Dinamica.conceptos Basicos 3y1s5x

CIRCULACIÓN Dada una función vectorial de punto va de A a B, se calcula como

y la curva que

GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR Dada una función escalar de punto U(x,y,z), se define su gradiente a:

siendo el gradiente en cada punto perpendicular a la superficie isoescalar en ese punto, dirigido hacia valores crecientes, y de módulo igual a  dV/dr DIVERGENCIA Y ROTACIONAL Rotacional Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como la circulación del vector sobre un camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero (Ecuación 1).

Aquí, S es el área de la superficie apoyada en la curva C , que se reduce a un punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la dirección normal a Sy orientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares. El rotacional de un campo se puede calcular siempre y cuando este sea continuo y diferenciable en todos sus puntos. El resultado del rotacional es otro campo vectorial que viene dado por el determinante de la siguiente ecuación:

Las propiedades más destacadas del rotacional de un campo son: • Si el campo escalar f(x,y,z) tiene derivadas parciales continuas de segundo orden entonces el rot (

f) =0

• Si F(x,y,z) es un campo vectorial conservativo entonces rot (F) = 0 • Si el campo vectorial F(x,y,z) es una función definida sobre todo cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas y el rot (F) = 0, entonces F es un campo vectorial conservativo. Divergencia La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie que encierra un elemento de volumen dV . Si el volumen elegido solamente contiene fuentes o sumideros de un campo, entonces su divergencia es siempre distinta de cero. La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, que se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero, para el caso del campo magnético la divergencia viene dada por la ecuación

donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite, B es el campo magnético, V es el volumen que encierra dicha superficie S y operador nabla, que se calcula de la siguiente forma:

es el

La divergencia de un campo es un valor escalar con signo. Si este signo es positivo, quiere decir que el campo emana hacia el exterior de dicho punto y, por tanto, es una fuente o manantial. Si el signo es negativo, el campo converge hacia un punto del interior del volumen, por lo que constituiría un

sumidero. Si la divergencia fuese cero el campo neto (diferencia entre las líneas entrantes y salientes) sería nulo. En el caso de los campos magnéticos se ha comprobado la ausencia de fuentes y/o sumideros de ahí que una de sus propiedades sea que su divergencia es nula .

Los campos cuya divergencia es cero se denominan campos solenoidales, que se caracterizan porque sus líneas de campo son cerradas sobre si mismas, es decir, no tienen extremos donde nacen o mueren. De tener dichos extremos, el flujo neto alrededor de uno de ellos no sería nulo, lo cual denotaría la existencia de una fuente o sumidero del campo. CAMPO CONSERVATIVO Se dice que un campo vectorial es conservativo si la circulación del campo a lo largo de una curva es independiente del camino, solo depende de los puntos inicial y final de la circulación. Los campos conservativos se pueden expresar como gradiente de una función escalar, es decir existe una función escalar de punto V(x,y,z) que cumple: por lo que el cálculo de la circulación se convierte en:

La circulación de un campo conservativo por una línea cerrada es por tanto cero: Si un campo vectorial es conservativo cumple además estas condiciones: ;

;

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA DINÁMICA http://laplace.us.es/wiki/index.php/Principios_de_la_din%C3%A1mica http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/dinam1p/dinam1p_1.html http://ocw.usal.es/ensenanzas-tecnicas/fisicai/contenidos/temas_por_separado/2_ap_newton1011.pdf Leyes

de Newton

1ª Ley: Si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza o la suma (vectorial) de todas las que actúan es nula, el cuerpo está en reposo o se mueve con movimiento rectilíneo uniforme. 2ª Ley: Si sobre un cuerpo actúa una fuerza neta, ésta provoca un cambio en el estado de movimiento del cuerpo que viene dado por

,expresión que constituye la ecuación del movimiento de la partícula.

3ª Ley: A cada acción se opone siempre una reacción igual y de sentido contrario. Si consideramos un sistema aislado de n partículas:

y como las únicas fuerzas que actúan son las que se ejercen entre si, de la 2ª ley se obtiene:

si el sistema está formado por dos partículas: ,expresión conocida como ley de acción y reacción. Las fuerzas de acción y reacción nunca pueden equilibrarse entre si debido a que actúan sobre objetos diferentes.

Sistemas de referencia inerciales. Un sistema de referencia inercial es aquel en el cual una partícula aislada o libre posee una aceleración nula. En un sistema inercial la 1ª Ley de Newton se enuncia: Si sobre una partícula aislada o libre no actúa ninguna fuerza exterior, la partícula permanece en estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme. A la 1ª ley de Newton se la conoce como ley de la inercia, por eso a los sistemas de referencia que verifican dicha ley se les llama inerciales. Un sistema inercial no puede realizar un movimiento circular o girar sobre cualquier eje, pues esto implicaría la existencia de una aceleración. Por el contrario, diferentes sistemas inerciales pueden realizar uno con respecto a otro movimientos con velocidad constante. En sentido estricto, ni la Tierra ni el Sol se pueden considerar sistemas de referencia inerciales debido a sus movimientos de rotación y orbitales. Sistemas de referencia no inerciales En un sistema de referencia inercial la 2ª ley de Newton se puede expresar como F=ma , en cambio en un sistema de referencia no inercial (si suponemos que el sistema sólo tiene movimiento de traslación):

(a'0 es la aceleración del sistema de referencia no inercial, a' es la aceleración relativa de la partícula respecto del sistema no inercial)

la última expresión (Ftotal=ma') nos indica que la 2ª ley de Newton presenta la misma forma en un sistema de referencia inercial que en uno no inercial. Nótese que en este caso, para poder utilizar la ley de Newton, hemos tenido que utilizar una fuerza ficticia (F'i=-ma0) que depende de la aceleración del sistema de referencia. Estas fuerzas no son ejercidas por un agente y en consecuencia no tienen reacción, son ficciones introducidas para que la ecuación Ftotal=ma' sea válida cuando la aceleración se mide con relación a un sistema no inercial. Entre las fuerzas ficticias cabe destacar la fuerza de inercia, la fuerza centrífuga} y la fuerza de Coriolis, estas dos últimas para sistemas en rotación.

Para el observador inercial la masa sobre la plataforma rotatoria está acelerando hacia el centro debido a la tensión no compensada de la cuerda. En cambio, si el observador no inercial, situado en la plataforma, quiere aplicar las leyes de Newton debe introducir una fuerza ficticia (fuerza centrífuga) para compensar la tensión de la cuerda.