Analisis Dimensional 5m23v

F Í S I C A

unidad

1

Análisis Dimensional

MAGNITUD FÍSICA

1. [Longitud] = L 2. [Masa] = M 3. [Tiempo] = T

m

4. [Temperatura] = θ 5. [Intensidad de la corriente eléctrica]=I 6. [Intensidad luminosa] = J 7. [Cantidad de sustancia] = N

UNIDAD

os

x.

Dimens. Nombre Símbolo

9. [Área] = L2

L

metro

2 Masa

M

kilogramo

kg

11. [Densidad] = ML–3

3 Tiempo

T

segundo

s

12. [Velocidad] = LT–1

kelvin

K

5 Intensidad de corriente eléctrica 6 Intensidad Luminosa

w.

Li

br

1 Longitud

4 Temperatura θ

m

8. [Número] = 1

ww

Nombre

FÓRMULAS DIMENSIONALES BÁSICAS

bl og sp

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES

damentales. La DIMENSIÓN de una magnitud física se representa del siguiente modo: Sea A la magnitud física. [A] : se lee, dimensión de la magnitud física A.

.co

Es parte de la FÍSICA que estudia las relaciones entre las magnitudes fundamentales y derivadas, en el Sistema Internacional de Unidades, el cual considera siete magnitudes fundamentales. Las magnitudes fundamentales son: longitud, masa, tiempo, temperatura, intensidad de corriente eléctrica, intensidad luminosa y cantidad de sustancia. Las magnitudes derivadas son: área, volumen, densidad, velocidad, aceleración, fuerza, trabajo, potencia, energía, etc.

ot

DIMENSIONES

10. [Volumen] = L3

13. [Aceleración] = LT–2 14. [Fuerza] = MLT–2 15. [Trabajo] = ML2T–2 16. [Energía] = ML2T–2

I

ampere

A

17. [Potencia] = ML2T–3 18. [Presión] = ML–1T–2

J

candela

cd

19. [Período] = T 20. [Frecuencia] = T–1

7 Cantidad de Sustancia

N

mol

mol

21. [Velocidad angular] = T–1 22. [Ángulo] = 1

FÓRMULA DIMENSIONAL

23. [Caudal] = L3T–1

Es aquella igualdad matemática que muestra la relación que existe entre una magnitud derivada y las magnitudes fun-

24. [Aceleración angular] = T–2

U N F V – C E P R E V I

25. [Carga eléctrica] = IT 26. [Iluminación] = JL–2

5

F Í S I C A

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL

2. PROPIEDAD DE LOS EXPONENTES

En una fórmula física, todos los términos de la ecuación son dimensionalmente iguales.

Los exponentes son siempre números, por consiguiente la dimensión de los exponentes es igual a la unidad. Ejemplo: En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de K. x = A3Kf Donde: f : frecuencia Resolución: La dimensión del exponente es igual a la unidad: [3Kf] = 1 [3][K][f] = 1 [K]·T–1 = 1 [K] = T

A – B2 =

C D

C  Entonces: [A] = [B2] =   D  Ejemplo: En la siguiente fórmula física: h = a + bt + ct2 Donde: h : altura t : tiempo Hallar la dimensión de a, b y c. Resolución: Principio de homogeneidad dimensional:

m

ot

w.

Li

APLICACIONES:CASOS ESPECIALES

ww

1 . PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS

Los ángulos son números, en consecuencia la dimensión de los ángulos es igual a la unidad. Ejemplo: En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de x. A = K Cos (2πxt) Donde: t : tiempo Resolución: La dimensión del ángulo es igual a la unidad: [2πxt] = 1 [2π][x][t] = 1 [x]·T = 1 [x] = T–1

6

En las operaciones dimensionales no se cumplen las reglas de la adición y sustracción. L+L=L ... (1) M–M=M ... (2)

bl og sp os

x.

L = [a] L = [b]T ⇒ [b] = LT–1 L = [c]T2 ⇒ [c] = LT–2

br

De (I): De (II): De (III):

3. PROPIEDAD DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

.co

[h] = [a] = [b·t] = [c·t2] I II III

Ejemplo: Hallar la dimensión de R en la siguiente fórmula física: R = (k–t)(K2+a)(a2–b) Donde: t : tiempo Resolución: Principio de homogeneidad dimensional: [K] = [t] = T [K2] = [a] = T2 [a2] = [b] = T4 Analizando la fórmula tenemos: 2 − b] a [R] = [K − t] [ K 2 +

a] [

[R] = T · T2 · T4

[R] = T7

4. FÓRMULAS EMPÍRICAS Son aquellas fórmulas físicas que se obtienen a partir de datos experimenU N F V – C E P R E V I

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tales conseguidos de la vida cotidiana o en el laboratorio de ciencias. Ejemplo: La energía cinética E de un cuerpo depende de su masa "m" y de la rapidez lineal V. E=

mx ⋅ V y 2

Hallar: x+y Resolución: Aplicando el principio de homogeneidad dimensional.

[E] =

[mx ][ V y ] [2]

[E] = Mx · (LT–1)y M1L2T–2 = MxLyT–y A bases iguales le corresponden exponentes iguales: Para M: x = 1 Para L: y = 2 Luego: (x+y) = 3

PROBLEMAS

bl og sp

ot

.co

m

1. De las siguientes proposiciones, indicar verdadero (V) o falso (F): I. [Densidad] = L–3M II. [Presión] = ML–1T–3 III. [Caudal] = L3T–1 a) VVF b) FVV c) VFF d) VVV e) VFV

ww

w.

Li

br

os

x.

2. De las siguientes proposiciones indicar verdadero (V) o falso (F): I. La cantidad de calor y el trabajo tienen la misma fórmula dimensional. II. La velocidad de la luz y la velocidad del sonido tienen diferente fórmula dimensional. III. La dimensión del número es igual a cero: [número]=0 a) FVV b) VFV c) VVF d) VVV e) VFF 3. En las siguientes ecuaciones, determinar la dimensión de: A·B·C. I. 750 metros + A = 1 km II. 2 kg – B = 500 gramos III. 12 horas + C = 2 días a) L b) LM c) LMT d) 1 e) L2T–2 4. En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión K. K=

m⋅V F⋅t

m : masa ; V : velocidad ; F : fuerza ; t : tiempo a) L2 b) T3 c) LT–3 d) ML–3 e) M0

U N F V – C E P R E V I

7

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5. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de K. K = n·a·t2 + bn a : aceleración ; t : tiempo a) L0 b) L c) L2 d) L3 e) L4 6. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de K. K= a) L

x3

; h : distancia

(y − h)( y 2 + 3x )

b) L2

c) T3

d) L3

e) L6

7. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de K.

a) L2

V = K − A2 ; V : velocidad b) LT–2 c) L2T–1 d) L2T–2 e) LT–1

ot

.co

m

8. En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión de m. K3 = bn + 5m·n2 Donde: k : longitud a) L2 b) L3 c) L4 d) T6 e) L–3

x.

d) T–1

c) T

br

b) 1

; t : tiempo

e) T–2

Li

a) 0

1 2

os

Cos (2πKt) =

bl og sp

9. En la siguiente ecuación, hallar la dimensión de K.

ww

w.

10. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de K. K = A·W·Cos (wf+π) A : distancia ; f : frecuencia b) LT–2 c) L d) LT e) T0 a) LT–1 11. En la siguiente fórmula física, determinar el valor de "x". d = Sen 30°·g·tx d : distancia ; g : aceleración ; t : tiempo a) 1 b) 2 c) 3 d) –2 e) –1 12. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de A·B. x = A Log (2πB) ; x : longitud d) LT e) M–3 a) 1 b) L c) L2 13. Hallar la dimensión K, en la siguiente ecuación: y = Log  a ⋅ k   V  a : aceleración ; V : velocidad c) T3 a) T b) T2 8

d) L–2

e) LT–2 U N F V – C E P R E V I

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14. En la siguiente fórmla física, hallar la dimensión de K. x = A·B2πfK x : distancia ; f : frecuencia a) LT–1 b) LT–2 c) T 3 d) L e) T–2 15. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de A·B·C. x = A + 2Bt + 3Ct2 x : distancia ; t : tiempo a) L3 b) T–3 c) L2T–3 d) L3T–3 e) L3T–2

TAREA

.co

m

1. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de A·B. x = A·Sen (2πfB) x : distancia ; f : frecuencia d) LT2 e) LT a) L b) T c) L2T

Vx (Sen 30°)a

x.

d=

bl og sp

ot

2. En la siguiente fórmula física, hallar el valor de "x".

Li

br

os

d : distancia ; a : aceleración ; V : velocidad a) 1 b) 2 c) –1 d) –2 e) 3

ww

w.

3. En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión de K. B = KP + 2,331 E E : energía ; P : presión b) L3 c) T2 a) L2 3 2 d) T e) M 4. En la siguiente fórmula física, determinar el valor de x. V = (Log π)(Sen 37°) hx V : volumen ; h : altura a) –2 b) –1 c) 1 d) 2 e) 3 5. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de A. m·A = D(Log π)(Sec 60°) m : masa ; D : densidad b) L3 c) LT2 a) L2 d) ML3 e) L–3

U N F V – C E P R E V I

9

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6. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de K. A = B3Kt f: frecuencia ; B : número ; t : tiempo a) T–1 b) T c) T–2 2 0 d) T e) T 7. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de J. J= a) M0

( W 2 − 4k )

; x : masa

(x − 2y )( y 2 + 3W)

b) M

c) M2

d) M3

e) M4

8. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de W. W = (x–h)(x2+a)(a2+y) Donde: h : temperatura b) θ6 c) θ7 a) θ5 d) θ9 e) θ3

os

x.

bl og sp

ot

.co

m

9. Determinar la dimensión de K en la siguiente fórmula física. K·V = F·t V : velocidad ; F : fuerza ; t : tiempo a) L b) M c) T e) M3 d) L2

ww

w.

Li

br

10. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión K. E = Sen 30° · KVSec 60° E : trabajo ; V : velocidad a) L3 b) ML–2 c) M e) LT–1 d) M2

1. e 1. e 10

2. e 2. b

3. c 3. b

4. e 4. e

5. b 5. b

6. d 6. a

7. d 7. b

CLAVES 8. b 9. d 10. d 11. b 12. b 13. a 14. c 15. d 8. c 9. b 10. c U N F V – C E P R E V I