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CASO PRACTICO UNIDAD 3

Esperanza, Varianza, Momentos Distribuciones Discretas Distribuciones Continuas

Por: José Gabino Ortiz Caro

Natalia de Fátima Sánchez Arrieta Profesor

Estadística 1

CORPORACIÓN UNIVERSITARIA DE ASTURIAS ISTRACION Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS YOPAL 2018

Introducción El objetivo de este trabajo es abordar el estudio de algunas distribuciones de probabilidad de variables aleatorias discretas y continuas, así como el tema de esperanza y varianza.

Tabla de contenido 1. Qué modelo de distribución podrían seguir las siguientes variables aleatorias?.........................................................................................................................4 2. Si ℜ sigue la Distribución B (10; 0; 8), su valor esperado y su varianza valen……....4 3. ¿Qué falta en la f(x) de cuantía de una variable B(n, p): P(ξ = x) = ¿? px (1 - p)

n-

x?........................................................................................................................................5 4. Se efectúan lanzamientos consecutivos de un dado correcto. Resuelva las siguientes cuestiones……………………………………………………………………………..5 a) Determine razonadamente la distribución de probabilidad de la v.a ξ: “número de lanzamientos que deben efectuarse hasta conseguir el primer resultado par”. Calcular la probabilidad de que se requieran 3 lanzamientos……………………………………....5 b) Determine razonadamente la distribución de probabilidad de la v.a μ: “número de lanzamientos que deben efectuarse hasta conseguir 3 pares”. Calcular la probabilidad de que se requieran 5 lanzamientos……………………………………………………......6 5. Conclusiones……………………..……………………………………………………………...7 6. Referencias Bibliográficas…………………………………………………………………….8

CASO PRÁCTICO 1. ¿Qué modelo de distribución podrían seguir las siguientes variables aleatorias? 

Número de hombres, mujeres y niños (menores de 12 años, de cualquier sexo), en un avión con 145 pasajeros.

 Número de visitas que recibe en una hora www.iep.edu.es.  Enciclopedias vendidas por un vendedor a domicilio tras visitar 18 casas. Para este caso propuesto podemos utilizar la Distribución de Bernoulli, pues esta es una distribución de probabilidad discreta, lo que quiere decir que toma valor 1 para la probabilidad de éxito y valor 0 para la probabilidad de fracaso. (p)= Probabilidad del éxito (q)= Probabilidad de fracaso Lo que nos dejaría la ecuación de (q-1=p) Esta distribución se utiliza cuando realizamos una serie de experimentos como ensayos repetidos. 2. Si ℜ sigue la Distribución B (10; 0; 8), su valor esperado y su varianza valen… a) 8 y 0,2

b) 0,8 y 1,6

c) 8 y 16

d) 0,8 y 0,2

Por definición, la media de cualquier binomial está dado por el producto del número de intentos por su probabilidad de éxito. Entonces, 10x0.8 = 8, este es el valor de la media. La varianza por otra parte se obtiene de multiplicar la probabilidad de éxito por el número de ensayos por la expresión uno menos probabilidad de éxito. Entonces, 8 x (1-0.8), es igual a 1.6.

3. ¿Qué falta en la f(x) de cuantía de una variable B(n, p): P(ξ = x) = ¿? px (1 - p) n - x? a) n! / x!

b) n! / [x! (n - x)!]

c) x! / [n! (x - n)!] d) x! / n!

Teniendo los datos anteriormente dados podemos deducir que es una distribución binomial, donde n es el número de pruebas que se realiza y p es la probabilidad de éxito. Ésta se define como: P (x = k) = (n k)

donde k = 0,1,2,3...n

Donde el número combinatorio (n k) es: , y sabiendo que k = x, la respuesta correcta es la opción b:

4. Se efectúan lanzamientos consecutivos de un dado correcto. Resuelva las siguientes cuestiones: a) Determine razonadamente la distribución de probabilidad de la v.a ξ: “número de lanzamientos que deben efectuarse hasta conseguir el primer resultado par”. Calcular la probabilidad de que se requieran 3 lanzamientos. Lo que aquí debemos realizar es crear una función que nos de los valores de probabilidad para ambos casos. De antemano, sabemos que si este dado es normal, tendrá una probabilidad de un sexto de arrojar un valor. Entonces:

Esto es así ya que si cuentas, los valores pares son {2,4,6}, los impares {1,3,5}, lo cual implica que sumando un sexto por cada caso, vemos que hay una probabilidad de un medio de obtener un valor par. De esta forma, la probabilidad de conseguir dos impares y un par: Probabilidad del 25%.

b) Determine razonadamente la distribución de probabilidad de la v.a μ: “número de lanzamientos que deben efectuarse hasta conseguir 3 pares”. Calcular la probabilidad de que se requieran 5 lanzamientos. Esta es un poco más compleja, primero, vamos a obtener cuantas posibilidades pueden aparecer en tres lanzamientos, serían seis posibilidades en cada lanzamiento, multiplicadas da un total de seis al cubo, es decir, 216. De esas 216, nos importan sólo {2,4,6}, serían 3 posibilidades en cada lanzamiento, tres al cubo , 27 posibilidades. Entonces, 27 posibilidades entre 216, es igual a 0.125, es decir, un octavo.

Ahora,

para

obtener

tu

probabilidad:

Lo cual indica que es altamente probable que ocurra, el 58% de la probabilidad de que ocurra.

5. Conclusiones Al tener los conceptos claros y haber desarrollado los ejercicios del caso práctico llegamos a la conclusión que estos son una gran herramienta estadística a la hora de poder solucionar problemas si los aplicamos de la forma correcta. Al realizar este trabajo pudimos diferenciar en qué momento se está realizando un ejercicio de distribución ya sea discreta o continua. Se pudo diferenciar que tipo de distribución discreta se debe utilizar para el desarrollo de cada ejercicio, ya sea Bernoulli, binomial o poisson entre otras.

6. Referencias Bibliográficas

Conceptos Básicos, Esperanza, Varianza, Momentos, Distribuciones Discretas, Distribuciones Continuas. Grupo Asturias Digital. Red de Universidades virtuales Iberoamericanas 2018 Walpole, R. E., Myers, R. H., Myers,S. L. y Ye, K. (2007). Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. 8va. Edición. Pearson. Mexico