Analisecombinatoria 555vb
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Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano Josimar da Silva Rocha
6 de outubro de 2011
Josimar da Silva Rocha
´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Princ´ıpio Fundamental da Contagem
˜ d1 pode ser tomada de x maneiras e se, uma vez Se uma decisao ˜ d1 , a decisao ˜ d2 puder ser tomada em y maneiras tomada a decisao ˜ o numero ˜ d1 e d2 e´ entao de maneiras de se tomarem as decisoes ´ xy .
Josimar da Silva Rocha
´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exemplo Numa sala ha´ 3 homens e 4 mulheres. De quantos modos e´ poss´ıvel selecionar um casal homem-mulher?
Josimar da Silva Rocha
´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exemplo ˜ Paulo-Rio, posso usar como Para fazer uma viagem Rio-Sao ˆ ˜ De quantos modos posso transporte o trem, o onibus ou o aviao. ˜ desejo usar na volta o mesmo meio escolher os transportes se nao de transporte usado na ida?
Josimar da Silva Rocha
´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exemplo ´ ˜ formadas por duas letras (num As placas dos automoveis sao alfabeto de 26 letras) seguidas por quatro algarismos. Quantas placas podem ser formadas?
Josimar da Silva Rocha
´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exemplo De quantos modos 3 pessoas podem sentar-se em 5 cadeiras em fila?
Josimar da Silva Rocha
´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exemplo Quantos numeros diferentes podem ser formados multiplicando ´ alguns (ou todos) dos numeros 1, 5, 6, 7, 7, 9, 9, 9? ´
Josimar da Silva Rocha
´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exemplo ˜ brasileira de futebol ira´ disputar um torneio internacional A selec¸ao ˜ com outras cinco selec¸oes, no sistema “todos jogam contra todos ˆ uma unica vez”. Quais as poss´ıveis sequencias de resultados – ´ ´ vitoria (V), empate (E) e derrota (D) – da equipe brasileira nesse torneio?
Josimar da Silva Rocha
´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exemplo ˜ oferecidas quatro turmas de No primeiro semestre de 2012 serao ´ ˆ turmas de Geometria Anal´ıtica, duas turmas de Calculo I, tres ´ Fundamentos de Matematica Elementar e apenas uma turma de ˜ a` Logica ´ ´ Introduc¸ao Matematica. Sabendo-se que um calouro ´ aprovado para o curso de Matematica devera´ cursar todas as disciplinas acima mencionadas, de quantas maneiras distintas ele ˜ que podera´ se matricular nas mesmas, levando-se em considerac¸ao ˜ oferecidas num mesmo as turmas de uma mesma disciplina sao ´ ˜ existe coincidencia ˆ ´ horario e nao de horarios entre as disciplinas?
Josimar da Silva Rocha
´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exemplo (a) Quantos numeros de cinco algarismos existem? ´ (b) Quantos numeros ´ ´ımpares de cinco algarismos existem? (c) Quantos numeros pares de cinco algarismos distintos existem? ´
Josimar da Silva Rocha
´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exemplo (a) Quantos numeros de cinco algarismos existem? ´ (b) Quantos numeros ´ ´ımpares de cinco algarismos existem? (c) Quantos numeros pares de cinco algarismos distintos existem? ´
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´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exemplo (a) Quantos numeros de cinco algarismos existem? ´ (b) Quantos numeros ´ ´ımpares de cinco algarismos existem? (c) Quantos numeros pares de cinco algarismos distintos existem? ´
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´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exemplo Um dado foi lanc¸ado n vezes sucessivamente. Sabendo-se que o ˆ numero de sequencias de faces poss´ıveis de se obter e´ 368 , qual e´ o ´ valor de n?
Josimar da Silva Rocha
´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exemplo ´ Para os hospedes que desejam tomar cafe´ da manha˜ no quarto, um ˜ hotel oferece as seguintes opc¸oes: bebidas quentes: chocolate, cafe´ puro, cha´ e cafe´ com leite. sucos: laranja e abacaxi. ˜ s, ˆ pao ˜ de forma ˆ ˜ integral. ˜ paes: croissant, pao e pao queijo: branco, mussarela e queijo prato. ´ ˜ um suco, um pao ˜ e um tipo O hospede X fez a seguinte solicitac¸ao: ´ de queijo. O hospede Y pediu: uma bebida quente ou um suco, um ˜ e um tipo de queijo. De quantas formas distintas cada hospede ´ pao podera´ ser servido?
Josimar da Silva Rocha
´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exemplo ˜ para um amplo Num hospital existem 3 portas de entrada que dao ˜ no qual existem 5 elevadores. Um visitante deve se dirigir ao saguao 6o andar, utilizando-se de um dos elevadores. De quantas maneiras ¯ ˆ diferentes podera´ faze-lo?
Josimar da Silva Rocha
´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exemplo ˜ de uma escola ha´ tres ˆ candidatos a presidente, cinco a Numa eleic¸ao ´ vice-presidente, seis a secretario e sete a tesoureiro. Quantos ˜ podem ser os resultados da eleic¸ao?
Josimar da Silva Rocha
´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exemplo ˆ ˜ sorteados entre 10 pessoas. Quantos serao ˜ os Dois premios sao ˜ pode ser poss´ıveis resultados, sabendo que uma pessoa nao sorteada mais de uma vez?
Josimar da Silva Rocha
´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
´ Caso sem tecnica conhecida
ˆ ˜ de notas Quero retirar 100 reais de um caixa eletronico que dispoe ˜ de 5 e 10 reais. Quantas serao as possibilidades para este saque?
Josimar da Silva Rocha
´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Fatorial de um numero natural ´
´ O Fatorial de um numero ´ natural n e´ definido matematicamente por 1 se n = 0 n! = n(n − 1)! se n ∈ N∗
Josimar da Silva Rocha
´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exerc´ıcio Calcule o valor de: a)
7! 5! · 2!
d)
15! · 4! 13! · 3!
b)
8! · 6! 7! · 7!
e)
21! − 3 · 20! 19!
c) 17! − 17 · 16!
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´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exerc´ıcio Calcule o valor de: a)
7! 5! · 2!
d)
15! · 4! 13! · 3!
b)
8! · 6! 7! · 7!
e)
21! − 3 · 20! 19!
c) 17! − 17 · 16!
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´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exerc´ıcio ˜ Resolva as seguintes equac¸oes: n! (a) =4 (n − 1)! 5 (n − 1)!(n + 1)! (b) = (n!)2 4 (c) (n!)2 − 100n! = 2400
Josimar da Silva Rocha
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Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exerc´ıcio ˜ Resolva as seguintes equac¸oes: n! (a) =4 (n − 1)! (n − 1)!(n + 1)! 5 (b) = (n!)2 4 (c) (n!)2 − 100n! = 2400
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Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exerc´ıcio ˜ Resolva as seguintes equac¸oes: n! (a) =4 (n − 1)! (n − 1)!(n + 1)! 5 (b) = (n!)2 4 (c) (n!)2 − 100n! = 2400
Josimar da Silva Rocha
´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Tipos de Agrupamentos
ˆ tipos de Agrupamentos de k elementos distintos Existem tres escolhidos entre n dispon´ıveis que podem ser obtidos a partir do Princ´ıpio Fundamental da Contagem: (a) Arranjos (a ordem importa); ˜ (arranjos, onde k=n); (b) Permutac¸oes ˜ (a ordem nao ˜ importa). (c) Combinac¸oes
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´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Tipos de Agrupamentos
ˆ tipos de Agrupamentos de k elementos distintos Existem tres escolhidos entre n dispon´ıveis que podem ser obtidos a partir do Princ´ıpio Fundamental da Contagem: (a) Arranjos (a ordem importa); ˜ (arranjos, onde k=n); (b) Permutac¸oes ˜ (a ordem nao ˜ importa). (c) Combinac¸oes
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Tipos de Agrupamentos
ˆ tipos de Agrupamentos de k elementos distintos Existem tres escolhidos entre n dispon´ıveis que podem ser obtidos a partir do Princ´ıpio Fundamental da Contagem: (a) Arranjos (a ordem importa); ˜ (arranjos, onde k=n); (b) Permutac¸oes ˜ (a ordem nao ˜ importa). (c) Combinac¸oes
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Arranjos
˜ Definic¸ao Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo dos ˆ n elementos, tomados k a k , a qualquer sequencia ordenada de k elementos distintos escolhidos entre os n existentes.
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´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
˜ da Formula: ´ Obtenc¸ao Pelo PFC: ··· |
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n modos
}|
{z
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(n−1) modos (n−2) modos
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Logo, An,k =
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(n−k+1) modos
n! (n − k )!
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
˜ da Formula: ´ Obtenc¸ao Pelo PFC: ··· |
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
˜ da Formula: ´ Obtenc¸ao Pelo PFC: ··· |
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo ˆ Para ocupar os cargos de presidente e vice-presidente do gremio de ´ um colegio, candidataram-se dez alunos. De quantos modos distintos pode ser feita essa escolha?
Josimar da Silva Rocha
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo A senha de o a uma rede de computadores e´ formada por uma ˆ sequencia de quatro letras distintas (alfabeto com 26 letras) seguida por dois algarismos distintos. ˜ as poss´ıveis senhas de o? (a) Quantas sao (b) Quantas senhas apresentam simultaneamente apenas consoantes e algarismos maiores que 5?
Josimar da Silva Rocha
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo A senha de o a uma rede de computadores e´ formada por uma ˆ sequencia de quatro letras distintas (alfabeto com 26 letras) seguida por dois algarismos distintos. ˜ as poss´ıveis senhas de o? (a) Quantas sao (b) Quantas senhas apresentam simultaneamente apenas consoantes e algarismos maiores que 5?
Josimar da Silva Rocha
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo ˜ e tres ˆ filhos) Sabe-se que as cinco pessoas de uma fam´ılia (pai, mae ˜ as sequencias ˆ nasceram em meses diferentes do ano. Quantas sao que representam os poss´ıveis meses de nascimento dos membros dessa fam´ılia?
Josimar da Silva Rocha
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo Seis amigos participam de uma brincadeira de futebol, que consiste ˆ em cobranc¸a de penaltis. Cada um escolhe, de todas as formas ˆ poss´ıveis, um colega para bater o penalti e um outro para tentar ˆ defende-lo. ˆ ˜ feitas nessa brincadeira? (a) Quantas cobranc¸as de penalti sao (b) Quantas cobranc¸as haveria se o grupo resolvesse convidar um ´ setimo amigo para que ele escolhesse, de todas as formas ˆ poss´ıveis, o cobrador e o defensor do penalti?
Josimar da Silva Rocha
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo Seis amigos participam de uma brincadeira de futebol, que consiste ˆ em cobranc¸a de penaltis. Cada um escolhe, de todas as formas ˆ poss´ıveis, um colega para bater o penalti e um outro para tentar ˆ defende-lo. ˆ ˜ feitas nessa brincadeira? (a) Quantas cobranc¸as de penalti sao (b) Quantas cobranc¸as haveria se o grupo resolvesse convidar um ´ setimo amigo para que ele escolhesse, de todas as formas ˆ poss´ıveis, o cobrador e o defensor do penalti?
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
˜ Permutac¸oes
˜ Definic¸ao ˆ Quando uma sequencia ordenada (arranjo) e´ formada por todos os ˜ elementos dispon´ıveis, dizemos que se trata de uma permutac¸ao. ˜ Pn de n elementos distintos e´ Assim, o numero de permutac¸oes ´ Pn = n!
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo ˜ os anagramas formados a partir da palavra SAPO? Quais sao
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AOPS APSO OAPS OPSA PAOS POSA SAOP SOPA
AOSP ASOP OASP OSAP PASO PSAO SAPO SPAO
Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
APOS ASPO OPAS OSPA POAS PSOA SOAP SPOA
˜ p4 = 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 anagramas. Sao
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AOPS APSO OAPS OPSA PAOS POSA SAOP SOPA
AOSP ASOP OASP OSAP PASO PSAO SAPO SPAO
Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
APOS ASPO OPAS OSPA POAS PSOA SOAP SPOA
˜ p4 = 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 anagramas. Sao
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo ˆ tres ˆ filhos: Thiago, Pedro e Andre. ´ A fam´ılia quer Jose´ e Maria tem ˜ de uma viagem na qual todos aparec¸am tirar uma foto de recordac¸ao lado a lado. (a) De quantas formas distintas os membros da fam´ılia podem se distribuir? (b) Em quantas possibilidades o casal aparece junto?
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo ˆ tres ˆ filhos: Thiago, Pedro e Andre. ´ A fam´ılia quer Jose´ e Maria tem ˜ de uma viagem na qual todos aparec¸am tirar uma foto de recordac¸ao lado a lado. (a) De quantas formas distintas os membros da fam´ılia podem se distribuir? (b) Em quantas possibilidades o casal aparece junto?
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo Considere os anagramas formados a partir de CONQUISTA. ˜ (a) Quantos sao? (b) Quantos comec¸am por vogal? (c) Quantos comec¸am e terminam por consoante? ˆ as letras CON juntas e nessa ordem? (d) Quantos tem (e) Quantos apresentam a letra C antes da letra A?
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo Considere os anagramas formados a partir de CONQUISTA. ˜ (a) Quantos sao? (b) Quantos comec¸am por vogal? (c) Quantos comec¸am e terminam por consoante? ˆ as letras CON juntas e nessa ordem? (d) Quantos tem (e) Quantos apresentam a letra C antes da letra A?
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo Considere os anagramas formados a partir de CONQUISTA. ˜ (a) Quantos sao? (b) Quantos comec¸am por vogal? (c) Quantos comec¸am e terminam por consoante? ˆ as letras CON juntas e nessa ordem? (d) Quantos tem (e) Quantos apresentam a letra C antes da letra A?
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo Considere os anagramas formados a partir de CONQUISTA. ˜ (a) Quantos sao? (b) Quantos comec¸am por vogal? (c) Quantos comec¸am e terminam por consoante? ˆ as letras CON juntas e nessa ordem? (d) Quantos tem (e) Quantos apresentam a letra C antes da letra A?
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo Considere os anagramas formados a partir de CONQUISTA. ˜ (a) Quantos sao? (b) Quantos comec¸am por vogal? (c) Quantos comec¸am e terminam por consoante? ˆ as letras CON juntas e nessa ordem? (d) Quantos tem (e) Quantos apresentam a letra C antes da letra A?
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo ˆ filhos: Pedro, Paulo e Andre. ´ Os tres ˆ casaram-se Dona Lola tem tres ˆ respectivamente, 1, 3 e 2 filhos. Em um domingo, dona Lola e tem, ˆ filhos, acompanhados das recebeu, para o almoc¸o, seus tres ´ de todos os netos. Como recordac¸ao, ˜ ela respectivas esposas, alem fotografou todos os familiares, lado a lado, mas pediu que cada filho aparecesse junto de sua fam´ılia. De quantas formas distintas a foto poderia ter sido feita?
Josimar da Silva Rocha
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo Se colocarmos em ordem crescente todos os numeros de 5 ´ ˜ do algarismos distintos, obtidos com 1, 3, 4, 6 e 7, qual sera´ a posic¸ao numero 61473 ? ´
Josimar da Silva Rocha
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Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
˜ Combinac¸oes
˜ Definic¸ao Dado um conjunto A com n elementos distintos, chama-se ˜ dos n elementos de A, tomados k a k , qualquer combinac¸ao subconjunto de A formado por k elementos.
Josimar da Silva Rocha
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
´ ´ ˜ Formula para o Calculo do numero de Combinac¸oes ´
Cn,k
An,k n! = = = k! (n − k )!k !
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n k
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo Quantas saladas contendo exatamente 4 frutas podemos formar se dispomos de 10 frutas diferentes?
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Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo Marcam-se 5 pontos sobre uma reta r e 8 pontos sobre uma reta r 0 ˆ ´ paralela a r . Quantos triangulos existem com vertices em 3 desses 13 pontos.
Josimar da Silva Rocha
´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo De quantos modos podemos escolher 6 pessoas, incluindo pelo menos duas mulheres, em um grupo de 7 homens e 4 mulheres?
Josimar da Silva Rocha
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Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo De um grupo de 5 pessoas, de quantas maneiras distintas posso convidar uma ou mais para jantar?
Josimar da Silva Rocha
´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo Quantos subconjuntos de 2 elementos tem um conjunto de 6 elementos?
Josimar da Silva Rocha
´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo Quantas diagonais possui um pol´ıgono de n lados?
Josimar da Silva Rocha
´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo ˆ Sobre uma circunferencia marcam-se dez pontos. (a) Qual e´ o numero de segmentos de reta que podemos trac¸ar com ´ extremidades em dois desses pontos? ˆ ´ ˆ (b) Quantos triangulos podemos construir com vertices em tres desses pontos? (c) Quantos pol´ıgonos com 4, 5, 6 ou 7 lados podem ser trac¸ados ´ com vertices nesses pontos?
Josimar da Silva Rocha
´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo ˆ Sobre uma circunferencia marcam-se dez pontos. (a) Qual e´ o numero de segmentos de reta que podemos trac¸ar com ´ extremidades em dois desses pontos? ˆ ´ ˆ (b) Quantos triangulos podemos construir com vertices em tres desses pontos? (c) Quantos pol´ıgonos com 4, 5, 6 ou 7 lados podem ser trac¸ados ´ com vertices nesses pontos?
Josimar da Silva Rocha
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo ˆ Sobre uma circunferencia marcam-se dez pontos. (a) Qual e´ o numero de segmentos de reta que podemos trac¸ar com ´ extremidades em dois desses pontos? ˆ ´ ˆ (b) Quantos triangulos podemos construir com vertices em tres desses pontos? (c) Quantos pol´ıgonos com 4, 5, 6 ou 7 lados podem ser trac¸ados ´ com vertices nesses pontos?
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´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo Em um curso de espanhol estudam vinte alunos, sendo dozes rapazes e oito moc¸as. O professor quer formar uma equipe de quatro ˆ alunos para intercambio em outro pa´ıs. Quantas equipes de dois rapazes e duas moc¸as podem ser formadas?
Josimar da Silva Rocha
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo ˜ dispon´ıveis os Para montar uma cesta de cafe´ da manha˜ estao ˜ ˆ tipos de queijo, tres ˆ tipos seguintes itens: quatro tipos de paes, tres ´ e quatro sabores de tortas doces. de frutas, cinco sabores de geleia De quantos modos distintos a ceta podera´ ser montada se um cliente ˜ pedir dois tipos de paes, um tipo de queijo, duas frutas, dois sabores ´ e um torta doce? de geleia
Josimar da Silva Rocha
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
˜ Definic¸ao ˆ Nos casos em que cada resultado poss´ıvel e´ uma sequencia ˜ de elementos, dizemos que se ordenada, nos quais ocorre repetic¸ao ˜ com repetic¸ao. ˜ trata de permutac¸ao
Josimar da Silva Rocha
´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
´ Formula Geral Se temos n elementos, dos quais ˜ iguais a a1 , n1 sao ˜ iguais a a2 , n2 sao ˜ iguais a a3 , n3 sao .. . ˜ iguais a ak , nk sao ˜ o numero ˜ poss´ıveis e´ dado por entao de permutac¸oes ´ (n1 ,n2 ,··· ,nk )
pn
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=
n! n1 !n2 ! · · · nk !
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Exemplo Qual e´ o numero de anagramas formados a partir da palavra ´ VENEZUELA?
Josimar da Silva Rocha
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Exemplo Qual e´ o numero de anagramas da palavra MARROCOS? ´
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo Permutando os algarismos 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, quantos numeros ´ de 10 algarismos podemos formar?
Josimar da Silva Rocha
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Exemplo Uma prova e´ constitu´ıda de dez testes do tipo V ou F . ˆ ˜ poss´ıveis? (a) Quantas sequencias de respostas sao ˆ ˆ respostas V e sete (b) Quantas sequencias apresentam tres respostas F ?
Josimar da Silva Rocha
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo Uma prova e´ constitu´ıda de dez testes do tipo V ou F . ˆ ˜ poss´ıveis? (a) Quantas sequencias de respostas sao ˆ ˆ respostas V e sete (b) Quantas sequencias apresentam tres respostas F ?
Josimar da Silva Rocha
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo Quantos numeros de 7 d´ıgitos, maiores que 6 000 000, podem ser ´ formados usando apenas os algarismos 1, 3, 6, 6, 6, 8, 8 ?
Josimar da Silva Rocha
´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano Josimar da Silva Rocha
6 de outubro de 2011
Josimar da Silva Rocha
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Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Princ´ıpio Fundamental da Contagem
˜ d1 pode ser tomada de x maneiras e se, uma vez Se uma decisao ˜ d1 , a decisao ˜ d2 puder ser tomada em y maneiras tomada a decisao ˜ o numero ˜ d1 e d2 e´ entao de maneiras de se tomarem as decisoes ´ xy .
Josimar da Silva Rocha
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Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exemplo Numa sala ha´ 3 homens e 4 mulheres. De quantos modos e´ poss´ıvel selecionar um casal homem-mulher?
Josimar da Silva Rocha
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Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exemplo ˜ Paulo-Rio, posso usar como Para fazer uma viagem Rio-Sao ˆ ˜ De quantos modos posso transporte o trem, o onibus ou o aviao. ˜ desejo usar na volta o mesmo meio escolher os transportes se nao de transporte usado na ida?
Josimar da Silva Rocha
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Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exemplo ´ ˜ formadas por duas letras (num As placas dos automoveis sao alfabeto de 26 letras) seguidas por quatro algarismos. Quantas placas podem ser formadas?
Josimar da Silva Rocha
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Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exemplo De quantos modos 3 pessoas podem sentar-se em 5 cadeiras em fila?
Josimar da Silva Rocha
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Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exemplo Quantos numeros diferentes podem ser formados multiplicando ´ alguns (ou todos) dos numeros 1, 5, 6, 7, 7, 9, 9, 9? ´
Josimar da Silva Rocha
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Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exemplo ˜ brasileira de futebol ira´ disputar um torneio internacional A selec¸ao ˜ com outras cinco selec¸oes, no sistema “todos jogam contra todos ˆ uma unica vez”. Quais as poss´ıveis sequencias de resultados – ´ ´ vitoria (V), empate (E) e derrota (D) – da equipe brasileira nesse torneio?
Josimar da Silva Rocha
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Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exemplo ˜ oferecidas quatro turmas de No primeiro semestre de 2012 serao ´ ˆ turmas de Geometria Anal´ıtica, duas turmas de Calculo I, tres ´ Fundamentos de Matematica Elementar e apenas uma turma de ˜ a` Logica ´ ´ Introduc¸ao Matematica. Sabendo-se que um calouro ´ aprovado para o curso de Matematica devera´ cursar todas as disciplinas acima mencionadas, de quantas maneiras distintas ele ˜ que podera´ se matricular nas mesmas, levando-se em considerac¸ao ˜ oferecidas num mesmo as turmas de uma mesma disciplina sao ´ ˜ existe coincidencia ˆ ´ horario e nao de horarios entre as disciplinas?
Josimar da Silva Rocha
´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exemplo (a) Quantos numeros de cinco algarismos existem? ´ (b) Quantos numeros ´ ´ımpares de cinco algarismos existem? (c) Quantos numeros pares de cinco algarismos distintos existem? ´
Josimar da Silva Rocha
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Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exemplo (a) Quantos numeros de cinco algarismos existem? ´ (b) Quantos numeros ´ ´ımpares de cinco algarismos existem? (c) Quantos numeros pares de cinco algarismos distintos existem? ´
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Exemplo (a) Quantos numeros de cinco algarismos existem? ´ (b) Quantos numeros ´ ´ımpares de cinco algarismos existem? (c) Quantos numeros pares de cinco algarismos distintos existem? ´
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Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exemplo Um dado foi lanc¸ado n vezes sucessivamente. Sabendo-se que o ˆ numero de sequencias de faces poss´ıveis de se obter e´ 368 , qual e´ o ´ valor de n?
Josimar da Silva Rocha
´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exemplo ´ Para os hospedes que desejam tomar cafe´ da manha˜ no quarto, um ˜ hotel oferece as seguintes opc¸oes: bebidas quentes: chocolate, cafe´ puro, cha´ e cafe´ com leite. sucos: laranja e abacaxi. ˜ s, ˆ pao ˜ de forma ˆ ˜ integral. ˜ paes: croissant, pao e pao queijo: branco, mussarela e queijo prato. ´ ˜ um suco, um pao ˜ e um tipo O hospede X fez a seguinte solicitac¸ao: ´ de queijo. O hospede Y pediu: uma bebida quente ou um suco, um ˜ e um tipo de queijo. De quantas formas distintas cada hospede ´ pao podera´ ser servido?
Josimar da Silva Rocha
´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exemplo ˜ para um amplo Num hospital existem 3 portas de entrada que dao ˜ no qual existem 5 elevadores. Um visitante deve se dirigir ao saguao 6o andar, utilizando-se de um dos elevadores. De quantas maneiras ¯ ˆ diferentes podera´ faze-lo?
Josimar da Silva Rocha
´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exemplo ˜ de uma escola ha´ tres ˆ candidatos a presidente, cinco a Numa eleic¸ao ´ vice-presidente, seis a secretario e sete a tesoureiro. Quantos ˜ podem ser os resultados da eleic¸ao?
Josimar da Silva Rocha
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Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exemplo ˆ ˜ sorteados entre 10 pessoas. Quantos serao ˜ os Dois premios sao ˜ pode ser poss´ıveis resultados, sabendo que uma pessoa nao sorteada mais de uma vez?
Josimar da Silva Rocha
´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
´ Caso sem tecnica conhecida
ˆ ˜ de notas Quero retirar 100 reais de um caixa eletronico que dispoe ˜ de 5 e 10 reais. Quantas serao as possibilidades para este saque?
Josimar da Silva Rocha
´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Fatorial de um numero natural ´
´ O Fatorial de um numero ´ natural n e´ definido matematicamente por 1 se n = 0 n! = n(n − 1)! se n ∈ N∗
Josimar da Silva Rocha
´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exerc´ıcio Calcule o valor de: a)
7! 5! · 2!
d)
15! · 4! 13! · 3!
b)
8! · 6! 7! · 7!
e)
21! − 3 · 20! 19!
c) 17! − 17 · 16!
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´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exerc´ıcio Calcule o valor de: a)
7! 5! · 2!
d)
15! · 4! 13! · 3!
b)
8! · 6! 7! · 7!
e)
21! − 3 · 20! 19!
c) 17! − 17 · 16!
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´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exerc´ıcio ˜ Resolva as seguintes equac¸oes: n! (a) =4 (n − 1)! 5 (n − 1)!(n + 1)! (b) = (n!)2 4 (c) (n!)2 − 100n! = 2400
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´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exerc´ıcio ˜ Resolva as seguintes equac¸oes: n! (a) =4 (n − 1)! (n − 1)!(n + 1)! 5 (b) = (n!)2 4 (c) (n!)2 − 100n! = 2400
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Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Exerc´ıcio ˜ Resolva as seguintes equac¸oes: n! (a) =4 (n − 1)! (n − 1)!(n + 1)! 5 (b) = (n!)2 4 (c) (n!)2 − 100n! = 2400
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´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Tipos de Agrupamentos
ˆ tipos de Agrupamentos de k elementos distintos Existem tres escolhidos entre n dispon´ıveis que podem ser obtidos a partir do Princ´ıpio Fundamental da Contagem: (a) Arranjos (a ordem importa); ˜ (arranjos, onde k=n); (b) Permutac¸oes ˜ (a ordem nao ˜ importa). (c) Combinac¸oes
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´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Tipos de Agrupamentos
ˆ tipos de Agrupamentos de k elementos distintos Existem tres escolhidos entre n dispon´ıveis que podem ser obtidos a partir do Princ´ıpio Fundamental da Contagem: (a) Arranjos (a ordem importa); ˜ (arranjos, onde k=n); (b) Permutac¸oes ˜ (a ordem nao ˜ importa). (c) Combinac¸oes
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´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Tipos de Agrupamentos
ˆ tipos de Agrupamentos de k elementos distintos Existem tres escolhidos entre n dispon´ıveis que podem ser obtidos a partir do Princ´ıpio Fundamental da Contagem: (a) Arranjos (a ordem importa); ˜ (arranjos, onde k=n); (b) Permutac¸oes ˜ (a ordem nao ˜ importa). (c) Combinac¸oes
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´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Arranjos
˜ Definic¸ao Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo dos ˆ n elementos, tomados k a k , a qualquer sequencia ordenada de k elementos distintos escolhidos entre os n existentes.
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
˜ da Formula: ´ Obtenc¸ao Pelo PFC: ··· |
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n modos
}|
{z
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(n−1) modos (n−2) modos
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{z
Logo, An,k =
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}
(n−k+1) modos
n! (n − k )!
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
˜ da Formula: ´ Obtenc¸ao Pelo PFC: ··· |
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
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˜ da Formula: ´ Obtenc¸ao Pelo PFC: ··· |
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˜ da Formula: ´ Obtenc¸ao Pelo PFC: ··· |
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˜ da Formula: ´ Obtenc¸ao Pelo PFC: ··· |
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Exemplo ˆ Para ocupar os cargos de presidente e vice-presidente do gremio de ´ um colegio, candidataram-se dez alunos. De quantos modos distintos pode ser feita essa escolha?
Josimar da Silva Rocha
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo A senha de o a uma rede de computadores e´ formada por uma ˆ sequencia de quatro letras distintas (alfabeto com 26 letras) seguida por dois algarismos distintos. ˜ as poss´ıveis senhas de o? (a) Quantas sao (b) Quantas senhas apresentam simultaneamente apenas consoantes e algarismos maiores que 5?
Josimar da Silva Rocha
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo A senha de o a uma rede de computadores e´ formada por uma ˆ sequencia de quatro letras distintas (alfabeto com 26 letras) seguida por dois algarismos distintos. ˜ as poss´ıveis senhas de o? (a) Quantas sao (b) Quantas senhas apresentam simultaneamente apenas consoantes e algarismos maiores que 5?
Josimar da Silva Rocha
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo ˜ e tres ˆ filhos) Sabe-se que as cinco pessoas de uma fam´ılia (pai, mae ˜ as sequencias ˆ nasceram em meses diferentes do ano. Quantas sao que representam os poss´ıveis meses de nascimento dos membros dessa fam´ılia?
Josimar da Silva Rocha
´ ´ Analise Combinatoria no Cotidiano
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo Seis amigos participam de uma brincadeira de futebol, que consiste ˆ em cobranc¸a de penaltis. Cada um escolhe, de todas as formas ˆ poss´ıveis, um colega para bater o penalti e um outro para tentar ˆ defende-lo. ˆ ˜ feitas nessa brincadeira? (a) Quantas cobranc¸as de penalti sao (b) Quantas cobranc¸as haveria se o grupo resolvesse convidar um ´ setimo amigo para que ele escolhesse, de todas as formas ˆ poss´ıveis, o cobrador e o defensor do penalti?
Josimar da Silva Rocha
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo Seis amigos participam de uma brincadeira de futebol, que consiste ˆ em cobranc¸a de penaltis. Cada um escolhe, de todas as formas ˆ poss´ıveis, um colega para bater o penalti e um outro para tentar ˆ defende-lo. ˆ ˜ feitas nessa brincadeira? (a) Quantas cobranc¸as de penalti sao (b) Quantas cobranc¸as haveria se o grupo resolvesse convidar um ´ setimo amigo para que ele escolhesse, de todas as formas ˆ poss´ıveis, o cobrador e o defensor do penalti?
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
˜ Permutac¸oes
˜ Definic¸ao ˆ Quando uma sequencia ordenada (arranjo) e´ formada por todos os ˜ elementos dispon´ıveis, dizemos que se trata de uma permutac¸ao. ˜ Pn de n elementos distintos e´ Assim, o numero de permutac¸oes ´ Pn = n!
Josimar da Silva Rocha
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Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo ˜ os anagramas formados a partir da palavra SAPO? Quais sao
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Princ´ıpio Fundamental da Contagem ´ Outros Metodos de Contagem ´ Caso sem tecnica conhecida Fatorial Agrupamentos
AOPS APSO OAPS OPSA PAOS POSA SAOP SOPA
AOSP ASOP OASP OSAP PASO PSAO SAPO SPAO
Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
APOS ASPO OPAS OSPA POAS PSOA SOAP SPOA
˜ p4 = 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 anagramas. Sao
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AOPS APSO OAPS OPSA PAOS POSA SAOP SOPA
AOSP ASOP OASP OSAP PASO PSAO SAPO SPAO
Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
APOS ASPO OPAS OSPA POAS PSOA SOAP SPOA
˜ p4 = 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 anagramas. Sao
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo ˆ tres ˆ filhos: Thiago, Pedro e Andre. ´ A fam´ılia quer Jose´ e Maria tem ˜ de uma viagem na qual todos aparec¸am tirar uma foto de recordac¸ao lado a lado. (a) De quantas formas distintas os membros da fam´ılia podem se distribuir? (b) Em quantas possibilidades o casal aparece junto?
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo ˆ tres ˆ filhos: Thiago, Pedro e Andre. ´ A fam´ılia quer Jose´ e Maria tem ˜ de uma viagem na qual todos aparec¸am tirar uma foto de recordac¸ao lado a lado. (a) De quantas formas distintas os membros da fam´ılia podem se distribuir? (b) Em quantas possibilidades o casal aparece junto?
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo Considere os anagramas formados a partir de CONQUISTA. ˜ (a) Quantos sao? (b) Quantos comec¸am por vogal? (c) Quantos comec¸am e terminam por consoante? ˆ as letras CON juntas e nessa ordem? (d) Quantos tem (e) Quantos apresentam a letra C antes da letra A?
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo Considere os anagramas formados a partir de CONQUISTA. ˜ (a) Quantos sao? (b) Quantos comec¸am por vogal? (c) Quantos comec¸am e terminam por consoante? ˆ as letras CON juntas e nessa ordem? (d) Quantos tem (e) Quantos apresentam a letra C antes da letra A?
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo Considere os anagramas formados a partir de CONQUISTA. ˜ (a) Quantos sao? (b) Quantos comec¸am por vogal? (c) Quantos comec¸am e terminam por consoante? ˆ as letras CON juntas e nessa ordem? (d) Quantos tem (e) Quantos apresentam a letra C antes da letra A?
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo Considere os anagramas formados a partir de CONQUISTA. ˜ (a) Quantos sao? (b) Quantos comec¸am por vogal? (c) Quantos comec¸am e terminam por consoante? ˆ as letras CON juntas e nessa ordem? (d) Quantos tem (e) Quantos apresentam a letra C antes da letra A?
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo Considere os anagramas formados a partir de CONQUISTA. ˜ (a) Quantos sao? (b) Quantos comec¸am por vogal? (c) Quantos comec¸am e terminam por consoante? ˆ as letras CON juntas e nessa ordem? (d) Quantos tem (e) Quantos apresentam a letra C antes da letra A?
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Exemplo ˆ filhos: Pedro, Paulo e Andre. ´ Os tres ˆ casaram-se Dona Lola tem tres ˆ respectivamente, 1, 3 e 2 filhos. Em um domingo, dona Lola e tem, ˆ filhos, acompanhados das recebeu, para o almoc¸o, seus tres ´ de todos os netos. Como recordac¸ao, ˜ ela respectivas esposas, alem fotografou todos os familiares, lado a lado, mas pediu que cada filho aparecesse junto de sua fam´ılia. De quantas formas distintas a foto poderia ter sido feita?
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo Se colocarmos em ordem crescente todos os numeros de 5 ´ ˜ do algarismos distintos, obtidos com 1, 3, 4, 6 e 7, qual sera´ a posic¸ao numero 61473 ? ´
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
˜ Combinac¸oes
˜ Definic¸ao Dado um conjunto A com n elementos distintos, chama-se ˜ dos n elementos de A, tomados k a k , qualquer combinac¸ao subconjunto de A formado por k elementos.
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
´ ´ ˜ Formula para o Calculo do numero de Combinac¸oes ´
Cn,k
An,k n! = = = k! (n − k )!k !
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n k
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Exemplo Quantas saladas contendo exatamente 4 frutas podemos formar se dispomos de 10 frutas diferentes?
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo Marcam-se 5 pontos sobre uma reta r e 8 pontos sobre uma reta r 0 ˆ ´ paralela a r . Quantos triangulos existem com vertices em 3 desses 13 pontos.
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Exemplo De quantos modos podemos escolher 6 pessoas, incluindo pelo menos duas mulheres, em um grupo de 7 homens e 4 mulheres?
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Exemplo De um grupo de 5 pessoas, de quantas maneiras distintas posso convidar uma ou mais para jantar?
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Exemplo Quantos subconjuntos de 2 elementos tem um conjunto de 6 elementos?
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Exemplo Quantas diagonais possui um pol´ıgono de n lados?
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Exemplo ˆ Sobre uma circunferencia marcam-se dez pontos. (a) Qual e´ o numero de segmentos de reta que podemos trac¸ar com ´ extremidades em dois desses pontos? ˆ ´ ˆ (b) Quantos triangulos podemos construir com vertices em tres desses pontos? (c) Quantos pol´ıgonos com 4, 5, 6 ou 7 lados podem ser trac¸ados ´ com vertices nesses pontos?
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Exemplo ˆ Sobre uma circunferencia marcam-se dez pontos. (a) Qual e´ o numero de segmentos de reta que podemos trac¸ar com ´ extremidades em dois desses pontos? ˆ ´ ˆ (b) Quantos triangulos podemos construir com vertices em tres desses pontos? (c) Quantos pol´ıgonos com 4, 5, 6 ou 7 lados podem ser trac¸ados ´ com vertices nesses pontos?
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Exemplo ˆ Sobre uma circunferencia marcam-se dez pontos. (a) Qual e´ o numero de segmentos de reta que podemos trac¸ar com ´ extremidades em dois desses pontos? ˆ ´ ˆ (b) Quantos triangulos podemos construir com vertices em tres desses pontos? (c) Quantos pol´ıgonos com 4, 5, 6 ou 7 lados podem ser trac¸ados ´ com vertices nesses pontos?
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Exemplo Em um curso de espanhol estudam vinte alunos, sendo dozes rapazes e oito moc¸as. O professor quer formar uma equipe de quatro ˆ alunos para intercambio em outro pa´ıs. Quantas equipes de dois rapazes e duas moc¸as podem ser formadas?
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Exemplo ˜ dispon´ıveis os Para montar uma cesta de cafe´ da manha˜ estao ˜ ˆ tipos de queijo, tres ˆ tipos seguintes itens: quatro tipos de paes, tres ´ e quatro sabores de tortas doces. de frutas, cinco sabores de geleia De quantos modos distintos a ceta podera´ ser montada se um cliente ˜ pedir dois tipos de paes, um tipo de queijo, duas frutas, dois sabores ´ e um torta doce? de geleia
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
˜ Definic¸ao ˆ Nos casos em que cada resultado poss´ıvel e´ uma sequencia ˜ de elementos, dizemos que se ordenada, nos quais ocorre repetic¸ao ˜ com repetic¸ao. ˜ trata de permutac¸ao
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
´ Formula Geral Se temos n elementos, dos quais ˜ iguais a a1 , n1 sao ˜ iguais a a2 , n2 sao ˜ iguais a a3 , n3 sao .. . ˜ iguais a ak , nk sao ˜ o numero ˜ poss´ıveis e´ dado por entao de permutac¸oes ´ (n1 ,n2 ,··· ,nk )
pn
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=
n! n1 !n2 ! · · · nk !
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Exemplo Qual e´ o numero de anagramas formados a partir da palavra ´ VENEZUELA?
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Exemplo Qual e´ o numero de anagramas da palavra MARROCOS? ´
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Exemplo Permutando os algarismos 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, quantos numeros ´ de 10 algarismos podemos formar?
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Arranjos ˜ Permutac¸oes ˜ Combinac¸oes ˜ com repetic¸ao ˜ Permutac¸oes
Exemplo Uma prova e´ constitu´ıda de dez testes do tipo V ou F . ˆ ˜ poss´ıveis? (a) Quantas sequencias de respostas sao ˆ ˆ respostas V e sete (b) Quantas sequencias apresentam tres respostas F ?
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Exemplo Uma prova e´ constitu´ıda de dez testes do tipo V ou F . ˆ ˜ poss´ıveis? (a) Quantas sequencias de respostas sao ˆ ˆ respostas V e sete (b) Quantas sequencias apresentam tres respostas F ?
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Exemplo Quantos numeros de 7 d´ıgitos, maiores que 6 000 000, podem ser ´ formados usando apenas os algarismos 1, 3, 6, 6, 6, 8, 8 ?
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