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Fundamentos del análisisppppppp La aritmética de números enteros, racionales, irracionales y complejos Un suplemento a los libros de texto sobre el cálculo diferencial e integral

PREFACIO PARA EL ESTUDIANTE 1. Por favor, no leas el prefacio del Maestro. 2. Le pediré solo la habilidad de leer inglés y pensar lógicamente --- no hay matemáticas en el bachillerato, y ciertamente no hay matemáticas avanzadas. Para evitar discusiones: Un número, ningún número, dos casos, todos los objetos de una totalidad dada, etc. son frases completamente inequívocas. ¨Teorema 1¨ ¨Teorema 2¨ ... ¨Teorema 301¨ (y similares en el caso de axiomas, definiciones, capítulos y secciones) y también ¨1) ¨, ¨2) ¨ (usado para distinguir casos) son simplemente etiquetas para distinguir los diversos teoremas, axiomas, definiciones, capítulos, secciones y casos, y son más convenientes a los fines de referencia que si tuviera que hablar, por ejemplo, de "Teorema azul claro", "teorema azul oscuro" y así Hasta ¨301¨, de hecho, habría dificultades para introducir los llamados enteros positivos. La primera dificultad, superada en el capítulo 1, radica en la totalidad de los enteros positivos. 1,… Con la misteriosa serie de puntos después de la coma (en el Capítulo 1, se les llama números naturales), al definir las operaciones aritméticas sobre estos

números y en las pruebas de los teoremas pertinentes. Desarrollo el material correspondiente en cada uno de los capítulos a la vez: en el Capítulo 1, para los números naturales; en el Capítulo 2, para las fracciones positivas y los números racionales positivos; en el capítulo 3, para los números positivos (racionales e irracionales); en el capítulo 4, para los números reales (positivo, negativo y cero); y en el capítulo 5, para los números complejos; por lo tanto, hablo solo de los números que ya has tratado en la escuela secundaria. En esta conexión: 3. Por favor, olvida lo que has aprendido en la escuela; no lo has aprendido. Tenga en cuenta en todas partes las partes correspondientes de su trabajo escolar; no los has olvidado en realidad. 4. La tabla de multiplicar no se encuentra en este libro, ni siquiera el teorema 2*2=4; pero recomendaría, como ejercicio relacionado con el Capítulo 1, 4, que establezca las siguientes definiciones:

2=1+1; 4=(((1+1)+1)+1), y luego probar el teorema. 5. Perdóname por "verte" y "por ti". * Una razón para hacerlo es que este libro está escrito parcialmente en usum delphinarum: porque, como es bien sabido (véase E. Landau Vorlesungen uber Zahlentheorie, Vol. 1, pV), mis hijas han estado estudiando (Química) en la Universidad por varios semestres y piensa que han aprendido el cálculo diferencial e integral en la universidad; y sin embargo, todavía no saben por qué x*y=y*x

Capítulo 1 Numero Natural §1 Axiomas Suponemos lo siguiente a ser dado: Un conjunto (es decir, totalidad) de objetos llamados números naturales, que poseen las propiedades, llamadas axiomas, que se enumerarán a continuación. Antes de formular los axiomas, hacemos algunas observaciones sobre los símbolos = y + que se usarán. A menos que se especifique lo contrario, letras pequeñas en cursiva representarán números naturales a lo largo de este libro. Si se da x e y, entonces x e y son el mismo número; esto puede ser escrito: x=y (Donde el símbolo = se lee

*es igual a*)

También si, x e y no son el mismo número; esto puede ser escrito x#y En consecuencia, los siguientes enunciados son verdaderos por razones puramente lógicas: 1) 2) Si 3) Si

x=x por cada x. x =y entonces y =x. x=y además y=z entonces x=z.

Por lo tanto, una declaración como: a=b=c=d, lo que a primera vista significa simplemente que a=b, b=c, c=d. Contiene la información adicional que, por ejemplo; a=c, a=d, b=d.

Del mismo modo en los capítulos posteriores se va a trabajar. Ahora, suponemos que el conjunto de todos los números naturales tiene las siguientes propiedades: AXIOMA 1: 1 es un numero natural. Es decir, nuestro conjunto no está vacío; contiene un objeto llamado 1 (leer uno) AXIOMA 2: Para cada x existe exactamente un numero natural, llamado el sucesor de x, que se denotara por x prima. En el caso de números naturales complicados x, incluiremos entre paréntesis el numero cuyo sucesor debe anotarse, ya que de lo contrario podrían surgir ambigüedades. Haremos lo mismo a lo largo de este libro, en el caso de tener x+y, xy, x-y, -x, etc. Por lo tanto, si

x=y entonces x prima = y prima.

AXIOMA 3: Siempre se cumple que x prima #1. Es decir, no existe ningún numero cuyo sucesor sea el 1. AXIOMA 4: Si

x prima= y prima entonces x=y.

Es decir, para cualquier numero dado no existe ningún numero o exactamente un numero cuyo sucesor sea el numero dado. AXIOMA 5: Axioma de inducción, permita que se le dé un conjunto £ de números naturales, con las siguientes propiedades: 1) El uno pertenece a £ 2) Si x pertenece a £ entonces también lo hace x prima. Entonces £ contiene todos los números naturales.

§2 Adición TEOREMA 1:

Demostración: Sea £ el conjunto de todas las x para las que se cumple. Por el axioma 1 y por el axioma 3: Por lo cual 1 pertenece a £. Si x pertenece a £ entonces Y por tanto por el teorema 1 Así x prima pertenece a £ Por axioma 5, £ por tanto contiene todos los números naturales, es decir, tenemos que para cada x

Como se quería demostrar.

Si existe uno (por lo tanto, del axioma 4, exactamente uno) u tal que:

Demostración: Sea £ el conjunto que consiste en el número 1 y todas las x para las cuales existe un tal u. (Para toda x se cumple que x#1 por el axioma 3) Primero) 1 es un elemento del conjunto £. Segundo) Si x es un elemento del conjunto £, entonces, sea u denotado como el numero x, y se tiene que

De este modo x prima pertenece a £. Del axioma 5, £ contiene a todos los números naturales. Así, por lo tanto, para cada x que Existe un u tales que Teorema 4 y definición 1. A cada par de números x, y, podemos asignar exactamente de una manera un numero natural, llamado x+y (+ léase como ¨mas¨), tales que:

A x+y se le llama la suma de x con y, o el numero obtenido por la suma de y con x. Demostración