Bolas Abiertas Y Cerradas 696c5i

Bolas abiertas y cerradas. Esferas Definicion 2.5. Sea (X, d) y r > 0. Se llama: 1) bola abierta de centro x y radio r, al conjunto B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r} 2) bola cerrada de centro x y radio r, al conjunto B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) ≤ r} 3) esfera de centro x y radio r, al conjunto S(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) = r} Ejemplos 2.3. Damos algunos ejemplos de bolas en algunos espacios metricos: ´ ´ (i) en (X, ddis), B(x, 1) = {x}, B(x, 2) = X, B (x, 1) = X, B (x, 1/2 ) = {x}, S(x, 1) = X − {x} y S(x, 2) = ∅ (ii) (iii) (iv) (v)

´ en (R, du), B(x, r) = (x−r, x+r), B (x, r) = [x−r, x+r] y S(x, r) = {x−r, x+r} en (Rn, dmáx), la bola B(x, r) = (x1 − r, x1 + r) × · · · × (xn − r, xn + r) es el cubo de dimensión n, centrado en x y arista 2r en (Rn, dsum), la bola B(x, r) es el cubo de dimensión n centrado en x, de arista 2r y girado 45 grados en (Rn, du), B(x, r) es la bola abierta de dimensión n, centrada en x y de radio r

Proposición 2.9. En un espacio metrico (X, d), se cumplen las siguientes propiedades: ´ (i) para cada x ∈ X y r > 0, es B(x, r) ≠∅ ≠ B (x, r); pero S(x, r) puede ser vacía (ii)

´ ´ ´ si 0 < r ≤ s, es B(x, r) ⊂ B(x, s), B (x, r) ⊂ B (x, s), B (x, r) ⊂ B(x,

(iii)

s) (si r < s) y S(x, r) ∩ S(x, s) = ∅ si s ≠r ´ B(x, r) ∪ S(x, r) = B(x, r) y B (x, r) ∩ S(x, r) = ∅

(iv)

si r1, . . . , rn > 0, B(x, r1)∩ · · · ∩ B(x, rn) = B(x, r) y B(x, r1)∩ · · · ∩ B(x, rn) = B(x, r), donde r = mín{r1, . . . , rn}.

Observacion :La interseccion arbitraria de bolas no tiene porque serlo; por ejemplo: 1 −1 1 ¿ n ∈ N B (0, ) ¿n∈N ( , ) En (R, du), = n n n = {0}, que no es una bola. Teorema 2.10. (Propiedad de Hausdorff) En un espacio metrico (X, d), dos puntos distintos se pueden separar por bolas abiertas disjuntas. 1 1 Demostracion:Sean x≠y. Entonces d(x, y) = r > 0. Las bolas B(x, 2 ) y B(y, 2 ) son obviamente disjuntas. 2.3. Conjuntos abiertos y cerrados 2.3.1. Conjuntos abiertos Definicion 2.6. En (X, d), un subconjunto A se dice abierto, si para cada a ∈ A, existe ra > 0 (que depende solo de a) tal que B(a, ra) ⊂ A. Teorema 2.11. En un espacio metrico (X, d), los conjuntos X y ∅ son abiertos. Teorema 2.12. En un espacio metrico (X, d), para cada x ∈ X y r > 0, la bola B(x, r) es un conjunto abierto. Demostracion: Sea y ∈ B(x, r) y s = d(x, y) < r; es B(y, r − s) ⊂ B(x, r). Ejemplos 2.4. Algunos ejemplos de conjuntos abiertos son:

(i) (ii)

en (R, du), los intervalos abiertos son conjuntos abiertos en (X, ddis), cualquier conjunto es abierto.

Teorema 2.13. En (X, d), sea {Ai}i∈I una familia de conjuntos abiertos. Entonces: ¿ i∈ I A i (i) es abierto (ii)

si I es finito, entonces

Demostracion: (i)

Si x ∈

¿ i ∈ I Ai

¿ i∈ I A i

, existe i ∈ I tal que x ∈ Ai . Como Ai es abierto, existe rx >

0 tal que B(x, rx) ⊂ Ai ⊂ (ii)

Si x ∈

¿ i∈ I A i

es abierto.

¿ i ∈ I Ai

, para cada i ∈ I es x ∈ Ai . Para todo i ∈ I, existe ri > 0 tal

que B(x, ri) ⊂ Ai . Si r = mín{r1, . . . , rn}, es B(x, r) ⊂

¿ i∈ I A i

.

Observacion 2.3.En el teorema 2.13 (ii), el conjunto de índices debe de ser finito: en −1 1 efecto, en (R, du), si se toma I = N y la familia de abiertos An = ( n , n ), entonces

¿ n ∈ N Ai

= {0}, que no es abierto.

Teorema 2.14. En (X, d), A es abierto si y solo si es unión de bolas abiertas. Demostracion: Por los teoremas 2.12 y 2.13, la union de bolas abiertas es un conjunto abierto. Y recíprocamente, si A es abierto, para cada a ∈ A existe ra > 0 tal que B(a, ra) ⊂ A. Es obvio que A = ¿ a ∈ A B(a , r a ) . Observacion 2.4.No todo abierto es una bola abierta, por ejemplo, en (R, du), A = R es abierto y no es una bola abierta.