Derivadas 6t1b2b

Historia de la Derivada

Historia de la derivada El concepto de derivada fue desarrollado por Leibniz y Newton. Leibniz fue el primero en publicar la teoría, pero parece ser que Newton tenía papeles escritos (sin publicar) anteriores a Leibniz. Debido a la rivalidad entre Alemania e Inglaterra, esto produjo grandes disputas entre los científicos proclives a uno y otro país. Newton llegó al concepto de derivada estudiando las tangentes y Leibniz estudiando la velocidad de un móvil. La derivada es la herramienta más poderosa inventada por el hombre. El año de su invento se llama annus mirabilis, que fue el año en que Isaac Newton estableció la Teoría de la Gravitación Universal y el Cálculo Diferencial, y este "año maravilloso" fue el de 1666. (En rigor trabajó entre 1665 y 1666). Desde hace 2006 - 1666 = 340 años (suponemos que usted lee estos apuntes en el año 2006, conforme lo lea en años venideros efectué la resta pertinente) la herramienta matemática llamada derivada parece inmutable explicando la gran parte de los fenómenos de la naturaleza. La derivada como tal, paradójicamente, no existe en la naturaleza, es un invento del cerebro humano que sirve para explicar el desarrollo dinámico de la mayoría de los fenómenos naturales. Históricamente la derivada sirvió para el estudio de la posición dinámica de un objeto a través del tiempo. Esto es si la posición de un objeto es conocida en cualquier momento entonces podemos conocer la velocidad de su desplazamiento.

Derivada de una Función Real

LA DERIVADA DE UNA FUNCION REAL La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje de un plano cartesiano de dos dimensiones. La derivada es un concepto que tiene muchas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de física, química y biología, o en ciencias sociales como la economía y la sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación. Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente.

La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente.

Notaciones para la derivada de una función Si

es una función derivable en un intervalo

medio del cual se obtiene nombre de función derivada.

para los que exista

a. b. c.

, da origen a una nueva función que recibe el

.

Por ejemplo, si

Si denotarse por:

, el proceso por

está formado por todos los números del dominio de

El dominio de

únicamente para

,

con

entonces

está definida

. con

una función derivable entonces la derivada de f puede

que se lee: derivada de f(x) respecto a x. que se lee: derivada de "y" respecto a x. que se lee: "y" prima.

Derivada como Límite

LA DERIVADA COMO UN LIMITE Definición: La derivada de una función F, es aquella función que denotada por F´, cuyo valor es un número cualquiera x del dominio de F, de este modo, queda constituida de la siguiente manera la derivada como una función:

,

Ejemplos: Utilizando la definición de derivada de una función, determinar la derivada de cada una de las funciones cuyas ecuaciones son:

1. Se debe calcular el

La expresión Así Luego:

indica que la función

debe evaluarse en

.

Por tanto, si

2.

En este caso Luego:

entonces

Si

3.

En este caso Luego:

entonces

entonces

Si

Continuidad y derivabilidad Vamos ahora a relacionar la continuidad con la derivabilidad de una función

en un punto

, por medio del siguiente teorema.

Teorema

Si una función

es derivable en un punto

, entonces

es continua en

.

El recíproco de este teorema no es cierto. Es decir, el hecho de que una función sea continua en un punto no implica que sea derivable en él. Antes de estudiar algunos ejemplos, necesitamos conocer las siguientes definiciones sobre derivadas laterales. Definición

Si

es una función continua definida en

1. La derivada por la derecha, que se denota

, entonces: , se define por la igualdad:

, siempre que el límite exista. 2. La derivada por la izquierda, denotada

, se define por la igualdad:

, siempre que el límite exista.

Como consecuencia de la definición de derivada, se tiene que existe si y solo si existen las derivadas laterales y ambas son iguales. Así: Existe Ejemplos:

1. Consideremos la función Vamos a determinar si

definida por: es continua en 1 y si

existe.

Para lo primero tenemos que: a. b.

existe pues Como

,y

entonces Luego

es continua en

pues

Para lo segundo determinaremos las derivadas laterales. a.

b.

Como

entonces

Luego, se ha comprobado que aunque es derivable en .

no existe. es continua en

se tiene que

no

La representación gráfica de la función es la siguiente:

Note que en la gráfica de tiene un "pico", siendo precisamente en donde no es derivable la función.

2.

la

Sea

Determinemos si

función

con

existe y si

ecuación:

es continua en

Calculemos las derivadas laterales

a. b.

Luego

por lo que

no es derivable en

Probemos ahora si f es continua en a. b.

Entonces

existe pues

; y

es continua pero no es derivable en

.

La representación gráfica de la función es la siguiente:

Note que la gráfica tiene una tangente vertical en (0,0) El hecho de que no sea derivable en cero, está relacionado con el hecho de que una recta vertical no tiene pendiente.

la función con ecuación: 3. Sea Determinemos si esta función es continua y derivable en

. Se tiene que

existe pues Como y Entonces continua en

existe y además .

Estudiemos ahora las derivadas laterales:

a.

, por lo que

es una función

b.

entonces

Como

no existe.

Nuevamente, aunque una función sea continua en un punto esto no garantiza que sea derivable en él. La representación gráfica de esta función es la siguiente:

Note que nuevamente la recta tangente a la curva en vertical.

Ejercicios resueltos: Resuelve las siguientes derivadas aplicando definición 1. f ( x ) = 3 x 2 + 4 2

(

)

3( x + ∆x ) + 4 − 3 x 2 + 4 ∆x →0 ∆x 2 3 x + 2 x∆x + ∆x 2 + 4 − 3 x 2 − 4 f ' ( x ) = Lim ∆x → 0 ∆x 2 3 x + 6 x∆x + 3∆x 2 + 4 − 3 x 2 − 4 f ' ( x ) = Lim ∆x → 0 ∆x 6 x∆x + 3∆x 2 f ' ( x ) = Lim ∆x → 0 ∆x f ' ( x ) = Lim

(

)

es una línea

∆x(6 x + 3∆x ) ∆x f ' ( x ) = Lim(6 x + 3∆x )

f ' ( x ) = Lim ∆x → 0

∆x → 0

f ' ( x ) = 6 x + 3(0 )

f ' (x ) = 6 x 2. f ( x ) =

1 x

f ' ( x ) = Lim

∆x→ 0

f ' ( x ) = Lim

∆x→ 0

f ' ( x ) = Lim

∆x→ 0

f ' ( x ) = Lim

∆x→ 0

1 1 − x + ∆x x ∆x x − (x + ∆ x ) x (x + ∆ x ) ∆x x − x − ∆x x (x + ∆ x ) ∆x − ∆x x (x + ∆ x ) ∆x

f ' ( x ) = Lim

− ∆x ∆ x . x .(x + ∆ x )

f ' ( x ) = Lim

−1 x (x + ∆ x )

∆x→ 0

∆x→ 0

f ' (x ) =

−1 x (x + 0 )

f ' (x ) = −

1 x2

3. f ( x ) = x 2 + x f ' ( x ) = Lim

(x + ∆ x )2

+ (x + ∆ x ) − ∆x

( x + ∆ x )2

+ (x + ∆ x ) −

∆x→ 0

(

f ' ( x ) = Lim

∆x→ 0

∆ x.

( f ' ( x ) = Lim ∆x→ 0

(

x2 + x

)(

( x + ∆ x )2 + ( x + ∆ x ) + ( x + ∆ x )2 + ( x + ∆ x ) + x 2 + x x2 + x .

)

( x + ∆ x )2 + ( x + ∆ x ) − ( 2 ∆ x . (x + ∆ x ) + (x + ∆ x ) + 2

(

( x + ∆ x )2 + ( x + ∆ x ) − (x 2 2 ∆x→ 0 ∆ x . (x + ∆ x ) + (x + ∆ x ) +

f ' ( x ) = Lim

(

∆x→ 0

∆ x.

f ' ( x ) = Lim

∆x→ 0

∆ x.

f ' ( x ) = Lim

∆x → 0

f ' (x ) =

(

∆ x.

(

( x + ∆ x )2

f ' (x ) =

x2 + x + x

)

2

x + x

+ (x + ∆ x ) +

(

( x + ∆ x )2

+ (x + ∆ x ) +

( x + ∆ x )2

+ (x + ∆ x ) +

2x + 0 + 1 2

(x + 0 )

+ (x + 0 ) +

2x + 1 2

x2 + x

(2 x + 1)

x2 + x

.

2 x2 + x

x2 + x

(2 x + 1 ).

x2 + x 2 x + x

(

2

)

x2 + x

)

)

) )

x2 + x

)

x2 + x

)

∆ x (2 x + ∆ x + 1 )

(

2

x2 + x

2 x∆ x + ∆ x 2 + ∆ x

x + x +

f ' (x ) =

)

x 2 + 2 x∆ x + ∆ x 2 + x + ∆ x − x 2 − x

f ' ( x ) = Lim

f ' (x ) =

x2 + x

)

x2 + x

)

Teoremas de Derivación

TEOREMAS DE DERIVACION Hallar la derivada de una función aplicando la definición de derivada es un proceso largo y la mayoría de las veces bastante tedioso. Afortunadamente existen varias propiedades en la derivación de funciones que los matemáticos han descubierto y establecido como teoremas. Algunos de estos teoremas son generales, aplicables a cualquier función, y otros sólo se aplican a funciones particulares. A continuación se enuncian algunos de los teoremas más importantes (se nombran enumerándolos consecutivamente para facilitar una futura referencia a ellos): Nota: se supone, obviamente, que las funciones a las que hacen referencia los teoremas son diferenciables, esto es, que tienen derivada. El proceso que hemos utilizado hasta ahora para determinar la derivada de una función, se denomina derivación; correspondiente a la definición de derivada. Es necesario para resolver problemas donde interviene la derivada, tener un método que nos permita resolverlas rápidamente, corresponden a los teoremas, los cuales se aplican para derivar un gran número de funciones sin tener que recurrir a la definición de derivada. Veamos estos teoremas: Teorema 1: Derivada de una función constante. La derivada de una constante es igual a cero.

Simbólicamente: f(x) = k

Ejemplos: Si f(x) = 7

⇒ f’(x)= 0

Si f(x) = √2

⇒ f’(x)= 0

Si f(x) = -1/3

⇒ f’(x)= 0

⇒ f’(x) = 0 ; k es constante.

Teorema 2: Derivada de la función identidad. La derivada de una función identidad es igual a uno. Simbólicamente: Si f(x) = x

⇒ f’(x) = 1

Ejemplos Si f(x) = x

⇒ f’(x) = 1

Si f(a) = a ⇒ f’(a) = 1 Si f(y) = y

⇒ f’(y) = 1

Teorema 3: Derivada de la función potencia. La derivada de una función potencia, es igual a la potencia multiplicada por la base elevada al exponente menos uno. Simbólicamente: Si f(x) = xⁿ

⇒ f’(x) = nxⁿ¯

Ejemplos Si f(x) = x³

⇒ f’(x) = 3x³¯¹ ⇒ aplicando el teorema 3

⇒ f’(x) = 3x² ⇒ solución Si f(x) = x¾

⇒ f’(x) = 3/4x¾¯¹ ⇒ aplicando el teorema

⇒ f’(x) = 3/4x¯¼ ⇒ solución Si f(x) = √x

⇒ f(x) = x½ ⇒ Transformando la raíz en exponente fraccionario

⇒ f’(x) = ½ x½¯¹ ⇒ aplicando el teorema ⇒ f’(x) = ½x¯½ ⇒ solución Teorema 4: Derivada de una Constante por una Función. La derivada de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función. Simbólicamente: Si Q(x) = cf(x) ⇒ Q’(x) = cf’(x)

Ejemplos Si Q(x) = 5x donde c=5 y f(x) = x Entonces Q’(x) = 5x’ Q’(x) = 5(1) x1-1 Q’(x) = 5x0

⇒ Teorema de la función potencia

⇒ Resolviendo la resta y el producto

Q’(x) = 5(1) ⇒ Aplicando la propiedad de potencia Q’(x) = 5

⇒ Resolviendo el producto

∴ Q’(x) = 5 ⇒ Solución Si Q(x) = 2/x² , x

≠ 0 donde c = 2 y f(x) = x¯²

En primer lugar subimos el denominador cambiando su signo respectivo; como se muestra: Q(x) = 2x¯²

⇒ Ahora

Q’(x) = 2(x¯²)’ Q’(x) = (-2)(2)x¯²¯¹ Q’(x) = -4x¯³

⇒ Teorema función potencia

⇒ Resolviendo la resta y el producto

∴ Q’(x) = -4x¯³ ⇒ Solución Teorema 5: Derivada de una suma algebraica de funciones. La derivada de una suma algebraica es igual a la suma algebraica de las derivadas. Simbólicamente: P(x) = f(x) + g(x) ⇒ P’(x) = f’(x) + g’(x) Ejemplos Si P(x) = x2+2x Donde: f(x) = x2 y g(x) = 2x Entonces: P’(x) = (x²+2x)’ P’(x) = (x²)’+(2x)’ → Aplicando el teorema de la suma

P’(x) = 2x²¯¹+(1) (2)x¹¯¹ → Aplicando el teorema de la potencia y el teorema de la constante por una función. P’(x) = 2x+2

→ Aplicando las operaciones

∴ Se tiene: P’(x) = 2x+2 → Solución Teorema 6: Derivada del producto de funciones. La derivada del producto de dos funciones es igual a la primera por la derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera.

Simbólicamente: P(x) = f(x) . g(x)

⇒ P’(x) = f(x) . g’(x) + g(x) . f’(x)

Ejemplos Hallar la derivada de P(x) = (3x-2x²) (5+4x) Entonces: p’(x) = (3x-2x²) (5+4x)’+ (5+4x) (3x-2x²)’ → Aplicando el teorema 6 p’(x) = (3x-2x²)4 + (5+4x) (3-4x) → Aplicando los teoremas de una función constante y de una función potencia. P’(x) = 12x-8x² + 15-20x+12x-16x² → Efectuando los productos P’(x) = 4x-24x² + 15 → Efectuando las operaciones

∴ P’(x) = -24x² + 4x + 15 → Solución Hallar la derivada de P(x) = 5x¯² (x+3) Entonces: P’(x) = 5x¯² (x+3)’+(x+3) (5x¯²)’ → Aplicando el teorema 6 P’(x) = (5x¯²) (1) + (x+3)(-2)(5)x¯³ → Aplicando el teorema de la función potencia e identidad. P’(x) = 5x¯² + (x+3)(-10x¯³) → Efectuando las operaciones indicadas P’(x) = 5x¯² -10x-2 - 30x¯³ → Efectuando el producto respectivo

∴ P’(x) = - 30x¯³ - 5x¯²→ Solución

Teorema 7: Derivada del cociente entre dos funciones. La derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador por la derivada del numerador, menos el numerador por la derivada del denominador, dividido por el denominador al cuadrado. Simbólicamente:

Ejemplos:

1.

con

2.

con

3.

con

Teorema 8: Derivada de la función seno Si f(x) = Sen x, entonces f’(x) = Cos x Ejemplos Sea f(x) = 3Sen x, hallar f’(x) f’(x) = 3(Sen x)’ → Aplicando el teorema f’(x) = 3Cos x → Solución Sea f(x) = 5x+Senx, Hallar f’(x) f’(x) = (5x)’+(Senx)’→ Teorema de una suma algebraica de funciones f’(x) = 5+Cos x → Solución f’(x) = Cos x + 5

f(x) = 4x2 Sen x. Hallar f’(x). f’(x) = 4x2 (Sen x)’ + Sen x (4x2)’ → Teorema del producto f’(x) = 4x2 Cos x + 8xSen x → Solución Teorema 9: Derivada de la función coseno Si f(x) = Cos x entonces f’(x) = -Sen x

Ejemplos Sea f(x) = 2 Cos (2x). Hallar f’(x) f’(x) = 2(Cos 2x)’ → Aplicando el teorema f’(x) = 2(-Sen 2x) (2x)’ → Regla de la cadena f’(x) = -4Sen 2x → Derivada de una constante por una función. f’(x) = -4Sen 2x

→ Solución

Sea f(x) = Cos 3x. Hallar f’(x) f’(x) = (Cos 3x)’ → Aplicando el teorema f’(x) = -Sen 3x (3x)’ → Regla de la cadena f’(x) = -3Sen 3x → Derivada de una constante por una función. f’(x) = -3Sen 3x → Solución Teorema 10. Derivada de la función tangente Si f(x) = tg x entonces f’(x) = Sec² x Ejemplos Sea f(x) = Sen(tgx). Hallar f’(x) Entonces f’(x) = Cos(tgx) (tgx)’ → Aplicando teorema del seno y regla de la cadena f’(x) = Cos(tgx) (Sec²x) →Aplicando el teorema de la derivada de la función tangente. f’(x) = Cos (tgx) (Sec² x) →Solución Sea f(x) = 3tg4x. Hallar f’(x). Entonces: f’(x) = (3tg4x)’ → Aplicando el teorema de la función tangente f’(x) = 3 Sec² 4x (4x)’ → Aplicando regla de la cadena

f’(x) = 3 Sec² 4x (4) → Aplicando teorema de la derivada de una constante por una función f’(x) = 12 Sec² 4x → Solución Teorema 11. Derivada de la función Secante Si f(x) = Sec x entonces f’(x) = Secx tgx Ejemplos Sea f(x) = Sec 5x. Hallar f’(x) Solución: f’(x) = 5tg5x Sec5x → Aplicando directamente el teorema f’(x) = 5tg5x Sec5x → Solución Sea f(x) = (1+Secx )³. Hallar f’(x) Entonces: f’(x) = [(1+Secx)³]’ f’(x) = 3(1+Secx)² (1+Secx)’ → Aplicando regla de la cadena y derivada de la función potencia f’(x) = 3(1+Secx)² [(1)’+(Secx)’] → Derivada de una suma algebraica de funciones f’(x) = 3(1+Secx)² [0+Secx tgx] → Derivada de una constante y de la secante f’(x) = 3(1+Secx)² (Secx tgx) → Solución Teorema 12. Derivada de la función Cosecante Si f(x) = cscx entonces f’(x) = -cscx cotx

Ejemplos: Sea f(x) = csc(2x)tgx. Hallar f’(x) Solución: f’(x) = csc(2x)(tgx)’ + tgx [csc2x]’ → Derivada del producto f’(x) = csc 2x Sec² x + tgx [-csc 2x cot 2x](2x)’ → Derivada de la función tangente y cosecante f’(x) = csc 2x Sec² x + 2tgx [-csc 2x cot 2x] → Derivada de una constante por una función f’(x) = csc 2x Sec² x - 2tgx csc 2x cot 2x → Solución Sea f(x) = csc² 5x + Senx. Hallar f’(x) f’(x) = (csc²5x)’ + (Sen x)’ → Derivada de una suma algebraica de funciones f’(x) = 2csc 5x (5x)’ + Cos x → Derivada de una función potencia, seno y regla de la cadena. f’(x) = 10 csc 5x + Cos x → Derivada de una constante por una función f’(x) = 10 csc 5x + Cos x → Solución Teorema 13. Derivada de la función cotangente Si f(x) = Cot x entonces f’(x) = -csc2 x Ejemplos: Sea f(x) = 3 csc x – 5 cot x. Hallar f’(x) f’(x) = 3(csc x)’ - 5(cot x)’ → Derivada de una suma algebraica de funciones f’(x) = 3(-csc x cot x) - 5(-csc²x) → Derivada de la función cosecante y cotangente f’(x) = -3 csc x cot x - 5 csc² x → Solución

Ejercicios resueltos de los Teoremas de derivación Resuelve las siguientes derivadas 1. f ( x ) = 3 x 4 − 5 x 2 − 4 x + 6

( ) ( ) '

'

'

'

f ' ( x ) = 3 x 4 − 5 x 2 − (4 x ) + (6 ) f ' ( x ) = 13 x 3 − 10 x − 4

(

)(

)

(

)(

) (

(

)(

) (

2. f ( x ) = x 3 − 4 x . 5 x 2 − 4

'

)(

f ' (x ) = x 3 − 4 x 2 . 5x 2 − 4 + x 3 − 4 x 2 . 5 x 2 − 4

)

f ' ( x ) = 3 x 2 − 8 x . 5 x 2 − 4 + x 3 − 4 x 2 .(10 x ) f ' ( x ) = 15 x 4 − 12 x 2 − 40 x 3 + 32 x + 10 x 4 − 40 x 3 f ' ( x ) = 25 x 4 − 80 x 3 − 12 x 2 + 32 x

3. f ( x ) = 3 x 4 − 2 6 − 7 x −1 + 3 x

f ' (x ) = x

4

3

− 2 x 3 − 7 x −1 + 3 x

f ' (x ) =

4 43 −1 x − 6 x 2 + 7 x −2 + 3 3

f ' (x ) =

4 13 x − 6 x 2 + 7 x −2 + 3 3

f ' (x ) =

43 7 x − 6x 2 + +3 3 x

)

'

4. f ( x ) =

2x3 − 4x 5x 4 − 6

(5x f ' (x ) = (5x f ' (x ) = f ' (x ) =

f ' (x ) =

4

)(

) (

(5x 4

)(

'

'

− 6 . 2 x 3 − 4 x − 5x 4 − 6 . 2 x 3 − 4 x

)(

4

−6

)

) (

)(

'

− 6 . 6 x 2 − 4 − 20 x 3 . 2 x 3 − 4 x

(5x

4

−6

)

2

)

)

2

30 x 6 − 20 x 4 − 36 x 2 + 24 − 40 x 6 + 80 x 4

(5x

4

−6

)

2

− 10 x 6 + 60 x 4 − 36 x + 24

(5x

4

−6

)

2

Teorema de derivación de funciones trigonométricas 1. f ( x ) = 3 x 4 Senx

( )

( )

'

'

f ' ( x ) = 3 x 4 .(Senx ) + 3 x 4 .(Senx ) f ' ( x ) = 12 x 3 Senx + 3x 4 Cosx

2. f ( x ) = 3Secx − 4 x 3Cosx +

7 6 x 3

7  f ' ( x ) = (3Secx ) − 4 x Cosx +  x 6  3  '

(

'

[(

f ' ( x ) = (3Secx ) − 4 x

[

'

)

3

)

3 '

7  .(Cosx ) + 4 x .(Cosx ) +  x 6  3 

( ) 3

'

]

]

f ' ( x ) = 3SecxTagx − 12 x 2 Cosx + 4 x 3 (− Senx ) +

f ' ( x ) = 3SecxTagx + 12 x 2Cosx + 4 x 3 Senx + 14 x 5

42 5 x 3

'

3. f ( x ) =

5 x 2 + Tgx 4 x 3 − Senx

(4 x f ' (x ) =

3

(4 x

3

f ' (x ) =

)(

) (

)(

'

'

− Senx . 5 x 2 + tgx − 4 x 3 − Senx 5 x 2 + Tagx 4 x 3 − Senx

(

)

)

)(

) (

)(

'

'

− Senx . 10 x + Sec 2 x − 4 x 3 − Senx 5 x 2 + Tagx 4 x 3 − Senx

(

)

)

f ' (x ) =

40 x 4 + 4 x 3 Sec 2 x − 10 xSenx − SenxSec 2 x − 60 x 4 − 12 x 2Tagx + 5 x 2 Cosx + CosxTagx 4 x 3 − Senx

f ' (x ) =

− 20 x 4 + 4 x 3 Sec 2 x − 10 xSenx − SenxSec 2 x − 12 x 2Tagx + 5 x 2 Cosx + CosxTagx 4 x 3 − Senx

(

(

)

)