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2014

Ecuaciones diferenciales y aplicaciones Doctor: Edwin Pariente Pinares Hancco David Nelson Condori Layme Walter

Universidad Tecnológica del Peru Arequipa 24/06/2014

INDICE INTRODUCCION OBJETIVOS GENERALES OBJETIVOS ESPECIFICOS 1.-HISTORIA DE LAS ECUCIONES DIRENCIALES 2.-USOS DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 3.-CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 3.1. Ordinarias 3.2. Parciales 4.- ECUACION CON VARIABLES SEPARABLES Separar las variables. 5.-

ECUACIONES HOMOGENEAS

6.- ECUACIONES EXACTAS 7.-APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 7.1.Aplicaciones a la Biología: 7.1.1.Crecimiento Biológico: 7.2.Problemas de Epidemiología: 7.3.Aplicaciones a la Economía: 7.3.1.Oferta y Demanda 7.3.2.Principio económico de la oferta y la demanda:

INTRODUCCION La minería es uno de los oficios mas antiguos siendo esta lavor cada día más importante por todos los benéficos que trae los materiales extraídos y por el alto costo que demanda, y así utilizándose quipos cada vez mas sofisticados que nos ayuden a extraer el material de una forma segura reduciendo accidentes y haciendo que nuestra producción sea más eficiente OBJETIVOS: OBJETIVO GENERAL Conocer como que es un malacate y como funciona en una mina OBJEIVO ESPECÍFICO Conocer en que proyectos trabajos se utilizan los malacates HISTORIA

ipos de malacates

Malacates mecánicos Son de uso más intensivo, pero requieren una instalación compleja y tienen un coste más elevado que los eléctricos y los manuales.

Malacates eléctricos

Los malacates eléctricos están compuestos por un motor eléctrico (similar a un burro de arranque), un eje que transmite la fuerza del motor eléctrico a unos engranajes con reducciones, un freno, un rollo de cable de acero y un liberador del rollo del cable (embrague).

Malacates hidráulicos También se pueden hallar malacates hidráulicos para usos más extremos. Los mismos utilizan líquido hidráulico de la dirección y pueden ser utilizados bajo el agua.

Proveedores de malacates A continuación le presentamos a Grainger, proveedor de malacates: Grainger cuenta con una cadena de suministro que involucra a todo un equipo de personas que diariamente se aseguran de proveer los productos que demanda el país. Esta cadena, se abastece de centros de distribución que van desde Chicago, pasando por Carolina del Sur, Kansas City hasta nuestro centro de reprocesamiento ubicado en Roanoke, Texas.

En la minería hoy en dia es una de las industrias más rentables y a medida vemos equipos más sofisticados que nos ayuden a extraer el material con mas seguridad y también eso nos aligera el trabajo siendo nuestra producción mas eficiente .

La enorme importancia de las ecuaciones diferenciales en las matemáticas, y especialmente en sus aplicaciones, se debe principalmente al hecho de que la investigación de muchos problemas de ciencia y tecnología puede reducirse a la solución de tales ecuaciones. Los cálculos que requiere la construcción de maquinaria eléctrica o de dispositivos radiotécnicos, el cálculo de trayectorias de proyectiles, la investigación de la estabilidad de aeronaves en vuelo o del curso de

una reacción química, todo ello depende de la solución de ecuaciones diferenciales y en la carrera profesional de ingeniería de sistemas su aplicación es amplia.

Sucede con frecuencia que las leyes físicas que gobiernan un fenómeno se escriben en forma de ecuaciones diferenciales, por lo que éstas, en sí, constituyen una expresión cuantitativa de dichas leyes.

1.-HISTORIA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 

El nacimiento de la ciencia de ecuaciones diferenciales se fijaría en el 11 de de noviembre de 1675, cuando Leibnitz asentó en un papel la ecuación Integral de y diferencial de y igual a la mitad del cuadrado de y 1 

Newton formuló la ley de la gravitación, resolviendo después el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente para probar que la Tierra se mueve alrededor del Sol, describiendo aproximadamente una elipse, uno de cuyos focos es el Sol.  Maxwell concibió una relación entre corriente eléctrica y el campo magnético correspondiente.  Las ecuaciones diferenciales han cumplido un rol destacado en el desarrollo de las teorías de radio, radar, televisión y electricidad general. 2

Gottfried Wilhelm Leibniz, a veces von Leibniz (Leipzig, 1 de julio de1646 Hannover, 14 de noviembre de 1716) fue un filósofo, lógico,matemático, jurista, bibliotecario y político alemán. Fue uno de los grandes pensadores de los siglos XVII y XVIII, y se le reconoce como "El último genio universal". Realizó profundas e importantes contribuciones en las áreas de metafísica, epistemología, lógica, filosofía de la religión, así como a la matemática, física, geología, jurisprudencia e historia. Incluso Denis Diderot, el filósofo deísta francés del siglo XVIII, cuyas opiniones no podrían estar en mayor oposición a las de Leibniz, no podía evitar sentirse sobrecogido ante sus logros, y escribió en laEnciclopedia: "Quizás nunca haya un hombre leído tanto, estudiado tanto, meditado más y escrito más que Leibniz... Lo que ha elaborado sobre el mundo, sobre Dios, la naturaleza y el alma es de la más sublime elocuencia. Si sus ideas hubiesen sido expresadas con el olfato de Platón, el filósofo de Leipzig no cedería en nada al filósofo de Atenas." 2 De hecho, el tono de Diderot es casi de desesperanza en otra observación, que contiene igualmente mucho de verdad: "Cuando uno compara sus talentos con los de Leibniz, uno tiene la tentación de tirar todos sus libros e ir a morir silenciosamente en la oscuridad de algún rincón olvidado." La reverencia de Diderot contrasta con los ataques que otro importante filósofo, Voltaire, lanzaría contra el pensamiento filosófico de Leibniz. A pesar de reconocer la vastedad de la obra de éste, Voltaire sostenía que en toda ella no había nada útil que fuera original, ni nada original que no fuera absurdo y risible. Ocupa un lugar igualmente importante tanto en la historia de la filosofíacomo en la de las matemáticas. Inventó el cálculo infinitesimal, independientemente de Newton, y su notación es la que se emplea desde entonces. También inventó el sistema binario, fundamento de virtualmente todas las arquitecturas de las computadoras actuales. Fue uno de los primeros intelectuales europeos que reconocieron el valor y la importancia del pensamiento chino y de China como potencia desde todos los puntos de vista. Junto con René Descartes y Baruch Spinoza, es uno de los tres grandes racionalistas del siglo XVII. Su filosofía se enlaza también con la tradición escolástica y anticipa la lógica moderna y la filosofía analítica. Leibniz hizo asimismo contribuciones a la tecnología y anticipó nociones que aparecieron mucho más tarde en biología, medicina, geología, teoría de la probabilidad, psicología, ingeniería y ciencias de la computación. Sus contribuciones a esta vasta lista de temas está desperdigada en diarios y en decenas de miles de cartas y manuscritos inéditos. Hasta el momento, no se ha

realizado una edición completa de sus escritos, y por ello no es posible aún hacer un recuento integral de sus logros.

OBJETIVOS Objetivos Generales -

-

El propósito de este trabajo es el de proporcionar una introducción a las ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones donde se dará a aprender el procedimiento para el desarrollo de los ejercicios para los estudiantes de ingeniería, ciencias y matemáticas. Para alcanzar este propósito, el trabajo ha sido hecho con los siguientes objetivos a desarrollarse Tiene por objetivo explicar los fenómenos naturales traduciéndolos en ecuaciones diferenciales y estas sirven a su vez para solucionarlos en forma matemática y aplicarlos a la vida real como por ejemplo:

El estudio de las ecuaciones diferenciales del movimiento de los cuerpos celestes dedujo Newton las leyes del movimiento planetario descubiertas empíricamente por Kepler. En 1846 Le Verrier predijo la existencia del planeta Neptuno y determinó su posición en el cielo basándose en el análisis numérico de esas mismas ecuaciones.

Las leyes de conservación de la masa y de la energía térmica, las leyes de la mecánica, etc., se expresan en forma de ecuaciones diferenciales.

Objetivos Específicos -

Demostrar cómo las ecuaciones diferenciales pueden ser útiles en la solución de variados tipos de problemas Proporcionar relativamente métodos de resolver ecuaciones diferenciales que pueden aplicarse a un grupo grande de problemas. Desarrollar en las siguientes practicas estos ejercicios aplicativos de ecuaciones diferenciales

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DEFINICION:

Tanto en las ciencias como en las ingenierías se desarrollan modelos matemáticos para comprender mejor los fenómenos físicos. Generalmente, estos modelos producen una ecuación que contiene algunas derivadas de una función incógnita. Esta ecuación recibe el nombre de ecuación diferencial.

Las ecuaciones diferenciales no solo se utilizan en las ciencias e ingenierías, sino en otros campos del conocimiento humano como la medicina, la economía, la investigación de operaciones y la psicología. La teoría de las ecuaciones diferenciales comenzó a desarrollarse a finales del siglo XVII, casi simultáneamente con la aparición del Cálculo diferencial e integral. En el momento actual, las ecuaciones diferenciales se han convertido en una herramienta poderosa para la investigación de los fenómenos naturales. En la Mecánica, la Astronomía, la Física y la Tecnología han sido causa de enorme progreso. Del estudio de las ecuaciones diferenciales del movimiento de los cuerpos celestes dedujo Newton las leyes del movimiento planetario descubiertas empíricamente por Kepler. En 1846 Le Verrier predijo la existencia del planeta Neptuno y determinó su posición en el cielo basándose en el análisis numérico de esas mismas ecuaciones. Definición. Una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes, es una ecuación diferencial (E.D).

Si la función desconocida depende sólo de una variable (de tal modo que las derivadas son derivadas ordinarias) la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria.

Sin embargo, si la función desconocida depende de más de una variable (de tal modo que las derivadas son derivadas parciales) la ecuación se llama una ecuación diferencial parcial.

Una solución de una ecuación diferencial es cualquier función que satisface la ecuación, esto es, la reduce a una identidad.

ECUACIONES DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN APLICADA A LA INGENIERIA DE MINAS

ANTIGÜEDAD DE UN FÓSIL: PARA DETERMINAR LA EDAD DE LOS MANTOS DE CARBÓN. Se analizó un hueso fosilizado y se encontró que contenía la centésima parte de la cantidad original de C-14. Determine la edad del fósil. kt Partiendo de que A(t)=A0e . Para calcular el valor de la constante de decaimiento aplicamos el hecho que, A0/2 = A(5600), o sea, A0/2 = A0e5600k. Entonces, -1

5600k = In (1/2) = In 2 = - ln 2

De donde,

k = -(ln 2)/5600 = -0,00012378 Por lo tanto tenemos para,

A(t) = A0/1000 Igualando,

A0/1000 = A0e-0.0012378t De modo que,

-0,00012378t = In (1/1000) = In 1000-1 = - ln 1000 Así,

t = -(ln 1000)/-0,00012378 t 55.800 En realidad, la edad determinada en el ejemplo 3 está en el límite de exactitud del método. Normalmente esta técnica se limita a unos 9 periodos medios del isótopo, que son unos 50.000 años. Una razón para ello es que el análisis químico necesario para una determinación exacta del C-14 remanente presenta obstáculos formidables cuando se alcanza el punto de A0/1000.

También, para este método se necesita destruir una muestra grande del espécimen. Si la medición se realiza en forma indirecta, basándose en la radiactividad existente en la muestra, es muy difícil distinguir la radiación que procede del fósil de la radiación normal de fondo. Pero en últimas fechas, los científicos han podido separar al C-14 del C-12, la forma estable, con los aceleradores de partículas. Cuando se calcula la relación exacta de C-14 a C-12, la exactitud de este método se puede ampliar hasta antigüedades de 70 a 100.000 años. Hay otras técnicas isotópicas, como la que usa potasio 40 y argón 40, adecuadas para establecer antigüedades de varios millones de años. A veces, también es posible aplicar métodos que se basan en el empleo de aminoácidos.

CADENA JALADA HACIA ARRIBA POR UNA FUERZA CONSTANTE: PARA DETERMINAR LA POSICION EXACTA DE LA CARGA AL JALARLA CON UNA FUERZA CONSTANTE POR UN MALACATE EN UNA MINA SUBTERANEA. Una cadena uniforme de 10 pies de largo se enrolla sin tensión sobre el piso. Un extremo de la cadena se jala verticalmente hacia arriba usando una fuerza constante de 5 libras. La cadena pesa 1 libra por pie. Determine la altura o profundidad del extremo sobre el nivel del suelo al tiempo t. Vea la siguiente figura.

Supongamos que,

X = X(t) Denota la altura del extremo de la cadena en el aire al tiempo t,

V = dx/dt

Y además que la dirección positiva es hacia arriba. Para la porción de la cadena que está en el aire en el tiempo t se tienen las siguientes cantidades variables: Peso: Masa:

W = (Xpie) (1lb/pie) = X, (1) m = W/g = X/30, (2) F = 5 – W = 5 – X, (3)

Fuerza Neta: Teniendo en cuenta que,

F = (d/dt)(mv), (4) Así, reemplazando (2) y (3) en (4),

(d/dt)(X/30)V = 5 – X O

X(dv/dt) + V(dX/dt) = 160 – 32X Entonces, 2 2

X(d X/d t) + (dX/dt)2 + 32X = 160 La anterior es una ecuación diferencial no lineal de segundo orden que tiene la forma, ’ ’’

F(X,X ,X ) = 0

La cual se puede resolver por reducción de orden. Para resolverla nos devolvemos a su forma ’ anterior y aplicamos, V = X , junto con la regla de la cadena. Entonces la ecuación se puede escribir como, 2

(X.V)(dV/dX) + V = 160 – 32X

Se reescribe la ecuación anterior de la forma diferencial,

M(X,V)dX + N(X,V)dV = 0 De esta forma vamos a obtener la siguiente ecuación, 2

(V + 32X – 160)dX + (XV)dV

Que aunque no es exacta, se puede multiplicar por un factor integrante para volverla exacta, obteniendo entonces, 2 2 3 2

(1/2)X V + (32/3)X – 80X = C

Sabiendo que en un principio la cadena se encuentra toda sobre el suelo, entonces X(0) = 0, resolviendo la ecuación anterior y sabiendo que V > 0, entonces,

C=0 Reemplazando y despejando se obtiene la ecuación de primer orden,

(dX/dt) = (160 - (64/3)X) Si resolvemos la ecuación por separación de variables tenemos que, - (3/32)(160 – (64/3)X)1/2 = t + C2 Si resolvemos nuevamente para X(0) = 0 obtendremos que,

C2 = (-3 10)/8 Reemplazando C2 en la ecuación, elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación y despejando X, llegamos al resultado que buscábamos desde un principio,

X(t) = (15/2) – (15/2)(1- (((4 10)/15)t)2

Aplicaciones A Los Circuitos Eléctricos

Así como la mecánica tiene como base fundamental las leyes de Newton, el tema de la electricidad también tiene una ley que describe el comportamiento de los circuitos eléctricos conocida como la ley de Kirchhoff, la cual se describirá y usará en esta sección. Realmente, la teoría de la electricidad está gobernada por un cierto conjunto de ecuaciones conocidas en la teoría electromagnética como las ecuaciones de Maxwell. Así como no podemos entrar en una discusión de la mecánica relativista o cuántica debido a la insuficiencia de conocimientos previos de los estudiantes tampoco podemos entrar en la discusión de las ecuaciones de Maxwell. Sin embargo, así como las leyes de Newton son suficientes para el movimiento de los “objetos de diario”, la ley de Kirchhoff es ampliamente adecuada para estudiar las propiedades simples de los circuitos eléctricos.

El circuito eléctrico más simple es un circuito en serie en el cual tenemos una fem (fuerza electromotriz), la cual actúa como una fuente de energía tal como una batería o generador, y una resistencia, la cual usa energía, tal como una bombilla eléctrica, tostador, u otro electrodoméstico.

Ejemplo: Considérese el flujo de la corriente eléctrica en un circuito sencillo en serie. La corriente I=0(fi)(t) (medida en amperes) es una función del tiempo t. La resistencia “R” (ohms), la capacitancía “C” (en farads) y la inductancia “L” (en henrys) son todas positivas y, en general, pueden depender del tiempo t y la corriente I. Para

una gran variedad de aplicaciones, esta dependencia puede despreciarse; se supondrá que “R, C y L” son constantes conocidas. El voltaje aplicado “E” (volts) es una forma dada del tiempo frecuentemente de la forma Eo Cos wt. Otra consideración física que aparecerá en estas condiciones es la carga total: Dado en coulombs del capacitor, en el instante t. La carga Q está relacionada con la corriente I por:

El flujo de corriente en el circuito bajo condiciones dichas se expresa por la segunda ley de Kirchhoff: “En un circuito cerrado, el voltaje aplicado es igual a la suma de las caidas del voltaje en el resto del circuito”. De acuerdo a las leyes fundamentales de electricidad, se sabe que: a) Caída de voltaje a través de la resistencia = IR b) Caída de voltaje a través del capacitor = (1/c)(Q) c) Callad de voltaje a través de la inductancia = L(dT7dt) Por lo tanto: La teoría de los circuitos eléctricos, que consisten de inductancias, resistores y capacitares, se basa en las leyes de Kirchhoff: “El flujo neto de corriente a través de cada nodo es cero es cero”. “La caída neta de voltaje alrededor de cada circuito cerrado es cero”. Además de las leyes de Kirchhoff, se tiene la relación entre la corriente I en amperes, a través de cada elemento del circuito, y la caída de voltaje V en volts, a través de ese elemento; a saber,

V=RI R= resistencia en ohms C(dv/dt) C= capacitancia en farads L(di/dt) L= inductancia en henrys

Las leyes de Kirchhoff y la relación corriente- voltaje para cada circuito proporcionan un sistema de ecuaciones algebraicas y diferenciales, a partir de las cuales puede determinarse el voltaje y la corriente en todo el circuito.

Aplicaciones A Otros Campos

Aplicaciones a la Biología: Uno de los campos más fascinante del conocimiento al cual los métodos matemáticos han sido aplicados es el de la Biología. La posibilidad de que las matemáticas pudieran aun ser aplicadas exitosamente el estudio de varios procesos naturales de los seres vivos desde os microorganismos más elementales hasta la misma humanidad sorprende a la imaginación. Crecimiento Biológico:

Un problema fundamental en la biología es el crecimiento, sea este el crecimiento de una célula, un organismo, un ser humano, una planta o una población. La ecuación diferencial fundamental era: dy / dt =

y con solución y = ce

Donde c es una constante arbitraria. De esto vemos que el crecimiento ocurre si > 0 mientras que el decaimiento (o encogimiento) ocurre sí < 0. Un defecto obvio de dicha ecuación diferencial anteriormente planteada y de su solución correspondiente es que si > 0 entonces tenemos que y!" si t!" , así que a medida que el tiempo transcurre el crecimiento es limitado. Esto esta en conflicto con la realidad, ya que después de transcurrir cierto tiempo sabemos que una célula o individuo deja de crecer, habiendo conseguido el tamaño máximo. Aplicaciones a la Economía: En años recientes ha habido un interés creciente por la aplicación de las matemáticas a la economía. Sin embargo, puesto que la economía involucra mucho factores impredecibles, tales como decisiones psicológicas o políticas, la formulación matemática de sus problemas es difícil. Se debería hacer énfasis que, como en los problemas de ciencia e ingeniería, cualquier resultado obtenido teóricamente debe finalmente ser probado a la luz de la realidad.

Oferta y Demanda

Suponga que tenemos un bien tal como trigo o petróleo. Sea p el precio de este bien por alguna unidad especificada ( por ejemplo un barril de petróleo) en cualquier tiempo t. Entonces podemos pensar que p es una función de t así que p(t) es el precio en el tiempo t. El numero de unidades del bien que desean los consumidores por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama la demanda y se denota por D(t), o brevemente D. Esta demanda puede depender no solo del precio p en cualquier tiempo t, esto es, p(t), sino también de la dirección en la cual los consumidores creen que tomaran los precios, esto es, la tasa de cambio del precio o derivada p´(t). Por ejemplo, si los precios están altos en tiempo t pero los consumidores creen que pueden subir, la demanda tiende a incrementar. En símbolos esta dependencia de D en p(t) y p´(t) puede escribirse: D = (p(t)),p´(t) Llamamos la función de demanda. Similarmente, el numero de unidades del bien que los productores tienen disponible por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama oferta y se denota por S(t), o brevemente S. Como en el caso de la demanda, S también depende de p(t) y p´(t). Por ejemplo, si los precios están altos en tiempo t pero los productores creen que estos pueden subir mas, la oferta disponible tiende a incrementar anticipándose a precios más altos. En símbolo esta dependencia de S en p(t) y p´(t) puede escribirse: S = g(p(t), p´(t) Llamamos g a la función oferta.