Campo Escalar Y Campo Vectorial 733c5b

ROBABILIDADES (ITEL-30205) CÁLCULO VECTORIAL (0254) Tema1.1.Integrales Fundamentos de Estadística Descriptiva Tema de Línea y sus Aplicaciones de frecuencias y medidas de Semana 01 –Distribución Clase 01 – Miércoles 11/12/13 – 2:00 a localización 5:00 pm

Objetivos a lograr: • Caracterizar los campos escalares y los campos vectoriales y establecer diferencias notables • Estudiar los operadores diferenciales tales como el gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano • Destacar los campos escalares y vectoriales de acuerdo a la valoración numérica de los operadores aplicados • Usar la herramienta MATLAB para visualizar campos vectoriales en R2 y en R3

1. CAMPO ESCALAR Y CAMPO VECTORIAL

1.1. Campo escalar. Es una función f : Rn → R que

Observaciones de interés:

asigna a cada valor de r un único valor f(r).

• Geométricamente 1.2. Ejemplo 1. Para describir matemáticamente un campo escalar se tiene, por ejemplo, M = f(x, y, z) . Si se quiere definir el campo escalar distancias al origen

de

M = f(x, y, z) =

coordenadas

se

tiene

x2 + y2 + z2 . Dado un punto del

un

campo

escalar se representa mediante las

superficies

isoescalares

(superficies en las que el valor f(r) se mantiene constante). De acuerdo

a

la

magnitud,

se

llamarán isotermas, isobaras, etc

espacio se tiene bien escrita una magnitud para ese punto. En el punto (1,1,1) la magnitud, en este caso, es 3 .

1.3. Campo vectorial. Es una función A : Rn → R n que asigna a cada valor de r un único valor

A(r).

• Una manera de representar un campo vectorial es mediante las

líneas de fuerza, que son líneas tangentes en todo punto a la dirección del campo. Para lograr que las líneas hablen del módulo del

campo

se

dibujan

de

tal

manera que la densidad de líneas

1.4. Ejemplo 2. Un ejemplo (que representa una fuerza cualquiera) de campo vectorial sería

M(x, y, z) = x2i + y2 j + xyk .

Note

que

las

componentes de un campo vectorial son cada una campos escalares.

1.5. Ejemplo 3. En un día con mucho viento, la temperatura de cualquier parte de una ciudad será

sea proporcional a dicho módulo

• Un campo (escalar o vectorial) se dice estacionario, si no depende del tiempo, sino únicamente de las coordenadas espaciales y no

estacionarios,

cuando

hay

dependencia temporal

un campo escalar. Si para esta misma ciudad se toma la intensidad y dirección del viento como un vector se tendrá un campo vectorial. Prof. José Luis Quintero

1

2. DIBUJO DE CAMPOS VECTORIALES

Se usará la herramienta tecnológica MATLAB para dibujar campos vectoriales en R2 y en R3. Se muestra el conjunto de comandos y la figura generada en cada caso. Los campos dibujados en R2 vienen como sigue:

[x,y]=meshgrid(-1:.5:1); u=-y; v=x; quiver(u,v), axis square title('CAMPO CIRCULAR EN R^2')

F(x, y) = (−y, x) llamado campo circular (figura 1) F(x, y) = (x, sen(y)) llamado campo divergente (figura 2).

[x,y]=meshgrid(-1:.5:1); u=x; v=sin(y); quiver(u,v), axis square

El campo dibujado en R3 corresponde a

title('CAMPO DIVERGENTE EN R^2')

  98x 98y 98z F(x, y, z) =  − 2 ,− 2 ,− 2  2 2 3/2 2 2 3/2 2 2 3/2  (x y z ) (x y z ) (x y z ) + + + + + +  

[x,y,z]=meshgrid(0:.05:.1); u=-98*x./(x.^2+y.^2+z.^2).^(3/2); v=-98*y./(x.^2+y.^2+z.^2).^(3/2);

llamado campo gravitatorio (figura 3).

w=-98*z./(x.^2+y.^2+z.^2).^(3/2); quiver3(x,y,z,u,v,w), axis square title('CAMPO DE TIPO GRAVITATORIO')

2

CAMPO CIRCULAR EN R 6

5

4

3

2

1

0 0

1

2

3

4

5

6

Figura 1. Campo circular

Prof. José Luis Quintero

2

CAMPO DIVERGENTE EN R2 6

5

4

3

2

1

0 0

1

2

3

4

5

6

Figura 2. Campo divergente

CAMPO DE TIPO GRAVITATORIO

0.1 0.08

0.06

0.04 0.02

0 0.15 0.1

0.15 0.1

0.05 0.05

0

0 -0.05

-0.05

Figura 3. Campo gravitatorio

3. OPERADORES DIFERENCIALES Y CAMPOS ESPECIALES

ˆ , es un objeto que transforma a una función g, en otra h, es 3.1. Operador. Un operador, O ˆ = h. decir, Og 3.2. Ejemplo 4. Al derivar una función f(x) , la función resultante, f '(x) , generalmente es distinta. Por lo tanto, al procedimiento de derivación se le puede asignar un operador, df d ˆ . f '(x) ≡ f(x) = Df(x) = dx dx ˆ , se le llama operador diferencial. A este operador D Prof. José Luis Quintero

3

3.3. Operador gradiente. Si f(x, y, z) es un campo escalar, se puede formar un vector con sus derivadas parciales, llamado gradiente de f, denotado como ∂f ∂f ∂f ∇f(x, y, z) = gradf(x, y, z) = i+ j+ k, ∂x ∂y ∂z en donde se reconoce el operador diferencial ∂ ∂ ∂ ∇= i+ j+ k ∂x ∂y ∂z aplicado a la función f.

3.4. Gradiente de una función escalar. Es un vector que evaluado en un punto indica la dirección en la cual la función crece más rápidamente.

3.5. Campo gradiente. Un campo vectorial F es gradiente en una cierta región del espacio, si en todos sus puntos coincide con el vector gradiente de un campo escalar U, es decir, F = grad U .

3.6. Ejemplo 5. Si la función a la que se refiere es la temperatura, el gradiente de la temperatura indica la dirección en la que la temperatura crece más rápidamente.

3.7. Operador divergencia. Sea F(x, y, z) = (F1(x, y, z),F2 (x, y, z),F3 (x, y, z)) un campo vectorial en las variables x, y, z. La divergencia de F se define como ∂F ∂F ∂F ∇ • F(x, y, z) = divF(x, y, z) = 1 + 2 + 3 , ∂x ∂y ∂z

siendo F1 , F2 y F3 componentes escalares de F.

Observaciones de interés:

• La divergencia de F es un campo escalar (tal como se espera en un producto punto)

• Para tener una idea de lo que significa

la

divergencia

de

F,

3.8. Campo solenoidal. Un campo vectorial F es

considere que F es un campo de

solenoidal en una cierta región del espacio, si en todos sus puntos div(F) = 0 .

velocidad de un fluido y tome un pequeño elemento de volumen. Entonces la divergencia del campo

3.9. Operador rotacional. Sea F(x, y, z) = (F1(x, y, z),F2 (x, y, z),F3 (x, y, z))

de velocidad es una medida de como cambia F al volumen por

un campo vectorial en las variables x, y, z. El

unidad

rotacional del campo vectorial F se define como

(expansión y contracción). Es decir

i j k ∂  ∂ ∇ × F(x, y, z) = rotF(x, y, z) = det  ∂x ∂y ∂∂z    F1 F2 F3  ∂F  ∂F  ∂F   ∂F  ∂F  ∂F =  3 − 2i +  1 − 3 j +  2 − 1k y z z x x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂y      

de

tiempo

y

volumen

que la divergencia de un campo vectorial F es una medida relativa de lo que entra y sale en un elemento de volumen

• El rotacional de F es un campo vectorial (tal como se espera en un

3.10. Campo irrotacional. Un campo vectorial F es

producto cruz)

irrotacional en una cierta región del espacio, si en todos los puntos de dicha región rot(F) = 0 .

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4

3.11. Campo armónico. Un campo vectorial F es armónico en una cierta región del espacio, si en todos los puntos de dicha región es irrotacional y solenoidal, es decir, rot(F) = 0 y div(F) = 0 .

Observaciones de interés:

• Si

F = P(x, y)i + Q(x, y)j

campo

vectorial

en

es el

un

plano,

también se puede considerar como un campo vectorial en el espacio

3.12. Ejemplo 6. Sea F un campo vectorial continuo y con segundas derivadas parciales continuas en un conjunto abierto D ⊆ R3 . Pruebe que a. div(rot(F)) = 0 Solución. Sea F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z),R(x, y, z)) . Se tiene entonces que: rot(F) =

i

j

k

∂ ∂x

∂ ∂y

∂ ∂z

P

Q

R

 ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P  = − , − , −   ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y 

∂2R ∂2Q ∂2P ∂2R ∂2Q ∂2P − + − + − ∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z ∂y∂x ∂z∂x ∂z∂y =0

ser

el

rotacional

de

F,

considere que F es un campo de velocidad de un fluido y tome un

vectorial el

no

mismo en cada punto del fluido; si ∇ × F = 0 , en el fluido no hay

campo

"pequeños remolinos" o no hay

V(x, y, z) = (x, y, z)

rotacional

de

algún

desplazamiento relativo entre las capas vecinas de fluido

Solución. Suponga

V = rot(F) .

que

Entonces

div(V) = 3 ≠ 0 . Por tanto, de acuerdo a lo demostrado en el apartado anterior V no ser

el

rotacional

de

algún

campo

vectorial F. 3.13. Ejemplo 7. Sea el campo vectorial dado por A(x, y, z) = (yz, xz, xy) . Demuestre que A es Solución.

i

j

k

∂ ∂x

∂ ∂y

∂ ∂z

• Si

F = P(x, y)i + Q(x, y)j

es

un

campo vectorial en el plano, también se puede considerar como un campo vectorial en el espacio para el cual la componente k es cero y las otras dos componentes son independientes de z. Entonces, el rotacional de F se reduce a  ∂Q ∂P  ∇ ×F =  − k  ∂x ∂ y 

armónico.

rot(A) =

significa

un elemento de volumen sobre sí

vectorial

puede

la divergencia de F se reduce a ∂F ∂F ∇ • F(x, y) = divF(x, y) = 1 + 2 ∂x ∂y

Entonces el rotacional de F es una medida de la tendencia de giro en

=

puede

son independientes de z. Entonces,

pequeño elemento de volumen.

 ∂ ∂ ∂   ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P  div(rot(F)) =  , ,  •  − , − , −   ∂x ∂y ∂z   ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y 

campo

cero y las otras dos componentes

• Para tener una idea de lo que

De modo que:

b. el

para el cual la componente k es

= (x − x, −(y − y), z − z)

yz xz xy = (0, 0, 0) = 0

y siempre apunta en la dirección k • Todo campo vectorial gradiente es irrotacional

Por lo tanto, A es irrotacional.

div(A) =

∂ ∂ ∂ (yz) + (xz) + (xy) = 0 + 0 + 0 = 0 . ∂x ∂y ∂z

Por lo tanto, A es solenoidal. En consecuencia, A es armónico.

Prof. José Luis Quintero

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3.14. Operador laplaciano. El operador diferencial

puede ser utilizado en más de una ocasión sobre una función de varias variables. Un ejemplo

corresponde

a

la

divergencia

del

gradiente de una función, conocida como el laplaciano de la función escalar f denotada como

div(grad f) = ∇ • (∇f) = ∇2 f , siendo el operador laplaciano en coordenadas cartesianas ∂ ∂ ∂ ∇2 = + 2 + 2 . 2 ∂x ∂y ∂z

Observaciones de interés: • Todo campo irrotacional es un campo

gradiente

de

un

cierto

campo escalar, es decir, dado un campo vectorial F tal que rot(F) = 0 , es siempre posible encontrar un campo escalar U tal que F = grad U • Al campo escalar U se le llama potencial

de

potencial

de

o

F

función

o

F

potencial

escalar de F

3.15. Identidades vectoriales. Existe un conjunto de identidades

de

uso

frecuente

en

el

cálculo

diferencial vectorial como las mostradas en la tabla 1.

1.

∇(f + g) = ∇f + ∇g

2. 3.

∇(cf) = c∇f, c ctte ∇(fg) = f∇g + g∇f

4. 5.

∇(f / g) = (g∇f − f∇g) / g2 , g ≠ 0 div(F + G) = div(F) + div(G)

6. 7.

rot(F + G) = rot(F) + rot(G) div(fF) = fdiv(F) + F • ∇f

8. 9.

div(F × G) = G • rot(F) − F • rot(G) div(rot(F)) = 0

10. 11.

rot(fF) = f.rot(F) + ∇f × F rot(∇f) = 0

12.

2

2

• Todo campo rotacional (V = rot(F)) es solenoidal, es decir

V = rot(F) ⇒ div(V) = 0 • Al campo vectorial F se le llama potencial vectorial de V • La

función

14.

div(f∇g − g∇f) = f∇2g − g∇2 f

Tabla 1. Identidades vectoriales, siendo f y g campos escalares y F y G campos vectoriales

todo

• El laplaciano de f es un campo escalar • Si f = f(x, y) , el laplaciano de f se reduce a

∇ (fg) = f∇ g + g∇ f + 2(∇f • ∇g) div(∇f × ∇g) = 0

de

campo escalar armónico

2

13.

potencial

campo vectorial armónico es un

∇2 f =

∂2 f 2

∂x

+

∂2 f ∂y2

• Las funciones cuyo laplaciano es igual a 0 se denominan funciones armónicas

• También operador

se

puede

laplaciano

aplicar

∇

2

a

el un

campo vectorial de la forma F = (P, Q,R) . En tal sentido, se tiene que ∇2F = (∇2P, ∇2Q, ∇2R)

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4. PROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMA 1. Sea f un campo escalar y F un campo vectorial. Diga si tiene sentido cada una de las siguientes expresiones. Si no, explique por qué. Si lo tiene, indique si el resultado es un campo escalar o un campo vectorial. a. rotacional f b. divergencia F c. gradiente F d. div(grad f) e. rotacional(rot F) f. (grad f) × (div F) g. gradiente f h. rotacional(grad f) grad(div F)

i.

j. grad(div f) k. div(div F) div(rotacional(grad f))

l.

SOLUCIÓN. a. rotacional f. No tiene sentido. El rotacional se aplica a un campo vectorial b. divergencia F. Si tiene sentido. Resultado. Campo escalar c. gradiente F. No tiene sentido. El gradiente se aplica a un campo escalar d. div(grad f). Si tiene sentido. Resultado. Campo escalar e. rotacional(rot F). Si tiene sentido. Resultado. Campo vectorial f. (grad f) × (div F) . No tiene sentido. El producto cruz se aplica entre campos vectoriales g. gradiente f. Si tiene sentido. Resultado. Campo vectorial h. rotacional(grad f). Si tiene sentido. Resultado. Campo vectorial i.

grad(div F). Si tiene sentido. Resultado. Campo vectorial

j. grad(div f). No tiene sentido. La divergencia se aplica a un campo vectorial k. div(div F). No tiene sentido. La divergencia se aplica a un campo vectorial l.

div(rotacional(grad f)). Si tiene sentido. Resultado. Campo escalar PROBLEMA 2. Coloque al lado de cada oración la letra V o F según sea verdadera o falsa respectivamente. a. F(x, y, z) = (f(x), g(y),h(z)) con f, g y h funciones diferenciables, es irrotacional b. V(x, y, z) = (x, y, z) puede ser el rotacional de algún campo vectorial c. div(rot F) = 0 d. Si r = r(x, y, z) = (x, y, z) y r = r , entonces ∇ • r = 2

SOLUCIÓN. a. V

b. F

c. V

d. F

PROBLEMA 3. Sea r(x, y, z) = (x, y, z) un campo vectorial no nulo y r = r . Demuestre que ∇2 (1 / r) = 0 . Prof. José Luis Quintero

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SOLUCIÓN. Se tiene ∇(1 r) = − r r3 . Sabiendo que ∇(rn ) = nrn − 2r , aplicando la identidad

∇ • (fF) = f(∇ • F) + F • ∇f se obtiene

r  1 1 3  −3r  ∇ •  3  = 3 (∇ • r) + r • ∇  3  = 3 + r •  5  = 0 . r  r r  r  r 

PROBLEMA 4. Sean el campo posición r(x, y, z) = (x, y, z) y el campo eléctrico

E = εQ

r r

3

producido por una carga Q localizada en el origen, donde ε es una constante. a. Demuestre que

 1  r (∇ • E)r + ∇ × E + ∇   = − 3 .  r  r   b. ¿Qué características posee el campo eléctrico E?

SOLUCIÓN. a. Demuestre que  1  r (∇ • E)r + ∇ × E + ∇   = − 3 .  r  r   SOLUCIÓN.     r r (∇ • E)r = (div(E))r = div  εQ 3  r = εQ  ∇ • 3  r    r  r     ∂ ∂ ∂    x y z , , = εQ   , ,  •  2 r   ∂x ∂y ∂z  (x + y2 + z2 )3/2 (x2 + y2 + z2 )3/2 (x2 + y2 + z2 )3/2        ∂   ∂    ∂  x y z + r = εQ  +  ∂x  (x2 + y2 + z2 )3/2  ∂y  (x2 + y2 + z2 )3/2  ∂z  (x2 + y2 + z2 )3/2           (x2 + y2 + z2 )1/2 (−2x2 + y2 + z2 ) (x2 + y2 + z2 )1/2(x2 − 2y2 + z2 ) (x2 + y2 + z2 )1/2(x2 + y2 − 2z2 )  = εQ  + + r   (x2 + y2 + z2 )3 (x2 + y2 + z2 )3 (x2 + y2 + z2 )3    (x2 + y2 + z2 )1/2 (−2x2 + y2 + z2 + x2 − 2y2 + z2 + x2 + y2 − 2z2 )   (x2 + y2 + z2 )1/2.0  = εQ   r = εQ  r = 0 2 2 2 3 2 2 2 3     (x + y + z )    (x + y + z ) 

  r  εQ εQ  ∂(z) ∂(y) ∂(x) ∂(z) ∂(y) ∂(x)  rot(r) = , , ∇ × E = rot(E) = rot  εQ = − − − =0 3 3 3    ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y  r  r r  ∂y 

   1  1  = ∇((x2 + y2 + z2 )−1/2 ) ∇  = ∇  r  2 2 2   + + x y z     2 2 2 −  ∂((x + y + z ) 1/2 ) ∂((x2 + y2 + z2 )−1/2 ) ∂((x2 + y2 + z2 )−1/2 )  = , ,   ∂x ∂y ∂z    2x(x2 + y2 + z2 )−3 /2 2y(x2 + y2 + z2 )−3 /2 2z(x2 + y2 + z2 )−3 /2  = − ,− ,−   2 2 2     r x y z =  − 2 =− 3 ,− 2 ,− 2 2 2 3 /2 2 2 3/2 2 2 3 /2   (x + y + z ) (x + y + z ) r  (x + y + z ) 

Prof. José Luis Quintero

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b. ¿Qué características posee el campo eléctrico E? SOLUCIÓN. El campo eléctrico E es irrotacional y solenoidal.

PROBLEMA 5. Las ecuaciones de Maxwell que relacionan la variación respecto al tiempo del campo eléctrico E, y el campo magnético H, en una región que no contiene carga ni corriente, se pueden expresar como sigue: 1 ∂H 1 ∂E , div(H) = 0 y rot(H) = , div(E) = 0 , rot(E) = − c ∂t c ∂t donde c es la velocidad de la luz. a. Utilice estas ecuaciones para demostrar que 1 ∂2E a.1. ∇ × (∇ × E) = − 2 2 c ∂t 1 ∂2E

a.2. ∇2E =

c2 ∂t2

b. ¿Qué nombre reciben los campos E y H? SOLUCIÓN. a. Utilice estas ecuaciones para demostrar que 1 ∂2E a.1. ∇ × (∇ × E) = − 2 2 c ∂t

SOLUCIÓN. 1 ∂ 1 ∂  1 ∂E  1 ∂2E  1 ∂H  (rot(H)) = − ∇ × (∇ × E) = rot(rot(E)) = rot  − =− =− 2 2 .    c ∂t c ∂t  c ∂t  c ∂t  c ∂t  a.2. ∇2E =

1 ∂2E c2 ∂t2

SOLUCIÓN. ∇2E = grad(div(E)) − rot(rot(E)) = 0 +

1 ∂2E c2 ∂t2

=

1 ∂2E c2 ∂t2

.

b. ¿Qué nombre reciben los campos E y H? SOLUCIÓN. Como en cada uno de ellos su divergencia es nula entonces se llaman campos solenoidales.

PROBLEMA 6. Sea el campo vectorial F(x, y, z) = (Ayz,Bxz, Cxy) . Determine las condiciones que deben cumplir los parámetros A, B y C para que F sea un campo a. solenoidal b. irrotacional c. armónico SOLUCIÓN. a. solenoidal SOLUCIÓN.

div(F) =

∂ ∂x

(Ayz) +

∂ ∂y

(Bxz) +

∂ ∂z

(Cxy) = 0 + 0 + 0 = 0

Por lo tanto, para cualquier terna de valores de A, B y C el campo F es solenoidal. Prof. José Luis Quintero

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b. irrotacional SOLUCIÓN.

rot(F) = ((C − B)x,(A − C)y,(B − A)z) = (0, 0, 0) = 0

Por lo tanto, para cualquier terna de valores de A, B y C donde los tres sean iguales, el campo F es irrotacional. c. armónico SOLUCIÓN. Para toda terna de valores de A, B y C donde los tres sean iguales, el campo F es armónico.

PROBLEMA 7. Sean f una función real que ite primera y segunda derivada para cada número real, con x2 + y2 + z2 .f( x2 + y2 + z2 ) . Calcule el laplaciano de g

f(1) = 1 , f '(1) = f ''(1) = 0 y g(x, y, z) =

en cada punto P(x0 , y0 , z0 ) de la esfera de ecuación x2 + y2 + z2 = 1 . SOLUCIÓN. Sea u =

x2 + y2 + z2 . Se tiene entonces que

 x.f( x2 + y2 + z2 )  y.f( x2 + y2 + z2 ) z.f( x2 + y2 + z2 ) ∇g(x, y, z) =  + x.f '(u), + y.f '(u), + z.f '(u)    x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2  

gxx (x, y, z) =

 2 2 2 f( x + y + z ) + 

x2 2 x + y2 + z2

x2 2 x + y2 + z2

.f( x2 + y2 + z2 )

y2 2 x + y2 + z2

.f( x2 + y2 + z2 )

z2 2 x + y2 + z2

.f( x2 + y2 + z2 )

+ f '(u) + x.f ''(u)

x2 + y2 + z2

 2 2 2 f( x + y + z ) +  gyy (x, y, z) =

y2 2 x + y2 + z2

 2 2 2 f( x + y + z ) + 

z2 2 x + y2 + z2

gzz (x, y, z) =

 .f '(u) x2 + y2 + z2 − 

 .f '(u) x2 + y2 + z2 −  2 x + y2 + z2  .f '(u) x2 + y2 + z2 − 

+ f '(u) + y.f ''(u)

x2 + y2 + z2

+ f '(u) + z.f ''(u)

Sea P(x0 , y0 , z0 ) un punto de la esfera de ecuación x2 + y2 + z2 = 1 . Evaluando gxx (P) = f(1) + x20.f '(1) − x20.f(1) + f '(1) + x0.f ''(1) = 1 − x20 gyy (P) = f(1) + y20.f '(1) − y20.f(1) + f '(1) + y0.f ''(1) = 1 − y20

gzz (P) = f(1) + z20.f '(1) − z20.f(1) + f '(1) + z0.f ''(1) = 1 − z20

Calculando el laplaciano en P se tiene que ∇ • ∇g(P) = gxx (P) + gyy (P) + gzz(P) = 1 − x02 + 1 − y02 + 1 − z20 = 3 − (x20 + y02 + z20 ) = 3 − 1 = 2

PROBLEMA 8. Sean f(u) una función derivable de la variable u, el campo r(x, y, z) = (x, y, z) y r = r . Se define el campo vectorial F mediante F(x, y, z) = f(r).r . a. Obtenga div(F) b. Pruebe que F es un campo irrotacional en todos los puntos de R 3 excepto en r = 0 SOLUCIÓN. a. Obtenga div(F) SOLUCIÓN. Siendo F(x, y, z) = (x.f( x2 + y2 + z2 ), y.f( x2 + y2 + z2 ), z.f( x2 + y2 + z2 )) se tiene que Prof. José Luis Quintero

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div(F) = =

∂ ∂x

(x.f( x2 + y2 + z2 )) +

x2 2 x + y2 + z2 y2 x2 + y2 + z2 z2 2 x + y2 + z2

=

x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2

∂ ∂y

(y.f( x2 + y2 + z2 )) +

∂ ∂z

(z.f( x2 + y2 + z2 ))

f '( x2 + y2 + z2 ) + f( x2 + y2 + z2 ) + f '( x2 + y2 + z2 ) + f( x2 + y2 + z2 ) + f '( x2 + y2 + z2 ) + f( x2 + y2 + z2 ) f '( x2 + y2 + z2 ) + 3f( x2 + y2 + z2 ) = r.f '(r) + 3f(r)

b. Pruebe que F es un campo irrotacional en todos los puntos de R 3 excepto en r = 0 SOLUCIÓN. Siendo F(x, y, z) = (x.f( x2 + y2 + z2 ), y.f( x2 + y2 + z2 ), z.f( x2 + y2 + z2 )) se tiene que

rot(F) =

i

j

k

∂ ∂x

∂ ∂y

∂ ∂z

x.f( x2 + y2 + z2 ) y.f( x2 + y2 + z2 ) z.f( x2 + y2 + z2 ) = ( ∂∂y (z.f( r)) − y

∂ ∂z

(y.f(r)), ∂∂z (x.f( r)) −

∂ ∂x

(z.f( r)), ∂∂x (y.f( r)) −

∂ ∂y

(x.f( r)))

y

= (z.f '(r). r − y.f '(r). zr , x.f '(r). zr − z.f '(r) xr , y.f '(r) xr − x.f '(r). r ) = (0, 0, 0) Por lo tanto rot(F) = 0 , r ≠ 0 .

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