Curva De Nivel v2f2x

FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS, CURVA DE NIVEL, LIMITE , CONTINUIDADE DERIVADA PARCIAL

25/01/2012

1. FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS Definição 01: Uma função f de duas variáveis, x e y, é uma função regra que associa um único número real f(x,y) a cada ponto (x,y) de algum conjunto D no plano xy. EXEMPLO 01: A função expressa abaixo é uma função de duas variáveis.

Definição 02: Uma função f de três variáveis, x, y e z, é uma função regra que associa um único número real f(x,y,z) a cada ponto (x,y,z) de algum conjunto D no espaço tridimensional. EXEMPLO 02: A função expressa abaixo é uma função de duas variáveis.

2. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE ALGUMAS FUNÇÕES DE VARIAS VARIÁVEIS

z

x

y

x y

z = cos(x.y)

z = x² - y²

EXEMPLO 01: Esboce o domínio natural da função f(x,y) = ln(x² +y). EXEMPLO 02: Seja

f  x, y, z   1  x 2  y 2  z 2 . Determine f(0,1/2/-1/2) e o domínio natural de f.

Curvas de Superfície de Nível

Existe uma outra técnica gráfica, útil, para descrever o comportamento de uma função de duas variáveis. O método consiste em descobrir no plano xy os gráficos das equações f(x, y) = k para diferentes valores de k. Os gráficos obtidos desta maneira são chamados as curvas de nível da função f.

Curva de nível

tal que

.

z = f(x,y) = altura em relação ao nível do mar (definida em uma pequena porção aproximadamente plana). Nossas curvas de nível correspondem às linhas de contorno topográfico.

zx y 2

2

z=9 z=4 z=2

z=0

2.

As curvas de nível são os gráficos das equações

.

z  x2  y2



EXEMPLO 01: Esboce o mapa de contorno de f(x,x) = x² + y² usando as curvas de níveis de altura K = 1, 2, 3, 4, 5.

y

5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1 -1 -2 -3 -4

y

5

-5

4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1 -1 -2 -3 -4 -5

2

3

4

5

x

2

3

4

5

x

4. Curvas de nível:

- hipérboles

Curvas de Superfície de Nível Se f é uma função de três variáveis x, y, z então, por definição, as superfícies de nível de f são os gráficos de f(x, y, z) = k, para diferentes valores de k.

Superfícies de nível

tal que

.

Em aplicações, por exemplo, se f(x, y, z) é a temperatura no ponto (x, y, z) então as superfícies de nível são chamadas superfícies isotermas. Se f(x, y, z) representa potencial elas são chamadas superfícies equipotenciais.

Curvas de Superfície de Nível

A superfície

Parabolóide É o gráfico de f.

Uma curva de nível típica no domínio da função

A curva de contorno f(x,y) = 100 – x2 + y2 = 75 é a circunferência x2 + y2 = 25 no plano z = 75. Plano z = 75

Traço: é a curva definida pelo encontro da superfície f(x,y) com os planos xy, xz e yz.

A curva de nível f(x,y) = 100 – x2 + y2 = 75 é a circunferência x2 + y2 = 25 no plano xy.

Curvas de Nível

A curva

Decréscimo mais rápido de f

DERIVADAS PARCIAIS DERIVADAS PARCIAIS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS

Definição: Se f(x,y) e (x0,y0) é um ponto no domínio de f, então a derivada parcial de f em relação a x é a derivada em x0 da função que resulta quando y = y0 for mantido fixado e a x for permitido variar.

f  x0  x, y0   f  x0 , y0  d f x  x0 , y0    f  x, y0   lim dx x x 0 x  x0

Analogamente, a derivada de f em relação a y em (x0,y0) é a derivada em y0 da função que resulta quando x=x0 for mantido fixado e a y for permitido variar. d f y  x0 , y0    f  x0 , y   dy 

y  y0

 lim y 0

f  x0 , y0  y   f  x0 , y0  y

EXEMPLO:

Calcule as derivadas parciais fx e fy pela definição das seguintes funções: f(x,y) = 3x² - 2xy + y²

4. INTERPRETAÇÃO DAS DERIVADAS PARCIAIS O gráfico de uma função de duas variáveis z = f(x, y) é, em geral, uma superfície Em R3. A interseção desta superfície comum plano paralelo ao plano xz, que a pelo ponto (0, y0, 0) é uma curva plana (ou um ponto) que satisfaz às condições:

 z  f  x, y    y  y0 Como a curva é plana, podemos considerá-la como o gráfico de uma função de uma variável, a saber: g(x) = f(x, y0). Logo, o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto x0, relativa ao plano, é: g’(x0) = fx(x0,y0)

5. NOTAÇÃO DE DERIVADA PARCIAL

Se z = f(x,y), então as derivadas parciais fx e fy são também denotadas pelos símbolos

f z f z , e , x x y y Algumas notações típicas para as derivadas parciais de z = f(x,y) no ponto (x0,y0) são:

f x

z f , , x  x0 , y  y0 x ( x0 , y0 ) x

EXEMPLO: Determine fx e fy se z = x4sen(xy³)

f z ,  x0 , y0  ,  x0 , y0  x ( x0 , y0 ) x

EXEMPLO:

A lei do gás Ideal afirma que, para uma dada quantidade de gás, a pressão p, o volume V e a temperatura absoluta T são ligados pela equação pV = nRT, onde n é o número de moles de gás na amostra e R é uma constante. Mostre que

p V T  1 V T p

6. DERIVADAS PARCIAIS DE FUNÇÕES COM MAIS DE DUAS VARIÁVEIS Para uma função f(x,y,z) de três variáveis, há três derivadas parciais. fx(x,y,z),

fy(x,y,z),

fz(x,y,z)

EXEMPLO 08: Determine fx, fy e fz.

f  x, y, z   y e

3 2 x 3 z

EXEMPLO 09:

Determine

  2 x1  x22  ...  xn2   xi 

para i = 1, 2, ..., n.

7. DERIVADAS PARCIAIS DE ORDENS SUPERIORES Suponha que f seja uma função de duas variáveis x e y. como as derivadas parciais fx e fy também são funções de x e y, essas funções podem elas mesmas ter derivadas parciais.

EXEMPLO 10: Determine as derivadas parciais de segunda ordem de

f  x, y   x2 y3  x4 y

8. IGUALDADE DA DERIVADA PARCIAL MISTA Teorema 04:

Seja f uma função de duas variáveis. Se fxy e fyx forem contínuas em algum disco aberto, então fxy = fyx nesse disco. EXEMPLO 11:

Mostre que a derivada parcial fxy = fyx na função;

f  x, y   x e  ysen2x 3 5y

EXEMPLO: Determine as derivadas parciais de segunda ordem de

f  x, y   x y  x y 2

2

4