Divisibilidad Por 17 45385v

Divisibilidad por 17: Los divisores de 17 son 1 y 17; sólo dos porque es número primo. Los múltiplos de 17 son: 34, 51, 68, 85, 102, 119, 136, 153, 170, 187, 204, 221, 238, 255, 272, 289, 306, 323,... Revisamos más criterios que pueden importar: ' 7' '11' '13' '19' '23' '29' '31' '39' '47'. Vamos a utilizar dos criterios: Criterio 1: La sucesión de restos potenciales módulo 17 es: 1, 10, –2, –3, 4, 6, –8, 5, –1, 7, 2, 3, – 4, –6, 8, –5 Un número es divisible por 17 si la suma de la cifra de sus unidades multiplicada por 1 (primer número de la sucesión) más la cifra de sus decenas multiplicada por 10 (segundo número de la sucesión) más la cifra de sus centenas multiplicada por (–2) (tercer número de la sucesión) más ..., es 0 o múltiplo de 17. Ejemplo 1: Estudiemos el número 7034. Como tiene 4 cifras, sólo usaremos los cuatro primeros números de la sucesión (1, 10, –2, –3). Dicha suma es: 4·1 + 3·10 + 0(–2) + 7(–3) = 4 + 30 – 0 –21 = 34 – 21 = 13 que no es múltiplo de 17, por lo tanto 7254 no es divisible por 17. Ejemplo 2: Veamos 4265419 Por tener 7 cifras hemos de emplear los siete primeros números de la sucesión (1, 10, –2, –3, 4, 6, –8), siendo la suma: 9·1 + 1·10 + 4(–2) + 5(–3) + 6·4 + 2·6 + 4(–8) = 9 + 10 – 8 – 15 + 24 + 12 –32 = 55 – 55 = 0 luego 4265419 es divisible por 17.

Criterio del 17: Un número es divisible por 17 Si la diferencia entre el número generado al "quitar" (suprimir...) la última cifra al número dado y 5 veces esa última cifra es 0 o múltiplo de 17. El proceso se repite cuantas veces se necesite. Además en cualquier momento del desarrollo podemos cambiar a otro método. Ejemplo 3: Estudiar si 419 es múltiplo de 17. Si "quitamos la última cifra 9, queda 41 (decenas) por un lado y 9 (unidades) por otro; aplicando regla: 41 – 9·5 = 41 – 45 = – 4 que no es múltiplo de 17. Ejemplo 4: Estudiar si el número 8857 es divisible por 17. Al "eliminar" la última cifra 7, queda 885 (decenas) y 7 (unidades), y fijando criterio: 885 – 7·5 = 885 – 35 = 850 si "quitamos" la última cifra 0, obtenemos 85 (decenas) y 0 (unidades) 85 – 0·5 = 85 por último suprimimos el 5 (última cifra) consiguiendo 8 y 5 8 – 5·5 = 8 – 25 = –17 que es múltiplo de 17, por consiguiente 8857 es divisible por 17. Ejemplo 5: ¿285915, es divisible por 17?.

"Quitando" la última cifra queda 28591 (decenas) y 5 unidades, y aplicando criterio: 28591 – 5·5 = 28591 – 25 = 28566 Retiramos el 6 y tenemos 2856 (decenas) y 6 unidades 2856 – 6·5 = 2856 – 30 = 2826 si quitamos el 6 obtenemos 282 y 6 282 – 6·5 = 252 25 – 2·5 = 15 que NO es múltiplo de 17 ––> 285915 no es divisible por 17. Para los más estudiosos demostramos esta regla: Por axioma 1 y por las propiedades de los números congruentes, si suponemos que N es múltiplo de 17, también lo es cuando multiplicamos por 5: 5N = 50x +5y Ahora resto 51x quedando 5N – 51x = –x + 5y múltiplo de 17 pues 51x = 17·3x. cambiando de signo: 51x – N = x – 5y y de aquí la regla.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Un número es divisible por 2 cuando es par o termina en 0, 2, 4, 6, ó 8. Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus dígitos es múltiplo de 3. Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimos dígitos son ceros o forman un múltiplo de 4. Un número es divisible por 5 cuando termian en 0 ó en 5. Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y 3 a la vez. Un número es divisible por 7 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 2, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 7. Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimos dígitos son ceros o forman un múltiplo de 8. Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus dígitos es un múltiplo de 9. Un número es divisible por 10 cuando termina en 0. Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar impar y la suma de los valores

absolutos de sus cifras de lugar par, de derecha a izquierda, es cero o múltiplo de 11. Un número es divisible por 13 cuando separando la primer cifra de la derecha, multiplicándola por 9, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 13. Un número es divisible por 17 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 5, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 17. Un número es divisible por 19 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 17, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de19. Un número es divisible por 25 cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 25. Un número es divisible por 125 cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 125.