48518126-matematica-financiera.pdf 5v3

$, ::1000.[1+(-0,000854)] .'

$, =999,15

Problema 2 Si la tasa de inOacion correspondiente a febrero de un dctenllinado ano es 0,00567, i,cua! deberia scr el precio de un articulo ell de marzo de esc ano, si costaba $1000 el I de febrero de ese ano?

La tasa de desvalorizaci6n monctaria no es, en rigor, una lasa de descuento, pero la estructura de estas f6mlUias es similar a las que relacionan un valor futuro VF con eI valor presente Vp, correspondiente un periodo antes de la finalizaci6n. Se debe tencren cuenta que la tasa de desvalorizacion monetaria, esu relacionada con el plazo historico, (Ia lasa de desvalorizaci6n monetaria correspondiente a mayo de 2005 es mensual, pero solamente se puede utilizar en ese periodo, no se puede utilizar en abril de 2005).

Relaci6n entre la tasa de inflacion y la tasa de desvaIorizacion monetaria

$, ::$w[l+qJ(o:n] Por definicion de tasa de desvalorizaci6n monctaria

Ind.(O)

$, == 1000.[1 + 0,00567 ]

$,

=1005,67

Ind(O)

= 1- A(0;1) IndY)

de donde: - - ' -

~O;/) =1- IndY)

(t)

Tasa de desvaJorizacion de la moneda

Por definicion de tusa de inflaci6n

Ind.(/)

La tasa de desvalorizacion de la moneda en un periodo delerminado .1(0;1), es el decremcl1to relativo del indice de precios de una canasta de bienes clegidos como representativos de las necesidades del sector en cuestion.

~();I) de donde:

y

IndY) -lnd.(O) Ind.(O) == Ind.(/) == 1- IndY) Ind. (0) == IndY) [1- A(O;I) ]

IndY)

=Ind.(O) [1- A(O;1) TI

[1-

el factor A(O;o] es un factor de correccion monetaria que neva valores del periodo t al periodo base

qJ«(};1)

IndY)

de donde: - - ( 0 - ) =

Ind.

1+

A

= 1+

]

relacion entre fa tasa aparente, la tasa real y fa lasa de inflacion

1(0;/)

adquisitivo del dinero invertido. De la misma manera que en tasa aparente, se puedel1 despejar los faetores de

capitalizacion real y de actualizacion real

de donde: '(0) _ 1(0;1) -

1+ .(r) [ 1+1(0;1)

~112

=:

[1 + I(O;() ][1. +
VF$o:::: VF$I factor de capitalizacion real VP$o VP$I

= VP$o

= VP$I

VF$o

VF$I

.(r)

factor de actualizacion real

1(0;1)

[

·(al ]

1+1(0;1)

[1 +

-1

<1'(0;1)]

113

L

Matemlltica Financiera utilizando Microsoft' Excel

Capitulo 8 - EI Impacto de I.. Inflacion en las Operacione., financie""s Simples _

.(a) ]

[

lP(O;t)

Calcular la tasa real del trimestre y la tasa real media de dicho trimestre

1+1(0;/) __ 1

'(r)] [l+l{O;J)

[1+0,05] 1+

i«~~)

1,15690321687

0,15690321687 _

+

En eJ caso de analizar la tasa real de un periodo, (Ej.: ana 0 trimestre), conociendo las

tasas aparentes y las tasas de inflaci6n de fracciones del mismo,(Ej.: datos mensuales)

la formula a aplicares:

[1+0,04]

[1 + 0,000567]' [1 + (-0,0039)]' [1 + (-0,000854)]

1+ ii~!t) Tasa real de un periodo en funcion de las tasas aparentes y las

tasas de inflacion de fracciones del mismo

[1+0,055]

tasa real del trimestre

[1+0,05]

[1+0,055]

r

[1+0,04]

- [1 +0,000567]" [1 +(-0,0039) [1 +(-0,000854)]

[1 +i(r)J = 1,15690321687

1+

I

1,156903216873-1

i(r)

-TI[ 1I+ I

'(r)

1+{(O;I)

-

[

'Iul

]

i(r)

+I(I.-I;p)

/J=I

lP(/I-I:,,)

]

= 0,04978172844

Problema 6 si se busctl 1(1 tasa media en calla fracci6n de per/octo esla rclaci6n es: ,1:2) ]

[1+

~------"----'--==

1;1) ] ••••••••

[I + ii!(~)l:r) [I +

Determinar para eI p:riodo marzo de un ano base a marzo del siguiente ana:

(1- tasa de inflacion del periodo

b- tasa media mensual de inflacion del periodo

c- tasa de desvalorizacion de la moneda del periodo

d- tasa real de variaci6n dt:! salario conociendo los siguientes datos

]

lP(t-I;I) ]

I

+

industrial

J=rr~--i /' 01

marzodd

Problema 5

Resollld611:

Si las lasa apan:ntcs y dc inflaci6n de abril, mayo

IndY)

de un deleJ"minadn Mio

son:

a­

=0,05

=0,055

1467,8 lPll);1l

= :-0,0039

.

0,04

lP jllJlio

lP(o:1)

= 1433,2

~

= Ind.

= 0,02414178063

Tasa de inflaci6n anual

= -0,000854 b-por

til!

tasas la tasa media de int1acion mensual es: ItS

~.

I

MatemJitic~ Financiera urillando Microsoft. Exeel ~"

---­ I

f

[1 +'P(O;I)],i -1 =[1 +0,02414178063]12 _I = = 0,00198989177

Capitulo 8· [I Impacto de I. Inllaclon en Ins Oper.clones

Fin.ncl~r•• Sim~

4. i,Cual es la tasa de desvalorizaci6n de la moneda en el caso del problema anterior? Respuesta: -0,00392

c· la rasa anual de debvalorizaei6n de la moneda es:

II. . =_0,02414178063_=00235726938268 W,I)

1+ 0, 02414178063

'

d· la tasa aparente de variacion del sa/aria es:

(a)

s(o·/)

.

500 ~ =-1 = 0, 11 450

para caJcu/ar la las:.! real de variacion del salario:

[1 +si;;,]::: [1 + sg:) ][1 + 'P(O;/) J (r)

sW:J)

sIr) (0;1)

] [ 1+Sltl) (0;/)

= [I + 'PrO;!)]­

6. Continuando con cI problema anterior, si la inflacion de mayo de un determinado ano, ex-post, fue -0,0039, calcular la tasa activa real obtenida por la cntidad financiera. Rcspuesta: 0,08455375966 efectivo mensual real 7. Calcular la tasa real mensual correspondiente a15% mensual aparente, si en dicho mes la tasa de inflacion fueO,03. Respuesta: 0,0 \941747573 efectivo mensual real

1

[1 +O.Ii]

8. Calcular la tusa real mensual correspondicnte a15% mensual aparente, si en dicho mes la tasa de inflacion fue 0,05. Respuesta: 0 efectivo mensual real

=--1 [I + 0, 02414178063]

s:~~) == 0, 08491922908

o

5. Si una entidad financiera desea obtener un retorno sobre los prestamos que otorgara durante mayo de un determinado ano del 8% mensual real y la tasa de inflacion esperada para mayo de ese ano es 0,0003, calcular la tasa efectiva mensual que publican\ para dicho mes, y la tasa nominal allual correspondiente. Respucsta: 0,080324 efectivo mensual (ano'" 360d) 0,963888 nominal anual cap c/ 30 dias

9. Calcular la tasa real mensual correspondiente a15% mensual aparente, si en dicho mes la tasa de inflacion fue 0,08. Respuesta: -0,0277 efectivo mensual real

Problemas propuestos

1. Si la tasa de inflacion correspondiente a abril de Un determinado ano es 0.000567, ,:;cwi! deberia el ano? precio de un articulo elIde mayo de ese ano, si costaba $1500 elide abril deser ese

Respuesta: $1500,85 2,,:;Cua/ es la tasa de desvalorizacion de la moneda en el caso del problema anterior? Respuesta: 0,000566 3. Si la tasa de inflaci6n correspondiente a mayo de un determinado ano es -0,0039, lcual serel Un articulo ell dejunio de ese ano, si costaba $2000 I dedeberia mayo de esepreciode ano? el

~

Respuesta: $1992,20 1171

rIJ

QJ

0

~

QJ

rIJ ~

QJ

~

.,...





rIJ ~

0

~

~

QJ

.~

.,... .-= u u - =ue = ~

o~

I

___ ~_~_.

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____

I I

~

51

'" -

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Capitulo 9 Rentas

~-.-

..........

---

---

Cuando se dispone de sumas de dinero que no necesitamos para efectuar pagos 0 cOll1pras, el objctivo es que ese dinero genere ganancias, y se puede lograr mediante una amplia varicdad de operacioncs financicras. buena idea de negocios 0 emprcsa neccsita sicmpre de una financiaei6n. Se necesita dinero para lIevarla a cabo y, como consccuencia directa, es nccesario evaluar corrcclamcnte el cos to del credito. En la primcra secci6n se estudiaron las operaciones financieras simples, como introducci6n para trabajar, en esta secci6n, las operaciones financieras complej1ls. En las opcraciones financieras simples, el capital que se invierte 0 la financiaci6n obtenida se consideran suministrados integral mente en un momenta dellicmpo, mientras que en las operaciones financicras complejas, estos se suministran sistematicamente en partes 0 porciones que lIamamos cuotas

Definiciones Las renlas son sueesiones de cuotas equidistantes.

0

terminos con vencimientos en fechas

Llamaremos periodo de la renta, al intervalo de tiempo que transcurre entre dos cuotas consecutivas. La dllracion de la renta es d l1iullefO de cuotas que la componc.

Clasificaciones •

De acuerdo a la aleatoriedad de la duracion. Rentas ciertas: la duraci6n es independiente de todo evento ex6geno.

i"latematica Financiera utilizanuQ Microsoft' Excel

Rentas contingentes 0 inciertas: la duraci6n depende de un evento ex6geno, por ejemplo: Jas rentas vitalicias, los seguras, los sistemas de ahorro y prestamo por sorteo.

•

Capitulo 9,

RClllas ~

capitalizaci6n de la tasa no coinciden '~-

•

De acuerdo a Ia relaci6n entre el momento de valuacion yel comienzo de Ia renta.

De acuerdo al importe de las cuotas. Renta inmediata: son coincidentes. Rentas constantes: las cuotas son todas del mismo importe. Renta diferida: el momento de valuacion es anterior al comienzo de la renta. Rentas variables: las euotas difieren entre si, pudiendo estar sujetas a una ley

de comportamiento 0 no.

•

De acoerdo al tamano del periodo. Rentas discretas: el periodo es finito. Rentas continuas: el periodo es infinitesimal.

•

Renta anticipada: el momento de valuacion es posterior al comienzo de la renta.

De acoerdo a la duradon.

Rentas Ciertas Constantes a Interes Compuesto

------------------------------------~

Valor Final de una renta constante vencida temporaria

Rentas temporarias: con duraci6n limitada. Rentas perpetuas: con duraci6n ilimitada.

"

•

Dc aeuerdo al regimen de valuacion.

EI valor tina I VP de una renta se obtiene sumando los valores finales de todas y cada una de las cllotas que la componen. Represenla el valor que se ha logrado reunir c'on las cuotas ahorradas 0 el valor de Ull activo 0 de un bien que recibimos al finalizar la cancelacion de las cuotas de la renta. EI valor tinal de la renla es mayor que la suma de todas las cllotas a valor nominal, ya que elias generan intereses en

Rentas a interes cOl1lpues!o.

el transcurso del tiempo.

Rentas a intel'l:!s simple.

Problem(l J

De acucrdo al momenta en que opera el vencimicntodc cadll cuota.

Pernando Santoianni abonar{1 con scis cuotas de $300 vencidas un de mllsica que, a su vez, Ie sera entrcgado al abonar la (tltima cBota. Si los inlereses SOI1 del 1,5% efectivo mensual, (.cu~tI sera cl valor del equipo cl dia de la elllrcga'!

Rentas vencidas: las cuotas vencen al tinalizar cada periodo.

...

Rentas adel(llJ(adas: las cuulas Vl:llcen al iniciu de cada pcriodo.

~

.... •

De acuerdo a la reillcion entre el periodo de las cuotas y el periodo de capitalizacion de la tasa. Rentas sincrcinicas 0 perirjdicas: el periodo de las cuotas y el periodo de

capitalizacion de la lasa son coincidentes. Rentas asincr6nicas 0 ji-acciolladas: el periodo de las clIolas y el periodo de

.... .... c

c

I

'I

I'

I

0

I

2

3

c

c

c

c

4

5

6

1231

.,.!.falematica Financiera ulilizando Microsoll' Excel

C=300

Capitulo 9 • Rontas

VF = 300+ 300.(1 +0,015)+300.(1 +0,015Y +

origina al transcurrir el tiempo y al que tenemos derecho en eI primer caso y que debemos pagar en eI segundo.

t

+300.(1 + 0, 015 + 300.(1 +0,015/ + 300.(1 + 0, 015f Problema 1

VF == 1868,87 La formula del Valor Final ge una renta constante vencida temporaria, como demostramos en el Apendice, es la siguicnte:

VF;I;I1;i)

(1 + i)" == C.- .

Marcelo Santoianni compra hoy una camioneta ultimo modelo abonando $26600 al contado y el resto a pagar en 6 cuotas mensuales de $1900, EI segura de vida y eilVA (eIIVA es ellmpuesto al Valor Agregado que se recauda en Argentina). sobre los intcreses. no estiin incluidos en el valor de la cuota, ~Cuiil es el valor de contado si eI interes nominal anual es de 8,95% capitalizable mensualmente?

...

I

donde C es el importe de la Cuota, i es la tasa efectiva de inten!s sincronica con el periodo de la cUota, y n es el numero de Cuotas. EI factor s(I'.n,J"J

-

(l + i)" i

1 al que lIamaremos factor de capitalizacion de una

-

renta vencida temporaria calcula el valorde cuotas de importe igua! al factor C que acompaila, a una lasa efectiva de interes sincronica Con el periodo de la cUota, en el . momento del pago de la ultima cuota

I, , , , Q I

I­ o

2

I

n

3

Podemos resolver el problema, mediante la formula que se observa a continuacion: VF;';6;O.O!5)

°

== 300. (1 + 0, 15)6 0,015

VF

=1868,87

Valor Presente de una renta constante vencida temporari~ EI valor presente VP de una renla se obtiene sumando los va/ores presentes de todas y cada una de las cuotas que la componen. Representa el valor que se debe pagar hoy para tener derecho a la Sucesi6n de pagos futuros de la renta, 0 bien, el valor de un activo a de un bien que recibimos hoy y que deberemos pagar Con las cuotas de la renta. El valor presente de la renta es rnenorque la suma de todas las cuotasa valor nominal, ya que en elias se encuentra incorporado el in teres que se

J-g4

:~

I

c

c

c

c

I

I

I

I

I

Pee I

I

0123456 con P = 26600 yc= 1900

VP~1900{1+ O,~~95r +1900{1+ O,~~95r +1900{1+ O,~~95r + +l900{ 1+

O,~~95

r

+ 1900{1+

O,~~95 r

+ 1900{1+

O,~~95 r

+

+26600

VP =11108,23 + 26600 = 37708, 23

La formula del Valor Presente de una renta constante vencida temporaria como demostramos en el Apendice es:

VE (1:11;i)

_ 1- (l + i)-n -c.

donde c es el importe de la cuota, i es la tasa efectiva de interes sincr6nica con el periodo de la cuota, y n es. eI numero de cuotas.

Capitulo 9 - Rent •••

Matematica Financiera utilizamlo Microsoft' Excel

El factor

a\l;n;i)

=

l-(l+ir"

,

Problema 3

.

al que lIamaremos factor de actualizaci6n de una

I

renta vencida temporaria, calcula el valor de n cuotas de importe igual al factor C que acompana, a una tasa efectiva de interes sincr6nica con el periodo de la cuota, . un periodo antes del pago de la primera cuota.

Calcular que cantidad de dinero se debe donar hoy para instituir un a los logros cientificos del cual se retiren por todo concepto 15000 dolares anuales (el primer retiro se harn dentro de un ano), si Ia tasa a la que se puede colocar eI dinero es el8% efectivo anual y se deseaque el premio perdure en el

c' , , , 'J

I

I

Podemos resolver el problema anterior aplicando la siguiente formula:

00895 1+.....:.'-­ \

'Q Q8) .~..

=15000.-0,08 = 187500

n

023

=1900.

1

V~I'

0,08~~

,-6

I

+26600

Valuacion de rentas constantes adelantadas Si tenemos en cuenta que los factores de actualizacion y de capitalizacion de una

renla nuclean el valor de las n cuotas en un punto determinado del eje temporal,

podemos deducir las formulas de las rentas adelantadas capitalizando por un periodo

aque\las que se encuentran vencidas.

12 VP =37708,23

Valor Final de una renta constante adelantada temporaria

Valor Presente de una renta constantevencida perpetua Las rentas constantes perpetuas estan compuestas de infinitas euotns, se originan al hacer retiros menores 0 iguales a los intereses periodicos de un fondo que, de esta manera no se agota, 0 al pagar una cuota inferior 0 igllal a los intereses devengados periodicamente por lIna deuda que, con esta renta, no se term ina de amortiz

E! factor de capitalizacion de una renta nuclea el valor de las 11 cLiotasjustamente en el momento del pago de la ultima cuota, dejando dicho valor un pedodo antes del momenta final n. Si capitalizamos este valor por lin pedodo, se concentrani el valor de la rentajustamente alii, obteniendo, asi, la formula del valor final de una renta constante adelantada.

[c

No son rcntas que termincn con l
,

, ,

E.

I

I l I 2n .... _I

o

1

=c.

nI

(l+iY'-l (1+i)

Problema 4

1

La formula obtenida en el apendice es

t 126

C.­

Rafaela Moreno comienza hoy a ahorrar $200 mensuales. Si la tasa que pagan por sus depositos es el 0,35% efectivo mensual, l.cuanto dinero tendni ahorrado exactamente antes del septimo deposito? 127

t

~Malemalica

Fin"nciera uliJiz'lldo Microsoli' Excel

" £2

~' Vr;O;6;O.OOJ5l

;

!

o

3

Capl'nl,,-9 : Renta••

V~O;6;0.OO8)

I

4

5

6

(I + 0, 0035)6 -I ==200. 00035 .(1+0,0035)

,

VF;O;6:0.0035l

Valor Presente de una renta constante adelantada perpetua EI factor de actualizaci6n de una renla perpetua nuciea el valor de las infinitas cuotas de un periodo antes del pago de la primera, dejando dicho valor un periodo antes del origen. Si capitalizamos este valor por un periodo, concentramos el valor de In rcnta justamente en el origen, obteniendo la formula del valor presente de una renta pcrpetua con stante adelantada.

== J214, 79

8

Valor Presente de una renta constante adelantada temporaria

e

EI factor de actualizaci6n de una renta nucJea el valor de las n Cuotas Ull perfodo anterior al pago de la prim era, dejando dicho valor, a su vez, un periodo antes del origen. Si capitalizamos este valor por un periodo, concentramos el valor de la renta justa mente en el origen, obteniendo la fomula del valor presente de una renta constante adelantada.

d' , , , 'J

I

I

.

2

_ V11.0;n;J) -

1I~1

l-(1+irn

c.

.

=2646,99

n

.

.(1 + I)

1

c

c

I

c

c

4

5

I

Ii

2

3

c -c-

I

~..

J

I (,

7

VF;O;~;i) =c.~.(l+i) I Problema 6 Calcular que cantidad de dinero se debe donar actualmente para que una entidad de bien publico pueda retirar desde hoy mismo 10000 d61ares anuales, si la tasa a la que se puede colocar el dinero es el4% efectivo anual y se desea que esta ayuda perdure en el tiempo

1 V~o..00. • =10000.-.(1 +0,04) 0,04

Problema 5

'0 (4)

Claudio Santoianni desea calcular cuanto deberia abonar hoy para ade lantar los pagos de un semestre del alquiler de su departamento cuya renta es de $450 mensuales, considerando el 0,8% efectivo mensual

V~O;~;O,(4) = 260000

Valuaci6n de rentas constantes diferidas y anticipadas

VP(O'6'O 0(8)

...

W=-8~_

== 450.

1- (I + 0, 008)-<5

.(1 + 0, 008)

0,008·

En el caso en que la renta sea diferida (la primer cuota vence varios periodos despues del momento de valuaci6n 0 fecha focal) 0 anticipada (la primer cuota se efecma antes del momento de valuaci6n 0 fecha focal), se debe trasladar el valor de la renta mediante los factores

(I + i)" 6 (1 + i f"

segun corresponda.

~.~

~:itlcll

Financiern

Problema 7 Compramos hoy mcreadcria y la pagamos con 6 cuotas mensuales eonstantes de $250, La primcra de elias vence dentro de 4 meses. La carga mensual es del 2% efectivo. i,Cmil scra el valor presente de la mereaderia con esta finaneiaei6n?

~

1 ( ) 200. - 1+0,02 0,02

I t

I"

c

=250.

1 -(1+ 0 02)-1\ _ ' .(1 +0,02 0,02

.(1+0,02t

1212,63

Tambien, se puede ealcular actualizando el valor futuro:

Ho}'

VP

-6

c

c

c

c

f

f.P =1319,59

i.i.'.•.

11 '1

200.

'·I.'!,···

Problema 8 DenIm de tres meses se eomenzara a ahorrar $\00 mensuales ganando el 1,5% e fectivo mensual. (,Cuanto dinero se pudo reunir exaetamente despues de

i

depositar la cuota numcro seis?

.~

r···------~--------

( 1+002 )

' 0,02

6

-I

_1

.(1+0,02)-=1212,63

Rentas asincronicas 0 fraccionadas

"

;;

;i·

i

(l + O,OlSt -1 f'F ::: 100, -'-----'.----­ 0,015 VF;:::: 622,96 Como vemos, el c:ilculo del valor tinal de una renta diferida no nceesita

corrcceion,

Cuando el perfodo de capitalizacion de la lasa no coincide con eI pcriodo que media entre las euotas, la renla es asiner6nica 0 fraecionada. EI valor de las euotas y el periodo que media entre elias son heehos que no puedcn modifiearse. Si se utiliza una tasa equivalente a la dada, eon un periodo de capitalizaciOn que caine ida con el periodo que media entre eUotas, fa renta sera sineronica y se ealelliar SlI valor can las fOrmulas tratadas antcriormcnte,

Problema 10 Problema 9 $e IransHere una renta de sci:; cuotas. cada una de $200, al 2% mensual exactamente

despues de abonada la cuarta euola. Detcnninar eI valor de la renla en esc momento.

EI calculo se puede realizar eapitalizalldo el valor presente:

Para comprar lin automovil se enlrcga hoy un adelanto de $5000, mientras que cl resto sc abonani mediante 24 cuotas bimestrales de $600. Si la (asa cs clS,95% anual capitalizable mensualmente, ;,cual sera el valor de contado del alltomovil? En este easo, el periodo de capitalizacion de la tllsa no coincide con el periodo entre ellotas. En primer lugar, se debe calcular la tasa electiva mensual por proporcionalidad can la nominal dada, dividiendo la nominal por la freelleneia de eapitalizacioll

m 365

L o

1130

30

. usamos

(Sl

I ano= 36 5 d'las)

0

- 360 m:::: 360 ::: 12 (SI. lIsamos I <1no=

dias). En este problema se eonsidera esta ultima.

-­

~Ulcml\tica Financicrs ulilil.ando Microsoft' E:::";.:c'-c:..I'-_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

C.~lIulo

9 • Ronta,,,,

Consideraremos que e\ valor presente se compone del valor presenle de tres renlas:

0,0895 = 0,00745833333 efectiva mensual 12 Sill embargo, al tratarse de cuatas bimeslrales, calculamos la tasa efectiva mensual por equivalencia r T

VP= V~ +V~ +V~ La primera, compuesta POf las dos primcras euolns de $100 c/u, vencida, a Ulla lasa del 3%

•

(I + 0, 00745833333)3il = {I +

~

w

i == (1 + 0, 00745833333)30 _\

100

i = 0,0149722934 efectiva bimestral

100 120

5000+600. 1-(1 + 0,0 149722934t 0,0149722934

VP

Cambio de tasa constante

0

3

•

La segunda, compuesta por las Ires cuolas de $120 clu, adelantada, a1 4%, diferida por tres periodos a13%

S

,'"

Se desea conoeer el valor de contado de una mercaderia que se abonani con oeho euotas mensuales conseculivas, tales que las dos primeras son de $100, las Ires siguientes, de $120, y las ultimas tres, de $150. Se conviene que durante los Ires primeros meses se cobra un 3% mensual de intereses y que, luego, este porcentaje se aumenta en un punto para el resto de la operacion.

o

I

VP2 =120.

150 ISO

I

I

r

15(1

,

S

0,04

1-(1+0,04t -3 .(1 +0,04).(1 +0,03) 0,04

La tercera, compuesta por las ultimas tres cuotas de $150 c/u. En este caso, se puede considerar: adelantada a14%, diferida por tres periodos a14% y por tres periodos al 3% 100

no

I

1'"

~.,..-,..J

0,03

•

\,50 150

234567

'\

"""'­

I

izo ': I

o

120 120



0,03

Problema 11

l'i'J

a

..,

V~ =lOO.I-(I+O, 03 t

100

i'"j;

1:~O

O,O~

de cuota en el desarrollo de una renta

~

150

6

4

~

4

VP =17022, II

J~()

DO

I--l---l-'t­

o Ahora se pllcde calcular el valor de conlado del aUlomovil considerando que la rcnta, con csta tasa bimestral, es sincr6niea:

1:!O

100

120

120

lzo-1 150

l~O

150J

-10 1 I I I" I ~-+--I-I~ 2345678

345678

n,03

0,04

0,03

0,04 133J

Capi!~~o 9~g~~la~_

2. Hoy, Mariano deposita en una entidad, un capital con el objelivo de hacer extracciones anuales de $25000 durante 10 ailos, al 7% unua!. Si la primera extraccion la realizani dentro de un ailo. i,cwll sera cI capital d,-posirado?

I (1 +0,04f' .1+0,04.1+0,04 ( )( )-3 .1+0,03 ( )-3

0,04

V~=150.-

Rcspucsta: S 175589,54 0,

vencida, aI4%, diferida por dos periodos 314% y por tres periodos a13% 100

100

120

120

1211-[150 150

'1'==P==P=¥l=+==T -

I

I

150

3. Si se puede pagar un pasaje con $1500 iniciales y 12 cuolas mensuales de $100, Y sabiendo que se carga un inten!s del 8% anual capilalizable mensualmente, halle el valor de contado del pasaje.

I

I

01234.'1678

Respuesta: 52649,58

~---

4. Santiago deposito mensual mente $100 en una cuenta de ahorros para su hijo, desde el dia de su nacimiento, al 3% anual capitalizable mensualmente. EI ultimo deposito coincidio con la fecha en que este cumpli6 IS anos. EI dinero permanecio en la cuenta y fue entregado al hijo cuando cumplio 21 anos. i,Cuanto recibi6?

(j.O~

0,03

1- (1 + 0,04 ~~=150. 004 , 1

r .1+0,04 3

(

)-2 (

.1+0,03)

-3

Respucsta: S314 70,96 Huciendo los ca\culos:

v~ V~ =120.

== 100. 1

1- ( 1+004 ) 0 O~ ,

(I 0,03 +0,03t =191,35 -3

i

t

. ­ .(1+0,04).(1+0,03) J =316,94

~l'

5. Lorena compro una camionela por $5000 iniciales, y 60 euolns mensuales de $300 cada una, la primera de elias a pagarse un mes despues del pago inieiai. Se paclo un interes de 6% anual capitalizable menslialmenle (las cuota, no incluycn seguro de vida ni impuesto al valor agregado).

'Jf ~

;$

a-

l,Cual sera el valor de contado de la camloneta?

b-

Si Lorena omitiera las cuolas 5" a 9'" i,cuanto debed pagar en el vencimiento de la 10" para ponersc al corricnte')

V~

150. I (I+O,04t .( 1+0,04 )-~ . ( 1+0,03 )-J 0,04

VP

~ 3)2,20

c-

Despues de haber abonado 30 cllotas, Lorena desea liquidar cI saldo existente mediante lin pago (mico en el vcncimicnto d,- la cuota 31",

d-

Si Lorena omite las primcras 3 cllotas, i,cllanto dcbera pagar cHamlo venza la 4" para liquidar cl total de 5U dcudu')

l,cuiinto debera pagar ademas de la cllota regular vcncida?

191,35+316,94+352,20=860,49

Rcspuesla: a- $20517,67

o

Problemas propuestos

b-SIlQ2.65 c- $8079,91

1.

Durante veinte mcses, Pedro ha depositado $ 600 al final de cada mes en una cucnta de ahorro. la que paga eI 1% efectivo mensual. i,Cuat es el saldo de la

cucnta inmediatamcnte despues de haber hecho el vigcsimo deposito?

d- S15830.36

Rcspucsta: $ 13211,40

1 134

6.

Para saldar una dellda con inlereses al 7% anual capitalizable mensllalmente, Susana acuerda hacer pagos de $150 al tinal de cad a mes por los proximos 23

135\

•

~.

!\"Il~matica Financicru ,"ilizalldo Mic,o,,,n' Excel

meses y un pago final de $322,17 un mes despucs. i,Cual sera eI importe de la deuda?

RcspucSla:

U.>.197.81 b-$3.027.64 c" S 3.915,91 J)

Rcspucsta: $3500

13. AI comprar Claudio un coche nuevo de $ 37500, Ie reeiben l

Alberto ahorra $1000 cad a 6 meses y los invicrte al 6% anual capitalizable semcstralmente. Halle 1'1 importe de sus ahorros despucs de 10 anos.

Sli

coche usado en

$ 12500. i,Cuanlo tendra quc pagar cn crectivo si c\ saldo restanle 10 mediante eI pago de $725 al final de eada mcs durante 18 meses, cOllsidcrando

intereses a16% anual capitalizable mensualmcnlc'? Respucsta: $26870,37 RC51H1csla: S 1254934

Ii.

Juan estli pagando $7,50 al final de cada mes por eoncepto de la prima dc una lotal. la eual Ie pagani $ 2000 al tcrmino de 20 anos. i.Que eantidad obtendria si depositara cada euota de $7,50 en una cuenla de ahorros que Ie produjera e13% anual capitalizable mensual mente? Rcspuesta: $2462,26

9. i..Quc es mas conveniente, comprar un automovil en $27500 al contado 0 pagar $16500 iniciales y $1000 al final de cada mes par los siguientes 12 mescs, sliponiendo intereses calculados al 6% anual capitalizable mensualmente?

Rentas Ciertas Variables a lnteres Compuesto ( r ______________________________________ Las rentas que trataremos en cste punto son de euota variable. Para poder generalizar la formula del valor de este lipo de renlas en un momenlO dcterminado, es necesario conoeer la ley que rige la variaci6n de las cnotas.

Respucsta: a- $27500y b- $28118,93 ==}Ia altemativa mas conveniente es la primera 10. I~Que cantidad debi6 ser depositada 1'1 I Q de junio de 1996 en un fondo que produjo el 6% anual capitalizable trimestralmente con el fin de hacer retiros semestrales de $1000 cada uno, a partir del lOde diciembre de 1996, siendo el ultimo retiro I'll 0 de diciembre de 2005? Respuesta: $14295,31 I I. Calcular 1'1 valor presente de un edificio que producini beneficios netos por $1150000 anuales por su alquiler durante los proximos 10 atlos, al cabo de los cuales podni vendersI' en $15000000. Suponga intereses al 7% efectivo anual.

Comenzaremos par considerar que las cuolas componen una sucesi6n geomelrica, luego una aritmetica, para despues pasar a una sucesi6n de tipo mas gcncralizado.

Valor Final de una renta variable vencida temporaria de tipo geometrico Consideremos que las cuotas de la renta varian en fonna geometrica:

----+

\\ m--I--;~

Respuesta: $ 15702358, 15 12. Ramiro invierte $150 a fin de cad a mes en un fondo que paga el 8% anual capitalizable mensual mente. i,Cwil sera 1'1 importe del fonda, a- precisamente despues del 200 deposito?, b- un mes antes del 20° deposito? c- precisamente antes del 25 0 deposito?

c

I

o

c.q

I

2

c.q! C.q3 C.q4

I

3

I

4

I

5

c.q,·t c.q'

I

I

c.q,,-I

I

HI

n

137J

i\latenuitica Finandenl utili1.:lndo

MiL:rosoft~

C""itul. 9:. - Rrfths "-

Excel

La relacion entre la cuota H!sima y la primer cuota, en el caso en que varien geonH!tricamente es:

Vp( ..

~

»

0.09

'.K,~.'.IL

~

= 880,48

Sc debe tener en cuenta que en los casos en que la cLlota disminuya se tiene que q < 1 ; por ejemplo, si cada cLiota es un 2% inferior a la anterior, entonces

q

= 1-

Valor Final de una renta variable adelantada temporaria de tipo geometrico

0, 02 = 0,98 < 1

La formula que ealcliia eI valor final de todas las cuotas en el momenta n que se demuestra en el apendicc matem;)tico cs la siguiente:

VF(I:',;;:'I)

(I+i)" _qn = C. (I +i)-q

VF:(1:":1;.,) . =c.II.(I+ir'

para q :t (1 + i)

para

Como vimos en el capitulo anterior, las formulas correspondientes a rentas adelantadas se plleden obtener capitalizando las fOrmulas de una renta vencida por un periodo. En este caso, la formula es la que se muestra a continllacion:

q=(l+i)

C

C.l!

Llf-'

('.e/ l

('./I

J

....

cel'

('.Il'! ....

l'.lJ"

I

I

L-. EI valor final sc eonecntra en e1momento del vcncimiento de la ultima cuota.

o

(I + i

Problema 1:

VF(o;,,;;;'1)

Enriquc dosita en su cuent;] de ahorros depositos mensllales que sc increl11cnt;]1l en un 2% con rcspecto al anterior. Si el primcr deposito flle de $100 y eI banco otorga cI 9'~ ~ anual capital izablc mcnsuall11ente, (,ellal sent el saldo de la ClIcnta prceisal11cnte despLics del octavo depllsito'? Si las cuotas se incrcmentan cn un 2'~/;, la razlin es q

C0l110

q :t (I + i) = ( 1+ 0;

2:l

~9 )

=>

= 1+ 0,02 = 1,02

(I + i)" -q" "F:(\:I>:i:'/l =c. ( 1+1.) _ £/

f

4

\. I

r - q" .(1 + i)

=c. (I+i)-q

Vl(o;":;:'!l=c.I1.(1+i)"

para

para q:t

II

(1 +i)

q=(I+i)

EI valor tinal sc concentra un periodo desplIes del vencimiento de la ultima ClIOIa.

Problema 2: COil rcspecto al problema anterior. Si Enriqlle rcaliza Sll d6sito al comienzo de cad a mes (,clIal scra el saldo de la cuenta un mcs despues del octavo deposito? Si las cllotas se incrcmentan en un 2% la razon es

como q:t

(I+i)=(l+ 0,09, 12 )

I 138

11-\

=>

q = 1+ 0, 02 = 1,02

VF(0;"';'11

(I +i)" -q" .(1 +i) =c. (I+i)-q

139

1

Mntematica finnncicra utili.ando Micro",fl' Excel

e iguales al doble de la primera. como indica la restriccion. Para eslo reeurrimos a la relacion enlre la cuola H!sima Y la primer cuota en c1 caso en que varien geomelricamenle que es:

VF,(1"8~19;I'02) .. 12

=1

C,

=c.q

C.q,-I :::;

Vl';8;();i;I.()~ ) 887,09

I-I

2c

/1,07'-1 S 2/ (1-1).101,07Sln2

Valor Presente de una reDta variable veDcida temporaria de tipo geometrico

102 /S-+I to \,07

El valor Presente de una renla variable vencida temporaria de tipo geomctrico puede obtenerse actualizando por II period os el Valor Final de la misma: I

Esto significa que la 11° euota todavia no sllpera el doble de la primera, pero la 12° cuota si 10 haria, por 10 lanto, a partir de la 12" cuola todas son iguales al doble de la prim era. El problema, entonces, se com pone de una renta de onee cllolas variables en progresion geometriea y de olra renta consecutiva con la anterior de cuntro cuotas conslantes, iguales al doble de la primera cuola, diferida por once periodos.

n

(l+i)"-q" (

Vl(I;";;:t/)=c. (1+i)-q'

.)"""n

1+1

paraq*(1+i) Como

V/(I;II;i;q)

=c.t1.(1 + if .(1 + if" =c.n.(l +it I

para

S11,2447683511

q == 1,07 :t- (1 + 0,015) el Valor Presente de las quince cuotns es:

q = (1 + i)

EI valor presente se concentra un periodo antes del vencimiento de la primera cuola.

°° ) +2c. 1-(1+0,015( .1+0,015 ( )-11

(1+0,015t -1,07'1 ( ¥p=c. ( ) .1+ , 15 1+0,015 -1,01

Problema 3: Santiago compra mercaderia por $50000 y la paga con 15 cuotas mensuales vencidas crecientes en un 7% C/U de elias con respeeto a la anterior, pero sin superar en ningllO caso al doble de la primera euota. La tasa de intert!s es dell ,5% efectivo mensual. ;.Cmil sera el valor de la primera cuota? En principio, debemos averiguar cmintas cuotas pueden crecer en forma geometrica sin superar el doble de la primera euota. A partir de alii, las cuolas seran conslantes

soooo

II

0,015

--coi(1+O,015t _1,0711 .(1 +,0015)-11 +2.1-(1+0,015)4 "(1+0,015)-II} (1+0,015)-1,07

.

0,015

50000 =c.20, 8511172295

!iD

__ ~'lllt~!llatic1l Financicr3 tJliiizando Miaosofill: Excel

Capitulo 9 - ~

50000 c==----­ 20,8511172295

12000

VI(I;~;Q,O.u.lll) = (1+0,04)

c =2397,95

\,01

400000

Valor Presente de una renta variable vencida perpetua de tipo

Valor Presente de una renta variable adelantada temporaria

geometrico

de tipo geometrico

('

e(l

C.'l~

cqJ

C(r ,. .

Procedemos de la misrna rnanera que ya hemos descrito: c.ql.1 C.ql

..... c.lt,·1

c 1+1

.....

c.q C.q2 eq:

c.q~

.... c.il

C.qtil ....

c.(r l

n

Como se demucslra en cl Apendicc l\r1atematico

VA.

C

(I;-;';·il

Si q;;::

(1+i)-q

para

.)"

q«I+i)

"

(I + I q ( .)-" VA(II'.11,','1 ... ) = C . - . 1+/ (1+1.) '\ +i)-q

(I + i) cI valor presentt! no converge.

El valor presente 5C conccntra un pedodo antes del vencimiento de la primera ClIot,!.

Vl(u;uJ:q) =

Problema 4: l.Cuill1lo dinero sc debe deslinar hoy para un fondo de beneficencia que otorguc lIna anual'dad a perpeluidad de $12000 qlle se incremente anllalmente en un 1%, considerando un interes del 4% efectivo anllal? Como q =

=

c.

(I+i)" -«( .(I+ir+ 1 (I +i) - Cf •

c.I1.( I + if .(1+ i) = c.n

para q:;t.

para

(I +i)

q = (I + i)

EI valor presente se concentra cn d momento del vencimiento de la primcra cuota.

1+ 0,01 =1,01 < (1 + 0,04) el VP converge a Problema 5: C

VI(I;_;;;q)

t14L_

(l+i)-q

Si Santiago, eI mismo personaje dd problema 3, rea lizara los quince pagos tal como fueron plantcados y ealculado5 pero, esta vez, cn forma adclantada, (,eual serfa el valor de la rnercaderia que Jbon:l de esta manera?

~

l

2!:·He mafica

Financicra ulililantio Microsoft" Excel _ _ _ _ _ _ _ _ _ _._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ~)ilulo 9·

Vp:= 2397,95.

(1 +0 OISf 1 07" ' ~.(l +0,015r'J.(J +0,015)+ (1+0,015)-1,07

+ 2.2397,95.

1-(1 +0,015)"

ItO"'.'.

V1(o;~:o.t»:1.0l) = 416000

.(1 +0,015) -/0

0,015

Valor Final de una renta variable vencida tcmporaria de tipo aritmetico

VP == 50749,94

Consideremos que las cuotas de la renla varian en li.>nna aritl11clica:

Valor Jlresente de una renta variable adelantada perpetua de tipo geometrico

I"-f' -L_.,

". ,.•' ,.•' "'~~.¢.'"'' ,.if = cq'

L~ ()

I

I" J

2

c

I 4

I

1+1

()

11

Capilalizamos por un perfodo el Valor Presente de Una renla variable vencida perpetua de lipo geometrico:

C+(n-l)R

---r­n

La relaci6n enlre la cuota H!sima y la primera esta dada por:

leI ==

Vl(fl.~;i;q) =:: (1 +;) _ q .(1 + i) para q < (1 + i) Si q

c+R c + 2R c + 3R C + 4R c+(r·,)R c+1R 1-- I Ii I I I 2 1+1 3 <\ S

C+

(t -

2?J

Se debe tener en cuenla que, en los casos en que la cuota disminuya, se tiene que

~ (I + i) el valor presente no converge.

R

EI valor presente se concentra en eJ momento del vcncimienlo de la primera {'Uota

A continuacion, se mueslra la f6mlUia que calcula el valor final de todas las cuolns en el momento n que se demuestra en el apendice matenllilico:

VF.(l:n;i:R) == (R ) (1 + ')". +_. .

Prohlema 6:

C

(.Cwillto dinero se debe destinar hoy al fondo del problema 4, si se desea otorgar los beneficios en forma inmediata?

I I --1/ R I i i

EI valor final se concentra en el momento del vencimiento de la ultima cuola.

VP(O:~:i:,,) == (1+i)-q c -.(1 +i)

-(I~-.(1+0,04) + 0, 04) -1,01

Vl(o:-:OJ>4:UII) -

~

-----------.

Problema 7: Jorge deposita en una cuenta de ahorro para su hijo Pablo mensualidades vencidas que, comenzando con $100 al mes del nacimiento del nino, se van incrementando en $2. i.Cuanto dinero habra en la cuenta precisamenle el dia en que Pablo cumpla 18 aiios, SI se considera un interes del 0,5% efectivo mensual? 145

t

J\latem:itica Financier" utitiz"ndo Micmsoli' Excd

==

(c + ~ ). (1 + ri

l

(

Capitulo 9 - Renta. _

I-

I

~ /1 I

2) .~+ (I 0-'---''---­ 005)216 -1

100 + - -

0,005

"f(I;JI6:O.flOj;J)

VF=

0,005

1

[(

(I . 0 00-)216 1 2 100+__ T,:> - __ 2_. 216 .(1+0,005)+(100+2 0,005 } 0,005 0,005 VF

2

0, 005 .216

Tambien se la puede considerar una renta variable vencida temporaria de aritmetico de 217 cuotas.

= 107276, 60

VF=(lOO

2)

(1+0,005)211 0,005' 0,005

Valor Final de una renta variable adelantada temporaria de tipo aritmetico

"'2R ctJR cl-lR

r

l+iI~cl(li-/)/( ...

.~) (I + iir -I _ ~ n]. (I + i)

EI valor linal se l:unCenlra un

.217

EI valor Presente de una n~n1a variable vencida temporaria de tipo aritmetico obtenerse actualizando por n pcriodos el Valor Final de la misma c + 3R c + 4 R

+., I

2

0,005

Valor Presente de una renta variable vencida temporaria de tipo aritmetico

adclantadas se pucdcn obtcncr capitalizando las fOrmulas de una rCOIa vencida por un ncriodo. Veamos la formula corrcspondientc: ,'+/(

-1

108344,98

VF

COIllO viOlas en el capitulo anterior, las fbrmulas correspondientes a rcntas

c

= 108344,98

I

o

I

dcspliCS del vencimiento de Ia ultima Cllota.

c + (, -t) R c + IR

I

Ir---r-I

2

-I

V~I;II;i:l!)

5

r--;-----t

t+l

n

+R).(I+i!"-1 ~n].(I+ j

I

I

Problemll 8: EI valor pres.ente se concentra un periodo anles del vencimienlo de la primera ('Uota.

Reconlando eI problema 7: ;,cllanto dinero habra en la cuenta de Pablo, si su padre reali,a los deptlsitos dcsde el dia de su nacimiento, precisamente despucs del d6sito corrcspomlientl: cuando cumpla 18 arios'!

Problema 9: Jose ha contraido una deuda que pagara con 24 cuotas mensuales. vencidas de $( 00 que se van incrementando en $3 con respecto a la anterior, si !iC considera un intents del 2% efecti\'o mensual. (.Cmil sera el valor de la deuda?

En cst'" caso, sc trata de una rcnta variable adelantada temporaria de tipo aritmetico a la que sc debe slInmrel ultimo depbsito,cuyo valor cs c m

==(100+216.2)

jJ46

1471

;!i

.2:.lalem~liu Financier" ulilizalldo Microsoft' Excel

Cnpit_~~~

3 =[(100+___ ). (1 +0,02t -1 __3_. 24 0,02 0,02 0,02

],(1 +0,02t4

_, - RcntAs

Valor Presente de unq renta variable adelantada temporaria de tipo aritmHico Procedcmos de la misma mancra dcscrila unteriormcnte:

VI(1:24;0.02;3)

== 2490,28 c+R (+21l ~+JR (,1AR

c

" Valor Presente de una renta variable vencida perpetua de tipo aritmetico

o

Vl(o,":;;R)

=

I

I

2,)

4

=(C+ ~}~

IR (,I (Ill II? ".

1I 1

('1 (n- J )I?

1\.\

n

R)(I+i)"-1 R]( ')"" ( ') i - j 11 • I + 1 ,I + I [( C + j '

V1(O;,,:i:R):::: V1(I;_';;R)

cl

,..

l( 1+1,)-0+'

R)(l+i)" I R i-jill

[( C+j'

EI valorpresente se concentra en el momenta del vcncimienio de la primera cuota.

EI valor prescnte se concentra un perfodo antes del vencimiento de la primera cuota.

Problema 11: i,Cufd es el valor de la deuda de Jose, recordando el problema 9, si los

Problema /0: i,Cwinto se debe deposilar hoy para constituirun fondo de ayuda que otorgue anualidades a perpetuidad que se vayan incrementando en $500 con respecto a la anterior, comenzando con un primerpago de $]0000 a fin de ano yconsiderando un interes del 6% efectivo anual?

V1(';_;i;R)

V1(I'-;O,06,SOO)

== ( c +

J;

500) -1­ -- 10000+-0,06 .0,06 (

V1(,;_;o,o(';SOO)

JJ48

~

= 305555, 56

pagos son adelantados?

11(0-,24;0,02;3)

3 )(l+O, 02f -1 =~fl(100+ 0,02 0,02

Vl(0'24'0 02'3)

. " '

=

~(

3]

-24

0,02'24 .(1+0,02) .(1+0,02)

3) (l+o,o2f -I -.24 3],(1 + 0, 02)

100 + ~ . 0,02

-21

0,02

VI(O:24;O,02;3) ::::

0,02

2540,09 149j

Matenu\tica Finanderll ulilizanJo M;cro,ol'- Excel'

~~~phulo t) ~

Valor Presente de una renta variable adelantada perpetua de tipo aritmetico

asciende el valor del 12° d.:posito? Respuesta: S122, 12

Se calcula capitalizando por un perlodo el Valor Presente de una renta variable vencida perpetuade tipo aritmetico.

3. iCuantas cuotas mensuales \'cncidas deberemos abonar en un banco que nos presta $40000, si nos cobra el 5% mensual de interes) sabiendo que la primer cuota es de $4500 y que cada clIota cs un I % inferior a la anterior?

Respuesta: 13 euotas. La ultima sera infenora

=(

c+

~ }f.(l+i)

5. Jorge deposita en una cuenta de ahorro para su hijo Pablo mensualidades que, comenzando con $100 tres meses antes de la fecha probable de parlo, se van incremenlando en $2. Pablo nnee exaetamente en la fceha previsla, l.Cm\nto dinero habrii en 101 cuenla predsamente el dia en que Pablo cum pIa 18 anos despucs del deposito corn:,pondienle a Itt fecha si se considera lin inter~s del 0,5% efectivo mensual? Respuesta: S 111594,33

l.Quc cantidad se debe depositar hoy en el fondo de ayuda del problema 10, desea otorgar las anualidadcs en forma inmediata?

500) I . 1+006 =( 10000+0,06 .0,06 ( , )

6, Joaquin ha cOnlraido un:l deuda que pagani con 36 ClIotas mcnsuales vencidas de $100 que 5e van disminuyendo en $0,50 con rcspcdo a Ia anterior. 5i 51.: considera un interes dcI2°~ cl~ctivo mensual, ;cu:il serf\ e: valor de la dcuda'!

323888,89

o

Se proponecalcularla.

Respuesta: 5408115,58

Problema 12:

lU:M;U.tK);)tlU)

nl"np"c\n

4. No se juzga eonveniente comenzar la explotacion de un bosque hasta dentro de 3 an os. Desde entonees, 5e e5tima que su rendimiento trimestral sera decreciente a razan de una disminllcion del orden del 0,5% trimestral cornenzando con un primer rendirniento de S 15000 durante 20 anos, Determine el valor actual de In produccion al 8% anual con capitalizaci6n trimcstrnl.

EI valor present<: se concen!ra en el momento del vencimiento de la primera cuota.

S! SI!

.{cn c~s .•

RcspIlC~I

Problemas Propuestos:

S13S2,X('

7. i.Cuanto se
I. Determine de cu;intus pagos 5C compone una renla inmediata de pagos vencidos
considerando un intercs d.::l 5"'0 ereclivo anual'? H.cspuesta: S.3HOOnO

Respuesta: 10 8. i,CUanIO dinero se debe dcstinar hoy para un rondo de bcndicel1cia que otorgue una anualidad a perpetuidad de S15000 qut:: se incremente
2. COil el objdivo de rcunir un monto de $150000, hacemos depositos durante 5 anos, a comienzo de cada mes, en una entidad que nos paga cl 7% efectivo mensual de interes. Si eada deposito es un 5% mayor que el anterior, l.a cuanto

Rcspucsta: S500000

J 150

151

~

i

I

-J

L}pendice Matematico Valor Final de una renta constante vencida temporaria

III>

\,-: .)

(.)2

Vf(,;n:i) =c+c. (1+1 +c. 1+1

(.)(11-2)

+ .... +c.I+1

(

.)',,-ll

+c.l+1

.) (1 +1.)2 + .... + (.)(,,-2) ( .)(II-')J

1+1 + 1+1

Vl(,;n,,)=C. [ 1+ (1+1 +

(I)

EI corchcte es la suma de los n primeros lerminos de una succsi6n geomelrica de fawn

(I + i) euyo primer termino es 1

Recordemos que la sum a de los n prinleros terminos de una sucesi6n geometrica es

l­ a, I-q

donde at es el primer termino 1 1- ( 1+ i

r __]

. I-(l+i) -

(I+if-l

-..,...;(..,...;1+_i..:..-Y'

1;4-i (2) J53\

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _-"A:.tp"'~'_'n"'d::lcc::c~C,3pttul0 I) - Rentas.

Si rt!emplaz3mos (2) en (J)

reemplazando en (1):

VF:(1;,,;1)

vr

= C, (1_+ I')" -I

1+1

i

. EI factor

S\l;II;i)

=

(I

')"

+I,

-(I +i)VF' = c l

A-(l+i)A c

A[IA -iJ=c

' I 'IzaClOn " de una renta venel'd a es e I".actor de caplla

y en In cuarta pagina de leslt! capitulo puede enconlrar una descripci6n del efccto

A= -c

que produce.

VFI

C

Demostraci6n del Valor Final de una renta constante vencidll temporllria utilizando ecuaciones en diferencills

= -c .

soluci6n cotnplernentaria

I

La soluei6n general se obtiene sumando la soluei6n homogenea y la complementaria Por comodidad. en esta dt!mostraci6n anotarernos reducidarneme

Vf; =P(I+iY-~

=VF,.I al valor final acumulado hasta el momento tH

I

Para determinar P recurrimos a que en el momento t= I el Valor final es c

Vf(I:J;i) == V~ al valor final acumulado hasta el momento t c

c

c

c

cc

('

C

VF; = P(l+i)

c

t--i

o

I

C

--;-=c I

1

EI Valor Final acumulado hasta

P(I+i)=c+~

1+ 1

es igual al Valor final acumulado hasta I, capitalizado por un periodo. mas la cuota que se abona en t+ I

VF,+I

I

P(I + i)

VF,.(I+i)+c

VF"I -. (I + i) VF,

=c

=c.i +~. i

(1)

p~=c0 i

S..: trala de la ccuaci6n dilCrcncial lineal de primer orden no hornogcnea, cllyn

eCllacion caraclcristica cs Ia siguientc:

P=~

a-(I+i}=O

Rcernplazando en la solucion general obtcnemos In fOrmula bllscada:

a (I+i) VF/'

=P(I + i)'

VF, =-;[(I+i)'-IJ soluci6n homogenea

Como Soillcion complemcntaria ensayarnos:

VF,"

VF,:I

(l+iY-Ij' [

VF = c I

=A

•

1

155

t

I

l\iatcmatic3 Financiers ucillzando Mtt:rosofl~ Excel

!lptndi<~Cn~t.lo

En el momenlo I=n qucda

Recordemos que la suma de los n primcros terminos dc una sucesi6n gcometrica cs:

VF.

~c[(l+T-l]

n

l-q l-q

a)

donde a l cs tambicn

(1 +ir

1

Valor Prcsente de una renta constante vencida temporaria

~'.-.

')-"

EI valor prc5cnlc de una rcnta constante vcncida tcmporaria se obtiene sumando cl valor prcscntc de todas las cuotas que la componcn:

(1+;)

~~ I

o

c

c

I

_11-(1+1 I (l+ir'

.,.----------------------- -------------- ----­

c

9 - Rent ..

(1) I~i -"

1-(1+") _

1+1 1-

1

l-(I+if"

.01'

\+i~

yfi l-(I+ir" c

c

c

11-1

11

(2)

Si reemplazamos (2) en (1)

( .)-2 +c. (.)-3 Vl(l.II:r) =c. (1+1.)-1 +c.1+1 1+1 + .... +c. (.)-(n-I) 1+1 +c. (1+1_)-n

Vl(I,,,;i) -=.c. [( 1+; ),1 + (1+;)-2 + ()-3 1+; +.... + ()-{n-I) l+i + (1+; )-n]_

(1)

EI factor

a(l;,,;;)

= l-

VP,. _

1-(1+;)-11

(1.11;')

c.--,---..-i.­

cs el factor de actualizaci6n de una renla

vencida_ En la sexta pagina de este capitulo (pagi na 126), se puede enconlrar El corchctc cs la suma de los n primeros terminos de una suecsi6n geometrica de raz6n (1 + i cuyo primer termino es tambicn (1 +

r'

it.

una descripci6n del efecto que produce. 1571

l\Iatematica financiera u,il',nndo Mi«osoft' Excel

Demostraci6n del Valor Presente de una renta constante vencida tcmporaria actualizando el Valor Final de la misma

Valuaci6n de rentas constantes adelantadas Valor Presente de renlas constantes adelantadas temporarias

[- c

o

2

3

n-l

o

n

Se puede obtener la formula del Valor Presente de una renta constante vencida actualizalldo por n periodos eI Valor Final de la misma

1

2

(l+if

1

. I

VP.. (LII;I)

C.

-­

.(1 +

i

No obstante. esto calcula el valor de la renta un periodo antes de Ia fecha focal. Capitalizando por un periodo mas obtenemos la f6nnula:

VE;O;n;l)

. I"': (I + i)-II C.

n

1-(1 + i)-"

_

(l:I/;ij -

Distribuyendo cI ultimo factor en la resta del numerador de In fracci6n. se obtiene la filrmula bllscada.

11-1

La formula de! Valor Presente de una renta constante vencida temporaria es:

VP. :> _ V/(I'n'i) - C. . .

3

c.

1- (I +if"

.

.(1 + I)

I

del Valor Presentc de una rcnta constante adelantada temporaria.

Valor Prcscnte de una renla constante vencida perpetua Pmklllos obkncr la 1,'lrfllUl~, tomando limite para 1/ lendiendo a Valor Pn:s':nI<: de lIna rcnta constante vcncida temporaria:

00

Esta corrccci6n deb.: hacerse con la tasa de la renta, <1Unqllc

un cambio de rasa

que opere en cl p.:riodo anterior al pago de la primera Cllota.

en la fOrmula del

Valor Presente de una renta constante adelantada pcrpctua

liP. {I.."~,I ,

fll ] ·1m [I-(l+i =1 c. = c. I'1m [1-
n-4C>:l

11-lt~

.

'•

V~();~;i)

. [I-(l+i !1m c. . n~

1158

I

rn

'J .

(1+/) =c.hm [l-(I+i . iI~

I

fn ]

. 1 . (l+t)=c.-;-.(l+I) ,

159

I

';,

("j.: ;~

.

.. :\Ialelllnlica Financiera lItilizando Microsoft' Excd

Demostracion del V~lor Final de una renta variable wncida temporaria de tipo gwmetrico utilizando ecuaciones en diferencias

Planteamos la solueion complementaria

Vf:

:..

............................

eq

I

e.q} e.g) C.q4

I

I

C.ql-I c.qt

I

I

raraq:;t:(l+i}

= A.q,+l

A.q.q'

Reemplazando en (I)

VF,:I .,-(1 + i)VF," :::: c.q' A.q.q' ~ (I + i).A.q'

c.qn.!

I

= A.q'

VF'1+1

...

c

C

=e.q'

1

A.[q-(l+i)J.q' =c.g' [I valor aeumulado en t+ I es igual al valor aeumulado en I, eapitalizado por un pcriodo, nuis euola que vence en t+ J •

VF,+I = VF, (1 + i) + e.q'

VF,+1

(I + i) VF, = e.g'

a

VF,'

_-

C

I

q-(l+i)'q

solueion t"om"I"",pn'

(I)

Para resolver esta eeuaeion en diferencias de homogenea correspondicnte:

Vf;!,

c q-(I+i)

A

'8

La solucion general se obtiene sumando la solueion homogenea yin eomplementaria.

VF == VF h +VF
rnn~iti".rnmn~

•

I

la ecuacion •

C

Vt; == P.(l + i)' + q _ (I + i)'q

,

solution general

(l+i)VF,h =0

(1 + i) =0 eeuaeion caraeteristiea

Para calcular el valor de P, utilizaremos un dato conocido, en r= I, cl valor acumulado es la cuota inicial c. .

a=(l+i) P.(l+

solueion homogenea

C=P.(l+l)

P.(l+i)=C

C.

+ q-(l+i) q c q-(I + i)'q 161

I

';I.~.'~.·'.

~Iatem:ltica Fillullciera ulilizilndo Microson" Excel

P.(I+i)

·I·

~'i

C[I- q- (I +i)'q 1

]

. ,

,J'

q

(J+i)Aj (1 + i)

P.~ [-~]

q_(1 +i)

VF,:I

A.(l+if'·(t+l);::.:A.(l+i).(I+iY.I+A.(l+i).(l+i)'

~:

Y:~

P.(I+i)=c[ff

".

•

AI)endi«' Capitulu 9 .. Rental-.

Reemplazando en (1)

1

(I + i) VF,'

VF,:I

c.q'

~ +A.(I+i).(I+i)' ~ =c.(I+i)'

C

A.(I+i).{l+iY =c.(I+

P

-c

q-(I+i)

A.(I + i).(1 + i)' = c.(1 + i)'

Reemplazando en la soluci6n general

A=

-c (I+i)' + c q (l+i) q-(I+i)

VF '· == /. c . " . (1 + I

c

(I + i)

')' .t

I

c .1 . (1 + I.)'-1

q-(I+il q' (1+;)'] c

VF

,

La soluci6n general se obtiene sumando la solueion homogenea y la cornpiemciltaria:

VF", +

VF, VF ,

ql -(I+i)' c. _--"-_ I if (I + i)

VF;

= P.(I + i)' + c.I.(1 + itl

soillci6n general

Para calcular cl valor de P utilizaremos el mismo dato conocido. en acumulado es la cuota inicial c.

o tambi':n

VF' I

(.

(I---:----'--~ +i)' q' (I + i) _ q

para

q

* (I + i)

c=

P.(I+i)+c P=O

Rc.:mplazando en la soluci6n general: En t:I caso en que

q = (I + i)

la solucion complementaria a ensayar debe sec

VF," 1162

= A.(l + i)'.t

VF; =C.l.(l+it paraq=(I+i)

t= I.

EI valor

Malcmlitica financicra utihl..ndo Microsoft· Excel AI';'ndl£r_~!ul"

Entonces, cl valor acumulado en t es:

Para resolver esla ecuaci6n en dilerencias de primer orden. consideramos la ecuacion homogenea correspondiente:

v - (1+;)1 _ql

F, - c. --'----'--­ (I +i)-q

VF, :::::c.t.(l+it

para

para

q:;t:(l+i)

VF,~I -(1 + i)VF,"

ex - (1 + i) : : : 0

q =(l + i)

ecuaci6n caraclcristica

VF,'/ : : : P.(t + i)'

(1 +i)" _q" VF ::::: c. -'-----'--­ " (I +i)-q

solucion homogcnca

paraq:;t:(l+i) Planleamos la solucion complemcntaria

t

para

VFC=A+Bt ,

q (1+/)

=

VF,:!

Demostracion del Valor Final de una renta variable vencida temporalia de tipo aribm!tico utilizando ecuaciones en diferencias

A + Q. (I + 1) = A + B 1+ B

Reemplazando en (2)

VF,:I -(1 + i) VF,c

..

:= C

I

o

c+R c + 2R c +3R c +4R

I

I

I

i

I

I

2

3

4

5

.". c+(f·\)R c+tR

I

I

I

I n

comparando:

-Bi=R

EI valor acumulado en t+l es igual al valor acumulado en t, capitalizado por un periodo, mas la cuota que vence en t+ I

Vf;+l ::::: VF, (1 +i)+c+1R

Vf:+ 1 -(l+i)Vr; =c+tR (2)

VF,

~

eRR C

-

-

-

B=_li

_R-Ai=c ~

~

B-Ai=c

-=2 I

p64

Bi/=c+IR

B-Ai-Bit=c+tR

C+(I/.\)R

t+I

+ IR

A+Bt+B (l+i).(A+B/)=c+IR ;{~+lJA~t...-Ai

c

0

a=(l+i)

y el Valor Final acumulado en n cs:

VFn =c.n.{I+ir

? • Ron!.,

i

A _c

R

i

- t soluci6n complementaria

Matcm:iti{,ll Finuncierll olili13nd.J Microsoft' Excel

La solucian general se obticne sumando la solucian homogenea y la complementaria.

. =VF", + vr,

VF,

=

=( c +.R ) .":"'1 (1+ I')' -

VF;

Vr~

1

eRR

P.(I +

eRR

r

i

VF, =(c+ R) R( . (1+;)' -I- -

i~

c+-.-+--:1+.

'

I i i

P.(I + i)

yel Valor Final acumulado en n es:

I

R c R c+--;-+-;-+ P,(1 + i) t

+

~ )+}(c+ ~)= P.(l+i)

Demostracion del Valor Presente de una renta variable vencida perpetua de tipo geometrico Tomamos limite para II ~ en las formulas del Valor Prescnl~ de una.reilla variable vencida temporaria de tipo geometrico: OQ

1

Iim[(l+i)" q"](l+;r q ,,->.~

Vp(!'~:"') ../ -(-.~) I + 1 - q .lim[l-q"(I+if"] ,,·v~

1 ( 1+1')' --;eR R c+.R ) '--:. .~ ---;-' I

11,~c. (I +i) q

V1(I:~.i;tJ= • I + I~) _

en la soluci6n gcm:ral:

I

(I +i)" q" .(1 +

VP(I:~:t:
P=(c+~}}

(

-I _ R 11

I i i

(c+~}~ =P.J0}

VF,

(c + ~ ). (l + ;~"

VF;,

I

(c+~ }(l+; )=P,(l+i)

R~emplazando

R(

Entonces, el valor acumulado en t es:

eRR

c= P.(l +

I

I

=(C+~}7[(l+i)'-IJ

- - I so\uci6n general

Para calcular el valor de P utilizaremos un dato conocido. En t= I, el valor acumulado es la cuota inicial c.

I ( c +-:R) --:-' R

":" I

I

I

I

VP,

.

(1:~:I:'1)

=

c

(I+i)-q

.Iim

n->~

l+i "] [1- (..!L J 167

J

Finandcra uttlil.anuo Microsoft' Exccl

VP. .(I;~;.;t() Si

c

.

1

'/ C'+I

q;::: (1 + i) el valor prescnle 110 converge.

VP(.I'~'·'R) . .'.

R)

I'1m {[( c+- (1 + I,)n -1 . R • ~ I i i

=(C + R). . . lim 1. I

1

_(

(1;-;i;R) -

C

n.....:pe

J1.

ccuacion caractcristica

A~' H'1.a

c,"

<= A

a

. soItiC' " ton I1Olllogcnca

solucion complementaria a ensayar en el caso en que a =I: I

A

R. ( .)-n . !1m I +

n-4'lO

VP,

+;)-. }

(3)

0 ecuaclOn .. h ' om(lgcnca corn:spoll d'Icnlc

f3

T(lmamos limile para 11 ---) <'" en la formula del Valor Prcsenle de una rellia variable vencida tcmporaria de lipo arilmetico:

n~\'iO!>

a.c,'/

f3 - a 0

Demostracion del Valor Presente de una renta variable vencida pcrpctua de tipo aritmetico

= ,,->_ lim VP,(1;11;1;1<)

a.c, = b

C +1

(l+i)_qParaq«l+l)

reemplalando en (3)

A - a.A = b

I

A(l-a)=b

+ iR).iI

A= b I a

Demostracion del Valor Final de una renta variable vencida temporaria de tipo mas generalizado utilizando ecuaciones en diferencias Cuando la relacion entre cada cuota y la anterior sigue una ley mas generalizada, la diferencia se encuentra en la busqueda de la relacion entre la cuota t-esima y la primera, y como consecuencia, en el planteo de la solucion compiementaria correspondiente a la ecuaci6n en diferencias que nos provee final mente del Valor Final buscado de la renta. Como ejemplo, supongamos que la relacion entre cada cuota y la anterior es: C,+I = a.c, + b . Esta relacion es, en si misma una ecuaci6n en diferencias y con su resolucion obtendremos la expresion de la cuota t-esima en funcion de la primera.

I 168

b c; =-I-a -

solucion complementaria para

a=I: 1

La soluci6n general se obtiene sumando la solucion homogenea y la complementaria:

c,-c, - h + c,c

c, = M .a

t

b 1-a

+--

solucion general para a =I: 1

Como la renta es vencida, en t= I la cuota es la primera, c :

1691

·

I

:".

[natematica Financier;. utililaml() Mit,;rosQt\- Excel

b

c= Al.a+

I-a

c·

-

[ '0

b

]

r

a(l-a} .a +1~

+jl+[~

-b

] aHI + b I-a

a(l-a) .

b]

[

relaci6n entre la cuota t-esima y la primera

cuando a

Si a

=VF, (I

r

b

VF;+, VF;(l+i)= c- (I-a) .a + I-a

b

*1

llu soluci6n complemenlaria a cnsayar es

y para el caso a ""

<"

A.I

(2)

I

<+1 ;;::A.(t+I}=At+A

para

a*1

(3)

1

VF;+, = VF, (1 + i) + (c - b) + b(I + 1)

.~

VF;+, - VF, (1+ i)

li'l(i

/t + A~ = b

reemplazll,ndo en (I)

~ n(.'nfa~

Para hallar el Valor Final, tendremos en cuenta que el valor acumulado en 1+ I es igual al valor acumulado en t, capitalizado por un periodo, mas Ill, cuota que vence en t+ I. Debemos considerar dos casos:

VF,.,

b_ M= a -;(I-a) c

c

Apendicr Capitulo 9'

c;Ai + bl;Y6

';&;

l

VF;+,-VF,(I+i)=c+bl

~:

A b

(4)

'!t~

i!f

Resoluci6n de Ill, ecuucion (3)

;;:: bt solucit1[l complcl1lCtllaria para a = I

Para resolver esta ecuaci6n en diferencias de primer orden. considcramos In ecuacion homogenea corrcspondiente:

En eslc caso, Ia solucillil gcneral sc obticnc sumando Ill, soil/cion homogenca y la compkmcntaria:

+c'·,

c, C,

a (I + i) = 0

M + ht solucion gencral pura a = 1

M+h

VF," M

ecuacion cll,racleristica

a=(l+i)

Como 13 renla es vem::ida. en 1= I la cliota es 13 primera, c

c

(1 + I')VF"r = 0

VF"1+1

c

P.(1 +i)'

solucion homogenea

b Planteamos la soluci6n complemenlaria

(', =(c - b ) + bt 1110

relacion entre Ill, cliota t-esima y la primera cuando

a

VF,'

f

A.a + B para a:;t:(I+i)

1\

a:;t:1

Malemnlica financiera utilil".ndo Micro,of!' Excel C

VF/ + 1

= A.af+' + B

~}dlrt

== a.A.a' + B

VF,

Recmplazando en (4):

b ] /

VF,:1 (1 + i) VF,' =

f

{[

para a

b

t

:;C

soluci6ngcncral

(I + i) /\ a :;C 1

- (1- a) .a + I - a

+B)=[c-~)l.a' + b (1 a I-a

a.A.a' + B (I + i)

1

b I } a - i(l-a) b =P.(I+i) + c- (I-a) (a-l-;)

Capitulo 9 - RenCH!. ,

I

/ ;( /'A a f - I'B = c a.A.a /.L .;YD - A a;7'D

b

(I

C~P.(I+j)+{lc-(I~a)](a_11

b +_.

a)

i-a

'B [c -(b] ) .a + b I-a I a

1- I') A.a I -/

Para calcular el valor de P, utilizarcmos un dato conocido, en I'" I, el valor acumulado cs la cuota inicial c.

I

c-

j)}"

_b~

ca ba b + + (a-I-i) (a-I-;)(I-a) i(l-a)

P,(I+i)

c(a-l i)i(l-a)-cai(l-a)+ba;+b(a-l-i) ( ') = p, 1+ 1 (a-l-i)i(1 a)

~-~~---..:.-~-!---"'--:'---'-

comparando:

(a-I-i)A

~A

b c- (I-a)

-iB =

b

l

1

b 1 c-- (I-a) (a-I-i)

::::} B = _ _ b

( ') P. 1+1

(a 1-;)i(l-o)

-ci

i(I a)

I-a

~-ci-ci2~+caj+cai2~+b(/i+ba-b-bi

2

d +cai+cai +bai+ba-b-bi

P.(1 +i)

(a-l-;)i(l-a)

vr,-_{[c

b]

I

}

t

b

(1- a) (a -1-i) a i(l-a)

solucion complementaria para

a::t:(I+i) /\ a::t:l

La solucion general se obtiene sumando la solucion homogenea y Ia complementaria:

VF,

pn

= VF,h +

-ci(1-a)-

(l-a)+ba(i+l)-b(I+i)_ (a-l-i)i(1 a)

-ci(l-a)(l+i)-b(l+i)(l-a) (a-l-i);(I-a)

­

P.(l+i)

+i)

.Malenllilicli Financiera utililando Mi

E~cel

A~~I« Capilut~H.~nI3s

comparando:

0--~(-ci-b) P.~

A.(I+i)=C+~

(a-I i)i~ ci+b

b

VF,

I

(a-I i)i

(I

para a Si

11 a) (a-I

ci+b . ( 1+1) .1 + {[ c - b-

* (I + i)

a

A

VF,:,

i)

b i I + .)1-1 1 + ji ( + b)( C

I

i(l-a)

VF'Il·j -

1.1

(I +i)VF" = t

b/

.\

,

.(1+1) +

,

b )( 1+1.)H t VF, =P.(l+i )' + ( C+,

[~+A.(I+i)~J(l+i)'~~

c

I



b

soluciongcllcralpara a

( 1+1.)

~ P. ( 1+ i) + ( c + 7)~ i~

b -i

ib

Bi [C+-;].(I+

b

j

7)-

h

/c -~~ 1 I

-t( +7}= 1

[,1,(1 +i)](I+i)' Bi [c+-; ].(1+i)'--; JI7-4

I

Para calcular el valor de P utilizaremos un dato conocido, en t= I, cI valor acumulado es la cuota inkial c.

c- (C+

.(I+i)'

(1+ .)

= A.(I + i)' t + B

1 ., fA

+,b]

soluci6n complementaria para a:::::

VF = VF" + vr

Reemplazando en (3):

Ie

b

La soluci6n general se obtiene suman do la soluci6n homogenea y la complementaria:

A.(1 + i)(l + I)' t + A.(I + i)(1 + i)' + B

VF;~,-(I+i)Vf:'

B=

I

b

+ if I (I + 1)+ B

A.(I

=

*1

a =(I + i) la soludan complementariaa ensayares VF,c VF,:I

.} a1

C

=:)

.

==(e+~)-I 1+ I

-Bi=--

Rccmptazando en la soluci6n general;

VF

::::;, A

I

(a 1 i)i

p

_

= P. (I + i) P.(I +i)

P.(I +i)

175

1

Mafcmalica FinancicTD utilir,ouo Mic",sofl' E.~ccl

A+A~~

-7(~)~PN p

Ali

Bi

c+bl

-Ait+ A - Bi =c+bl comparando:

b

-Ai::::b

=;.A=-~

reemplazando en 1a solucion general:

b

b) I + ,)'-1 1+-::;b

VF; = --:-;- (I +i) t + ( c +-:,-

I

Recordemos que V~+I - V~

I

I

solucion general para

!:.

( ')

Bi c =;.B=-(;

a = I+ I

(4)

La solucion general se obliene sumando 101 solucion homogenea y la complementaria:

Para resolver esta ecuacion en diferencias de primer ordc'n, consideramos la ecuacion hom0genea correspondicnte, Notamos que es la misma que en OITOS casos: It VF.+1 -(1+ I')Vplt I

_ b -I e l} i i j2

IJ'F C ,.. t

(I + i) = c + hI para a = I

b

i~

i

Vp =vph+vr (

0 VF,

f

=P. (1+ I).' - -:-b t -,. -:c I

ex - (1 + i) =0 ecuaci6n caracterlstica

I

b

-::>

I

.,

SOIUCIOIl

general para a

I

a=(l+i)

Para ca!cular el valor de P utili~arelJlos un dato conocido. En t~" t, el valor acumulado es la cuota inicia! c.

V~h :;:: P.(I + i)' solucion homogenea

c;::P.(l+i)-!:.-£:'" b2 i i i

Planteamos la solucion COl:lplementaria:

b

c

b

I

I

,­

c+-: +-: +-:;- = P.(l + i) Vf~C

= At+B

VP':I =:A(t+I)+B=At+A+B

2

ci +bi+ ci +b == P.(I +i)

Reemplazandoen (4):

ci(i+l)+b(i+l) =P.(l+i) At+A+B-(At+B)(I+i)=( t-bt

;2 1771

~

::'l i\lut<.'maricu J."'inuncicra

ut;!i:l~nllo

1~

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EX~I!:'

Microsoft"

,\pcn~il.7C'

,j"\

Capitulo 9

Rthl3-S

t::J

~(ci+

VF»

=p,~

i~

l-

VF"

p=ci+b

VF,

ci+b ,I -",-,- (1 + I) 1-

b

c

1

1

b

- ~ t - -:

soll.lci6n general para a::::; I

Enlonces el valor acullllllado cnt es:

ci+b (a 1-

(1+1)' +{[c

(1

paraa"#(l+i)

=

l~ (I +

1'/-;

ba)la 1\

b

ll-iJ' i(l-a)

(1"#1

+jb )( I +i )'.1 f+ i~b paraa=(I+i)

t

ci+h

.1

(1 + I)

h

c I - -

h

p;lra

(I

y cl Valor Final acul11u!aJo en 1/ es:

Vf~,

ci+b

(I+i)"+

(a-I-i)i

para a:f: (I 1178

b]

I

}

/I

~ (a-I-i) a + i)

b ( [+l')" + ( c+~ b --::;-

1\

a :# I

b

i(l­

I

ci+b ( )" -.,-[+i {-

[ +t,),,-1 n+ b

b

c

b

I

I

r

-~n-,

,1

para

a

para a::::; I

(I + i)

,~

''t,:..

~

Capitulo 10 Evaluacion de Proyectos de Inversion: V.A.N. y T.I.R.

•

Rentabilidad Empresaria Desde los eomienzos de la historia se prestaba atcncion a los aspectos financieros inhcrentes al desempeilo de las ernpresas, intercs que sc acentu6 en el siglo pasado al producirse la ola de fusiones, centralizacion del capital y quiebras de principio de XX. Esta preocupacion se renovo y acentuo can la crisis de 1929f30. Luego, la situaci6n de escasez de fondos provocada por los requerimientos para la reconversion de las industrias en la segunda posguerra, volvi6 a poner en primer plano la preocupacion de las empresas por optimizar su estructura financiera y par proponer proyectos de inversi6n que les permitiera conseguir A la par que ten Ian lugar estos acontecimientos en el mundo de los negocios, numerosos contadores y algunos eeonomislas habian comenzado a indagar ellerna de la rentabilidad ernpresaria, fundamental mente a partir de la informacion del balance anual y olros registros de operaciones, logrando significativos progresos en los calculos de los costos industriales, depunindolos de las fluctuaciones del valor del dinero y referenciandolos al tiempo. Pero, en realidad, fueron ingenieros y expertos en organizacion de empresas quienes mas perfeccionaron esos melodos de medici6n y anal isis. En la decada de 1930, aportaron sus contribuciones al problema de la inversion y de la amortizacion, pero esencialrnente desde un punlo de vista ingenieriL

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~·I~·'

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l

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~

Dellado de los economistas teoricos, se habian hecho investigaciones referentes a Ia leoria del interes y de la inversion, podemos decir, dcsde el nacimiento mismo de la Economia Politica, hasta lIegar a WW St. Jevons, G. Cassel. L Fisher y Bohm­ Bawerk. En 1933 E. Schneider, economista matematieo, cseribe, basandose en los modelos de decision de inversiones que habian esbozado investigadores alemanes, anglosajones y escandinavos, la primera exposicion sistematica del calculo de la rentabilidad empresaria. 181

I

l\latenuiti('u Financier;}

lILilil_:.lud\.l Mkros~.n& E:\.~ci

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _-----C:::..a=p~tu'o 10 ~ E,'aluacion (l~ ,~,:,~\·cc:tos de Inn~fsion:

que inicialmente habia dirigido su prcocupacion dentifica hacia la economia cspaeial, la amplia poco despues al conjunto de la leoria de \a produccion. En una segunda clapa, orient~l su atencion hacia la economia de la empresa, y, la opinion gcneralizada, es ';1 quien expone la teoria de la inversion en su integrando las consideradones tccnico - practicas can las forrnulaciones de la teoria economica, sentando con su calculo de III economicidad, las bases de lodos los desarrollos posteriores en esa materia ..

\'.A.r\~

v T.l.It . •

Este metodo se ocupa de la dimension financiera del proceso dc inversion y cntonces trabaja tomando los elementos economico-financieros del proyecto. EI esquema de la evolucion financiera 5e extrae del cuadro de Fuentes y Usos de Fondos u Origen y Aplicaeion de Fondos. EI valor-capital 0 VAN de una inversion en el momenta inicial.seni la sumatoria de lodos los gastos e ingresos oeurridos durante todos los periodos que abarque el horizonte economico de la inversion, actualizados a un pretietcrminado tioo de interes, al momenta inicial.

Con esta herramienta, calculo de In ecollomicidad, se pretende dar respuesla a cuestiones tan variadas, como, por ejemplo, la conveniencia 0 no de reemplazar, y en que momento, un equipo de produccion, proseguir 0 suspender deterrninadas lineas de prodllccion, ampliar las existencias a Iimitarlas, sllstituir insumos, modificar o camhiar el proceso productivo, como distribuir la produccion en el tiempo, entre

Se hacen, de ese modo, homogeneos los valores, redueiendo todos los pagos y cobros a lIno solo, efeetuado en e1 inslante intcial, 0 en otro momento, que sera unico, que se eliia, a los efectos de la medieion de la rentabilidad,

olrOs. EI criterio que se desprende de esle metodo es que sera conveniente \Ievar a cabo una invo:rsi6n si el valor resultante del d.\culo es mayor que cero. y, tambien, que de existir vadas alternativas con resultado POsilivo, sera preferible la que arroje un valor capital 0 VAN mayor.

Pero el problema basieo que debe dilucidar el caiculo de rentabilidad, es el de constalar si la inversion planeada p.:rmite. en base a los ingresos que generara durante la cantidad de periodos de tiempo que abarque la vida econ6mica de la inversion, garantizar el reembolso de los gastos incurridos, tomando en cuenla un tipo de inten!s. EI procedimiento que se emplea aestos fines, se denomina mCtodo de descucllto, 0, como 10 hemos IImnado en otms capitulos, actualizacion.

En la practica, la mayoria de los calculos introducen el supuesto de una lasa de interes igual para todos los periodos. Cabe seiialar que eI tipo de inten:s para el dtlculo, no es identico a la tasa de interes de largo plazo del mere ado de capilales, sino la tasa de actualizacion considerad
o sea, la teoria de la inversion nos debe proporcionar los criterios de racionalidad para deleoninar si seria convenientc lIevar a cabo el proyecto de inversion, y, adem as, provcer de indicadores que pennilanjerarquizar. rankear, y seleccionar las diferentcs oportunidades de inversitlll quc htlVan calificado convenienles.

Introduccion al Valor Actual Neto (VAN)

La tonnulaci6n do: Schneido:ro:sta o:nfocada escncialmcnte al dlculo de economicidad de Ins invcrsioncs privadas. Rccbnocicndo que el principio basieo que rige el comportamicnto de las cmpresas, 5U fin sup remo, cs In obtencion de una ganancia optima sobrc cl callital invcrtidd, procuro, articulando los postulados de la teo ria economica con I~l prohlell1atica de 1<1 ram" de la economia aplicada que lucgo se estrllcturo como [collomia de Ia Empresa. cncontrar aplicaciones pragmaticas que, rcspctando t1qucl principio, proporeionaran a la empresa que tiene la inlencion de invertir.la posibilidad de ddinir riguTOs3mente la conveniencia 0 no de hacerlo y Ie permitio:ra tamhiell sdcccionar las mas rt"ntables de las alternativas que so:: Ie

--------------------------------~~

Las cmprcsas invicrtcn en distinlos llctivos reales. skndo algunos de e1los fisicos y otros inlangihlcs, como ser las paleme5. EI objelo de la decision de inversibn cs ctlcontrar aquellos aclivos cuyo valor supere 5U cosIo. 0 sea, que produzcan durante fill vida [Itil, mtlS que 10 que coslaron. EI concepto de valor actual se omnrl'nll,'ra milS flltilll1cntc, 5i primcro un concepto intuitivo del mismo.

prcscntell. Supongamos que poset un (erreno vacio y dcsea conslruir lin edificio a los efectos de obtener lIna renta. Le pregunta a su inmobiliaria que tipo de edificio construir con dinero que rccibi6 de una hercncia. Sus asesore5 Ie conteslan que es construir ofitinas que departamentos, dado que dt:ntro de lin ano, cuandn termine In construccion, habra escasez de las mismas.

Para aleanzar cstos propositos, clabora su formulacion a partir de la comparacion de los rcndimicntos y costos cfcetivos. es decir, emplea el metodo de valor capital, que postcriormente 5e dCnOtllinarit como metodo del valor actual ncto, 0 VAN.

11112 .<1\

:0),

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _..::(,,:.~p:::U:::U:::ID'_I~O:...:..:E::.::'.ahntclon de l·r0Y'.·c~~l!i (ie Inn~r~ion: ~em'ilic.

Finandera utilil.,ndo Microsofl' Excel

La construccion del edificio Ie demandani $1300000, y el terreno $50000, 0 sea tendni un costo total de $1350000. Nuestro asesor Ie indica que dicho inmueble, a su terminacion, valdni $ J 500000. EI tema es: ;,Cual es hoy el valor de esos $1500000?; i.es el valor actual de los $1500000 futmos, mayor que los $ 1350000 que estamos invirtiendo? EI valor actual de $1500000 dentro de un ai10 debe ser menor que dicho importe. La razon de esto se basa en eI principio: un peso de boy pale mas qlle UII peso de mQl;Ulla, debido a que un peso hoy se puede invertir y produce una renta inmediatall1ente, mientras que el peso de manana hay que esperar hasta manana para que comience a rendir. Este es un principio financiero basico. Por 10 1anto, podemos ver que e1 Valor Pre.~ellle de un cobro futuro puede ser hallado multiplicando dicha cobranza por un factor de descuento 0 de actua/hadon. A simple vista, vemos que dicho valor dcbe ser menor que I, dado que sino el peso de manana seria superior al peso de hoy. Por 10 anterior podemos definir que si

C,

es el monto a cobrar dentm de un periodo,

por ejemplo un ano, entonces tenemos que el Valor Presente es:

VP = Ct. factor de actualizaci6n Este factor 10 podemos expresar como el valor reciproco de: uno mas la tasa de interes. Esta tasa de intercs es aquetJa que, ya sea una entidad financiera, el propio deudor 0 eJ acreedor, cobra 0 estaria dispuesto a invertir a los efectos de contar con el dinero hoy, y no esperar. Obviamente, entra aca el concepto de costo de oportunidad.

factor de actualizaci6n

(l+ir'

La tasa de interes es la recompensa que eI inversor pretende por su colocacion, en el periodo indicado. Supongamos la inversion en inmuebles antes mencionada, itiendo que eI cobro de $1500000 al finalizar la obra es segura. Pem nos encontramos que la construccion de las oficinas no es la unica fuente de dicho importe de aca al ano. Podriamos invertir dichos fondos en bonos tanto del estado como de empresas privadas. Suponiendo que dichos titulos paguen una renta del 6 % anual, la pregunta seria i,cuanto hay que invertir en dichm; titulos para obtener dentro de un ano $15000001

V~A.N. YT.I.R .•

Esta es una pregunta sencilla, dado que 10 (mico que debemos hacer, partiendo de la base que los intereses se pagan anua)mente, es aetualizar el valor a recibir $1500000 con la tasa de recompensa 0 intcrcs que recibe, en este caso 1500000.(1+0,06yt

1415094,34

Es decir. que el monto de inversion a rcalizar a los efeclos de oblcncr $1500000 dcntro de un ano, a una tasa de inlercs dcl6 'Yo anual eS de $1415094,34. Por otro lado, tcnemos tambicn la altemativa de vender cl proyecto en el momento que disponemos del terreno y hemos comenzado con la construccibn del mismo. La pregunta en este caso seria : l.En cUlinto 10 podemos vender '! Dado que el inmueble produciria $1500000, los inversorcs estarian dispuestos a pagar $ J415094,34 por el inmueble, suponiendo que c:onsideren que no hay riesgos durante cI periodo de construccion, 0 sea que igualen el riesgo entre la constructora ye\ bono. Este valor presente es el unico que satisface tanto al comprador como al vendedor, suponiendo que hay igualdad de necesidades financieras para ambos. Para calcular el valor presente, descontamos los cobros futuros csperados a la tasa de rentabilidad esperada, que nos es ofrecida por inversiones altemativas. Llamamos a dicha tasa, tasa de actualiz.afiOn 0 costo de oportu"idad. Llamamos costo de oportunidad porque es la rentabilidad que dejamos de obtener al colocar los fondos en dicho negocio. Dado que los fondos no son ilimitados, en eI momento que decidimos invertir en dicha operaci6n, dejan de estar disponibles para olra, por 10 que siempre debemos tomar como costo de oportunidad nuestro costo mas alto 0 marginal, sobre todo si la inversion que estamos realizando no es el core husisness (ncgocio central 0

principal) de nuestra empresa. EI edificio ahora esta valuado a $1415094,34. Pero esto no significa que la utili dad sea dicho importe. Para obtener la utilidad 0 el Valor Actual Neto, debemos restarle a dicho importe eI costo de la inversion, 0 sea:

VAN = VP- costo de inversion Paranuestroejemplo,el VAN

1415094,34 - 1350000,0 sea

VAN == 65094,34.

En definitiva, la construccion de oficinas se encuentra valorada por encima del costo 18U

Copilulo 10, huluacion do Pro~""tos de lIl,min", V.;\.J';,x1·.I.R,~

I"latcmatica Fin .. ndt."nl utili:mndo Micms(}ft" Excd

de construccion, 10 que nos proporciona una contriblll:iolllleta al valor.

I lemos hecho una simple aprcciacion sobre el valor de venta del edificio. Salvo que tengamo5 realmente vendido dicho intllueble en el mont a mencionado, la e.~tilllacioll que nos diera nuestro asesor inmobiliario, no deja de ser sola mente eso, una simple estimacion, un valor cercano. Por elide, nuestra conclusion de euanto pagarian los inversores por el edificio es erronea, 5i 10 comparamos con 10 que obtendria con los bonos que 51 tienen una renla cierta: Entra aca el factor de riesgo, por 10 que realmente deberiamos reducir el precio de venta del innlueble, a los efeetos de atraer a los inversores. Aqui podriamos invocar un segundo principio financiero fundamental: un peso l'O/1! ",(is que llIl peso call riesgo. La mayoria de los inversores evitan el riesgo, cuando puedcll hacerlo sin arriesgar la rentabilidad. A mayor riesgo, mayor tasa de rentabilidad esperada. Sin embargo, los conceptos de va/oroe/lla/ y costo de oporllmidlld del capital, sigllcn vigentes para las inversiones con riesgo.

seguro,

Siguc siendo adcclIado deseontar eI ingreso a la tusa de rentabilidad ofrecida por una colocaci6n comparable. Pero debemos pensar en cobros esperados yen lasas de rentabilidad esrcradas para otras inversiones. No todas las inversiones lienen riesgo. La COl1strllceion dd edilicio de oflcinas, tiene mas riesgo quc lin bono dd gobkrno americano, pero probabkmenlc sea menos arriesgada que la siembra de soja en la puna de At:1cama. Supongamos que listed cree que el proyecto es tan arriesgado como la inversion en eI mercado de cereaks y que prev.! una lasa de rClltabilidad dc 10% para la inversion en dicho mereado. EllIonees, dicho porcentaje se cOllvicrte en eI adecuado cos to de oporwnidad dd capita! de dos inverslones comparables. [sto es 10 que lIsled est invcnir en .:en:ulcs y construirc! cdificio.

Si otros inversores estan de acuerdo con sus estimaciones, su edificio luego de iniciada la construccion, tiene dicho valor de mercado, pero 5i usted desea venderlo a mayor precio, no 10 lograria, dado que de esa manera esta variando In tasa de rentabilidad 0 su costo de oportunidad, por 10 que no encontraria inversores para que Ie compren su proyecto. Si por el contrario, usted, por alglin mOlivo desea salir 0 mejor dicho, debe salir de dicha inversion, porque esta evaluando un nuevo proyecto que en lugar del 10% de rentabilidad Ie produce eI 16 %, usted podra subir la tasa de aClualizacion, haciendo mas provechoso el negocio para otro inversor y entrar luego en elnuevo proyecto que Ie reporta mas utilidad. Lo que se debe tener en ClIenta, es que en un proyecto donde existen variables que uno no contrala, y las maneja el mercado, como ser determinados grados de ineertidumbre, que en nuestro ejemplo es i, vendere cI mi5mo dia que temline de construir eI edificio, 0 tendre demoras en clio?, convierte a lIuestros futuros ingrcsos en 110 ciertos sino estimados. Pm 10 que los ajustes de los valores de los activos por cI transcurso del tiempo, no es tan sencillo. Una vez decidida la constrllccion del edificio, dado qlle su valor presente es superior a su costo de construcci6n, comparamos nuestro retorno con d que nos produciria si invirtieramos los rondos en titulos del estado americano. Si d ~alor presente del proyecto es igual al descuento de los ingresos futuros a la tasa de rcntabilidad ofrecida por los bonos americanos, invertiriamos en dichos bonos, dado que es renta segura, y no estimada. Podemos determinar, entonecs, que nuestro proyeclO edilicio e~ un rentable negocio inmobiliario dado que SlI rcntabilidad es superior al cos to de capital, donde la renlabilidad la medimos como porcentaje de la inversion r~alizada. Como hemos visto la rentabilidad cs un incremento rclativo expresado como un lanto por uno, si 10 multiplicamos por 100, estad expresado como tanlo P"f cicnto

Calculclllos nllcvamcnlC eI valor presentc:

= 1500000 (I +0, IOr

l

VP = 1363636,36 yel

VAN

VAN

1363636,36 - 1350000

VAN

13636,36

1500000 - 1350000. 100 ::: 11,11 ~ 0 1350000 Nuestro costo de oportunidad es aque! que dejamos de recibir por invcrtir en nuestro proyecto, en inversiones allernativas. En el easo de la invcrsil)n en bonos, Ilucstra tasa de rentabilidad seria 6 %, mientras (Iue en nuestro proyeeto inmobiliario, la rentabilidad es del II, II %. Con estos numeros, vemos c1aramente qlle dejamos de invertir al 6 % para invertir al II, II %, por 10 qUI! dcbcriamos eomenzar inmediatamente. Pero 10 que tenemos que tener en euenta, es que el ajusle de los

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _-'c::.;8:Jr"';,,'u:.;.lo::..:.H=-I. "[\'01. .<16" de rroy«los de 11",<..1<1": V.A.N. ,. TJ.R.

aClivos con el transcurso del tiempo y la incertidumbre, es a menudo, baslante mas cornplicado que eSle simple ejemplo. Por ello, vcmos que Icnemos dos criterios de decision equivalentes para la inversion proyectada: I.

Criterio de valor actual neto: don de aelamos aquel/as inversiones que den valor aclual neto positivo.

liDS

2.

Criterio ele tasa de rellIabilidad: aceptamos aquellas inversiones que su tasCl de rentabilidad es superior al cos to de oportunidad del capital.

Cuando rcalizamos, a los efeclos de proyectar una inversion, los estudios pertinentcs

Y uliJizando el criterio de VAN, nos encontramos con tres eseenarios altemativos:

I. VAN es positivo 0 VAN> 0, se trata de un proyeClo rentable en el cuallos ingresos superan a los costos, incluyendo el COSIO de oportunidad, 0 rentabilidad minima requerida sobreel capital invertido. Proyecto acepfable.. 2.

3.

VAN es negativo 0 VAN < 0, nos encontramos en la situacion inversa, don de los ingresos no superan a los costos. ProJ'ecio 110 Qceplable. VAN es ncutro 0 VAN = 0, nos encontramos Con un proyecto que es indistinto, de acuerdo a la tasa de corte 0 de oportunidad que hemos utilizado, porque los resultados estrictamente compensaran los coslos. Si en este caso, la tasa de corte que hemos utilizado es la de rentabilidad de otro negocio de nuestra empresa, no es negativa su realizacion, sino que tacticamente puede ser bueno, dado que ampliamos In base del negocio de la empresa, diversificamos. Recordemos que ya tenemos incJuida la tasa de rentabilidad del otro negocio.

Tasa Interna de Rentabilidad (TIR) Dentro del campo de la Icoria economica, otros autores como I. Fisher, 1.M. Keynes, K.E. Soulding, etc., han reslIelto el problema planteado. de otro modo, que fue

estimando la tasa intern a de rentabilidad de una inversion.

La TlR es el tipo de inlen:!s para el cual el valor actual de todos los ingresos y gastos son equivalentes, es decir, se hace igual acero, por 10 que la las a no es ahora una dato, sino la incognita. Esa lasa se corresponde con In rate of return de Fisher, la ericienda marginaJ deJ capital de Keynes, y la internal rate ofreturn de Soulding. .p~

Para determinar la ventaja de realizar una inversion, habra que comparar con 1a lasa interna de rentabilidad,el tipo de in teres que el empresario considera como minimo necesario. Keynes sostiene que el empresario invertini hasta que la TI R de la inversion marginal. se iguale con la tasa de inten!s de mereado. La denominada eficiencia marginal del capital. En cierto modo, con este tipo de razonamiento, se va produciendo una aproximaci6n al escenario de funciones con variaciones continuas de una 0 mas variables, en las cuales se opera con los conceptos de inversion marginal y lasa inlerna de renlabilidad marginal, que remiten a todo un set de problemas de maximizacion segim se com porte especificamente eI proceso de inversion. Mientrns primo la tecnica ingenieril para evaluar las inversiont.'S, era 111UY comlln que los criterios de decision cstuvieran basados exclusivamente en los costas de los emprcndimicntos. La cstructuracion de procedimientos de evaluacion economica que contemplcn tanto los costos como los beneficios, constituye un acontecimiento relativamente recienle. En la pnictica era muy frecuente, para medir la rentabilidad, que se reemplazasc eI metodo TIR 0 el metodo del valor- capital VAN por elmctodo de las anualidades, que consistia en una mera rearticulacion matemlitica de ellos, y en cl cual se comparaban los gastos anuales con los ingresos anuales medios, resultando que era conveniente concretar la inversion cuando estos superaban a aquellos.

°

La debilidad de estos metod os es la de no tomar en cuenta la cronoeslructura 0 estructura temporal (que hemos visto reflejada en ejes temporales desde cl primer capitulo) de los flujos monetarios, procediendo como si los movimicntos de caja ocurrieran en un mismo momento del tiempo, siendo la cronoestruetura el conjunto de datos fechados que describe exbaustivamente la gestion de una empresa y sus resultados de un periodo de registro. Solo los metodos de deseuento permiten dar una respuesta adecuada a Ires aspectos ineludibles del calculo de rentabilidad; cronoestructura financiera, duradon y reinversiones, siendo los mas usuales eI VAN Y la TIR. No obstante, puede agregarse que al aplicar la TIR, pueden darse casos en que exista capital negativo, 10 que genera raites multiples 0 una raiz (mica no significativa. En consecuencia, el principio TIR solamente seria aplicable cuando la solucion cs unica y real. Tambien en el caso en que para obtener el mismo output se disponga de dos cash - flow estructuralmente diferentes, incluso la TIR ampliada puede arrojar un resultado incoherente. Una diferencia significativa entre VAN y TIR surge de que aplican tasas de reinversion diferentes, y aunque no difieren al estableeer el colic en la seleccion de

!\latt. nu\tic3 Financienl utilili.mdo Microsoft- Excel

---proyectos, en determinados casos pueden difedr en e! rankeo de los mismos. 1i

Durante Ia scgunda posgucrra, se incrementa notablemente la utilizacion de los mctodos de anal isis de la inversion, profundizandose y extendiendo su alcance. Desde la lercera decada del siglo XX sc desarrolla la economia de la empresa, que cada vez mas. ilunque sin renunciar a la concepcion marginalista que primaba en los razonilmientos de la microeconomia, se va volcando a indagar aspectos concretos de la problemalica de Ius negocios, entre ellos, los de inversion y financiacion. En los Estados Unidos, entre las decadas del 50 al 70, se va configurando 10 que luego sc constituyo en la escuela moderna de istracion de Empresas, la cual, emolada en la Iinca de marcar la separacion que necesariamente debe existir entre propiedad y gerenciamicnto en la priktica de las grandes corporaciones, postula que la maximizaci6n de la rentabilidad solo forma parle del fin mas general que persiglle toda tlmlll, consistcnte en elevar al maximo el valor de la misma para sus propios accionistas, que cambia cI enfoque tradicional hasta entonces predominante, que trataba los lemas de inversion y financiacion sin contemplar ninguna vinculacion ~nlre ambos, como si en realidad se natara de dos compartimentos estancos. La_cscuela moderna entientie, en cambia, que son esos dos aspectos en conjunto los que conliguran a la cmpresa como una verdadera estruclUra financiera debido a que las decisiones de inv~rsion y tinanciaci6n interactuan, y por 10 lanto, no pueden ser adoptadas separadamenle porquc, una vez scJeccionada y aprobada la cartera de proyectos, la empresa tienc que pensar como·linanciarlos y. entonces, la estructura de capital depcndc de los proyectus elegidos. poniendose asi de manifiesto que inversio~ y financiadon son intcrdendicntcs_ Asevcra que eI costo de c:lpital es eI vinculo que liga atkcuadamente a la asignacion de capit:ll eon eI apruvisionamicnto de t()IIdos,:l1 r('conoeer la dualidad ecotl()mica linanciaa qut: rt:vistc la lCl1onwno!Ol:\ia cnmres:lri

EI orden tecnico superior de la planificacion linanciera residiria en que integra metodos sofisticados de decisiones de financiaci6n como ser politica de dividendos, de emision de acciones u obligaciones, endcudamiento, etc. Toda la Iiteratura especiaJizada coincide en que la determinacion de la rentabilidad es la clave tanto para el analisis y seleccion de proyeclos de inversion como para la evaluacion de senderos alternativos de desarrollo de una firma en marcha. La rentabilidad del capital, considerada como la medida de su capacidad de valorizarse a Sl misma es, por definicion, la tasa de ganancia. De alii, que todo metodo que se aplique apunta, de modo mas a menos explicito, mas o menos indirecto, al calculo de la tasa de ganancia. Asi, al evaluar cada indicador, es menester estudiar su relacion con el concepto de tasa de g:lIlancia, pero sobre todo la relevancia pnictica de los resultados que arroja. Si los resultados no son univocos y no queda claro cua! es su real significado, eI metodo no eumple can la funcion de jerarquizar los diversos proyectos 0 altemativas sobre una base cierta. Encontramos que el VAN puede expresarse en temlinos de tasa intema de rentabilidad o TIR, a partir del criteria de aceptar oportunidades de inwrsion que ofrezcan lasas de rentabilidad supe-riores a sus costos de oportunidad del capilal necesario. La Tasa Interna de Retorno 0 TIR, la det1nimos como aquella tasa de actualizaeion 0 casto de oportunidad que haee al VAN == o. EI proccso de dlcu/o, a los efectos de cncontrar la lasa inlcma de rcntabi Iidad que nos convierta al VAN = 0, es un proceso ilerativo. de enS
Es evidente, que si bien tllda emprcsa liene un presupuesto de capital, tanto propio ellmo povenienlc dt: su capaeidad credilieia, Iirnitado, a Sli vez, si la empresa dispone de: inversiones rcnlab!es, Sli capaeidad de endeudamiento puede ser ampliada. Estc scndcro descmhoca en proponer, como etapa culminante de la istracion financiera.la pl:millcadon estratcgica, metodologia que capacitaria, por ejemplo, pi1ra detectar llqudlos negocios en los cualcs la empresa ticne alguna ventaja comparalivll real, es dccir, para poder discemir que a pe5ar de que un proyecto tenga VAN negativu, pllede que, sin embargo, sea aceptado 5i posiciona ala empresa para cstablecerst: en negocios con bllen potencial a largo pla:w.

C

ik + I

(I + i,

ik + -----:-::;;:)~~-:-V·Il.

I

i.A "

, _Matemdtic(l.> FinWlcit'r

1190

I

Ci~sd y ("issei. 1998. rag 3'4.

191

• :'IIalcmalica Financiera u[ililando Microsofl' EKeel C.pilulolll- Eulu.d6n d. Pron<[", de I n"..,.lim: \:A.N. '" T.I.R.

cuya demostracion incluimos en el apendice matematico, obteniendo aproximaciones mejores a mayor numero de iteraciones

lOOO _~:t ~ 127!!494171:i~r

i

C cs el valor de la inversion

1

=O.1271:i3494 1787 +

250 0.127834:; I7R7 6.0.1271:i34941787 (1 +0. 127R34941787) . + (\ +0.mI:i349.:'11~87r~~

0.127834941787'

c cs cada uno de los rctomos peri6dicos esperados 11

;2

es eI ntllnero de retornos espcrados

iA es en principio una tasa tal que el VAN sea positivo

Si por ejcmplo, sc quiere calcular la TIR de una inversion de $1000 con seis ingresos mcnsuales de $250 cada uno, procedemos de la siguiente manera: Probamos, por ejemplo, con una tasa del diez por dento mensual (0,10).

Calculamos el VAN para comprobar si es positivo:

= 0,129771563215

itcrando nuevamente

i3

=0,129780006

se puedc seguir iterando, para conseguir aproximaciones mcjores en las que se puede notar que las cifras se van fijando hasta que las aproximaciones hacen varinr s610 cifras de un orden menor que eJ deseado. Se puede programar un ordenador para que haga cste trabajo por nosotros.

VAN = -1000+250. 1-(1 +0, lOt 0;10 VAN=88,82>0 Por 10 tanto, comcnzamos a iterar con 0,10

1000 . =010

II

,

+

1- +0,

250 0,10

-!J I -!J 6.0,10(1+0,10) - +(1+0,10) -1 0,10 2

il

=0,127834941787

para esta, tasa el VAN es positivo y podemos usarla en lugar de 0,10 para iterar nuevamente

i In

Elcriterio de TIRes aceptar un proyecto de inversion donde cI costo de oportunidnd del capital es menor que la tasa interna de rentabilidad. Si eI costo de oportunidad del capital es menor que 1a TIR, nos encontramos que el proyecto tiene un VAN positivo, cuando se descuenta al costa de oportunidad del capital. Si es igual a la TIR, el proyecto tiene una VAN = 0, y por 10 tanto, si es mayor que la TIR, el proyecto bene un VAN negativo. De esto deducimos que, cuando comparamos eI costo de oportunidad del capital con la TIR de nuestro proyecto, 10 que realmente estamos preguntando, es si nuestro proyecto tiene un VAN positivo. El criterio TIR es, tanto como el VAN una tecnica basada en flujo de fondos descontados, por 10 que dara una respuesta correcta si es correctamente aplicado.

r--

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _..;:(:.;: ••:.:.;i!U.::':.:0c:1.;:O_-.:;E:.:.v:::.I:.:":;:R",cl:::o.::n..=d:::e",P.;croyeclos de 10,.,,140: \lA.N. r T.I.!t.,.

Apendice ~a~tico

J

EI metodo de aproximaciones tangenciales para calcular la TI R se basa en calcular con que tasa el VAN es igual a O.

Si C es el valor de la inversion, c es cada uno de los retomos peri6dicos esperados y n es el numero de retomos esperados, aquclla condici6n Sf puede expresar de la siguiente manera:

-C + c.

l-(l+if"

0 donde la tasa es la incognita

dividiendo ambos por c

C I-(l+if" =0 --: . .L

C

hil

Consideremos una funcian que depende de In tasa cuyn formula sea d primer miembro. Un estudio de su crecimi.:nlo y concavidad nos mllcslra que cs dcerccicntc y con concavidad positiva con un gdfico aproximndamelltc como eI que siguc:

\\

\f(iJ

~.,

'.., ~''''~............

cuando

J;i) eorta eI eje de las abscisas. el VAN es igual a 0 como hemos planteado,

por 10 tanto nuestro problema consiste en encontrar la lasa que haee esto posiblc. Comenzamos eonsiderando una las a [, ,tal que el VAN sea POSilivo

~~

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _-'C;.;.:.tI!::il::,,:.::lo'-I"'D:...•...:f."-.,:.:·.:.::lu:.:.::;
Malcmlllica Financiers ulililando Microsoft' Excel

r

C 1-(1+; )-"

_

JII,)

--------------~----­

_--+ c

. I.

.

'~+I

k

+

-i -

A

C

-

'o..r.I,IO'

\".'\.1'\. y l.Ut •

-.~il1 ~-.­

.f .t. I

1-(1+ --,~

."

~-­

ik +1

i lii}

• 2

'k

La recla langcnte a csla curva en el punto

(i.; J;I, )) corta al cje de las abscisas en

un valor mas aproximado de la lasa i hl Para hallar la ecuacion de esta recta tangente, derivamos valor de esla derivada en

I

,. ) (

I.

J;11

y encontramos el

i. : sera la pendiente de la recta tangente

n.ik·(l +ik

f"- +(1 +i )-" -1 .2 I

k

lk

La ecuacion de la recta tangente a

~i) que pasa por el punto (ik ; ~;*») es;

Y=:=I\id·(i ik)+~'*) Cuando esla recta tangente corta al eje de las abscisas obtenemos una aproximacion

ihl mejor de la tasa J'(i,)

.(i - ik)+ J;i,) == 0 1911

!II

Capitulo 11 Ellmpacto de la Inflacion en las

Operaciones Financieras Complejas

_.

Cuando se tiene en cuenta la inflacion, se debe aplicar la relacion entre la lasa aparente, la tasa real y la tasa de inflacion.! La tasa ofrecida, ya sea aCliva 0 pasiva, es una tasa aparente. Todas las [annulas relativas a operaciones financieras compJejas, se pueden ajustar expresando esta rosa en funcian de la rosa real y de la tasa de inflacion.

Valor Final de una renta, constante vencida temporaria ajustada por inflaci6n . La formula del Valor Final de una renta constante vencida tcmporaria ajustada por inflacion sincronica con el periodo de la cuota y con una tasa real de intcr~s variable y tambien sincronica con cl periodo dc'la cuota, surge de:

Vl(I;,U.l

=c+ c.(1 + i) )(1 + q>)') + c.(1 + i, )(1 + ! )(1 + i!)(1 +q>! ) +

+c. (I + il )( 1+ l ) (I + i2 ) (I + 2 ) (I + i3 ) (I + 3 ) +... +

+c.(1 + i, )(1 + I ) ..... (1 + i,,)(1 + ,,) Vf(bd,)

=c.{ ~[D (I + i,)(1 + s)]}

donde c es el importe de la cuota, i, es la tasa efectiva de interes real del periodo que term ina en s sincronica con el periodo de la cuota, s es la tusa de intlacion del mismo periodo y 11 es el numero de cuotas. Vcr Capilulo 8 de <51< lihro.

199t

\latematica Finnnciera ulilil
Ex~d

Valor Final de una renta variable vencida temporaria ajustada porinflacion Si la ClIola es variable la expresion es

v~,.".,.,"

{"-:le i •ulo

11 .. £.1 Imlulcto de- I" lnOadon ['n lit, OI)(,fJJdtU't'~ nnllndt.'ru~ ('mnpltj~

Valor Presente de una renta variable vencida temporaria ajustada por intlacion Si la cuota cs variable 13 expresion cs

{t,c, [D(I+U(I+'PJ]}

(I +i,

(1+

Si se pudiera cOl1occr la rclacibn cntre cada cuota y la anlerior, 10 que cs 13 rclacion enlre cada tasa real y la anterior y la relaci6n cntre cada lasa de intlacion y la anterior, cslas dos illtimas muy improbables, se podria deducir otro tiDo de f6rllluia utilizando ccuaciones en diferencias

Si 5e pudiera conm:er la rdaciol1 cnlre catla clIOla y la anterior. 10 que cs probable. la rclacion entre cada tasa real y 13 (Interior yIn rclaeit)!) entre cada lasa de inllaci()n y la anlerior. cslas dos (!llimas muy improbablcs. 5e rodria dcdllcir otro tipo tic formula utilizando ccuacioncs cn difcrcneins.

Valor Prescnte de una renta constante vencida temporaria ajustada por inflaci6n

Rentas adelantadas

La formula del Valor Presentc de una rcnla conslante veneida temporaria ajustada por inflacion sincronica con el periodo de la cUOla y con una tasa real de intcn!s variable y tambien sincronica con cl periodo de la cuola, surge de:

+ it) . (I +IPI

r + c. (l + r' (I +IPI r' (1 + i2 r' (I +IP2 r' +

En este caso e1 factor, de capilaljzacion es POf el que se capitaliza.

(1 +IP, ( (1

Rentas anticipadas y diferidas cuola vencc varios periodos despues

En e\ caso en que la renla sea diferida

vPc".... ~

(I + ( ) (I + IP, ) siendo z eI periodo

i.

r' (1 +IP2 r' (I + ~ r' (1 +IP3 r' +... + +c.{l +i, t (I +IPI t . . . (1 +i" t (1 +IPn r' +c.(1

Si lenemos en cuenla que los factores de aClllnlizacion y de capilalizacion de lIna renta nudean eI valor de las /I cuolas en un punlo delcrminado del eje tcmporal, podemos deducir las formulas de IllS renlas adelanladas capilalizando por un periodo a aquel\as que se encuenlran ve"eid(ls.

c{t[IT{I +;, r' (I +qJ, r']}

dclmomenlo de valuaeion

de la cuola, is es la lasa efectiva de interes real del periodo

que term ina en

s sincronica con el periodo de la cuota, IPs es la tasa delntlacion del

m ismo periodo y 11 es eI numero de cuotas.

fecha focal)

0

anticipada (Ia primcr cuota se efecttHl

antes del momento de valuacion 0 fceha focal), se debe Irasladar el valor de la renla mediante los factores

donde C es eI

0

IT(1+i;)-!(I+IPJ,=\

1 ()

TI(l+U(l+IPJ :=1

seglm corresponda, siendo Z los periodos por los que se atlualiza 0 capilaliza y w la cantidad de los misl110s 201

I

.,..'........"'"

J\1atenu,Uca Financier" utihzando Microsoft'" Excel

Rentas asincronicas 0 fraccionadas Cuando d periodo de capitalizaci6n de la tasa no coincide con el periodo que media entr~ las cuotas, la renla es asincronica 0 fraccionada.

Capitulo 12 Reelnbolso de Prestamos

EI valor de las cuotas y el periodo que media entr~ elias son hechos que no pueden moditicarst:. Si sc utiliza una tasa efectiva equivalente a la dada, con un periodo de capitalizacion que coincida con el periodo que media entre cuotas, la renta sera sincronica y se podr'l calcular su valor con las formulas tratadas anteriormente.

Sistema s

0­

EI Sistema s es de cuotas constantes vencidas, con amortizaciones e intereses sobre saldos incluidos en las mismas. Por 10 tanto, se trata de una renta constante vencida temporaria ya tratada en eI capitulo 9. Su Valor Presente es el valor de la deuda al que lIamaremos V~O) 0 Ii;)

vo -Vr.' ­ (Of = VP

.::: C• 1 (1+')-" I

(1;,,;1)

Enlonces, el valor de cada cuota es

i c= ~)'I-(l+ Esta cuota esta compucsta par dos componentes: los interescs saltlos y la cuota de amortizaci6n corrcspondicntc al pcriodo,

sobn.:

c = '(p-J;!') +11' Como los intereses son sobre saldos, y el saldo de deucla decreee a medida que sc va amortizando el capital, los intereses tambien son decreeientcs. AI ser la cuota constante, y [os intereses decrecienles, la eliot:! de amortizacion de es creciente.

i 202

203

I

,

CJlllil~_I~-' 2

- R('C'mhul~(l de l~rh1l\mUS •

Como se mucstra cn cl CO, en la carpeta Sistema Fnillc(!s, la cuota de amortizacion

Creee en progrcsion gcomctrica con una raz6n q = (I + i) sicndo la relaci6n entre

'p '.' (I + i)"-I cuando

la cuota de amortizaci6n p-esima y la primera

=v. ((1+i)" -(1+;),,-1]

V I'

'I =I~).[I-(l~irll

,

I

, = v:,

1

Gsea

I

{j

=1

Los intercses pcri6dicos sc caicliiall sabre cJ saldo de deuda que opera duranle cl

(p-I;p)

(1+;)"-1

1'­

I'

(l+i)"-1

i" ] [(I+i)-J

EI Iota I amortizado prcl'isamcnlc lucgo de abonar la cuota p-csima se abIlene sumando tm1as las amorlizacioncs pcri6dicas hasla la p-csima yes, por 10 tanto, el valor final de lIna renta con stante vcncida temporaria.

T

I)

i IIP_I:I»

=~J=rwi.[(I+ir -(l+i)"-~'l (I+i)"

EI saldo de deuda, prccisamente luego de pagar la cuota C,,_I es la dcuda que opera durante cI periodo (p -I;

p)

y es tambicn la deuda inicial del periodo

1

p, Se

obtiene de la difcrencia entre la deuda inicial y eI total amortizado hasta e1 periodo anterior. Tambicn, puede obtenerse de la diferencia entre el saldo de deuda del periodo anterior y la cuota de amortil3ci6n de capital del periodo anterior,

v =V-T 0 I'

v = v. v. [. P

(l

v,

(I

1,-1

I

J(I + i

,(1+;)"-1'

,+

)P-I -

1

Sistema Aleman

-0­

I E1 sistema aleman es de cuola peri6dica de amortizaci6n constanle e intercses

1

(1+i t - -l]

(1 +i)" -I

peri6dicos sobre saldos.

La cuola periOdica de amortizaci6n conslanle es simplemente una fraccion de la deuda inicial.

vI' =VII [(1+;)";4 -(I+iY-1.A] (l+i)" I

1=

Vo 11

1204

20S

I

Capirulo 12 - Recmholso de Pros,amo,_

EI total amOrliZ~ldo, preeisamente, luego de abonar la euota p-esima, se obliene sumando todas las amortizaciones peri6dicas hasta la p-esima.

Tp

Sistema Americano -------

V =...JL. p 11

En el sistema americano, eI capital se amortiza en un solo pago, igual al valor de la deuda ini.cial, al finalizar el plaza, mientras, se abonan intereses periodicos sobre la deudainicial.

EI saldo de delicia, preeisnm~nte, luego de pagar la cuota C p_1 ,es la deuda que opera durante eI per/odo (p - I; p) yes, tambicn, la deuda inieial del periodo p . Se obtiene de la diferencia entre la deuda inicial y el total amortizado hasta el periodo anterior. Tambien puede obtenerse de 13 diferencia entre el saldo de deuda del per/odo anterior y la euota de amortizacion de capital.

vJ.I_~'(P_I)]=vO.(n Inn

v :::Vo-fi;l.(p-l) p

11

Paralelamenle, se constituye un fondo amortizante can el objetivo de reunir elmonto neeesario para saldar la deuda al finalizar el plazo. Como los intereses peri6dicos se calculan con una tasa activa, mientras los intereses que paga el fonda amortizanle e5 una tasa pas! va, a este sistema tam bien se 10 suele Hamar sistema de las dos tasas.

p+l)

La cuola 10lal 0 de servicio cst.i compuesla por los intereses peri6dicos, que como no hay amonizaciones intermedias, son constantcs: I

Los intereses pcri6dicos secalculan sobre el saldo de deuda que opera durante el periodo(p

l;p).

fondo amorrizante: CF 1(1'_1

,p)

V -'l. .i. (11 n

Vp.i

""

Vu

P + I)

(1+;2)" -I

c= La Cllota p-csima esta c.ornpucsta por dO$ componentes: los intereses periodicos sohre saldos y la cupta de 3mortizaeiiln correspondiente al periodo.

c

cf' =1+1(1'-1;[,)

c/'

V

+~.i.(Jt 11

p+l)

v .

i, +Vo (1 --)" + i2 .~ I

~ V,,[i, +(I +2)" _,]

Todas las CUOlas son igualcs, es un sistema de amortizm:ion de cliota conslamc. AI \'encimi~nlo del plazo eI manto dd fondo amorliza la deuda.

11

=~[l+i.(n

Vo i l y por la cuela del

p+l)]

11

C:"-':

En el CD, d lector puede encontrar el aplicativo Evaillacion de

Sistema Directo

,J Pr':S((/lIlos.,ris que compara sistemas de amortizaci6n para vadas entidades

~-----------------------------~

y prover cI cuadra de la evolueion de la devolucion de la deuda aplicando

En el sistema directo los intereses peri6dieos, se calculan sobrc la dcuda original, aunquc 5e efectuan amortizaciones peri6dieas constanles. Estc sistema esla prohibido en algunos paises pot considenirselo usura.

cstc sistema. EI aplicativo junto al manual de usa estiin ubicados en la carpeta EI'olllacir'J/l de Prestamos. 1206

~

!\lalemt\lics Financiers uriliLnndo Micrns-on- Excel

I = V;).i intereses periodicos

V.

1 = ~ amortizacion periodica

n

!II[

Capitulo 13 Rentas Contillgentes:

Seguros sobre fa Vida HU111alla

c = 1+1 (. -

II' (1'/ + /1;, 1/

•

v. (. + ~ ) II'

/

11

En los capitulos anteriores trabajalllos con rcntas eiertas, cs dccir, que serllll pagadas con ccrtcza en los vcncilllicntos pautados. Este capitulo nos introduce en las rentas contingentes, aqueJlas en el que cI pago se realiza condicionado a que el rcntista se cncuentrc vivo (rentas vitalieias) 0 que estc muerto (seguro de vida). La primera seccion introduce los conceptos basicos de tabla de Illortalid
Tabla de Mortalidad

0­

()..,'\ Los ejercicios de esta seccion pueden resolverse utilizando Ia Aplicacion I(:Y Inforrmitica Mortalidad.xls, que se encuentra en el CD en la carpeta MOltalidad.

Es una tabla que lIeva el registro de la eantidad de personas que estan viv:ls y 1:15 que mueren para eada edad de la vida. Estas t
209

1

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _C=.cJa~~~~I"o__l_J - Rcnlaot Cunlingentcs: Sl'guros subre I!t Vida HUIII;t"a •

l\lalematic., Financiera uhlil.illuio 1\lk~rosQft\. Excd

La siguiente imagell muestra un recorte de 13 tabla para ilustrar. La tabla completa se cncuentra en cI apendice de cste capitulo y tambien en eI CD que incluye ellibro.

La probabilidad no es mas que la division entre los vivos a los 65 arios sobre los \ ivos a los 18 afios:

73.297,43 =0,748715 - - 97.897,62

165 _

La probabilidad de que una persona de

Xi

aiios sc enclIentre viva a los

afios csni dada por la siguiente expresi6n:

1XI I x,

.::Cual es la probabilidad deque un joven varon de 18 aiios muera antes de cumplir los 65 afios?

A los fines de enknd..:r el uso de la tabla, planlearemos a continuaci6n algunas situaciones y las resolvercmos ulilizando la labia CSO 80.

En est..: caso, calculamos cUllntos han rnuerto entre 18 y 65 an os y III dividimos por los \'ivos a los 18 anos:

i,Cu:intos varones d(' los 100.000 quI.' cstab.. n vivos en cI mOrllcnto cero, lIcgan a III "dad de

118 -/65 = I

1811fios'~

0,251285

I'R

Buscamos la columna I, tic la tablJ que es la que nos dice cmintos vivos bay p:lnl cada edad, y nos detenemos en x= 18 allos. La tabla nos indica que cstflll vivos 97.R97,6:' de los 100,000 i,Cu:ill~s I" probabilid"d de Ilue unjovcn varlin IIcguc:I clImplir III aiios'?

La prohabilidad no cs \·ivos a I\)s 0 alios:

=

m;'ls qUI:

/"

la divi;;ibn entrc los vivos a 1m I S alios sohre los

97.897,62 100.000,00

La Drobabilidad de que una persona de x, anos muera antes de los

."If

est adada por 13 siguicnte cxprcsilll1:

I.

"

I.',

0,9789762

Expectativa de vida i,emil C5 1:1 vrolmbilid,ul de quI.' anus'!

varon de 18 anos se encuentrc vivo :I los 65

La tabla de nlOrtalidad nos informa que a los 18 aiios estan vivos 97.897,62 varon..:s de los 100.000 (colulIlna I, lilax=18 onos)que vivian a In edadcero. Porotro lado, sabt:l1l(ls que 73.297,..13 vivcn a la edad 65.

!l!!l

SGbi<:ndo que una persona se encuentra viva ala edad x, la expectativlI de vida nos inJi.:a ':UlU es la cdad, en promedio, en que se espera que muera. Evidentcmente, rnucha:; personas muer!;!'n antes de lIegar a esa edad y otms luego, pero d concepto d~ exp<::ctativa de vida remile a pensar una edad esperada, scgun los datos hisloricos disponibles, de muerte.

ll-W

_

:\latcmalica Financicra utilizando Mkrosoft' Exed

;,Cual es la expeclativa de vida de un varon de 18 arlOs segun la CSO 80? Para responder esta pregunta. sumamos los varones vivos a los 19 anos mas los a 20 aiios y seguimos sumando haslax = W = 99 anos. Si a esto 10 dividimos por la cantidad de vivos a los 18 anos, obtcnemos una eslimacion de la expcctativa de vida en base a la tabla CSO 80. A los fines de evitar valores fraccionarios, la fonllula actuarialluego Ie 5uma 0.5, quedando la siguiente expresion para obtener la expectatlva de vida de una persona viva a los 18 anos:

1.'11.'05

Entonco?s, la fOrmula que nos permite calcular la cxpeclativa de vida de

k=w-x-I

una persona viva a la edad.ct es:

ex

k=1

13 " (tenIa, ('!lllling""I.': Sq;uro' s"br. I. \'Idn lIumlln••

La formula general para saber ('u;into dinero rceibid un apOrlante de $1 a la edad x luego de transcurridos

1/

anos, csta dnda por la siguicnle

(I ) + i" = V-II; la fOrmula qllcda I expresada de la siguicntc forma: -"-{I + i)" =

)i" Yddinicndo, c"presion: -I.' - (I + ,,+"

I \4"

v"I \ +11

i.Cmil es elllporle (lue debe realilar UII jOwo de 18 :liios panl rccibir $1 :11 clIlIllllir 6S anus'!

+0,5

:L

~pilulo

Siguiendo un razonamiento similar al anlerior, primero evalunmos cU3nto dchemns pagar a\ cumpHr 18 anos, EI calculo cs simplcmenlc In multiplicacion del $1 recibido por cada individuo de 65 mios, Ie dcscontnmos 47 anos con una tasa de descuenlo anual V que corresponde a una talia de 4% y la dividimos por la cantidad de individuos que se supone aporto.

Ix+k

- -1 (1 +0.04) :::: 0,9615

v

+0,5

Ix

1

15 $1 -" V

47

$ 0,1182

liS

A continuacion, plantearemos dili:rentes situaciones y las resolveremos utilizando el concepto de expectativa de vida y los datos de la tabla CSO 80. La formula general para saber cminlo dinero aporta un indi,iduo a la edad

Sitodos losj6\'(~nes de 18 anos aportan $1 a un fondo que luego sera retirado por los sobrc"..hientesa los 65 anos. i. Cuanto dinero rctirana cada uno al cumplir los 65? Sabemos que el aporte fue de $1 por la canlidad de jovenes vivos a los 18 aiios (I/s)' tambien sabemos por la labia cwintos sobreviven a los 65 anos (/.;). Suponicndo un inten:s de mercado asegurador de 4%, lIevamos el monto recibido como aporte al momento futuro (47 anos adclantc) y 10 dividimos por los beneficiario~ que sobreviven:

x, si luego de transcurridos II aiios recibira 1$, esta dada por la siguicntc

.. cxpreslOn:

V"lx +n

Ix

Valores de conmutacion $1

1212

~{1+.04t Ir•5

$8,438211

En la practiea de seguros se utilizan diferentes val ores, denominados de COlllllutacion. que facilitan los calculos actuariales habituales delmercado. Estos valorcs combinan ­ tasa de descuento y val ores de la tabla.

~i\I:ltematica Financier:!. ulihzando Microsoft' Ex~.:I

______________--'C"',u- <::.il .c::. sl la>
De finicion de los valor..:s de conmutacion:

i,Cual es la cantidad de dinero necesario hoy para cumplir con los pagos de $1 anuala todos losjovcnes de 18 afios vivos hoy,siendo el primer pago al cumplir los 19 afios y hasta la muerte'?

D \' =VX[X

N x

~jda Human:t

Debemos pagar a los varones vivos en cada una de las edad~s S I pm aiio. AI ano de iniciado el contrato, nos encontramos con II~ varoncs que e~l,ln vivos a los 19 alios; por 10 tanto, el primer pago es igual a (lUI'S I ), el segundo es (/.'11.$ I) y asi siguicndo hasta ); '" tv ~ 99. Ahora, estamos en presencia de un tlujo de fOlldo~ futuros y nuestra pregunta es cwi! es el valor actual equivalente, Recordando los capitulos anteriores, debemos aClualizar cada pago para encontrar el equivalente a hoy y realizar la suma.

Dx + DHI + ... + D w _ 1 Cr =vx+lq.Jx

La igualdad para toda la poblaci6n a valor presente seda entonces:

alin'.

Mx =C +Cx+! +·.··+CII'_I y

aiR X+II

It

2

$1 + v '2o$1 +... + vSI"I~$1

Pero a nosotros nos interesa cuanro debe pagar cada varon de 18 alios; por 10 tanto, dividimos ambos. por

A manera de ejemplo, preguntcmonos nuevamente: (,Cual es el aportc que debe realil.lIr un joven de.\' llfios p"r3 rccibir $1 al cumplir x+tr anos?

vIII

1 / 19

;,Cmil es elcosto hoy que debe pagar un varon de 18 anos, para IIscgurarsc el cohro a futuro de $1 por ano en forma vitalicill, cobrando 1:1 primcr cllota .. los 19 anus'!

Pura eada edad y sexo, la tabla CSO 80 ya trae calculado los valores de D, N, C Y M; pcmlilicndo reducir la complejidad de los calculos. Asimismo el arch iva, ..... CS80.xls conticne toda la informacion y los ealculos de los emmo valores de eonmlltaeion.

lIEx

=v

$l_~_~~~~ltl'

D ~

Dx

f'cnsemos ahara en una persona de edad x que quiere saht~r (llal es pam recibira futuro $1 en forma vitalicia. La formula L!cl1cral serb:

a :<

=<1'I~ .) LJ v"__

I t.•

t"1

Rentas Vitalicias~o-

I

t

Para facilitar 105 caiculos, expresamos cl valor de Ahora. y can un manejo lnisir.:o de la tabla de mortatidad, nos disponemos a encarar .c1 problema de las rentas vitalieias. A diferencia de los capitulos anteriores donde se prcscntan rcntas ci.:rtas, las vitalicias son contingentes a la sobrevida del beneficiario.

conmutacion:

a

cll:OSIO

a, utili)(anJo 10>

vJlores tI!.'

N. = ~. x D x

Esta explicaeion 5e baso en suponer que el primer cohro se real i)(a el ano al pago, por 10 ellal se denomina renta vitalieia vencida. A continllJciLlil, sc resumen las IOrmulas para las rentas vitalicias mas com lines (incluycndo las anticipadas y las diferidas).

Son rentas que se pagan pcriodicamente mientras el rentista se encuentre vivo. 5i bien los periodos pueden ser llle,es, cuatrimestres, semestres a an OS, nos eoneentraremos, cIl esta seccion, en las anualidades 0 renlas anuales.

~.

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~ ;\I;lfcmatica Finuncicra ulilil'aniJn Mkro~uft· Exctl

a.

Capitulo 1':\ - RrntM Cun~ln~r!!t~:~~~J!~r~S~f)~r!

1~~ic!IIJt_~nH\na ~

Rentas vilalicias vencidas

EI primer pago de renla se rcaliza ala edadx+ /: a~

La formula general de rentas vilalicias es la siguienle:

== N"il

Dr

N edad vCllcimienlo

i Cual es el costo hoy que debe pagar un varon de 18 ailos, para asegurarse cl

D cdad compra

cobro a fUluro de $1 par ana en forma vitalicia, cobrando III primer cuota a los 19 anos'!

a 1x

de rcnlll

= $ 21,24

N'l) _ 102631 48325,02

= -D . IX

Seguro de vida --------------------------------------------~

h Hentas vitalicias anticipadas EI primer rago de renta se realiza a la edad

x

=N

ax

Para oblener este segura una persona paga, mienlrns viva, una prima y ,en casu dc fallecimiento, la compania de seguros abonara al beneliciario una suma preacordada.

x

~

Dx

;,Cual es d cosIo hoy que debe Ilagar un varon de 18 anos, para asegurarse el cobro a futurode$1 por ano en forma vitalicia, cobrando la primer cuota a los 18 anus'?

al8

=

N'8 _ 1074643,25 48325 , 02

DIR -

=:

Para entender la fonna de calculo de la prima, imaginemos el grupo formado por los varones vivos de 30 anos de edad (segun la CSO 80,95.800) que desean lomar una poliza de seguros de vida que permita a sus familias recibir $100 en easo de falleeimiento. Durante el primer ano mueren, aproximadamenle, 166 varones, euyas familias deben recibir ese ano $}OO; produciendose un egreso de la compania de seguros de $16.600. Calculando de esta manera hasla la edad W, obtcnemos el flujo futuro de pagos que debe afrontar la compania de seguros de vida. Una vez obtenido el flujo de fondos, utilizamos nuestros conocimientos de valor actual para obtener el valor presente, suponiendo una tasa de mercado del seguro y, final mente, dividimos eI total por 95.800 para obtener la prima por persona.

$ 22,23

c. Rentas \'italicias difcridas El primer pago de renta se realiza a la edad X+/1+ 1

III ax

NX+I!+'

Siguiendo el razonamiento de la seccion anterior, podemos transformar este calculo en uno mas simple, que utilice los valores de conmutacion para el calculo de las primas unicas de vida entera:

Dx

lCual es el cnsto hoy tluedebe pagar un varon de 18 anos, para ascgurarse el cobro II futuro de $1 por ano en forma vitalicia, cobrando la primer cuota a los 50 anos?

(/18

I-~"";"

- Nso =$4,10 DIS

+-==..- - - - - - - ­

j'iIl:.' -----------------~

A,

=~-l

Matcmatica Filulociera ulilililnda Micn"oll'

Ex~d

<.Cual es la IJrima pura unica que debe pagar una persona de 30 afios de edad que tluiere dejar a 5U familia $100 en CllSO de fallecimiento?

M30 A30 - - .

---,-----------------­

~--------,

$ 100_$ 20,92

D30

No siempre el pago se realiza lIna unica vez, muchas veces nos encontramos con la situaci6n de que el asegurado prcfiere pagar LIlla prima allLlaL EI calculo ell este caso es:

Px

Prima anllal:

M

­ x

Nx

;,Cu,\) es la pnm:lllllual que debe pag:lr una persona de 30 anos de edad que quiere dej:II-:l S1I familia $100 en caso de fallecimiento?

P..o = -

ptS

$100 = $1,02

Apendice

.....

N30

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Capitulo 14 Titulos de Renta Variable

•

En cI prescnte capitulo, 5e desarrollan los conceptos gencrales sobre tilUlos de renla variable. En las seccioncs siguientes se analizanin clasificnciones 'I decisioncs cmprcsariale$ que 1110difican el valor de una aeeion; se desarrollani una explicacion sobre la forma de valuacion de las acciones haciendo referencia a las cscuclas fundamental y tcenica 'I. en 13 ultima seccion, sc cxpondran dos formas de armar porta folios de inversion. A su vez, se brindanin aplicacioncs rcalizadas en Microsofi~ Excel que c1 lector podra utilizar a ereclos de comprender y aplicar can sencillez los eonceptos explicados.

Conceptos Generales

()-.

Definicion de Accion Las acciones representan a las partes en que se considem dividido el capital de una empresa. Asi, una acdon da derecho a la propiedad de una parte proporcional de los activos de la compania'. Por otm parte, las aeciones son una forma de prt!stamo otorgado por un inversor a una empresa, pero sin fecha de devolucion pactada. De esta fomla, las empresas logran la financiacion de sus proyectos 'I el normal desenvolvimiento de su actividad, sin tener la obligacion de devolver los fondos obtenidos en periodos en los cunles no sea conveniente hacerlo. Estos aporles realizados por inversores 0 accionistas conforman el «Capital Social» de las empresas. EI mismo se divide en acciones que poseen un valor nominal 'I sirven para identificar la proporcion en que cada inversor participa en la compaiiia. , Mascarenas y otros. Acciones. Bonos y Fondos de Im·ersiim. Ediciollcs Piramide. Madrid. Espana, 1998

I\latematica Financiers utihz:mdo ~1kros.ot1:~ Excel

~_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ._~l!P~i1Ulos

A traves de estos aportes los inversores pasan a ser propictarios, teniendo derecho a cobrar los dividendos que la empresa distribuya.

a) Segun la modalidad de colocacion: . Acciofles privadas

Las acciones no prometen ning{m tipo de renta, como asi tam poco una amortizaci6n

del capital aportado. AI comprar acetones, el inversionista busca obtener rentabilidad mediante la valorizaci6n de la empresa a medida que esta crecc. EI beneficio estara dado por la diferencia entre el aporte realizado y el valor actual de las accioncs.

Son las que pertenecen a los inversores particulares, estan hechas a medida y no eotizan en eI mercado secundario. Se obtienen por media de una negoeiacion di recta conla empresa, con acuerdo entre las partes.

Origen de los beneficios obtenidos

~. credmiento de la empr~

[£o~divide~dOs distribuidos

segun las polilicas aplicadas en la

I

Pertenecen a lnversores particulares, pero cotizan cnlos mercados de valores. Poseen mayor liquidez ya que pueden i ser adqlliridas y vendidas en el mercado secundario par cualquiera de los inversores.

Derecho a Voto

Dividendos

Las acciones ordinarias poseen

Percibitan los dividendos en funcion de

1!i derecho a voto. Otorgan a su titular las utiUdades que la empresa oblcnga,

= el derecho preferente a la sllscripcion

La liquidez~ de una accian depende de las expectativas del mercado en esa acci6n que, a Sli vez, varia segun las bondadcs de la cmpresa Yla situacion econ6mica en general. Para poder detcrminar si una accion es Iiquida se debe evaluarque cantidad de acciones se negocian por dia can respecto al total de aceiones emitidas.

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Es muy convenient!! tener en cuenta la liquidez de una aceion al momenta de realizar

1:

la inversion. Hay valores pertenecientes a empresas de excelentes cualidades, cuyas cantidades habilitadas para scr negociadas pueden ser muy i1iquidas 0 no negociadas todos los dias. Por 10 tanto, debemos vcrificar si la accion a comprar sc negocia a diario y veriftear eI promedio de volum!!11 operado.

o

Tipologia de las acdones

~

't:I

·c Por modaJidad de colocacion

Tipologias

Actiones con orerla publica

b) En funci6n de los derechos que otorgan:

disuibuci6n de las utilidades de la cmpresa entre sus acdonlsta.~.

con su variaci6n en \a cotizacil'in en el mere ado de Valores.

\'ariahl~

I

!

eI crccimiento y los resultados determimmin eI valor de la acci60.

de _Rent.,

Par derechos que otorgan

Con oferta {

~

ptiblica

~

0..

privadas Ordinarias

{

Por modalidad { del titulo

Preferidas De participaci6n Fisicas

Escriturales

Figura I Liquidez: sc [rata de \;1 capaeidad de poder deshacc= una u)ancra nip ida y susl~mcialmente irHegr:.l.

d~

como asf tambien de que 5e aprucbc la de nuevas acciones de la misma propuesta de distribuci6n de dase. De esta forma los accionistas dividendos. lograrian mantcncr Ia misma No cxisle un tope rmlximo a sus posibles proporci6n de capilal que utilidades; los accionisl
J II,bscarcfias y Olros, Acciones, Bonos y Fondvs de fln-t!rsi"n, Edicioncs l'ir;jmidc. Madrid. Espana, 1998 • Cissel y olros, Malemalicas nnanciera" Cia. Editorial Continental. Naucalpan. Mexico, iono

una inY"rsioo y convert'rI. en dinero de

1226

.!Ia

MalcmaliclI Fimmcicra utilizando Micro,oll' Excel

Oerecho a Voto c

'0

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Oividendos

Con este tipo de acciones Normal mente se convierten en habitualmente se compensan a los ordinarias despues de un periodo empleados de empresas que se determinado. . privalizan. No tienen derecho a yolo entre las partes.

'----'-.

c) Scgi'm la modalidad del titulo otorgado: Acciones fisicas

Actiones escriturales

Son himinas fisicas (certificado de accion) que cada inversor puede lIevar consigo. La constancia documental sirve como cvidencia de titulo de propiedad de las

acciones de una empresa. Hoy son cada vel: menos usuales s.

No existen fisicamente en una lamina, existen sino que registros especialmente habilitados para su negotiation.

La operatoria con este tipo de acciones se realiza a traves de trasferencias en dichos registros.

Capilulo 14 - lilllius de Rrnl. Vllrlllhio

principios de cquilibrio entre la orerta y la demanda. Que las dccisiotlcs cambien el valor de la accion no significa que I" inversion realizada valga mas 0 menos despucs de ella. Entre elias, pueden menciOl'larse:

a) Ampliacion de capital":

La empresa decide ampliar su capital social emitiendonuevas aeciones. La ampliacion de capital busca un ingreso de dinero para la cmpresa. Eslo rrcscnta un numento en eI numero de titulos de la misma en el mercado. Conio mcncionamos con anterioridad, los accionistas ordinarios poseen el dcrccho de prefcrencin, de podcr suscribir la nueva emision de acciones en la proporcil)1l que po~eian con anterioridad a la misma. Todos los panimetros de la emprcsa medidos en terminos «por accion» disminuycn al exislir un nlllllero de actiones mayor. Si las acciones se emilen por sobre su valor nominal', la cl11presa incrementa !iU valor libro H, En cstc caso, el valor libro aumenla en mayor mcdida que el capital. Cuando esto sucede se dice que la emision se realizo «sobre la pum. De csta forma, la empresa obtendTli una ganancia extra por la emision de aceiones. Si la cmision resulta por debajo de su valor nominal (<
Decisiones de una Empresa que pueden afectar el Valor de una de una Accion En esta seccion centraremos el amilisis en las consecuencias queciertas decisiones empresariales tienen en la cotizacion de una acci~n. A este tipo de decisiones suele Ilamarselas «Corporate Actions». Los impactos que generan en el precio de la accion no se pueden comparar con las ((subas» 0 «(bajas» reales de precios que ocurren a diario como conseeuencia de las fuerzas propias del mercado. Estas decisiones logran variaciones en las cotizaciones ajenas a los

Emision de AcciQnes

Valor Libro

Sobre la par

Aumenta

Bajolapar

...

A lapar

..

Disminuye Inalterable

b) Dividendos en efectivo9 :

Se dan cuando la situacion de una ernprcsa permite repartir los resultados acurnulados. Las ganancias se dividen entre sus accionistas en la proporcion que • Mascarenas y otros, Acciones. Bonos y Fondos de fnvers;oll, Edicioncs Pinimidc, Madrid, Espana, 1998

, Cisscl y otros, Materna/icas Financieras, Cia. Editorial Continental, Naucalpan, Mexico, 2000

, Valor Nominal: EI valor nominal expresa la unidad de capital que: representa cnda aecion. S Valor Libro: es el valor proporcional de cada accion en el patrimonio. • Mascarenas y otros, Acciollel. Bonos y Fondos de' fm'(!rsion, Ediciones Picimid~, Madri~ E.'P"lia, 1998

229\

Cap.lulo 1-1- Tindo-s. de Rcnta: \'Ilriable

ni eI patrimonio de la empresa, ya que no existe un ingreso de dinero por venta de acciones. Con este desdoblamiento del valor de sus aceiones, eI capital social de la empresa permanece inalterable, pera no asi el volumen de las acciones que 10 soporlan.

l\tatcmatica Finnudera utiliz::\ndo Mi.:roso h '" Excel

\es corresponda y pueden pagarsc en efectivo si la empresa asi 10 quistese.

Distribucion de dividendos en efectivo

Por ejemplo, si se cambian las acciones 3x J, indica que se rccihiran 3 acciones por cada una que se posea. La cantidad de acciones se triplica, 10 cual haee modificar la cotizacion de las mismas. Al realizarse un SPLIT, cl valor neto de los activos de la empresa no aumenta y cad a accionista pasa a ser propietar'io de un numero mayor de acciones que representan un valor equivalente al que anterior mente poseia en la compafHa.

Cotizaci6n

Accion ex-cup6n

cupon

D No cotiza

Accion

Split

Figur:. 2

Valor Libro (por accion) - - Disminuye

Split a --+ Aumenta In inversa

Cuando se resudve distribuir dividemlos en efectivo y la accion corta cupon'", 1a

rnisma se desdobla en dos partes: queda la ace ion propiamente dicha, 0 «accion ex

_cupon», sin dcrccho al cobra de los dividcndos deterOlinados, pero da derechos

sobre los proximos dividendus all[] no declarados; por otro lado, esta el «cupon»

que otorga cl dero:cho al cohro de los dividendos declnrados. Por eso es fundamental

eonneer si estamos comprando la ace ion eon eI «eup6n adheridoll 0 sin el.

Valor Libro

Cotizacion

(por accionista)11 Conslante

Disminuye

Constante

Aumenta

Como mencionamos, un split ordinann "OJ n:presenta ninguna variacilin de valor para los propictarios de acciones, perc en la practica puede constatarse que este desdoblamiento de acciones tientc a aecionislas mas pequei'ios a inwrtir en ellns dchido al precio mas bajo de cad a accion. Estc juego de la orena y la dcmanda incrementaria la capitalizacion bursatil') de fa empresa en virtud de b mayor demanda de las aceiones.

PI. I acerearse eI mOl~lcnto en cl qm: lIna cmpr ...sa va a pagar sus dividendo" existe un

valor Implicito inclllidll en la colizaeiilll de la aeeion, que fonnaba parte de la misma

y de Sli precio. [sln sc debe ala cstimacicin de los dividendos que se c
a distribl1ir. cotizacilln dlnria indu),e. entoIlCe$, cI dividendo estimado desde la

llllim
La

acci6n corta ellptin,

Sli

eotizaci6n sc

\C

Asi se explica la decision de aquel/as empresas que se sientcn obligadas a declarar un split ordinario cuando vcrilican que el precio de sus aceiones se ha elcvado mas de 10 que algunos inversionislas privados pllcden pagar. EI nuevo precio de las acciones las hace mas accesibles para los inversores pcqucilos.

disminl1id:l.

La distribuci()n de dividendos en c\ccli\o plIede :lnlll1ciarse como un porccnlaje

del valor llllfllinul de la llccil)!l 0 Cl)!110 llll ;mnorlc a cllbrar.

Una empresa tambicn puede decidir hacer un reverse split 0 splil ala ilH'ersa, cs decir, reducir el numero de acciones actuates en dctcrminada proporcio·ll. Si cl split es 1-3, signilica que al accionista se Ie cambianin 3 acciones viejas por una nueva, EI valor de la accion se incrementa pero, no obstante, el patrimonio de la empresa no varia, por 10 cual cad a accionista seguin\. siendo propietario en Ia misma proporci6n que poseia antes del reverse split.

c) Oes(\obillmicnto de accilllles 0 escision de unll action":

(uando una cmprcsa desea cambiar el valor nominal de las acciones, 10 que

haec es modilicar la cantidad de acciones en circlliacion, A este tipo de decisiones

sude denomimirsc1as Split. Cuando se realiza un Split no se altem el capital social,

III

"

"Valor que surge d~ mulliplicar lac
C\)r~ar clIp(m: SL'paraa;tl1n d~ I~\ acc-ibn

M"scan:l'i~" ':I UI1\1$, ""dones.

dd de'ft:cho de los divid.:ndtJs.

Bullol' y ro"d", d~ /mw7';';II, Edidon"" Pir.imit\c, Madrid. Espaila. t998

.};.

Matrmalica Financier>! tllililJndo Micro,nft' E.,cel Capih11u lJ .. Thulo, ~(~.'::~~~~~lIU _\~~~~~!!! __

Este tipo de fraccionamiento tiene por objclivo primordial dar a las acciones la imagen de t;lulos mejor valuados. Sin embargo, puede buscar la eliminacion ala minima expresion de la cantidad de accionislaspequeiios.

d) Dividendos en Actiones

La decision de dislribuir dividendos en acciones' puede verse como dos decisiones conjunlas: una distribucion de dividendos Cll efcelivo, COil la i!lmediata suscripcion de nuevas acciones emilidas por la empresa. Esto implica una capitalizacion de las ganancias por pane de 13 compuiiia, realizada por medio de un asicnto cOllwble que Ileve los resultados acumulados WIlW capital. La decision no lllodifica el p~tril11onio. aunque aumenta elnumero de acdones en circulacion. Sin cad a accionista continua conser\'ando la misma riqueza, ya que las acciones sc dislribuycn proporcionalmenlc a la lcnencia,

Diyidendos en accjQnes

Villor LibrQ Valor Libro (por ilccion) (por accionista)

La fusion de empresas tambien puede producirse can la compra, por parte de una empresa. de lodas las acciones de la olra, oal!ando un valor acordado a los accionistas de la Erma absorbida. Tambicn puede darse una fusion cuando la emprcsa absorbcnlc adquiere todos los activos de la absorbida, logrando que esta muera lentamente 0 deba cambiar de l1cgocio. Suclc darse el caso ell que las acciol1es de la cmprcsa absorbentc dcsciclldan su valor. Sm:edc, principalmcntc, si CxiSlC IIna crogacion de dinero y la empresa ahsorhida incrementa cl valor de sus acciones al ser adquirida. Esta situacilm pllcde explicarsc por cl alll11Cnto en la demanda de las ~Iccioncs dc la cmpresa absorbida, ya sea porquc 51: mejoraria su performance al fusionarsc con una cmprc::.a mcjor, 0 bien por la demanda de todas sus acciones, 10 cual incrcmenta su valor. -------~---

CQtizacion

Decision

Consccucncias

Ampliacion de capital

Bajo lapar

......

Oivtdendos { en efectivo Disminuye

Consfanle

Emislon de acciones

Disminuye en forma inversamente proporcional

~

Valor Libro ' ----------

Valor Libro

Sobre la par

------

ValorLibro

A la par

Fi&uu 3

La cotizacion de las acciones se ajusta aUlomaticamente en fomla inversamente proporcional al incremento en la cantidad de acciones. La nueva cotizacion solo implica un ajusle neutro para cada inversor, por mas que la accion cotice en

Dividendos en efectivo

Las nuevas acciones se depositan en la cuenla que posee cada accionista. En este caso, e\ numero de tilulos aumenta aunque eI valor de capitalizacion bursatil de la empresa no cambia. De manera que el precio par accion se reduce al punto que la ecuacion cantidad de acciones por precio siendo la misma.

Desdoblamiento de acciones

~ Valor Libro

~ Cotizacion

...

Split

Split a la inversa

c) Fusiones de empresas No exisle una regia que se cumpla invariablemente cuando existen fusjones de cmprcsas. ya sea para aquella absorbida 0 para la absorbente. A pesar de ello, pueden exislir variaciones en el valor de las acciones.

Dividendos en acciones

En algunas fusiones, las actiones de la empresa absorbida se transforman en acciones de la absorbenle, en la proporcion que se determine.

Fusion de empresas

1232

t

Valor Libro por Accion

~

Cotizaci6n

­

t Valor Libw por Acdon t Cotizacion

tValor Libro por Accion

tCotizacion

No c;.;iste una regIa oja

2331

C.p;.ulo 14· Tilulos de ncnt. Voriabl. _

Valuacion de las Acciones

0­

. Cualquier inversor que tome la decision de invertir en acciones necesita determinar un valor' para la misma qilC, mas tarde, debera comparar con la cotizaci6n de la acdon y proceder en consecllencia. Cuando el valor otorgado PO[ el inversor se encuentra por dcbajo del de cotizacion, venderalas acciones que posea; en cambio, si eI valor asignado por el invcrsor es superior al precio de cotizacion, elulversor comprara dichas acciones.

De que depende su valor l ' EI inversor que adquiere una aceion 10 hace con motivo de obtener una ganancia futura. Esto supone poder vender la accion a un precio superior de adquisicion. Dieha postura implica que III firma podni mantener 0 mejorar su rentabilidad gcncrando suficientes ganancias en un futuro, 10 cual, a su vez, motivara que nuevos il1versores adquieran dichas acciones.

al

EI precio que se esta dispuesto a pagar por un titulo tiene relacion directacon 10 que se espera recibir a camhio en un futuro. Asi vemos que 10 primordial es poder cstablecer el nive! de ganancias futuras de la empresa. La estimaci6n de las ganancias debe realizarse a perpetuidad. Se puede hacer . considerando como ganancia un porcentaje del patrimonio de la empresa, cs decir, C0l110 llna ganancia fija sobre el capital invcrtido. Unaacci6n (excluyendo a las privadas) puede adquirirse bilsicamente cn dos mercados: 1I~ mcrcado prima rio y otro secundario 's . .

'------ .r--­ i\lcn:lIdo Primar10

Los mcrcados primarios son

en 10$ que sc negocian las acetones

cuando rccien se cmitcH.

Las cmprcsas pllcdcn emitir sus

aceioncs directamente en el mcrcado

. sccundario, pero la mayoria 10 hacen en el primario mediante instituciones especializadas que hacen dc

[_

MercadoSecundario

Las aceiones ya cmitidas y colocadas, se ncgocian en los mercados sccundarios (Ia bolsa de valores). La organizaclOn y buen funcionamicnto de este mercado, Ie' permite al inversor tener una mayor liquidez en comparacion con las acciones privadas. En este mcrcado

I~ Cissel y olros. J,'/alt.'tluilicas Filumt'icrus. Cia. Editorial Continental. Naucatpan. ~1~xico, :WOU " Mosca",i\"" Y 01ro5. Acc/o""s. Bo"o" •. Fom&", d" 111~ersid", Ediciones Picimidc. Madrid, Espana. 1998

/234

intermediarias, (bancos de inversion ode negocios) asegurando en algunos casos, la colocacion de todas las aceiones emitidas .

tambh:n existen intermediarios denominados agcntes de valores 0 de bolsa.

Por 10 tanto, las aceiones podnl.n tener un precio en el mercado primario, 51 estamos en el caso de emision de acciones, 0 tendr.in una cotizacion en el mercado secundario. Estos precios son 10 que se compararan con el valor que un inversor determine para laaccion. Existen dos tipos de amilisis para poder establecer el precio de una ace ion, que a pesar de considcrar distintas posturas no deben ser tornados como excluyentes, sino como complementarios. EHos son: el Amilisis Fundamental y el Analisis Tecnico. Es importante tener en claro que no puede mezclarse el analisis Tecnico con uno Fundamental; ambos son necesarios para to mar una decision, pero deben ser realizados en forma separada, para que ninguno interficra en el estudio del otro. Uno y otro intentan describir y conocerel comportamiento accionario con el objetivo primordial de predecir las fluctuaciones de las cotizaciones.

L.

La escuela fundamental

J

1

La esclicia tecnica

1

Esta escucla reqlliere de un analist;! 1 con una alta especializaci6n en el I conocimiento de la empresa bajo amilisis, asimismo requiere un manejo de informacion considerable en . cucstiones macroeconomicas y microeeonomicas que afecten tanto al sector extemo como intemo de la empresa.

I

EI amllisis fundamental mostrara que acciones estan en mejores condiciones con motivo de lograr una inversion mas exitosa.

[

Esta escuclu presllpone que el mereado posee toda la informacion disponible y descuenta todo en forma instantanea. A partir de esta postura, se supone que el mcrcado sc comporta con extrema racionalidad.. Esra escuela considera que existc una reafirmaci6n de los hechos ocurridos con anterioridad. EI anal isis tecnico utiliza grMicos, y basa sus conc\usiones en las interpretaciones graficas de 10 sueedido.

J

Matenllitica Financiera ulilizando Micro,,,rt' Ex~cI

.__Cupilul.14 Tilul•• de RCllla Vuduble

Los dos enfoqucs son muy diferentes: en la cscuela tecnica eI amilisis principal se realiza sobre el mercado de capitales, intentando determinar los valores futuros de la accion; en la escue/a fundamental se busca el valor de la accion en funcion de los Oujos futuros que Ie otorgani la empresa a sus dueiios.

[@

Nivel del sedor

En el CD que acompaiia allibro, encontnmi desarrollado el lema indices y Ratios en la carpela del mismo nombre,colllO as! tarnbicn la Aplicacion Infofl1uitica Indices .'t Ratios.xls.

Se debe haeer un amilisis exhaustivo de las fuerzas de demand. y ofen a que afectan a In induslria. EI crecimienlo (0 su inverso) prollosticado en el anterior amilisis se produce de mancra desigual en los dislilltos sectorcs de la economia. Deben analizarse In tasa de crecimiellto del sector. su lama no yla influencia en la eeonomia global del pais. En cstc amilisis. los sectores son comparados frenle a OlrDS scc(orcs. Sc busen selcceionar el sector en donde sc pucda realizar una difcrcneia. Una vez escogido el seelor. el anillisla debe disminuir un grado en ~u estudio. en busqucda de las empreslis incluidas en cI SCd(lr clcgido.

Analisis Fundamen!~1

Nivef de fa empresa

0­

EI amilisis fundamental husca cslableccr el valor real de una accion por medio del amilisis e irilcrprclaci6n del eSlado y la evolucion de las variables macroeconomicas y microeconomicas que afcclcn a la cmpresa, EI analista fundamental trataria, por 10 tanto, de prcdecir cI comportamicllto fUluro de las variables macroeconomicas (tipos de intercs, inflacion. volumen de vcntas, la competencia empresarial, etc.) y sus cOllsccucneias sobrc los dislintos sectores y las rcspcetivas cmpresas; la inOueneia que tendnin en la euenta de resultados dc una empresa y, en base a estudios adieionales. rccomienda comprar 0 no aceiones de dieho valor.

EI analisis fundamental incluye cI eX3mcn financicro Oil dia (Ilu.io de fondos, eapacidad de prodllcci6n. deudas. patrimonio. ventas. erogaciones. de.); el management cmpresarial y Sll cxpcrienl'ia Cil cI sector; y 0:1 concto del ncgocio (plan de negocins. ~ncrcado al que salisface y/o apunta. cle.). Las cmprcsils son cOlllparadas COil otras competidoras.

EI valor presente de una accion es 1.'1 valor asignado a la Illisma en funeion del amilisis de los Ires pilares elllpresarjales citados (dislinlo al valor de eotizacilin).

Esta escuela requicre de analistas Con una alta espccializacion y conocimientos de la empresa sujeta a amilisis, asi como de todas las variables que inOuyen sobre ella. Los analistas fundamentalistas utilizan la informacion de la empresa para lograr estimar el valor de una accion.

Economla Sector

---~ IValor I"trins.co I ________

Empresa

Para proyectar eI valor se necesita realizar un amilisis en Ires niveles: el de la economia,

Fig,un 4

eI del sector y el de la empresa. Nivel de la ecollom{a

Se examinan los datos macroeconomicos mas relev~ntcs'·. EI analisis no solo contempla el estado actual de las variables, sino una proyecci6n a futuro de elias. Todo esto con el lin de poder ver la situacion actual y cstimar el desenvolvimiento futuro de la economia del pais. Lo que se busca con eI anal isis de este nive! es ver el potencial crecimiento que se estima pucda tener la economia del pais, cosa que posibilitara un mejor crecimiento de las empresas y, por ende, su valor en la bolsa. Una empresa, mas alia de su solidez, no puede evadir la situacion general del pais.

II, Por cjcmplo. la t.1,a de inlo"" del mercado, el PBI. el PBI per capil., opinion de las e.lificadoras de riesgo, situnci6n p()litic3 (deecianl'S. polilicas impositivas, proteccionismo, ele.), conllictos intemacionales, 13 evolucion de I. innaeil," del po is. cl delkill1=1. cl dcscmpleo y I. m"retla de los mimeros de las cuenlas miciomles (balan?... comercial, tipo de camhi",l'''.); I. c\·0Iuci6n de la inflacion del pais, d dclicilliscal, el dcsempleo y 13 man:ha de los numera, de las cucnlasnaciooak'S (halan711 comercial, tipo decambio, CIC.), entre OlIOS.

\236

;(

~.

Lo que inlenta determinar el analista fundamental es el valor prescnte de 1a cmpresa, segilll la proyeccion que se haga de esta. Una vez conseguido el valor presente de la accion, se la compara con la eotizaeion de la misma, En virlud de las diferencias de importes se recomendara la venta, cOlllpra 0 conservacion de la ace ion. Para realizar el caleulo del valor presente de la accioll se utilizan los ralios e indices analizados en eICD. No existe una metodologia eslablecida para lograr cstimar el valor presente de la accion. Pero puede observarse que un anal isla fundalllentalisla sigue lIll proceso que va de 10 general a 10 particular, es decir, comienza con el amilisis del nivel de 13 economia en su conjunto haSla \Iegar al nivel de la elllpresa en particular. Esto no quita que existan analistas que realicen el proceso inverso: comenzar desde la empresa para hiego arribar al nivellllas general (de 10 particular a 10 general). 2371

~lll"m:Hic:l Financier:! "bIlla",)" t-.hcU)s.. ti' Excel

Capitulo 1~-= TillJIo' d,,-Rcnta VlITiable _

Formas de determinar el Valor Presente de una accion Exislell diferenlcs maneras de delerminar el Valor Presente de una accion. La que posee mas conscnso y se aplica mayormcnte es el descuento de Flujo de fondos disponibles para los accionistas.

Descuento de cash 110ws Este metodo establecc e\ valor presente de una accion mediante eI ca\culo del valor actual de los flujos de fond os disponibles para los accionistas. I)ara poder eSlablecer eI flujo de fondos disponibles para los accionistas deben estimarse los futuros componentes del flujo de fondos para los siguientes 4 a 6 anos. Por ejemplo, ingresos, erogaciones, impuestos, amortiz3ciones, margenes de Ulilidad. Estas estimadones tienen que poder realizarse en base a criterios logicos de «;:recimiento y participacion en el mercado. Para IIcgar al valor presente de una accion es necesario tomar un mUltiplo del flujo . de fondos estimado,libre de impuestos, amortizaciones e intereses (free cash flow). Este m@iplo que utiliza el mercado se basa en la posibilidad de futuras ganancias para la empresa, como su ricsgo de negocio, crecimiento y comparacion con otros rubros.

Descuento de dividcndos Este metodo eSlablccc que eI valor intrinscco de una acdon es igual al valor presente de todos los dividendos que se estime la empresa va a distribuir.

VP

D1(1+

VP=D, .

I

I-g

donde g es la tasa del crecimiento proyectado de los dividendos.

EI inconveniente can este metodo consiste en poder realizar una acertada proyeccion de la tasa de crecimiento de los dividendos (g), seleccionar la apropiada tasa de capitalizacion del mercado (i) yla dificultad para detenninar si la empresa podnl definir una distribucion de dividendos todos los aoos.

Descuento de l1ujos de cajas

Para obtener el valor presente de flujo de caja debe estimarse el crecimiento del nujo de fondos libre de impuestos, amortizaciones c intereses. Para lograr esta estimaci6n se requiere establecer una tasa de crecimiento para los proximos anos, como asi tam bien 1a tasa de crecimiento a perpetuidad. Es preciso determinar la tasa de corte, tomando en este caso, principalmente, la tasa promedio de financiamiento 0 del costa promedio del capital. Dc esta forma, las futuras ganancias son descontadas a la tasa de endeudamiento.

Ganancia(,)'(l + i)

.,

(0)

EI valor presentc de la accion cstara compuesto del valor presente de los Ilujos de rondos estimados. descontados ala tasa de endeudamienlo, mas cI valor actual de los thy os de fondos a perpetllidad, que se calcula de la siguicnte forma:

()-" + 0'2 (1+ i )-'- + .... + Dill +i

Ganancia

don(lc i representa la «tasa de capitalizaci6n del mercadol>, ramada como el n:ndimiento de una inversion de similar ricsgo. EI calculo a pcrpcluidad de los dividcndos a distribuir tiene un valor presente de:

@

En el CD que acompana allibro, ellector podra encontrar la ApliclIcion Infonn::itica I'(ltor /nfrillseco.xls en la carpeta Valor Intrinseco. EI manual de uso correspondiente se encuentra ubicado en la misma carpeta.

@

En el CD que acompana allibro, c! lector cnconlrani algunos ejemplos de AmUisi; Teenico, en la carpela Amilisis Tecnico.

VP = D.! i Si considcramo5 que los dividcndos van a crecer a una tasa «g», en dondc

D,

(I + g). DH ,Ia formula de perpetuidad con crecimiento es:

239t

('Upil~I~O 14 - Tihllos de nCnlu \·Rriublr.

_,\bteIll8tita l'inunrieru "',liLando Micmsol1' Excel

Porta folio 11

cl rendimiento diario de ulla acciOll pod cmos Irabapr de dos fortnas. Usualrnenle se utiliza un calculo lineal. Pero lamhicn es muy utilizado el rendimiento logarilmico.

Cuando hablamos de portarolio nos estamos refiriendo ala combinacion de acciones que posee un inversor. Si e1 inversor diversifica sus inversiones logra divcrsificar sus riesgos y consigue armar cI conjulIlo deaccioncs que mas se adaplc a su caraclcristica como invcrsor. Un alto rcndimiento de una acci6n, trae aparejado un incremento en los riesgos nsumidos 0, dcsdc otro punlo de vista, los inversorcs demandan un alto rendimiento como conlra-prcstacibn de accioncs (Iue posc:ln un alto riesgo.

En eSlc capitulo se har;i Ulla introduccion para cl armado de portafolios, dcscribiendo iniciahnentc los aspectos a teller en cucnla en la eleccion de los activos que se incluinin en cl mismo. Tambien se expondni. un modelo basico de armado de ponarolios, mediante cI cual se prelende maximizar el rendimiento 0 minim~zar el riesgo. Cabe aclamr que no se trabajara en la siguiente seccion Teoria de la Cartera: 5i cllcclor desea realizar un amilisis mas profundo sobre el lema, puede consultar las lecluras recomendadas en el CD en la carpcta PorIa/olio.

Consideraciones para la incorporacion de un activo a un portafolio 1R Cualquier invcrsionista busca a priori oblener el mayor rendimiento posible de su capital, con un minimo riesgo. Sin embargo, como mencionamos anterionnente, las acciones can mayor rendimienlo traen aparejado un nivel de riesgo eJevado. Por lal 1l10livo, podemos decir que un inversionista posee objetivos en contraposicion: desea tener un portafolio en el cual obtenga el mayor rendimiento y que implique muy poco riesgo. Eslas metas SOil antagonicas, porque las acciones can rendimientos elevados poseen riesgos elevados.

.

Para rcalizar el calculo lineal del rcndimicnto dehclllos conncer la coli,,:Jcion dc rierre de la accion y la de su dia anterior, de la siguienle lonna:

Rcndimiento = Valor de cicrrci'l - Valor de

I

Es dccir, tomamos el valor de cicrre al cual Ie rcstamos d valor de cicrre de su

cotizacion anterior. Esle rcndimicnlo cstani e:xpresado en valorcs monctarios.

Para calcular cI porcenlaje de rcndilllicnto, dchclllos dividir 10 calculado por el valor dccierre de la cotizaci6n anterior:

Re n dim iento Lineal =

~_ _~~_ _--~~V~-I) Valor de ciene(H)

Para la eleccion de los portarolios optimos, supondrcmos que el riesgo es medido por la varianza de los rendimientos hisloricos.

Riesgo = Var (R)

Planlearemos dos rOmlaS clemenlales para armar un portafolio optimo: mediante la busqueda del maximo rendimiento posible, a bien a traves de la minimizacion del riesgo.

Portafolio de Maximo rendimiento

Consideraciones

Para la obtencion de un portafolio de maximos rendimientos se buscara la combinacion optima entre las acciones disponibles, sujeto a un nivel de riesgo tolerado y considerando un minimo de participacion para las \nismas.

Dentro del anaJisis de armado de portafolios es nccesario aclarar que para calcular " Zap.:tniuky y OIroS, illi.rlraciQIl Fillal/dl'm de las Orgalli:acioncr. Ed. Macchi, Argentina, 200Q " Ci"cI Y
Supongamos que tenemos n acciones para elegir; la accion « I» )' la accion «Z}). 241J

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _C.c·.caLpilulol~ - Titulo, de Ren'. Vari;oblc ~\tica

I-"'inancicra utilizando Microsoft- Excel

W,;::::

Nuestro objetivo sera maximizar el rendimiento compuesto por estas n acciones:

Max. Rendimiento = R, *w , + R2 *w 2 + ... + Rn *w n

y un porcentaje maximo de participacion por accion, si queremos restringir accion en particular:

Considerando R I ' R 2'" R n los rend im ientos promed ios de d iehns aeciones. S iendo WI' w ... w"los porcentajes de participacion de cada una de las acciones, y 2

W, +W 2+",+w n =1 a un riesgo tolerado. 0 maximo riesgo aeeptado por el inversor:

Var(l)*

+ Var(2)*w; + ... + Var(n)*

< RT si lo~ activos . -

son mdependlcntes

min ; W J ;:::: W 2 min;'''; W n ;:::: W n min

WI

~

w, max

;W 2

~

~Wnm'"

W 2 max;''';

Generalizando para un conjunto «n» de aceiones, podemos decir que nuestra funci6n objetivo es: n

Max I(R. *w k )

bl

n

Cuando los activos estan correlacionados la expresion de la varianza es

IVar(k)*w~ ~ RT k~1

a'l a '2 Donde VIR.J =

[W,

lV

all

a 22

ani

CI,,2

a'II alII

II

W, W2

a: <WI;::::

W I min ; W 2 ;:::: W 2 min;"';

~

W I max ; W 2

~

;:::: Wn min

W 2 max;"'; W n

~

W n m3X

W ]

2

"

1

... anti I I l-V"

Cuando los activos estiin correlacionados n

Max I(R k *

Donde:

a'l

L'S

)

.=1

111 covarianz,l del rendimiento de la acci6n icon laj (si i

a,i es In varinnza

de la accit111 i) R, es cl rendimiento dc b ncci6n i

[W,

por 10 tanto la restrieci6n de maximo riesgo aeeptado par cI invcrsor es

SUjetoa:

~

W2

W

n

Gil G 12

Gin

W,

G 22

G 1n

W,

G n2

G nn

]1 G

21 •

,G nl

all

an

a 21

w2

w,,]

I

a 'n a 2"

II I I

(fnl

\1'1

2:

W I min ; W 2

2: w 2 min;'''; W n 2:

WI

~

W I max ; W 2

~

W 2 m,,;"'; W n

~

II

I~ RT

Wn

W n min W

II

n1:..,

I

(filiI

Podemos ineorporarle a nllestros reqllisitos un porcentajt: de participacion minima par acci6n:

WI

-

Pasemos a un ejemplo basi co para intentar comprender como funciona el moddo. Supongamos que la ace ion « In tlene un rendimiento promedio del 2,9873% y ricsgo del 0.0237; Y que la accian «2» tienc un rendimicmo promedio del 18.25% y lin riesgo del 0,8659. Cansiderando que el riesgo tolerada par el inversor es de 0, I 0,

l·B

I

L\latenuhica Financiera ultli:r.ando Microsoft- Excel

decir que eI Portafolio optimo que maximicc sus rendimicntos es el compucsto por el 67,9% de la acci6n ({ III Y el 32, I % de la aeci6n «2», con un rendimiento del 7,87%. Pueden obscrvarse en fa Figura 5 los resultados oblenidos.

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de Renta Fija

0

Bonos

__~.~ .. ____ ~!~._j ().OO~. 100.o~ o.no~ 100.00%

A continuacion. se cxplicaran brcvcmentc algunos conceptos finaneieros fundamentalcs. En las seceiones siguicntes. sc rcalizar11 una introduccion 011 concepto de bonos. sus caracterislic:as prineipales. su estrllctura. tipologia y los riesgos involucrados. para luego. cnla tlitilllll partc del capitulo, dc\crminnr la valuacion y rcntabilidad de los bonos.

·-o.•nooj 1.8.

Capitulo 15

PortkJpoKf6n . P.nklp..d6n i

Ric'fQO

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MA.Hkno

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Conceptos Generales

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Figura 5

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En cl CD que acompaiia allibro, ellcctor podni enconlrar la Aplicaeion Informatica Porlalolio.xls en fa earpeta Portafolio. Ef manual de uso correspondiente se eneuentra ubicado en fa Illisma earpeta.

Los gobiemos. como las cmpresas, ncccsitan dinero para linanciar·sus proyectos de inversion, 0 bien, por necesidadcs de liquidcz, por 10 que toman prestado capital de individuos mediante la emision do bonos.

COllcepto: Un bono es un pn:slamo de dinero que se Ie hace a lIna empresa 0 gobierno recibiendo en eompensacion por el prestamo una serie de pagos adicionales 0 cupones en concepto de interes.

Prestadores: Los que preSlan el dinero son las unidades econ6micas (familias, empresas, gobiemo, etc.) que tienen exceso de ahorro y son denominados «inversionistas». Los tomadores del dinero son las cmpresas y gobiemos que 10 necesitan. Se los denom ina «emisores» .

Emisores:

P44

Los bonos pueden ser emitidos por entidades publicas 0 privadas con el fin de financiarse. A los bonos emitidos por Eslados Nacionales u olro tipo de istracion eSlalal se los denomina (,Titulos publicos». Los bonos emitidos por entidades privadas son denominados «Titulos Privados», «bonos corporalivos» u «obligaciones negociables».

Desde el punta de vista del emisor un bono es un certificado de deuda, una promesa de pago flltura mediante un documento en el cual se detalla al momenta de su cmision (condiciones de emision): el nombre del emisor, el Valor Nominal, el fecha de emision, fecha de vencimiento, la moneda, el cronograma de pago de cupones 0 renta (es el pago de los intereses), la lasa de interes y la secuencia de amortizacion del capital, monto de emision. monto en circulacion y garantias.

C:tphulr. 15 - Titulos d ... lb.-ora Fij;l

0

Uuoos ..

Fechn de Vencimiento: Es la instancia en que se extingue In obligacion del eroisor para con el invt:rsor. A partir de este dia el bono deja de exislir. Plazo:

Cuando se toma la decision de emitir un bono el emisor se compromete a devolverle al inversor, en una feeha determinada, el capital recibido en pfl::stamo y a retribuir dicho prestamo, mediante los intereses que se establecen en el momenta de la emisi6n. Par ejemplo, consideremos lin bono mediante el cual una empresa solicila un monto de $ 1000 para la realizacion de la ampliacion de su fabrica, prometiendo como contraprcstacion el pago de cupones de interes y amortizacion, segun se detalla en el siguiente grMico: 550 500 50

50

50

50

50

50

525 500

Se trata del tiempo de vida 0 madurez del bono, el tiempo que transcurre dcsde la fecha de ell1ision y la fechade vencimiento. Es todo el pcriodo que dura la obligacion del emisor. Los bonos pueden ser de corto plazo (hasta 5 ailos), de mcdiano (hasta 10 nilos) 0 de largo plazo (mas de 10 aiios). En general, los bonos de mayor plazo registran mayor volatilidad y ofrecen una mayor tasa de rendimiento. A pesar de ello, en los momentos de crisis, esta rebci6n es inversa. Periodo de gracia: Es el periodo en el cual el bono no

cllpones de amortizacion del

25

f.~ -1~.t_~~

Fecha d. emiswn

Peliodo de

250

..

Ano 1

1.

Ana2

Ano3

250

250

Ailo4 Ano 1

I

I

1000

~ .

-> Cupones de Interes

..... Cupones de Amortizaci6n For.ha de vendmientfi

Figura I

1.lJ1l0

Figura 2

Caracteristicas de emision Como mencionamos con antcrioridad, un bono al ser emitido incluye una serie de condiciones eSlablccidas por eI emisor del mismo. En elias, debemos destacar':

Tipo de emiwr:

Fecha de emisitlll:

EI emisor es el responsable de la devolucion del capital y:seg(1Il quien sea eI emisOf. los bonos pos~en distintos riesgos incluidos.Los emison:s plH:den scr tanto entidades publica, como privadas.

Es cI momenta a partir del ellal tiene vigencia cI instrumento de deuda, esto cs, cuando se da el coroienzo de In obligacion, mediante la entrega 0 registracion del bono porparte del cmisor y del dinero por parte del inversor.

Valor Nominal:

, Verchik, 19'13

AII3,

~...

,11i'1'(,
Refiere al monto que el emisor secompromete a devolvcc al inversor. Es el valor que aparece en la lamina del bono, par el cuat fueron emitidos los mismos. Estc puede amortizarse durante la vida del bono. Tecnicamente, es el monto de J:l deuda originalmcnte emitida. _ _--=--2.17

1

• ~latcmatic-a Finltnciera ulilttando Micrn~oh1t E.\ccl

Cllp(ltr: EI cupon es el manto que recibir;,i el invcrsor en concepto de intereses yfo de amortizaciones. La secuencia de pagos es variable. Puede ser Anual, semestral 0 Irimestral. Tasa del cup(il1: La tasa del cupon de intercscs cs la tasa nominal que sc compromcte a abonar eI el1lisor del bono por retribueion dcl capital. Los intereses se calculan sobre el saldo de ueuda. Pucdcn pagarsc en base a una tasa fija () variable a una combinacion de al1lbas. Una tasa variable CSla en runeibn de la evolucion de algun indice 0 tasa de referenda. mas un margen pm d mayor riesgo de la inversion. En algunos casas, podemos enconlrar IIna lasa fija, pero que crezca 0 disminuya en cltiempo.

(""Iliiolu 15 ~ 'I'Uulos de RenIn FiJa

0 ~~.'~

entre un bono que amortiza durante su vida y olro que 10 haec llilinai. EI porccnlllje de amortizacioll depende del plazo del titulo. del pcriodo de gracia y de la regulmidact del pago. /1.1(111((1 de elllisiolf:

EI monlo de emision es la canlidad de dinero que cl emisor recihio de los inversionistas y represcnta el monto lotal de la obligacion. ----

Fccha de Vencimicnto

Es cI comicl1z(l dc la (lbligacion. -­ Es cuando sc cxtingue la obligacioll.

l'lazo

Es cI periodo que dura la obligacion.

Periodo de grada

E!\ cI periodo en que eI bono no alllOrtiza.

Fceha de cmisil)n

-~

----

Guralltius: Los bonos plIcdcn eslar rcspaldados por una gamnlia. Esto depende mucho del presligio de su emisor. La garanlia puede abarcarel pago de los cupones de amortizacioll del capital 0 los pagos de los cllpones de illlereses 0 una combinacion de ellos.

Precio de em;s;ol1: Es eI monto a desembolsar por el inversor por cada 100 de valor nominal del titulo emitido, que surge de [a colocaciol1 del bono por media de una licitaci6n. EI mismo puede ser bajo la par, sobre la par a a la par (100%). Los bonos cupon cero, son cmitidos bajo la par, ya que se emiten a descOenlo y no pagan cupones de interCs.

---

Tipo de emisor

Segllll c\ em isor, losbollOS poseen distintos riesgos incluidos.

--­

Valor Nominal

Monto de la deuda originalmente emitidu.

Cup6n

Monto que recibira cl inversor en coneepto de inlereses y/o de aillortizaciones.

Tasa del cUpOn

Es la lasa nominal que se compromete a abonar el emisor del bono par retribucion del capital.

Garantias

Depende del prestigio de su emisor y puede abarcar el pago de los cupones de amortiza­ cion yfo de intereses.

Precio de emision

Es eimonto a desembolsar par el inversor por cada 100 de valor nominal, que surge de la colocacion del bono.

Maneda de emisi()lt: COlTcsponde a la moneda de denominacion del bono. Los bonos en moneda local son mas baratos que el resto ya que en su precio rencjan el riesgo de una eventual devaluacion.

EI esquema (Ie amorthaciolles: Es eI cronograma y porcentual que indica [a forma en que el emisor reintegrarii el capital al inversor. La forma de la devoJuci6n se reflejani en la tasa de rendimienlO del bono. La devolucion puede ser mediante cupones 0 el 100% al vencirniento. La secuencia de los pagos, modi fica la maturity 2 del bono, ya que existe una diferencia pla;1,() promedio del bonn.

I 2-t8

Moneda deemision

Corresponde a la moneda de denominacion del bono.

EI esquema de amortizaciones

Fonna en que el elllisor reintegrani e\ capital al inversor.

'---­

.-­

_249

1

i\fatcm:ilicli Finunciera utilizando Mkrosoft' Excel Capitulo 15 - Titulo!!: dc Renta Fij:l

Monto de emision

0

Uonos___

Es la cantidad de dinero que el cmisor recibi6 de los inversionistas y representa el monto tOlal de la obligaci6n.

Amilisis de un Bono

Intcreses Corridos Intereses del periodo.Dias transcurridos en el periodo

Dias totales del periodo

Ja/or tecllico:

Indica el valor de rescate del titulo a un momento determinado. Una vez emitido el bono y teniendo en cuenta las condiciones de emisi6n eSlablecidas en eI mismo, se puede analizar una serie de caracteristicas a fin de comprenderlo.

Valor tccnico = Valor residual + Intereses corridos

Filljo de pagos:

Paridad:

Es precisamente el tlujo de pagos de los cupones de inleres y de amortizaci6n que resta atender iksde la fccha de aniilisis hasta la extinci6n de las obligaciones a cargo del emisor.

Es la relaci6n entre la cotizaci6n del bono con su valor tecnieo. Cuando la paridad del bono es del 100% se dice que el bono cotiza a la par. Si es mayor al 100%, Sc 10 con5id~ra sobre la par y, si es menor, bajo la par.

•iI/or residual:

Monto en circlliacilin:

Indica elll1onlO dc capital que todavia no ha sido devuelto por el emisor. Es la proporci6n del Valor Nominal no amortizado. En los bonos que amortizan a su . vcncimiento el valor residual es igual al valor nominal durante todo el plazo del misillo. Si, en cambio, el emisor decidc amortizar el capilal durante el plazo del bono, mediante los t'liponcs de amortizaci6n, el valor residual ini diminuyendo durante la vida del bono en la proporcion que sc establezcan en las condiciones de emision. Existe la posibilidad de que el Valor residual de un bono 5ea mayor ai valor nomin,li, pem SI! da en casos aislados. y es cuando los intereses se capitalizan, es decir, en vel de abof)arsc. pasan a integrar el capita\. Los interescs se pagan sobre el Valor Residual del bono.

realizar un ej':lIlplo pr:ictico, dirijase al CD quc aeompmia allibro c cn la c3rpela Caractcristicas. En esa carpeta, tambi~n est;} ubicada Aplicm:ion lnfonnatica Caracleris/icas.x/s.

IlIler.eses corridos:

Son los intereses dcvengados entre el momento actual y el ultimo cupon de inlcrcs abonado. AI mOlllcnto de inicio de cada periodo de renta 10$ intereses corridos son iguales a cero.

EI monto en circulaci6n esel monto de los bonos que estiin disponibles en el mercado. Si un bono tiene amortizaciones durante la vida del mismo el valor en circulacion ira disminuyendo mientras se vayan pagando las amortizacioncs de capital (sl.:gim sea su valor residual). A pesar de clio, existe la posibilidad que el emisor rescate los bOllos emilidos, mediante la compra de los mismos a un prccio dcterminado al momento de la emisi6n de los bonos a sus tenedores. Pesc a esto, eI emisor lambicn puede comprarsus propios bonos en cI mercado secundario. Tambicn puedc aUl11cn\(Ir t'l mOnlo de circulaci6n con la ampliaci6n de la emisi6n de bonos. En conclusion, elmonto en eirculaci6n es la suma de los Valon:s Nominales del momo original de emision, menoslas amortizaciones de carita I, menos los rescales porcl emisor, mas la ampliaci6n de capital. Liquide::

Esl:i dada por la capacidad de poder realizarlos por dinero de una ll1aneril acccsible. rapida e integra. Jalor Actual 0 Presellte (VP):

Representa el valor actual del cronograma de pago de cupones de interes y amortizaci6n !l una tasa de intenEs conocida, la cual opera como una tasa de descuento.

1150 251

J

Mlllemalica

fil1anci~r8

: Titulo.s d.c Renc~ F~j."

utilizando Micro,oft' E,cel

Bonos.

se pagan anualmente, tendremos una T.LR. efcctiva anuaL Esta lasa slIc!e denominarse TIREA (Tasa Intema de Rentabilidad Efecliva Anual). Pani. realizar comparaciones entre T.I.R. calculadllS para dislinlos plazos. debcmos realizar una

n

Vp= L,Ck.(I+it k=l

Dondc:

0

equivalencia de tasas, ver Capitulo 4.

Ck Cupon k i

rcndimiento (constantc)

Rendimie"to Selllia"ual: EI rcndimienlo semianual, es una lasa nominal anual con capilalizacion semestraL

Se puede obtener con una equivalencia enlre lasas, partiendo de la TIREA:

Rendimiento corriellte 0 Currel/t Yield: Es una medida de rcndimiento que relaciona cl cupon anual con eJ pretio de mercado del bono. Esta medida ignora el valor tiempo del dinero.

TJ.R'(scmcstl1l') =[(1 + TIREAt

Se caJcula de la siguientc forma:

5

-IJ.2

. Cupon anual Current Yield:::: --'----­ Precio

Tasa In/erlla de Relltabilidad (T.I.R.)

En algunos mercados los rendimientos se expresan sobre esla .base, por 10 es necesario identificar con que tipo de tasa se maneja el mercado. 0

Yield to Maturity (Y-T-M):

La tasa intema de rentabilidad es la tasa de inten!s que iguala el valor actual del flujo de fondos (con cupones de interes y de amortizacion) al precio de mercado (0 inversion inicill\). Asi, se detemlina el rendimiento del inversor 0 la tasa de descuento que iguala al flujo de fondos a 0 (contemplando el f1ujo negativo de la adquisicion del bono). Efectivamente, la Tasa Intema de Retorno no es mas que la tasa a la que descontando el flujo del bono, la suma de sus val ores presentes se iguala con el precio.

Cotizacion ::::

t C .(1 + TJ.R·t k

k=O

Jlida Promedio: Es el promedio ponderado del tiempo que resta para amortizar inlegramente el bono cuando el inversor logra recuperar el total del capital de su inversion. La vida promedio del bono disminllYc a partir de que se ha emitido. Si tomamos en cuenta un bono cupon cero, la vida promedio del mismo al momenta de la emisi6n es igual al plazo de vigencia del bono. Sin embargo, cuando los bonos reintegran el capital en varios cupones, la vida promedio de los mismos disminuye y Sl: calcula de la siguiente forma:

La Tasa Interna de Rentabilidad puede hallarse despejando T.I.R. de la ecuacion por iteracion que iguale los .

0

VPo = I.(Kj.j)/KR o

A diferencia de la current yield', la T.I.R. contempla cualquier ganancia 0 perdida de

j=O

capital que el inversor obliene, manteniendo el bono hasta su fecha de vencimiento. La T.LR. calculada va a estar expresada en el plazo de duradon de los cupones. Es decir, si se pagan cupones mensuales, la T.l.R. sera mensual y efectiva. Si los cupones , Currenl Yield, csla rncdida reladona el cUpOn antial con eI predo de mercado. Ignorn el valorliempo del dinero

Donde:

KIlo Kj J

= Capital Residual a la fecba deamilisis.

"" Cuplm de capital para el periodo j. = PlalO remanente de vida del cupon de capital 253l

l\fotenuitica Financiera ulillzando

MiCTosnft~

Donde:

@ ->

En el CD que acompaiia allibro, ellector podra encontrar la Aplicaci6n Informatica Vida Promedio.xls en la carpela Vida Promedio. EI manual de lISO 51! enClIentra ubicado en la misma carpela.

Dllration:

Para comprender el concepto, consideraremos dos bonos: un bono cupon cero, con un plazo de 10 anos y un bono con identico plazo, que amortiza anualmente, con pago de irHereses semestrales. Podemos observar en la comparacion de dichos bonos que, de mantener la inversion hasta el tinal, en el primer caso estamos il1virtiendo eI capital para un periodo de 10 aiios. En el segundo caso, vemos que (llIestra inversion va siendo devuelta en el transcurso de los 10 ailos, con 10 cllal, el tiempo en q'ue se presta eI dinero es menor. Conceptualmente, 10 que mide la duration es el plazo promedio por el cual se prestan los mantas invertidos.

£1 concepto dt! duration fue desarrollado por Frederick R. Macaulay, en el ano 1938. La duration es el plaza promedio ponderado del flujo de fondos integrado par los cupones de intercs y de capilal, donde el factor de ponderacion cs el valor actual dc cada uno de e50$ cupones como porcclltajc del valor actual de tada la corrienle de pllgos que gcnenlrfa dicho bono. Es una medida de madllrez y de riesgo del bono. La duration es sicmpre mo:nor que la vida promedio del bono por la simple razon de que en eI dlculo esta induyc las cupono:s de interes. Sin embargo, existe un caso en

la que la vida promcdio de lin bono es igual a su duration: se trata de los bonos ecro. La duration es invers
C'I VA.

"" Cupon de Capital e interes, del momento i. :::: Valor Actual (decotizacion 0 de compra). = Plazo de cada cupon.

Para una mejor comprensiotl tomaremos un ejemplo: consideremos que se adquiere un bono el OJ/OJ/200 I, a un valor de $ 95,72 con el siguiente flujo de rondos:

6 meses cupon de interes 12 meses = cupon de amortizacion y de inleres 18 meses "" cupon de intcn!s 24 meses = cupon de amortizacion y de interes Cad a cupon de int.en!s paga el 10 % sabre el Valor residual. Los cupones de amortizaci6n devuelven el 50 % del capital. Con estos datos obtenemos el flujo de fondos para la vida del bono: 6meses=$IO 12 meses ", $60 18 meses = $5 24meses $55 Para saberel plaza de la invcrsion, afirmamos que no es de 2 aiios. Bajo concepto hemos invertido los $95,72 iniciales par dos anos. Para poder oblcner 13 duration, debemos calcular el valor presente de cada uno de los l1ujos dc fonda. Teniendo en cuenla que la T.I.R. es del 25%, el valor presente de cada IIno de los es: P(JrCenfll.je de Itl inl'ersiOlI

6 meses 12 mcses 18 meses 24 meses

8,94 48,00 3,58 35,20 v.P. ""' 95,72

Total

9,34% 50,15%. 3,74 'Yo 36,77% 100,00 %

AI plazo propio de'cad~ cupon 10 ('ponderamosH en In proportion que su valor presente "peSID) en el precio.

La lormul::l de la duration es la siguientc:

Duration =

i, {[C 1(1 + TIREAy ).i}1 V.A. i

.=1

pS4

.

6 meses 12 meses 18meses 24meses

6 12 18

24

.0,0934 .0;5015 .0,0374 .0,3677 Duration:

'" 0,56 "" 0,67· '" 8,82 16,07 255

t

Mafematka Fin.ndeta utilizando Micro",n' Excel

r::(,

En el CD que acompaila allibro, elleetor podni encontrar la Aplicacion ~y Informatica Duralion.xls en la carpet a Duration. EI manual de uso se encuentra ubicado en la misma carpeta ..

que se esta analizando. Para la eomparaei6n se utilizan bonos que posean una duration (0 vida promedio). Los sprci\ds se expresan en Hpuntos basieos»; es dccir, el porcentaje expresado en numeros. Por cada 100 puntos basicos, tenemos un 1% de spread.

ClITl'a de Relldimielltos: Dliratiotl modijicada: La duration modificada marca la sensibilidad del precio de una accion ante un cambio del valor de la r.I.R. Es la variacion porcentual que se produce en el precio de un bono, con rcspecto a un incremento del J% de la T.I.R4. Si a la Duration se la divide por (I + T.I.R.) se obtiene la «duration modificada».

DM = Duration

(1+ TJ.R.) La duration modificada permite calcular la variac ion porcentual del precio para un delerminado cambio en la T.I.R.

Variaci6n %ck:1 preciodeI lxmo=(DJration mxlificada).Yariaci6nde Ia T.I.R. Existe una relacion inversa entre la variaeion en la tasa de interes y el precio de un bono. Cuando sube la tasa, el precio del bono baja, ya que los flujos de fondos son descontados a una tasa mayor, 10 que provoea una disminucion en su valor presente y a la inversa. Sin embargo, el uso de la duration modificada nos brinda solo una aproximacion, no un valor exacto, pues la misma solo sera valida para pequei'ios cambios en la T.I.R .. Ante grandes cambios en la T.LR., la duration modificada es sensiblemente diferente del porcentaje real de cambio de precio que se produce. Para hallaruna aproximaci6n mas exaeta al porcentaje de cambio en el precio, producido por una variacion de mayor magnitud en la yield, se requerira una medida de volatilidad complementaria de la duration, que es la convexidad.

Spread:

Es una cllrva formada por los rendimientos y la vida promedio de un conjunto de bonos incluidos en una cartera. Esta fUIlCiilll Ilene, en condiciones normales, una pendicnte positiva, que significa que a mayor plazo del bono, cxistc un mayor rendimiento. Sin embargo, cxislen siluaciones en las que la fUllcion pucde asumir distintas (ormas, segun la situacion econ6mico financiera del emisor y del pais del mismo (Cuando hablc\l1os de la estructura temporal de latasa de inleres, profundizaremos en eI tema). Lo importante para tomar una decision de inversi6n en bonos, es conocer la T.I.R. y la duration del bono. Tasa (T.I.R.) sin plazo (duration), no presenta ninguna utilidad. Tampoco sirve el caso en que se conoce el Plazo pero no la tasa. Los bonos de una misma duration deberian tener un rendimiento similar. siempre y cuando los riesgos sean parecidos. Si el rendimiento difiere de manera significativa, la lectura que debe hacerse es que, en realidad, hay una de las inversiones con un riesgo superior. Hay que procurar, siempre, maximizar la T.I.R. para una misma duration 0 minimizar la duration para un mismo nivel de rentabilidad (suponiendo bonos de similares riesgo). Si la decision de un inversor es lograr armar una cartera de bonos. es necesario que diversifique la inversion e invierta en varios bonos. EI inversor debe lograr amlarel nuevo flujo de fondos que contemple la combinacion de los flujos de rondos de todos los bonos. De esta manera, armamos el flujo de fondos de un «gran bono», 10 cual implica que podremos calcular su rendimiento de la misma manera que 10 hicimos anteriomlenle. Este «gran bono» tiene su propia TJ.R. y su propia Duration, que de ninguna manera es un promedio del conjunto de bonos que contemple la carlera.

Flujo de pagos

Es e1 conjunto de cupones de renta y amortiza­ cion comprometido por el emisor segun las con­ diciones de emision.

Valor residual

Es el monto de capital que todavia no ha sido devuelto por el emisor,

Es la diferencia entre el rendimiento de un bono que sirve de refefencia (generalmente un bono cupon cero del Gobiemo de los Estados Unidos) y el rendimiento del bono • Mao;carenas y otros, r/cciOIJe5. 801'1QS y Fondas de lnl'eqioo, Edicioocs Piramide, Madrid, Espaila, 1998

257l

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _-"Copitulo lS ~ l'hulos de:

i\1atemalica Financicra \Hi',lnndu Microsoft" Ex~cl

.­

Intereses corridos

Son los intereses Ut:·","!S"UU~ momento yel ultimo cupon de inten\s abonado,

Fija (t

u~

~ En el CD que acompafia allibro, elledor encontrara desarrollado el te~na Armado de la estructura y Flujo de Fondos de un bono en la carpcta Armado de la estructura y Flujo de Fondos de un bono, como aSI tamblen la Aplicaci6n Informatica Estructura Bonos.xls

@

-

el valor de rescate del titulo a un momento

Valor tecnico

Rem;~

determinado,

-------------­

-.

Es 1a rclacion entre la cotizacion del bono con su valor tecnicQ,

Paridad

.,..---_. Monto en circulacion

Tipolo~ia

Es el monto de los bonos que estan disponibles en el mercado,

1) Clasificacion por tipo de etriisor

Esta dada par \a capacidad de poder realizarlos por dinero de una maDera accesible, rapida e

Liquidez

de los Bonos5

1-

Bonos publicos

integra Valor Actual

Rendimicnto corriente

Es el valor actual del flujo de fondos a una tasa de intcres conodda,

..

I:

son los bonos emitidos por el estado (en cualquicra de sus estructuras), y por otros entes publicos,

-

Es una medida de rendimiento que relaciona el eupon anual con el precio de mercado del bono,

Es la lasa dc interes que iguala el valor actual

UR

,

Bonos privados

I

son bonos cmitidos por entidadcs fimmcicra, y par las cmpresas (bonos eorporativos),

del tlujo de fondos al prccio de mercado, 2) Clasificacion por su amortizacion

Vida Promedio

Es el promedio ponderado del tiempo que resla para 31l1ortizar integramente el bono,

Duration

La duration mide eI plazo promcdio por el eual sc prestan los montos invertidos.

Duration modiftcada

Es In variac ion porcentllal que se produce en el precio de un bono, con respeeto a un incremen­

Cup6nCero

to del 1% dela TI. R..

E, \, dif,,,";' ,",,, \0' ",d;m;"'o' de "'

Spread

bono que sirvc de rcfercncia y el del bono que sc esta analizando,

I--- Curv~\ de

Rendimientos

Es una clIrva fOnllada por los rendimientos Y la vida promcdio de un conjllnto de bonos inc\ui· dos en una cartera,

I

! 258

----'

I Bullet

son titulos en los que cI emisor no ubona cupones pcriodicos de intcres, sc comprometc a abonar c1 intcrcs y eI capital al vencimiento, Normalmenlc, se abona solamcntc cl 100% del Valor Nominal dd bono, pero es emitido a «Descucnto», es d.:cir, a un importe menor que el Nominal. La ta~a de intercsquc el cmisor pag
~ Arigandlo 'j o~ S'('}/lItfci'ln de Bonos i,:n d fIIt"t't"(Jdo ,It.' Capit~Jt'f. Ed. NUI,,"\'u T\.;",:nica. Huenos AiR~. Argetllin:.t ~I:w.e

E~cd

!\Iatl'nultica Financierll utlli1:;Jndo Microsoftt

Capllllio IS·

,­ Amortizing

son litulos en los que el cmisor abona pcriOdieamente interes y amQrtizaci6n. Par 10 tanIo, aparte de los intereses, el bono puede pagar un manto extra de.amortizacion.

A pcrpcluidad ._

son titulos que no amortizan nunea. Son muy raros de encontrar, pagan solo'renta. ....... _.­

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Figura 6

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[Bono~ Cupon Cero I ~'"t..:;,o,~~"1""':""t1t!"_~~

Mes 3

Mes6

V.N. 100

=-==-J

MesS

I

3) Clasificacion por caracteristicas cspcciales

Bonos rescatables (Callable bond): Incluye la ope-ion de que cl emisor pueda solicitar una recompra del bono, en una fccha estipulndn (0 5i ocurre alglln acontecimiento preestablecido). y a precios prcdcterminados. Esle tipo de opcion tiene la ventaja, para cI emisor, de que si los tipos de interes bajan se rescata la emisi6n y se lanza otro bono con un interes menor".

Mes 12

I

95_3 Emitido " Oescuento

Figura 3

I--

pono Bullets

Bonos convertibles: es un bono privado queincorpora una opcion de adquisici6n a suscripci6n de acciones de la empresa cmisora seglln las condiciones de emisi6n estipuladas. Pucde ser a un precio fijo a variable y puede realizarse en una fecha determinada 0 en sucesivos momentos de la vida del titulo. El coeficiente utilizado para la conversion, en general, depende de la cotizaci6n de las acciones, aplicandoles un descuento, de corresponder. Tambien existen bonos publicos convertibles a otros bonos soberanos.

1050 1000

50

50

!'iO

Ana 1

50

50

50

Ano 2

50

50 Ai'ia4

Ano 3

I

1000

Bonos con warrants: es un bono que posee la opcion -de adquirir una determinada cantidad de acciones nuevas, a un precio preestablecido.

Figura 4

-------- -1

Bonos Amortizing 287.5

275

rAt 50

37.5

262,5

lwt 25

J

Bonos con garantias: son bonos en los que se incluye una garantia que puede cubrir los pagos de capital y/o de intereses.

12.5

r--- ------------------------------------------------

Tipos de garantias

12.5 ,....

• ••,,1..... ,

Aria 1

I

J. Ana 2

Ario 3

~

Ai'io4

~~,

Garantia hipotecaria

Es un bono cuyo repago se encuentra garantizado par una cartera de creditos hipotecarios.

I

1000

-+ Cupones de Interes

......

de Amortizacion Figura 5

1260

• Cissel y otros, Molemalic(1!; Fillonciera<, Cia. Editorial Continental. Nallclllpan, Mexico, 2000

261

I

Capi(uJ()

M:ltel1)lltica FhmnciHa ulilinnd,c-'="-'-'-'--'--'-'-­

Un bOllO sober:lllo de lin pllis con minimo riesgo

Caratulares En IGminas divididas en un cue-rpo principal con las condiciones de emision del bono y un cuerpo secundario que conliene los cupones, que pueden separarse del cuerpo principal de la lamina, siendo estos de intereses 0 de amortizacion.

Se pucde garantizar la obligacion con algiln activo. La forma es similar a la que sc utiliza para las prendas y las hipotccas.

~---

Algun organisnlo

Il('nla

~j30

Bonos.

5) Clasificacion por la modalidad del titulo otorgado

EI emisor del bono adquiere bonos con riesgo que deposita en lIna cuenta de custodia. En el caso de incumplimicnto, dichos bonos son utilizados para el pago de la obligacion a los inversorcs.

Garantia de activos

15.~ Thulos~e

Banco Mundial, F.M.I.

Escriturales No poseen laminas fisicas, y S<: [ registran en la enlidlld linanciera correspondiente. Ahora, generalmeme. los r oonos se emitcn en forma cscriturnl, (:(11110 rcgistro eiectronico; por motivos de comodidad y scguridad. Sus titulare; acredilan su tenencia mediante certificados de depOsito.

I

j

intcrnacional Otros tipos de garu nfill

Exportaciones, prendas, etc

Riesgos 7

4) Clasifical'ion pur tasa de intcrcs· Con excepcion de los bullOS cupon cero, eI res to de los bonos realizan pagos peri6dicos de intereses, Dudiendo scr la tasa de referencia fija 0 variable. Tus:\ Fija

La lasa de intNes esta pretijada y es igual a 10 largo de la vida del bono. En este mismo sentidO existen bonos con tasa de interes fija pero que se !1llmenta a l\Iedida que transcurre eltiempo (tasa escalonada). Pm ejemp\o, un bono que tenga lIna tasa de interes dcl 10%, que aumenta en un 1% por ano transcllrrido.

Tas:I V:Irhlhlc

1262

La tasa de intercs es pact;lda en funei()11 de uno 0 m;\s tipos de tasas de intercs de referencia (Ia lasa Libor, las" de la inl1acion, una tasa del mereado hipotccnrio, una tasa de los bonos del gobiemo local 0 del extranjcro). En algunos casos se slIek adicionar a esla tasa dc referencia un spread. Tambicn puede estar indexada a un aClivo financiero determinado, como puede ser un bono estauounidcnse. Las revisiones de los tipos de inten!s eSI;\n estrechamente relacionadas con el periodo del cupon. Si el cupon es semestral, ta revision de la tasa de interes es semestral.

Cualquier inversion implica un conjunto de ricsgos que acepIa eI inversor en el momento de la decision, por el que exige un mayor rendimiento ala f11isma. En estl seccion analizaremos los riesgos que puede contener impl[citamenle lin bonC'.

EI valor de un bono va a estar dado por la lasa de rendimiento que ofrece al in\ er;or a un dcterminado plazo y nivel de riesgo. La variac ion de rendimientos entre bonos de igual plaza estaria dada por la dircr~ncia entre el riesgo que ambos implican. EI ricsgo es algo que sicmprt· esta preserne en toda inversion financiera y la compra de un bono lieneimplicitos ricsgos semin sus caracleristicas, pudiendo incluir cunlquicra de los siguicntes:

Riesgo emisor EI mayor riesgo de un bono es el de cesadon de pagos por parte del emisor, es d~cir. que c\ mismo se declare en «default». E$te riesgo se refiere a la incerlidumhr.:: de' pago de los cupones de renta y/o amortizacion del bono. Si esto ocurriese, hay I.jlle proceder a evaluar la capacidad de repago. Para los bonos pliblicos, emitidos por un gobiemo NacionaJ, el riesgo del emisor estaria dado principal mente por el Riesgo Pais. Para eJ easo de bonos privados, el precio estii en fnncion de In situ:lcion economica y politica del pais, como asi tambien depende de la sensibilidad d~ lJ "1

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empresa a las politicas publicas, del Riesgo Pais. de la situacion de la industria en la cual se encuentra cl cmisor y de la emprcsa en SI misma. EI Riesgo Privado incluye tanto cI riesgo financiero como cl emprcsario; por su parte, el Riesgo Pais incluye connotaciones de tipo politico - economico. Las percepcioncs del mercado sobre el aumento 0 disminucion del riesgo pais haccn que suban 0 bajen los prccios de los bonos. Es por eso que se dice que e1 prccio de los bonos es un indicador de la situacion poHtieo-economica del pais, del compromiso del gobierno por mantener fiscales y financieras saludables y de la fortaleza del sistema financiero.

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Riesgo de Rescale

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Riesgo de Iiquidez

Riesgo cambiario

La liquidcz csta dada por la capacidad tie podel" realizar los bonos pOl' dinero, EI riesgo consiste en que las posibilidades de vCIHJcr eI bnno antes de su vcm:imielllo sean limitadas.

La estabilidad deltipo de camhio es fundamental.

eSlim emitidos en una moneda cxtranjera. Esto sc debe a que cI !'l'Ih,prno

moneda local, teniendo que devolver en moneda incrementa sus deudas. En igual sentido se ven perjudicados los bonos l'IrlvMl'I<; cuyo ingreso de las empresas es mediante maned a local.

Riesgo Pais El mayor ricsgo al que se enfrcnta un inversor es quc cl cmisor de la dellda no cumpla con sus obligaciones. es decir, que entre en cesacion dc pagos, 10 que es 10 mismo que decir que entre en «Defaultn.

Tasas de Interes Los bonos con tasa de interes variable tienen la particularidad de que a fluctuaciones de las tasas de intereses. tanto internacionales como locales, se yen afectados en fonna directa sus rendimicntos.

El Riesgo Pais mide el grado en que se encuentra un deudas adquiridas. Depende de una serie de indicadorcs sociales, entre los cuales podemos mencionar:

Riesgo de perdida del poder adquisitiva Todos los bonos ineluyen este riesgo, esto se debe a que la tasa de interes que ofrece el bono, contempla la expectaliva de inflacion para la vida del mismo. Las expectalivas de una mayor inflacion manana, ocasionan unas mayores tasas de interes para hoy, para compensar la perdida de poder adquisitivo. Si la inflacion.real es mayor a la esperada, el inversor obliene una perdida del poder adquisitivo. En estos casos sucede que el importe recibido como renta 0 amortizacion se encuentra erosionando el rendimiento de la inversion.

Hay bonos que contemplan en las condiciones de emisibn la posibilidad de un rescale anticipado a una fecha estipulada, Estos bonos poscen una prima dentro de la tasa de inten;s. porque el inversor exigc lin rendimiento mayor. EI cafculo del rendimiento se suefe realizar considcrando todas las ailcrnativus posibles y seleccionando la que determine ell11cnor rendil11iento.

y

Indicadores economicos: 18 situacion financiera, la tasa de inflacion, el mantenimiento de las politicas fiscales, el crecimiento del P.B.Ls, la relacion deuda/P.B.1. y deuda/exportaciones, el deficit fiscal. el mercado de capitales y la balanza de Pagos. • Historial de incumplimientos tanto internos como extemos. ;...

• Riesgo cambiario. Situacion politico economica,

• Indicadores sodales: la tasa de desemplco, el nivel de il1greso per capita. Riesgo de Reinversion Se trata del rie'sgo de no poder invertir los cupones que paga eI bono como renta a una tasa igual ala T.I.R .. Tambien incluye el riesgo de variaci6n de la tasa de inten~s a la cual habiamos cafculado poder reinvertir el dinero cobrado en los cupones durante la vigencia del bono. Los Bonos cupon cero no tienen riesgo de Reinversion.

Para la deternlinacion del riesgo pais las agencias de rating crediticio contemplan los puntos antes mencionados, entre otros. Una calificacion de riesgo tiene que ser una medida comparable mundialmente, imparcial, objetiva e independiente ya que • P.B.I.: Producto Bruto Interne

265

I

Capitulo 15 ~ Titulo,," de

es un parametro de precios y spreads. Las caliticaciones se basan en infornlaciones actualizadas que suministra el emisor, u obtenidas por la calificadora de otras fuentes, pudiendo basarse en informacion financiera no auditada. Sin embargo, se les critica que manejan la caliticacion segun el clima fmanciero internacional. Cuando un pais recibe la calificacion de «inve~tment gradc», puede acceder a una cantidad mayor de dinero para financiarse, a un costa mas bajo, debido a que los fondos de pension, companias de seguros Y olros inversores institllcionales par regulaciones del Mercado de Capitales, deben realizar inversiones solo en lugares que reciban esa califlcacion. Es por ello que la calificaci6n de un pais tiene repercusiones importantes sobre el eosto del financiamienlo. EI riesgo pais mide la sobretasa que deben pagar los bonos de un pais, por el nive!

de riesgo que los mismos incluyen. Los bonos del gobierno de EE.UU. son

considerados Iibres de riesgo, tomandosecomo base. Asi, la sobretasa que paga

por sobre la tasa de un bono norteamericano se considera puro riesgo del pais en

cuesli6n. Esto es import:mle, dcbido a que normalmente los bonos del estado se taman como el pi.so de 1a tasa a la que se podran financiar las empresas incluldas en el.

R{'nla

Fija

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EI rating crediticio es la Ilavede al mercado de capitales internacional y local, debido a que la mayoria de los inversores exigen lIna calificllcion, Es por clio, que un emisor que quiera entrar en eI mercado de Capitales, debe obligatoriamente estar calificado.. Para obtener una buena calificacion una empresa debeni acreditar dividendos solidos, baja proporcion de deuda, flujos de caja, etc. La tasa de illteres a la que puedan adquirir 105 prestamos, estani en funcion de la calificacion obtenida. Existen las calificaciones locales, las cuales toman como base e inversion menos riesgosa al pais local, par 10 que la empresa que adquiera la calificacion local de AAA, significara que es la mejor calificacion para dicho pais (que externamenle pod ria ser s610 B, si el pais tuviera esa calificacion a nivel internacional).

Valuaci6n de un Bon09

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Es imprescindible que cualquier inversor logre detemlinar la valuacion de Ull bono. En la presente seccion brindaremos las herramientas necesarias para c\ dlclilo del valor de un bono, a efectos de que ellector pueda detcrminar la conveniencia de invertir en un bono u otro.

EI riesgo p:lis se e;{presa en puntos basicos, que es el porcentaje expresado en numeros. Por eada 100 puntos b,lsicos, tenemos un I'% de sobretasa. Tambien se expresall eomenzando cnn AAA Y luego decreciendo a AA, A, BBB, BB, B, hasla O.

EI precio es equivalente al «valor presente» del «flujo de fondos esperado» de lin bono, descontado a una tasa de rendimiento.

Por 10 general, el riesgo pais i1mciona como techo para In Calificaci6n de las cmpresas privadas que se encuenlran en el mis1110, porquc si el Estado Ilene problemas para pagar Sll dellda, es nllly posibk que las cmpresas tengan problemas tambien.

EI dilculo es:

Se nala de un indin! qlle contribuye a tomar dccbiones eficicnles de inversion. Se debe conoccr la hisloria del indiec y su evolucion, pero no hay que sobn:dimcnsionar su importancia. L;l calilicacion no constituye lIna recomendacion de compra, venIa o mantenimicnto tit: vulorcs, ya que no haec re\l:rcncia al precio de mero.:ado 0 a Sll

010 que es 10 mismo:

convcniencia para un inversion iSla dcterminado.

Cada uno de los i k representa la tasa de rendimiento de un bono cup6n cera, que posea el mismo plaza que el Ilujo de fondos respectivo. Es decir, cada flujo de fondos sera dcscontado a la tasa de rendimiento de un bono cup6n cern, del llIismo plazo, determinando de esla forma el precio del bono en cuesti6n. Cabe aclarar que si nos encontramos en un pais con avanzada inflaci6n, la tasa calculada sera una tasa aparente, debiendo realizar el recalculo para podcr determinar la lasa real dcl

Rating crediticiu: EI rating credilicio es una medida de riesgo, provista por agencias de calificacion indepentiielltes Y autorizadas, en dondc evaluan la capacidad y voluntad del emisor (paises 0 empresas) P;1n1 cumplir con los pagos comprometidos a los inversores dentro de los tcnninos precslablecidos, ante condicioncs adversas. Oespucs de un analisis cualitativo y cuanlitativo, las caliticadoras de ricsgo asignan a cada bono lIna nota 0 ealificacion que pertenece a lIna escala preeslablecida por cada lIna de elias.

Precio -=: B" (I + i,

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+ B2 • (I + i 2 (+ B). (I + iSl+ ... +B o ' (I + i.,r"

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Precio= L,Bk.(I+ikr

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• Ci$ScI Y atros, Muwmalicas Fillallciemr, Cia. Editorial Continental, Naucalp.fI, f\\':xic". 2000. ArigancHo y otll'S. ValtwcMn df! n(}lm:f en d mt'Yca(/o dl! COpililk'.... Ed. Nueva T~cnica. B~nos Airc!o., t'\rgt.''Oltna. 21JO~

267\

p66

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M.'cnJlilira FillPpciera u,ili,.ndn Micro,,,n' Excel

Capi,ul0 15· Ti'ulns d. R.nt. FiJa n 11110(1'

bono, para cada uno de los bonos cup6n cero considcrados. Acordemol1os que la ccuaci6n de la misma es:

. I,

amortizacion y corremos e! riesgo de hacer una mala interprelacion de exaetamente se «compra)) por ese precio.

(I + i. ) _I

scgun 10 visto en cI capitulo 8 Esta particularidad hacc suponcr que en cl mcrcado podrcmos cncontmr bonos cero, COil iguales fechas de vencimicnto que los cuponesde amortizacion yl o intcrcs que posca el bono. La rentabilidad de eSlos bonos cupon cero va a estar dada por el Valor nominal. dividido cI valor de mercado.

bonos cupon cero con igual plazo, en la realidad. en clmercado no se enc\lcnlran tantos bonos cupon cero como flujos de fondos que posea un bono, y 10 usual es descontar todos los Oujos de fondos a una misma tasa de rendimicnto. POl' ello. Ja exprcsion Illatematica quedaria rcducida a:

Precio:= B1• (1 + ir 1 + B~. (1 .+ i(+ B). (I + iyJ+ ..,+B n • (1 + it'

es 10 (juc

Las colizaciones de los bonos, pueden obtenerse de diarios especializados, como as! tambien de sitios de Internet On-line. Se puede observar que dicha colizaeion seiiala en algunos precios si inc1uye 0 no los intereses corridos. Ya delinimos in{creses corridos como los intereses devengados entre el momenta adual y cl ultimo cupon de inlere~ abonado. Esto significa que par el solo hecho de manlcner un bono, se adquiere el dereeho de rccibir parte de los inlercsc$ que el hOIl\) p:1ga pcri6dicamenlc, cI intercs corrido.

= I+