Componente Radial 67255m

Componente radial, tangencial y normal de la velocidad y aceleración En ciertos problemas de movimiento plano, la posición de la partícula P se define mediante sus coordenadas polares r y En ese caso es conveniente descomponer la velocidad y la aceleración de la partícula en componentes paralela y perpendicular, respectivamente, a la línea OP. Éstas se conocen como componentes radial y transversal.

Se unen a P dos vectores unitarios, er y e (figura 11.25b). El vector e r está dirigido a lo largo de OP y el vector e se obtiene al rotar e r 90° en el sentido contrario al de las manecillas del reloj. El vector unitario e r define la dirección radial, esto es, la dirección en la cual P se movería si r aumentara y se mantuviera constante; el vector unitario e define la dirección transversal, es decir, la dirección en la que P se movería si aumentara y r se mantuviera constante.

Donde e r denota un vector unitario de sentido positivo respecto a er. Mediante la regla de la cadena, se expresan las derivadas del tiempo de los vectores unitarios er y e del modo siguiente.

O, al utilizar puntos para indicar derivación con respecto a t.

Para obtener la velocidad v de la partícula P, se expresa la posición del vector r de P como el producto del escalar r y el vector unitario e r y se deriva con respecto a t

O, al recordar la primera de las relaciones.

Al derivar otra vez con respecto a t para obtener la aceleración, se escribe

o, al sustituir e˙r y e˙, factorizar er y e,

Las componentes escalares de la velocidad y la aceleración en las variaciones radial y transversal son, por lo tanto,

Es importante advertir que ar no es igual a la derivada respecto al tiempo de vr y que a no es igual a la derivada en el tiempo de v. En el caso de una partícula que se mueve a lo largo de un

círculo de centro O, se tiene r constante y r˙ ¨r 0, y las fórmulas se reducen, respectivamente, a

Extensión al movimiento de una partícula en el espacio: coordenada s cilíndricas. La posición de una partícula P en el espacio en algunas ocasiones se define mediante sus coordenadas cilíndricas R, y z. En ese caso es conveniente utilizar los vectores unitarios eR, e y k que se indican en la figura 11.26b. Al descomponer el vector de posición r de la partícula P en componentes a lo largo de los vectores unitarios, se escribe

Al observar que eR y e definen, respectivamente, las direcciones radial

y transversal en el plano horizontal xy, y que el vector k, el cual define la dirección axial, es constante en dirección así como en magnitud, se verifica con facilidad que

Problemas resueltos respecto al tema componentes radial, tangencial y normal de la velocidad y aceleración.

1.- “Un automovilista viaja sobre una sección curva de una autopista de 2 500 ft de radio a una rapidez de 60 mi/h. El automovilista aplica repentinamente los frenos, provocando que el automóvil se desacelere a una tasa constante. Si se sabe que después de 8 s la rapidez se ha reducido a 45 mi/h, determine la aceleración del automóvil inmediatamente después de que se han aplicado los frenos.”

Solución: Componente tangencial de la aceleración. Primero se expresan las velocidades en ft/s.

60 mi 60 mi ft 1h 88 ft = 5280 = h h 1 mi 3600 s s

(

)(

)(

)

45

mi 66 ft = h s

Como el automóvil desacelera a una tasa constante se tiene.

66 ft −88 ft / s ∆v s 2 at= promedio at= = =−2.75 ft / s ∆t 8s

Componente normal de la aceleración. Inmediatamente después de que los frenos se han aplicado, la rapidez se mantiene en 88 ft/s, y se tiene

ft 88 ) . ( s v 3.10 ft a= = = 2

2

n

p

2500 ft

s2

Magnitud y dirección de la aceleración. La magnitud y dirección de la resultante a de las componentes an y at son:

tan=

an 3.10 ft / s 2 = at 2.75 ft / s 2

α =48.4 ° ←

an 3.10 ft /s 2 a= = a t sen 48.4 °

a=4.14 ft /s 2

2.- “Determine el radio mínimo de curvatura de la trayectoria descrita por el proyectil considerado en el problema” Solución: 2

2

v /an. El radio será Puesto que an v , tenemos que pequeño cuando v sea pequeño, o cuando an sea grande. La rapidez v es mínima en la parte superior de la trayectoria, pues vy 0 en ese punto; an es máxima en el mismo punto, ya que la dirección de la vertical coincide con la dirección de la normal. Por lo tanto, el radio mínimo de curvatura ocurre en la parte superior de la trayectoria. En este punto, se tiene

v =v x =

155.9 m 9.81m a n=a= 2 s s

155.9 m/s ¿2 ¿ ¿ v2 p= =¿ an

p=2480 m

3.-“La rotación del brazo OA de 0.9 m alrededor de O se define mediante la relación 0.15t2, donde se expresa en radianes y t en segundos. El collarín B desliza a lo largo del brazo de modo tal que su distancia desde O es r 0.9 0.12t2, donde r se expresa en metros y t en segundos. Después de que el brazo OA ha girado 30°, determine a) la velocidad total del collarín, b) la aceleración total del collarín, c) la aceleración relativa del collarín con respecto al brazo.” Solución: Tiempo t al cual 30°. Al sustituir 30° 0.524 rad en la expresión para, se obtiene

θ=0.15t 2 0.524=0.15t 2 t=1.869 s

Ecuaciones de movimiento. Si se sustituye t 1.869 s en las expresiones para r, y su primera y segunda derivadas, se tiene

r=0.9−0.12 t 2 =0.481 mθ=0.15t 2=0.524 rad ´ θ=0.30t=0.561rad /s

´r =−0.24 t=−0.449 m/s

´r =−0.24 t=−0.240 m/s 2

´ θ=0.30=0.300 rad / s2

a) Velocidad de B. Mediante las ecuaciones se obtienen los valores de v r y v cuando t 1.869 s. v r =´r =−0.449 m/ s

´ v θ =r θ=0.481 ( 0.561 )=0.270 m/ s

v =0.524 m/s

β=31.0°

Al resolver el triángulo rectángulo que se muestra, se obtiene la magnitud y dirección de la velocidad.

b) Aceleración de B. Mediante las ecuaciones, se obtiene ar =r −r θ´ 2

¿−0.240−0.481 ( 0.56 12 )=−0.391 m/s 2

´ 2 r´ θ´ aθ =r θ+ ¿ 0.481 ( 0.300 )+ 2 (−0.449 ) ( 0.561 )=−0.359 m/s 2

a =0.531 m/

s2

y= 42.6°

c) Aceleración de B con respecto al brazo OA. Hay que observar que el movimiento del collarín con respecto al brazo es rectilíneo y está definido por la coordenada r. Se escribe aB =r´ =−0.240 m/s2 oA aB −0.240 m =r´ = hacia o . oA s2