Clase Octavo B Traslacion 284z37

Objetivo de la clase: Representar el movimiento de traslación en un plano cartesiano

Modalidad de trabajo Presentación y Desarrollo de una Guía de trabajo grupal

Evaluación (de proceso)

El alumno reconoce la traslación transformación geométrica

como

una

El alumno reconoce el significado de las coordenadas de un vector El alumno ejecuta el desplazamiento de una figura, a través de un vector

Transformaciones Isométricas Representan movimiento de figuras que conservan sus dimensiones (forma y tamaño) cambiando solo de posición (orientación o sentido de ésta)

TRASLACIÓN: REFLEXIÓN

ROTACIÓN

Es decir, una transformación isométrica convierte una figura en otra que es imagen de la primera, y por lo tanto congruente a la original

Y… ¿para qué sirven las transformaciones isométricas? Una de las aplicaciones más conocidas que puede darse a este tipo de transformaciones es la teselación del plano, que consiste en el cubrimiento del mismo mediante figuras de manera de que no queden ni figuras superpuestas, ni huecos vacíos entre las mismas. Las teselaciones se utilizan de distintas formas ya sea para motivos artisticos o de arquitectura, ya que permiten satisfacer la necesidad de recubrir totalmente un plano (cuadros, suelos, paredes, etc) También se aplican en diseños decorativos para objetos cotidianos : alfombras, tapices, ropas,muebles,etc. Mosaico romano

Figura presente en la ornamentación mudéjar, Catedral de la Seo de Zaragoza

Y… ¿para qué sirven las transformaciones isométricas? En el arte……

Maurits Cornelis Escher, arquitecto, 1898

Y… ¿para qué sirven las transformaciones isométricas? Para la construcción de caminos y calzadas……

Hoy día estudiaremos una de las transformaciones isométricas : LA TRASLACION la traslación es aquel movimiento que se hace al deslizar una figura, en línea recta, manteniendo su forma y tamaño.

¿Cómo representar el movimiento de traslación de una figura, en un plano cartesiano?

Vamos a repasar algunos Conceptos previos

Sistema de ejes cartesianos Vector Coordenadas del vector

Conceptos previos

Recuerda En un sistema de ejes cartesianos cada punto se expresa mediante dos coordenadas (x,y). La primera o abscisa indica la posición sobre el eje horizontal, positiva a la derecha del origen, negativa a la izquierda. La segunda u ordenada la posición sobre el eje vertical, positiva hacia arriba, negativa hacia abajo.

Conceptos previos Recuerda

Un vector

fijo del plano es un segmento orientado que se caracteriza poseer : Módulo : longitud del segmento Dirección: orientación de la recta Sentido: indica cual es el origen y cual es el extremo final de la recta

Conceptos previos Coordenadas de un vector → AB está determinado por dos puntos del plano, A(x1,y1) que es su origen y B(x2,y2) que es su extremo.

B

Las coordenadas de → AB son las de B menos las de A: → AB =(x2 - x1 , y2 - y1).

A

x2 - x1 : desplazamiento horizontal A (derecha izquierda) y2 - y1 : desplazamiento vertical de A (arriba abajo) hasta llegar a B

Conceptos previos

Las coordenadas del vector corresponde a un par ordenado de números T(a , b), donde: a representa el desplazamiento horizontal (derecha izquierda) e b representa el desplazamiento vertical. (arriba, abajo)

V e r t i c a l

Y

Horizontal

X

¿Cómo representar el movimiento de traslación de una figura, en un plano cartesiano?

Ejercicio N°1 1) Trasladar el punto A(4,6) A través del vector T(-2,-3) 2 izquierda y 3 hacia abajo



B’(-1,6)

A(4,6)



2) Trasladar el punto B(-5,2) a través del vector T(4,4) 4 derecha y 4 hacia arriba

Ojo

:

Si sumas las coordenadas del punto inicial con las del vector obtienes la coordenadas del punto trasladado (homólogo) A(4,6) +T(-2,-3) = A’ (2,3) B(-5,2) + T(4,4) = B’ (-1,6)

 

B(-5,2)



A’ (2,3)

El VECTOR TRASLACIÓN Podemos generalizar lo anterior, diciendo Si conocemos el punto P(x, y) y las coordenadas del vector de traslación T(a, b), podemos conocer las coordenadas del punto homologo, las que son P´(x + a, y + b ). Es decir podemos definir una aplicación T(a, b), llamada vector de traslación, tal que: T(a, b) P(x, y) P´( x + a, y + b )

Ejemplo T(3, 5) P(2, 1)

P´(2 + 3, 1 + 5) P´(5, 6)

Ejercicio N°2

P(x, y)

T(a, b) P´( x + a, y + b )

3) Aplicar el vector de traslación T(3, -5) al punto P(2, 1) ¿ Cuáles son las coordenadas resultantes?

4) Aplicar el vector de traslación T(3, -5)al punto P(-2, -1)¿Cuáles son las coordenadas resultantes? Desarrollo (3) T(3, -5) P(2, 1)

P´(2 + 3, 1 + -5) P´(5, -4)

Desarrollo (3)

T(3, -5) P´(5, -4)

P(2, 1) y

4 3 2 1 -1

P 1 2 3 4

x

5

-2 -3 -4

P´

-5

La aplicación T(a, b) se denomina “VECTOR TRASLACIÓN”

Ahora ¿Como se podría representar la Traslación de una figura geométrica coordenados

en

un

sistema

de

ejes

Ejercicio N°3 5)

Dibuje los puntos P(1,2), Q(3,1) y R(4,3)

6)

Aplique a cada punto el vector de traslación T(-4,2)

Si aplicamos el vector de traslación T(-4,2) , obtenemos los siguientes puntos homólogos: P´, Q´ y R´. T(-4,2) P(1,2)

P´(-3,4)

Q(3,1)

Q´(-1,3)

R(4,3)

R´(0,5)

7) Una los puntos PQR ¿Qué figura se obtiene? 8) Una los puntos trasladados u homólogos P’Q’R’ ¿Qué figura se obtiene? 9) Hubo un desplazamiento de T (-4,2)

(4 unidades a la izquierda y 2 hacia arriba)

¿Quien se movió? ¿Los puntos o la figura?

Efectivamente se mueven ambos (Puntos y figura), por lo que el triángulo se traslada 4 unidades hacia la izquierda y 2 unidades hacia arriba, de la siguiente manera:

5 4 3 2 1 -3 -2 -1

1

2

3

4

T(-4,2) P(1,2)

P´(-3,4)

Q(3,1)

Q´(-1,3)

R(4,3)

R´(0,5)

Entonces….Volvemos a la pregunta inicial: ¿Cómo representar un movimiento de traslación de una figura, en un plano cartesiano? El movimiento de traslación

de una figura en un plano

cartesiano se representa a través de la aplicación de vector de traslación T(a,b) a

todos los puntos pertenecientes a

ésta a corresponde al movimiento horizontal y b al vertical de la figura

Y…. La expresión matemática del vector de traslación T(a,b) es una aplicación T(a, b),tal que:

T(a, b) P(x, y)

P´( x + a, y + b )

Composición de traslaciones 

Si se aplica r a una figura F una traslación respecto al vector u  (u1 , u2 ) resulta F’ y si ar esta se le aplica una traslación según el vector v  (v1 , v2 ) resulta F’’. Es decir, la transformación anterior es equivalente a aplicar sobre F una traslación con

r r vector u  v  (u1  v1 , u2  v2 ) obteniendo F’’. Es decir: