Aula 01 Metodos Numericos 656h17

A Matemática Computacional e o Método Numérico Programação para Engenharia Profº Carlos Eduardo

Material originalmente desenvolvido pelo prof. Flávio Bortolozzi

Matemática Computacional

Conceito

Matemática Computacional  A Matemática computacional é uma área da matemática e da computação que, na prática, tenta solucionar problemas de todas as áreas das ciências exatas.  Também é chamada de computação científica.  Essa é uma área muito promissora, que ainda não foi completamente descoberta, e promete ter tantos graduados quanto a matemática. O objetivo dessa computação é solucionar problemas complexos de matemática com o auxílio da máquina.

Conceito

Matemática Computacional

Antes de sairmos à busca de um procedimento para resolver um dado problema, é conveniente termos garantia de que o problema realmente tem solução algorítmica. Ademais, também precisamos ser capazes de medir a qualidade dos algoritmos: sua eficácia (exatidão) e eficiência.

(Alan Turing, c. 1945 )

DISCIPLINAS QUE COMPÕEM A

MATEMÁTICA COMPUTACIONAL 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

Álgebra Linear Computacional . Algoritmos em Grafos e Algoritmos Numéricos. Análise de Sinais. Análise Multivariada. Combinatória Poliedral. Computabilidade e Complexidade sobre os Reais. Computação Biológica . Computação Científica. Computação Quântica . Criptografia . Econometria . Estruturas Combinatórias. Inferência Bayesiana.

DISCIPLINAS QUE COMPÕEM A

MATEMÁTICA COMPUTACIONAL 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26.

Inferência Estatística Lógica Aplicada Métodos de Computação Gráfica Métodos de Otimização Probabilidade Processamento de Sinais Programação Linear Séries Temporais Teoria Assintótica Teoria Computacional do Caos Teoria da Regressão Teoria dos Modelos e Complexidade Descritiva Teoria Estatística de Formas

Sites Interessantes de Matemática AMS - American Mathematical Society EMATH - Electronique MATHématique FRrançaise EMIS - The European Mathematical Information Service. ETHZ D-math - [Zurich] IMA - The Institute of Mathematics and its Applications IMO - International Mathematical Olympiad IMU - The International Mathematical Union MAA - The Mathematical Association of America MATH-NET - Links to the Mathematical World MATHWORLD - Eric Weisstein's World of Mathematics

Sites Interessantes de Matemática MAX-PLANCK - Institut für Mathematik [Bonn] MSRI - Mathematical Sciences Research Institute OIM - Olimpíada Iberoamericana de Matemática OBM - Olimpíada Brasileira de Matemática PENN STATE Math Dept. - Mathematics web sites around the world SBEM - Sociedade Brasileira de Educação Matemática SBM - Sociedade Brasileira de Matemática SBMAC - Sociedade de Matemática Aplicada e Computacional SIAM - Society for Industrial and Applied Mathematics The WWW Virtual Library [CERN]

O que são os métodos numéricos?

Cálculo Numérico  O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada.  Esses métodos se aplicam principalmente a problemas que não apresentam uma solução exata, portanto precisam ser resolvidos numericamente.

Por que produzir resultados numéricos?

1. Um problema de Matemática pode ser resolvido analiticamente, mas esse método pode se tornar impraticável com o aumento do tamanho do problema. Exemplo: solução de sistemas de equações lineares.

2. A existência de problemas para os quais não existem métodos matemáticos para solução (não podem ser resolvidos analiticamente).

Exemplos: a) Integrais que analiticamente.

não

pode

ser

resolvido

c) Equações diferenciais parciais não lineares podem ser resolvidas analiticamente só em casos particulares.

• Os métodos numéricos buscam soluções aproximadas para as formulações matemáticas. • Nos problemas reais, os dados são medidas e, como tais, não são exatos. Uma medida física não é um número, é um intervalo, pela própria imprecisão das medidas. Daí, trabalha-se sempre com a figura do erro, inerente à própria medição. • Os métodos aproximados buscam uma aproximação do que seria o valor exato. Dessa forma é inerente aos métodos se trabalhar com a figura da aproximação, do erro, do desvio.

Função do Cálculo Numérico na Engenharia

“Buscar solucionar problemas técnicos através de Métodos Numéricos  Modelo Matemático”

Influência dos Erros nas Soluções Falha no lançamento de mísseis (25/02/1991 – Guerra do Golfo – míssil Patriot)

Limitação na representação numérica (24 bits)

Erro de 0,34 s no cálculo do tempo de lançamento

Influência dos Erros nas Soluções Explosão de foguetes (04/06/1996 – Guiana sa – foguete Ariane 5)

Limitação na representação numérica (64 bits/ 16 bits)

Erro de trajetória 36,7 s após o lançamento Prejuízo: U$ 7,5 bilhões http://ta.twi.tudelft.nl/s/vuik/wi211/disasters.html

USO DO MATLAB Matemática e Computação. Desenvolvimento de Algoritmos. Aquisição de Dados. Modelagem, Simulação e Prototipação. Análise, Exploração e Visualização de Gráficos Científicos e de Engenharia.  Desenvolvimento de Aplicativos, incluindo desenvolvimento de interface gráfica.     

Ferramentas de e Uso do método numérico Computador

Programas Desenvolver

Utilizar

Verificar validade dos resultados obtidos

Ferramentas de e Programas de Computação Numérica

(software numérico)  Programa Individual.  Pacote.  Biblioteca.  Sistema de Software.

Ferramentas de e Programa Individual  Composto de alguns módulos.

 Função: executar uma computação específica.  Exemplo de aplicação: obter uma integral definida de uma função dada.

Ferramentas de e Pacote (Toolbox) 

Coleção de programas para solucionar problemas de uma área.



Exemplo de aplicação.   

Solução de sistemas de equações lineares. Redes Neurais. Visão Computacional.

Ferramentas de e Biblioteca  Coleção sistematizada de programas para resolução de diversas classes de problemas de matemática.  Tipicamente contém algumas centenas de programas.

Ferramentas de e Sistema de Software  Constituído de um pacote ou de um conjunto de bibliotecas ou pacotes com uma interface de comunicação com o usuário.

 Utiliza uma linguagem especial.  Exemplos:  OCTAVE, MATLAB, MATHCAD, MAPLE, SPSS, MATHEMATICA, etc.