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ÁLGEBRA DIVERTIDA

A continuación se presentan algunos acertijos que te permitirán explorar el mundo del lenguaje algebraico, solo necesitas reflexionar e interpretar los datos. LA DAMA MISTERIOSA En 1704 se publicó en Inglaterra el primer número de una revista llamada Diario de las damas. Era una revista novedosa. Contenía acertijos, poemas y problemas matemáticos que las lectoras tenían que resolver. Muchas mujeres colaboraban tanto con preguntas como con respuestas. En 1754 una desconocida llamada María Atkinson envió a la revista un problema de geometría. Entre los lectores que resolvieron el problema se encontraba cierto caballero que tuvo el atrevimiento de preguntar la edad de la autora. María le contestó con este acertijo: Cinco veces siete y siete veces tres sumaréis a mis años y la suma que tendréis excede a ocho ochos como el doble de mi edad supera a veintiséis.

Cómo la edad de María es la incógnita y en matemáticas las incógnitas se denotan con una letra, la llamaremos x. Cinco veces siete y siete veces tres… Quiere decir que hay que sumar, (5 x 7) y (7 x 3), que es 35 + 21= 56. Sumaréis a mis años… Ahora María nos pide sumar a su edad el resultado de la operación del primer verso: x + 56. Y la suma que tendréis excede a ocho ochos… “Ocho ochos” es lo mismo que 8 x 8= 64. Lo que dice este verso es que la cantidad (x+56) es mayor que 64. La diferencia entre ambos números (o sea, qué tanto es mayor (x + 56) que 64) se puede escribir en lenguaje algebraico así: (x + 56) – 64 ¿Cuánto vale esta diferencia? Eso lo dice en el siguiente verso: Como el doble de mi edad supera a veintiséis. El doble de la edad de María es 2x y es mayor que 26. La diferencia entre 2x y 26 se puede escribir así: 2x -26. Y los dos últimos versos dicen que ambas diferencias son iguales; de modo que el acertijo de María quiere decir que:

La edad de María está escondida en este acertijo. Decimos que es una incógnita del acertijo incógnito, es decir, no conocido. Sacar de su escondite la edad de María es muy fácil usando el lenguaje del álgebra. ¿Cómo traducimos los versos de María en versos matemáticos?

2x – 26 = (x + 56) -64 Ésta es una ecuación con una incógnita x. Se dice que es de primer grado porque el máximo exponente con el que aparece la incógnita es 1 (x¹= x).

Para quitarle el disfraz a x hay que resolver esta ecuación, primero se simplifica la ecuación quedando: 2x – 26= x – 8 Ahora se pasa todas las x de un lado y todas las constantes (aquellos términos que no tienen x) del otro lado: 2x – x = -8 + 26 Volvamos a simplificar. Como 2x –x = x, y -8 + 26 = 18, entonces queda: x= 18. María Atkinson tenía 18 años cuando envió el acertijo al Diario de las damas. Cuando el distinguido caballero descubrió la edad de nuestra heroína, replicó: “Una esplendida edad para casarse, señorita.”

“Caminante, tú que aciertas a pasar por este lugar, detén tu marcha: estás ante la tumba de Diofanto. Será él quien te diga, si lo sabes leer, el número de años que tuvo su vida. Su infancia ocupó la sexta parte de su vida; después, durante una doceava parte, su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de desposarse y cinco años después, nació un hermoso niño que pareció, ya adulto, de una muerte desgraciada cuando hubo alcanzado la mitad del total de años que vivió su padre. Éste le sobrevivió, llorándole, durante cuatro años. De todo esto, transeúnte, no te será difícil edad”. Quizádeducir muchossuseguiríamos de largo sin

ocuparnos de la edad que alcanzó Diofanto, pero el caminante era curioso y pensó: “¿Qué tal si traduzco esto al lenguaje algebraico?. Poco a poco, mientras hacía distintos trazos en la tierra con la ayuda de una vara, fue ordenando las ideas: Si Diofanto vivió x años, entonces: 1/6 x duró su infancia,

EL EPITAFIO DE DIOFANTO Un día un caminante que paseaba se topó, al llegar a un olivar, con una lápida. La piedra tenía algo escrito, pero no era, como suele suceder con las tumbas, el par de fechas que indican el nacimiento y la muerte del ahí enterrado. No: era un texto largo. El tiempo lo había borrado en algunas partes, así que el caminante se acercó y cuidadosamente empezó a leer:

1/12x duró su adolescencia, 1/7x vivió aún soltero, 5 años vivió casado sin tener hijos, 1/2x disfrutó la compañía de su hijo, y 4 años le sobrevivió. Para obtener la edad que tenía Diofanto al morir, el caminante sumó todas las etapas de la vida del ilustre personaje e igualó esta suma al número de años que éste

vivió, o sea, x. Ésta es la ecuación que obtuvo:

los términos que tenían x y, por el otro lado, todos aquellos que no tenían incógnita.

Se dio cuenta, entonces, de que la edad que tenía Diofanto al morir podía calcularse por medio de una ecuación de primer grado. “Claro”, exclamo, “¡una ecuación diofantina.”

“Diofanto vivió 84 años”, pensó mientras se levantaba. Continua descubriendo las maravillas del lenguaje algebraico, analiza, explora y descubrirás.

Para resolverla decidió empezar por quitar los incómodos denominadores, multiplicando toda la ecuación por 84, que es el mínimo común múltiplo de 6, 12, 7 y 2.

Con esta gran idea obtuvo una nueva ecuación más sencilla de resolver:

Entusiasmado y calculando mentalmente a toda velocidad, sumó, por un lado, todos