Banco De Preguntas Colmil 1iv6d

EXPRESIONES ALGEBRAICAS “Exponentes” 1. Reducir: 6  45 3 6  2745  3451 34  A    729     

    

34

56

Rpta.: A = 9

2. Reducir:

H

5

5

5

5

5

5

5

5

5

 5

Rpta.: H = 5

3. Reducir:

 6 66 6 A   

6

6

6

6

   

6 6 6 6 6 6

6

6 6

6 6 6 6

Rpta.: A = 6

4. Reducir:

J   

243

3

3

3 1

 

3 3

3

3 1

3 2 2

3

35

Rpta.: J = 3

5. Hallar el valor de:

 4 44 4 B 

2

2



2

2

4

4

4

4

  

2

2 2 1

2

Rpta.: B = 2 6. Hallar el valor de: 3

 9 81 1 9 9  9 97  9 9  B  9  9      9

Rpta.: B = 3

   

81 2

44

1

7. Reducir: 1

1  K K   0   K9 K 1  1  K 3  32 8   26 K E  16  164 K 3    4 K 2  16        32   

Rpta.: E = 1

8. Simplificar la expresión:

n n 80  16 E  2n n 20  4n

Rpta.: E = 2


n 1 20 E  n n2 4  22 n  2

Rpta.: E = 5


E  n9

90 9n

9

2

n9 1

 32 n

9

2

Rpta.: E = 10

11. simplificar la expresión:

E  2 n 3

 225

2n4

4  52 n5   25

n 3

Rpta.: E = 45


n n n n n n a  b  a  c  b  c En a  n  b n  c n 13. simplificar la expresión:

Rpta.: E = abc

a a b  b a b a b  a  bb  a

E  a b

Rpta.: E = abc


En

4

n

1 4

2n  2

1 n 2 2

Rpta.: E = 4

15. simplificar la expresión

n n n 2  3  4 E  n n n 6  8  12 n

Rpta.: E = 24


Em

2m 3  7 2 m 1  2m 1  7 2 m 2m 5  7 2 m  2m 1  7 2 m 1

 1   m   3

Rpta.: E = 1


E

2

2

2

2

2

2 2 2 2 Rpta.: E = 2


1 1 1    E   ab bc ac  

a b c

1  a 2 b 2 c 2  abc    abc 

 1     abc 

3

    

a b  c

Rpta.: E = 1


 1 1 x2 E  x x  

 

x 2 1

  

x x 1

Rpta.: E = x


a 2 a a a b

E

a

a a a 4 a a a b

a

ba 4 a

aa

Rpta.: E =


 a a 1 a a2  2 a a3 3  x  x  x E  a a  x  x 2  a x3 

    

1 3

Rpta.: E = x


E

 a a a a a a a        

1 a 2

1 a

a

a





aa

 

Rpta.: E = a


E  ba

a a  b  bb  b a  b  a a a 2b  b a  b 2 a  a b

Rpta.: E =

b a


E

2

7 x 7

2 7 x

x 

7 x 7

7x 7

x


2

x

7x 7

x14 Rpta.: E = x

a

 a b c  ab  bc ac x  x   x   E  a1 b1 c1 x ab  xbc  x ac  1

1

1

   

abc 1 a 2b 2 c 2

Rpta.: E = x

26. Simplificar: 1    4  1 n  3 5  1  2  4    2 n 4 1 53 n  1   3    

 L   n2 

n2

 K 

2



Rpta.: L = 4

 3  2 2   52 6  3 2 2

3 2 2

52 6

21

n 3

27. Reducir:

3 2 2

94

5 2 6

Rpta.: K = 1

5 2 6

28. Reducir:

B

 a  a a  a  a a a      

1 a 2

1 a

a





a

aa

 

Rpta.: B = a

29. Reducir: n

C

n

813

n1 3  33 216    

33

Rpta.: C = 6

30. Simplificar: 8a

 1  18 D  2a 2    a 



8

a 2a

  4 a

8

a 4a



2 a

Rpta.: D = 256

31. Simplificar:

32. Simplificar:

33. Simplificar:

1 1x x2 E x 

 

  xy F   xy 

G

x 2 1

x y x y  y  x y

x

x y  y  x xy  yx

a2 a aa b

a



34. Simplificar:

35. Simplificar:

36. Simplificar:

37. Simplificar:

  

x x 1

Rpta.: E = x

  1    1 

xy

Rpta.: F =

a a a4 a a a b

a

ba 4 a

    

 

Rpta.: G =

Rpta.: H =

a

2 x5

Rpta.: E = 11

2m  4  36  2m  2 

2m 5  2  2m 3   4  2m 1   6  2m 1 

 I  1 abc  

aa

1

 2 x 1  3 2 x  2  5 2 x 3  10 2 x  H   x 1 x2 4  28 4   11x  2  12111x 1  E 3 11x 1   11x  2  99 11x   1111x 1 

A

xy yx

a b c

x

 ab1

a 1  b 1  c 1

x

bc1

x

 ac1

x ab  xbc  x ac

   

Rpta.:A = 5

abc 1 abc

Rpta.: H = x

38. Simplificar:

39. Simplificar:

   J  n 1  n 2  

R

n 1

7

x

n



  n 1 x 2  n 1



 n 12

2

 x

n 1

3

n

 n 1  n  2    x 2 

3n 7 n 1

2

2

1

 72n

72n  7n 2 2

2

      

1 n 1

Rpta.: J =

1

2

Rpta.: R = 7

40. Simplificar: a   a 2 1 a   a 1   a 1     a a  a a          M    1 1   a 1  2  a     a   a a  1          

a

Rpta: M = a 2

41. Si se sabe que

bb 

 b 2bb 1  A   2b   b  b1

2

Calcular:

 bbb1 1    

1

Rpta.: E = 2

x

42. si

1 a y b  2 calcular: 2

ab 

 a b E   b1a a1b  a b  b1a

x x  x

43. si

E

xx

1 3

x

  

a1b

2

Rpta.: E = 8

calcular:

x 2 x  x 2 x x

x



x2 x

x

x3 x  x3 x x

2ab

 a  a 2 b2 44. Si x    , simplificar: b

E

b  ba   x  xa   

ab 2 a  b2

a 2 b2

 a  a 2 b2   b Rpta.: E = 1 45. Si

x  m1 m1 mm , simplificar:

E

1 x  x    m  m 1  m

m

m2 1

Rpta.: E = 1 46. Si

x  13

E  x

13

13



13 13

13 x

Rpta.: E = 39

13 , simplificar:

x

13 13

13 x

 

 x

13 13

x

13

x



x3 x

x

x 4 x  x 4 x x

x

Rpta.: E = 243

47. Si

A

ab  ba Simplificar:

2 ab a

 a  b  b b  a

a  a b

x y

48. Si

G

x y z    4 Simplificar: x y yz xz

Rpta.: A = b

2x y  x z

yz

2 yz Rpta.: G = 221

2x z

 a x b  c  b x a  c  c x a b  J  x  ab bc ac 49. Si a  b  c  abc Simplificar:   x x x   n 2  1 b  a b  b 1 b  a b  MM n   M  a n n n   Hallar: N  50. Si    a

51. Si

a

50 n 50

a

ab

b

a

ab

a b

50n 1  2n 1 5n 1 n  1 , b 501 n  21 n 51 n 2p

2

52. Si

22

p

q  44 Hallar: E 

53. Si

 a 2a A   2a  a

a a  2 Hallar:

54. Calcular:

a b

Calcular:

22

  

Rpta.: N =10

Rpta.: E = 2

 a aa 1 1    

1

Rpta.: A = 2

4

x 3  x 3  4 x 3  4 x 3  .........

5

x  x  x  x  .........

L

N  ab

Rpta.: N =

q

22 q  p 1

a a 11

Rpta.: J = 1

4

Rpta.: L = 1 4

5

4

5

4

5

4

nn

n

xx 2  x 2 x 1 55. Si Hallar:  xx  1  2  1

xx

56. Si

2 x 1

 x2 x  3

1 2 x

 x2 x  1

x2 x

Rpta.: A = 9

 2 Simplificar:

  xx  x  1  x  x      x

J

A x

2 x

1 2 x

x2 x

2

  x xx  xx  

 

 x  x x  x xx   

   x

 xxx     

x

   

xx

 xxx     

x

    

Rpta.: J =

2

57.

Hallar el valor de J, si: 57.

  J  1 x x  

  1   x  

 1  x 

2x

1

   

x 2 x1

1 x 

    

x 1

x Sabiendo que:

x



3 2

1 3

Rpta.: J = 27

GRADO DE LAS EXPRESIONES

58. Si el polinomio:

59. En

P  x, y  

x

x

2n

4 n 1

y n 2





yn xn y

n 1



es de grado 36 Hallar “n”

n n 2

x 3m 1 n y m  3 z 4 m  n 1 el siguiente monomio: P  x, y , z   m  2 n  2 m  3 n  3 m  2 x y z

Rpta. n 

35 6

El grado relativo respecto a “x”

es 10, el grado relativo respecto a “y” es 8 Hallar el grado relativo respecto a “z”. Rpta. G.R. z   10 60. Determinar el grado absoluto de Q, si el grado absoluto de P es 20 y el mayor exponente de “y” en

Q es 10:

P  x, y   3x n  7 y m 1  6 x n 8 y m  5 x n y m 1 Q  x, y   4 x m1 y n  7 x m  2 y n 1  8 x m  3 y n  2 Rpta. G. A.Q  17 61. Se tienen dos polinomios P y Q, el polinomio P es de grado relativo 10 respecto a “x”. en el

polinomio Q el grado relativo respecto a “x” es 5 grados menos que al grado relativo respecto a “y”. Hallar el grado relativo respecto a “y” en el polinomio Q.

P  x, y   x a

2

1

y b 1  3x a

2

1

y b 1  7 x a

2

1

yb

Q  x, y   2 x a  7 y b 5  100 x a y b  2  9 x a 1 y b 3 Rpta. G.R.x Q  5 62. Halle la suma de los coeficientes del polinomio homogéneo:









P  x, y   5  a  n x n y 5n 2  2 2a  4b  n2 x3n n  5 b  n 2  2n  xy  3

3

a  3b

Rpta. Scoef  20 b

63. Si el grado absoluto de:

en el Monomio:

M2 

M1 

ab

a b

xa  a yb  a z  b w xa  yb 2

es igual a 7, Hallar el grado respecto a “x”

2

x  ya  zb 31

 

x 1  y b  z a  z 3 2

 

Rpta. G.R.x M 2  7

2

64. Si el grado absoluto de M1 es igual a 7, hallar el grado relativo de “x” en M2: b

M1 

xa  a yb  a z  b w ab

x y a2

b2

x a  b  y a  x 6 a b 4

;

M 2  a b

2 2

x 

2 2 3 ab a  b

 

2 2 Rpta. G.R.x M 2  7 a b  49ab  3

mn

65. Si m > n > 0 y la expresión dada es de grado cero:

E 2 mn

Calcular: P  mn

 m  n



x m n  y mn

 y 

m n mn

z

mn mn



m n

  

m n m n

Rpta. P 

1 2

66. Hallar el grado de la siguiente expresión algebraica:

E

 1  1   1  1 1 1 2  1   3

 1 1 n 

........

x 2  x 4  x 6  ........  x 2 n

Rpta. G. A.  n

67. Si m > n > 0 y la expresión dada es de grado nulo: m n

E

x

m n

y

m n m  n n m  n 



mn  mm  nn  2 m2 2 mn  2 m 1 m n  x  z y  z       2

m n mn

Calcular: E 

m n  n m

Rpta. E  6

PRODUCTOS NOTABLES 68. Simplificar:

E   a  b  a  b  c    b  c  b  c  a    c  a  c  a  b  Rpta.: E  0

69. Simplificar:

A   x  y  z  x  y  z    x  y  z  x  y  z    x  y  z  y  z  x    y  z  x  y  z  x   4xy Rpta.: A  0

70. Simplificar: W   a  b  c  d  a  b  c  d    a  b  c  d  a  b  c  d   2  a  b  a  b    c  d  c  d  

Rpta.: W  0 71. Simplificar

A   a  b  x    b  x  a    x  a  b   4  a 2  b2  x 2    a  b  x  2

2

2

Rpta.: A  0 72. Simplificar

E   x 2  y 2   x 4 y 4   x 2  xy  y 2   x 2  xy  y 2   2 x 2 y 2  x 2  y 2  4

2

2

Rpta.: E  0 73. Simplificar

E   x  2 x  3 x  4  x  5   x  3  x  4   2  x 2  x  13 2

Rpta.: E  2 74. Simplificar

2

2

2

2

 x y  2  x y  2   x  2  y  2            4        y x   y x    y   x   E 2 2  x 3  y 3   x 3  y 3                y   x    y   x  

Rpta.: E  4 75. Simplificar:

x F

 x  x    x x  x  x   2  x x  x  x  x x  x  x  2

x



2

2

x  x  x 2 x  x 2 x



x x  x x  x x  x x



2

Rpta.: F  2 76. Simplificar

 abc  bac   a  A     6   bc   bc  bc 3

3

2

Rpta.: A  2 77. Simplificar:

 2c  a  b   2c  a  b   2c  a  b   2c  a  b  A        2 2 2 2         3

3

3

3

Rpta.: A  16abc

78. Sabiendo que

x3  y 3  10



xy  6 , Hallar el valor de: E   x  y   18  x  y   20 3

Rpta.: E  30 79. Sabiendo que

x 4  x 4  34 ,Hallar el valor de: E  x  x 1

Rpta.: E  2

a x9  7 , el valor de la expresión 80. Sabiendo que 9  a x 81. Sabiendo que

4

a b   7 , el valor de la expresión b a

a 3  b3  c 3 82. Si: a + b + c = 0. Simplificar: E  abc

a 4 x9  a es: x9 8

a 8b  b a es:

Rpta.:

Rpta.: 1

Rpta.: E  3

5

a 5  b5  c 5 83. Si: a + b + c = 0 y ab + ac + bc = 1. Simplificar: E  abc

Rpta.: E  5

84. Si: a + b + c = 5; a2 + b2 + c2 = 41 y a2b2 + b2c2 + a2c2 = 184.

Simplificar: 85. Si

x

E  a 3  b3  c 3

Rpta.: E  209

1 1 5  1el valor de E  5 x  5 es: x x

Rpta.: E  1

a 3  b3  c3  3abc 86. Si a + b + c = a2 + b2 + c2 = 1 el valor de E  4 es: a  b 4  c 4  4abc

Rpta.: E  1

a 2  b 2  c 2 a 3  b3  c 3  87. Si: a + b + c = 1; además abc = 0. Simplificar: E  2 3

Rpta.: E 

88. Si:

x  xz  y  yz ; además: x  y ; Simplificar:

89. Si se sabe que:

x y z   yz xz xy

E

1 6

Rpta.: E  3

a b c   x y z calcular el valor de M dado por:

x 3  a 3 y 3  b3 z 3  c 3  x  y  z    a  b  c  M 2    x  a 2 y 2  b 2 z 2  c 2  x  y  z  2   a  b  c 3 3

3

Rpta.: M  0

BINOMIO DE NEWTON 16

1 a  90. Hallar el término central del desarrollo del binomio   x 2  x  8 a Rpta.: 12870 4 x

12

2 3  91. Determinar el lugar que ocupa el termino a del desarrollo del binomio  3 a 2  a 3 4  séptimo termino 7

21

Rpta.: El

 a b   3  ´que contiene a y 92. Hallar el lugar que ocupa el termino del desarrollo del binomio  3  b a  Rpta.: El décimo termino b elevados a la misma potencia

10

93.

94. 95.

96.

 a 1 a  1    Simplificar la expresión y determinar el término del desarrollo que no 1 1  23  3 2  a  a 1 a  a  contiene a . Rpta.: t5  210 El exponente de un binomio excede en 3 al de otro. Determinar estos exponentes sabiendo que la suma de los coeficientes de ambos binomios es 144 Rpta.: 4 y 7 m 1   Hallar el término decimotercero del desarrollo de  9 x   , sabiendo que el coeficiente del 3x   455 tercer término del desarrollo es 105 Rpta.: 3 x m a  En el desarrollo de  x 2   los coeficientes de los términos cuarto y decimotercero son iguales. x  Hallar el término que no contiene x . Rpta.: t11 =3.003 a10 m

 a 2  2 5 97. Hallar el termino central de desarrollo de  a a   , sabiendo que el coeficiente del quinto  a   termino es al coeficiente del tercero como 14 es a 3. Rpta.: El término central (sexto) es -252. 98. La suma de los coeficientes de los términos primero, segundo y tercero del desarrollo de m

 2 1  x   es igual a 46. Hallar el término que no contiene x  Rpta.: El término buscado (séptimo) es t7  84



99. Hallar el término del desarrollo del binomio x x  3 x



m

que contiene x 5 , sabiendo que la suma

de todos los coeficientes es igual a 128. Rpta.: El término buscado (cuarto) es t4  35x5 . 5

 5 a4   a x 1 a x 1  determinar x par que el curto termino del desarrollo del 100. En la expresión   x a x 1    5,5 binomio valga 56a . Rpta: x  2 o x  5 6

4   En la expresión  2 x 21  4 x  determinar x para que el tercer término del desarrollo del 4  binomio valga 240 Rpta.: x  2

101.

x

1   102. Determinar x en la expresión  3 2   , sabiendo que en el desarrollo del binomio la relación 3 3  entre el séptimo término contado desde el principio y el séptimo término contado desde el final vale 16 . Rpta.: x  9 103.

Determinar para el valor de x , en el desarrollo del binomio



6

x

1 x



12

, el termino que contiene

x elevado a una potencia doble de la del termino siguientes menor en 30 unidades que el ultimo mencionado. 2 Rpta.: x4  5 5; x2  4 104.

1   Hallar el término independiente de x en el desarrollo de:  x   3x 2 

10

Rpta.: T.I. = 5 6

105.

4   x 1 En la expresión  2 2  4 x  determinar x para que el tercer término del  4

desarrollo del binomio valga 240. Rpta.: x = 2 106.

Hallar para que valores de x, la diferencia entre los términos cuarto y sexto en el desarrollo del m

 2 x 16 32  binomio  16   es igual a 56, sabiendo que el exponente del binomio m es menor que 2x   8 el coeficiente binómico del tercer término del desarrollo en 20 unidades. Rpta.: x = 1 107.

Determinar para que valores de x, el cuarto término del desarrollo del binomio m

 x 1 1  2  , es 20 veces mayor que el exponente del binomio, sabiendo que el coeficiente  3 x  2  binómico del Rpta.: x = 4 108.

cuarto

término

es

5

veces

mayor

que

el

segundo

término.

Hallar para que valores de x, la suma de los términos tercero y quinto en el desarrollo de

 x  2 

m

1   , es igual a 135, sabiendo que la suma de los coeficientes binómicos de los tres 2 x1 

últimos términos es igual a 22.

Rpta.: x1 = 2 y x2 = -1

DIVISIÓN DE POLINOMIOS 109.

Hallar el resto y el cociente en :

x 3  2 x 2   2  a 2  2a  x  2a  2

R  2  q  x 2  ax  2  Rpta.

xa2

110.

Calcular A+B=? si la división es exacta

2 x 4  3 x 2  Ax  B 2 x2  2 x  3 111.

Calcular m+n+p=? si la división deja como resto

Rpta. A  B  2

2 x2  x  5 en:

3 x 5  2 x 4  3 x 3  mx 2  nx  p 3x3  2 x 2  1 112.

Cuál es el valor de “k” que haga exacta la división 3 2

x  3kx  26 x  8k xk 114.

Rpta. m  n  2

k  0  k  3  k  3 Rpta. 

Determinar el valor de “k” si la división es exacta 5 k 3 k 3

x  4 x  2  3 x  32 x2 115.

mn p  0

Calcular m+n=? si la división es exacta

x 3  mx 2  nx  1 x 1 113.

Rpta.

Determinar E=abc si el resto de la división es cero

k  2  k 1 Rpta. 

x5  2 x 4  6 x3  ax 2  bx  c  x2  1  x  3 116.

Rpta. E  240

Calcular a+b+c=? si la división es exacta

2 x 5  2 x 4  3 x 3  ax 2  bx  c 2 x3  x  2

117.

Rpta. a  b  c  5

Calcular el valor de “k” para que el resto valga 4

2 x3  kx 2   k 2  k  x  5k  10 xk

118.

Rpta.

Calcular el valor de “ab” si la división deja como resto 10 x  5

donde

119.

3

2

Determinar el valor de “ m “ y ” n” si la división deja como resto 7 xa

x 4  3ax 3  a 2 x 2  mxa 3  na 4 x 2  ax  a 2

120.

En la división el cociente es 3x  B el resto 4 3 2

3x  2 x  Ax  7 x  12 x3  x 2  3

b

ab  33  a  11 b  3 Rpta. 

20 x  13 x  4 x  ax  1 5x2  2x  b 4

k  3  k  2

3

 3a 4 m  7  n  5 Rpta. 

4 x2  Cx  15 hallar ABC=?

Rpta.

121.

 ABC  80  A  5    B  1 C  16

SI a y m son mayores que cero calcular E  a  m sabiendo que el Re sto  8x  2

3 x 4  4 x 3  ax 2  5 x  2 x2  x  m  E  13  m  3  a  10 Rpta. 

TEOREMA DEL RESTO 122.

123.

hallar el resto de de:

x n 1   n  1 x  n x 1

Rpta. R  0

hallar el resto de la división:

 y  3c 

11

  y11  c11   47  y  c 

11

y  2c 124.

11 Rpta. R  2001c

hallar el resto en :

 5x

4

 7 x 2  5   5 x 4  7 x 2  7   8 2

5x4  7 x2  8

3

Rpta. R  16

125.


 x  1

4n

 x3  8   x  4  3

3

x2  2 x  2 126.

Rpta. R  8000

hallar el resto en la división.

3   x  1 x  2  x  3 x  4   x  x  5  5 127.

  x  1 x x2  x  1 n2

n

x3  2  x  x2  2x  2 6

3

Rpta. R  216

hallar el resto que se obtiene al dividir

x102  x 51  x 4  2 x2  x  1 130.

Rpta. R  0

hallar el resto de la división:

 x  1

129.

Rpta. R  16


 x  1 128.

4

Rpta. R  x  4


x 3a  2 x 3b 1  x 3c  2  1 x2  x  1

Rpta. R  x  1

131.

determinar

E  abc

si el polinomio

x  2 x  6 x  ax 2  bx  c  x  1 x  1 x  3 Es divisible entre: 5

132.

4

determinar

3

a

, b si el polinomio ax

Es divisible entre:

133.

134.

133. hallar n y

x

2

a

 bx7  1

2

Rpta.

2 4  x  2   a  x  1  x  1  nx 4  x  1   3 x 1

calcular

a  7  b  8

si la división es exacta 3

4

Rpta.

a  5  n  4

4 3 2 a y b si el polinomio 2 x  ax  bx  27 x  10

Es divisible entre:

135.

 x  1

8

Rpta. R  240

x2  6 x  5

Rpta.

 a  9  b  10

x 5  mx 3  nx 2  x  2 Hallar mn si la siguiente división: tiene por residuo R  x   2 x  7 x2  3 Rpta.: mn = 6

136.

Si x  ax  b se divide entre  x  1 , determine los valores de a y b si la división es exacta. 2

24

Rpta.: a = -24, b = 23 137.

Calcular a, b, c para que x  2 x  6 x  ax  bx  c sea divisible por  x  3 x  1 x  1 . 5

4

3

2

Rpta.: a = 8, b = 5, c = -6

138.

Hallar A + B + C si la división es exacta:

Ax 4   A  B  x3   A  B  C  x 2   B  C  x  A  B Ax 2  Bx  C 139.

Encontrar los valores de m y n para que P(x) sea divisible entre Q(x) donde:

P  x   x5  2 x 4  3x3  4 x 2  mx  n 140.

Rpta.: A + B + C = 0

Q  x   x2  x  2

y

Dado el cociente a x  acx  k  b x entre ax  b encontrar el valor de k para que el 2 2

2

Rpta.: k  3a  1 bc

residuo sea igual a 3abc. 141.

Rpta.: m = 14, n = 12

En la división exacta

J





x3   2a  m x 2  a 2  b  n x  ab x  ax  b 2

n2  a 2m2 2a 2 m 2  m 2b 2

; hallar el valor de la expresión: Rpta.: J = 1

COCIENTES NOTABLES 142.

x 21  y 21 Dado el cociente notable n determinar el valor de m y n sabiendo que el cuarto x  ym

término es a la vez el término central. Rpta.: m = n = 3 143.

xa  yb En el cociente generado por: 3 existe un término central que es igual a xc y 231 , hallar el x  y7

valor de a + b + c. 144.

Si x

a b

Rpta.: a + b + c = 769

x 5 n  3  y10 n 15 y es el quinto término del cociente notable: n 1 hallar: a + b. x  y 2 n 1 ab

Rpta.: a+b = ±12 145.

x 20 m  35  y 20 m 57 Si: da lugar es un C.N. hallar el número de términos (n) x m 1  y m 3

Rpta.: n = 23

146.

Si el quinto termino del C.N.

147.

x   En el C.N. n 297 n

148.

27

1

n 2 1



 y

a 4 x  b4 x a

5 y 9



n 29  7 n n

b

5 y 9

48 64

es a b

hallar el número de términos. Rpta.: n = 8

2 1

hallar el número de términos.

1

x 27  81 y 9

Rpta.: n = 72

ar  bs Sabiendo que t4  a b y t5  a b de un cociente notable de la forma p , calcular p, a  bq 2 16

4 12

q, r, s y el número de términos (n).

Rpta.: p = 2, q = 4, r = 12, s = 24; n = 6

 x  a 14  a14

6

149.

Determinar el término central de

Rpta.:

150.

x 2 n 3  y 2 n  22 Siendo “n” un número natural, en el C.N. . x n 3  y n  2

x 2  2a 2  2ax 2

tC    x  a  a 6

2

a) Hallar el valor de n. b) Hallar el número de términos (N). Rpta.: a) n = 8, b) N = 25. 151.





Si m 4 x  1 2

n

es uno de los términos del siguiente cociente notable

 2 x  125   2 x  125 x

; Hallar m + n, y el termino que ocupa.

Rpta.: m + n = 16,

ocupa el termino 13. 152.

Si la división



 5x  1



99

  5 x  1 , origina un cociente notable en el cual un término tiene x 99

b

la forma a 25 x  1 . el valor de a + b es: 2

Rpta.: a + b = 39 n

153.

En el siguiente cociente notable se sabe q el segundo término es: x210y15.

x3 x

Calcular el valor de p  n .

Rpta.: p  n  10

2

p2

3

 y3

1

y

n

2

3

p2

1

154.

x m  y12 14 4 Uno de los términos del cociente notable 2 es x y ¿Cuántos términos tendrá su x  yn Rpta.: N  12

desarrollo? 155.

Qu6575677é relación debe cumplir a y b en:

x a b y ab  y a

 xy 

ab

3

 ya

 b3  ab 2

b2

par a que sean cocientes

notables. Rpta.: ab  1

FRACCIONES ALGEBRAICAS

a  b   2b3  6ab 2   a  b   A 3 3  a  b   2a 3  6a 2b   a  b  3

156.

Simplificar:

3

a 4   a  1

2

2

a 2  a  1  1 2

157.

Simplificar: A 

158.

 1 x  1    1 x  E  Simplificar: 2  1 x  1    1 x 

159.

x2  4 x  3 x 2  5x  6  2 2 x  5 x  6 x  6x  8 Simplificar: E  2 x  8 x  15 x 2  8 x  15  x 2  7 x  12 x 2  7 x  10

160.

 1  x  3  3x 4    1  3x  1  3x  Simplificar: E  2  1  x  13  13 x 3 4   1  3x  1  3x 

161.

a3 b3 c3   Simplificar: E   a  b  a  c   b  c b  a   c  a  c  b 

 a 2  1  a 2 2

2



a 2   a 2  1

Rpta.: A  1

a 2  a  1  1 2



a 4   a  1

2

   2x   1  x  x 

Rpta.: A  1

Rpta.: E  x

Rpta.: E  1

2

Rpta.: E  x

Rpta.: E  a  b  c 162.

Simplificar: E  Rpta.: E 

1 1 1   a  a  b  a  c  b  b  a  b  c  c  c  a  c  b 

1 abc

163. Si se sabe que:

x y z x yz    calcular el valor de A dado x 1 y 1 z 1 3

por:

A

xy  x  3 yz  y  3 xz  z  3   y 1 z 1 x 1

Rpta.: A  9

SIMPLIFICACIONES ALGEBRAICAS

164.

 y  x  Simplificar: K   x  y 

Rpta.: K 

165.

2

 y  x x  y     y  x  x  y 

x  y   y  x 

2

x y xy

  Simplificar: M    

 



 x x  xbb   x  1  x x  2   2

x 1  3

1

   2 4  a 2  8  2a 2   2 a2  1   2 4  a2  1 a  4

       

2 Rpta.: M  3 4  a2



2 4a

   x  x1 2  1 x3 2  1 x 1         x 2  1  3 x  1  3 x 2  3 x  2    x  1 x1 2  1  



1

166. Simplificar: N  





Rpta.: N = 1 167. Simplificar:

M  a b  2

2

b2 a 2  b2

a



a 2  b2  b2 a 2  b2

2





1/2

2   2  a  b2   2 2  a  b 1   b     

Rpta.:



B  2 a 2  b2 168. Simplificar:

  J    

 

1

a  ax  a 1   a x  3 a 1  a a  2   

 

2



a 3





4a  12  12 a 9

J  3  2 a



  2 1 x 1 x 1  x 1     x 1  x 2  x  1   1 x  1 x

169. Simplificar: A  

Rpta.: A = -1

Rpta.:

170. Simplificar:

Rpta.:

A

A

1  a  3 1  a 3 3a

3 1

9  18a  9a 2

16 a 3

171. Simplificar:

 a  b a b b a 4a 2  b 2  1 3  M    2  b 2  3ab  2a 2  2a 2  ab  b 2  4 a  a  b  a b  ab a Rpta.: M

a 1 a 2

172. Simplificar:

1   a  b 1  a b  a   b   2a b     2b a   A  1 1  b  ab    a  ab     2ab    2ab        

 4 2 2 173. Simplificar: C   2 x  a x   Rpta.:

2

Rpta.:



2 2 2 2  x a  4  4a x 2a 1   1  a 2 x 2  2ax x 2  a 2 2 2







A  ab

1 2



Cx

174. Simplificar:



 x  x2  1 D  2 x  x 2  1 1  2    x  1 x  x 2  1

D  2 x  x2  1

Rpta.:



1

x

 a 1 x x a B   x2  a    2  2 2 x a x  x2  a 2

175. Simplificar:

x

1

2

2

Rpta.:

B  x2  a

a  b  3  b 3 E 2  a  b    2b 2

176. Simplificar:

E   ac

2 2

3

8b3 2a



2



2a  2c 3 3  a c

Rpta.:

  177. Simplificar: G    Rpta.: G  1

 

3

3

 

3

 2x  a    3  3 x  a  x  2a  

x3a

3

2

 a3  3a 2 x  3ax 2  x3  3 a

3

178. Simplificar:

 a b     2a a  b b ab  a a b  H  2 3a  3b ab a a b a

Rpta.: H  0

179. Simplificar:

  1   a  a 3 I  a   1  1    3 a  3  1  3 a  3  1  a  a    

3

Rpta.: I  a

180. Simplificar:

      x xx J   4 3 4 3  x 1  x  x 1  x   4   4 x 1   x 1  

Rpta.: J   x

3

a x 181. Simplificar:

3

K

3

a2  3 x2



3

ax 2  3 a 2 x

a 2  2 3 ax  3 x 2  6 x 6 a6 x 3

6 Rpta.: K  a 182. Simplificar:

 x4 x2 M  2  2  2 x  2 x  4 2 x  3x  2





1 2  x  6   12     x  22   2x   2  x     x  2  

Rpta.: M  2 1

  a  4 a 3b 2  b 4 ab 2  b 2 1   b  1 1 183. Simplificar: N  a  2   4 a b a 4b 2 1  



Rpta.: N  0



184. Simplificar:

  M     

Rpta.: M = 1 185. Simplificar:

E

    3    2 2 2  b b  b 1  2 4  y  8  2y   2 2 y2 b  by    1   b 1  y2 4  y2 b  y     1  4  





1



 2 4  y2  3  



 x  1 1  x  3 x 2 

   

Rpta.:

1  3 x  3 x5

E  3 x 1  a  a 1 a  a 1   2  M     1  186. Simplificar:  a 1 a 1   a 1  

1

a  2



a 1

Rpta.: M  2 6

2  1   2 2 1 2   a 3  x 3   x  3    1 E  1   187. Simplificar:     a2       

a

2

 x 2   4a 2 x 2 2

Rpta.: E  1 2

188. Simplificar:

M

1 3 a 3 b   1    b  a  4  ab     

Rpta.:

a 2 3 a 2  b 3 a 2  a 2 3 b2  b 3 b2

3

a 2b 2 M 2 a b 189. Simplificar:





3

a  b  a a  2b b

b a a b  a b 3 2 3a b  3ab a  b E 3  ab  a 4  b 2  a b





2

 1 2792  18 12  b   96    a 3 a  3 b  3 a 2b

 

Rpta.: E 

1

1

3a b a2  b

RADICACION

190.

Simplificar:

S

4

x

x 1  4

4

x

x 1

x 1

Rpta.: L = √

191. Simplificar:

Rpta.:

2  1 4 3  2 2  3  x  12 x  6 x  8

L

x x  x 1

L 1 n

192.

Simplificar: E  Rpta.:

193.

2 14 3  2 2



2  3  2n 2  3  4n 2  3



Simplificar: L   2 x 2

3

3  2  2n 5  2 6

n

E 1



2x  4x2  1



2

2  2 4x2  1  4x2  2 x  4 x2  1     1  1  2x2  2 x2 

1

Rpta.: L = 1

 2 b 1   2 b 1  b   1 194. Simplificar: M  1   1  b  1 b  2 b  1     Rpta.:

M 0

195. Simplificar: E 

Rpta.:

3x  1  3x  1 2 3x  9 x 2  1



2x  1  2x 1 2 2x  4x2 1



5x2 9 x2 1  4 x2 1

E  5x

196. Simplificar:





3 2 x  96  4x 1 4x 1   4x 1  4 x2  5x 16 x 2  1 F    1  x 4 x  1      2   4x 1  4x 1 4x 1  2 x  x 2  96  x  x 2  96

Rpta.: F = 3

RACIONALIZACIÓN 197.

1

Racionalizar la expresión: 3

1  y  1  y  Rpta.:

1 y  3

y 1

2

3

2 1  y 

198.

1 x

Racionalizar la expresión: 3

 Rpta.:  199.

6



x  12 x  1

3

x2



x 1

x



x 1

4

x3

x

Racionalizar: Rpta.:

4

x



3

 x  1 3 x 2 x  3 x2  1

3



x 1

 x  1 200.

Racionalizar: 5 Rpta.:

5

x 4  5 x  5 x3  5 x 2  1

x 1

201. Simplificar:

  x  1 x  2  x  2  x  5   13   x 2  3x  1  x 2  3x  1  E  x 4  6 x3  9 x 2  1   2 2 2 x  3 x  11    x  3x  1  x  3 x  1  Rpta.:



  2 1 x 1 x 1  x  1    x  1  x 2  x  1   1 x  1 x Rpta.: A = -1

202. Simplificar: A  

E 3

203. Simplificar: R 

204. Simplificar: A 

x2 1  x 2 x4  x2 2 x2 1  2 x2 1 x 1  x  1 x 1  x 1

Rpta.: R = 1

x 5  1  x  1  x  1  x  1  1  x 2   x x 3  x 2  1  1  x  1  x  

 2   x  x 1 

Rpta.: A = 0


P

2am calcular el valor de P dado por: b 1  m2 

a  bx  a  bx a  bx  a  bx


E

x

x

Rpta.: P 

2mn calcular el valor de P dado por: n2  1

m x  m x m x  m x


  1  x  E 2  

1 2 2

1 m

x  2k

  1   



1 2

Rpta.: E  n 1 2

1  k 

1

calcular el valor de P dado por:

  1  x   2  

1 2 2

  1   



1 2



Rpta.: E  k  1 1 



1   k

ECUACIONES (Con una incógnita)

x  1 2n 1  x  2 x  1 1  x    n 1 n4  1 1  n4 1  n 2

208.

Resolver:

Rpta.: x 

3 4

209.

Resolver:

Rpta.: x  210.

3ab  1 3ab  2a  1 x a2 x   a a  1 a  a  12  a  13

a a 1 a  x  1  x x 1  a 1   a 1   1    1   ax  1 x  a 1   1  x  a a ax  1  2

Resolver:





Rpta.: x  2a 211.

Rpta.: x 

212.

214.



3 2a 2

2a  b  b 2 x 3abc a 2b 2 bx     3cx  3 2 a  b  a  b a a  a  b

ab ab

1  a 2 x 2  ax

Resolver:

x1 



2

Resolver:

Rpta.: x 

213.

a x ax 3a   2 2 2 4 a  ax  x ax  x  a x a  a2 x2  x4

Resolver:

1  a 2 x 2  ax



1 c2

Rpta.:

c2  1 1  c2 , x2  2ac 2ac

27  x  27  x 27  x 27  x  27  x

Resolver:

Rpta.: x  27 215.

Resolver:

Rpta.: x 

216.

1  a 2 x 2  xa 1 1  a 2 x 2  xa 1

3 a 4

Resolver:

 a  x

a  x   x  b x  b a x  xb

 ab

Rpta.: x1  a, x2  b 217.

Resolver:

x  ab x  bc x  ac    abc ab bc ac



1 4

Rpta.: x  ab  bc  ac SISTEMA DE ECUACIONES

218.

 3 b 2  3 a 2  16  2 3 ba  3 1 3 Resolver:  b  a  2  3  ab  1  a  33 , b  73 a  33 , b  1 Rpta.:

a  73 , b  33 a  1, b  33

219.

1 1  1    2 x  y 2 x  y 15 Resolver:   2 2 15 x  y  15 x  y  8 x  y Rpta.: x  17 , y  8

220.

1 13    x y  x y 2 Resolver:   x  y  36 

Rpta.:

x  20, y  16 221.

1 13    x y  x y 2 Resolver:   x  y  36 

Rpta.:

x  20, y  16

222.

 12  x 1    Resolver:   8   x 1 

x  17, y  6

5

5 1 y 4 10 6 1 y 4

Rpta.:

 x y  x y  4 a  Resolver:  2 x  y 2  x2  y 2   



223.



Rpta.:

41  3 a

x  5a, y  4a  x 2  y 2  x 2  y 2  y Resolver:  4 4 4  x  y  144a

224.

Rpta.:

x   20a, y  4a 2 2   x  xy  y  84 Resolver:    x  xy  y  14

225.

Rpta.:

x1  2, y1  8 x2  8, y2  2 1   x  y  y  2 x Resolver:   x  y  x  3 y 

226.

x1  2, y1 

2 2

3 3 3 , y2  4 4 x3  0, y3  0

Rpta.: x2 

 x 2  xy 3  xz 3  36   3 2 3 Resolver:  x y  y  yz  72  3 x z  y 3 z  z 2  108  

227.

Rpta.:

228.

Para

x  1, y  4, z  9

que

ECUACIONES CUADRÁTICAS valores de “d” las raíces

x  2 3d  1 x  7  2d  3  0 2

Rpta.: d1  2,

d2  

10 9

serán

de

la

ecuación: iguales.

Si m y n son raíces de la ecuación: x  6 x  c  0 calcular el valor de: 2

229.

A

m3  n3  18c 36 Rpta.: A  6

230.

Usando la propiedades de una ecuación de la forma:

ax  bx  c  0 2

encontrar la ecuación, cuyas soluciones son: 2  3 i y 2  3 i Se sabe que:

i 2  1 231.

Rpta.:

x2  4x  7  0

Hallar el valor de k de la ecuación

tal

manera

 2k  2 x2   4  4k  x  k  2  0

sus

raíces

sean

De

reciprocas:

Rpta.: k  4 232. Hallar todos los posibles valores de k para que las ecuaciones siguientes

3x 2  19 x  2k  0 posean Rpta.: 233.

una

raíz

en

común.

6 x 2   k  4 x  10  0

k1  7, k2  8, k3  55

2 2 Para que valores de a tiene la ecuación: x  2a a  3x  4  0 raíces iguales.

Rpta.:

a  2

x 2  3x m  1 Para que valores de “m” las raíces de la ecuación: 5 x  12  m  1 serán simétricos. Rpta.: m  4

234.

Determinar “m” en la ecuación: una raíz sea el Rpta.: m  2

235.

x2  3m  2 x  m2  1  0 de modo que

Hallar “m” para que la ecuación: soluciones iguales.

236.

triple

de

la

5m  1 x2  m  5 x  1  0

otra: tenga

Rpta.: m1  7, m2  3 237.

Escribir una ecuación cuadrática cuyas raíces sean:





abx 2  a 2  b 2 x  ab  0

a b y b a

Rpta.:

PROBLEMAS DE PLANTEO La edad de Pedro es el triplo de la de Juan y ambas edades suman 40 años. Hallar ambas edades. Respuesta: P. 30 a; J. 10 a

238.

Se ha comprado un caballo y sus arreos por $600. Si el caballo costo 4 veces los arreos, ¿cuánto costo el caballo y cuanto los arreos? Respuesta: caballo, $480; arreos, $120

239.

En un hotel de 2 pisos hay 48 habitaciones. Si las habitaciones del segundo piso son la mitad de las del primero, ¿cuantas habitaciones hay en cada piso? Respuesta: 1° piso, 32 habitaciones; 2° piso, 16 habitaciones

240.

Repartir 300 colones entre A, B y C de modo que la parte de B sea doble que la de A y la de C el triplo de la de A Respuesta: A, 50; B,100; C, 150 colones

241.

Repartir 133 Bs. entre A, B y C de modo que la parte de A sea la mitad de la de B y la de C doble de la B. Respuesta: A, 19; b, 38; c, 76 Bs.

242.

El mayor de los números es 6 veces el menor y ambos números suman 147. Hallar los números. Respuesta: 126 y 21

243.

Repartir 149 quetzales entre A, B y C de modo que la parte B sea la mitad de la de A y un cuarto de la de C. Respuesta: A, 40; B, 20; C,80 quetzales

244.

Dividir el número 850 en tres partes de modo que la primera sea el cuarto de la segunda y el quinto de la tercera. Respuesta: 1ra, 85; 2da, 340; 3ra; 425.

245.

El duplo de un número equivale al número aumentando en 11. Hallar el número. Respuesta: 111.

246.

La edad de María es el triplo de la de Rosa más quince años y ambas edades suman 59 años. Hallar ambas edades.

247.

Respuesta: María, 48 a; rosa, 11 a. Si un número se multiplica por 8 el resultado es el número aumentando en 21. Hallar el número.

248.

Respuesta: 3 249.

Si al triplo de mi edad añado 7 años, tendría 100 años. ¿Qué edad tengo? Respuesta: 31 años

Dividir 96 en tres partes tales que la primera sea el triplo de la segunda y la tercera igual a la suma de la primera y la segunda. Respuesta: 36, 12 y 48

250.

La edad de Enrique y la de Eugenio el doble de la de Juan. Si las cuatro edades suman 132, ¿Qué edad tiene cada uno? Respuesta: P. 22 a; Enr, 11 a; J, 33 a; Eug, 66 a.

251.

Dividir 254 en tres partes tales que la segunda sea el triplo de la primera y 40 unidades mayor que la tercera. Respuesta: 42, 126 y 86

252.

Entre A, B y C tienen 130 balboas y C tiene el doble de lo que tiene A y 15 balboas menos que B ¿cuánto tiene cada uno? Respuesta: A, 23; B, 61; C,46 balboas

253.

La suma de tres números es 838. El primero excede al duplo del segundo en 8 y al tercero en 18. Hallar los números. Respuesta: 104, 48,86

254.

Se ha comprado un traje, un bastón y un sombrero por $259. El traje costo 8 veces lo que el sombrero y el bastón $30 menos que el traje. Hallar los precios respectivos. Respuesta: traje, $136; bastón, $106; somb, $17.

255.

Entre A y B tienen 99 Bs. La parte de B excede el triplo de la de A en 19. Hallar la parte de cada uno. Respuesta: A, bs. 20; B, bs. 79

256.

Una varilla de 74 cm de longitud se ha pintado de azul y blanco. Hallar la longitud de la parte pintada de cada color. Respuesta: Blanco, 20 cm; azul 54 cm.

257.

Repartir $152 entre A, B y C de modo que la parte de B sea $8 menos que el duplo de la de A y $32 más que la C. Respuesta: A, $40; B, $72; C, $40.

258.

El exceso de un número sobre 80 equivale al exceso de 220 sobre el duplo del número. Hallar el número. Respuesta: 100

259.

Si me pagaran 60 sucres tendría el doble de lo que tengo ahora más 10 sucres. ¿cuánto tengo? Respuesta: 50 sucres

260.

El asta de una bandera de 9.10 m de altura se ha partido en dos. La parte separada tiene 80 cm menos que la otra parte. hallar la longitud de ambas partes del asta. Respuesta: 4.95 m y 4.15 m

261.

Las edades de un padre y su hijo suman 83 años. La edad del padre excede en 3 años al triplo de la edad del hijo. Hallar ambas edades. Respuesta: Padre, 63 a.; hijo, 20 a.

262.

En una elección en que había 3 candidatos A, B y C se emitieron 9000 votos. B obtuvo 500 votos menos que A y 800 votos más que C. ¿cuantos votos obtuvo el candidato triunfante? Respuesta: A, 3600 votos.

263.

El exceso de 8 veces un numero sobre 60 equivale al exceso de 60 sobre 7 veces el número. Hallar el número. Respuesta: 8

264.

Preguntando a un hombre por su edad, responde: si al doble de mi edad se quitan 17 años tendría lo que me falta para tener 100 años. ¿qué edad tiene el hombre? Respuesta: 39 años

265.

La suma de os números es 100 y el duplo del mayor equivale al triplo del menor. Hallar los números.

266.

Respuesta: 60 y 40 Las edades de un padre y su hijo suman 60 años. Si la edad del padre se disminuyen en 15 años se tendría el doble de la edad del hijo. Hallar ambas edades. Respuesta: Padre, 45 a; hijo, 15 a.

267.

Dividir 1080 en dos partes tales que la mayor disminuida en 132 equivalga a la menor aumentada en 100. Respuesta: 656 y 424

268.

Entre A y B tiene 150 soles. Si A pierde 46, lo que le queda equivale a lo que tiene B. ¿Cuánto tiene cada uno? Respuesta: A, 98; B, 52 Soles

269.

Dos ángulos suman 180° y el duplo del menor excede 45° al mayor, hallar los ángulos. Respuesta: 75° y 105°

270.

La suma de dos números es 540 y el mayor excede al triplo del menor en 88. Hallar los números. Respuesta: 427 y 113

271.

La diferencia de dos números es 36. Si el mayor se disminuye en 12 se tiene el cuádruplo del menor. hallar los números. Respuesta: 44 y 8

272.

Un perro y su collar han costado $54, y el perro costo 8 veces lo que el collar. ¿cuánto costo el perro y cuanto el collar? Respuesta: Perro,$48; collar, $6.

273.

Ente A y B tienen $84. SI A pierde $16 y B gana $20, ambos tienen los mismo. ¿Cuánto tiene cada uno? Respuesta: A, $60; B, $24

274.

En una clase hay 60 alumnos entre jóvenes y señoritas. El número de señoritas excede en 15 al duplo de los jóvenes. ¿cuantos jóvenes hay en clase y cuantas señoritas? Respuesta: 45 Señoritas, 15 jóvenes

275.

Dividir 160 en dos partes tales que el triplo de la parte menor disminuido en la parte mayor equivalga a 16.

276.

Respuesta: 116 y 44 La suma de dos números 506 y el triplo del menor excede en 50 al mayor aumentando en 100. Hallar los números. Respuesta: 164 y 342

277.

Una estilográfica y un lapicero han costado 18 bolívares. Si la estilográfica hubiera costado 6 bolívares menos y el lapicero 4 bolívares más, habrán costado lo mismo. ¿cuánto costo cada uno? Respuesta: Estilográfica, bs. 14; lapicero, bs. 4.

278.

Una varilla de 84 cm de longitud está pintada de rojo y negro. La parte roja es 4 cm que la parte pintada de negro. Hallar la longitud de cada parte. Respuesta: De negro, 44 cm; de rojo, 40 cm

279.

La edad actual de A es doble que la de B, y hace 10 años la edad de A era el triplo de la de B. hallar las edades actuales. Respuesta: A, 40 años; B, 20 años

280.

La edad de A es el triple que la de B y dentro de 5 años será el doble. Hallar las edades actuales Respuesta: A, 15 años; B, 5 años

281.

A tiene doble dinero que B. Si A pierde $10 y B pierde $5. A tendrá $20 más que B ¿cuánto tiene cada uno? Respuesta: A, $50; B,$25

282.

A tiene la mitad de lo que tiene B. Si A gana 66 colones y B pierde 90, A tendrá el doble de lo que tiene B ¿cuánto tiene cada uno? Respuesta: A, 82; B, 164 colones

283.

La edad de un padre es el triplo de la edad de su hijo. La edad que tenía el padre hace 5 años era el duplo de la edad que tendrá su hijo dentro de 10 años. Hallar las edades actuales. Respuesta: Padre, 75 años; hijo, 25 años

284.

La suma de dos números s 85 y el número menor aumentando en 36 equivale al doble del mayor disminuido en 20. Hallar los números. Respuesta: 38 y 47

285.

Enrique tiene 5 veces lo que tiene su hermano. Si enrique le diera a su hermano 50cts. Ambos tendrán lo mismo ¿Cuánto ti8ene cada uno? Respuesta: Enrique, $1.25; su hermano, $0.25

286.

Un colono tiene 1400 sucres en dos bolsas. Si de la bolsa que tiene más dinero saca 200 y los pone en otra bolsa, ambas tendrían igual cantidad de dinero. ¿cuánto tiene cada bolsa? Respuesta: 900 y 500 sucres

287.

El número de días que ha trabajado Pedro es 4 veces el número de días que ha trabajado Enrique 21 días mas, ambos habían trabajado igual número de días. ¿cuantos días trabajo cada uno? Respuesta: P., 48 días s.; 12 días

288.

Hace 14 años la edad de un padre era el triplo de la edad de su hijo y ahora es el doble. Hallar las edades respectivas hace 14 años. Respuesta: Padre, 42 años; hijo, 14 años

289.

Dentro de 22 años la edad de Juan será el doble de la de su hijo y actualmente es el triplo. Hallar las edades actuales Respuesta: Juan 66 años ; su hijo 22 años

290.

Entre A y B tienen $84.Si A gana 480 Y B gana $4, A tendrá el triplo de lo tenga B. ¿Cuánto tiene cada uno’ Respuesta: A, $46; B, $38

291.

Compre doble número de sombreros que de trajes por 702 balboas. Cada sombrero costo 2 y cada traje 50 ¿Cuántos sombreros y cuantos trajes compre? Respuesta: 26 sobreros, 13 trajes 293. Un hacendado compro caballos y vacas por 40000 bolívares. Por cada caballo, ¿Cuántas vacas y cuantos caballos compro? Respuesta: 26 vacas, 32 caballos 292.

Cierto número aumentado en tres , multiplicado por sí mismo, es igual a su cuadrado más 24 ¿Cuál es el número? Repuesta: 8 295. La suma de tres números consecutivos es 75 pregunta cuáles son los numero Repuesta: 24,25,26 294.

Si a un numero se le suma 5,se multiplica la suma por 3,se le resta 6 del producto y se divide la diferencia por 7 se obtiene un número que tiene 5 unidades menos que el numero ¿Cuál es el número? Repuesta: 11 297. Si me adivinas cuantas nueces tengo, dijo un niño a otro, te regalo la cuarta parte menos 2 nueces o, lo que es lo mismo la sexta parte más una mues ¿Cuántas nueces tenia? Repuesta: 36 298. En un ataque del enemigo, la mitad de los soldados de una patrulla cayo prisionera, la sexta parte quedo herida, la octava parte murió y se salvaron 25 soldados pregunta de cuantos soldados se componía la patrulla Repuesta: 120 299. Un gavilán se encontraba en vuelo, con lo que aparece un centenar de palomas, pero una de ellas lo saca de su error: no somos 100 dice si sumamos los que somos, más tantos como los que somos, más la mitad de los que somos y la mitad de la mitad de los que somos en ese caso contigo gavilán seriamos 100 pregunta cuantas palomas había en la bandada Repuesta: 36 300. Si al numerador de la fracción 5/7 se le suma un número y al denominador se le resta el mismo número se obtiene otra fracción equivalente a la reciproca de la fracción dada calcular el número. Repuesta: 2 296.

Un granjero que tiene en su corral vacas y gallinas, se observa que el número total de patas es igual al doble del número de cabezas más 14 ¿cuantas vacas hay en el corral? Repuesta: 7 vacas 302. Juan pago Bs.350 por un sombrero y un traje. determínese el precio del traje sabiendo que este costo Bs.150 menos que el sombrero Repuesta: precio del traje 100 Bs 303. Una joven pago Bs.350 por un vestido y un sombrero. Determínese el precio del vestido sabiendo que este costo Bs.150 más que el sombrero Repuesta: precio del vestido 250 Bs 304. un cine tiene una capacidad de 900 asientos y cobra $2 por niño, $3 por estudiante y $4 por adulto. En cierto monitoreo con el cine lleno, la mitad del auditorio adulto era igual al auditorio infantil y estudiantil juntos. Las entradas totalizaron $3200, ¿Cuántos niños asistieron a la función? Repuesta: asistieron 100 niños 305. Un mayorista compra bananas por un total de 180 Bs, sin embargo.se da cuenta que comprando de otro distribuidor, habría obtenido por el mismo precio 600 bananas más (de las que compro), ello equivaldría un ahorro de 1 centavo por cada banana ¿determine cuantas bananas adquirió inicialmente? Repuesta: 3000 bananas 306. Dos estudiantes A y B apuestan 10 Bs a que aprobaran el examen de matemática, el dinero de ambos tiene una relación de 10 a 13 inicialmente, luego 301.

del examen solo A aprueba y la nueva relación de dinero de ambos es de 12 a 11 ¿Cuánto dinero trajeron A y B al momento de la apuesta? Repuesta: A=50, B=65 307. Una familia está compuesta por padre, madre y dos hijos. La suma de las edades de todos es 136; casualmente la suma de las edades de los hijos es igual a la edad de la madre. El padre es mayor que su esposa por 7 años ¿Cuántos años tiene la madre? Repuesta: La madre tiene 43 años 308. la suma de edades de Andrés y Beatriz es el cuadrado de la edad de Carlos, además Carlos tiene el triple de la diferencia de edades de Andrés y Beatriz, por otra parte, hace 15 años, Andrés tenía el doble de la edad de Beatriz, encuentre las edades actuales de cada uno Repuesta: Carlos 6 años, Andrés 19años, Beatriz 17años 309. En el momento de escribir este problema mi edad más el triple de mi edad que tenía hace 14 años es igual al triple de mi edad menos 3 , sabes cuantos años tengo Repuesta: 39 310. En una encuesta, se preguntó a una señora que edad tenia y ella respondió tengo el doble de la edad que tú tienes , pero en 24 años tendré 68 años menos que el triple de tu edad en ese año Repuesta: edad actual de la señora es 40 años 311. Hallar un numero de dos dígitos , donde la suma del número de las decenas más el número de las unidades es diez , si se invierte el número (el de las decenas por el número de las unidades), el numero resultante es igual a 3 veces el numero original menos dos unidades Repuesta: NUMERO =28 312. Cierto numero entre 10 y 100 es 8 veces la suma de sus dígitos, y si se le resta 45,sus dígitos se invierten, hallar el numero Repuesta: NUMERO =72 313. Un obrero puede realizar cierto trabajo en 7 horas menos que otro que tiene menos experiencia ,juntos pueden realizarlo en 12 horas ,cuanto tiempo tarda en realizar el trabajo cada uno Repuesta: el de experiencia 21 horas, el de menos experiencia 28 horas 314. Pablo puede transcribir a la computadora un trabajo de 200 pág. En 5 días y cristina lo puede hacer en 4 días pregunta en cuanto tiempo podrán pablo y cristina transcribirlos si lo hacen juntos Resp. t=20/9 315. Dos obreros juntos completan una cierta tarea en 8 horas , trabajando individualmente, el 1er obrero podía hacer el trabajo en 12 horas más deprisa que lo podría hacer el segundo , cuantas horas tardaría cada obrero en hacer individualmente el trabajo Repuesta: el 1er obrero 12 horas, el 2do obrero 24 horas 316. En una batalla en el norte de áfrica había cuatro tanques Italianos por cada 3 tanques Ingleses, durante la batalla los Italianos perdieron 20 tanques y los Ingleses 10 tanques y quedaron entonces 5 tanques italianos por cada 4 tanques

ingleses ¿Cuántos tanques italianos y cuantos tanques ingleses había al comienzo de la batalla? Repuesta: tanques Italianos 120,tanques ingleses 90 317. Los jornales de un maestro albañil y su ayudante son 7 Bs y 3 Bs por hora respectivamente entre ambos realizan un trabajo por el que reciben la suma de 53 Bs , si los jornales se disminuyen en 1 Bs por hora , abran cobrado 42 Bs en total, pregunta cuánto tiempo trabaja cada uno de ellos Repuesta: maestro albañil trabaja 5 horas, ayudante trabaja 6 horas

318.

Determine un número que sirve de contraseña de tres cifras, donde la suma del

digito de las centenas más el digito de las decenas es igual al digito de las unidades. Si se invierte la cifra de las decenas por el de las unidades, el número resultante es igual al número buscado más 18 unidades. Y si se divide el digito de las unidades entre el digito de las centenas, el numero resultantes es igual al digito de las decenas menos 1. Rpta.: N = 246 319.

El hijo de un matrimonio de militares tiene actualmente una edad igual a la

suma de los dígitos de las edades de sus padres y nació cuando su madre tenía 27 años. El hombre (padre) le lleva en edad a su esposa (madre) por nueve años y este año los dos dígitos de sus edades son los mismos pero con orden cambiado. Hallar las edades que tienen actualmente el hijo la madre y el padre. Rpta.:54:45:18 320.

En una caja se tienen pelotas rojas, negras y blancas. Si se tuvieran tres bolas

blancas más se tendría la misma cantidad que las rojas. Al multiplicarse la cantidad de pelotas negras por las blancas, se excede en 3 al cuádruple de la cantidad de pelotas rojas. Sin embargo, si se quitaran 2 de cada color, la cantidad total de pelotas seria el doble de la cantidad real de pelotas negras. ¿Cuántas pelotas se tiene

de

cada

color?

Rpta.: 8:7:5 321.

Un docente del colegio militar tiene un hermano menor. Si el padre de ambos

tiene hora dos años más que sus dos hijos juntos, y hace 8 años, tenía tres veces la edad del hijo menor y dos veces la edad del mayor en ese entonces ¿Qué edad tiene

ahora el docente del curso pre facultativo? ¿qué edad tiene actualmente su padre? Rpta.: 38:68:28

¿qué edad tiene ahora su hermano? 322.

En una batalla del norte de Chile, habían 4 tanques Chilenos por cada 3 tanques

Bolivianos. Durante la batalla, los Chilenos perdieron 20 tanques y los Bolivianos perdieron 10 tanques y quedaron 5 tanques Chilenos por cada 4 tanques Bolivianos. ¿Cuántos tanques Chilenos y cuantos tanques Bolivianos habían al comienzo de la batalla? Rpta.: 120 tanques italianos y 90 tanques ingleses. 323.

Un grupo de 20 cadetes de ultimo año entre diferentes armas: Infantería,

caballería y artillería descubren un naranjo cuando ya la sed se empezaba a hacerse sentir. El árbol que encontraron contiene 37 naranjas que se reparten de la siguiente manera. Cada cadete de infantería come 6 naranjas. Cada cadete de artillería come una naranja y cada cadete de caballería media naranja ¿cuántos cadetes

de

infantería,

caballería

y

artillería

había

en

el

grupo?

Rpta.: 4 inf., 6 cab., 10 art. 324.

En el día de los enamorados, un ratoncito sale de su hueco hacia el hueco de su

ratoncita dando alegres altos de 11 cm, al encontrarla con otro ratoncito, regresa dando tristes saltos de 7 cm, pero habiendo recorrido en total 1.23 m se detiene a suicidarse ¿Cuánto le faltaba aun por recorrer? Rpta.: 53 cm 325.

Un coleccionista compró dos automóviles en un total de 22500 $US. Después de

un tiempo decidió venderlos y al hacerlo obtuvo un beneficio del 40%. Cuánto pagó por cada automóvil si uno de los autos dejó un beneficio del 25% y el segundo del 50%? Rpta.: 1° auto;13500 $US y 2° auto: 9000 $US 326.

Hace 10 años la edad de Juan era el doble de la edad de María, dentro de 20

años sus edades sumaran 90 años. ¿cuál es la edad de María? Rspta.: MARIA TIEN 20 AÑOS 327.

Matías pensó en un número de dos dígitos, de tal manera que sumándolo al

número que resulta de invertir sus dígitos, obtiene 99. Además la relación entre el

número que pensó y el numero resultante de invertir los dígitos es 7/4. ¿en qué numero pensó Matías? Rpta.: 63

328.

PROGRESIONES En una progresión aritmética el primer término es 12, el número de términos

es 9 y la suma es 252.

En otra progresión aritmética el primer término es 2 y su

razón 6. Si dos términos que ocupan el mismo lugar de ambas progresiones son Rpta.: ak  32

iguales, calcular su valor. 329.

El segundo término de una progresión aritmética es 14 y el tercero es 16. Se

pide construir una progresión geométrica tal que su razón sea igual a la de la progresión aritmética y la suma de los tres primeros términos sea igual en ambas progresiones. 330.

80

Rpta.: PG1: 6,12,24 y PG2 : 24,12,6

En un progresión geométrica la suma del primer y el tercero término es igual a y

el

cuadrado

del

segundo

es

576

hallar

los

números.

Rpta.: PG(1): 72, 24, 8 y PG(2): 8, 24, 72 331.

Las edades de los tres hijos de José y Martha están en progresión aritmética y

suman 15 y las edades de los tres hijos de Israel y María están en progresión geométrica y suman 13. Sabiendo además que la razón de la progresión geométrica es el triple de la aritmética y que la suma de la edad del hijo mayor con la del hijo menor, en ambas familias, es la misma; encontrar las edades de los hijos de ambos esposos. Rpta.: P.A. 4, 5, 6

Y P.G. 1: 3: 9

332.

Las edades de los tres hijos de Juan están en progresión aritmética. Hace 9 años

la edad del hijo mayor era igual a la suma de las edades de sus dos hermanos, la edad del hijo del medio era igual a su edad actual pero con sus dos dígitos invertidos y cinco veces la suma de estos dígitos es igual a la edad actual del hijo menor. ¿Qué edad tiene actualmente el hijo menor? Rpta.: 15 años 333.

Se tienen dos progresiones, una aritmética y la otra geométrica; ambas tienen

el mismo primer término, su valor es 4, el segundo término en ambas progresiones también es el mismo, pero no conocemos su valor. El tercer término de la P.G. es 25/16

del

tercer

término

de

la

P.A.

Hallar

los

tres

números.

Rpta.: P.A.: 4, 10, 16 P.G.: 4, 10, 25 334.

El Primer término de una Progresión Aritmética es 2 y el último es 26 con una

razón llamada “R”; si se intercalan (R2 - 2) medios aritméticos, calcular R y construir la Progresión. Rpta.: P.A.: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26 335.

Un trabajador debe llevar una carretilla de arena al pie de cada uno de los 21

árboles que están al lado de una calzada; los árboles están a 4 metros de distancia y el montón de arena esta a 10 metros antes del primer árbol. ¿Qué camino habrá recorrido después de haber terminado su trabajo y vuelto la carretilla al montón de arena? Rpta.: dTotal  2100 m 336.

Una progresión aritmética tiene 20 términos. La suma de los términos que

ocupan lugares pares vale 250 y la de los términos que ocupan lugares impares vale 220. Hallar los dos términos centrales de la progresión. Rpta.: tC1  a10  22 ; tC 2  a11  25 337.

Hallar una progresión aritmética en la que la suma de un número cualquiera de

términos sea siempre el triple del número de términos elevado al cuadrado. Rpta.: a1  3 ; d  6

338.

Hallar la suma de todos los números de dos cifras que, al dividirlos por 4, den

como resto la unidad. Rpta.: S  1210 339.

El segundo término de una progresión aritmética es 14 y el tercero es 16. Se

pide construir una progresión geométrica tal que su razón sea igual a la de la progresión aritmética y la suma de los tres primeros términos sea igual en ambas progresiones. Rpta.: P.G. : 6,12,24 340.

Un periodista se entera un día de una noticia a las 6 a.m. la comunica después

de 5 minutos a dos personas; cada una de estas a su vez después de 10 minutos la transmiten a otras dos más; estas a su vez después de 15 minutos le avisan a otras dos y así sucesivamente, tardando cada nuevo grupo 5 más que su predecesor para propagar la noticia. ¿Cuántas personas conocen la noticia a las

12:30 p.m. de

dicho día? Rpta.: Numero total de personas  8190 341.

Una bola rueda por un plano inclinado, partiendo de reposo, de forma que en el

primer segundo recorre 3 cm., en el segundo 5 cm. en el tercero 7 cm., y así sucesivamente. Hallar el tiempo que tardará en recorrer 120 cm. Rpta.: t  10seg . 342.

Una pelota se deja caer de una altura de 10 metros y cada vez rebota hasta una

tercera parte de la altura alcanzada en el rebote anterior. Calcular la distancia total recorrida por la pelota hasta que teóricamente quede en reposo. Rpta.: dtotal  20m 343.

Dado un cuadrado de lado a, se toma los puntos medios de sus lados y sc

construye un segundo cuadrado. Tomando los puntos medios de este cuadrado se construye un nuevo cuadrado, así sucesivamente. Calcular la suma de todas las áreas así obtenidas. Rpta.: S  2a 2 344.

Dos cuerpos que se encuentran a la distancia de 153 m uno del otro, se mueven

al encuentro mutuo. El primero recorre 100 m por segundo, y el segundo recorrió

3 m en el primer segundo, en cada segundo siguiente recorre 5 m más que el anterior.

¿Después

de

cuántos

segundos

los

cuerpos

se

encuentran?

Rpta.: t  6seg . 345.

La suma de tres números en P.G. es 70, se multiplican los extremos por 4 y el

intermedio por 5, los productos están en PA., hallar el término central. Rpta.: 20 346.

Un rollo de papel cuyo diámetro es de 300 cm consta de 50 vueltas de papel

fuertemente enrollado longitud tiene el papel?. 347.

en un cilindro macizo de 100 cm de diámetro. ¿Qué Rpta.:  total  31416 m

En un cilindro de radio R se inscribe un cuadrado y a este cuadrado se le

inscribe un círculo; en este se inscribe otro cuadrado y así sucesivamente. Hallar la suma total de las áreas de los círculos. Rpta.: S  2    R 2 348.

En un almacén se han apilado latas de conservas, formando una torre de 10

filas, en la fila de más arriba esta solo una lata, en la segunda están cinco, en la tercera están trece, vale decir que se aumentan latas en los espacios que existen entre las latas que había en la fila anterior y así sucesivamente. ¿Cuántas latas podrán apilar en las 10 filas? 349.

Rpta.: Total de latas  670

El primer término y la razón de una progresión aritmética vienen dados por la

solución del sistema de ecuaciones adjunto además el ultimo termino es 97. ¿Cuántos términos tiene la progresión?

a1  r  a1  r  2 a1r  2   a1  r  8

Rpta.: n  9

LOGARITMOS 350.

Simplificar:

Rpta.: A  351.

n 3  7   1  A   log 7 log 49   2n  4   

10 3 A

Simplificar:

1  log 2 3 1  log3 2  1  log 2 3 1  log3 2

Rpta.: A  0 352.

Rpta.: A  353.

A

Simplificar:





3log5 25  log 2

8 4

Simplificar:



1 B  log3 9  3log  0.001  2log5 125  log8  2  5log8 4 5 16 2 7 Rpta.: B  2 354.

 8

log3 27  2log5 625



Simplificar:

 n4  C  log n  mn   log m m  n 



4 m1

4 n  1 m  mn  log m  m   log n  4 n m  n  m n 



Rpta.: C  log m n 355.

Si

se

cumple

que,



2m  logb c

  log a 1

1

b

Calcular:

Rpta.: L  a 356.

3  log a Si: a  

Rpta.: N 

27 25



5  1 2  1    Calcular: N  log a  5  a   3  





3 2 1    



Lc

 a2 m  log    b 

357.

E

Simplificar:

49

1 2 log 25 49

5



 2log 2 log 2 log 2 5 

1 log 2 5



3

1 log 2 3

 32



2 log5 4



1 log3 4

Rpta.: E  2

358.

E

Simplificar:

25

1 2 log 49 25

4



 2log 2 log 2 log 2 7 

1 log3 4



3

1 log 2 3

 32



2 log7 4



1 log3 4

Rpta.: E  2 Resolver las siguientes ecuaciones: 359.

Calcular el valor de x de la siguiente expresión:

Rpta.: x 

7  3x1  5x 2  3x 4  5x3

Calcular el valor de x de la siguiente expresión: Rpta.: x  1

362.

31logx  32logx  23logx

Calcular el valor de x de la siguiente expresión:

Rpta.: x 

3 16  4 9

7 2

360.

361.

4 x 1 3x 1

1 10



2 2

Resolver:

x 3



2 1 x



1 2



x 1

42  0

Rpta.: x  9 363.

x 2 1

Resolver:

a 3 2 x 2 a 4 a 1  1

Rpta.: x1  5, x2  3 364.

Resolver:

3log

xa

2

1 x  log x x  2 2 a

Rpta.: x  a 365.

Resolver:

Rpta.: x  4 366.

Resolver:

Rpta.: x  15

log4  x  12  log x 2  1 1  a  a 2  a 3  ......  a x 1  a x  1  a  1  a 2 1  a 4 1  a 8 

52  54  56  58  ......  52 x  0.0428

Resolver: Rpta.: x  7

367.



 3a  b a 2  ab 1  368. Resolver: 1  logx  3 log b  b2   ab Rpta.: x  10b 369.



1

   4 logb  1 log a 3  ab 2 3  3 









Rpta.: x1  4, x2  2 370.





log 2  log 4 x  2  9  1  log 2 x  2  1

Resolver:



log3 x

log3 4

Resolver:

  log 36   8 log3 x

3

Rpta.: x  81 371.

 e ln    ln 4 x  2  9  1  ln 2 x  2  1  5



Resolver:







Rpta.: x1  4, x2  2 372.

Resolver:

Rpta.: x  373.

1 1 a3  a 2     1 log  x  a 1  a  2   log 1    log a  0 a 1  a   2

1 1 a





log 41  2 x  1  1  log

Resolver:

Rpta.: x  36 374.



2  log 2  1  log 5

Resolver:

x



2

x 2





 2  2log 2



 1  log 51

x

5



Rpta.: x  9 375.

 

Rpta.: x1  376.

1  

Resolver: 2log 2  1  2 x  log 3  log

Resolver:

Rpta.: x  2



x



3  27  0

1 1 , x2  4 2



log 3

4 x 1

 24

4 x 1

  2  14 log16 

x  0.25log 4

377.

2log 2  log  x  3 1  log  7 x  1  log  x  6   log 3 2

Resolver:

Rpta.: x  9 378.

log5120   x  3  2log5 1  5 x 3   log5  0.2  5x  4 

Resolver:

Rpta.: x  1 379.

 8  log8 x  log x    log8 x 

Resolver:

log5 x

1  0

Rpta.: x  64 380.

log a x

Resolver:

logb a

 log 2 x

2 log a b

a

 log b x 

5 2

Rpta.: x  b 381.

Calcular el valor de

E  x 2  7 si “x” es la raíz de la ecuación:

2x3  4x1  320 Rpta.: E  4 382.

Calcular el valor de E 

Rpta.: 383.

2 x  7 si “x” satisface la ecuación:

6

714  7 x 7 7 x  72

E 3

La solución de la ecuación



2 3  2 3



4x

 68 es: 13

Rpta.: x  20 384.

El valor de x que verifica la ecuación





x 1





x 1



x 1

Rpta.: x  3  2 2

  2(2 

385.

1 x 3 2 x

)

  

2 x 1

4

Qué valor debe tomar “x” en la ecuación

Rpta: x  9

  2(2  

1 x 3

)2

x

   

2 x 1

4

2

 2 es:

386.

El valor de x que verifica la ecuación

3

x2

 3  2.3 2x

x 1



 3   81 x

4

es:

Rpta x  3 Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: 387.

388.

5  log x y  log y x  2 Resolver:   xy  8 Rpta.: x1  4, y1  2 y x2  2, y2  4 Resolver:

Rpta.: x 

389.

loga logb   ax   by   0  logx logy  b  a

1 1 ,y a b log 3  log y  log 8  2   3 81x  27  32 y  2  

Resolver:

1 , y 1 2 log  x  y    y  x  log 2  log 3 Resolver:  x  y 4  8 1 5 Rpta.: x  , y  4 4

2



4x  1



Rpta.: x  390.

391.

Resolver:

Rpta.: x  9, y  7 392.

log xy  x  y   1  Resolver:  log xy  x  y   0 Rpta.: x 

1  5 3 5 ,y 2 2

log  x 2  y 2   1  log13  log  x  y   log  x  y   3log 2

 xy  a 2 393. Resolver:  2 2 2 2 log x  log y  2.5log  a  1 1 3 y x2  , y2  a 3 Rpta.: x1  a , y1  a a 394.

3x 2 y  576  log 2  y  x   4

Resolver:

Rpta.: x  2, y  6

395.

Resolver:

Rpta.: x  396.

3  log x  log y   a a2 2  log x  log y  3 b  b2 2

a2 b2 ,y b a  x  y x  y  2 3  yx  x  y  2  3

Resolver:

Rpta.: x  7, y  5 397.

91 y 9 x  27 x 27 y  0  log  x  1  log 1  y   0

Resolver:

3 1 ,y 2 2 1 1  2 logx  2 logy  log 4  x  0 398. Resolver:  y  25 x  125  5 y  0  x1  4, y1  1 y x2  1, y2  9 Rpta.: x 





399.

Resolver:

Rpta.: x 

1 1 ,y 2 2



Rpta.:







log log  x  y  x  1  x1 1  x x x log x  x 2 2 2 y 

400.

5  2 2  log x  y 2  log x  y 2  log  x  y   log  x  y   2 2 Resolver:  log x 2  y 2  log  x  y   7  2  x  y   2  x1  12, y1  4 Rpta.:

401.

3 1 , y2   32 32 1  log 4 2log3 3  log 2 2  log 2  x  y    2 Resolver:  9 x  9 y  2 1 Rpta.: x  , y  0 2

402.

log 1  log 1  log 1  log  x  y    0  a b  c d  Resolver:  2 x  2 y  8

x2 













Rpta.: x  4, y  3

Trigonometría

SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

403.

404.

Simplificar:

simplificar:

1  tg 2 E 1  tg 2 E

sen7  sen5 cos 7  cos5

RESP.:

E  cos2

RESP.:

E  tg

405.

406. 407.

F

simplificar:

simplificar: F 

2cos 2  1     2tg     sen 2     4  4 

F 1 RESP.:

2  sen2  2cos 2  1 cos  sen  cos3  sen3

Hallar

el

RESP.:

F  csc

valor

de:

E  log tg 25º   log tg 26º   log tg 65º   log tg 64º  Rpta.: E  0 408.

Hallar

Rpta.: E  409.

Si:

el

valor

E

de:

13 8

sen  a y cos  b

Hallar el valor de: E  cos    

Rpta.: E  a 1  b  b 1  a 2

410.

2

Si:      la expresión es igual a: E  4cos

Rpta.:

411.

sen60 cos 2 30   tg 225  cos 2 315 2 3

 2

cos



   sen   2  2

E  2sen o E  2sen

Simplificar:

cos  4cos 2  cos 2  sen   sen3  sen  E 2 sen  cos  2sen   sen  cos   1

Rpta.: E  2cos 2 412.

Simplificar:

Rpta.: E  2

2 1  sen  cos   E tg  sen  cot  cos 

413.

Simplificar:

sen 4  cos 4  1 sen 6  cos 6  1

2 3

Rpta.: E 

414.

E

 sec  tg  1  E   tg  cos  tg  sec  1 

Simplificar:

Rpta.: E  1 415.









E  sec 4 1  sen 4  2tg 2

Simplificar:

Rpta.: E  1 416.

E  sec 4 1  sen 4  2tg 2

Simplificar:

Rpta.: E  1 417.

Hallar el valor de “k” para que se cumpla la siguiente identidad.

cot  csc  1  k 1  cos  cot  csc  1 Rpta.: k  csc 418.

Si:

sen  cos 

Rpta.: E 

419.

1 4

E  sen8  cos8

97 128

4 4 Si: csc   4tg  

Rpta.:

Hallar el valor de:

4 Hallar el valor de: tg 3

tg   3 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

420.

Calcular

Rpta.: E 

el

4 5

valor

de:

E  sen  2arctg 2

421.

Calcular

el

Rpta.: E  

422.

423.

de:

1 3

Calcular

Rpta.:

valor

1  2 2 E  sen  arcsen    2 3    

el

valor

1  4  E  cot  arccos      7  2

de:

33 11

E

Calcular

el

valor

de:

  3 1  3  E  tg 5arctg    arcsen  2    3  4    

Rpta.: E  1 424.

Calcular

Rpta.:

425.

E

Calcular

Rpta.: E 

426.

Rpta.:

valor

de:

1  E  sen 3arctg 3  2arccos  2 

3 2 el

valor

de:

  3  1  E  cos 3arcsen   arccos      2 2    

1 2

Simplificar: E

427.

el

 2 E  arctg 3  2 2  arctg   2  





 4

Simplificar:

 2  6 1 E  arccos    arccos   3 2 3    

E

Rpta.: 428.

 a b  F  arctg    arctg  b   1  ab 

Simplificar:

Rpta.: 429.

 6

F  arctg  a 

Simplificar:

1 1 1 1 F  arctg    arctg    arctg    arctg    3 5 7 8 Rpta.: 430.

F

 4

 xcos   cos  E  arctg   arccot    1  xsen   x  sen 

Simplificar:

Rpta.: E   ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 431.

Resolver:

2cos3 x  9sen2 x  10cosx  12

Rpta.: x  360º ,300º 432.

Resolver:

; x  0º ,60º

  2cosx  sen  x    1  6

x  0º ,18º ,360º Rpta.: 433.

x  120º ,300º

Resolver:

3senx  5cosx  5  0 Rpta.: x  90º

434.

Resolver:

  2cosx  sen  x    1  6

Rpta.:

x  0º ,18º ,360º x  120º ,300º

435.

Resolver:

sen 2 x  2cos 2 x 

1 sen 2 x  0 2

Rpta.: x  45º 436.

  1  senx  cosx  2 cos Resolver:   45º 2 Rpta: x 

437.



arc.sin 2  2 2



2

Resolver:

   3x    3x   2  senxcos 2 x  sen2 xcosx  cos     sen     4 2  4 2   Rpta: x   ; x 

438.

Resolver:

5 6

sen  60º  x   sen  60º  x  tgx  2 1  tg 2 x



Rpta: x  120 439.

Resolver:

4cos

x  2 cos x  3 2

Rpta: x  120, x  240

440.

Resolver:

2

4 sin

x  2 cos x  3 2

Rpta: x  60, x  300



  2

cotx

1  cot 2 x



2

SISTEMA DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

441.

Resolver:

Rpta.:

442.

tgx  coty  3  4  cotx  tgy   3 

 3  2 x  arctg   , y  arctg    2  3

Resolver:

 3 2  x 2  y 2  x 2  y 2cos    sen    2sen    cos     2  2  2  2 4  4cosx  cosy  1 

Rpta.:

443.

444.

 1 x  arccos    ; y  180º  4

  x  y  4 Resolver:   tg  tgy  1 x  0º ,180º ,360º ; y  45º , 225º Rpta.: x  45º , 225º ; y  0º ,180º ,360º Resolver:

Rpta.:

445.

 1 x  0º ,360º ; y  arccos    4

senx  cosy  1 2  sen2 x  cos 2 y 4  16

x  30º ,150º ; y  60º ,300º x  210º ,330º ; y  120º , 240º

  x  y  x  y  cos 2cos    1  2  2  Resolver:  2cosx  cosy  1  Rpta.: x  60º ,300º; y  60º ,300º

446.

Resolver:

 cot  x  y   0    senx  seny  2

Rpta.: x  45º ,135º ; y  45º ,135º

447.

tgx  tgy  3  1 Resolver:  cosx  cosy   2 2  Rpta.: x  45º; y  60º



448.

Resolver:

 x  y  arctg 2  3   3  2 3 tgy  tgx  3 



Rpta.: x  30º; y  15º

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

un pescador se encuentra sentado sobre un alcantarillado de 2m de alto a la orilla de un rio, y lanza su caña de pescar con un ángulo de 30 ° (suponiendo que la caña y el cordel juntos trazan una línea recta). La longitud de la caña y el cordel es de 5m, cuando pica un pez; si el ángulo de reflexión del pez con relación a la orilla es de 25° ¿Cuál es el ancho del rio? Rpta. L=5.40m

449.

Una escalera de mano esta apoyada contra la pared de un edificio; de tal forma que del pie de la escalera al edificio hay 1,2 m ¿A que altura del suelo se encuentra el extremo superior de la escalera, y cual la longitud de la misma, si forma un ángulo de 70° con el suelo? Rpta. H=3.297m; l=3.508m.

450.

Una torre esta situada en terreno llano directamente al norte del punto P y al oeste del punto Q, la distancia entre los puntos P y Q es de 130m. Si los ángulos de elevación del extremo superior de la torre medidos desde P y Q son respectivamente 30° y 40°, encontrar la altura h de la torre.

451.

Rpta.61.83 m. La altura de un poste es de 24 metros. Desde el pie del poste el ángulo de elevación de un campanario es de 60° y desde la parte superior del poste del ángulo de elevación es de 30° ¿Cuál es la altura del campanario? Rpta.-36m

452.

Una persona de estatura h=1.6m, observa una bandera que se encuentra sobre un pedestal de altura 1,6m bajo una ángulo de elevación de 𝝓=60°, con un ángulo de depresión igual al complemento de 60° de la base del pedestal. Calcular la altura de la bandera, si el ángulo de elevaciones a la parte superior de la bandera. Rpta. H=4.8m

453.

Una persona halla desde un punto A que el Angulo de elevación de una torre es de  grados, si avanza 6 metros sobre un plano horizontal hacia la torre encuentra qué el Angulo de elevación es 45º y acercándose 4 metros más esta vez el Angulo de elevación es 90   hallar la altura de la torre

454.

Re spuesta  H  12m 455. Un asta de bandera colocada en la punta de una torre de 24 metros de altura subtiende un ángulo de depresión de 45º, desde un punto a 30 metros de la base de la torre. entonces la altura del asta es: Re spuesta  h  6mts 456. Encontrar la altura de un edificio, si el ángulo de elevación respecto de un observador a la terraza, cambia de 30º a 60º al caminar el mismo, una distancia de 25 metros por la calle horizontal en dirección de dicho edificio.

Re spuesta  h 

25 3 2

Una persona está en lo alto de una colina que tiene 15º de inclinación respecto a la horizontal y observa una nube que está a 40 km y que tiene un ángulo de elevación de 45º.luego desciende 40 km por la colina y se da cuenta de que la nube no ha cambiado su posición ¿Cuál es la distancia desde la persona hasta la nube luego de que desciende de la colina?

457.

Re spuesta  x  40 2  3

Encontrar la altura de una torre ,si el ángulo de elevación respecto de un observador a la punta de una torre cambia de 30º a 60º grados, al caminar el mismo, una distancia de 25 metros por la calle horizontal en la dirección de la

458.

25 3 m 2 459. Una escalera puede colocarse de tal manera que alcance una ventana de 10 metros de altura de un lado de la calle y forme un ángulo de 60º con el piso; haciendo girar la escalera sin mover su base puede alcanzar otra ventana al otro lado de la calle y forma un ángulo de 45º con el piso. calcule el ancho de la calle si el ángulo de depresión de entre la primera y segunda ventana es 30º

torre

Re spuesta  H 

Re spuesta  D 



10 1  2 3

 mts

Un jugador de billar, ubicado en una de las esquinas de la mesa de billar golpea la bola con un ángulo de 45º respecto del eje horizontal (que coincide con el lado mayor), la bola recorre una distancia de 127/50 metros antes de impactar con el lado mayor opuesto y al rebotar forma un ángulo de 105º, luego impacta con el lado menor y rebota describiendo un ángulo de 60º que sigue una trayectoria que lo lleva a la misma esquina de partida ¿hallar las dimensiones de la mesa de billar? Considere

460.

sen105 

2





3 1 4

 127 2 lado.menor  d   100  Re spuesta   127 2 3  1  lado.mayor  d  200 





Si en un triángulo cualquiera ABC de lados a,b,c se cumple: 3a  7c y hallar el ángulo “A” 3b  8c

461.

Re spuesta  A  60º Desde la punta de una torre de altura “h” un observador ve a su izquierda, una piedra negra en el piso, con un ángulo de depresión 30º .exactamente sobre la piedra ve un globo con un ángulo de elevación igual al doble del de depresión. En ese mismo instante, otro observador, que se encuentra en el piso, en dirección este, respecto de la piedra negra observa el globo con un ángulo de elevación igual a la mitad del ángulo de elevación con que ve el observador de la torre. Hallar la

462.

distancia a la que se encuentra el segundo observador de la torre

Re spuesta  D  3 3h Dos vecinos miran desde las ventanas de sus respectivas casas a un avión que está a la derecha de ambos; las ventanas se encuentran separadas por 5 metros, la primera persona lo observa con un ángulo de elevación de 30º y la segunda con un ángulo de elevación de 60º. El avión sigue volando horizontalmente hacia la derecha, de modo que después de un rato, la segunda persona (que permaneció en su ventana) lo ve con un ángulo de elevación de 45º ¿Cuánto se desplazó el avión?

463.

Sugerencia

15º  45º 30º

Re spuesta  D 

464.

5





3 1 2

Un niño está en lo alto de una colina que tiene 15º de inclinación respecto a la

horizontal y está haciendo volar su cometa con un ángulo de elevación de 45º y con el cordel estirado 40 m. Luego desciende 40 m por la colina y se da cuenta de que el cometa no ha cambiado su posición ¿Cuál es la longitud del cordel luego de que el niño desciende la colina? 465.

Rpta.: 40 m

Encontrar la altura de un edificio, si el ángulo de elevación respecto de un

observador a la terraza, cambia de 30º a 60º al caminar el mismo, una distancia de 15

metros

Rpta.: H  466.

por

la

calle

horizontal

en

dirección

de

dicho

edificio.

15 3 2

Encontrar la altura de un edificio, si el ángulo de elevación respecto a la terraza

de un observador, es de 30º. Si camina con dirección al edificio una distancia de 25 metros Rpta.: H  467.

el

ángulo

de

elevación

cambia

a

60º.

25 3 2

Sobre el plano horizontal de la base de una montaña, desde un punto B, se visa

el ángulo de elevación de la cumbre igual a 60º; se avanza 100 metros en línea recta cuesta arriba sobre la falda de la montaña teniendo está pendiente 30º de

inclinación; hasta llegar a un punto C, de aquí se visa nuevamente la cumbre y se mide el ángulo de elevación de 75º. Calcular la altura de la montaña. Rpta.: H  468.

100 3 3 1

Se quiere medir la altura de un edificio ubicado cerca de una torre de menor

altura, para lo cual se mide el ángulo de elevación desde el pie de la torre hacia la azotea del edificio, que es de 60º ; y midiendo el ángulo de elevación desde la parte superior de la torre hacia la misma azotea es de 30º. Si la torre tiene 15 m de altura, calcular la altura del edificio. 469.

Rpta.: H 

45 2

Se quiere medir la altura de un edificio ubicado cerca de una torre de menor

altura, para lo cual se mide el ángulo de elevación desde el pie de la torre hacia la azotea del edificio, que es de 45º ; y midiendo el ángulo de elevación desde la parte superior de la torre hacia la misma azotea es de30º. Si la torre tiene 20 √ m de altura, calcular la altura del edificio. 470.

Rpta.: H 

60 3 1

Una escalera de puede colocarse de tal manera que alcance una ventana de 10

metros de altura de un lado de la calle y que forma un ángulo de 60º con el piso; haciendo girar la escalera sin mover su base puede alcanzar otra ventana al otro lado de la calle y que forma un ángulo de 45º con el piso. Calcule el ancho de la calle si el ángulo de depresión entre la primera y segunda ventana es de 30º. Rpta.: D  471.



10 1  2 3

  m

Dos vecinos miran desde las ventanas de sus respectivas casas a un avión que

está a la derecha de ambos, las ventanas están separadas por 5 metros la primera persona lo observa con un ángulo de elevación de 30º y la segunda lo hace con un ángulo de elevación de 60º. el avión sigue volando horizontalmente hacia la derecha, de modo que después de n rato, la segunda persona (que permaneció en su ventana) lo ve con un ángulo de elevación de 45º ¿Cuánto se desplazo el avión? Rpta.: D 

5



  m

3 1 2

472.

Desde la punta de una torre de 100 metros de alto, un observador ve en

dirección norte un avión con un ángulo de elevación de 60º y que se encuentra exactamente sobre un helicóptero en el piso al que se ve con un ángulo de depresión de 45º. En ese mismo instante en dirección sur observa una avioneta con un ángulo de elevación de 30º. Calcular la distancia entre el avión y la avioneta en ese instante sabiendo que, tomando como referencia la línea de vista del observador, la altura del avión es a la altura de la avioneta como tres es a dos. Rpta.: D 

200 21 3

AREAS SOMBREADAS 473.

Hallar el área sombreada de la siguiente figura: ( el lado del cuadrado es “x” )

Respuesta

474.

Calcular el área del circulo inscrito en el hexágono de perímetro 24 [u] Respuesta

475.

A  36  4   

Area  12 u 2 

En la figura adjunta se tiene un cuarto de círculo de radio R con centro en O y

un semicírculo de diámetro AB. Entonces el valor del área de la región sombreada será:

Respuesta

476.

Calcular el área sombreada que se muestra en la figura:

Respuesta 477.

Area  R 2

Area    2

Hallar el área achurada en la figura determinada por el cuadrado de lado L

Respuesta 478.

L2 Area  5

Hallar el área sombreada, si se sabe que el radio de cada circunferencia es el

doble del Radio de la circunferencia anterior, siendo “r” el radio de la circunferencia mas pequeña

Respuesta

479.





Area   32 2  13 r 2

En el cuadrado de lado “L”, se ha inscrito un cuarto de circunferencia y una

semicircunferencia Pequeña , como se observa en la figura. Determinar el área sombreada

Respuesta

L2 Area   32  9  32



LA RECTA 480. Hallar la ecuación de la recta que sea perpendicular a la recta 3x  2 y  6 , y que pase por el punto medio del segmento que tiene por extremos los puntos

 2, 2  y  6,6  481.

Respuesta

3y 2x  4

Un triangulo equilátero tiene uno de sus lados sobre la recta: 3x  4 y  8  0 y

el vértice opuesto al mismo está en el punto 1, 2  . La ecuación de la altura perpendicular al lado mencionado es: Respuesta 482.

3 y  4 x  10  0

Las ecuaciones de dos rectas paralelas a L: 3x  4 y  12  0 y que dista 10

unidades de esta son: Respuesta 483.

L1: 3x  4 y  38  0

L 2 : 3 x  4 y  64  0

Si los vértices de un triángulo son los puntos A (1,1), B (3,2) y C (3,4). Hallar: la

ecuación de la mediatriz del lado BC Respuesta 484.

y 1  0

La ecuación de la recta que pasa por el punto (7,8) y además es paralela a la

recta que pasa por P2 (-2,2) y P3 (3,-4) es: Respuesta 485.

6x + 5y - 82 = 0

Determinar la ecuación de una recta perpendicular a 4x- 3y +12= 0 que diste 5

unidades del Punto (3,1)

Respuesta 486.

3x + 4y +12 = 0 3x + 4y -48 = 0

Determinar la ecuación de una recta paralela a 4x- 3y +12= 0 que diste 5

unidades del punto (6,12)

Respuesta

4x  3y  37  0

4x  3y  13  0

487.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto M(2,1) y es perpendicular a

la recta 2x + 3y + 4 = 0

3x  2y  4  0

Respuesta 488.

Halle las intersecciones con los ejes coordenados, de la recta que es

perpendicular a la recta L : 2x - y + 5 = 0 y segmento que une los puntos (5;2) y (3;4)

489.

que pasa por el punto medio del Respuesta

x  10

y 5

Hallar un punto simétrico del punto P(2, -5), respecto a la recta x+y=1 (Punto

simétrico es Un punto que se encuentra a la misma distancia al otro lado de la recta)



punto simétrico Q=  6, 1

Respuesta

CIRCUNFERENCIA

490.

Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos:

 2, 0  ;  0, 2  ;  2,1 determine el centro y el radio Respuesta : 491.

 1 1 centro C=   ,    6 6

radio R=

85 18

Determine el centro y el radio de la circunferencia ,cuyo centro está sobre el

eje “Y” y que pasa por los Puntos A 1,3 y B  4, 6 

Respuesta : 492.

centro C=  0, 7 

radio R= 17

Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene como diámetro la cuerda

común de las Dos circunferencias C1 : x2  y 2  2 x  2 y  14 ,

C2 : x2  y 2  4x  4 y  2  0 Respuesta :

 x  1   y  1 2

2

8



COMBINACION RECTA Y CIRCUNFERENCIA 493. Hallar la ecuación de la circunferencia donde el centro coincide con el origen de coordenadas y la 3x  4 y  20  0

Recta

es

tangente

a

la

circunferencia.

Respuesta : x 2  y 2  16

Hallar la ecuación de la circunferencia, cuyo centro se encuentra sobre el eje “x”, su radio es igual a 3 y es tangente a la recta 3x  4 y  12  0 (considerar solo el

494.

valor positivo para el valor absoluto) Respuesta : 495.

 x  1

2

 y 2  32

Hallar las ecuaciones de las tangentes trazadas del punto ( -2,7 ) a la

circunferencia

x 2  y 2  2x  8y  12  0

Respuesta : Puntos de tangencia son: (0, 6) y (-3,5) 496.

Hallar La Ecuación de la circunferencia con centro en (-4,-1) y tangente a la

recta 3x+2y-12=0 es: Respuesta : 497.

 x  4    y  1 2

2

 52

Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y es

tangente a la recta 4x – 3y – 18= 0 en el punto (0, -6) Respuesta : 498.

 x  4    y  3 2

2

 25

Determinar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x2 - y2- 8x 6y 0

en el punto (1,1) Respuesta : 3x  4 y  1  0 499.

Hallar la ecuación de la circunferencia donde el centro coincide con el origen de

coordenadas y la recta

3x – 4y – 25 = 0 es tangente a la circunferencia.

Respuesta : x 2  y 2  25 500.

Hallar la ecuación de la circunferencia, cuyo centro se encuentra sobre el eje Y,

su radio es igual a 5 y es Tangente a la recta 3x - 4y +13 = 0 (considerar solo el

valor positivo para el valor absoluto) Respuesta : x 2   y  3  52 2

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