Combinaciones Optica 564i6k

´ Gu´ıa de ejercicios No 1 curso Optica Departamento de F´ısica, Facultad de Ciencias, Universidad de Chile Profesor: Rodrigo Vicencio Ayudantes: Luis Morales y Julio Urrutia

27 de Marzo de 2013

1. Ley de reflexi´on. Dos espejos planos tienen sus superficies reflectantes una frente a otra, con el borde de uno de los espejos en o con el otro, de manera que el a´ngulo entre ellos es α (ver figura). Si un objeto se sit´ ua entre los espejos se forman varias im´agenes. ¿Cu´antas im´agenes se forman si α = 30◦ ? Generalice para un con “n” un n´ umero entero. a´ngulo α = 360 n 2. Ley de Snell. Un cilindro transparente de radio R = 2 m tiene una superficie plateada sobre su mitad derecha como lo muestra la figura. Un rayo de luz viaja en el aire e incide en el lado izquierdo del cilindro. El rayo de luz incidente y de salida son paralelos siendo d = 2 m. Determine el ´ındice de refracci´on del material.

3. Ley de Snell. Un haz de luz incide desde el vac´ıo en la superficie 1 de un prisma triangular y en la superficie 2, se refleja totalmente como muestra la figura. Determine el ´angulo de incidencia.

4. Cilindro de vidrio (P). Un cilindro de vidrio puede ser utilizado para m´ ultiples operaciones de control lum´ınico. Por ejemplo, podemos usar este dispositivo como una lente enfocadora. Tambi´en, escogiendo correctamente los ´angulos de incidencia, podemos determinar con precisi´on la direcci´on de salida de un rayo de luz monocrom´atico. “Enfoqu´emosnos” en esta u ´ltima operaci´on lum´ınica. Sea: naire = 1, nagua = 1.33, nvidrio = 1.7 y R = 2 cm. a) Considere la figura 1(a) en donde el tercer rayo refractado sale exactamente opuesto al incidente. Encuentre una expresi´on para el ´angulo α en t´erminos de los ´ındices de refracci´on. Calcule el valor en grados del ´angulo α con los datos entregados. b) Queremos ahora que la luz salga formando un ´angulo de 90 grados con respecto al a´ngulo incidente [ver figura 1(b)]. Encuentre una expresi´on para el a´ngulo α, en t´erminos de los ´ındices de refracci´on, en el que sucede ´esto. Calcule el valor en grados del a´ngulo α con los datos entregados.

1

(a)

(b) ncilindro

naire

ncilindro

R

R β naire

α

β

naire

naire

α

(c)

(d)

ncilindro

ncilindro R

R β

naire

nagua

nagua

naire

β α

α

Figura 1: Corte transversal de un cilindro de vidrio de radio R. Un haz de luz incide en ´el en un ´angulo α. (a) Salida opuesta. (b) Salida perpendicular. (c) Reflexi´on total interna. (d) 4 puntos.

c) Buscamos lograr que una vez que entra la luz al cilindro no salga nunca mas: confinamiento total [ver figura 1(c)]. Determine si es o no posible lograr esto con este dispositivo. d) Sumerjamos el cilindro en agua. ¿Para qu´e a´ngulo de incidencia α la luz se refractar´a/reflejar´a en s´olo cuatro puntos [ver figura 1(d)]? Calcule el valor en grados del a´ngulo α con los datos entregados. 5. Combinaci´on de espejos. Una cavidad ´optica - elemento b´asico para construir un l´aser puede ser hecha utilizando un espejo plano y uno esf´erico como se muestra en la figura 2. a) Si ponemos un pe´on de ajedrez entre los dos espejos tal que s1 = 5 m, s2 = 20 m, R = 10 m, y h1 = 5 cm, encuentre las im´agenes del pe´on debidas a ambos espejos. ¿Son ellas reales? ¿Est´an invertidas? ¿Cu´al es su tama˜ no? b) Utilize estas dos im´agenes como dos nuevos objetos para as´ı generar dos nuevas im´agenes. Si sigue haciendo esto muchas veces entender´a el porqu´e se ven infinitas im´agenes cuando se ponen dos espejos uno frente al otro.

2

Espejo 1

Espejo 2

h1

Eje óptico

O

C

s1

R s2

Figura 2:

6. Espejos esf´ericos. Un rect´angulo de 10 cm × 20 cm se coloca de manera que su borde derecho est´a a 40 cm a la izquierda de un espejo esf´erico c´oncavo, como muestra la figura. El radio de curvatura del espejo es 20 cm. a) Dibuje la imagen formada por el espejo b) ¿Cu´al es el ´area de la imagen? 7. Lentes delgadas. Una lente bi-convexa delgada de ´ındice de refracci´on 1,5 tiene una distancia focal conocida de 50 cm en el aire. Cuando se sumerge en un l´ıquido transparente la distancia focal resulta ser de 250 cm. Determine el ´ındice de refracci´on del l´ıquido. 8. Imagen debida a una lente (P). Buscamos en este problema entender c´omo son las im´agenes generadas por una lente positiva de radios |R1| = 10 cm, |R2| = 40 cm e ´ındice de refracci´on nlente = 2. Como vimos en clases, la imagen formada depender´a de la ubicaci´on del objeto con respecto al foco de la lente. Considere el montaje presentado en la figura 3.

ho eje óptico fl

fl

-ho

R1

R2

Figura 3: Montaje propuesto.

3

El objeto corresponde a un bast´on inclinado en 45 grados cuyos extremos derecho e izquierdo est´an a una altura h0 y −h0 respectivamente, desde el eje o´ptico. La distancia focal de la lente coincide exactamente con el centro de simetr´ıa de este bast´on. C´ırculos y tri´angulos (negros y blancos) nos permitir´an dibujar con mayor facilidad la imagen generada por este sistema. Cada cuadrado peque˜ no equivale a un cent´ımetro en el eje horizontal y vertical. a) ¿Cu´anto vale el foco de esta lente? b) Encuentre la imagen aproximada del bast´on trazando rayos reales y rayos virtuales. Para ´esto, encuentre las im´agenes de los dos c´ırculos y los dos tri´angulos trat´andolos como objetos puntuales. Identifique en el dibujo si las im´agenes encontradas son reales o virtuales. Incluya un bosquejo de la imagen que usted ver´ıa mirando de arriba hacia abajo (utilice los dos “ojos” como ayuda). c) Utilizando la ecuaci´on de la lente delgada, verifique que los puntos imagen encontrados en (b) sean correctos. Chequ´ee la magnificaci´on y altura de cada punto. d) Encuentre una expresi´on para la funci´on h = h(S), donde S corresponde a la distancia objeto. Demuestre que la altura de la imagen ser´a la misma para todo el objeto, independiente de la posici´on S. Es decir, h0 (S) = constante. 9. Combinaci´on de lentes. Una lente bic´oncava de distancia focal −60 mm es puesta en frente de una lente plano-convexa de radio 60 mm e ´ındice de refracci´on 1,5 (ver figura 4). Encuentre la distancia focal efectiva y determine la imagen que resultar´a de una hormiga de 3 mm de alto sobre el eje o´ptico localizada frente al dispositivo.

Figura 4: 10. Combinaci´on de lentes. Galileo ide´o un telescopio simple terrestre que produc´ıa una imagen vertical. Este consta de una lente objetivo convergente y una ocular divergente en los extremos opuestos del tubo del telescopio. Para objetos lejanos la longitud del tubo es la distancia focal del ocular. a) ¿El del telescopio ve una imagen virtual o real? b) ¿D´onde se ubica la imagen final? c) Si el telescopio est´a construido con un tubo de 10 cm de largo y un aumento de 3x ¿cu´ales son las longitudes focales del objetivo y del ocular? 4

11. Combinaci´on de lentes. El problema que veremos a continuaci´on constituye el esquema b´asico para construir un microscopio. Considere la figura 5 en donde s1 = 5 cm, f1 = 3 cm y f2 = 5 cm:

Objetivo O f2

s1 f1

f1

f2 Ocular

L Figura 5:

a) Si la distancia entre el objetivo y el ocular es L = 15 cm, ¿d´onde se formar´a la imagen? ¿Cu´an grande/peque˜ na ser´a?¿Ser´a real o imaginaria? b) Si la distancia entre el objetivo y el ocular es L = 11 cm, ¿d´onde se formar´a la imagen? ¿Cu´an grande/peque˜ na ser´a?¿Ser´a real o imaginaria? 12. Combinaci´on de una lente convergente y un espejo c´oncavo (P). Una lente positiva es puesta junto a un espejo c´oncavo de radio R como se muestra en la figura 6. El foco de la lente es id´entico al del espejo: fl = fe ≡ f . La distancia entre ambos dispositivos o´pticos corresponde exactamente a la distancia focal, es decir, el espejo est´a ubicado en el foco derecho de la lente y la lente est´a ubicada en el foco del espejo.

R h1 eje óptico

s1 fl

fe

Figura 6: Montaje propuesto.

5

fl

a) Un objeto de altura h1 se ubica a una distancia S1 = 3f a la izquierda de la lente. Encuentre las tres im´agenes generadas en este sistema ´optico trazando rayos reales y rayos virtuales. Para facilitar la tarea, dibuje primero los tres rayos reales conocidos (paralelo al eje, desde el foco, y el que pasa por el v´ertice) y, a continuaci´on, trace todas las extensiones virtuales de ´estos. Recuerde que los rayos virtuales corresponden a la extensi´on de los rayos reales que han sido curvados y/o desviados. b) Mediante la ecuaci´on de la lente delgada y una correcta interpretaci´on de objetos e im´ agenes, verifique que las im´agenes encontradas en (a) sean correctas. Es decir, que est´en ubicadas en la misma posici´on que el dibujo y tengan la misma magnificaci´on. Recuerde la derivaci´on de la ecuaci´on de la lente hecha en clases y tambi´en el tratamiento de objetos e im´agenes cuando combinamos dos lentes positivas. 13. Prisma de cristal (P). Un trozo de cristal de ´ındice de refracci´on n2 (ver figura 7) es sumergido en agua y luego esa agua es congelada. El agua congelada (hielo) tiene un ´ındice de refracci´on n1 . Desde la izquierda se hace incidir luz roja (λ = 700 nm) con polarizaci´on paralela al plano de incidencia, tal como se indica en la figura. Un porcentaje de la luz penetra el cristal experimentando en su interior dos reflexiones totales internas en las caras paralelas al eje o´ptico. Finalmente, la luz sale del cristal por la cara derecha de ´este, en la condici´on de Brewster (toda la luz es transmitida). E

HIELO

CRISTAL EJE OPTICO

n1

n2

a

b

n1

HIELO

Figura 7: Prisma de cristal sumergido en hielo.

a) Encontrar una expresi´on matem´atica para el a´ngulo b, el a´ngulo de incidencia θi y el ´angulo de salida θf en t´erminos del a´ngulo a y los ´ındices de refracci´on n1 y n2 . b) Si n1 = 1,3 y n2 = 2, y considerando que a = b/2, determine los valores en grados para los a´ngulos b, θi , θf y θc , donde θc corresponde al a´ngulo cr´ıtico de la reflecci´on total interna. 14. Divisor de haces (P). Un divisor de haces (DH) divide a un haz de luz en dos y puede ser construido utilizando dos prismas separados por un material de ´ındice de refracci´on diferente. Este dispositivo es ampliamente utilizado en laboratorios de ´optica actuales y, entre otros usos, permite medir la potencia aplicada sobre un experimento en forma indirecta, midiendo la potencia del segundo haz. Considere el montaje presentado en la Figura 8. Dos prismas de ´ındice de refracci´on n1 son separados por un trozo de cristal de 6

´ındice n2 . Todo el sistema est´a rodeado por un medio con ´ındice n0 . Desde la izquierda se hace incidir un haz de luz amarilla (580 nm) paralelo a la base del primer prisma. π/4

n1

n2 n0

π/4

E X

n1

Figura 8: Divisor de haces. a) Dibuje la trayectoria del haz en este sistema o´ptico. Para ello considere s´olo una reflexi´on (la m´as importante) cuando el haz incide sobre el cristal de ´ındice n2 proveniente del prisma n1 . Ayuda: se espera que del sistema o´ptico salgan dos haces en un a´ngulo de 90 grados entre ellos. 15. Espejos cil´ındricos (P). Investiguemos c´omo ser´a la imagen de un c´ılindro puesto en frente de un espejo cil´ındrico de radio variable (ver figura 9-izquierda). En la parte m´as alta del espejo el radio es R1 y la distancia al objeto es Xo. A nivel del suelo el radio del espejo es R2 (ver figura 9-derecha). El radio aumenta linealmente a medida que nos acercamos al piso, por lo que R1 < R2.

h r R1

h R2 Xo

Figura 9: Izquierda: vista frontal del espejo cil´ındrico. Derecha: vista desde arriba. a) Encuentre una expresi´on para la distancia-objeto dependiente del radio: s = s(R). b) Utilizando el resultado obtenido en (a) encuentre la distancia-imagen dependiendo del valor del radio: s0 = s0 (R). 7

c) Utilizando el resultado obtenido en (a) y (b) encuentre la magnificaci´on dependiendo del valor del radio: m = m(R). d) Sea Xo = R1 = 1 m, R2 = 1.5 m, h = 2 m y r = 20 cm. Construya la imagen que el cilindro “ver´ıa” en el espejo (considere al objeto como un rect´angulo). e) Encuentre el a´ngulo con que se forma la imagen respecto a la vertical y comp´arelo con el a´ngulo de inclinaci´on del espejo. 16. Espejos cil´ındricos (P). Averig¨ uemos c´omo ser´ıa la imagen de un objeto rectangular puesto en frente de un espejo cil´ındrico c´oncavo de radio variable (ver figura 10). En la parte m´as alta del espejo el radio es R1 y en la parte m´as baja el radio es R2 . El radio de curvatura del espejo aumenta linealmente a medida que nos acercamos al piso por lo que |R2 | > |R1 |. La distancia-objeto en la parte m´as alta corresponde a x0 y la altura del objeto es la misma que la del espejo.

espejo espejo

objeto xo R1

objeto

R2

Figura 10: Izquierda: vista frontal. Centro: vista lateral. Derecha: vista desde arriba. a) Encuentre una expresi´on para la distancia-objeto, la distancia-imagen y la magnificaci´on en t´erminos del radio de curvatura R: S = S(R), S 0 = S 0 (R) y m = m(R), respectivamente. b) Si |R1| = 50 cm y |R2| = 150 cm, dibuje una imagen aproximada del rect´angulo en el espejo en los siguientes casos: (i) x0 = 22,5 cm y (ii) x0 = |R2 |. En ambos casos, determine si la imagen es real o virtual. 17. Espejos esf´ericos. Al Director de su colegio le encantan las ilusiones o´pticas y desear´ıa construir un juego tipo-LEGO que pudiera ser utilizado por los alumnos para deformar sus figuras. Es decir, para un ni˜ no de 1,5 mts de alto, podr´a ordenar de diferente manera 5 bloques cada uno de 30 cms. Cada bloque tiene un espejo c´oncavo o convexo, seg´ un la necesidad (ver figura 11). Debe asumir que los ni˜ nos se pondr´an a 60 cms desde el v´ertice de cada espejo (la pila de espejos estar´a alineada con respecto a este mismo par´ametro).

8

4x

-1/2x

1/6x

Espejo convexo

3x

1/5x

Espejo cóncavo

Figura 11: Juegos o´pticos tipo LEGO. a) Determine los espejos necesarios (R1 , R2 , R3 , R4 y R5 , enumerados desde arriba) para que la imagen del ni˜ no se deforme como se indica en la figura. b) Llevar su idea a la pr´actica. 18. Lentes compuestas: Acr´omata (P). Una lente acrom´atica consiste de dos lentes pegadas, com´ unmente una lente positiva de bajo ´ındice de refracci´on y una lente negativa de alto ´ındice de refracci´on. Lentes acr´omatas son por lejos superiores a lentes individuales cuando las im´agenes son multicoloridas. Las dos lentes que componen una lente acrom´atica (literalmente, “una lente sin color”) son puestas juntas para corregir la separaci´on focal de colores propias del vidrio (vea figura 12). R1

R2 R3

Luz blanca

Luz blanca

foco luz azul

foco luz roja

foco común

n1

n2 Lente positiva

Lente acrómata

Figura 12: Comparaci´on lentes.

Considere los siguientes ´ındices de refracci´on para luz roja y azul de los dos tipos de vidrio que componen este tipo de lentes: n1(rojo) = 1.4, n1(azul) = 1.45, n2(rojo) = 1.7, y n2(azul) = 1.775. Las lentes est´an rodeadas por aire (naire = 1). a) Considere el foco efectivo para lentes muy cercanas. Si R1 = 4 cm y R3 = ∞ ¿cu´al es el valor de R2 tal que la luz roja y la azul son enfocadas en el mismo punto? 9

b) Encuentre las distancias focales para la luz roja y la azul de la lente convergente (n1) y la plano-c´oncava (n2) por separado. 19. Lentes compuestas (P). Un fabricante de c´amaras fotogr´aficas est´a explorando nuevos dise˜ nos para lentes compuestas variando los par´ametros f´ısicos del sistema, es decir, los radios de curvatura de las lentes y los ´ındices de refracci´on de ´estas. Finalmente el fabricante logra construir un sistema compuesto de tres lentes delgadas pegadas (no hay distancia entre lentes) como lo muestra la figura 22. R1

R4 R2

O

R3

fe

fe

n1

n3 n2

Figura 13: Sistema de lentes compuestas. a) Si n1 = n3 y |R2 | = |R3 |, encuentre el inverso del foco efectivo (fe−1 ) para este sistema de lentes (simplifique la expresi´on matem´atica tanto como pueda). b) Si |R1 | = 150 cm, |R2 | = 50 cm, n1 = 4/3 (agua) y n2 = 3/2 (obsidiana), encuentre el valor del foco efectivo en t´erminos del u ´ltimo radio de curvatura, es decir fe = fe (R4 ). Dibuje aproximadamente esta funci´on verificando los l´ımites |R4 | → 0, ∞. Determine adem´as, para qu´e valor de |R4 | el foco efectivo se indefine. ¿Para qu´e valor de |R4 | el foco efectivo ser´a igual a −fe (|R4 | → ∞)? c) Se define la dispersi´on ´optica (δn) de un material como la diferencia entre el ´ındice de refracci´on de la luz azul (na ) con el ´ındice para la luz roja (nr ): δn ≡ na − nr . El fabricante quiere que este sistema de lentes funcione como una lente acr´omata, es decir que el foco efectivo para la luz azul sea el mismo que para la luz roja: fea = fer . Para los valores de los radios |R1 |, |R2 | y |R4 | = |R1 |/4 de la parte (b), determine cu´anto debe vale la raz´on entre la dispersi´on del material central con respecto a la dispersi´on del material utilizado en los costados: δn2 /δn1 . 20. Sistema de im´agenes (P). Don Juan tiene una m´aquina pulidora con la cual puede obtener la curvatura deseada para fabricar lentes. Sin embargo, su m´aquina tiene un mal desempe˜ no cuando los radios de curvatura son peque˜ nos, raz´on por la cual no puede fabricar lentes de longitud focal corta. Una forma de generar focos peque˜ nos es utilizando combinaciones de lentes, mientr´as mayor el n´ umero de lentes menor ser´a el foco efectivo. a) Considere la combinaci´on de N lentes convergentes en donde cada lente tiene el radio de curvatura derecho igual al izquierdo. Encuentre el foco efectivo del sistema (fe ) si todas las lentes tienen igual radio de curvatura (Ri = R) y, todas est´an hechas del mismo material (ni = n0 ). Eval´ ue num´ericamente el resultado para R = 4 cm y los ´ındices: n0 = 6/5, 4/3, cuando N = 1 y 10. 10

espejo

b) Considere ahora el sistema ´optico de la Figura 14. La lente L corresponde a la lente efectiva de la parte (a) y, a la izquierda, a una distancia d = 2fe , se coloca un espejo esf´erico de radio r = 3fe . Una pulga es colocada a una distancia fe /2 a la izquierda de L. Encuentre y dibuje la imagen final del sistema comenzando primero por la imagen formada por L. Luego utilice esa imagen como objeto para el espejo esf´erico. Determine si las im´agenes son reales o virtuales, derechas o invertidas, y agrandadas o disminuidas. Determine adem´as la magnifici´on total de ´este sistema o´ptico. (NO EVALUE fe !) c) Repita la parte (b) para d = 12fe /5. Si realiza bien los c´alculos, podr´a entender las amplias posibilidades de este sistema o´ptico como proyector con un sintonizado fino dado por la lente compuesta y una amplificaci´on gruesa dada por el espejo esf´erico.

r L fe

fe/2

fe

d Figura 14: Sistema o´ptico de im´agenes.

21. Arcoiris. En este problema, buscamos aprender c´omo se produce un arcoiris. En el siglo XIV, Teod´orico de Freiberg explic´o el arcoiris como consecuencia de la refracci´on y reflexi´on interna dentro de gotas individuales de lluvia. En esa ´epoca todav´ıa no se conoc´ıa la Ley de Snell, as´ı que ustedes tendr´an una enorme ventaja para explicar correctamente este fen´omeno. La idea de este problema consiste en estudiar c´omo se refracta, refleja y vuelve a refractar un rayo de luz “blanca” que incide sobre una gota de agua y c´omo, debido a esto, se separan los colores dando lugar a un arcoiris.

Un rayo de luz solar (luz blanca) incide sobre una gota esf´erica de agua formando un a´ngulo de incidencia α con respecto a la superficie (ver figura 15). Debido a la dispersi´on 11

crom´atica del agua, la luz roja y la luz azul se separar´an al refractarse. El ´ındice de refracci´on del aire es 1 y el del agua depender´a de la longitud de onda (color). a) Dibuje la trayectoria de dos rayos - uno de luz roja y uno de luz azul - al refractar desde el aire al interior de la gota, luego reflejarse al interior de ´esta y, por u ´ltimo, azul rojo refractar desde el agua al aire. Considere para ´esto que nagua < nagua . b) Determine el a´ngulo de salida (θS ) de la luz (roja o azul) con respecto a la superficie terrestre (linea paralela al rayo incidente). Exprese su resultado en t´erminos del a´ngulo de incidencia α y del ´ındice de refracci´on nagua . c) Utilize la expresi´on encontrada en q(b) y demuestre que θS es un m´aximo con respecto al ´angulo α cuando: cos αm =

(n2agua − 1)/3.

azul d) Sean nrojo angulos αm y θS m´aximo para ambos agua = 1,33 y nagua = 1,35. Encuentre los ´ colores. Con este c´alculo entender´a porqu´e para ver un arcoiris hay que estar a una distancia m´ınima y porqu´e no es posible verlo bajo la lluvia!

α

Figura 15: Luz blanca incidiendo en una gota de agua esf´erica.

22. Interfases esf´ericas. Un trozo de cristal genera m´ ultiples im´agenes dependiendo de los radios de curvatura que tenga. Un artesano pule el cristal de forma tal que el radio de curvatura izquierdo es |R1 | = 4cm y el del derecho es |R2 | = 6cm (ver figura 16). Los ´ındices de refracci´on exteriores son iguales, es decir n1 = n3 = 1 y n2 = 2 (cristal puro). Cada cuadrado en la figura 16 corresponde a 1cm. a) Determine los cuatro focos de este cristal y ub´ıquelos en la figura. b) El objeto O1 , de altura h1 = 4cm, se ubica a 8cm a la izquierda del cristal ¿d´onde se formar´a I1 ? ¿ser´a real o virtual? ¿m´as grande o m´as peque˜ na que el objeto? Para resolver estas preguntas trace primero un par de rayos conocidos y encuentre una primera imagen. Luego, utilice la f´ormula respectiva para validar su dibujo. c) Conside ahora I1 como un objeto (O2 ) para la siguiente interfase esf´erica (R2 ). ¿D´onde se formar´a la segunda imagen? ¿ser´a real o virtual? ¿m´as grande o m´as peque˜ na que el objeto inicial (O1 )? Para resolver estas preguntas trace primero rayos conocidos y encuentre, dibujando, la imagen final de este sistema o´ptico. Luego, utilice la f´ormula respectiva para validar su dibujo. 12

n1

n2

n3

R1 R2 h1

O1

c1

c2

Cristal

Figura 16: Cristal con interfases esf´ericas rodeados de los medios n1 y n3 . 23. Combinaci´on de espejos y lente. Buscamos estudiar el proceso de formaci´on de im´agenes cuando se combinan distintos componentes o´pticos; en particular, dos espejos planos y una lente convergente (vea figura 17). Al igual que como nos sucede cuando subimos a un ascensor, se formar´an tantas im´agenes como veces sigamos los rayos en su camino a trav´es de esta cavidad ´optica. Un objeto de altura h = 5 cm se localiza a 20 cm hacia la derecha de la lente, todo rodeado de aire.

O

Figura 17: Dos espejos enfrentados con una lente entremedio. a) Si la lente es plano-convexa tal que fL = 10 cm y n = 3/2 ¿cu´anto valen sus radios? b) Trace rayos hacia la derecha del objeto y encuentre las CINCO im´agenes que se forman antes que los rayos escapen de la cavidad. c) Trace rayos hacia la izquierda del objeto y encuentre las CUATRO im´agenes que se forman antes que los rayos escapen de la cavidad. d) Corrobore sus hallazgos (posici´on, tipo y tama˜ no de las im´agenes) con la ecuaciones respectivas. 13

24. Combinaci´on de una lente divergente y un espejo c´oncavo. Una lente negativa es puesta a la izquierda de un espejo c´oncavo de radio |R| = 12cm como se muestra en la fig. 18. El foco de la lente es id´entico en magnitud al del espejo: |fl | = |fe |; la distancia entre ambos dispositivos o´pticos es de 6cm. Cada cuadrado en la figura corresponde a 1cm. R h1 O1 s1

Figura 18: Montaje propuesto.

a) Un objeto de altura h1 = 2cm se ubica 12cm a la izquierda de la lente. Encuentre las tres im´agenes generadas en este sistema ´optico trazando rayos reales y virtuales. Para facilitar la tarea, dibuje primero los tres rayos reales conocidos (paralelo al eje, hacia el foco posterior, y el que pasa por el v´ertice) y, a continuaci´on, trace todas las extensiones virtuales de ´estos. Recuerde que los rayos virtuales corresponden a la extensi´on de los rayos reales que han sido curvados y/o desviados. Recuerde adem´as, que las lentes negativas tienen un comportamiento diferente a las positivas. b) Mediante la ecuaci´on de la lente delgada y una correcta interpretaci´on de los objetos e im´ agenes de este problema, verifique que las im´agenes encontradas en (a) sean correctas. Es decir, que est´en ubicadas en la misma posici´on que el dibujo y tengan la misma magnificaci´on. Recuerde el tratamiento de objetos e im´agenes cuando derivamos la ecuaci´on de la lente en clases. ´ 25. Optica Geom´etrica. Queremos recorrer el camino que sigue un rayo de luz a trav´es de distintos elementos o´pticos para as´ı estudiar las leyes fundamentales de la o´ptica, la ley de reflexi´on y la de refracci´on. En la figura 19 se muestra el sistema ´optico por el que la luz viaja. Primero un rayo de luz roja inside, desde el infinito, en una lente negativa de foco fl = −4 cm; luego enfrenta dos espejos planos; a continuaci´on ingresa a una semi-esfera de vidrio con ´ındice de refracci´on n1 > 2; despu´es de eso, ingresa en un prisma triangular de ´angulo 45◦ e ´ındice de refracci´on n2 = 2 por la cara en o con la semiesfera. Finalmente sale del sistema en direcci´ on opuesta a la inicial en la cara de salida. Cada cuadrado en el dibujo equivale a 1 cm y debe considerarlo para el c´alculo de los a´ngulos del problema. Todos los componentes est´an rodeados de aire (naire = 1). a) Dibuje el recorrido del haz a trav´es de este sistema o´ptico. Cuando la luz refracte, haga un trazado aproximado del camino que recorrer´ıa el haz de luz. b) ¿Cu´anto vale n1 para que el rayo salga en direcci´on opuesta a la inicial?

14

Aire Luz incidente

Aire

Aire n1 C

π/4

n2

Aire

Cara salida

Figura 19: Montaje propuesto.

26. Interfases esf´ericas. Un trozo de cristal genera m´ ultiples im´agenes dependiendo de los radios de curvatura que tenga. Don Pablo pule el cristal de forma tal que el radio de curvatura izquierdo es |Ri | = 6 cm y el del derecho es |Rd | = 4 cm. Los ´ındices de refracci´on exteriores son iguales, es decir n1 = n3 = 1. n2 = 2 (rub´ı). El cristal puro refleja alrededor de un 50 % de la luz cuando la luz va desde el cristal hacia el aire, por lo que este sistema generar´a im´agenes por reflexi´on y tambi´en por refracci´on. Un objeto O, de altura h = 2 cm, se ubica a 8 cm a la derecha de la superficie izquierda y a 7 cm de la superficie derecha del cristal. Cada cuadrado en la figura 20 corresponde a 1cm. a) Determine los cuatro focos de refracci´on y los dos de reflexi´on de este cristal y ub´ıquelos en la figura. b) ¿D´onde se formar´an las dos im´agenes debidas a la refracci´ on de la luz? ¿ser´an reales o virtuales? ¿m´as grandes o m´as peque˜ nas que el objeto? Para resolver estas preguntas trace primero un par de rayos conocidos hacia la izquierda y hacia la derecha del objeto y encuentre las im´agenes. Luego, utilice la f´ormula respectiva para validar su dibujo. c) ¿D´onde se formar´an las dos im´agenes debidas a la reflexi´ on de la luz? ¿ser´an reales o virtuales? ¿m´as grandes o m´as peque˜ nas que el objeto? Para resolver estas preguntas trace primero un par de rayos conocidos hacia la izquierda y hacia la derecha del objeto y encuentre las im´agenes. Luego, utilice la f´ormula respectiva para validar su dibujo.

15

Ri

Rd

n1

n3

C1

C2

O

Eje óptico

n2

Figura 20: Cristal con interfases esf´ericas rodeados de los medios n1 y n3 .

27. Burbuja de aire (P). Para estudiar la generaci´on de im´agenes debida a interfases esf´ericas proponemos el siguiente problema ilustrado en la figura 21. A veces podemos encontrar artesan´ıa de vidrio con burbujas en su interior; buscamos estudiar - aproximadamente - cu´al ser´ıa el efecto visual de estas burbujas. n0 = 1, n1 = 4/3, R = 5 cm y S1 = 5 cm. n0

n1 n0

n1

O

C

S1

n0

Figura 21: Bloque de vidrio con b´ urbujas.

a) Calcule los focos asociados a este problema y ub´ıquelos en la figura. b) Utilizando la f´ormula de im´agenes resuelva el problema completo. Es decir, encuentre las CUATRO im´agenes formadas, incluyendo su magnificaci´on con respecto al objeto original. c) Dibuje dos rayos que coincidan con lo calculado en la parte (b). Ponga atenci´on con la geometr´ıa del problema para dibujar correctamente sus rayos.

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28. Combinaci´on de lentes. En este problema buscamos demostrar que cuando tenemos lentes delgadas pegadas el foco equivalente del sistema corresponde a la ecuaci´on (6) del formulario. El diagrama para resolver esta pregunta es presentado en la figura 22. R2

R1

O

C2

R3

C1

n0

C3 n0

n1

n2

e1

e2

Figura 22: Combinaci´on de lentes.

a) Dibuje la trayectoria de dos rayos de luz cuando n0 < n2 < n1 . Recuerde dibujar adem´as las extensiones virtuales de los rayos curvados al igual que las extensiones de los rayos obstruidos. Como no se dan valores num´ericos, aproxime la trayectoria de los rayos tratando de generar im´agenes (intersecciones) dentro del dibujo. Describa las im´agenes y nuevos objetos encontrados. b) Utilizando la f´ormula de im´agenes, demuestre que la suma de los inversos de los focos de cada lente por separado, corresponde al foco efectivo del sistema. Considere a las lentes como delgadas, es decir en sus c´alculos considere e1 , e2 → 0.

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´ FORMULAS Ley de Snell : ni sin θi = nt sin θt

(1)

sin(x ± y) = sin x cos y ± sin y cos x

(2)

cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin y sin x

(3)

1 1 1 + 0 = s s f

(4)

Trigonometr´ıa:

Ecuaci´on de lente delgada:

Distancia focal de espejos esf´ericos: f =−

R 2

(5)

Formaci´on de im´agenes en una superficie refractante esf´erica: ni nt nt − ni + 0 = s s R Ecuaci´on del fabricante de lentes (lente rodeada de aire): 1 1 1 = (n − 1) − f R1 R2

(6)

(7)

Distancia focal efectiva para un sistema de lentes delgadas pegadas: 1 1 1 = + + ··· f f1 f2 Magnificaci´on: m=

s0 h0 → mlentes = mespejos = − h s

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(8)

(9)