3 ur.3 ¿i5t~¡ncia "d" del paño del apoyo.

Suponer d = 75 cm; la s.:.cción crítica está En la sección criti~:

(4.5 - 0.95

3.55

Vu = 33.5x---= 4.5

Tu

I I

=

él

75

= 95 cm del centro.

+ 20

= 3.55 m del centro

11.6.4

11.1.3 dal claro)

25.4~on

.

7.~ x :i.5514.5 = 6.23 lon.m

-1 --- --

---

-

------

-

------

------

----

I I I I I I I I I I I I I I I .1

DISEIQO DE ESTRUCTURAS

DE CONCRETO

La trabe de borde debe diseñarse para el momento torsiooal total factorizado. va que esto se requiere para mantener ,el.equilibrio. 11.6.2 2. Determinar 1: x2

de la sección de la trabe de borde.

y

11.6.1.1

3. Verificar si es posible despreciar la torsion. (0.13 ~~X2y)

:::: 0.85 (0.13

11.6.1

J

3~ x 132500)

::::3222 kg-m

= 3.22 ton.m

< :TU

= 6.23 ton-m

Es preciso considerar la torsión '-

4. Calcular la resistencia al momento tor5ional originada por el concreto. Te

0.2 JTT;. 1: x2y

+(~~:1'

j' C1

11.6.6.1

=-,-------

bwd

=-

40x 75

::::---

1: x1y 132500

ecuación 11-22

::::0.0226

0.2 J3fIJ x 132500 Tc ::::------------::::

j~(-"'-'O.4~lC ~)2

11.0

2.43 ton. m

26.4

1 +0.0226)( 6.23• -;;-.

I

I

I

I

I

,'.

I

11

I

1

_1

I

1I I I I I I I I I I I I I I l' I '1

,-------

TORSJON

5. Determinar el área requerida de los estribos cerradOs, para la torsión.

At

(Tu - tpTel

-=---s Suponiendo

exterior.

Xl

YI

11.6.5 11.6.9.1

4J'fy~xIYI

una cubierta de 3.12 cm y estriboS del nllm. 4 'para la exposición 7.7.2

= 40 = 80

- 2 (3.12

+ 0.62)

= 32.5

- 2 (3.12

+ 0.62)

= 72.5

72.5) ( 32.5 =

Oí = 0.66 +

0.33 -

1..40 11

I

At s

=__ (_62_3_000 __ -_206_000_)_ = 0.0354 0.85

x

60

x

1.40

x

13

x

cm2/an

i

29

'6. Calcular el drea requerida de estribos para cortante.

0.53

J'f'"'; bwd

0.53

J 350

.,i

x 40 x 75

= ---'----'------

i i.

¡

I

I

Vc = 17850 = 17.85

j ecuaciÓn 11-1

!

I Vu Vs =- -Ve

tp

26400~ , =-- 17850 =13210kg =,13.21 ton 0.85 ecuación 11-2

Av

V,

13210

s

fVd 2 400 x 75

- =-=----

- ----

/

0.0734cm2/cm

ecuación 11.17

II

,1

l. I I I I I I I I I I I I I I I I I

DISEAO DE ESTRUCTURAS

.-.

DE CONCRETO.

7. Determinar los requisitos de estribos para cortante y torsión combinadcs.

At

+ Av =

s

2s

0.0354

+ 0.0734 = 0.0721

cm2/cm ~.

Probar con estribos del núm. 3

= 0.709

Ab

cm2

0.709 s

9.83 cm

=--::::

0.0721 8. Verificar la separación máxima de los estribos.

Xl

----

+ VI

325 + 12.5 = -----::::26.25 cm o 30 cm

4 d

75

- =2 2

= 37.5 cm o 60 cm

. 1..1 ~

11.6.8.1

4

bwd ::::1.1

J

11.5.4.1

40 x 75 350 x .---1000

61.3 ton>

VS

:::: 13.21

ton

correcto

Utilizar una separación mínima de 16.25cm y máximo de 26.25 cm 9 .. Verificar el área mínima de estribos.

Av

+ 2At

11.6.9.2

3.5 bwS 3.5 x 40 x 16.25 . ~ --;.:;--.---= 0.54 cm2

ecuación 11.16

4200

fy

Area dada 2 x 0.709 :::: 1.42 cm2 (correcto) 10. Determinar la distribución

de los estribos.

Como el cortante y la torsión son cero en el centro del claro, y se supone que varían linealmente hasta el vaJor máximo en la sección critica. el Jugar donde comienza la separación máxima se puede determinar por una sencilla proporción. s (crítica) ----x s (máxima)

16.25 11.88 =-x 26.25

--- -- - --- --

3.62

=

2.24 m

I I I I I I I I I I ,1 I

1I I I I I I I

TORSION

3.62 m 224m

111111111111111111/11/1 16 @ 1625 cm

= 2.30 m

8

@26.25cm

= 2.13 m

Separac:l6n de los estribos

11. Calcularel refuerzo longitudinal a torsi6n.

A2 =

~rf. + VI) s

11.6.9.3

..

= 2 x 0.0354 (32.5.+ 72.5)

= 7.43cm2

I

A2 = (28 x s ~ Tu ) fV T + Vu u '3et

3.5 bWS (o sustituyendo ---por fv

3.5tlws

---

= 0.087

'v

•.

J (XI y.) . +

_ 2At

ecuación 11-25

$

2At)

< 2At = 2 x 0.0354)( 16.25 = 1.15

Usar 2At

f

J(325

~ 40 x 1~.25~ ------623000 AR = 28 ----. 4200

623000 + 26400 3

= 9.80cm2

) -1.15

x

0.0226

+ 72.5'

16.25

'1

i 1 1

I

I I I '1 I

l. 11

11

TORSION

13. Desarronar los detanes para la saliente de la trabe de borde. En el alma de una viga doble T Vu = (1.4 x 2.85

"

+

= 9.51 ton = 95.1 ton.cm = 0.95

1.7 x 1.34) 1.52

En la sali.ente. Mu = 9.51 x 10.

ton-m

Suponer una b efectiva = 75 cm y d = 18.12 cm Utilizando la tabla 2. página 182, tomo 1:

"--/

I

li

I

Mu

95100

=

= 0.0123

0.9 x 350 x 75)( 18.122

.pf'chd2

1 1

1

I ,1 I I 1 I I I I '1

Para esta baja resistencia 14/fy.

pmin.

14

14

fy

4200

=- =.-

As == P bd

=

a momento

requerida.

emplear .p mínimo

igual

10.5.1 ecuación 1()'3

== 0.003

0.003 x 75 x 18.]2 == 4.07 cm'

Utilizar varillas del núm. 4 a cada 16.25 cm

As

~,'

= --75

x 1,29 == 5.95 cm]

16.25 11.7

Requsitos de cortante:

",Vn

= 'l'AvffylJ.

> Vu

0.85Ayfx4200x

.ecuación 11.26 ecuación 11-1

1.4 == 9510

9510

=

Ayf=

1.90 cm1

0.85 x 4200 x 1.4 Emplear un ancla del núm. 5 para la placa soldada en la parte superior de la saliente Ay, 2.00 cm' .

=

: • $upone,

un f!rrM de 2.5 cm DI colocll1' la viga doble T.

,1

'1 .

-- -- _ ... -

--_ ..- --

DISHlO

DE ESTRUCTURAS

DE CONCRETO

Considerar A£ :::;: 9.80 cm2. Colocar varillas longitudinales alrededor del pedmetro de los estribos cerrados, espaciados a no más de 30 cm, y situar una varilla en cada esquina de los estriboc cerrados. Las varillas longitudinales se pueden combinar con el refuerzo a flexión. 12. Tamaño del refuerzo longitudinal

--

Ai/

c.ombinado.

9.80 == ._== 1.22 crn2

8

8

Emplear varillas del núm. 5 en los lados y en las esquinas superiores de la viga de borde.

Utilizando

.-----

la tabla 2, página 182. torno 1:

Mu

7540000

-- == -.. -- ------ ----.-:: 0.1064 2 .0.9 x 350 x 40 x 752 l{) f 'e bd \

En la tabla 2, léase

w =

0.1165

wf le bd 0.1165 x 350 x 40 x 75 As=-== ."'-:---- .-.-.-------::: fy 4200

29.12cm2

En el centro del claro:

A~

"- +

980 As ::::----

4

+ 29.12

:::: 31.57cm2

4

En el extremo

del claro (refuerzo extendido):

A£

As

9.80

29.12

4

3

4

3

--+-= --+ --:: Emplear 4 varillas del núm. 10 (As Prolongar As

12.12.1

12.15em2

==

32.77 cm2

)

2 varillas del núm. 10 hasta el e•.tremo de la tra~e

==

16.38 cm2

DISEf;¡O DE ESTRUCT\JRAS DE CONCRETO

40 cm

ReClJbrimiento tipo de 3.12

r~

cm---1 1--

I

Estribos del núm. 3

2 vorillas del núm. 5

80 cm

--r

del núm." @ 16.25 cm

=:J

20 cm

4 varillas del núm. 10 I

del núm. 5

'1 -l

@ plsce soldada 0.55

----l 2

5

varillB$ del

"ro.' 1cmde

•. recubrimiento sólo en la saliente

Seoci6n en el ocntrl? del claro

Cojín elastomérioo de 3/8" Ploca soldada de 3/8",. 5" ,. 5" del núm."

@16.25cm' 1cmde. recubrimiento Detelle en saliente

I I I I I I I I I I I I I I I 11 I I I

Tabla 1. Tabla para cortante V torsión combinados

Zone de fnterec:c:16n flgur.1

_-

•..

Condlclon

••

Refere,ncle en el Reglemento

de diaeno

.

O)

2

< q,(0.5

U

L. ronl6n

"TT!JI 1)

11.6.1

e,

'e puede

Ninguno

delprecl.r

2. Vu <
1.

el)

u

ae puede

2.

'PVc > V

1.

T

(3)

<

U

Le torol6n

Z.

11.5.5.1 '..

< ",(0.5 ~T.

(e 10nión

iy)

11.6.1"

A

11.5.5.3

de.preeler

I

-

Vu\ > V,

1. Tu >

11.6.1

•..

1. 'l •

T

>

U

• Ve

(5)

'

11.6.1

>v u > lp

11.5.5.5

Ve/2

, 1. 2.

()

(6) D

3.

T

.>

U

lflTc

50 bitS .-r;-

Ar •

Ec.

OI•••lIer pere Tu I

50 b s A.., • 2 At - ~11-16) 1 Ee. (11-"4) (11-25 )

(6)

Z.

An'lIal. de une .ecclón no agrietada pl"e momento tOfllonal T u

3.

• ¡¡;¡ y cr t

A

•

Tu >

11.6.9.1

2.

Redlatrlbuclbn do) momento tO,.(on81 delpuéa del agrieumlon\,?

11.6.3

Oia.lI"r per" .1 par c. a Jrietamlonto

T

I

U

(8)

.

I

1.

J.

\

•

1. Tu>

-

--

-

_.-

(\

\/

-

(11-23 )


.

(11-24) (11-25) Ec.

o

iy/3)

Tu -lfl(4~];

(7)

Ec. (11-24 )'0 (11-25)

At,.

,

(11-23)

c..lcular el eo,tente y le loul6n combinado.

I

Ol,ell"r p
,

o

'(Tu - 'P\ls, KIli

A

2

\'11.6.9.1

> '1' Te

.

Corten te V to",16n m(nlmoa eombinadoe

I Tu

O

._ .•_-

t

1.

(11-16)

Celeu)., ,,1 cortente V le torli6n comblnedOl

11.6.2

Momento 10rllonel ,eQuerldo pa'e el eQu 11ibrlo

mlnlme

( 11- 24) ( 11-25)

Al-

11.6.9.1

tonl6n

2 At

I

..

(11-17)

1

Sólo pe,.

I

.

'P f d

11.5.5.1

.peO.s.rrre ];.2y)

4

(Vu ,- 'PVc)s

)

r/

(11 14)

tblo el cortante

V

I

mlnlmo

.-r;-

.,

A • 11.5.6.1

con.nte

50 b S

C.leuler

,11.6.1,

Vu <

Z. (4)

S6~o per.

del¡neeler

u >

M

-

,

~

1. "T

.

Refuerzo requerido

A

-

../f'r.i,/3l e

Celeular el corten,.. V le tOrll6n combln"do.

t

~

I

1

i

u

~

- epT ) S e

{U-23)


.

Ec, (11-24 ) (11-25 )

O

I

! 1

(T

•

11.6.9.4

lncr.monter l. al>Cclbn del miembro

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

11

11

DEFLEXIONES

11

ADHERENCIA~ ANCLAJES y TRASLAPES

11

ING, JOSE LUIS CAMBA CASTAÑEDA ING, CLAUDIO MERRIFIELD

.

.-

--

-

----

-~-

_____

-1

I

I

I I I I

1

EJH1FLO

7.7

Se

calcular

pid~

largo

Viga

T presforzada la

y libremente

deflexión

al

centro

apoyada. del

claro

a corto

y a

plazo.

Da tos

(D e ta 11 e d e di s eñ o del

8 5136

pe 1 )

r.1anu a 1

1I I

11 ! I I I I I I I I I ,1

e 1a ro =

2464

f

18 981 Kg/clTo

p u =

14 0 1/2" 4 0 1/2"

cm, 2

tendones

presforzadas

refuerzo

no presforzado

(Considerese

colocados

en el mismo

!Pi

=

0.7

x 14

Pe..

=

0.9

x 164890

Pe

::.

0.7b

x 164ti90

=

ee

;:

28.2.

cm, e c

57 .1 cm

Yt

=

66 cm

Restante (~s=

= wo

de 0.75,

Ca rga

carga

;: w.t.

14;)

;:

;:

1 28 614

=

3676

=

1333 Kg/m

607

la

__.

_.

_

~

•••.

_

."_

x 1nl)

2.868

Kg,

Kg/m

•••

cr.

164 390 Kg

ec.(21)

I I _

=

::. l~s ::. 119

ror resistencia

la capacidad

1

Kg

" cm L , 1 9

;:

ó de

::.

al calcul~~

400 Kg

permilnente

terP.1ino

v i va

Rige

x O .1 53 x 270 x O .453

,A 9

r-rC'pio

Peso

centroide

o

••

_..

_

t

a f1e~ión

cm4

aplicada

a los

2,

..

I

I

I

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

2

Calculas

l~.-

Relación

Carga

- peralte

e 1a ció n t ípi capa

lar Y'

de 35 a 40 para

c-ual

es

techos;

relat'ivamente

2.... - Calcu'lo

Mo

Wol2

=

(xO.96

=:

=: 65

=:

Wsl2 .=3

M

- Wl l2 -_

8

8

[

r a v i 9a T e s .. d e 2 5 a 3 5 par a en t r epi s en este

problema

=: 27

Ee

4.07

relación

es 27,

flexionantes:

550

K9m

para

calcular

esfuerzos

332 Kgm (B 420 K!}ffien 0.4l)

44 9BS Kgm (43 190 Kgm

=-y_

la

_

62 928 Kgm en 0.4l

Ms

l

(peI):

pequeña.

de momentos

8

n

Comentarios

y

=: 6. 6 .

\

J.

_

en

I

0.4l)

e le)

la

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

3

- Contraf1echa

Term

=

y def1exión,

.J:.QJ_'

e

e

la ec 21 2

-=-'_~

<:__ 12 Ee;

a po . =

(1)

usando

+

Ig

Po e eL 2 -_._----8 Ec;

Ig

4

')

143

400.(57.1 - 28.3)

(2464)L

1 4 8 4 OO (2 Ü • 3 ) { 24.&4..} .,. + -,--......•.... _------n x 238 700 x 2~.86'

'x" io6

12 x 238 700 x 286 x 106 8.48 cm

Term.

(2)

ao - 5MoL

5.92

=

cm

48EcIg

(3)

Term.

1

=

kr

Aps

.__ P_u_) a fXJ

Pu Po

2 Pu

:

~6 712 = ----148

= Ter~ . ( 4 ) Term.

( 5)

+ (0.7

O x 2)

(1

25712

-

400

em

(KrCu) =

) (8.48)

2x14i3400

10.52

a:.s

0.73

=

4 1 + 14

1 +~

.b

1

=

a

o

=

sr" s L

(O .78)

( 2)

(5.92)

=

9 .22 cm

(1.6)

(O .6ó)

? Lo

= 0.66

cm

48~cIg Term.

(6 ) (~s KrCu)

Term.

(7)

_._.

----

--

cálculo

---------

a

de

s

=

en

-------

(O .76)

(O .70)

=

0.64 cm

a 0.4L

------~--

-

-~--_. --------

----_.

----

-------

--

!

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I 0-

_

4

ler método

(Ref. 7.2)

l'

¡,

)cr

(M

=

. e

+

Pe 19: . Ag Y f

Pe

- Mo+s

+

'1:

fr 19

I

-----

I

Yt 6

120614 x 2.36x10 =-------3676 x: 66 . +.

6

x .2.06

37

+

x 10

128614

X 51.41

= 35190

- 7430200

Kyrn

66

=

0

2

Método

(Ref.

=

+ -

=

S

9

en 0.4 L

O. 61

7.2)

Pee

.. Pe 'A

=

35190 43190

1 236 1 4' X' . 51 • 4 1 "28614 + ------36]~ .¡:1454

207 Kg/cm2 fO+5

-

f to

2

Mo+s :: ~x 3454 S

=

-

+

fpe

"

Mto

=

10

-

=

2

55 Kg/cm .... -..

fr

==

Kg/cm2

con:

y 12 \[5000

Por lo tanto debe usarse fpe fo+s+fr fpe - fo+s+fto

=

0.817

en

102

x

43454

• comparado 37

Kg/cm 2

+. .114538

2u7

S

=

171

=

x 0.07

5.9 Kg/cm2

le = 207

207

171 -

171

37 -

55

0.4L

_._------------

-------_

..

_-

_._---- -----

._---

I I I I I I

1I I I I I I I I I I I I I

5

Del Manual ft

=

f~

=

CMl)

PCI

fto (arriba) (Nl

)

=

=

55 Kg/cm 2

43190 x l02 43454

S cr

=

1 _

lli - fr

M

=

1- 55 - 37 :: 0.81 enO.4L 99

=

f.J,

Los tres métodos Despreciando

utilizados

el patin

. 2 99 Kg/cm

dan los mismos

(Acompresión

resultados.

:.243 x 3.81)

(243 x 3.81) (x-1.91.) = (6.6) (18 x 0.99)(76.7 x Icr

=

=

10.29

cm

243 (3.31)3 + \243}(3.81}(10.29-1.91)2 12

+(66)(13 xO.99)(76.7 - ~.05)2

=

584761 cm4 en

O.4L

Por el método del Manual peI Icr

= r.

Ast

d2 (1 - ~)

:: (6.6)(18xO.99){76.73)2 = 670082 cm4 en O.4L

(1 -~ 0.000949-) Riie

- x)

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

6 .

1

-( M-c-r-/ M-).-) 3

=

(0.317)3 (2 .. 86 x 106) +

=

1.868 x 106 cm4 en O.4L

:ebe notarse

que para otro

~e calculan

al centro

/erificando

con el Manual

;c

e = f tJ. - f r

:'e

= ~ 99

fj,

=

= 55

=

1]

=

) )., = . 5~/1

debida L2

=

5. 2~

CQ

(p.3-68) 2

670082

I

=

0.23

0.66

=

a carga

.89 x 106

CQ4

~va al centro

= _(5x)1..44 ~JUJ2464L~ __

4aEcLlr}~

¡

los esfuerzos

2.86x106

0.66 x 2.86 x 106

Jeflex;ón

(670082)

y no en 0.4L.

1 3 K g/ c m

=

Ig le

peI

=

37

1 . (0.8l7)3

Ec.(9.7)

tipo de tendones,

del claro

1e r

0.18,

.)~ la gráfica.

ie

-

le r

) l

43 (2a490

(l . S63~06

O.K.

del claro

y le

I I I I I I I I I I I I

•!

7

Combinando

los resultados

y comparándolos

con las li~itac1one

del Reglamento.

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) au

=

8.48 + 5.92

10.52 + 9.22 + 0.66 + 0.64 + 5.23

=

2.67 cm

Ec.

Contraflecha contra

inicial

4.06 cm

Cbntraflech~ contra

t

=

(21)

apo - a

que daría

residual

Deflexiones

a largo

8.48 + 5.92

el Man~al

= aL

2.79 cm del Manual

= -

=

-'au

5.23 - 2.66

con sobre

=

i

2.56 cm

del PCI durante

PCI con acero

plazo.

=

el monta

2.57 cm

no presforzado.

carga

permanente

y carg

viva.

~ = -

10.52 + 9.22 + 0.66 + 0.64 + 5.23

=

~u - (ao

1--'

coinciden

con a).'

I I I 1 I I

Estas deflexiones

ó.

misibles L' 180

apo)

2.67

c::-1""':"::dS

de la tabla 2464.

=

=

- (-2.56)

se comparan

9.5 (b)' en la forma

13.6 cm

. a)..

180

/

,

:r

=

=

5.23 cm

5.23cm;valores

con.las

deflexiones

siguiente:

5. 23 cm

~

O. K.

q

I I I I I '1 I I I I I I I I I I I I I

1,

8

--l

::

--L

=

360

480

2464 .. e 6.8 cm 360 2464 .480

2464 = -Z41J

L

'240

Se hace notar para reducir el valor

5.13

=

=

cm

1 O • 26

>

a.L

= 5.23 cm

<Ó

1

= 5.23 cm se puede decir O.K

e

~~ '7" L\ 1

que la presencia

la contraflechas

de la flecha~

En este

=

el cual ejemplos

el cálculo

de la deflexión

sobre

permanente

y c~rga

los 5.23 cm obtenidos.

viva

cm

del acero

compresión, carga

5.23

provoca

O. K.

O. K.

no presforzado un incremento

sin acero considerando

sería

fué

de 4.80

en

de refuerzo largo

en

plazo,

cm en lugar

de

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

EJEMPLO

# 3

Calcular la de£lexi6n máxima del ejemplo anterior la con las permisibles segGn criterio ACJ-77

y comparar-

La de£ormaci6n instantánea se obtiene a partir de expresiones derivadas segan la teoría elástica Ccomportamiento elásticolineal) ......

-i-_._~.... __ ._._ .. -"-."_~--'----_\-_----I~

A

4

=

max

WL

(teoría elástica)

185 El

Segan ACI-77

A

WsL4 inst= 18SE lef c

le£= C~ max

)3

Ig

Como es una viga continua:

-4

1-C

+ [

ag J\max

le£(-)

le£ =

)3]Iag~Ig +

2

En el apoyo: 1)- Momento

de inercia

de la secci6n

Ig=

=

20x403

=

gruesa 667 cm 4

106

12 2) - Momento

Relaci6n

Ec

=

de inercia modular

de la seeci6n

Es n= --= Ee

.f£'?

15000

-

- --_.-

= 15000

-

2.1x106 2.1x10 3

f360

agrietada

=

8.08

= 2.6:<105

1e£(+)

I

1,

I

I I

NAs= 8.08xl0.14=81.93crn2

r 1

f'ZZ(/lTJ/////IZJ E.N

I I I I '1 I I I I

.

~ 20crn~

246.76=

r:= -8.193+

67.125 2

-8.193 2

+

O +

1147

34.84

c= 13.33cm

1

=

20x (13.33)3

81.93

+

(21.67)2=

54264 cm 4

3

3)- Momento

( Mag _))

de agrietamiento

e

Mag= frS flc = 2x

fr = 2

bh2

S=

=

6 Mag(_) 4)- Momento

flexionante

•

lef _) C

I I

I I I I I

c2 + 8.193c-

e

Jef _)=

e

300 = 34.64 Kg/ cm 2

20x402 6

3 = 5333 an

= 1.85 ton -

máximo

M max(-)

I

(d-c)

c2 = 8. 193 (35~c)

d= 35crn

D

te

= 81.93

2

(d-c)

. '1'

l.

20c2

de trabajo

= 7.79 ton-m

= (7~~~5 53 537

)3 (106667) +

(1-0.013)(54274)= 1429 = 54966 on4 +

Al centro del claro (para momento positivo) 1)- Momento de inercia de la sección gruesa 150

t' 10.7~

1

5 71

29.129

I

1

~

14.29

11

lJ

10

'6

30

1500x20 = 14.29 cm G= 2100 3 150xl03 I g'- 20x30 + 12 12

+

+600(ltl.29)2 = 228929 20 . __

o

-

••••.•

1500 (5.7)2-+ cm4

I

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

,

2)- Momento

de inercia

de la sección 150c2

= 48.24(35-c)

2

e-=-..-=--_-----¡ 1 ~

c

150

agrietada

eZ= 0.64(3S-c) c2+ 0.64c-22.S1

I

= O

d=j35cm

4 0.41+90.04 4

c= 0.64~

WZff;W//A t nAs=8.08x5.97=48.24cm

2

c= -0.64=9.51 2

lS0x4.443 3

lag=

3)- Momento

2

= 48.24(30.56)

de agrietamiento fr =

,

~:g

= 4.44 cm

<.

= 45052+ 4376 = 49428

(~g) Yimax

Mag= fr(lg) Yimax Mag~-' _3_4_._6_4_x_22_8_9_2_9_ = 2. 71 ton- m 29.29 4)- Momento

flexionante. máximo max(+)=

Ief(+)=

= =

4.38

37721.

lef

Deformaci6n

4.38 ton- m

(2.71 )3 (228929)

(0.2369) (228929)+ +

"

= (1- (~)3) 4.38

49428=

(0.7631) (49429)=

54233= 91954

= 54966+91954

2

<.

cm4

228929

= 73460 cm4

máxima J

11 t.1TJ

instantánea 11x64x108 = -~--~~~ 1.85x2.6x7.35x10

=

0.40 cm

11

=

O.23crn

inst

= 0.63 cm

11

c.v. = 0.40 x 6.3

!J

- . -----

----

I I I II '1 I '1

I I '1 I I I I I I I I I

Deformaci6n

p r cargas

Considerand"

in 40~

de larga

de la

carga

6 c.v.prom Deformación Factor

viva

como la

= 0.23xO.40

6.

p rméi"Í1'ente

duraci6n

= 0.49

carga

viva

promedio

= 0.09cm

cm

de c Ir 'ccci6n:

A'sC_) = -.- .. _-= ¡ • 'J

As(_)

7

O 44

F= l2-.1.2

•

A's(+) 0.66

As(+)

(~"_

F

=

Als/As)

(2-1.2xO.55)

#0.60

= 1.34

) prom = O. 55

As

~ Deformación

cId

= 1.34(0.49)

= 0.66

an

t .'tal

bt=

0.63+

Deformacion,'s turales)

permisibles

(trabe

a)

Carga

vi'8

instantánea

b cv

b)

Flujo

plís

ico

J.l()

+

y contracci6n

0.23

=

0.89

0.66 ligada

~

L/360

+ carga

t....

1.25

cm

= 1.29an a elementos = 1.67') vivaA

no estruc0.23cm

LD +Acv

L/480=

~I I

11

Ejemplo 3.1

DESARROLLO

DEL REFUERZO

,

i

l I I I '1 I I '1 I I I I I I I I I

Determinar

la longitud de las barras altas y bajas para el claro exterior de

la viga continua mostrada abajo. es de grado 60.

El concreto es de peso normal

la carga uniformemente

factor de carga es w u

=

distribuida,

9 TonJm incluyendo

b

=

h

= 56 cm

y multiplicada

por el _

Columna Interior Wu

41 cm

l

Recubrimiento= 3.8 en

Calculo

1.

el acero _

el peso propio.

ColumnaExterior f'c = 280 Kg/cm2 fy : 4,fOO Kg/cm2

y

y

Diseño preliminar mento y cortante (a)

Discusión

Referencia Reglamento

del

para refuerzo de mo-

Se emplearon los valores aproximados análisis y cortante en

Locallzaci6n Cara interior del apoyo exterior

de 8.33

Momentos y Cortantes Factorizados -M u = WuPn2/16 = 9 x 7.62/16 = 32.5 Ton •.

1

2/14 w u = u n

2

Extremo claro positivo

+M

Cara exter,ior del primer apoyointerior

-Mu

=

w

V

=

1.15wu n/2 =~1.15 x 9 x 7.6 ~

Cara exterior interior

del primer apoyo-

u

/n2/10

u

l

= 9 x 7.6 114 = 37.1 Ton.

=

9 x 7.62/10 ~ 51.9 Ton.

=

39.4

I

1I

(b)

por flexi6n empleando el procedimie~ estribos del # ~barras

del __

#10 Yi d= 49.3

M

A

!I

A~proporcionado

a requerido

Barras

-32.5 Kg.cm,.

18.9 cm 2

4 # 8

20.38

+37.1 Kg.cm

21.93

2 # 8 2 #f 9

23.09

-51.9 Kg.cm

32.32

4 # 10

32.77

u

!I I I I I I I I I I I ,1 I I I

del refuerzo requerido

to de la parte 9~eon 3.8cm. recubrimiento,

I I

i

Determlnaci6n

iJ::"

1

(e)

DeterminBci6n Vu

del refuerzo requerido por cortante

a una distancia

'1Ve ='f 0.53/fi con

smax

=

nd- del puño de apoyo:

bwd = 0.85 x 0.53 1280 x 41 x 49.3/1000

d/2

=

49.3/2

=

=

15.2 tc!>~.

24.65 cm., ensáyese estr. #4 c 23cm de separa-

ei60 'fUs

='fAvfyd/s::

0.85 x 2.54 x 4.2.x 49.3

'f vn

= 'fUc + 'fUs = 15.2 + 19.4

=

=

19.4'Ton.

34.6 Ton¡:-34.9

Usando estribos U # 4 ~ 23cm. (ambos extremos del claro) 1

-.. /4#8

./2 #10 /2#10

/2#9

I "2#8

.

I

¡

..,,

I

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

rt?

2.-

Longitl}d de varillas de: refuerzo bajo. a)

"Longitud dI? desarrollo bisieo

b)

d

paré! varillas #8

I db =:

p3ra varillas #9

I db = 96.5 cm

tensi6n de 1~1 tnbla 3-1

76.2 cm.

12.2.2

Número de barras rr=queridas, prolongad<-lsen los apoyas.

12.11.1

Uno cuarta parte de (+As ) deberá extenderse par la menos 15cm en las apoyos. Una varilla del #9 podría tenEr la longitud del claro-con la otra #9 y las 2 #8 cortarse dentro del claro. Con una barra longitudinal requerida en cada esquina de los _ estrib~s por lo menos 2 b2rras deb2n ~!xtender5e la longitud _ completa. Considerando que se extienden 2 varillas del #8 toda 12 longitud del claro (más 15cm dentro ce

105

apoyos) y que les 2 #9 se cor-

tan dentro del claro. e)

51 la viga fuera parte del sistema resistente de carga

primaria lateral las 2 varillas #8 que se extienden dentro de 105

apoyos deberán anclar se para desarrolla~ lñ resist8ncia _

a la fluencia de la barra en la C3ra de

105

apoyos.

En la _

columna exterior, el anclaje puede proporcionarse mediante _ un gancho estandar extr~mo~

3e requiere, un ancho mlnimo de

apoyo (sobre todo el pcr2lte de la columna) para anclaje-con gancho estandar de las varillas del #8 Tabla 3-2 •

40.5cm para ganchos del 900con 5cm de recubrimiento

extremo al -g2ncho 12.5.3.2

•

0

33.0cm paro gancho de 90

con 5cm de recubrimiento extremo y gancha -

incluido Qentro de los amarres o amarres de estribos espaciadas no más de 3db

12.5.3.3

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

En la columna interior, las 2 varillas del #8 pueden extenderse.

Id = 76cm

mas all; de cara del apoyo dentro del claro' adyacente

para satisfacer el anclaje especial requerido en la secci6n __ 12.11.2. d)

Determinaci6n

de la localizaci6n

del corte de 2 # 9 y compro--

baci6n de los demás requisitos de desarrollo. Dlagramps de Cortante

y

momento para condiciones

de carga cau-

sando la condici6n de máximo momento pQsitivo con factor de __ carga.

Wu= 9ton/m 32.5ton-m (

)

23.4ton-m

7.6 m

35.4t

.---

3í. j ton-m

---

.

~. 2.88m 32.5ton-m

23.4ton-m

I I I I I I I I I I I I I I .1 I I I I

I •••••

rl" '-.~

,¡

",...

'-

, l.r.

r",11 =

"~:i VD

CÜ? j'/¡

..;"i"';.,(: no

U

(":, In

m8yar

~':

""'1'" .• ¡.J'

'.~SC;:¡J.3 ltlcLJ" F.:..L

-j

e ':.'ro

18.2 TO'l.m.

0Mn para 2-#8& 2-#9

------_._---O.49m

H~.fn

nara .2-#8

LJ 2.01m

I 2-#8

2-#9

---_._~--._-----15

4.86m 7.6Om

1.37m

ti

: 10 •..... •..1

I I I I I I I I I I I I I I I I I I l.'

Como se muestras, las 2 #8 se extiende en su longitud el claro completo mas 15 cm. dentro de los apoyos.

Las 2 # 9 se cortan tentaviamente

1.37m y 1.07m de los apoyos exteriores e inthriorea resnectivamente. La determinaci6n tentativa de la locnlizaci6n

de corte

S~

a _ __

hace a contl-

nuaci6n: Las dimensiones (1) y (2) deben ser mayores de d o de 12db. d

=

49.4cm (rige)

12db = 12 (2.86)

=

34.5cm

Las dimensiones (3) y (4) deben ser mayores que

de

10£

id

in = ?6cm

Para varillas #8,

Verificaci6n

201 cm

.>

76 OK

174,cm

>

76 OK

requisitos de des2rrollo para las varillas del - -

#8 en las puntos de inflecc16n

12.11.3

, I

r;r +/a

Id:£

Eq.' (12-1)

u

Para 2 varillas #8 M n = 18.2/0.9 = 20.2 Ton.m. al PI izq. Vu J'a

=

=

25.6 Ton.

mayor de 12db o d

=

=

20.2 x 100 + 49cm .••. 25.6

Para varillas #8/ d

están bien.

vu =

=

25.8

12(2.5)

=

30cm

49cm.

Id< Al PI der,

12.10.3

76cm

=

< 128

128cm OK

por inspecci6n las varillas del #8

I ,1

- 07 ten. , s_on

I I I I I _~. I I I I I I I I I I I I

L __

d'e:Je sr:; t'.j.':~ f aCl.:I'S2

f" , - .•. 1~Xlant

;-JCl!,

un'

I tI!

de -

lo ~2cci6n 1~.10.~

,-un t:1 Ci.:: c:JTte

vu •... V 1"

n

a la

:

z:;i.j.icrda

'l'

.37 x 9

=

35.4

-

=

34.6

EstribG!:i

U

(137cm

=

del

~=poYiJ)

:?J.1 Ton.

1/' ;t (~

",

23cm) OK

Par~ prop6s1toG

12.1'J.5.~

dut8rmlnese si t~mbi~n se ~~tL~f3ce

ilu5tr~tivos,

l~ 80n-

dición de la 5ecci6n 12.10.5.3. M u

=

Ton.m.

a 1.37m

vsrilllS 10.1

>

2:~oya.

[lel

=

dEl ~S,

10.14cm

2

'J

2 (4.~6) = 0.12 cm-

3/4 (34.6)

Por lo tlnto,

el ~unco

7.5

=

2~.9~ Ton.)22.9

la secci6n

OK

12.10.5.::

IJK

12.10.5.:

12.10.5.3. se G~tiEf:'ce ~l localizar

cortante.

Punto de corte der2C~J (1.07m del apDjo)

vu

=

33.0 - 1.07 x 9

=

..,3 ., r:..t:.

=

23.3 lbs.

t 0V1. ..... __ 2 '/

_l •

-

..)

GK

1'::.~¡J..5.'

'1 I I I I

de desarrollo.

Las 2 varillas #9 por S.18m deberán colocarse _

a8im~trlcamente

dentro del .claro.. Para asegurar la colocaci6n -

1I

adecuada de las varillas #9, es prudente especificar una longi-

'1 I I

.....5

Resumen:

la 10calizaci6n tenta~iva del corte de varillas para

el refuerzo bajo/cumple todos los requisitos reglamentarios

tud de S.79m para colocaci6n sim~trica dentro del claro l.e., 1.07m de cada apoyo.

Los extremos del corte de varillas puede"

j'

entonces ser lo m~s cercano a los puntos de inflecci6n, par 10-

l'

tanto eliminando la necesidad por satisfacer las condiciones --

I I I '1 :1 I I I I I

de la secci6n 12.10.5 zona de'tensi6n.

cuando las varillas se terminan en una

El acomodo recómendado para las varillas se mues

tra al final del ejemplo.

3.- longitud de barras de refuerzo suparior.

a) Longitudes de desarrollo en tensión Para varillas #8~ldb Considerando

=

76cm. (Tabla 3-1)

el efecto de barra alta,! d = 76 x 1.4

Para varillas #10,

1

db

=

12.2.2.

=

106cm

122 (Table 3-1)

Considerando el efecto de barra alta, id :::122 x 1.4

=

1?1cm

12.2.3.1

b)

Diagramas de momentos y c~rtantes p~r~ condici6n ce ccr~8 c2usanda _ el m~ximQ momEnto n~g~tlvo ~cn factor ~e carga.

\\Tu=:

9ton/m

32.4ton-m(

3.2

22.Ston-m 1.81m

2.27m

2.27

V'I1

32.4 t ..-

49.8

I I I

Se muestra parte del momento negativo del diHgrama de Mu a mayor esc3la) in=luyendo el diseño de resistencia de momento

di

l.

y

I I I I I I I I I I I I I I

f

Mu pare el acero total

neY2tivo en cada apoyo. (4 #8 y 4#10) Y para 2#10 en el apoyo interior;

I

, I

II

- 10

las dimension~s necesdrias. Para 4 #8,

~ Mn

=

34.7

Ton.m. para 4 #10,

~Mn

=

52.4 Para 2' # 10.

1.83m

o Mn

para4-#8 1.75m

-'

4-#10 4-#

2-#10

"""1

-

11

,

~I I I I I I I ¡,I I I I I

Requisitos pura desarrollo de 4 varillas #8 12.12.3

a) Número de barras requerido para prolonga~se Un tercio de (-As) debe extenderse Raata los apoyos más allá del punto de inflexi6n a una distancia igual al mayor ce d, 12 db, o d

=

.

n/16

=

16

4gcm.~ (rige)

12 db= 12(2.5)

I

J/

=

30.5cm

1.60/16

=

47.5cm

Puesto que el punto de inflexi6n se localiza a solo 1.25m del apoyo, la longitud total de las barras del #8 serán ~ relativamente

cortas aun con la extensi6n requerida de 49cm.

más allá del punto de inflexi6n. Se requiere verificar la longitud d~ desarrollo para localizar el punto de corte a 1.75m de la cara de apoyo. la dimens16n (5) debe ser por lo menos igual a~d.

1

1

4.-

'1

!

1I \1

Para barras ,altas del b)

#8,l1d =

107cm~175cm

12.1

08

Anclaje dentro de la columna exterior

.1

las varillas del #8 pueden anclarse dentro de la columna con un gancho estandar. De la tabla 3-2 un gancho a 90° con un recubri

I I I I

miento lateral de

6.4cm y recubrimiento

re de una total longitud de

1 dh

extremo de 5cm, requie-

35.5cm Para ganchos del " 68.

El peralte requerido para la columna es de 40.6cm.la longitud requerida~dh

para el gancho puede reducirse 2.5cm (un refina-

miento) si se considera un exceso de refuerzo. ___

o

~

I I I I I ,1 I I I I '1 ,1 I I I I

1I I I

- 1'

(As requerido)

18.9 :: 2'0.4

(As proporcionada)

l dh 5.-

:: 3:3.5 x 0.93

Requisitos a)

= 3Jcm

de de3errallo

Extensión

r2~ueri~~

d

=

49cm

(rige)

12db

=

12(3.2)

=

=

47.5ern

1n/

16

Para prop6sitos barras

:;1-;:85.

.3.4

0.93

4 B10 barras p~r~ un t~rcio de (-~ ) s

38.4

ilu5tr~tivos consld¡rese la longi".ud GI , Prolanguese 2 v::rillas #10. 251em dentrt

(EBem d::;spués del

punto

de ir.flcxión)

Pro16ngueSI!

":l5

2 i.

1.83m dentro del clara (cortese en el Dunto de inflexi(

Verificaci6n

de dimensiones.

> 49cm

Dimensión

'6) = 69cm

dimensión

(7) = 1.76m>!d

dimensi6n

(8) = 1.83m>ld = 1.-J"cm

= 1.71 cm

OK

':2.12.3

I I I I I ,1

- i

Resumen:

y altas, seleccionadas.

'1

I I I I I I I I I I I '1 I

Abajo se muestran lss longitudes de varillas bajas

_

"O'

••

_

•••••

_0_ .

w._ ••

_

fs~~5Qñ')

,f"1"S3'6n-I

~\

l.•

4#8

2#10

2#9xI9'~O" I

I [

i.

( \,.'"

2 #8

....

776Oiñ ..~ ..

X

26'-0"

2#10

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

-

:'llta~

50br~ el

::Jpoyo int.:riur

h

=

61cm

d

=

55cm

b

=

L6cr.l

fl

e

=

280 Kg/cm

Y

=

4,200 ~g/cm

f

A

6- #9 (one layer) 2

ln='10.7m

---(,-----

y

Desarrollo

.Je l¡~ longitud

\.- .Resist. al mUllle.l2. el> Mn (~ # 9 )

z.

í

, 3.66m

b8Sic8

de

:C!nsi6n

0.06 x 5.45 x 4200

{280

Jf[

no menri8

p(}ra \JarilLJs

=

que

O.OOO~dbf\j

=

de la

13-1

(O.OOO~)

f

db

=

7 .lJCom

f,--_

u:scusión

¡1.06 Abf

tabla

in=

38. 7 e M t

----y-=

pero

I

_ 62.8 Ton/m

u

Cálculo

..•

c.

34.5 c.m

=

( p. 'lJ p) 5

-M

CUnLinUlJ:

~ltas

=

(r!.q)

s

~mbtJc cliJ:,e!:

..,

6-#9 b2rras f:..

•.

14

(2.86)

97cm

(4200)

=

7;¿~m.

97cm

#9

-!

PI.

to

-..------------------

I l. I I I I I I I I I I I I I

l' I I I

-

-

15 Para refuerzo al tal. d

=

97

=

x 1.4

136cm

Para exceso de refuerzo en (-M ):

12.3.3.1

.u

Id 2.-

=

136(]4.5/38.7

=

12.2.3.1

121cm

Número de barras requerido para extender después del punto de inflexi6n

1/3.Ae

=

2varillas extendidos despu~s del punto de inflexi6n la mayor de las siguientes distancias.

d 12db

=

54.6cm (rige para ?5

=

34cm

In/

?60/= 47.5cm '11,

I

.1J70/16

16=

/16= n

3.-

=

6?cm.

Extensi6n de varillas despues del punto en ~ue no se necesita el mayor longitud~ Pare resiotir flexión:

d 12db

=

54cm

=

34cm

(rige)

d o 12

12.10.3

1 1

I

I I I

1I

l. I I I 'I ,1 I I '1

I I '1

I ;1 1

- 1í

Ejemplo 3.3. Diseñar 21 traslape de tensión para 13 viga que se muestra fl

e

=

280 Kg/cm 2

f

y

=

4,200 Kg/cm 2

b

=

40cm

d

=

66cm

-M eS

u

=

47 Ton.m.

+M ~A

=

16.6 Ton.m.

u

I -l

collm1na

ras lar colma

~$¡/J"-==#~-i@..:::~~

ltraslapl y

L

A

B

4-#9 varillas altas

J

bajas (continuas)

Preferentemente los tr~slapes deben localizarse fuera de zones de alta tensi6n, para un tipo de viga, l2s barras altas deben de tra~ laparse bajo las columnas tre columnas.

y

las b3rras bajas cerca eel centro en--

('Iunqueen este ejemplo el traslape en [... no esta lo~

cali~ado en su mejor pasici6n, el momento en A es reletivamente __ bajo.

Sup6ngase parn este ejemplo que los traslapes se locolizan-

como se muestran. Cálculo

y

Discusión

Determinar la lonQitud de tr2slape para ¡as barras bajas en 8. Las varil12s estan espaciad~8 mas C2rca de 15cm.

=

As

necesario (~Mu ~ 8

As

proporcionado (4-#9) = 25.8cm 2

.4

s

47 Ton.m.)

=

20cm 2

proporcionado

As requerida

=

2~D8

=

1.29< 2

12.15.2

Para todas las varillas traslapadas en la misma 10calizaci6n

e (0.06 ,I),bfy/.[f;;>

úsese traslape clase 1.?/d

= 1.7

=

1.7 (0.06 x 6.45 x 4200/

J280) =

165cm.

I I I I I I I I

1I I

P~r'l

tr~Gl<:)p2S

1.31d 2.-

=

Cu,~tr8peaGOS

126cm.

Determinar requerido

l\

proporciunada

1

I I I

I

11 I i

1I I

I I I ~ - ...--

50)

trasl:1pe

( +Mu

= 16p6

'T;4

r::;::'Jerir.:o p¡;ra1íJs

Ton.m.)

=

b3rr;:¡s 31tas

¡:m

6.3cm2

=

requerido

Ti po de 1 onUl . t Uw ~ d e tI" r:'s

é-Jpe requcr

100

per2

( A As prc!:JcIclonado) ' ..

s rEr¡uerlcc

:> 2 Y no cu~tr3peado úsese tr3s1ape claSE 8

par::; CU~ltr3¡Je6(la

úsese

trasl"pe

clase

=

1.3'~

=

176.4

S~ increwenta

dI. irostQPe

r,= 1.0 d

=

1

=

traslapado

1::; 10ng1 tu,p. de traslape

Hs

s

C'~.s

135.6 del f:'rQ.JcrlO&

por un f~ctQr de 1.4 de ~¿uErdo coh la secci6n

12.2.3.1

A.

1E.

19

Ejemplo 3.4 Traslapes en compresión las siguientes l!jemplos ilustran cálculos tipo para tr8s18pes de compre-

I I I I I I I I I I I I I I I I I

si6n. C~lculo 1.-

y

Dlscusi6n.

Diseoo del traslape del 8ccro d~ la sigui~nt~ columnn ue ~stribo3.

b

=

40.5cm

h

=

4o.5cm

f'

=

280 Kg/cm

f

=

4,200 Kg/cm 2

c

Y

o

2

B Varillas #9 a)

Determinar la longitud de tras19pe: 12.16.1

=

0.08 x 2.86 x 4200//280

12.3.2

: 57cm

pero no menos de

=

1

d

0.007 x 2.86 x 4200

= o.oa

x 2.86

=

(rige)

84cm

x 5270/J280

:: 72cm

12.3.2

pero no menos de :::

=

, (o. rH2 7 f Y

12.16.1

- 24) db ni 12 cm. (min.~

(0.0127 x 5270 - 24) 2.86

=

123cm (rige)

Si f~

<

210 Kg/cm2, calcul:-.rld como el anterior e increment~se

Ver la sección 3.5.3.2 sobre la discución de cuando en los coment8ri09 del R291amento.

f

y

por 1/3

~4200 Kg/cm

2

l'

I I I I I I I I I I I 1 1-

b)

- 20

Determinar los requisitos para columnas de estribo que permit~n reducir la longitud de traslape en 0.83.

12~16.3

Requisitos de columna de estribas #3~40prn

C.6.C •.

7.10.5

Requisitos de espaciamiento de estribas del #3 para longitud _ de traslape reduciia.

Area efectiv3 de estribos

~

O.0015hs

(2 x 0.71)

=

0.0015 x 40

s

=

23.7 cm.

La separaci6n de estribos del #3 debe reducirse a 23cm. c.a.c. _ 8tr8v~S de la lon~itud de trasl~pe.para permitir una iangitud de traslape de 0.83 x 84J?d 2.-

=

70cm.

Determinar la longitud de traslape para la siguiente culumna zunchada f' e

=

280 Kg/cm .2

f

=

4200 Kg/cm 2

y

8-#9 barras

1

1,

1 1 1

11 I

:.:3espiral Traslape permisible

=

fer

f ¿ 4,200

Kg/em , traslape

2

0.75 x 84

=

63em

fer

fy'4,200

Kg/cm2, (sea 5270), traslape

=

0.75 x 123

y-

0.75 ~d)

12.16.4

=

f • .•. Se pueden usar extremos ~dheridos, soldcdo~ ocanee t adce mecanlcam2n~e

12.15.5

I I l.

- ,.

'7 .•.

,~jeí!iiJ1o 3.~ L.>ia,~ñar

I :, I

1:J~ tr.'.¡:l':¡:l!::5

f' e

=

2 ;~.~::. I'\g/em

f

=

4200 hg/cm 2

=

h

Y

..

'-' l, :

-

SU

3i:.:'ui::~.:¡~ calumn;~

iJ:1:.":'L

1, DI d2

,

(peso

normzil)

....

cn,.

9 berras

e2tri~]u3.

SOc....,

4#9

il

::-:m . ici

( .• , t•• ;;:)

~""

on.. S de c:.-rQ:'

I

1:

1: l.

I I I I

pi 2sfu~rzQ con factor dc'c~rg~ f

-~-:

_~~1I_._

Combin:::ción 02 fle:;ión factor

dE

y

:..

~~xi;:>l.; •••

,.!"'g:.~

c-'r~~ en 168 2 varill~s

C~lculQ.y

..•.

~_

compre::;ión. ?' (-J

I I _ I I I I I I I

y

J9

c::!.::ul?do

(en cu.lcui~r

21 c::fup.t'zo dlrecci6n)

Gen

_

)in=usi6n

"'~ o ':l:..Jc,n.

.•.

Lle l'l culu:;¡n;;1

car3

Fu~rza ~e tensi6n A 5 nece3nrlo

=

t

r:~ .'1'O .

no menor

2n cad~ 2sra 21.8/4,200

=

=

.4 f

que

s y

/4.

12.9 X 1.69

=

21.8 ton •

...,

5.16 cm~.

.,

" S tJl'O,lO:'Ci:Jn'~ d O • = A -'

b.2. =

r<:qu~rido

S

~1 ioj<~s

10:3

v:'I"i llé.,'j

2.5

cst3n

tr ..i<:l ap':;'::m, en

~e r~Quierc

un ~r¿;313pe ~~ &2nJión ti~~

LiJl1;i tu

tI':~Glnpe

j

[j.. :

----

1.3/

2

5.1S ¡\r\lsmBposición

8.

d

-- -- ---

---------------

--------------

--~---

I I I I I I

Para varillas #9'~db longitud de tr~slape par~

=

1.3 (96.5)= 125 cm.>'86cm. requerido

compre9i6n (condici6n' c2rga axir:l)

los 125cm. requeridos de lon~itud 'de'traslape pura traslapes a tensi6n clase 8 exc.:den los trasiapes m!nimo's requeridos .para 25% de tensi6n ;..

l. I

(125/4

1I

=

Resumen:

l. I '1 I I I ti

por tensi6n básica,96.5cm.

31cm)

Si todas 139 varillas se traslapan en la misma sección se.--

requiere una longitud de traslape de 125cm.

-_..

"

'I I

l'

¡. ,.

.,.

_._----

-----

------_.

__ ._-- -------

.

--~-~

I I I I I

1I I

I

ti il

I

¡

:1 :1 !I :1 I 1

. 11

COLur1NAS

11

I

!

i

II

!I I

II II II

ING, ROBERTO

i

;1 I

l

=-==---=--==_=

=

_

STARK

F,

I I I I I I I I I I '1 I I

¡-

. it

I I I I I

Ejemplo

1: Diseño de una columna rectangular

Determine

la secci6n y el refuerzo

para las condiciones Suponga

con carga biaxial

de una columna rectangular

de carga y momento

~ = 1.5 Y que el refuerzo

dados.

esta distribuido

uniforme-

mente en todas las caras. l

Pu= 771. 80 ton. Mux= 401.30 ton-m Muy= 166.06 ton-m fy= 4200

I

-------

Kg/cm2

I

I

f'c= 280 Kg/cm2

I

l. .'0

Cálculos

y comentarios

1. Determinaci6n la columna Pn =

Pu}f

= 771.80/0.7

=

166.06/0.7

@ =

nominales

requeridas,

para

0.7

= 1102.57

=401.30/0.7=

2. Supondremos 3. Calculemos

=

con estribos

Mnx= Mux/f Mny= MUY/f

de las resistencias

ton.

573.29 ton-m

=

237.23 ton-m

0.65

un momento

resistente

equivalente

uniaxial

Mnox 6 Mnoy

Mny= Mnx

237.23 573.29 = 0.41 es menor que

Por lo tanto, utilizando Mnox - Mny

h b

(1- ~ )

~

la eco

+ Mnx

b

h = 0.67

(14) Ec.

(14)

l. I I I I

Mnox - 237.23

+ 573.29

0.65

=

764.90 ton-m

4. Supondremos b= 20cm. y h 120 cm. Calcularemos el refuerzo 'requerido para obtener una carga axial resistente Pn= 1102.57t y un momento

resistente

uniaxial equivalente

Utilizaremos

las ayudas de diseño SP17A

distribuido

l.

fy

I

=

con el refuerzo uniformemente en todos los lados, f'c = 280Kg/cm2

4200 Kg/cm2 y

= 0.90 utilizaremos

la fign. 11-19.

está incluido' en los valores

Nota: El factor de reducci6n de' 1. fig. 11-19

0.7(1102.57

~=

80 x 120

Ag

f

Mnox

Ag h

=

x 1000) = 80.40 Kg/cm,2

0.7 (764.90 x 105), 2 -----------------,= 46.48 Kg/cm *80 x 120) 120

eg=

De la Fig. (~i-19) podemos leer A~t

=fg

Pondremos

fg 5.

Ag = 0.027

(80 x 120)

20# 12 + 10# 10

(actual) = 307.40/(80

=

0.027

259.2 cm2

(As = 307.40 cm2) x 120)

=

0.032

Habiendo seleccionado la secci6n y el refuerzo procederemos a checar la resistencia por carga biaxial por dos métodos diferentes.

ti I

l ' __

Mnox= 764.90 tor.

Para una secci6n rectangular

1I

I '1 I I I I I I I I I

(1.5) ('1-0 •. 65)

----

-----

----_._----

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

A. Método de Bresler Checar Pn

0.1 f'c Ag

1102.57 ton Para Po

Ec

0.1 (O. 28ton/cm2) (80 x .120)"= 268.2 ton

emplear este método,

=

0.85 f'c

=

O. 85

Po,.Pox y Poy

(Ag - Ast) + Ast fy 3 O 7•4) + 3 O 7•4 (4•2 O )

(O • 28) (96O O -

Conociendo

debernos calcular

Pg y las resistencias

(Pn, Mnx y Mny), los valores

nominadas

=

requeridas

de Pox y Poy pueden

eje x Pn

=

1102.57 ton, Mnx

ey

=

Mnx Pn

~=~=

h

120

573.29 1102.S?

=

=

=

573.2,9 ton-m 0.52 m

0.43

De la Fig. 11-19, con ey/h = 0.43

Y

pg=

leernos 'fPOX/Ag - 0.109 Por lo tanto: Pox

0.109

(80 x 120) _ 1494.9 ton 0.70

X

eje Pn

=

=

1102.57 ton.; Mny

=

35 02 •7 ton

237.23 ton-m

.0•. 032

ser calculados.

I I I

ex

=

Mny_

ex

=

21. 5 -80--

b

=

237.23 0

Pn

1102. 57

=

m.

0•215

0

= 0.27

De la Fig. 11-19, con ex/b = 0.27 Y

11-I 1-

II I ¡

I

I I I I I I

1

-

I

I I I lO

I

Poy

Ag

:dO'

'0 • 14 4

o

Por lo tanto: Poy =

0.144(80 x 120) 0.70

Substituyendo

=

1976.7 ton.

los valores obtenidos

en la ecuaci6n

(1)

1

Pn

(l/Pox) + (l/Poy) - (l/Po)

Ec

1 .

+ (1/1976.7)

(1/1494.9) Pn - 11.02.57

-

1124.43 ton°

=

(1/3502.7)

1124.43 ton

(Está correcto)

B. Método de la PCA Para emplear ~ste método,

te'nemos que calcular' Po, Mnox, Mnoy

y el valor de ~ Po

=

0.85 f

= 0.85

Conociendo

1

I

'€

leemos

fg= 0.0032

j

C"

tA g - As t } +

tO~28}

el valor de

1102.57

t fY

(9600 - 307.4) + (307.4) (4.20)

podemos encontrar Pn=

As

ton.,

eg

y

=

3502.7 ton.

la carga axial resistente

los valores de Mnox y Mnoy

'PPn = Ag

0.7(1102.57) 80 x 120

=

0.020

Pn,

(1)

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I L~-_

-

=

De la Fig. 11-19, con 'fPn/Ag

'€

leemos

Mn

=

Ag h

0.080 Y

g= 0.032

0.049

Por lo tanto: ¡

\

0.049 Ag h

Mnox =

'f

0.049 (80 x 120) (120) 0.70

=

80997.12 ton-en 810.0 ton-m

Mnoy

0.049 Ag b

=

0.049 (80 x 120) (80) = 0.70

'e.

53760 ton-cm

537.60 ton-m Teniendo

el valor de Po y

Pn/Po = 1102.57/3502.7 ~

=

Pg

=

fy/f'c

0.032

O. 5

(3

(4.2)/0.28 = 0.48 ~ = 0.57

los valores en la eco

CMMnx ) log O.5/10g ~ nox log.

podemos calcular el valor de

= 0.315

De la Fig. 11-16, leemos Substituyendo

fg

(8)

+ ( MMnny) lag O.5/10g.f3Lo- 1. O

ay

= -O• 3

lag

f' =

lag

o. 5/10g f3 =

log 0.57 .- -0.24'4

(~ i~ :~ ~ )

1.23

1. 23 +

( ~~~ : ~~ ) 1. 23 = O. 65. + O. 36

La secci6n tambi~n puede ser checada utilizando bilineal. Como Mny/MnxL Mnoy/mnox

=

1. O1 ~

1. O

la aproximaci6n.

_

!

J

I I I I I 1II ') I

la. eco (12) puede ser utilizada

~

Mnoy

~J?) ~~

+

237.23 (1- O. 57) -~537.60 ---"0.57

Mnx Mnox

~ 1.0

573. 29 = ~ ---810.0 0.33

--L.

Por lo tánto aceptamos

+ 0.70

=

1.

O 3~

la secci6n y el refuerzo

11

I

!I1: 1 1

!I

I -

li _

'¡ '1 1'-"

I l. I I I I I I

•

lo

O

I I

---.---_. _ ....~.....

_- --.._.-----_._----_._---_.~. _._--~~ _-----~---_. __ .•_--..

.•.

l.

.9

I ,1 ,! I ,1 I

'1

.

I I

ii.

11.

l.

I!

1I I '1 '1 , I

1:

l'

Ir

I

1,

I I I I

F .

-----

.

_._._-- '--_.

/ '9' .1-17

- B1ax'a1

7

}/I.{)

--.--_._----_.

I

l3cnd'ng

I"'.,-'-1

..J

S

Or.s'gn c- ,.,..,'o

.J

Constants' ~~;./ ~

.. / "',

I /- j G

-"-'-...,L-_=-~-=:~~.~~:-=-.:::::;,.-- _ .

_

11- 12

--

---- ---

.

- ------------.-.:---

.-------

----- ----1

I I I I I I

COLUMNAS

7.4.4 -T"o,,/

DIAGRAMAo

~

k." . 1'1. '¡','::. 70 .:

DE INTERACCION

I INlfRJlC11(¡;J t;l:-::~tIJ r~''''0.90

!

':-"lesi "..:

j 0.'1.: .•. £'0

¡I l.

j

Y',

~:.

---

¿;..~

O. :.." I 4.0

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I I ¡ .1

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O.o;;n 1,0

II

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2.00

¡

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I

r'g.

II I '¡.I

11-19 - Rrodurcd

Coudcsy

of f,fncr1can

from page Concrete

77 of SP17A. InstHute

t. I

1L

I I I I l..

~_

0_-

.

..~_

-----------

--

-0

I I I I I I

Ejemplo 2: Diseño de una columna efectos de esbeltez

Diseñar oficinas

las columnas

del primer entrepiso

de 10 niveles.

venteadas.

rectangular

Las columnas

tornando en cuenta

de un edificio

no se encuentran

La altura libre del primer entrepiso

La altura libre de los entrepisos es de 3.35 m.

de

contra-

es de S.SOm.

arriba y abajo del primero

La planta del edificio

consiste

de 7 claros _

en uno P?r 3 en el otro.

1

I . I

-1

El/l=

x '108 Kg-cm

5.30

51 2~ Piso I

=

fle

1-

fy

I

=

350 Kg/em 4200

2

Kg/cm2

I

;1 I I I I I I I il

_

-

H_.

I

-l

Diseñó y Comentarios

I I I

1

1

El/l= 5.30 x 108 Kg-cm

.

1. Resultados

del análisis

Cargas de servicio

Columnas exteriores D- 128.0 ton. L= 29.1 ton. w= 1.8 ton.

Momentos de servicio (externo su perior)

0= L= w=

4. 84ton-m 2.77ton-m 3. 46ton-m

0= L= w=

2.28ton-m 1. 87ton-m 6.92ton-m

Momentos de servicio (externo in ferior)

D= L= w=

8.03ton-m 4.15ton-m 3.46ton-m

D= L= w=

5. 95ton-m 4.71ton-m 6.92ton-m

,

-.

_

Columnas interiores 0- 164.8 ton. L= 58.1 ton. ('11= 0.0 ton.

"

. LJ)

1 er .Piso

-

I I I I

.1 I

1II 1I¡ .

:.

I

1.1 I I 1 :1 I

Para aplicar momentos

10-6, es conveniente

factorizados

Columnas

distinguir

debido a cargas gravitacionales

---------,

----

9.2 entre los (Mab) y

(Mas).

interiores

a) Cargas . gravitacionales .

u=

1.4D + 1.7 L

Pu= lo 4 (16 4 .8) + 1.7 (58. 1)

=

329. 49 ton.

Ec.

(9-1)

Ec.

(9 -:"2 j

Ec.

(9-3)

Mab= 1.4 (5 .95) + 1.7 (4.71) = 16. 34 ton-m b) Cargas gravitacionales u= 0.75

(1.4D

Pu= 0.75

+ viento

+ 1.7 L + 1.7 . W)

(1.4 x 164.8 + 1.7 x .58.1 ) = 247.12 ton.

Mab= 0.75

(1.4 x 5.95 + 1.7 x 4.71) = 12.25 ton-m

Mas= 0.75

(1.7 x 6.92) = 8.82 :ton-m

6

u=

0.9 D + 1.3 W

Pu= O. 9 (164.8) -= 148. 32 ton. Mab= 0.9 (5.95) = 5.36 ton-m Mas= 1.3 (6.92) Columnas

=

9.00 ton-m

exteriores

a) Cargas gravitacionales

u=

1. 41)

+

1. 7L

Pu= -1. 4 (128.O) + 1.. 7 (29. 1.) = 228. 67 ton. Mab= 1.4(8.03)

I I I

eco

a cargas laterales

I

!.

la

-

Mab= 0.75

Ec.

(9-2)

+ viento

(1.4 D + 1.7 L + 1.7 W)

Pu= 0.75

(9-1)

+ 1.7 (4.15)= 18.30 ton-m

b) Cargas gravitacionale~ u= 0.75

Bc.

(1.4 x 128.0 + 1.7 x 29.1 + 1.7 x 1.8)= 173.80 ton (1.4 x 8.03 + 1.7 x 4.15)= 13.72 ton-m

11

------1

I I I I I I I II ¡ II

Mas= 0.75

(1.7 x 3.46)= 4.41 ton-m

6 U= 0.90 + 1.3W Pu= 0.9 (128.0) + 1.3 (1.8) Mab= 0.9 (8.03)

=

=

117.54 ton

7.23 ton-m

Mas= 1.3 (3.46)= 4.50 ton-m 3.

Diseño preliminar Utilizar

de la sección y el' armado de la columna

la ayuda de diseño EB9. Nota: Los valores de las

tablas de diseño EB9 no incluyen resistencia se utilicen

Py /i> y Mu/~ estas tablas. ('f)

el factor de reducción deberán

i

de

ser usados cuando

I

I

!I I

1,

,1

!j

1'1

Como primera

suposición

cargas gravitacionales, Columnas Pn= Pu/~

excluyendo

= 329.49/0.7=

)1 1I I I I:'

los efectos de esbeltez.

= 23.34 ton-m

exteriores

Pn= Pu/~

= 222.67/0.7=

Mn= Mu/~

= 18.3/0.7

Propondremos

326.67 ton

= 26.14 ton-m

una columna de 50 x 50 cm tomando en cuenta _

efectos de esbeltez,

propondremos

interior

Este armado equivale

y exterior.

4#9 para ambas columnas aproximadamente 2 ' 1%, As= 25.80 cm

al 1% del área de concreto, Para Pn= 470.70 ton,

Mn

58.12 ton-m

Pn= 326.67 ton,

Mn

64.90 ton-m

Si Klu/r 22

de _

470.70 ton.

1I

¡

la combinación

interiores

Mn= Mu/~ = 16.34/0.7 Columnas

consideraremos

1.2(550)/(0.3) (50) =44

(Klu/r= 44)

10.11. 3

100

10.11.4

Por lo tanto los efectos de ~sbeltez tomados en cuenta, con el m~todo procedimiento aceptahle.

-

deberá~

aproximado

---~---~------'-----

ser

10'.11.4.3

como un

- ----

-- . ..:-1

I I

1; 11

1,

Cálculo de las propiedades 4 varillas

de-la secci6n de 50 x 50 cm con

#9 para la evaluación

~) Factor de longitud efectiva

1-

I

4.

I I I I I I I I I I I I I I I I

E.l va.lilr i~JlI"ll

K parn 1.0,

.1

;¡

1.:1 c()J)rlic'ión (llIc'

IIIVll":;

del efecto de esbeltez. (K)

10.11.2 deberá

c()nt-raV(~lltl~nda (IUI'

:11' ¡jt'lllllr':¡l.,('

El valor de K para la condición

no

p'II'
contraventeada y deberá

en la rigidez relativa

Cuando Klu/r

Z

use 0.5

6 O,

El g para trabes

cuenta los efectos de agrietamiento en la rigidez relativa) el valor de K.

19=

deberá

ser mayor aue

(pa

ra tornar en

y cantidad de refuerzo

y Elq para columnas

Obtenga el factor K de las figuras

I ¡~ •• r

y la cantidad

tornar en cuenta el efecto de agrietamiento de refuerzo 1.0

IIC!

!-ic.r

para evaluar

_

12-9 y 12-10

504/12 = 520833 cm4

J3so'

Ec= 15 100

= 282 495 Kg/ cm 2

Para la columna con -Lc""550 cm. EIG

""IC

-

282 495 x 520 833

=

Para la columna con Lc=

Agregar

lo siguiente

(arriba y abajo)

'f

A=

335 cm.

en ft0nde est~ marcado

,,\J B=

De la Fig.

(12.9) K= 0.88

De la Fig.

(12-10)

-_.-

2.675 x 108 Kg.cm

550

------

2.675 + 4.392 x

0.5

5.30

columnas

=

exteriores

2.70

(columna contraventeada)

K= 1. 74 (columna no contraventeada)

~------

----

-

.

" :1... •. .l..

, .•

------.- -------

--_.

I I I I I I I

l. 1II

II '1

EIG re-

282 495 x 520 833 8335 - 4.392 x 10 - Kg-cm

=

_._--- _-_ _-- ._-_ ... .._- .•... .•..

..

_.,

(El/lc) --(-E~I~

De la Fig. 12-9 K= 0.80

Oe la ecuaci6n

Pc=

(columna- no contraventeada)

1T2El/(Klu)2

lO-lO" calcular

Es c= -::. 25 • 8 O "C 19) 2

=

2.675 + 4.39L x 5.30-)

2(0.5

(columna contraventeada)

De la Fig. 12-10 K= 1.40 b) Carga -critica

=

9314 cm

Ec. (10-9)

El

4

Es= 2039000 Kg/cm2 cálculo de d

2.5.2

o

db=

1. 40 1. 40 +1. 7L

o

o

I

1. 4 (5.95)

~ d(interior)

=

~ d (exterior)

I

I I

El=

El

1I

1.4(8.03)

(EcIg/5)

-1-

1+

d

EsIse Ec.

(282495 x 520833/5) + 2039 000 x 9314 1 + 0.51

(int)

10

:1

= 0.61

18,30

4.842 x io = ------1. 51

I

- 0.51

16.34

-

3.20

10

El

1I

i. 1-

:1

l.

(ext)

4.842 x 10 = ---------1. 61

10

x

10 "

=

3.008 x 10

Para el cálculo de r:S s; -G d=O El (int y ext)

.-

4.842 x: =-----1.0

10"10

_ =

4.842 x 1010

10

(10-10)

I I I I ,1

Columnas

interiores

Pc(contraventeado)

~(3.207 x 1010) = ~lL (0.80 x 550)2

=

16'35000Kg.

1635 ton.

Pc(no contravenatado)

=

x 1010) ~ = 806015 Kg. (1. 40 x 550) 806 ton.

JI2(4.842

1

l.

,1

I

l. l.

l. I

I I I I I I I I I L_ . 1

Columnas

exteriores

= T\ -

Pc(contraventeado)

2 (3.008 x 1010)

-

1267300 Kg.

(0.88 x 550)2 = 1267.3 ton.

Pc(no contraventeado)

= "\\2 (4.842 x 1010)

= 521800 Kg.

(1.74 x 550) 2 521. 8 ton. 5. Diseño Columnas

final considerando

efectos

de esbeltez

interiores

a) Combinación

de carga gravitacional

EC.•

(9-1)

0.76

Ec.

(10-1:'

= 1.07

Ec.

(10-7:

Pu= 329.49 ton. Mab= 16.34 ton-m M 1b= 1.4 (2.28) + 1. 7 (1.87)

=

6.37 ton-m

El valor de Cm puede ser considerado sea calculado

por:

Cm= 0.6 + 0.4 (M1b/Mab) = 0.6 +0.4 Cm

b=

1-

como 1.0 a menos que

(Pu/'\'

= Pc)

(6.37/16.34)=

0.76 1- (329.49/0.7 x 1635)

I I I I I I . 1

Momento mínimo para efp.ctos de esbeltez Mab ~ Pu (1.5 + 0.03h) = 32 q • 49 (1.5

-1-

O.O3 x 5O) -. 988. 5 t.on-cm 9. 885 ton - m L. 16. 34

Me =

J

b Mab = 1:Ó7 (16.34) = 17.48 ton-m

Pn= Pu/~

= 329.49/0.7

= 470.70 ton.

Mn = Mc/y> = 17.48/ 0.7 :::. 24.97 ton-m

1.

Revisando

I

1I I

1-

estos valores en la tabla 12-1 vemos que bs 4 varillas

#9 es adecuado

para la combinaci6n

de cargas gravitacionales

b) Combinaci6n

de carga gravitacional

+ viento

Ec.

(9-2)

Ec.

(10-7)

F.c.

(10-8)

Pu= 247.12 ton

'1

Mab= 12.25 ton-m Mas= 8.82 ton-m

I I I

6 b=

1- (247.12 /0.7 x 1635) ~s

=

=

0.97

1. O usar 1.O

1. O

Z:. Pu/'f

1-

1I

¿Pc

Para el edificio

que cuenta con 7 claros en un sentido

en el otro, la carga axial Pu ,Y Pe deber&n exteriores más 12 columnas interiores

I I I I I I

-----

0.76

Suponiendo

que las columnas

de Esquina

sumarse,

tiénen

y

3

20 columnas

la mitad de carga

que las columnas de extremo, por lo tanto usar 18 columnas riores para la sumatoria de Pu

t

Pu = 18 (173.80) + 12 (247.12) = 6093.8 ton.

~ Pc=

2.0 (521.8)

el s=

-1-

12 (806)

l. 0 1-

-.-

exte-

( 6 O9 3. 2/0.

-- -- --

=

20108.ton. lo 76

7 x 2 O1 08)

----- .- --------

_0_ ..- __ -

.

- -1

I I I I

Momento m!nimo para efectos de esbeltez Mas=

Pu (1.5 + O. 02h) (1.5 + 0.03 x 50) = 741.36 ton-cm

= 247.12

7.41 ton-m Mc

=

+ [sMas

~b~ab

Mn= 27.77/0.7

1.0 (12.25) + 1.76

(8.82)= 27.77 ton-m

=

es adecuado

39.67 ton-m

para la combinación 4 varillas

1I I I I I

Pn

33/).0

Mn

64.77

de 4 varillas

#9

352.8°

381.4

64.2

63.1

de la ecuaci6n

(9-3) po-

exteriores

a) Combinaci6n

de carga gravitacional

Ec~

(9-1)

Ec.

00-12)

Ec.

(10-7)

Pu = 228.67 tOn. Mab= 18.30 ton-m

!I

M1b= 1.4(4.84} 0+

l-

1.7 (2.77) = 11.49 ton-m

Cm= 0.6 + 0.4 (11.49/18.30)

•

b

ji

= 0.85

0.85

=

-- 1.1.5

1- (228.67/0.7 x 12673) Momento mfnimo para efectos de esbeltez

1-

Mab

I

Pu

=

: 1-

10.11.5.4

(1.5 + O.03h)

228.67

(1.5 + 0.03 x 50) - 686.01 ton-cm =

~

~9

+ viento.

de carga gravitacional

Viendo los valores de la combinación demos notar que no rige.

Columnas

(10-6)

353.0 ton.

la tabla 12-1 vemos que el refuerzo

Revisando

1-

_

=

Pn= 247.12/0.7

I

1''_-0_,

=

2.82

Ec.

°1

!

?

10.11.5.5

6.86

ton-m

18.30

_ ---,

--~-

---

1

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

I I

Mc = 1.15 (18.30) Pn= 228.67/0.7

Revisando adecuado

30.07 ton-m

la tabla 12-1 vemos quejas para la ~ombinaci6n

b) Combinaci6n Pu=

21.05 ton-m

= 326.67 ton.

=

Mn= 21.05/0.7

=

4 varillas

#q

es

de carga gravitacional

de carga gravitacíonal

+ viento

Ec.

(~-2)

Ec.

(10-7)

Ec.

(lO-8)

.173.80 ton.

Mab= 13.72 ton-m Mas= 4.41 ton-m

Ó b=

O. 85 ( 1 7 3 • 8 O/ O • 7 .x 1 2 6 7 • 3 )

1-

~ s-

= 1. 06

1. O 1-

t

= 1. 74 (igual que para las columnas interiores)

PU/'f í:.Pc

Momento

mfnimo para efectos de esbeltez

Mas~pu

(loS + 0.0311)

: 173.80

(l.S + 0.03 x 50) : S~1.40

10.11.5 ..5 ton-cm

- 5.21 ton~m Mc: 1.06

(13.72) + 1.74

Pn= 173.80/0.7 Mn= 23.61/0.7

Revisando

7

4.41

(5.21) = 23.61 ton-m

Ec.

: 248.30 ton. : 33.73 ton-m

la tabla 12-1 vemos que las 4 varillas

cuado para la combinación Por lo tanto aceptamos todas las columnas

de carga gravitacional

#q

es ade~

+ viento

la columna de 50 x 50cm con 4#9 para

del primer piso

(10-6)

i

l I .1 I I

1I 1I

6~ Vamos a comparar

los resultados

de la columna interior

anteriores

en el diseño

con el procedimiento

utilizando

_

en el ACI 318-77 a) Combinaci6n

de cargas gravitacionales

Pu= 329.49 ton. MI= 16.34 ton-m Utilizando

la misma secci6n y refuerzo

K(no contraventeado)

= 1.40

~ d= 0.51

1

I

I1

l!

I

I

El= 3.207 X 1010 Pc

(no contraventeado)

_ ,,2(3.207 x 1010) _ ------------ __--___ 533250 Kg. (1.4 x 550}2 -

=

I

I

Ir I

1II

li

I I I I I

cm = -------------1- (Pu/'f Pc)

=

1.0 1-(329.49/0.7

533.85 ton.

= x 533.85)

Nota: Con ~ste gran valor del factor de amplificaci6n mentos,

vemos que tenemos que utilizar

de carga gravitacional

de mo-

un mejor método para

evaluar los efectos de esbeltez para obtener nables utilizando el ACI 318~77

b) Combinaci6n

8.45

resultados

razo-

+ viento

Pu'= 247.12 ton. Ma= 12.05 + 8.82= 21.07 ton-m

I

1I I I

1 I

11 l__

•

I

I I I I I I

:1. I

I I I I I ':I I¡ I i ,\.1

ir

li

-_._---_._---------p

....

A

2:EICOLS

t=

le

¿.EIB£AMS M•

l'

¡l

t

j,

.. ..ps ao

ao T 1.0

50.0 10.0 5.0 4.0 3.0

50.0 10.0 5.0

0.9

3.0

2.0

2.0 0.8

1.0

LO

0.8 0.7

0.8 0.7 0.6

0.6

'¥A

0.5

k

0.7

o/s

0.5

0.4

0.4

0.3

0.3

0.6

0.2

0.2

I

I I

.

0.1

0.1

o I

f1g. 12-9

o

0.5

1

Factor de longitud efectiva para columnas contraven~ teadas

I ¡ .1

I ~\

>

- --

0_- ....

.

~_

11

1:

I I I I I I I I I I I I I I I I

11

1

1

I I I

P I/J

A

¿~COlS

I:~IBEAMS B

:;x,

co

20.0 10.0

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F1g. 12-10 Factor de longitud efectiva para columnas no contraventeadas

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SPECIAL CONDITlONS

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FOR CONCRETF

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Code Reference

and D1scuss1on

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Calculat10ns

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Sección 50 X 50cm. F'c=350 k/cm2. Fy =4200k/cm2.

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1

fram page 13 of EB9

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I

11

II

LOSAS: METODO DE DISENO DIRECTO y

l'

11

NAPCO EQUIVALEdTE

11

11

'1 I I I I I I I I I

IN(;. JORGE AVILA ING,

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--

~OSE MANUEL

RODRIGUEZ ~ALINAS

S,

I I I I I I I

1I

[. i. II I I I I I I I I! 1,1

SISTEMAS

M6todo

DE LOSAS EN DOS DIRf:CClONES

de Oiseno

Directo:

Resumen En el ACJ 318-~3 se presentan tres cambios al cap. 13 con respecto al ACr 318-77:

sighificntivos

1) Se simplifica

el uso del M6todo de Diseno Directo por el análisis de sistemas de piso en dos direcciones; se eliminan todos los cálculos de rigidece~. Se proporciona una nueva tabla de coeficientes de momentos (Secci6n 13.6.3.3), lo cual reemplazan las exp res ion es q 11 e estaban .e n f ti n c i 6n del a re 1ac i 6n de' r i gicieces Se agrega la nue~a Sbcci6n 13.6.3.6, con cambi6s especiales. para. cuando se transmite el momento ehtre. la lo sa y columna, para cuando se usan .10s coeficientes de- '. la Secci6n 13.6.3.6. Sin embargo, la Secci6n 13.6.3.3 de los Comentarios del Reglamento incluye un "método simplificado de rigideces"; este método se basa en la distribuci6n original como una. funci6n del factor de rigidez

2) Se incluye la nueva Secci6n 13.3.1.2 que especifica corno los momentos de un anGlisis por carga, obtenido de un Disefio Directo (o con lo de Marco Equivalente), se pueden combinar con los momentos de un análisis por carga lateral; esta nueva Secci6n 13.3.1.2 se acompafia con la Sección 13.3.1.3. 3) Se rresenta una nup.vi.1limitaci6n en la Secci6n 13.3.1.1 par~ aclarar que los dos métodos de diseño del Capítula 13 son aplicables a edificios Formados norma reos orto.gonales. Introducción El Método de Diseño ni recto ('~,un procedimiento rtprox~.macla-. que analiza si~temas de piso en dos Jirccciones, de edificios .con marcos ortogonales, per únicamente cargas tipo gravitacion'¡, .• El método debe usarSt~ dentro Jc cortas limitaciones (ver Secci6n 13.6.1), y para Jos sistemas de piso que no lbs cumnlen deben utilizurse procedimient6s m5s exactos tales corno el ~étodo d~l Marco Equivalente (Sccci6n 13.7].

I I

i

¡

1

----- ---------'.

-'

~-

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

Franja

de diseño

El sistema

de

una cons.iste de una .- .

centrales

(Secci.ón

P1SO

se divide

franja 13.2.1

en franja~de

de cOlumna y'13.2.2),

y mitades

diseño

y cada

de franjas

.

como se ,ohserva

en la,fi-

gura:

,I

I

a)frania de na

nara

COlUM-

12~ 11

b)frania de columna para 12 7 ..f,

Diseno

preliminar

Antes

de proceder

determinarse

un espesor

de las deflexiones Además,

con el Mftodo

para

de Disefio Directo,

de losa preliminar

(Sección

que cumnla

dehe con 10

9.S.3).

sist.emas de piso

sin vigas,

debe

revisarse

en esta etapa la resistencia al cottantc de la losa alrededor de las columnas y otro tipo de apoyos (Sección 11.11). Despufs, se calcula el mom~nto estatico tot~l; ~a modificado por el factor de C(1rg~, pilra cada claro, dcs!,ués :.:ec'.ivide en Jos momentos negativos y positivo dentro dE:' (',1<..1<1 C]¡ll"i'. y se distribuyen el mOillento negativo.y positivo :.1 1:1 fr.¡ni;¡ de columna

Momento

13.6.2

donde

y central

dentro

Estático

In es el claro

en que se calculan

de cada claro.

Total

Libre

Factorizado

entre

los momentos

paños

Dara

de apoyos

(ver sipuiente

un Claro~-

en la direcci, figura]

eje de apoyo paño de apoyo recto cundrado con area

o ji)

Apoyo interior y exterior con cohnnnas o muros

---- 2

-+-

sección ~ira b)apoyo ext. momento negativo con ménsulas Q 0.1751, ~Ao del apoyo

.-1-~¡ l. I

(,>0.351, ~

---

-

--+]-.1 .1

~----- --_._-- --- - --_._---'~---------------'._-

-

--------

I I I I I

1:

I!

, I

.

I I I I I I I I

13.6.3

Momentos

El momento mentos

negativos

Factorizados estático

Negativo

y Positivo.-

total de un cLno

y positivo

como se puede

se 'divide en los moobservar

en la figuT3,

claro interior

claro

exterior

f

U

i'!o

_&11

n

.

n

._~ L-----J.. L1 U U'

~bmentos de la franja de diseño

0.35\.10

O. 52~:b

(1.6910

O. 70~.fo

En la figura

anterior

~e muestran

los momentos

del claro

exterior para una losa planG sin vigas. Para otras condicione~ del claro exterior el momento e:~tf¡.ticototal ~10 se distribuye como sigue

(Secci6n

13.6.3.3)

L

1)

1

(2)

losas en losa simple dos direc mente apoyada en muro de con ciones creta o mampos terfa . negativo terior

in

0.75

0.70

positivo

0.63

0.57

negativo exterior

O

O. 16

(3)

(4)

.1 o s él TJ 1:l.n_a

sin vi gas

n.

(5) _

. con vigas 1

losa" col ada monolíticamente con muro: de concreto

--_J_--o. 70--r-

70

O.6S

---.---+-------t-------------

_.... _~ .~! __ -+-_ !!__'.:.~_--' O.2G

I 1

0.30

0_._3._5_. __

0.65

.

I I I I I

1I

l.

13.6.3.6

Ih'quisito EspecialParél

la Los[l y una Columna

La resistencia critica.

Para lOas columnas

te entre

1I

la Secci6n

I I I I I

tencia

critica

mento

para proporcionar

de columna,

viene

de eje. Para asegurar

se usan los coeficientes . debe ser usada

transmitido

3

Se in-

esta condici6n°

la resistencia

nominal

es -

una losa sin vigas,

13.6.3.6 que toma en cuenta

cuando

de desbalanceo

al cortante

que sonortan

13.6.3'03, la resistencia

por la franja

Losa-Columna

de carga es. aún más crítica.

la losa y la columna

al cortante

o

la resistencia

exteriores

Sección

de piso de éste tipo.

de la conecci6n

la condici6n. de la transmisi6n

rl I I I I l.

al cortante

la trans-

es un~. de las funcio-

para los sistemas

Un errOr al proporcionar ser demasiado crítico.

cluye una nueva

entre

la losa sin vigas,

la losa y la colu~na

más~ .. críticas

potencialmente

I

que soportan

de carga entre

nes de diseño

de

de. Eje.-

Para las columnas misi6n

La Transmisi6n

a~ cortan-

adecuada

resi?-

aproximados . . .

de

Total Mn, proporcionada

como el porcentaje

por la exentricidad

del mo-

del cortante

eXvMn), según las secciones 11.12.2.3 y 11.12.2.4. El armado total proporcionado a la franja de columna

incluir~

el refuerzo adicional que se concentr6 sobre la columna para resJ.stir el porcentaje del momento de desbalanceo transmitido por f1exi6n~fM~ = 1£(0.26 Mo), donde el coeficiente 0.26 es'según la Secci6n 13.6.3.3, y es dado por la ce. (13-1).

Of

13.6.4

Momentos

Factorizados

en la Franja

de Columna.-

La cUantía del momento factori.zado positivo y negativo que debe resistir una franja de columna, depende de la rigidez relativa entre la viga y la }OSJ y del ancho del tablero con respecto a la longitud de la direcci6n del claro en que se est5 analizando. El porcentaje de los momentos negativo y positivo que deben ser resistidos por la franja de columna deben determinarse segúnlas tablas en la Secci6n 13.6.4.1 (negativo interior) Secci6n 13.6.4.2 partir

(negativo

exterior)

de las siguientes

-

.•. ---

y

Sccci6n

13.6.4.4

(positivo),

o a

expresiones:

--_._----

_.~----------_.

-'-----"".

.~------~-----

apoyo interior: Ec .(

1)

apoyo exterior: Ec.

(2)

Ec.

(3)

positivo:

Nota:

cuando

~.l2/J.l

cuando

~t. 7

/

1.0, se usa 1.0 se usa 2.5 en la eco (2).

2.S,

Para las losas sin vigas entre apoyos de eje exterior

( ~

tivo y POSItIVO

a las franjas

60\ para momentos

=:

O), la distrihuci6n

interior,

de columna

exterior

.C ~

=:

O)

Y sin vigas

de los momentos es simple~ente

y positivo,

nega-

75,100 y

respectivamente

..

Para las losas. con vigas entre a~oyos, la distribuci6n de _ penderd de la relacj6n de rigidez de viga a losa y, Dara las vi _ gas de eje exterior, de ]a relaci6n viga de eje a la rigidez de flexi6n 13.6.5

Momentos

Factorizados

de rigj~ez a la torsi6n de la losa.

de la

en Vigas.-

Cuando la franja de discfio contengan vigas entre 2 columnas, el momento factorizado proporcionado a la franja de columna se _ debe de distribuir entre la losa, y la viga, de dicha franja. El porcentaje resistido por la viga varia linealmente entre O y 85\ cuando (ll('1,.q21.(1 est:í (~ntrc n y 1.0. Cuando 0(1~2/jl es mayor o igual que 1.0, debe resistirse por la vigu un 85% del momento _ total de la franja de columna. Adem~s la viga, deberá resistir _ las cargas que se aplican directnmente a ella. En la Secci6n 13.6.5.3 se han revisado

ben diseñarse

------

m5s claramente

bajo qué condiciones

de-

las vigas.

---

._-_._------_._--------

0

--------_.

l. I I I I I

1I

i.

13.6.6 Momentos

Factorizados

Los momentos

factorizados

frarijas de columna,

a ~sto, es ~n3

paralela

a un ej~ soportado

13 • 6 • 9

Momentos

por las franjas

franja central

a las -

centrales.

adyacenie

a y

por un muro.

Factor'ízados en Columnas y

Centrales.-

que no se proporcionaron

deben resistirse

Una excepci6n

Las ~0lumn3s

en las. Franjas

muros soporte,

y Muros.-

deben resi~tir

cualesauiera

momentos negativos transmitidos 3 tra~~s del sistema de piso. Para las columnas (muros) interiores, se puede usar la ~cuaci6n

(13-4)

para conocer

do por carga gravitacional. igual adyacente

el momento.de

desbalanceo

transmiti-

Para el caso más usual. con claro

y transversal,

la ecuaci6n

(13-4)

se reduce

-a,

I

I

il I

1I I I I I I ,1 I I I l _

ec(4)

donde WA es un valor ya madi ficado Para las columnas o muros gativo exterior ya factorizado 13.6.~.3) se transmite 13.6.10

Requisitos

P01'

el factor de carga.

de apoyo exterior, el momento del sistema de piso (Secci6n

directamente

para los Efectos

a los

ne-

soporte.

del tipo de Distribuci6n

de

las Cargas.Cuando la relaci6n de carga muerta a carga viva (sin .factorizar) es menor que 2 ei efecto debido a la distribuci6n d& la carga puede despreciarse en el análisis, si se dispone de columnas suficientemente rfgidas. Si no e~ as!, los momentos factorizados POSItivos deben incrementarse por el coeficiente g s calc~lado de la , ecuaci6n

(13-5).

EJEMPLO

20.1 - Losa en dos direcciones sin vigas analizada Método de Diseño Djr~cto.

con el

Utilizando el Método de Diseño Directo, se pide obtener los mamen tos de disefio para el sistema de losa en In dirección transversal de un piso intermedio.

5.5m

L

--J_J LI

4.25m

11.25m

franja de di.seño

altura de entrepiso columnas cargas laterales son resitidos peso de muros divisorIos carga viva (servicio) =210 kg/cm2 (losa) ~t =350 kg/cm2 (columnas) ~~ =4200kg/cm2 .

t,

=: 2.75m -::: 40 cm x.40 cm por los muros de cortante = lOO kg/m2 = 195 kg/m2

sin vigas

I I I I I I I I I I I I I I I i; I I 1I 1

I

I I

I

li

.c _

CALCULO Y DISCUSION 1. Estimación preliminar del espesor de losa, h a. Control de deflexiones Para sistemas de losa sin vigas, el espesor mínimo h debe ser

9.5.3.

h=ln(56.25 + 0.005 £y)/2530.0 ~ln/32.7~ (refuerzo G60) =510.0/32.73 = 15.58 cm Donde In es la longitud "dcl claro libre en la dirección larga. D sea, ln=550.0 -40.0 -510.0 cm Corno 15.58 cm es mayor que 12.50 cm (espesor mínimo especifico para losas sin ábacos, rige el primero

9.5.3.1.

Para sistemas de piso sin vigas en los ejes, el espesor de los tableros con ejes discontinuos debe incrementarse un 10 por ciento. Así, el espesor mínimo es h= 15.58 x 1.10 = 17.14 cm Usar h= 17.5 cm

9.5.3.3.

b. Resistencia al cortante Usar un peralte efectivo, d~14.40 recubrimiento y barras del #4)

cm "(1.8 cm de "

carga muerta factorizada, Wd = (420.0 carga viva factorizada, "We = 19 S xl. carga total factorizada, Wu

+

100) 1.4 =

728.0

=

332. O

7

=

9.2."1

.

1060.0 Kg/m2

La revisión de acción de viga ancha se hace. en una franja de 1 O O cm 11 .11 .1 .1 . a partir de una distancia "d" del paño de apoyo en la dirección larga (ver figura siguiente). Vu = Vc = Ve = ~Vc=

1.060 x 2.40 = 2.544 ton O.S3~f,*d, 0.53")(. 10 x 100.0 x 14.40/1000=11.06 0.85 x 11.06 =9.40 ton

ec(11-3) ton

Vu <'lfVc Como no hay fuerzas cortantes en los centros de claro de los tableros adyacentes (ver figura siguiente), la resis tencia el cortante como losa a una distancia "d/2" alreae dar del apoyo se cilculo como sigue: Vu=1.060(~.5 x 4.25-0.552) =24.457 ton Vc~1.06~bod (COlumnas cuadrHdás)

= 1 . Oé .f iw.x

Vc=0.85

Vu<'fVc

(4 x 5 S • 2)

x 48.84=41.514

x 1 4 .. l / 1 OOO = 4 8 . 84 O ton

ton

ec(11-36

I l.

I I

Po~ .tanto,de acuerdo al disefio preliminar se. puede aceptar una losa con h=17.5 cm; las deflcxiones no son importantes y se tiene suficiente resistencia al corte

,1 1I

5.5

-t----------.t-

1I I I

I

I

,

l.

I

II ,1

/11

: ~5.2

c~

,:r~------¡ J?

I I 1I

1"/ I

l------

I I

_J

1lI---

2.40

11I

-_~.

lt- 14.4 cm I

I 1

I I I

~

el d"l

tahloro

il l

-*-

1.- d/2= i . 2 cm

~ I I I I I

\

Ii

.-

I I "'-

_

.~ .

d

cm 4.25

r.l

I I I I I I I I I l' I

!I I I

2.

Revisiún

de 1'-1$ Jizflitacioncs

del

o

1.292.0 Ltis longitudes

o

o

o

ji i I

Mo

13.6.1.~~ 13.6.1.3 13.6.1.4 13. 6. 1 . S 13.6 . .1-6

13.6.2

==

Wu121n2/8

=

1. O6 O (4. 25) ( S. 1 O) 2 / 8

.

=

ec(13-3) 1 4 . 6 5 t on - m

b. Momentos factorizados positivo y negativo claro interior: momento negativo = 0.65 Mo=9.52 ton-m momento positvo - 0.35 Mo=5.13 ton-m claro exterior: momento negativo exterior =0.26 Mo=3.81 ton-m momento positivo =0.52 Mo=7.62 ton-m momento negativo interior =0.70 Mo=10.26 ton-m

13.6.3. 13.6.3.2 13.6.3.3

NOTA: Los momeñtos

factorizados pueden modificarse en un 10%, siempre que el momento estático total pero 'un tablero, en la dirección considerada, no sea menor que el requerido ppr la ec(13.3)

Esta modificaci6n

no se incluye

claro exterior: negativo exterior 3.81 positivo 7.62 negativo interior 10.26

13.6.

-

en franja de

13.6.4 13.6.'6.

franja de columna

mitades de hanias 3 Pürcentaje2 momento centrales

(5.82)1 (6.75) (10.12)

100 60 75

3.81 4.58 7.70

O

3.06 2.57

claro interior: negativo positivo

9.52 5.13

7S

7;14 3.08

60

2.38 2.05 ,

~ -----' --~----~

-- ----~

-

---- ~-

---_

.....••

7

en el ejemplo.

4. Distribuici6n de momentos factorizados columna y franjas centrales.

momento factorizado

1

13.6.1.1

3. Momentos factorizads en la losa. a. Momento total factorizado

'1'

I ____

13.6.

declaras ¿ucesivos' son .iguales Las columnas no estan desalineadas Las cargas estAn uniformemente distribuidas; la relaci6n de carga viva a carga muerta es 0.37<3. O EI'sistema de piso es sin vigas

I I

Directo

o

1I l' I '1 I

de Diseño

Hay un minimo de tres claros continuos en cada direcci6n La relaci6n de claro largo a claro corto.es

o

I

¡

Método

_-

-

--~._-_.

---

_

.......•.

_-_.~--

.

I I I I I l.

Valores obtenidos utilizanciL el '11I0ludode rigideces modificéldo" de la sección 13.6.3.3. ele Comentarios 2 Para sistemas de piso sin vÍtras 3 La fracción de los momentos ~actorizodos no resistidos por l~ franja de columna, debe asignarse a cada mitad de las franjas ce~~rales correspondientes S. Revisión de los efectos de la distribuci6n de las cargas Relación de carga muerta carga viva: ~~=S20.0/19S.0 =2.67 Cuando~o.~ 2.0, los efectos de la distribución de las cargas puede despreciarse 6. Momentos factori:ados en columnas a. columnas interiores (con c]nro adyacente) :

Mc=1.28/2

x

510

2

)

=0.64

de columna

por arriba

y

ton-m

Este momento y .la carga axiJl factoriz;lda epara cada entrepiso) sirven parü el diseño de las columnas interiores. h. Columnas exterj.ores: El momento ne~ativo exterior de la Josa debe transferirse directamente ~ las columnas; Mu=3:S1 ton-m Con el mismo tamaño y Jongitud de columna por abajo y por arriba de la losa: Me = 3 ..Rl/2 =1.91 ton-m .Este momento se combina con la axial factorizada (para cada entepiso) y se disefian las columnas exteriores. 7. Transmición de momento y cortante por carga gravitacional a columnas exteriores. Revisión de 1;] resistencia ;)1 cortante v a la flexión de la losa en el eje de columnas debido al' cortante directo a. Fuerza cortante factorizada transmitida a la columna exterior: Vu=Wul. 1",/2 = 1 .O 6O x (4 .25) )( 5. 5/2

:1

L

7 x 0."1 9 5 x 4.25

ton-Ill

Con el mismo tamafio y longitud por abajo de losa: .

I

,

y

tO.S We12LnL)

O. O7 (O. 5 xl.

=1.28

!

I I I I

transversal

.)

Mi= 0.07 .-

I ¡I I I I I I I

igual,

I 3. 6. 1 (1

=

12. 39 ton

b. Transmisión del momento de desba1
1 a e s pe c i r i. ~: a e j Ó IJ

e s p (' e i a J del

a s e c ció n

(transmisión de Illomentos entre losa y colum na de eje) requiere que el porcentaje Llel momento de-dcsbalanceo transmitjdo por la excentricidad de cortan te debe basarse ('n la resistencia de momento normal dl~ la franja de columna incluye el ref~er~o adicional q~e se concentra en la coLumnH para reslstlr el porcentaJe 1:5.6.3.6.

11.12.2 13.3.

j.

I

I I I I I I I I I I I I I I I I

1II 1

I l'

del momento de desb«lanceo transmitido por flexión D{ Mf(' donde Mu es el momento negativo exterior (factorizndo) de la losa. Para una losa sin vigas de eje, el tot~l Mu=3.81 ton-m se resiste por la franja dc columna. ción 13.4.1 se coloca ¡'ara

la

fr¿¡nja

(~:I ell

centra.l

r('fut~rzo .Ja r¡":lIl.!:J

y Jl:

As (min) = O.ObIH = 6.70 cm2

:ní.nimo

cspcci

riendo

cn

la

Sec-

("~~ntr;¡)).

cn.lulllil;¡;

hh ~ 0.0018

x 2.12.5

x 17.5 7.12.2.1

Con. varillas # 4, se necesita~ 6.70/1.27 :: 5.3 barras Para S rnax :: 2h=2x17.5 = 35 cm! el llúmero total de varillas' que se necesitan son 212.5/35 = 6 varillas.

13.4.2

Revisión del refuerzo total que se necesita para el momento negativo de la franja de columna Mu=3.81 ton-m De la tabla 9-2 (pagina 9-7): 1-1u 'f f

=

bd

3:81x100,UOO 2 ::,0.0457 O.9x 210 x 212.5 x 14.4

donde d:: 17.5-3.1

= 14.4 cm. (recuhrimiento

de 1.8 cm

y 0 #J;)

De la tabla 9-2; W=O.0454 )

~=~fcfy As=pbd

= 0.0454 x 210/4200 = 0.00227 = 0.00227 x 212.5 x 14.4 :: 6.95 cru2

Con varillas # 4, se requiere un totDl de 6.95/1.27 Colocar 6 val' #4 @... 35 cm

=

5.6 varillas

e

Usar 6'4 35 cm en la franja central'y en el tramo de franja de columna duera de la sección donde se transmite el momento de desbalanceo 'de c+2(1.Sh) = 40.0 +2{1.Sx17.S) = 93 cm '13.3.3.2 Para resistir el porcentaje de momento de desbaJanceo por flexi6n se requiere refuerzo adicional sohre el ancho efectivo de los~ de 93 cm sobre la franja columna, y se calcula cori la ec(13~1). Parn columna cuadradas, ~~= 60% (ver fig. 17.4) . ~~~~=0.60 (3.81)=2.29 ton-m deben resistirse en la .franja de 93 cm. colocar dos varillas adiconales, sobre las columnas. l~I."/isar la resistencia a la fle xi6n con 4 val' ff 1 colocados en el ancho de losa d~ 9 3 c lJ1 • Ver

1a f i g U T a s i g u Ü; JI te;

(b)

I

('

l' I I I I I I I I I I I I I I I I I

---.----.

-----

-----c ...-----

- ------,;.

-

=::=:.-====--==="----:=>

2

======--====.==

Vélr.

adicionnles

sohre

}n columna.

<:========--===== =========,,=

(~

C::'

I~

¡~

F-J

i:~ l'ft"l I 1-

=========~

$:::::t:l=====

'111

•

=

C::==========::a==

I , "

==========.::»:

•••

======== .• [email protected]

en

1 :'.

I

----

-

_._-- --

Para la 4 var # 4: As=4(1.27) =5.08 cm2 W =Asfy/fébd=S.08 (4.200)/(210x93x14.4) De la tabla 9.2; Mn/fcbd2 = 0.0719 Mn=0.0719

l

xO.210x93.0

x14.42/100

'f Mn = O . 9',',' ( 2 • 9 1 ) =o 2 • 6 2 < 2 • 2 9,

= 0.0758

= 2.91 ton-m

b ie n

El portentaje del momento de desbalanceo transmitido por excentricidad del cortante debe basarse en la resistencia nominal total a la flexión, Mn, que se tiene en la franj a de columna:." Para 6+2:8 var #4: As=8(1.27)=10.16cm2 W=10.16 x 4200/[210x212.5x14.4)=0.0664 De la tabla 9-2;Mn/fébd2=0.0637 2 Mn=O.0637xO.210 x2.125 x 14.4 /100 =5.89 tan-m Considerar la transmi'si6n del momento centroide de la sección critica.

Mn en el

I -_

...:._----

- _o.

j

C.

Esfuerzos cortant6s combinados en lá cara interior de la sección crítica de transmisión. De las ecs de re-sistencia al cortante (ver.parte 17, pag.17.6) Vu=Vu/Ac+

tvMn/(j/c)

=12~390/2143.n Vu=5.78 +6.38.= donde(ver fig.17. 6):

+O.4x589

x100,OOO/36,912

=47.20 =54.4

cm cm

2.

7

c = c-/ (2a +b) = 4¡.20 /2x47.20 L Ac=(2a +b)d=2143 J/c= (2adCa+2b} +d (2a+b)./a)/b = 36 812 cmJ. . .

+ 54.4) =14.97

sm

f.ver

.. Q

12.16 Kg/clll2

a = c, + d/2 =400 +14.4/2 b = c2 + d =400 +14.4

=O.lj~

fig.

cm

17 .. 4)

d. 'Esfuerzo cortantes combinados en la cara exterior sección crítica de transmisión:

de la 11.12.2.3

-"6 vMn/(J/C)

Vu = Vu/Ac =

11.12.2.3

- ().~ x 5.89

12,390/2'143.0

x 100,000/17,145.0

= 5.78 - 13.74 = 7.96 kg/cmZ donde: c' = a-e =47.20 J / e'

=

e. Esfuerzo fVn

cortant"c =

'fe

-13'.06

,

.

-14.97 ~ 32.23 cm

e J / e) e / e ') ::; 106)

36, 9 ., 2 x 1 4 .~) 7 /

adJ!lisihle

VT:!".,.

kg/ClO2

O'. H~l xl.

') 1L. 16

_o.__

OG

"!J

2 . 23

17.145

cm3

11 . 1 2 . 2 . ,¡

VTiO .

bien

~

.....

. _._'

.

~ ..._

¡i

I I I I I I I I I I I

1\ I

Ejemplo

"

1.0.2

Detenninar de piso

•

dn~. tllrCCC)(lIlf'~, de lli sefio lli reno I.LlS;1

t

(rC~

vi,,:!:,

~lll

('/1

los momentos de Jiseflu el, la dirección

de un n.ivcl

US:I pI

intel1l1cdio;

con el ~1ét(jdo

:ln;J1i;~;ld¡1

transversal.

del

sistema

,!,fétoJo de lliseño llirecto

r '1.3S In N

!

I

S.35

l

IJ G:~.

111

'

S.35 m .

s

I

l

. defranja diseño

6.70 m

~

al tura de eIlt repi so

m

'-

:).65m

vigas exteriores vigas interiores

.- 3S

coltmmaó

-

.3S

losa

.)

7() O"

50 L:m

•.•:!11 J,.

x

!¡ Sel'!

Ir

".

el'l

,1

e

~t .)

cm

("ti: "

I I

I

'1

carga

viva

(scrvici;l"j

- ,190

i\" {T /"1

.)

280 Kg/C"ln'

flc::. 2 fy= 4200 Kg/oil

(coflcrvto

dc"

r,~'",.)

r~nr,":lI;

i.I'II:1l

n:lr:J t~klos

los c1ementos)

l

I I I 1I I I

11

1

I! 1

1

-

---

-

-------------

-------.---~------

-------"-----

-

__

o

---1

I I I I I

Cálculos

y discusiones

1.- Estimaci6n (control

prel iminar

a la flexi6n"

vigas <.le eje N-S (exteriores)

'1

l. I

1I I

il

<.Ieb

¡. '1 I

9.5.3

20-(1,

20-7 Y 20-8,

vig~ con rcsnecto

la rclaci6n

de ID

a 1:1 de la Losa,

(a/h)3[

(3S/357.SJ(70/1S)31.47

~=

"'-=

14.63

0(=

(35/290)(70/15)31

0(=

(35/670) (50/15)31.61

vigas <.le eje E-W vigas de eje

..47 = 18.03

N-S

(interiores)

= 3. 11

vigas de eje E-W (interiores)

'0(

Como todos tiene .será

>

loso<..

el espesor

= (35/53S)(SO/15)3J•61 (ver

2.U

mínimo.

Eig.

20-3),

= 3.90 entonces

También, ~s= 0.5,

el valor más pequeño

(ver

fig.

para

<.le cc(9-12) lID

tahlero

se ob-

de esquina,

20- 2) .

Así, ..tn(S6~2S +- 0.005fy) 2530 + 350 (1 + S)

J 1-

donde

~ = 6.25/4.9

=

15.08

ee.

em

1.28

~..s= 0.5 ..In= claro

.libre

de 1:1 direeci6n

a paño de columnas Usar 15 cm como espesor

I

figs.

0<..= Ech/l:cs(b/l)

(exteriores)

I I I

h:

queda como s j guc :

1I

l.

<.le losa,

de las deflexiones)

Con la aYlIda de las rigidez

del espesor

de losa

=

6.25 m

larga

=

medida de pa!ío

6250n

(9- 12)

I I I I

2. - Revisión de limitaciones

13.6.1

-

Hay un mínimo de tres claros continuos en cada dirección Relación de claro l:1rgo a claro corto es 1.25" 2.O La longitud de los claros sucesivos es igual Las columnas no están desalineadas . Las cargas actuan uniformemente distribuidas; la relación de carga viva a carga muerta es ~.33 <. ..,3.0 - En los tableros inter:iorcs:o<.l~2 /o<.tJ-ZL. ::: 1.25

!I

'13.6.1.1 13.6.1.2 13.7.1.3 13.6.1.4 13;6.i.S 1~.6.1.f

- En los tableros exteriores:0(.¡l22/o<. 2112 .- 0.30

11

'11 ,I

1;

3. - ?'-iomentosfactori zados en 1 a losa a. M:>mento total factorizado para Lm claro: ~io:::Wu12ln2/8

,

ec (13.3)

11I

1:

13.6.2

:::1.400(6.70)(4.90)2/8

:::28.15 ton-m

We :::1.4(360 + 450) + 1.7 (490) :::1400 Kg/m2 (45.0 Kg/m2 es el peso de la viga sin losa por metro lineal dividido por 12)

donde Wu:::Wd

I I

+

b. momentos factorizados claro interior:

1I

positivo y negativo

13.6.3 13.ó.3.2

momento negativo::: 0.65 Me ::: 18.30 t-m momento positivo::: 0.35 ~10 ::: 9.85 t-m claro exterior (losa en dos di recd ones) :

I I I I I I I

momento negativo exterior momento positivo momento negativo interior

:::

= :::

0.16 Me 0.57 Mo

13.ó.3.j

:::

4.50 t-m

:::

16.05 t-m

O. 70 ~10 ::: 19-;

71 t-m

Nota: Los momentos factorizados rUL~len modificarse en un 10% siemnre que el momento estl1tico totill para un tablero, en la direcci6n considerada, no sea menor que el requerido por 13 ce (13.3). Esta rnodifjcaci6n no se incluye en e.1 ejcmnlo.

13.6.7

4.- Distribuci6n de momentos y franjas centrales

en la franjn de columna

13.6.¡~ 13.6.6

--

~----~._-

fuetarizados

l.

r

:

L: _~'

_

--------_.

-_._--

----~-------'---_._--

-_._-----

..

.

-

-'-

I 1I

él.

!.

I

I

I

75 + .30

75

-'-_

_

+

la franja

c<,

=

(o<,fzl!.,H

30 (1-1.25)

=

-:i/i1)

1

ee ,(1)

67%

de 11) se calcula con la ayuda,de fig. 20-7:

donde o(l(direeei6n

I I I I I I I I I '1 I I I I 1,.-

í1

Apoyo interior:

l. I

,

Porcentaje del momento total ne)~¡¡t ivo y nos i tiva ele columna

(b/l Ha/h) 3f

~1 = (35/670)(50/15)31.61

=

o(l..f2/~1='3.11x' 6.70/5.35

3.11 =

3.90

>

1.0

•••. usar

1.0

Apoyo exterior: ee (2) 100-10(1.95) + 12(1.95)(1-1.25) donde ~ t =

e/ (2Is)

, 1s= ~2h3/12

=

75%

=:

736, 529/ (2 x 188 ,437 .5) = 1.95

=

670 x 153/12

=:

188,437.5 cm4

C es el valor mayor (con la ayuda de la fig. 20-10)' para el miembro a torsi6n mostrado en la siguiente figura: Xl ::35

Yl = 55

Y 2 =: 90 '

Y1

=:

C1 = 470,910

Cz = 90,619

el

::685,285

ic=

__

__

_

35

x 2 -- 15

Xl

=:

470,910

+

90,619 = 561,529

~C=

x2

70

685,285

=:

15

Y2 :: 55

+

C2 :: 5',244

51,244= 736,529 cm4

I I

i

miembro

I I

1-

él

torsi6n

momento positivo:

!I

ec (3)

I

60

i-

1-

1:

,.

!r

I I I I

I I I I I I 11

+

30 (1.5 - 1.25)

=

67%

Los momentos factorizados de la franja de columna v franjas centrales se reSlDllenen la siguiente tabla:

momento factorizado

franja de columna mi tades de' fran - i I porcentajE momento 2 ias centrales~ ~ --4

negativo exterior positivo negativo interior

I

II

claro exterior: 4.50

(8.93) ¡

16.05 19.71

(13.81) (19.66)

75

3 .. 38

67

10.75 13.21

67

1.13 5.30 6.50

I 1

¡ I

I, !

i

claro interior:

I I

negativo positivo

18.30 9.85

67 67

12.26 6.60

1

6.04

I

3.25

,¡ !

1 Son valores que se obtienen con el "método modificado 13.6.3.3 de los comentarios

de rigideces" de la secci6n

2 Como D<1'zI.f1 ") 1.0, las vigas deberán diseñarse para que resistan 8S~ del momento de la franja de collDllna(sección 13.6.5.1) 3 El porcentaje no resiste la franja de colt.unnaes tomado Dor cada mitad de las _ franjas centrales correspondientes

-

----_._--

----

I I I I I I I

s

nevisi6n

de los efecto:;

'1 I I I

1I I

I

1111

1; 1: I1 1'

I I

I~ I

tI(.

1;1~; GlI;gas

RC'laci6n de carga ,mlerta a c;lrg,! viv;l: 360/490

~ (1=

ComocX1

> 2.0,

:: 0.73

2.0

entonces el C(;mln. .

especificado

en la tabla 13.6.10

es 0010. Por tanto, el efecto de la distribuci6n preciarse.

de carga puede des-

6 1.bmentos factorizados en coltuJlnas

13.6.9

a. Columnas interiores .Ccon i&!U,il cl3ro) t raI1sversal y aJyacente): Co.5WtJz1n2)

Mi= 0.07

¡I

de la distrihución

ec (13.4)

= 0.07(0.5 x 1.7 x 0.49 x 6.7 x 4.9)2 Con el mismo tamaño y longitud de collmma por arriba y por abajo de la losa: Me= 4.69/2 = 2.35 ton-m Este momento se combina con la carga axial factorizada piso) y se diseñan las columnas interiores.

(para cada entre

b. Columnas exteriores: El momento total negativo exterior de la losa/viga se.transmite a las coltIDUlasexteriores; con el mismo tamaño y longitud de columna nGT abajo y por arriba de la losa: Me 7. Resistencia

=

4.50/2

=

2.25 ton-m

al cortante

13.6.8.1

a. Vigas como o< lR2/11= 3.98, entonces las vigas resistirán la cortante total (b\~ 35 cm; tI= 43 cm). vigas N-S

I1

VU

=

l(>Vc=

WuRf/4 ::: 1.40

'f

(0.53)

(5.35)2/4.

= 10.0 ton

[flcbwtl

= 0.85 x 0.53J28(J

x 3S x 43/1000= 11.3 ton

_____

z....-

_

~__

.

Jo.-

*

_

I I I I I I I I 1I

Vu

<- 'fVc

5610 se requiere e 1 refuerzo de cortante rnfnm cuando Vu según la secci6n 11.5.5

Vcl2

Vigas E-W

=

1.40 x 5.35 (2 x 6.70 - 5.35)/4

=

15.1 ton

"vu>'fc La resistencia

al cortante proporcionada por el refuerzo debe ser:' Vs= (Vu - 'fVc)/f

=

(15.1

- 11.3)/0.85

::4.5 ton b. Losa (bw = 100 cm, d= 14.0 cm) Vu= Wu'¡l/2 = 1.337 x 5-.35/2

I

lf

1I

=

3.6 ton.

Vc = 'f (0.53) j?cbwd = 0.85 x 0.53

280 x 100 x 14/1000= 10.6 ton.

I

11 ,-: I I

1I

La resistencia cortante

al cortante de la losa es adecuada sin refuerzo al

9. Las vigas de eje exterior se deben diseñar para- resistir el momento que no se transmite a las columnas exteriores por las vigas paralelas, segdn secci6n 11.6

I :1

(1

':. L. _

--1

I I I I I I I I I I

DATOS:

-1

Altura

.. 5 .SOmts.

Secci6n

l

de entrepiso de cols.

Sin tr~hes

r 4 .25

Diseno

Para

100Kg/

'= 200

preliminar de deflexiones

sistemas

de losas

sin vigas,

el peralte

total h se rige

po r:

9.5.

como o<:=0; o{m= ln= longitud

h== ln(800+0,07fy)/36000

(J

de claro

libre mayor;

h = 5 1 O ( 8 O 0+ 2 94 )

losas

1'3 fa

111=550 -40 =510 cms

13 ()II O ==1

sin abaco

h'

Ec (9-

S • 5 O c ms

mll1 = 12.70

ems. <:.

15, S

Como no existen vigas de borde, el pe ral te en los tableros bordes discontinuos dehe aumentarse un 10%

I I I I I

h mi

Probar

=

con h

b) Rcvisi~n

= 1.1 x 1 5 . S =1

Jl

18 cms

(w

o

7 • OS e ms

losa

?

432 Kg/m-)

=

por cortante

Usando

d= 14cms.

Carga

lllllcrtal'ld:o

~:a r g ,; \' i \"1

7tl5,O Kg/m 2 ? :.: 3.1 O..!_q Kg/m

=

(432+100)1.4

N 1 = ? O O xl.

7

Lo

108S.(J

:1

Kg/m2

, , ,

divisiorios=

-i 4. 2S ~

a) Control

1I

. .L

1~

fle - 210 Kg/cm2 (losa) flc= 350' Kg/cm2 (columnas) fy == 4200 Kg/cm2

4.25 , 4,25

I

:

resisten

de borde

Peso de muros Carga viva

l.

40x40 cms

Los muros de cortante cargas laterales

5.50

1.

= 2.75 mts.

--_._-

--

-

-- -----

_.

_-

- ..

--

_.-

-

-

-

---

9.5. con

I I I I I I I .1

.,

como viR~

Cortante

Consider~ndo unitario

I I

un ancho ~ 54

: ~/~/,% :. I~'I

[210(100)(14)=

<. 0

Cortante

I I

14.

Y

241

_ .._------~.-._-

.-J

I

Vc= 9.14 tons. Vu

It

I

L ---~

= lO. 75 tons. .0

~I

,.----'1

2:"63 tons.

Ve= 0.53 ~bwd = 0.53

l

1

= 1.00 mts.

Vu= 1.09x2.41=

1I ,1 il I I I I I I I I

-

S50

.'1

Vc

en dos direcciones

(penetraci6n)

Vu= 1.09 (5.50x4.25 Vc=

1.1

~

bod

= 1.1[210"(216)14=

o

Vc

Vu

<0

2. Verificar

=

0542) = 25.16 tons.

48.20 tons.

40.97 tons Vc

las limitaciones

del método

13.6.1

- Hay un mínimo de 3 claros continuos en cada direcci6n (sí) - La relaci6n entre claro largo y corto es < 2; (550/425= 1.29) - Las longitudes de los claros sucesivos no difieren en mas de 1/3 del mayor (los claros son iguales) - Las cols. no estan desalineadas en mas de un 10\ del claro en la direcci6n del dcsalineamiento (desaljne~ mi e n t o

=

O)

.

--

13.6.1.1 13.6.1 .2 13.6.1.3 1 3 • 6. I • 4

- Las cargas son gravitacionales y uniformemente distrl buidas en el t2blero con c.v.!::.. 3 c¡n (carga uniforme c • v • = 2 OO K g/m

; cm

==

532)

13 • 6 • 1 • 5

No existen vigas - No se aplica la redistribuci6n

--

-.

--

--

---~~---

------

-_.-. -------

------------_._--_.

l.

I I I I I

3. Momentos

factorizados

a) Momento

estático

I

1I

13.6.2

factorizado

2 Mo= Wulz1n/S

b) Momentos - Claro

positivos

ton s - H 13.6.3

y negativos

13.6.3.2

Interior

M(-)exterior= M

=

+)

Me)"-

2.

= :).79tons-~1

15.06 = 5.27 "

(placa plant.lsin vigas

extremo

...•...

0.65x15.06

0.35 Mo= O.:)Sx

::

M (+)

=

0.65 Mo

M(_)=

Claro

Ec ( 13 - Yl

¿ l. O9 ~ .. :1 • 2 5 x S. 1 O / R = 1 S . 06

=

1I¡

;1 I I I I I I I I

total

1n ter

. or 1

del marco

13.6.3.3

d ~' borde)

0.26 Mo= 0.26x15.06

=

O. S 2~10= O. S 2.x 1 .; • 06=

7. 83

"

=

"

= o • -2M I o = o • 70 x.

506 1..

3.92 tons-M

10.54

equivalente

Determinar las ctes. de distribuci6n y m0mentos de empotramiento' de los J11iembros de l ma reo equ ival.'Hte. Se usa r~ el procedimiento de distribuci6n de momento~ para analizar el marco en forma pa reía!. Los fa c tores de ['í g ide z k, 'de .t'ransporte Cof y momentos de empotramiento fe:Jlpara las. vigils-losa y cols. se determinaron por viga conjuga.la. Estos cálculos no se muestran aquí, a) viga-losa,

rigide,z a flcxi6n

Ksb 15= 12h3/12 E e s = 1 5 O OO

=

=

extremos

Ksb

4.13 Ecs15/11

425x1S3/12

,ff72 =

en ambos

1 5 000

=

J2íO

206 550 cm4 =

4 2 2 1 7 3 7 O K g /.: m

8. 5. I

11= 550 cms K5b=

4.13x2.07x2.17xl0S/SS1

=

3.37x108 'Kg-cm

I I

--'---

---.----J

I

I I I I I I I I I ,1 :1

Factor Momento

de Transporte

coF= 0.509

de empotramiento

b) de columna, Kc= 4.74 Ecclc/lc

Ecc=

=

0.0843w1212

,rigidez a flexi6n

le= 275cms. 10.32xl08 Kg-cm

Ke= 4.74 x 2.81~2.13xl010/27S= c)

a

torsi6n, K t-

' 9 Bes

rigidez

torsional

E'c(13-6)

~2(1-C2/~2)3

Ec.(13-71

Miembro a torsi6n

c=~ (1-0.63x/y)(x3y/3)

=

(1-0.63x18/40)(183X40/3)

=

55715

cm4

c2= 40 cms.

'1

I I I I I

Kt:

e

I

1'1

Kc

_. 2. 8x 105 Kg/em2

= 1 5000 ~

15000 ~

en ambos extremos

12

40

Kt= 9x2.17x5.57xl09/425(1-40/425)3 d) Rigidez

=

de la columria equivalente

Kec=

(f Kc) (f Kt)/(£ Kc

+

=

cms ..

3.44xl08 Kg-cm Kec:

-'.Kt)

=

(2xl0.32xl08)(2x3.44x108)/(2xl0.32

=

5.16

x 108 Kg-cm

.4 2 5

+

2x3.44)xl08

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

Donde

Kt es para dos ,

uno a cada lado de la

columna y Kc es para las cols. arriha y abajo de la uni6n con la losa de 'un intermedio . Kc .

Kt e) Factor~s de distribuci6n En la junta exterior:

(para la viga-losa)

En la junta interior Df= 3.37xl08/(2x3.37xl08 3.- Análisis

parcial

L/D = 200/532

+

5.16xl08)

= 0.28

d~l marco equivalente:.

= 0.38

< 3/4

La determinaci6n de los momentos máximos positivos y negativos se hará usando el método de distribuci6n de momentos. Puesto que la carga viva de servicio no excede 3/4 de la carga muerta de servicio, se supone que. los momentos de diseño ocurren en todas las seees. críticas con el total de la carga viva factorizada en todos los claros. a) Carga factorizada

y momentos

de empotramiento:

Wd= 745Kg/m2 WI= 340 " 1085 " FEM de las vigas-losa=

0.0843wlZl1

2

FEM= O. 0843xl .09x4 .25x5. 502 = 11.81 tons-m

..- ---

---

i

I I I I

1I I

I I I I

. -3.67

:0.02 -0.01 -0.1 O

--334 0.30 0.30 -3.54

7.3 0.0 0.0 0.0 -0.0 -0.1 0.3

-13.48

0.111

---cero 0.IJ7

-4.7 O.

Q,

1I 1I I I I I

¿

-0.10

-0.01 -0.02

0.53

11 .81

0.03 0.08

0.67 -0.05 0.03 -0.35

0.01

-0.67

.

0.28

0.65

-11.81

0.34 -0.10 . 0.02

positivos

2

4.74 -0.05 -11.81

O. 8 O. -0.07 -0.53 -0.03 -0.63

O. O

0.01 0.11

3.56 0.30 0.30 3.56 0.11

0.01

-12.2'1

12.20

-4

2.41

-0.35

0.05

-0.02

'"' Ms

0:14-

-0.03 . 0.0

. 0.01

M(4i)

.

0.07 -0.68

-0.68

0.10

,) Los momentos

-0.02

.

-0.10 11 ; 81

0.03' O. S3

0.22

!s= 1.09x4.2Sx5.S

l.

0.08

-2.40 -11 • ~ 1

11.8

0.01

0.0

-o .03

O. t) 0":1 J~. O • ()5 . .- O • ¡17 . O. O J

1I I I I

13.48

-O.o!

son calculados

corno:

(~1l =Mr)

/8

=

.

17.52 tons.-M

(Momento al

) v1ga simple mente apoyada

rvl(~)= M~

17.52 __ (7.3~ '"' 17.52-12.Z0

=

+13.48) 5"32

=

tons-m

7.12 tons-m

I I I I I I I I I I I 1" I I I I I I :1

._-7 • 1 ..:

5.50rnts.

5.S0IiltS.

5.32

~.,

12.20

13.48 7 • 12

I I I I I

4.- Momentos

Los momentos sistema

1I

5.- Momento

'1

I I I I I I :1 ,! I

'1

factorizndos

y negativos

positivo~

de losa se muestran

en la Pig.

para el

(.. -). Los momentos

negativos de dis~fio se toman en In cara del apoyo pero no a una distan¿ia mayor de 0.17511 del eje del apoyo 0.175(550)= 96.25 20 cms

1

I I I I I

de Disefio

total

factorizado

por claro

El sistema de losa dentro de las limitaciones de la Secc . .13.6.1 puede tener una reducci6n de momentos en poroporci6n 13.7.7.4 tal que .la suma del momento negativo mas el promedio de los negativos

= 15.06

no necesita

ser mayor

Z

1 2 /8 = n

t-M

Claro extremo~ Claro interior

7.1.2 5.32

+

(S.11+10.S)/i = 14.93t-M + 9.52 = 14.84 t-M

Se puede ver que el momento marco usada

que: Mo=Wl

total de diseño

equivalente es.muy parecido en el Método Directo

del análisis

a la expresi6n

del

del momento

6.- Distribuci6n de Momentos en la frahja de la viga-16sa 13.7.7.5 La distribuci6n se p-~de hacer según las Seceso 13.6.4 y 13.6.6. El requisit6 de 13.6."1.6 no se aplica a sistemas de losas planas e =0). Ver tabla

franja

de

11

Claro

Extremo:

" M(_)cxt.

S • 11

100

M (+)

7 • 12

60

10.-50

Me_)int. Claro

Interior:

Columna momento

2 medias fran jas intermedI

5.11

75

tvl _) C

9.52

iS

M(+)

5.32

60

I

[l_

, ...

.

-

~ -

.....

-- ---~--_.-------------------

-

••• I I I I

7.- Momentos El momento marco

en columna~ no equilihrado

equivalente

de las vigas-losa

~on distribuidos

de la viga-losa en proporción equilibrados son:

.-

en los apoy6s

n las cols.

arriba

a sus rip.ideces. Los

del

y ~baju

no

n,)()Jllcntos

,

En la columna

exterior:

7.33

tons-m

En la columna

interior:

13.48-12.20

: 1.28 t-m

11

-'-,'--.-.--

.01

1-

I ,1

,1

.1

I!I I

¡¡ -

I I I

1

1; 1

1

I!

o

T

2.75

COF=O.549 Kc=966

I

'1

__

Plano superior de la losa

1II

I I I I

•

.65

COF=0.549 Kc=966

3.67

0.6 Plano iriferior de la losa

--

0.36 --.Interior

.-#_2.01 Exterior

Momentos Verificar

2.75

en columnas el cortante

(resistencia)

y la resistencia

de la'losa en la columna d~ borde .debido al cortante ferencia del momento no equilibrado. a) Fza. Cortante

transmi~idaa

la columna

a flexi6n v trans

11.1:,

exterior

Vu: WUl1l2/2 = 1.09x4.25x5.50/2=12.74tons. b) Momento no equilibrado transmitido a la col. exterior Cuando el análisis no es aproximado (marco equivalente o similar) el momento no equilihrado .que se transmite a la col. se toma directamente.

I I I I I I I

tii

:1

.

I

.

'

" CONCRETO PRESFORZADO

:1

11

I

11. ¡. l'

I

:1

I

11 I I

I ,: I I

il

I

I! I1

ING, JasE

GAYA

:1

ING, JaSE MANUEL

PRADO' SALINAS

t

1I l

'1

.- - -

-

--

-- --~--- -_:._-------_._--

----- -----_.--:._--

--~ - --

-_._----

--

--------

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

Concreto presforzado: esfuerzo cortante

EJEMP LO 26.1 Diseño por cortante (sección 11.4. 1) Calcular los requisitos de cortante para la sección "Too presforzada que se muestra a continuación, empleando Vc y la ecuación 11.10: Concreto prefabricado:

f'e =" 350 kg/cm' (arena de peso ligero)

Concreto de la capa final:

f'e = 280 kg/cm' (arena de peso normal)

Presfuerzo: trece torones de 1/2" de diámetro 18.98 ton/cm2 Depresión simple al centro del claro Claro = 18"rJ) (Iibre) Carga muerta, WDL = 1 076.0 kg/m (incluye caoa final\

_... - --------------==----------

--_-..----

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

,

.

DISEÑO

DE ESTRUCTURAS

wc"L

Carga viva.

DE CONCRETO

== 893.0 kg/m

fse (después de todas las pérdidas) = fse (después de todas las pérdidas)

==

8.79 ton/cm2

8.79 ton Icm2

.

240 cm ¡--------.------ -.--... -------

3.75 cm

7~Lm .

.~-- -'_.~~~, 1 20.75 cm

..L--

cm -----, 6.25 J.

1-1

'

=

31.22cm d 55cm enel apoyo

- 1-.

= 82.5 cm

. d

Centro de gravedlld de la secci6n ~t.a1 ) ------1.

20~m-~.enelcentro~cm-/-• • • • : : ~

. .

------

Cálculo y análisis .

JCentro. de gravedad de la secci6n T preslorlada

Referencia

en el Reglamento

1. Determinar la fuerza cortante factor izada Vu en varios puntos a lo largo del claro. Los resultados se muestran en la figura 1.

36.24

• Far.lor de peso ligero

31. 71

Seco 11.4.3

c;

_

E 27.18

>

\_

--L:.-1/JVc

= 0.85. ('1'1.3 ~

"

bwdl

'l'Vc (ecuac i6n 11.101

~ 22.65 c;

~

3

18.12

i

13.59

••

LL

9.06 4.53

__ 1.8 Extremo del miembro

Fí¡. 1. Variación

.-1

,

3.6 Distancia

__ ,

5.4 ¡¡

partir del apoyo, m

de la fuer7il cortante a lo la'go del rnicrnlxo.

7.2

_ 9.0

I I I I I I

Ol~efjo

DE ESTRUCTURAS

DE CONCRETO

H.'ocia al cortante horizontal no dl"tlC tOIll.lrsc con UI" v,llor mayor que 5.6 b."d YIl Sf.'<) p.lra 101$ sUI)f!rfic;if.'Squn Sfl huyan ripiado intllnt.:ionlllrnentP' rU!J()~" o con '" mlnimo de anillos, u :>4 G tlvd 1"" n ~lJP'~'IiÓI.~ I UytJ5¡l'; y con el m ¡nimo rIc ¡millO'!. Se requielo que la lugnsidnd intl:ncion..ll (k las sllpetficif:~ tenga une profundidad de 6 mm. Fstas fllenas actúan s,)bre el área do o entre las superficie1 inter. conectadas de conci'cto dondr. pOOrla tener lugar un deslizamiento horizontal debido a deformación por flexión. ~i el cortante horizontal excede 24.6 b..-d. es preciso verificar la sección con rcfuCIlO p.lra cortante por fricción. como se requiere en la sección 11.7 De acuerclo con la sección 11.7. la resistencia al cortante hori. zontal se calcula mediantf! la cO/ile,':)n 11.7~ FI lactor de fricción IJ se toma como 1.0 de acuerdo con la s(.'cción 11.75 y con la delinición de los compuestos de concreto sujetos a f1e)( ión (~ea:ión 17.1.1). El f
=

Se debe tener cuidado en no confundir la e(;uación para CONante horizontal y S~ tolerancias con las tolerancias Pilf¡) <:1 cortante vertical del capitulo 1,. Sin embargo, los elementos sep¡uados sujetos a consideración para cortante horizontal. se deben verificar para cortante vertical en todo el diseño, a fin de Que se vean satisfechos le. requisitos tanto minimos como rn¡jl(imos para las'lJerla!> cortantes. are'ls de estribos. separación dI! los estribos y anclaje. EJEMPLO 19.1 Diseño por cortante horizontal Diseñar la losa compuesta y viga pref~br¡cada Que se mucstran para transferir el C{)ftante horizontal a la superficie de o de los clementos interconectados. Suponer una viga simplemente ilf10Yild;¡ con IIfl claro de q 70 !TI.

92 cm

--._.--

J_

f

.

-.------1

lOan

I I I I I I I I

so cm f'c

=

710 kg/cm1

'y :: '2 SOO lr.lJ/cm

1

------~

'147

I

I I I I I I

,l.

esFUERZO

2. Determinar la resistencia al cortante proporcionada por el concreto, Vc,.aplicando la ecuación 11-10. presfuerz:o efectivo, fse, es mayor que el 40 % de fpu (8.79 ton/cm > 0.40 x 18.98 =,7.59 ton/cm2).

fl

Nótese que el valor de "d" no debe ser menor de 0.8 h para cálculoS de resistencia al cortante. los cálculos trpicos que se usan en la ecuación 11-10 para una sección de 2.4 m a parlir del apoyo, son de la siguiente forma, considerando que el alma de la sección prefabricada resiste por compl~to la fuerza cortante:

• Mu

I II

1I I I I I I

=

- 2.4]3.024

3.024 to.n/m

ec.9.1

= 19.96 ton

9 x 3.024 x 2.4 - 3.024 x 2.4 x 1.2

A 2.4 m del apoyo, distancia

ci (centroide

=

56.61 ton.m

de los tendones):

= 62.32 cm; 0.8h = 72 cm

l'

I I I

=

Wu = 1.4 (1.076) . + 1.7 (0.893' Vu = ((18/2)

I!

CORTANTE

Vc

= (0.16 ~

+.49 Vud/Mu)bwd

ecuación 11-10

pero no menor que 0.53 .rrrc bwd ni mayor que 1.3

Jf';. bwd

Vc = 20 x 72 [0.16 x 0.85* J3~

+ 49 -::. (2.54

x 19960 x 62.32"/5661

+

10.76) 20 x 72

=

1?~17 ton ~rige)

;> 0.63' x 0.85 J 350 x 20 x 72 <; 1.3 x 0.85 J35O' x 20 x 72

000)

=

=

12.14 ton

29.77 ton

'" Ve = 0.85 x 19.17 = 16.29 ton (v~asefigura 1)

• Fec1Ol'para concreto COflllfenade peso ligero. Sección 11.2.1.2 del Reglamento ACI 318-77. •• Debe usan" un total efectivo de d en el t.mino Vud/Muo SecciÓn 11.4.1 del Reglamento ACI318-71.

I I I I I I '1

1I I I I I I I I I I '1 I

1,

DISEF.lO DE ESTRUCTURAS

DE CONCRE

'O

Nota: Para ampliamente apoyados y sujetos a carga uni. forme, la expresión Vud/Mu 'de la ecuación 11-10 se convierte en una función simple de d/P..,donde P..es la longitud del claro. Vc = [0.16 ff'c

+

49

(£ -

eco 11-10

2x)/x (2 - x)]bwd

donde x es la distancia de la sección investigada al apoyo. A 2.4 del apoyo:

III

Ve = 20 x 72 {0.16 x 0.85 J350

+ 49

=

x 62.32 (1 800 - 480)/240 (1 800 -

240))

19.17 ton

3. En las zonas de los extremos de pretensados la resistencia al cortante proporcionAda por el concreto, Vc' debe estar limitada por las especificaciones de la sección 11.4.3. Para este diseño no se aplica la sección 11.4.3, porque la sección en h/2 está más alejada en el claro que la longitud de transmisión de adherencia (véase figura 2). Sin embargo, a .continuación se ilustran los cálculos trpicos para satisfacer los requisitos de la sección 11.4.3. Calcular V ca 25 cm del extremo del miembro. Longitud de transmisión de adherencia para torón de 1/2 pulgada de diámetro: = '25 (0.5) = 62.5 cm. Fuerza de presfuerzo a 25 cm

=

(25/62.5) 8.79 x 0.987 x 13

=

45.11 ton

Componente vertical de fuerza de presfuerzo a 25 cm: Vp

=

1.36 ton 11.4.2.3

Distancia d == 55.75 cm, úsese0.8 h == 72 cm Md (peso no factorizado ele la unidad prefabricada

+

la capa final)

== 248.6 ton-cm. Distancia del centroide de la sección compuesta al

centro de gravedad de la unidad prefabricada, e

=

10.49 cm.

--.------------ ----.--.~---_._..

--1

I I I I I I I I '1 '1 I I I I I

DISEAO DE ESTRUCTURAS

4. Comparar el cortante factorizado, V u' con la resistencia al corta~t£ proporcionada por el concreto, .p V é. Donde Vu tp Ve- se necesita . colocar refuerzo por cortante, a fin de soportar el .exceso, de otra' manera, colóquese el refuerzo m (nimo por cortante. ."'."fJ

>

, :.1 El refuerzo por cortante que se necesita a 3.57 m del apovo ~ calcula de esta forma: Vu = ((18/2) .p V c

=::

- 3.57] 3.024 = 16.42 ton

11.79 ton (véasefigura 1)

(Vu .- tp Vc)s

(16.42 - 11.79) 100 =:: --------=::

tpfyd

0:85 x 4.2 x 72

/m

1.8cm2

Revisar el m(nimo especificado en la sección 11.5.5.4. Apl(quese la ecuación ~1.15, ya que, por lo general, se requiere menor cantidad para tfpicos de construcción.

Ay (m(n)

APs fpu s~ =-' - 80 fy d bw'

=

1,

1I

DE CONCRETO

3.28

ecuación 11.15

f

2.44 18.9830 fJ2J

--x-80

x-x

2.8

72

Empléense estribos con varillas del núm. 3 @45 . 2

-

20

=

2 2.72 cm 1m. (rige)

cm en toda la longí-

tud del miembro (Ay = 3.15 cm /m).

EJEMPLO 26.2 Diseño por cortante (secci6n 11.4.2)' Determinar los requisitos de cortante para la sección doble T pre-' tensada que se muestra a continuación, mediante las ecuaciones 11.1.1 y 11-13. Presfuerzo:

I I I

3 torones de 3/8" ~e diámetro por alma. 17.58

--------

ton/cm2

---------

._--- ~-

---

,-"

I I

I I I 1I

ESFUERZO conTANTE

Excentricidad del tendón: e

55.75 - 31.22

=

30.78 cm, abajo del centro de gravedad

=

fpc {véasedefinición de la notación} 7.88 kg/cm2

I

l,.

=

=

+

6.25

P~/Ag - (Phe) C/19 •

+

MdC/lg

_

donde Ag e 'g son para la sección prefabricada solamente.

I

ecuaci6n 11-13

I

=

I I I I I I I I I I I

1350 +

(O.93 x 0.85

+

0.3 x 7.88) 20 x 72

1 360

= 27.7 ton 1{)

Vcw = 0.85 x 27.7 = 23.54 ton

.-

Los resultados de estos dlculos

se muestran gráficamente en la

figura 2.

• Factor de peso ligero Longitud de transrer~ncia'de

adt.crencia

-- '.

~ >

• E ~ ou

31.7

Apoyo

=: 50db

-1

h/2

.

~poYO------1

, I{)Vc

= 0.85.

_~L.-t-

27.2

(1{) 1.3 ~

bwdl

__-

ID N

!

u.

23.54 ton

22.7

./

~~/

"V ~

l~"~o"

1

11.1311

l'

I

-1._

I

I

I

I

I

I

10

20

30

40

50

60

70

80

9C

E"tremo del miembro

Oistancia

Fill. 2. Variaci6n de la fuerza conante

-------

V u (sec. 11.1.3.21

.••.•.• ,

8

partir del apoyo. cm

en el e.tremo

dl1l millrnb,o.

I I 1'1 I I I

ESFUERZO

I

1I

I I '1 l' :'I I I I I I I I I

x 17.5 x 78

Vd = 0.16 ~

+

CORTANTE

2 610 )( 589 391.73

1 580

+-----------369000

= 1 466.73 + 1 580 + 4 168.86 =.7.21 ton (rige) ..' ...

;> 0.45 J350 x 17.5 x 28

=

.p Vci '= 0.85)( 7.21

= 4.12 tOfl

6.13 ton (véase figura 3)

3. Determinar la resistencia al cortante proporcionada por el concreto,

de

V cw' apl icando la ecuación 11-13. Nótese el uso de una fuerza presfuerzo reducida en laS zonas de los extremos (sección 11.4.3). Los cálculos en los que se aplica la ecuación 11.13 son similares a . los presentados en el ejemplo de diseño 26.1. Los resultados de estos análisis se muestran gráficamente en la figura 3. 4. Compárese la fuerza cortante distribuida, V u' con I.a resistencia al cOrtante dada por el concreto, l{) Ve. Qonde Vu . > l{) Ve. deberá colocarse refuerzo por cortante, a fin de soportar el exceso; de otra manera, se colocará un refuerzo m{nimo para fuerza cortante. En '10 que se refiere a' la figura 3, para este disp..ñose requiere sólo el retuerzo m (nimo por cortante dado en la sección 11.5.5.4. Se aplica la ecuación 11.15: Aps

rd Jh s

fpu

Av = -8-0

f

y

w

. [6 x 0.51

I

ecuación 11.15

= 3.28 --'.,..-'x 80

17580 30~}

---x-- -

4200

28

0.711

cm './m)' 2

17.5

= 0.355 cm'/m/alma

Emplkse6x6

- W1Ax WíA W. W. F. (Av

5. Rev(sese la resistencia horizontal bricada y la losa de capa final. Vu 1{)

Vnh

= =

0.867 x 6.8 I{J

=

=

O.594cm'¡m)

al cortant.e entre la unidad prefa-

5.H9 ton

(80 bwdl

17.5.4.1

= 0.85 (5.62 x 120 x 32) = 18.34 ton

Vu

<:

IJ' Vnh

5.89 ton

<

ecuación

17.}

18.34 ton (correcto}

La superficie de o debe estar limpia, libre de lechada e inten •. cionalmentc áspera (acabado escobillé'ldo)., ,17 .5.4.1

I I I I I I

1I

I

11

OISEIQo DE'ESTRUCTURAS

DE CONCRETO

Esfuerzo debido a carga muerta: fd:a' = Md:z Ybc/lgc

==-27.4 x 28.62/174928.86

-=

0.0045 ton/cm2

Por lo tanto, el esfuerzo debido a carga muerta: fd = fd

1

+

fd

=

2

0.0445 ton/cm2

Excentricidad de los tendones plesforzados:

+ 21.25)]

e ~ 25 - [35 - (10 x 7.5/37.5

= 13.25 cm

CO~p"'onente horizontal de la fuerza de presfuerzo Ph

'1 + + I = I R~ + I = = I I = I = cm I = + I I I --------~-'-----=-----_.__.----_.=.----==-------_ ... _--

=

30.84 ton

Esfuerzo del concreto debido al presfuerzo: f~

= Ph/Ag

PheYb/lg

= 30.84/1

30.84 x 13.25 x 25/119 199.68

161

0.111 ton/cm2

Momento de agrietamiento: Mcr =

O/Yt) (L6

fpe - fd)

(174'928.86/28.62)

(1.6 J350

ecuación 11-12

T

111 - 44.5)

589 391.73 kg-em

Nótese que I y Y t son propiedades de la sección compuesta.

Ancho promedio de dos almas. bw Peralte efectivo, d Distancia 0.8 h

Vd

10

28

0.16 ~bwd

X

=

17.5 cm

+

7.5/37.:",

21.25

=

23.25 cm 11.4.2.3

(rige)

V¡Mcr

Vd

+--

ecuación 11-11

Mmáx

'pero no menor que 0.45

.rrr;. bwd

-------- --------------_..

'---

--~ .. _~---,

I I I

ESFUElllO

Fuerza cortante débida

1I 1I I

[

'1 I I I I I I I I I I I I I

(,.'OATANTE

a carga muerta no factor izada:

Vd = 0.4 x 1.2 (4.5 -

1.2)

=

1.58 ton

Fuerza cortante total factorizada: Vu = Vi

1.269 (4.5 -

=

- Vu - Vd

1.2) = 4.19 ton 4.19 -

1.58

=

2.61 ton

Momento total factor izado: Mu

=

1.269 x 4.5 x 1.2 -

1

1.269 x 1.2 /2 = 5.94 ton-m

Momento debido a carga muerta no factorizada: 2

Md = (0.4 x 1.2) 4.5 x 1.2 - (DA x 1.2) x 1.2 12

=

2.25 ton-m

Mmá~

=

Mu - Md

=

5.94 - 2.25 = 3.69 ton-m

Nótese que tanto Vi como Mmáx resultan de las cargas totales facto. rizadas, menos las cargas muer tas no factorizadas (miembro más carga superpuesta). . Momento debido a carga muerta resistido por la sección-prefabricada: Mdl

=

(229.5 -

+

(229.5

122.1) 1.2 x 4.5 x 1.2

+

122.1) 1.2 x 1.21/2

=

1.974 ton-m

Esfuerzo de carga muerta:

Para secciones compuestas, los momentos de carga muerta soportados por la unidad prefabricada en cualquier sección, consisten solamente en la carga muerta de la losa y la trabe. El momento de carga muerta soportado por la sección compuesta consiste en la carga muerta del techo: Md1

=

1

(48.82 x 1.2)45 x 1.2 -

(48.82 x 1.2) 1.2 /2

_. 0.274 ton.m

.

-

----

, ---

.'.

-_._---

--_._-----~----~---

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

ESFUERZO CORTANTE

Fuerzaltorón después de todils las pérrlidas == 8.01 ton/cm1 Punto simple de depresión en el centro del claro

=

Claro

9.0 m (simple)

d = 21.25 cm en el extremo (28.75 cm en el centro del claro) Carga: Carga de techo =.48.82

L

kg/m'

Carga viva

=

(210

concreto de peso normal (

r5-i.~ : ¿

30 cm

j---

kg/cm'

292.94 kg/m'

:. " .•. ",

350 kg/cm'

concreto de peso normal

. .,.

<).

•

<.'

.... ---

30cm

~6.25cm

----Propiedades

Area, cm'

Peso, kg/m

1

4

" cm

Yb,cm

-----Prefabricado Total

1 125

229.5

119199.68

25.0

122.1

174928.86

28.62*

C~/culo y análisis

Referencia en el Reglamento

,

1. Calcular el cortante factorizado. Vu. en varios puntos a lo largo del claro. Los resultados se muestran en la figura 3.

• Corregidos por di lerencia en lI~si~lencia~ de concreto.

I

I I I

DISEÑO DE ESTRUCTURAS

,1

DE CONCRETO

136

\

I

:>

I I I il

~ ~

9.1

SPC.

~..t- £

--

~ \

ou

1

/'

..

11.4.3 I{)Vcw (e~'OCiÓn

/

11 13) .

'l'Vd I~"";ó" '1.111

6.13ton'~

lO

_______

~ 4.5 u.

~~

~

_•• _'

~~_

o.

_

_-'<_~

.V~~.~

(O.'l~

R

C

\l. Eje centrel

I

-----..c:..~ u V

-.l__ 0.6

I

1I

~I __

1.2

----L-~._..L__ 1.8 2.4

. Distancia

8

L __ .. ~ 3.0 3.6

partir del a~yo.

bwdl

4.2

dI) la tralle

l

m

Fill. 3. Va, ¡ación de la 'uer7a C0r!,jnte a lo 1'''90 del 11Iiprnbr o.

I

I

2. Determinar la resistencia al cortante proporcionada por el concreto, Vei. mediante la ecuación 11.11. Nótese que el valor de "d" no necesita tomarse a rnl1nos de 0.8 h para cálculos de resistencia al cortante. Los valores de Vd Y Md (1d en la ecuación 11-12) 5['n p3i d . carga muerta no factorizada (carga muerta del miembro. más c-arga muerta superpuesta para compuestos). 'EI v
I I I I I I I I -

I

Para un miembro compuesto no apuntaiado. la unidad prefabricada resiste las cargas muertas de la trabe y la losa, rnientrélS que 1" sección compuesta resiste las cargas del techo. los cálculos ¡ ípicos para una sección de 1.20 rn a partir del apoyo. son las siguientes: .

.

Considérese que el Gortante prefabr ¡cada.

-

----

- - -----

Wd

=

Wu

._. 1.4 (400 x 1.2)

._-_.-

229.47

-----

+

es resistido

122.06

+

--_.

+

por el alma de la ~ecci6n

48.82 == 400.35 kg/rn2

1.7.(29:/..94 x 1.2)

-=

1 269.6 kg/m ecuación 9-1

__ ._----------------

--

._------~---

I I I

l. I

I I I I I il

. ZAPATAS Y MUROS ESPECIFICACIONES PARA EL DISE~O SISMICO (APENDICE A)

I I 1-I I I I I

ING. ROBERTO STARK FELDMAN

1-

-

-

-.-------

-------.--

_.

..

.

-4--.-_~

.

I I I

1II

II I I I I I I I I I I I I I I

1 APENDICE

A ESPECIFICACIONES

PARA EL'DISE~O

SISMICO

Alta intensidad:

Factores de reducción. F.R.

=

0.9 (Flexi6n)

F. R.

=

0.85

(cortante. y torsión). (cargas gravi tacionales)

F.R.

=

0.60

(cortante)

Vnc < Vn por fexión

(cargas por sismo siempre y cuando)

(muros de poca elevaci6n)

F. R.

=

O .'85 (uniones)

F.R.

=

0.50

cuando Pu > Ag f'c/IO y no cumple con

(flexocompiesi6n los requisitos

del refuerzo

trans~ers~l)

Materiales: flc >-210 kg/cm2 Elementos

fy ~ 4200 kg/m2

de marcos

lo

Pu < Agf'c/lO

2.

Claro .libre > 4d

3.

bid ~

4.

b > 25 cm.

Refuerzo

en flexi6n

0.3 b ~c

=

ancho del apoyo

b ~ 3/4 d

longitudinal

1.

Asmin ~ 14.1 bwd/fy

2.

M + ~ 0.5 M- en la uni6n

3.

M; 6-. ~ 0.25

4.

S en zona de traslapes

5.

No se

p S 0.025

M~ 6- máximo

permiten

S d/4 6 10 cm.

traslapes

junta, ni en articulaciones

6.

(trabes)

No se usarán

empalmes

en la unión, ni a 2d de la cara de la plásticas

mecánicos

a mas de 2 varillas

alternadas

I

I

-----~-~-j

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

2

en cada lecho, distancia > 60

de varillas

sea

cm.

Refuerzo l.

c.a.c. de empalmes

transversal ..

El primer

estribo

se colocará

a 5 cm de la cara del "elemento de

apoyo. d/4

2. S

8 0 estribos

:'oí

30

3.

S ~ d/2

4.

Los ganchos

de los estribos

Pu ~ Agf'c/lO

2 ."

b.~

3 O cm.

3.

b/h

(:0.4

Resistencia ------------lo

estribos

deber~n

formar un ~ngulo

de 1350

y

de" 10 0

de marco

l.

se requieran

cm.

con extensiones

Elementos

"cuando

sometidos

a flexi6n y carga axial

(column~s)

a la flexi6n de columnas -----

mínima

[Me

e

H1e

~ Suma de los momentos

resistentes

a la flexi6n de las columnas

n1g

=

resistentes

a la flexi6n de trabes

Refuerzo

6/5"

[Hg

Suma de los momentos

l~ngitudinal

l.

0.01 ~ P ~ 0.06

2.

Los traslapes

se deberán

tud del elemento Distancia Refuerzo

y

realizar

la distancia

dentro de la mitad de la longi-

entre ellos será de 60 cm 6 más.

entre ellos será de 60 cm 6 más

transversal

________

'_0

~

~_.

_

I I I I I I I I I I I I I~' I I I I I I -

.1 •

Os

=

0.12 f'c/fyh>

Relación

Ps

0.45

del zuncho o anillos

=

Ag

(~

-1)!~

Ac

fy

entre el área de concreto

del

Arca gruesa

Ac = 2.

=

Arca de núcleo

El ~rea total del estribo 0.3 Ash Ash

=

~

Area transversal Area

fyh

= =

S

=

separación

he

- dimensi6n

del elemento

transversal,

medido

de extremo

a extremo

cm2•

total

resistencia

centro b/4 J.

[Ag/Ach)-l]

0.12 shcf'c/fyh

del refuerzo IIg

(shcf'c/fyh)

a la fluencia del refuerzo del estribo

mayor

transversal

a centró

=

b

transversal

del ndcleo

de la columna

modida

del refuer~o'confinante.

m!nima

dimensión

10 cm.

i} •

Las ramas de los estribos

5.

La anterior

separación

no deben espaciarse

S será aplicable

más de 35

CITl.

en una longitud

h

lo ~

1/6

1 - claro

libre

45 cm. ljnicllEs

l.

fs = ].25 fy para la deLr!nninilción de las fuerzas c'n el refu(:J Ion ~,it ud in a 1

~~.

El

rC[\j(~rzo

prolongarse columna

l011gitudinal

vi.r:J

de

hasta Ja CJra m~s distante

y anclarse

la ;:

UI1a

COltlmna

de

a:

0

15 cm fy

0/17.2 - ---

lJorue:

del núcleo cOnfinado

en Le~sión de acuerdo 8

---

d(~ una

¡r"-"-

" f le

- ---_. -----_.- ..•._---_ .._-----._._--

;N.)

d{'r) ...

dn lJ

I I I I I I

1I

4

2.5 la si el espesor

Id ~

varilla

no excede

30

de concreto

arriba de la

cm.

J.5 la cuando excede los 30 cm.

Refuerzo 1.

transversal

La separaci6n Resistencia

de estribos

será la de las columnas

gu~ lleguen

al corte

I

II

!.

=

5.3

lfTC

Aj

para uni6n confinada

Vc =

4

¡£Te

Aj

para uni6n no confinada

Vc

Aj

I I

=

área rnfnima de la secci6n plano paralelo

transversal- de la uni6n en un

al eje del refuerzo ,que genera

la fuerza

cortante.

11-I I I I I I ---_ .•

------

----------------------

.. _----

I I I I I I I I I

Ejemplo: Diseñar

la m~nsula

nes para soportar

La m~nsula de

contracci6n

I~I

en la figura con las mínimas

dirnensio

la trabe.

se encuentra

en una columna de 35 cm. Debido al efecto

y flujo plástico

de 9 ton. en el apoyo

restringidos

se crea una fuerza-

soldado.

TRABE

flc = 350 kg/cm2

=

fy Il. DE APOYO DE 1/2"

COLUMNA

y

Discusi6n

1.- Dimensión

10.9 ton.

C.V.=

17. O ton.

=

9.1 ton.

concreto

Referencia Reglamento

del apoyo basado

resistencia

It

C.M.=

T

Cálculo

4200

en la

al aplastamiento

de acuerdo

de-

a la secci6n

10.15.

=

El ancho del apoyo

35 cm.

Vu Il. 3/8"

••

Il'l

,-'-

~.-

!t-

I

3.8 ~ +2.5 t-

6.0 +2.!5~

.I.~

-

-

(peso narm

Cargas

MENSULA

11 I I I 1I I I I I

mostrada

0

o

-

------

----------------

--_.

del

I I I I I II

i. I I I

1I

2

CAlculos

y discusión.

,Vu = 1.4 (10.9)+1.7(17.0)=44.2 Vu ~ o/ Pnb

=

44200=0.70

(0.85) (350) A,

I

10.5

= 208,3

A,

9 .3 .2 .4

= 212.2cm2

de apoyo = 212.2/35

Longitud

tenso

0/(0.85 flc A,)

A, = 44200/208.3

=

6 cm.

Usar un apoyo de' 6 X 35 cm.

=

Nuc

1.7

(9.1)=15.5 ton.(cemo

2. Determinación holgura

carga viva)

11.9.3.4

de "a" con 2.54 cm. de -

01 final de la trabe~ Consideran

do la reacción

a un tercio de la placa--

de apoyo.

I

1I

Referencia del Reglamento

=

a

2/3 (6.0)+2.54=6.54

cm.

Usar un a = 7 cm.

1I

3. Determinación

II

la basándose

del peralte

de la ménsu

I

I

resistencia

'1 I

Para

flc

vu

IJ'

~

Vn

1_

1 -------_._----_.

al cortante

=

'ji

(56

(max) = 56 bwd

11.9.3.2.1

uwp.)

un peralte: "d":=

---'--'-

al límite por-

Vn.

350 Kg/cm2, Vn

=

Se requiere

I I

1:

en el diseño

l'17.00/0.85

(56)

(35)

---------_._----~--_._-=---=-----=-----=-.=-~----==----------==------- -- - ------_.---- ------..._-----

I I I I I JI

3

C~lculo y discusi6n.

Referencia

del

Heql,uncnto

d

=

26.5 cm.

Suponiendo h

=

varillas~8m5s

la tolerancia

26.5 + 2.54 :::29 cm.

Usar h = 30 cm.

I I I I I I I I

JII 1I

Para el diseño

d=30=2.50=27.50

cm.

a/d = 0.26. 4. Determinación te-fricción

'1

44200

=

fy A

=

e

11.7.4.1

B. 8 cm.

0.85(4200) (1.4)

5. Determinación to

por cortan

Auf.

Vu

=

huf

del refuerzo

del refuerzo

11.7.4.3

por momen-

Af.

Mu=Vua

+ Nuc

(h-d)

11.9.3.3

=44200(6.54)+15500(30-27.50)=327,820Kg.cm =3.28

Utilizando

un método ordinario

para el c~lculo ramente Af

de Af o usando

Ton.

m.

de flexi6n conservado

jd = 0.9 d.

= ------_._-----_

327820

..._--

= 3. 71

crn2

0.85(4200) (0.9) (27.50)

I '1

Nota: Para todos los c~lculos zado

"f

se ha utili

11.9.3.1

= O. 85

I L

-----

-------

--._--------------_.

__ ..-

--------._--_._

.. _-------

--:¡

I I I I I :1 I II I '1 I I I

~álculos

y discusi6n.

6. Determinación

Referencia del Reglamento

del refuerzo

por tensi6n

directa. An An

11.9.3.4

=

Nuc

15500

=

\ffy

cm2

= 4.34

0.85(4200)

I

7. Determinación

del refuerzo

por tensión

primaria.

As

11.9.3.5

1:

(2/3) Auf = (2/3) 8.8 = 5.9 cm2

Af = 3.71 cm2 ~ (2/3) Auf + An=5.9+4.34=10.24

As=(2/3)Auf

2 i 8

Usar

11.9.5

Verificaci6n

I JII

cm2

del refuerzo

mínimo

As-

I

I

pmin

I¡

= O.04(f'c/fy)=O.04(350/4200)=O.003

A sm i n = O • OO3 (3 5) (2 7 • 5)

I

8. Determinación

:1

tante

!

=2 • 8 8

cm2

del refuerzo

<

1 O• 2 4

por cor--

11.9.4

Ah

I

1I I

Ah=O.5(As-An)=O.5(lO-24-4.34) Usar 3 Estribos

= 2.95 cm2

# 3 (Ah=4.26 cm2)

1:

1:

Distribuir

I

¡i ~

los estribos

en 2/3 d adyace~

tes a As.

-,---

-

-".-----

-_

.•..•. - -----

------,-

~~

. _---..1...

__

•

.._~_

:1 I I I I \1 I 1I I I II

2.5

max.

'-11

1

I

I

16.5 2# 8

#8

1

-.~[

1\ O

O ..,

N

11

z; 11

'O

!

'1 3#3
'1

-

I

1I I I I I I I

L_ _ __ __ __

L -2"x 2"x 1/4"

(

-----

_ __ -'--__ ._

- -.

-

- -0-_.- __ ----_._----

.

.__

l. I I I I

1

_~jemplo de muros. Un muro de carga soporta un sistema fabricados

separados

y estan apoyadas

2.40 m .. El alma de la secci6n

por completo

4.60 m. y se encuentra

!I

de piso a base de vigas

"T" pr~

"T" es de 20 cm.

en el' muro. La altura del muro es de-

contraventeado

lateralmente

como se muestra-

en la figura~

I

~I I I

I

1I I I

!. I I

;1 I

1I

TRABE liT"

Datos de Diseño Reacciones:

PcH

=

12.7 ton. o ID

Pcv

=

6.4 ton.

flc

=

280 kg/cm

fy

=

4200 kg/cm

Cálculo

1I

2 2

y discusi6n

El procedimiento

Referencia del Reglamento'

general de diseño

ner un espesor del muro h, despu~s lo con las condiciones l.

Selecciones h >

I

v

>

es de sUP2 comprobar-

de carga.

del espesor h

lu/25 pero no menor de 10 cm. 4.6/25 = 0.18

Se probará con h

=

ffi.

19 cm.

14.5.3.1

I

1I I I I

Cálculo y Discusión

2.

3.

del

factorizada Ec . ( 9-1 )

= 1.4(12.7)+1.7(6.4)=28.7 Checar la resistencia

ton.

por aplastamiento

del concreto. Supondremos

I

un valor de ancho del a1ma-

igual a 17.8 m.

l.

'

=

Area cargada = A, 1f

I I I I I I I I I I

Cálculo de la carga P u = 1. 4 D+ 1. 7 L

1I

'1

Referencia Reglamento

17.8(19)=338.2

cm

2

(0.85 f'cA,) = O. 7O (0.85) (28O) (338.2)

=

= 56344 Kg. 28.7 < 56.3

(resistencia

56.3 ton.

al aplastamiento

correcto) 4.

cálculo , de la resistencia La longitud horizontal

del muro

efectiva

del muro-

14.2.4

por viga "T" está ,controlada por el anc50 de apoyo del alma de la viga más 4 vecesel espesor del muro. La distancia

entre

17.8+4(19)=93.8

cm.

"T" es mayor que los -

93.8 cm. por lo tanto no rige en este caso 1fPnw

=

0.55 1ff'c

=

1 '[ O . 8x4 60 2] 0.55.( 0.70) ( 280) (93.8) ( 9) 1-(32(19) )

='121.740

Kg

Ag

=

[1- (~~~)2)

Ec.

(14 -1)

121.7 ton.

PU<'l'Pnw 28.7 < 121.7 por lo tanto el espesor del muro h=19 cm. es suficient~ tar, ,un posible ----.----------

-_. __

¡~

.-

fccto ----------~---------

para sopoE d'e excen tri . _ ____..l.___

..

.

~

~_I

__

I I I I I I I

1I

3

C~lculo

y Discusión

Referencia Reglamento

del

cidad de carga. 5.

Selección

de refuerzo

Proporcionando

refuerzo

en una sola cara

Acero horizontal

As=0.0020x19x100=3.8

Acero vertical

. As=0.0012x19x100=2.3cm

cm2/m. 2

14.3.3

1m.

14.3.2

8 = 3h, pero no mayor a 45 cm .. = 3x19

=

7.6.5

57 > 45 (8=45 cm)

horizontal

As - usar # 4 @.

vertical

As - usar #4

@

30 cm. 45 cm.

'1 '1

I I I I I I I I ..

.

M_~_.

.

.

.

..

._

1I I I I

]

Ejemplo. de Zapatas:

Determinar

el espesor

de la losa de la zapata que se muestra

figura:

l. I

II I

flC

=

210 kg/cm2

Pu

=

435 ton.

qs

=.27.9

ton/m2

1I

400

1

I

i

1"1 I

r

l. 1I

I I I I I I I

76

+

o o

v

Paro occloo en dos direcciones

bw

Poro acclon de trabe

-,

I I

I

~

I

I

o

+

Referencia

y Diseño

Cálculo

bo d

r---

l. I

en la

del

reglamento Determinar cortante

el peralte

para

sin refuerzo.

resistir

11.11

el

Debe investigarse

la acci6n de viga y la acci6n en dos direcciones.

Supondremos

=

de 84 cm. d l.

Acción

un espesor

total-

70 cm. 11.11.1.1

de trabe

Vu ~ o/Vn

Ec (11-1)

ff.c bwd

Vu :; '1'(0.53

(4.0)

Vu = 27.9 bw

=

Vu S

(1.80-0.35)

= 162 ton

In.

4.0 0.85 -

Ec. (11-3)

(0.53)

-- ._-

1210

(400)

(7 O)

-. 345

ton

-_.~---j

I I I I I I I

2

cálculo y Discusi6n

I I I I I I I I .... 1 ~--_-

I I I

'Referencia reglamento

162

<

345 ton

11 . 11 ..1 . 2 Ec

(1].1)

Ec~.~(~1 . 36 )

del

I I I I I I I I I I

¡'1

I I I I :I I I