Aplicacion Ecuaciones Diferenciales Primer Orden 2l6v1g

GUIA 4

Algunas aplicaciones de la ecuaciones diferenciales de primer orden 1.

Procesos de crecimiento y declinaci´ on. Primero estudiaremos el modelo

dx = a x, dt

con a constante. La cantidad x puede ser El taman ˜ o de una poblaci´on que var´ıa segu ´n una ley de Malthus dx = a x. dt La cantidad de una sustancia radioactiva, como uranio, que se desintegra espont´aneamente segu ´n la ley dx = a x, (a < 0). dt La cantidad de dinero en una cuenta sobre la cual se paga inter´es compuesto continuo a una tasa anual de inter´es a (En este caso el tiempo t se mide en an ˜ os). Ejercicios 1. La poblaci´on de Cali era de 200 mil habitantes en 1,950 (t = 0) y de 1 mill´on en 1,985 (t = 35). Si en cada instante crece con rapidez proporcional a la poblaci´on existente en ese instante, ¿ en qu´e an ˜ o la poblaci´on de Cali exceder´a los 5 millones de habitantes? Respuesta: En el an ˜ o 2020. 2. Una poblaci´on duplica su taman ˜ o en 10 an ˜ os y la triplica en 20. ¿ Puede seguir una ley de Malthus de crecimiento? Justifique su respuesta. 3. Segu ´n una teor´ıa cosmol´ogica, en el instante inicial del Universo hab´ıa igual cantidad de ´atomos de uranio 235 (U 235 ) y de uranio 238 (U 238 ). Se estima que en la actualidad la relaci´on de U 238 y U 235 en una muestra es de 6197 a 45. La vida media de una sustancia radioactiva es el tiempo necesario para que una cantidad de la sustancia se reduzca a la mitad. Si la vida media del U 238 se estima en 4,51 mil millones de an ˜ os y la del U 235 en 0,707 mil millones de an ˜ os, estime la edad del Universo. Respuesta: La edad el universo es 5,96 mil millones de an ˜ os.

1

4. Sup´ongase que una isla es colonizada por inmigraci´on desde el continente. Sup´ongase que hay un nu ´mero constante S de especies en el continente mientras que en la isla existen N (t) especies en el tiempo t . La rapidez con la cual nuevas especies inmigran a la isla y la colonizan es proporcional al nu ´ mero S − N (t) de especies del continente que no se han establecido en la isla, con constante de proporcionalidad h. Adem´as, en la isla las especies se extinguen con una rapidez proporcional al nu ´mero de especies de la isla, con constante de proporcionalidad k. Escriba la ley de variaci´on de N . Calcule l´ımt→∞ N (t).

2.

El modelo de Verhulst

Tal como se discuti´o en la Gu´ıa 1, la variable fundamental en la descripci´on del taman ˜o 1 dx x = x(t) de una poblaci´on en el tiempo t es la tasa relativa de crecimiento x(t) dt (t). El modelo m´as sencillo es el modelo de Malthus que supone una tasa de crecimiento constante. En esta secci´on consideraremos un modelo postulado por el matem´atico Belga Pierre Franc¸ois Verhulst (1804–1849), que supone una tasa de creciemiento que disminuye con el aumento de la poblaci´on de acuerdo con la regla 1 dx (t) = a − b x(t), x(t) dt

a, b constantes positivas,

que conduce a la ecuaci´on diferencial dx = x (a − b x), (1) dt la cual puede verse como una correcci´on del modelo de Malthus tratado en la Gu´ıa 1 en el siguiente sentido. Para valores pequen ˜ os de x(t), b x2 (t) es despreciable comparado con ∼ a x(t); para x(t) grande, b x2 (t) no es despreciable y la disminuci´on a x(t), as´ı que dx dt = 2 −b x (t) en la tasa de crecimiento debe considerarse. Si bien podemos resolver (1) mediante separaci´on de variables, el punto es que podemos obtener informaci´on importante de las soluciones x = x(t) de (1) sin conocerlas expl´ıcitamente. Primero que todo observamos que la funci´on f (t, x) = x (a − b x), definida para todo t ∈ R y todo x ∈ R, satisface las hip´otesis C1 y C2 del Teorema Fundamental (ver Gu´ıa 1), por lo que para cada t0 ∈ R y x0 ∈ R existen un intervalo abierto I ⊂ R que contiene a t0 , y una funci´on x = x(t) definida en I , tales que x = x(t) es la u ´nica soluci´on de (1) definida en I que satisface la condici´on inicial x(t0 ) = x0 . b y x (t) = 0 son soluciones de (1). Ahora notamos que las funciones constantes xE (t) = a I Estas soluciones tienen una interpretaci´on demogr´afica interesante: si una poblaci´on en un cierto tiempo empieza con taman ˜ o x = 0 ´o x = ba , entonces la poblaci´on est´a en equilibrio demogr´afico, es decir, su taman ˜ o no cambia con el tiempo. Por eso se les denomina soluciones de equilibrio. Los gr´aficos de xE y xI (ver figura 1) son rectas horizontales que dividen al plano tx en tres regiones n o n o a a R1 = (t, x) | < x , R2 = (t, x) | 0 < x < , R3 = {(t, x) | x < 0} , b b 2

R1 xE =

a b

R2 xI = 0 R3 Figura 1: Soluciones de la ecuaci´on (1) tales que el gr´afico de cualquier soluci´on no constante x = x(t) de (1) permanece confinado en una y s´olo una de estas regiones. De lo contrario, el gr´afico de una soluci´on no constante intersecar´ıa el gr´afico de una soluci´on constante de (1) lo que ser´ıa una contradicci´on al Teorema Fundamental. Abordaremos ahora el problema de determinar cu´ando las soluciones de (1) son crecientes. Recordaremos que una funci´on derivable es estrictamente creciente cuando su derivada es positiva. De otro lado, la ecuaci´on diferencial (1) da una relaci´on entre la derivada dx dt y los valores que toma la funci´on x(t). Como toda soluci´on no constante permanece en alguna de las regiones R1 , R2 o R3 es natural estudiar cada caso por separado. Observamos que la soluci´on permanece en la regi´on a la que pertenece la condici´on inicial (t0 , x0 ). En consecuencia, esta regi´on est´a determinada por el valor de x0 . Si ab < x0 , entonces el gr´afico de la soluci´on x = x(t), t ∈ I estar´a contenido en R1 . Por tanto, ab < x(t), y por eso dx dt = x(t) (a − b x(t)) < 0 para todo t ∈ I , con lo que la soluci´on x = x(t) ser´a estrictamente decreciente en todo su dominio. Si 0 < x0 < ba , entonces el gr´afico de la soluci´on x = x(t), t ∈ I , est´a en R2 . Por eso x(t) ∈ (0, ab ), y por ende dx on dt = x(t) (a − b x(t)) > 0 para todo t ∈ I . Es decir, la soluci´ x = x(t), t ∈ I , ser´a estrictamente creciente en todo su dominio. An´alogamente se demuestra que si x0 < 0, la soluci´on x = x(t), t ∈ I , ser´a estrictamente decreciente en todo su dominio y su gr´afico estar´a contenido en R3 . La figura 1 resume el an´alisis de crecimiento de las soluciones de (1). Vale la pena mencionar algunas interpretaciones demogr´aficas de los resultados obtenidos. La poblaci´on de equilibrio xE (t) = ab da un nu ´ mero que puede interpretarse como el taman ˜ o m´aximo de la poblaci´on que un ecosistema dado puede sostener. Si una poblaci´on, por alguna raz´on, tiene un taman ˜ o inicial x0 > ba , la poblaci´on disminuir´a con el tiempo, y la disminuci´on ser´a asint´otica hacia el estado de equilibrio ab . Si por el contrario, el taman ˜ o inicial no supera el taman ˜ o m´aximo ba , la poblaci´on aumentar´a asint´oticamente con el tiempo hacia el estado de equilibrio ab . Desde luego, un taman ˜ o inicial x0 < 0 no tiene sentido demogr´afico. No obstante, la soluci´on de la ecuaci´on diferencial (1) para el dato inicial x(t0 ) = x0 existe y tiene sentido hacer consideraciones matem´aticas sobre dicha soluci´on.

3

Mediante separaci´on de variables se puede hallar expl´ıcitamente la soluci´on de (1). En efecto, integrando por partes se tiene Z

Z

1

dx = dt, x (a − b x) 1 x ln = t + c, a a − bx donde c es una constante cualquiera. Despejando x obtenemos x(t) =

a c ea t . 1 + b c ea t

Si imponemos la condici´on x(t0 ) = x0 resulta x0 = reemplazando su valor en la expresi´on para x(t) se obtiene x(t) =

a ca te0 1+b c ea t0

. Despejando c y

a x0 . b x0 + (a − b x0 )e−a(t−t0 )

(2)

Esta es la u ´nica soluci´on de (1) que satisface la condici´on x(t0 ) = x0 . El intervalo de definici´on I de x = x(t) depende de x0 . Invitamos al lector a que halle I expl´ıcitamente. Ejercicios 1. Halle el intervalo de definici´on de la soluci´on x = x(t) de (1) en los siguientes casos: i) x0 > ab, ii) 0 ≤ x0 ≤ ab. Respuesta I = R si 0 ≤ x0 ≤ ab. Si x0 > ab se tiene I = a1 ln b bxx00 − ,a∞ . 2. Suponga que el taman ˜ o x = x(t) de una poblaci´on obedece al modelo de Verhulst (1). Sea x0 el taman ˜ o cuando t = t0 . Muestre que si x0 > 0, se tiene l´ımt →∞ x(t) = ab ¿Tiene sentido considerar el l´ımite anterior si x0 < 0? 3. Bajo las hip´otesis del problema anterior, suponga que la tasa relativa de crecimiento es del 2 % cuando el taman ˜ o de la poblaci´on es 0,5 × 107 . Si l´ımt →∞ x(t) = 107 halle las constantes a y b en el modelo de Verhulst y determine la soluci´on x = x(t) teniendo en cuenta que x(0) = 106

3.

Ley de Newton de enfriamiento La ley de Newton de enfriamiento establece: La rapidez de cambio de la temperatura T (t) de un cuerpo respecto del tiempo es proporcional a la diferencia entre la temperatura Ta del medio ambiente y la temperatura T (t) del cuerpo.

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Expresado en t´erminos de ecuaciones diferenciales equivale a dT = a(Ta − T ) dt donde a > 0 es la constante de proporcionalidad. Ejercicios 1. Un term´ometro que est´a inicialmente en el interior de una habitaci´on se lleva al exterior donde la temperatura es aproximadamente constante a 150 C. Despu´es de un minuto marca 300 C y despu´es de 10 minutos marca 200 C. De acuerdo a la ley de Newton ¿Cu´al era la temperatura de la habitaci´on? Respuesta: 31,950 C. 2. Una masa de metal se extrae de un horno a 10000 C y se pone a enfriar en un lugar cuya temperatura se mantiene aproximadamente constante a 300 C. Despu´es de 10 horas su temperatura desciende a 2000 C ¿Cu´anto tardar´a en llegar a 310 C? ¿ Llegar´a en algu ´n instante la temperatura a ser igual a la temperatura ambiente de 300 C? Justifique su respuesta. Respuesta: Para t = 39,49 horas la temperatura es de 310 C.

4.

El modelo del tanque

Algunos procesos se componen de partes que se pueden imaginar como un tanque al cual entra y del cual sale una corriente de un flu´ıdo portador de una o varias sustancias disueltas. El proceso total tiene lugar debido a la interacci´on, es decir, a los intercambios de flu´ıdo de las sustancias entre s´ı y con el exterior. Trabajaremos con los siguientes supuestos: Una soluci´on con una concentraci´on de entrada ce (masa/volumen) de cierta sustancia X entra al tanque que puede contener X y otras sustancias a una raz´on de entrada ve (t)(vol/tiempo), que se interpreta como un caudal de entrada. La mezcla es agitada instant´aneamente dentro del tanque de forma que en cada punto del tanque la concentraci´on es la misma. A continuaci´on la mezcla sale del tanque a una raz´on vs (t)(vol/tiempo), que se interpreta como un caudal de salida. La pregunta que se quiere responder es: ¿Cu´al es la cantidad x = x(t) de la sustancia X en el tanque, en cada instante? Formulaci´on: Sean x V c

= x(t) ≡ cantidad de sustancia X en el instante t, = V (t) ≡ volumen total de la mezcla en el tanque en el instante t, x = ≡ concentraci´on de X en el tanque en el instante t. V

Puesto que la mezcla es agitada instant´aneamente, para la concentaci´on de salida cs = cs (t) se tiene cs (t) = c(t). 5

Bajo el supuesto de que la sustancia X no se crea ni se destruye en el proceso, y como cs (t) = c(t) = Vx(t) (t) , tenemos que dx x(t) = ve (t) ce (t) − vs (t) cs (t) = ve (t) ce (t) − vs (t) dt V (t) De lo cual se deduce la siguiente ecuaci´on diferencial para x = x(t) dx vs (t) + x = ve (t) ce (t). dt V (t) En cuanto al volumen V = V (t) tenemos dV = ve (t) − vs (t). dt Integrando a ambos lados se tiene

Z

V (t) = V (0) +

t

(v e (ξ) − vs(ξ)) dξ.

0

Ejercicios 1. A un tanque que conten´ıa 400 litros de agua pura se bombea una soluci´on de aguasal que contiene 0.05 kg de sal por litro, a una raz´on de 8 litros por minuto. La mezcla homogeneizada sale con la misma rapidez. El proceso se interrumpe al cabo de 50 minutos y a continuaci´on se bombea agua pura a la misma raz´on de 8 litros por minuto (la mezcla sigue saliendo a la misma velocidad). Determine: a ) La cantidad de sal en el tanque al cabo de los primeros 50 minutos. b) La cantidad de sal al cabo de 100 minutos. c) Esboce la gr´afica de la soluci´on. Respuesta: La cantidad de sal en el tanque al cabo de 50 minutos es 20(1 − e −1 ) y la cantidad de sal al cabo de 100 minutos es 20e−1 (1 − e−1 ). 2. Una sala con un volumen de 32 metros cu ´ bicos est´a inicialmente llena de aire libre de mon´oxido de carbono. A partir del tiempo t = 0 entra a la sala aire con humo de cigarrillo a raz´on de 0,002m3 /min con un 4 % de mon´oxido de carbono. El aire se mezcla r´apidamente en la sala y sale a la misma raz´on de 0,002m3 /min. a ) ¿Cu´anto tardar´a la concentraci´on de mon´oxido de carbono en la sala en alcanzar el nivel del 0,0012 %, peligrosa para seres humanos? b) Si la situaci´on persistiera, ¿qu´e pasar´ıa cuando t → ∞? Respuesta: (a) En t = 4, 8 minutos la concentraci´on de mon´oxido de carbono ser´a del 0,0012 % (b) Si t → ∞ entonces c(t) → 4 %.

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3. Consid´erese un tramo del R´ıo Cauca desde un punto antes de Cali (digamos el Paso de la Balsa) hasta un punto despu´es de Cali (digamos la Laguna de Sonso) como un tanque con un volumen de 60 millones de metros cu ´bicos en el cual hay una concentraci´on de contaminantes (detergentes y t´oxicos de uso dom´estico, desechos industriales, etc.) del 0,00001 %. Sup´ongase que a partir de t = 0 hay una entrada de 1200m3 /seg con una concentraci´on de contaminantes del 0,001 % y que hay una salida de igual cantidad de agua bien mezclada. ¿Cu´al ser´a la concentraci´on de contaminantes despu´es del tiempo t? ¿Cu´anto tardar´a la concentraci´on en elevarse al 0,0001 %? Si las condiciones persistieran, ¿qu´e pasar´ıa cuando t → ∞? Respuesta: La concentraci´on es c(t) = 10−7 (100 − 99 e−0,00002 t ). En t = 4765,51 la concentraci´on ser´a del 0,0001 %. Si t → ∞ entonces c(t) → 0,001 %. 4. Una f´abrica est´a situada cerca de un r´ıo con caudal constante de 1000m3 /seg que vierte sus aguas por la u ´nica entrada de un lago con volumen de 1000 millones de m3 . Suponga que la f´abrica empez´o a funcionar el 10 de enero de 1993, y que desde entonces, dos veces por d´ıa, de 4 a 6 de la man ˜ana y de 4 a 6 de la tarde, bombea contaminantes 3 al r´ıo a raz´on de 1m /seg. Suponga que el lago tiene una salida de 1000m3 /seg de agua bien mezclada. Esboce la gr´afica de la soluci´on y determine la concentraci´on de contaminantes en el lago despu´es de: un d´ıa, un mes (30 d´ıas), un an ˜ o (365 d´ıas). Respuesta: Suponiendo una contaminaci´on constante (que promedie los dos bombeos diarios de contaminaci´on) tenemos: La concentraci´on en un d´ıa es 0,0014 %, en un mes 0,012 % y en un an ˜ o 0,146 %

5.

Ca´ıda de cuerpos cerca de la superficie de la Tierra.

En la Gu´ıa 1 discutimos algunos modelos para la ca´ıda de un cuerpo cerca de la superficie de la Tierra. En la discusi´on definimos un eje vertical de coordenadas con direcci´on positiva apuntando hacia arriba y supusimos que s´olo actuaban la fuerza de la gravedad fW = −m g y una fuerza de fricci´on fR que se opone al movimineto. Si v = v(t) es la velocidad del cuerpo en el tiempo t concluimos que dv m = −m g + fR . (3) dt Si el cuerpo se mueve en un medio flu´ıdo como aire o agua, entonces la direcci´on de la fuerza de fricci´on que ejerce el medio es opuesta a la direcci´on de la velocidad v, mientras su magnitud depende de la rapidez. Se tiene entonces que (ver figura 2) fR (v) :

< 0 si = 0 si > 0 si

v>0 v=0 v<0

Adem´as, en general, entre m´as grande sea la rapidez del cuerpo que cae mayor ser´a la magnitud de la fuerza de fricci´on. Con frecuencia se toma, en lugar de fR (v), su aproximacio´n lineal fR (v) ≈ fR (0) + fR ′ (0) v = fR ′(0) v. 7

Escribiendo γ = −fR ′ (0) se tiene, como caso particular, la ley de fricci´on viscosa fR (v) = −γ v, que da lugar a la ecuaci´on diferencial lineal dv γ + v = −g dt m

(4)

obtenida en la Gu´ıa 1. −γ v fR (v) v

Figura 2: fR y su linealizaci´on Ejemplo 1. Un hombre salta en paraca´ıdas desde el reposo a una gran altura. La masa combinada del hombre y del paraca´ıdas es de 80 kilogramos. Sea v(t) su velocidad t segundos despu´es de empezar a caer. Durante los primeros 10 segundos la resistencia del aire es −15 v. Despu´es, al abrirse el paraca´ıdas la resistencia es −240 v. Considerando al hombre y al paraca´ıdas como una masa puntual, y suponiendo que las u ´nicas fuerzas que actu ´an en el movimiento son la fuerza de gravedad y la fuerza de resistencia al movimiento ejercida por el aire, determinar la velocidad v(t) en cualquier instante t. En particular determine v(10) y v(20). Soluci´on. Tomamos el origen de coordenadas en la superficie de la Tierra. Para 0 < t < 10 tenemos dv 15 + v = −g. dt 80 Como adem´as v(0) = 0 concluimos que 16 g − 3t v(t) = − 1 − e 16 , 0 ≤ t ≤ 10. 3 Tenemos entonces

16 g − 15 1 − e 8 ≈ −44,25. 3 Consideremos ahora t ≥ 10. Para esos valores de t la funci´on v = v(t) satisface la ecuaci´on dv 240 v = −g. + 80 dt v(10) = −

8

0,0

10

t

−44,25

Figura 3: v(t) durante el descenso en paraca´ıdas Como adem´as v(10) ≈ −44,25 concluimos que g g −3(t−10) , 10 ≤ t. v(t) = − + 3 − 44,25 e 3 Entonces v(20) ≈ −3,26. En la figura 2 bosqueja la soluci´on v(t) para t ≥ 0. Ejercicios 1. Un cuerpo de 25 kg se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. Sea v = v(t) la velocidad en el instante t. Determine el tiempo de ascenso del cuerpo suponiendo que las u ´nicas fuerzas que actu ´an son la fuerza de la gravedad y la fuerza de fricci´on ejercida por el aire que es igual a −5 v. ¿Cu´al es la altura m´axima a la que sube el cuerpo? 2. Suponga que la velocidad v = v(t) con la que cae un cuerpo de 1 g de masa satisface la ecuaci´on diferencial (4). Halle la constante γ suponiendo que l´ımt→∞ v(t) = −400 cm/s. 3. Un cuerpo de masa m cae desde el reposo en un medio que opone una fuerza de fricci´on proporcional al cuadrado de la rapidez. Es decir, |fR (v)| = k v 2 para alguna constante de proporcionalidad k. Plantee y resuelva el problema de valor inicial para la velocidad v = v(t) y halle adem´as l´ımt→∞ v(t). Principio de Arqu´ımedes. Un cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza hacia arriba igual al peso del volumen del fluido desalojado por el cuerpo. Esta fuerza es conocida como fuerza arquimediana de boyancia o empuje. Ejercicios 1. Una esfera de masa 5000 kg y volumen 4π3 m3 y un cilindro de 4000 kg y π m3 se sueltan desde el reposo sobre la superficie de un lago. Las fuerzas de fricci´on ejercidas por el agua sobre la esfera y el cilindro son respectivamente −λve y −λvc , donde ve y vc son las velocidades respectivas y λ > 0 es una constante. Suponiendo que las u ´nicas fuerzas que obran son la fuerza de la gravedad, la fuerza de fricci´on y la fuerza arquimediana de boyancia ejercida por el agua, determine las ecuaciones diferenciales para ve = ve (t) y vc = vc (t) ¿cu´al de los dos objetos llega primero al fondo?

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6.

Caida en potencial gravitatorio variable

Un cuerpo de masa m es lanzado verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una velocidad inicial v0 . T´omese el eje z orientado positivamente hacia arriba con el origen sobre la superficie de la Tierra. Suponiendo que no hay resistencia del aire, pero tomando en cuenta la variaci´on del campo gravitacional terrestre con la altura, se obtiene dv m g R2 m =− , dt (R + z)2 donde R es el radio de la Tierra. Ejercicios 1. Sea v(z) = v(z(t)) la velocidad de la masa cuando su altura con respecto a la superficie dv dz de la Tierra es z. Halle una ecuaci´on diferencial para v(z). Sug: dv = dz . Respuesta: dt dt 2 gR dv v dz = − (R+z)2 . 2. Determine la velocidad inicial m´ınima v0 para la cual el cuerpo no retorna a la Tierra. Esto es lo que se llama la velocidad de escape, que se determina exigiendo que v(z) permanezca estrictamente positiva. Respuesta: La velocidad m´ınima de escape es de 11,1 km/s.

7.

Trayectorias ortogonales

En algunos problemas geom´etricos y en algunos problemas f´ısicos se plantea la cuesti´on siguiente: Dada una familia de curvas planas diferenciables descrita por f (x, y, c) = 0

(5)

donde c representa una constante arbitraria, hallar las curvas que, en cada punto, intersecan ortogonalmente a las curvas de la familia dada. Tales curvas se denominan trayectorias ortogonales a (5). El problema puede resolverse as´ı. Si y = y(x) es una curva de la familia descrita por (5), entonces para alguna constante c fija debe tenerse f (x, y(x), c) = 0, para todo x en el domio de y. En este caso, derivando (6) con respecto a x obtenemos ∂f ∂f dy = 0. + ∂x ∂y dx

10 10

(6)

Geom´etricamente la interpretaci´on de la anterior identidad es que la pendiente de la recta tangente a la curva y = y(x) en el punto (x, y(x)), est´a dada por m= (7)

∂f (x, y(x), c) = − ∂f∂x . dx ∂y (x, y(x), c)

dy

Supongamos ahora que la constante c pueda despejarse de (5), en t´erminos de x y y. En ese caso, reeplazando en (6), se obtiene una expresi´on para la pendiente m, que depende unicamente del punto (x, y) y no de la constante c.

Figura 4: Curvas que se intersecan ortogonalmente Ahora bien, si y = y(x) es una curva que interseca ortogonalmente a un miembro de la familia (5) en el punto (x, y), entonces la pendiente m∗ de la recta tangente a y = y(x) en el punto (x, y(x)) satiface m∗ m = −1. Es decir, dy = m∗ = − m1 . Con lo cual obtenemos la dx siguiente ecuaci´on diferencial para la las trayectorias ortogonales: ∂f dy ∂y (x, y, c (x, . (8) = y)) dx ∂f ∂x (x, y, c (x, y)) Ejemplo 2. Buscaremos las trayectorias ortogonales a la familia de para´bolas x − cy2 = 0. Se tiene sucesivamente (derivando, despejando c, etc.): dy x dy y 1 − 2cy = 0, c = 2 , = (ecuaci´on diferencial de las par´abolas). dx y dx 2x La ecuaci´on diferencial de las trayectorias ortogonales es dy 2x =− . dx y 11 11

Figura 5: Ejemplo de familias de curvas ortogonales Una integral general de esta ecuaci´on es la familia de el´ıpses: y2 + 2x2 = k2 . Estas son las trayectorias ortogonales buscadas. Ejercicios 1. En cada caso halle las trayectorias ortogonales a la familia de curvas que se da (c denota una constante cualquiera): (a) y2 − x2 = c, (b) x2 + y2 = c x, (c) y = c ex , (d) ex cos y = c. Respuestas: (a) x y = k, (b) x2 + y2 = k y, (c) y2 = −2x + k, (d) ex sen y = c. 2. En cada caso hallar las curvas que cumplen la condici´on dada. a ) La normal en un punto cualquiera pasa por el origen. Respuesta: x2 + y2 = c. b) La longitud del arco desde el origen a un punto variable es igual de la ra´ız √ √ al doble cuadrada de la abscisa del punto. Respuesta: y = ±(arc sen x + x − x2 ) + c .

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