Bab Iv Takabeya r3x25

75

BAB IV METODA TAKABEYA

4.1 PENDAHULUAN Salah satu metoda yang sering digunakan dalam perhitungan konstruksi statis tak tentu, khususnya pada konstruksi portal yang cukup dikenal adalah perhitungan konstruksi dengan metoda TAKABEYA. Dibandingkan dengan metoda yang lain, seperti metoda Cross dan metoda Kani, untuk penggunaan metoda ini terutama pada struktur portal bertingkat banyak merupakan perhitungan yang paling sederhana dan lebih cepat serta lebih mudah untuk dipelajari dan dimengerti dalam waktu yang relatif singkat. Metoda perhitungan dengan cara Takabeya yang disajikan dalam bagian ini adalah menyangkut materi perhitungan untuk portal dengan titik hubung yang tetap dan portal dengan titik hubung yang bergerak ( pergoyangan). Mengenai hal tersebut, teks ini hanya memberikan dasar-dasar pemahaman tentang metoda Takabeya yang berhubungan dengan portal-portal yang sederhana dengan atau tanpa mengalami suatu pergoyangan. Diharapkan dari dasar-dasar ini, kita sudah dapat menghitung besarnya gaya-gaya dalam berupa momen-momen ujung (momen akhir) dari suatu batang yang menyusun konstruksi portal yang bentuknya sederhana. Persamaan - persamaan yang digunakan dalam metoda perhitungan ini hanya merupakan persamaan dasar dari Takabeya sendiri, dimana persamaan-persamaan tersebut hanya dapat digunakan khusus untuk portal yang sederhana dan hal-hal yang berhubungan dengan pergoyangan dalam satu arah saja yaitu pergoyangan dalam arah horizontal. Mengenai pergoyangan dalam dua arah ( harizontal dan vertikal) persamaan-persamaan dasar yang digunakan dalam teks ini masih perlu diturunkan lebih lanjut. Untuk menganalisa struktur portal yang sederhana, bab ini memberikan contoh-contoh perhitungan yang sudah disesuaikan dengan langkah-langkah

76

perhitungan yang sesuai dengan prosedur perhitungan dalam metoda Takabeya. Perhitungan-perhitungan yang dimaksudkan di sini adalah hanya sampai pada bagaimana menentukan momen-momen ujung ( momen akhir ) dari suatu konstruksi. Mengenai reaksi perletakan tumpuan dan atau gaya-gaya lintang dan normal yang terjadi dalam suatu penampang batang serta penggambaran diagram dari gaya-gaya dalam tersebut, sudah dibahas dalam materi perkuliahan pada Mekanika Rekayasa I dan Mekanika Rekayasa II semester sebelumnya. PERSAMAAN DASAR METODA TAKABEYA Dalam perhitungan konstruksi portal dengan metoda Takabeya, didasarkan pada asumsi-asumsi Bahwa : a. Deformasi akibat gaya aksial (Tarik dan Tekan) dan gaya geser dalam diabaikan (= 0 ). b. Hubungan antara balok-balok dan kolom pada satu titik kumpul adalah kaku sempurna. Berdasarkan asumsi-asumsi tersebut, maka pada titik kumpul akan terjadi perputaran dan pergeseran sudut pada masing-masing batang yang bertemu yang besarannya sebanding dengan momen-momen lentur dari masing-masing ujung batang tersebut. Gambar 4.1 berikut ini, memperlihatkan dimana ujung batang (titik b) pada batang ab bergeser sejauh '∆' relatif terhadap titik a. Besarnya momenmomen akhir pada kedua ujung batang ( M ab dan M ba) dapat dinyatakan sebagai fungsi dari perputaran dan pergeseran sudut.

77

Gambar 4.1 Kemudian keadaan pada gambar 4.1 tersebut, selanjutnya diuraikan menjadi dua keadaan seperti terlihat pada gambar 4.2 di bawah ini :

Gambar 4.2 Sehingga menghasilkan suatu persamaan : M ab = ∆ m ab + M ab

Persamaan 4.1

M ba = ∆ m ba + M ba Dari prinsip persamaan Slope Deplection secara umum telah diketahui bahwa : θa = ωa + ψab θb = ωb + ψab

dan

θa =

∆ m ab . L 3 EI

-

∆ m ba . L + ψab 6 EI

x2

θb =

∆ m ab . L 6EI

-

∆ m ba . L 3 EI

x1

2θa + 2θb

+ ψab

∆ m ab . L + 3ψab 2EI

Sehingga : ∆ m ab = 2 EI/L ( 2θa + θb - 3ψab ) ∆ m ba = 2 EI/L ( 2θb + θa - 3ψab ) Jika I/L = K untuk batang ab, maka :

+

78

∆ m ab = 2 E Kab ( 2θa + θb - 3ψab ) ∆ m ba = 2 E Kab ( 2θb + θa - 3ψab )

Persamaan 4.2

Masukkan Persamaan 4. 2 ke dalam persamaan 4. 1 , diperoleh : M ab = 2 E Kab ( 2θa + θb - 3ψab ) + M ab

Pers. 4.3 M ba = 2 E Kab ( 2θb + θa - 3ψab ) + M ba Oleh Takabeya, dari persamaan slope deplection ini disederhanakan menjadi : M ab = kab (2ma + mb + m ab ) + M ab M ba = kba (2mb + ma + m ba ) + M ba Dimana : m ab = -6 EK ψab ma = 2EKθa mb = 2EKθb kab = Kab/K

Persamaan 4.4

Keterangan : M ab, M ba

= Momen akhir batang ab dan batang ba (ton m).

M ab, M ba

= Momen Primer batang ab dan batang ba (ton m).

∆ mab, ∆ mba

= Koreksi momen akibat adanya pergeseran pada titik b sejauh ∆

θa, θb

= Putaran sudut pada titik a dan titik b

kab kab K ma, mb

= = = =

Angka kekakuan batang ab = K ab / K (m3) Faktor kekauan batang ab = I/L (m3) Konstanta Momen parsiil masing-masing titik a dan b akibat putaran sudut θa dan θb disebut momen rotasi di titik a dan titik b (ton m).

m ab

= Momen parsiil akibat pergeseran titik b relatif terhadap titik a sejauh ∆ disebut momen dispalcement dari batang ab (ton m ).

Perjanjian Tanda Momen ditinjau terhadap ujung batang dinyatakan positif ( + ) apabila berputar ke kanan dan sebaliknya negatif (- ) apabila berputar ke kiri

Arah momen selalu dimisalkan berputar ke kanan pada tiap-tiap ujung batang dari masing-masing free body. Apabila ternyata pada keadaan yang sebenarnya

79

berlawanan (berputar ke kiri), diberikan tanda negatif ( - ) sesuai dengan perjanjian tanda. 4. 2 PORTAL DENGAN TITIK HUBUNG YANG TETAP Yang dimaksud dengan portal dengan titik hubung yang tetap adalah suatu portal dimana pada tiap-tiap titik kumpulnya ( titik hubungnya ) hanya terjadi perputaran sudut, tanpa mengalami pergeseran titik kumpul. Sebagai contoh : •

Portal dengan struktur dan pembebanan yang simetris

•

Portal dimana baik pada struktur balok maupun kolom-kolomnya disokong

oleh suatu perletakan. Oleh karena portal dengan titik hubung yang tetap tidak terjadi pergeseran pada titik-titik hubungnya, maka besarnya nilai momen parsiil akibat pergeseran titik ( m.. ) adalah = 0. Sehingga rumus dasar dari Takabeya (persamaan 4.4 ) akan menjadi : M ab = kab (2ma + mb) + M ab M ba = kba (2mb + ma) + M ba

Persamaan. 2.5

Sebagai contoh, penerapan persamaan untuk Takabeya, perhatikan gambar berikut ini :

Berdasarkan rumus dasar dari Takabeya, maka untuk struktur di atas, diperoleh persamaan :

M 12

= k 12 (2ml + m2) + M

12

Persamaan 4.6

80

M 1A M 1C M 1E

= k 1A (2m1 + mA) + M 1A = k 1C (2ml + mC) + M 1C = k 1E (2m1 + mE) + M 1E

Keseimbangan di titik 1 = 0 == ∑ M1 = 0, sehingga : M12 + M1A + M1 + M1E = 0

Persamaan 4. 7

C

Dari persamaan 4.6 dan persamaan 4.7 menghasilkan : k 12  k   1A  k 1C    k 2m1  1E  dimana : k 12  k   1A  k 1C    k 2  1E 

+

k 12 . m 2  k . m   1A A  k 1C . m C    k 1E . m E 

= ρ1 dan

+

M12    M1A    M1C  M1E   

M 12    M 1A    M 1C  M 1E   

=0 

Pers. 4.8

γ 12 = k 12 / ρ1 γ 1A = k 1A / ρ1 γ 1C = k 1C / ρ1 = τ1

dan

γ 1E = k 1E / ρ1

Persamaan 4. 8 di atas dpt ditulis sebagai pers. momen rotasi pada titik kumpul 1 persamaan 4.6 dan persamaan 4.7 menghasilkan : − k 12 . m 2  − k . m   1A A  − k 1C . m C    − k 1E . m E   ρ1.m1 = - τ1 + − γ 12 . m 2  − γ . m   1A A   Persamaan 4.9 m1 = - (τ1/ρ1) + − γ 1C . m C    − γ 1E . m E  Untuk persamaan momen rotasi pada titik kumpul yang lainnya dapat dicari/ ditentukan seperti pada persamaan 4.9 di atas, dimana indeks/angka pertama diganti dengan titik kumpul yang akan dicari dan angka kedua diganti dengan titik kumpul yang berada di seberangnya. Perlu diingat, bahwa pada suatu perletakan jepit tidak terjadi putaran sudut sehingga besarnya mA = mB = mC = mD = mE = mF = 0

81

Untuk langkah awal pada suatu perhitungan momen rotasi titik kumpul, maka titik kumpul yang lain yang berseberangan dengan titik kumpul yang dihitung, dianggap belum terjadi rotasi. Sehingga : m1 = m1(0) = -(τ1 / ρ1) m2 = m2(0) = -(τ2 / ρ2)

m1(1)

− γ 12 . m 2 ( 0 )    (0) − γ 1A . m A  = -(τ1/ρ1) +  (0)  − γ 1C . m C  − γ . m ( 0 )   1E E 

m1(1) = m1(0)

− γ 12 . m 2 ( 0 )    (0) − γ 1A . m A  +  (0)  − γ 1C . m C  − γ . m ( 0 )   1E E 

dan seterusnya dilakukan pada titik 2 sampai hasil yang konvergen (hasil-hasil yang sama secara berurutan pada masing-masing titik kumpul) yang berarti pada masingmasing titik kumpul sudah terjadi putaran sudut. Setelah pemberesan momen-momen parsiil mencapai konvergen, maka untuk mendapatkan momen akhir (design moment), hasil momen parsiil selanjutnya disubtitusikan dalam persamaan 2. 6 sebagai persamaan dasar. Sebagai contoh : pemberesan momen parsiil dicapai pada langkah ke-7 maka pada titik kumpul 1 adalah : M12 = M12(7) = k12 (2m1(7) + m2(7)) + M12 M1A = M1A(7) = k1A (2m1(7) + ma(7)) + M1A M1C = M1C(7) = k1C (2m1(7) + m2(7)) + M1C M1D = M1E(7) = k1E (2m1(7) + ma(7)) + M1E Keseimbangan di titik kumpul 1 = 0 == ∑ M1 = 0 M12 + M1 + M1 + M1 = 0 A

C

E

Apabila ∑ M1 ≠ 0, maka momen-momen perlu dikoreksi.

82

Koreksi momen akhir : M12 = M12 ± [( k12 / ( k12 + k1A + k1C + k1E )) x ∆M] Berikut ini diberikan beberapa contoh/kasus pada suatu konstruksi portal dengan titik kumpul yang tetap. Contoh 1 : Hitung momen akhir dan reaksi perletakan dengan metode Takabeya

Penyelesaian: A.Menghitung Momen-momen Parsiil. 1. Hitung Angka Kekakuan Batang (k) K1A = I/H = 1/4 = 0,2500 m3 K12 = I/L = 1/6 = 0,1667 m3 K2B = I/H = 1/4 = 0,2500 m3 ==Konstanta K diambil =1 m3 Jadi : k1A = K1A/K = 0,2500, k12 = K12/K = 0,1667, k2B = K2B/K = 0,2500 2. Hitung Nilai p tiap titik hubung : ρ1 = 2 (k1A+ k12 ) = 2 ( 0,2500 + 0,1667) = 0,8333 ρ2 = 2 ( k12 + k2B ) = 2 ( 0,1667 + 0,2500 ) = 0,8333 3. Hitung Nilai γ (Koefisien Rotasi) batang :

83

γ 1A = k1A / ρ1 = 0,2500 / 0,8333 = 0,3 γ 12 = k12 / ρ1 = 0,1667 / 0,8333 = 0,2 γ 21 = k21 / ρ2 = 0,1667 / 0,8333 = 0,2 γ 2B = k2B / ρ2 = 0,2500 / 0,8333 = 0,3 4. Hitung Momen Primer ( M ) : M12 = - (1/12.q .L2 + /8 . P.L) = -(1/12.3.62+1/8.4.6) = -12 tm M 21 = 12 tm 5. Hitung Jumlah momen primer tiap titik hubung (τ) : τ1 = M12 + M1A = -12 + 0 = -12 tm τ2 = M 21 + M 2 B = 12 + 0 = 12 tm 6. Hitung Momen rotasi Awal (m0) m10 = - (τ1 / ρ1) = - (- 12 / 0,8333 ) = 14,40 tm m20 = - (τ2 / ρ2) = - (12 / 0,8333) = -14,40 tm B. Pemberesan Momen-momen Parsiil Pemberesan momen parsiil dimulai dari titik 1 ke titik 2 dan kembali ke titik 1 kemudian ke titik 2 dan seterusnya, secara beraturan. Langkah 1 m11 = m10 + (-γ 12 . m20) = 14,40 + (-0,2 . 14,400) = m21 = m20 + (-γ 21 . m21) = -14,40 + (-0,2 . 11,520) Langkah 2 m12 = m10 + (-γ 12 . m21) = 14,40 + (-0,2 . -16,704) = m22 = m20 + (-γ 21 . m12) = -14,40 +(- 0,2 . 17,741 ) Langkah 3 m13 = m10 + (-γ 12 . m22) = 14,40 + (-0,2 . -17,948) = m23 = m20 + (-γ 21 . m13) = -14,40 + (-0,2 . 17,990) =

11,520 = -16,704 17,741 = -17,948 17,990 -17,998

Langkah 4 m14 = m10 + (-γ 12 . m23) = 14,40 + (-0,2 . - 17,998)= 18,000 m24 = m20 + (-γ 21 . m14) = -14,40 + (-0,2 . - 17,998)= -18,000

Langkah 5

m15 = m10 + (-γ 12 . m24) = 14,40 + (-0,2 . -18,000) = 18,000 5 0 5 m2 = m2 + (-γ 21 . m1 ) = -14,40 + (- 0,2 . 18,000 )= - 18,000 C. Perhitungan Momen Akhir (design moment).

84

M12 = M12(5) = k12 (2m1(5) + m2(5)) + M12 = 0,16667 (2. 18,000 + -18,000) + (-12)

= -9,000 tm

M1A = M1A(5) = k1A (2m1(5) + mA(5)) + M1A = 0,2500 (2. 18,000 + 0

) +

0

= 9,000 tm

M21 = M21(5) = k21 (2m2(5) + m1(5)) + M 21 = 0,16667 (2.-18,000 + 18,000) + (12)

= 9,000 tm

M2B = M2B(5) = k2B (2m2(5) + mB(5)) + M 2 B = 0,2500 (2.-18,000 +

0

) +

0

= -9,000 tm

= 0,2500 ( 2.0 + 18,000) + ( 0 )

= 4,5000 tm

MA1 = MA1(5) = kA1 (2mA(5) + m1(5)) + M A1 MB2 = M B2(5) = kB2 (2mB(5) + m2(5) ) + M B 2 = 0,2500

( 2.0 + -18,000) + (0)

= -4,5000 tm

Catatan : Oleh karena pada suatu perletakan jepit tidak terjadi perputaran sudut, maka besarnya nilai mA = mB = 0. Diagram Fase Body Momen Struktur.

Reaksi Perletakan :

85

∑M1 = 0 ( tinjau batang 1 A ) HA = H 1 = (MA1 + M1A) / 4 = ( 4,500 + 9,00 ) / 4 = 3,375 ton ( arah ==) A

∑M2 = 0 ( tinjau batang 2 B ) HB =HB2 = (MB2 + M2B) / 4 = ( 4,500 + 9,00 ) / 4 = 3,375 ton ( arah == ) ∑M2 = 0 ( tinjau batang 1 2 ) V12 . 6 - P . 3 – ½ q L2 + M21 – M12 = 0 V12 = (P . 3 + ½ q L2 - M21 – M12) / 6 V12 = (4 . 3 + ½ . 3 . 62 - 9,000 + 9,000 ) / 6 = 11,000 ton VA = VA1 = V12 = 11,000 ton ∑M1 = 0 ( tinjau batang 1 2 ) -V21 . 6 + P . 3 + ½ q L2 + M21 – M12 = 0 V21 = ( P . 3 + l/2 q L2 + M21 – M12 ) / 6 V21 = ( 4 . 3 + ½ . 3 . 62 + 9,000 - 9,000 ) / 6 = 11,000 ton VB = VB2 = V21 = 11,000 ton Catatan : Arah momen pada diagram freebody di atas sudah merupakan arah yang sebenarnya, sehingga nilai momen yang digunakan dalam perhitungan sudah merupakan nilai positif (+). Contoh 2 : Suatu portal dengan struktur dan pembebanan yang simetris, seperti gambar disamping, dengan masingmasing nilai / angka-angka kekakuan batang (k) langsung diberikan ( setelah faktor kekakuan Kab dibagi dengan konstanta K ) k1A = k16 = k3C = k34 = 1 k12 = k23 = k65 = k54 = 0,75 k2B = k25 = 1,5 Hitunglah momen-momen ujung batang dengan metoda takabeya. Penyelesaian :

86

A. Menghitung momen-momen parsiil. 1.

Angka kekakuan batang

(diketahui) Nilai ρ tiap titik hubung

2. ρ1 = 2 ( 1+0,75+ 1) = 5,5 ρ2 = 2 (1,5 + 0,75 + 1,5 + 0,75) = 9 ρ3 = 2 (l + 0,75 + l) = 5,5 ρ4 = 2 (l+0,75) = 3,5 ρ5 = 2 (1,5 + 0,75 + 0,75 ) =6 ρ6 = 2 (l+0,75) = 3,5

Nilai γ (koefisien rotasi)

3. batang pada titik hubung γ 1A =1/5,5 = 0,1818 γ 3C = 1/5,5 = 0,1818 γ 12 = 0,75/5,5 = 0,1364 γ 32 = 0,75/5,5 = 0,1364 γ 16 = 1/5,5 = 0,1818 γ 43 = 1/3,5 = 0,2857 γ 52 = 1,5 /6 = 0,2500 γ 45 = 0,75/3,5 = 0,2143 γ 65 = 0,75/3,5 = 0,2143 4. M... ) M12 = -l/12 .6 .52 = -12,5 tm M 21 = 12,5 tm M 65 = -1/12 . 3.52 = - 6,25 tm M 56 = 6,25 tm

γ 2B= 1,5/9

γ 21 = 0,75 / 9 = 0,0833 γ 23 = 0,75 / 9 = 0,0833 γ 61 = 1/3,5 = 0,2857 γ 34 = 1/5,5 = 0,1818 γ 25 = 1,5 / 9 = 0,1667 γ 54 = 0,75 /6 = 0,1250 γ 56 = 0,75 /6 = 0,1250 Momen primer batang ( M 23 = -l/12 . 6.52 = -12,5 tm M 32 = 12,5 tm M 54 = -1/12 . 3.52 = - 6,25 tm M 45 = 6,25 tm

5. tiap titik hubung (τ) τ1 = 0 + (-12,5) + 0 = -12,5 τ2 = 0 + 12,5 + (-12,5) + 0 = 0 τ3 = 0 + 12,5 + 0 = 12,5 6. m10 = -(-12,5/5,5) = 2,2727 m20 = - (0 / 9 ) = 0 m30 = -(12,5/5,5) = -2,2727

= 0,1667

Jumlah

momen

primer

τ4 = 0 +6,25 = 6,25 τ5 = 0 +(-6,25) +6,25 = 0 Momen rotasi awal (m m40 = -(6,25/3,5) = -1,7857 m50 = - ( 0 / 5,5) = 0 m60 = -(-6,25/3,5) =1,7857

87

B. Pemberesan Momen Parsiil. Pemberesan momen parsiil dimulai secara berurutan mulai dari titik (1) ke titik (2), (3), (4), (5), (6) dan kembali ke titik (1), (2), (3), (4), (5) dan seterusnya. m11

m21

m31

m41

m51

m61

= + m10 = + (-γ 12) (m20) = + (-γ 16) (m60) = + m20 = + (-γ 21) (m11) = + (-γ 23) (m30) = + (-γ 25) (m50) = + m30 = + (-γ 32) (m21) = + (-γ 34) (m40)

= + m40 = + (-γ 43) (m31) = + (-γ 45) (m50) = + m50 = + (-γ 54) (m41) = + (-γ 52) (m21) = + (-γ 56) (m60) = + m60 = + (-γ 65) (m51) = + (-γ 61) (m11)

m11

= 2,2727 = 0 = -0,3246 = 1,9481

m21

= 0 = -0,1623 = 0,1893 = 0 = 0,027

(-0,1364) ( 0 ) (-0,1818) ( 1,7857 )

(-0,0833) ( 1,9481 ) (-0,0833) ( -2,2727 ) (-0,1667) ( 0 )

= -2,2727 = -0,0037 = 0,3246

(-0,1364) ( 0,027 ) (-0,1818) ( -1,7857 ) m31

= -1,9517

m41

= -1,7857 = 0,5576 = 0 = -1,2281

m51

= 0 = 0,1535 = -0,0068 = -0,2232 = -0,0765

m61

= 1,7857 = 0,0164 = -0,5566 = 1,2455

(-0,2857) ( -1,9517 ) (-0,2143) ( 0 )

(-0,1250) ( -1,2281 ) (-0,2500) ( 0,0270 ) (-0,1250) ( 1,7857 )

(-0,2143) ( -0,0765 ) (-0,2857) ( 1,9481 )

Untuk selanjutnya berikut ini diperlihatkan perhitungan secara skematis:

2.2727 1.9481 2.0426 2.0531 2.0545 2.0547 2.0548 2.0548 2.0548

-0.2857

0.0000 -0.0765 -0.0090 -0.0013 -0.0003 -0.0001 0.0000 0.0000 0.0000

-0.1818

-0.1818

= = = = = = = = =

= = = = = = = = =

-0.1364 3

-0.0833 2 -0.0833

1 -0.1364 m10 m11 m12 m13 m14 m15 m16 m17 m18

m50 m51 m52 m53 m54 m55 m56 m57 m58

m20 m21 m22 m23 m24 m25 m26 m27 m28

= = = = = = = = =

m40 m41 m42 m43 m44 m45 m46 m47 m48

= -1.7857 = -1.2281 = -1.1836 = -1.1959 = -1.1982 = -1.1986 = -1.1986 = -1.1986 = -1.1986

m30 m31 m32 m33 m34 m35 m36 m37 m38

= -2.2727 = -1.9517 = -2.0501 = -2.0577 = -2.0554 = -2.0549 = -2.0548 = -2.0548 = -2.0548

-0.1818

1.7857 1.2455 1.2041 1.1994 1.1988 1.1987 1.1987 1.1986 1.1986

-0.2143 4

-0.1667

= = = = = = = = =

-0.1818

m60 m61 m62 m63 m64 m65 m66 m67 m68

-0.2500

-0.1250 5 -0.1250

6 -0.2143

-0.1667

-0.2857

88

0.0000 0.0270 0.0052 0.0013 0.0005 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000

A B C. Perhitungan Momen Akhir (design moment).

C

Dari hasil perhitungan pemberesan momen parsiil secara skematis pada halaman depan, dicapai hasil konvergensi pada langkah ke - 8 , dengan nilai-nilai sebagai berikut:

89

m18 = 2,0548 m48 = -1,1986

m28 = 0,0000 m58 = 0,0000

m38 = -2,0548 m68 = 1,1986

Untuk perhitungan besarnya momen-momen akhir dari struktur, selanjutnya dilakukan sebagai berikut: Titik. 1 M1A = k1A (2m1(8) + mA(8)) + M1A = 1 (2 . 2,0548 + 0 ) + 0 = 4,1096 tm (8) (8) M12 = k12 (2m1 + m2 ) + M12 = 0,75 (2 . 2,0548 + 0 ) + (-12,50) = -9,4178 tm M16 = k16 (2m1(8) + m6(8)) + M16 = 1 (2 . 2,0548 + 1,1986 ) + 0 = 5,3082 tm ∆M = 0 tm Titik. 2 M2B = k2B (2m2(8) + mB(8)) + M 2 B = 1,5 (2 .0 + 0 ) + 0 M21 = k21 (2m2(8) + m1(8)) + M 21 = 0,75 (2 . 0 + 2,0548) + 12,50

= 0 tm = 14,0411 tm

M23 = k23 (2m2(8) + m3(8)) + M 23 = 0,75 (2 . 0 + 2,0548) + (-12,50) =-14,0411 tm M25 = k25 (2m2(8) + m5(8)) + M 25 = 1,5 (2 .0 + 0 ) + 0 ∆M

Titik. 3 M3C = k3C (2m3(8) + mC(8)) + M 3C = 1 (2 .(-2,0548) + 0)) + 0 M32 = k32 (2m3(8) + m2(8)) + M 32 = 0,75 (2 .(-2,0548) + 0) + 12,50 M34 = k34 (2m3(8) + m4(8)) + M 34 = 1 (2 .(-2,0548) + (-1,1986)) + 0 ∆M Titik. 4 M43 = k43 (2m4(8) + m3(8)) + M 43 = 1 (2 .(-1,1986) + (-2,0548)) + 0 M45 = k45 (2m4(8) + m5(8)) + M 45 = 0,75 (2 .(-1,1986) + 0) + 6,25 ∆M Titik. 5 M52 = k52 (2m5(8) + m2(8)) + M 52 = 1,5 (2 .0 + 0 ) + 0 M54 = k54 (2m5(8) + m4(8)) + M 54 = 0,75 (2 .0 + (-1,1986)) + (-6,250) M56 = k56 (2m5(8) + m6(8)) + M 56 = 0,75 (2 .0 + 1,1986) + 6,250 ∆M Titik. 6 M61 = k61 (2m6(8) + m1(8)) + M 61 = 1 (2 . 1,1986 + 2,0548) + 0 M65 = k65 (2m6(8) + m5(8)) + M 65 = 0,75 (2 . 1,1986 + 0) + (-6,25) ∆M Titik. A MA1 = kA1 (2mA(8) + m1(8)) + M A1 = 1 (2 . 0 + 2,0548 ) + 0 Titik. B MB2 = kB2 (2mB(8) + m2(8)) + M B 2 = 1,5 (2 . 0 + 0 ) + 0

= =

0 0

tm tm

= -4,1096 tm = 9,4178 tm =-5,3082 tm = 0 tm = -4,4520 tm = 4,4520 tm = 0 tm = 0 tm = -7,1490 tm = 7,1490 tm = 0 tm = 4,4520 tm = -4,4520 tm = 0 tm = 2,0548 tm

= 0

tm

90

Titik. C MC3 = kC3 (2mC(8) + m3(8)) + M C3 = 1 (2 . 0 + (-2,0548)) + 0 Gambar diagram freebody moment

= -2,0548 tm

Catatan : Nilai Momen disesuaikan dengan arahnya Analisa sumbu simetri dari suatu struktur dan pembebanan yang simetris. Suatu struktur dengan pembebanan yang simetris dapat dianalisa sebagian dari struktur tersebut berdasarkan sumbu simetrinya. Untuk analisa seperti ini, tergantung apakah sumbu simetri dari struktur tersebut tepat berada pada tumpuan / kolom tengah (bentangan genap) atau sumbu simetri berada pada bentangan tengah (bentangan ganjil).

91

Untuk struktur dengan bentang genap, persamaan-persamaan yang ada pada halaman depan dapat digunakan sedangkan untuk struktur dengan bentangan ganjil, persamaan yang ada tersebut, haruslah dikoreksi terutama pada hal-hal yang berhubungan dengan bentangan tengah tersebut. Berikut ini diperlihatkan satu contoh struktur dengan bentangan ganjil, angkaangka kekakuan batang langsung pada masing-masing batang pada gambar di bawah ini. Untuk dapat memahami analisa seperti ini, coba perhatikan langkah-langkah penyelesaian yang akan diuraikan sebagai berikut : Contoh. 3 :

A. Menghitung Momen Parsiil. 1. Angka Kekakuan (k) = diketahui (lihat gambar) 2. Hitung Nilai ρ tiap titik hubung. ρ1

= 2 (k1A + k12) = 2 (1 + 1,5) = 5

ρ2

= 2(k21+k2B+k23) = 2(1,5 +1+1,5) = 8  p’2 = ρ2 – k23 = 6,5

3. Hitung Nilai γ (Koefisien rotasi) batang. γ 1A = k1A/ρ1 = 1/5 = 0,200 γ 12 = kl2/ρ1 = 1,5/5 = 0,300

92

γ’21 = k21/ρ’2 = 1,5/6,5 = 0,231 γ’2B = k2B/ρ’2 = 1/6,5 = 0,154 γ’23 = k23/ρ’2 = 1,5/6,5 = 0,231 4. Hitung Momen Primer ( M ) M12 = -1/12 . q . L2 = -1/12 . 3 . 42 = -4 tm  M 21 = 4 tm M 23 = -1/8 P. L

= -1/8 . 4 . 3 = -1,5 tm  M 321 =1,5 tm

5. Hitung Jumlah momen primer tiap titik hubung (τ ) τ1

= M12 + M1A = -4 + 0 = -4 tm

τ2

= M 21 + M 2 B + M 23 = 4 + 0+ (-1,5) = 2,5 tm

6. Hitung Momen rotasi Awal ( m0) m10 = -(τ1 / ρ1) = - (-4 / 5) = 0,8000 tm m20 = -(τ2 / ρ’2) = - (2,5 / 6,50)

= -0,3846 tm

B. Pemberesan Momen-momen Parsiil Pemberesan momen parsiil dimulai dari titik 1 ke titik 2 dan kembali ke titik 1 kemudian ke titik 2 dan seterusnya, secara berurutan.

Langkah 1 m11 = m10 + (-γ 12 . m20) = 0,800 + (-0,3 .(-0,3846))

= 0,91538

m21 = m20 + (-γ 21 . m11) =-0,3846 + (-0,231 .0,91538)

= -0,59605

Langkah 2 m12 = m10 + (-γ 12 . m21) = 0,800 + (-0,3 .(- 0,59605))

= 0,97882

m22 = m20 + (-γ’21 . m12) =-0,3846 + (-0,231 . 0,97882)

= -0,61071

Langkah 3 m13 = m10 + (-γ 12 . m22) = 0,800 + (-0,3 .(- 0,61071)) m23 = m20 + (-γ’21 . m13) =-0,3846 + (-0,231 . 0,98321) Langkah 4 m14 = m10 + (-γ 12 . m23) = 0,800 + (-0,3 .(- 0,61071)) m24 = m20 + (-γ’21 . m14) =-0,3846 + (-0,231 . 0,98351) Langkah 5 m15 = m10 + (-γ 12 . m24) = 0,800 + (-0,3 .(- 0,61179)) m25 = m20 + (-γ’21 . m15) =-0,3846 + (-0,231 . 0,98354) Langkah 6

= 0,98321 = -0,61172 = 0,98321 = -0,61179 = 0,98354 = -0,61180

93

m16 = m10 + (-γ 12 . m25) = 0,800 + (-0,3 .(- 0,61180)) m26 = m20 + (-γ’21 . m16) =-0,3846 + (-0,231 . 0,98354) Langkah 7 m17 = m10 + (-γ 12 . m26) = 0,800 + (-0,3 .(- 0,61180)) m27 = m20 + (-γ’21 . m17) =-0,3846 + (-0,231 . 0,98354)

= 0,98354 = -0,61180 = 0,98354 = -0,61180

C. Perhitungan Momen Akhir (design moment) Titik. 1 M1A = k1A (2m1(7) + mA(7) + M1A = 1 (2 . 0,98354 + 0) + 0 M12 = k12(2m1(7)+ m2(7)+ M12 =1,5(2 .0,98354+(-0,61180)+(-4) Titik. 2 M21 = k21(2m2(7) + m1(7) + M 21 = 1,5 (2 .(0,6118)+ 098354) + 4 M2B = k2B (2m2(7) + mB(7) + M 2 B = 1 (2 . (-0,6118) + 0) + 0 M23 = k23 (m2(7) + M 23 = 1,5 (-0,6118) + (-1,5)

= 1,96708tm = -1,96708 tm ∆M = 0 tm

∆M

= 3,63991 tm = -1,22360 tm = -2,41770 tm = -0,00139 tm

∆M

=0

Pada titik 2 perlu koreksi momen sebagai berikut: M21 = 3,63991 – (1,5 / 4) . (-0,00139) = 3,64043 M2B =-1,22360 – (1 / 4) . (-0,00139) = -1,22325 M23 =-2,41770 – (1,5 / 4) . (-0,00139) = -2,41718

tm

MA1 = kA1 (2mA(7) + m1(7) + M A1 = 1 (2 . 0 + 0,98354) + 0 = 0,98354tm MB2 = kB2 (2mB(7) + m2(7) + M B 2 = 1 (2 . 0 + (-0,61180)) + 0 = -0,61180 tm Catatan: Harga-harga momen akhir ( design moment ) pada bagian kanan sumbu simetri hasilnya sama simetris dengan sebelah kiri sumbu simetri ( sama besar tetapi mempunyai arah yang berlawanan). Perhatikan diagram free body pada halaman berikut ini:

94

Gambar diagram freebody moment

Catatan : Nilai Momen disesuaikan dengan arahnya

95

4.3 PORTAL DENGAN TITIK HUBUNG YANG BERGERAK Yang dimaksud dengan portal dengan titik hubung yang bergerak adalah portal dimana pada masing-masing titik hubungnya terjadi perputaran sudut dan pergeseran (pergoyangan). Umumnya suatu konstruksi portal bertingkat mempunyai pergoyangan dalam arah horizontal saja. Beban-beban horizontal yang bekerja pada konstruksi, dianggap bekerja pada regel-regel (pertemuan balok dengan kolom tepi) yang ada pada konstruksi tersebut. Untuk menganalisa konstruksi portal dengan titik hubung yang bergerak, persamaan-persamaan 4.1 sampai dengan persamaan 4.4 pada halaman depan tetap digunakan. Disamping persamaan-persamaan tersebut, persamaan-persamaan yang berhubungan dengan pengaruh pergoyangan berikut ini juga akan sangat membantu dalam penyelesaian dari struktur portal bergoyang tersebut. Momen Displacement ( m.. ). Besarnya nilai m.. dipengaruhi oleh jumlah tingkat yang ada pada struktur portal. Coba perhatikan portal (gambar 4.4), dengan freebody tingkat atas dan bawah pada gambar 4.4a dan 4.4b berikut ini :

Gambar 4.4

96

Dari freebody pada gbr 4.4a dan 4.4b, diperoleh persamaan sebagai berikut : Freebody 4-5-6  ∑H=0  W1 = H4+ H5+ H6 ----- Pers. 4.11 M 61   + h1 . H6 = 0 ----- Pers. 4.12 M16 

Freebody 1-6

∑M6 = 0  

Freebody 2-5

∑M5 = 0  M  + h1 . H5 = 0 ----- Pers. 4.13  25  M 43   + h1 . H4 = 0 ----- Pers. 4.14 ∑M4 = 0   M 34 

Freebody 3-4

M 52 

Dari persamaan 4.11 s/d 4.14, diperoleh :

M 61  M 52  M 43   +  +  + h1 . (W1) = 0 M M M  16   25   34 

----- Pers. 4.15

Bila dimasukkan harga-harga pada persamaan 4.4, maka : M61 = k16 (2m6 + m1 + m 61 ) M16 = k16 (2m1 + m6 + m16 )

M 61    = 3 k16 { m1 + m6 } + 2 k16. m I -------- Persamaan 4.16a M  16   M 52    = 3 k25 { m2 + m5 } + 2 k25. m I -------- Persamaan 4.16b M  25 

M 43    = 3 k34 { m3 + m4 } + 2 k34. m I -------- Persamaan 4.16c M  34  Catatan : m I = m16 = m25 = m34 Dari persamaan 2.16a, 2.16b, 2.16c, maka persamaan 2.15 dapat dituliskan menjadi:

2 mI

k 16    k 25  = -h1 (W1) k   34 

+

( − 3k ) {m + m  16 1 6    ( − 3k 25 ) {m2 + m5  ---  ( − 3k34 ) {m3 + m4 

Pers. 2.17

97

3k 16 TI

Jika :

k 16    2 k 25  k   34 

=

TI

dan

= t16

3k 25 = t25 TI

3k 34 TI

------- Pers. 4.18

= t34

Maka Persamaan 4.17 dapat dituliskan menjadi:

mI

=

+ ( − t 16 ) {m1 + m 6 } h1{W1} + ( − t 25 ) {m 2 + m 5 } ------- Persamaan 4.19 TI + ( − t 34 ) {m 3 + m 4 }

Persamaan 4. 19 disebut persamaan momen displacement pada tingkat atas. Langkah perhitungan untuk momen displacement dilakukan pertama-tama dengan anggapan bahwa pada titik-titik kumpul belum terjadi perputaran sudut (m4 = m5 = m6 = 0) sehingga persamaan tersebut ( persamaan 4.19 ) menjadi :

mI

(0)

=

-

h1{W1} TI

-------- Persamaan 4.20

Dengan cara yang sama ( lihat gambar 2.4c ), maka persamaan momen displacement untuk tingkat bawah akan diperoleh :

2 m II

 (− 3k1A ) {m1 + m A  k 1A      k 2 B = -h2 (W1 +W2)+  (− 3k 2 B ) {m 2 + m B  ----k   (− 3k ) {m + m   3C  3C 3 C 

Jika :

3k 1A TII

= t1A

Pers. 4.21

98

k 1A    2 k 2 B  = TII k   3C 

dan

3k 2 B TII 3k 3C TII

= t2B

--------

Pers. 4.22

= t3C

Maka Persamaan 4.17 dapat dituliskan menjadi:

m II

+ (− t1A ) {m1 + m A }

=

-

h 2 {W1 + W2 } + (− t 2 B ) {m 2 + m B } ------ Persamaan 4.23 TII

+ (− t 3C ) {m 3 + m C }

Persamaan 4. 23 tersebut di atas disebut persamaan momen displacement pada tingkat bawah. Langkah perhitungan untuk momen displacement ini dilakukan pertama-tama dengan anggapan bahwa pada titik-titik kumpul belum terjadi perputaran sudut (m1= m2 = m3 = 0) dan pada titik A, B, C dengan mA, mB dan mC sama dengan 0 ( nol ) sehingga persamaan tersebut ( persamaan 4.23 ) menjadi: h 2 {W1 + W2 } -------- Persamaan 4.24 TII Berikut ini diperlihatkan contoh penerapan persamaan-persamaan dari takabeya serta m II

(0)

=

-

analisa / penyelesaian contoh soal yang ada. Contoh. 4 : Suatu portal dengan struktur dan pembebanan seperti gambar di samping, dengan masing-masing nilai / angkaangka kekakuan batang (k) langsung diberikan (setelah faktor kekakuan Kab dibagi dengan konstanta K ) k1A= k16 = k30 = k34 = 1 k12 = k23 = k65 = k54 = 0,75 k2B = k25 = 1,5 Hitunglah momen-momen ujung batang dengan metoda takabeya. Penyelesaian:

99

A. Menghitung momen-momen parsiil. 1. Angka kekakuan batang (diketahui pada gambar struktur) 2. Nilai ρ, γ, M primer, τ dan momen rotasi awal (m0)  perhitungan dapat anda lihat pada contoh. 2 sebelumnya : ρ1 = 5,5 ρ2 = 9

ρ3 = 5,5 ρ4 = 3,5

ρ5 = 6 ρ6 = 3,5

γ 1A = 0,1818 γ 2B = 0,1667 γ 23 = 0,0833 γ 12 = 0,1364 γ 21 = 0,0833 γ 25 = 0,1667 γ 16 = 0,1818 M12 = -12,5 tm M 21 = 12,5 tm

M 23 = -12,5 tm M 32 = 12,5 tm

γ 3C = 0,1818 γ 32 = 0,1364 γ 34 = 0,1818

M 65 = -6,25 tm M 54 = -6,25 tm M 56 = 6,25 tm M 45 = 6,25 tm

τ1 = -12,5 τ2 = 0

τ3 = 12,5 τ4 = 6,25

m10 = 2,2727 m20 = 0

m30 = -2,2727 m40 = -1,7857

τ5 = 0 τ6 = -6,25 m50 = 0 m60 = 1,7857

B. Momen Displacement. Tingkat atas  TI = 2 (k16 + k25 + k34) = 2 (1+1,5 + 1) = 7 t16 = 3 k16 / TI = 3.1/7 = 0,4286 t25 = 3 k25 / TI = 3.1,5/7 = 0,6429 t34 = 3 k34 / TI = 3.1/7 = 0,4286 0 m II = -(W1 . h1) / TI = -(1,2 . 4) / 7 = -0,6857

Tingkat atas  TI = 2 (k16 + k25 + k34) = 2 (1+1,5 + 1) = 7 t1A = 3 k1A / TII = 3.1/7 = 0,4286 t2B = 3 k2B / TII = 3.1,5/7 = 0,6429 t3C = 3 k3C / TII = 3.1/7 = 0,4286 0 m II = -{h2 (W1 + W2)} / TII = -{4 (1,2 + 2)} / 7 = -1,8286

100

C. Pemberesan momen parsiil, Momen displacement Perbesaran momen parsiil langkah 1 dimulai dari titik (1) ke titik (2), (3), (4), (5), (6)dan dilanjutkan dengan pemberesan momen displacement langkah 1. m11 = + m10 = + (-γ 1A) ( m II 0 )

(-0,1818) (-1,8286)

= 2,27270 = 0,33244

0

(-0,1364) (0)

= 0

0

(-0,1818) {1,7857 +(-0,6857)}

= + (-γ 12) ( m 2 ) = + (-γ 16) ( m 6 + m I 0 )

m11 m21 = + m20 1 = + (-γ 21) ( m1 ) = + (-γ 2B) ( m II 0 ) = + (-γ 23) ( m 3 0 0

= + (-γ 25) ( m 5 + m I 0 )

(-0,0833) (2,40516)

= 0 = -0,20035

(-0,1667) (-1,8286) (-0,0833) (-2,2727)

= 0,30482 = 0,18932

(-0,1667) {0 +(-0,6857)} m

m

1 3

1 2

0 3

=+m 1 = + (-γ 32) ( m 2 ) = + (-γ 3C) ( m II 0 ) 0

0

= + (-γ 34) ( m 4 + m I )

0

= + (-γ 45) ( m 5 )

= 2,27270 = -0,05566

(-0,1818) (-1,8286)

= 0,33244

(-0,1818) {(-1,7857) +(-0,6857)}

=

m41

= 0 = -1,14792 = 0 = -0,14349

1

(-0,2500) {(0,40810) + (-0,6857)}

= 0,06940

0

(-0,1250) (1,7857)

= -0,22321

= + (-γ 56) ( m 6 )

m51 m

= -1,54662

(-0,1250) (-1,14792)

= + (-γ 52) ( m 2 + m I 0 )

1 6

0,44930

= -1,78570 = 0,63777

(-0,2857) {(-1,54662) +(-0,6857)} (-0,2143) (0)

m51 = + m50 1 = + (-γ 54) ( m 4 )

= -0,11431 = 0,40810

(-0,1364) (0,40810)

m31 m41 = + m40 1 = + (-γ 43) ( m 3 + m I 0 )

= -0,19998 = 2,40516

0 6

=+m

= -0,01032 = 1,78570

1 5

= + (-γ 65) ( m ) 1 1

0

= + (-γ 61) ( m + m I )

(-0,2143) (-0,01032)

= 0,00221

(-0,2857) {(2,40516) + (-0,6857)}

= -0,49125 m61

= 1,29666

Untuk pemberesan momen displacement langkah 1, sebaiknya digunakan nilai-nilai dari hasil pemberesan momen parsiil langkah 1. Seperti yang dilakukan sebagai berikut : Tingkat atas : Langkah. 1

101

1 0 = -0,68570 mI = + mI 1 1 +(-t16) ( m1 + m 6 ) = (-0,4286)(2,40516 +1,29666) = -1,58660 1

+(-t25) ( m 21 + m 5 ) = (-0,6429)(0,40810 - 0,01032) = -0,25573 1

+(-t34) ( m 3 + m 41 ) = (-0,4286) -1,54662 - 1,14792) = 1,15488 = -1,37315 Tingkat bawah : Langkah 1 1 0 m II = + m II + (-t1A) ( m11 ) = (-0,4286) (2,40516)

= -0,82860 = -1,03085

+ (-t2B) ( m 21 ) = (-0,6429) (0,40810)

= -0,26237

1 3

+ (-t3C) ( m ) = (-0,4286) (-1,54662)

= 0,66288 = -2,45894

Setelah pemberesan momen displacement pada langkah ke-l selesai, maka dilanjutkan kembali dengan rotasi momen parsiil pada langkah ke-2. Seperti pada langkah-1 yang dimulai dari titik 1 ke titik 2, 3, 4, 5 dan titik 6 kemudian pemberesan momen displacement kembali dilakukan untuk langkah ke-2 . Demikian seterusnya sampai dicapai hasil yang konvergen, seperti yang diperlihatkan pada skema perhitungan pada halaman berikut ini. Catatan : Sebenarnya, pemberesan rotasi momen parsiil dan rotasi momen displacemen tingkat, tidak perlu dilakukan sampai hasil yang betul-betul konvergen, akan tetapi apabila sudah mendekati tingkat konvergensi, maka rotasi momen sudah dapat dihentikan. Adapun mengenai tidak tercapainya keseimbangan momen pada suatu titik kumpul, kita akan lakukan koreksi momen dan mendistribusikannya ke batangbatang bersangkutan.

102

Perhitungan secara skematis dilakukan sesuai dengan rumusan yang telah dijelaskan/

A

B

m20 m21 m22 m23 m24 m25 m26 m27 m28 m29 m210 m211 m212 m213 m214 m215 m216 m217 m218

= 0.00000 = 0.40810 = 0.54629 = 0.62023 = 0.65860 = 0.67848 = 0.68865 = 0.69380 = 0.69640 = 0.67770 = 0.69835 = 0.69867 = 0.69884 = 0.69892 = 0.69896 = 0.69898 = 0.69899 = 0.69900 = 0.69900

-0.2857

=-1.78570 =-1.14792 = -0.97924 = -0.90842 = -0.86901 = -0.84774 = -0.83674 = -0.83115 = -0.82834 = -0.82692 = -0.82621 = -0.82586 = -0.82568 = -0.82559 = -0.82555 = -0.82553 = -0.82551 = -0.82551 = -0.82551 = -0.82550 = -0.82550

m30 m31 m32 m33 m34 m35 m36 m37 m38 m39 m310 m311 m312 m313 m314 m315 m316 m317 m318

= -2.27270 = -1.54662 = -1.44185 = -1.35131 = -1.30089 = -1.27604 = -1.26383 = -1.25778 = -1.25476 = -1.25325 = -1.25249 = -1.25211 = -1.25192 = -1.25183 = -1.25178 = -1.25176 = -1.25174 = -1.25174 = -1.25173

-0.1818

-0.4286

4 m40 m41 m42 m43 m44 m45 m46 m47 m48 m49 m410 m411 m412 m413 m414 m415 m416 m417 m418 m419 m420 3

-0.1818

-0.1667 -0.1667

m10 = 2.27270 m11 = 2.40516 m12 = 2.67797 m13 = 2.77579 m14 = 2.81797 m15 = 2.83815 m16 = 2.84805 m17 = 2.85296 m18 = 2.85540 m19 = 2.85662 m110 = 2.85723 m111 = 2.85753 m112 = 2.85769 m113 = 2.85776 m114 = 2.85780 m115 = 2.85782 m116 = 2.85783 m117 = 2.85784 m118 = 2.85784

= 0.00000 -0.214 =-0.01032 = 0.16704 = 0.24751 = 0.28398 = 0.30162 = 0.31036 = 0.31472 = 0.31689 = 0.31799 = 0.31853 = 0.31880 = 0.31894 = 0.31901 = 0.31904 = 0.31906 = 0.31907 = 0.31907 = 0.31908 = 0.31908 = 0.31908 -0.136

-0.4286

-0.2500

-0.6429

-0.4286 -0.1818 -0.1818

= -1.82860 = -2.45894 = -2.70961 = -2.83788 = -2.90224 = -2.93432 = -2.95033 = -2.95834 = -2.96235 = -2.96435 = -2.96536 = -2.96586 = -2.96611 = -2.96624 = -2.96630 = -2.99634 = -2.96635 = -2.96636 = -2.96636

-0.6429

0

m II 1 m II 2 m II 3 m II 4 m II 5 m II 6 m II 7 m II 8 m II 9 m II 10 m II 11 m II 12 m II 13 m II 14 m II 15 m II 16 m II 17 m II 18 m II

= -0.68570 6 -0.2143 m60 = 1.78570-0.1250 5 -0.1250m50 = -1.37315 m61 = 1.29666 m51 = -1.84463 m62 = 1.37711 m52 3 = -2.09335 m6 = 1.46663 m53 4 = -2.21999 m6 = 1.51782 m54 = -2.28394 m65 = 1.54446 m55 6 = -2.31610 m6 = 1.55802 m56 = -2.33225 m67 = 1.56488 m57 8 = -2.34034 m6 = 1.56832 m58 = -2.34439 m69 = 1.57005 m59 10 = -2.34642 m6 = 1.57092 m510 11 = -2.34744 m6 = 1.57136 m511 = -2.34795 m612 = 1.57157 m512 13 = -2.34821 m6 = 1.57168 m513 = -2.34833 m614 = 1.57174 m514 15 = -2.34840 m6 = 1.57176 m515 16 = -2.34843 m6 = 1.57178 m516 = -2.34845 m617 = 1.57179 m517 18 = -2.34845 m6 = 1.57179 m518 = -2.34846 m619 = 1.57179 m519 20 = -2.34846 m6 = 1.57179 m520 1 -0.1364 -0.0833 2 -0.0833

-0.4286

0

mI 1 mI 2 mI 3 mI 4 mI 5 mI 6 mI 7 mI 8 mI 9 mI 10 mI 11 mI 12 mI 13 mI 14 mI 15 mI 16 mI 17 mI 18 mI 19 mI 20 mI

-0.2857

diuraikan sebelumnya, seperti berikut ini:

C

103

19 = -2.96637 m II 20 = -2.96637 m II

m119 = 2.85784 m120 = 2.85784

m219 = 0.69900 m220 = 0.69900

m319 = -1.25173 m320 = -1.25173

104

D. Perhitungan Momen Akhir (design moment). Dari hasil perhitungan pemberesan momen parsiil dan momen displacement secara skematis pada halaman depan, dicapai hasil konvergensi pada langkah ke - 20, dengan nilai-nilai sebagai berikut: m120 = 2,85784 m420 = -0,82550

m220 = 0,69900 m520 = 0,31908

m320 = -1,25173 m620 = 1,57179

1 m I = -2,34846 1 m II = -2,96637

Untuk perhitungan besarnya momen-momen akhir dari struktur, selanjutnya dilakukan sebagai berikut: ( Lihat Persamaan 2. 4 pada halaman depan) Titik. 1 M1A = k1A (2m1(20) + m II ( 20 ) ) + M1A = 1 {(2 . 2,85784 + (-2,96637)} + 0 = 2,74931 tm (20) (20) M12 = k12 (2m1 + m2 ) + M12 = 0,75 (2 . 2,85784 +0,699) + (12,50) = -7,68899 tm ( 20 ) (20) (20) M16 = k16 (2m1 + m6 ) + m I + M16 = 1 {(2 .+ 2,85784 + 1,57179+(-2,348646)}0 = 4,93901 tm ∆M = 0,00067 tm Titik. 2 M21 = k21 (2m2(20) + m1( 20 ) ) + M 21 = 0,75 {2 . 0,699+2,85784}+ 12,50 = 15,69188 tm ( 20 ) (20) M2B = k2B (2m2 + m II ) + M 2 B = 1,5 {2 . 0,699+(-2,96637)} + 0 = -2,35256 tm (20) (20) M23 = k23 (2m2 + m3 ) + M 23 = 0,75 {2 . 0,699+(-1,25173)}+(-12,50) = -12,39030 tm ( 20 ) (20) (20) M25 = k25 (2m2 + m5 ) + m1 )+ M 25 = 1,5 {2 . 0,699+0,31908+(-2,34846)}+0 = -0,94707 tm ∆M = 0,00195 tm Titik. 3 M3C = k3C (2m3(20) + m II ( 20 ) ) + M 3C = 1 {2(-1,25173)+(- 2,96637)} + 0 = -5,46983 tm (20) (20 M32 = k32 (2m3 +m2 ) + M 32 = 0,75 {2 (-1,25173)+0,699} + 12,50 = 11,14666 tm ( 20 ) (20) (20) M34 = k34 (2m3 + m4 + m I )+ M 34 = 1{2(-1,25173)+(-0,82550)+(-2,34846)}+0 = -5,67742 tm ∆M = -0,00059 tm Titik. 4 M43 = k43 (2m4(20) + m3(20) + m1( 20 ) )+ M 43 = 1 {2(-0,8255)+(- 1,25173) +(-2,34846)}+0 = -5,25119 tm M45 = k45 (2m4(20)+m5(20) + M 45 = 0,75 {2 (-0,8255)+0,31908} + 6,25 = 5,25106 tm ∆M = -0,00013 tm

105

Titik. 5 M52 = k52(2m5(20) + m2(20) + m I ( 20 ) )+ M 52 = 1,5{2.0,31908+0,699+(-2,34846)}+ 0 M54 = k54 (2m5(20)+m4(20) + M 54 = 0,75 {2 .0,31908)+(-0,8255)}+(-6,25) M56 = k56 (2m5(20)+m6(20) + M 56 = 0,75 {2 .0,31908)+1,57179) + 6,25 Titik. 6 M61 = k61(2m6(20) + m1(20) + m I ( 20 ) )+ M 61 = 1{2.1,57179+2,85784+(-2,34846)}+ 0 M65 = k65 (2m6(20)+m5(20) + M 65 = 0,75 {2 .1,57179 +0,31908)+(-6,25)

= -1,51695 tm = -6,39051 tm = 7,90746 tm ∆M = 0,00000 tm

= 3,65296 tm

= -3,65300 tm ∆M = -0,00004 tm Dengan ∆M yang relatif kecil sekali, maka pada dasarnya momen-momen ujung tersebut di atas tidak perlu dikoreksi ======= ∆M ≈ 0 Titik. A MA1 = kA1 (2mA(20) + m1(20) + m II ( 20 ) + M A1 = 1{2.0 + 2,85784+(-2,96637)}+0 = -0,10853 tm

Titik. B MB2 = kB2 (2mB(20) + m2(20) + m II ( 20 ) + M B 2 = 1,5 (2.0 + 0,699 +(-2,96637)}+0 = -3,40106 tm

Titik. C MC3 = kC3 (2mC(20) +m3(20) + m II ( 20 ) + M C 3 =1{2.0 +(-1,25173)+(-2,96637)}+0 = -4,21810 tm

Gambar diagram freebody moment

106

Kontrol ∑H = 0 -1/h2

-1/4

  M1A      M A1 

+

  2,74931   + − 0 , 10853  

 M 2B  M   B2 

+

 M 3C   M   C3  

- (W1 + W2)

 − 2,35256  − 5,46983   − 3,40106 +  − 4,21810     

-0,25 { 2,64078 + (-5,75362 + (-9,68793)} - (3,2)

- (1,2 + 2)

=0

=0

=0 0,00019 ≈ 0 Ok

Konstruksi dengan sokongan sendi. Untuk konstruksi dengan sokongan sendi pada salah satu titik perletakannya, maka batang-batang yang berkumpul atau bertemu pada salah satu titik kumpul yang berhubungan dengan perletakan sendi tersebut, maka nilai p digunakan adalah ρ’ dimana : ρ’ = ρ - 1/2 k batang yang ujungnya sendi. Dan

γ batang yang ujungnya sendi = ½ k batang yang ujungnya sendi / ρ’

Disamping itu, untuk batang yang ujungnya berupa sendi, dimana ada momen primer, maka pada perletakan sendi tersebut dianggap sebagai perletakan jepit dan momen-momen primernya disebut M' Sebagai contoh:

Sehingga

M A1 = -1/12 . q . L2

M1A = 1/12 . q . L2

M '1A = M1A - ½ M A1 dan τ yang digunakan adalah τ’, dimana τ’1

=

M '1A + M1X

+ M1Y +

M 1Z

107

sehingga Momen rotasi awal m(0) = -τ’1/ρ’1 dan design moment adalah M1A = k1A (3/2 m1(X)) + M '1A untuk balok 1A dan sendi di titik A serta M1A= k1A(3/2m1(X)+½ + m I ( X ) ) + M '1A utk kolom1A sendi di titik A. jika diperlukan koreksi momen akibat adanya ∆M, maka M1A=M1A(X)-(3/4 k1A / ½ ρ’1)∆M dititik 1

¾ : faktor sendi.

Sebagai contoh analisa, pada halaman berikut ini diberikan suatu contoh struktur portal dengan sokongan sendi dengan penyelesaiannya. Contoh. 5 diketahui : W1 = W2 = 1,2 t kA1 = k14 = kB2 = k23 = 1 k12 = k34 = 0,75 h1 = h2 = 4 m L =5m

Penyelesaian: A. Menghitung momen-momen parsiil. 1.

Angka kekakuan batang

( diketahui ) 2.

Nilai ρ, γ, M primer, τ

dan momen rotasi awal (m0) ρ1 = 2(k1A + k12 + k14) = 5,5 ρ2 = 2(k21+k2B+k23) = 5,5 ρ’2 = ρ2 – ½ k2B = 5,5 – ½ .1 = 5 ρ3 = 2(k23 + k34) = 3,5 ρ4 = 2(k43 + k41) = 3,5 γ 1A = k1A/ρ1 = 1/5,5 = 0,1818 γ 12 = k12/ρ1 = 0,75/5,5 = 0,1364 γ 14 = k14/ρ1 = 1/5,5 = 0,1818

γ’2B= ½ k2B/ρ’2= ½.1/5=0,1 γ’21=k21/ρ’2= 0,75/5 = 0,15 γ’23= k23/ρ’2 = 1/5 = 0,2

108

γ 32 = k32/ρ3 = 1/3,5 = 0,2857 γ 12 = k12/ρ1 = 0,75/5,5 = 0,1364

γ 43=k43/ρ4 0,751/3,5=0,2143 γ 41= k41/ρ4 = 1/3,5 = 0,2857

M12 = -1/12 q L2 = -1/12 . 6 . 52 = -12,5 tm

M 21 = 12,5 tm M 34 = 6,25 tm

M 43 = -1/12 q L2 = -1/12 . 3 . 52 = -6,25 tm

τ1 = M12 + M1A + M14 = -12,5 tm τ2 = M 21 + M 2 B + M 23 = 12,5 tm τ3 = M 32 + M 34 = 6,25 tm τ4 = M 41 + M 43 = -6,25 tm 0 m1 = - (τ1/ρ1) = -(-12,5 / 5,5) = 2,2727 m20 = - (τ2/ρ’2) = -(12,5 / 5) = -2,5000 m30 = - (τ3/ρ3) = -(6,25 / 3,5) = -1,7857 m40 = - (τ4/ρ4) = -(-6,25 / 3,5) = 1,7857 B. Momen Displacement. Tingkat atas  TI = 2 (k14 + k23) = 2 (1+1) = 4 0 t14 = 3 k14 / TI = 3 . 1/4 = 0,75 mI t23 = 3 k23 / TI = 3 . 1/4 = 0,75 Tingkat bawah

= -(W1.h1) / TI = -(1,2 . 4) / 4 = -1,2

TII = 2 (k1A + k2B) = 2 (1 + 1) = 4 T’II = TII – 3/2 . k2B = 4 – 3/2 . 1 = 2,5

t'1A

= 3 k1A / T’II = 3.1 / 2,5 = 1,2 m II 0

= -{h2 (W1+W2)} / T’II

t'2B

= 3/2 k2B / T’II = 3/2 . 1 / 2,5 = 0,6

= -{4 (1,2 + 1,2)} / 2,5 = -3,84

C. Pemberesan momen parsiil Momen displacement Pemberesan momen parsiil langkah 1 dimulai dari titik (1) ke titik (2), (3), (4) dan dilanjutkan dengan pemberesan momen displacement langkah 1. Berikut ini pemberesan momen parsiil langkah 1. m11

m21

= + m10 = + (-γ 1A) (mII0) = + (-γ 12) (m20) = + (-γ 14) (m40 +mI0) = + m20 = + (-γ’21) (m11) = + (-γ’2B) (mII0) = + (-γ’23) (m30 +mI0)

(-0,1818) (-3,84) (-0,1364) (-2,5) (-0,1818) {1,7857 + (-1,2)} m11 (-0,15) (3,2053) (-0,10) (-3,84) (-0,20) (-1,7857 + (-1,2)) m21

m31

= + m30

= 2,2727 = 0,6981 = 0,3410 = -0,1065 = 3,2053 = -2,5000 = -0,4808 = 0,3840 = 0,5971 = -1,9997 = -1,7857

109

= + (-γ 32) (m21 + mI0) = + (-γ 34) (m40)

m31

(-0,2857) (-1,9997 + (-1,2)) = 0,9142 (-0,2143) (1,7857) = -0,3827 m31 = -1,2542

= + m40 = + (-γ 43) (m31) = + (-γ 41) (m11) + (mI0)

(-0,2143) (-1,2542) (-0,2857) (3,2053 + (-1,2)) m41

= 1,7857 = 0,2688 = -0,5729 = 1,4816

Setelah pemberesan momen parsiil langkah 1 selesai, selanjutnya pemberesan momen displacement langkah 1 dilaksanakan. Sebaiknya digunakan nilai-nilai dari hasil pemberesan momen parsiil pada langkah 1. Untuk tingkat atas: Langkah. 1 1 0 mI = + mI

= -1,2

+ (-t14) (m11 + m41)

(-0,75) (3,2053 + 1,4816)

= -3,5151

+ (-t23) (m21 + m31)

(-0,75) (-1,9997 + (-1,2542))

= 2,4404

mI1

= -2,2747

Untuk tingkat bawah: Langkah. 1 1 0 m II = + m II

= -3,84

+ (-t1A) (m11)

(-1,2) (3,2053)

= -3,8464

+ (-t2B) (m21)

(-0,6) (-1,9997)

= 1,1998 mI1

= -6,4866

Setelah pemberesan momen displacement pada langkah ke-1 selesai, maka dilanjutkan kembali dengan rotasi momen parsiil pada langkah ke-2. Seperti pada langkah-1 yang dimulai dari titik 1 ke titik 2, 3 dan 4 kemudian pemberesan momen displacement kembali dilakukan untuk langkah ke-2 . Demikian seterusnya sampai dicapai hasil yang konvergen, seperti yang diperlihatkan pada skema perhitungan pada halaman berikut ini. Catatan: Sebenarnya, rotasi momen parsiil dan rotasi momen displacemen tingkat tidak perlu dilakukan sampai hasil yang betul-betul konvergen, akan tetapi apabila sudah mendekati tingkat konvergensi, maka rotasi momen sudah dapat dihentikan.

110

Adapun mengenai tidak tercapainya keseimbangan momen pada suatu titik kumpul, kita akan lakukan koreksi momen dan mendistribusikannya ke batang-batang

mI mI

6

mI

7

mI

8

mI

9

mI

10

mI

11

mI

12

mI

13

mI

14

mI

15

mI

16

mI

17

mI

18

mI

19

mI

20

mI

21

m II

0

m II

1

m II

2

m II

3

m II

4

m II

5

m II

6

m II

7

m II

8

m II

9

m II

10

m II

11

m II

12

= -3.8400 = -6.4866 = -7.4472 = -7.9213 = -8.1664 = -8.2953 = -8.3634 = -8.3995 = -8.4186 = -8.4287 = -8.4341 = -8.4369 = -8.4384

A

m10 m11 m12 m13 m14 m15 m16 m17 m18 m19 m110 m111 m112

= 2.2727 = 3.2053 = 3.8689 = 4.1716 = 4.3213 = 4.3973 = 4.4366 = 4.4570 = 4.4677 = 4.4734 = 4.4764 = 4.4780 = 4.4788

-0.2857

4 5

-0.15

-0.75

mI

3

-0.2

3

-0.1

mI

-0.214

2

-0.6

2

= 1.7857 = 1.4816 = 1.5360 = 1.6798 = 1.7921 = 1.8619 = 1.9017 = 1.9237 = 1.9356 = 1.9420 = 1.9454 = 1.9472 = 1.9482 = 1.9487 = 1.9490 = 1.9491 = 1.9492 = 1.9492 = 1.9493 = 1.9493 = 1.9493 = 1.9493

-0.75

mI

m40 4 -0.2143 m41 m42 m43 m44 m45 m46 m47 m48 m49 m410 m411 m412 m413 m414 m415 m416 m417 m418 m419 m420 m421 1 -0.1364

-0.1818

mI

1

= -1.2000 = -2.2747 = -3.2391 = -3.8709 = -4.2381 = -4.4417 = -4.5522 = -4.6116 = -4.6434 = -4.6603 = -4.6692 = -4.6740 = -4.6765 = -4.6779 = -4.6786 = -4.6790 = -4.6792 = -4.6793 = -4.6793 = -4.6794 = -4.6794 = -4.6794

-0.1818

0

-1.2

mI

-0.2857

bersangkutan sebanding dengan kekakuannya.

B

m30 m31 m32 m33 m34 m35 m36 m37 m38 m39 m310 m311 m312 m313 m314 m315 m316 m317 m318 m319 m320 m321

= -1.7857 = -1.2542 = -0.9602 = -0.7491 = -0.6306 = -0.5678 = -0.5346 = -0.5170 = -0.5077 = -0.5028 = -0.5002 = -0.4988 = -0.4981 = -0.4977 = -0.4975 = -0.4973 = -0.4973 = -0.4973 = -0.4972 = -0.4972 = -0.4972 = -0.4972

m20 m21 m22 m23 m24 m25 m26 m27 m28 m29 m210 m211 m212

= -2.5000 = -1.9997 = -1.7259 = -1.5412 = -1.4321 = -1.3692 = -1.3341 = -1.3148 = -1.3045 = -1.2989 = -1.2960 = -1.2944 = -1.2936

111

m II

13

m II

14

m II

15

m II

16

m II

17

m II

18

m II

19

m II

20

m II

21

= -8.4392 = -8.4397 = -8.4399 = -8.4400 = -8.4401 = -8.4401 = -8.4401 = -8.4401 = -8.4401

m113 m114 m115 m116 m117 m118 m119 m120 m121

= 4.4793 = 4.4795 = 4.4796 = 4.4797 = 4.4797 = 4.4797 = 4.4798 = 4.4798 = 4.4798

m213 m214 m215 m216 m217 m218 m219 m220 m221

= -1.2931 = -1.2929 = -1.2928 = -1.2927 = -1.2927 = -1.2926 = -1.2926 = -1.2926 = -1.2926

112

D. Perhitungan Momen Akhir (design moment). Dari hasil perhitungan pemberesan momen parsiil dan momen displacement secara skematis pada halaman depan, dicapai hasil konvergensi pada langkah ke 20 , dengan nilai-nilai sebagai berikut: m120 = 4,4798 m220 = -1,2926 mI20 = -4,6794 m320 = -0,4972 m420 = 1,9493 mII20 = -8,4401 Untuk perhitungan besarnya momen momen akhir dari struktur, selanjutnya dilakukan sebagai berikut: ( Lihat Persamaan 4. 4 pada halaman depan ) Titik. 1 M1A= k1A (2m1(20)) + m II ( 20) = 1{2.4,4798+(-8,4401)} = 0,5195 tm M12 = k12 (2m1(20)) + m 2 ( 20 ) ) + M12 = 0,75 {2. 4,4798+(-l,2926)}+(-12,50) = -6,7498 tm ( 20 ) ( 20 ) (20) M14 = k14 (2m1 ) + m 4 ) + M I = 1{2. 4,4798+l,9493+(-4,6794)} = 6,2295 tm M = -0,0008 tm Titik. 2 M2B= k2B (3/2m2(20)) + ½ m II ( 20 ) = 1 {3/2(-1,2926) + (1/2.-8,4401)} = -6,1590 tm ( 20 ) (20) M21= k21 (2m2 ) + m1 ) + M 21 = 0,75 {2.(-1,2926) + 4,4798} + 12,50 = -6,7498 tm ( 20 ) ( 20 ) (20) M23 = k23 (2m2 ) + m 3 ) + M I = 1{2.(-1,2926) +(-0,4972)+(-4,6794)} = -7,7618 tm ∆M = 0,0002 tm Titik. 3 M32 = k3 (2m3(20)) + m2(20) + m I ( 20 ) = 1 (2.-0,4972 + -1,2926 + -4,6794 = -6,9664 tm ( 20 ) (20) M3 4= k3 (2m2 ) + m 4 ) + M 34 = 0,75 {2.-0,4972 + 1,9493) + 6,25 = 6,9662 tm ∆M = -0,0002 tm Titik. 4 M41 = k41 (2m4(20)) + m1(20) + m I ( 20 ) = 1 (2.1,9493 + 4,4798 + -4,6794 = 3,6990 tm ( 20 ) (20) M43 = k43 (2m4 ) + m 3 ) + M 43 = 0,75 {2. 1,9493 + -0,4972) + -6,25 = -3,6990 tm ∆M = 0,0000 tm Dengan AM yang relatif kecil sekali, maka pada dasarnya momen momen ujung tersebut di atas tidak perlu dikoreksi =======∆M ≈ 0 Titik A MA1 = kA1 (m1(20)+ m II ( 20 ) ) = 1{4,4798+(-8,4401)}= -3,9604 tm

113

MB2 = 0 ( perletakan sendi) Kontrol ∑ H = 0  -1/h2    -1/4  

M1A  M   +  2 B   - (-W1 + W2) = 0 M   A1  M B2   0,5195  − 6,1590   − 3,9604  +  0   - (1,2 + 1,2) = 0    

-0,25{(-3,4409+(-6,1590}- (2,4) = 0

0,00019 ≈ 0 Ok

Gambar diagram freebody

4.4 RANGKUMAN Dari pembahasan rumusan - rumusan dasar berikut contoh - contoh soal dan penyelesaiannya, baik untuk konstruksi portal dengan titik hubung yang tetap maupun konstruksi portal dengan titik hubung yang bergerak (pergoyangan), dapat diambil suatu kesimpulan mengenai langkah-langkah perhitungan penyelesaian suatu portal sebagai berikut:

114

4.4.1 Portal dengan titik hubung yang tetap Langkah-langkah perhitungan / penyelesaian A. Menentukan Momen Parsiil. 1.

Menghitung

angka

kekakuan batang (k). 2.

Menghitung

nilai

p

masing - masing titik hubung. 3.

Menghitung

nilai

koefisien untuk rotasi momen parsiil (γ) masing - masing batang. 4.

Menghitung

momen-

Menghitung

jumlah

momen primer ( M ) masing - masing batang. 5.

momen primer (τ) pada masing - masing titik hubung. 6.

Menghitung

momen

rotasi awal (m0) pada masing - masing titik hubung. B. Pemberesan Momen Parsiil. Pemberesan momen parsiil dilakukan secara berurutan pada setiap langkah demi langkah pemberesan dan dihentikan setelah mencapai hasil yang konvergen. C. Menghitung Momen Akhir (Design Moment). 4. 4. 2 Portal dengan titik hubung yang bergerak (pergoyangan) Langkah-langkah perhitungan / penyelesaian A. Menentukan Momen parsiil. 1.

Menghitung

angka

kekakuan batang (k). 2.

Menghitung

nilai

p

masing - masing titik hubung. 3.

Menghitung

koefisien untuk rotasi momen parsiil ( γ ) masing - masing batang.

nilai

115

4.

Menghitung

momen-

Menghitung

jumlah

momen primer ( M ) masing - masing batang. 5.

momen primer (τ) pada masing - masing titik hubung. 6. Menghitung 0 rotasi awal (m ) pada masing - masing titik hubung.

momen

B. Menghitung Momen Displacement ( m ..). 1. Menghitung kekakuan tingkat (T...). 2. Menghitung koefisien rotasi tingkat (t...) pada masing - masing kolom. 3. Menghitung Momen Displacement awal tingkat ( m ...0). C. Pemberesan Momen Parsiil dan Momen Displacement. Pemberesan momen parsiil dilakukan secara berurutan pada setiap langkah demi langkah pemberesan dan dihentikan setelah mencapai hasil yang konvergen. Pemberesan momen displacement dilakukan setiap selesai satu langkah pemberesan momen parsiil. D. Menghitung Momen Akhir (Design Moment). E. Kontrol gaya - gaya horizontal ======∑H = 0 2.5 SOAL-SOAL LATIHAN Soal-soal berikut ini (lihat gambar), dapat anda kerjakan di rumah sebagai latihan. Besarnya nilai dari ukuran yang ada, beban terpusat P dan W maupun beban terbagi rata q dapat ditentukan sendiri.

116

DAFTAR PUSTAKA Chu-Kia Wang, Ph.D, Mekanika Teknik “Statically Indeterminate Structure” Terjemahan _________________, Analisa Struktur Lanjutan, Jilid 1, Jakarta, Erlangga, 1992. Heinz Frick, Ir, Mekanika Teknik 2 (Statika dan Kegunaannya), Jilid II, Yogyakarta, Kanisius, 1979. Soetomo. HM, Ir, Perhitungan Portal Bertingkat Dengan Cara Takabeya. Jilid I. Jakarta, Soetomo HM, 1981 _______, Perhitungan Portal Bertingkat Dengan Cara Takabeya. Jilid II. Jakarta, Soetomo HM, 1981 V. Sunggono. KH, Ir, Buku Teknik Sipil. Bandung, Nova, 1984.