Ch 4 3dj3c
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- Pages: 160
CH 4 一般化向量空間
大綱
4.1 實數向量空間
4.2 子空間
4.3 線性獨立
4.4 座標與基底
4.5 維度
4.6 基底變換
4.7 列空間、行空間與核空間
4.8 秩、核數與基本的矩陣空間
145
4.1 實數向量空間 (不考) 向量空間公理 定義1
令 V 為某些數學物件所成的任意非空集合，且加法和 純量乘法之運算均有定義。加法是指 V 中的兩物件 u 和 v 的結合成物件 u + v 的運算，稱為 u 和 v 的和。
純量乘法是指 V 中的物件 u 和純量 k 結合成物件 ku 的運算，稱 u 乘以 k 的純量倍數。若 V 中的所有物件 u, v, w 和純量 k, m 都滿足以下公理，則稱 V 為向量空
間，稱 V 中的所有物件為向量。 146
4.1 實數向量空間 (不考) 定 義 1(續)
1. 若 u 和 v 為 V 中的物件，則 u + v 仍是 V 中的 物件。
2. u + v = v + u
3. u + (v + w) = (u + v) + w
146
4. V 中的物件 0 稱為零向量，對所有 V 中的 u， 使得 0 + u = u + 0 = u。 5. 對所有 V 中的 u，存在物件 –u，稱為負 u，使 得 u + (–u) = (–u) + u = 0。
4.1 實數向量空間 (不考) 定 義 1(續)
6. 若 k 為任意純量且 u 是 V 中的物件，則 ku 仍是 V 中的物件。
7. k(u + v) = ku + kv
8. (k + m)u = ku + mu
9. k(mu) = (km)(u)
10. 1u = u
146
4.1 實數向量空間 (不考) 如何證明一具有兩運算的集合為一個向量空間
步驟 1、指定欲成為向量的物件所成之集合V。
步驟 2、指定在 V 中的加法和純量乘法運算。
步驟 3、驗證公理 1 和 6，亦即， V 中的兩向量相加所得 的向量仍在 V 中， V 中的向量乘上一純量倍數所得的向量
仍在 V 中。公理 1 稱為加法封閉性（closure underaddition），公理 6 稱為純量乘法封閉性（closure under scalar multiplication）。
146
步驟 4、確認滿足公理 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 和 10。
範例 1
零向量空間 (觀念)
令 V 僅包含一物件零向量 0，且對所有純量 k，定 義
0 + 0 = 0 和 k0 = 0 很容易可確認均滿足向量空間所要求的所有公理； 我們稱之為零向量空間。
147
範例 2
Rn 為向量空間 (觀念)
令 V = Rn，且定義在 V 中的加法和純量乘法運算為
因為前述的 n 元組運算結果顯示會滿足加法封閉性和 純量乘法封閉性。同時也因為有定理 3.1.1 的關係， 所以滿足公理 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 和 10。 下一個例子是 Rn 的一般化情況，其可允許向量含有 無窮多個分量。
147
範例 3 實數無窮序列所構成的向量空間(觀念) 令 V 所構成的物件有以下形式
其中， u1, u2, . . . , un, . . . 為實數的無窮序列。若相對應位 置的分量（元素）相等，則定義兩無窮序列為相等。另， 定義加法和純量乘法為
可自行證明 V 滿足所有向量空間所要求的所有公理，此向 量空間記作 R∞。 147
範例 4 2 × 2 矩陣之向量空間(觀念) 令 V 為具實數元素之 2 × 2 矩陣所成的集合，且將矩陣 加法和純量乘法定義為在 V中向量空間的運算，即
(1)
因在前面已經有介紹過 2 × 2 矩陣運算，可知 V 集合具 有加法和純量乘法的封閉性。因此，只剩公理 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 和 10 有待確認。而這些都是矩陣運算的標準特性， 例如公理 2 源自定理 1.4.1(a)，即 148
範例 4 2 × 2 矩陣之向量空間(續) (不考)
同樣地，公理 3, 7, 8, 9 分別源自定理 1.4.1 的 (b), (h), ( j), (e) 部分。剩下的公理 4, 5, 10相信讀者應可自行 驗證。 在驗證公理 4 時，必須找到 V 中的 2 × 2 零矩陣 0， 使其滿足 u + 0 = 0 + u，可設零矩陣為
148
範例 4 2 × 2 矩陣之向量空間(續) (不考) 據此可知
同樣地，可知 u + 0 = u。而要驗證公理 5 時，必須 找到 V 中的 –u，使其滿足 u + (–u) =0 和 (–u) + u = 0。 其可定義 u 的負值為 據此可知 148
範例 4 2 × 2 矩陣之向量空間(續) (不考)
同樣地可知 (–u) + u = 0。最後公理 10 也會被滿足， 因為
148
範例 5
m × n 矩陣之向量空間(不考)
範例 4 為一般化向量空間的一個例子，要將之 推廣、證明到已經定義好矩陣加法和純量乘法 運算的所有 m × n 矩陣應該沒有問題。我們將 此向量空間記作 Mmn；例如，範例 4 的向量空 間記作 M22。
149
範例 6
實數函數之向量空間 (觀念)
令 V 為在 (–∞, ∞) 區間所有實數函數所成的集合。若 f = f(x) 和 g = g(x) 為 V 中之兩函數且 k 為任意純量，則定義加法和純量乘
法如下
則V 為一般化向量空間。
這兩運算可用以下的觀點來看：在 Rn 和 R∞ 空間中，函數 f 和 g 在點 x 位置的分量（components）為 f(x) 和 g(x)，則 (2) 式陳述
了兩函數以相對位置分量相加， (3) 式陳述了在函數的每一分 量乘上一純量。 149
4.1 實數向量空間 (不考)
150
範例 6 實數函數之向量空間(續) (不考) 圖 4.1.1 的 (a) 和 (b) 解說了此觀點。定義有這些運算的集合 V 記作 F(–∞, ∞)，可如下證明其為一向量空間： 公理 1 和 6：若定義於 (–∞, ∞) 區間的兩函數相加和純量倍數後的 結果仍在 (–∞, ∞) 區間，這是封閉性公理要求。根據 (2) 式和 (3) 式函數的定義可知已經滿足此 2 公理。 公理 4：此公理要求在 F(–∞, ∞) 空間中存在一零函數，其與 F(–∞, ∞) 空間中的任意函數 f 相加可得原函數 f。設一函數在 (–∞, ∞) 區 間的每一點位置 x 其值均為零，此零函數即可有此特性。在幾何 上，零函數為與 x 軸重合的一直線。
149
範例 6 實數函數之向量空間(續) (不考) 公理 5：此公理要求在 F(–∞, ∞) 空間中的每一函數 f 存在有一函 數 –f 與之相加後得到零函數。可定義函數 –f(x) = –f(x) 即可有此 特性。 –f 函數的圖形可以將函數 f 對稱 x 軸作鏡射來獲得（圖 4.1.1c）。
公理 2, 3, 7, 8, 9, 10：這些公理的有效性都來自實數的特性。例如， 若 f 和 g 為 F(–∞, ∞)空間中的函數，則公理 2 所需的要求 f + g = g + f，可根據以下運算 (f + g) (x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f ) (x) 其中，第一個和最後一個等號的成立是根據 (2) 式，中間的等號 則是根據實數的特性。 149
4.1 實數向量空間(不考)
150
範例 7
非向量空間的集合(觀念)
令 V = R2 且定義加法和純量乘法如下：若 u = (u1, u2) 及 v = (υ1, υ2)，則定義
u + v = (u1 + υ1, u2 + υ2) 且，若 k 為任意實數，則定義 ku = (ku1, 0) 例如，若 u = (2, 4)、 v = (–3, 5) 及 k = 7，
則以上述運算定義的集合 V 並非一向量空間。 150
範例 7 非向量空間的集合(續) (不考) 加法的運算源自 R2 的標準運算，但純量乘法則另外如 上所述做定義。對於公理 1 到 9，讀者可以自行證明，
都可成立。然而，公理 10 對某些特定向量來說，並不 成立。例如，若 u = (u1, u2) 且 u2 ≠ 0，則
因此，以上述運算定義的集合 V 並非一向量空間。
150
範例 7
非向量空間的集合(續) (不考)
加法的運算源自 R2 的標準運算，但純量乘法則另外如 上所述做定義。對於公理 1 到 9，讀者可以自行證明，
都可成立。然而，公理 10 對某些特定向量來說，並不 成立。例如，若 u = (u1, u2) 且 u2 ≠ 0，則
因此，以上述運算定義的集合 V 並非一向量空間。
150
範例 8
非尋常的向量空間 (不考)
令 V 為正實數所成的集合，且定義 V 中的運算為 u + υ = uυ
[ 向量加法定義為數值的乘法運算]
ku = uk
[ 純量乘法定義為數值的指數運算]
亦即，例如， 1 + 1 = 1 且 (2)(1) = 12 = 1。這看起來甚 為奇怪，但做這些運算的定義可使得V 滿足成為向量 空間所需的 10 個公理，進而構成一向量空間。以下僅 對公理 4, 5, 7進行驗證，其餘部分讀者應可自行驗證。
151
範例 8
非尋常的向量空間(續) (不考)
公理 4—此空間的零向量應為 1（即 0 = 1），因為
公理 5— –u 的負向量為倒數（即 –u = 1/u），因為
公理 7—
151
4.1 實數向量空間 (觀念) 向量特性 定理 4.1.1
令 V 為一向量空間， u 為 V 中的向量， k 為純 量，則
(a) 0u = 0
(b) k0 = 0
(c) (–1)u = –u
(d) 若 ku = 0，則 k = 0 或 u = 0。
151
4.2 子空間 (觀念) 定義1
153
若 W 為向量空間 V 的一子集（subset），若在 V 的加法和純量乘法定義下， W 可自成一向量空 間，則 W 稱為 V 的一子空間（subspace）。
4.2 子空間 定理 4.2.1
153
令 W 為向量空間 V 中含一個或一個以上向量的集 合，則 W 為 V 的一子空間，若且唯若其滿足下列 條件 (a) 若 u 和 v 為 W 中的向量，則 u + v 仍在 W 中。
(b) 若 k 為一純量，且 u 為 W 中的向量，則 ku 仍 在 W 中。
範例 1
零子空間（Zero Subspace）(觀念)
若 V 為任意向量空間，且 W = {0} 為 V 的一子集，其 僅包含零向量，則 W 中的向量之加法和純量乘法具有 封閉性，因為對任意純量 k 滿足
0 + 0 = 0 和 k0 = 0 我們稱 W 為 V 的零子空間。 [ 譯者註：任何向量空間都至少有 2 個子空間，一個是 向量空間本身，另一個是零子空間（zero subspace）。]
154
範例 2
通過原點的直線為 R2 和 R3 的子空間 (觀念)
若 W 為 R2 或 R3 中通過原點的直線，則線上的兩個向量相 加或一向量乘上純量倍數所產生的另一向量仍在此直線上。 所以 W 在加法和純量乘法上都具有封閉性（見以 R3 為例的 圖 4.2.2）。
154
範例 3 通過原點的平面為 R3 的子空間(觀念) 若 u 和 v 為 R3 中通過原點的平面之向量，則在幾何上 u + v 和 ku 很明顯地仍落於W 所在的平面（圖 4.2.3）。 亦即， W 具加法和純量乘法封閉性。
154
4.2 子空間 (觀念)
表 1 列出迄今我們見過 R2 和 R3 的子空間，後續 我們會發現 R2 和 R3 就只有這些子空間。
範例 4 R2 的子集但非 R2 的子空間 (觀念) 令 W 為 R2 中所有點 (x, y) 所成的集合，其中 x ≥ 0 且 y ≥ 0 （如圖 4.2.4 的陰影區）。此集合並非 R2 的子空間，因為其 純量乘法並不具封閉性。例如， v = (1, 1) 為 W 中的向量，
但 (–1)v = (–1, –1) 並非 W 中的向量。
155
範例 5
Mnn 的子空間 (不考)
從定理 1.7.2 知兩個 n × n 對稱矩陣的和為對稱矩 陣，且 n × n 對稱矩陣的純量倍數仍為對稱矩陣。 因此， n × n 對稱矩陣所成的集合具加法和純量 乘法封閉性，即為Mnn 的子空間。同樣地，上三 角矩陣所成的集合、下三角矩陣所成的集合、對
稱矩陣所成的集合，都是 Mnn 的子空間。
155
範例 6
Mnn 的子集但非 Mnn 的 子空間 (不考)
W 為 n × n 可逆矩陣所成的集合並非 Mnn 的子空間， 因為加法和純量乘法都不具封閉性。以下只以 M22 為 例來說明，相信讀者可以很快地延伸到 Mnn 。考慮以
下矩陣
矩陣 0U 為 2 × 2 零矩陣，但其為不可逆，矩陣 U + V 有一行為零，所以也是不可逆。 156
範例 7
子空間 C(–∞, ∞) (不考)
微積分中有一定理陳述了連續函數的和仍為連 續函數，且連續函數乘上一常數後仍為連續函 數。換上向量的陳述語言，在 (–∞, ∞) 區間的 連續函數所成的集合，為函數空間 F(–∞, ∞) 的 子空間，記作 C(–∞, ∞)。
156
範例 8
函數的連續導數 (不考)
一函數若具有連續的導數則稱為連續可微分。微積分中有一
定理陳述了連續可微分函數的和（sum）仍為連續可微分函 數，且連續可微分函數乘上一常數後仍為連續可微分函數。 因此，在 (–∞, ∞) 區間的連續可微分函數形成 F(–∞, ∞) 的子
空間，記作 C1 (–∞,∞)，其中，上標的 1 為加強表示一階導 數為連續。採用此方式，則在 (–∞, ∞) 區間中具有 m 階導數 為連續的函數所成的集合為 F(–∞, ∞) 的子空間、在 (–∞, ∞)
區間中具有各階導數均為連續的函數所成的集合為 F(–∞, ∞) 的子空間；這些子空間分別記作 Cm(–∞, ∞)和 C∞ (–∞, ∞)。
156
範例 9
所有多項式的子空間(不考)
回憶一下多項式是一種函數，其可用下面的形式來表示 (1) 其中， a0, a1, . . . , an 為常數。很明顯地，兩多項式的和
仍為多項式，多項式乘上一常數後仍為多項式。因此， 所有多項式所成的集合 W 具加法和純量乘法封閉性； 其為 F(–∞, ∞)的子空間，記作 P∞。
156
範例 10 次數 ≤ n 的多項式之子空間(不考) 回憶一下多項式的次數為具有非零係數之變數的最高次方。 即，例如，在 (1) 式中若 an ≠ 0，則該多項式為 n 次多項式。 以下敘述非為真：「具有正數次方 n 的多項式為F(–∞, ∞) 的 子空間，因為集合未具加法封閉性。」例如，有人會說多項 式 都有次數為 2，但兩多項式和次數為 1，已經不是 2 次多項
式了，所以不具封閉性。但，事實是：對每一非負整數 n， 小於或等於 n 的多項式都是 F(–∞, ∞) 的子空間，記作Pn。
156
4.2 子空間 (不考) 函數空間的層次
在微積分中已經證明多項式為連續函數，且在 (–∞, ∞) 區間的各階導數均為連續。因此， P∞ 不僅為 F(–∞, ∞) 的子空間，也是 C∞(–∞, ∞) 的子空間。從
範例 7 到範例 10 的討論，可以令人信服這些向量 空間像「巢」狀般層層套疊，如圖 4.2.5 所示。
157
(不考)
157
4.2 子空間 建構子空間 (觀念) 定理 4.2.2
若 W1, W2, . . . , Wr 為向量空間 V 的子空間，則這些子空 間的交集仍為 V 的子空間。
定 義 2 (不考)
w 為 V 中的向量，若 w 可展開如下式，則稱 w 為 V 中向 量 v1, v2, . . . , vr 的線性組合（linear combination） (2)
157
其中， k1, k2, . . . , kr 為純量，且稱為線性組合的係數。
4.2 子空間 (觀念) 定理 4.2.3
若 S = {w1, w2, . . . , wr} 為向量空間 V 的一非空集合，
(a) 若 W 為 S 中向量 w1, w2, . . . , wr 所有可能線性組合 出的向量所成的集合，則 W 為V 的子空間。
(b) 在 (a) 中的 W 為 V 中包含 w1, w2, . . . , wr 向量的
「最小」子空間；即任何包含 w1, w2, . . . , wr 向量的其 他子空間也會包含 W。
158
4.2 子空間 (觀念) 定義3
若 S = {w1, w2, . . . , wr} 為向量空間 V 的一非空集合， 則 V 的子空間 W 為 S 中向量 w1,w2, . . . , wr 所有可能線
性組合出的向量所成的集合，稱為「S 生成（span）V 的子空間」，也稱「向量 w1, w2, . . . , wr 生成 W （span W）」。而所生成的子空間記作 W = span{w1, w2, . . . , wr} 或 W = span(S)
159
範例 11
標準單位向量生成 Rn (不考)
回想一下 Rn 中的標準單位向量為 這些向量生成 Rn，因為 Rn 中的每一向量 v = (υ1, υ2, . . . , υn) 都可表為 其為 e1, e2, . . . , en 的線性組合。因此，例如向量 生成 R3，因為 R3 中的每一向量 v = (a, b, c) 都可表為
159
範例 12 生成 R2 和 R3 的幾何觀察 (不考) (a) 若 v 為以原點為起始點之 R2 或 R3 中的非零向量，則 span{v}（即只有 v 的純量倍數之向量）為 v 所決定之通過 原點的直線。我們可以從圖 4.2.6a 想像、觀察到向量 kv 的 尖端形成直線上的點，為選擇不同的 k 值來適當地將 v 伸長 或縮短或反向。 (b) 若 v1 和 v2 為以原點為起始點之 R3 中的非零向量，則 span{v1, v2} 為 v1 和 v2 線性組合的所有可能所構成，其為由 此二向量所構成的通過原點的平面。我們可以從圖 4.2.6b想 像、觀察到向量 k1v1 + k2v2 的尖端形成平面上所有點，其為 選擇不同的純量 k1 和 k2 來適當地將 k1v1 和 k2v2 進行適當地 伸長或縮短或反向。 159
(不考)
160
範例 13
Pn 的生成集 (觀念)
多項式 1, x, x2, . . . , xn 生成範例 10 所定義的向量空間 Pn，因為 Pn 中的每一多項式 p 可寫成
其為 1, x, x2, . . . , xn 的線性組合，可記作
160
範例 14
線性組合
考慮 R3 中的向量 u = (1, 2, –1) 和 v = (6, 4, 2)， 試證 w = (9, 2, 7) 為 u 和 v 的線性組合，而 w' = (4, –1, 8) 不是 u 和 v 的線性組合。
160
範例 14
線性組合
考慮 R3 中的向量 u = (1, 2, –1) 和 v = (6, 4, 2)， 試證 w = (9, 2, 7) 為 u 和 v 的線性組合，而 w' = (4, –1, 8) 不是 u 和 v 的線性組合。
160
範例 15
生成之測試
判斷向量 v1 = (1, 1, 2), v2 = (1, 0, 1) 和 v3 = (2, 1, 3) 是否能生成 R3。
161
4.2 子空間 (觀念) 齊次系統的解空間 定理 4.2.4
m 個方程式 n 個未知數的齊次線性系統 Ax = 0 解集 合，為 Rn 的子空間。
162
範例 16
齊次系統的解空間
解以下各系統。
162
4.2 子空間 (觀念) 最終觀察 定理 4.2.5
若 S = {v1, v2, . . . , vr} 和 S' = {w1, w2, . . . , wk} 為向
量空間 V 中向量所成的非空集合，則 span{v1, v2, . . . , vr} = span{w1, w2, . . . , wk}
若且唯若， S 中的每一向量都為 S' 中向量的線性
組合，且 S' 中的每一向量都為 S 中向量的線性組 合。 163
4.3 線性獨立 (觀念) 前言
例如，向量 (3, 2) 以 i = (1, 0)和 j = (0, 1) 做線性組 合表示的方式，唯一的表示法為
(1)
164
4.3 線性獨立 (觀念) 線性獨立和線性相依 定義1
若 S = {v1, v2, . . . , vr} 為向量空間 V 中向量所成的一非空集合， 則向量方程式 一定會至少有一組解，此解為 稱為顯解（trivial solution）。如果此顯解為方程式的唯一解，則 稱 S 為線性獨立集合（linearly independent set）。如果除了顯解 外，尚有其他解，則稱 S 為線性相依集合（linearly dependent set）。
165
範例 1 Rn 中的標準單位向量為線性 獨立（Linear Independence）(不考) Rn 中最基本的線性獨立集合為標準單位向量所成的集 合，如
為了簡單說明，我們僅以 R3 為例
這些向量為線性獨立或線性相依，取決於以下向量方程
式是否有非顯解的存在 165
範例 1 Rn 中的標準單位向量為線性 獨立（Linear Independence） (續) (不考)
(2) 此方程式的分量形式表示法為 (k1, k2, k3) = (0, 0, 0) 可得 k1 = 0, k2 = 0, k3 = 0。即 (2) 式只有顯解存在，所以
這些向量為線性獨立。
165
範例 2
R3 中的線性獨立
試問，以下向量在 R3 中為線性獨立或線性相依？ v1 = (1, –2, 3), v2 = (5, 6, –1), v3 = (3, 2, 1)
166
範例 2
R4 中的線性獨立
試問，以下向量在 R3 中為線性獨立或線性相依？ v1 = (1, –2, 3), v2 = (5, 6, –1), v3 = (3, 2, 1)
166
範例 4
Pn 中重要的線性獨立 集合 (觀念)
證明多項式 在 Pn 中形成一線性獨立集合。
167
範例 5
多項式的線性相依(不考)
試問，以下多項式在 P2 中為線性獨立或線性相依？
167
4.3 線性獨立 (觀念) 線性相依的另一解釋 定理 4.3.1
含兩個以上向量的集合 S 為
(a) 線性相依，若且唯若 S 中至少有一個向量可以被寫 成其他向量的線性組合。
(b) 線性獨立，若且唯若 S 中沒有向量可以被寫成其他
向量的線性組合。 (10) 168
範例 6
重新檢視範例 1 (不考)
範例 1 證明了 Rn 中的標準單位向量為線性獨立。因此， 根據定理 4.3.1，沒有任何向量可以被表示成其他兩個向 量的線性組合。以 R3 為例，假設 或以分量形式寫成 因為無法找到任何 k1 和 k2 的數值來滿足此方程式，所以 無法將 k 以 i 和 j 的線性組合方式表示。同樣地，無法將 i 以 j 和 k 的線性組合方式表示、無法將 j 以 i 和 k 的線 性組合方式表示。 169
範例 7
重新檢視範例 2 (不考)
在範例 2 中看到了以下向量 為線性相依。因此，根據定理 4.3.1，沒有任何向量 可以被表示成其他兩個向量的線性組合。讀者可以 驗證一下下面的方程式
可得知
169
4.3 線性獨立 (觀念) 僅包含一個或兩個向量的集合
定理 4.3.2
(a) 一有限集合若包含零向量，則為線性相依。
(b) 一集合若只含一個向量，則為線性獨立，若且唯若 所包含的這向量不是零向量。
(c) 一集合若只含兩個向量，則為線性獨立，若且唯若
這兩個向量不是純量倍數關係。
170
範例 8
兩函數的線性相依 (不考)
函數 f1 = x 和 f2 = sin x 在 F(–∞, ∞) 中為線性獨立 因為彼此不是純量倍數關係。另一方面，兩函數
g1= sin 2x 和 g2= sin x cos x 為線性相依，因為 sin 2x = 2 sin x cos x； g1和 g2 彼此為純量倍數關係。
170
線性獨立的幾何意義 (不考)
170
(不考)
171
4.3 線性獨立 (不考) 定理 4.3.3
令 S = {v1, v2, . . . , vr} 為 Rn 空間向量所成的集合， 若 r > n，則 S 為線性相依。
函數的線性獨立
考慮以下函數
在 F(–∞, ∞) 區間為線性相依，因為 171
4.3 線性獨立 (不考) 定義2
若 f1 = f1(x), f2 = f2(x), . . . , fn = fn(x) 在 (–∞,∞) 區間為 n – 1 次可微分，則行列式
稱為 f1, f2, . . . , fn 的朗斯基式（Wronskian）。 172
4.3 線性獨立 (不考) (11) 定理 4.3.4
若函數 f1, f2, . . . , fn 在 (–∞,∞) 區間內為 n – 1 次連 續可微分，且這些函數在 (–∞,∞) 區間內的朗斯基
式不等於零，則這些函數在 C(n–1) (–∞,∞) 區間內形 成一線性獨立的向量集合。 173
4.4 座標與基底 (不考) 線性代數中的座標系統
174
174
(不考)
175
(不考)
175
4.4 座標與基底 (觀念) 向量空間的基底 定義1
若 V 為任意向量空間，且 S = {v1, v2, . . . , vn} 為 V 中向量所成的有限集合，則 S 被稱為 V 的基底 （basis），需以下兩條件成立：
(a) S 為線性獨立
(b) S 生成 V
175
範例 1
Rn 的標準基底 (不考)
回想一下 4.2 節中的範例 11，標準單位向量
生成 Rn，且從 4.3 節中的範例 1 可知這些標準基底為 線性獨立。因此，可成為 Rn 的基底；稱為 Rn 的標準 基底（standard basis）。例如，
為 R3 的標準基底。 176
範例 2
Pn 的標準基底 (不考)
證明 S = {1, x, x2, . . . , xn} 為小於等於 n 次的多項 式所成向量空間 Pn 的基底。
176
範例 3
R3 的其他基底
證明向量 v1 = (1, 2, 1), v2 = (2, 9, 0) 和 v3 = (3, 3, 4) 可為 R3 的基底。
176
範例 4
Mmn 的標準基底 (不考)
證明以下矩陣
可為 2 × 2 矩陣所成向量空間 M22 的基底。
177
4.4 座標與基底(觀念) 相對於某基底的座標系 定理 4.4.1
基底表示的唯一性（單一性）
若 S = {v1, v2, . . . , vn} 為向量空間 V 的一組基底， 則 V 中的每一向量 v 均可以 v = c1v1+ c2v2 + · · · + cnvn 的唯一形式表示之。
178
4.4 座標與基底 (觀念) 定義2
若 S = {v1, v2, . . . , vn} 為向量空間 V 的基底，且
為以 S 中的基底向量來表示，則純量 c1, c2, . . . , cn 稱 為 v 相對於基底 S 的座標（coordinates）。而 Rn 中的 向量 (c1, c2, . . . , cn ) 稱為 v 相對於基底 S 的座標向量 （coordinate vector），且記作
(6) 180
4.4 座標與基底 (觀念)
觀察 Rn 空間中的向量 (v)s，亦即對向量空間 V，給定
有序基底 S，定理 4.4.1 建立了V 中的向量和 Rn 中的向 量之間的一對一的對應（如圖4.4.6）。
180
範例 7Rn 中相對於標準基底的座標 (觀念) 在 V = Rn 的特殊情況中，若 S 為標準基底，則座標 向量 (v)S 和向量 v 相同，即 v = (v)S 例如， R3 中向量 v = (a, b, c) 以標準基底 S = {i, j, k} 的線性組合方式表示為
所以相對於標準基底的座標向量為 (v)S = (a, b, c)，其
與向量 v 的表示式相同。 180
範例 8相對於標準基底的座標向量(不考) (a) 求以下多項式，相對於向量空間 Pn 標準基底的座 標向量。
(b) 求以下矩陣，相對於向量空間 M22 標準基底的座 標向量。
181
範例 9
R3 中的座標
(a) 範例 3 已經證明向量 v1 = (1, 2, 1), v2 = (2, 9, 0), v3 = (3, 3, 4) 可為 R3 的基 求 v = (5, –1, 9) 相對於基底 S = {v1, v2, v3} 的座標向量
181
範例 9
R3 中的座標
(b) 若某向量 v 相對於基底 S 的座標向量為 (v)s = (–1, 3, 2)，試求 R3 中的 v。
181
4.5 維度 (觀念) 定義1
有限維度向量空間 V 的維度（dimension），記 作 dim(V)，為 V 的基底向量的個數。再者，零 向量空間的維度定義為零。
183
4.5 維度 (觀念) 基底向量的個數 定理 4.5.1
有限維度的向量空間的任何基底集合，其所包含向量 的個數會相同。
定理 4.5.2
182
令 V 為一 n 維向量空間，且令 {v1, v2, . . . , vn} 為任意 一組基底。
(a) V 中具有多於 n 個向量的集合，其為線性相依。
(b) V 中具有少於 n 個向量的集合，其無法生成 V。
範例 1一些悉知向量空間的維度(不考)
183
範例 2
Span(S) 的維度 (觀念)
若 S = {v1, v2, . . . , vr} 為向量空間 V 中的一組線 性獨立集合，則 S 自動可成為 span(S) 的基底， 且 dim[span(S)] = r 換句話說，線性獨立集合的向量所生成的空間， 其維度等於集合中向量的個數。
183
範例 3
解空間的維度
試求以下齊次系統之解空間的基底和維度。
183
範例 4
解空間的維度
試求以下齊次系統之解空間的基底和維度。
184
4.5 維度 (觀念) 定理 4.5.3 增／減定理
令 S 為向量空間 V 中向量所成的非空集合 (a) 若 S 為線性獨立，且 v 為向量空間 V 中的向量且 不在 span(S) 中，則集合 S ∪ {v}仍為線性獨立。
(b) 若 S 中一向量 v 可表為 S 內其他向量的線性組合， 且 S – {v} 表示將 v 自 S 中移出，則 S 和 S – {v} 所生 成的空間相同，亦即 span(S) = span(S – {v})
185
4.5 維度 (不考) 一些基本定理
185
範例 5
應用增／減定理 (不考)
證明 p1 = 1 – x2, p2 = 2 – x2, 和 p3 = x3 為線性獨立
的向量。
185
4.5 維度 (觀念) 定理 4.5.4
令 V 為 n 維的向量空間，且令內含 n 個向量的 S 為 V 中的一集合，則 S 為 V 的一基底，若且唯若
S 生成 V，或 S 為線性獨立。
186
範例 6
基底的檢查 (不考)
(a) 請解釋向量 v1 = (–3, 7) 和 v2 = (5, 5) 為何可以 成為 R2 的基底？
(b) 請解釋向量 v1 = (2, 0,–1), v2 = (4, 0, 7) 和 v3 = (–1, 1, 4) 為何可以成為 R3 的基底？
186
4.5 維度 (觀念) 定理 4.5.5
令 S 為有限維度向量空間中的一有限集合
(a) 若 S 生成 V 但不是 V 的基底，則可將 S 移除適
當的向量後簡化成 V 的基底。
(b) 若 S 為線性獨立集合但尚不是 V 的基底，則可 將 S 加入適當的向量後擴展成 V 的基底。
186
4.5 維度 (觀念) 定理 4.5.6
若 W 為有限維度向量空間 V 中的一子空間，則
(a) W 為有限維度
(b) dim(W) ≤ dim(V )
(c) W = V，若且唯若 dim(W) = dim(V )
187
4.6 基底變換 (不考) 座標映射
若 S = {v1, v2, . . . , vn} 為有限維度向量空間 V 的一 組基底，且若
為相對於 S 的座標向量，則如 4.4 節所述，映射 關係 (1)
187
4.6 基底變換 (不考)
建立了一般化向量空間 V 和尤拉向量空間 Rn 的一 種一對一連結（一對一的對應關係）。我們稱 (1) 式為從 V 到 Rn 相對於 S 的座標映射（coordinate map）。 (2)
187
(不考)
188
4.6 基底變換 (不考) 基底變換 基底變換問題
若 v 為有限維度向量空間 V 的一向量，且若欲將 基底 B 改為基底 B‘ ，則座標向量 [v]B 和 [v]B’ 之 間有何關係？
188
令
4.6 基底變換 (不考)
先將新的基底向量以舊基底表示，可得座標向量為
(3)
新舊基底向量間的關係如下 (4)
令 v 為 V 中的任意向量，且令 (5)
188
4.6 基底變換(不考)
為新的座標向量，所以
(6)
或
因此， v 的舊座標向量為
188
4.6 基底變換 (不考)
此方程式表示：舊的座標向量 [v]B 為新的座標向量 [v]B’ 左乘下述矩陣的結果
向量空間 V 中的每一向量 v 之舊座標向量 [v]B 和新座標向 量 [v]B’ 間的關係為
(7)
(8) 189
4.6 基底變換 (不考) 轉移矩陣
矩陣 P 稱為從 B' 到 B 的轉移矩陣（transition matrix）， 為了強調通常記作 PB’ → B。 (9)
同樣地，從 B 到 B' 的轉移矩陣可表示為 (10)
189
記憶的方法為：若舊座標向量要更新為新座標向量， 需由舊基底向量先以新基底向量表示開始更新，此種 基底向量優先更新表示法即可得舊座標向量到新座標 向量的「轉移矩陣」。 互為 inverse
範例 1
求轉移矩陣
B = {u1, u2} 和 B' = {u'1, u'2} 為 R2 的基底，其中 (a) 求 B' 到 B 的轉移矩陣 PB' → B。 (b) 求 B 到 B' 的轉移矩陣 PB → B'。
190
範例 1
求轉移矩陣
B = {u1, u2} 和 B' = {u'1, u'2} 為 R2 的基底，其中 (a) 求 B' 到 B 的轉移矩陣 PB' → B。 (b) 求 B 到 B' 的轉移矩陣 PB → B'。
190
4.6 基底變換 (不考) 所以對於 V 中的每一向量 v，滿足 (11)
(12)
191
範例 2
計算座標向量
令 B 和 B' 為範例 1 中的基底，給定以下座標向 量，試求 [v]B
191
4.6 基底變換 (不考) 轉移矩陣的可逆性 若 B 和 B' 為有限向量空間 V 的基底，則
(13)
191
範例 1 中獲得的轉移矩陣關係如下
4.6 基底變換 (不考) 定理 4.6.1
若 P 為有限維度向量空間中從基底 B' 到基底 B 的
轉移矩陣，則 P 為可逆矩陣， P –1 為從 B 到基底 B' 的轉移矩陣。 計算 Rn 轉移矩陣之有效率方法 (14)
192
4.6 基底變換 (不考) Rn 中標準基底的轉換
定理 4.6.2
令 B' = {u1, u2, . . . , un} 為向量空間 Rn 的任一組基底， 且令 S = {e1, e2, . . . , en} 為 Rn 的標準基底。若以行向量 形式寫出的轉移矩陣為 (15)
193
（譯者註：「左新右舊」建構出矩陣後，會發現不用進 行任何列運算，右側即出現轉移矩陣，亦即是舊基底向 量就是轉移矩陣。）
4.6 基底變換 (補充) (列式即可) =S= 1 1
1
兩基底向量為 4
1 1 =P= 4 1
如基底下座標(3,1), 基底下座標為?
X=S[X]=P[X][X]
=S-1P[X]
=
1 1 4 1
如基底下座標(3,1), 基底下座標為? [X]=P-1S [X]= 116
4.7列空間、行空間與核空間(不考) 列空間、行空間和核空間 定義1
對於 m × n 矩陣
A 的列所形成的向量
194
4.7列空間、行空間與核空間(不考)
194
稱為 A 的列向量（row vectors），而 A 的行所形成的向 量
稱為 A 的行向量（column vectors）。
範例 1 2 × 3 矩陣的列向量行向量(不考) 令 A 的列向量為
A 的行向量為
以下定義會定義出矩陣的三種重要的向量空間。
195
4.7 列空間、行空間與核空間(觀念) 定義2
195
若 A 為 m × n 矩陣，則 A 之列向量所生成的空間為 Rn 的子空間，稱作 A 的列空間（row space of A）， 記作 RS(A)。而 A 之行向量所生成的空間為 Rm 的 子空間，稱作A 的行空間（column space of A）， 記作 CS(A)。齊次系統 Ax = 0 的解空間為 Rn 的子 空間，稱作 A 的核空間（null space of A），記作 NS(A)。
4.7列空間、行空間與核空間(觀念) 列空間、行空間和核空間的基底 定理 4.7.3
基本列運算不會改變矩陣的核空間。
定理 4.7.4
198
基本列運算不會改變矩陣的列空間。
範例 4
求矩陣核空間的基底
求以下矩陣核空間的基底
198
197
4.7 列空間、行空間與核空間(觀念)
問題 1、線性系統 Ax = b 解和係數矩陣 A 的列空間、
行空間、核空間之間存在何種關係？
問題 2、一矩陣的列空間、行空間、核空間之間存
在何種關係？ (1) (2)
195
4.7 列空間、行空間與核空間(觀念) 定理 4.7.1
一線性系統 Ax = b 具一致性，若且唯若 b 落於 A 的行空間中。
196
範例 2 向量 b 落於 A 的行空間(觀念) 令 Ax = b 為一線性系統
試以 b 可表為 A 行向量的線性組合方式來證明 b 落於 A 的行空間。
196
4.7 列空間、行空間與核空間(觀念) 定理 4.7.2
若 x0 為具一致性的線性系統 Ax = b 的任一解，且
S = {v1, v2, . . . , vk} 為 A 的核空間，則 Ax = b 的通 解可表為以下形式
(3)
反之，任意選擇純量 c1, c2, . . . , ck，此式中的向量 x 為 Ax = b 的一解。
196
4.7 列空間、行空間與核空間(不考)
具有一致性的線性系統之通解為此系統的特解與對 應齊次系統的通解（齊次解）之和。
（譯者註：令 x0 為線性系統 Ax = b 之任意特解，
所以 Ax0 = b。且令 W 為滿足齊次系統 Ax = 0的解 集合，且 w 為 W 中的任意向量，所以 Aw = 0。因
此線性系統通解為 x0 + w，因為：A(x0 + w) = Ax0 + Aw = b + 0 = b。） 197
(不考) Ax = b 之解集合不為向量空間
197
範例 3 線性系統 Ax = b 的通解(不考) 比較以下兩線性系統
的解，可以發現非齊次系統的通解 x 和對應齊次系 統的通解 xh 之關係為
197
4.7列空間、行空間與核空間(觀念) 定理 4.7.5
若矩陣 R 已經是列梯形形式，則帶有前導壹的列向 量（非零列）可成為 R 的列空間基底，且帶有前導 壹的行向量可成為 R 的行空間基底。
199
範例 5 列梯形矩陣的列空間與 (觀念) 行空間之基底 求以下矩陣列空間和行空間之基底
因為矩陣 R 已經是列梯形形式，根據定理 4.7.5，向量
199
範例 5
列梯形矩陣的列空間與 行空間之基底(續) (觀念)
可為矩陣 R 的列空間基底，且向量
可為矩陣 R 的行空間基底。
199
範例 ６ 以列簡化方式求列空間之基底 求以下矩陣列空間的基底
200
4.7列空間、行空間與核空間(不考) (4)
定理 4.7.6
若 A 和 B 為列等效矩陣，則：
(a) 在 A 中所選定的行向量之集合為線性獨立，若且唯
若 B 中對應的行向量所成集合為線性獨立。 (b) 在 A 中所選定的行向量之集合可為 A 行空間基底， 若且唯若 B 中對應的行向量可為 B 行空間基底。 200
範例 7
使用列簡化求行空間基底
求以下矩陣列空間基底
201
範例 8
使用列運算求向量空間的 基底
試求以下向量所生成之 R5 子空間的基底
202
範例 9
矩陣列空間的基底
試求從矩陣 A 找出哪些列向量可直接做為列空間基底。
203
範例 10
基底和線性組合
(a) 試求以下向量的一子集合
使其可為這些向量生成的空間之基底。
204
Ans: v1, v2, v4
範例 10
基底和線性組合 (不考)
(a) 試求以下向量的一子集合
使其可為這些向量生成的空間之基底。 (b) 將其他非基底的向量以選定的基底向量做線性 組合表示。
204
4.8秩、核數與基本的矩陣空間(不考) 列空間和行空間維度相同 定理 4.8.1
矩陣的列空間和行空間有相同維度。
秩與核數 定義1
矩陣 A 的列空間和行空間有相同的維度稱為 A 的秩（rank of A），記作 rank(A)。 A的核空間維度稱為 A 的核數 （nullity of A）或「核化數」，記作 nullity(A)。
205
範例 1
4 × 6 矩陣的秩與核數
求下面矩陣的秩與核數
206
4.8 秩、核數與基本的矩陣空間
(2)
207
通解為
4.8 秩、核數與基本的矩陣空間
向量形式
(3)
207
所以 nullity(A) = 4。
範例 2
秩的最大值 (觀念)
一 m × n 矩陣 A（非方陣）的秩，其最大可能值 為何？
207
4.8秩、核數與基本的矩陣空間(觀念) 定理 4.8.2
矩陣的維度定理
若 A 為具 n 個行的矩陣，則 rank(A) + nullity(A) = n
208
(4)
範例 3
秩與核數的和
矩陣
有 6 個行，所以 如範例 1 所示，此系統具一致性，通解的自由變數 有 4 個，前導變數的個數有 2 個，即
208
4.8秩、核數與基本的矩陣空間(觀念) 定理 4.8.3
若 A 為 m × n 矩陣，則
(a) rank(A) = Ax = 0 的通解中前導變數的個數。
(b) nullity(A) = Ax = 0 的通解中參數（自由變數）
的個數。
208
範例 4 秩、核數與線性系統(觀念) 若 5 × 7 矩陣 A 的秩為 3，求 Ax = 0 通解中參數 的個數。
208
4.8 秩、核數與基本的矩陣空間(觀念) 等價定理 定理 4.8.4 等價敘述 若 A 為 n × n 矩陣，則下列敘述為等價敘述。 (a) A 為可逆矩陣。 (b) Ax = 0 有唯一解，為顯解。 (c) A 的簡化列梯形為 In。 (d) A 可表為一連串基本矩陣的乘積。 (e) 對每一 n × 1 矩陣 b， Ax = b 具有一致性。 (f) 對每一 n × 1 矩陣 b， Ax = b 有唯一解。 (g) det(A) ≠ 0。 209
4.8秩、核數與基本的矩陣空間(觀念) 定理 4.8.4 等價敘述(續)
(h) A 的行向量為線性獨立。
(i) A 的列向量為線性獨立。
(j) A 的行向量生成 Rn。
(k) A 的列向量生成 Rn。
(l) A 的行向量為 Rn 的基底。
(m) A 的列向量為 Rn 的基底。
(n) A 的秩為 n。
(o) A 的核數為 0。
209
4.8秩、核數與基本的矩陣空間(不考) 過定與欠定系統 定理 4.8.5
若 Ax = b 為具有一致性的線性系統，其具有 m 個方程式、 n 個未知數，且若 A 的秩為 r，則此系統的通解會包含 n – r 個參數。
定理 4.8.6
210
令 A 為 m × n 矩陣， (a) ( 過定情況)：若 m > n，則至少有一個在 Rn 中的向量 b， 會使線性系統 Ax = b 不具一致性（無解）。 (b) ( 欠定情況)：若 m < n，則對每一個在 Rm 中的向量 b， 線性系統 Ax = b 不是不具一致性（無解）就是有無窮多解。
4.8秩、核數與基本的矩陣空間(觀念) 矩陣的基本空間
這些稱為矩陣 A 的基本空間（fundamental spaces）。
定理 4.8.7
211
若 A 為任意矩陣，則 rank(A) = rank(AT)。
4.8秩、核數與基本的矩陣空間(觀念) (6) (7) 定 義 ２(不考)
212
若 W 為 Rn 的子空間， Rn 中所有會正交於 W 中每 一向量的這種向量所成的集合，此集合稱為 W 的 正交補集（orthogonal complement），記作 W⊥。
4.8秩、核數與基本的矩陣空間(觀念) 定理 4.8.8
若 W 為 Rn 的子空間，則
(a) W⊥ 為 Rn 的子空間。
(b) 0 為 W 和 W⊥ 的共同向量。
(c) W⊥ 的正交補集為 W。
(d) W 和 W⊥的基底 可共成為 Rn 的基底
212
範例 7
正交補集 (觀念)
在 R2 中，通過原點的一直線 W 之正交補集為通過原 點且與 W 垂直的直線（如圖4.8.1a）。在 R3 中，通 過原點的一平面 W 之正交補集為通過原點且與此平 面垂直的直線（如圖 4.8.1b）。
212
4.8秩、核數與基本的矩陣空間(不考) 基本空間之間的幾何關連
213
4.8秩、核數與基本的矩陣空間 (觀念) 定理 4.8.9
若 A 為 m × n 矩陣，則
(a) A 的核空間和 A 的列空間在 Rn 中彼此為正交補 集。
(b) AT 的核空間和 A 的行空間在 Rm 中彼此為正交 補集。
213
4.8秩、核數與基本的矩陣空間(觀念) 更多的等價定理 定理 4.8.10
等價敘述
若 A 為 n × n 矩陣，則下列敘述為等價敘述。
(a) A 為可逆矩陣。
(b) Ax = 0 有唯一解，為顯解。
(c) A 的簡化列梯形為 In。
(d) A 可表為一連串基本矩陣的乘積。
(e) 對每一 n × 1 矩陣 b， Ax = b 具有一致性。
(f) 對每一 n × 1 矩陣 b， Ax = b 有唯一解。
(g) det(A) ≠ 0。
214
4.8秩、核數與基本的矩陣空間(觀念) 定理 4.8.10 等價敘述(續)
(h) A 的行向量為線性獨立。
(i) A 的列向量為線性獨立。
(j) A 的行向量生成 Rn。
(k) A 的列向量生成 Rn。
(l) A 的行向量為 Rn的基底。
(m) A 的列向量為 Rn 的基底。
(n) A 的秩為 n。
(o) A 的核數為 0。
(p) A 的核空間之正交補集為 Rn。
(q) A 的列空間之正交補集為 {0}。
214
大綱
4.1 實數向量空間
4.2 子空間
4.3 線性獨立
4.4 座標與基底
4.5 維度
4.6 基底變換
4.7 列空間、行空間與核空間
4.8 秩、核數與基本的矩陣空間
145
4.1 實數向量空間 (不考) 向量空間公理 定義1
令 V 為某些數學物件所成的任意非空集合，且加法和 純量乘法之運算均有定義。加法是指 V 中的兩物件 u 和 v 的結合成物件 u + v 的運算，稱為 u 和 v 的和。
純量乘法是指 V 中的物件 u 和純量 k 結合成物件 ku 的運算，稱 u 乘以 k 的純量倍數。若 V 中的所有物件 u, v, w 和純量 k, m 都滿足以下公理，則稱 V 為向量空
間，稱 V 中的所有物件為向量。 146
4.1 實數向量空間 (不考) 定 義 1(續)
1. 若 u 和 v 為 V 中的物件，則 u + v 仍是 V 中的 物件。
2. u + v = v + u
3. u + (v + w) = (u + v) + w
146
4. V 中的物件 0 稱為零向量，對所有 V 中的 u， 使得 0 + u = u + 0 = u。 5. 對所有 V 中的 u，存在物件 –u，稱為負 u，使 得 u + (–u) = (–u) + u = 0。
4.1 實數向量空間 (不考) 定 義 1(續)
6. 若 k 為任意純量且 u 是 V 中的物件，則 ku 仍是 V 中的物件。
7. k(u + v) = ku + kv
8. (k + m)u = ku + mu
9. k(mu) = (km)(u)
10. 1u = u
146
4.1 實數向量空間 (不考) 如何證明一具有兩運算的集合為一個向量空間
步驟 1、指定欲成為向量的物件所成之集合V。
步驟 2、指定在 V 中的加法和純量乘法運算。
步驟 3、驗證公理 1 和 6，亦即， V 中的兩向量相加所得 的向量仍在 V 中， V 中的向量乘上一純量倍數所得的向量
仍在 V 中。公理 1 稱為加法封閉性（closure underaddition），公理 6 稱為純量乘法封閉性（closure under scalar multiplication）。
146
步驟 4、確認滿足公理 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 和 10。
範例 1
零向量空間 (觀念)
令 V 僅包含一物件零向量 0，且對所有純量 k，定 義
0 + 0 = 0 和 k0 = 0 很容易可確認均滿足向量空間所要求的所有公理； 我們稱之為零向量空間。
147
範例 2
Rn 為向量空間 (觀念)
令 V = Rn，且定義在 V 中的加法和純量乘法運算為
因為前述的 n 元組運算結果顯示會滿足加法封閉性和 純量乘法封閉性。同時也因為有定理 3.1.1 的關係， 所以滿足公理 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 和 10。 下一個例子是 Rn 的一般化情況，其可允許向量含有 無窮多個分量。
147
範例 3 實數無窮序列所構成的向量空間(觀念) 令 V 所構成的物件有以下形式
其中， u1, u2, . . . , un, . . . 為實數的無窮序列。若相對應位 置的分量（元素）相等，則定義兩無窮序列為相等。另， 定義加法和純量乘法為
可自行證明 V 滿足所有向量空間所要求的所有公理，此向 量空間記作 R∞。 147
範例 4 2 × 2 矩陣之向量空間(觀念) 令 V 為具實數元素之 2 × 2 矩陣所成的集合，且將矩陣 加法和純量乘法定義為在 V中向量空間的運算，即
(1)
因在前面已經有介紹過 2 × 2 矩陣運算，可知 V 集合具 有加法和純量乘法的封閉性。因此，只剩公理 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 和 10 有待確認。而這些都是矩陣運算的標準特性， 例如公理 2 源自定理 1.4.1(a)，即 148
範例 4 2 × 2 矩陣之向量空間(續) (不考)
同樣地，公理 3, 7, 8, 9 分別源自定理 1.4.1 的 (b), (h), ( j), (e) 部分。剩下的公理 4, 5, 10相信讀者應可自行 驗證。 在驗證公理 4 時，必須找到 V 中的 2 × 2 零矩陣 0， 使其滿足 u + 0 = 0 + u，可設零矩陣為
148
範例 4 2 × 2 矩陣之向量空間(續) (不考) 據此可知
同樣地，可知 u + 0 = u。而要驗證公理 5 時，必須 找到 V 中的 –u，使其滿足 u + (–u) =0 和 (–u) + u = 0。 其可定義 u 的負值為 據此可知 148
範例 4 2 × 2 矩陣之向量空間(續) (不考)
同樣地可知 (–u) + u = 0。最後公理 10 也會被滿足， 因為
148
範例 5
m × n 矩陣之向量空間(不考)
範例 4 為一般化向量空間的一個例子，要將之 推廣、證明到已經定義好矩陣加法和純量乘法 運算的所有 m × n 矩陣應該沒有問題。我們將 此向量空間記作 Mmn；例如，範例 4 的向量空 間記作 M22。
149
範例 6
實數函數之向量空間 (觀念)
令 V 為在 (–∞, ∞) 區間所有實數函數所成的集合。若 f = f(x) 和 g = g(x) 為 V 中之兩函數且 k 為任意純量，則定義加法和純量乘
法如下
則V 為一般化向量空間。
這兩運算可用以下的觀點來看：在 Rn 和 R∞ 空間中，函數 f 和 g 在點 x 位置的分量（components）為 f(x) 和 g(x)，則 (2) 式陳述
了兩函數以相對位置分量相加， (3) 式陳述了在函數的每一分 量乘上一純量。 149
4.1 實數向量空間 (不考)
150
範例 6 實數函數之向量空間(續) (不考) 圖 4.1.1 的 (a) 和 (b) 解說了此觀點。定義有這些運算的集合 V 記作 F(–∞, ∞)，可如下證明其為一向量空間： 公理 1 和 6：若定義於 (–∞, ∞) 區間的兩函數相加和純量倍數後的 結果仍在 (–∞, ∞) 區間，這是封閉性公理要求。根據 (2) 式和 (3) 式函數的定義可知已經滿足此 2 公理。 公理 4：此公理要求在 F(–∞, ∞) 空間中存在一零函數，其與 F(–∞, ∞) 空間中的任意函數 f 相加可得原函數 f。設一函數在 (–∞, ∞) 區 間的每一點位置 x 其值均為零，此零函數即可有此特性。在幾何 上，零函數為與 x 軸重合的一直線。
149
範例 6 實數函數之向量空間(續) (不考) 公理 5：此公理要求在 F(–∞, ∞) 空間中的每一函數 f 存在有一函 數 –f 與之相加後得到零函數。可定義函數 –f(x) = –f(x) 即可有此 特性。 –f 函數的圖形可以將函數 f 對稱 x 軸作鏡射來獲得（圖 4.1.1c）。
公理 2, 3, 7, 8, 9, 10：這些公理的有效性都來自實數的特性。例如， 若 f 和 g 為 F(–∞, ∞)空間中的函數，則公理 2 所需的要求 f + g = g + f，可根據以下運算 (f + g) (x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f ) (x) 其中，第一個和最後一個等號的成立是根據 (2) 式，中間的等號 則是根據實數的特性。 149
4.1 實數向量空間(不考)
150
範例 7
非向量空間的集合(觀念)
令 V = R2 且定義加法和純量乘法如下：若 u = (u1, u2) 及 v = (υ1, υ2)，則定義
u + v = (u1 + υ1, u2 + υ2) 且，若 k 為任意實數，則定義 ku = (ku1, 0) 例如，若 u = (2, 4)、 v = (–3, 5) 及 k = 7，
則以上述運算定義的集合 V 並非一向量空間。 150
範例 7 非向量空間的集合(續) (不考) 加法的運算源自 R2 的標準運算，但純量乘法則另外如 上所述做定義。對於公理 1 到 9，讀者可以自行證明，
都可成立。然而，公理 10 對某些特定向量來說，並不 成立。例如，若 u = (u1, u2) 且 u2 ≠ 0，則
因此，以上述運算定義的集合 V 並非一向量空間。
150
範例 7
非向量空間的集合(續) (不考)
加法的運算源自 R2 的標準運算，但純量乘法則另外如 上所述做定義。對於公理 1 到 9，讀者可以自行證明，
都可成立。然而，公理 10 對某些特定向量來說，並不 成立。例如，若 u = (u1, u2) 且 u2 ≠ 0，則
因此，以上述運算定義的集合 V 並非一向量空間。
150
範例 8
非尋常的向量空間 (不考)
令 V 為正實數所成的集合，且定義 V 中的運算為 u + υ = uυ
[ 向量加法定義為數值的乘法運算]
ku = uk
[ 純量乘法定義為數值的指數運算]
亦即，例如， 1 + 1 = 1 且 (2)(1) = 12 = 1。這看起來甚 為奇怪，但做這些運算的定義可使得V 滿足成為向量 空間所需的 10 個公理，進而構成一向量空間。以下僅 對公理 4, 5, 7進行驗證，其餘部分讀者應可自行驗證。
151
範例 8
非尋常的向量空間(續) (不考)
公理 4—此空間的零向量應為 1（即 0 = 1），因為
公理 5— –u 的負向量為倒數（即 –u = 1/u），因為
公理 7—
151
4.1 實數向量空間 (觀念) 向量特性 定理 4.1.1
令 V 為一向量空間， u 為 V 中的向量， k 為純 量，則
(a) 0u = 0
(b) k0 = 0
(c) (–1)u = –u
(d) 若 ku = 0，則 k = 0 或 u = 0。
151
4.2 子空間 (觀念) 定義1
153
若 W 為向量空間 V 的一子集（subset），若在 V 的加法和純量乘法定義下， W 可自成一向量空 間，則 W 稱為 V 的一子空間（subspace）。
4.2 子空間 定理 4.2.1
153
令 W 為向量空間 V 中含一個或一個以上向量的集 合，則 W 為 V 的一子空間，若且唯若其滿足下列 條件 (a) 若 u 和 v 為 W 中的向量，則 u + v 仍在 W 中。
(b) 若 k 為一純量，且 u 為 W 中的向量，則 ku 仍 在 W 中。
範例 1
零子空間（Zero Subspace）(觀念)
若 V 為任意向量空間，且 W = {0} 為 V 的一子集，其 僅包含零向量，則 W 中的向量之加法和純量乘法具有 封閉性，因為對任意純量 k 滿足
0 + 0 = 0 和 k0 = 0 我們稱 W 為 V 的零子空間。 [ 譯者註：任何向量空間都至少有 2 個子空間，一個是 向量空間本身，另一個是零子空間（zero subspace）。]
154
範例 2
通過原點的直線為 R2 和 R3 的子空間 (觀念)
若 W 為 R2 或 R3 中通過原點的直線，則線上的兩個向量相 加或一向量乘上純量倍數所產生的另一向量仍在此直線上。 所以 W 在加法和純量乘法上都具有封閉性（見以 R3 為例的 圖 4.2.2）。
154
範例 3 通過原點的平面為 R3 的子空間(觀念) 若 u 和 v 為 R3 中通過原點的平面之向量，則在幾何上 u + v 和 ku 很明顯地仍落於W 所在的平面（圖 4.2.3）。 亦即， W 具加法和純量乘法封閉性。
154
4.2 子空間 (觀念)
表 1 列出迄今我們見過 R2 和 R3 的子空間，後續 我們會發現 R2 和 R3 就只有這些子空間。
範例 4 R2 的子集但非 R2 的子空間 (觀念) 令 W 為 R2 中所有點 (x, y) 所成的集合，其中 x ≥ 0 且 y ≥ 0 （如圖 4.2.4 的陰影區）。此集合並非 R2 的子空間，因為其 純量乘法並不具封閉性。例如， v = (1, 1) 為 W 中的向量，
但 (–1)v = (–1, –1) 並非 W 中的向量。
155
範例 5
Mnn 的子空間 (不考)
從定理 1.7.2 知兩個 n × n 對稱矩陣的和為對稱矩 陣，且 n × n 對稱矩陣的純量倍數仍為對稱矩陣。 因此， n × n 對稱矩陣所成的集合具加法和純量 乘法封閉性，即為Mnn 的子空間。同樣地，上三 角矩陣所成的集合、下三角矩陣所成的集合、對
稱矩陣所成的集合，都是 Mnn 的子空間。
155
範例 6
Mnn 的子集但非 Mnn 的 子空間 (不考)
W 為 n × n 可逆矩陣所成的集合並非 Mnn 的子空間， 因為加法和純量乘法都不具封閉性。以下只以 M22 為 例來說明，相信讀者可以很快地延伸到 Mnn 。考慮以
下矩陣
矩陣 0U 為 2 × 2 零矩陣，但其為不可逆，矩陣 U + V 有一行為零，所以也是不可逆。 156
範例 7
子空間 C(–∞, ∞) (不考)
微積分中有一定理陳述了連續函數的和仍為連 續函數，且連續函數乘上一常數後仍為連續函 數。換上向量的陳述語言，在 (–∞, ∞) 區間的 連續函數所成的集合，為函數空間 F(–∞, ∞) 的 子空間，記作 C(–∞, ∞)。
156
範例 8
函數的連續導數 (不考)
一函數若具有連續的導數則稱為連續可微分。微積分中有一
定理陳述了連續可微分函數的和（sum）仍為連續可微分函 數，且連續可微分函數乘上一常數後仍為連續可微分函數。 因此，在 (–∞, ∞) 區間的連續可微分函數形成 F(–∞, ∞) 的子
空間，記作 C1 (–∞,∞)，其中，上標的 1 為加強表示一階導 數為連續。採用此方式，則在 (–∞, ∞) 區間中具有 m 階導數 為連續的函數所成的集合為 F(–∞, ∞) 的子空間、在 (–∞, ∞)
區間中具有各階導數均為連續的函數所成的集合為 F(–∞, ∞) 的子空間；這些子空間分別記作 Cm(–∞, ∞)和 C∞ (–∞, ∞)。
156
範例 9
所有多項式的子空間(不考)
回憶一下多項式是一種函數，其可用下面的形式來表示 (1) 其中， a0, a1, . . . , an 為常數。很明顯地，兩多項式的和
仍為多項式，多項式乘上一常數後仍為多項式。因此， 所有多項式所成的集合 W 具加法和純量乘法封閉性； 其為 F(–∞, ∞)的子空間，記作 P∞。
156
範例 10 次數 ≤ n 的多項式之子空間(不考) 回憶一下多項式的次數為具有非零係數之變數的最高次方。 即，例如，在 (1) 式中若 an ≠ 0，則該多項式為 n 次多項式。 以下敘述非為真：「具有正數次方 n 的多項式為F(–∞, ∞) 的 子空間，因為集合未具加法封閉性。」例如，有人會說多項 式 都有次數為 2，但兩多項式和次數為 1，已經不是 2 次多項
式了，所以不具封閉性。但，事實是：對每一非負整數 n， 小於或等於 n 的多項式都是 F(–∞, ∞) 的子空間，記作Pn。
156
4.2 子空間 (不考) 函數空間的層次
在微積分中已經證明多項式為連續函數，且在 (–∞, ∞) 區間的各階導數均為連續。因此， P∞ 不僅為 F(–∞, ∞) 的子空間，也是 C∞(–∞, ∞) 的子空間。從
範例 7 到範例 10 的討論，可以令人信服這些向量 空間像「巢」狀般層層套疊，如圖 4.2.5 所示。
157
(不考)
157
4.2 子空間 建構子空間 (觀念) 定理 4.2.2
若 W1, W2, . . . , Wr 為向量空間 V 的子空間，則這些子空 間的交集仍為 V 的子空間。
定 義 2 (不考)
w 為 V 中的向量，若 w 可展開如下式，則稱 w 為 V 中向 量 v1, v2, . . . , vr 的線性組合（linear combination） (2)
157
其中， k1, k2, . . . , kr 為純量，且稱為線性組合的係數。
4.2 子空間 (觀念) 定理 4.2.3
若 S = {w1, w2, . . . , wr} 為向量空間 V 的一非空集合，
(a) 若 W 為 S 中向量 w1, w2, . . . , wr 所有可能線性組合 出的向量所成的集合，則 W 為V 的子空間。
(b) 在 (a) 中的 W 為 V 中包含 w1, w2, . . . , wr 向量的
「最小」子空間；即任何包含 w1, w2, . . . , wr 向量的其 他子空間也會包含 W。
158
4.2 子空間 (觀念) 定義3
若 S = {w1, w2, . . . , wr} 為向量空間 V 的一非空集合， 則 V 的子空間 W 為 S 中向量 w1,w2, . . . , wr 所有可能線
性組合出的向量所成的集合，稱為「S 生成（span）V 的子空間」，也稱「向量 w1, w2, . . . , wr 生成 W （span W）」。而所生成的子空間記作 W = span{w1, w2, . . . , wr} 或 W = span(S)
159
範例 11
標準單位向量生成 Rn (不考)
回想一下 Rn 中的標準單位向量為 這些向量生成 Rn，因為 Rn 中的每一向量 v = (υ1, υ2, . . . , υn) 都可表為 其為 e1, e2, . . . , en 的線性組合。因此，例如向量 生成 R3，因為 R3 中的每一向量 v = (a, b, c) 都可表為
159
範例 12 生成 R2 和 R3 的幾何觀察 (不考) (a) 若 v 為以原點為起始點之 R2 或 R3 中的非零向量，則 span{v}（即只有 v 的純量倍數之向量）為 v 所決定之通過 原點的直線。我們可以從圖 4.2.6a 想像、觀察到向量 kv 的 尖端形成直線上的點，為選擇不同的 k 值來適當地將 v 伸長 或縮短或反向。 (b) 若 v1 和 v2 為以原點為起始點之 R3 中的非零向量，則 span{v1, v2} 為 v1 和 v2 線性組合的所有可能所構成，其為由 此二向量所構成的通過原點的平面。我們可以從圖 4.2.6b想 像、觀察到向量 k1v1 + k2v2 的尖端形成平面上所有點，其為 選擇不同的純量 k1 和 k2 來適當地將 k1v1 和 k2v2 進行適當地 伸長或縮短或反向。 159
(不考)
160
範例 13
Pn 的生成集 (觀念)
多項式 1, x, x2, . . . , xn 生成範例 10 所定義的向量空間 Pn，因為 Pn 中的每一多項式 p 可寫成
其為 1, x, x2, . . . , xn 的線性組合，可記作
160
範例 14
線性組合
考慮 R3 中的向量 u = (1, 2, –1) 和 v = (6, 4, 2)， 試證 w = (9, 2, 7) 為 u 和 v 的線性組合，而 w' = (4, –1, 8) 不是 u 和 v 的線性組合。
160
範例 14
線性組合
考慮 R3 中的向量 u = (1, 2, –1) 和 v = (6, 4, 2)， 試證 w = (9, 2, 7) 為 u 和 v 的線性組合，而 w' = (4, –1, 8) 不是 u 和 v 的線性組合。
160
範例 15
生成之測試
判斷向量 v1 = (1, 1, 2), v2 = (1, 0, 1) 和 v3 = (2, 1, 3) 是否能生成 R3。
161
4.2 子空間 (觀念) 齊次系統的解空間 定理 4.2.4
m 個方程式 n 個未知數的齊次線性系統 Ax = 0 解集 合，為 Rn 的子空間。
162
範例 16
齊次系統的解空間
解以下各系統。
162
4.2 子空間 (觀念) 最終觀察 定理 4.2.5
若 S = {v1, v2, . . . , vr} 和 S' = {w1, w2, . . . , wk} 為向
量空間 V 中向量所成的非空集合，則 span{v1, v2, . . . , vr} = span{w1, w2, . . . , wk}
若且唯若， S 中的每一向量都為 S' 中向量的線性
組合，且 S' 中的每一向量都為 S 中向量的線性組 合。 163
4.3 線性獨立 (觀念) 前言
例如，向量 (3, 2) 以 i = (1, 0)和 j = (0, 1) 做線性組 合表示的方式，唯一的表示法為
(1)
164
4.3 線性獨立 (觀念) 線性獨立和線性相依 定義1
若 S = {v1, v2, . . . , vr} 為向量空間 V 中向量所成的一非空集合， 則向量方程式 一定會至少有一組解，此解為 稱為顯解（trivial solution）。如果此顯解為方程式的唯一解，則 稱 S 為線性獨立集合（linearly independent set）。如果除了顯解 外，尚有其他解，則稱 S 為線性相依集合（linearly dependent set）。
165
範例 1 Rn 中的標準單位向量為線性 獨立（Linear Independence）(不考) Rn 中最基本的線性獨立集合為標準單位向量所成的集 合，如
為了簡單說明，我們僅以 R3 為例
這些向量為線性獨立或線性相依，取決於以下向量方程
式是否有非顯解的存在 165
範例 1 Rn 中的標準單位向量為線性 獨立（Linear Independence） (續) (不考)
(2) 此方程式的分量形式表示法為 (k1, k2, k3) = (0, 0, 0) 可得 k1 = 0, k2 = 0, k3 = 0。即 (2) 式只有顯解存在，所以
這些向量為線性獨立。
165
範例 2
R3 中的線性獨立
試問，以下向量在 R3 中為線性獨立或線性相依？ v1 = (1, –2, 3), v2 = (5, 6, –1), v3 = (3, 2, 1)
166
範例 2
R4 中的線性獨立
試問，以下向量在 R3 中為線性獨立或線性相依？ v1 = (1, –2, 3), v2 = (5, 6, –1), v3 = (3, 2, 1)
166
範例 4
Pn 中重要的線性獨立 集合 (觀念)
證明多項式 在 Pn 中形成一線性獨立集合。
167
範例 5
多項式的線性相依(不考)
試問，以下多項式在 P2 中為線性獨立或線性相依？
167
4.3 線性獨立 (觀念) 線性相依的另一解釋 定理 4.3.1
含兩個以上向量的集合 S 為
(a) 線性相依，若且唯若 S 中至少有一個向量可以被寫 成其他向量的線性組合。
(b) 線性獨立，若且唯若 S 中沒有向量可以被寫成其他
向量的線性組合。 (10) 168
範例 6
重新檢視範例 1 (不考)
範例 1 證明了 Rn 中的標準單位向量為線性獨立。因此， 根據定理 4.3.1，沒有任何向量可以被表示成其他兩個向 量的線性組合。以 R3 為例，假設 或以分量形式寫成 因為無法找到任何 k1 和 k2 的數值來滿足此方程式，所以 無法將 k 以 i 和 j 的線性組合方式表示。同樣地，無法將 i 以 j 和 k 的線性組合方式表示、無法將 j 以 i 和 k 的線 性組合方式表示。 169
範例 7
重新檢視範例 2 (不考)
在範例 2 中看到了以下向量 為線性相依。因此，根據定理 4.3.1，沒有任何向量 可以被表示成其他兩個向量的線性組合。讀者可以 驗證一下下面的方程式
可得知
169
4.3 線性獨立 (觀念) 僅包含一個或兩個向量的集合
定理 4.3.2
(a) 一有限集合若包含零向量，則為線性相依。
(b) 一集合若只含一個向量，則為線性獨立，若且唯若 所包含的這向量不是零向量。
(c) 一集合若只含兩個向量，則為線性獨立，若且唯若
這兩個向量不是純量倍數關係。
170
範例 8
兩函數的線性相依 (不考)
函數 f1 = x 和 f2 = sin x 在 F(–∞, ∞) 中為線性獨立 因為彼此不是純量倍數關係。另一方面，兩函數
g1= sin 2x 和 g2= sin x cos x 為線性相依，因為 sin 2x = 2 sin x cos x； g1和 g2 彼此為純量倍數關係。
170
線性獨立的幾何意義 (不考)
170
(不考)
171
4.3 線性獨立 (不考) 定理 4.3.3
令 S = {v1, v2, . . . , vr} 為 Rn 空間向量所成的集合， 若 r > n，則 S 為線性相依。
函數的線性獨立
考慮以下函數
在 F(–∞, ∞) 區間為線性相依，因為 171
4.3 線性獨立 (不考) 定義2
若 f1 = f1(x), f2 = f2(x), . . . , fn = fn(x) 在 (–∞,∞) 區間為 n – 1 次可微分，則行列式
稱為 f1, f2, . . . , fn 的朗斯基式（Wronskian）。 172
4.3 線性獨立 (不考) (11) 定理 4.3.4
若函數 f1, f2, . . . , fn 在 (–∞,∞) 區間內為 n – 1 次連 續可微分，且這些函數在 (–∞,∞) 區間內的朗斯基
式不等於零，則這些函數在 C(n–1) (–∞,∞) 區間內形 成一線性獨立的向量集合。 173
4.4 座標與基底 (不考) 線性代數中的座標系統
174
174
(不考)
175
(不考)
175
4.4 座標與基底 (觀念) 向量空間的基底 定義1
若 V 為任意向量空間，且 S = {v1, v2, . . . , vn} 為 V 中向量所成的有限集合，則 S 被稱為 V 的基底 （basis），需以下兩條件成立：
(a) S 為線性獨立
(b) S 生成 V
175
範例 1
Rn 的標準基底 (不考)
回想一下 4.2 節中的範例 11，標準單位向量
生成 Rn，且從 4.3 節中的範例 1 可知這些標準基底為 線性獨立。因此，可成為 Rn 的基底；稱為 Rn 的標準 基底（standard basis）。例如，
為 R3 的標準基底。 176
範例 2
Pn 的標準基底 (不考)
證明 S = {1, x, x2, . . . , xn} 為小於等於 n 次的多項 式所成向量空間 Pn 的基底。
176
範例 3
R3 的其他基底
證明向量 v1 = (1, 2, 1), v2 = (2, 9, 0) 和 v3 = (3, 3, 4) 可為 R3 的基底。
176
範例 4
Mmn 的標準基底 (不考)
證明以下矩陣
可為 2 × 2 矩陣所成向量空間 M22 的基底。
177
4.4 座標與基底(觀念) 相對於某基底的座標系 定理 4.4.1
基底表示的唯一性（單一性）
若 S = {v1, v2, . . . , vn} 為向量空間 V 的一組基底， 則 V 中的每一向量 v 均可以 v = c1v1+ c2v2 + · · · + cnvn 的唯一形式表示之。
178
4.4 座標與基底 (觀念) 定義2
若 S = {v1, v2, . . . , vn} 為向量空間 V 的基底，且
為以 S 中的基底向量來表示，則純量 c1, c2, . . . , cn 稱 為 v 相對於基底 S 的座標（coordinates）。而 Rn 中的 向量 (c1, c2, . . . , cn ) 稱為 v 相對於基底 S 的座標向量 （coordinate vector），且記作
(6) 180
4.4 座標與基底 (觀念)
觀察 Rn 空間中的向量 (v)s，亦即對向量空間 V，給定
有序基底 S，定理 4.4.1 建立了V 中的向量和 Rn 中的向 量之間的一對一的對應（如圖4.4.6）。
180
範例 7Rn 中相對於標準基底的座標 (觀念) 在 V = Rn 的特殊情況中，若 S 為標準基底，則座標 向量 (v)S 和向量 v 相同，即 v = (v)S 例如， R3 中向量 v = (a, b, c) 以標準基底 S = {i, j, k} 的線性組合方式表示為
所以相對於標準基底的座標向量為 (v)S = (a, b, c)，其
與向量 v 的表示式相同。 180
範例 8相對於標準基底的座標向量(不考) (a) 求以下多項式，相對於向量空間 Pn 標準基底的座 標向量。
(b) 求以下矩陣，相對於向量空間 M22 標準基底的座 標向量。
181
範例 9
R3 中的座標
(a) 範例 3 已經證明向量 v1 = (1, 2, 1), v2 = (2, 9, 0), v3 = (3, 3, 4) 可為 R3 的基 求 v = (5, –1, 9) 相對於基底 S = {v1, v2, v3} 的座標向量
181
範例 9
R3 中的座標
(b) 若某向量 v 相對於基底 S 的座標向量為 (v)s = (–1, 3, 2)，試求 R3 中的 v。
181
4.5 維度 (觀念) 定義1
有限維度向量空間 V 的維度（dimension），記 作 dim(V)，為 V 的基底向量的個數。再者，零 向量空間的維度定義為零。
183
4.5 維度 (觀念) 基底向量的個數 定理 4.5.1
有限維度的向量空間的任何基底集合，其所包含向量 的個數會相同。
定理 4.5.2
182
令 V 為一 n 維向量空間，且令 {v1, v2, . . . , vn} 為任意 一組基底。
(a) V 中具有多於 n 個向量的集合，其為線性相依。
(b) V 中具有少於 n 個向量的集合，其無法生成 V。
範例 1一些悉知向量空間的維度(不考)
183
範例 2
Span(S) 的維度 (觀念)
若 S = {v1, v2, . . . , vr} 為向量空間 V 中的一組線 性獨立集合，則 S 自動可成為 span(S) 的基底， 且 dim[span(S)] = r 換句話說，線性獨立集合的向量所生成的空間， 其維度等於集合中向量的個數。
183
範例 3
解空間的維度
試求以下齊次系統之解空間的基底和維度。
183
範例 4
解空間的維度
試求以下齊次系統之解空間的基底和維度。
184
4.5 維度 (觀念) 定理 4.5.3 增／減定理
令 S 為向量空間 V 中向量所成的非空集合 (a) 若 S 為線性獨立，且 v 為向量空間 V 中的向量且 不在 span(S) 中，則集合 S ∪ {v}仍為線性獨立。
(b) 若 S 中一向量 v 可表為 S 內其他向量的線性組合， 且 S – {v} 表示將 v 自 S 中移出，則 S 和 S – {v} 所生 成的空間相同，亦即 span(S) = span(S – {v})
185
4.5 維度 (不考) 一些基本定理
185
範例 5
應用增／減定理 (不考)
證明 p1 = 1 – x2, p2 = 2 – x2, 和 p3 = x3 為線性獨立
的向量。
185
4.5 維度 (觀念) 定理 4.5.4
令 V 為 n 維的向量空間，且令內含 n 個向量的 S 為 V 中的一集合，則 S 為 V 的一基底，若且唯若
S 生成 V，或 S 為線性獨立。
186
範例 6
基底的檢查 (不考)
(a) 請解釋向量 v1 = (–3, 7) 和 v2 = (5, 5) 為何可以 成為 R2 的基底？
(b) 請解釋向量 v1 = (2, 0,–1), v2 = (4, 0, 7) 和 v3 = (–1, 1, 4) 為何可以成為 R3 的基底？
186
4.5 維度 (觀念) 定理 4.5.5
令 S 為有限維度向量空間中的一有限集合
(a) 若 S 生成 V 但不是 V 的基底，則可將 S 移除適
當的向量後簡化成 V 的基底。
(b) 若 S 為線性獨立集合但尚不是 V 的基底，則可 將 S 加入適當的向量後擴展成 V 的基底。
186
4.5 維度 (觀念) 定理 4.5.6
若 W 為有限維度向量空間 V 中的一子空間，則
(a) W 為有限維度
(b) dim(W) ≤ dim(V )
(c) W = V，若且唯若 dim(W) = dim(V )
187
4.6 基底變換 (不考) 座標映射
若 S = {v1, v2, . . . , vn} 為有限維度向量空間 V 的一 組基底，且若
為相對於 S 的座標向量，則如 4.4 節所述，映射 關係 (1)
187
4.6 基底變換 (不考)
建立了一般化向量空間 V 和尤拉向量空間 Rn 的一 種一對一連結（一對一的對應關係）。我們稱 (1) 式為從 V 到 Rn 相對於 S 的座標映射（coordinate map）。 (2)
187
(不考)
188
4.6 基底變換 (不考) 基底變換 基底變換問題
若 v 為有限維度向量空間 V 的一向量，且若欲將 基底 B 改為基底 B‘ ，則座標向量 [v]B 和 [v]B’ 之 間有何關係？
188
令
4.6 基底變換 (不考)
先將新的基底向量以舊基底表示，可得座標向量為
(3)
新舊基底向量間的關係如下 (4)
令 v 為 V 中的任意向量，且令 (5)
188
4.6 基底變換(不考)
為新的座標向量，所以
(6)
或
因此， v 的舊座標向量為
188
4.6 基底變換 (不考)
此方程式表示：舊的座標向量 [v]B 為新的座標向量 [v]B’ 左乘下述矩陣的結果
向量空間 V 中的每一向量 v 之舊座標向量 [v]B 和新座標向 量 [v]B’ 間的關係為
(7)
(8) 189
4.6 基底變換 (不考) 轉移矩陣
矩陣 P 稱為從 B' 到 B 的轉移矩陣（transition matrix）， 為了強調通常記作 PB’ → B。 (9)
同樣地，從 B 到 B' 的轉移矩陣可表示為 (10)
189
記憶的方法為：若舊座標向量要更新為新座標向量， 需由舊基底向量先以新基底向量表示開始更新，此種 基底向量優先更新表示法即可得舊座標向量到新座標 向量的「轉移矩陣」。 互為 inverse
範例 1
求轉移矩陣
B = {u1, u2} 和 B' = {u'1, u'2} 為 R2 的基底，其中 (a) 求 B' 到 B 的轉移矩陣 PB' → B。 (b) 求 B 到 B' 的轉移矩陣 PB → B'。
190
範例 1
求轉移矩陣
B = {u1, u2} 和 B' = {u'1, u'2} 為 R2 的基底，其中 (a) 求 B' 到 B 的轉移矩陣 PB' → B。 (b) 求 B 到 B' 的轉移矩陣 PB → B'。
190
4.6 基底變換 (不考) 所以對於 V 中的每一向量 v，滿足 (11)
(12)
191
範例 2
計算座標向量
令 B 和 B' 為範例 1 中的基底，給定以下座標向 量，試求 [v]B
191
4.6 基底變換 (不考) 轉移矩陣的可逆性 若 B 和 B' 為有限向量空間 V 的基底，則
(13)
191
範例 1 中獲得的轉移矩陣關係如下
4.6 基底變換 (不考) 定理 4.6.1
若 P 為有限維度向量空間中從基底 B' 到基底 B 的
轉移矩陣，則 P 為可逆矩陣， P –1 為從 B 到基底 B' 的轉移矩陣。 計算 Rn 轉移矩陣之有效率方法 (14)
192
4.6 基底變換 (不考) Rn 中標準基底的轉換
定理 4.6.2
令 B' = {u1, u2, . . . , un} 為向量空間 Rn 的任一組基底， 且令 S = {e1, e2, . . . , en} 為 Rn 的標準基底。若以行向量 形式寫出的轉移矩陣為 (15)
193
（譯者註：「左新右舊」建構出矩陣後，會發現不用進 行任何列運算，右側即出現轉移矩陣，亦即是舊基底向 量就是轉移矩陣。）
4.6 基底變換 (補充) (列式即可) =S= 1 1
1
兩基底向量為 4
1 1 =P= 4 1
如基底下座標(3,1), 基底下座標為?
X=S[X]=P[X][X]
=S-1P[X]
=
1 1 4 1
如基底下座標(3,1), 基底下座標為? [X]=P-1S [X]= 116
4.7列空間、行空間與核空間(不考) 列空間、行空間和核空間 定義1
對於 m × n 矩陣
A 的列所形成的向量
194
4.7列空間、行空間與核空間(不考)
194
稱為 A 的列向量（row vectors），而 A 的行所形成的向 量
稱為 A 的行向量（column vectors）。
範例 1 2 × 3 矩陣的列向量行向量(不考) 令 A 的列向量為
A 的行向量為
以下定義會定義出矩陣的三種重要的向量空間。
195
4.7 列空間、行空間與核空間(觀念) 定義2
195
若 A 為 m × n 矩陣，則 A 之列向量所生成的空間為 Rn 的子空間，稱作 A 的列空間（row space of A）， 記作 RS(A)。而 A 之行向量所生成的空間為 Rm 的 子空間，稱作A 的行空間（column space of A）， 記作 CS(A)。齊次系統 Ax = 0 的解空間為 Rn 的子 空間，稱作 A 的核空間（null space of A），記作 NS(A)。
4.7列空間、行空間與核空間(觀念) 列空間、行空間和核空間的基底 定理 4.7.3
基本列運算不會改變矩陣的核空間。
定理 4.7.4
198
基本列運算不會改變矩陣的列空間。
範例 4
求矩陣核空間的基底
求以下矩陣核空間的基底
198
197
4.7 列空間、行空間與核空間(觀念)
問題 1、線性系統 Ax = b 解和係數矩陣 A 的列空間、
行空間、核空間之間存在何種關係？
問題 2、一矩陣的列空間、行空間、核空間之間存
在何種關係？ (1) (2)
195
4.7 列空間、行空間與核空間(觀念) 定理 4.7.1
一線性系統 Ax = b 具一致性，若且唯若 b 落於 A 的行空間中。
196
範例 2 向量 b 落於 A 的行空間(觀念) 令 Ax = b 為一線性系統
試以 b 可表為 A 行向量的線性組合方式來證明 b 落於 A 的行空間。
196
4.7 列空間、行空間與核空間(觀念) 定理 4.7.2
若 x0 為具一致性的線性系統 Ax = b 的任一解，且
S = {v1, v2, . . . , vk} 為 A 的核空間，則 Ax = b 的通 解可表為以下形式
(3)
反之，任意選擇純量 c1, c2, . . . , ck，此式中的向量 x 為 Ax = b 的一解。
196
4.7 列空間、行空間與核空間(不考)
具有一致性的線性系統之通解為此系統的特解與對 應齊次系統的通解（齊次解）之和。
（譯者註：令 x0 為線性系統 Ax = b 之任意特解，
所以 Ax0 = b。且令 W 為滿足齊次系統 Ax = 0的解 集合，且 w 為 W 中的任意向量，所以 Aw = 0。因
此線性系統通解為 x0 + w，因為：A(x0 + w) = Ax0 + Aw = b + 0 = b。） 197
(不考) Ax = b 之解集合不為向量空間
197
範例 3 線性系統 Ax = b 的通解(不考) 比較以下兩線性系統
的解，可以發現非齊次系統的通解 x 和對應齊次系 統的通解 xh 之關係為
197
4.7列空間、行空間與核空間(觀念) 定理 4.7.5
若矩陣 R 已經是列梯形形式，則帶有前導壹的列向 量（非零列）可成為 R 的列空間基底，且帶有前導 壹的行向量可成為 R 的行空間基底。
199
範例 5 列梯形矩陣的列空間與 (觀念) 行空間之基底 求以下矩陣列空間和行空間之基底
因為矩陣 R 已經是列梯形形式，根據定理 4.7.5，向量
199
範例 5
列梯形矩陣的列空間與 行空間之基底(續) (觀念)
可為矩陣 R 的列空間基底，且向量
可為矩陣 R 的行空間基底。
199
範例 ６ 以列簡化方式求列空間之基底 求以下矩陣列空間的基底
200
4.7列空間、行空間與核空間(不考) (4)
定理 4.7.6
若 A 和 B 為列等效矩陣，則：
(a) 在 A 中所選定的行向量之集合為線性獨立，若且唯
若 B 中對應的行向量所成集合為線性獨立。 (b) 在 A 中所選定的行向量之集合可為 A 行空間基底， 若且唯若 B 中對應的行向量可為 B 行空間基底。 200
範例 7
使用列簡化求行空間基底
求以下矩陣列空間基底
201
範例 8
使用列運算求向量空間的 基底
試求以下向量所生成之 R5 子空間的基底
202
範例 9
矩陣列空間的基底
試求從矩陣 A 找出哪些列向量可直接做為列空間基底。
203
範例 10
基底和線性組合
(a) 試求以下向量的一子集合
使其可為這些向量生成的空間之基底。
204
Ans: v1, v2, v4
範例 10
基底和線性組合 (不考)
(a) 試求以下向量的一子集合
使其可為這些向量生成的空間之基底。 (b) 將其他非基底的向量以選定的基底向量做線性 組合表示。
204
4.8秩、核數與基本的矩陣空間(不考) 列空間和行空間維度相同 定理 4.8.1
矩陣的列空間和行空間有相同維度。
秩與核數 定義1
矩陣 A 的列空間和行空間有相同的維度稱為 A 的秩（rank of A），記作 rank(A)。 A的核空間維度稱為 A 的核數 （nullity of A）或「核化數」，記作 nullity(A)。
205
範例 1
4 × 6 矩陣的秩與核數
求下面矩陣的秩與核數
206
4.8 秩、核數與基本的矩陣空間
(2)
207
通解為
4.8 秩、核數與基本的矩陣空間
向量形式
(3)
207
所以 nullity(A) = 4。
範例 2
秩的最大值 (觀念)
一 m × n 矩陣 A（非方陣）的秩，其最大可能值 為何？
207
4.8秩、核數與基本的矩陣空間(觀念) 定理 4.8.2
矩陣的維度定理
若 A 為具 n 個行的矩陣，則 rank(A) + nullity(A) = n
208
(4)
範例 3
秩與核數的和
矩陣
有 6 個行，所以 如範例 1 所示，此系統具一致性，通解的自由變數 有 4 個，前導變數的個數有 2 個，即
208
4.8秩、核數與基本的矩陣空間(觀念) 定理 4.8.3
若 A 為 m × n 矩陣，則
(a) rank(A) = Ax = 0 的通解中前導變數的個數。
(b) nullity(A) = Ax = 0 的通解中參數（自由變數）
的個數。
208
範例 4 秩、核數與線性系統(觀念) 若 5 × 7 矩陣 A 的秩為 3，求 Ax = 0 通解中參數 的個數。
208
4.8 秩、核數與基本的矩陣空間(觀念) 等價定理 定理 4.8.4 等價敘述 若 A 為 n × n 矩陣，則下列敘述為等價敘述。 (a) A 為可逆矩陣。 (b) Ax = 0 有唯一解，為顯解。 (c) A 的簡化列梯形為 In。 (d) A 可表為一連串基本矩陣的乘積。 (e) 對每一 n × 1 矩陣 b， Ax = b 具有一致性。 (f) 對每一 n × 1 矩陣 b， Ax = b 有唯一解。 (g) det(A) ≠ 0。 209
4.8秩、核數與基本的矩陣空間(觀念) 定理 4.8.4 等價敘述(續)
(h) A 的行向量為線性獨立。
(i) A 的列向量為線性獨立。
(j) A 的行向量生成 Rn。
(k) A 的列向量生成 Rn。
(l) A 的行向量為 Rn 的基底。
(m) A 的列向量為 Rn 的基底。
(n) A 的秩為 n。
(o) A 的核數為 0。
209
4.8秩、核數與基本的矩陣空間(不考) 過定與欠定系統 定理 4.8.5
若 Ax = b 為具有一致性的線性系統，其具有 m 個方程式、 n 個未知數，且若 A 的秩為 r，則此系統的通解會包含 n – r 個參數。
定理 4.8.6
210
令 A 為 m × n 矩陣， (a) ( 過定情況)：若 m > n，則至少有一個在 Rn 中的向量 b， 會使線性系統 Ax = b 不具一致性（無解）。 (b) ( 欠定情況)：若 m < n，則對每一個在 Rm 中的向量 b， 線性系統 Ax = b 不是不具一致性（無解）就是有無窮多解。
4.8秩、核數與基本的矩陣空間(觀念) 矩陣的基本空間
這些稱為矩陣 A 的基本空間（fundamental spaces）。
定理 4.8.7
211
若 A 為任意矩陣，則 rank(A) = rank(AT)。
4.8秩、核數與基本的矩陣空間(觀念) (6) (7) 定 義 ２(不考)
212
若 W 為 Rn 的子空間， Rn 中所有會正交於 W 中每 一向量的這種向量所成的集合，此集合稱為 W 的 正交補集（orthogonal complement），記作 W⊥。
4.8秩、核數與基本的矩陣空間(觀念) 定理 4.8.8
若 W 為 Rn 的子空間，則
(a) W⊥ 為 Rn 的子空間。
(b) 0 為 W 和 W⊥ 的共同向量。
(c) W⊥ 的正交補集為 W。
(d) W 和 W⊥的基底 可共成為 Rn 的基底
212
範例 7
正交補集 (觀念)
在 R2 中，通過原點的一直線 W 之正交補集為通過原 點且與 W 垂直的直線（如圖4.8.1a）。在 R3 中，通 過原點的一平面 W 之正交補集為通過原點且與此平 面垂直的直線（如圖 4.8.1b）。
212
4.8秩、核數與基本的矩陣空間(不考) 基本空間之間的幾何關連
213
4.8秩、核數與基本的矩陣空間 (觀念) 定理 4.8.9
若 A 為 m × n 矩陣，則
(a) A 的核空間和 A 的列空間在 Rn 中彼此為正交補 集。
(b) AT 的核空間和 A 的行空間在 Rm 中彼此為正交 補集。
213
4.8秩、核數與基本的矩陣空間(觀念) 更多的等價定理 定理 4.8.10
等價敘述
若 A 為 n × n 矩陣，則下列敘述為等價敘述。
(a) A 為可逆矩陣。
(b) Ax = 0 有唯一解，為顯解。
(c) A 的簡化列梯形為 In。
(d) A 可表為一連串基本矩陣的乘積。
(e) 對每一 n × 1 矩陣 b， Ax = b 具有一致性。
(f) 對每一 n × 1 矩陣 b， Ax = b 有唯一解。
(g) det(A) ≠ 0。
214
4.8秩、核數與基本的矩陣空間(觀念) 定理 4.8.10 等價敘述(續)
(h) A 的行向量為線性獨立。
(i) A 的列向量為線性獨立。
(j) A 的行向量生成 Rn。
(k) A 的列向量生成 Rn。
(l) A 的行向量為 Rn的基底。
(m) A 的列向量為 Rn 的基底。
(n) A 的秩為 n。
(o) A 的核數為 0。
(p) A 的核空間之正交補集為 Rn。
(q) A 的列空間之正交補集為 {0}。
214
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