Desarrollo En Serie De Taylor 45h5z

DESARROLLO EN SERIE DE TAYLOR La función p(x)=a0+a1x+a2x2+..........+anxn, en la que los coeficientes ak son constantes, se llama polinomio de grado n. En particular y=ax+b es un polinomio de primer grado e y=ax2+bx+c es un polinomio de segundo grado. Los polinomios pueden considerarse las funciones más sencillas de todas. Para calcular su valor para una x dada, necesitamos emplear únicamente las operaciones de adición, sustracción y multiplicación; ni siquiera la división es necesaria. Los polinomios son funciones continuas para todo x y tienen derivadas de cualquier orden. Además la derivada de un polinomio es también un polinomio de grado inferior en una unidad, y las derivadas de orden n+1 y superiores de un polinomio de grado n son nulas. Si a los polinomios añadimos las funciones de la forma y=p(x)/q(x) (cociente de polinomios, para cuyo cálculo necesitamos también de la división), las funciones raíz cuadrada de x y raíz cúbica de x, y finalmente, las combinaciones aritméticas de los tipos anteriores, obtenemos esencialmente las funciones cuyos valores pueden calcularse por métodos aprendidos en el bachillerato. A este nivel se tienen nociones de algunas otras funciones tales como log(x), sen(x), ex, ..., pero, aunque se estudian sus propiedades más importantes, no se da una respuesta a las preguntas: ¿Cómo calcularlas? ¿Qué clase de operaciones, por ejemplo, es necesario realizar sobre la x para obtener log(x) o sen(x)?. La respuesta a estas preguntas la proporcionan los métodos desarrollados por el análisis matemático. Examinemos uno de estos métodos.

Fórmula de Taylor Sea f(x) una función definida en un intervalo que contiene al punto a, con derivada de todos los órdenes. El polinomio de primer grado p1(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) tiene el mismo valor que f(x) en el punto x=a y también, como se comprueba fácilmente, la misma derivada que f(x) en este punto. Su gráfica es una recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto a. Es posible elegir un polinomio de segundo grado, p2(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) + ½ f ' ' (a) (xa)2, tal que en el punto x=a tenga el mismo valor que f(x) y valores también iguales para su primera y segunda derivadas. Su gráfica en el punto a se acercará a la de f(x) más que la anterior. Es natural esperar que si construimos un polinomio que en x=a tenga las mismas n primeras derivadas que f(x) en el mismo punto, este polinomio se aproximará más a f(x) en los puntos x próximos a a. Así obtenemos la siguiente igualdad aproximada, que es la fórmula de Taylor:

f(x) ≈ f(a) + f '(a) (x-a) + (1/2!) f ' '(a) (x-a)2 + ...... + (1/n!) f (n)(a) (x-a) n

El segundo miembro de esta fórmula es un polinomio de grado n en (x-a). Para cada valor de x puede calcularse el valor de este polinomio si se conocen los valores de f(a) y de sus n primeras derivadas. Para funciones que tienen derivada (n+1)-ésima, el segundo miembro de esta fórmula, como se demuestra fácilmente, difiere del primero en una pequeña cantidad que tiende a cero más rápidamente que (x-a)n. Además, es el único polinomio de grado n que difiere de f(x), para x próximo a a, en un valor que tiende a cero (cuando x tiende a a) más rápidamente que (x-a)n. Si f(x) es un polinomio algebraico de grado n, entonces la igualdad aproximada anterior es una verdadera igualdad. Para que sea exacta la igualdad aproximada anterior, debemos añadir al segundo miembro un término más, llamado resto:

f(x) = f(a)+f '(a)(x-a)+(1/2!) f ' '(a)(x-a)2+ ...... +(1/n!) f (n)(a)(x-a)n+(1/(n+1)!) f (n+1) (c)(x-a)n+1 El resto tiene la peculiaridad de que la derivada que en él aparece debe calcularse en cada caso, no en el punto a, sino en un punto c convenientemente elegido, desconocido, pero interior al intervalo de extremos a y x. La demostración de la igualdad anterior es bastante engorrosa, aunque sencilla en esencia. Las leyes naturales pueden expresarse, por regla general, con buena aproximación por funciones derivables un número arbitrario de veces, y por ello pueden ser aproximadas por polinomios cuyo grado viene determinado por la precisión deseada. La fórmula de Taylor, que abre el camino para la mayoría de los cálculos en el análisis aplicado, es muy importante desde el punto de vista práctico. La idea de aproximar una función mediante polinomios o de representarla como suma de un número finito de funciones más sencillas alcanzó un gran desarrollo en el análisis, donde constituye ahora una rama independiente: la teoría de la aproximación de funciones. En las siguientes escenas podemos observar cómo la gráfica de las funciones se va "tapando" con la gráfica del polinomio de Taylor al aumentar el grado del polinomio. Para un valor de x calculamos la diferencia entre el valor real y el valor del polinomio correspondiente. Al aumentar el grado del polinomio esa diferencia es cada vez menor. Hemos calculado los polinomios de Taylor para a=0.

1.- Aproximación de la función y = sen (x)

Actividades 1.- Observa que la función y=sen(x) es una función impar sen(-x)=-sen(x). El polinomio de Taylor correspondiente sólo tiene potencias impares de x. 2.- Da valores a x y observa cómo el polinomio de Taylor se aproxima al valor real al aumentar el grado del polinomio.

2.-Aproximación de la función y = cos (x)

Actividades 1.- Observa que la función y=cos(x) es una función par cos(-x)=cos(x). El polinomio de Taylor correspondiente sólo tiene potencias pares de x. 2.- Da valores a x y observa cómo el polinomio de Taylor se aproxima al valor real al aumentar el grado del polinomio.

3.-Aproximación de la función y = ex

Actividades 1.- Observa que para x=1 obtenemos el valor del número e. 2.- Da valores a x y observa cómo el polinomio de Taylor se aproxima al valor real al aumentar el grado del polinomio.

4.-Aproximación de la función y = ln (1+x)

Actividades 1.- Da valores a x (entre -1 y 1) y observa cómo el polinomio de Taylor se aproxima al valor real al aumentar el grado del polinomio.

Sea

la representación en serie de potencias de f(x). Si derivamos obtenemos,

evaluamos en

encontramos la segunda derivada

evaluamos en

Encontramos la tercera derivada

evaluamos en

Encontramos la cuarta derivada

evaluamos en

De esta manera podemos ver que

resolvemos para

Como sustituimos

= y obtenemos,

Serie de Taylor centrada en c

Si ahora hacemos c = 0 entoces obtenemos

Serie de Maclaurin

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Ejemplo #3 Tomemos La derivamos y obtenemos La derivamos y obtenemos La derivamos y obtenemos La derivamos y obtenemos La derivamos y obtenemos La derivamos y obtenemos La derivamos y obtenemos La derivamos y obtenemos La derivamos y obtenemos La derivamos y obtenemos La derivamos y obtenemos La derivamos y obtenemos Bueno ahora ya podemos desarrollar las sumatorias.

Si sabemos que Lo valuamos en 0 para centrarlo en 0 Ahora veamos como funcionan los Polinomios de Taylor Esta es su grafica

Esta es su grafica

Esta es su grafica

Esta es su grafica

Esta es su grafica

Esta es su grafica

Esta es su grafica

Como pueden ver mientras mas grande sea la sumatoria más se parece a f(x)

Series Importantes [Math Processing Error]

Serie de taylor de la funcion exponencia

Serie de taylor de la funcion seno

Serie de taylor de la funcion coseno

Ejemplo 1 Encuenre una serie para cos(2x)

Sabiendo que tenemos la serie Para encontrar la serie de cos(2x) simplemente sustituimos la x en la serie de cos(x) por 2x y obtenemos lo siguiente

Ejemplo 2 Encuentre una serie de Maclaurin para

Utilizando la serie vemos que el exponente de la x se incrementará en 2 y que por tener e un exponente negativo tendremos una serie alternante, obteniendo así la serie para la función de la siguiente manera

Ejemplo 3 Las series de Maclaurin nos pueden ser útiles para encontrar integrales de los cuales no podemos sacar primitiva Evalúe la integral utilizando series

Basandonos en la serie

construimos la serie para

Lo que nos interesa es el integral, entonces lo que haremos es integrar la serie

Con ayuda de esta serie ya podemos evaluar una integral definida de la función

Error de Propagación

Supóngase que se tiene una función f(u). Considere que ũ es una aproximación de u (ũ = u+h, con h tamaño de paso). Por lo tanto, se podría evaluar el efecto de la discrepancia entre u y ũ en el valor de la función.

Si u es cercana a ũ y f(u) es continua y diferenciable:

Estabilidad y Condición: La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios en los datos de entrada. Un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de entrada aumentan considerablemente por el método numérico. Usando la serie de Taylor de primer orden:

Estimando el error relativo de f(x) como en:

El error relativo de x está dado por:

Un número condicionado puede definirse como la razón de estos errores relativos: Número Condicionado:

El número condicionado proporciona una medida de hasta qué punto la incertidumbre de x es aumentada por f(x): * Un valor de 1 nos indica que el error relativo de la función es idéntico al valor relativo de x. * Un valor mayor que 1 nos indica que el error relativo es amplificado.

* Un valor menor que 1 nos indica que el error relativo está disminuyendo.

Funciones con valores muy grandes nos dicen que están mal condicionados. El error numérico total es la suma de los errores numéricos de truncamiento y redondeo. Un camino para minimizar los errores de redondeo es incrementar el número de cifras significativas de la computadora. El error de truncamiento puede reducirse con un tamaño de paso más pequeño. Los errores de truncamiento pueden ser disminuidos cuando los de redondeo aumentan. No hay forma sistemática y general para evaluar el error numérico para todos los problemas.La estimación se basa en la experiencia y buen juicio del ingeniero. *

Evitar la resta de dos números casi iguales reordenando o reformulando el problema. * Aritmética de precisión extendida. * Clasificarlos y trabajar primero con los números más pequeños.

Para predecir el error numérico un buen camino es emplear la Serie de Taylor. Por último, se deben repetir los experimentos numéricos modificando el tamaño de paso y comparando los resultados.

Ejemplo 3 Forme la serie de Maclaurin para el sen x y demuestre que representa a sen x.

Como se repiten las derivadas en ciclos de cuatro la serie se puede expresar como:

Ya que

es

senx o

cosx, se sabe que

para toda x.

=

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