Diagrama De Bode 426s2e

Problema N°1: Un amplificador de pasa banda se puede representar por el modelo de lazo de la figura. Cuando R1=R2=1KΩ, C1=100pF, C2=1μF y k=100, demostrar que:

109 𝑠 𝐺(𝑠) = (𝑠 + 100)(𝑠 + 107 )

a) Dibujar el diagrama de Bode de G(jw). b) Encontrar la ganancia de la banda media (en dB). c) Encontrar los puntos de alta y baja frecuencia a -3dB.

Solución:

Aplicamos un divisor de tensión para obtener V2 en C1

𝑉2 = (

1 𝐶1 𝑠 1 𝑅1 + 𝐶 𝑠 1

) 𝑉1

Ahora aplicamos un divisor de tensión para obtener V0 en R2:

𝑉0 = (

𝑅2 1 𝑅2 + 𝐶 𝑠 2

) 𝐾𝑉2 = 𝐾 (

1 𝐶1 𝑠

𝑅2 )( ) 𝑉1 1 1 𝑅1 + 𝐶 𝑠 𝑅2 + 𝐶 𝑠 1

2

La función de transferencia G(s) para ese circuito es

𝑉0 𝐺(𝑠) = 𝑉1

→

𝐺(𝑠) = 𝐾 (

1 𝐶1 𝑠

𝑅2 )( ) 1 1 𝑅1 + 𝐶 𝑠 𝑅2 + 𝐶 𝑠 1

𝐺(𝑠) =

2

𝐾𝑅2 𝐾𝑅2 𝐶2 𝑠 = 1 1 (𝑅1 𝐶1 𝑠 + 1)(𝑅2 𝐶2 𝑠 + 1) 𝐶1 𝑠 (𝑅1 + 𝐶 𝑠) (𝑅2 + 𝐶 𝑠) 1 2

𝐾 𝑅1 𝐶1 𝑠 𝐺(𝑠) = 1 1 (𝑠 + 𝑅 𝐶 ) (𝑠 + 𝑅 𝐶 ) 1 1 2 2

100 −9 𝑠 109 𝑠 1 ∗ 100 ∗ 10 𝐺(𝑠) = = 1 1 (𝑠 + 107 )(𝑠 + 106 ) (𝑠 + ) (𝑠 + ) −9 −6 100 ∗ 10 1 ∗ 10

a) Para dibujar el diagrama de Bode de G(jw) tenemos que 109 𝑗𝑤 𝐺(𝑗𝑤) = = 109 𝑗𝑤(𝑗𝑤 + 100)−1 (𝑗𝑤 + 107 )−1 (𝑗𝑤 + 100)(𝑗𝑤 + 107 )

La función se compone de los siguientes factores: 109 ;

𝑗𝑤;

(𝑗𝑤 + 100)−1 ;

(𝑗𝑤 + 107 )−1

Para grafica en el papel logarítmico consideramos la expresión

20𝑙𝑜𝑔𝐺(𝑗𝑤)

Para cada función.

Para G1(jw)=109

20𝑙𝑜𝑔(109 ) = 180𝑑𝐵

Para G2(jw)=jw

20𝑙𝑜𝑔𝑗𝑤;

𝑠𝑖 𝑗𝑤 = 0,2 → 20 log(0,2) = −13,94;

𝑠𝑖 𝑗𝑤 = 10 → 20 log(10) = 20

Para G3(jw)= (𝑗𝑤 + 100)−1

−20 log(𝑗𝑤 + 100) ; 𝑠𝑖 𝑗𝑤 = 0,2 → −20 log(𝑗𝑤 + 100) = −40,02 𝑠𝑖 𝑗𝑤 = 10 →

−20 log(𝑗𝑤 + 100) = −40,83

Para G4(jw)= (𝑗𝑤 + 107 )−1

−20 log(𝑗𝑤 + 107 ) ; 𝑠𝑖 𝑗𝑤 = 0,2 → −20 log(𝑗𝑤 + 107 ) = −140

𝑠𝑖 𝑗𝑤 = 10 →

−20 log(𝑗𝑤 + 107 ) = −140

Problema N°2: Considere el sistema de control de la figura (a) en el que la planta es una caja negra G(s) de la que se conoce poco sobre la forma de su modelo matemático. La única información disponible sobre la planta es la respuesta en frecuencia que se muestra en la figura (b). diseñar un controlador G(s) que consiga las especificaciones siguientes: (i) La frecuencia de cruce está entre 10 rad/s y 50 rad/s; (ii) La magnitud de Gc(s)G(s) es mayor que 20 dB para w<0,1 rad/s.

Solución: