Columnas Intermedias Final 3q6g6x

5. COLUMNAS DE LONGITUD INTERMEDIA, FORMULAS EMPIRICAS El estudio realizado demuestra que en las columnas esbeltas es aplicable la formula de Euler siempre que la esbeltez mecánica sea mayor que el valor para el que el esfuerzo medio alcance el límite de proporcionalidad. En el caso de columnas de acero articuladas en sus extremos, este límite es L/r˙

100 para un límite de proporcionalidad de 200 MPa. La

fórmula de Euler no es válida para esbelteces menores. La definición de columna corta como aquella en la que su longitud no excede diez veces su menor dimensión transversal, hace que el límite superior de la esbeltez mecánica, en columnas cortas de sección rectangular, sea aproximadamente igual a 30. Para todo efecto práctico, el esfuerzo limite en una columna corta es el del límite de cedencia, de manera que se requiere sumo cuidado para evitar el pandeo cuando alcanza este valor del esfuerzo. La figura 11-8 muestra estas condiciones para un acero con un límite de fluencia de 280 MPa y un límite de proporcionalidad de 200 MPa. Se han propuesto varios métodos para cubrir la zona entre el límite superior de las columnas cortas y el inferior de las largas. Sin embargo, ninguno de ellos ha sido universalmente aceptado para las columnas intermedias, en parte por su desviación de la relación esfuerzodeformación cuando los esfuerzos exceden al límite de proporcionalidad, y en parte por la indeterminación de la superposición de los esfuerzos directos y de flexión, al reducir la carga mediante un coeficiente de seguridad, para que los esfuerzos sean inferiores al límite de proporcionalidad.

Figura 11-8

Se han desarrollado muchas fórmulas empíricas para las columnas intermedias de acero, por ser un material muy empleado en las estructuras. Se examinan en primer lugar, y luego se verá la aplicación a otros materiales. Es uno de los métodos propuestos - el de la teoría del doble modulo - se generaliza la aplicación de la fórmula de Euler a las columnas intermedias, con esfuerzos sobre el límite de proporcionalidad, sustituyendo el modulo elástico constante E por un módulo reducido Ê, es decir,

(11-6)

El modulo reducido Ê, que también se llama módulo de tangente o tangencial, es la pendiente de la tangente al diagrama de esfuerzo-deformación en el punto que corresponde al esfuerzo medio en la columna. Esta fórmula proporciona una curva que empalma las dos graficas representativas de las columnas cortas y largas. Aunque este método es empírico, ya que la fórmula de Euler se basa en la proporcionalidad esfuerzo-deformación, los ensayos reales demuestran una gran concordancia con la curva teórica. Otros métodos son puramente empíricos. Uno de los más sencillos propuesto en 1886 por T. H. Johnson, consiste en ajustar una recta a los valores medios de las series de numerosos ensayos obtenidos graficando los valores de P/A, (cuando se va a producir la rotura por pandeo), en función de los valores correspondientes de L/r. La ecuación general de esta fórmula lineal es:

En donde

es la ordenada en el origen (para L/r = 0) y C es la pendiente de la recta.

Los resultados obtenidos por Tetmajer y Bauschinger en ensayos con varillas de acero estructural con los extremos articulados, han sido muy utilizados y dan para la carga crítica la expresión: MPa

(11-7)

En la figura 11-8 se representa esta expresión. Como se ha dicho, el punto de cedencia es el límite practico de P/A; en la ecuación (11-7), para un punto de cedencia de 280 MPa, el valor de la esbeltez es L/r = 35, que corresponde al límite inferior de aplicación de dicha fórmula. Si la ecuación (11-7) se divide entre el coeficiente de seguridad 3, se obtiene una ecuación para las cargas de trabajo que ha sido muy empleada, y que aparecía antes en todos los reglamentos de construcción. Sin embargo, es tan conservadora, que ha sido sustituida en la mayoría de los tratados, y en la práctica, por otras que se examinan más adelante. En lo sucesivo se cita con el nombre de formula lineal expresada por:

(11-8)

MPa

Los límites de aplicación de esta fórmula son las esbelteces comprendidas entre 30 y 120 para elementos principales, pero puede aplicarse con esbelteces de 150 en elementos secundarios. Por debajo de L/r = 30 se utilizara P/A = 96.5 MPa. Otra fórmula muy empleada es la de Rankine-Gordon, planteada hacia 1860. Supone que la deflexión máxima en una columna varia con

, es decir,

, siendo

una

constante que depende de las condiciones de sujeción de los extremos. En estas condiciones, el esfuerzo máximo en una columna viene dada por:

Por lo que la fórmula para el esfuerzo medio P/A es:

Una forma muy utilizada de esta expresión, que se ha llamado de Rankine-Gordon, es: MPa

(11-9)

Esta expresión, que incluye un factor de seguridad, es válida para elementos principales con esbelteces comprendidas entre 60 y 120, y para elementos secundarios hasta L/r = 200. Por debajo de L/r = 60, se especifica tomar un esfuerzo de trabajo de P/A = 103 MPa. Otra fórmula más para las columnas de longitud intermedia es la del tipo parabólico, propuesta en 1892 por el profesor J.B. Johnson. (No tiene nada que ver con T.H. Johnson, de la forma lineal.) La expresión tiene la forma general:

En la que

es el esfuerzo en el punto de cedencia, y C una constante elegida de forma que

la parábola sea tangente a la curva de Euler. El AISC (American Institute of Steel Construction) define el limite entre columnas intermedias y largas como el valor de la relación de esbeltez

dado por

Donde E es el módulo de elasticidad (200 GPa para la mayoría de los tipos de acero) y

es

el esfuerzo en el punto de cedencia para el tipo particular de acero empleado. Para columnas de longitud efectiva Le y radio de giro mínimo r, el AISC especifica que para , el esfuerzo de trabajo,

, esta dado por =

MPa

(11-10)

(Nótese que esta es la fórmula de Euler con un factor de seguridad de 23/12 = 1.92.) Para , el AISC específica la formula parabólica (11-11)

Donde el factor de seguridad, FS, está dado por (11-12) FS =

Obsérvese que el factor de seguridad es 1.92 cuando relación de esbeltez. La variación de en la figura 11-9.

con

=

y disminuye al aumentar la

para diferentes tipos de acero se muestra

Figura 11-9. Esfuerzo de trabajo para columnas (especificaciones AISC) de diferentes tipos de acero

Todas las formulas anteriores son para columnas del tipo fundamental (extremos articulados). Aunque el empotramiento de los extremos aumenta la capacidad de carga (Sec. 11-3), las columnas de las estructuras, que son en su mayoría de longitud intermedia, no suelen tener sus extremos perfectamente empotrados, por lo que es un buen criterio suponerlos articulados, aunque la columna este remachada o sujeta de cualquier otra forma en sus extremos. En ocasiones, en un diseño económico de columnas, se puede aplicar la longitud efectiva o equivalente en el caso de empotramientos totales o parciales. Mencionemos también un formula, que se estudia en la sección 11-7, llamada formula de la secante, en la que se supone una determinada excentricidad en la carga, y que teóricamente es correcta, si se conoce exactamente la excentricidad, pero excesivamente engorrosa de aplicar. Su expresión es: (11-13) FS =

En donde

es el esfuerzo producido por una carga P aplicada con una excentricidad e

conocida. El valor de c es la distancia desde el eje con respecto al cual se deforma la columna a la fibra más alejada, y ec/ la formula de Rankine-Gordon.

es la relación equivalente a

en el estudio de

Ahora considérense fórmulas para columnas de materiales diferentes al acero. La Aluminum Association, Inc. señala especificaciones para columnas de cada tipo de aleaciones de aluminio. Según estas, el esfuerzo isible es constante para columnas cortas; para columnas intermedias se utiliza una relación lineal que aproxima la fórmula del módulo tangencial. Para columnas largas se utiliza la fórmula de Euler. Por ejemplo, las especificaciones para la aleación de aluminio del tipo 2014-T6 son: MPa

(11-14) MPa

55

(11-15)

MPa

(11-16)

La longitud de la columna L en las especificaciones se define como la “longitud del miembro de compresión entre puntos de apoyo lateral, o el doble de la longitud de una columna en voladizo (excepto en aquellos casos en los que el análisis demuestre que se pueda emplear una longitud menor)”. Para columnas de madera, la National Lumber Manufacturers Association recomienda la fórmula de Euler en la siguiente forma: (11-17) Desde luego, se deben realizar ajustes por duración de la carga y contenido de la humedad. Para columnas rectangulares con dimensión mínima d, r =

y la ecuación (11-17) se

reduce a

Además de las formulas reseñadas se emplean otras muchas, e incluso en otras reglamentaciones, curvas o tablas que dan el esfuerzo medio P/A en función de la esbeltez L/r con coeficientes de seguridad constantes o variables, empezando con 2 para esbeltez cero, y aumentando progresivamente hasta 3 o 3.5 para esbelteces grandes. De todas formas, no es necesario retener en la memoria ninguna de ellas, ya que siempre se debe especificar la fórmula que se emplea, o emplear las de la reglamentación de cada país. Todas ellas tienen algo en común; la carga de trabajo disminuye al aumentar la esbeltez, aunque en distintas proporciones. Según la formula emplead, la misma columna puede soportar en general varias cartas legales de seguridad.

PROBLEMAS ILUSTRATIVOS

1. Mediante la fórmula de AISC determinar la carga axial de trabajo en una columna constituida por un perfil W360 x 122 en las siguientes condiciones: (a) Articulada en sus extremos y con una longitud de 9m. (b) Extremos perfectamente empotrados y longitud de 10m. (c) Extremos perfectamente empotrados, longitud de 10m y sujeta lateralmente en el centro. Use

= 380 MPa.

Solución: La tabla del apéndice B da para el perfil W360 x 122, A = 15500

Parte (a). Para

y

= 380 MPa la relación de esbeltez limite es

Aquí la relación de esbeltez es

=

= 143, que es mayor que

. Así,

el esfuerzo de trabajo esta = 50.4 MPa Y la carga axial es P= A

P=

= 781KN Resp.

Parte b). Usando el concepto longitud efectiva, se obtiene que una columna con extremos empotrados es equivalente a una columna con extremos articulados de la mitad de longitud de aquella. De aquí, con esbeltez es

= 0.5L = (0.5)(10) = 5 m, la relación de

= 5000/63.0 = 79.4, que es menor que

= 102. De esta suerte, el

esfuerzo de trabajo se determina como sigue. FS =

FS =

donde

= 139 MPa Finalmente la carga axial es

= 1.90

P= A

P=

= 2150KN Resp.

Parte c). Arriostrada en su punto medio, la columna es equivalente a una de 5 m de longitud, fija en un extremo y articulada en el otro. La longitud efectiva es 0.7(5) = 3.5 m, de donde

= 3500/63.0 = 55.6, que es menor que

Procediendo como en la parte (b), obtenemos FS = 1.85 y

= 0.7L = = 102.

= 175 MPa. De aquí que

la carga de seguridad sea P= A

P=

= 2750KN Resp.

Este problema ilustra cómo se aumenta considerablemente la resistencia de una columna cuyos extremos estén perfectamente empotrados. Ya que esta condición nunca se da en la realidad, es preferible suponer extremos articulados al determinar cargas isibles, o bien, ser más realista al seleccionar una longitud efectiva con extremos empotrados de alrededor de 0.75L, en lugar de 0.5L. 2. Determinar un perfil W para soportar una carga axial de 360 kN con una longitud de 4.6 m. Emplear las especificaciones AISC con

= 250 MPa.

Solución: Ya que tanto el área A como el radio de giro mínimo r son desconocidos, y no se puede establecer una relación conveniente entre ambos, la selección del perfil tiene que hacerse por ensayo y error. Los pasos son: (1) suponga un esfuerzo de trabajo; (2) calcule el área requerida; (3) seleccione el perfil W más ligero según área calculada en (2); y (4) para este perfil, calcule la carga isibles según las especificaciones de columnas. Si esta carga es igual (o ligeramente mayor que) la carga aplicada, el perfil seleccionado es el adecuado. Si la carga isible es menor que la aplicada, debe buscarse un perfil más robusto y repetirse el procedimiento. Desde luego, el número de ensayos que deban realizarse antes de determinar el perfil adecuado depende de que tan próximo este el esfuerzo supuesto del esfuerzo real. Una recomendación es suponer un esfuerzo de trabajo inicial de 80% del esfuerzo para L/r = 0, determinando de las especificaciones para columnas. Para el acero con = 250 MPa, la relación de esbeltez limite es

Primer ensayo.

Para

= 0, FS = 5/3 y

=

/FS = 250/ = 150 MPa.

Suponiendo un esfuerzo inicial de 0.80(150) = 120 MPa, el área requerida es

A= =

=

= 3000

Así de la tabla B-2 del apéndice B, se selecciona un perfil W200 x 27 con A =3390 y r = 31.2 mm. Para este perfil

= 4600/31.2 = 147, que es mayor que

=

126. Así, el esfuerzo de trabajo para esta sección es = 47.7 MPa Por lo tanto, la carga isible es P = A =

= 162 kN. Ya

que esta es menor que la carga aplicada, el perfil se rechaza. Segundo ensayo. Ahora selecciónese un perfil W200 x 36, que tiene mayor área y mayor radio de giro mínimo. Para esta sección, A = 4580 4600/40.9 = 112, que es menor que

, r = 40.9 mm y

=

= 126. El esfuerzo de trabajo para esta sección

se determina como sigue: FS =

FS =

= 1.91

donde

= 79.2 MPa Finalmente la carga axial es P= A

P=

= 363 kN

Ya que la carga es solo ligeramente mayor que la aplicada de 360kN, se acepta el perfil W200 x 36. El procedimiento para seleccionar un perfil se simplifica grandemente usando tablas queden las cargas axiales isibles para diferentes secciones de diversas longitudes. Tales tablas se encuentran en un manual para acero, como el publicado por la AISC. Sin embargo, este problema ilustra el método de ensayo y error que surge frecuentemente en el diseño estructural.

6. COLUMNAS CARGADAS EXCENTRICAMENTE

Aplicando este procedimiento a la columna de la figura 11-10, que soporta una carga axial y una carga P con excentricidad e, el criterio de dimensionado debe ser:

En donde ……….

Figura 11- 10. Carga axial

y carga excéntrica P en una columna.

Por ejemplo, la AISC recomienda que, cuando el esfuerzo axial calculado fa se menor que el esfuerzo real Fa que se permitiría si solo actuara el esfuerzo axial calculado fa sea menor que el esfuerzo axial, los momentos secundarios pueden despreciarse y el miembro debe satisfacer el siguiente criterio: (a) Cuando

> 0.15

, no pueden despreciarse los efectos del momento secundario. En estos

casos, la AISC requiere que se cumplan las siguientes desigualdades +

+

+

(b)

+

(c)

En las desigualdades

,

=

= 0.85 = 0.6 – 0.4(

–

0.4

/

Figura 11-11

PROBLEMA ILUSTRATIVO 1. Un perfil W360 x 134 se emplea como columna de 7m de longitud efectiva para soportar un carril de una grúa viajera en una nave industrial. Determinar la máxima reacción isible P si la columna soporta también una carga de 400kN procedente de la planta superior, como se indica en la figura 11-11. Use el enfoque del máximo esfuerzo (Sec. 11-19) y las especificaciones de la AISC, con

250 MPa.

Solución: La tabla B-2 del Apéndice B da las propiedades de un perfil W360 x 134 con A = 17100

,

= 2330

7000/94.0 = 74.5.Para

Ya que

<

bajo como sigue:

y r = 94.0mm. La relación de esbeltez

=

250 MPa, la relación de esbeltez critica es

, la formula AISC apropiada (ec. 11-11) determina el esfuerzo de

FS =

FS =

= 1.86

de donde

= 111 MPa Usando el enfoque del máximo esfuerzo consideramos que la columna actúa como un miembro corto sometido a compresión y cargado excéntricamente, limitado a su esfuerzo máximo de 111 MPa. Aplicando la ecuación (11-19) se obtiene

P = 896

N = 896 kN

Resp.

7. FORMULA DE LA SECANTE Se trata de determinar la máxima tensión que se presenta en una columna recta, cargada con una fuerza axial excéntrica. El máximo momento flector se presenta en el centro de la columna, y en dicha sección la máxima tensión se produce a su vez en el punto donde se suman la tensión de compresión debida al esfuerzo axial y la tensión de compresión debida a la flexión. Esto ocurre en el punto que está más alejado del centro de gravedad, en la zona de compresiones debidas a la flexión, y la tensión en él vale: = (11- 19)

siendo c la distancia desde el centro de gravedad de la sección al punto más alejado que haya en ella, en la zona de compresiones debidas a la flexión. Sustituyendo los valores del momento y de la carga crítica de Euler en función de la esbeltez ,la expresión anterior queda: (11- 20) =

Esta relación se conoce como fórmula de la secante, y establece una relación muy interesante entre las siguientes magnitudes: • La tensión máxima que aparece en la columna para una situación dada. Normalmente el valor máximo isible de esta tensión máxima depende del material empleado y puede considerarse un parámetro de diseño. Típicamente su valor es el límite elástico del material

, afectado de un eventual coeficiente de seguridad.

• El módulo de elasticidad E del material. • La esbeltez de la columna λ. • La excentricidad relativa de la carga, caracterizada por el factor • La tensión nominal de compresión en la columna P/A. Este cociente puede entenderse como la tensión axial nominal que puede soportar una columna, en unas determinadas condiciones de esbeltez, excentricidad de la carga, tensión máxima isible, etc. La figura 11.12 muestra una representación gráfica de la fórmula de la secante para los valores típicos del acero empleado en construcción metálica. Se emplean como parámetros de la gráfica el módulo de elasticidad y la tensión máxima isible en el material, y se representan en abscisas la esbeltez λ y en ordenadas la tensión nominal P/A. Se obtiene así una familia de curvas, para los distintos valores del parámetro de excentricidad, en las que todos los puntos de una misma curva corresponden a la misma tensión máxima. En la misma figura se han representado la curva correspondiente a la hipérbola de Euler y el valor de la tensión máxima isible en el material, que actúa como límite a la curva de Euler.

Figura 11-12

Se observa que a medida que el parámetro de excentricidad tiende a cero, las curvas de la fórmula de la secante tienden a la curva de Euler. Cuando tanto la esbeltez como la excentricidad tienden a cero, la curva correspondiente de la fórmula de la secante tiene como asíntota el valor de la tensión máxima. En estas condiciones, la ecuación (11-20) se trasforma en (11-21) =

Para aplicar esta ecuación hay que proceder por tanteos. Se facilita su aplicación hallando los valores de la esbeltez L/r para una serie de valores de P/A, y con distintos valores la relación de excentricidad

tales como 0.2, 0.4, etc., 1.0. Este procedimiento da los

resultados de la tabla 11-1, de los cuales se pueden graficar las curvas de diseño de la figura 11- 13. Es interesante observar que cuando la esbeltez se aproxima a cero el valor de la secante en la ecuación (11-20) tiende a la unidad y, por lo tanto, la ecuación (11-20) se transforma, en límite. =

=

Que es una ecuación para cargas concéntricas en elementos cortos. TABLA 11-1. Datos de diseño para la ecuación (11-21) donde se emplean

= 290 MPa, f = 2 , y E = 200 GPa

8. CONCLUSIONES Las vigas se clasifican en: Largas. Medias Elementos cortos. - Las vigas se estudian mediante las formulas planteadas por Leonhard Euler. - Como la resistencia a la flexión varia con el momento de inercia, el valor de I en la fórmula de Euler es siempre el menor momento de inercia de la sección recta. La tendencia al pandeo tiene lugar, pues, con respecto al eje principal de momento de inercia mínimo de la sección recta. - La fórmula de Euler también demuestra que la carga crítica que puede producir el pandeo no depende de la resistencia del material, sino de sus dimensiones y del módulo de elástico. - Para un área dada, el material debe distribuirse tan lejos como sea posible del centro de gravedad y de tal manera que los momentos de inercia con respecto a los ejes principales sean iguales, o lo más parecidos posible ( como en una columna hueca). 9. BIBLIOGRAFIA http://www.arquba.com/monografias-de-arquitectura/columnas/ http://www.efn.unc.edu.ar/departamentos/estruct/mec1_ic/cap9.pdf http://jacekleszczynski.com/images/5147/columnas.pdf