Clases De Control De Procesos 3q2h5p

INTRODUCCIÓN La implantación de un sistema de control sofisticado (basado en control robusto, redes neuronales, lógica difusa, control adaptativo, etc.) que sustituya a un controlador clásico, significa desde el punto de vista del Ingeniero de Instrumentación y Control, básicamente un problema de hardware. Por lo general se necesitaran nuevos puntos de instrumentación, cableado a la sala de control, sistemas veloces de adquisición de datos y el equipo (computador digital) que albergará y correrá la nueva estrategia de control. En un gran porcentaje de procesos y plantas de la industria, el reemplazo del tradicional PID por una estrategia de control más sofisticada no representa una mejora considerable en el comportamiento de la planta. En otras palabras, un PID con

sus

parámetros

adecuadamente

entonados

es

suficiente

para

un

comportamiento satisfactorio de la mayoría de los procesos prácticos. Esta afirmación plantea la interrogante de analizar las deficiencias en el uso de este tipo de controladores y factibilidad de potenciar el algoritmo. Las evidencias demuestran que las dificultades para su entonación, especialmente del componente derivativo, y el desconocimiento de estas técnicas, ocasionan que muchos de ellos funcionen con valores por defecto, con consecuencias negativas en el comportamiento del sistema de control. Adicionalmente, las variaciones en las condiciones de operación, la presencia de ruido, perturbaciones y las variaciones de la dinámica de la planta con el tiempo, ocasionan la pérdida de validez de la configuración, y exigen la repetición del experimento de entonación. Por esta razón, los controladores desarrollos que les permiten añadir

PID son objeto de interesantes

características de inteligencia, como

funciones de entonación automática y adaptación. La estrategia de implantación de estas técnicas, es la automatización del modelo del sistema (identificación) y el diseño de los parámetros del controlador.

Control Automático de Proceso

El objetivo del control automático de proceso es mantener en determinado valor de operación las variables del proceso tales como: temperaturas, presiones, flujos y compuestos, es decir; los procesos se controlan con mayor precisión para dar productos más uniformes y de más alta calidad, lo cual representa mayores ganancias.

Sistemas de lazo Abierto y Cerrado

Los sistemas de control de circuito abierto: son aquellos en que la información sobre la variable controlada no se emplea para ajustar cualquiera de las entradas del sistema, con el fin de compensar las variaciones de las variables de proceso.

Un sistema de control de circuito cerrado: implica que las variables controladas es la que se mide, y el resultado de esta medición sirve para manipular, cualquiera de las variables de proceso.

Control de Retroalimentación

En el sistema de control de circuito cerrado, la información sobre la variable controlada se vuelve a alimentar como base para controlar una variable de proceso, de donde se le designa como ―control de retroalimentación o alimentación inversa de circuito cerrado‖. Esta retroalimentación se logra a través de la acción de un operador (control manual) o por medio de los instrumentos (control automático).

Cuando un controlador automático se agrega a un proceso, el funcionamiento depende de la naturaleza del proceso, del tipo del equipo de control, y del cuidado con que se ajuste el controlador.

Dentro de los requisitos económicos y técnicos del proceso, los dos objetivos que se buscan al aplicar un controlador automático a un proceso son: 1) reducir el orden del sistema de proceso del controlador al orden práctico más bajo posible, y 2) reducir la constante de tiempo del sistema de proceso del controlador al valor práctico más pequeño.

Control de Alimentación Directa

El control de alimentación directa es de empleo general. Las perturbaciones del proceso se miden y compensar sin esperar a que un cambio en la variable controlada indique que ha ocurrido una perturbación. El control de alimentación directa es muy útil también en los casos en que la variable controlada final no se puede medir.

Diagrama de Bloque

Estos diagramas muestran las relaciones entre las variables del sistema y constituyen el método estándar para representar sistemas para fines de análisis o estudios. Hay acuerdos ya establecidos para la construcción o el diseño de diagramas de bloques. Las líneas representan señales que pueden ser flujos o corrientes de información, material o energía. Una unión o juntura circular de totalización representa una suma algebraica de la señal entrante y se utilizan para los elementos del sistema. En general, los rectángulos contienen notaciones que describen las características dinámicas del proceso.

Punto de suma Bloque R(s)

M(s)

+

E(s) GC(s)

C(s) M(s)

Flechas

Figura 1: Elementos de un diagrama de bloque

Funciones de Transferencia Utilizando Transformada de Laplace

El comportamiento de estado estacionario y dinámico de un sistema se determina resolviendo la ecuación diferencial que representa dicho sistema. La transformada de Laplace, a pesar de su gran utilidad, solo se puede aplicar a ecuaciones diferenciales de tipo lineal.

Las funciones de transferencia se definen como la razón de una transformada de Laplace de la variable de respuesta (salida) a la transformada de Laplace de la variable perturbación (entrada).

Los sistemas de procesos fluidos y térmicos manifiestan varias características dinámicas distintas, pero muchos de ellos se pueden describir por medio de combinaciones de cinco funciones de transferencia, las cuales se muestran en la siguiente tabla.

Tabla 1: Funciones de transferencia más utilizadas

Función de transferencia

Descripción

K

Elemento Proporcional

1 Ts

Elemento de Capacitancia

1 (Ts  1)

Elemento de Primer Orden

1 2 2 (T s  2Ts  1)

Elemento de Segundo Orden

e  Ls

Elemento de Tiempo Muerto

Fuente: Tomada del Perry; 1996. Tomo VI. Capitulo 22. Página 08.

Prueba del Proceso Escalón

El procedimiento de la prueba de escalón se lleva a cabo como sigue:

1.

Con el controlador en la posición ―manual‖ (es decir, el circuito abierto), se aplica al proceso un cambio escalón en la señal de salida del controlador. La magnitud del cambio debe ser lo suficientemente grande como para que se pueda medir el cambio consecuente en la señal del transmisor, pero no tanto como para que las no linealidades del proceso ocasionen la distorsión de la respuesta.

2.

La respuesta de la señal de salida del transmisor se registra con un graficador de papel continuo o algún dispositivo equivalente; se debe tener la seguridad de que la resolución es la adecuada, tanto en al escala de amplitud como en la de tiempo. La graficación de la señal de salida del transmisor contra el tiempo debe cubrir el período completo de la prueba, desde la introducción de la prueba de escalón hasta que el sistema alcanza un nuevo estado estacionario. La prueba generalmente dura entre unos cuantos minutos y varias horas, según la velocidad de respuesta del proceso.

Naturalmente, es imperativo que no entren perturbaciones al sistema mientras se realiza la prueba de escalón. El siguiente paso es hacer coincidir la curva de reacción del proceso con el modelo de un proceso simple para determinar los parámetros del modelo. En la figura 4 se muestra una gráfica típica de la prueba, la cual se conoce también como curva de reacción del proceso, el siguiente paso es hacer coincidir la curva de reacción del proceso con el modelo de un proceso simple para determinar los parámetros del modelo. Luego se tiene la siguiente ecuación:

C (s) 

Ke t o s m * s  1 s

Ec. (5)

Figura 4: Curva de reacción del proceso o respuesta escalón de circuito abierto El tiempo muerto t0 y la constante de tiempo  se pueden determinar al menos mediante tres métodos, cada uno de los cuales da diferentes valores.

Método 1. En este método se utiliza la línea tangente a la curva de reacción del proceso, en el punto de razón máxima de cambio; para el modelo POMTM esto ocurre en t = t0. La respuesta del modelo que se obtiene con este método no coincide muy bien con la respuesta real.

Figura 5: Respuesta escalón de un proceso de primer orden más tiempo muerto en la que se ilustra la definición gráfica de tiempo muerto, t0, y constante de tiempo τ.

Figura 6: parámetros del modelo POMTM que se obtiene mediante el modelo 1

Método 2. En este método t0 se determina de la misma manera que en el método1, pero con el valor de  se fuerza a que la respuesta del modelo coincida con la respuesta real en t = t0 +. El valor de la constante de tiempo que se obtiene con el método 2 es generalmente menor al que se obtiene con el método 1.

Figura 7: Parámetros del modelo POMTM que se obtienen con el método 2. Método 3. Al determinar t0 y  con los dos métodos anteriores, el paso de menor precisión es el trazo de la tangente en el punto de razón máxima de cambio de la curva de reacción del proceso. Aún el método 2, donde el valor de (t0 +) es independiente de la tangente, los valores que se estiman para t0 y  dependen de la línea. Para eliminar esa dependencia, el método de síntesis directa de ajustes de controladores (Smith, 1.975) propone que los valores de t0 y  se seleccionen de tal manera que la respuesta del modelo y la real coincidan en la región de alta tasa de cambio.

Figura 8: Parámetros del modelo POMTM que se obtienen por medio del método 3.

Con la experiencia se demostró que los resultados obtenidos con este método son más fáciles de reproducir que los que se obtienen mediante los otros dos y, por lo tanto, se recomienda este método para hacer la estimación de t0 y  a partir de la curva de reacción del proceso. Sin embargo, se debe tener en cuenta que algunas correlaciones para los parámetros de ajuste del controlador se basan en diferentes ajustes de modelos POMTM. Sobre el tema se proponen varios métodos para estimar los parámetros de un modelo de segundo orden más tiempo muerto (SOMTM) para la curva de reacción del proceso, pero por experiencia se sabe que tales métodos son pocos precisos, debido a que la prueba con escalón no proporciona suficiente información para obtener el parámetro adicional – constante de tiempo o razón de amortiguamiento – que se requiere para el SOMTM. En otras palabras, la mayor complejidad del modelo requiere una prueba dinámica más elaborada. La prueba con pulsos es un método adecuado para obtener los parámetros de modelos de segundo orden y superiores.

CONTROLADORES PID Los requerimientos de un sistema de control pueden incluir muchos factores como seguimiento de señales de entrada, regulación a un punto de ajuste específico, insensibilidad al ruido de medición y variaciones del proceso, además de rechazo a perturbaciones. A pesar de lo exigente de estos requerimientos, el regulador PID con sus acciones básicas de control proporcional, integral y derivativa, es capaz de controlar bien, la mayoría de los procesos industriales.

Cabe destacar, que el controlador PD es incapaz de detectar y corregir el offset. Si la variable de control cambia rápidamente, la acción correctora es rápida y de gran amplitud, es decir, el sistema de control actúa rápidamente antes que la magnitud del error sea grande produciendo estabilidad; si la variable controlada cambia lentamente, la acción correctora es casi nula. El control PI es adecuado para todos los procesos donde la dinámica es esencialmente de primer orden (control de niveles en tanques, válvulas reguladoras, reactores de mezcla, etc.). Adicionalmente, si el proceso ha sido diseñado de tal forma que su operación no requiere de un fuerte control, aún siendo su dinámica de mayor orden, lo que se necesita es una adecuada respuesta transitoria lograda por la acción proporcional, más una acción integral que elimine el offset en estado estacionario. Por su parte, el PID es adecuado para modelos cuya dinámica dominante es de segundo orden, aquí la acción derivativa mejora la respuesta, acelerándola. Para sistemas de mayor orden, la acción derivativa mejora el amortiguamiento, lo que permite utilizar una ganancia proporcional mayor para acelerar la respuesta transitoria. Un controlador PID puede describirse mediante la siguiente ecuación:  1 de(t )  u(t )  K e(t )   e( )d  Td  Ti dt  

(1)

donde u(t) es la salida del control y e(t) es el error de control, por definición es igual a la diferencia entre el setpoint y la salida del proceso. Los parámetros del controlador son la ganancia K, el tiempo integral T i y el tiempo derivativo Td. La salida de control es entonces la suma de tres términos: el proporcional, el integral y el derivativo, aplicados sobre la señal de error.

La forma de operación del sistema es como sigue:

Se mide la variable a controlar de la corriente de salida del sistema, lo cual se realiza mediante un sensor. El sensor se conecta físicamente con el transmisor, el cual capta la

salida del sensor

y lo convierte en una señal lo suficientemente intensa como para

trasmitirlo al controlador. Este recibe la señal, que esta relacionada con la variable medida, la compara con el valor que sea o set point y según el resultado de la comparación, decide que hacer para mantener la variable en el valor deseado. En base a la decisión, el controlador envía otra señal al elemento final de control, el cual maneja la variable que modificará el estado actual de la variable medida de ser necesario.

Por lo dicho anteriormente, se pueden definir una serie de términos ampliamente utilizados en el control automático de procesos (Smith y Corripio, 1.995):  Variable controlada: es la variable que debe mantenerse o controlarse dentro de algún

valor deseado.  Punto de control: comúnmente llamados set point, es el valor en el cual se debe

mantener la variable controlada.  Variable manipulada: es la variable que se utiliza para mantener la variable controlada

en el punto de control.  Perturbación: es cualquier variable que pueda ocasionar que la variable de control se

desvíe del set point. Es importante saber que las perturbaciones son la causa más común de que se requiera un control automático de procesos.  Circuito a lazo Abierto: se refiere a la situación en la cual se desconecta el controlador

del sistema de control, o cuando el proceso no forma parte de un sistema de control. En este caso nos e efectúa ninguna acción relativa a como mantener la variable controlada en el punto de control.  Circuito a Lazo Cerrado: se refiere a la situación en la cual se conecta el controlador al

proceso, el controlador compara la variable controlada con el punto de control y determina la acción correctiva.

5.2 Componentes de un Sistema de Control.

Figura N° 8: Diagrama de Bloque de un circuito típico de control por retroalimentación

F(S)

R(s)

Ksp

+

E(S)

GC (S)

GF (S)

M(s)

GV (S)

Q(s)

GS (S)

+

+

x(s)

H (S)

Donde : H(S): función de transferencia del sensor – transmisor. Gc (S): función de transferencia del controlador. Gv(S): función de transferencia de la válvula o elemento final de control. Gs(S): función de transferencia del sistema. F(S): variable de perturbación del sistema. Ksp: factor de escala para el punto de control de la variable x. R(S): punto de control o set point.

Ahora se presentará la descripción de los principales componentes de este circuito.

5.2.1 Sensores y Transmisores.

Los sensores y transmisores realizan las operaciones de medición en el sistema de control. En el sensor se produce un fenómeno mecánico, eléctrico o similar, el cual se relaciona con

la variable de proceso que se mide. El transmisor por su parte, convierte este fenómeno en una señal que se puede transmitir hacia el controlador. (Smith y Corripio, 1996).

Al analizar la dinámica de un proceso, la función de transferencia de un sensor, transmisor, se puede representar mediante un retardo de primer orden.

H (S ) 

K  S 1 T

(3)

T

Donde: T: constante de tiempo del transmisor. KT: ganancia del sensor transmisor. Definiéndose KT como la relación del rango de salida con respecto al rango de entrada del sensor transmisor se puede decir que:

K

T



P V

(4)

Donde : P: rango de salida del sensor transmisor. De 4-20 m.A. si el instrumento es electrónico y de 3 –15 psi si es neumático. V: rango de la variable de proceso alimentado al instrumento.

Modelo matemático de la tubería:

La función de transferencia viene dada como:

Donde

;

L es la longitud del tramo de la tubería y Vo es la velocidad del fluido.

L = 3,5 mts, Vo = 2,2 m/s, entonces  = 0.7954 seg.

e 0.7954 Gtub  1  0.7954 s Modelo matemático de la válvula del caudal

Partiendo de la siguiente ecuación:

Donde; CA=caudal de acido sulfúrico, SCAC= salida del controlador

Aplicando Transformada de Laplace se obtiene la función de transferencia de la válvula: Gval 

Kv sTv  1

Donde: K v = span y Tv es la constante de tiempo de la válvula. Características de la válvula:

- La válvula presenta una característica lineal. - La calibración es entre un 40% y 100% del caudal máximo. El flujo máximo es de 1.28 lts/seg, y para un 40 % el flujo es 0,512. El span es de 0.762 lts/seg.

,

entonces

Gval 

Modelo matemático del transmisor de nivel

Partiendo de la siguiente ecuación:

Donde; LT = salida del transmisor, L = nivel del domo

0,762 1. 5 s  1

Aplicando Transformada de Laplace se obtiene la función de transferencia del transmisor:

HLT  Donde: K l 

Kl sTl  1

,

100% y Tl es la contante de tiempo del transmisor. Span

El transmisor está calibrado para sensar nivel comprendido entre 104 cm a 150 cm, el span es de 46 cm.

La constante de tiempo de los sensores de nivel son bastantes rápidas, por lo tanto son despreciables. La constante de los transmisores de nivel asociados poseen un damping comprendido entre 0.1 < t < 0.3 seg, La del transmisor en estudio es de 0.1 se

Kl 

100 2,17  2,17 , entonces: HLT  46 0.1S  1

5.2.2 Controladores

El controlador es el cerebro del circuito de control. Es el dispositivo que toma la decisión en el sistema de control y para hacerlo 

Compara la señal del proceso que llega al transmisor, la variable controlada, contra el punto de control.



Envía la señal apropiada la válvula de control o cualquier elemento final e control, para mantener la variable que se controla en el punto deseado.

El funcionamiento de los controladores se estipula de acuerdo al circuito donde se utilice. Se dice que el controlador trabaja en acción inversa, cuando para un incremento en la señal que entra al controlador se presenta una disminución en la señal que sale del mismo y trabajará de forma o acción directa cuando para un incremento en la señal de entrada, se presente un aumento en la señal de salida.

En términos generales la función de transferencia del controlador viene dada por la relación.

G

C

(S ) 

M (S ) M (S )  C ( S )  R( S ) E ( S )

(5)

Donde: E(S): transformada de Laplace de la función error. M(S): transformada de Laplace de la salida del controlador.

5.2.2.1 Tipos de Controladores  Controlador Proporcional (P): Es el tipo de controlador más simple. La salida del

controlador P es un múltiplo fijo del error medido, por lo tanto es un multiplicador. (Perry y col., 1996). La ecuación que describe su funcionamiento es: m(t)  m  K C  (r(t)  c(t)) m(t)  m  K C * e(t)

(6)

(7)

Donde m(t): salida del controlador (psi o ma.). r(t): punto de control (psi o m.A.). c(t): variable que se controla (psi o ma.). e(t): señal de error (psi o ma.). diferencia entre el punto de control y la variable que se controla. Kc: ganancia del controlador (psi /psi o m.A./mA.). M: valor base (psi o m.A.). Es la salida del controlador cuando el error es cero; generalmente se fija durante la calibración del controlador en el medio de la escala 9 psi o 12 mA.

Estos controladores tienen la ventaja de que solo cuentan con un parámetro de ajuste Kc, pero presentan la desventaja de operar con una desviación o error de estado estacionario en la variable que se controla.  Controlador Proporcional Integral (PI): Existe una gran cantidad de procesos que

deben controlarse en el set point, es decir, sin permitir desviaciones. En este caso se debe añadir inteligencia al controlador proporcional para eliminar la desviación. Esta nueva inteligencia es la acción integral o de reajuste y como consecuencia de esto, el controlador se convierte en un controlador proporcional integral. Esta es la ecuación que lo describe.

m(t)  m  KC (r(t)  c(t)  KC  r(t)  c(t) dt

τ

(8)

I

Donde I: tiempo de integración o reajuste minutos/repetición.  Controlador Proporcional Integral Derivativo (PID): Este controlador se utiliza en los

procesos donde es posible utilizar un controlador proporcional, pero se desea cierta cantidad de anticipación, acelerando la acción de control

La ecuación descriptiva es:

m(t)  m  KC * e(t)  KC  e(t)dt  Kc τD

τ

I

de(t) dt

(9)

Donde D: tiempo de derivación minutos por repetición.

A nivel industrial existen unas

variantes para el controlador PID que ofrecen mayor

efectividad en el control siempre y cuando sean utilizados en el proceso adecuado debido a que operan bajo ciertas características de proceso.

Las principales variantes del controlador PID son: 

Controlador PID Ideal.



Controlador PID Interactivo.



Controlador PID ISA



Controlador PID Industrial.

A continuación se presentan los diagramas de bloque para circuitos operando bajo estos sistemas de control y las funciones de transferencia para cada uno Tabla 1: Funciones de Transferencia de las Variantes del Controlador PID Función de transferencia Tipo de controlador PID

(Gc)

Ideal

K

Interactivo

ISA

Industrial

K

P

P

 1   

 1   

1  τI * S

τ

D

 * S  

  1  τD * S  1 *e * τI * S   1  τa * S 

 1   τD * P  e*  K  *s     * pv τI    1  τa * P 

K

P

 1   

  1  τD * S   1  * pv   D * S  pc -    1 *S  τI * S τa    

Donde e= error o diferencia entre la variable y el punto de control. KP= ganancia del controlador. I= tiempo de acción integral. (minutos/ repetición). D= tiempo de acción derivativa. (minutos de anticipo). a= constante de tiempo de filtro de la acción derivada, lo que limita la acción derivativa a altas frecuencias. Ta = .71 Td.

PV= variable de proceso. PC= punto de control.

Diagramas de Bloques para las variantes del PID

Figura N° 9: Diagrama de bloque para controladores PID ideal y PID interactivo

+

E(S)

GC (S)

M(s)

X(s)

GV (S)

Q(s)

GS (S)

H (S)

Figura N°10: Diagrama de bloque para el controlador PID ISA

+

E(S)

K+(1/I+1)

M(s) +

X(s)

Q(s) GV (S)

GS (S)

-

D*S/(1+a*S)*PV

H (S)

Figura 11: Diagrama de bloque par el controlador PID Industrial

+

E(S)

M(s) GC (S)

GV (S)

Q(s)

-

(1+D*S)/(1+a*S)

H (S)

X(s)

GS (S)

5.2.3. Válvulas de Control:

Son los elementos finales de control más usuales y se les encuentra en las plantas de proceso, donde se manejan los flujos para mantener en los puntos de control las variables que se deben controlar. La válvula actúa como una resistencia variable en la línea de proceso, que mediante el cambio de su apertura modifica la resistencia al flujo y en consecuencia al flujo mismo.

Para una válvula lineal, la ecuación que representa la variación del flujo como una función del porcentaje de apertura es:

w (t)  Wmax VP(t)

(11)

Donde : Wmax: flujo máximo a través de la válvula VP(t): fracción de apertura de la válvula en escala de 0 a 1. Además, el actuador de la misma, que tiene como función situar la válvula en proporción con la señal de la salida del controlador, se puede modelar mediante un retardo de primer orden:

VP(S) 

1 100 M(S) τv * S  1

(12)

VP(S): transformada de Laplace de la fracción de la apertura de la válvula. : constante de tiempo de la válvula. M(S): transformada de Laplace de la señal de salida del controlador. (Smith y Corripio, 1.995).

Ajustes De Los Controladores Por Retroalimentación El ajuste es el procedimiento mediante el cual se adecuan los parámetros del controlador por retroalimentación para obtener una respuesta específica de circuito cerrado. El ajuste de un circuito de control por retroalimentación es análogo al del motor de un automóvil o de un televisor; en cada caso la dificultad del problema se incrementa con el número de parámetros que se deben ajustar. El siguiente grado de dificultad es ajustar el controlador de dos modos o proporcional-integral (PI), que se asemeja al proceso de ajustar el brillo y el contraste de un televisor en blanco y negro, puesto que se deben ajustar dos parámetros: la ganancia y el tiempo de reajuste; el procedimiento de ajuste es significativamente más complicado que cuando sólo se necesita ajustar un parámetro. Finalmente, el ajuste de los controladores de tres modos o proporcionalintegral-derivativo (PID) representa el siguiente grado de dificultad, debido a que se requiere ajustar tres parámetros: la ganancia, el tiempo de reajuste y el tiempo de derivación, la cual es análogo al ajuste de los haces verde, rojo y azul en un televisor a color.

A pesar de que se planteó la analogía entre el ajuste de un televisor y un circuito de control por retroalimentación, no se trata de dar la impresión de que en ambas tareas existe el mismo grado de dificultad. La diferencia principal estriba en la velocidad de respuesta del televisor contra la del circuito del proceso; en el televisor se tiene una retroalimentación casi inmediata sobre el efecto del ajuste. Por otro lado, a pesar de que en algunos circuitos de proceso se tienen respuestas relativamente rápidas, en la mayoría de los procesos se debe esperar varios minutos, o aún horas, para apreciar la respuesta que resulta del ajuste, lo cual hace que el ajuste de los controladores con retroalimentación sea una tarea tediosa que lleva tiempo; a pesar de ello, éste es el método que más comúnmente utilizan los ingenieros de control e instrumentación en la industria. Para ajustar los controladores a varios criterios de respuesta se han introducido diversos procedimientos y fórmulas de ajuste.

Los valores de los parámetros de ajuste dependen de la respuesta de circuito cerrado que se desea, así como de las características dinámicas o personalidad de los otros elementos del circuito de control y, particularmente, del proceso. Los valores de los parámetros de ajuste dependen de la respuesta de circuito cerrado que se desea, así como de las características dinámicas o personalidad de los otros elementos del circuito de control y, particularmente, del proceso.

DISEÑO – ENTONACIÓN DE PARÁMETROS Para el ajuste de los parámetros del controlador es necesario poseer cierto conocimiento de la dinámica del sistema. En caso de no conocerse, hay que obtener información a través de experimentos con la planta.

El paso final en la implantación de un lazo de control es ajustar los parámetros del controlador. Si el controlador puede ser ajustado para dar una respuesta satisfactoria, se presume que el lazo de control ha sido bien diseñado. Cuando el controlador no puede ajustarse satisfactoriamente, debe revisarse la selección de los demás componentes del lazo de control. Generalmente existen varias consideraciones que se toma en cuenta para evaluar la respuesta de un lazo de control frente a una perturbación:  La variable controlada deberá alcanzar su valor deseado tan rápidamente como sea posible.  La respuesta de la variable controlada no debería ser muy oscilatoria.  La variable manipulada no debería estar sometida a grandes cambios, ya que frecuentemente afecta a otras partes del proceso.

METODOS DE ENTONACIÓN MAS UTILIZADOS:  Método de Ziegler Nichols de Lazo abierto (Método de la curva de reacción): Este es uno de los métodos más utilizados en los sistemas industriales así como también por los controladores autosintonizados. Básicamente este método consiste en aplicar una entrada escalón al sistema a controlar, y luego en función del tiempo, grabar la información de la salida del sistema ante esta entrada, y con estos datos recurrir a la tabla de la primera regla de Ziegler Nichols para parametrizar controladores PID. La regla ideada por Ziegler Nichols fue desarrollada empíricamente trataando de disminuir el valor de los criterios integrales del error y basándose en el hecho de que la velocidad de respuesta del sistema lo caracteriza, por lo cual este método también es conocido como prueba de reacción. En general, permite obtener respuestas donde no se rebasa el 25 % de sobredisparo. La prueba de reacción es aplicable siempre y cuando el sistema resista cambios bruscos a la salida del controlador y que la planta no tenga polos en el origen. Un polo en el origen implica que la salida del sistema ante una entrada escalón será una especie de exponencial creciente, donde no es factible aplicar el método.

Para aplicar la primera regla de Ziegler Nichols se puede aplicar de forma básica el siguiente procedimiento: 1. Colocar el controlador en manual. 2. Colocar un registrador de señal de cualquier tipo a la salida del proceso. 3. Asegurarse que la medición es off-line. 4. Provocar un cambio escalón a la salida del controlador en un valor entre el 5 % y el 10 %, al mismo tiempo se realiza una marca en el registrador de salida, para poder determinar con exactitud el retardo de reacción. 5. Tomar la gráfica trazada en el registrador cuando la medición alcance su valor final. 6. Trazar una recta tangente al punto de inflexión de la curva obtenida. 7. Marcar el corte de la recta tangente con el eje de tiempo. 8. Trazar una recta paralela al eje de tiempo donde el sistema alcanza el régimen estacionario, y una perpendicular a ella en el punto donde se intercepte con la recta trazada anteriormente. 9. Marcar el punto de intersección en el eje del tiempo. El tiempo transcurrido desde el tiempo cero (0) hasta el corte de la primera recta con el eje horizontal es el retardo de reacción (L), y de este punto a la coordenada horizontal del punto de intersección es la constante de tiempo del sistema (T). Salida del Sistema

L

Tiempo

T

Figura 1.Respuesta típica de un proceso en lazo abierto y determinación de los parámetros de Ziegler Nichols.

Controlador PID

Kp

Ti

Td

T 1.2   L

2L

05 . L

Tabla 1. Valores de los parámetros del PID por el primer método de Ziegler Nichols.



Método de Ziegler Nichols de Lazo cerrado de la ganancia última: El segundo método de lazo cerrado de Ziegler Nichols requiere encontrar la

ganancia de un controlador bajo la acción proporcional solamente, para hacer que el lazo oscile indefinidamente a una amplitud constante. Esta es la máxima ganancia para la cual el lazo es estable, por eso se le denomina ganancia última. El método se aplica de la manera siguiente: 1. Coloque el controlador en acción proporcional, eliminando la acción integral y derivativa (Ti=; Td=0). Coloque el controlador en automático. 2. Aplique una perturbación en el lazo (generalmente un cambio escalón en el valor deseado de aproximadamente 20%) y ajuste la ganancia Kc, hasta que la respuesta oscile continuamente a una amplitud constante. 3. Registre este valor de Kc como la ganancia última Kcu, y registre el período de la curva de respuesta como el período último (Pu). 4. Determine los ajustes a partir de las ecuaciones dadas en la Tabla 2.

Controlador PID

Kp

Ti

Td

0.6 * Kcu

05 . Pu

Pu 8

Tabla 2. Valores de los parámetros del PID por el segundo método de Ziegler Nichols.

Otra forma de ziegler y nichols

Una vez que se determina la ganancia última y el período último, se utilizan las formulas de la tabla 1 para calcular los parámetros de ajuste del controlador con los cuales se producen respuestas de la razón de asentamiento de un cuarto.

Tabla 2: Formulas para ajuste de razón de asentamiento de un cuarto

Tipo de

Ganancia Proporcional

Tiempo de

Tiempo de

Controlador

Kc

Integración

Derivación

I

D

Proporcional

P

Kcu/2

__

__

Proporcional-

PI

Kcu/2,2

Tu/1,2

__

PID

Kcu/1,7

Tu/2

Tu/8

Integral ProporcionalIntegralDerivativo

Fuente: Tomada de Smith, C.; 1.996. Página 268.

Nótese que, cuando se introduce la acción integral se fuerza una reducción del 10% en la ganancia del controlador PI, en comparación con la del controlador proporcional. Por otro lado, la acción derivativa propicia un incremento, tanto en la ganancia proporcional como en la tasa de integración (un decremento en el tiempo de integración) del controlador PID, en comparación con las del controlador PI, debido a que la acción integral introduce un retardo en la operación del controlador por retroalimentación, mientras que la acción derivativa se introduce un avance o adelanto. Sin embargo, la respuesta de la razón de asentamiento de un cuarto es muy deseable para las perturbaciones, porque se evita una gran desviación inicial del punto de control sin que se tenga demasiada oscilación. La mayor dificultad de la respuesta de razón de asentamiento de un cuarto es que el conjunto de parámetros de ajuste requerido para obtenerla no es único, a excepción del caso del consolador proporcional; en el caso de los controladores PI se puede verificar fácilmente que, para cada valor del tiempo de integración, es posible encontrar un valor de ganancia con el cual se produce una respuesta de razón de asentamiento de un cuarto y viceversa; lo mismo es válido para el controlador PID. Las puestas a punto que proponen Ziegler y Nichols son valores de campo que producen una respuesta rápida en la mayoría de los circuitos industriales.

Respuesta de Razón de Asentamiento de un Cuarto

Además de sus formulas para ajuste en línea, (Ziegler y Nichols, 1.942) propone un conjunto de fórmulas que se basan en los parámetros de ajuste, para un modelo de primer orden, a la curva de reacción del proceso; dichas formulas se muestran en la tabla 2. A pesar de que los parámetros que utilizaron no son precisamente la ganancia, la constante de tiempo y el tiempo muerto, sus formulas se pueden modificar para expresarlas en términos de esos parámetros. Ziegler y Nichols utilizaron el método 1 para determinar los parámetros.

Tabla 3: Fórmulas para ajuste para respuesta de razón de asentamiento de un cuarto Tipo de

Ganancia Proporcional

Tiempo de

Tiempo de

Controlador

Kc

Integración

Derivación

I

D

__

__

1

3,33t0

__

1

2,0t0

1 t0 2

1

Proporcional

P

1  t0    K  

Proporcional-

PI

0,9  t0    K  

PID

1,2  t0    K  

Integral ProporcionalIntegralDerivativo

Fuente: Tomada de Smith, C.; 1.996. Página 284.

Como se puede ver en la tabla 2, las magnitudes relativas de la ganancia, el tiempo de integración y el de derivación en los controladores P, PI y PID, son las mismas que las de las formulas de ajuste en línea, las cuales se basan en el período y ganancia últimos tabla 1. En las fórmulas se observa que la ganancia del circuito, KKc, es inversamente proporcional a la razón del tiempo muerto efectivo, a la constante de tiempo efectiva. Para utilizar estas formulas se debe tener en cuenta que son empíricas y sólo se aplican a un rango limitado de razones de tiempo muerto contra constantes de tiempo, lo cual significa que no se debe extrapolar fuera de un rango de t0/ entre 0,10 y 1,0. Como se señaló al estudiar el ajuste en línea, la dificultad para especificar el desempeño de los controladores PI y PID con una razón de asentamiento de un cuarto, estriba en que existe un número infinito de conjunto de valores de los parámetros del controlador que pueden producir ese desempeño.

Ajuste Mediante los Criterios de Error de Integración Mínimo La escogencia de los parámetros adecuados del controlador puede realizarse fácilmente en términos de índices de funcionamiento en el dominio del tiempo. Por ejemplo, el máximo sobreimpulso, el tiempo de

crecimiento y el tiempo de establecimiento, para una entrada escalón, son índices valiosos en el dominio del tiempo. En el caso del funcionamiento transitorio y en estado estacionario, los índices de funcionamiento se especifican normalmente en el dominio del tiempo. El funcionamiento de un sistema de control puede representarse por medidas integrales de funcionamiento, por lo tanto, el escoger los parámetros del controlador debe basarse en minimizar un índice de funcionamiento. Un índice es una medida cuantitativa del funcionamiento de un sistema. En los sistemas de control los parámetros del controlador se ajustan de forma que el índice alcanza un valor mínimo. Para que un índice de funcionamiento sea útil, siempre debe ser un número positivo o cero, entonces el mejor sistema se define como aquel que minimiza este índice. Para determinar los parámetros adecuados del controlador se emplea el esquema de la figura 16, donde se ve claramente que a partir de la señal de error se calcula el índice de funcionamiento para así determinar los parámetros del controlador más adecuados.

J(e(t))

índice

Sp

e(t) Gc

Gv

Gp

PV H

Figura Nº 9. Criterio de integracion minima Fuente: Becerra L. ―Identificación y Control del domo de un generador de vapor‖.

Puesto que los parámetros de ajuste de la razón de asentamiento de un cuarto no son únicos, en la Universidad del Estado de Louisiana se realizó un proyecto substancial de investigación bajo la dirección de los profesores Paul W. Murrill y Cecil L. Smith, para desarrollar relaciones de ajustes únicas. A fin de caracterizar el proceso se utilizaron parámetros de modelos de primer orden más tiempo muerto (POMTM), la especificación de la respuesta, en circuito cerrado es un error o desviación mínima de la variable controlada, respecto al punto de control. Puesto que la integral del error se trata de minimizar mediante la utilización de las relaciones de ajuste, éstas se conocen como ajuste del error de integración mínimo; sin embargo, la integral de error no se puede minimizar de manera directa, ya que error negativo muy grande se volvería

mínimo. Para evitar los valores negativos en la función de desempeño, se propone el siguiente planteamiento de la integral:

Integral del Valor Absoluto del Error (IAE) 

IAE   e(t )dt

Ec. (6)

0

Integral del Cuadrado del Error (ICE) 

ICE   e2 (t )dt Ec. (7) 0

Las integrales se extienden desde el momento en que ocurre la perturbación o cambio en el punto de control (t = 0), hasta un tiempo posterior muy largo (t = ∞), debido a que no se puede fijar de antemano la duración de las respuestas. El único problema con esa definición de la integral, es que se vuelve indeterminada cuando no se fuerza el error a cero, lo cual ocurre únicamente cuando no hay acción de integración en el controlador, debido a la desviación o el error de estado estacionario; en este caso, en la definición se reemplaza el error por la diferencia entre la variable controlada y su valor final de estado estacionario.

La diferencia entre el criterio IAE y el ICE, consiste en que con el Ice se tiene más ponderación para errores grandes, los cuales se presentan generalmente al inicio de la respuesta, y menor ponderación para errores pequeños, los cuales ocurren hacia el final de la respuesta. Para tratar de reducir el error inicial, el criterio de ICE mínima da por resultado una alta ganancia del controlador y respuestas muy oscilatorias (es decir, una razón de asentamiento alta), en las cuales el error oscila alrededor del cero por un tiempo relativamente largo. De este fenómeno se deduce que en tal criterio de desempeño debe existir una compensación para el tiempo que transcurre desde el inicio de la respuesta. En las siguientes integrales de error se incluye dicha compensación mediante la ponderación del tiempo transcurrido.

Integral del Valor Absoluto del Error Ponderado en Tiempo (IAET) 

IAET   t e(t )dt 0

Ec. (8)

Integral del Cuadrado del Error Ponderado en Tiempo (ICET) 

ICE   te2 (t )dt

Ec.(9)

0

Las ecuaciones 5 a 8 constituyen las cuatro integrales básicas de error que se pueden minimizar para un circuito particular, mediante el ajuste de los parámetros del controlador. Desafortunadamente, el conjunto óptimo de valores parámetricos no está únicamente en función de cuál de las cuatro definiciones de integral se elige, sino que también depende del tipo de entrada, esto es, perturbación o punto de control y de su forma; por ejemplo, cambio escalón, rampa, etc. Cuando se ajusta el controlador para la respuesta óptima a una entrada de perturbación, se debe hacer una decisión adicional respecto a la función de transferencia del proceso para esa perturbación en particular. Esto es complicado, debido a que la respuesta del controlador no puede ser óptima para cada perturbación, si es que existe más de una perturbación en el circuito. Puesto que la función de transferencia del proceso es diferente para cada perturbación y la señal de salida del controlador, los parámetros óptimos de ajustes dependen de la velocidad relativa de respuesta de la variable controlada a la perturbación; mientras más lenta sea la respuesta a la perturbación, con más rigor se puede ajustar el controlador y su ganancia puede ser más alta; si la variable controlada responde instantáneamente a la perturbación, el ajuste del controlador será lo menos riguroso posible, lo cual equivale al ajuste para cambios en el punto de control.

López y asociados desarrollaron formulas de ajuste para el criterio de integral mínima de error con base en la suposición de que la función de transferencia del proceso para las entradas de perturbaciones es idéntica a la función de transferencia para la señal de salida del controlador.

Rovira y asociados desarrollaron las fórmulas de ajuste para cambios del punto de control, ellos consideraron que el criterio de ICE mínima era inaceptable por su naturaleza altamente oscilatoria; también omitieron las relaciones para los controladores proporcionales, con base en la suposición de que el criterio de la integral mínima de error no es apropiado para las aplicaciones donde se recomienda el uso del controlador proporcional.

Tabla 4: Fórmulas de ajuste de integral mínima de error para cambios en el punto de control

Ajuste de Reguladores PID a Partir del Modelo “POR” Modificado

El regulador proporcional integral derivativo es el regulador más difundido en la práctica del control automático, tendencia que parece fortalecerse a pesar del paso de los años, razón por la cual a suscitado la atención de la comunidad científica. Para nuestra región resulta significativo que la III Jornadas Iberoamericana de Automática (1.997) se dedicara a la temática del regulador PID.

Uno de los principios del proceso de ajuste de los reguladores PID en sus aplicaciones más simples es la obtención de un modelo aproximado del sistema de forma fácil, sin la necesidad de un esfuerzo de cálculo muy grande, acorde con el destino de aplicación, en condiciones industriales, de estos métodos de ajustes, en la forma de las reglas de Ziegler y Nichols (1.942) o en algunas de sus derivaciones. Las formas más clásicas de obtención de los modelos dinámicos de los sistemas para el ajuste por Ziegler y Nichols son: el método de la respuesta al paso del sistema en lazo abierto, método en el tiempo; y el método de la oscilación sostenida, método en la frecuencia. Este último nos da la información de uno sólo de los puntos de la respuesta de frecuencia, pero de forma general esta información es única, no varía con la forma de realización del experimento, no obstante, los métodos de respuesta al paso tienen diversas formas para la obtención del modelo dinámico del sistema, Åström, en su libro sobre PID (Åström, 1.995) explica varias formas de determinación del modelo, de ellas tres diferentes para la obtención del modelo de primer orden con retardo (POR), es importante destacar que la mayoría de los métodos de ajuste por reglas tienen su basamento en este tipo de modelo, (Kaya, 1.998; Smith y Corripio, 1.985; Dormido y Morilla, 1.997), no obstante, no siempre está totalmente especificada cual es la variante de método de identificación utilizada para la obtención del modelo POR, base para el posterior proceso de determinación de los parámetros del regulador.

Proceso de Identificación

Identificación por Respuesta al Paso

Identificación del proceso por respuesta al paso, su dinámica puede ser caracterizada por los parámetros, K, L, y τ, donde K es la ganancia estática del proceso, L es el retardo de tiempo aparente del proceso y τ es la constante de tiempo aparente del proceso, cuya función de transferencia es:

G (s) 

K e  sL Ec. (10) 1  s

Para la identificación de un proceso por medio de los métodos de la respuesta al paso es necesario primeramente abrir el lazo de control y operar directamente sobre la válvula originando una pequeña y rápida variación en escalón a la entrada del proceso, introduciendo luego la respuesta en un registrador donde se podrá observar la señal de mando y la variable de salida.

Método 1. Una vez obtenida la curva se le determina el punto de máxima inclinación, de máxima razón de cambio o el punto de inflexión y pasando por sobre él, se traza una recta tangente a ésta; de

la intersección de esta recta con el eje del tiempo obtendremos el valor de L y la intersección de la recta de estado estable nos dará a C = L + τ.

Método 2. En esta, el cálculo de L se realiza de manera similar a la descrita previamente, pero el valor de τ será aquel que fuerce al modelo a pasar por el punto B = L + τ. Siendo B el instante de tiempo en el que la curva alcanza el 63,2% del valor final.

Método 3. Esta basa su procedimiento en suponer que la característica del modelo atraviesa la curva en los puntos D y B donde: D = L + 1/3τ, B = L + τ; siendo D el instante de tiempo en el que la curva alcanza el 28,3% del valor final.

Otra forma de identificación o caracterización del proceso es a través de la identificación por frecuencia, determinando la ganancia última Ku mediante la siguiente ecuación:

Kc 

1 2   * EC. (11) K 2(    )

También se puede encontrar la constante integral y derivativa mediante las expresiones que se muestran a continuación:

i   

D 

 2

Ec.(12)

 2  

Luego se procede a ajustar el controlador utilizando las modificaciones del modelo ―POR‖, por ello tenemos que considerar las siguientes relaciones:

KC 

2   Ec.(13) 2 K (   )

i   

D 

F 

 2

Ec.(14)

 Ec. (15) 2  

 Ec. (16) 2(    )

Ajustes de Controladores PID por Respuesta del Circuito Cerrado Deseado para Sistemas SI/SO

Los parámetros proporcional, integral y derivativo (PID) son obtenidos para modelos de procesos generales por aproximación de la forma de retroalimentación de un controlador IMC con las series de Maclaurin en la variable de Laplace. Estos parámetros PID devuelven las respuestas al circuito cerrado que son más cercanas a las respuestas deseadas, que aquellas que se obtuvieron por el ajuste de controladores PID por otros métodos. El mejoramiento en el desempeño del control del circuito cerrado se hace más prominente a medida que aumenta el tiempo muerto del modelo del proceso. Un nuevo método de diseño para controladores con dos grados de libertad también esta propuesto, tales controladores son esenciales para procesos inestables y proveen significativamente desempeño dinámicos mejores que los controladores de un grado de libertad para procesos estables cuando las perturbaciones entran al proceso.

Puesto que los controladores integral, proporcional y derivativo (PID) encuentran usos difundidos en los procesos industriales, una gran cantidad de esfuerzos están dirigidos a encontrar las mejores opciones para la ganancia del controlador, integral, y constantes de tiempo derivativo para varios modelos de procesos. En medio de los criterios de desempeño usados para el ajuste de los parámetros del controlador PID, el criterio para mantener la respuesta de la variable controlada cercana a la respuesta deseada del circuito cerrado ha ganado aceptación en la industria de los procesos químicos. El modelo interno de control (IMC), método de ajuste PID y los métodos de síntesis directa son típicos de los métodos de ajustes basados en alcanzar una respuesta del circuito cerrado deseada, ellos obtienen los parámetros de los controladores PID calculando primero el controlador del cual se obtiene la respuesta del circuito cerrado deseada, generalmente este controlador es un poco más complicado que un controlador PID. Una importante ventaja de cada método es

que la constante de tiempo del circuito cerrado, la cual es la misma que la constante de tiempo del filtro IMC provee un parámetro de ajuste conveniente para regular la velocidad y la robustez de los sistemas de circuito cerrado.

Controladores de un solo grado de libertad

Considere un modelo de proceso estable (es decir, ningún polo medio plano correcto) el de la forma:

G( s)  m ( s)  A ( s) Ec. (17)

donde: ρm(s) es la porción del modelo invertida para el controlador (debe ser la fase mínima), ρA(s) es la porción del modelo no invertida para el controlador (esto es usualmente en fase no mínima, es decir, contiene tiempos muertos y/o corrige los ceros medio planos) y ρA(0) =1.

A menudo. la porción del modelo no invertida para el controlador es escogida para ser todos los pasos (es decir, de la forma:

   i s  1   2j s 2  2 j j s  1  Ts e  2 2  A ( s )       s  1  s  2   s  1 Ec. (18) i, j  i j j  j   i , j  0;0    1

Después esta opción da la mejor respuesta de los mínimos-cuadrados. El requisito para que ρA(0) =1 es necesario para el controlar de la variable a rastrear en su punto fijo. Nuestro objetivo es escoger el controlador GC de la Figura para obtener la respuesta del circuito cerrado deseada, C/R de

C  A ( s)  R (s  1) r

Ec. (19)

El término funciona 1/(λs+1)r como un filtro con una constante de tiempo ajustable λ, y un orden r escogido para que el controlador GC sea realizable. El controlador GC ideal que da la respuesta deseada del circuito dado por la ecuación (19) esta perfectamente dado por:

GC ( s) 

q  m1 ( s) Ec. (20)  (1  Gq) (s  1) r   A ( s)

donde q es el controlador de IMC:

 m1 ( s) Ec. (21) (s  1) r

Aunque el controlador resultante es físicamente realizable, este no tiene la forma

PID normal. Por

consiguiente el problema principal para desarrollar la regla de ajuste para dar la respuesta del circuito cerrado deseada es encontrar los parámetros PID que se aproximan a la respuesta del controlador ideal dado por la ecuación (20). Una aproximación es forzar la función de transferencia del controlador dada por la ecuación (20), en la forma PID normal por aproximación del tiempo muerto con un bajo-orden la aproximación de Padé. Las reglas de ajustes dadas por Smith (1975), Rivera (1986), y Morari y Zafiriou (1989) están basadas en esta aproximación. Nosotros proponemos una nueva aproximación para obtener el controlador PID que se aproxima más cercanamente al controlador ideal dado por la ecuación (20).

El controlador GC puede aproximarse a un controlador PID según una primera observación que puede ser expresada como:

GC 

f (s) Ec. (22) s

Por cuanto GC tiene un polo en el origen porque ρA(0) es uno, f(s) no tendrá tal polo en el origen porque la derivada de ((λs+1)r- ρA(s))/s en el origen nunca es cero para

r mayores que cero.

Expandiendo GC (s) en una serie de Maclaurin en s da:

GC ( s ) 

1 f ' '0) 2  f (0)  f ' (0) s  s  ... Ec. (23)  s 2 

Obsérvese que el controlador resultante tiene los términos proporcional, integral y derivativo, además de un número infinito de derivadas de orden superior. Desde que el controlador dado por la ecuación (23) es equivalente al controlador ideal dado por la ecuación (20), la respuesta del circuito cerrado deseada puede lograrse perfectamente si todos los términos en la ecuación (23) si son desarrollados. En la práctica, sin embargo, es imposible llevar a cabo al controlador dado por la ecuación (23) por el número infinito de derivadas de orden superior. De hecho, en una situación de control real las frecuencias bajas y medias son mucho más importantes que las frecuencias altas, y sólo los tres primeros términos de la ecuación (23) son a menudo suficientes lograr el desempeño del circuito cerrado deseado. El controlador dado por la ecuación (23) puede aproximarse al controlador PID usando solamente los tres primeros términos (1/s, 1, s) en Ecuación (23) y truncando todos los otros términos de exponentes mayores de s. Los tres primeros términos de la ecuación anterior pueden ser interpretados como un controlador PID estándar dado por:

  1 GC  KC 1    D s  Ec. (24)  ls  Donde:

K C  f ' (0) Ec.(25a )

 l  f ' (0) / f (0) Ec.(25b)  D  f ' ' (0) / 2 f ' (0) Ec.(25c)

Con el propósito de evaluar los parámetros del controlador PID dados por las Ecuaciones (25a—25c), si :

D( s ) 

((s  1) r   A ( s)) Ec. (26) s

Entonces por la expansión de la serie de Maclaurin tendremos:

D(0)  r   A' (0) Ec.(27a)  r (r  1)2   A'' (0)  D' (0)    Ec.(27b) 2    r (r  1)( r  2)3   A''' (0)  D' ' ' (0)    Ec.(27c) 3  

Usando la ecuación 26, la función f(s) y su primera y segunda derivada, todos evaluadas en el origen, son dadas por:

f ( 0) 

1 Ec.(28a) K p D ( 0)

 f ' ( 0)  

' m

( 0) D ( 0)  K p D ' ( 0 )

K D(0)

2

 Ec.(28b)

p

f ' ' ( 0)  f ' ( 0)   m'' (0) D(0)  2  m' (0) D' (0)  K p D' ' (0)  2 f ' (0)   Ec.(28c)  '  f (0)   m ( 0) D ( 0 )  K p D ' ( 0 )    donde K p   m ( 0 )  G ( 0) Estas fórmulas pueden ser usadas para obtener la ganancia del controlador, y constantes de tiempo integral y derivativa como las funciones analíticas de los parámetros modelos del proceso y la constante de tiempo del circuito cerrado λ. A continuación se muestran las formulas para conseguir la ganancia, las constantes de tiempo integral y derivativa para procesos de primer orden:

KC 

i Ec. (28d) K (   )

i   

D 

2 Ec. (28e) 2(   )

2    3   6(   )   i 

Ec. (28f)

Se toman los parámetros de diseño como: Coeficiente de amortiguamiento  = 0.6, que esta en el rango y representa una Sobreoscilación de aproximadamente 12 %. Tiempo de establecimiento Ts = 200 s, en vista que el sistema se estabiliza en 400 s, se plantea que se estabilice más rápido. Aplicando el criterio del 2 %: Ts = 4 / Wn,

despejando Wn = 4 / Ts = 0.033.

Dado el siguiente diagrama de bloques:

Gc (s)

G (s)

La ecuación característica es 1 + Gc (s) * G (s) = 0, donde Gc (s) es la función de transferencia del controlador y G (s) la del proceso, sustituyendo: 1

1 K (K p  i )  0 1  121.875s s

Reorganizando: 1 Kp Ki s 2  s( ) 0 121.875 121.875

Como: s 2  s 2Wn  Wn 2  0

Sustituyendo: s 2  0.0396 s  0.011  0

Luego igualando término a término se determina Kp y Ki, donde Kp = 3.826 y Ki = 0.132. A continuación se muestra la simulación del lazo de control de temperatura ante cambios en el punto de operación y su respectivo diagrama de simulación en simulink.

x2, temperatura del caudal de salida del reactor

Simulación del lazo de control de temperatura 140 120 100 80 60 40 20 0

0

50

100

150

200 t, seg

250

300

350

400

Como se nota en la gráfica, el tiempo de establecimiento esta en 200 s y la sobreoscilación esta aproximadamente en 16 %, cumpliendo con los requisitos de diseño.