4-fracciones g3j60

hastq la consideración de las fracciones como elementos integrantes de unq estructuro algebraíca. Siendo consciente de la necesidad de elegir correctamente el punto de partidq para el inicio del trabajo en cualquier noción matemótica, centramos nuestra atención sobre la interpretación parte-todo, que es) de alguna menera, el origen de las demás interpretaciones.

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Resaltamos algunas características del proceso enseñqnza-aprendizajeque creemos de interés. Entre ellas está la necesidad de desarrollar un lenguaje de símbolos que sea coherente con el conocimiento intuitiuo, a traués de la potenciación de un <estilo de enseñqnzat4que incorpore lqs oportunidades apropiadas para que los niños puedan discitir=op-inar con suspropios compañeros o con el profesor, El motiuo de esto es,por una parte, ayudar a hacer conscientesa los niños del uso de sus propias estrategias y fauorecer la autocorrección de dichas estrategias cuando no sean las idóneas para una situación determinada. Por otra parte, creemos que un factor importante en la formación de los conceptos (en el aprendizaje en general) lo constituye el desarrollo del lenguaje (forma oral de los < que se manejan en lqs situaciones) uinculqdo a las nociones con las que estamos trabajando. Otra característica que queremosdestacar es que las ideqs de los profesores en relación a su papel como tales, su concepción sobre el aprendizaje de los niños, sobre las Matemáticas como ciencia y como disciplina escolar, sus opiniones en general y el contexto en el que todo esto está inmerso, actúan como t<Jiltros>modificando la traslación de la Teoría a su Práctica coü*diana. El hacer que eslas ideas afloren de alguna manera puede ayudar a racionalizar un proceso tan complejo como el de la actiuidod docente. Así, en el primer capítulo se reflexiona sobre la propia actuación cuando se enseñan fracciones, sobre las ideas que cada profesor tiene respecto a las fracciones y sobre su proceso de enseñanzaaprendizaje, con el fin de llegar a ser conscientesde las opiniones personales. Las opiniones de ayudan a ampliar perspectiuasen relación al tema y pueden ser útiles al ser contrqstadas con las de uno mismo. Siguiendo cen esta línea, en el capítulo 2 hacemos un repqso descriptiuo y somero de la trayectoria de las fracciones en nuestros currículos escolares en los últimos años, de la que esperamosque cada uno saque suspropias reflexiones. El hecho de que la idea de fracción esté uinculada a distintas situaciones nos lleua a intentar describirlas. Es necesario conocer los distintos aspectos bajo los que puede aparecer la idea de fracción a la hora de plantearnos su enseñanza.Este es el motiuo por el que en el capítulo 3 damos una descripción de algunas de ellas. Un objetiuo a largo plazo del proceso de enseñanzadel número racional lo constituye la integración de todas estas interpretaciones. La elección de comenzar desde un punto intuitiao el desarrollo de las nociones que constituirán la red de relaciones integrantes del constructo núme. ro racional nos lleua a desarrollar detenidamente la relación parte-todo en el capítulo cuqrto. A continuación, en el capítulo cinco discutimos la problemáiica que presenta la introducción de las operaciones con fracciones y sus algoritmos.

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El aceptar que los niños construyen su conocimiento, combinando la información nueua con sus experiencias preuias, hace que consideremoslos errores desde una perspectiua distinfa a la contemplada hasta ahora. Algunas estrategias erróneas se oen como feniendo en (germen, los procedimientos correctos. El conocímiento de los procedimientos que utilizan los niños al resoluer sw tqreqs permite hacer inferencias sobre el proceso de aprendizaje. En el capítulo seis se comentan algunas de estas ideas. Nos gustaría que estaspáginas siruan como marco de discusión en un temn tqn controvertido como la enseñanzainicial de las fracciones. Si conseguimos que se tome conciencia de las propias creencias sobre estas ideas, que se inlercambien, rompiendo el tradicional hermetismo en que se ue enuueho nuestro trabajo docente, y siendo capaces de hacer de ellas un cauce de discusión con nuestros compañeros, pensamos que nuestro trabajo habrá merecido la pena. Para Jinalizar, queremos expresar nuestro agradecimienlo a todos aquellas personas que, de una forma o de otra, han inJluido en nosotros, desde las diferentes promociones de alumnos de la Escuela Uniuersitaria de Magisterio de Seuilla, hasta nuestrq relación con profesores con experiencia, como Margarita Garrudo, José Antonio Riuero, Laura Drake y Rosario Mora. Asimismo agradecemosa nuestros compañeros Carmen Pereda, Luis Rico y Luis Puig las sugerenciasy comenlarios realizados q este texto.

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1.1. LAS FRACCIONES Y EL LEGUAJE

COTIDIANO

Una de las primeras circunstancias que hay que tener en cuenta al comenzar a tratar un tema matemático es el hecho de que los conceptosque vamos a desarrollar pueden estar vinculados a un lenguaje cotidiano, utilizado por las personas en general. Este lenguaje o a vecespuede estar identihcado más o menos estrechamentecon la noción matemática y a vecesno. Por tanto, debemosconsiderar que, en la mayoría de las ocasiones, las palabras que se van a utilizar no están desprovistasde signiflrcadoni para los niños, ni para los adultos. De una forma u otra, el alumno está influenciado por el uso que de ellas se hace en la vida cotidiana. En nuestro caso particular, la palabra fibcción forma parte de un vocabulario relativamente familiar. Pero, ¿qué significa fracción? El diccionario ya separa en su significado dos acepcionesbien diferenciadas. Aclarado su origen (del Latín fractio, romper), por un lado se nos presenta como . Po otro lado, dentro de los significados propios de la Aritmética, aparecen acepcionestales como , <expresión que indica una división que no puede efectuarse),etc. Si formulamos la pregunta anterior a personas de escasa formación matemática, la idea de división de un todo en partes prevalece sobre las otras, siendo frecuente también asociarla con quebrado, algo que se recuerda de la infancia unido a cálculos interminables. Sin embargo, al escuchar las conversacionesde los niños dentro y fuera de la clase,se aprecia que utilizan espontáneamenteexpresionesen las que aparecen las fracciones. Frecuentemente,los niños de la escuela elemental utilizan determinadasfraccionesal expresarseverbalmente.Ahora bien, aunque el niño pueda oír y usar expresionestales como, por ejemplo, medio dia, eso no significa que piense necesariamenteen la mitad de un día con relación a un día completo. Lo mismo sucedecuando habla de una botella de medio litro. Quizá la única relación que puede establecercon la de un litro es que es más pequeña. Si el término lo utiliza para pedir ),seguramente el énfasis del signihcado lo esté poniendo en que las dos mitades sean exactamenteiguales. 18

En el caso de las fracciones el uso cotidiano se restringe en realidad a muy pocas: un medio, un tercio, un cuarto y tres cuartos principalmente; dos tercios, un quinto, un octavo, mucho menos. El campo de aplicación de cada uno de ellas se va reduciendo considerablemente,salvo un medio, que tiene un uso casi universal y aparece auiomáticamente en prácticamente todas las situaciones cuantifrcables,e incluso como una primera estimación a una cantidad: media entrada, a mitad del camino, etc. Por tanto, hemos de tener presenteque, asociada a contextos tan diversos como pueden ser las unidades del Sistema Métrico Decimal (medio kilo, tres cuartos de litro, etc.), períodos temporales (un cuarto de hora, media hora, etc.), situacionesde reparto o descuento(la tercera parte de la ganancia, rebajado un veinte por ciento), o bien como parte de la herencia cultural (una octava en Música, los Tercios de Flandes, en Historia, etc.) (APMA, 1984),los alumnos, para bien o para mal, ya han utilizado o simplemente oído las palabras de las que ahora, desdeuna vertiente matemática, nosotros les vamos a hablar.

UN ÍERCIO

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0 I.2. TUS CREENCIAS SOBRE LAS FRACCIONES En el apartado anterior hemos visto que las palabrasque vamos a utilizar y los conceptosque vamosa introducir son por nuestros alumnosde una u otra forma.Nosotrosmismosdamosun significadoa la nociónde fraccióny hacemosun uso de ella en nuestravida cotidianaque quizá no tieneun posteriorreflejoen los aspectosde enseñanza.Enocasiones,al tratar estasnocionesen la escuela,las vemosdesdeuna vertiente estrictamente matemática,menospreciando otros aspectos. Llegadosa estepunto, puedeser convenienteplantearnosa nivel personal si somosconscientes no sólo del signilicadoque damosa la palabra,sino tambiéna los temasque vamosa tratar y de cuál es nuestraopinión sobre ellos. Muchasveceshemosobservadocómo una mismainformaciónes interpretada de muy distintasmaneraspor personasde ideologíasdiferentes. Parecelógico, entonces,que en un procesotan complejocomo el que se desarrollaen una clase las teorías subjetivasdel profesor,sus actitudes, juegenun papel relevante. creenciasy expectativas, Esta influenciadel pensamientodel profesores de estudioreciente(Vrnln ANcuro, L. M., 1986)(MmcELo,C., 1987).Siempresehabíanconsiderado factoresque podríamosdenominarambientales (esctructuras ejecutivas 20

y organizadorasdel sistemaescolar,tipos de escuela,nivel de los compañeros, condicionesde trabajo,etc.)(Orrn, 1979)en el estudiodel procesode enseñanza-aprendizaje. Hoy día seda tambiénespecialrelievea lo que piensaun profesorsobre su propia actuacióncomo profesor de Matemáticas,sobrelas Matemáticas en general (y en nuestro caso, sobre las fracciones),su opinión sobre el procesode enseñanza-aprendizaje, etc.,ya que de alguna maneraestasideas actúan como un filtro a la hora de transformar la información teórica en y Bnornv, 1986). recursosprácticos(Bnounann En el casode un conceptoque organizalos conocimientoscuyo uso e incidenciaen su medio social es significativo,las ideas del profesor condicionan sus decisiones, tanto en relaciónal contenido,como a su selección, planificacióny en la evaluacióndel proceso. acercade las ¿Noshemosparado a pensarcuálesson nuestrascreencias fracciones?Quizá, llegadosa este punto, seaconvenienteplantearnosalgunaspreguntassobreellas.Probablemente, muchosde nosotrosnos las hayamos hecho alguna vez, por ejemplo, al preparar nuestrasclases,pero es posibletambiénque seala primera vez que nos las formulemos. En cualquiercaso, te pedimosque piensessobre ellas. O mejor, que que te vamosa planteara continuaescribastus respuestas a las cuestiones ción. Puede ser de utilidad conservarlasy volver sobre ellas cuando la lectura de estelibro haya concluido.Tanto si se mantienentus opiniones, como si se produce algún cambio, creemosque te servirápara entender mejor tus propiasdecisiones. El hacersurgir nuestraspropias concepciones como profesoresesde vital importancia para poder maximizar el resultado de las conexión entre la Teoría y la Prácticacotidiana.Proporcionarlas razonesque expliquentanto las decisionestomadasen relacióna la enseñanza, el aprendizajey el contenido que vamosa trataÍ, como el caminoseguidopara tomar estasdecisiones y no otras, puede ayudarnos a ser profesionalesreflexivos y no simples transmisores de las ideasde otros. La seriede cuestiones indicativasque vamosa presentarestádividida en tres grupos.Las del primer grupo sereferirána las fraccionesy la utilidad o no de su enseñanzaen la escuela,las del segundoa lo que significaaprender el concepto de fracción y el lugar que deben ocupar las fraccionesen el currículum,y las del'ultimo grupo a la valoración que damosal aprendizaje de las operacionescon fracciones.

1.2.1. SÍ o no a las fraccionesen Ia escuela Quizá a veceste has planteadoel por qué tienesque enseñarfraccionesa los niños. O, a lo mejor, piensasque éste no es tu problema,ya que el

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contenido de los programasescolaresestá lijado en los planes de estudio. Pero, ¿tehas parado a considerarqué es lo que se pretendecon su enseñanza? ¿Creesque la raz6n para enseñarlases que son útiles en la vida cotidiana? ¿O quizá su interésresideen que son necesarias para otros contenidos escolares? que estas opiniones el contenido vasa explicar?¿De ¿Condicionan qué forma la metodologíaque empleasen clasepara tratar estoscontenidos refleja tus ideas? Otro aspectoque a vecesnos preocupaes lo que debemosenseñarsobre las fracciones.¿Quées lo básico?¿Hay que añadir algo a lo que vieneen los libros de texto que usas?¿Por qué?¿O quizá éstos no tienen en cuenta las características de tus alumnosy ofrecendemasiadocontenido,de forma que no sólo no hay que añadir,sino que debesreducirlo? Por otro lado la apariciónde las calculadorasy su notación decimal ¿creesque afectade algunamaneraa la enseñanzade las fracciones?¿Pueden llegar a hacerlainnecesarla? ¿O,por el contrario, hacenmás necesarioel que el énfasissepongaen la comprensiónde los conceptosy no en el tratamiento algorítmico? '3' 1.2.2. Acercadel aprendizajedel conceptode fracción y el lugar que debeocuparen el currlculo Vamosa plantearnosahoraalgunaspreguntasque puedensurgircuando vamosa enseñarlas fracciones.¿Piensasque plantean problemasde aprendizaje a los niños?Estos problemas,si creesque existen,¿sonde la misma índolede los que te encuentras en otros conceptosmatemáticos? ¿Hastenido en cuentaque las fraccionespuedentenerinterpretaciones diferentes? ¿Crees que su usoescomplicado? ¿Creesque las dificultadesde manejopor partede los niños obedecena que deberíanenseñarseles de forma distinta?¿Tehas planteadoque algunasvecesutilizamoslas fraccionespara representar situacionesdistintas,como por ejemplo (descripciónde una acción)? A lo mejor considerasque su en el currículo no es apropiado,y que deberíancambiarsea otros cursos.¿Anterioreso posteriores? ¿Porqué? Quizápiensasque estoestaráen funciónde los conocimientospreviosque el niño necesite. hay que ¿Quénocionescreesque son básicas?¿Quédestrezas manejar para poder introducir las fracciones? 1.2.3. Sobrelos algoritmosde las operaciones con fracciones Vamosa cuestionarnos ahora aspectosrelacionadoscon las operaciones con fracciones. ¿Creesque los niños identifrcanla noción de operacióncon 22

fraccionesen las situacionescotidianas?¿Creesque los niños utilizan los algoritmos relativos a las operacionescon las fraccionesen las situaciones cotidianas?¿Quérelación existeentre el algoritmo que puedo enseñaren la escuelay el procesopersonalque un niño utiliza ante una situación similar, planteadafuera de ella?¿Tehas planteadoalguna vezlarelación entre 1/3 x ll2 y la situación: ? ¿Piensasque es necesariomantener la enseñanzade los algoritmos de las operacionescon fraccionesvinculada a situacionesconcretas?¿O creesque estaenseñanzadebepertenecera un nivel superior,más abstracto(desvinculado de las situacionesconcretasf O, por otra parte, ¿es realmente útil con fraccionesen la escuela? enseñarlos algoritmosde las operaciones ¿No sería más operativo pasar las fraccionesa números decimalesy utilizar la calculadorapara realizarlos cálculos? Por otro lado,a lo mejor hasobservadoduranteel procesode aprendizaje que los niños cometenerrores ante problemas de la misma estructura. Estos errores ¿son comunesa varios niños? ¿O bien, hay algún niño en particular que repite algún procedimientoerróneo de forma sistemática?¿A erróqué puedenser debidoestoserroreso el uso de estosprocedimientos neos?¿Cómoy cuándolos has detectado?Cuando los has detectado¿qué explicaciónles has dado?Esta explicación,si ha existido,¿hainfluido en el enfoqueposteriorde las mismascuestiones? ¿Loshas tenido en cuentaa la hora de continuar el procesode enseñanza? El modo de respondera las preguntasanterioresdependeen parte de nuestrascreencias.Es evidenteque el procesamientode información que el profesor realizaa la hora de tomar sus decisiones,su forma de pensar,sus opiniones,influyen de forma decisivaa la hora de plantearseel procesode enseñanzaaprendizaje,y en la puesta en marcha de unas de comportamientoque marcan su actuación. De hecho,nuestraspropias creenciashan influido a la hora de plantear estaspreguntas.Las creenciasafectanno sólo al contenido que seleccionamos para una clase,sino también a lo que hacemosal darla y al evaluarla,y al tipo de aprendizajeque en ella se produce. Pensamosque, en ciertos aspectossu influencia es mucho mayor que el conocimiento de técnicas o planteamientosespecílicos,por acertadosque éstosseanen el plano teórico. Por tanto, es importante conocernuestraspropias creenciassobre cada aspectode la enseñanza,pafa que la dinámica de renovacióny mejora del proceso no se quede anquilosada.Y, una vez conocidas,hay que buscar oportunidades(reuniones,seminarios,centrosde profesores,etc.)para poder intercambiarlascon otros compañeros.El confrontar opinionespuede ayudar a justificar y a aclarar pensamientosdistintos y enfoquesdisparespara los mismostemas.

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I.3.

OTRAS OPINIONES

SOBRE LAS FRACCIONES

Una vez que has respondido a las preguntas formuladas en el apartado anterior, con respuestasque serán probablemente diferentesen otros compañeros, nos parece interesante presentar las opiniones de algunos autores sobre las fracciones, ya que el conocerlas puede ser útil para rcforzar, cambiar, o clarificar nuestras propias opiniones, o ser motivo para la polémica. Esta revisión no va a ser en ninguna forma exhaustiva, sino que nos limitaremos a algunas opiniones que nos parecen más relevantesy representativas.

1.3.1. Las fracciones y su permanencia en los primeros niveles La aparición de los primeros conceptos fraccionarios no es reciente ni mucho menos en la Historia de las Matemáticas. El conocimiento de su trayectoria, desde los babilonios y los egipcios hasta nuestros dias, puede ayudarnos a comprenderlas mejor y ser una fuente de motivación en su estudio. Sin embargo, una revisión histórica de las fracciones está fuera de los fines planteados en este libro (una excelente revisión histórica es la realizada en Nnwu¿.N, J., El mundo de las Matematicas, Ed. Grijalbo). Reconociendo la importancia objetiva de las fracciones,1o que aquí nos ocupa es si deben considerarseo no como parte del currículum escolar y a qué nivel. Las reformas sociales,que han conducido a una mayor escolariza-

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ción infantil hasta llegar a la obligatoriedad actual, la gran cantidad de materias a trataÍ, el fracaso escolar, y otros motivos, han llevado a reformas curriculares en las que se ha cuestionado la necesidadde la enseñanzade los conceptos relacionados con las fracciones y, sobre todo, de sus algoritmos, cn los primeros niveles. Ahora bien, la decisión de si las fraccionesdeben permanecero suprimirse en la escuelaelemental,no puede tomarse aisladamente,sino que depende directamente de los criterios que guien la elección del currículum para los primeros niveles.Si estos criterios son puramente prácticos y atienden exclusivamentea las necesidadesde la sociedad,entoncesalgunos autores cuestionan la permanencia de las fracciones. Ya en 1937WnsoN y Dlrnvure (citados por Frv, 1980)llevaron a cabo una investigación sobre los usos sociales y comercialesde las fracciones.A partir de la tabulación de la frecuencia con que se utilizaban las fracciones por distintas personas en su trabajo, concluyeron que r. las fracciones en la escuela. podría reducirse enormemente la enseñanzade Métrico Decimal en los países paulatina del Sistema Con la implantación fracciono de enseñar o polémica de la conveniencia acerca anglosajones,la poca de su El argumento primeros se ha agudizado. niveles los nes en utilidad práctica, y que en el Sistema Métrico Decimal las unidades métricas requieren fracciones decimales,pero no ordinarias, se cuenta entre los más frecuentes utilizados por los que dehenden que deben ser suprimidas o reducidas en gran medida. Sirva como ejemplo el hecho, cada vez más usual de sustituir un tercio por 0,33 o 0,32 cl en la gran mayoría de latas de cerveza y refrescos.Algunos llegan a afirmar que permanecenen el currículo escolar por inercia y no por necesidadreal. Curiosamente, el argumento de la poca utilización de las fracciones por parte de niños y adultos, es el hecho en el que se apoyan otros para mantener su permanencia: si no son comprendidas, ¿cómo van a ser utilizadas? El periodista, el político, el estadístico,etc. prefteren utilizar expresiones como <dos de cada tres personas>o en lugat de 213 o del 5 oA. ¿Nos será esto quizá debido a que pretenden ser entendidos por mayor número de personas?Una mejor enseñanzadel concepto de fracción haría aumentar inmediatamente su utilización en la vida cotidiana. Pero, como habíamos señalado anteriormente, pueden ser otros criterios, distintos de las necesidadessociales,los que se sigan a la hora de seleccionar el contenido matemático. Así, podemos considerar si las fracciones son básicas para el posterior desarrollo de otros contenidos matemáticos (o de otras disciplinas), o simplemente, si las debemos considerar como conocimientos de cultura general.

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Por otro lado, la constatacióndel bajo entendimientoconceptualy la poca destrezacomputacionalcon fracciones,lleva a cuestionarseel nivel A esterespecto,FnnuNonNrHAL(1973)llegaa apropiadopara su enseñanza. con ellasson invendecir que se pueden trabajar las proporcionessin utilizar el cálculo de fracciones. La matriz proporción se forma a partir de una primera fila de números, se obtienenmultiplicandola primeih por excluidoel cero;lás filas sucesivas distintosnúmeros.

¿qué sucede si el número de personas es mayor o menor que cuatro? Esta situación podríamos expresarla por medio de la siguiente tabla:

Personas Bizcochos 6121824 lo que expresado en forma de matriz sería

8 (246 \ ..) 18 24 Lz \6 Si ampliamoslos datos,considerandoel total de los ingredientes 8 ...

Personas Bizcochos Yemas de huevo Leche Lzicar

612 18 24 36 912 125 250 37s 500 4s 90 135 180

Esta matriz asi formadacumplelas siguientespropiedades: - cualquier matriz de proporción se transformaen otra si se intercambianfilas por columnas; - una fila sepuedeobtenera partir de otra multiplicandopor un cierto número; - si consideramos cuatroelementosde forma tal que ocupenlos vértices a una de un rectángulo,el producto de los elementospertenecientes a la otra; diagonales igual al productode los pertenecientes -cada matrizproporciónsepuedeampliarcon nuevasfilas o columnas con la condiciónde que seancombinaciónlineal de las anteriores. el siguienPara aclararel uso de estasmatricesproporciónconsideremos pastel, y la receta nos que queremos elaborar un te ejemplo:Supongamos forma: de la siguiente dada viene Brzcocno A LA CREMA. Ingredientes para cuatro personas: - 12 bizcochos, - 6 yemas de huevo, - 250 cc de leche, -90 g de azicar;

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Es evidenteque esta matriz se puedeampliar tanto en filas (añadiendo nuevosingredientes)como en columnas(aumentandoel número de comensales).Tambiénsepuedecomprobarsin difrcultadque cumplelas propiedades antescitadas. Bastapara docepersonas? ¿Cómoobtendríamosahora los ingredientes precedentes. También las columnas de por alguna un número multiplicar ría podríamos sin difrcultad reconstruir nuestra receta si hubiésemosperdido a un determinadonúmerode personas, parte de los datoscorrespondientes encontrar dos números conocida su razón y su producto (o su razón y su suma)y, en generalresolvertodos los casosde cálculo de proporciones aplicandoa nuestramatriz suspropiedades(VlN HInLE,P.' 1986). No vamosa extendernosen el tratamientode las proporcionesa partir se sale del tema específicoque de estasmatrices,porque evidentemente

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pero de esteplanteamientosurgeuna pregunta,que el estamosconsiderando, mismo autor se formula y que a nosotrosnos afectadirectamente:Si las proporcionesse pueden trabajar-sin necesidadde utilizar las fracciones (uno de los motivos clásicosque justihcabansu permanenciaen el currículum escolar),¿sepuedeprescindirde éstas?¿Cuálesla aplicaciónprácticade sus algoritmos? Si las fraccionesde uso cotidiano son muy reducidasy las decimalesse presentancon notación decimal,lo que lleva al uso de los algoritmoscon los decimales,¿esnecesariocalcularcon fracciones?V¡,N Htelc añadeque quizá debamosencaminarnuestrosesfuerzos a buscaralgunaforma de simplificar este cálculo,y propone, apoyándoseen un planteamientoaxiomático,la sustituciónde alb por a'b-t. Ahora bien,estosplanteamientos, seríanválidospara alumnosde segunque hubiesenalcanzadoun nivel cognoscitivoadecuado.Pero, da enseñanza, si aceptamosesto en la segundaetapa, lo que se cuestionaentonceses su permanenciaen la primera. El mismo autor señalacomo ventajasen su su presión el hecho de renunciara técnicasaisladasdentro de las Matemáticas,las ventajasde expresarseen productosen lugar de cocientesy otras como la valoracióndel conceptode grupo,aportandolas basespara una visión global estructurada de las Matemáticas,y la preparaciónpara la posterior introducción de exponentes negativos. Entre los mayoresinconvenientes a esteplanteamiento, el mismo autor señalael de rompernuestrapropia costumbre,la resistencia al cambioy que realmenteno seha intentado todavía de forma generalizada, por lo que no se conocen bien todas las implicacionesque acarreariauna decisión de este tipo. En cualquiercaso,esta postura merecetenerseen cuenta y no ser olvidadapara el futuro. Por otra parte,algunosautores(Jov, R., 1981;Cnnn, J., 1981)dehenden la permanenciade las fraccionesapoyándoseen que las operacionescomo la multiplicación y división de decimalessólo podrían entendersecorrectamente si se sabenlas correspondientes operacionescon fracciones.Otros consideranque las fraccionesson esenciales como factoresde comparación, es decir, númerosutilizados para establecercómo se comparandos cantidades.Las personasque conocieransólo los númerosnaturalesveríanlimitado su vocabularioa afrrmar,por ejemplo, y no seríancapacesde formular la proposicióninversa. Estascaracterísticas se aprecianaún más claramenteen la siguientefrase, . Tambiénconvienehaceruna reflexióndesdela perspectiva de los cuatro principiosde enseñanza de las Matemáticasformuladospor DtnNns(DmNns, 2., l97O).La aplicación de su principio de variabilidad matemáticalleva a que, si queremosmantenerla enseñanzade las fraccionesdecimalesen la 28

introducción del número decimal, para que sean bien entendidas por nuestrosalumnoses necesarioque tomen concienciade la existenciade otras fracciones,de las que la decimalesun casoparticular. Esto seríaanálogoa la necesidadde presentardistintas basesde los sistemasde numeración. 19751.v,99.e-a Otros autores(!ftF_n¡N_r tln*fgI,(gtgglg,para -taqtra,_qcio*ggs poteriores,v consideranque la comprensiónde los las relacionesalsebraicas númerosráóiónIl"s éb'básicapárá el'desarroiloy control"deias iá-easmatemáticas. Al utilizar estos números los niños deben ser conscientesde la manejaruna operaciónsumacompleja,másaxioiqüivatenciade fracciones, que intuitiva,considerarque la relaciónentresumay productono se mática presentade forma natural y trabajar la fracción inversa, por lo que los problemasde tipo algebraicoque se presentanson evidentes. Por último existenopinionesque consideranque las fraccionesson parte de nuestrobagajecultural y que no seríalógico restringirlos conocimientos de las generacionesfuturas respectode las presentes(Cenrn, J., 1981). Hemos tratado de recogeropinionessobresi debeno no permanecerlas o las dos cosas)en el currículumelemenfracciones(conceptou operaciones, tal. Evidentemente,su tratamiento está estrechamentevinculado a las ideas que se tengan sobre el procesode enseñanzaaprendizaje.

1.3.2. Las fraccionesy las nuevastecnologfas acompañadode la mayor de los ordenadores, El desarrolloespectacular accesibilidadque se tiene en la actualidada las calculadoraspersonales,está modilicando profundamentediversosaspectosde la enseñanzade todas las disciplinasy muy particularmentede las Matemáticas. los currículosde Matemáticasen los niveleselementaTradicionalmente, les ponían mucho énfasisen el desarrollode un gran número de procedimientosmecánicosy rutinarios,en particular,de los algoritmosde cálculo de la Aritmética. En el presente,con la llegadade las calculadoras,la eficaciay rapidezde cálculode los alumnos,y en generalde los sereshumanos,ha perdidogran parte de su valor. Esto debe implicar una disminución en el tiempo que se de expresionescomplicadas, dedica a la práctica algoritmica, especialmente profundizar en incluir temashastaahora en los conceptos, en empleándolo y en desarrollardestrezasde un nivel cognitivomás alto, no considerados como puedeser el cálculo aproximado,la estimación,etc. Así pues,el centrode interéssedesplazahaciauna mejorcomprensiónde siendomenosimportante los conceptosy del significadode las operaciones, el desarrollo de destrezaspara grandescálculos. En el caso concreto de las fracciones,la mayoría de las calculadoras muestransusresultadosen notacióndecimal,lo que seha traducidoen una

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reducciónaún mayor del uso de las fraccionesen cálculosprácticos.Este se limita casi exclusivamentea fraccionessencillas,como rnaáior, cuartos,etc. En estecontexto,algunosautoresconsideranque en un nivel elementalse deberíarealizar un menor trabajo numérico con fracciones,insistiendomás en la comprensiónde su uso y en estableceruna conexión sólida entre las fraccionespequeñasy su equivalentedecimal (Dónrlnn y McLoNn, l9g6). Estospuntos de vista no debentomarseen una forma absoluta.Es dificil p-redecirel papel que en el futuro jugarán las fraccionesy las operacionescon ellas.Evidentemente, el profesordebeser conscientedé las pósibilidadesde toda claseque le ofrecela calculadora,pero también debeprever los efectos adversosque su uso puedaprovocar. No obstante,la recienieapariciónen el mercadode calculadoraspersonalesque realizanoperacionesaigebraicasde un modo simbólicoha hechocambiarlas perspectivas respectoa las de hace unos años, dejando abierto un interrogante acercadel papel que con las nuevastecnologíascorresponderá jugar a las fracciones. 1.3.3. El procesode enseñanza-aprendizaje de las fracciones y de las operacionescon fracciones

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Todos somosconscientes de las dificultadesque presentapara los niños el aprendizajede las fracciones,sobretodo en los niveleselementales. Estas dificultades,que abarcantanto la comprensiónconceptualcomo la destreza de cálculo,han sido constatadaspor numerososinvestigadores de distintos países.Ello ha motivado la realizaci(tnde estudiosque tratan de detectarel origen de las dificultadespara, a partir de su conocimiento,proponer soluciones,buscandoaproximaciones alternativaspara la enseñanza de las fracciones(Suvoau, 1979). Sin tratar de hacer una descripcióndetalladade cada una de las opiniones,investigaciones, etc.,nosotrospensamosque esconvenienteseñalaraquí algunasde ellas.La falta de una visión pluralistaen algunosmanualesque nosotroshemosestudiadonos han privado muchasvecesde ser conscientes de que sobreun tema puedehaber variadasopiniones. SegúnseñalaPrvNn (1976)en las investigaciones relativasa la enseñanzaaprendizajede las fraccionesrealizadasen la decadade los sesentay setenta sepuedendistinguirdos períodos:En un primer momento,el énfasisde los trabajossecentraen ((comparary analizarlas ventajase inconvenientes de los algoritmosde las operacionescon fracciones>.Para ello seestudiabandiferentes aproximacionesa la enseñanzade dichos algoritmos,que facilitan su comprensión-manejoa travésde diagramas,materialesmanipulativos,etc. En un segundoperíodoel interésde las investigaciones se trasladaa qué es lo que los niños aprendencuandolas secuencias de enseñanza son desarrolladasminuciosamente. 30

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Por otra parte, M. Gouuno (1964)ya atribuye las dificultadescon las fraccionesa la falta de experienciacon las mismasseñalandoque la diversidad de puntosde vista es esencialen su estudioa un nivel elemental,ya que su introducción de una forma única lleva a un conocimientoatrofiado. Segúnlo anterior,la auténticacomprensióndel conceptode fracciónsólo puedealcanzarsemediantepresentacionesplurales de dicho concepto.Esta es una de las razonesque llevan a M. GourARD a defenderlas regletas Cuisinaire,siguiendolos trabajos de GnrrncNo, como uno de los procedimientos a utilizar para la introducción de las fracciones. PrecisamenteGtrrncNo puede considerarseun precursoren la idea de introducir las fraccionesconsiderándolasdesdeel principio como razones (vinculadastambién a la idea de operador).El material Cuisinaire resulta adecuadopara estemodo de proceder.El otro método tradiespecialmente cional de introducir las fraccionesera el presentadopor la relación parte todo, dividir un en partesy consideraralgunasde ellas,lo que por otra parte pareceser la más intuitiva de las interpretacionesde la fracción. La aproximación a las fraccionescomo operador ha sido desarrolladay estructuradadentro de su teoríageneralpor DnNns.Estemodo de proceder y detractores.Así, KEnsN (1975)escribe: tiene,como todos,sus defensores <¿A qué conduqecentrarseen la interpretación de los números racionales Esta noción lleva a la de multiplicaciónde racionales,y como operadores? esto conduce a las propiedadesde grupo. No lleva de forma natural a considerarlos númerosracionalescomo medida,o a las actividadesaditivas relacionadascon ella, sino que debido a su basede raz6n conducenaturalmentea los axiomasde cuerpo.Así, la contribución primaria de la noción de operador es algelraicu. Por otro lado, otros autorescentransu interésmás en la equivalenciade las fraccionesque en las fraccionespropiamentedichas,para a partir de ahí formar las clasesde equivalenciaque conducen al número racional. Esta interpretaciónaún la podemosver en muchosde nuestrosmanualesescolares. En la actualidad,pareceser una creenciabastantegeneralla necesidadde con las muchasposibles proporcionara los niños una adecuadaexperiencia que lleguen a comprenderel interpretacionesde las fraccionessi se quiere concepto(KmnrN, 1976;SrnenrLAND,1978).En particulares necesarioinde las fraccionesque no han sido corporarciertosaspectosy características Enprácticamente en la bibliografíahastamuy recientemente. considerados tre ellos de debenincluir los aspectosque potencianel papelde las fracciones como cocientede númerosnaturalesen como razón,como transformación, etc. situacionesde reparto,su vinculacióncon los decimales, Una opinión que creemosdebe ser conocidaes la representadapor FnsuNonNrulr (1973).Segúnél
3I

intuitiva que tradicionalnrclrlcse lr¡rectlc lits li'itccirlttcsfuncione excelentemente. Niños de cort¿rcda(l ¡rttedctttcttcr óxito ll trabajar con medios, introducción de los cuartos,etc. Este éxito llcva al lnlrcstlo¿runir l)t'cnl¿ltura lt lpitl'cuüt'los problemas>.El caso más algoritmos y ahí es dondc crn¡"riezittt extremo 1o constituye la divisiilt, c¡rtcscgirtrcl citaclo autor, dentro de la Aritmética elemental no es natla intttitivlt, tto cstit motivada y no tiene significado, incluso cuando sc ctlnsidcran fl'¿tccittltcsmuy sencillas. La opinión de FnnuNoENrl{AL cs quc tlcntt'o dc esta Aritmética sólo debe explicarse aquella parte de las fracciorrcs quc sea accesible por los métodos intuitivos. El estudio de las fraccioncs dcbc continuarse después, dentro del Algebra. No hace falta señalar la influencia que adoptar una u otra postura tiene sobre el enfoque que se dé a las fracciones y a las operaciones con ellas dentro del currículum. Por señalarun ejemplo, si pensamoscon SrnnsrlaNl que de significado a la idea matemática>, esto implicaría, desde la perspectiva de aprendizaje, que el concepto y los algoritmos se desarrollan al mismo tiempo y, desde una perspectiva de enseñanza,la necesidadde buscar situaciones problemáticas en las que el proceso de búsquedade solucionesnos lleve al desarrollo de esa idea matemática (SrnnnnleNl, 1984).Es muy importante entonces, a la hora de adoptar un criterio u otro, estudiar seriamentelas implicaciones curriculares que pueda tener. No debe olvidarse que lo que acabamosde exponer son opiniones de los distintos expertos en la materia, pero que lo que realmente importa son las creencias propias, ya que éstas son las que influyen decisivamente en la enseñanzapráctica. Debemos por tanto reflexionar sobre las distintas posibilidades y eÍperimentar con ellas hasta alcanzar un modelo del que estemos personalmenteconvencidos.

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I.4. NUESTRAS CREENCIAS Evidentementenuestrascreenciascon respectoa las fraccionesestán implícitastanto en la fomulaciónde las preguntasde los apartadosanteriorescomo en el desarrollode los capítulossiguientes. Queremos,no obstante, resaltaralgunosaspectosque nos pareceninteresantes. Pensamosque esmuy importanteque los niños veanlas Matemáticasen el mundo quelesrodea,y estareanuestraayudarles,por un lado,a apreciarla presenciade los conceptosmatemáticosen general,y de las fraccionesen particular, en lo que ven y en lo que oyen, y por otro, a integrar los procedimientos de razonamiento,resoluciónde problemas,etc. en su actividadcotidiana. Bajo esta perspectiva,los criteriosguiadospor necesidades socialesno nos parecenlos más adecuadospara decidir el sí o no a las fracciones,ya que,aunquemuchosde los estudiantesno continuaránestudiossuperiores, no creemoscorrecto establecerdiscriminaciones(a prioril> entre los que seránfuturos matemáticosy científrcosde los que no. Por ello, no debemos limitar el currículo a las estrictas necesidadesde la vida diaria, y somos partidarios de mantenerlas fraccionesen la escuelaelemental. Ahora bien,mantenerlasfraccionesno quieredecirperpetuarel desconocimiento de su significado,la infrautilización del conceptoy la sobrevaloración de los algoritmos con que en muchas ocasionesnos encontramos. Debemosdar a los alumnos un conocimientointuitivo profundo de las fracciones,presentandoal niño contextossignificativostanto para el concepta JJ

to como para su campo de aplicación,y buscandoconexionesconceptuales porcentajes, con decimales, razones,etc. Pensamosque hay que mantenerla enseñanza de los procesosalgorítmicos,intentando que no se vean aisladosde todo lo anterior, presentándolos como síntesisde procesospersonalesde resoluciónde situacionesproblemáticas y no como para ser utilizadas.Este enfoquedebecondicionar algunosplanteamientosde clase,ya que sedebenprimar los procesosque los niños utilizan para solucionar las situacionespresentadas,encauzándolos para que al final del < > sepuedanver las reglasdel cálculo algorítmico como la síntesisde los procesosutilizados.Esta posturaimplica el cuestionarseel lugar de los algoritmos de las fraccionesen el currículum. Por otro lado, debemosserconscientes de que estamosinmersosen una evolución tecnológicaconstante,que hace que operacionesque antes sólo podían ser resueltasa travésde complicadoscálculosseanahora fácilmente solucionadas. El ignorarestopor partedel profesorpuededesanimarprofundamentea los alumnos. Este mismo avancetenológicoque en los últimos años,con la aparición de las calculadorasy su notación decimal,hizo que muchosse cuestionasen el futuro de las fraccionesy susalgoritmosen la enseñanzaelementalfrhora, con la aparición de los ordenadorespersonalesde pequeño tamaño que operande forma algebraicaha abierto un nuevo interrogante.¿Serviránpara potenciarlas fraccionesy susalgoritmos?¿Conducirána su progresivadesaparición?¿O quizá ahora más que nunca se necesitaráuna buenacomprensión como pasoprevio a su utilización?Nosotros apostamospor estoúltimo. Todas estasopinionessobre las fraccionesno son un hecho aislado. Nuestrascrrenciasvienen condicionadaspor la propia Matemática,por el conocimientode otras disciplinas,por el entorno social,la tradición escolar, nuestravisión de las Didácticasde las Matemáticas,etc. y marcanla visión global que tenemossobre el procesode enseñanzaaprendizaje. Este proceso nos lo planteamoscomo una actividad en la que intervienen,por una parte, el procesamientode informaciónde los conocimientos teóricos, la posesión de un conocimiento práctico (experiencias),etc. que realizael profesor para tomar decisionesy, por otra, el procesamientoque haceel alumno para transformarla información ofrecida,y reestructurarsus r, actitudesy conocimientos.Todo lo anterior desarrolladoen una situaciónde enseñanzade las Matemáticas.(PÉnezGóunz, 1983).Estos aspectosestáníntimamenterelacionados,ya que los procesosde aprendizaje del alumno debencondicionar la actuacióndel profesor. Por tanto, el itir que los niños construyenel conocimiento por sí mismos,la necesidadde valorar el conocimientoque ya poseen,y la interacción socialcomo baseesencialde todo el proceso,nos lleva a una aproximación constructivistade la enseñanzaaprendizajede las Matemáticas(Hnncovrcs,N., y BnncnnoN,J. C., 1984). 34

2. Las fracciones en la escuela

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LBCCIONVII. De los rluebradosclr??.?¿nes , reduccion t'

2.I. LAS FRACCIONES Y LAS REFORMAS CURRICULARES 2.1.1. Las fraccionesen los distintoscurrículasantes de la instauraciónde la EGB Antes de pasar a situar las fraccionesen el currículum actual, es conveniente hacer un breve repasode la trayectoria que han seguidoen nuestro pais a lo largo de las distintasreformas.Como veremos,ello no estareafácil, ya que las fraccionesaparecendispersasen distintoscursosde variosniveles educativos. A comienzosde siglo, el objetivo prioritario que se perseguía'len los primerosnivelescon la enseñanzade las Matemáticasera eminentemente utilitario, en un esfuerzo por relacionar los problemas de la Aritmética Elemental con los problemas que el adulto podía encontrar en su vida cotidiana. La Primera Enseñanzase centraba en desarrollar habilidades rutinariasde cálculo,reservandopara cursosposterioresel desarrollode la lógica(Fig. 2.1). En los añoscuarenta.las recomendaciones sobrela EnseñanzaPrimaria en nuestropaís(Ley del 17 de julio de 1945)clasificanlos conocimientos en tres grupos:instrumentales, formativos y complementarios. Dentro de los primeros,que se consideraban indispensables, estabaincluido el cálculo,así comola lecturay la expresióngráfrcaen susdistintasvertientes. Los formativos sedefiníancomo la basede la formaciónmoral e intelectual,abarcando esta última a las Matemáticas.Los conocimientoscomplementarios eran aquellosque secreíannecesariopara completarla cultura mínima primaria. La mismaLey señalabaque,segúnel tipo de escuela, deberíaprimarseuno u otro de los distintosgrupos. Estasnormas genéricasse reflejaronen unos cuestionariospublicados ocho añosmás tarde (1953).Hemosrecogidoalgunasfrasesque aparecenen procurandono sacarlasdel contexto la introducciónde dichoscuestionarios, en el que estánescritas,con objeto de que cada uno elaboresus propias conclusiones. En la primera parte se señalaque
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cio n 6 q u e bra(l o, es aquel n{rmeroque co n staso lo de parresde l b ur¡i dad, ó óue e xp r e sar ¡ n aeanti dadnrenorque Ja uni cj ad e n te r a . Po r ej empl o : una l i 6ra consrade I6 o n za si e s toes, l 6 por.ci ones ó uni dades e n te r a sm e n oresque l a l i bra. P. ¿ Co n rose l l amr el númer.oone exp .r e :l la s p a rtesque se roman de j a üni dad I R. Numerador, y e.sel que se pone €Dcim a d e la r ava. P. ¿ Có m ó se l l ama el número de parte s e n q u e seconsi deradi vi di da l a uni üad? R. f) e n o nti nador,1' es el que se ¡1o¡e d e .jod e la r :aya.P or ej émpl o+ i el z es'aqui e t t) u e te r a dor, porquenumeracuat)tasparte s.h a yclela ui l i d"d, J el 5 e-iel denorni lld .o .' I: g u e expresaen cuantasparresestá d iviclid a - lan ¡i i rnauni cl ad,E staf'racci onse ]e e d o s7 u ,¿ :ntos.

de una páginade un libro de AritméticaElementalpublicadoen l-"^"*.1? ! Reprod,ucción 1828.(Título de la obra: Leccionesde Aritmétit.a.Auror: MARTANo c¡no. lÁprént" de Don MarianoCaro,Sevilla,1828.) )t

te próximo... Claro está que el material de enseñanzaes indispensable;pero ¿quémejor material que el que ofrece la vida misma?...Si se trata de cálculo, ahí están las adquisicionesque satisfacenlas necesidadesdomésticas,el coste de los libros y juguetes, los juegos de comprar y de vender que pueden realizarse en la misma escuela, además de utilizar el cálculo --cosa que se olvida tantas veces- para menesteres que no sean solamente los de la ganacia y el despertamiento del espiritu de lucro... La palabta ftá refotzada por la intuición y por la acción. Un aspecto importantísimo de la acción como medio didáctico son las manualizaciones. Toda lección, para merecer tal nombre debe terminar con una serie de actividades o ejercicios,entre los cuales no debe faltar -a menos que lo vede la índole de las materias- los de construcóión manuab. Dentro de las noÍnas didácticas específicas para la enseñanza de las Matemáticas señala como fundamental aquí palabras. Es evidente las interpretar contexto a la hora de no tiene el mismo significado que ahora le damos, y lo mismo sucede con de problemasD,etc. Estas orientaciones,que nos pueden parecer < >se usan las fraccionesque en el < la aparece Elemental Enseñanza de Período En el primer curso del y En el mitad. idea de doble prácticos, a la ejercicios mediante iniciación, la y se introduce mitad doble ideas de las de repasar después siguiente, curso idea de triplo y tercio, y cuarto y octavo. En el tercer trimestre de este curso se señala también como contenido una idea general del Sistema Métrico Decimal. Así pues, éste precedea la introducción del quebrado (utilizan este término) y su representaciónpor cifras, que junto con ejercicios de hallar la mitad, el tercio, el cuarto, y el octavo de números dados, se encuentran en los trimestres segundo y tercero del tercer curso. En cuarto curso, desglosadometiculosamentecomo todo el cuestionario por trimestres, se encuentran ejercicios de medida y peso de los cuerpos y

38

Tresconsejosdados por el erninentepedagcgo españoldon Andrés Manjón para aproyecharen Aritmética: Prime'ro

Práctica Eiercicio Habíiuacíón Segundo

Mucha tíza Mucho lápiz Mucha tínta Tercero

La memoria por adames La pízarra por anobas Los problemas por quíntales Frcunn 2.2. Recomendaciones que aparecen en un libro de Aritmética para Primera Enseñanza editado en 1947. (Título de la obra: Mi librito de Cálculo. Autor: Jnsui GoNzArnz. Editorial: El Mensajero del Corazón de Jesús, apartado 73,Bilbao, 1947.)

representación de los númerosenteros,quebradoy mixtos resultantes; iniciación a la simplificacióny equivalenciade quebrados;simplificacióny reducción a común denominadorde quebradoscomunes;suma de quebradosy, por primera yez, apareeela palabra fracción en el apartado .También se incluye la suma y resta de quebrados.La multiplicacióny la división se dejan para el período de Perfeccionamiento. 39

Es de destacar que la idea general de quebrado y su representactón en ctfras focupa un solo trimestre de un curso, y la iniciación a la simplificación y la equivalencia otro. Las operaciones aparecen en siete trimestres de los 18 que componen los Períodos Elemental y de Perfeccionamiento. También se observa que los términos quebrado y fracción coexistenen el cuestionario (Fig. 2.3). En los años cincuenta la UNESCO elabora unas directrices,con carácter de sugerencia,paÍa la enseñanzade las Matemáticas en los niveles elementales, lo que trasladado al sistema educativo español incluía los primeros cursos del Bachillerato. Estas directrices no tuvieron demasiado reflejo en los planes de estudio de Bachillerato aparecidos en el (B.O.E.) de fecha 2l de enero de 1954.En los Cuestionarios correspondientesal primer curso (equivalente al 5.o curso de la EGB actual) aparecen, dentro del apartado de Aritmética, .Curiosamente,la reducción a fraccionesirreducibles y la reducción de fraccionesal mínimo común denominador no aparece hasta el curso siguiente (Fi9.2.4). Las orientaciones metodológicas que se proponían para desarrollar los contenidos del primer curso recomendaban omitir todo razonamiento abstrac|o, hacer notar las propiedades numéricas con la repetición de ejercicios, y realizando el mayor número posible de ellos, a fin de que al finalizar el curso los alumnos manejasen números naturales, fracciones ordinarias y números decimalescon soltura, es decir, sin equivocarseen cálculos excesivamente complicados. En esta misma década comenzó en distintos países,principalmente Francia y EE.UU., la introducción de las Matemáticas Modernas, a las que sirvieron de vehículo de desarrollo las corrientes estructuralistas.La denominación Matemática Moderna merece algunos comentarios, pues la mayor parte de los contenidos de los llamados (programas modernos> ya era conocido por los teóricos en el siglo pasado. De lo que realmente se trató fue de una aunténtica revolución de la orientación y de los contenidos de los currículos matemáticos en la escuela. Es dificil identificar las causas que desencadenaroneste brusco cambio. Desde un punto de vista formal, podría decirse que se pretendía dotar a los estudiantesde una formación más versátil, de manera que pudiesen adaptarse más tácilmente al avancecontinuo y vertiginoso que estaba teniendo lugar en un mundo cada dia más tecnológico y que demandaba una mayor compe-tencia matemática. Parecia como si se aceptase el hecho de que no era posible enseñara los alumnos unos conocimientos perdurables,en el sentido de permanentementeútiles. En lugar de ello, había que intentar dotarles de unas estructuras que les permitieran adaptarse a las variadas situacionesque pudieran encontrar en el futuro. También es interesanteseñalar que, justo por estos años, surge en distintos paísesuna gran preocupación por el análisis e innovación de los currícu40

Don Ju¡n dividc cl portcl y lo reparto cotrc todo

LUCCTONr0 QUEURADOS

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STIS PROI'¡EDADES

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¡ El oümcro 8, que escribülos debajo, significa que el pasttl sc ba dividido en I prrtes. i guel cs. Los oúnreros 1.2. a, que e..cribinr<x cncim¡. sigorfican lirr p:rrtes que tooÁoos dcl pastcl.

F¡cuu 2.3. Página de un texto escolar de 1954 en la que se aprecia la coexistencia de los términos quebradó y fracción. (Titulo de la obra: Aritmética de 2.o grado, pág. 93. Editorial Luis Y iv es, Zar agoza, 1954.)

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.65. Rsr¿r 3.4-Se pued.e hallar et nr, c, rn. de dos o nr,s ::iameros d.$contponléradolos en. sus lactores |rfí.||!os U mú¡i_ plicando.tas nd.yores potenclas d¿ !'odos tos'¡actoreí prlÁos q! e conteng dt¿ a.qt¿ea¿os. EJemplo: ¡fallar el rt. c. t,t. de los nútncros 924. ¡?64 y 7 812. 9 2 {:2 !.3 .? ,l l ; 1764:2!.9!.,t!. 1 gl2.= 22.3:.?.gl ñ .c.n t,.(9 2 4 , 1 76.1y?Btz) 2!.32.1!.ll.Jt_ 001 S24.

APLICACIONES

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66. . .Recordemos algo de lo dtcho en el curso anter¡or, :rl b¡aer él esüudlo de ¡as fracctones, con el nn de amp¡la¡to. .SitnpltÍicar una !ra.c.c!ón es ¡mllat otra eqult:aiente a ta Frimero, pero ¡le térmlnos menores.

Ftcun¡ 2.4. Introducción al m.c.d. y m.c.m. como paso previo a la simplificación de fracciones en 2.o curso de Bachillerato del plan del 54. (Título dt la obra: Márcmáticas 2.o curso de Bachillerato. Autor: Benigno Ba¡atech. Editorial: Imprenta Heraldo de Aragón, 1954.)

42

los, lo que se traduce en el desarrollo de numerosos proyectos de investigación educativa. Ello favoreció la implantación y extensión de la reforma. Para poder entender bien el enfoque didáctico de las Matemáticas Modernas es, quizá, importante situarlas en su contexto. Por un lado, y a un nivel puramente matemático, se habia avanzado mucho en el desarrollo de cstructuras, así como en la unificación de conceptos. Por otro, se había , y S€ pasase a una enseñanza basada en un desarrollo <estructuralista>. Estas corrientes no llegaron a España hasta años más tarde. En 1965 (Ley del 8 de julio), aún aparecenunos cuestionariosde Matemáticas para la Enseñanza Primaria en los que, a modo de introducción, se señala: (La nueva sistemática de los Cuestionarios de Matemáticas, divididos en ejercicios y adquisiciones,exige en primer lugar actividades de carácter operativo, ya que el aprendizaje de las Matemáticas debe ser activo. A los conceptos se llegará únicamente mediante una serie de ejercicios cuya realización conduce al dominio de las nociones y garantiza el desarrollo de hábitos y destrezas pertinentes.La enseñanzade las Matemáticas debe ser funcional. Su aprendizaje se vinculará a la solución de los problemas que la vida ordinaria plantea permanentementeen los niños, y esto de tal forma que ellos vean de algún valor su aprendizaje...>.Llamamos de nuevo la atención sobre el significado que se da quí a la palabra activo. Una comparación de los contenidos de esteplan con los cuestionariosdel año 1953 muestra que el tratamiento dado a las fracciones no varía sustancialmente. Así, en el 3."' curso aparece en los cuestionarios,y (reconocimiento de fraccionesordinarias> en el Plan del 65; en cuarto curso figuran en ambos la suma y la resta (Fig. 2.5), y en el curso siguiente el resto de las operaciones y propiedades. La única variación se aprecia en la reducción de fracciones a común denominador que en el plan del 65 se retrasa a 4.ocurso. Se mantiene un enfoque preferentementealgorítmico, y quizá el hecho anecdótico más relevante sea la desaparición de la palabra quebrado. Es de destacar el tratamiento desigual que se dan a las Matemáticas en los últimos cursos de la EnseñanzaPrimaria en relación al llamado Bachillerato Elemental. Así, en el caso de las fracciones,mientras que el 3."'curso del Bachillerato Elemental (Plan del 57) aparecenenglobadas en un tema sobre <el Número Racional>, en el curso correspondientede la EnseñanzaPrimaria una de las adquisicionesque se señala es la simplificación de fraccionesy las fracciones irreductibles. En cierto modo, los dos planes parecen corresy ponder a una dicotomía entre una forma de introducción <más avanzada>> (Fi5.2.6 y 2.7). otra más <elementab>

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Dr'scomposición f¡rctorial de l<¡s númcrt¡s. Prr¡blt'n¡;rs dc a¡rlic:rciór¡ dc la pruporciorralitl¡¡tl tlc ||r:¡gru I u(lcs. Rrcscntación gráfica de' magnitudcs dir('cta c irl' vcr s¡ nrc¡rlL' propurcionalcs. lijercicios. dg cunversirin v rc¡luccirirt dc fr¡¡t'cinttr's or¡lirrarias v dcci¡tt:¡lt's. EjJreicios sobrc rc'gla de trcs compucsl¡r, inlcrtrs v tlcsCU(n 10.

A

fijt'rcicios s<¡hrc raíz cu¡clrada dc númcros ('nl('ros, rjscilnalcs y tr¡ccio¡tarius. Cr¡nstrucción dc triángulos y polígonos sctttcjltltlcs üun cnrl)lc(, dul pantógrafo. Ejcrcicios sobrc simctría axial y central. Ejcrcicios sr.lbrc traslitción de segmcntos y geoPlanos. Ejcrcicios sobrc giro y Iraslación dcl rt'ctlngulo, tri' áñgulo rcctángulo, ciróunfr'r'cncia,circulo, st'¡lticircun' Ic¡cr¡cia y scrrricirculo. Prr.¡blcnrassohrc áreas y volúment's de tos cucrpos dc rcvuluciór¡. Ejcrcicir.rs sobre igualdad, equivalcncia y scmejanza dc liguras. Dcmostración t'xperimental dt:l teorem¡¡ dc Pitágoras. Problcm¡¡s sobre mczclas y alcacioncs. Ejcrcicios dc t¡r¡trción litcr¡l dc ma¡¡nitudt's. Ejcrcicios scncillos ¡Jc mon<¡¡nios y polinomios. tLcsolución ¡!c ccuaciones dc primcr grado ctrn una irrcógnit¡r. Rrcscntación gráfica de ecuacioncs lineaL's. Frcunt

l trN Ls

ldc¡t y fundamentos de l¡ rturncr:rciónen basc cu¡rl(lu rcra¡. - D i v i s i l r i l i r J a d :M . C . D . y M , C . I l . Fr:rcci¡rnesirreductiblcs. - Sirnplificación de fracci<¡rrcs. - Rcgla d(' trcs compuesta. - Mczr'l¡rsy alcaciones. - Reg,ladc irrtcrés y descucnto. - ll:rí¿ culdr¡dr. - Fi¡1uras gconrdtricas iguales, cc¡uivalentes y setnc. jan tcs. - Suucjirnza de triángulos. - Pro¡xrrcionalid¡d Je segmentos en cl triángul¡¡ rcctiirrgukr: tcorcilr¡¡ de Pitó¡¡orus. - Arcas dc los cucrpos rctlondr¡s. - l'r'r¡yccció¡rde puntos. sc8mcntos y planos. - Nrriúrr de álgebra, mon<¡n¡iuy polinonrio. - F.cu¡¡ciónlincal. -

2.6. Programa correspondiente al curso 7.u de Enseñanza Primaria del Plan de 1965 (Cuestionarios Oficiales).

2.1.2. Las fraccionesen la EGB I\fATE¡UATICAS LECCTON I ttti¡ncros negatív.os.-lulagnitudesabsotutas y magnitudes relativas.,,,Lo: untcros posrt¡vos y númcros ncgativos.-Números raciónalcs.-ReprcscnlaN cirirr gráfica.-\,alor lbsolrrto dc un nt'rrncro.-fgualdaci dc númcros r¡ciona. l,:s.-Dcsigtrlltllrl dc númcros racionalcs.-Ejcrcicios.

LECCTO N2 _ .Qperacíottesco¡t ttútn¿ros racíonal¿s.-Adición: Propiedades.-sustracción. Polinomio ¡ritmiticc dc términos racionalcs.-ñtultipliiación: propicda
LECCTONJ Operaciones con nú¡neros racíonales (continuacíón).-Potenciación.-pro pic
LECCTON 4

É'r,

E.tpresíones algebraicas.-E.rprcsiones algebraices- Clasificación.-Valor numirico dc una expresión algebraica.-E.rpiesioncs algebraicas eouivalcntes. fdcntidad. Educaiión.-Monbmios y poliñomios.{ra-do de un mbnomio. Grado de un polinomio.-Polinomio hómogéneo.-Ejercicios.

LECCION 5 Operaciones con monomios y polinomios.-Suma de monomios semeiantes.-Suma y difcrcncia de polinomios,-Producto de monomios.-Prodücto de un polinomio por un monomio.-Producto de polinomios Propicdades.EJerc¡c¡os.

LECCION ó Divísíón algebraíca--Cociente de dos monomios.{ociente de un polino mio por un monomio.-Cociente entero de dos polinomios.-Relaciones-en¡re los elementos de un división entera.-Cociente-e.racto de dos polinomios.Fracción algebraica.-Ejercicios.

LECCION 7 Operacíones con fraccíones algebraícas.-Adición. Sustr¡cción.-Multiplica. ción.-División.-Propiedades de las operaciones con fracciones algcbraiias.Elefc¡clos-

FIcune 2.7. Primerasleccionesdel total de 24 que componíanel programade Maternáticasde 3."r curso de Bachilleratodel Plan de 1957.Nótesela diferenciacon el corresoondienteal 7.o curso de la EnseñanzaPrimaria (Plan del 65) (CuestionariosOficiales).

46

LaLey Generalde Educaciónde 1970((B.O.E.))del 6 de agosto)introde EGB las MatemáticasModernas duceen los planesde estudioespañoles del M.E.C. sedan antescitadas.En los objetivosy directricesmetodológicas las razonesque,a su juicio, hacennecesariasu introducción.Así, por ejemplo, seseñalaque (una de las funcionesfundamentalesde las Matemáticases la de ordenarconocimientosy crearestructurasformalesque los resumany por unas leyesque expresen.Las estructurasformalesestáncaracterizadas permiten aplicarles,de modo preciso,unos automatismos,entre ellos el automatismode la Lógica,que facilitasu utilizaciónen problemasvariados)). Los programassiguen un orden basado en la propia estructuración (Fig. si teneren cuentaotros criteriospedagógicos lógicade las Matemáticas, en el 5.onivel de la 2.8).Las fraccionesse introducenexperimentalmente Primera Etapa pasandodirectamenteen el 6.' nivel a la construccióndel entreellos. conjuntode los númerosracionalespositivosy a las operaciones Es curiososeñalarque no se haceningunareferenciaexplícitaa las fraccionesni a susposiblesinterpretaciones. IJnos mesesmás tarde (
De f i n i c i o ¡ r d c l ra cci o rr

r-32- 10

- T ' -V -,='=

son

La fracción f es et operador compueslo de los operadorcs ntultiplicar pot a y dividh por b (o bien dividir por b y multiplicer por al'

fracciones.

E l número a es el n umerador de l a frac c i ónf. E l número b es el denomi nador de l a frac c i ónf,

Llamaremosfracclón a un par ordonado de números enteros, generalmena te sscr¡to s l e n d ob d lstln to d o 0 . T-,

EI

"tt

"*t ". "" ".r. "eso

la lracción:

€-._--3-o

numeradof

-¿eniñiiidór-

\i

-+O

Fr a c c i o n e s e q u i va l e n te s

A pailir de una fracción

por eJemplo 13 , podemos obtener otras fracciones que z ffamaremos equlvalentes a la prlmera. dol sigulerite modo: ft.

Mult¡pl¡cande o l n u m e ¡ a d o ry e l d e n o m in a d o rd e la f¡ a cci óndada por un ml smo número entero dist¡nto de 0. A s f , s o n e q u i v a l e n t e su

E

C al cul al os númerosoue l a¡ten:

f6 fr a cclo n e s:

f,

1 2 _ t5

- 6 3 6 _9

4,

"\¿

=,

=.

o ' ='

12 ._;.-

-i o -.

En algunos casos, se pueden obtener fracciones equivalentes a una dada, de otra manera.

o

\

3\ ?. Dividiendo numcrador y denomlnadorpor el mismo número entero. Por ejemplo. las sigulentes fracclones son equlvalentesa + -72 19-1

=.=c,

T'

- 9 - t8

-l¡-, F

El primer método se llama camplificación" de lracciones, y es siempre posible,

ü

L I

A

12

\ \ \

I

I

D

¿Oué observas? por a (nu' P araapl i carta fracc i ón a un númeto N . bas tamul ti pl i c ar N f por b merador)y dividir eí ,esuirsdopor b (denominador).,o bien' dividir N (denomi náuor¡y m ul ti pl i c arel res ul l ado por a (numerador)'

El segundométodo se llama .slmplificaclón¡ de fracciones, y no es siempre posl. ble: s ólo en e l c a s o d e q u e n u m e r a d o ry d e n o m in a d o rte n g a n a lg ú n l actor pri mo común.

Frcu¡¡ 2.8. Presentaciónde las fraccionesen un texto de 7.. de EGB. (Título de la obra: Matematicasorbe,7.oEGB. Autores:A. vne, y J. M. AcusrÍ. Editorial: vicens vives, Barcelo_ na, 1973.\

48

2.9. Introducción de la fracción a partir de la noción de operador en 6.' de EGB' Frcuu (Título de la según las orientaciones metodológicas para la-Segun-daEtapa Publicadas en 197,1 Editorial: Bruño, oira: Matemáticas 6.0 EGB, pagL tte-ttZ. Autór: Sns¡srrÁN Mlnstrvlcn. 1977.)

49

curso. Se comienza introduciendo las ideas intuitivas de décimas.céntesimas y milésimas,asociándolas a actividades dirigidas a establecerlas equivalencias entre los múltiplos y los submúltiplos de las unidades de medida de algunas magnitudes, para a continuación representarlasmediante fracciones decimales, conectando las notaciones de las fracciones decimales con su expresión decimal. Posteriormente se pasa a la interpretación de la fracción como cociente de dos números, dejando para el curso siguiente (5." de EGB) su interpretación como operador y como aproximación de una medida, así como la relación entre los distintos conceptos (haciéndosemención de la relación parte-todo). Las únicas operacionesque se consideran en el Ciclo Medio son la suma y la diferencia de fracciones sencillas con el mismo denominador, abordándose en el Ciclo Superior un estudio más general. Nótese el gran cambio habido con relación a los Programas del 70. Para cerrar esta somera discusión acercade las fraccionesen los currícula de Matemáticas en nuestro país queremos hacer algunas observacionesde carácter general. La primera se refiere al hecho de que en la mayor parte de los paísesse está produciendo una rectificación de las reformas basaüasen la Matemática Moderna. Un ejemplo significativo y de particular interés lo constituye el caso de Francia, que ya en 1977 abandonó estos planteamientos. Estas experienciasde otros países,junto con trabajos como el Informe Cockroft, elaborado en 1982 por una comisión de expertos de Inglaterra y Gales, deben ser tenidas en cuenta en un momento en que se están elaborando nuevas alternativas cirriculares. La segunda es que los programas oficiales son indicaciones a las que el profesor debe dotar de significado. Y es aquí donde aparecen muy diversas opciones, y donde cada uno de nosotros pone en juego sus opiniones, elaborando una seleccióny ordenación de contenidos individualizada en la doble perspectiva de sí mismo y de sus alumnos.

3.

Las fracciones: diferentes int erpyetaciones

+3

50

3.1. LA EXISTENCIA DE DIFERENTES INTERPRETACIONES DE LAS FRACCIONES 6

Laidea de fracción, o mejor aún, la palabra indicando un par ordenado de números naturales escritos de la forma alb. es utilizado en contextos y situacionesque muchas vecespuede parecer que no tengan nada en común. Por ejemplo: a)

Para indicar la relación que existe entre la parte sombreada y un ,

,3/5. Si un litro de cerveza vale sesenta pesetas, ¿cuánto valdrán tres ? c) En un grupo de niños y de niñas hay diez niñas y cinco niños. En un momento determinado alguien dice: (hay doble niñas que niños). La expresión mitad esta empleada en esta situación para describir una relación entre dos partes de un conjunto. Se ha realizado una comparación parte-parte y como resultado de esta comparación se utiliza una fracción para cuantificar la relación.

b)

Sin embargo si estamos utilizando el mismo (ente matemático> para.". referirnos a dichas situaciones,es de suponer que tengan algo en común. Desde una perspectivaescolar nos podríamos plantear la siguiente situación: si identif,icamosuno de los contextos en el que la idea de fracción tiene sentido (contexto significativo) y desarrollamos el proceso de enseñanza (concepto, relaciones equivalencia y orden . operaciones-signifrcado y algoritmos-) con dicha interpretación ¿cabría esperar que los niños fueran capacesde trasladar esa comprensión y destrezasconseguidasa interpretaciones y contextos diferentes?

52

Parece ser que la capacidad de a situaciones distintas no es del todo clara; es decir, puede ser que el que el niño tenga claro el significado de una fracción en una situación, sabiendo realizar su representacióncon diagramas y de forma numérica, así como reconocer el significado de las diferentes operaciones en dicho contexto y esto no implique que sepa utilizar la misma han empezado a indicar que para que cl niño pueda conseguir una comprensión amplia y operativa de todas las ideas relacionadas con el concepto de fracción se deben plantear las secuencias de enseñanzade tal forma que proporcionen a los niños la adecuada cxperiencia con la mayoría de sus interpretaciones (KnnrN,1976; DTENES, t972). De todas maneras el alcanzar el concepto de fracción con todas sus relacionesconlleva un proceso de aprendizaje a largo plazo. La variedad de estructuras cognitivas a las que las diferentesinterpretacionesde las fracciones están conectadascondiciona este proceso de aprendizaje.En otras palabras, al concepto global de fracción no se llega de una vez totalmente. Desde las primeras experienciasde los niños con <mitades> y (relación parte-todo) vinculadas a la habilidad de manejar el mecanismo de dividir (repartir), y la habilidad de manejar la inclusión de clases,hasta el trabajo con las razones y la proporcionalidad de los jóvenes adolescentes,vinculada a la habilidad de comparar y manejar dos conjuntos de datos al mismo tiempo, y del desarrollo del esquemade la proporcionalidad, existe un largo camino que recorrer. Los profesores debemos tener en cuenta todas estas caracteristicas,es decir: -el

las muchas interpretaciones.y proceso de aprendizaje alargo plazo

cuando pensemosen el desarrollo de secuenciasde enseñanzaque pretendan cl aprendizaje de nociones relativas a las fracciones. De la misma forma también existe un largo camino desde el primer, o intuitivo de los niños con las fracciones(relación parte-todo, <<mit"{." des>, ...)hasta aftanzar el conocimiento de carácter algebraico asociado a las fracciones. Con el conocimiento de carácter algebraico nos referimos,por ejemplo, a la interoretación de la suma de fracciones como a('

-+bd

ad+bc bd

53

o que la solución de la ecuación (es decir, el número que en el lugar de la satisfacela igualdad) 3 ' x :5 es )r : 5/3, o tambiénx : 1016 : 1519...;es decir, poder ver al conjunto de las fracciones (números racionales) formando un sistema numérico, cerrado para ciertas operaciones y con unas propiedades determinadas. Puede ser que alguna de las dificultades que plantea la enseñanza-aprendizaje de las fracciones,en alguno de sus aspectos,venga determinada por encontrarnos tan rápidamente con su carácter algebraico en la secuencia cirricular. Esto es debido a que muchas veces se empieza a trabajar con reglas de carácter algebraicas,sin tener previamente un transfondo concreto desarrollado ampliamente, en raz6n de la que puede proporcionar el comenzar a frabajar rápidamente con simbolos cuando nos enfrentamos a las fracciones,por la relativa facilidad que pueden proporcionar para resolver situaciones. Es decir, hay que considerar (DlcrsoN, 1984) el equilibrio qu& debe existir entre

La sección siguiente se va a centrar en la identificación y la caracterización de los contextos que hacen significativa la noción de fracción (interpretaciones o subconstructos del megaconcepto).Esta identihcación de las interpretaciones pricipales del número racional ha sido realizada teniendo en cuenta los trabajos de T. Kr¡nnN (1976), BnuR, et al. (1983) y DrcrsoN, el c/.

(1e84). quesevan a describirson: Las diferentes interpretaciones a) La relaciónparte-todoy la medida. a.l. Representaciones en contextoscontinuosy discretos. a.2.. Decimales. a.3. Rectanumérica. bl Las fraccionescomo cociente. b.l. División indicada. b.2. Como elementode un cuerpocociente. c) La fracción como razón. c.l. Probabilidades. c.2. Porcentajes. d) La fracción como operador.

-el -

significado de las fraccionesen contextos concretos prácticos (situaciones problemáticas), y en situaciones más abstractas-cálculosin contexto karácter alsebraico).

Las destrezas que se pueden conseguir en el manejo de los símbolos relativos a las fraccionesy a las operacionescon fracciones,no son fáciles de retener si no hemos sido capacesde crear un esquemaconceptual a partir de situacionesconcretas. La comprensión operativa del concepto de fracción (número racional) debe proporcionar la fundamentación en la que se apoyen las operaciones algebraicasque se van a desarrollar posteriormente.Un buen trabajo con las fracciones puede contribuir a que estas operaciones algebraicas no se conviertan en algo sin sentido para los niños. Llegados a este punto se nos presenta la necesidad de plantear los procesosde enseñanzaaprendizaje de las fraccionesdesdetodas sus perspectivas, en todas sus interpretacionesposibles,para que un trabajo continuado con dichas interpretaciones ayude al niño a conseguir una comprensión conceptual (operativa) de la idea de fracción, sin crear . Una vez determinada esta necesidadse plantea la tarea de identificar las diferentesinterpretaciones,contextos, en los que aparezca el concepto fracción: la fracción como un megaconcepto. 54

3.2. LA RELACION PARTE-TODO Y MEDIDA Se presentaesta situacióncuando un (continuo o discreto)se divide en partes (congruentesr> (equivalentescomo cantidad de superficieo cantidad de r). La fracción indica la relación que existe entre un númerode partesy el númerototal de partes(quepuedeestarformadopor varios . Sobreestainterpretaciónse basangeneralmente las secuencias de enseñanza cuando se introducen las fracciones(normalmenteen su representación continua).Pareceserque tiene una importancia capital para el desarrollo posteriorde la idea global de número racional.El estudiode estarelación se realizarácon detalle en el capítulo siguiente. Para una comprensiónoperativade estesubconstructose necesitapreviamenteel desarrollode algunashabilidadescomo: - tenerinteriorizadala noción de inclusiónde clases(segúnla terminología de Pu,cnr); - la identificaciónde la unidad (qué es el que seconsideracomo unidad en cada casoconcreto): 55

- la de realizardivisiones(el todo se conservaaun cuando lo dividamos en trozos, conservaciónde la cantidad),y -manejar la idea de irea (en er casode las representaciones continuas).

Si utilizaramos para los diagramasla magnitud longitud, al dividir segmentoen partes iguales

Las representacionesde esta relación que vamos a describir son las desarrolladas en contextoscontinuos,discretosy mediantela utilizaciónde la rectanumérica. la fracción indica las partesque setoman en relaciónal número de partesen que se ha dividido el segmento.

3.2.t. Representaciones continuas(área) y discretas un contextocontinuo,en el que ras representaciones más frecuentes i-.En rsuerenser diagramascirculareso rectangulares (dos dimensiones):

En un contexto discretoge puedg¡epres-entar "!-

l*

kf--!|+tt-|:*'

a)

@ @@ oo tt

>: <3 de las 5>; <3/5.> b) O bien

f aqui el estáformado por el conjunto global de las cinco bolas,tres de .{ las cuales son negras.<3/5> indica la relación entre el número de bolas l,-¡egras y el número total de bolas. Si por otra parte representamos el todo por

¡+. l; <3 de las 5>>: <<3/5.>> c) Si la unidad la representamospor

@@ @ entoncesen la situación

@@ @

@@ @

..rrtiJ , r,'\{ ' r'\ {fJt

@o

o

<2 1/3representa la partesombreada>. entonces, (-o Er interesanteresaltarque si se utilizan contextosdiscretosse fuerzaa $ oue et niño amplíesu esquemade la relaciónparte-todoya que en estecaso, l' cuañdousamosun conjunto de objetosdiscretoscomo unidades,por ejemplo 56

oooo o o o o o o 57

repr€sentarla fracción3/5 (tresquinros)(dividir el con¡untoen :1-q-1""t":, clnco partes y tomar tres) los subconjuntosque resultan también están formadoscada uno de ellospor variosáU¡"to, (en este po, áor) "uro

@@@

@@

3.2.2. Decimales Una estandarizaciín de la relación parte todo, junto con las características de nuestro sistema de numeración decimal, dan pie a la introducción de los decimales (fracciones decimales).Por ejemplo, utilizando la representación continua y el modelo rectángulo, considerando la unidad como un rectángulo y dividiéndolo en diez partes. Cada una de las partes es en relación al todo (unidad) 1/10, una de las diez (una décima).

en contraposiciónal contextocontinuoen que las partesestánformadaspor trozossimples. I ógicamentela dificultadaumenta si se toma como unidad

ooooooo y se piden los 3/5, es decir,situaciones en las que la fracciónno se puede aplicar. En la caracterización de la relaciónparte-todose habla de <parteslongruentes)lo que no indica necesariamente partesde la mismaforma. En la figurasiguientela relaciónentrelas partes sómbreadas y el número'de partes "''qr'vru tambiénse puederepresentarpor 3is (tresqffi-;'

Si cada <parte>(décima)la dividimosen otras diez partes,obtenemos . Así concebidaglas fraccionescomo decimalesforman una extensiónnatural de los númerosnaturales.(Para un estudiomás detalladodel casode los Decimalespodemosconsultarel tomo 5 de estacolección,DECIMALES de Jurn CnNrnNo). 3.2.3. Las fraccionescomo puntossobrela recta numérica

L.: noción de <partes congruentes> es de vital importanciapara poder . Justrllcar que en la siguiente figura

En estasituaciónseasociala fracciónalb con un punto situadosobrela rectanuméricaen la que cadasegmentounidadseha dividido en ó partes(o de las que setoman
ññ¡ñ.,

o+ 1 -l

- ' {.- .

.- \.

.

|

.

*

.

.

|

>.

Jlc

no podemosindicar oor 315(tres quintos) la parte sombreada,al no estar formadapor partescongruentes. Esto es debidba que en¿;J;;ls por :7s:
en estecasosepuedepensarque la fracciónno seasociaa una partede una hgura o aun subconjunto de objetos, si no que se reduce a un número abstracto;así como el 3/5 es un númeroentreel cero y el uno, el 3/2 es un númeroentreel uno y el dos.

58 59

Esta representación hace que se pueda pensar en las fracciones como números parecidosal 1,2,3,4,..., y que se puedencolocar entre ellos. Aunque esta forma de representarlas fraccionesprovoca algunas dificultades a algunos niños (8-12 años), también presenta algunas ventajas (DlcrsoN, 1984): -

-

-

Identifrcada una unidad de media (segmento),ite subdivisionescongruentes. El número de de la parte resultante de la subdivisión que <cubren> el objeto, indica la medida del objeto (proceso de contar iterativo del número de unidades -subunidades- que se han utilizado en cubrir el objeto).

hace que las fracciones impropias (fraccionesmayores que la unidad) aparezcande forma mucho más natural, así como la notación como números mixtos; hace hincapié en el hecho de que el conjunto de las fracciones forma una extensión del conjunto de los números naturales (las fracciones rellenan entre los naturales): tiene conexionescon la idea de mediáa (uso de escalas).

,r .tl l l

0

0 1234 5

Si se les pide señalarel 3/5 los niños suelenindicar el punto donde estáel tres, sin embargo esta dificultad no se presentasi se les proporcionala representación siguiente: r ltl tl

1-

También se plantean problemas cuando el segmentounidad está dividido en un múltiplo del denominador. Por ejemplo:

u1 <Señalael 315.> La rccta numérica sirve también como una buena representaciónde la interpretación de las fracciones como medida.

60

2

3

4

5

.6

7

3 +l l 2 : 3 1 1 2 : 3 + 0 , 5 : 3 , 5

Pero, como decíamos,su utilización puede presentar algunos problemas. Los resultados de algunas investigacionessugieren que la interpretación de las fracciones mediante la recta numérica es especialmentedificil para los niños (Novlrus,1977). uno de los problemas que se pueden plantear es la identificacién del segmentounidad cuando la recta numérica se ha extendido más allá del uno:

o

1

It¡

Así, desde esta perspectiva más general, en un contexto de medida, este modelo viene caracterizado por la elección de una unidad arbitraria y sus subdivisiones (la unidad debe ser invariante bajo las divisiones) (KIennN, 1980), significando la tarea de medir, la asignación de un número a una (en el sentido general). Al considerar las fracciones (número racional) en la interpretación de medida, se proporciona el contexto natural para la (suma)) (unión de dos medidas), y para la introducción de los decimales (notación decimal) (KlnneN, 1980). Además, el manejo de la representaciónde las fracciones a través de la recta numérica debe ayudar al niño a (conceptualizar>>las relaciones partetodo en un contexto y reconocer contextos equivalentes que proceden de nuevas divisiones de la unidad. Es decir, el rhanejo con la recta numérica (contextos de media) puede ser una buena introducción a la noción de equivalencia: la misma parte de la unidad recibe nombres diferentes en función del número de divisiones. Un adecuado recurso didáctico para desarrollar estas ideas que relacionan las fraccionesy la noción de medida lo puede constituir los Números en Color. Este material está formado por regletasde madera de diferentescolores y diferentes longitudes, Blanca(b) Roja (r) Verde clara (v) Rosa Amarilla (a) Verde oscura(V) Negra (n) Marrón (m) Azul (A) Naranja (N)

61

con estas regletas' la pregunta <¿qué es la regleta roja de la blanca?> tiene una traducción en términos de medida que indica . Para contestar a esta cuestión, hacemos un <(trenDde regletasblancas de la misma longitud que la regleta roja dada, tar y como indica la figura

¡,-I. LAS FRACCIONES COMO COCIENTE lin estainterpretaciónse asociala fraccióna la operaciónde dividir un númcronatural por otro (divisiónindicadaa: b : alb).Dividir una cantidu{ cn un númerode partesdadas.T. E. KmnnN(1980)señalala diferencia tlc csta interpretacióncon la anterior indicandoque, para el niño que está n¡rrcndiendoa trabajar con las fracciones,el dividir una unidad en cinco pirrtcsy cogertres (3/5) resultabastantediferentedel hechode dividir tres entre cinco personas,aunqueel resultadoseael mismo. uni<Jades En esta interpretaciónse consideraque las fraccionestienen un doble Ispocto:

Si la preguntafuera <¿quées la blancade la roja?>(¿quémide la regleta blancacuandotomamosla roja como unidad?),entoncásla
la a) Ver a la fracción3/5 como una divisiónindicada,estableciéndose y reparto, y acción de en una 0,6 equivalenciaentre315 b) Considerarlas fracciones(númerosracionales)como los elementos de una estructuraalgebraica;es decir, como los elementosde un conjunto numéricoen el que se ha definidouna relaciónde equiva-sulencia,y en el conjunto concienteresultanteunas operaciones de tal forma ma y multiplicación- que cumplenciertaspropiedades que dotan a dicho conjunto de una estructuraalgebraicade cuerpo conmutativo.

b:1.l2xr En estecasose dice que la regletablancaes un medio de ra roja. "., Esta situación se puede generalizar.si consideramoscomo unidad la regleta amarilla y preguntamos:<¿quémide la verde clara?), entoncesse puedevolver a la regletablancay se tiene,

(números Debido a que bajo estaintepretaciónseconcibea las fracciones las reladonde a un sistemaalgebraicoabstracto racionales)pertenecientes debe interpretación cionesentre los elementosson de índoledeductiva,esta a enseñanza de secuencia y posterior en la tenerun carácterglobalizador ser las demásinterpretaciones. siguientesvamosa intentar desarrollarambosaspectos En las secciones de estainterpretación.

la regletablancaes una de las cinco que cubrena la amarilla;así,utilizando la misma notaciónanterior b:ll5xa Luego la verdeclara que estáformadapor tres blancas,será u:3xb:3l5xa es decir,la verdeclara es los tres quintos de la amarilla. En general,podemosindicar que la relaciónparte todo (tanto en su representación continuacomodiscreta),constituyeel fundamentode la interpretaciónde las fraccionescomo medida. (Para un estudiomás detalladodel problemade la medida recurrir al tomo 17 de estamismacolecciónEl problemade ta medida,de chamorro v Belmonte.)

pt

3.3.1. División indicada(reparto) La intepretaciónde la fracciónindicandouna división de dos números naturales(315: 3 : 5) apareceen un contextode reparto:

,n

1 /5

1 /5

I

tJ/C

62

63

según los trabajos de la profesora Hnnr (r9g0) sólo la tercera parte de los niños de doce y trece años eran capacesde darse cuenta que dbs números naturales se pueden dividir uno por otro pudiéndose el resultado ""p.óra, exacto mediante una fracción. La resistenciade los niños a ver 3 : 5 como 3/5 puede ser debido a que muchos de ellos se encuentran familiarizados con la interpretación parietodo para las fracciones y por tanto ven los 3/5 como la deicripción di una situación (de cinco partes hay tres sombreadas),mientrar qu. pó. orra parre, la división indica un proceso, precisamenteel proceso de iepártir 3 paiteles entre cinco niños. No hay que olvidar tampoco que muchos niños (incluso en el ciclo Superior), debido al manejo de los números naturales,dicen que la división 3 : 5 no se puede realizar cuando se les presenta de forma aritmética. Sin embargo, a pesar de esto, existen opiniones (SrnnnrrnNo, 19g4)que centran el desarrollo de las secuenciasde enseñanzade las fraccionesalrededor de esta interpretación, indicando que la dificultad que presenta la enseñanza de las fraccionesen la escuela,consisteen que se tiende rápidamente a centrarse en un tratamiento formal y algorítmico de estas ideas. La alternativa consistiría en buscar situacionesde la vida real, diaiia de reparto y de medida que conllevarán el trabajo con las fracciones y, apoyados en el conocimiento informal que sobre éstas llevan los niños cuando entran en la escuela,potenciar a través de estassituacionesla del concepto, las operaciones y las relaciones en las fracciones por los propios niños. L. Srnnnrr¡,No al destacar esta interpretación (situaciones de repartomedida en las que están implicadas las fracciones)marca la diferencia con otras aproximaciones indicando que ante la situación <<Enun restaurante, hay que repartir tres pizzasentre cinco niños ¿cuánto correspondea cada uno?> el resultado 315 aparecea partir de un proceso de diferenciar, dividir, abreviar, representar,simbolizar,...indicando mucho más que la simple representación del diagrama.

De forma esquemática los principios de enseñanza de las fracciones clefendidospor este autor con esta aproximación son (L. SrnnnnrlNo, 1984): o Lo que es importante es la de las operaciones con las fracciones por los propios niños; -

construcción basada en la propia actividad de los niños: estimación, desarrollo de cierto sentido del orden y tamaño...; - la valoración del trabajo de los niños, sus métodos y procedimientos, aunque difieran de las aproximaciones formales; - el énfasis se traslada a la verbalización de los niños, verbalización del conocimiento adquirido, ser capaz de formular una regla, comprender el poder de las generalizaciones...; - Se utiliza el conocimiento informal de los niños como bases para empezar la ecuencia de enseñanza(ideas relativas a mitades, tercios,...los procesos básicos de dividir, repartir,...). . Desarrollo de situaciones de comprar y ordenar en las que los niños construyan procedimientos de solución mediante procesos de dividir, ordenar, medir, componer,... . Utilización de modelos de apoyo (regioneso segmentos,recta numérica, Ldblasde razones,...)y situaciones problemáticas (situacionesde la vida diaria) que sirvan de (conexión) entre las situaciones problemáticas en diferentes contextos y el trabajo numérico. Bajo esta perspectiva el significado de fracción y las operaciones están conectados de tal forma que se desarrollan al mismo tiempo. Defiende la idea de que son los niños que tienen que y no los profesores. Sin embargo al desarrollo de las secuenciasde enseñanzacon 1a interpretación de la idea de cociente (reparto) se le puede plantear algunas mqizaciones según se utilicen en contextos discretos o continuos (área, lo/[í ud) (Brun er a/.. 1983). I-lado un contexto discreto: o un contexto continuo:

Además,la secuenciaque se deriva de plantear ra situación anterior, se apoyaen los procesosde verbalizaciónque realizanlos niños de los pasos realizados. 64

los niños realizan considerablementemejor las tareas de reparto en contextos discretos que en contextos continuos. Se ha señalado la explicación de que en el caso continuo los niños necesitan un (esquema anticipatorio bicn

65

desarrollado), es decir, un previo a ra rearizacrón de la tarea, rearizarmediante _mientrasque en el caso discreto ra tarea se puede ^Bnun procedimientos directos.Entoncescomo señalaM. et al. (r9g3): Debidoa quelas estrategias empleadas por los niñosparalas tareascon

cantidades discretas son tan diferentes a las empleadas en taieas con cantidades continuas, se puede asumir que la estructura cognitiva implicada en resolver una u otra tarea son diferentes.

Para frnalizar, podemos considerar que, en esta interpretación de las fraccionescomo cociente y en las situacionesde división-reparto en las que una cantidad se divide en un número de partes dadas, se pueden distinguir dos aspectos: a)

Cuando nos proporcionan la cantidad y el número de partes en las que hay que dividirlo y nos piden lo que vale cada parte (reparto).

An_telos dos ejemplosanteriores,en el contexto discreto,er procesode solución se puede realizar simplementeempezandoa repartir las cartas (procesodirecto).El resultadode cuatro curias por buzón puedeser visto por los 415del estadounidad descritopor las veintecartasáel principio. En el contextocontinuo no existeeseprocesotan directo.un prócedimiento de estimacióno de tanteo,o una operaciónaritméticapuéde' se. necesariospara acercaÍnosa la solución. Sin embargola necesidadde un previo pa* realizar la tarea,que aumentala dificultad de realizaciónpo. pu.i" del niño, no sólo está vinculadaal contextocontinuo o discretoáe lá tarea a reali4grsino también al tipo de tarea de que se trate. como veremosen el pióximo capitulo,cuandola tareano es de sino de ordenaciónde fracciones,pareceser, segúnseñalael profesoiT. R. posr (19g5)que es el contexto discreto el que pareceexigir la existenciade un <esquemaanticipatorio (plan) para realizarcon éxito la tarea. Atendiendoa esto,no se puede generarizarla dificultad que presentaun tipo de contexto(discretoo continuo)frentea otro sin vincularlode antemano a un tipo de tarea. De todasmaneras,en estainterpretaciónde la cantidadde barra de chocolateque le corresponderia a cada niño. Es decir, este tipo de actividadesr" prr"-d"nconvertir en los pilares sobrelos que se fundamentenel trabajo con los númerosracionales como precursordel álgebra. 66

b)

Cuando nos proporcionan la cantidad y lo que vale cada parte y nos piden el número de partes (medida).

>

3.3.2. Las fraccionescomo elementosde una estructura algebraica Como hemos indicado, las actividades en situacionesde reparto-medida constituyen el sustrato sobre el que se construye la interpretación de las fraccionescomo elementosde un cuerpo conmutativo (estructura algebraica). Se conciben las fracciones(números racionales)como elementosde la forma a/á, siendo a y b naturales(para Q +) (b * 0) que representanla solución de la ecuación b'x:

a

(Para un desarrollo detallado de las relaciones,y propiedades que se dan en el conjunto Q, se puede recurrir a cualquier libro de Algebra Elemental). De forma clara <esta interpretación de las fracciones (números racionales) como elementos de un cuerpo (estructura algebraica) no está estrechamente vinculada al pensamiento natural del niño al dearrollarse de forma deductiva las operacionesy propiedades>(Kmnrr.r, 1975).

3.4. La fracción como razón En las secciones anteriores se han caracterizado las fracciones en situaciones de comparación parte-todo, pero algunas veces las fracciones son usadascomo un <índicecomparativo) entre dos cantidadesde una magnitud (comparación de situaciones).Así nos encontramos con el uso de las fracciones como razones. En este caso no existe de forma natural una unidad (un ) como podía ocurrir en los otros.casos (podíamos entender esto como que la comparación puede ser bidireccional).

67

fr, , En esta situación,la idea de par ordenadode númerosnaturalestoma no.-uünente la relaciónparte-parte(o la relación nuevafuerza.En este "uro todo-todo)se describecon a: b. clarificar Algunosejemplosen diferentescontextospuedenayudarnosa fracciones: las de estainterpretación(subconstructo) ,4 es los 315de B: (3 : 5). B eslos 513de A: (5 :3).

a)

las e) Las recetasde comidas,las mezclasde líquidos'

La relaciónentrelos puntosde A y de B es de 3/5>:(3 : 5)' La relaciónentrelos puntosde B y de '4 es de 5/3):(5 : 3)' b)

aleaciones'"'

una Las comparacionesrealizadasen los ejemplosanteriore-sdescriben como relación (todo-todo), aunque las fracciones (parte-parteD' razonestambién aparecencuando se describencompraciones

E¡slupro l:

ooo ooooo quintos (3/5)' la relación (razon)entre bolas negrasy blancases de tres quintos(3/5)' E¡Buplo 2. La relación de niños y niñas en estegrupo es de tres quintos(3/5)' E¡nuplo 3. La razl¡entre los círculosy los cuadradoses de tres (3 : 5).

La altura del muñeco A es 315de la de B; (3 : 5)' La altura del muñeco B es 513de la del A: (5 : 3)' c) d\

ooo

Las escalasen los dibujos de mapas, planos,

lt¡

T NNNT

a Algunosautoresutilizancontextoscotidianospara dotar_designihcado del <situación la idea de razón. El particular, L. StnnnnteNo (19-84)utiliza la modelo de un como contexto (dotar de restaurante) para contextualizar se interpretan comprensión)la proporcionalidad (igual de razones)cuando razones. las fraccionescomo

<<Enunrestaurantedondeexistenmesasdediferentestamañ por se colocancantidadesdiferentesde 60cadillos10sniños se distribuyen mesas.))

69 68

24 = númerode bocadillos 32 niños

Se pretende que los niños a través del trabajo en esta situación se den cuenta de la equivalencia de situaciones(en relación al número de bocadillos que le corresponde a cada niño), además de iniciar una esquematizaciín progresiva de esta relación. Evidentemente podemos mantener la estructura de estas situaciones variando el contexto. Se puede aplicar a la relación entre cantidades de puntos conseguidospor un equipo de niños y el número de niños de cada equipo. Se determina la relación niños : puntos. Realmente la operación que estamos realizando (establecer una relación) se puede representar mediante una aplicación que asocie cada grupo de tres bocadillos con un grupo de cuatro niños, según indica DENES ( 19'72). Otro contexto para esta interpretación de las fracciones como r¿Lzones lo podemos encontrar en la relación entre cantidades de una magnitud (o de magnitudes diferentes) (contextos particulares, mezclas, aleaciones...). Si denominamos por M1 y M2 a las magnitudes y poÍ ai a las cantidades de Ml y b, a las cantidades de M2 M1 IM2 a1 lo,

a2

lo,

la relación entre las cantidadesde Ml y M2(a,;./ \ puede no tener dimensión (cuando Ml y M2 son la misma magnitud) /-r'y;ede tener dimensión, lo que ocasiona qve apaÍezca otra magnitud. Un ejemplo 1o tenemos al comparar longitudes, como en el caso de la altura de los muñedos, ejemplo á) anterior, en donde la relación que aparece es sin dimensión, y otro caso aparececuando compramos longitudes (metros) con tiempo (segundos)para hablar de velocidades(metros/segundos). Este camino conduce a situaciones en las que se tienen que comparar razones. <

70

o n buscarvaloresadicionalesa las razonesque sepuedenconstruir (problenlusde regla de tres), por 5 pesetas. r¡ucconstituyenun marco natural para las proporciones(igualdadde razode fracciones)con estainterpretación. rres-equivalencia (Paraun estudiomásdetalladode las razonesy las proporciones, recurrir nl tomo 20 de estacolecciónPROPORCIONALIDAD de M. LuIsn Flor y .1,M. FonruNv). Otras interpretacionesde las fraccionescomo raz6n aparecenasociadasa ()lroscontextoscomo son la representación de la probabilidady los porcenlrrJcs. Mostramosa continuaciónalgunosejemplosde estosaspectos. .1.4.1.La probabilidad De todosesconocidala dificultadque presentael estudiode las probabide cualquierotro tópico de la desconectada lidadesen los nivelessuperiores, primaria. La utllizaciín de las fraccionesen estecontexto sele da enseñanza un carácterde cálculo (aritmético)sin pensarque la estructuracognitiva rubyacentea las relacionesimplícitas en contextosde probabilidadestá para los númerosracionales. vinculadaa la red de relacionesestablecida Podemosconsideraralgunosejemplosde su utilización,en los que se una (comparación>todo-todo entre el conjunto de casosfavoracstablece blesy el conjunto de casosposibles,como en <En una bolsa hay tres bolas negrasy dos blancas.Sacamosaleatoriamente una bola. ¿Cuáles la probabilidadde que seanegra?

3,4.2. Porcentajes La relación de proporcionalidad que se estableceentre un número y 100 (ó 1000) recibe el nombre particular de porcentaje. Por regla general los porcentajestienen asignado un apecto de ,es decir, al interpretar se concibe (hacer 100 partes de 35 y coger 60). (La interpretación de las fracciones como operador será descrita en la sección siguiente.)

7l

utilizando el lenguajede aplicaciones, los porcentajes sepuedenentender como el establecimiento de entri conjuntos(ázones),estableciéndosesubconjuntosde cien partes.por ejemplo-cuando se estatlecenlas rebajasdel 15 o%,estamosestableciendo uná reiación<de 15 es a r00> que para una cantidadde 300 pesetasvendríarepresentado por

De nuevohay que insistiren que el operadorllevaimplícitoun , convenio: primeroactúala divisióny luegola multiplicación,identificándose asi con la interpretaciónparte-todo.También se puedeinvertir el convenioy actuar siemprela multiplicaciónen primer lugar y luego la división. Hay que observarque,bajo estainterpretación,las fraccionesse utilizan en un doble aspecto: a) describiendouna orden, una acción a realizar(operador),y b) describiendo un estadode cosas,esdecir,describiendo una situación.

entoncesexistela <<misma reración>(definiendola r en el sentidode la aplicaciónbiunivocaentresubconjuntos) entre como en <45 es a 300>. De todas formas la diferenciaentre estasdos interpretaciones de las fraccionescomo razones(probabilidady porcentajes) y la relaciónpartetod.odescritaen la primerasecciónde esie^capítuto pueae,.rultu. bastante sutil.

3.5. LAS FRACCIONES Y LOS OPERADORES Bajo estainterpretaciónlas fraccionesson vistas en el papelde transformaciones: . Se concibeaquí la fraccióncomo una sucesiónae muttipncáá"*, v ái"isiones, o a la inversa. Por ejemplosi en un_context{¡{screto tomamoscomo una situaciónde partida(estado-unidad) er conjundJdrrma¿opor los 36 niñosde una clase, el efectode la aplicacióndel operador 213(d,ostercios) se puede,.pr.r"nru,

Pof'

Esuoo-uNrolo (srruncróN) 36 niños

Op¡nlnon

(Dividir por 3, multiplicarpor 2)

Esrroo nlNtl-

24 niños

al estado final <<24niños> también recibe el nombre de estado <dos tercios> como la descripción de un estado de cosas. En un contexto continuo,_por ejemplo cuando actúa la fraccion 213 consideradacomo operador sobie un segmentode longitud dada, se obtiene otro segmento de longitud 213 del original.

En el ejemploanterior utilizandoel contextodiscretose mostrabanlos dos aspectosde Ia utilizaciónde las fraccionesbajo estainterpretación. De forma esquemática, si representamos el estadounidaá por uno, el resultadode aplicarleel operador<dos tercios) nos proporcioni el estado frnal213. Esr¡,oo I

Oppnloon

Esupo

x (213)

Estedoble aspectode las fraccionesen estainterpretaciónpredetermina un poco el estudioque sepuedarealizar.En estecaso,por ejemplo,podemos establecer de dos formasla equivalenciade fracciones: i) Equivalenciade operadores. operadoresfraccionariosdiferentes, que al actuar sobreel mismo estado-inicialdan el mismo estadofinal Esr¡oo

12 t2 t2

Open¡pon

x (2/3) x @16) x (81t2)

Esrlno 8 8 8

ii) Equivalenciade estados.un mismo operadorque al actuar sobre estadosunidad diferentesproducela misma tranformación(comparandoel estadoinicial y final en el sentidodescritoen la secciónanteriár sobre la < >), lo que nos introducede forma natural a la noción de proporción. Esr¡oo

t2 t5 24

Oprnnoon

x (213) x (2/3) x (2/3)

Esr¡oo 8 l0 t6

72 73

la < entre el estadoinicial y el estadofinal siemprees <dos a tres). Esta interpretación enfatizael papel de las fracciones(númerosracionales) como elementosdel algebra de funciones(transformaciones)al mismo tiempo que conducea la idea de que los númerosracionalesforman un grupo (estructuraalgebraica)con la multiplicación. Encontramosasí un contextonatural parala composiciónde transformaciones(funciones, operador),la idea de inversa(el operadorque reconstruye el estadoinicial),la ideade identidad(el operadorque no modificael estado inicial). Este aspecto de las fraccionesha sido tratado con detalle por Z. P. DrcNes,al desarrollar una aproximación estructuralistaen la enseñanzade las Matemáticas(en la aproximaciónestructuralistala actividad del niño se dirige hacia la construcciónde estructurasmatemáticasformales).En palabras del propio Z. P. DIsNus(1972,pág. 111): quetodasestasdiferentes Seobservará facetasdel estudiode lasfracciones (razón,porcentajes, decimales, ...)puedensercomprendidas dentrodeunesquema de la estructuraoperacional de las matemáticas si consideramos una fracción comola sucesión de unaparticióny unaoperación de multiplicar... a: Comoresultadodeestemétodode tratamiento, deberátambiénconstatarse queel estudiodelasfracciones formanpartedeun estudiomuchomásamplioy generalsobrelos estadosy los operadores. Esta constatación se conlirmará cuandoseabordeel estudiodela geometría, dondelastransformaciones sonlos y lasdistintasposiciones operadores delasfiguraslosestados y enelcampodelálgebradondelosvectores seránlosestados y lasmatrices losoperadores.. .(pág.ll2).

3.6. UNA VISION GLOBAL DE LAS FRACCIONES 3.6.f. Relacionesentre las distintasinterpretaciones En las seccionesprevias hemos descrito las diferentesinterpretaciones que se puedenasociara la idea de fracción, caracteizándolasen sus rasgos más relevantes. Debido a las diversasperspectivascon las que se puede concebirel conceptofracción,algunosautoreslo consideranun megaconcepto(refiriéndose al número racional como sintetizadorde todas las interpretaciones (lo que nosoconstituido(construido)por diferentessubconceptos descritas) tros hemosdenominadointerpretaciones). Los rasgosgeneralesde cada interpretación señaladosen las secciones anterioresmuestranque el ser (hábib) en dichasinterpretacionesconllevael como esquemasde dominio de diferentesestructurascognitivas----entendidas para desarrollartareasque pensamiento a las accionesnecesarias subyacente implican la idea de número racional en cualquierade susinterpretacionesque sedan en el niño en diversasépocasde su desarrollo,lo que condiciona de enseñanza en vn momentodeterminado. las secuencias Además,desdeuna perspectivade enseñanzano es posibleaislar por completo cada una de las interpretacionesde las demás.Algunas de ellas tienen vinculaciones(naturales>que no se puedenignorar, y hacen que al tratar un determinado aspectodel número racional, implícitamenteestén presentesotros aspectos. para la enseñanzaa travésdel Estasrelacioneshan sido conceptualizadas siguienteesquema(Bnnn,M. J. et al.,1983,pág. 100). Diagrama 3.1

los autoresindican medianteflechascontinuaslas relacionesestablecidasy medianteflechasdiscontinuaslas relacionesque se conjeturan. Las recientesinvestigacionessobreel aprendizajede los conceptosrelatiasí como la vos a las fraccioneshan señaladoalgunasde estasdependencias, en nos introducimos interpretaciones a otras cuando aproximaciónde unas contextos<<más abstractos>. 74

IiNIVERSIDAO DISTR'TAL 75

Por ejemplo, cuando se utiliza la relación parte-todo en contextos discretos, las situacionesnurhericaspuede conducirnos a la idea de operador o de porcentaje (raz6n).

<315de 20>>puede ser interpretado como una fracción actuando sobre un número (operador), es decir, una acción más que la descripción de una situación; o cuando empleamos para describir esta situación el lenguaje de porcentajes ó0 oÁ de 20>, el 60 por ciento de veinte, estamos comunicando que existe la misma :(en el sentido de razón) que en ((sesentade cien>. Por otra parte, en la sección 3.5 de este mismo capítulo se mostraba la relación existente entre la interpretación de la fracción como operador o como razón, cuando se describía la equivalencia de estados. .r Además, como señala el propio Z. P. DnNns, la conexión entre la interpretación de la fracción como operador y la idea de medida se encuentra en un contexto natural en la realización de mapas y planos (la utilización de escalas). Para intentar clarificar estasúltimas relacionespodríamos indicar que las <paredes>que pueden separar las distintas interpretaciones del número racional se van haciendo más según subimos por el edificio matemático, hasta que llega un momento que en (trabajo algebraico con números y ecuaciones)pasamos de una interpretación a otra sin impedim€ntos (conceptuales>.El poder de generalizacióny síntesisde las Matemáticas se muestra para ayudarnos a desenvolvernoscon facilidad. Con todas las caracterizacionesanteriores, hemos pretendido mostrar que el concepto (número racional) es muy complejo; formado por diversas interpretaciones e interrelaciones entre ellas; por eso, no podemos más que hacernos eco de la sugerenciade Suvn¡,u (1979) que, despuésde haber hecho una revisión de los proyectos de investigación desarrollados hasta 1979, en relación a la enseñanza de las ideas relacionadas con el número racional señala que conviene: -

76

considerar objetivos a largo y corto plazo en relación a cada una de las interpretaciones; seleccionarlas interpretacionesapropiadas para desarrollar esosobjetivos, teniendo en cuenta las estructuras cognitivas necesarias; proporcionar secuenciasde enseñanza(actividades)que contribuyan al crecimiento de estas estructuras.

De todas formas, y como habíamos señaladoal principio de esta sección, manejar las diferentesinterpretacionesviene vinculado al dominio (posesión) de determinadas estructuras cognitivas (lo que condiciona el momento de (ver)) en la escuelaestas interpretaciones).De forma esquemática,tenemos:

en la secuencta lnferencias de enseñanza

La necesidadde que el niño desarrolle la comprensión del número racional en todas sus interpretaciones,así como plantear las relacionesentre estas interpretaciones diferentes ya ha sido defendida por algunos educadores matelnáticos, como hemos señalado en el primer capítulo (véasela opinión de KmnnN, Dmurs,...). El estudio pormenorizado, las caracterizaciones y las implicaciones en el proceso de enseñanzade algunas interpretaciones,en particular decimales, medida, fazon, operador, se sale fuera de este libro y ya ha sido estudiado por otros autores.

3éZ-,

Papel destacado de la relación parte-todo

par(e-todo, tanto en contexAhora bien, parece ser que la i{r-te.rpretación tos continuos como discretos (caracterizadoen la sección 3.2) constituye la piéára angúlar sobre la que se van a desarrollar algunas de las restantes interpretaciones,tal y como se indica en el diagrama anterior' Esta del concepto parte-todo se ve reflejada en la gran atención que normalmente recibe en el desarrollo de las matemáticasescolares. Además, existen opiniones (E[nnnnucH, PAYNE,1978)que dehenden la idea de que para realizarla introducción al concepto de fraccón se_debeusar unu int.iprétación simple (contexto de área. continuo), indicando que la ríación parte-todo es la que constituye la interpretación más natural para los niñoJ(además de constituir un buen modelo para dotar de significado a la suma de fracciones). Sin embargo estasintroducciones unívocas tienen que ser completadas a lo largo de la enseñanzacon otras interpretacionesdel concepto de fracción para intentar evitar las posibles limitaciones conceptuales que se podrían

77

derivar.Una excesivaasociaciónde la idea de fraccióna la interpretación parte-todo(contextocontinuo)podría planteardificultadesante cuestiones como la siguiente(Hanr, l98l):

f ñ * !

<María y Juan tienen dinero en el bolsilo. María gasta 1/4 del suyo y Juan ll2. ¿Esposible que María haya gastado más que Juaut

D" todasformasno hay que olvidar que las nocionesmatemáticas no se ,--: desarrollantodasde una vezy al mismonivel de <manejabilidad> (operativi/ I quqr'por tanto hay que aceptarque los niñospuedandesarrollaruna noción de fracciónvinculadaa la relaciónparte-todoén un mom"nto de la enseñan_ / y al ampliar el conceptode fracción a otros ámbitos (a otras za, I interpretaciones) estanoción primitiva se reconceptualjzará ¡_ (readaptará)modifr_ cándose. De estaforma concebimosel <paso))de las diferentesinterpretaciones de la idea de fracción por la secuenciade enseñanza,pretendiéndóse que al linal Ia construccióndel conceptode número racionaltengacomo subconceptos las diferentesinterpretaciones que ha ido adaptandoi lo lurgo de sr4forma_ ción (aplicabilidada diferentesinterpretacionis). vamos a desarrollarla relaciónparte-todoen los próximos capítulos, intentandotrasladarlas consecuencias del análisisteórico de la relacióna situacionesde clase. De forma aleatoriase establecerán conexionescon las otras interpretacionesde tal forma que sepuedaempezara delinearla futura < de relacionesque constituyelas ideasrelativasal número racional.

4. La relacíónparte-todo y las fracciones

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Lil.'-Er.:li 78

4.I.

INTRODUCCION

En el capítulo anterior habíamos caracterizado la interpretación partetodo cuando un o varios (continuos o discretos) éra dividido en partes y la fracción nos describía la relación entre las <partes> que se consideraban y el número de partes en que se había dividido el todo. El primer o que tiene el niño con esta relación es relativamente temprano, como ya se ha señalado. Expresiones como <media manzana>>> <medio vaso de leche>, pertenecenal vocabulario infantil desde los primeros años. Las aproximaciones que el niño realiza a estas nociones (relaciones)son en un primer momento cualitativas y no alcanzan todavía el fango de descripcionescuantitativas de una situación. Este hecho ha apoyado la idea de introducir la <estimación>(aproximaciones cualitativas) en el proceso de enseñanzade las nociones iniciales en relación a la fracción, como una forma de ayudar al niño a anticipar la formación de <estructuras operativas> necesariaspara crear (buscar)procesosde solución en situacionesproblemáticas que conlleven de forma implícita la noción de fracción. A partir de este momento vamos a intentar identificar las características de la estructura cognitiva que permite manejar la noción parte-todo.

4.1.1. Los atributos de la relacién parte todo Independientementede la aproximación cualitativa, algunas habilidades necesarias para el dominio de la relación parte-todo son la capacidad de dividir un todo en partes, reconocer el todo, realizar divisiones cóngru"nter, reconocer las partes del todo... ^ El manejo de estas (la posesión de la estructura cognitiva que permite realizar estasacciones)ha sido estudiado por pracEr, INHer,nsn y SznmNsrn (1960)indicando que la noción de fracóión en su aspectopartetodo sostenida por los niños (en contextos continuos-área)se apbya en siete atributos (citado por Suvoau, 1979,pág. l5).

..:¡ Un todo está compuestopor elementosseparables. Una región o \r,t '' superficiees vista como divisible.

80

(t. , 1," separaciónse puede realizar en un número dete.rminadode -- partes.El se puededividir en el númerode partespedido' cubrenel todo; ya que algunosniños cuando se 3. Las subdivisiones pastelentretresmuñecos,cortabantrestrozose un lespedíadividir resto. ignorabanel 4. El númerode partesno coincidecon el número de cortes' 5. Los trozos -partes- son iguales.Las partes tienen que ser del mismo tamaño ----congruentes-. 6. Las partestambiénsepuedenconsiderarcomo totalidad(un octavo de un todo se puedeobtenerdividiendolos cuartosen mitades). a El se conserva' \1 Estosatributosfueronampliadospor PnvNE(1976)con los que él veíacomo inicial de estasnociones. para el aprendizaie (esenciales) necesarios esdecir,el manejode los símbo8. Control simbólicode las fracciones, los relacionadosa las fracciones. fñ Las relacionesparte-todoen contextoscontinuosy discretos. 0b Las fraccionesmayoresque la unidad. equivalentes. h. Subdivisiones Tanto la ideade que las partessepuedenconsiderara su vezcomo todos (señaladapor Pncnr), como la noción de las subdivisionesequivalentes relacionadascon la noción de (señaladapor PnvNe)están estrechamente es decir, con la de reconocercuando iraccioneqequivalentes, distintaspartesde un mismo todo, obtenidascon diferentesdivisiones,nos dan la tnir.nu parte de la totalidad,lo cual nos lleva a itir una misma relación parte-todo a través de <nombres equivalentes>>.

Veámoslocon un ejemPlo: Totalidad.

División en dos partes.

Relación 1 a 2 e¡tre Parte Y todo.

División en 8 partes'

Relación 4 a 8 entre parte y todo.

en ambos casos tengo igual parte del total.

8l

Distintas relaciones parte-todo pueden expresar la misma parte de un objeto total. En este caso las relaciones se refieren al mismo objeto fisico, y por ello se dicen equivalentes.

4.1.2. Los contextos de la relación parte-todo La utilizaciín de determinados contextos pueden influenciar el desarrollo de secuenciasde enseñanzactJyoobjetivo sea la adquisición de las primeras nociones relativas a la relación parte-todo.

e inicial para la adquisiciónde las nocionesrelativasal número racional, dentro de esteconceptono todos los contextospresentanla misma dificultad, lo que condicionala clasede materiales(concretos) que deben ser utilizados. obtenemos: De forma esquemática

Relaciónparte-todo: a)

Contextoscontinuos:cuartillas, tirasde paPel,Paiitas...

\ tos continuos, basadas en actividades de doblar papel, pajitas,... las ideas

básicasrelacionadascon la noción parte-todopuedenser adquiridaspor niños de ocho años,mientrasque la utilizaciónde contextosdiscretosen las actividadesde enseñanza puedenocasionaren un primer momentomayores dificultades(PnvNn,1978). Esta opinión contradicelas conclusiones del trabajo de Novu,us (1976) que indica que los dos contextosresultaronser del mismo grado de dificul't tad. El objetivo de las investigacionesde Novu,us consistíaen identificar las posiblesdependencias que se pudierandar entrelas ideasvinconceptuales culadasa la noción de fracción. Entre las ideasque consideróse encontrabanla de asociaruna fracción con el área de una parte de una figura (contextocontinuo),con un subconjunto de un conjunto(contextodiscreto),o con un punto de la rectanumérica. Aunqueinteresantes, los resultadosdebenser considerados con precauclon. I:{,o.ytl¿¡S.pon-c-lu.Igq}e _gl desarr o{9 . de_las- relasip¡res."parfe¡-tg-d.qen contextoscontinuos-ydiscretos5pn-reguisilos previosparael trqpajg_cq¡la recfa.numérica.¡ Además sus experienciasindicaron que la capacidadde asociprgna fraccióna una representaciónen un contextodiscretoo continuo ¿ñi#á at-íiáliá¡o con las relacionesde équivalenciálaii'ertiiites'"hornbies para las relacionesequivalentes). de enseñanza(actividades .,--'-'^Nuestra opinión esque para diseñarsecuencias de clase)debemosoptar por un contexto continuo,en primer lugar, e ir integrandoposteriormenteactividadesen las que se utilicen como faseintermedia objetos articulados para utilizar finalmentesituacionesen las que el (la unidad> estéformado por elementosdiscretos.En estecaso el objetivo de la secuenciade enseñanza(objetivo a corto plazo) serádesarrollar-potenciar los atributosdel conceptode fracción(asumiendoen estecaso i' los señaladospor Pr¡,c¡r et al. y los añadidospor PevNn). Estasconsideraciones tieneninferencias en la secuencia de enseñanza. De forma resumidasepuedeindicar que aunquela relaciónparte-todoes básica 82

4.1.3. L¿ relaciónparte-todocomo generadora del lenguajey símbolos

De algunamanerase puedeentenderque la relaciónparte-todose endel númeroracional.Esta cuentraen el origende las demásinterpretaciones intepretaciónes de las más intuitivas en el niño, por tanto el problemase planteaen que su uso la convierteen generadorade lenguajey símbolos,que van a constituirla basey origendel trabajo con las demásinterpretaciones. Debe tenersemuchocuidadoen la identihcaciónde los símboloscon las así como en la utilizacióndel lenguajeasociadoa las ideasde situaciones, parte-todoque se realizaen estosmomentos.La atenciónespecialque recibe estainterpretacióninicial de las fraccionesnos obliga a ser cuidadososcon las ideasque en ella se transmiten. El lenguajey los símbolosutilizadosen este primer momento pueden de la noción fracción. condicionarla comprensiónde futurasampliaciones (Krnsr-srn, 1986) han señaladoqueel maneAsí,algunasinvestigaciones jo de las fraccionescomo númerosen determinadas tareascomo puedenser: - colocarfraccionessobrela rectanumérica, - nombrar fraccions(entreDdos fraccionesdadas,... son relativamentecomplicadaspara los niños que sólo las fracciones como una descripciónde una relaciónentrelas partesen que seha dividido un todo y el todo.

83

Por otra parte, una inferencia que se debe hacer en el desarrollo de las secuenciasde enseñanzade la noción fracción es el cuidado especialque hav que tener en identificar las manipulaciones concretas,la expresión veJbal,los diagramas, la expresión escrita y los símbolos que se manejan en estas situaciones.(Estas ideas serán descritasa lo largó de las próximas seccio_ nes.) En otras palabras, en un primer momento de la secuenciade enseñanza, el objetivo primordial de desarrollar la comprensión del concepto viene vinculado a la capacidad de que el niño pueda hacer de la noción parte-todo. Esta idea de intentar vincular el objetivo de conseguir la comprensión de la relación parte-todo ala capacidadde representaresta co-preniión conseguida nos presenta otra de las característicasde la secuenciade enseñanza:la necesidadde el significado de los símbolos con los niños. Bajo esta perspectiva,la idea de el significado de los símbolos debe verse como el propósito de llenar de significado los símbolos (la representación de la relación) que los niños utilizan (o van a úilizar) para describir las situaciones que llevan implícitas la noción de fracción. .: Este hecho hace que nuestra atención se centre en las posibles representa. ciones de la noción parte-todo así como en las diferenteslraslacionesde una representacióna otra. (Esta cuestión será desarrollada en detalle en la sección 4.4 de este capitulo.)

4.1.4. La relación parte-todo y el conocimiento informal de los niños una forma de comenzar a desarrollar el ,que pretenda dotar de significado los símbolos que utilizamos para representar el concepto, es dar importancia al conocimiento que de forma fragmentaria e informal llevan los niños en relación a la noción fracción (parte-iodo) cuando vamos a empezar a trabajar estas ideas. También conviene localizar situaciones usuales en las que aunque nunca se hayan trabajado así. Actividades desarrolladasen las auras normalmente que pueden no tener ninguna relación, a primera vista, con el desarrollo de conciptos matemáticos, pueden ser utilizadas a este respecto. Ejemplo de este tipo de actividades pueden ser la construcción de murales o mosaicos en el aula. La colocación de un gran de papel en una pared de la clase,el cual se divide en regionesiguales pu.u gtupor de niños a los que se les pide que realicen sus dibujos pueden-ser ñtilés a través de cuestionesy actividadescomo: 84

-

; la introducción por parte del profesor de divisiones <no normales>.

puedensuscitarcuestiones como, <¿Cómose puedesabersi son igualeslas partes?> Provocando los comentarios de los niños y dejando que sean ellos los que justihquen sus respuestas. La construcción de mosaicos utilizando (cuartos) de distintos colores y formas pueden introducirnos en considerar mosaicos formados por determinadas formas y colores de tal forma que resulten . Actividades de recorte y pegado con hojas de revistas y periódicos también pueden ser utilizadas para este conocimiento informal que pueden manejar los niños sobre las fracciones.Sugerenciascomo, -estimar el tamaño de una foto en relación a la hoja entera; - relacionar el tamaño de algunas fotos en hojas distintas de un periódico, <<¿cuál es mayor? ¿por qué? ¿cómo se puede saber sin recortar ni superponer?... - la introducción de pequeñas a las regularidadesmanejadas puede ayudar a de conocimiento que los niños tienen sobre las fracciones(la clasede Matemáticas no tiene por qué ser sólo la ). Este conocimiento informal, junto al lenguaje que los niños utilizan asociado a él (mitades, cuartos, tercios, quintos,... dividir,... repartir,...)debe ser el punto de partida de las secuenciasde enseñanza.Esto condiciona que al principio, las fraccioneqmás <normales>para plantear deban ser U2, U3, ll4, U5,... aunque M. Gournno (1964, pág. 91) señala que debido a que los <medios> y los >, , (sextos))...vinculados al carácter presentan ordinal de los números, mayores dificultades para los niños.

85

En relacióna la necesidad de teneren cuentael conocimientoinformalde los niños, cabe señalarque la única forma de poder tener en cuentaeste conocimientoes <saberen qué cantidadexiste>,y esolo sabremossi el niño nos lo >. Para eso senecesitaun clima de claseen el que los niños no encuentrencortapisasa la posibilidad de puedaocurrir. Ejemploscomo el anteriormentecitado de los muralespuedenayudara crearun clima de claseinformal en el que los niños comentenlo que hacen, cómo lo hacen,comparensusresultados,... Se pretendefiunto al énfasisque se coloca en estos momentosen la verbalización de los niñosen estassituaciones concretas)realizaruna estrategia de enseñanza en la que el niño seencuentreante una amplia variedadde contextosparte-todo. La situaciónde repartosequitativos(del tipo de alguna forma más cuantitativa)pueden servircomo sugerencias. Tambiéndebenser utilizadassituacionescompletamente artificiaies,como los juegoscon los Númerosen color (eligiendouna regletaarbitraria como unidad,nombrar las otras regletas)en los que los niños encuentren contextosadecuadospara verbalizarsu conocimientode la relaciónpartetodo. Estaposiciónesdefendidapor M. Gourenp (1964)cuandointroduceras fracciones,usandolos númerosen Color,

4.2. RELACIONES ENTRE SITUACIONES CONCRETAS, DESCRIPCION DE SITUACIONES, MODELOS Y SIMBOLOS

En la secciónanterior sehabía señaladoque parte del hechode comprenque der una idea veníaindicado por la (versatilidad>de la representaciones se pueden realizar con ella. Así, si el llegar a comprenderuna idea matemáticaconlleva,entre otras y de poder cosas,la habilidadde <manejarla>en diferentesrepresentaciones las que identilicar habremos de parece claro entre éstas, realizartraslaciones en las que se puedemanifestarla idea de fracción posiblesrepresentaciones (Lnsnel al.,1983). Una situaciónconcretaen la que un profesormuestrauna hoja de papel o con con tres de ellassombreadas, con cinco partescongruentesseñaladas los númerosen color, tomandola regletaamarillacomo unidad para intentar determinarel valor de la regletaverdeclaro, son formas de > la fracción .

ao

...Esnaturalquelos niñoscometanerroresal dar susprimerospasosen el manejodelasfracciones, y no haypor quéasombrarse deello.Seentraentonces en unadiscusión colectiva dondeseexaminan todaslas opiniones, realizando experiencias materiales que decidiránsi aquellasopiniones concluyentes son aceptables o es precisomodificarlas. Só1oasí es posibleaprenderde verdad. Cuandoseniegaa losniñosel derecho a cometer errores, sellegaa sustituirlos y a decirles lo queconviene quedescubran (pág.90). Para resumirlas últimasideasexpuestas podríamosseñalarque la interacciónverbalentre profesory alumnosy entre alumnosmismoses esencial para: a) queel profesorpuedaobtenerdatossobreel conocimientoinformaly fragmentarioque puedantraer en un momentodado los niños;y b) como una fuente.de correcciónde errores.El procesode verbalización que realizanlos niños para comunicarsusexperienciashaceque se reformulen y pongan en acción lo que ellos conocende la situación, lo que ayuda a mostrar suspropiascontradicciones. 86

En este caso el profesor está utilizando modelos concretos de determinadas fracciones. Dibujar en un folio diagramas que intenten representar esta situación,

es otra forma de representar la idea de fraccton.

87

Decir en voz alta ,y escribir enla pizarra< r,<3 quintos>ry <<315>>, tambiénsondireréni;i;;.u, de representación. Las diferentestraslacionesentre r;; ;pi..rntu"iorres raspodríamosindicar medianteel siguiente.diagrama pesn,-re-ar,intro¿u"" tipo a" representaciónlas situacionesdel "o'rri'Jolo mundo real). Diagramas,dibujos

p

/

/

/

/

Formaoral

Formaescrita <3/5>

Las doblesflechasindican que se debenbuscar actividadesou.uf,-u" er niño desarrolle-sucapacidadpara pasar de una representacióna otra en ambos sentidos.Por ejemplo: Actiuidad1. Se le muestraal niño una hoja de papeldobrad&en cinco partescongruentes, tresde ,ascualesestánpintádard; .rj", ;; le pide que indiquequepartedel total estápintadaáe rojo. t' ,r"rníliirl{

Sele pideal niño queen unacuarrillanos cororee de rojo sus

Estasactividadescorresponderíana la traslación del moderoconcretoa forma oral (y viceversa). La representaciónd,elas situacionesque nevanimplícitamentera noción de fraccióna travésde diagramas,dibujoi esquemas, puedeserrearizadacon la intención de proporcionar a lós *o¿"ns de apoyoque les ayudena trasladarsedesdelas situaciones_ "inLt- intuitivas, concretas, a un nivel más formal y sistemático,cgmo puedeser el trabajo íumérico. La descripcióndetallada de algunasde estas traslacionesen el caso del desarrollodel concepto de fracción s i"ur¡ruduen las próximas secciones. En particutar,y dentro del rrabajo "ri áiugru_", rd;ü;j;; lf hs trasla_ . cionesa forma orar v forma escrituj "oo dominar las representaciones de las fraccionesmás sencilas r"brÉ hJ;;ras "onui*, geométricasmás conocidas. Aunque el modero seométrico más usuai ti ,ep."r""dtó, lráfica de fraccioneses el rectlngulo, no cabe duda "o que se pueden emplear muchas otras figurasgeométricaspara expresarra relációnpl.t"-toaá.-Éiientang.rro, cuadrado y el círculo son las que mejor se prestan a representar -figuras fraccionesde denominadorcualeíqui"tu=J"ui¿o a que son fácilmentedivisi_ blesen un número n (n : 2,4,...)i. puri", igout"r. 88

en partes Por otra parte, existen otras figuras sencillascuya división determipara representar ila, no es ün fácil, pero que sepuedenemplear para represenpuede utilizar se fracciones.Así, el triángulo equilátero tercios,sextos,... medios, ,ilf

sextos,.'. ol rombo Para representarmedios,tercios,cuartos,

0 $$ 0 w

el pentágonoregularpara representarquintosy décimos'

Como habíamosdicho,estosejemplossepuedenutilizat para las actividadescorrespondientesa las traslaciones diagramas< : : : = : : : : > forma verbal diagramas< : : : : : -- : :> forma escrita 4.3. EL TRABAJO INICIAL CON LA RELACION PARTE.TODO 4.3.1. Introducción SegúnPncnr, la habilidadde manejarla relaciónparte-todoseapoyaen la capácidadque tienenlos niños de sostenerciertosatributoso habilidades' La identifiiación de estos atributos condiciona la secuenciainicial en en la escuelacon el fin de relacióna las actividadesque debenserrealizadas conseguirsu manejo. 89

La estructuracognitiva sobrela que se basanestosatributos la constituye la acciónde dividir un todo en partes.La forma de realizarla división, el efectosobreel todo, el resultadode la división,...son,cuestionesque han sido identificadaspor Pu,cnr et al. como los fundamentospara manejar la relación parte-todo. Por ello, las actividadesa desarrollaren un primer momento debenestar dirigidas a que los niños adquieranel manejo de estosatributos. Por otra parte habíamos señalado que el contexto continuo (modelo área)podía considerarseel más natural para rcalizarla introducción de estas ideas. Al plantearseuna situación de enseñanzaaprendizajese introduce la cuestiónde realizarel diseñode sussecuencias. Denominaremossecuenciade enseñanza a una seriede actividadesdirigidasa la consecuciónde uno o varios objetivosde aprendizaje.Cada secuenciade enseñanzapuedeestar formada a su vez por otras secuencias de enseñanzadiferütes. Ademáslas secuencias de enseñanzapueden tener una duración de unas horas, unas semanase inclusode varios añoscomo las caracterizadas por los objetivosalargo plazo. Tenemosidentificadoslos atributosa conseguir,a travésde ün contexto continuo, en un primer momento, para integrar posteriormenteactiftdades en contextosdiscretos. Otra cuestióna tener en cuentaesla < de las ideas,desde el plano intuitivo (entendiendola simbiosisque se da al considerarmodelos concretosen situacionesconcretasy el conocimientoinformal y fragmentario que los niños puedan poseerde estasnociones)al plano simbólico pasando por la utilización de diagramasy formas verbalesy escritas. Puedeser convenienteantesde introducirnos de lleno en el estudiode la relación parte-todo a través de la utilización de modelos más concretos, presentarsiuacionesque se puedanconsiderarcotidianasal niño en las que seenfaticede una forma u otra diferentesatributos conectadoscon la idea de fracción.(Recordarlas sugerenciasdel apartado4.1.4.) Situacionesde reparto y medida, tanto en contextoscontinuoscomo discretos,en cuyo desarrollo intervenganideas tales como el considerarel tamaño de la unidad, la necesidadde partescongruentes,o situacionesen las que la propia idea de fracción no es aplicable,puedenayudar a clarificar los distintos atributos necesariospara el desarrolloposterior de la relación parte-todo. Situaciones cotidianasa los niños como las de repartode una tarta entre un número determinadode niños, o el dividir o repartir trozos de cinta de tela para realizar determinadosjuegos, puedenproporcionar los momentos adecuadospara que los niños verbalicen el conoci,mientoque ponen en funcionamientoen estassituaciones. La interaciónverbal entre los propios niños,y entre los niños y el profesorpuedenser utilizadospor esteúltimo para determinarel <<estado de la cuestióu. 90

Juegosy actividadesen las que se fuerce al niño a repartirse distintos materiales,así como que las partes que se formen seancongruentes,pueden iniciar el camino hacia la conceptualizaciónde la relación parte-todo. La sugerenciaen el reparto de una pizza,pot ejemplo,de ayuda al niño a introducirseen la idea de partescongruentes. Este tipo de actividadestambién puedenser realizadasutilizando líquique puedan la experiencia dos conjuegosde vasosy probetas,aprovechando tener los niños en repartirse,por ejemplo,zumo de naranaja,leche...Aunque evidentementeestasúltimas actividadesdebenestar supeditadasal desarrollo en el niño de la conservaciónde los volúmenes.

Dividir un folio o una tira de papel con unas tijeras,ensayandodistintos procedimientospara que las partes obtenidasseanigualesson actividadesa realizar. Situacionesen contextosde medidapuedenutilizarsepara desarrollarlas en partes congruentes. habilidadesde dividir < > La posibilidad de cubrir una mesacon folios teniendoque consideraren algún momento ((partes)del folio para terminar la tarea,o medir la longitud de la pizarra con un láryizy tener que volver a considerar<partes>del lápiz (en relación al todo) con el condicionantede tener que comunicar a los compañerosde una forma clara que parte del folio o del lápiz se han considerado,pueden ser actividades que nos introduzcan a las ideas de (parte de un todo> y partescongruentes en contextosfamiliaresa los niños. Los númerosen color (RegletasCuisinaire)constituyenun materialdiconocidoque tambiénpone de manifiestolas relaciodácticosuficientemente nesparte-todoen los contextosde media(utilizándolocomo representaciones de situacionesconcretas). 9l

Si seplanteala tareaen clasede repartirsedos naranjasque son visiblementediferentesen tamañoentre cuatro niños,la división

o AA 0

4.3.2. El tamaño de la unidad Es necesarioque en las situacionesdescritasanteriormentese vincule la existenciade las fraccionesa la unidad: el de la mitad de una naranja está en función de lo grande que seala naranja. Las situacionesen las que en un primer momento las fraccionestienen un aspectode operador ( > estáformado por varios elementos(unidades),se debe asumir que todos son iguales. 92

puede no convencer de forma directa a los niños, La necesidad de que las partes que le corresponden a cada uno sean del mismo < se presenta directamente.

de reparto,tanto en contextoscotidianoscomo Ademásestassituaciones adecuado,puedenproporcionara los niños manipulativo material utilizando experiencias,en las que de forma implícita, se manifiestanlas relaciones que existenentre el tamaño de las partesy el número de compensatorias partesen las que un todo esdividido (a mayor número de partes,menor esel tamaño de las partes),como un paso previo a la idea de la ordenación. 4.3.3. Situacionesen la que la idea de fracción no es aplicable

Algg"$situaqigne¡{ergp-1{to--ensqq!exe-r-d¡!e¡9!99pf f"-gs{tFBl!e3:|"

siempreespgslbleapllcalla rdeade lr-4ee!en. cuestióna los niños de-gue-.qq én tres círcuios,lridiiirtospiñtados en el ninos cuatro Tíhü-qiie"ñü;iii y un terciode niño en cadacírculo que un niño la solución claro suelo,está no es válida Si hemoscompradoen el mercadouna bolsa con cuatro pecesde colores para nuestrapandade 3 amigos,si nos peleamosy nos tenemosque repartir los peces,estáclaro que un pez y un tercio de pez para cada amigo tampoco es una soluciónválida. en algúnmomentodel proceso --. La necesidad de plantearestassituaciones de enseñanzaes necesariapara enfatizarla relación de las fraccionescon el contexto,frentea la interpretaciónen la que seve a las fraccionessólo como una división indicada de númerosnaturales.

93

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4.3.4. Dos direcciones La necesidadde formalizar y relacionar el conocimientoy las ideas que los niños ponen en funcionamientoen las situacionesanteriorás respectoa la noción de fracción, y, en particular, de la relación purt"-ioáo indica la secuencia que hay que seguir. En estepunto del desarrolloes posibletomar variasdirecciones.por una parte, la realizaciónde secuencias de enseñanzactJyoobjetivo seaformalizar el conocimiento de los niños en relación a ros aiributás identificados por hecer y los añadidospor peyNn, a través de la utilización de materiales másconcretosy estr'.cturado-s, como los experimentados ujuou, universidadesamericanas(pevNn, Err,¡nsnucH, óoxrono,...¡. "n otra dirección vendría definida por la posición de L. S'n¡¡FLAND, que desarrollalas fraccionesbasándose in los procesosy produccionesde los niños en situacionessacadasde la vida reul, generales han sido descritasen la sección3.3 del capitrrlo "uyu, "áru"t"¡rti"u, anterior. ._De forma esquemáticala posición de srnnnr,r,aNDse basa en intentar utilizar situaciones(fenómenos)de la vida rear que ,on o.guniruáo, po, tu, fraccionespara que el aprendiz comiencea manejar y dotar de significado estosinstrumentosde organización(las fraccionesienlstas situaciones.con estaaproximaciónlo que seintentahacáres presentar -is*u,situaciones, lo más variadasposibles,en las que el concepto¿e rracci¿n vlu, op.ru"iorr",

con las fraccionesorganizanla información subyacente.Bajo estaaproximación la realidad sirve como una fuente en la formación del concepto y no sólo como medio de aplicación. El seguiruna orientaciónu otra vienecondicionadopor diferentesfactores.Habría que tener en cuentafactoresde índole interna, como puedenser en relación al procesode enseñanza-aprendizalas creenciasque sostenemos je de las fracciones,en relaciónal desarrollode la dinámica del aula, ...,pero tampoco podemosolvidar factoresde índole externacomo puedenser la naturalezadel currículoestablecidoque puedecondicionarun desarrollou otro. Como vemos,la
4.3.5. Una recapitulación Lo expuestohasta ahora son algunasde las razonesy motivos básicos que debensertenidasen cuentacuandoseempiezaa pensaren los procesos de enseñanzaaprendizaierelativos a las fracciones. Las sugerenciasexpuestashasta este momento intentan ser puntos de apoyo para que el profesor,en virtud del nivel dondeseencuentre,puedadar forma al diseñode su secuenciade enseñanz^qve él crea más indóneo para su situación-aulaparticular. De todas formas existen dos <principios>que se mantienen de forma implícita en la seriede sugerenciasdadas hasta estemomento. En primer lugar, está la necesidadde centrar lps nocionessobrefracciones en contextosconcretos,en un nivel puramentedescriptivo,teniendoen cuentatanto la ideade medidacomo de reparto,con materialescontinuoso discretos...Cuando mencionamoslos contextosconcretos,nos referimostanto a situacionesrealescomo a situacionespuestasde manifiestocon material para los niños dondese maniestructurado.La idea es crear <<situaciones) fiestela relación parte-todo. El motivo de insistir en estepunto esla necesidadde vincular las fracciointentando evitar el problema que ya ha sido señaladoen nes a < , partes de estelibro de que,sin darnbscuenta,a vecesrealizamosuna algunas rápida al trabajo algorítmico con las fracciones,sin demasiado traslación suficientementeal mundo de las experienciasvisualesde haberlas<

94 95

los niños, convirtiéndose así en sólo un manejo de reglas y símbolos sin sentido. En segundo lugar hay que recoger la idea de que el trabajo inicial con las fraccionesse considera un generador de lenguaje. En este punto consideramoser lenguaje (verbal y escrito) como un puente entre la situación concreta y los símbolos matemáiicos y ielaciones con las fracciones. La idea consiste en que los niños a través del lenguaje en primer lugar los (concepto de fratción) que estamos manejando y las relacionesentre estos obietos. una vez señaladoestos dos principios intentaremosderinear ros puntos concretos a desarrollar¡al pensar en secuenciasde enseñanza cuyo ob¡"tiuo sea las nociones iniciales del concepto fracción.

Nombres orales para partes de la unidad: - establecerel nombre de las fracciones; - usar las fracciones para contestar a ¿cuántos?; - identilicar fracciones iguales a uno.

4. Escribir fracciones para representar partes de ra unidad (traslaciones entre las representaciones): - de forma oral a forma escrita; - de forma escrita a forma oral; - de una forma concreta a forma escrita: - de forma escrita a alguna forma concreta. 5.

4.4. UNA SECUENCIA PARA LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO DE FRACCION De forma clara, el desarrollo de una secuenciade enseñanza @n este objetivo queda vinculada a la de los niños de manejar la noción de inclusión de las partes en el todo en la terminología de prnt¡r. Además, en un primer momento vamos a utilizai el modelo referido a contextos continuos en particular los representadopor hojas de papel, folios, cuartillas, hojas de periódico,... La idea de utilizar el modelo rectángulo en un primer momento frente al tradicional modelo de los circulos (tartas),se debe, yu se ha indicado, a que es más fácil para los niños el uso de la forma "o*,o rectangular para realizar partes congruentes,y para identificarlas. Además de que resultan más fáciles de obtener hojas rectangularesque circulares. '4.4.1,: Diferentes nociones en el conceptode fracción

Representarfracciones con dibujos; -

6.

transición de objetos a diagramas; repetición de los pasos anteriores pero con los diagramas.

Ampliar Ia noción de fracción; - fracciones mayores que uno; - números mixtos; - modelo discreto, utilización de conjuntos; - comparar fracciones,fracciones equivalentes;

(Coxrono y Errrnunucu,

1975,pág. 195.)

como vemos en esta seriede puntos se enfatiza el trabajo con los objetos concretos y se presta una atención particular a la traslación entre las diferentes representaciones,tomando en un primer momento como eje los modelos concretos y luego en una segunda fase los diagramas. De forma esquemática tenemos el siguiente cuadro que nos permite ver con mayor claridad la serie de traslacionesque se realizan entre las representaciones.

Los pasos realizadosen la secuenciapropuesta por coxnono et at. (1975) intenta enfatizar los siguientespuntos dél cbncepto de fracción: 1.

2.

96

Unidad: - identificar el número de unidades; - identificar cantidades mayores o menores de la unidad. Partes de una unidad usando materiales concretos: - identificar el número de partes de una unidad; - identificar partes del mismo tamaño; - dividir una unidad en partes iguales.

Concreto

Forma oral

\l

.-

\

t ol Formaescrita I

--rysímbolos

z Diagramas

(Cuadro4.1)

J

i' 97

A continuaciónvamosa intentarmostrar sugerencias de actividadesque ayudena clarihcarcada uo de los puntos anteriores. a.!,?.; Una primeraaproximación Actividadesde doblar cuartillaspor la mitad, consideradas éstascomo unidad,nos introducenen la familia de las mitades,cuartos,octavos,... Si proporcionamosa nuestrosalumnoshojasde papelrectangulares que seanfácilesde doblar (hojas de periódico, por ejemplo),y quedamosentre todosen llamar < a una hoja, sepuedencogerotras y sedoblanpor la mitad. Esto se haceasí para mari'üener siempredelanteuna representación concretade la unidad.

Por otra parte, doblar cuartillas de forma irregular para que las partes que se formen no sean congruentes,nos ayudará a potenciar la idea relativa ¿ilhecho de que las partes sean congruentes.(En algunas ocasionesla comprobación de la no congruencia obligará a la partición fisica del objeto para superponer las partes). También, la noción de considerar la unidad y de que las partes sean congruentesse pueden desarrollar con la idea de repartos de tartas rectangulares y con la sugerencia . Obtener tercios a partir de una hoja rectangular puede ser realizado colocando dos lápices,uno a cada lado del papel e ir acercándoloshasta que pafezca que obtenemos tres partes congruentes en el folio, se hacen dos ieñales en la posición de los lápices y se dobla el papel por esas señales (Coxnono et al.,1975).

para denominar a cada una de las partes, las llamamos (una de las dos> (l de las 2, ll2) que cubren a la unidad, un medio

un medio, I medio

si volvemosa doblar por la mitad, podemos obtener dos alternativas

En un primer momento se podría dejar a los niños la libertad de doblar la hoja de la forma que quisieran. Aparece ante nuestros ojos dos representaciones distintas de un cuarto. La denominación de un cuarto para cada trozo se produce de forma natural después del comentario realizado para los <medios>. Se puede suscitar una discusión sobre el hecho de obtener de la misma de diferente forma. Aprovechando la ocasión y a través del diálogo entre los niños se ayuda a reforzar la noción de <parte congruente> (y no necesariamente<partes de la misma forma>). 98

En otro momento podemos coger otro trozo de papel y rcalizar algunas dobleces. La posibilidad de conjeturar las partes de la unidad que van a salir antes de desdbbhr, ayuda a los niños a trasladar al terreno mental la acción de desdoblar y llamar a cada trozo en relación con el número de partes en que se ha dividido la unidad. La introducción de las palabras ,(<cuartos),(SextoSD,(octavos) se hará para nombr ar cada parte en la que se ha dividido el folio en cada caso. Las primeras actividades deben estar dirigidas únicamente a que: -

los niños puedan identificar la unidad; poder realizar divisiones congruentes; contar el número de partes en que se divide el todo, y en darse cuenta que el número de divisiones no da el número de partes, ni por tanto la fracción. Los niños tienen dihcultades inicialmente en relación a este aspecto.

En estos momentos, Cox¡ono et al. (1975)indican que la observación de los niños puede ser guiada por las siguientespreguntas (ante un folio dividido en cuartos en el que se han sombreado tres de ellos):

99

- ¿Cuál es la unidad?, -¿cuántas partes hay en la unidad?, - ¿son las partes del mismo tamaño?, -¿cuánto es cada parte de la unidad?, ¿cuánto está sombreado? La secuencia de enseñanza se centra así en las traslaciones entre las representacionesdel concepto (indicada con a) en el esquema).

4.4,3, Las primeras traslaciones entre las representaciones. El papel de las fracciones unitarias. El contar ordinalmente puede ayudar a la traslación

€to -

-

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forma oral

además,el profesor puede sosteneren sus manos una hoja de papel en la que se tienen diferentes fracciones sombreadas y el niño debe ir diciendo qué fracción representa. Secuenciasdel tipo , <dos cuartos)), (tres cuartos))...,al mismo tiempo que se va señalando cada una de las partes, pueden ser útiles para conceptualizar posteriormente el (en relación a la relación de orden). Es decir, el trabajo con las fracciones unitarias del tipo lfn, conectadas con los números ordinales puede ayudar a que el niño empiecea construir su red de relacionescon respectoa la noción de fracción. Una buena introducción a las fracciones mayores que la unidad, a las y la preparación parala introducción unidades vistas como <<cuatro-cuartos> de los números mixtos, así como a una aproximación a algunas operaciones, es el contar el número de partes en que el todo se ha dividido. El proceso de contar fracciones unitarias como generador de diferentes fracciones (propias e impropias) puede evitar la restricción que supone el manejo casi exclusivo de fracciones menores que la unidad que tradicionalmente se ha asociado a la interpretación parte-todo. Si el cuadrado es la unidad. entonces

clnco-cuartos .<+

€

uno y un cuarto

El problema posterior de ver los números mixtos como fracciones (y viceversa)puede empezar a evitarse si los niños integran desdeel principio en su red de relacionesdel concepto fracción las ideas relativas a las fracciones mayores de la unidad que posteriormente se podrá representar mediante números mixtos si queremos. Llegados a estepunto, se debe ufllizar la notación de los números mixtos desde un primer momento, y no darles un tratamiento especial. También deben aparecer fraccionesmayores que la unidad, y no centrar la atención sólo en las fracciones menores que uno. Se evitan así algunas difrcultadesque los niños tienen en la identificación de la unidad cuando se les presentan fracciones mayores que uno, habiendo estado identificando desde el primer momento sólo fracciones como (parte de una unidad> de forma estricta. En resumen, creemos que es conveniente centrar la en la idea de fracción unitaria (1ln) y en el hecho de contar fraccionesunitarias. Aumentando el énfasisen esta dirección estaremoscolocando las bases (establecerrelaciones entre los conceptos)para -

-

la introducción de forma natural de las fracciones mayores que uno; ver la unidad formada por todas las partes; el uso de la notación mixta como una forma natural desde el primer momento y como una alternativa a la notación fraccionaria de ciertas fracciones; preparación para las nociones de orden; preparación para las nociones de la suma/resta de fracciones con el mismo denominador y la multiplicación de un número natural por una fracción.

Por otro lado, la suma de fracciones con el mismo denominador puede venir tanto en la secuenciade contar fracciones unitarias, como en la introducción de la notación mixta para las fracciones. Así, el objetivo de esta fase inicial es conseguir colocar las basesde una red de relaciones rica en información. Regresandoal punto de partida de esta discusión,que era la traslación de la forma concreta a la forma oral de las nociones iniciales del concepto de fracción, cabría señalar que la traslación inversa viene caracterizada por el hecho de que el profesor (u otro alumno) pida en voz alta una fracción y los niños deben construirla con el material.

4.4.4, La forma escrita de la relación parte-todo: las fracciones El problema que se puede plantear al intentar colocar de forma escrita todas las relaciones que hasta este momento sólo se habían visto en forma

r00

101

concretay en forma oral, es el orden de los dos númerosque hemosestado manejando-Es decir,el escribir 413por O", Estadificultadsepuede.evitar:, "uu.,or. paiNe (1975)introduciendo r"g,in r.iuru antesde la representación simbóri;" i; ir;; escrita (habiéndose potenciado previamentela forma oral)

Además se pueden plantear dilicultades cuando se manejan fraccionesmayores de la unidad. Aunque se indique a los niños que la unidad es

muchospara indicar la parte sombreadaen la situación

3 cuarros ñ

uo

4.4.5. Los diagramasy la forma escrita Finalmentecuando se hayan cerrado todas las sentidos)entretodaslas formasde representación direcciones(en ambos de ra partea) del e.¡quema 4.1debenempezarse a introducirlos eia;;;;as como del material concretoutirizadohastaestemomento."De todasformasse debeevitar una traslacióndemasiadotempranaa los diagiamas. No hay que olvicar que el objetivoen estosprimerosmomentoses crearun rico bagajeconcretosobre el que poder establecerpoteriormente las relaciones. Ya en la parte ó) del esquema,las actividades a desarro'ar en este momento pretendenque el niño pueda rearizarlu, truriu"ioi"J lu. distintasrepresentaciones en cualquierdirección. "ntr" Entre estas trasracionesexistenutgunu, que resurtanmás dific'es de rcalizara los niños,por lo que se a.U."fr.rtu. una atenciónespecial. En particularen la conexión. Diagrama

(¡-

-)'

forma escrita

a los niños les resulta más fácil las actividades del tipo,

indican5/8 en vezde 514.De ahí la necesidad de prestaratenciónespeciala las tareasrelativasa la identihcaciónde la unidad,reconocerlas partesen que está dividida la unidad y las actividadesen relaciónal manejo de las fraccionesunitarias(del tipo lln) como se indicó anteriormente. Entonces,la utilizaciónde la notaciónmixta (númerosmixtos)debeestar integradaen estosmomentosen las actividadesque consistanen desarrollar la forma escritade las fracciones. Para evitar dificultadesy posibleserrores en la notación se necesita (tres-tercios>> enfatizaren su momento,la equivalencia(cuatro-cuartosD, <dos-medios>>,... a la unidad. Este énfasiscomo habíamosvisto se puede desarrollaren las situacionesde contar fraccionesunitarias. El desarrollode la secuencia ,ncreto-forma oral-forma escrita-símbolos

(y viceversa)puede ser vista de la siguienteforma (considerando el rectángulo como unidad):

%

esto es un cuarlo, ll4

'%ru

dos cuartos,2/4

tres cuartos,3/4

que las actividades en las que se les pide indicar mediante una fracción la parte sombreada de otra figura.

cuatro cuartos,414,o también una unidad.I

%

cincocuartos,514,6| + ll4

102 103

A partir de estos momentos se deben introducir actividades que permitan a los niños ttilizar el conocimiento que han adquirido en relación a la noción fracción. Estas actividades-ejerciciosson las que denominaremos (reconstrucción de la unidad>. Hasta ahora se proporcionaba al niño fracciones unitarias y ellos a través de la secuenciade contar recgnstruían la unidad (el ejemplo anterior se desarrollaba con los cuartos), péro para generalizaresta situación, podemos proporcionar al principio la siguiente situación,

<Estoes los dos octavosde una hgura.¿Cuáles la figura?> De forma esquemática y como guía del tipo de ejercicios que se pueden plantear obtenemos el siguiente cuadro (Cuadro 4.2):

<Si este rentáneuloes los 3/4 de la unidad. intentad construir la unidad entera.)

FORMA DELA UNIDAD REcTÁNGULO

Claramente la realización de este tipo de actividadesrequiere un desarrollo de ia noción parte-todo mayor que cuando se inicia la situación con una fracción unitaria. Resumiendo, podemos decir que estas actividades anteriores de reconstrucción de la unidad tienen una doble versión, que viene determinada por ,r: su grado de complejidad, a) b)

cuando partimos de fracciones unitarias, y cuando partimos de una fracción cualquiera,

Ejemplo: Se parte de fracciones unitarias

Ss pnnrs DE FRACCIONES CUALESQUIERA

así, debemos tener en cuenta estos niveles de dificultad cuando planteemos las actividades de traslación entre las distintas representaciones. Otra variante de estos ejercicios consistiría en cambiar la forma de la hgura
A

Es1/ 4de

n | l-|

|

la f-rgura. ¿Cuál es la figura?

Ejemplo: Es 3/4 de | | la figura, ¿Cuáles la hgura?

Cunr-euInnoru FIcunl Ejemplo: Es l/4 de ^ u r'gura, /\ / \ ¿Cuáles la hgura? Ejemplo: Es 3/5 de la figura, | Ll ¿Cuál es la figura? -

4.4.6. El problemade las citas perceptuales Por otra parte, el uso de diagramaspuedehacer que introduzcamos en el desarrollode las nocionesen los niños.Si a un pequeñasalteraciones ni¡b en esta fasese le pide sombrearlos 314de la siguientefigura

/t\

ffi \

(Esto es los tres cuarto de un todo. Dibuja el "todo".>

\l )

A

<Esto es los dos cuartos. Dibuja el "todo".)

104

sele puedenplantear dilicultadesporque no concibela necesidadde modifi(informaciónvisual que nos ofrecela imagen,que perceptuales> car las < .

105

citas perceptrrales son el uso de liguras no convencionales.por ^,^*O_11ut e.¡emplo,
las Puesbien,en estosmomentos,en los que hemosempezadoa representar y debesímbolos, parte-todoa travésde diagramas,forma escrita relaciones mostambiénponer de manifiesto(ya que realmenteestánimplícitasen estas con las fracciones. algunasoperaciones situaciones) que contamoslas fraccionesunitariaspara identilicar En el momentoen <¿cuántohay?>. -cuarto,y otro cuarto,y otro cuarto,y ...)

o también .

estasituación: se debenya introducir los símbolosque representan

u 4 + u 4 + 1 1 4 + ...

debemospresentarcomo un todo los símbolosy relacionesentrelos símbolo mismo. los, que de hechorepresentan Si el cuadradoes la unidad.Entoncesla siguientesituación:

La introducción de estaspequeñas sólo debe realizarse cuando el niño haya conseguiáo una buena red de relacionesrerativas al conceptode fracción,a travésde ras actividade^s anterioresque debenpermi_ ttrâfianzarsu capacidadpara *"i¡l"i-i", diferentestrasliciones entre ras drstrntasrepresentaciones (considerando ahora la parte ó) ;;i;qr"ma 4.1) usandocomo ejeslos diagrama,y poJ", iarizar modificaciones de las citas para poder encajar-larituu"ion en su esquemade relaciones r:",:tlytr: a relatlvas las fracciones.En palabrasde Bnun, cuando - el niño hubiese conseguidoinformación suficiente para pod"r í"riri, pro""ru,ni"nto - Iógico-matemáticas relaclones "i' der concepro'rrucc¡on (rela:,"rXHtJ:-,*f]s

está representada a partir de la secuencia de contar fracciones unitarias por

u4+rl4+rl4+rl4+rl4 (tantas Ampliandola noción de multiplicaciónde númerosnaturalescomo vecesalgo), esta expresiónse puederepresentarpor 5 veces1/4 es decir:

4.4.7. Las fraccionesunitarias,el contar y las operacionescon fracciones Dos ideas básicashemosestado manejandohasta estosmomentos en relacióna la secuencia.d¡enseñanr^; q;.-ñ,nita conceptualizar las nociones iniciales(atributos)del concepto rruc"¡¿r,lretaciónparte-todo).Estas ideas son apoyarnosen: - Ia noción de fracciónunitaria. v - en el contar dichasfracciones para 106

obtenerIas demás.

5xll4 pero tambiénsabemosque se puederepresentarpor | + 114 (esdecir, 1 1/4)

simbólicasaparecende forma natural si utiliTodas las representaciones zamos como apoyo las fraccionesunitarias y la secuenciade contar. No es que pueden que ocultemosa los niños todasestasrepresentaciones < vocabulario. a su y aparecerde una forma tan clara vinculadas

to7

si utilizamosde forma natural todasestassimbolizaciones para las situaciones parte-todo conectadasa situacionesconcretas,no deberemostener muchasdificultades'enque los niños las puedanmanejardesdeun primer momento. un buenmodelo para apoyarestasrelaciones lo puedeconstituirla recta numérica,siemprey cuando,tengamosen cuentatodas las dificultadesque puedeplantearel asociaruna traccióna un punto de la rectapor partede ios niños(véaselas secciones 3.2.3y 4.4.10)

1 + 1 /4 5/4 1 1 /4

La sucesiónde contar hacia adelantetambiénpuedeinvertirse.contar hacia atrás (quitar fraccionesunitarias),desarrollala idea de restade fraccionescon el mismo denominador. Si consideramos un cuadradode papel como unidad y lo dividimosen partescongruentesde las cualespintamos de rojo tres de estaspar,les,para establecer la parte pintada en relacióna la unidad

lossímbolosparalosniñosnodebeplantearproblemas.Pero.nohayq para las operacioolvidar que desde,.t. fun,o al manejt de los algoritmos nesquedatodavia un largo camino' como: Sin embargo,situaciones tengo 214mis ¿cuánto

enlasquesemanipulaelmaterialySeexpresanverbalmentelasdescr situaci6n, para posteriormente nes y las relacionesentre los elementosdé la hacerlasrrpr.r"nru.*smediantelossímbolos'puedenintroducirnose esteterreno. Enlasseccionesquesiguenmostramosotrosconcretoscuyautiliz aspectosde la relación parte-todo' puede ayuda, u "o-pl"turtiferentes Enellanosevanarepetircontododetalleloquehemosexpuestopa pero dibe ser obvia la posibililos contextoscontinuJs óoJ"ro rectángulo) concretos(tangram' regledad de trasladar las ideasexpuestasuq"t u titot (rectanumérica)si la situación en tas, contexto discreto)o representaciones el aula permite estedesarrollo' 4.4.8. La utilizaciónde otros concretos

si cada parte la hemos llamado un-cuarto la parte pintada es la unidad menosun cuarto,

r_ tl 4 De estaforma seintentaque al desarrollaren estosmomentoslas traslacionesentrelas representaciones concretasde la fraccióny las formasescritas y simbólicasse amplíe la <nociónde fracción>mediantela utilizaciónde diferentesrepresentaciones. Es decir,se pretendeque la idea de fracciónse forme (conceptualice) junto con el inicio a las opeiaciones. una vez abierto el camino,los niños puedenbeneficiarse de la multitud de posibilidadesque se le ofrecenante sus ojos e incluso poder llegar a utilizar combinaciones de operaciones para representar las fraccionesque no hubiéramospodido imaginar. si se tienela suficienteprecauciónpara llegara estosmomentoshabiendo los niños manejadogran cantidadde situacionesconcretasy realizado gran cantidadde traslaciones entrelas representaciones, verbalizandotodas las posibilidades que selespresentendelante,o que elloscreanver,el uso de 108

Elestablecimientoderelacionesentrelosdiversosaspectosdelcon las diferentestraslacionesentre inicial de fracción uri"otlro del desarrollode pueden ser indicadasen el esquemaanterior también las representaciones mostradasapafiirdeotromaterialconcretodistintodelosfoliosydel hojasrectangulares,comopuedeseratravésdelasfigurasdeljuego TlNcnmu(parasabermássobreelTnNcnnu'consultarJ'Er'rrnns'Elj 1982)'cuyaconft::,t:::" especial deformas chíno. Et'toNc*¡'on,Ed' Labor' congruentessin necesidadde partes iuí v ra"ude puedeayuda, u "on"'.fuu1i tener la misma forma' ElTlNcnluestáformadoporuncuadradodecartulinaoplástico figura' dividido en sietepartes,como muestrala

109

a parte de los diferentesjuegos de índoles geométricosque se pueden organi_ zat, la noción parte de lu *i¿u¿, **úr", de las partes,...también encuen_ tran con figuras un buen campo áe desarrollo. 9¡.tT La fac'idad de construcción de estas figuras hace posible que todos los puedan

ffi,T",1eu,Haula

oisponer á"ilua..iul pu.ui*uájá. ,n grupo,o

La potenciaciónde ros procesos de verbarización de los niños en las diferentes actividades.qu. r" pu.áun á.iirr-otu. con este (aspectolenguaje>adquiera haceque er iu verdaderadimensiónen -ui..iur de llegara la conceptuarizacióndela relació"-fu*.l,oto. "t;;;. Las fases de trabajo con este materialmanrienen,los mismosupu.tuaá,descritosp";; ;r;;;os de papel rectangulares, atendiendoa las diieccion",¿"1 ,rqu",nu-a.-üs rlprerentacio_ Además

ffi1Jrj?*::iones'

potencia nociones comolaso" suf"rnci"s equiva-

otro materialestructuradoque puede ayudara conceptualizar todaslas nocionesy reracionesindicadas'so"'ior Númerosen color. No "ono"idos deeste."i;;il;.;que

consideru_o; q;; essuficien_

lil:H'ff:mención

4.4.9. Los contextosdiscretos Al principiode estecapitulo,habíamos señaladola necesidad de incorpo_ rar en un momento dado a ra secuencia de enseñanz;1;;;; conrextos discretosdondela relaciónp"r,"-irá. presente.El motivo consistía en presentardesdediversasperspectivas "rluui"ru la noción de fracción.Se intentaba evitar asi que la formación ¿e ¿sta lrü u¡n"rruda sólo a determinados concretos'podríamos_ entenderesto como una expresión del principio de Drc¡'¡Bs de variabilidadpercepriv"i;;r;;;i; percepción, mantenerla reración (estructura)matemática).oJ toaas for;; iuy iu" ;;;"t""res que ra

1hcha,, eu,uui,o,, ) puede ;H:iHTrlH:1];iXffi:""1;* ffiiretos

El énfasisque se rearizoanteriormente s.ob_re er paper que juegan las fracciones unitariasen la_concep,""l¿".i0" de la relaciónpárte-todo,u.n_ a inrenraraIIan

*X".lr:i"ff :

ar

; ; i_Jin;uItad; ;;il; "lc

ri-*,* n conrex_

Si tenemosun conjunto de cinco fichasy consideramos que

ooooo ;:ilt:ltj:t' 110

cadaficha se consideraun quinto de

Las dilicultadespuedenempezarcuando hay que considerarpartesde la unidad formadaspor diversosobjetosdiscretos:

,,C- Q ' o o o o o o o o sonun quintode la unidad.> n"n". oscuras -t* Reconociendolas difrcultadesque puedanaparecer,las actividadesque planteamosdebenestardirigidasa: - reconocimientode la unidad; - reconocimientode partesde una unidad,y - ¿cuántaspartes? En un primer momentolas situacionesque sedebenpresentarson aquemás familiaresa los niños llas que conllevanfraccionesque consideremos que estéformadade tal modo y la unidad (medios,tercios,cuartos,...) en las (subgrupos de un elemento). partes una ficha que las coincidancon unidad como Si consideramos

ooo <¿lopuedo separaren tres grupos iguales?>

iO iÓ; O <¿Cuánto es un grupo del total?>: < , >,<1 tercio>, <1/3>.

Si consideramos como la unidad

oooooo <¿puedosepararlosen dos grupos iguales?>

e-ao; O-o--ó; la unidad sin demasiados

<¿Qué es cada grupo en relación a la unidad?>):(una de las dos>, , <1 medio>. <1/2.>

111

Hay que evitar que los niños puedan confundir la cantidad de hchas en cadaparte (subgrupo) con el número de partes que se tengan. Esta situación se puede presentar en: <Si consicléramoscomo unidad

oooo

(0__a'.p___o; ¿Quées cadagrupo en relacióna la unidad?> La expresión <dos grupos iguales>> y <dos fichas en cada grupo> pueden llevar a confusión. La comprensión errónea de la relación parte-iodoque se da en esta situación se nos muestra cuando algún niño puede tener dificultades en determinar los tres medios en la situación en la que perceptualmente se induce a ver dos grupos de tres.

ooo

,.,

Para intentar evitar estas confusionesse deben introducir actividades en que sean distintos el número de fichas en cada grupo y el número de grupos, siguiendo la secuenciadescrita en la actividad anterior. De todas formas el uso de la fracción unitaria y el contar los grupos formados ayuda a conceptualizarla relación parte-todo en contextos discretos también. Por ejemplo, si consideramos como unidad

ooo o o o formamostres gruposiguales ,'ó-ó'l \1,, '.r_u__

iÁ-ñ', ..V_ _V_r, íî.\/_ _!/i ^, ..un .,unode tres,', <¿qué escadagrupoen relacióna la unidad?: tercio".> Luego:

iTY^ -^

Yi

(0-O

untercio

(ÓO

doste¡cios

-

separarlosen dos gruposiguales? ¿puedes

ooo

Estas actividades se pueden realizar siendo los niños las dtchas>>.

lñ-Al rÁ-^' lórres rercios '\l_ _v;''.Y _Y,'.:_ _ _O'; _

Formar grupos que se consideren como la unidad; subdividirlo en subgrupos de igual tamaño (con el mismo número de niños en cada subgruPo); ¿cuántos subgruPos se han hecho?; ¿cuáles el nombre de cada subgrupo en relación al grupo total?

Por ejemplo, si teníamos en un primer momento un grupo de diez niños' hacemossubgrupos,supongamosque cinco. Cada grupo es uno de los cinco en que se ha dividido la unidad, es decir, un quinto (1 quinto, 1/5).En estemomento otro niño distinto a los que están en el grupo puede ir señalando cada grupo diciendo: < <dosquintos>,... ... haciendo al mismo tiempo que se vayan reuniendo. Al llegar al cinco quintos, obtenemos otra vez la unidad. Se puede ampliar la idea de fracción a fracciones mayores que la unidad, formando con los demás niños otros subgrupos del mismo que el que habíamos llamado un quinto (es decir, grupos formados por dos niños), y proseguir el proceso de ir añadiendo al grupo inicial, obteniendo fracciones mayores que uno. Al mismo tiempo que se está realizando esta actividad, podríamos tener unapizarra de franela (o un gran póster-mural de papel) en la que tenemos pegada fichas que representana los niños. En dicha pizarra, manteniendo visible un grupo de diez firchasque representan la unidad, otro niño podría ir representandolos distintos grupos que se van formando, emparejando grupos de fichas con tarjetas que indiquen su representación(forma escrita, símbolo) como fracción. En la pizarra de franela vendría representada una situación como la siguiente: unidad

tr-trcn tr8trD tr

@ @@ @ @@ @@@@ ____.>

I quinto: 1/5

-->

2 quintos:U5 + ll5 : 215

I

3 quintos:ll5 + 115+ ll5 : 315

-

4 quintos:115+ ll5 + ll5 + ll5 : 415

-

Al mismo tiempo que se van contando, es interesante que se vaya señalando con el dedo cada grupo. lt 2

il3

Todo este proceso debe ir acompañado de un diálogo entre los niños y el profesor y entre los propios niños discutiendo lo que está ocurriendo. El lenguaje debe estar considerado como un >en la formación del concepto. Las diferentes organizacionesde los datos, expresionesutilizadas, símbolos,...deben ser integradas por los niños dentro de sus esquemasde relaciones de la noción fracción, y para eso es necesarioque expresenverbalmente lo que ellos <están viendo> que está sucediendo en esta situación. La utilización de todas las representacionesmediante símbolos que puedan manejar los niños debe ayudar a mejorar la conceptualizaci1nde la idea de fracción por ellos. Expresiones del tipo , <dos menos tres cuartos>>,< a través de los símbolos:

5xll4

,1+tl4

,2_314

,514

otro materialquepuedesugerircontextos discretos puedesercartones

de huevos. La relación parte-todo puede ser vista de formá clara al comparar el número de huevos en los huecos en relación al cartón entero (¡¡indépendientemente de lo fácil que pueda resultar obtener este materialllj. Para completar esta serie de actividades,recordamos en estos momentos, la necesidadde introducir las actividades de reconstruir la unidad a partir de cualquier fracción. Por ejemplo: (Si

!!¡ ! !

¡trtr

¡

es los 3/4 de la unidad.¿Cuáles la unidad?>

De todas formas, tanto con los niños como con los cartones de huevo o las fichas, la estructura de la secuencia de enseñanzaes la misma que la descrita a través del esquemade las ,enfatizando las ideas indicadas en los puntos 1-5 de la secuencia descrita por Coxnono et al. (1975) (sección4.4.1 de este capítulo).

Apoyados en la idea de medida, los niños pueden empezar a utilizar la recta numérica en su trabajo con las fracciones.Si cada segmentounidad lo dividimos en cuatro partes, la recta numérica apareceríacomo

o-123 cada parte del segmento unidad recibe el nombre de un cuarto' y utilizando la longitud podemos dar nombres a cada punto, 9123 ¡

,

,

rl4

,

I

r

I

214 314 414 sl4

¡

¡

I

614 714 814 el4

|

'

'

'

'

'>

r+ r 1 4 r*u;*tlo

Las actividades iniciales deben consistir en establecrasociacionesentre puntos y fracciones habiéndose realizado un número determinado de divisiones ,.g-"nto unidad (lo que determina el nombre de cada división). .n "l I

¡

o

|

't/s D

,

I

L

t

1

315 tr

tl

trtr

I

¡

7/5 El e/5

I

I

2

|

|

|

't>

tr

El énfasis en la asociación de la fracción a un punto debe estar dirigido a superar las dificultades y problemas que los niños tienen con esta representación señaladosen la sección 3.2.3 del capitulo anterior' Es intresante que los niños hayan superado las dificultades del manejo de la recta numérica si pretendemos usarla en el desarrollo de nociones posteriores como puede ser la equivalencia de fracciones. Algunas actividades que nos indiquen el grado de manejo que muestran los niños con la recta numérica pueden ser del tipo siguiente:

5/6

4.4.10. La recta numérica La idea de fracción asociada a un punto de la recta numérica (caracterizadaen la sección 3.2.3)pertenecea un nivel más abstracto en relación a lo que hemos estado mencionando hasta ahora. Sin embargo, si los niños están acostumbrados a manejar la recta numérica como un recurso didáctico en su trabajo con las operacionescon los números naturales puede que esta identificación punto-fracción no sea tan dura.

r14

1/3 Está claro que el nivel de desarrollo de estos ejercicioses distinto que en los contextos continuos y discretos. El carácter más abstracto que muestran estas actividades hace que Se deban retrasar hasta que el niño tenga un manejo correcto de los diagramas y símbolos desarrollados en los otros contextos. Las dificultades que puede

115

presentar el manejo de esta representaciónhace que debamos ser prudentes para evitar que los niños lleguen a realizar manipulaciones de símbolos que pueden no tener sentido para ellos. El hecho de que en la recta numérica (cuando se prolonga más allá del uno, como suele ser el caso) se deba tener en cuenta la relación entre el denominador de la fracción y el número de subdivisiones del segmento unidad, establece una diferencia con los contextos continuos o discretos (Novnus, 1980). En este caso aparece ya de forma implícita la noción de equivalencia. Por todo ello debemos tener precaución si llegamos a utilizar este modelo para representar las sucesionesde contar fracciones unitarias. 4.5. VARIOS NOMBRES PARA LA MISMA RELACION. LA IDEA DE EQUIVALENCIA Al plantear tareas de clase en las que se desarrollan las nociones iniciales del concepto fracción, tanto en contextos continuos, discretos,como con la recta numérica, a vecesse pueden plantear situacionesen las que la relación de la parte considerada y el todo puede venir descrita mediante parejas de números distintas.

''wma 4de 8

%77 2de4

T

4d e 8

1de2

(4,,!@rti'O'liO',íáá,,róór 'r9'\9-/ '@,''@/ 2de4 tde2 "?9r",,_O__O.ri 4de8

o! l

como discretos. De todas formas la idea matemática de equivalencia puede tener varios niveles de sofisticación. El manejo de esta relación en situaciones concretas (continuas o discretas) no tiene por qué inferir el manejo correcto de los símbolos matemáticos

tl 2 : 2 1 4 : 4 1 8: . . . 213: ?16

b)

@ @o o @ @o o

f

La importancia de la idea de equivalencia de fraccionesse debe al papel clave que juega en diversos aspectos:en la relación de orden (ordenar dos fracciones,insertar varias fracciones entre dos fraccionesdadas),en el desarrollo de los algoritmos de la suma y resta de fracciones de denominador diferentes.En un nivel más elevado, la conceptualizaci'ln del número racional como clases de equivalencia de fracciones (entendiendo como clase de equivalencia el conjunto de todas las fracciones que describen la misma relación entre la parte considerada y el todo). Además, la idea de fracción equivalente,sintetiza algunos de los atributos identificados para manejar la noción de fracción como (Pncnr et al.) y <subdivisionesequivalentes> (PnvNr), es decir la habilidad que puedan desarrollar los niños para poder considerar una parte de un todo (un subgrupo de un grupo) como una iegión (subgrupo) no divida y como una región (subgrupo) con divisiones. Además, como habíamos señalado anteriormente (sección4.1) son requisitos previos para la comprensión de la equivalencia el haber desarrollado las ideas relativas a la relación parte-todo tanto en contextos continuos

2de4

l de2

por tanto el trabajo en la escueladebe ir dirigido a que los niños desarrollen en un primer momento estasrelaciones(la equivalencia) en contextos concretos (continuos y discretos) potenciando la capacidad del niño de realizar traslaciones entre las representacionesconcretas, así como de realizar las traslaciones a la forma oral, escrita y simbólica, según el esquemade la sección4.4.1. No podemos describir todas las actividades necesariasen relación a cada una de las representaciones,y a las traslaciones entre las representaciones, porque la extensión de este volumen no lo permite, pero debemos decir que €n estos momentos, aparte de desarrollar una relación (la equivalencia) se pretende fundamentar una regla por lo que creemos que la secuencia de actividades debería venir determinada por el siguiente esquema, modihcación del aparecido en la sección 4.4.1. Concreto

Esta posibilidadamplíael ámbito de las nocionesrelativasa las fracciones (relaciónparte-todo).Estas situacionesdescribenel signilicado de la equivalenciade fracciones. lt6

Simbolos

Diagrama

tt7

La forma oral sobrerasflechasindica que en estemomento el lenguaje,la verbalizació,nde lo que seestáhaciendo/pénsando, debeconstituir er vínculo de unión (medio) para pasar de los concretos/diagramas a los ,i,nuolor. La habilidad del niño en rearizarlas diferentestraslaciones, así como su paulatina independenciadel material concreto se pueden índicesdel desarrollo de esta idea matemática. "orrrid"ru, "o-o otraparte, la dificultad de la equivalenciade fraccionesradica en el lo. hechode tener que vincurarras manipuiacionesque se rearizanen contextos concretoscon la regla de obtener fraccionesequivalentesen el niver de los símbolos.Es decir, en un contexto continuo (modelo ,""tárg;i"testablecemos nuevasdivisionesen el todo o ignoramosparte de las q-ue puru encontrarfraccionesequivalentes;en un contextodiscreto."áüru-o, "*irt"r,nuevas reordenacionesde los elementos(fisicao mentalmente)para obtenerfraccio_ nes equivalentes. Así, estasactuacionesen el nivel concretohay que vincularlas a la regra de tener que multipricar o dividir er numerador y el denominador de la fracción por el mismo número para obtener fracciones "q"iuur"ni"r,

f-ol "! 4+ 4 8+ 4

,/bJ\ 1

4x2

8

2

8x2

16

Además se presentael hecho de que los niños en un nivel _ simbórico iten con mayor facilidad el procesóde obtenerfracciones con términos mayores(mediantela multiplicación)que el procesode obtenerfracciones de términosmás pequeños(mediantela divisiónl. El tener que fundamentat ra rqgla que produce fraccionesequivalentes hace que tengamos que secuenciardebidamentelas actividades evitando pasarrápidamentea la manipulaciónde los símbolos,sin que estasmanipulacionestengan un apoyo concretofuerte. posteriormentedebemos intentar que el pensamientode los niños seindependicedel material y de las manipulacionesdel mismo para que seconvieriarearmente en erabóraciones mentales. Este es el de la cuestión,casi un arrna de doble filo. De.todas formas,pareceser que las secqencias de enseñanzabasadasen -las actividadesde doblar papel resultanefectivaspur" p.oposito (Bon,rN,1971,citado por pâ.vun,1976). "onr"g.rir.rt" A ello seañadela necesidadde utilizar un solo rnodelo(modelorectángulo, en el contexto continuo) en ra rearizaciónde las actividades,ya que la utilizaciónsimultáneade contextoscontinuosy discretospueae perjudi_ ser cial para la adquisiciónde la reglaque permiteobtenerfraccionesequivaljntes.

r 18

Sin embargo,es de suponerque en un momento posterior de la secuencia de enseñanzaserá útil proponer actividadesen contextosdiscretosque requieran el manejo de la idea de equivalencia.Eso hará que los niños tengan la oportunidad de ampliar su noción de equivalenciaa situacionesque en el mejor de los casosnecesitanuna manipulación previa (en el plano de lo concretoo mental)para poderserealizar,ademásde que si utilizamos fichas como concretos puede ser que no haya una unidad predeterminada.Por ejemplo,si tenemosla representaciónsiguientepara dos sextos(2/6),

@ @o o o o para obtener una representaciónde un tercio (1/3) hay que realizar un reagrupamiento(manipulativa o mentalmente)de las fichasy considerarlos grupos formados por dos fichas.

t,a__@;(A _0)'lQ_O

Pero por otra parte,si queremosobteneruna representaciónde 4112,deberemos considerar como unidad, por ejemplo, un grupo formado por doce fichas con cuatro de ellas coloreadas

@oooo @o o o o

@ @

4112

teniendoque reagruparlas fichasde dos en dos para obteneruna representa ción del 216(queesla situaciónde la que partíamos)para poder establecerla equivalencia.

ttb'tidtíoliOrOlíoi I

t r

l¡

ll

lt

ll

I

loi'.9 tg/ \@), \9,1 -@)

Este hecho de tener que fichas deben estar en cada subgrupo, hacen que el manejo de este concreto sea más complejo. que busquela genera de enseñanza Lo anteriorjustificaque la secuencia con términosmás grandes equivalentes de fracciones lizaciín en la obtención único concreto. como modelo rectángulo del en la utilización se base

119

De todasformasno hay que destacarla posibilidadde utilizar contextos discretosposteriormentepara ampliar la relativa a la equivalencia,cuando ya nos hayamos aproximado a la regla de encontrar fraccionesequivalentesen el nivel simbólico. En lo que sigue vamos a intentar describir las características de la secuencia de enseñanza basadaen el contextocontinuo,modelo rectángulo, y desarrolladamedianteactividadesde doblar papel. Si tenemosdos hojas rectangularesde papel con dos tercios (213)som_ breadosen cada una dos de tres, 2-tercios.2l3

En estosmomentosse suponeque los niños ya no debentener problemas con las nocionesrelativasal conceptoinicial dé fracciónpara podór introducirlescon éxito en estanuevasituación. Entonces,mientrastenemosuna hoja delante,encimade la mesa.con Ia d otra realizamosla siguientesecuencia.

<<Encuántaspartes estabadividida antes?>(sólo hay que comparar con la hoja que tenemosdelante):en tres.)) <En la que tenemosahora, ¿quées cada parte de la unidad?:un sexto.)) <¿cuántossextostenemossombreados? (mientrasse cuentaen voz alta ir señalandocon el dedo):cuatro sextos.)) <¿Cómolo representábamos?: 4f6.> colocando las dos hojas de papel que teníamos, una al lado de la otra. con la fracción que indica la parte sombreada.

213= 416

120

Estasactividadesesimprescindiblequelashaganlosniños.Tienen suscomenvalor si esel profesorquien realizala manipulaciónguiando con es vital para personal, manipulación la de trabajo El tarioslas observaciones. que se estánrealizando. la interiorizaciónde las transformaciones la atenciónde los niñoshacia trasladar es momentos El objetivoen estos relación al las modilicacionesque sufre el número de partes sombreadasen número de partesdel todo. SegúnEr.r-nRBRUcHetal.(|978): Asi indican:

ru

El número total de las parteslo hemos multiplicado por dos, el número de partes sombreadastambién lo hemosmultiplicado por dos' 4de8

Los cuartosestánsombreados. 2de4

Podemosmostrarlaequivalenciaconectandolosdiagramasrectang que ,", y lu recta numérica.És una forma de organizarla información regla' la a poseemosen estosmomentos,que puedeayudara aproximarnos de 'S;;p;; en las actividadesde gtnétu. la familia de medios,de cuartos' unitarias' fracciones de contar tercios"..que salena partir de lás secuencias Si iodós los dobleieslos realizamosde forma verticaltenemos, Familia de los medios: Familia de los tercios: Familia de los cuartos:

I

lr: rll

I

l' l' l'l '! ttz

ó

2/4

i

stz

2

2/2 3/3 4/4

6/4

4/2 6/3

t'!'l 'l 3

612 9/3

t2l

rsra representaciónpuedeser más clara aumentandoer número de fami_ lias consideradas.Así seobtienenlr" r¡g"ü,"s fraccionesequivalentes, entre

r/2 : 214 l:tll : 2/2:3¡3:4/4:... 312: 6¡4 2:2/t: 412:6/3:gl4:... 5/2 : 1g¡4 3:3lt: 6/2:9¡3:t2/4:... si toda esta información la podemos colocar en una gran pizarra d,e franela en er aura, ra dirección estosmomentos es descubrir el modelo numérico que se sigueen "'G;i;; ta generaciónde fraccionesequivalentes. La ventajade podermosrrartanta inform*tó;;i;;;;#;", a través de Ios datosorganizadosenra pizarriá" iün.ru, esquefacilitael determinar la regla que se sigueen todas rásfamitias áe fraccionesequivarentes, al tener ante la vista varias de estasfamilias. El objetivo de utilizar estegran

4x

122

:_

3? 4t2 c) Dadas dos fraccionesy un nuevo denominador,encontrarfracciones equivalentes. >

2?3 -:3r24

? l2'

d) Dadas dos fraccionesencontrarfraccionesequivalentesa las dos, con un denominadorcomún. El algoritmoque estosautoressugierenes elegirel denominadormás grandede las fraccionesdadase ir intentando múltiplos sucesivos. El verdaderovalor de estosejerciciosse encuentraen el análisisde los procesospersonalesconjeturadospor los niños en su trabajo en pequeños grupos y en las discusionesposteriorescon la claseentera cuando cada grupo presentay justificasus procedimientos. En las secuenciasde ejerciciosde este estilo, los niños encuentranmás fácilmentelas solucionescuando lo que apareceson relacionesde múltiplos, por ejemplo:

3? 4t2 en dondepara pasarde 4 a 12 multiplicamospor 3, luegohay que multiplicar el 3 del denominadorde la primerafracciónpor el factor 3 para obtener el numeradorbuscado. Sin embargolos niños tienenmás dificultadesen los ejerciciosen los que no se da estarelaciónde múltiplos,por ejemplo: 912 -:t2?

así, los siguientesejerciciosse pueden proponer para ayudar a la generalización.

i) 2 x 2

b\ Dada una fraccióny un nuevo denominadorencontrarel numerador

ii)3x?_ 4x?-

en estecasoel paso de 9 a 12 no es a travésdel producto de un número natural. de ejerciciospropuestapor Ennnnnucr et a/. (1978)se En estasecuencia que en todo momento los niños puedenrecurrir al material sobreentiende para comprobar sus resultados.

123

Además, la verbalizaciónde todos los pensamientos subyacentesa Ia manipulación, sea de símbolos o concreta, ayudará a interiinzar la regla puestade manifiestocuando se construyen familias de fraccionesequivalentes a una dada. Esta secuencia,con la que se obtiene el procedimiento para obtener fraccionesequivarentescon_términosmayores, debería con acti_ vidades-ejercicios de simplificación: ""-pl"tá^" 362??153 : 60:30: 15 10

n: i que ayudarán a mostrar la regla en todos sus aspectos. Hay que recordar que estosejerciciosson sugerenc ia de aüiuidades que ayudenal profesora estructurarsusaccionesdocátes. g. J*ir,; debenser consideradoscomo ejerciciosindividualesa rearizarpor cada niño sin antes habersedesarronadoalgunascrasesprevias de diálogo-¿ircuriáo pequeños y gran grupo. "n ,, Y-" dentro del campo-delos símbolos,existensugerenciassobrela forma de aftanzarla regla de obtención de fraccionesequivalentes, que sfrpoyan en la delinición del elementounidad. ..1

2..,

J' '

:

2 fú l

zr3 6 t *l¡j: i , s : o

La introducción de la multiplicación de fracciones, favorecela utilización de estassugerencias.En el capítulo siguienteveremosqué ror-u pu"á"n adoptar. También puedeser útil aprovecharla conexión entre hs iraccionesy los decimalespara determinarla equivalenciade fraccioner. si Áuol¡o de los decimalespor los niños nos lo plrmite, podemos "r utilizar la calculado ra paÍa mo'trar.dicha equivarencia.se enfatiza en esta situación la conexión entre las fracciones,la división de dos números naturales y los decimales. 6

t: 2 ,:

6 :3:2 3:2:

; 1,5 |

t2 : 12:6:2 6 6 4:6:4:1,5

Por otra parte el y19jo de la equivalencia de fraccionesnos puede permitir acercarnosa la idea de la densidad de los ,rn-"ro, racionales, medianteactividadesde búsquedade fracciones(entre)) otras dos fracciones dadas. A continuaciónvamosa ver cómo seutiliza la idea de fracciónequivalente para determinarla relaciónque existeentre er < r d" ;;; iracciones. 124

4.6. LA COMPARACION DE FRACCIONES. LA IDEA DE ORDEN Una de las aplicacionesde la idea de fraccionesequivalentesse pone de queremoscomparardos fraccionesy determinarsi una es manifiesto, ",runáo más pequeña,igual o mayor que la otra. Oe tó¿asformas,el compaiar dos fraccionescon el mismo denominador, sepuedehacerdirectamentecomparandolos numeradores.Estasactividades debenseguir la misma secuenciaanterior, empezandocon concretosy mediante la-explicaciónpor parte de los niños de lo que se estálaciendo, o de r" está haciendo determinada cosa, hasta llegar al la razbn pór la "u"l símbolos. manejo de los Por ejemplo,al comParar416Y 516:

(traslación al realizarlos doblecesde papel y sombrear la parte indicada la unidad tener fracción), concepto del símbolo-materialen la secúencia apoya' es inmediata, partes la comparación de separadaen el mismo número numeradores)' los (el de orden naturales números dónos en el orden de los <<4vecesun sexto y 5 vecesun sextoD, y como cuatrO es menor que CincO,tenemosque cuatro vecesun sexto es menor que cinco Yecesun sexto. La primera dilicultad se presentacuando hay que comparar fracciones con denominadoresdistintos, por ejemplo 516y 213.La construccióncon material de las fracciones,y la comparacióndirecta, puede ser un primer intento a realizar.Pero el propósito de la secuenciade enseñaÍzaes conseguir una independenciapaulatina del material, y pafa eso, si c€ntramos iuestra atencién en lo que podemoshacer cuando comparamosfracciones en material, encontramosque, con el mismo denominadorrepresentadas - podemoshacer la comparacióndirecta,y - podemosapoyarnosen el hecho de compararel número de fracciones en cada fracción' unitarias que < Una de las ideasimplícitas en estaúltima tarea es la necesariacomprensión de la relación invirsa entre el número de trozos de la unidad y el tamañode las Piezas(Cuadro4.3)' 125

Cu¡dro 4.3

O I O I

I

&

Una actividad (Posr et at-, 1987)que pone de manihestoesta relación puedeconsistiren que los niños comparenante círculosde distintos colores iinididor en diferentespartes el númerode partes que cubrenla unidady el tamafrode las partes. Colocando los niños por parejas y tomando como unidad el círculo (todo) sepide a un niño que divida su círculo en cuartosy al otro el suyo en sextos,planteándosea continuaciónpreguntascomo: ¿encuántaspiezasse ha dividido el círculo?; ¿quién tiene más Piezas?; ¿quiéntiene la Piezamás grande?

y el anotar las respuestasen hojas aparte puedeayudarlesa darsecuentade ia relación inversa existenteentre el número de trozos en que se divide la unidad y el tamaño de cada trozo. Pauiatinamente,las cuestionesdeben plantearsede tal forma que los niños deban contestara las preguntasprimero y luego comprobar sus res(si lo creennecesario)utilizando el material. puestas ^ Además,los niños puedenutilizar diferentesprocedimientospara realizar las comparacionesdependiendodel tipo de fracciones.La estrategiadescrita al principio para fraccionescon igual denominador@16y 516)de comparación dirécta utilizando esquemasde ordenación de los números naturales no son válidos cuando las fraccionesque tenemostienen igual numerador pero distinto denominador,como por ejemplo 3la y 315.En estassituacio' nes, haber conseguido una buena comprensión de la relación entre el número de piezasy el tamaño. De las piezaspuedeayudar a que los niños ante esta siiuación considerenque como los cuartos son más grandesque los quintos entoncesla fracción 314 debe ser mayor que 3/5, con lo que actividades como las descritas anteriormente que intentaban poner de manifiesto la relación entre el número de piezas del total y su tamaño adquierenuna gran imPortancia. iinalmente, en h cómparaciónde fraccionesdel tipo 516y 213es donde las diferentesestrategiasutilizadas por los niños en los casos anteriores pueden mejorarse.Tanto el contar fraccionesunitarias como los procedimientos de fijarse en la comparación del tamaño de las (partes) pueden introducirnoJen la utilización de estrategiasque puedanjustilicar el uso de algún algoritmo. Así por ejemplo, con la introducción a la comparación de fracciones basadaén la comparacióndel número de fraccionesunitarias,seestablecede forma natural la necesidadde tener fraccionescon el mismo denominadot cuando queramoscomPararlas.

127

Ante las fracoiones213y 315: <<213 es dos vecesun tercio>r, <3/5 es tres vecesun quinto>, necesitamostener la misma fracción unitaria, ro que se traduceen la necesi_ dad de obtener fraccionesequivalentesa cada una de las fraccionesdadas pero con el mismo denominador. Siguiendo la secuenciadescrita anteriormente, ro intentaríamos con múltiplos sucesivosde cinco (el denominador más grandede las dos fraccio_ nes).Así, 5x1:5,

5x2:10,

5x3:15,

...

hastaobtener un múltiplo de 5 que también lo fuesede 3, con lo que:

2t0 3:3t5:15 J

5

5x3

"?

9 15

la utilización de una unidad formada por quincefichas,sólo sepuedeconcebir si previamentese ha realizadouna elaboraciónde los datos en el nivel simbóiico.Este hechoes lo que algunasvecesse ha llamado la existenciade un (esquemaanticipatorio))para realizarcon éxito la tarea (delo concretoal símboló,reorganizációnde la situaciónen el nivel simbólico -¿mental?- y vuelta otra vez al nivel concreto). La dificultad que plantean estastareas,hace que puedan ser utilizadas el aprendizajeque se ha realizadodespuésde haber desarropara < iludo unu secuenciade enseñanzaen contextoscontinuos,apoyadaen la idea de fraccionesunitarias para justificar la necesidadde obtener fracciones equivalentespan realizarla comparación. De todas formas no hay que olvidar que parte de la dificultad que presentanlas tareasde compararfraccionesvienevinculadaal tipo de númeio, qu. se estánutilizando,tanto en contextocontinuoscomo discretos. Por otra parte,la utilización de la RectaNumérica para representarlas fraccionespuide potenciar la conexión con la noción de medida,y el desarrollo de lá relación de orden entre las fracciones.En las actividadesde señalarfraccionesen la Renta Numérica entre otras dos dadas,se potencia las conexionesindicadasantesfavoreciendola ampliaciónpor parte del niño de su visión de las fracciones(en particular la idea de verlascomo númerosy de diagramas<parte-todo>)' no sólo como representaciones

tenemos: <<213 es diez vecesun quinceavo>, >3/5 es nuevevecesun quinceavo>>, con lo que la comparaciónes inmediata. Lajustificaciónde la necesidad de apoyarnosen rasfraccionesequivalentes para tealizat la comparación debé éstar enraizada en las actividades sobreconcretosrealizadaspor los niños.Antes de movernosdirectamenteen el nivel de los símboloshay que realizarnumerosas actividadesdonde intervengala manipulacióny la expresiónverbal.una trasracion fuuiuiinu rru.iu la introducciónde ros símbolosmedianteactividades ü;;;;;;istan las tres formas de representación(concreta,orar y simbórica) "; ujuau.a u qu" cuando estemostrabajandoen el niver simbólicó únicameníe, .r, ,rn ,no-"n_ to determinado, los niños puedan explicar por qué h;;;;;;;minadas manipulaciones de simborosapoyandosusexplicaciones sobreconcretos. En relación a ra ufirizaciónde material discreto ser, que rn"rr"r)-p"r; ante la representación

@@o )/1

@ @ @ oo l /\

r28

r29

F

J. Las operacionesconfracciones. Los algoritmos

, (+-+) 00

g

5.1. INTRODUCCION Hablar de los algoritmos para las operacionescon las fracciones . resulta bastanteconflictivo.como habíamosviito en el primer capítulo, las dificul_ tadesque tienen los niños con estosargorit-or J"u"ia ,u 1ru manejo),así como la <poca utilidad prácticu que se les "r"uru "n(los puedeatribuir niñossuelenevitarlosen las situacionés cotidianas,sustituic"J"l", por orros procedimientosen la búsquedade la soluci6n a la sltuación ptanteada), sitúanesteapartadoen el centrode una gran problemática. Mientras que pareceque no hay excesivadiscrepandiaen relación a las nociones intuitivas del concepto fracción, al plantear la cuestión.-de los algoritmos relativos a las operacionescon fracciones,se desata p"E-i"á. r" Esta cuestiónha sido descritaya con detalreanteriárment",plo que no vale la pena volver a plantearla. En estemomento vamosa aproximarnosal problemade la enseñanzade dichosalgoritmos,e intentar vercon qué condicionespuedery'dJ"n up".r"", en el currículumde Matemáticasde los primerosaños. . siempre que se va a estudiar una operaciónnumérica,se hacela distinción entreel conceptode la operacióny su algoritmo; "s'¿e.ir, "ntre, -comprender el significadode la operación,estandoestepunto vinculado a la aplicaciónde la operaciónen la resoluciónie situaciones problemáticas,y - serhábil en la ejecuciónde los pasosnecesarios, y en el ordencorrecto, que llevan a la obtencióndel resultadode una operación; que lo en er lenguajeusual se denomina rcalizar los cálculos. Estadistinciónes necesaria ya que,entreotras,algunasde las objeciones que se realizan a la enseñanzade las operacion.t con fracciones (a la enseñanzade los algoritmo_s), es que estosaigoritmosseconviertenen reglas sin sentidopara los niños.Lógicamente, si einiño estámanejandoreglassin {1sú.n sentido para é1,resulta bastantenatural que a lo rurgá aa tiempo, dejede utilizarlasy las sustituyapor otros procedimientos más o, que olviden o modifiquenalgún puro enil algoritmo,convirtiéndolo así en un procedimientoerróneo. 132

La raz6n de que estos algoritmos se puedan convertir en reglas sin sentido puede ser debida a una introducción demasiadotemprana en la escuela(traslación demasiadorápida hacia el manejo de simbolos sin la existenciade un esquemaconceptual),pero también en algunos casospor concretoy una introducción desvinculadade un fundamentosuficientemente natural a la operación (falta de la existenciade un <modelo de comprensión>). Si aceptamosestasdos ideas,parececlaro que aumentandoel tiempo de prácticaen el manejo del algoritmo, no conseguiremosuna comprensiónde los pasosde dicho algoritmo. En estasituación,nos obligamosa mirar los erroresproducidospor los niños al realizarlos cálculos(o al aplicar las operacionesa los problemasde palabras)desdeotra perspectiva. El solo aumento de la práctica con los algoritmos puedeno ser un buen recursodidáctico para superarlos erroressi no somoscapacesde determinar si el error es debido a un descuidoen el procesode aplicar los pasosdel algoritmo o a la aplicaciónsistemáticade un procedimientoerróneo(algunas vecesmodificación de un procedimientocorrecto). y inferenciasque sepueden . El papel quejueganlos errores,su análisis las 'realizar a partir de ellos en relación a la comprensión del niño de los algoritmos que maneja serátratado con más detalleen el próximo capítulo. Otro de los aspectosa tener en cuentacuando sehabla de los algoritmos en las operacionescon fracciones,es el hecho de que existe una aparente desvinculaciónentre la regla para resolver una (cuentaD,por ejemplo del tipo

13

- x24

y un problema verbal que conlleveimplícitamenteesta operación,por ejemplo: tartadeltotal los3/4deunatartay mecomola mitad¿cuánta <Siquedaban me he comido?>

Lo más probable es que los niños se enfrentena este problema verbal utilizando estrategiasdiferentesa la regla de multiplicar fracciones. Además,y en relacióna la conexiónentre el algoritmo y la resoluciónde problemas,Hmr (1981)señalaque, ...1ahabilidad para resolvercálculosde sumasy restasdecrececuando los niños son mayores.La habilidad para resolver problemasno decrececon la edad,con lo que sepuedesuponerque los problemasson resueltossin recurrir al cálculoalgorítmico.Muchos niños,en efecto,parecenno conectarlos algoritmos con la resoluciónde problemasy usan sus propios inétodos.

Así, pareceser, que en esta situación,los niños (siemprey cuando se lo permita la presión escolar),tienden a buscar procedimientosque impliquen el manejo de los números naturales antes que ((poneren u""ióno pro"iaimientosvinculadosa la noción de fracción (efectodistractor de los números naturales). uno de los efectosderivados de esta situación, lo señala HLnr (19g1) cuandoindica,en relacióna la comprensiónde la idea de fraccionesequivalentespor niños de 12-13años (aproximadamente7.ode EGB), que muchos niños ven las fraccionescomo parejasde númerosnaturalesno relacionados, tratándolos separadamente. De forma clara estasinferenciastendrán repercusionessobre el manejo de los algoritmos,en particular para la suma y la resta de fraccionescon denominadoresdiferentes. 5.2. LAS INTERPRETACIONES DEL CONCEPTO FRACCION Y LAS OPERACIONES En el tercercapítulo hemos caractenzadodiferentesinterpretacionesasociadas ala idea de fracción. A través del análisisdel conceptoreali?adoen cada caso, se podía vislumbrar el hecho de que algunas-interpretaciones podían conduci¡ de una forma más natural, al concepto de determinadas operaciones. , Así, en el aspectomedida caractenzadoa travésde la relaciónparte-todo, los conceptosde suma y resta de fracciones,encuentran(su) intérpretación más natural. Podemosutilizar el modelo de la RectaNumérica pará vincular la interpretacionesparte-todo, medida y fracción como númeró. I l/4 de metro + 3/4 de meÍo

0t'23 1 1/4

314

Por otra parte el concepto de multiplicación y división de fracciones viene vinculado con más <
ü)

Estado Unidad

x Ql$

Estado Ql4)

Estado Ql3) x Qp)

(213\x Qlal

Teniendoen cuentaestarelativa familiaridad entre algunasinterpretaciones y algunas operaciones,es posible prever dificultades en relación a la adquisición del concepto de alguna operación, en función de qué interpreiación de las fraccionesse haya potenciado en la secuenciainicial de enseñanza. Así, teniendoen cuentaesta circunstancia,DrcNnspor ejemplo,al potenciar la interpretación operador (entendiendoen este caso la fracción como una sucesiónde una multiplicación y de una diviSiónde númerosnaturales), indica que el conceptode multiplicación esel más natural y que su introducción no plantea ninguna dificultad, por lo que introduce la multiplicación antes que la suma/restade fraccionescon denominador distinto, ya que consideraesta operaciónocomo la sustitución de dos operadorespor uno solo, o la aplicación de un operador a un estadofraccionario. Con estéplanteamientola idea de fraccióninversa(operadorinverso)y la idea de división son inmediatas.Sin embargoesta misma <elegancia>en la presentaciónde la multiplicación y división plantea algunosinconvenientes al introducir la sumade fracciones.DtsNsssalvaestadificultad hablando de sumade estadosfinales obtenidospor medio de operadoresfraccionarios(en vez de la sustituciónde dos operadorespor uno equivalentecomo en el caso de la multiplicación). Por ejemplo,para presentarla sumade las fracciones213 + 4/5 establece los siguientespasos: Consideremosel estadounidad (inicial),en nuestro caso 15

i)

'Z:%:W r34

213x (314):

135

Parte-todo (medida) Concepto de fracción

Suma y resta de fracciones con el mismo denominador Multiplicación de un natural por una fracción

F¡ouna5.1 Ante esta dificultad estamosconvencidosde la necesidadde que cada docentetome suspropiasdecisiones, en relacióna determinados aspectosdel procesode enseñanza. El papelde las propiascreencias aquí esfundamental. El esquemade la figura 5.r describeél nestadode Ia cuestión) en esros momentos.sobre dicho esquemapueden(mostrarse)los <mudos de toma de decisión>en relación a esta cuestiónde desarrollocurricular. vamos a intentar acercarnos a la cuestiónrelativaa la enseñanza de los algoritmos,señalandopreviamentealgunascuestiones. 5.3. ALGUNASCUESTIONES 5.3.1. El manejode los algoritmosy la resoluciénde problemas Recordemos ahora algunosdetailesexpuestos en las secciones anteriores. Se había señalado,en relación a los algoritmos,el bajo rendimientoque los niños manifiestanen su manejo,junto con el hechodL que en determinados problemas,los niños sustituyanel algoritmo de la <cuenia>que estáimplícita en dicha situaciónpor el uso de procedimientos propios. De forma resumidatenemos: - bajo rendimientoen el manejode los algoritmos,y -desvinculación entrela <situaciónproblernática> y"la realizacióndela operaciónmedianteel algoritmo correspondiente. 138

Teniendoen cuentaesto,habría que trasladarla atenciónhacia la forma en relacióna los algoritde enseñanza en que estácaracterizadalasecuencia fracciones. mos de las operacionescon el orden que se sigue A veces,al pensaren dicha secuenciade enseñanza, por cuestiones: siguientes las delimitado suelevenir - ¿cuáles el algoritmo?; - ¿quéestrategiase puedeutilizar para hacerlomás ? A partir de estemomento se <justifica>el algoritmo a través de una <<situación concreta).Larealizaciín de ejercicioscon posterioridad,pretende práctica>,en realizarlas <cuentas>.En estassituacioque los niños < . Llegadoestemomento,el planteamientoresultaclaro y puedeinducir a pensar:<Si los niños identihcanla cuenta necesariapara resolverel problema, como ya tienen prácticaen el manejo del algoritmo, entoncesno habrá ningunadificultad(¡!).) existendos puntos claves, En estetipo de planteamiento, i) la identificaciónde la operación,y ii) el desarrollodel algoritmo. Entonces,recordandolo señaladoal principio, cabria preguntarse:

- (¿sonlos aigoritmosde las operaciones con fraccioneslos "procesos naturales"para resolverel tipo de problemasque se le planteana los niños"problemas?>.

que ya nos sol'l Como vemos,aquí se nos vuelvena plantearcuestiones bajo cl enunciadas cuestiones a estas familiares.El intentarbuscarrespuesta problemas> y resolución de la <El los algoritmos encabezamiento manejode 139

puede/debeayudarnos a clarificar nuestra postura personal en relaciirr ,r determinadosaspectosde las fraccionesen la escuela. Desde nuestra perspectiva,la utilización de los problemas (situaciorrt's) proporciona los contextosnecesariospara conceptualizarlos procedimicrrlr,,, en el cálculo con las fracciones. Es decir, creemosque en el proceso de hacer conscientesa los niños rr,. las relacionesentre las manipulaciones (en algunas operaciones)y las replc sentacionessimbólicas,se colocan las basespara algunosprocesosalgorítni c os . Así. e j em plosdel t ipo <Juanha ganadoen la feria una barra de chocolatey un tercio de barra y deciderepartírselocon su amigo Pedro,¿cuántole correspondera a cadauno'l> en los que los niños <estiman>en un primer momento el resultado,realizan las actividades,en un plano de representaciónen primer lugar y luego en un nivel simbólico,en grupo o individualmente,para luego poner en común los distintos procedimientosutilizados,enfatizandotanto los resultadosiguales como dichos procedimientoslo que les deben introducir en el camino de los a lgo ri tmo sd e las opc r ac io n e s . En estassituaciones,el profesordebe estar atento para aprovecharcualquier sugerenciaque se pueda derivar del trabajo de los niños, aunque los procedimientosutilizados por ellos sean diferentesde la aproximación formal. Una buena estructura hacia adelante.Es decir, el trabajo con los algoritmos,el manejo de símbolosy operacionesen situaciones generalesdebe ser el preludio del trabajo con las relaciones algebraicas. 140

5.3.2. Los algoritmos y el trabajo previo con las relacionesalgebraicas D el aformaseñal ad aant er ior m ent esepuedenconect ar losalgor it m os de resolución de rclativos a las operacionescon las fraccionesa los procesos manejo de los y un a parte, por una problemas urud^o, por los niños, por algebraicas, relaciones las de campo el ,í*bolo, que nos introduce en otra. A sí,al manej arenunpl anosólodesí m boloslanocióndef r acciónylas de introducción .rf.ru.iot", áon fracciones,se estará empezando el camino primer caso de el racionales números los de conjunto el oi Átg.uru, al ser no numérico manejado por los niños en que las cuatro operaciones "onj.-into tienen restricciones. si existen modePlanteado lo anterior, la cuestión que surge es conocer algunos algoafrarlzar a los (estrategiasde enseñanza)que putdun ayudar como síntesis enseñanza de ritmos, una vez que aparecen in la secuencia por los planteados problemas de de los procesos personalesde resolución niños. Las seccionesque siguen intentarán describir algunas de estasestrateglas para los diferentesalgoritmos.

5.4. LA SUMA Y RESTA DE FRACCIONES presioEn la secuenciaque desarrollaba el concepto inicial de fracción se introduque nos naba sobre el uso de las fraccionesunitarias y el contar, lo en algunos fracciones y restar sumar de ideas las en natural forma cía de casosdeterminados. Se sugería que ésta se realizará a través de situaciones problemáticas, como por ejemPlo <Juanseha comidolos 3/8 de la tarta y Pedrolos 2/8.¿Cuántatarta se han comido entrelos dos?> de contar en las que el proceso de solución venía determinado por el hecho de forma que octavos) cinco son octavos dos más octavos (tres octavos por representar podíamos simbólica

+

318

3 octavos

218

2 octavos

5/R

'/ul%tru)

5 oc tav os

l4l

En las primeras situacionesde este estilo hay que ir con cuidado al representar las fracciones,si éstas son representadasen
T

W

,k ,h -\---

sM+/

Se enfatizaba en estas situaciones,de nuevo, la identificación de la unidad, al igual que sucedeen las situaciones en las que intervienen fracciones mayores de la unidad. <Juan se ha comido 1 ll3 de los pastelesde chocolatey Pedro 2ll3. ¿Cuántospastelesse han comido entrelos dos?>

Conviene recordar que los algoritmos para la suma y resta de fraccione con denominadores distintos pertenecena un nivel poco intuitivo. Este hecho hay que tenerlo presenteal secuenciarlos pasosque debemosdar para ayudar a los niños a que se trasladendesdela utilización de sus procedimien tos personales a un procedimiento síntesis(general) de los procedimientos usados;o incluso a veces,la secuenciade enseñanzalo único que debe hacer es altanzar la que de forma incipiente han empezadoa utilizar los niños. Todo ello hace que la secuenciade enseñanzapueda/deba realizarse en un nivel simbólico, aunque independientementede esto, en algunos casos se debe volver a situacionesconcretaspara evitar la pérdida de la intuición. Así, continuando la sencuenciapropuesta en relación a la clase de fracción considerada, tenemos: 1) fracciones con denominadores múltiplos entre sí

213+316: 1+ rl 3

2) denominadores primosentresí,

2+ t/3

21 5 + 3 1 2 :

3+ 213 El proceso utilizado en las situacionesdescritashasta el momento (tanto para la suma como para la resta) se apoyaba en el hecho de sumar y restar fraccionesunitarias; el nivel de manejo de símbolos se dirigía hacia el hecho de que se sumaban los numeradores:

3 2 8-8t_

3+2 s

-8

5

Las primeras diflrcultadesaparecen cuando la es distinta en las dos fracciones.Si el objetivo de la secuenciade enseñanzaes ir trasladando los procedimientos de los niños hacia el procedimiento dado por el algoritmo de la operación, un camino que ha probado tener buenos resultados es el de la secuenciacióndel tipo de fracción en las actividades propuestas. En las situaciones en las que se nos presentan fracciones con distinto denominador, la idea que subyaceen los procedimientos utilizados es buscar siempre las fracciones escritas de tal forma que podamos aplicar secuencias de contar, es decir, buscar fracciones con el mismo denominador. Esta idea se apoya en el trabajo hecho con la equivalencia de fracciones. En estos momentos se deben utilizar los pasos que se sistematizaron para encontrar fracciones equivalentes descritos en la sección 4.5 (buscar múltiplos del denominador más grande que también sean múltiplos del otro denominador). t42

,213-116:

,312-ll3:

3) los denominadores no sonmúltiplosentresi, 216+314:

,314-216:

El procedimiento en todos los casos, apoyados en la equivalencia de fracciones, consiste en buscar denominadores comunes. Por ejemplo en el caso

216+ 314: debemosrecalcar los diferentesprocedimientos que pueden utllizar los niños. A veces,es posible encontrar niños que utilizan procedimientos de cálculo del mínimo común múltiplo (m.c.m.) (pueden ser repetidores,o niños cuyo papá(!) le haya enseñado,o niños que hayan llegado a este procedimiento por sí mismos...).La idea siempre es intentar llegar a procedimientos más sistemáticos.Uno de estos procedimientos (los niños pueden encontrar otros) puede ser el descrito en la sección4.5 para encontrar fraccionesequivalentes En este último caso sería: -

hjarse en el denominador más grande. En este caso 6; calcular sus múltiplos hasta encontrar uno que también sea múltiplo de 4,

6 x 1: 6 x 2:

6 no es múltiplo de 4 12siesmúltiplode4,ya que4 x 3:12.

t43

En estassituaciones, a veces,habiendotrabajadopreviamentela multiplicación, se puede enfatizar la idea de elemento neutro para el producto mediantela siguientepresentación, )) 6" t : 6x

33 t:4x ¿ "

2x2 6x2

4 12

3x3

9

4x3

n

asl:

2.3

4

9

4+9

¡-f-:--L

64121212

Algunasveces'se.sugiereque en los primeroscasosque se presenten, haya una manipulacióncon el material intentando los pasosdel algoritmoa las manipulaciones "on."iu, del materialconcreto. Así,por ejemplo,cuandopresentemos situaciones con númerosmixtos,a veces,se necesitarenombrar alguna unidad en términos de fracción, en particularcon la resta.Ante esta situaciónAsnrocr (19g3)sugiere que el procedimientode renombrarla unidad tienesentidopara los niáos cuando trabajancon el materialy hacenanotacionesde las manipulaciones (transformaciones) que realizan.por ejemplo,

2U4 - 314 2t/4 :2+

5.5. LA MULTIPLICACION DE FRACCIONES El primer ocon la operaciónde multiplicarvinculadaa las fracla sumade fraccionesiguales(númeronatural cionesaparecióal representar por fracción), de 314de horadurantecincodíasa la de Matemáticas Matemáticas horas de semana, ¿cuántas

,z ll4:t+t+tl4

3 14+ 314+ 314+ 314+ 314:

si renombramos una unidad

.ry .4+t

t+ 414ttl4:1

f-

-l

4

+514:1514

entoncesla resta2 ll4 - 314tomaríala forma

2 t l 4 - 3 1 4: (r + sl 4 )- 3 /4 : t + 2 t4: : l +tl 2 :rtl 2 t44

De todasformashay que tenerclaro que estamostrabajandoen un nivel a través simbólicode relacionesentrelos (en estecasofracciones) y las operaciones. de las nocionesde equivalencia más En determinadosniveles,es necesariohaceruso de procedimientos generales, comoel mínimo comúnmúltiplo,ya que esteprocedimientoesútil Esto nos lleva a que los ón estudiosposteriores(fraccionespolinómicas,...). de números másformales(factorización niñosdebenmanejarprocedimientos lo que determinaríaque la conexión entre la manipulación naturales,...), concreta(dediagramas)y los pasosdel algoritmosecuestionaráe inclusose rehusaráa hacerdicha conexión. como vemos,en un último nivel,el manejodel algoritmopara la sumay más formales>,alejarestade fraccionesexige<efmanejode procedimientos dos ya de toda intuición concreta.

: 5 veces3i4 : 314 5x y que apoyada en la idea de fracciones unitarias se obtenía 15 cuartos o también, representadocomo número mixto

3+314:3314.

145

Todas éstas eran representacionesutilizadas en la secuenciade enseñanza que desarrollaba los conceptosiniciales de fracción. En estecaso la aparición del producto de un número natural por una fracción seguía un camino natural. En este momento contemplando las operaciones desde una perspectiva teórica, podriamos llegar a pensar que mediante la propiedad conmutativa se podría tener la operación fracción x número natural como una consecuenciade lo anterior. Pero esta traslación, no es del todo válida, ya que responde a situaciones completamente diferentes:

tanto para anteriormente, Asi, a travésde situacionescomo las descritas elcasodenúmeronaturalxfracciónyparaeldefracciónxnúmero de 1ocomún en cada caso' natural,se intentaque los niños se den cuenta

3 5*4:

)X J

) lx9

2x9 J

J

por el númeronatural' esdecir,que semultiplicael numeradorde la fracción fracción por fracción' de En estepunto se intenta llegar al casogeneral es el modelo área' El modelo utilizado no"nui-tnt' en l'a enseñanza naturalespara números de intentando ser una ampliación del producto determinarel área de un rectángulo' 2 y 3 respectivamente Si tenemosun rectángulode dimensiones

En estassituacionesse utiliza la fracción en su aspecto operador (frente a la idea de medida de las otras situaciones):además la transición 314d e 1 2

a

314 x 12

no es tan inmediata como pueda ser 5v ece s 3 /4

a

5x314

cuadrados1 x 1 que lo forman' el áreavienedeterminadapor el número de aplicar a la situaci6n5 x 314) puede (Evidentementeestet t¿"fi o-bién se de un rectángulocuyasdimen ei Utilizandoestaideá fur, .área "ut"utur Sionessean3lay215.Podemosconstruirunrectángulocomoelsig

Todo esto hace que las situaciones que indican la multiplicación de una fracción por un número natural son algo más dificiles de resolver por los niños (PrvNp, 1975). Para intentar superar alguna de estas dilicultades se sugieren secuencias como la que sigue: > Cambiando el tipo de números y de fraccionesse ayuda a realizar el paso de <<de>a (xr.

r46

comola unidad(dedimensiones El áreadel rectánguloes 3/4 x 215,y rectánguloestá formado por x 1) está dividida en 20 Partes'Y nu.rt.o partes de las veinte,entonces J

-X

4

26 s20

t4

,El qrg""9imi-entopara fraccionesmayoresque la unidad,(númerosmixi(e1!r¡o' si hay que dererminar er áreadel rectánguro'd'e lo:),:r dimensrones 2112y3113

Una aproximación alternativa se puede plantear con la interpretación con operador. Esta aproximación a la multiplicación ha sido desarrollada detalle por DInNrs, en sus dos aspectos: 1) operador sobre un estado fraccionario, y 2\ composición de dos oPeradores,

2'tlz 2

tanto en contextos discretos como continuos. En el caso de operador fraccionario sobre un estado fraccionario en contextos continuos se presentaría la siguiente situació!

1

|

2

3

31/3

En estasituaciónra unidadestádividida en 6 partes. Entonces,el rectángulo con las dimensiones dadasesraráformadopor 50 p;;r;'i;;go, el área serácincuentasextos(5016):

213

314 213x Qla) : 214 o en una sltuaclon mas general

2 L l 2 x3 rl 3 : 510 23

: 25x10 " 3 : e : T 50

25

a travésde ejerciciosdivers_os, seintenta guiar la atenciónde los niños hacia los pasosqu€ se repiten,lo cuales tu g.n.rutir*ián na"iu algoritmo.Al multiplicar fracciones, "oniitui.án multipricamo,lo, nu-.*áár", y to, "t denominadores: ab

axb

cd

cxd

- X- :

Sin embargo el inconvenienteque presentaesta introducción es que el modelo.área, no representaun buen <<modelo O" pu.u fu operación de multiplicar fraccionesya que no "o.pr"n.ián, es normal encontrar dicha situación.Es decir,estaintroducciónno unu buena >,entendiendoesta expresióncomo", que el modelo áteano tiene un caráctergeneralpara representar . Existen pocas aplicacionesdirectasde la multiplicucián -urtiplicar i, fraccionesque se puedantrasladarde una forma naturar alaidea de encontrarel área multiplicando longitudesfraccionaria. si sólo utilizamos estaintroducción a la multiplicación de fraccionesnos encontraremoscon las dificultadesdescritasen las prima, ,""aion., de este capítuloen relacióna la desvinculación entre er manejodel argontmoy Ia resoluciónde problemas.

ll4

213

r Px( 213) : 2112

a Sin embargo, la necesidad de vincular la multiplicación de fracciones complemenaproximaciones buscar a induce nos próblemáticas, situaciones a tarias. Es décir, presentar en un primer momento la operación vinculada problemas. La otservación de nos llevará a la regla. Lo que hay que tener en cuenta en estos momentos, es que, generalmente (aparece) la operaen los piobl"-ui ltituu"iones problemáticas) en los que de ción de multiplicar fraccionei, las fracciones suelen tener un carácter natural). x número operador (ampliaciones de la operación fracción ^ La representación de la situación mediante diagramas puede ayudar a mostrar ü situación que describe el problema con ejemplos del tipo

@ 314

148

¿lt¿ 2l12

213de Qla) = 213x 3la

r4

(se indica la parte de tarta que hemos comido en relación al total. <seistlt. doce>). En estas situaciones los niños pueden multitud de exprcsi. nes para indicar el trozo detarta que ha comido cada uno, si se ha seguirl,, con ellos una secuencia de enseñanza como la señalada en los anteriores,cuyo énfasisestaba colocado en las <producciones>por "upitrl.,, partc rlt. los niños de numerosas expresionespara describir situacionesditerminadus. La discusión que se puede plantear cuando se muestran estasdistintirs expresionesa la claseentera por parte de cada niño o grupo de niños, pueclc ayudar a que se superen errores, malas interpretacionás,y se itan com., válidas expresionesdistintas a las que ha producido uno mismo. El proceso de justificación de cada expresión asi como en la explicaciórr por cada niño (o grupos de niños) del proceso que se ha seguido parir obtener dicha expresión, ayudan a que los niños amplíen las noÁnes sobrc fracciones y operacionesde fracciones que poseen en un momento determinado. Por otro lado, la aparición de la expresión 'i

6lt2 pararepresentar el final del proceso213x 3l4,juntoconla realización de

numerosasactividadesde esteestilo y mediantela guía del profesordebe aproximara los niños a la reglageneral(algoritmode la muliiplicación). Estassituaciones debenvenir complementadas mediantela iropuesta de situaciones que conllevenla multiplicaciónde fraccionesen coniextosdiscretos.

Peroatravésdeaquellasquepermitanunaidentificaciónmásclara de fracciones,se debe seguir la pro.* áe solución á tu -uttlplicación descritaanteriormente; sccuencia del problema(situación); - presentación -irabajos en gruposo individualmente; por parte y de las posiblessoluciones ¿etoi procedimientos "*pori"ión de los niños; que conducenala tegla; -observaciones sobrelos procedimientos - posiblegeneralización' quenosllevaaqueelalgoritmodelamultiplicaciónseaunaregladecál de solucióna los problemas' personales ürt t"p*t..te procediÑentos y ya en un planode símbolos'se regla' la Finalmente,una vezestablecida procedebenproporcionar actividades(cuentas)para esquematizar'aÍtanzar asociaticomo la conmutativa, dimientosde cálculo(utilizandopropiedades las primerasrelacionesalgeen postérioimente introducirán nu"..)qu. nos braicas. mixtos no Hay que tener en cuenta que el cálculo con los números en redificultades existan siemprey cuando no requieienu.uu, destrezas, los de uno sido que habia nombrar los númerosmixtos como fracciones' ou¡"tluo,adesarrollarenlasecuenciadeenseñanzade|conceptoinic fracciónalintroducirlasfraccionesmayoresdelaunidad.Detodasfor (PnvNn'1975)han señaladoque hay que indicar que algunasinvestigaciones prrlO"nresultarmás dificilesa los niños' En un plano simbólicose procedería'

r r l3x2 3l s : (utilicé 314de una docenade huevospara hacertres

huevos tiene cada tarta?> r----- -1 ¡ ¡D rl D lD In n

¡

ltr

!

ln |

- J L-- - _*_ _"_ \-(3/4)

¡ i"f l .itr

/--=-\

rl i¡ lD

(r/3)

D ¡

¡ D

!

tl3 de Ql\ 1l3x3l4:3112.

-

5rl 15

¿'l

LJ'

D :

314de 12 huevos: 9 huevos l/ 3de9 h u e v o s : 3 h u e v o s Aunque estas situaciones, como vemos, inducen a trasladarnos al manejo

de númerosnaturales.Estedetallehaceque la utilizaciónde la multiplicáción de fracciones(per se) seamás bien un procedimientode uso dudoso. 150

:( 1 +tl 3) x ( 2+3l s ) : : (313+ rl3) x (10/s+ 3ls): : 413x r3ls :

tartas.¿cuántos

5.ó. LA DIVISION

DE FRACCIONES

a una ya La operación de dividir fracciones corresponde -directamente o situacioprocedimientos a vinculación Su operación de sentido algebraico. que no.existen' nes intuitivas es tan reáota que podemos aceptar operación' pero la más ésta presentar para Hay diversas estrategias fraccionesinversas. conociáa es la que se fundaménta en la idea de 151

La idea de fraccióninversapuedeser desarrolladacuandohablamosde la multiplicación.Por ejemplo,si consideramos como unidad la cuartilla, entoncesla parte sombreadason los tres cuartosde la cuartilla.

I

Es decir, rcalizar la división ac b'd

't

es lo mismo que reahzar a

Pero si consideramoscomo unidad la parte sombreada,

]T entonces la cuartilla entera son los 413 de la unidad. Como vemos, la realizacionde estos ejercicios,basadosen la idea de relacionar una parte con la unidad Ltnavez identificada la unidad, corresponden al tipo de ejercicios desarrofladosal inicio de la secuenciade enseñanzapara el concepto inicial .i de fracción. Si multiplicamos estas dos fracciones que aparecen,

34 -x-: 43

3x4 4x3

-

t2

*

ac

;:

:

a t)

Dr;

a

d

b

c

a ;X

4 : f r (;

o

d

b

c

_X

t)

_X

152

:( r ") "q ,

c

:I"1

"4c/ )

. ; * i: r

Ideasmatemáticas

Pasos

31

*

314

+'g:vg

Una fracciónsepuedeusarpara señalar una divisiónindicadaa: b : alb' Si multiplicamos numerador y denominador por él tnitttto númeroel valor de la fracciónno cambia axc a : bxc b

_l

La divisióncomo un factordesconocido de una multiplicación,vincularíala multiplicacióny la división.

bd

para llegar a la regla Además de esta presentación,existen otras estrategias de la división (Asnlocr, 1983, pág' 335)'

12-'

el resultado es la unidad. Estas fracciones se denominan fraccionesinversas. Así, al apoyar la introducción de la división de fracciones en la idea de fracciones inversas se está planteando la idea de operación inversa de la multiplicación (es decir, relacionesde índole algebraico). De forma general,los pasos a desarrollar en un primer momento a través de ejemplosnuméricos serían:

d

E X- c

Al multiplicar un número y su lnverso' el resultadoes 1' ax(lla\:l

*

3 1 4x 8 1 1

3x8 *-:4xl

24 - 6 4

El dividir por uno no modifica nada' Para multiplicar dos fraccionesse multiplican los numeradoresy los denominadores.

la divisiónde fracciones De todasmanerasestasegundaaproximacióna (PevNn'1975)' pareceser que no resultatan efectivacomo la anterior de fraccioncs división que la En estosmomentoshay que teneren cuenta se fundamentaen relacionesalgebraicas: o - la división como operacióninversade la multiplicación' unidad la es de un númeropor su inverso - tu -rrltiplicación Comohemosseñaladoencapítulosanteriorespuedeserque,de estecarácteralgebraicoypocointuitivodeladivisióndefracciones, primaria' el maiejo de e,ie algoritmoen la enseñanza "u.trio"" 153

De todas formas,y Lrnavez establecidala regla (en el nivel que sea)y ya en un plano de manejodesímbolos,tal y como señalábamos para er casode la multiplicación,se puedenproporcionar actividadesque nos ayuden a esquematiza r - aftanzardicho procedimientode cálculo. Algunasde estasactividadespodrian tomar la forma puzzles de (del tipo de los que aparecenen revistasdi pasatiempos y entretenimientos). Mostramos a continuaciónalgunosde ellos (Fig. 5.2).

6. Errores y estimución

Errvpro 1:

/

en esta dirección se multiplica J¿Ó

4520

- X- :-

6.1. INTRODUCCION

en esta dirección se divide q

3 4

\

663 -: g '8 4

n u

Xl l :- '-

E¡¡uplo 2:

\\

\

las felchaspueden indicar cualquiera de las operaciones

Por ejemplo:

2 t6

una determinadatareamateMuchasvecesal proponera los estudiantes mática,nos encontramoscon que la forma de resolverlapor parte de los niños no se ajustaa aquellaque nosotroshabíamosesperado. correctas, aunqueel camino A veces,estosprocedimientos dan respuestas seguidono seael que nosotros,desdeuna mentalidadde adultos,pensamos sería lógico. Creemosya felizmentesuperadala fase en la que un planteacon las normasdictadaspor mientono demasiadoortodoxo,en desacuerdo el profesor,suponíaun rechazode todo el trabajo planteadopor el alumno. Otras,por el contrario,el procesoo el resultadono son los correctos,y estefallo es consideradocomo un error. tradicionalmente, Hoy día, consideramos el estudiode estoserrorescomo un parte muy ya que importante en el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje, aceptamosla idea de que los niños combinanlas nocionesnuevasque seles presentanen un momento determinadoen la escuelacon sus experiencias previas. A partir de esteestudio,intentamosaveriguarlo que realmentepiensacl alumno, buscandosacarel máximo de informacióny sin trivializar unos indicadoresque, de alguna manera,nos puedenmanifestaralgún tipo clc conceptuales creadospor el niño al enfrentarsca desajusteen los esquemas la situaciónpropuesta.

l2

_X

44

Frcune 5.2

154

6.2. EL PROCESO INTERACTIVO EN LA ENSEÑANZA Y LA OBSERVACION DE ERRORES En el trabajo que sedesarrollaen una clasepodemosdistinguirdistintas formasde recogerinformaciónpor partedel profesor(Bnoussnnu,G.et al', 155

1986).Por un lado podemosobservara los estudiantes en su trabajo con el gran grupo (claseentera),pequeñogrupo (seisa ocho alumno)e individualmente. Si sepretendeque la informaciónseaauténtica,hay que procurarque los niñosesténen un ambientede claserelajado,sin que esténagobiadospor la preocupaciónde obteneruna mala nota o, simplemente, (quedar mab. Hay que trasmitirlesla sensaciónde que, de alguna manera,el profesory sus compañerosquierenaprenderalgo de é1. Lógicamente,una dificultad que tiene el profesor para realizaresta (tarea) es la presióndel tiempo.Normalmentese sienteagobiadopor la cantidad de contenidoque debe proporcionary minimiza la importanciade la recogidade estetipo de información. Las observacionestomadaspor el profesoren relación al desarrollo del trabajo de los niños,llevana precisarque hay unoserroresque aparecenen los alumnosen forma aleatoria,por descuido,distracción,etc. y otros se debena que,simplemente, el alumnono sabela respuesta correctay propone un resultadoal azar. Hay otros tipos de erroresdebidoso bien a la existenciade defectosen la comprensióndel concepto o a la aplicación sistemáticade proced'imientos erróneos.Estosprocedimientos utilizadospor los niñospuedenserdebidoso a la elaboraciónde métodospersonalesalternativosa los enseñados por el profesoro a la modificaciónu olvido de algúnpasode un algoritmo enseñado. Presentamosa continuaciónalgunosejemplosde estetipo de erroresque puedenserfácilmenteidentificadosen el trabajo con las fraccionespor parte de los niños.

Ernupro 1. Aquellos alumnos en los que se ha potenciadomucho la interpretaciónparte-todo de las fracciones,a partir de diagramas,puedentener dificultadesal considerar315como un númerocomprendidoentre0 y 1, o como la división de 3 entre 5 en una situaciónde reparto,presentándose un problemaconceptualen la integracciónde las distintas interpretacionesde la fracción.

ignorael signihcadode los símbolosque sele presenEl niño probablemente tan, y rJsuelvela operacónutilizandoel esquemaaditivo de los naturales. La introducciónde los númerosmixtos desdeun primer momento en contextosconcretoscomo se ha estadoseñalandoen el capítulo4' ayuda a evitar/superarestetipo de problemas.

Ernuplo 3. Un niño resta fraccionesdel modo siguiente:

L ^ - L =L - !-: L T- e - 6 - 6 -6

ñ,f ++=#

- i .- _ _ L - L_ ) L

3

7'r+l++

156

J+ +'+

L

5 70 70 70

E¡rupro 4. Un alumno procedede la siguientemanera:

2 to s1

111284 -

E¡nlvlpro2. Un niño resuelvela tarea

7

.¿-

Es probable que a este niño alguien le haya enseñadola tegla para reducir fraccionesa un común denominador mediante el uso del mínimo común múltiplo. El niño lo calculacorrectamentepero no alteralos numeradores (ha olvidado/modificadoalgún paso del algoritmo enseñado)' Esto puedeser debido a una aproximación demasiadorápida al cálculo algorítmiio, lo que ha convertidoel manejode los pasosdel algoritmo en algo sin sentidoldesconectadode la idea de equivalenciade fracciones).

¿3E5Sq La utilizacióndel modelo RectaNuméricapuedeservir para ayudar al niño a integrarlas distintasinterpretaciones.

+

)

2j12 ) qq

a

-:-

Gt8 7?

t-= -

?,

_ <_ a

5¿

1

?

t{

lo

|Ll

)?'

?q?

Esteniño ha construidoun algontmo erróneoy bastantecomplicadoparz Sumarfraccionesde distintodenominador,que consisteen ponerun denom nador común igual a la suma de los denominadoresy sustituir los numera

l5'1

doresde cada fracción por el producto del denominadory numerador de la otra. una vez reducidosa común denominador,los suma correctamente. (Resulta de una mezcla-alteraciónde pasos dei algoritmo ;al aprendidos, que han dado lugar a un procedimiéntosistemáticopropio) (AsHrocx, 1e86). Para ftnalizar es importante señalarque en estassituacionesel niño cree que lo que estáhaciendoes correcto.El único modo de corregir estetipo de erroreses provocarlesun conflicto, por ejemplo,por medio de la visualiza_ ción, intentando que el niño sedé cuéntaáe ú coniradicciónque existe entre su modo de actuar y el que le muestrala realidad.

6.3. ERRORES EN LAS FRACCIONES Aunque con las fraccionesse presentantodos los tipos de erroresque hemosseñaladoanteriormente,una gran parte de ros eriores que los niños cometenal trabajar con fraccionestienen su origen en la similaridad ouetanto en el lenguaje como en la simborogía,presentan lorhri-.'r* naturales.Por un lado, las fraccionessenombran utilizando"o' nombresiguales o muy parecidosa los que ya les son familiaresen el contextode los números ordinales;así, por ejemplo,se dice (un cuarto), <<dos quintos), etc. Por otro lado, y esto es lo más grave, los símbólos de los números naturalesse utilizan tambiénpara las fraccionesañadiendosimplemente una rayita horizontal. El niño tiene experienciacon los númerosnaiurales y esto conllevauna tendenciaa ver las fraccionescomo un conjunto de dos números..naturales separadospgr rayita. La consecuenói" que trata de ra utilizar susconocimientos ". de cálculoóon los númerosnaturales,'ilara lo cual extrapolaa las fraccioneslas,reglasy algoritmosde aquéllos.Esió constituye lo que algunosautoreshan denominadó<efectode distracciónde los números naturales>r. La influencia que el conocimientode los númerosnaturalesejerce en el proceso de aprendizaje de las fraccionesse manifiesta en otrós muchos aspectos.Es dificil para el niño entenderque el producto de dos fracciones puedesermenor que cualquierade ellas,afcontririo de lo que sucedeen los númerosnaturales.como lo que él tiene asimilado son los^uttorii-o, .on esosnúmeros a menudo trata de forzar los algoritmos iru""iorr", d" manera que el resultadose ajuste a lo que le dióta su intuición. "on resumen, paso el de los númeroJ naturalesa los fraccionariosno es -. ._En los niños. presenta fá."lpa'u dificultadestanto conceptualescomo algorítmi_ cas. El profesor debe estar pendientede la evolución de los errores de los niños y huir de la tentaciónde creerque con la simplepráctica refetitiva se irán subsanando. 158

6.4. ALGUNOS EJEMPLOS TIPICOS DE ERRORES CON FRACCIONES A continuaciónpresentamosalgunoserrorestípicos,discutimossu origen para su solución.Su análisiscuidadosocreemosque y hacemossugerencias permitirá al lector enfrentarsebajo otra perspectivaa los errorescometidos por susalumnos.

6.4.1, Errores en la nociónde equivalenciade fracciones

E¡sr{prO 1. A veces ngs encgntramos COnla siguiente respuesta ante una tarea de búsqueda de fracciones equivalentes.

L=-L: la

41 11

5

Aquí se refleja una situación en la que la fracción se consideracomo un par de númerosnaturalesque no están relacionadosentre sí. La respuesta está basadaen el reconocimientode un modelo aditivo en los numeradores (sumar seis)que se traslada a los denominadores. han mostradotambiénque los niños presentan Algunasinvestigaciones problemasante la transitividaddel signoigual. Así, Hmr (1981)señalaque ante una expresióndel tipo .,

ot 2

I4

n

los alumnostienenmayor dilicultad en calcular n, yu que una vez calculado el valor 8 para el numerador de la segundafracción comparan 8ll2 con I4lJ,lo que resulta más dificil que hacerlo con 213.El no utilizar 213 : 14/tr puedeser debido a que sólo se fijan en la igualdad de las dos últimas fracciones.Estos resultadosdeben ser tenidos en cuenta al plantear nuestras actividades.La visualizaciónpuedejugar aquí también un importante papel.

r59

t", tti#i"?r';".y,lrT#

queselepidequesimplifique unaseriedefracciones escribe

7 _4

63

lL

L

3 q

4

6

jL. 2

ql

¿ (,

3

=a 3

3

A primera vista, pareceque no.existe ninguna lógica en estosresultados.sin embargo un análisis más detanado ,ou"írru que el niño ha elaborado una regla que para simprificarfraccioner ;;;;;;" cada número naturar otro más

Estas respuetascorrespondena uno de los errores más comunesa la adición de fraccionesque consisteen que el niño suma independientemente los numeradoresy denominadores.Un error análogo se presenta en la sustracción.El origen del error puedeestar en la similaridad de notaciones que existenentre las fraccionesy los númerosnaturales(llevandonleal uso de procedimientosaditivos con los naturales)tal y como hemos indicado anteriormente,pero también puedeestaren que al niño sele ha explicadoya el algoritmo de la multiplicación y está meclandoambos algoritmos. En este segundo caso, no es convenienteque el niño practique con exclusividaduno de los dos algoritmos,sino que debehacerlo con los dos a la vez (Asnlocn, 1986).Si las observacionesrecogidasnos llevan a apreciar que las dificultadesestán asociadasa la idea de suma de fracciones,debe pasar a realizar actividadescomo las sugeridasen el apartado 5.4.

E¡nupro 2. Otro caso es el que presentamosen la siguientesituación:

dos pasa;;,;; sno, tres ül1"tx1[:;:ll"':J:TIK:: ,"..":..1'", " extraporadoá,,"p,*"-ai;F,il:?J:;:ó,*';:"T"'l?,iit":'"1*Ti"[: sor' obsérveseademásque su regra le dá un ,erultado correcto en bastantes casos(Asurocr, 19g6). Lo primero que hay.que hacerantes de iniciar el procesode correcciónes determinar si er niño iiene clara ru ,,o"iol'¿" rru""ion.-s¡-rrl-ú"iunirru, claro que la enseñanza_deberá r."on,"""ui-ies¿e ahi. Si ra tiene,las ", activida_ des a realizar serán del tipo ¿. rur ¿ir-"J¿], el apartado 4.5. "n 64.2. Errores en la adicióny sustración de fracciones

54

2

3 _ -5 _ É _ 6 _j+ = 3 1 _2 ?.i \5 ') 5 2 2

E¡Eupro 1. Consideremosahora las respuestas

2

4l 3. 36

4?ti

-=b

6 7

-.t

r60

.l

z

-:-

257

) l-

a

cl J

lrz -+_

s6

3

6 .11

Aquí se están considerandopor separadolos números naturales y las fracciones.El número mixto no se consideracomo un todo, y se resta por separado,no teniendoen cuentaen el casode las fraccionessi el minuendo es o no mayor del sustraendo.Si hay una sola fracción, simplementese coloca. En estecasoseríaconvenienteproponer al niño que explicaseel por qué de susprocedimientos.De susrespuestasdebemosintentar deducir si es que le faltan los requisitos básicospara abordar la tarea (como puede ser la sustracciónde los númerosnaturales)o que la notacióndel número mixto no estábien adquirida. En esteúltimo caso,se deberíahacerhincapiéen las actividadesseñaladaspara la introducción de la notación de los números mixtos. 161

6.4.3. Errores en la multiplicacióny la división

E¡¡upro 1. un error bastantecomún es realizarla murtiplicaciónde fraccioncs del modo siguiente,

21q -X*3 3 26

3 6

fi, 6

-3-

3 5

I (,.5 f,,3¿t010

!

3o 10

es E¡nupro 3. Una secuenciatípica de error con la división de fracciones

?1? - I -: -

¿{

un Esto nos indica lo que les sucedealgunos niños que mantienen multiplican conflicto ante la idea de qo. pu.u obtenerfraccionesequivalentes nu-".udoi y denominadorde la fracción pudiéndolasver por un < > tiempo como una mútiplo de la otra, al trasladar un esquema ul -ir*oen los naturales' válido Realmentepoder concebirla multiplicación de una fracciónpor 1' exprede lo que sando ésteen fbrma fraccionaria(ala),tiene una dificultad mayor puedeparecera simPlevista.

Ll

t {. 2 =2

tf

L=!,+

q33(61 como seobserva,las fraccionessereducena comúndenominador pluego se multiplica los numeradores. Este error proviene,en muchos d. unu mezclade los algoritmos de la adición y A, U multiplicación."uro'r, La introducción tempranaar manejo de ros algoritmos da lugar a la produciendoun prócedimientode cálculo sin ntng,in fl:r,.11* "mbos, runoamento.

E¡nupro 2. Sea ahora un niño que multiplica un número natural por una fracción de esta manera:

4 r j= a 66

3^6 -X

t{t

J=-

-2 ,3 .á 31

Probablementeel niño ha aprendido que para multiplicar fraccioneshay que multiplicar los numeradoresy los denominadoresy resuelvsel casoen que uno de los dos factoreses un número natural utiliiándolo como factor para ambos. También puedeser que estéutilizando un método que se le ha enseñado para construir fraccionesequivalentes(multiplicar numerador y denominador por un mismo número).

r62

2 -.-

5' 2

?

{

5

2

I

7 - 1

2

2

2 .',t,- 2

6

t

z

El procedimiento que se está aplicando para obtener estos resultados consistl en dividir separadamentelos numeradoresy los denominadores ignorando los posiblei restosque se obtengansi la división no es exacta. la Este error tiene su origen o bien en una confusióncon el algoritmo de repetidamultiplicación o bien en-la influencia de los números naturales, mente citada. Porotrolado,convienenotarqueelprocedimientodaelresultad puedehaber correcto con alguna frecuenciay que, por tanto su utilización ejemplos como hacer ha visto sido reforzadafor los ejerciciosqué el alumno llegar a que es operar Una propiedad curiosa de este modo de -puede denominador el en cero con resultadoi a-bsurdos,tales como fracciones (Asnr,ocr, 1986).Puede ser convenienteen este caso provocar el conflicto poniéndoíe situacionesen las que el resultado de la operación no tenga sentido. Conestosejemploshemosqueridomostraralgunosdeloserrore que sirvan para cometenlos niños ál trabajar con las fracciones.Esperamos no debe ayudarnosa considerarqúe los ejerciciosrealizadospor los niños que el para sér sólo utilizados para evaluarlos,sino que deben ser usados se alumnos sus prof..or, medianteia observacióncontinuadadel trabajo de

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dé cuenta de que ros.procedimientosque utilizan propuestaspuedenestar rejos der procedimi"nto para rearizarras tareas o"rrreñ";;;;" necesidad de considerarel aprendizuj" personal (constructivo> se y fio".ro nos manifiestaal <<descubrir> "o-o-utt los pro".di-i.otór p.r.oni"r-ár'lo, ni¡or. La < y ra indagación continuadu ¿" lu, de ros niños constituyen un instrumenio "rtiutegias u"tio.o para efectuar una tarea de diagnosis,proporcionandoentre otru, ',uylor"r, un modo de discernirentre ros niños que utilizan un procedimientoincorrecto de ros que simprementeno sabencómo hacerlo(y contestanal azar)o tienenerroresconceptuales. Esto, debetener,posteriormenteimplicacionm á u hora de realizarlosdiseñosde enseñanza.

65. ESTIMACION No podiamos concluir este ribro sin hablar de la estimacióny de las ventajasque puede reportar su utilización ar trabajar con fracciones. No es fácil dar una definición de lo que se entiende por estimación. Podemosdecir que se trata de dar una respuesta(numérica)que estflpróxima a la respuestaexacta.Ahora bien, el significadode <próximo>rdepende del contexto en que se plantea la p.ejunta, e incluso de la propia r--r-- respuesta. Para aclararlo,consideiremos el rig;"nt.L¡r_pto. Supongamosque en un supermercadotr"-ó, ido cogiendoartícurosde , las estanteríaspor un varor exactoae zilnpesetas. N"riii"i desconocemoseste varor, pero ¿"reu-or""urarmente hacer una estimación mientras caminamoshacia la caja. un valor estimaáo de 25.000p;;.,^ ñ.ía consi_ derarseen generalco11bu1no, u no ,"ilu" t,ruiere_ir-s¿l;,.;;, ejemplo 25.000pesetas en er borsillo.En estecaso-es'claro que necesitamos haceruna estimaciónmás próxima si no qu"r"-o, u..no, en dificultadesa la hora de pagar. Tradicionalmente,situacionescomo las anterioreseran las que casisiempre se asociabana ra idea de estimar. Sin embargo,en ros últimos años paleceque.se han prodrrcido algunos intentos para introducir la estimación en los currículade unafo*u u.priu. iur razonespara ello son variadas e importantes;van desderasnecesidaáes -L áe iu ui¿u *tüi""" l"rg"üo, n"n ella una defensafrente a,.ra rapidez "n ras carculadorasefectúanlas operaciones)hasta su utilidad p^ra rcforrar ";;;;r conceptos y algoritmos en Ios niños. Ahora bien,hay que señalarque ra enseñ anzadela estimaciónesdificil, y encuentracierta resistenciaen roi niños. Es fácil *.prái"iqr. si-a on nino se le pide que realiceuna estimació1de urgo q"" sabi carcularexactamente, primero hará el cálculo y a partir ¿e él dáá una estimación. Evidentemente,no es estéel lugar para desarro'ar aspectosgeneralesde t64

la estimación.Pero queremosseñalarque no es un tema que deba enseñarse aisladamente,sino que debe desarrollarsede un modo continuo a lo largo del estudio de las Matemáticas. Centrándonosen las fracciones,consideremosen primer lugar la propia de una fracción dada. Para poder estimar algo es estimacióndel < > necesariosercapazde considerarlocomo una unidad, como un ' Sólo Esto requieredade un en estecaso tendrá sentido hablar de su < >. significadoconjunto a los símbolosque aparecen:el numerador,el denominador y la rayita horizontal. Setrata de ver la fracción como una entidad en sí misma. de ¿Cómose puedeayudar a los niños a desarrollarla idea de > una fracción?Esta podría ser la pregunta clave.Una actividad que podría ayudar a respondera estacuestiónseríala de pedir a los niños que construyan una fraccióntan próxima a 1 como seaposiblepero menor que él mismo (BnHn,et al.,1986). Podemoscomenzarpidiéndoleal niño qu€ proponga una fracción cercana ala unidad. Supongamosque la respuestaes 517' A continuación le pedimosque dé una fracción más cercade la unidad que la anterior. La idea es intentar que observe que puede hacerlo aumentando el numerador y proponer consecuentemente 6l7 . La tareaes más dificil cuando le volvemosa pedir otra fracción a partir de ésta,más próxima a la unidad pero menor que ella. Un alumno con una comprensión suficientedeberá ser capaz de razonar que aumentando el numerador y el denominadoren una unidad obtiene 718,que es mayor que 617,pero menor que uno. Evidentementeestasactividadesse puedenmodilicar cambiandoel número al que pedimosque los niños se aproximen con las fracciones' Otro tipo de actividadpodría serlas que requierancomparardos fraccionesdadas.En ellasalgunosniños elaboranestrategiaspersonalesque consisten en utilizar otra fraccióncomo punto de referenciapara realizarla comparación, o realizanmentamenteciertos algoritmos. Actividades que potencien destrezasde estimación en situacionesde .sumapuedenser las que ante una seriede cinco o seisnúmerosnaturalesse pida a los niños que formen dos fraccionescuya suma estélo más cercana posible a un número dado (este número dado estaría en función de los númerosnaturalesque se le proporcionana los niños en primer lugar). Una modificación de la tarea anterior consistiríaen que los niños proporcionendosfracciones cuyasumaestélo máscercanaposiblea un número dado pero sin proporcionarlesde antemanoningún conjunto de números naturalespara que formen las fracciones. que el valor de estastareasestáno tanto en la respuesta Evidentemente que se les den oportunidades proporcionar como en las puedan los niños para que puedanverbalizarlas estrategiasutilizadaspara dar la respuesta. 165

La comparaciónde las distintasestrategias empleadaspor variosniños y la discusióncentradaen cuál es la idóneaen cadacasopuede,por una parte, ayudar al profesor a darse cuenta de cuál es el nivei de conocimiento en relacióna las fraccionesy a las operacionescon ellasque tienensusalumnos. Por otra parte ayudaa los-niñosa serconscientes de suspropiasestrategias para que las reafirmeno las modifiquen en cada situación párticular. volvemos aquí a insistir en la necesidadde trasladarla atenciónsobrelas estrategiasempleadasy su justificación por parte de los niños frente a la valoraciónde las respuestas sólo como correctaso incorretas. Paraoperaciones como la multiplicacióny con el mismoobjetivoreseñado para las actividadesanteriores,wooncocr (19g6)ha propuesto lo siguiente:se le da al niño una ligura geométrica,por ejemploun rectánguloy sele pideque dibujerectángulosque seanlll0, rl2,3la y 9lr0 del rectánguló original,planteándose una seriede preguntaspara hacerlesreflexionarsobre lo que han realizado. Estaspreguntasse referirána la comparacióndel tamaño de los rectángulos,a ordenarlesde mayor a menor y cómo podrán sabersi el rectángulo que tienen que pintar era mucho menor o sólo un poco menor qué el original. a+ En una segundaparte s€ utiliza la experienciaadquirida para calcular productosde fracciones,pidiéndoles,por ejemplo,que estimencuál seráel resultadoaproximado al determinarla fracción de una cantidad:siendoesta cantidad al principio un número natural para luego pasar a fraccionesen tareascomo las de estimar el resultadode 1/10 por Il3, ll2 por 113,... haciéndoles tambiénpreguntasdel mismo tipo de lai anteriores.Para terminar, queremosresaltarque una de las ventajasde presentara los niños actividadesde estimar tanto el > de la fracción como el resultadode las operaciones con fraccionesesquelesayudaa profundizaren el propio conceptode fraccióny de las operaciones. De hecho,la asimilación de dicho conceptoy el desarrollode la habilidad de estimarson procesosque transcurrenparalelamente,apoyándoseuno en el otro.

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4-fracciones g3j60

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