Capitulo 8 Transiciones f2121

CAPITULO 4 TRANSICIONES

Se definen como cambios en la sección transversal de los canales. Estos cambios pueden originarse debido a : - Existencia de gradas en el fondo. - Cambios en el ancho del canal.

Para el análisis de transiciones se supone que la pérdida de carga es despreciable. Para una transición entre dos secciones 1 y 2 de tipo grada positiva de altura "a" se cumple que la ecuación de la energía es:

y que la ecuación de continuidad es:

Para una transición entre dos secciones 1 y 2 de tipo grada negativa de altura "a" se cumple que la ecuación de la energía es:

y que la ecuación de continuidad es:

En la figura siguiente se analiza la variación del tirante de un flujo subcrítico originada por una grada positiva.

En la figura siguiente se analiza la variación del tirante de un flujo supercrítico originada por una grada positiva.

En la figura siguiente se analiza la variación del tirante de un flujo subcrítico originada por una grada negativa.

En la figura siguiente se analiza la variación del tirante de un flujo supercrítico originada por una grada negativa.

En la Figura siguiente se analizan de manera conjunta los casos de flujo subcrítico y supercrítico en una grada positiva.

En la Figura siguiente se muestra que para diferentes valores de gasto se obtiene una familia de curvas E-y.

Ejemplos: 1. Un canal rectangular de 4 m de ancho transporta un caudal de 10 m3/s a una profundidad de 2.5 m. Si existe una grada positiva de 0.2 m en el fondo y se asume que no existen pérdidas en la transición, determinar la profundidad del flujo aguas abajo de grada positiva. Suponer que el régimen de flujo de aguas arriba se mantendrá sobre la grada. 2. En un canal rectangular el ancho se reduce de 4 a 3 m y el fondo se levanta en 0.25 m. Aguas arriba la profundidad de la corriente es 2.8 m. En la zona contraída la superficie libre desciende en 0.10 m. Calcular el caudal y dibujar el perfil de la superficie libre. Calcular cual es el máximo valor que podría tener la grada para que circule el mismo gasto sin alterar la línea de energía. ¿Cuál sería en este caso la depresión de la superficie libre?.

CAPITULO 5 FUERZA ESPECIFICA DEDUCCION Se realiza el análisis de fuerzas en un volumen de control .

Aplicando la segunda ley de Newton. (1) Si se supone: - Un canal horizontal. (ϴ =0) - Fricción despreciable. Ff=0 - Flujo turbulento (β1 = β2 = 1)

(2) 



La fuerza hidrostática P puede expresarse como: P   . y . A , siendo y la profundidad del centro de gravedad. Introduciendo P en (2) y haciendo algunas modificaciones se tiene:

Al termino

se le denomina Fuerza Específica (F)

Así se puede decir que si las condiciones en un tramo de canal se asemejan a los supuestos planteados se cumplirá que la Fuerza específica se mantiene constante en las secciones que limitan dicho tramo. Dimensionalmente la fuerza especifica es una fuerza por unidad de peso de agua. Al graficar la fuerza especifica (F) en una sección versus el tirante (y) se tiene:

Se observa que para una misma fuerza específica se tienen dos tirantes posibles y1 y y2a los cuales se les llama conjugados. El valor mínimo de la fuerza especifica se obtiene mediante:

De la cual se obtiene que:

Concluyéndose que la fuerza especifica mínima corresponde a condiciones críticas.

SALTO HIDRAULICO Es el paso violento de un régimen supercritico a uno subcritico con gran disipación de energía.

En un salto hidráulico se puede suponer que se cumplen las condiciones de desarrollo de la ecuación de Fuerza Específica. Así se tiene que: F.E 1 = F.E2 Asimismo dado que en el salto hidráulico se verifica una gran disipación de energía, se tiene que la Energía Específica disminuye de E1 a E2. Así se tiene que: E1 =E2 + hf En un canal rectangular de ancho b se tiene que:

Reemplazando en

luego de algunas simplificaciones se obtiene que:

De donde luego de posteriores modificaciones se obtiene:

conocida como la ecuación de salto hidráulico para un canal rectangular. Tipos de salto: En función del número de Froude, el U.S. Bureau of Reclamation distingue los siguientes tipos de salto:

Caída Libre Si al extremo de un canal se produce una caída como la mostrada en la siguiente hay un cambio de régimen: se pasa de un movimiento uniforme a un movimiento gradualmente variado, y por último, sobre el plano de la grada hay un movimiento rápidamente variado. En una sección cualquiera ubicada aguas arriba la energía es E . Al desplazarnos hacia la caída la energía específica va disminuyendo hasta llegar a min E , (lo que ocurre teóricamente sobre el plano de la grada y corresponde a condiciones críticas). Sobre la grada el tirante no puede ser menor que el crítico pues esto implicaría un aumento de energía. Sobre la grada la energía es mínima, pero el tirante que hay sobre ella no es el tirante crítico que se obtendría al aplicar las ecuaciones hasta ahora establecidas. Ello se debe a que sobre el plano de la grada el movimiento es rápidamente variado y por lo tanto no es aceptable la suposición de una distribución hidrostática de presiones.

Problema 1.

Problema 2

CAPITULO 6 FLUJO NO UNIFORME

Es aquel tipo de flujo donde las características hidráulicas (tirante, área hidráulica, velocidad, etc) varían a lo largo del tramo. Esta variación puede producirse gradualmente ó rápidamente.

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

Es un flujo permanente donde las características hidráulicamente varían paulatinamente ó suavemente. Se cumple que la línea de energía no es paralela a la línea piezométrica.

Las hipótesis fundamentales del flujo gradualmente variado son: a) La distribución de presiones en cada sección transversal es hidrostática. b) El coeficiente de rugosidad es constante a lo largo del escurrimiento e independiente del tirante. c) La pendiente del canal es pequeña de modo que: i) La profundidad del agua medida normal al fondo ó vertical al mismo es aproximadamente la misma, ii) No se considera la incorporación de aire.

ECUACION FUNDAMENTAL DEL FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

Se sabe que: E t  z  y. cos  

V2 2g

(1)

Q2 Et  z  y. cos  2 (2) A .2 g Derivando (2 ) con respecto a x:

dEt dz dy Q 2 dA   . cos  (3) dx dx dx g. A3 dx en donde: dEt /dx=-SE ; dz/dx=-So, y dA/dx=T.dy/dx Reemplazando en (3) y despejando dy/dx se tiene que:

dy  dx

So  S E (4) Q 2 .T cos   g. A 3

De la ecuación de Manning para un canal ancho

SE 

q 2 .n 2 (5) y 10 / 3

Asumiendo que cosϴ≈1 y reemplazando (5 ) en (4 )

q 2 .n 2 dy y 10 / 3  dx q2 1 g.y 3 So 

(6)

3

y 3 q2 q2 Se sabe que  yc , de donde 1   1  c3 3 g g. y y

q 2 .n 2 S o  10 / 3 dy y  (7) 3 dx yc 1 3 y Para condiciones de flujo uniforme de la ecuación de Manning se tiene que: q 2 .n 2 S o  10 / 3 (8) yn 2

Despejando q .n

2

y reemplazando en ( 7 )

yn 10 / 3 ) dy y  So (9) dx yc 3 1 ( ) y 1 (

Análisis de Perfil M1 y>yn>yc

Análisis de Perfil M2 yn>y>yc

Análisis de Perfil M3 yn>yc>y

Análisis de Perfil S1 y>yc>yn

Análisis de Perfil S2 yc>y>yn

Análisis de Perfil S3 yc>yn>y

Perfiles Superficiales en Flujo Gradualmente Variado

Perfiles de Continuidad

Integración de Ecuación Diferencial para Flujo Gradualmente Variado para Canales Anchos y Horizontales

q 2 .n 2 dy y 10 / 3  dx q2 1 g.y 3 So 

Despejando dx de Ecuación ( 6) y haciendo So=0

q2 g. y 3 dx  2 2 dy (10) q .n y10 / 3 1

Integrando y2

x2



x1

dx 



y1

q2 g. y 3 dy (11) q 2 .n 2 y 10 / 3

1

3 1 3 1 4/3 4/3 13 / 3 13 / 3 x12  . 2 y 2  y1  . 2 2 y 2  y1 4 n g 13 n q









(12)

(6)

Cálculo de los Perfiles Superficiales por medio de la Función de Bresse

yn 10 / 3 ) dy y  So Generalizando la Ecuación 9 para otras formas prismáticas (9) dx yc 3 1 ( ) y y 1 ( n )N dy y  So (13) dx yc M 1 ( ) y 1 (

Donde N y M varían con la ecuación de resistencia empleada Haciendo y =Z. yn de manera que dy=yn.dZ

dx 1  . y n dZ S o

yc M 1 ) ZM yn 1 1 N Z

1 (

(14)

la cual se puede transformar en

yc M Z N  M  dx 1  1  .1   ( )  (15) y n dZ S o  1  Z N 1 Z N  yn e integrando se tiene:

 dx 

 yn  yc M dZ Z N M . Z    ( ) . dZ  1  Z N  (16) So  1 Z N yn 

Para un canal de gran anchura y empleando la ecuación de resistencia de Chezy donde N = M=3, la ecuación 16 se convierte en

(17)

o también en

(18)

donde F es la función de Bresse dada por

(19) Problema Bajo una compuerta sale un caudal de agua de 6.1 m3/s por metro de ancho. El canal donde ocurre la descarga es horizontal con una rugosidad de Manning de n=0.015. El canal se extiende 600 m aguas abajo de la vena contraída, de 0.6 m de profundidad. La terminación del canal de descarga es abrupta. Calcular y dibujar el perfil superficial resultante. Si se produce un resalto, determinar su ubicación.

CAPITULO 7 FLUJO SOBRE VERTEDEROS Y COMPUERTAS Con el fin de tomar en cuenta parámetros no considerados en la formulación teórica de un fenómeno, se suelen considerar coeficientes de corrección a los valores teoricos obtenidos que proporcionen valores reales. El flujo a través de orificios, vertederos y compuertas son ejemplos típicos donde estos coeficientes encuentran aplicación.

COEFICIENTE DE DESCARGA El coeficiente de descarga "cd" es la relación entre el caudal real que pasa a través de un dispositivo y el caudal real.

cd = caudal real / caudal ideal

COEFICIENTE DE VELOCIDAD El coeficiente de velocidad "cv"es la relación entre la velocidad media real en la sección recta de la corriente y la velocidad media ideal que se tendria sin rozamiento cv = velocidad media real / velocidad media ideal

COEFICIENTE DE CONTRACCION

El coeficiente de contracción cc es la relación entre el área de la sección recta contraída de una corriente y el área del orificio a través del cual fluye el fluido cc = area de flujo contraido / area del orificio Se cumple que cd = cv.cc

FLUJO SOBRE VERTEDEROS

Vertedero de Cresta Aguda Rectangular sin contracciones laterales Q

2 2 g .c d .L.H 3 / 2 (1) 3

L: ancho de vertedero H: carga aguas arriba del vertedero Cd: coeficiente de descarga. (En un vertedero sin contracciones laterales puede emplearse Cd=0.61 + 0.08H/P )

Fuente: Hidráulica General, Sotelo

Rectangular con contracciones laterales

Fuente: Open Channel Hydraulics, Sturm

(2)

kH ≈ 0.001 m

Fuente: Open Channel Hydraulics, Sturm

Vertedero Triangular

Fuente: Open Channel Hydraulics, Sturm

8   5/2 2 g . tan .H e 15 2 He = H+kh Q  c de

(3)

Fuente: Open Channel Hydraulics, Sturm

Se debe cumplir que H/P≤0.4 y P/b≤0.2

Vertedero de Cresta Ancha

Fuente: Open Channel Hydraulics, Sturm

La solución teórica se obtiene aplicando la ecuación de la energía entre la sección aguas arriba del vertedero y la sección sobre el vertedero.

(4)

Despejando Qt de la solución teórica se obtiene:

A fin de tomar en cuenta las pérdidas locales se multiplica la solución teórica por un coeficiente de descarga Cd y se expresa He en términos de la carga H mediante el coeficiente de velocidad . Obteniéndose:

(5)

El coeficiente de descarga (Cd) se obtiene del gráfico siguiente:

Fuente: Open Channel Hydraulics, Sturm

El valor de Cv se relaciona con Cd mediante la expresión:

(6)

donde: A* = Area de flujo en la sección de control del vertedero = L.H A1 = Area de flujo en la sección de aproximación. Para un canal rectangular con ancho igual ala ancho del vertedero = A1= L(H+P) La ecuación (6) se plotea en la siguiente gráfica.

Fuente: Open Channel Hydraulics, Sturm

Para calcular H las ecuaciones se pueden resolver asumiendo un valor de Cv= 1 en (5) y despejar H y luego con dicho valor en (6) despejar Cv. Para calcular Q se obtiene Cv de la ecuación (6) y luego se reemplaza en (5)

Se tiene que: En un vertedero de cresta ancha: En un vertedero de cresta corta: En un vertedero de cresta aguda:

0.08 1.5

FLUJO EN COMPUERTAS

Q  C d .b.a. 2.g . y1 donde: Cd: coeficiente de descarga. b: ancho de compuerta. a: abertura de compuerta y1: profundidad del flujo aguas arriba de la compuerta

Fuente: Hidráulica General, Sotelo

ALIVIADEROS Son estructuras cuyo perfil reproduce usualmente la superficie libre inferior de la vena de descarga de un vertedero de cresta aguda.

El gasto puede determinarse empleando la fórmula válida para el vertedero de cresta aguda: 3 2 Q  Cd 2 g b.h 2 3 En la expresión para el coeficiente de descarga : Cd = 0.611 + 0.08 h/w, se asumirá h/w  0 , de donde Cd = 0.611, de donde: 3

Q  0.576 g b.h 2

Experimentalmente se ha encontrado que la sobre elevación desde la cresta hasta el punto más alto de la vena es 0,11 h.. Entonces la ecuación para el gasto en función de hD (altura de diseño) es: 3

Q  0.686 g b.hD 2

Geometría de la cresta: La labor experimental del Cuerpo de Ingenieros del Ejército de U.S.A. ha generado el siguiente perfil de diseño típico.

Coeficiente de descarga y presiones de trabajo para cargas diferentes a las cargas de diseño:

Flujo a lo largo de la cara de un aliviadero: Cuando el desarrollo de la capa límite, la cual se inicia en la cresta del aliviadero, alcanza la superficie libre en el punto C, el flujo se hace completamente turbulento y se produce una incorporación masiva de aire hacia la corriente de agua. La incorporación de aire al flujo origina el aspecto espumoso característico en el flujo sobre las caras inclinadas de los aliviaderos.

La capa limite puede aproximarse por:  0.024  , donde: : espesor de la capa límite, x = distancia en la dirección del x ( x / k ) 0.13 movimiento, k es el espesor de las rugosidad. La concentración media de aire (volumen de aire/volumen de aire y agua) puede estimarse mediante: _

C  0.743 log(sen  / q 1 / 5 )  0.723 Las investigaciones de Straub y Lorentz permitieron establecer relaciones adimensionales de velocidad y profundidad para los flujos a lo largo de un aliviadero. Así se tienen relaciones entre _

la concentración de aire en el flujo los cocientes velocidad media V de un flujo aireado/ velocidad media Vm en un flujo sin aire, y profundidad media ya del flujo aireado/ profundidad media de un flujo sin aire ym. La profundidad real del flujo no aireado es igual al espesor efectivo q/vm mas un espesor desplazado δ* de la capa limite turbulenta. Este espesor desplazado es del orden del 10% de δ.