Coordenadas Polares 3m5q1u
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Localización de un punto en coordenadas polares. El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia. De manera más precisa, todo punto del plano corresponde a un par de coordenadas (r, θ) donde r es la distancia del punto al origen o polo y θ es el ángulo positivo en sentido antihorario medido desde el eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano). La distancia se conoce como la «coordenada radial» mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar». En el caso del origen de coordenadas, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).
Contenido [ocultar]
1 Historia 2 Representación de puntos con coordenadas polares 3 Conversión de coordenadas o 3.1 Conversión de coordenadas polares a rectangulares o 3.2 Conversión de coordenadas rectangulares a polares 4 Ecuaciones polares o 4.1 Círculo o 4.2 Línea o 4.3 Rosa polar o 4.4 Espiral de Arquímedes o 4.5 Secciones cónicas 5 Números complejos
6 Cálculo infinitesimal o 6.1 Cálculo diferencial o 6.2 Cálculo integral o 6.3 Generalización o 6.4 Cálculo vectorial 7 Extensión a más de dos dimensiones o 7.1 Tres dimensiones 7.1.1 Coordenadas cilíndricas 7.1.2 Coordenadas esféricas o 7.2 n dimensiones 8 Aplicaciones o 8.1 Posición y navegación o 8.2 Modelado o 8.3 Campos escalares 9 Véase también 10 Referencias 11 Enlaces externos
[editar] Historia
Sistema de coordenadas polares con varios ángulos medidos en grados. Si bien existen ejemplos de que los conceptos de ángulo y radio se conocen y manejan desde la antigüedad, no es sino hasta el siglo XVII, posterior a la invención de la geometría analítica, en que se puede hablar del concepto formal de sistema coordenadas polares. Los primeros usos empíricos de relaciones entre ángulos y distancias se relacionan con aplicaciones a la navegación y el estudio de la bóveda celeste. El astrónomo Hiparco (190 a. C.-120 a. C.) creó una tabla trigonométrica que daba la longitud de una cuerda en función del ángulo y existen referencias del uso de coordenadas polares para establecer la posición de las estrellas.1 En Sobre las espirales, Arquímedes describe la espiral de Arquímedes, una función cuyo radio depende del ángulo. Sin embargo, estas aplicaciones no hacían uso de un sistema de coordenadas como medio de localizar
puntos en el plano, situación análoga al estado de la geometría antes de la invención de la geometría analítica. En tiempos modernos, Grégoire de Saint-Vincent y Bonaventura Cavalieri introdujeron de forma independiente el concepto a mediados del siglo XVII en la solución de problemas geométricos. Saint-Vincent escribió sobre este tema en 1625 y publicó sus trabajos en 1647, mientras que Cavalieri publicó sus escritos en 1635 y una versión corregida en 1653. Cavalieri utilizó en primer lugar las coordenadas polares para resolver un problema relacionado con el área dentro de una espiral de Arquímedes. Blaise Pascal utilizó posteriormente las coordenadas polares para calcular la longitud de arcos parabólicos. Sin embargo, el concepto abstracto de sistema de coordenada polar se debe a Sir Isaac Newton, quien en su Método de las fluxiones escrito en 1671 y publicado en 1736, introduce ocho nuevos sistemas de coordenadas (además de las cartesianas) para resolver problemas relativos a tangentes y curvas, uno de los cuales, el séptimo, es el de coordenadas polares.2 En el periódico Acta Eruditorum Jacob Bernoulli utilizó en 1691 un sistema con un punto en una línea, llamándolos polo y eje polar respectivamente. Las coordenadas se determinaban mediante la distancia al polo y el ángulo respecto al eje polar. El trabajo de Bernoulli sirvió de base para encontrar el radio de curvatura de ciertas curvas expresadas en este sistema de coordenadas. El término actual de coordenadas polares se atribuye a Gregorio Fontana, y fue utilizado por los escritores italianos del siglo XVIII. El término aparece por primera vez en inglés en la traducción de 1816 efectuada por George Peacock del Tratado del cálculo diferencial y del cálculo integral de Sylvestre François Lacroix,3 mientras que Alexis Clairault fue el primero que pensó en ampliar las coordenadas polares a tres dimensiones.
[editar] Representación de puntos con coordenadas polares
Los puntos (3,60º) y (4,210º) en un sistema de coordenadas polares. En la figura se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de referencia (punto O) y la línea OL sobre la que se miden los ángulos. Para referenciar un punto se indica la distancia al centro de coordenadas y el ángulo sobre el eje OL.
El punto (3, 60º) indica que está a una distancia de 3 unidades desde O, medidas con un ángulo de 60º sobre OL. El punto (4, 210º) indica que está a una distancia de 4 unidades desde O y un ángulo de 210º sobre OL.
Un aspecto importante del sistema de coordenadas polares, que no está presente en el sistema de coordenadas cartesianas, es que un único punto del plano puede representarse con un número infinito de coordenadas diferentes. Se puede decir entonces que en el sistema de coordenadas polares no hay una función biyectiva entre los puntos del espacio y las coordenadas. Esto ocurre por dos motivos:
Un punto, definido por un ángulo y una distancia, es el mismo punto que el indicado por ese mismo ángulo más un número de revoluciones completas y la misma distancia. En general, el punto (r, θ) se puede representar como (r, θ ± n×360°) o (−r, θ ± (2n + 1)180°), donde n es un número entero cualquiera.4 El centro de coordenadas está definido por una distancia nula, independientemente de los ángulos que se especifiquen. Normalmente se utilizan las coordenadas arbitrarias (0, θ) para representar el polo, ya que independientemente del valor que tome el ángulo θ, un punto con radio 0 se encuentra siempre en el polo.5 Estas circunstancias deben tenerse en cuenta para evitar confusiones en este sistema de coordenadas. Para obtener una única representación de un punto, se suele limitar r a números no negativos r ≥ 0 y θ al intervalo [0, 360°) o (−180°, 180°] (en radianes, [0, 2π) o (−π, π]).6
Los ángulos en notación polar se expresan normalmente en grados o en radianes, dependiendo del contexto. Por ejemplo, las aplicaciones de navegación marítima utilizan las medidas en grados, mientras que algunas aplicaciones físicas (especialmente la mecánica rotacional) y la mayor parte del cálculo matemático expresan las medidas en radianes.7
[editar] Conversión de coordenadas
Diagrama ilustrativo de la relación entre las coordenadas polares y las coordenadas cartesianas.
En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo θ del vector de posición sobre el eje x. [editar] Conversión de coordenadas polares a rectangulares Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo θ sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:
[editar] Conversión de coordenadas rectangulares a polares Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada polar r es: (aplicando el Teorema de Pitágoras) Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos:
Para r = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real. Para r ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de tamaño 2π. Por convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π].
Para obtener θ en el intervalo [0, 2π), se deben usar las siguientes fórmulas (arctan denota la inversa de la función tangente):
Para obtener θ en el intervalo (−π, π], se deben usar las siguientes fórmulas:
Muchos lenguajes de programación modernos evitan tener que almacenar el signo del numerador y del denominador gracias a la implementación de la función atan2, que
tiene argumentos separados para el numerador y el denominador. En los lenguajes que permiten argumentos opcionales, la función atan puede recibir como parámetro la coordenada x (como ocurre en Lisp).
[editar] Ecuaciones polares Se le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva algebraica expresada en coordenadas polares. En muchos casos se puede especificar tal ecuación definiendo r como una función de θ. La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma (r(θ), θ) y se puede representar como la gráfica de una función r. Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una función polar r. Si r(−θ) = r(θ) la curva será simétrica respecto al eje horizontal (0°/180°), si r(180°−θ) = r(θ) será simétrica respecto al eje vertical (90°/ 270°), y si r(θ−α°) = r(θ) será simétrico rotacionalmente α° en sentido horario respecto al polo. Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas se pueden describir con una simple ecuación polar, mientras que en su forma cartesiana sería mucho más intrincado. Algunas de las curvas más conocidas son la rosa polar, la espiral de Arquímedes, la lemniscata, el caracol de Pascal y la cardioide. Para los apartados siguientes se entiende que el círculo, la línea y la rosa polar no tienen restricciones en el dominio y rango de la curva.
[editar] Círculo
Un círculo con ecuación r(θ) = 1. La ecuación general para un círculo con centro en (r0, φ) y radio a es
En ciertos casos específicos, la ecuación anterior se puede simplificar. Por ejemplo, para un círculo con centro en el polo y radio a, se obtiene:8
[editar] Línea Las líneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) se representan mediante la ecuación
donde φ es el ángulo de elevación de la línea, esto es, φ = arctan m donde m es la pendiente de la línea en el sistema de coordenadas cartesianas. La línea no radial que cruza la línea radial θ = φ perpendicularmente al punto (r0, φ) tiene la ecuación
[editar] Rosa polar
Una rosa polar con ecuación r(θ) = 2 sin 4θ. La rosa polar es una famosa curva matemática que parece una flor con pétalos, y puede expresarse como una ecuación polar simple,
para cualquier constante φ0 (incluyendo al 0). Si k es un número entero, estas ecuaciones producirán una rosa de k pétalos cuando k es impar, o 2k pétalos si k es par. Si k es racional pero no entero, se producirá una forma similar a una rosa pero con los pétalos solapados. Nótese que estas ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14, etc. pétalos. La variable a representa la longitud de los pétalos de la rosa.
[editar] Espiral de Arquímedes
Un brazo de la espiral de Arquímedes con ecuación r(θ) = θ para 0 < θ < 6π. La espiral de Arquímedes es una famosa espiral descubierta por Arquímedes, la cual puede expresarse también como una ecuación polar simple. Se representa con la ecuación
Un cambio en el parámetro a producirá un giro en la espiral, mientras que b controla la distancia entre los brazos, la cual es constante para una espiral dada. La espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0. Los dos brazos están conectados en el polo. La imagen especular de un brazo sobre el eje vertical produce el otro brazo. Esta curva es una de las primeras curvas, después de las secciones cónicas, en ser descritas en tratados matemáticos. Además es el principal ejemplo de curva que puede representarse de forma más fácil con una ecuación polar.
Otros ejemplos de espirales son la espiral logarítmica y la espiral de Fermat.
[editar] Secciones cónicas
Elipse, indicándose su semilado recto. Una sección cónica con un foco en el polo y el otro en cualquier punto del eje horizontal (de modo que el semieje mayor de la cónica descanse sobre el eje polar) es dada por:
donde e es la excentricidad y es el semilado recto (la distancia perpendicular a un foco desde el eje mayor a la curva). Si e > 1, esta ecuación define una hipérbola; si e = 1, define una parábola; y si e < 1, define una elipse. Para la elipse, el caso especial e = 0 resulta en un círculo de radio .
[editar] Números complejos
Ilustración de un número complejo z en el plano complejo.
Ilustración de un número complejo en el plano complejo usando la fórmula de Euler. Cada número complejo se puede representar como un punto en el plano complejo, y se puede expresar, por tanto, como un punto en coordenadas cartesianas o en coordenadas polares. El número complejo z se puede representar en forma rectangular como
donde i es la unidad imaginaria. De forma alternativa, se puede escribir en forma polar (mediante las fórmulas de conversión dadas arriba) como
por lo que se deduce que
donde e es la constante de Neper.9 Esta expresión es equivalente a la mostrada en la fórmula de Euler. (Nótese que en esta fórmula, al igual que en todas aquellas en las que intervienen exponenciales de ángulos, se asume que el ángulo θ está expresado en radianes.) Para pasar de la forma polar a la forma rectangular de un número complejo dado se pueden usar las fórmulas de conversión vistas anteriormente. Para las operaciones de multiplicación, división y exponenciación de números complejos, es normalmente mucho más simple trabajar con números complejos expresados en forma polar que con su equivalente en forma rectangular:
Multiplicación:
División:
Exponenciación (Fórmula de De Moivre):
[editar] Cálculo infinitesimal El cálculo infinitesimal puede ser aplicado a las ecuaciones expresadas en coordenadas polares. A lo largo de esta sección se expresa la coordenada angular θ en radianes, al ser la opción convencional en el análisis matemático.10 11
[editar] Cálculo diferencial Partiendo de las ecuaciones de conversión entre coordenadas rectangulares y polares, y tomando derivadas parciales se obtiene
Para encontrar la pendiente en cartesianas de la recta tangente a una curva polar r(θ) en un punto dado, la curva debe expresarse primero como un sistema de ecuaciones paramétricas
Diferenciando ambas ecuaciones respecto a θ resulta
Dividiendo la segunda ecuación por la primera se obtiene la pendiente cartesiana de la recta tangente a la curva en el punto (r, r(θ)):
[editar] Cálculo integral
La región R está delimitada por la curva r(θ) y las semirrectas θ = a y θ = b. Sea R una región del plano delimitada por la curva continua r(θ) y las semirrectas θ = a y θ = b, donde 0 < b − a < 2π. Entonces, el área de R viene dado por
La región R se aproxima por n sectores (aquí, n = 5). Este resultado puede obtenerse de la siguiente manera. En primer lugar, el intervalo [a, b] se divide en n subintervalos, donde n es un entero positivo cualquiera. Por lo tanto Δθ, la longitud de cada subintervalo, es igual a b − a (la longitud total del intervalo) dividido por n (el número de subintervalos). Para cada subintervalo i = 1, 2, …, n, sea θi su punto medio. Se puede construir un sector circular con centro en el polo, radio r(θi),
ángulo central Δθ y longitud de arco a
. El área de cada sector es entonces igual
. Por lo tanto, el área total de todos los sectores es
Cuanto mayor sea n, mejor es la aproximación al área. En el límite, cuando n → ∞, la suma pasa a ser una suma de Riemann, y por tanto converge en la integral
[editar] Generalización Usando las coordenadas cartesianas, un elemento de área infinitesimal puede ser calculado como dA = dx dy. El método de integración por sustitución para las integrales múltiples establece que, cuando se utiliza otro sistema de coordenadas, debe tenerse en cuenta la matriz de conversión Jacobiana:
Por lo tanto, un elemento de área en coordenadas polares puede escribirse como:
Una función en coordenadas polares puede ser integrada como sigue:
donde R es la región comprendida por una curva r(θ) y las rectas θ = a y θ = b. La fórmula para el área de R mencionada arriba se obtiene tomando f como una función constante igual a 1. Una de las aplicaciones de estas fórmulas es el cálculo de la Integral de Gauss :
[editar] Cálculo vectorial
El cálculo vectorial puede aplicarse también a las coordenadas polares. Sea
el vector
, con r y θ dependientes del tiempo t.
de posición Sea
un vector unitario en la dirección de
un vector unitario ortogonal a posición son:
y
. Las derivadas primera y segunda del vector de
[editar] Extensión a más de dos dimensiones [editar] Tres dimensiones El sistema de coordenadas polares puede extenderse a tres dimensiones con dos sistemas de coordenadas diferentes: el sistema de coordenadas cilíndricas y el sistema de coordenadas esféricas. El sistema de coordenadas cilíndricas añade una coordenada de distancia, mientras que el sistema de coordenadas esféricas añade una coordenada angular. [editar] Coordenadas cilíndricas
Un punto representado en coordenadas cilíndricas. Artículo principal: Coordenadas cilíndricas
El sistema de coordenadas cilíndricas es un sistema de coordenadas que extiende al sistema de coordenadas polares añadiendo una tercera coordenada que mide la altura de un punto sobre el plano, de la misma forma que el sistema de coordenadas cartesianas se extiende a tres dimensiones. La tercera coordenada se suele representar por h, haciendo que la notación de dichas coordenadas sea (r, θ, h). Las coordenadas cilíndricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la siguiente manera:
[editar] Coordenadas esféricas
Un punto representado en coordenadas esféricas. Artículo principal: Coordenadas esféricas Las coordenadas polares también pueden extenderse a tres dimensiones usando las coordenadas (ρ, φ, θ), donde ρ es la distancia al origen, φ es el ángulo con respecto al eje z (medido de 0º a 180º), y θ es el ángulo con respecto al eje x (igual que en las coordenadas polares, entre 0º y 360º) Este sistema de coordenadas es similar al sistema utilizado para denotar la altitud y la latitud de un punto en la superficie de la Tierra, donde se sitúa el origen en el centro de la Tierra, la latitud δ es el ángulo complementario de φ (es decir, δ = 90° − φ), y la longitud l viene dada por θ − 180°.12 Las coordenadas esféricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la siguiente manera:
Las coordenadas polares en el espacio tienen especial interés cuando los ángulos determinan la función, como en el caso de la hélice.
[editar] n dimensiones Es posible generalizar estas ampliaciones de forma que se obtenga un sistema de representación para 4 o más dimensiones. Por ejemplo, para 4 dimensiones se obtiene
[editar] Aplicaciones Las coordenadas polares son bidimensionales, por lo que solamente se pueden usar donde las posiciones de los puntos se sitúen en un plano bidimensional. Son las más adecuadas en cualquier contexto donde el fenómeno a considerar esté directamente ligado con la dirección y longitud de un punto central, como en las figuras de revolución, en los movimientos giratorios, en las observaciones estelares, etc. Los ejemplos vistos anteriormente muestran la facilidad con la que las coordenadas polares definen curvas como la espiral de Arquímedes, cuya ecuación en coordenadas cartesianas sería mucho más intrincada. Además muchos sistemas físicos, tales como los relacionados con cuerpos que se mueven alrededor de un punto central, o los fenómenos originados desde un punto central, son más simples y más intuitivos de modelar usando coordenadas polares. La motivación inicial de la introducción del sistema polar fue el estudio del movimiento circular y el movimiento orbital.
[editar] Posición y navegación Las coordenadas polares se usan a menudo en navegación, ya que el destino o la dirección del trayecto pueden venir dados por un ángulo y una distancia al objeto considerado. Las aeronaves, por ejemplo, utilizan un sistema de coordenadas polares ligeramente modificado para la navegación.
[editar] Modelado Los sistemas que presentan simetría radial poseen unas características adecuadas para el sistema de coordenadas polares, con el punto central actuando como polo. Un primer ejemplo de este uso es la ecuación del flujo de las aguas subterráneas cuando se aplica a pozos radialmente simétricos. De la misma manera, los sistemas influenciados por una fuerza central son también buenos candidatos para el uso de las coordenadas polares. Algunos ejemplos son las antenas radioeléctricas, o los campos gravitatorios, que obedecen a la ley de la inversa del cuadrado (véase el problema de los dos cuerpos).
Los sistemas radialmente asimétricos también pueden modelarse con coordenadas polares. Por ejemplo la directividad de un micrófono, que caracteriza la sensibilidad del micrófono en función de la dirección del sonido recibido, puede representarse por curvas polares. La curva de un micrófono cardioide estándar, el más común de los micrófonos, tiene por ecuación r = 0,5 + 0,5 sin θ.13
[editar] Campos escalares Un problema en el análisis matemático de funciones de varias variables es la dificultad para probar la existencia de un límite, ya que pueden obtenerse diferentes resultados según la trayectoria de aproximación al punto. En el origen de coordenadas, uno de los puntos que tienen más interés para el análisis (por anular habitualmente funciones racionales o logarítmicas), este problema puede solventarse aplicando coordenadas polares. En otros puntos es posible realizar un cambio de sistema de referencia y así aplicar el truco. Al sustituir las coordenadas cartesianas x, y, z... por sus correspondientes equivalencias en coordenadas polares, el límite al aproximarse al origen se reduce a un límite de una única variable, lo que resulta fácil de calcular por ser el seno y el coseno funciones acotadas y r un infinitésimo. Si el resultado no muestra dependencia angular, es posible aseverar que el límite es indistinto del punto y trayectoria desde el que se ha aproximado.
[editar] Véase también
Coordenadas celestes Coordenadas esféricas Coordenadas geográficas
[editar] Referencias 1. ↑ Friendly, Michael. «Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization». Consultado el 10 de noviembre de 2008. 2. ↑ Boyer, C. B. (1949). «Newton as an Originator of Polar Coordinates». American Mathematical Monthly 56. 10.2307/2306162, pags. 73-78. http://www.jstor.org/pss/2306162. 3. ↑ Smith, David Eugene (1925). History of Mathematics, Vol II, Boston: Ginn and Co., pp. 324. 4. ↑ «Polar Coordinates and Graphing» (PDF) (13-04-2006). Consultado el 11 de enero de 2009. 5. ↑ (2005) Thomson Brooks/Cole (ed.). Precalculus: With Unit-Circle Trigonometry, Cuarta Edición edición. ISBN 0534402305. 6. ↑ (1983) Cambridge University Press (ed.). Complex Analysis (the Hitchhiker's Guide to the Plane). ISBN 0521287634. 7. ↑ (2005) Brooks/Cole—Thomson Learning (ed.). Principles of Physics. ISBN 0534-49143-X. 8. ↑ Claeys, Johan. «Polar coordinates». Consultado el 11 de enero de 2009.
9. ↑ Smith, Julius O.. «Euler's Identity», Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT), W3K Publishing. ISBN 0-9745607-0-7. Consultado el 11 de enero. 10. ↑ Husch, Lawrence S.. «Areas Bounded by Polar Curves». Consultado el 11 de enero de 2009. 11. ↑ Lawrence S. Husch. «Tangent Lines to Polar Graphs». Consultado el 11 de enero de 2009. 12. ↑ Wattenberg, Frank (1997). «Coordenadas esféricas». Consultado el 26 de noviembre de 2008. 13. ↑ Eargle, John (2005). Springer (ed.). Handbook of Recording Engineering, Fourth Edition edición. ISBN 0387284702.
[editar] Enlaces externos
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Localización de un punto en coordenadas polares. El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia. De manera más precisa, todo punto del plano corresponde a un par de coordenadas (r, θ) donde r es la distancia del punto al origen o polo y θ es el ángulo positivo en sentido antihorario medido desde el eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano). La distancia se conoce como la «coordenada radial» mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar». En el caso del origen de coordenadas, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).
Contenido [ocultar]
1 Historia 2 Representación de puntos con coordenadas polares 3 Conversión de coordenadas o 3.1 Conversión de coordenadas polares a rectangulares o 3.2 Conversión de coordenadas rectangulares a polares 4 Ecuaciones polares o 4.1 Círculo o 4.2 Línea o 4.3 Rosa polar o 4.4 Espiral de Arquímedes o 4.5 Secciones cónicas 5 Números complejos 6 Cálculo infinitesimal o 6.1 Cálculo diferencial o 6.2 Cálculo integral o 6.3 Generalización o 6.4 Cálculo vectorial 7 Extensión a más de dos dimensiones
o
7.1 Tres dimensiones 7.1.1 Coordenadas cilíndricas 7.1.2 Coordenadas esféricas o 7.2 n dimensiones 8 Aplicaciones o 8.1 Posición y navegación o 8.2 Modelado o 8.3 Campos escalares 9 Véase también 10 Referencias 11 Enlaces externos
[editar] Historia
Sistema de coordenadas polares con varios ángulos medidos en grados. Si bien existen ejemplos de que los conceptos de ángulo y radio se conocen y manejan desde la antigüedad, no es sino hasta el siglo XVII, posterior a la invención de la geometría analítica, en que se puede hablar del concepto formal de sistema coordenadas polares. Los primeros usos empíricos de relaciones entre ángulos y distancias se relacionan con aplicaciones a la navegación y el estudio de la bóveda celeste. El astrónomo Hiparco (190 a. C.-120 a. C.) creó una tabla trigonométrica que daba la longitud de una cuerda en función del ángulo y existen referencias del uso de coordenadas polares para establecer la posición de las estrellas.1 En Sobre las espirales, Arquímedes describe la espiral de Arquímedes, una función cuyo radio depende del ángulo. Sin embargo, estas aplicaciones no hacían uso de un sistema de coordenadas como medio de localizar puntos en el plano, situación análoga al estado de la geometría antes de la invención de la geometría analítica. En tiempos modernos, Grégoire de Saint-Vincent y Bonaventura Cavalieri introdujeron de forma independiente el concepto a mediados del siglo XVII en la solución de problemas geométricos. Saint-Vincent escribió sobre este tema en 1625 y publicó sus trabajos en 1647, mientras que Cavalieri publicó sus escritos en 1635 y una versión
corregida en 1653. Cavalieri utilizó en primer lugar las coordenadas polares para resolver un problema relacionado con el área dentro de una espiral de Arquímedes. Blaise Pascal utilizó posteriormente las coordenadas polares para calcular la longitud de arcos parabólicos. Sin embargo, el concepto abstracto de sistema de coordenada polar se debe a Sir Isaac Newton, quien en su Método de las fluxiones escrito en 1671 y publicado en 1736, introduce ocho nuevos sistemas de coordenadas (además de las cartesianas) para resolver problemas relativos a tangentes y curvas, uno de los cuales, el séptimo, es el de coordenadas polares.2 En el periódico Acta Eruditorum Jacob Bernoulli utilizó en 1691 un sistema con un punto en una línea, llamándolos polo y eje polar respectivamente. Las coordenadas se determinaban mediante la distancia al polo y el ángulo respecto al eje polar. El trabajo de Bernoulli sirvió de base para encontrar el radio de curvatura de ciertas curvas expresadas en este sistema de coordenadas. El término actual de coordenadas polares se atribuye a Gregorio Fontana, y fue utilizado por los escritores italianos del siglo XVIII. El término aparece por primera vez en inglés en la traducción de 1816 efectuada por George Peacock del Tratado del cálculo diferencial y del cálculo integral de Sylvestre François Lacroix,3 mientras que Alexis Clairault fue el primero que pensó en ampliar las coordenadas polares a tres dimensiones.
[editar] Representación de puntos con coordenadas polares
Los puntos (3,60º) y (4,210º) en un sistema de coordenadas polares. En la figura se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de referencia (punto O) y la línea OL sobre la que se miden los ángulos. Para referenciar un punto se indica la distancia al centro de coordenadas y el ángulo sobre el eje OL.
El punto (3, 60º) indica que está a una distancia de 3 unidades desde O, medidas con un ángulo de 60º sobre OL. El punto (4, 210º) indica que está a una distancia de 4 unidades desde O y un ángulo de 210º sobre OL.
Un aspecto importante del sistema de coordenadas polares, que no está presente en el sistema de coordenadas cartesianas, es que un único punto del plano puede
representarse con un número infinito de coordenadas diferentes. Se puede decir entonces que en el sistema de coordenadas polares no hay una función biyectiva entre los puntos del espacio y las coordenadas. Esto ocurre por dos motivos:
Un punto, definido por un ángulo y una distancia, es el mismo punto que el indicado por ese mismo ángulo más un número de revoluciones completas y la misma distancia. En general, el punto (r, θ) se puede representar como (r, θ ± n×360°) o (−r, θ ± (2n + 1)180°), donde n es un número entero cualquiera.4 El centro de coordenadas está definido por una distancia nula, independientemente de los ángulos que se especifiquen. Normalmente se utilizan las coordenadas arbitrarias (0, θ) para representar el polo, ya que independientemente del valor que tome el ángulo θ, un punto con radio 0 se encuentra siempre en el polo.5 Estas circunstancias deben tenerse en cuenta para evitar confusiones en este sistema de coordenadas. Para obtener una única representación de un punto, se suele limitar r a números no negativos r ≥ 0 y θ al intervalo [0, 360°) o (−180°, 180°] (en radianes, [0, 2π) o (−π, π]).6
Los ángulos en notación polar se expresan normalmente en grados o en radianes, dependiendo del contexto. Por ejemplo, las aplicaciones de navegación marítima utilizan las medidas en grados, mientras que algunas aplicaciones físicas (especialmente la mecánica rotacional) y la mayor parte del cálculo matemático expresan las medidas en radianes.7
[editar] Conversión de coordenadas
Diagrama ilustrativo de la relación entre las coordenadas polares y las coordenadas cartesianas. En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo θ del vector de posición sobre el eje x. [editar] Conversión de coordenadas polares a rectangulares Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo θ sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:
[editar] Conversión de coordenadas rectangulares a polares Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada polar r es: (aplicando el Teorema de Pitágoras) Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos:
Para r = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real. Para r ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de tamaño 2π. Por convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π].
Para obtener θ en el intervalo [0, 2π), se deben usar las siguientes fórmulas (arctan denota la inversa de la función tangente):
Para obtener θ en el intervalo (−π, π], se deben usar las siguientes fórmulas:
Muchos lenguajes de programación modernos evitan tener que almacenar el signo del numerador y del denominador gracias a la implementación de la función atan2, que tiene argumentos separados para el numerador y el denominador. En los lenguajes que permiten argumentos opcionales, la función atan puede recibir como parámetro la coordenada x (como ocurre en Lisp).
[editar] Ecuaciones polares Se le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva algebraica expresada en coordenadas polares. En muchos casos se puede especificar tal ecuación definiendo r
como una función de θ. La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma (r(θ), θ) y se puede representar como la gráfica de una función r. Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una función polar r. Si r(−θ) = r(θ) la curva será simétrica respecto al eje horizontal (0°/180°), si r(180°−θ) = r(θ) será simétrica respecto al eje vertical (90°/ 270°), y si r(θ−α°) = r(θ) será simétrico rotacionalmente α° en sentido horario respecto al polo. Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas se pueden describir con una simple ecuación polar, mientras que en su forma cartesiana sería mucho más intrincado. Algunas de las curvas más conocidas son la rosa polar, la espiral de Arquímedes, la lemniscata, el caracol de Pascal y la cardioide. Para los apartados siguientes se entiende que el círculo, la línea y la rosa polar no tienen restricciones en el dominio y rango de la curva.
[editar] Círculo
Un círculo con ecuación r(θ) = 1. La ecuación general para un círculo con centro en (r0, φ) y radio a es
En ciertos casos específicos, la ecuación anterior se puede simplificar. Por ejemplo, para un círculo con centro en el polo y radio a, se obtiene:8
[editar] Línea Las líneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) se representan mediante la ecuación
donde φ es el ángulo de elevación de la línea, esto es, φ = arctan m donde m es la pendiente de la línea en el sistema de coordenadas cartesianas. La línea no radial que cruza la línea radial θ = φ perpendicularmente al punto (r0, φ) tiene la ecuación
[editar] Rosa polar
Una rosa polar con ecuación r(θ) = 2 sin 4θ. La rosa polar es una famosa curva matemática que parece una flor con pétalos, y puede expresarse como una ecuación polar simple,
para cualquier constante φ0 (incluyendo al 0). Si k es un número entero, estas ecuaciones producirán una rosa de k pétalos cuando k es impar, o 2k pétalos si k es par. Si k es racional pero no entero, se producirá una forma similar a una rosa pero con los pétalos solapados. Nótese que estas ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14, etc. pétalos. La variable a representa la longitud de los pétalos de la rosa.
[editar] Espiral de Arquímedes
Un brazo de la espiral de Arquímedes con ecuación r(θ) = θ para 0 < θ < 6π. La espiral de Arquímedes es una famosa espiral descubierta por Arquímedes, la cual puede expresarse también como una ecuación polar simple. Se representa con la ecuación
Un cambio en el parámetro a producirá un giro en la espiral, mientras que b controla la distancia entre los brazos, la cual es constante para una espiral dada. La espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0. Los dos brazos están conectados en el polo. La imagen especular de un brazo sobre el eje vertical produce el otro brazo. Esta curva es una de las primeras curvas, después de las secciones cónicas, en ser descritas en tratados matemáticos. Además es el principal ejemplo de curva que puede representarse de forma más fácil con una ecuación polar.
Otros ejemplos de espirales son la espiral logarítmica y la espiral de Fermat.
[editar] Secciones cónicas
Elipse, indicándose su semilado recto. Una sección cónica con un foco en el polo y el otro en cualquier punto del eje horizontal (de modo que el semieje mayor de la cónica descanse sobre el eje polar) es dada por:
donde e es la excentricidad y es el semilado recto (la distancia perpendicular a un foco desde el eje mayor a la curva). Si e > 1, esta ecuación define una hipérbola; si e = 1, define una parábola; y si e < 1, define una elipse. Para la elipse, el caso especial e = 0 resulta en un círculo de radio .
[editar] Números complejos
Ilustración de un número complejo z en el plano complejo.
Ilustración de un número complejo en el plano complejo usando la fórmula de Euler. Cada número complejo se puede representar como un punto en el plano complejo, y se puede expresar, por tanto, como un punto en coordenadas cartesianas o en coordenadas polares. El número complejo z se puede representar en forma rectangular como
donde i es la unidad imaginaria. De forma alternativa, se puede escribir en forma polar (mediante las fórmulas de conversión dadas arriba) como
por lo que se deduce que
donde e es la constante de Neper.9 Esta expresión es equivalente a la mostrada en la fórmula de Euler. (Nótese que en esta fórmula, al igual que en todas aquellas en las que intervienen exponenciales de ángulos, se asume que el ángulo θ está expresado en radianes.) Para pasar de la forma polar a la forma rectangular de un número complejo dado se pueden usar las fórmulas de conversión vistas anteriormente. Para las operaciones de multiplicación, división y exponenciación de números complejos, es normalmente mucho más simple trabajar con números complejos expresados en forma polar que con su equivalente en forma rectangular:
Multiplicación:
División:
Exponenciación (Fórmula de De Moivre):
[editar] Cálculo infinitesimal El cálculo infinitesimal puede ser aplicado a las ecuaciones expresadas en coordenadas polares. A lo largo de esta sección se expresa la coordenada angular θ en radianes, al ser la opción convencional en el análisis matemático.10 11
[editar] Cálculo diferencial Partiendo de las ecuaciones de conversión entre coordenadas rectangulares y polares, y tomando derivadas parciales se obtiene
Para encontrar la pendiente en cartesianas de la recta tangente a una curva polar r(θ) en un punto dado, la curva debe expresarse primero como un sistema de ecuaciones paramétricas
Diferenciando ambas ecuaciones respecto a θ resulta
Dividiendo la segunda ecuación por la primera se obtiene la pendiente cartesiana de la recta tangente a la curva en el punto (r, r(θ)):
[editar] Cálculo integral
La región R está delimitada por la curva r(θ) y las semirrectas θ = a y θ = b. Sea R una región del plano delimitada por la curva continua r(θ) y las semirrectas θ = a y θ = b, donde 0 < b − a < 2π. Entonces, el área de R viene dado por
La región R se aproxima por n sectores (aquí, n = 5). Este resultado puede obtenerse de la siguiente manera. En primer lugar, el intervalo [a, b] se divide en n subintervalos, donde n es un entero positivo cualquiera. Por lo tanto Δθ, la longitud de cada subintervalo, es igual a b − a (la longitud total del intervalo) dividido por n (el número de subintervalos). Para cada subintervalo i = 1, 2, …, n, sea θi su punto medio. Se puede construir un sector circular con centro en el polo, radio r(θi),
ángulo central Δθ y longitud de arco a
. El área de cada sector es entonces igual
. Por lo tanto, el área total de todos los sectores es
Cuanto mayor sea n, mejor es la aproximación al área. En el límite, cuando n → ∞, la suma pasa a ser una suma de Riemann, y por tanto converge en la integral
[editar] Generalización Usando las coordenadas cartesianas, un elemento de área infinitesimal puede ser calculado como dA = dx dy. El método de integración por sustitución para las integrales múltiples establece que, cuando se utiliza otro sistema de coordenadas, debe tenerse en cuenta la matriz de conversión Jacobiana:
Por lo tanto, un elemento de área en coordenadas polares puede escribirse como:
Una función en coordenadas polares puede ser integrada como sigue:
donde R es la región comprendida por una curva r(θ) y las rectas θ = a y θ = b. La fórmula para el área de R mencionada arriba se obtiene tomando f como una función constante igual a 1. Una de las aplicaciones de estas fórmulas es el cálculo de la Integral de Gauss :
[editar] Cálculo vectorial
El cálculo vectorial puede aplicarse también a las coordenadas polares. Sea
el vector
, con r y θ dependientes del tiempo t.
de posición Sea
un vector unitario en la dirección de
un vector unitario ortogonal a posición son:
y
. Las derivadas primera y segunda del vector de
[editar] Extensión a más de dos dimensiones [editar] Tres dimensiones El sistema de coordenadas polares puede extenderse a tres dimensiones con dos sistemas de coordenadas diferentes: el sistema de coordenadas cilíndricas y el sistema de coordenadas esféricas. El sistema de coordenadas cilíndricas añade una coordenada de distancia, mientras que el sistema de coordenadas esféricas añade una coordenada angular. [editar] Coordenadas cilíndricas
Un punto representado en coordenadas cilíndricas. Artículo principal: Coordenadas cilíndricas
El sistema de coordenadas cilíndricas es un sistema de coordenadas que extiende al sistema de coordenadas polares añadiendo una tercera coordenada que mide la altura de un punto sobre el plano, de la misma forma que el sistema de coordenadas cartesianas se extiende a tres dimensiones. La tercera coordenada se suele representar por h, haciendo que la notación de dichas coordenadas sea (r, θ, h). Las coordenadas cilíndricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la siguiente manera:
[editar] Coordenadas esféricas
Un punto representado en coordenadas esféricas. Artículo principal: Coordenadas esféricas Las coordenadas polares también pueden extenderse a tres dimensiones usando las coordenadas (ρ, φ, θ), donde ρ es la distancia al origen, φ es el ángulo con respecto al eje z (medido de 0º a 180º), y θ es el ángulo con respecto al eje x (igual que en las coordenadas polares, entre 0º y 360º) Este sistema de coordenadas es similar al sistema utilizado para denotar la altitud y la latitud de un punto en la superficie de la Tierra, donde se sitúa el origen en el centro de la Tierra, la latitud δ es el ángulo complementario de φ (es decir, δ = 90° − φ), y la longitud l viene dada por θ − 180°.12 Las coordenadas esféricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la siguiente manera:
Las coordenadas polares en el espacio tienen especial interés cuando los ángulos determinan la función, como en el caso de la hélice.
[editar] n dimensiones Es posible generalizar estas ampliaciones de forma que se obtenga un sistema de representación para 4 o más dimensiones. Por ejemplo, para 4 dimensiones se obtiene
[editar] Aplicaciones Las coordenadas polares son bidimensionales, por lo que solamente se pueden usar donde las posiciones de los puntos se sitúen en un plano bidimensional. Son las más adecuadas en cualquier contexto donde el fenómeno a considerar esté directamente ligado con la dirección y longitud de un punto central, como en las figuras de revolución, en los movimientos giratorios, en las observaciones estelares, etc. Los ejemplos vistos anteriormente muestran la facilidad con la que las coordenadas polares definen curvas como la espiral de Arquímedes, cuya ecuación en coordenadas cartesianas sería mucho más intrincada. Además muchos sistemas físicos, tales como los relacionados con cuerpos que se mueven alrededor de un punto central, o los fenómenos originados desde un punto central, son más simples y más intuitivos de modelar usando coordenadas polares. La motivación inicial de la introducción del sistema polar fue el estudio del movimiento circular y el movimiento orbital.
[editar] Posición y navegación Las coordenadas polares se usan a menudo en navegación, ya que el destino o la dirección del trayecto pueden venir dados por un ángulo y una distancia al objeto considerado. Las aeronaves, por ejemplo, utilizan un sistema de coordenadas polares ligeramente modificado para la navegación.
[editar] Modelado Los sistemas que presentan simetría radial poseen unas características adecuadas para el sistema de coordenadas polares, con el punto central actuando como polo. Un primer ejemplo de este uso es la ecuación del flujo de las aguas subterráneas cuando se aplica a pozos radialmente simétricos. De la misma manera, los sistemas influenciados por una fuerza central son también buenos candidatos para el uso de las coordenadas polares. Algunos ejemplos son las antenas radioeléctricas, o los campos gravitatorios, que obedecen a la ley de la inversa del cuadrado (véase el problema de los dos cuerpos).
Los sistemas radialmente asimétricos también pueden modelarse con coordenadas polares. Por ejemplo la directividad de un micrófono, que caracteriza la sensibilidad del micrófono en función de la dirección del sonido recibido, puede representarse por curvas polares. La curva de un micrófono cardioide estándar, el más común de los micrófonos, tiene por ecuación r = 0,5 + 0,5 sin θ.13
[editar] Campos escalares Un problema en el análisis matemático de funciones de varias variables es la dificultad para probar la existencia de un límite, ya que pueden obtenerse diferentes resultados según la trayectoria de aproximación al punto. En el origen de coordenadas, uno de los puntos que tienen más interés para el análisis (por anular habitualmente funciones racionales o logarítmicas), este problema puede solventarse aplicando coordenadas polares. En otros puntos es posible realizar un cambio de sistema de referencia y así aplicar el truco. Al sustituir las coordenadas cartesianas x, y, z... por sus correspondientes equivalencias en coordenadas polares, el límite al aproximarse al origen se reduce a un límite de una única variable, lo que resulta fácil de calcular por ser el seno y el coseno funciones acotadas y r un infinitésimo. Si el resultado no muestra dependencia angular, es posible aseverar que el límite es indistinto del punto y trayectoria desde el que se ha aproximado.
[editar] Véase también
Coordenadas celestes Coordenadas esféricas Coordenadas geográficas
[editar] Referencias 1. ↑ Friendly, Michael. «Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization». Consultado el 10 de noviembre de 2008. 2. ↑ Boyer, C. B. (1949). «Newton as an Originator of Polar Coordinates». American Mathematical Monthly 56. 10.2307/2306162, pags. 73-78. http://www.jstor.org/pss/2306162. 3. ↑ Smith, David Eugene (1925). History of Mathematics, Vol II, Boston: Ginn and Co., pp. 324. 4. ↑ «Polar Coordinates and Graphing» (PDF) (13-04-2006). Consultado el 11 de enero de 2009. 5. ↑ (2005) Thomson Brooks/Cole (ed.). Precalculus: With Unit-Circle Trigonometry, Cuarta Edición edición. ISBN 0534402305. 6. ↑ (1983) Cambridge University Press (ed.). Complex Analysis (the Hitchhiker's Guide to the Plane). ISBN 0521287634. 7. ↑ (2005) Brooks/Cole—Thomson Learning (ed.). Principles of Physics. ISBN 0534-49143-X. 8. ↑ Claeys, Johan. «Polar coordinates». Consultado el 11 de enero de 2009.
9. ↑ Smith, Julius O.. «Euler's Identity», Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT), W3K Publishing. ISBN 0-9745607-0-7. Consultado el 11 de enero. 10. ↑ Husch, Lawrence S.. «Areas Bounded by Polar Curves». Consultado el 11 de enero de 2009. 11. ↑ Lawrence S. Husch. «Tangent Lines to Polar Graphs». Consultado el 11 de enero de 2009. 12. ↑ Wattenberg, Frank (1997). «Coordenadas esféricas». Consultado el 26 de noviembre de 2008. 13. ↑ Eargle, John (2005). Springer (ed.). Handbook of Recording Engineering, Fourth Edition edición. ISBN 0387284702.
[editar] Enlaces externos
Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Coordenadas polares. FooPlot (herramienta que puede mostrar gráficas de funciones en coordenadas polares) Herramienta online para la conversión de coordenadas cartesianas en coordenadas polares y a la inversa Gráficas de funciones en coordenadas polares
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1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.
Objetivos Introducción Rosa de cuatro hojas/pétalos Rosa de tres hojas/pétalos Rosa de ocho hojas/pétalos Una rosa dentro de otra Cardioides Limacones o caracoles Circunferencia Lemniscata La Nefroide de Freeth Concoides de Nicómenes Cisoide de Diocles Parábola Espiral
17. Conclusión 18. Bibliografía
OBJETIVO GENERAL
Estudiar y analizar las diferentes figuras que se forman mediante la graficación de funciones trabajando con coordenadas polares. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Apreciar las figuras que se forman con funciones en el plano polar. Visualizar la importancia de las coordenadas polares. Diferenciar las figuras de funciones formadas en coordenadas polares. Familiarizarse de manera global con los gráficos que resultan de determinadas funciones. INTRODUCCIÓN
Al comenzar los estudios del Cálculo se suele trabajar de forma especial con coordenadas planas o coordenadas cartesianas, dejando de lado las coordenadas polares. Sin embargo, conforme se continúa avanzando en el estudio del Cálculo, nos damos cuenta de la necesidad de utilizar coordenadas polares para realizar ciertos cálculos y procedimientos que no podrían realizarse exitosamente con coordenadas cartesianas. No se trata de que un sistema de coordenadas sea mejor que el otro, sino que ambos son importantes pero uno servirá algunas veces y el otro servirá en otras ocasiones, dependiendo de nuestras necesidades y del trabajo que estemos realizando. En este trabajo investigativo se presenta una buena cantidad de gráficos que nos permitirán conocer muchas de las figuras o gráficos que se forman usualmente a través de funciones en coordenadas polares. Cada uno de ellos tiene una breve explicación que consiste en describir el gráfico que resulta de la función y también se dan algunos breves detalles históricos o características que nos permiten reconocer determinado gráfico. Para hacernos una idea general de los gráficos que se presentarán durante las páginas que veremos seguidamente, vemos ahora un listado general de los tipos de funciones que son graficados en este reporte o las figuras que resultarán: 1. Rosa 2. Cardioide 3. Limaçon o caracol
4. Circunferencia 5. Lemniscata 6. Nefroide de Freeth 7. Concoide de Nicómenes 8. Cisoide de Diocles 9. Parábola 10. Espiral Por supuesto que existen muchísimas otras figuras que se forman a partir de las funciones en coordenadas polares, pero para este estudio se ha tratado de presentar las más importantes o comunes, a la vez que se muestra más de un ejemplo para casi todos los tipos de gráfico, de manera que resulte totalmente clara la forma que cada función tendrá al ser graficada en las coordenadas polares. Se espera que al finalizar la lectura completa de este trabajo, se logre comprender claramente cada figura y se tenga una idea global de los tipos de gráfico que podemos desarrollar mediante funciones en coordenadas polares. ROSA DE CUATRO HOJAS/PÉTALOS Este tipo de gráfico se conoce como Rosa de cuatro pétalos. Es fácil ver cómo se forma una figura parecida a una rosa con cuatro pétalos. La función para este gráfico es:
ROSA DE TRES HOJAS/PÉTALOS Presentamos ahora el gráfico llamado Rosa de tres pétalos. Analógicamente al gráfico de la rosa de cuatro pétalos, este gráfico es parecido pero tiene sólo tres hojas o pétalos en su forma gráfica. Un ejemplo es el siguiente:
ROSA DE OCHO HOJAS/PÉTALOS El siguiente gráfico es como los dos anteriores, pero ahora con ocho hojas o pétalos, tal como lo vemos en la siguiente función graficada:
UNA ROSA DENTRO DE OTRA Un caso interesante y especial que se puede dar es el que se muestra en la gráfica que vemos a continuación, donde se aprecia una rosa de tres pétalos precisamente dentro de otra rosa de tres pétalos u hojas. Veamos:
CARDIOIDES A continuación se presenta el tipo de gráfico que se denomina cardioide. Para este ejemplo se presenta una cardioide simétrica con respecto al eje poplar y que apunta hacia la derecha. Podemos observar que se distingue una figura como de un corazón, razón por la cual se llama este gráfico cardioide. La función que lo ha generado es:
Habiendo visto el primer gráfico de una cardiode, se presenta otro gráfico de este tipo pero ahora apunta hacia arriba, tal como lo vemos a en el gráfico de la siguiente función:
LIMACONES O CARACOLES Limaçon viene del latín limax que significa caracol. El caracol de Pascal, lo descubrió Etienne Pascal padre de Blaise Pascal en la primera mitad del siglo XVII y el nombre se lo dio Roberval en 1650 cuando la usó como ejemplo para mostrar su método para trazar tangentes. Un limaçon o las gráficas polares que generan limaçones son las funciones en coordenadas polares con la forma: r = 1 + b cos Ahora veamos un ejemplo concreto de un gráfico de este tipo, donde se muestra un caracol que apunta hacia la derecha y que tiene un lazo interior. La función para este gráfico es la siguiente:
Veamos otro gráfico de una función que tiene como resultado un caracol con un lazo interior pero que a diferencia del gráfico anterior, este apunta hacia abajo. Veamos:
Continuando con la gráfica de caracoles o limacones, hay otro tipo que es el caracol con hendidura o caracol con concavidad. Como podremos observar, este no tiene lazo, y está dirigido hacia la izquierda. Veamos a continuación el gráfico que resulta, el cual apunta hacia la izquierda:
Ahora se muestra un gráfico igual al anterior con la diferencia que ahora está dirigido hacia la derecha, de modo que tenemos un limaçon o caracol con hendidura o concavidad que está dirigido hacia la derecha:
Antes de terminar el tema de los limacoides o caracoles, veamos otro gráfico diferente a los otros, que es conocido como caracol convexo o caracol ovalado, el cual está apuntando hacia arriba, como lo vemos en el gráfico siguiente:
CIRCUNFERENCIA Esta nueva función nos presenta una forma conocida por todos y es precisamente la circunferencia, la cual será formada en el gráfico polar mediante la siguiente función:
Ahora veamos una nueva gráfica que resulta en una circunferencia, con la única diferencia que ahora aparece arriba del rayo inicial (o del eje x que todos conocemos), a diferencia del gráfico anterior, que la circunferencia aparecía abajo del radio inicial. La función con su gráfico es esta:
LEMNISCATA En matemáticas, una leminscata es un tipo de curva descrita por la siguiente ecuación en coordenadas polares:
La representación gráfica de esta ecuación genera una curva similar a . La curva se ha convertido en el símbolo del infinito y es ampliamente utilizada en matemáticas. El símbolo en sí mismo es, a veces, llamado lemniscata. Un ejemplo de esta función con su respectivo gráfico lo apreciamos a continuación:
Tenemos otro ejemplo de lemniscata, pero ahora aparece a lo largo del eje x o en sentido horizontal:
Finalmente se muestra un gráfico como los dos anteriores, donde aparece una lemniscata, con la única diferencia que ahora se muestra en sentido vertical. Veamos:
LA NEFROIDE DE FREETH Esta es una curva muy reciente si hablamos relativamente a las demás. Hay curvas polares que tienen varios siglos de existir, mientras que esta que trataremos en este momento es
bastante reciente, pues fue desarrollada por el matemático inglés T.J. Freeth, quien descubrió esta curva en 1879. Un ejemplo se aprecia en este gráfico:
CONCOIDES DE NICÓMENES Nicómenes nació sobre el año 280 antes de Cristo en Grecia y murió en el año 210 a.C. Se sabe muy poco de su vida pero es famoso por su "Las líneas de la Concoide". Veamos un gráfico en coordenadas polares de la concoide de Nicómenes:
Veamos un nuevo ejemplo de una concoide de Nicómenes. La gráfica anterior está hacia la derecha, mientras que la que se presenta a continuación tiene una dirección hacia arriba. Veamos:
Un tercer ejemplo de Concoide de Nocómenes lo tenemos en el gráfico que se muestra a continuación, donde su forma se ve diferente a los dos gráficos anteriores de este mismo tipo debido a que se le está restando un número uno a la función. El mismo gráfico veríamos si se le estuviera sumando uno a la función. El gráfico quedará así:
CISOIDE DE DIOCLES Esta es una curva muy famosa y útil en el cálculo. Fue utilizada por un griego llamado Diocles para resolver el problema de la duplicación del cubo. El gráfico aparece de esta forma:
PARÁBOLA Esta figura es muy conocida en el mundo del Cálculo. Tal como podemos generar funciones de parábolas en coordenadas cartesianas, lo podemos hacer también en coordenadas polares. Veamos el ejemplo:
ESPIRAL Este gráfico tiene la forma de una espiral, tal como su nombre lo indica. La espiral más simple la podemos encontrar al mirar una cuerda enrollada sobre sí misma. La forma de una espiral la vemos en una serpiente enrollada por ejemplo. El gráfico que se presenta a continuación es también conocido como Espiral de Arquímedes, precisamente en honor Arquímedes, quien fue un notable físico y matemático griego que al ser fascinado por la belleza de esta curva, realizó un estudio profundo sobre sus propiedades matemáticas en su escrito titulado Sobre las espirales, escrito en el siglo III antes de Cristo. Para mostrar el gráfico que se forma, presentamos la siguiente función en coordenadas polares que formará la espiral polar siguiente:
Veamos ahora otra gráfica espiral conocida como espiral de Fermat, pues fue examinada por Fermat en 1936. Su ecuación es r² = a² + . En el siguiente ejemplo se muestra una función y su respectiva gráfica que nos permiten conocer la espiral de Fertat:
Un segundo gráfico espiral lo tenemos en la función que veremos ahora, que podríamos encontrarla con dos nombres refiriéndose al mismo gráfico. Ambos nombres equivalen a lo mismo como podremos apreciar . Dichos nombres con los que se conoce a esta espiral son: espiral recíproca o espiral hiperbolica. Tendremos entonces:
Otro caso que se puede dar es la espiral logarítmica, que se ilustra mediante la siguiente función y su respectivo gráfico:
CONCLUSIÓN Luego de haber visto todas las curvas polares presentadas a lo largo de esta investigación, podemos darnos cuenta que hay muchas figuras que se forman en las coordenadas polares que pueden ser identificadas y reconocidas por un nombre propio que las hace particulares.
El conocer las tendencias que una función determinada tiene en las coordenadas polares es una gran ayuda previa que nos facilitará la graficación de las mismas. Aunque en la actualidad se cuenta con importantes programas de computación que hacen las gráficas con la simple acción de introducir la función que necesitamos, es totalmente necesario que como estudiantes de Ingeniería conozcamos cómo se forman y de dónde nacen matemáticamente cada una de estas figuras. Al graficar sobre papel sin la herramienta de una calculadora graficadora y sin ningún programa que grafique funciones polares, resultará obviamente más difícil y nos llevará más tiempo el crear estas figuras gráficamente, pero si tenemos los conocimientos necesarios en cuanto a las forma de encontrar los puntos y tenemos una idea previa de las tendencias que presentará el gráfico y si es simétrico o no, seremos capaces de graficar sin complicaciones las funciones que se nos presenten y los problemas que se nos pida desarrollar. En este trabajo se ha tratado también de presentar más de un ejemplo de cada gráfico, de manera que no estemos limitados a un solo caso, sino que veamos las diferentes formas que pueden apreciarse en cada tipo de curva polar. Las explicaciones proporcionadas al inicio de cada gráfico sirven para describir y dar una explicación general del nombre y forma que encontraremos en cada gráfico, y en algunos casos también se da una reseña histórica del porqué del nombre del gráfico así como también de la persona que lo descubrió. Es de esta manera que se concluye este trabajo, esperando que sea provechoso y de valor y utilidad. BIBLIOGRAFÍA Leithold, Louis. El Cálculo. Séptima Edición. Oxford University Press. ©1994 Thomas, George. Cálculo Varias Variables. Undécima Edición. Pearson Addison Wesley Educación. ©2005 Wikipedia, la enciclopedia libre. http://es.wikipedia.org/wiki/Lemniscata Ministerio de Educación y Ciencia. Formación del profesorado. España. http://www.formacion.pntic.mec.es/web_espiral/matematicas/ arquimedes.htm Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0648- 02/esp_fermat.html
Jaime Oswaldo Montoya Guzmán jaimemontoya[arroba]gmail.com Fecha de finalización del documento: 20 de febrero de 2006. Nivel de estudios: segundo año en la carrera Ingeniería en Sistemas Informáticos. Centro de estudios: Universidad Católica de Occidente. Ciudad y país: Santa Ana, El Salvador.
Comentarios Domingo, 25 de Abril de 2010 a las 13:04 | 0
Ceal Garc Pero que buen trabajo de monografia, me quedo todo mas claro que con la clase de mi profe, sigue asi y puede que seas autor de un libro
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Localización de un punto en coordenadas polares. El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia. De manera más precisa, todo punto del plano corresponde a un par de coordenadas (r, θ) donde r es la distancia del punto al origen o polo y θ es el ángulo positivo en sentido antihorario medido desde el eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano). La distancia se conoce como la «coordenada radial» mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar». En el caso del origen de coordenadas, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).
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1 Historia 2 Representación de puntos con coordenadas polares 3 Conversión de coordenadas o 3.1 Conversión de coordenadas polares a rectangulares o 3.2 Conversión de coordenadas rectangulares a polares 4 Ecuaciones polares o 4.1 Círculo o 4.2 Línea o 4.3 Rosa polar o 4.4 Espiral de Arquímedes o 4.5 Secciones cónicas 5 Números complejos
6 Cálculo infinitesimal o 6.1 Cálculo diferencial o 6.2 Cálculo integral o 6.3 Generalización o 6.4 Cálculo vectorial 7 Extensión a más de dos dimensiones o 7.1 Tres dimensiones 7.1.1 Coordenadas cilíndricas 7.1.2 Coordenadas esféricas o 7.2 n dimensiones 8 Aplicaciones o 8.1 Posición y navegación o 8.2 Modelado o 8.3 Campos escalares 9 Véase también 10 Referencias 11 Enlaces externos
[editar] Historia
Sistema de coordenadas polares con varios ángulos medidos en grados. Si bien existen ejemplos de que los conceptos de ángulo y radio se conocen y manejan desde la antigüedad, no es sino hasta el siglo XVII, posterior a la invención de la geometría analítica, en que se puede hablar del concepto formal de sistema coordenadas polares. Los primeros usos empíricos de relaciones entre ángulos y distancias se relacionan con aplicaciones a la navegación y el estudio de la bóveda celeste. El astrónomo Hiparco (190 a. C.-120 a. C.) creó una tabla trigonométrica que daba la longitud de una cuerda en función del ángulo y existen referencias del uso de coordenadas polares para establecer la posición de las estrellas.1 En Sobre las espirales, Arquímedes describe la espiral de Arquímedes, una función cuyo radio depende del ángulo. Sin embargo, estas aplicaciones no hacían uso de un sistema de coordenadas como medio de localizar
puntos en el plano, situación análoga al estado de la geometría antes de la invención de la geometría analítica. En tiempos modernos, Grégoire de Saint-Vincent y Bonaventura Cavalieri introdujeron de forma independiente el concepto a mediados del siglo XVII en la solución de problemas geométricos. Saint-Vincent escribió sobre este tema en 1625 y publicó sus trabajos en 1647, mientras que Cavalieri publicó sus escritos en 1635 y una versión corregida en 1653. Cavalieri utilizó en primer lugar las coordenadas polares para resolver un problema relacionado con el área dentro de una espiral de Arquímedes. Blaise Pascal utilizó posteriormente las coordenadas polares para calcular la longitud de arcos parabólicos. Sin embargo, el concepto abstracto de sistema de coordenada polar se debe a Sir Isaac Newton, quien en su Método de las fluxiones escrito en 1671 y publicado en 1736, introduce ocho nuevos sistemas de coordenadas (además de las cartesianas) para resolver problemas relativos a tangentes y curvas, uno de los cuales, el séptimo, es el de coordenadas polares.2 En el periódico Acta Eruditorum Jacob Bernoulli utilizó en 1691 un sistema con un punto en una línea, llamándolos polo y eje polar respectivamente. Las coordenadas se determinaban mediante la distancia al polo y el ángulo respecto al eje polar. El trabajo de Bernoulli sirvió de base para encontrar el radio de curvatura de ciertas curvas expresadas en este sistema de coordenadas. El término actual de coordenadas polares se atribuye a Gregorio Fontana, y fue utilizado por los escritores italianos del siglo XVIII. El término aparece por primera vez en inglés en la traducción de 1816 efectuada por George Peacock del Tratado del cálculo diferencial y del cálculo integral de Sylvestre François Lacroix,3 mientras que Alexis Clairault fue el primero que pensó en ampliar las coordenadas polares a tres dimensiones.
[editar] Representación de puntos con coordenadas polares
Los puntos (3,60º) y (4,210º) en un sistema de coordenadas polares. En la figura se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de referencia (punto O) y la línea OL sobre la que se miden los ángulos. Para referenciar un punto se indica la distancia al centro de coordenadas y el ángulo sobre el eje OL.
El punto (3, 60º) indica que está a una distancia de 3 unidades desde O, medidas con un ángulo de 60º sobre OL. El punto (4, 210º) indica que está a una distancia de 4 unidades desde O y un ángulo de 210º sobre OL.
Un aspecto importante del sistema de coordenadas polares, que no está presente en el sistema de coordenadas cartesianas, es que un único punto del plano puede representarse con un número infinito de coordenadas diferentes. Se puede decir entonces que en el sistema de coordenadas polares no hay una función biyectiva entre los puntos del espacio y las coordenadas. Esto ocurre por dos motivos:
Un punto, definido por un ángulo y una distancia, es el mismo punto que el indicado por ese mismo ángulo más un número de revoluciones completas y la misma distancia. En general, el punto (r, θ) se puede representar como (r, θ ± n×360°) o (−r, θ ± (2n + 1)180°), donde n es un número entero cualquiera.4 El centro de coordenadas está definido por una distancia nula, independientemente de los ángulos que se especifiquen. Normalmente se utilizan las coordenadas arbitrarias (0, θ) para representar el polo, ya que independientemente del valor que tome el ángulo θ, un punto con radio 0 se encuentra siempre en el polo.5 Estas circunstancias deben tenerse en cuenta para evitar confusiones en este sistema de coordenadas. Para obtener una única representación de un punto, se suele limitar r a números no negativos r ≥ 0 y θ al intervalo [0, 360°) o (−180°, 180°] (en radianes, [0, 2π) o (−π, π]).6
Los ángulos en notación polar se expresan normalmente en grados o en radianes, dependiendo del contexto. Por ejemplo, las aplicaciones de navegación marítima utilizan las medidas en grados, mientras que algunas aplicaciones físicas (especialmente la mecánica rotacional) y la mayor parte del cálculo matemático expresan las medidas en radianes.7
[editar] Conversión de coordenadas
Diagrama ilustrativo de la relación entre las coordenadas polares y las coordenadas cartesianas.
En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo θ del vector de posición sobre el eje x. [editar] Conversión de coordenadas polares a rectangulares Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo θ sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:
[editar] Conversión de coordenadas rectangulares a polares Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada polar r es: (aplicando el Teorema de Pitágoras) Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos:
Para r = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real. Para r ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de tamaño 2π. Por convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π].
Para obtener θ en el intervalo [0, 2π), se deben usar las siguientes fórmulas (arctan denota la inversa de la función tangente):
Para obtener θ en el intervalo (−π, π], se deben usar las siguientes fórmulas:
Muchos lenguajes de programación modernos evitan tener que almacenar el signo del numerador y del denominador gracias a la implementación de la función atan2, que
tiene argumentos separados para el numerador y el denominador. En los lenguajes que permiten argumentos opcionales, la función atan puede recibir como parámetro la coordenada x (como ocurre en Lisp).
[editar] Ecuaciones polares Se le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva algebraica expresada en coordenadas polares. En muchos casos se puede especificar tal ecuación definiendo r como una función de θ. La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma (r(θ), θ) y se puede representar como la gráfica de una función r. Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una función polar r. Si r(−θ) = r(θ) la curva será simétrica respecto al eje horizontal (0°/180°), si r(180°−θ) = r(θ) será simétrica respecto al eje vertical (90°/ 270°), y si r(θ−α°) = r(θ) será simétrico rotacionalmente α° en sentido horario respecto al polo. Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas se pueden describir con una simple ecuación polar, mientras que en su forma cartesiana sería mucho más intrincado. Algunas de las curvas más conocidas son la rosa polar, la espiral de Arquímedes, la lemniscata, el caracol de Pascal y la cardioide. Para los apartados siguientes se entiende que el círculo, la línea y la rosa polar no tienen restricciones en el dominio y rango de la curva.
[editar] Círculo
Un círculo con ecuación r(θ) = 1. La ecuación general para un círculo con centro en (r0, φ) y radio a es
En ciertos casos específicos, la ecuación anterior se puede simplificar. Por ejemplo, para un círculo con centro en el polo y radio a, se obtiene:8
[editar] Línea Las líneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) se representan mediante la ecuación
donde φ es el ángulo de elevación de la línea, esto es, φ = arctan m donde m es la pendiente de la línea en el sistema de coordenadas cartesianas. La línea no radial que cruza la línea radial θ = φ perpendicularmente al punto (r0, φ) tiene la ecuación
[editar] Rosa polar
Una rosa polar con ecuación r(θ) = 2 sin 4θ. La rosa polar es una famosa curva matemática que parece una flor con pétalos, y puede expresarse como una ecuación polar simple,
para cualquier constante φ0 (incluyendo al 0). Si k es un número entero, estas ecuaciones producirán una rosa de k pétalos cuando k es impar, o 2k pétalos si k es par. Si k es racional pero no entero, se producirá una forma similar a una rosa pero con los pétalos solapados. Nótese que estas ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14, etc. pétalos. La variable a representa la longitud de los pétalos de la rosa.
[editar] Espiral de Arquímedes
Un brazo de la espiral de Arquímedes con ecuación r(θ) = θ para 0 < θ < 6π. La espiral de Arquímedes es una famosa espiral descubierta por Arquímedes, la cual puede expresarse también como una ecuación polar simple. Se representa con la ecuación
Un cambio en el parámetro a producirá un giro en la espiral, mientras que b controla la distancia entre los brazos, la cual es constante para una espiral dada. La espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0. Los dos brazos están conectados en el polo. La imagen especular de un brazo sobre el eje vertical produce el otro brazo. Esta curva es una de las primeras curvas, después de las secciones cónicas, en ser descritas en tratados matemáticos. Además es el principal ejemplo de curva que puede representarse de forma más fácil con una ecuación polar.
Otros ejemplos de espirales son la espiral logarítmica y la espiral de Fermat.
[editar] Secciones cónicas
Elipse, indicándose su semilado recto. Una sección cónica con un foco en el polo y el otro en cualquier punto del eje horizontal (de modo que el semieje mayor de la cónica descanse sobre el eje polar) es dada por:
donde e es la excentricidad y es el semilado recto (la distancia perpendicular a un foco desde el eje mayor a la curva). Si e > 1, esta ecuación define una hipérbola; si e = 1, define una parábola; y si e < 1, define una elipse. Para la elipse, el caso especial e = 0 resulta en un círculo de radio .
[editar] Números complejos
Ilustración de un número complejo z en el plano complejo.
Ilustración de un número complejo en el plano complejo usando la fórmula de Euler. Cada número complejo se puede representar como un punto en el plano complejo, y se puede expresar, por tanto, como un punto en coordenadas cartesianas o en coordenadas polares. El número complejo z se puede representar en forma rectangular como
donde i es la unidad imaginaria. De forma alternativa, se puede escribir en forma polar (mediante las fórmulas de conversión dadas arriba) como
por lo que se deduce que
donde e es la constante de Neper.9 Esta expresión es equivalente a la mostrada en la fórmula de Euler. (Nótese que en esta fórmula, al igual que en todas aquellas en las que intervienen exponenciales de ángulos, se asume que el ángulo θ está expresado en radianes.) Para pasar de la forma polar a la forma rectangular de un número complejo dado se pueden usar las fórmulas de conversión vistas anteriormente. Para las operaciones de multiplicación, división y exponenciación de números complejos, es normalmente mucho más simple trabajar con números complejos expresados en forma polar que con su equivalente en forma rectangular:
Multiplicación:
División:
Exponenciación (Fórmula de De Moivre):
[editar] Cálculo infinitesimal El cálculo infinitesimal puede ser aplicado a las ecuaciones expresadas en coordenadas polares. A lo largo de esta sección se expresa la coordenada angular θ en radianes, al ser la opción convencional en el análisis matemático.10 11
[editar] Cálculo diferencial Partiendo de las ecuaciones de conversión entre coordenadas rectangulares y polares, y tomando derivadas parciales se obtiene
Para encontrar la pendiente en cartesianas de la recta tangente a una curva polar r(θ) en un punto dado, la curva debe expresarse primero como un sistema de ecuaciones paramétricas
Diferenciando ambas ecuaciones respecto a θ resulta
Dividiendo la segunda ecuación por la primera se obtiene la pendiente cartesiana de la recta tangente a la curva en el punto (r, r(θ)):
[editar] Cálculo integral
La región R está delimitada por la curva r(θ) y las semirrectas θ = a y θ = b. Sea R una región del plano delimitada por la curva continua r(θ) y las semirrectas θ = a y θ = b, donde 0 < b − a < 2π. Entonces, el área de R viene dado por
La región R se aproxima por n sectores (aquí, n = 5). Este resultado puede obtenerse de la siguiente manera. En primer lugar, el intervalo [a, b] se divide en n subintervalos, donde n es un entero positivo cualquiera. Por lo tanto Δθ, la longitud de cada subintervalo, es igual a b − a (la longitud total del intervalo) dividido por n (el número de subintervalos). Para cada subintervalo i = 1, 2, …, n, sea θi su punto medio. Se puede construir un sector circular con centro en el polo, radio r(θi),
ángulo central Δθ y longitud de arco a
. El área de cada sector es entonces igual
. Por lo tanto, el área total de todos los sectores es
Cuanto mayor sea n, mejor es la aproximación al área. En el límite, cuando n → ∞, la suma pasa a ser una suma de Riemann, y por tanto converge en la integral
[editar] Generalización Usando las coordenadas cartesianas, un elemento de área infinitesimal puede ser calculado como dA = dx dy. El método de integración por sustitución para las integrales múltiples establece que, cuando se utiliza otro sistema de coordenadas, debe tenerse en cuenta la matriz de conversión Jacobiana:
Por lo tanto, un elemento de área en coordenadas polares puede escribirse como:
Una función en coordenadas polares puede ser integrada como sigue:
donde R es la región comprendida por una curva r(θ) y las rectas θ = a y θ = b. La fórmula para el área de R mencionada arriba se obtiene tomando f como una función constante igual a 1. Una de las aplicaciones de estas fórmulas es el cálculo de la Integral de Gauss :
[editar] Cálculo vectorial
El cálculo vectorial puede aplicarse también a las coordenadas polares. Sea
el vector
, con r y θ dependientes del tiempo t.
de posición Sea
un vector unitario en la dirección de
un vector unitario ortogonal a posición son:
y
. Las derivadas primera y segunda del vector de
[editar] Extensión a más de dos dimensiones [editar] Tres dimensiones El sistema de coordenadas polares puede extenderse a tres dimensiones con dos sistemas de coordenadas diferentes: el sistema de coordenadas cilíndricas y el sistema de coordenadas esféricas. El sistema de coordenadas cilíndricas añade una coordenada de distancia, mientras que el sistema de coordenadas esféricas añade una coordenada angular. [editar] Coordenadas cilíndricas
Un punto representado en coordenadas cilíndricas. Artículo principal: Coordenadas cilíndricas
El sistema de coordenadas cilíndricas es un sistema de coordenadas que extiende al sistema de coordenadas polares añadiendo una tercera coordenada que mide la altura de un punto sobre el plano, de la misma forma que el sistema de coordenadas cartesianas se extiende a tres dimensiones. La tercera coordenada se suele representar por h, haciendo que la notación de dichas coordenadas sea (r, θ, h). Las coordenadas cilíndricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la siguiente manera:
[editar] Coordenadas esféricas
Un punto representado en coordenadas esféricas. Artículo principal: Coordenadas esféricas Las coordenadas polares también pueden extenderse a tres dimensiones usando las coordenadas (ρ, φ, θ), donde ρ es la distancia al origen, φ es el ángulo con respecto al eje z (medido de 0º a 180º), y θ es el ángulo con respecto al eje x (igual que en las coordenadas polares, entre 0º y 360º) Este sistema de coordenadas es similar al sistema utilizado para denotar la altitud y la latitud de un punto en la superficie de la Tierra, donde se sitúa el origen en el centro de la Tierra, la latitud δ es el ángulo complementario de φ (es decir, δ = 90° − φ), y la longitud l viene dada por θ − 180°.12 Las coordenadas esféricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la siguiente manera:
Las coordenadas polares en el espacio tienen especial interés cuando los ángulos determinan la función, como en el caso de la hélice.
[editar] n dimensiones Es posible generalizar estas ampliaciones de forma que se obtenga un sistema de representación para 4 o más dimensiones. Por ejemplo, para 4 dimensiones se obtiene
[editar] Aplicaciones Las coordenadas polares son bidimensionales, por lo que solamente se pueden usar donde las posiciones de los puntos se sitúen en un plano bidimensional. Son las más adecuadas en cualquier contexto donde el fenómeno a considerar esté directamente ligado con la dirección y longitud de un punto central, como en las figuras de revolución, en los movimientos giratorios, en las observaciones estelares, etc. Los ejemplos vistos anteriormente muestran la facilidad con la que las coordenadas polares definen curvas como la espiral de Arquímedes, cuya ecuación en coordenadas cartesianas sería mucho más intrincada. Además muchos sistemas físicos, tales como los relacionados con cuerpos que se mueven alrededor de un punto central, o los fenómenos originados desde un punto central, son más simples y más intuitivos de modelar usando coordenadas polares. La motivación inicial de la introducción del sistema polar fue el estudio del movimiento circular y el movimiento orbital.
[editar] Posición y navegación Las coordenadas polares se usan a menudo en navegación, ya que el destino o la dirección del trayecto pueden venir dados por un ángulo y una distancia al objeto considerado. Las aeronaves, por ejemplo, utilizan un sistema de coordenadas polares ligeramente modificado para la navegación.
[editar] Modelado Los sistemas que presentan simetría radial poseen unas características adecuadas para el sistema de coordenadas polares, con el punto central actuando como polo. Un primer ejemplo de este uso es la ecuación del flujo de las aguas subterráneas cuando se aplica a pozos radialmente simétricos. De la misma manera, los sistemas influenciados por una fuerza central son también buenos candidatos para el uso de las coordenadas polares. Algunos ejemplos son las antenas radioeléctricas, o los campos gravitatorios, que obedecen a la ley de la inversa del cuadrado (véase el problema de los dos cuerpos).
Los sistemas radialmente asimétricos también pueden modelarse con coordenadas polares. Por ejemplo la directividad de un micrófono, que caracteriza la sensibilidad del micrófono en función de la dirección del sonido recibido, puede representarse por curvas polares. La curva de un micrófono cardioide estándar, el más común de los micrófonos, tiene por ecuación r = 0,5 + 0,5 sin θ.13
[editar] Campos escalares Un problema en el análisis matemático de funciones de varias variables es la dificultad para probar la existencia de un límite, ya que pueden obtenerse diferentes resultados según la trayectoria de aproximación al punto. En el origen de coordenadas, uno de los puntos que tienen más interés para el análisis (por anular habitualmente funciones racionales o logarítmicas), este problema puede solventarse aplicando coordenadas polares. En otros puntos es posible realizar un cambio de sistema de referencia y así aplicar el truco. Al sustituir las coordenadas cartesianas x, y, z... por sus correspondientes equivalencias en coordenadas polares, el límite al aproximarse al origen se reduce a un límite de una única variable, lo que resulta fácil de calcular por ser el seno y el coseno funciones acotadas y r un infinitésimo. Si el resultado no muestra dependencia angular, es posible aseverar que el límite es indistinto del punto y trayectoria desde el que se ha aproximado.
[editar] Véase también
Coordenadas celestes Coordenadas esféricas Coordenadas geográficas
[editar] Referencias 1. ↑ Friendly, Michael. «Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization». Consultado el 10 de noviembre de 2008. 2. ↑ Boyer, C. B. (1949). «Newton as an Originator of Polar Coordinates». American Mathematical Monthly 56. 10.2307/2306162, pags. 73-78. http://www.jstor.org/pss/2306162. 3. ↑ Smith, David Eugene (1925). History of Mathematics, Vol II, Boston: Ginn and Co., pp. 324. 4. ↑ «Polar Coordinates and Graphing» (PDF) (13-04-2006). Consultado el 11 de enero de 2009. 5. ↑ (2005) Thomson Brooks/Cole (ed.). Precalculus: With Unit-Circle Trigonometry, Cuarta Edición edición. ISBN 0534402305. 6. ↑ (1983) Cambridge University Press (ed.). Complex Analysis (the Hitchhiker's Guide to the Plane). ISBN 0521287634. 7. ↑ (2005) Brooks/Cole—Thomson Learning (ed.). Principles of Physics. ISBN 0534-49143-X. 8. ↑ Claeys, Johan. «Polar coordinates». Consultado el 11 de enero de 2009.
9. ↑ Smith, Julius O.. «Euler's Identity», Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT), W3K Publishing. ISBN 0-9745607-0-7. Consultado el 11 de enero. 10. ↑ Husch, Lawrence S.. «Areas Bounded by Polar Curves». Consultado el 11 de enero de 2009. 11. ↑ Lawrence S. Husch. «Tangent Lines to Polar Graphs». Consultado el 11 de enero de 2009. 12. ↑ Wattenberg, Frank (1997). «Coordenadas esféricas». Consultado el 26 de noviembre de 2008. 13. ↑ Eargle, John (2005). Springer (ed.). Handbook of Recording Engineering, Fourth Edition edición. ISBN 0387284702.
[editar] Enlaces externos
Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Coordenadas polares. FooPlot (herramienta que puede mostrar gráficas de funciones en coordenadas polares) Herramienta online para la conversión de coordenadas cartesianas en coordenadas polares y a la inversa Gráficas de funciones en coordenadas polares
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Localización de un punto en coordenadas polares. El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia. De manera más precisa, todo punto del plano corresponde a un par de coordenadas (r, θ) donde r es la distancia del punto al origen o polo y θ es el ángulo positivo en sentido antihorario medido desde el eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano). La distancia se conoce como la «coordenada radial» mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar». En el caso del origen de coordenadas, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).
Contenido [ocultar]
1 Historia 2 Representación de puntos con coordenadas polares 3 Conversión de coordenadas o 3.1 Conversión de coordenadas polares a rectangulares o 3.2 Conversión de coordenadas rectangulares a polares 4 Ecuaciones polares o 4.1 Círculo o 4.2 Línea o 4.3 Rosa polar o 4.4 Espiral de Arquímedes o 4.5 Secciones cónicas 5 Números complejos 6 Cálculo infinitesimal o 6.1 Cálculo diferencial o 6.2 Cálculo integral o 6.3 Generalización o 6.4 Cálculo vectorial 7 Extensión a más de dos dimensiones
o
7.1 Tres dimensiones 7.1.1 Coordenadas cilíndricas 7.1.2 Coordenadas esféricas o 7.2 n dimensiones 8 Aplicaciones o 8.1 Posición y navegación o 8.2 Modelado o 8.3 Campos escalares 9 Véase también 10 Referencias 11 Enlaces externos
[editar] Historia
Sistema de coordenadas polares con varios ángulos medidos en grados. Si bien existen ejemplos de que los conceptos de ángulo y radio se conocen y manejan desde la antigüedad, no es sino hasta el siglo XVII, posterior a la invención de la geometría analítica, en que se puede hablar del concepto formal de sistema coordenadas polares. Los primeros usos empíricos de relaciones entre ángulos y distancias se relacionan con aplicaciones a la navegación y el estudio de la bóveda celeste. El astrónomo Hiparco (190 a. C.-120 a. C.) creó una tabla trigonométrica que daba la longitud de una cuerda en función del ángulo y existen referencias del uso de coordenadas polares para establecer la posición de las estrellas.1 En Sobre las espirales, Arquímedes describe la espiral de Arquímedes, una función cuyo radio depende del ángulo. Sin embargo, estas aplicaciones no hacían uso de un sistema de coordenadas como medio de localizar puntos en el plano, situación análoga al estado de la geometría antes de la invención de la geometría analítica. En tiempos modernos, Grégoire de Saint-Vincent y Bonaventura Cavalieri introdujeron de forma independiente el concepto a mediados del siglo XVII en la solución de problemas geométricos. Saint-Vincent escribió sobre este tema en 1625 y publicó sus trabajos en 1647, mientras que Cavalieri publicó sus escritos en 1635 y una versión
corregida en 1653. Cavalieri utilizó en primer lugar las coordenadas polares para resolver un problema relacionado con el área dentro de una espiral de Arquímedes. Blaise Pascal utilizó posteriormente las coordenadas polares para calcular la longitud de arcos parabólicos. Sin embargo, el concepto abstracto de sistema de coordenada polar se debe a Sir Isaac Newton, quien en su Método de las fluxiones escrito en 1671 y publicado en 1736, introduce ocho nuevos sistemas de coordenadas (además de las cartesianas) para resolver problemas relativos a tangentes y curvas, uno de los cuales, el séptimo, es el de coordenadas polares.2 En el periódico Acta Eruditorum Jacob Bernoulli utilizó en 1691 un sistema con un punto en una línea, llamándolos polo y eje polar respectivamente. Las coordenadas se determinaban mediante la distancia al polo y el ángulo respecto al eje polar. El trabajo de Bernoulli sirvió de base para encontrar el radio de curvatura de ciertas curvas expresadas en este sistema de coordenadas. El término actual de coordenadas polares se atribuye a Gregorio Fontana, y fue utilizado por los escritores italianos del siglo XVIII. El término aparece por primera vez en inglés en la traducción de 1816 efectuada por George Peacock del Tratado del cálculo diferencial y del cálculo integral de Sylvestre François Lacroix,3 mientras que Alexis Clairault fue el primero que pensó en ampliar las coordenadas polares a tres dimensiones.
[editar] Representación de puntos con coordenadas polares
Los puntos (3,60º) y (4,210º) en un sistema de coordenadas polares. En la figura se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de referencia (punto O) y la línea OL sobre la que se miden los ángulos. Para referenciar un punto se indica la distancia al centro de coordenadas y el ángulo sobre el eje OL.
El punto (3, 60º) indica que está a una distancia de 3 unidades desde O, medidas con un ángulo de 60º sobre OL. El punto (4, 210º) indica que está a una distancia de 4 unidades desde O y un ángulo de 210º sobre OL.
Un aspecto importante del sistema de coordenadas polares, que no está presente en el sistema de coordenadas cartesianas, es que un único punto del plano puede
representarse con un número infinito de coordenadas diferentes. Se puede decir entonces que en el sistema de coordenadas polares no hay una función biyectiva entre los puntos del espacio y las coordenadas. Esto ocurre por dos motivos:
Un punto, definido por un ángulo y una distancia, es el mismo punto que el indicado por ese mismo ángulo más un número de revoluciones completas y la misma distancia. En general, el punto (r, θ) se puede representar como (r, θ ± n×360°) o (−r, θ ± (2n + 1)180°), donde n es un número entero cualquiera.4 El centro de coordenadas está definido por una distancia nula, independientemente de los ángulos que se especifiquen. Normalmente se utilizan las coordenadas arbitrarias (0, θ) para representar el polo, ya que independientemente del valor que tome el ángulo θ, un punto con radio 0 se encuentra siempre en el polo.5 Estas circunstancias deben tenerse en cuenta para evitar confusiones en este sistema de coordenadas. Para obtener una única representación de un punto, se suele limitar r a números no negativos r ≥ 0 y θ al intervalo [0, 360°) o (−180°, 180°] (en radianes, [0, 2π) o (−π, π]).6
Los ángulos en notación polar se expresan normalmente en grados o en radianes, dependiendo del contexto. Por ejemplo, las aplicaciones de navegación marítima utilizan las medidas en grados, mientras que algunas aplicaciones físicas (especialmente la mecánica rotacional) y la mayor parte del cálculo matemático expresan las medidas en radianes.7
[editar] Conversión de coordenadas
Diagrama ilustrativo de la relación entre las coordenadas polares y las coordenadas cartesianas. En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo θ del vector de posición sobre el eje x. [editar] Conversión de coordenadas polares a rectangulares Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo θ sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:
[editar] Conversión de coordenadas rectangulares a polares Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada polar r es: (aplicando el Teorema de Pitágoras) Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos:
Para r = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real. Para r ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de tamaño 2π. Por convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π].
Para obtener θ en el intervalo [0, 2π), se deben usar las siguientes fórmulas (arctan denota la inversa de la función tangente):
Para obtener θ en el intervalo (−π, π], se deben usar las siguientes fórmulas:
Muchos lenguajes de programación modernos evitan tener que almacenar el signo del numerador y del denominador gracias a la implementación de la función atan2, que tiene argumentos separados para el numerador y el denominador. En los lenguajes que permiten argumentos opcionales, la función atan puede recibir como parámetro la coordenada x (como ocurre en Lisp).
[editar] Ecuaciones polares Se le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva algebraica expresada en coordenadas polares. En muchos casos se puede especificar tal ecuación definiendo r
como una función de θ. La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma (r(θ), θ) y se puede representar como la gráfica de una función r. Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una función polar r. Si r(−θ) = r(θ) la curva será simétrica respecto al eje horizontal (0°/180°), si r(180°−θ) = r(θ) será simétrica respecto al eje vertical (90°/ 270°), y si r(θ−α°) = r(θ) será simétrico rotacionalmente α° en sentido horario respecto al polo. Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas se pueden describir con una simple ecuación polar, mientras que en su forma cartesiana sería mucho más intrincado. Algunas de las curvas más conocidas son la rosa polar, la espiral de Arquímedes, la lemniscata, el caracol de Pascal y la cardioide. Para los apartados siguientes se entiende que el círculo, la línea y la rosa polar no tienen restricciones en el dominio y rango de la curva.
[editar] Círculo
Un círculo con ecuación r(θ) = 1. La ecuación general para un círculo con centro en (r0, φ) y radio a es
En ciertos casos específicos, la ecuación anterior se puede simplificar. Por ejemplo, para un círculo con centro en el polo y radio a, se obtiene:8
[editar] Línea Las líneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) se representan mediante la ecuación
donde φ es el ángulo de elevación de la línea, esto es, φ = arctan m donde m es la pendiente de la línea en el sistema de coordenadas cartesianas. La línea no radial que cruza la línea radial θ = φ perpendicularmente al punto (r0, φ) tiene la ecuación
[editar] Rosa polar
Una rosa polar con ecuación r(θ) = 2 sin 4θ. La rosa polar es una famosa curva matemática que parece una flor con pétalos, y puede expresarse como una ecuación polar simple,
para cualquier constante φ0 (incluyendo al 0). Si k es un número entero, estas ecuaciones producirán una rosa de k pétalos cuando k es impar, o 2k pétalos si k es par. Si k es racional pero no entero, se producirá una forma similar a una rosa pero con los pétalos solapados. Nótese que estas ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14, etc. pétalos. La variable a representa la longitud de los pétalos de la rosa.
[editar] Espiral de Arquímedes
Un brazo de la espiral de Arquímedes con ecuación r(θ) = θ para 0 < θ < 6π. La espiral de Arquímedes es una famosa espiral descubierta por Arquímedes, la cual puede expresarse también como una ecuación polar simple. Se representa con la ecuación
Un cambio en el parámetro a producirá un giro en la espiral, mientras que b controla la distancia entre los brazos, la cual es constante para una espiral dada. La espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0. Los dos brazos están conectados en el polo. La imagen especular de un brazo sobre el eje vertical produce el otro brazo. Esta curva es una de las primeras curvas, después de las secciones cónicas, en ser descritas en tratados matemáticos. Además es el principal ejemplo de curva que puede representarse de forma más fácil con una ecuación polar.
Otros ejemplos de espirales son la espiral logarítmica y la espiral de Fermat.
[editar] Secciones cónicas
Elipse, indicándose su semilado recto. Una sección cónica con un foco en el polo y el otro en cualquier punto del eje horizontal (de modo que el semieje mayor de la cónica descanse sobre el eje polar) es dada por:
donde e es la excentricidad y es el semilado recto (la distancia perpendicular a un foco desde el eje mayor a la curva). Si e > 1, esta ecuación define una hipérbola; si e = 1, define una parábola; y si e < 1, define una elipse. Para la elipse, el caso especial e = 0 resulta en un círculo de radio .
[editar] Números complejos
Ilustración de un número complejo z en el plano complejo.
Ilustración de un número complejo en el plano complejo usando la fórmula de Euler. Cada número complejo se puede representar como un punto en el plano complejo, y se puede expresar, por tanto, como un punto en coordenadas cartesianas o en coordenadas polares. El número complejo z se puede representar en forma rectangular como
donde i es la unidad imaginaria. De forma alternativa, se puede escribir en forma polar (mediante las fórmulas de conversión dadas arriba) como
por lo que se deduce que
donde e es la constante de Neper.9 Esta expresión es equivalente a la mostrada en la fórmula de Euler. (Nótese que en esta fórmula, al igual que en todas aquellas en las que intervienen exponenciales de ángulos, se asume que el ángulo θ está expresado en radianes.) Para pasar de la forma polar a la forma rectangular de un número complejo dado se pueden usar las fórmulas de conversión vistas anteriormente. Para las operaciones de multiplicación, división y exponenciación de números complejos, es normalmente mucho más simple trabajar con números complejos expresados en forma polar que con su equivalente en forma rectangular:
Multiplicación:
División:
Exponenciación (Fórmula de De Moivre):
[editar] Cálculo infinitesimal El cálculo infinitesimal puede ser aplicado a las ecuaciones expresadas en coordenadas polares. A lo largo de esta sección se expresa la coordenada angular θ en radianes, al ser la opción convencional en el análisis matemático.10 11
[editar] Cálculo diferencial Partiendo de las ecuaciones de conversión entre coordenadas rectangulares y polares, y tomando derivadas parciales se obtiene
Para encontrar la pendiente en cartesianas de la recta tangente a una curva polar r(θ) en un punto dado, la curva debe expresarse primero como un sistema de ecuaciones paramétricas
Diferenciando ambas ecuaciones respecto a θ resulta
Dividiendo la segunda ecuación por la primera se obtiene la pendiente cartesiana de la recta tangente a la curva en el punto (r, r(θ)):
[editar] Cálculo integral
La región R está delimitada por la curva r(θ) y las semirrectas θ = a y θ = b. Sea R una región del plano delimitada por la curva continua r(θ) y las semirrectas θ = a y θ = b, donde 0 < b − a < 2π. Entonces, el área de R viene dado por
La región R se aproxima por n sectores (aquí, n = 5). Este resultado puede obtenerse de la siguiente manera. En primer lugar, el intervalo [a, b] se divide en n subintervalos, donde n es un entero positivo cualquiera. Por lo tanto Δθ, la longitud de cada subintervalo, es igual a b − a (la longitud total del intervalo) dividido por n (el número de subintervalos). Para cada subintervalo i = 1, 2, …, n, sea θi su punto medio. Se puede construir un sector circular con centro en el polo, radio r(θi),
ángulo central Δθ y longitud de arco a
. El área de cada sector es entonces igual
. Por lo tanto, el área total de todos los sectores es
Cuanto mayor sea n, mejor es la aproximación al área. En el límite, cuando n → ∞, la suma pasa a ser una suma de Riemann, y por tanto converge en la integral
[editar] Generalización Usando las coordenadas cartesianas, un elemento de área infinitesimal puede ser calculado como dA = dx dy. El método de integración por sustitución para las integrales múltiples establece que, cuando se utiliza otro sistema de coordenadas, debe tenerse en cuenta la matriz de conversión Jacobiana:
Por lo tanto, un elemento de área en coordenadas polares puede escribirse como:
Una función en coordenadas polares puede ser integrada como sigue:
donde R es la región comprendida por una curva r(θ) y las rectas θ = a y θ = b. La fórmula para el área de R mencionada arriba se obtiene tomando f como una función constante igual a 1. Una de las aplicaciones de estas fórmulas es el cálculo de la Integral de Gauss :
[editar] Cálculo vectorial
El cálculo vectorial puede aplicarse también a las coordenadas polares. Sea
el vector
, con r y θ dependientes del tiempo t.
de posición Sea
un vector unitario en la dirección de
un vector unitario ortogonal a posición son:
y
. Las derivadas primera y segunda del vector de
[editar] Extensión a más de dos dimensiones [editar] Tres dimensiones El sistema de coordenadas polares puede extenderse a tres dimensiones con dos sistemas de coordenadas diferentes: el sistema de coordenadas cilíndricas y el sistema de coordenadas esféricas. El sistema de coordenadas cilíndricas añade una coordenada de distancia, mientras que el sistema de coordenadas esféricas añade una coordenada angular. [editar] Coordenadas cilíndricas
Un punto representado en coordenadas cilíndricas. Artículo principal: Coordenadas cilíndricas
El sistema de coordenadas cilíndricas es un sistema de coordenadas que extiende al sistema de coordenadas polares añadiendo una tercera coordenada que mide la altura de un punto sobre el plano, de la misma forma que el sistema de coordenadas cartesianas se extiende a tres dimensiones. La tercera coordenada se suele representar por h, haciendo que la notación de dichas coordenadas sea (r, θ, h). Las coordenadas cilíndricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la siguiente manera:
[editar] Coordenadas esféricas
Un punto representado en coordenadas esféricas. Artículo principal: Coordenadas esféricas Las coordenadas polares también pueden extenderse a tres dimensiones usando las coordenadas (ρ, φ, θ), donde ρ es la distancia al origen, φ es el ángulo con respecto al eje z (medido de 0º a 180º), y θ es el ángulo con respecto al eje x (igual que en las coordenadas polares, entre 0º y 360º) Este sistema de coordenadas es similar al sistema utilizado para denotar la altitud y la latitud de un punto en la superficie de la Tierra, donde se sitúa el origen en el centro de la Tierra, la latitud δ es el ángulo complementario de φ (es decir, δ = 90° − φ), y la longitud l viene dada por θ − 180°.12 Las coordenadas esféricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la siguiente manera:
Las coordenadas polares en el espacio tienen especial interés cuando los ángulos determinan la función, como en el caso de la hélice.
[editar] n dimensiones Es posible generalizar estas ampliaciones de forma que se obtenga un sistema de representación para 4 o más dimensiones. Por ejemplo, para 4 dimensiones se obtiene
[editar] Aplicaciones Las coordenadas polares son bidimensionales, por lo que solamente se pueden usar donde las posiciones de los puntos se sitúen en un plano bidimensional. Son las más adecuadas en cualquier contexto donde el fenómeno a considerar esté directamente ligado con la dirección y longitud de un punto central, como en las figuras de revolución, en los movimientos giratorios, en las observaciones estelares, etc. Los ejemplos vistos anteriormente muestran la facilidad con la que las coordenadas polares definen curvas como la espiral de Arquímedes, cuya ecuación en coordenadas cartesianas sería mucho más intrincada. Además muchos sistemas físicos, tales como los relacionados con cuerpos que se mueven alrededor de un punto central, o los fenómenos originados desde un punto central, son más simples y más intuitivos de modelar usando coordenadas polares. La motivación inicial de la introducción del sistema polar fue el estudio del movimiento circular y el movimiento orbital.
[editar] Posición y navegación Las coordenadas polares se usan a menudo en navegación, ya que el destino o la dirección del trayecto pueden venir dados por un ángulo y una distancia al objeto considerado. Las aeronaves, por ejemplo, utilizan un sistema de coordenadas polares ligeramente modificado para la navegación.
[editar] Modelado Los sistemas que presentan simetría radial poseen unas características adecuadas para el sistema de coordenadas polares, con el punto central actuando como polo. Un primer ejemplo de este uso es la ecuación del flujo de las aguas subterráneas cuando se aplica a pozos radialmente simétricos. De la misma manera, los sistemas influenciados por una fuerza central son también buenos candidatos para el uso de las coordenadas polares. Algunos ejemplos son las antenas radioeléctricas, o los campos gravitatorios, que obedecen a la ley de la inversa del cuadrado (véase el problema de los dos cuerpos).
Los sistemas radialmente asimétricos también pueden modelarse con coordenadas polares. Por ejemplo la directividad de un micrófono, que caracteriza la sensibilidad del micrófono en función de la dirección del sonido recibido, puede representarse por curvas polares. La curva de un micrófono cardioide estándar, el más común de los micrófonos, tiene por ecuación r = 0,5 + 0,5 sin θ.13
[editar] Campos escalares Un problema en el análisis matemático de funciones de varias variables es la dificultad para probar la existencia de un límite, ya que pueden obtenerse diferentes resultados según la trayectoria de aproximación al punto. En el origen de coordenadas, uno de los puntos que tienen más interés para el análisis (por anular habitualmente funciones racionales o logarítmicas), este problema puede solventarse aplicando coordenadas polares. En otros puntos es posible realizar un cambio de sistema de referencia y así aplicar el truco. Al sustituir las coordenadas cartesianas x, y, z... por sus correspondientes equivalencias en coordenadas polares, el límite al aproximarse al origen se reduce a un límite de una única variable, lo que resulta fácil de calcular por ser el seno y el coseno funciones acotadas y r un infinitésimo. Si el resultado no muestra dependencia angular, es posible aseverar que el límite es indistinto del punto y trayectoria desde el que se ha aproximado.
[editar] Véase también
Coordenadas celestes Coordenadas esféricas Coordenadas geográficas
[editar] Referencias 1. ↑ Friendly, Michael. «Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization». Consultado el 10 de noviembre de 2008. 2. ↑ Boyer, C. B. (1949). «Newton as an Originator of Polar Coordinates». American Mathematical Monthly 56. 10.2307/2306162, pags. 73-78. http://www.jstor.org/pss/2306162. 3. ↑ Smith, David Eugene (1925). History of Mathematics, Vol II, Boston: Ginn and Co., pp. 324. 4. ↑ «Polar Coordinates and Graphing» (PDF) (13-04-2006). Consultado el 11 de enero de 2009. 5. ↑ (2005) Thomson Brooks/Cole (ed.). Precalculus: With Unit-Circle Trigonometry, Cuarta Edición edición. ISBN 0534402305. 6. ↑ (1983) Cambridge University Press (ed.). Complex Analysis (the Hitchhiker's Guide to the Plane). ISBN 0521287634. 7. ↑ (2005) Brooks/Cole—Thomson Learning (ed.). Principles of Physics. ISBN 0534-49143-X. 8. ↑ Claeys, Johan. «Polar coordinates». Consultado el 11 de enero de 2009.
9. ↑ Smith, Julius O.. «Euler's Identity», Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT), W3K Publishing. ISBN 0-9745607-0-7. Consultado el 11 de enero. 10. ↑ Husch, Lawrence S.. «Areas Bounded by Polar Curves». Consultado el 11 de enero de 2009. 11. ↑ Lawrence S. Husch. «Tangent Lines to Polar Graphs». Consultado el 11 de enero de 2009. 12. ↑ Wattenberg, Frank (1997). «Coordenadas esféricas». Consultado el 26 de noviembre de 2008. 13. ↑ Eargle, John (2005). Springer (ed.). Handbook of Recording Engineering, Fourth Edition edición. ISBN 0387284702.
[editar] Enlaces externos
Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Coordenadas polares. FooPlot (herramienta que puede mostrar gráficas de funciones en coordenadas polares) Herramienta online para la conversión de coordenadas cartesianas en coordenadas polares y a la inversa Gráficas de funciones en coordenadas polares
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1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.
Objetivos Introducción Rosa de cuatro hojas/pétalos Rosa de tres hojas/pétalos Rosa de ocho hojas/pétalos Una rosa dentro de otra Cardioides Limacones o caracoles Circunferencia Lemniscata La Nefroide de Freeth Concoides de Nicómenes Cisoide de Diocles Parábola Espiral
17. Conclusión 18. Bibliografía
OBJETIVO GENERAL
Estudiar y analizar las diferentes figuras que se forman mediante la graficación de funciones trabajando con coordenadas polares. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Apreciar las figuras que se forman con funciones en el plano polar. Visualizar la importancia de las coordenadas polares. Diferenciar las figuras de funciones formadas en coordenadas polares. Familiarizarse de manera global con los gráficos que resultan de determinadas funciones. INTRODUCCIÓN
Al comenzar los estudios del Cálculo se suele trabajar de forma especial con coordenadas planas o coordenadas cartesianas, dejando de lado las coordenadas polares. Sin embargo, conforme se continúa avanzando en el estudio del Cálculo, nos damos cuenta de la necesidad de utilizar coordenadas polares para realizar ciertos cálculos y procedimientos que no podrían realizarse exitosamente con coordenadas cartesianas. No se trata de que un sistema de coordenadas sea mejor que el otro, sino que ambos son importantes pero uno servirá algunas veces y el otro servirá en otras ocasiones, dependiendo de nuestras necesidades y del trabajo que estemos realizando. En este trabajo investigativo se presenta una buena cantidad de gráficos que nos permitirán conocer muchas de las figuras o gráficos que se forman usualmente a través de funciones en coordenadas polares. Cada uno de ellos tiene una breve explicación que consiste en describir el gráfico que resulta de la función y también se dan algunos breves detalles históricos o características que nos permiten reconocer determinado gráfico. Para hacernos una idea general de los gráficos que se presentarán durante las páginas que veremos seguidamente, vemos ahora un listado general de los tipos de funciones que son graficados en este reporte o las figuras que resultarán: 1. Rosa 2. Cardioide 3. Limaçon o caracol
4. Circunferencia 5. Lemniscata 6. Nefroide de Freeth 7. Concoide de Nicómenes 8. Cisoide de Diocles 9. Parábola 10. Espiral Por supuesto que existen muchísimas otras figuras que se forman a partir de las funciones en coordenadas polares, pero para este estudio se ha tratado de presentar las más importantes o comunes, a la vez que se muestra más de un ejemplo para casi todos los tipos de gráfico, de manera que resulte totalmente clara la forma que cada función tendrá al ser graficada en las coordenadas polares. Se espera que al finalizar la lectura completa de este trabajo, se logre comprender claramente cada figura y se tenga una idea global de los tipos de gráfico que podemos desarrollar mediante funciones en coordenadas polares. ROSA DE CUATRO HOJAS/PÉTALOS Este tipo de gráfico se conoce como Rosa de cuatro pétalos. Es fácil ver cómo se forma una figura parecida a una rosa con cuatro pétalos. La función para este gráfico es:
ROSA DE TRES HOJAS/PÉTALOS Presentamos ahora el gráfico llamado Rosa de tres pétalos. Analógicamente al gráfico de la rosa de cuatro pétalos, este gráfico es parecido pero tiene sólo tres hojas o pétalos en su forma gráfica. Un ejemplo es el siguiente:
ROSA DE OCHO HOJAS/PÉTALOS El siguiente gráfico es como los dos anteriores, pero ahora con ocho hojas o pétalos, tal como lo vemos en la siguiente función graficada:
UNA ROSA DENTRO DE OTRA Un caso interesante y especial que se puede dar es el que se muestra en la gráfica que vemos a continuación, donde se aprecia una rosa de tres pétalos precisamente dentro de otra rosa de tres pétalos u hojas. Veamos:
CARDIOIDES A continuación se presenta el tipo de gráfico que se denomina cardioide. Para este ejemplo se presenta una cardioide simétrica con respecto al eje poplar y que apunta hacia la derecha. Podemos observar que se distingue una figura como de un corazón, razón por la cual se llama este gráfico cardioide. La función que lo ha generado es:
Habiendo visto el primer gráfico de una cardiode, se presenta otro gráfico de este tipo pero ahora apunta hacia arriba, tal como lo vemos a en el gráfico de la siguiente función:
LIMACONES O CARACOLES Limaçon viene del latín limax que significa caracol. El caracol de Pascal, lo descubrió Etienne Pascal padre de Blaise Pascal en la primera mitad del siglo XVII y el nombre se lo dio Roberval en 1650 cuando la usó como ejemplo para mostrar su método para trazar tangentes. Un limaçon o las gráficas polares que generan limaçones son las funciones en coordenadas polares con la forma: r = 1 + b cos Ahora veamos un ejemplo concreto de un gráfico de este tipo, donde se muestra un caracol que apunta hacia la derecha y que tiene un lazo interior. La función para este gráfico es la siguiente:
Veamos otro gráfico de una función que tiene como resultado un caracol con un lazo interior pero que a diferencia del gráfico anterior, este apunta hacia abajo. Veamos:
Continuando con la gráfica de caracoles o limacones, hay otro tipo que es el caracol con hendidura o caracol con concavidad. Como podremos observar, este no tiene lazo, y está dirigido hacia la izquierda. Veamos a continuación el gráfico que resulta, el cual apunta hacia la izquierda:
Ahora se muestra un gráfico igual al anterior con la diferencia que ahora está dirigido hacia la derecha, de modo que tenemos un limaçon o caracol con hendidura o concavidad que está dirigido hacia la derecha:
Antes de terminar el tema de los limacoides o caracoles, veamos otro gráfico diferente a los otros, que es conocido como caracol convexo o caracol ovalado, el cual está apuntando hacia arriba, como lo vemos en el gráfico siguiente:
CIRCUNFERENCIA Esta nueva función nos presenta una forma conocida por todos y es precisamente la circunferencia, la cual será formada en el gráfico polar mediante la siguiente función:
Ahora veamos una nueva gráfica que resulta en una circunferencia, con la única diferencia que ahora aparece arriba del rayo inicial (o del eje x que todos conocemos), a diferencia del gráfico anterior, que la circunferencia aparecía abajo del radio inicial. La función con su gráfico es esta:
LEMNISCATA En matemáticas, una leminscata es un tipo de curva descrita por la siguiente ecuación en coordenadas polares:
La representación gráfica de esta ecuación genera una curva similar a . La curva se ha convertido en el símbolo del infinito y es ampliamente utilizada en matemáticas. El símbolo en sí mismo es, a veces, llamado lemniscata. Un ejemplo de esta función con su respectivo gráfico lo apreciamos a continuación:
Tenemos otro ejemplo de lemniscata, pero ahora aparece a lo largo del eje x o en sentido horizontal:
Finalmente se muestra un gráfico como los dos anteriores, donde aparece una lemniscata, con la única diferencia que ahora se muestra en sentido vertical. Veamos:
LA NEFROIDE DE FREETH Esta es una curva muy reciente si hablamos relativamente a las demás. Hay curvas polares que tienen varios siglos de existir, mientras que esta que trataremos en este momento es
bastante reciente, pues fue desarrollada por el matemático inglés T.J. Freeth, quien descubrió esta curva en 1879. Un ejemplo se aprecia en este gráfico:
CONCOIDES DE NICÓMENES Nicómenes nació sobre el año 280 antes de Cristo en Grecia y murió en el año 210 a.C. Se sabe muy poco de su vida pero es famoso por su "Las líneas de la Concoide". Veamos un gráfico en coordenadas polares de la concoide de Nicómenes:
Veamos un nuevo ejemplo de una concoide de Nicómenes. La gráfica anterior está hacia la derecha, mientras que la que se presenta a continuación tiene una dirección hacia arriba. Veamos:
Un tercer ejemplo de Concoide de Nocómenes lo tenemos en el gráfico que se muestra a continuación, donde su forma se ve diferente a los dos gráficos anteriores de este mismo tipo debido a que se le está restando un número uno a la función. El mismo gráfico veríamos si se le estuviera sumando uno a la función. El gráfico quedará así:
CISOIDE DE DIOCLES Esta es una curva muy famosa y útil en el cálculo. Fue utilizada por un griego llamado Diocles para resolver el problema de la duplicación del cubo. El gráfico aparece de esta forma:
PARÁBOLA Esta figura es muy conocida en el mundo del Cálculo. Tal como podemos generar funciones de parábolas en coordenadas cartesianas, lo podemos hacer también en coordenadas polares. Veamos el ejemplo:
ESPIRAL Este gráfico tiene la forma de una espiral, tal como su nombre lo indica. La espiral más simple la podemos encontrar al mirar una cuerda enrollada sobre sí misma. La forma de una espiral la vemos en una serpiente enrollada por ejemplo. El gráfico que se presenta a continuación es también conocido como Espiral de Arquímedes, precisamente en honor Arquímedes, quien fue un notable físico y matemático griego que al ser fascinado por la belleza de esta curva, realizó un estudio profundo sobre sus propiedades matemáticas en su escrito titulado Sobre las espirales, escrito en el siglo III antes de Cristo. Para mostrar el gráfico que se forma, presentamos la siguiente función en coordenadas polares que formará la espiral polar siguiente:
Veamos ahora otra gráfica espiral conocida como espiral de Fermat, pues fue examinada por Fermat en 1936. Su ecuación es r² = a² + . En el siguiente ejemplo se muestra una función y su respectiva gráfica que nos permiten conocer la espiral de Fertat:
Un segundo gráfico espiral lo tenemos en la función que veremos ahora, que podríamos encontrarla con dos nombres refiriéndose al mismo gráfico. Ambos nombres equivalen a lo mismo como podremos apreciar . Dichos nombres con los que se conoce a esta espiral son: espiral recíproca o espiral hiperbolica. Tendremos entonces:
Otro caso que se puede dar es la espiral logarítmica, que se ilustra mediante la siguiente función y su respectivo gráfico:
CONCLUSIÓN Luego de haber visto todas las curvas polares presentadas a lo largo de esta investigación, podemos darnos cuenta que hay muchas figuras que se forman en las coordenadas polares que pueden ser identificadas y reconocidas por un nombre propio que las hace particulares.
El conocer las tendencias que una función determinada tiene en las coordenadas polares es una gran ayuda previa que nos facilitará la graficación de las mismas. Aunque en la actualidad se cuenta con importantes programas de computación que hacen las gráficas con la simple acción de introducir la función que necesitamos, es totalmente necesario que como estudiantes de Ingeniería conozcamos cómo se forman y de dónde nacen matemáticamente cada una de estas figuras. Al graficar sobre papel sin la herramienta de una calculadora graficadora y sin ningún programa que grafique funciones polares, resultará obviamente más difícil y nos llevará más tiempo el crear estas figuras gráficamente, pero si tenemos los conocimientos necesarios en cuanto a las forma de encontrar los puntos y tenemos una idea previa de las tendencias que presentará el gráfico y si es simétrico o no, seremos capaces de graficar sin complicaciones las funciones que se nos presenten y los problemas que se nos pida desarrollar. En este trabajo se ha tratado también de presentar más de un ejemplo de cada gráfico, de manera que no estemos limitados a un solo caso, sino que veamos las diferentes formas que pueden apreciarse en cada tipo de curva polar. Las explicaciones proporcionadas al inicio de cada gráfico sirven para describir y dar una explicación general del nombre y forma que encontraremos en cada gráfico, y en algunos casos también se da una reseña histórica del porqué del nombre del gráfico así como también de la persona que lo descubrió. Es de esta manera que se concluye este trabajo, esperando que sea provechoso y de valor y utilidad. BIBLIOGRAFÍA Leithold, Louis. El Cálculo. Séptima Edición. Oxford University Press. ©1994 Thomas, George. Cálculo Varias Variables. Undécima Edición. Pearson Addison Wesley Educación. ©2005 Wikipedia, la enciclopedia libre. http://es.wikipedia.org/wiki/Lemniscata Ministerio de Educación y Ciencia. Formación del profesorado. España. http://www.formacion.pntic.mec.es/web_espiral/matematicas/ arquimedes.htm Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0648- 02/esp_fermat.html
Jaime Oswaldo Montoya Guzmán jaimemontoya[arroba]gmail.com Fecha de finalización del documento: 20 de febrero de 2006. Nivel de estudios: segundo año en la carrera Ingeniería en Sistemas Informáticos. Centro de estudios: Universidad Católica de Occidente. Ciudad y país: Santa Ana, El Salvador.
Comentarios Domingo, 25 de Abril de 2010 a las 13:04 | 0
Ceal Garc Pero que buen trabajo de monografia, me quedo todo mas claro que con la clase de mi profe, sigue asi y puede que seas autor de un libro
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Xiv Opq-nivel Intermedio-fase 1 466w1y
April 2020 17
Xiv Opq-n.. 1v6x44
April 2020 26
2c82t
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