DERET ARITMATIKA & GEOMETRI

Oleh: Wanda Maya Sari

DERET : JUMLAH DARI BARISAN BILANGAN BARISAN : SUSUNAN BILANGAN YANG MEMPUNYAI ATURAN TERTENTU DERET ARITMATIKA

Bentuk Umum: 𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + … + 𝑈𝑛 di mana: 𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3 , … , 𝑈𝑛 adalah barisan aritmatika, atau 𝑎, (𝑎 + 𝑏), (𝑎 + 2𝑏), … , (𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏)

DERET GEOMETRI Bentuk Umum: 𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + … + 𝑈𝑛 di mana: 𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3 , … , 𝑈𝑛 adalah barisan geometri, atau 𝑎, 𝑎𝑟 , 𝑎𝑟 2 , … , (𝑎𝑟 𝑛−1 )

DERET ARITMATIKA Rumus: 𝑛 𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑈𝑛 atau, 2 𝑛 𝑆𝑛 = 2𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏 2 di mana:

𝑎 𝑏 𝑆𝑛 𝑛

= suku pertama = beda/selisih, dengan 𝑏 = 𝑈𝑛 − 𝑈n−1 = Jumlah n suku pertama = banyaknya suku

DERET GEOMETRI Rumus: 𝑎(1 − 𝑟 𝑛 ) 𝑆𝑛 = dengan 𝑟 ≠ 1; 𝑟 ≠ 0 1−𝑟

di mana: 𝑟 = rasio, dengan 𝑟 =

𝑈𝑛 𝑈𝑛−1

Deret Geometri Tak Hingga: 𝑆∞ = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + … Jika: 𝑟 >0 barisan divergen (tidak ada limit jumlah) 𝑟 <1

barisan konvergen

𝑎 𝑆∞ = 1−𝑟

CONTOH SOAL (1) Tempat duduk gedung diatur mulai dari baris depan ke belakang dengan banyak baris di belakangnya lebih 4 kursi dari baris di depannya. Bila dalam gedung terdapat 15 baris kursi dan baris terdepan terdapat 20 kursi, kapasitas gedung tersebut adalah… Solusi: Persoalan Deret Aritmatika 𝑏=4 𝑛 = 15 𝑎 = 20 𝑆𝑛 … ?

15 𝑆𝑛 = 2(20) + 15 − 1 4 2 𝑆𝑛 =

𝑛 𝑆𝑛 = 2𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏 2

15 40 + 56 2

𝑆𝑛 = 15 20 + 28 𝑆𝑛 = 15 48 𝑆𝑛 = 720

CONTOH SOAL (2) Diketahui suku ke-3 dan suku ke-6 suatu deret aritmatika berturut-turut adalah 8 dan 17. Jumlah 8 suku pertama deret tersebut adalah…? Persoalan Barisan & Deret Aritmatika 𝑆8 … ? 𝑈3 = 𝑎 + 2𝑏 = 8 𝑎 = 8 − 2𝑏 … (1) 𝑈6 = 𝑎 + 5𝑏 = 17 … 2 Substitusi (1) ke (2)

8 − 2𝑏 + 5𝑏 = 17 3𝑏 = 17 − 8 𝑏=3 Dari (1) 𝑎 =8−2 3 =2 𝑆8 = 4(2 2 + 7 3 ) 𝑆8 = 4(4 + 21) 𝑆8 = 100

CONTOH SOAL (3) Seorang pemetik kebun jeruk mencatat banyaknya jeruk yang dipetik pada hari ke-n memenuhi rumus 𝑈𝑛 = 50 + 25𝑛. Jumlah jeruk yang telah dipetik selama 10 hari pertama adalah…? Persoalan Barisan & Deret Aritmatika 𝑆10 … ? 𝑈𝑛 = 50 + 25𝑛 10 𝑎 + 𝑈𝑛 2 𝑎 = 50 + 25 1 = 75

𝑆10 =

𝑈1𝑜 = 50 + 25 10 = 300 10 75 + 300 2 = 5 75 + 300 = 5 375 = 1875 𝑏𝑢𝑎ℎ

𝑆10 = 𝑆10 𝑆10

CONTOH SOAL (4) Diketahui 𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3 , … , 𝑈𝑛 adalah barisan aritmatika dengan suku-suku positif. Jika 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 = 24 dan 𝑈12 = 𝑈3 − 10, maka nilai 𝑈4 adalah… Persoalan Barisan & Deret Aritmatika 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 = 3𝑎 + 3𝑏 = 24 24−3𝑏 𝑎 = 3 = 8 − 𝑏 … (1) 𝑈12 = 𝑈3 − 10 = 𝑈12 − 𝑈3 = 𝑎2 − 𝑎 + 2𝑏 = 𝑎2 − 𝑎 − 2𝑏 = −10 … (2)

Substitusi (1) ke (2) (8 − 𝑏)2 − (8 − 𝑏) − 2𝑏 = −10 64 − 16𝑏 + 𝑏2 − 8 + 𝑏 − 2𝑏 = −10 𝑏2 − 17𝑏 + 66 = 0 𝑏 − 6 𝑏 − 11 = 0; 𝑏 = 6 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑏 = 11 Periksa nilai a: 𝑎 = 8 − 6 = 2 (𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢ℎ𝑖) jadi, 𝑏 = 6 𝑈4 = 𝑎 + 3𝑏 = 2 + 18 = 20

CONTOH SOAL (5) Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah sama besar. Bila keuntungan sampai bulan ke-4 Rp 30.000, dan sampai bulan ke-8 Rp 172.000, maka keuntungan sampai bulan ke-18 adalah… Persoalan Barisan & Deret Aritmatika 𝑆18 … ? 𝑆4 = 2 2𝑎 + 3𝑏 = 30.000 = 2𝑎 + 3𝑏 = 15.000 2𝑎 = 15.000 − 3𝑏 … (1) 𝑆8 = 4 2𝑎 + 7𝑏 = 172.000 = 2𝑎 + 7𝑏 = 43.000 … (2) Substitusi (1) ke (2) 15.000 − 3𝑏 + 7𝑏 = 43.000

−3𝑏 + 7𝑏 = 43.000 − 15.000 4𝑏 = 28.000 ; 𝑏 = 7000 Dari (1): 2𝑎 = 15.000 − 21.000 6000 𝑎=− = −3000 2 18 𝑆18 = 2 −3000 + 17 7000 2 𝑆18 = 9 −6000 + 119.000 = 𝑅𝑝 1.017.000

CONTOH SOAL (6) Seutas tali dipotong menjadi 5 bagian sehingga panjang tiap-tiap potongan itu membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan terpendek 6 cm dan potongan terpanjang adalah 96 cm, maka panjang tali semula adalah? Persoalan Barisan & Deret Geometri 6 1 − 25 𝑆5 = 1−2

𝑆5 … ? 𝑎=6 𝑈5 = 𝑎𝑟 4 = 96 6𝑟 4 = 96 𝑟 4 = 16 ; 𝑟=2

𝑟=

𝑆5 = 4

16

6 1 − 32 −1

𝑆5 = 186 𝑐𝑚

CONTOH SOAL (7) Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian ¾ kali tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti. Jumlah panjang seluruh lintasan bola adalah… Persoalan Barisan & Deret Geometri tak hingga 𝑆∞ = 2 3 𝑎 = 10 𝑚 ; 𝑟 = 𝑆∞ … ? 4 Deret Konvergen. 𝑎 𝑆∞ = 1−𝑟 Deret yang terbentuk adalah dua kali deret, karena terjadi lintasan pantulan bola, juga dikurangi tinggi awalnya.

𝑎 2𝑎 −𝑎 = −𝑎 1−𝑟 1−𝑟

2(10) 20 𝑆∞ = − 10 = − 10 3 1 1−4 4 𝑆∞ = 80 − 10 = 70 𝑚

CONTOH SOAL (8) Jumlah suatu deret geometri tak hingga dengan suku pertama 𝑎 dan rasio 𝑟 dengan 0 < 𝑟 < 1 adalah 𝑆. Jika suku pertama tetap dan rasio berubah menjadi 1 − 𝑟, maka jumlah deretnya menjadi…? Persoalan Barisan & Deret Geometri tak hingga Karena 0 < 𝑟 < 1, maka barisan konvergen. 𝑎 𝑆= 1−𝑟 Karena 𝑎 tetap dan rasio berubah, maka: 𝑎 = 𝑆(1 − 𝑟) , dan 𝑟 = 1 − 𝑟

𝑆′ =

𝑎 𝑆 1−𝑟 = 1−𝑟 1− 1−𝑟

𝑆 1−𝑟 𝑆′ = 𝑟

𝑆′ = 𝑆

1 −1 𝑟

CONTOH SOAL (9) Jumlah deret tak hingga adalah 7, sedangkan jumlah suku-suku yang bernomor genap adalah 3. suku pertama deret tersebut adalah? Persoalan Deret Geometri tak hingga (Konvergen)

Untuk 𝑆∞𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 , perhatikan suku-suku genap

𝑆∞ = 7

𝑆∞𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 = 1−𝑟 2 = 3

;

𝑆∞𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 = 3 ; 𝑎 … ?

𝑆∞ = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + 𝑎𝑟 3 + 𝑎𝑟 4 +𝑎𝑟 5 + 𝑎𝑟 6 + … 𝑎 𝑆∞ = =7 1−𝑟 7 1 − 𝑟 = 𝑎 … (1)

𝑎 = 𝑎𝑟

;

𝑏= 𝑎𝑟

𝑎𝑟 3 𝑎𝑟

= 𝑟2 ; 3(1 − 𝑟 2 ) = 𝑎𝑟 … (2)

Substitusi (1) ke (2) 3(1 − 𝑟 2 ) = 7 1 − 𝑟 𝑟 3 − 3𝑟 2 = 7𝑟 − 7𝑟 2 ; 4𝑟 2 − 7𝑟 + 3 = 0 4𝑟 − 3 𝑟 − 1 = 0 ; 𝑟 = 3/4 atau 𝑟 = 1 Periksa nilai 𝑟 dari (1).

Untuk 𝑟 = 1 (tidak memenuhi) 𝑎 =7 1−1 =0 𝑟 = 3/4 𝑎 = 7 1 − 3/4 𝑎 = 3/4

CONTOH SOAL (10) Diketahui 𝑥1 dan 𝑥2 merupakan akar-akar persamaan 𝑥 2 + 5𝑥 + 𝑎 = 0 dengan 𝑥1 dan 𝑥2 ≠ 0. jika 𝑥1 , 2𝑥2 , dan −3𝑥1 𝑥2 merupakan masing-masing suku pertama, kedua, ketiga deret geometri dengan rasio positif, maka nilai 𝑎 adalah? Persoalan Deret Geometri

Dari persamaan: 𝑎 = 1 ; 𝑏 = 5; 𝑐 = 𝑎 rumus jumlah dan hasil kali akar-akar: 𝑏 𝑐 𝑥1 + 𝑥2 = − ; 𝑥1 . 𝑥2 = 𝑎 𝑎 5 𝑥1 + 𝑥2 = − = −5 1 𝑥2 = −5 − 𝑥1 … (1)

𝑥1 . 𝑥2 =

𝑎 = 𝑎 … (2) 1

𝑥1 + 2𝑥2 + −3𝑥1 𝑥2 2𝑥2 −3𝑥1 𝑥2 = 𝑥1 2𝑥2 4𝑥22 = −3𝑥12 𝑥2 4𝑥2 = −3𝑥12 … (3) 𝑟=

Substitusi (1) ke (3) 4 −5 − 𝑥1 = −3𝑥12 3𝑥12 − 4𝑥1 − 20 = 0 3𝑥1 − 10 𝑥1 + 2 = 0 10 𝑥1 = 3 atau 𝑥1 = −2 10

25

𝑥2 = −5 − 3 = − 3 (tidak memenuhi) 𝑥2 = −5 − −2 = −3 (memenuhi) Dari (2) 𝑎 = 𝑥1 . 𝑥2 = −2 −3 = 6

KESIMPULAN DARI PERSOALAN DERET ARITMATIKA & GEOMETRI

Model soal yang sering muncul adalah: -Menentukan suku ke-n dari suatu deret berdasarkan suku ke-n lainnya. -Menentukan jumlah ke-n dari deret jika diketahui beberapa suku ke-n

TERIMA KASIH