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UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MÉXICO

ALGEBRA LINEAL Actividad Individual Evidencia de Aprendizaje. Vectores

División: Ciencias de la Salud, Biológicas Y Ambientales

ALUMNO: ALVARO DANIEL SILGUERO HERNÁNDEZ DOCENTE: ROBERTA ROMERO LOPEZ GRUPO: ER-EALI-1902-B1-003

25 de julio de 2019 1

Índice INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................. 3 Instrucciones ..................................................................................................................................... 4 Ejercicio 1. ......................................................................................................................................... 4 Ejercicio 2. ......................................................................................................................................... 7 Ejercicio 3. ......................................................................................................................................... 8 Ejercicio 4. ......................................................................................................................................... 9 CONCLUSIÓN ................................................................................................................................ 10 Bibliografía ........................................................................................................................................ 10

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INTRODUCCIÓN La palabra álgebra proviene del término árabe yabr que significa “reducción” y aparece por primera vez en el tratado del matemático persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi. En el siglo XIX comienza a aparecer una temática transversal que se alimenta de problemas provenientes de la geometría, el análisis, la teoría de números y por supuesto, la teoría de ecuaciones, que desemboca en el estudio de estructuras matemáticas abstractas conformando lo que hoy en día se conoce como álgebra moderna. (Aranda Ortega , 2013). El matemático irlandés Sir William Hamilton (1805-1865) inició el estudio de vectores; él deseaba encontrar una forma de representar ciertos objetos en el plano y en el espacio, lo que lo llevó a descubrir los cuaterniones. Este concepto condujo al desarrollo de lo que actualmente se llaman vectores. (Ortega Pulido, 2001). En matemáticas se define vector como un elemento de un espacio vectorial. Esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo y la dirección. Los vectores en un espacio euclideo se pueden representar geométricamente como segmentos de recta, en el plano (bidimensional), o en el espacio (tridimensional). Se llama vector de dimensión

a una tupla de

números reales (que se llaman

componentes del vector). El conjunto de todos los vectores de dimensión

se

representa como 𝑅 2 (formado mediante el producto cartesiano). Así, un vector 𝓋 perteneciente a un espacio 𝑅 2 se representa como: 𝓋 = ( 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛 ) , donde 𝓋 𝜖 𝑅 2 Un vector distinguir tres características: 1. Módulo: la longitud del segmento, 2. Dirección: la recta donde está representado el segmento.3. Sentido: la orientación del segmento, del origen al extremo del vector. (wikipedia) 3

Instrucciones

Resuelve los siguientes problemas, los cuales debes incluir el procedimiento que seguiste para llegar a la solución ya que de esa forma podremos identificar conceptos o procesos que requieren clarificación. Recuerda trabajar con números enteros lo más posible, factorizar y denotar claramente cuál es tu respuesta.

Ejercicio 1.

Un barco es empujado por un remolcador con una fuerza de 800 N, a lo largo del eje Y negativo, mientras que otro remolcador lo empuja en la dirección del eje X negativo con una fuerza de 1000 N. Determine la magnitud e indique en un dibujo la dirección de la fuerza resultante.

𝐹1 = 800 𝑁 𝑒𝑛 − 𝑦 𝐹2 = 1000 𝑁 𝑒𝑛 − 𝑥 La magnitud de un vector está dada por ‖𝑚‖ = √𝑎2 + 𝑏 2 Dónde: a = 800 N b = 1000 N Sustituyendo en la formula tenemos: ‖𝑚‖ = √(800)2 + (1000)2 ‖𝑚‖ = √640 000 + 1 000 000 ‖𝑚‖ = √1 640 000 4

La fuerza resultante seria ‖𝑚‖ = 1 280.62 𝑁

Para encontrar la dirección del vector se toma en cuenta la siguiente fórmula:

‖𝑏‖ 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 ( ) ‖𝑎‖ Por lo tanto: 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 (

800 ) 1000

𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 (0.8) 𝜃 = 38.65 Para encontrar el ángulo de un vector, se utilizan cuatro casos diferentes, ya que un vector puede estar ubicado en cualquiera de los cuatro cuadrantes que tiene el plano cartesiano. De acuerdo con el cuadrante en el que se encuentre las componentes del vector, serán positivas, negativas o combinadas. Caso 3

𝛷= 𝜃+ 𝜋 𝛷 = 38.65 + 180 𝛷 = 218.65 Por lo tanto, se tiene que la dirección del vector con coordenadas (800, 1000) es aproximadamente de unos 218.65 grados

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Grafica de la dirección de la fuerza resultante

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Ejercicio 2. El vector u= (20, 30, 80,10) proporciona el número de receptores, reproductores de discos compacto, juego de bocinas y grabadora que están a la venta en una tienda de artículos de sonido. El vector v= (200, 120, 80,70) representa el precio en dólares de cada receptor, reproductor de discos compactos, juego de bocinas y grabadora, respectivamente. ¿Qué le indicaría el producto 𝒖 𝒙 𝒗 al dueño de la tienda?

𝑢 = (20, 30, 80, 10 ) Representa el número de artículos de venta. 𝑣 = (200, 120, 80, 70 ) Representa el precio de los artículos Por lo tanto 𝑢 ∗ 𝑣 = (20, 30, 80, 10 ) ∗ (200, 120, 80, 70 ) 𝑢 ∗ 𝑣 = (4000, 3600, 6400, 700) 𝑢 ∗ 𝑣 = 14 700 El resultado 14 700 representa para el vendedor 14 700 dólares, la ganancia total obtenida al vender los artículos de la tienda

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Ejercicio 3. Determina el área de un triángulo con vértices P1(1,-2,3) P2(-3,1,4) y P3(0,4,3).

𝐴=

1 ‖𝑃 𝑃 ˄ 𝑃1 𝑃3 ‖ 2 1 2

𝑃1 𝑃2 = 𝑃1 − 𝑃2 = (−3, 1, 4 ) − (1, −2, 3) = (−4, 3, 1 ) 𝑃1 𝑃3 = 𝑃1 − 𝑃3 = (0, 4, 3 ) − (1, −2, 3 ) = (−1, 6, 0) 𝑖 𝑗 (−4, 3, 1 )˄ (−1, 6, 0) = |−4 3 −1 6

𝑘 1| 0

3 1 −4 1 −4 3 =𝑖 | |+𝑗 | |+𝑘 | | 6 0 −1 0 −1 6 = 𝑖 (0 − 6) + 𝑗 [0 − (−1)] + 𝑘 [−24 − (−3)] = −6𝑖 + 𝑗 − 21𝑘 = (−6 + 1 − 21 ) 𝐴=

1 1 ‖𝑃1 𝑃2 ˄ 𝑃1 𝑃3 ‖ = ‖(−6 + 1 − 21 )‖ 2 2 1 = √(−6)2 + 12 + (−21)2 2 =

1 √36 + 1 + 441 2 =

1 √478 2

Solución A = 10.93

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Ejercicio 4. Determina el volumen del paralelepípedo que tiene un vértice en el origen y lados u=(i-2j+4k) v=(3i+4j+k) y w=(-i+j+k)

El volumen de un paralelepípedo de aristas a, b y c, con signo positivo o negativo según que a, b y c formen un triedro a derechas o a izquierdas.

𝑎 = 𝑎1 𝑖 + 𝑎2 𝑗 + 𝑎3 𝑘 𝑎1 𝑎 ∗ (𝑏 𝑥 𝑐 ) = |𝑏1 𝑐1 𝑎3 ( 𝑏1 𝑐2 − 𝑏2 𝑐1 )

𝑎2 𝑏2 𝑐2

𝑏 = 𝑏1 𝑖 + 𝑏2 𝑗 + 𝑏3 𝑘 𝑐 = 𝑐1 𝑖 + 𝑐2 𝑗 + 𝑐3 𝑘 𝑎3 𝑏3 | = 𝑎1 ( 𝑏2 𝑐3 − 𝑏3 𝑐2 ) − 𝑎2 ( 𝑏1 𝑐3 − 𝑏3 𝑐1 ) + 𝑐3

𝑎 = ( 1, −2, 4)

𝑏 = ( 3, 4, 1 )

𝑐 = ( −1, 1, 1 )

1 −2 4 𝑎 ∗ (𝑏 𝑥 𝑐 ) = | 3 4 1| = −1 1 1 = 1[(4)(1) − (1)(1)] − (−2)[(3)(1) − (1)(−1)] + 4 [(3)(1) − (4)(−1)] = 3 + 8 + 28 = 39

Por lo tanto: El volumen es 39 𝑢3

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CONCLUSIÓN En esta actividad se habló de la importancia del vector, tanto en la vida ordinaria de cada individuo, hasta en los proyectos donde se requiere gran complejidad, los vectores son una herramienta que nos ayuda a entender de manera analítica fenómenos físicos que observamos en nuestro entorno, como la fuerza mecánica actuada en un punto o área determinada, el comportamiento eléctrico y magnético, y fluidos. Los vectores que se presentaron en esta actividad, nos proporcionó la experiencia necesaria para entender, explicar y predecir el movimiento de un cuerpo y de lo importante de llevar una metodología en la resolución de cada ejercicio para su mejor comprensión.

Bibliografía Aranda Ortega , E. (2013). Algebra lineal con aplicaciones y Python (Vol. Primera Edición). Impreso por Lulu.com. Ortega Pulido, P. (2001). Un. Recuperado el 14 de Julio de 2019, de https://csba.unexico.mx/pluginfile.php/1240/mod_label/intro/U1.Algebralineal.pdf wikipedia. (s.f.). Recuperado el 14 de Julio de 2019, de https://es.wikipedia.org/wiki/Vector

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