Circunferencia De Los Nueve Puntos h612x

Circunferencia de los nueve puntos Saltar a: navegación, búsqueda

En geometría, se conoce como circunferencia de los nueve puntos a una circunferencia que se puede construir sobre cualquier triángulo dado. Su nombre deriva del hecho que la circunferencia pasa por nueve puntos notables, seis de ellos sobre el mismo triángulo (salvo que el triángulo sea obtusángulo). Estos son:   

el punto medio de cada lado del triángulo, los pies de las alturas, y los puntos medios de los segmentos determinados por el ortocentro y los vértices del triángulo.

Al círculo de los nueve puntos se le conoce también entre otros como círculo de Feuerbach, círculo de Euler, círculo de los seis puntos o círculo medioinscrito.

Contenido [ocultar]      

1 Historia 2 Demostración 3 Circunferencia circunscrita y de Feuerbach 4 Otras propiedades 5 Notas 6 Enlaces externos

[editar] Historia Generalmente,1 se adjudica a Karl Wilhelm Feuerbach el descubrimiento de la circunferencia de los nueve puntos; sin embargo, lo que Feuerbach descubrió fue la circunferencia de los seis puntos, reconociendo que sobre ella se encuentran los puntos medios de los lados de un triángulo y los pies de las alturas del triángulo (en la figura, los puntos: M N P y E G J). Anteriormente, Charles Brianchon y Jean-Victor Poncelet habían demostrado su existencia. Poco tiempo después de Feuerbach, Olry Terquem también demostró la existencia del círculo y reconoció además que los puntos medios de los segmentos determinados por los vértices del triángulo y el ortocentro, también están contenidos en la circunferencia (en la figura, los puntos: D F H).

[editar] Demostración

Consideremos las alturas del triángulo ABC: AE, BG y CJ (véase la figura). El triángulo GEJ es el triángulo órtico del triángulo ABC, y el punto I es el ortocentro del triángulo ABC. Las alturas de este, son las bisectrices de los ángulos internos de aquel. Los lados del triángulo ABC son las bisectrices exteriores del triángulo GEJ. Las bisectrices del ángulo JGE cortan a la mediatriz del lado opuesto, EJ en los puntos F y N que se hallan sobre la circunferencia circunscrita c (descrito en el artículo de la bisectriz de un angulo). Observemos que los triángulos ACJ y ACE son rectángulos teniendo ambos al lado AC como hipotenusa. Se sigue que los cuatro puntos A, C, E y J son concíclicos y el centro de la circunferencia que los contiene se halla sobre la intersección de la hipotenusa AC con la

mediatriz del segmento EJ, esto es, el punto N. Se sigue que N es punto medio del segmento AC. De modo semejante, los triángulos EIB y JIB son rectángulos compartiendo la hipotenusa IB. Por lo tanto, los puntos E, I, J y B son concíclicos y el centro de la circunferencia que los contiene se halla sobre la intersección de la hipotenusa IB con la mediatriz del segmento EJ, esto es el punto F. De igual modo, se demuestra que los puntos M y P son los puntos medios de los lados AB y BC respectivamente. De forma análoga, se demuestra que los puntos D y H son puntos medios de los segmentos AI y CI respectivamente.

[editar] Circunferencia circunscrita y de Feuerbach

Por la observación de que los puntos D, F y H satisfacen

se deduce que:   

la circunferencia de Feuerbach de un triángulo es homotética a la circunferencia circunscrita, el centro de la homotecia es el ortocentro del triángulo, la razón de la homotecia es 2.

El triángulo formado por los puntos D, F y H2 es semejante al triángulo ABC. También se observa que el centro de la circunferencia de Feuerbach N, es punto medio del segmento IO, donde O es el circuncentro del triángulo ABC. Finalmente, el centro de la circunferencia de Feuerbach se halla sobre la recta de Euler del triángulo.

[editar] Otras propiedades

En 1822, Karl Feuerbach descubrió una de las propiedades más profundas sobre la circunferencia que lleva su nombre: la circunferencia de los nueve puntos es tangente exterior a los círculos exinscritos al triángulo. La circunferencia inscrita al triángulo es tangente interior a la circunferencia de Feuerbach. La demostración de este hecho3 puede hacerse, observando que los puntos de tangencia de dos de las circunferencias exinscritas a uno de los lads del triángulo equidistan del punto medio de dicho lado. Usando la inversión respecto de este punto medio se le puede dar el toque final a la demostración.

1. LA CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS Para todo triángulo ABC existe una circunferencia que contiene los puntos medios de los lados, los pies de las alturas y los puntos medios de los segmentos determinados por el ortocentro y los tres vértices. Esta circunferencia se conoce con el nombre de circunferencia de los "nueve puntos" o de Feuerbach. El siguiente applet permite observar un triángulo y su circunferencia de los "nueve puntos". Los puntos medios de los lados están marcados en color azul, los pies de las alturas en rojo y los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro con los vértices en turquesa. Se pueden modificar las coordenadas de los vértices del triángulo ABC (utilizando los controles que existen en la parte inferior del applet) y comprobar que los nueve puntos se encuentran sobre la misma circunferencia. CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS

DEMOSTRACIÓN:

Los puntos P9,P4,P5 y P8 están sobre una misma circunferencia de diámetro P9P5ya que los ángulos
perpendiculares, razón por la cual P9P4P5P8 es un rectángulo). El mismo razonamiento nos convence de que P9,P2, P5 y P6 están sobre la misma circunferencia de diámetro P9P5.

Por último como el ángulo
OTRO TEOREMA: Existe un famoso teorema, conocido como teorema de Feuerbach, que demuestra que la circunferencia de los nueve puntos es tangente a la circunferencia inscrita, así como a las tres circunferencias exinscritas al triángulo. La demostración no es inmediata y recurre a la transformación del plano conocida como inversión. No obstante si no te interesa la demostración y te conformas con realizar una comprobación puedes utilizar el programa Cabri II, comercializado por Texas Instruments, o bien, utilizar el excelente programa Dr. Geo., de distribución LIBRE, es decir gratuito.

La circunferencia de Feuerbach        

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Dos puntos cualesquiera del plano determinan una única recta. Eso lo sabemos desde el colegio. Y también sabemos que tres puntos que no estén alineados determinan una única circunferencia. Vamos a buscar tres puntos: Dibujamos un triángulo cualquiera y marcamos los puntos medios de cada uno de los lados:

Por lo que hemos dicho antes, como estos tres puntos no están alineados seguro que existe una única circunferencia que pasa por ellos. Eso no es ninguna sorpresa. Lo interesante del asunto comienza ahora: Dibujamos las tres alturas del triángulo, es decir, trazamos un segmento desde cada vértice perpendicular al lado opuesto. Marcamos los puntos de corte en cada uno de los lados:

Pues curiosamente se cumple que esos tres puntos de corte con los lados también están en la misma circunferencia que los tres anteriores. Es decir, si trazamos la circunferencia que pasa por los tres primeros puntos y la que pasa por los tres que acabamos de calcular ahora resulta que son exactamente la misma. Hemos visto que el hecho de que tres puntos cualesquiera pertenezcan a una circunferencia es evidente, pero que seis puntos cumplan esa condición comienza a ser muy interesante. Pero todavía hay más: Las tres alturas se cortan en un punto que se llama ortocentro. Si ahora señalamos los puntos medios entre el ortocentro y cada uno de los vértices obtenemos tres nuevos puntos:

Como podemos ver en la figura estos tres nuevos puntos también pertenecen a la circunferencia que pasaba por los seis anteriores. Impresionante. Nueve puntos calculados a partir de un triángulo acaban perteneciendo a la misma circunferencia. Esta circunferencia se conoce como circunferencia de Feuerbach o como circunferencia de los nueve puntos. Pero aún hay más: ¿cuál será el centro de esa circunferencia? Si trazamos las mediatrices de cada uno de los lados (la mediatriz de un segmento es una recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio) nos encontramos con que las tres rectas se cortan también en un único punto, llamado circuncentro. Pues sorprendentemente el centro de la circunferencia de Feuerbach es el punto medio del segmento que une el ortocentro que calculamos anteriormente (punto M) con el circuncentro (punto Q):

En este enlace podéis ver la demostración de un resultado del que se deduce el de la circunferencia de los nueve puntos. Fuentes:

Los puntos notables de un triángulo son:

   

Circuncentro Incentro Baricentro Ortocentro

Circuncentro Según se vio en la lección anterior, cualquier punto de la mediatriz de un lado de un triángulo equidista de los vértices que definen dicho lado. Luego si llamamos O al punto de intersección de las mediatrices de los lados AB y BC , por la propiedad anterior, el punto O equidista de los vértices A y B (por estar en la mediatriz de AB) y de los vértices B y C (por estar en la mediatriz de BC). Luego equidista de A , B y C . Al equidistar de los tres vértices del triángulo, en particular, equidista de A y C, lo que demuestra que también estará en la mediatriz del lado AC y, además, será el centro de una circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo. De lo anterior, concluímos: 1. Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un ÚNICO punto, que denotaremos por O, y que recibe el nombre de CIRCUNCENTRO. 2. El punto de corte de las tres mediatrices es el CENTRO de un circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo, que llamaremos circunferencia circunscrita.

Observa el circuncentro en los casos de que el triángulo sea rectángulo, acutángulo u obtusángulo, respectivamente.

Propiedad 11:

A la vista de los dibujos anteriores, podemos enunciar la siguiente propiedad: "El Circuncentro de un triángulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa" "El Circuncentro de un triángulo acutángulo está en el interior del triángulo" "El Circuncentro de un triángulo obtusángulo está en el exterior del triángulo"

Ejercicio 11: 1. Con ayuda de una regla y compás:: a. Dibuja un triángulo acutángulo cualquiera. b. Dibuja dos de sus mediatrices (las que tú quieras). c. Señala el punto de intersección de ambas. d. Traza la circunferencia con centro en ese punto y radio la distancia al vértice A. e. Comprueba que dicha circunferencia pasa por los vértices B y C. 2. Repite el ejercicio anterior con un triángulo rectángulo. 3. Repite el ejercicio anterior con un triángulo obtusángulo. 4. Comprueba que se ha verificado la propiedad 11 en cada uno de los triángulos que has dibujado.

Incentro Según se vio en la lección anterior, cualquier punto de la bisectriz de un ángulo de un triángulo equidista de los lados que definen dicho ángulo. Luego si llamamos I al punto de intersección de las bisectrices de los ángulos A y B, por la propiedad anterior, el punto I equidista de los lados AB y AC (por estar en la bisectriz de A ) y de los lados AB y BC (por estar en la bisectriz de B). Luego equidista de los lados AB , BC y CA.. Al equidistar de los tres lados del triángulo, en particular, equidista de CA y CB, lo que demuestra que también estará en la bisectriz del ángulo C y, además, será el centro de una circunferencia que es tangente a los tres lados del triángulo. De lo anterior, concluímos: 1. Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un ÚNICO punto, que denotaremos por I, y que recibe el nombre de INCENTRO. 2. El punto de corte de las tres bisectrices es el CENTRO de un circunferencia tangente a los tres lados del triángulo, que llamaremos circunferencia inscrita. Observa el incentro en los casos de que el triángulo sea rectángulo, acutángulo u obtusángulo, respectivamente.

Propiedad 12:

"El incentro de un triángulo cualquiera está siempre en el interior del triángulo" Ejercicio 12: 1. Con ayuda de una regla y compás:: a. Dibuja un triángulo acutángulo cualquiera. b. Dibuja dos de sus bisectrices (las que tú quieras). c. Señala el punto de intersección de ambas. d. Traza la circunferencia con centro en ese punto y tangente al lado AB. e. Comprueba que dicha circunferencia también es tangente a los otros dos lados. 2. Repite el ejercicio anterior con un triángulo rectángulo. 3. Repite el ejercicio anterior con un triángulo obtusángulo. 4. En cada uno de los triángulos que has dibujado, comprueba que el incentro está siempre en el interior del triángulo.

Baricentro Las tres medianas de un triángulo, al igual que ocurría con las mediatrices y bisectrices, se cortan en un ÚNICO punto, que llamaremos BARICENTRO.

Como puedes ver en los dibujos anteriores, no hay diferencias significativas en la situación del baricentro, dependiendo del tipo de triángulo (rectángulo, acutángulo u obtusángulo). En cualquier triángulo, el baricentro siempre es interior al mismo, más aún, es el centro de gravedad del triángulo y se denotará por G. Propiedad 13:

"El baricentro de un triángulo, es un punto interior al mismo, que dista el doble de cada vértice que del punto medio de su lado opuesto" Sin entrar en la demostración, que se sale fuera de los objetivos de este curso, sí que lo veremos gráficamente en los tres casos: triángulos rectángulos, acutángulos y obtusángulos, respectivamente.

Se han denotado por A', B', C', los puntos medios de los lados "a "=BC, "b "=AC y "c "=AB, respectivamente, y se ha señalado el punto medio de las distancias del baricentro a cada vértice, mediante un punto negro sin etiquetar. A la vista de los anterior, se observa que: GA = 2 GA'

(la distancia de Baricentro al vértice A es igual a dos veces la distancia del baricentro al punto medio del lado "a"=BC)

GB = 2 GB'

(la distancia de Baricentro al vértice B es igual a dos veces la distancia del baricentro al punto medio del lado "b"=AC )

GC = 2 GC'

(la distancia de Baricentro al vértice C es igual a dos veces la distancia del baricentro al punto medio del lado "c"=AB )

Ejercicio 13: 1. Con ayuda de regla y compás: a. Dibuja un triángulo cualquiera. b. Traza geométricamente dos de las medianas. c. Señala el punto donde se han cortado ¿cómo se llama ese punto?. d. Traza la tercera mediana y comprueba que pasa por dicho punto. 2. Con el compás: a. Toma la medida del baricentro al punto medio del lado AB. b. Comprueba que puedes llevar esta medida, sobre la mediana, DOS veces desde el baricentro hasta el vértice C. 3. Repite el apartado anterior con las otras dos medianas.

Ortocentro Consideremos un triángulo de vértices A', B' y C'. Ya demostramos que las mediatrices de dicho triángulo se cortaban en un único punto, llamado circuncentro.

Ahora bien, si llamas A , B y C a los puntos medios de los lados B'C', A'C' y A'B' , respectivamente, y consideras el triángulo ABC. Podemos comprobar lo siguiente:

1. Los lados de los triángulos ABC y A'B'C', son respectivamente paralelos. 2. La mediatriz del lado A'B' es la perpendicular a A'B' que pasa por su punto medio (C), luego será también perpendicular a AB (por ser paralelo a A'B'). Así pues, considerando el triángulo ABC, dicha recta es perpendicular a AB pasando el vértice C,o lo que es lo mismo, es la altura del triángulo ABC respecto del lado AB.

Análogo razonamiento nos lleva a deducir que la mediatriz del lado A'C' del triángulo A'B'C', coincide con la altura del triángulo ABC respecto del lado AC. Y, la mediatriz del lado B'C' del triángulo A'B'C', coincide con la altura del triángulo ABC respecto del lado BC.

Las alturas del triángulo ABC, son las mediatrices del A'B'C', y como las mediatrices de cualquier triángulo se cortaban en un único punto, podemos deducir: 1. Las alturas de cualquier triángulo se cortan en un único punto, que llamaremos ORTOCENTRO, y que denotaremos por H.

2. Además, el ortocentro de este triángulo coincide con el circuncentro de un triángulo semejante al dado, y que tiene los vértices del primero como puntos medios de sus lados. Propiedad 14: "El Ortocentro de un triángulo rectángulo es el vértice correspondiente al ángulo recto" "El Ortocentro de un triángulo acutángulo está en el interior del triángulo" "El Ortocentro de un triángulo obtusángulo está en el exterior del triángulo"

Ejercicio 14: 1. Con ayuda de una regla y compás:: a. Dibuja un triángulo acutángulo cualquiera ABC. b. Dibuja dos de sus alturas, tal y como se explicó en la construcción geométrica de la altura. c. Señala el punto de intersección de ambas. ¿cómo se llama dicho punto? d. ¿El ortocentro está dentro o fuera del triángulo? 2. Con ayuda de una regla y compás: 1. Dibuja un triángulo obtusángulo cualquiera ABC. 2. Dibuja otro triángulo A'B'C' que tenga los vértices A, B, y C, como puntos medios de sus lados. 3. Calcula dos mediatrices del triángulo A'B'C', tal y como se explicó en la construcción geométrica de la mediatriz. 4. Señala el punto de intersección de ambas mediatrices. ¿cómo se llama dicho con respecto al triángulo ABC? 5. ¿El ortocentro está dentro o fuera del triángulo? Propiedad 15:

El Ortocentro, Baricentro y Circuncentro están siempre ALINEADOS. El baricentro está ENTRE el ortocentro y circuncentro. La distancia del baricentro al circuncentro es la mitad que la distancia del baricentro al ortocentro.

Además, la recta que pasa por los tres puntos citados (Ortocentro, Baricentro y Circuncentro) se llama RECTA DE EULER.

Ejercicio 15: 1. Con ayuda de regla y compás: a. Dibuja un triángulo acutángulo cualquiera. b. Traza geométricamenSte el Ortocentro, Baricentro y circuncentro. c. Dibuja la Recta de Euler. 2. Con el compás: a. Toma la medida del baricentro al circuncentro. b. Comprueba que puedes llevar esta medida, sobre la recta de Euler, DOS veces desde el baricentro hasta el ortocentro. 3. Repite los apartados 1 y 2 con un triángulo rectángulo. 4. Repite los apartados 1 y 2 con un triángulo obtusángulo.