3.3.-analisidominiofrecuencia 6d1e30

3.3

Análisis de sistemas en el dominio de la frecuencia PALABRAS CLAVE Y TEMAS    

Respuesta en frecuencia Pico y frecuencia de resonancia Ancho de banda Diagramas de Bode

competencias  ¿Como responden los sistemas ante entradas de distinta velocidad de cambio ó cualquier tipo de entrada?  Definir y graficar la respuesta en frecuencia  Analizar el comportamiento dinámico de un sistema desde el punto de vista de la frecuencia  Como usar la respuesta en frecuencia para analizar la estabilidad; medidas de robustez: margen de ganancia, 1 de fase margen

Señales sinusoidales Alta frecuencia: cambio rápido Baja frecuencia: cambio lento

T

u = A sen(t) 1

donde

1 2 T   f 

 frecuencia f 2

 rad/s   Hz 

0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1

0

20

40

60

80

100

120

140

Respuesta en frecuencia (1/3)

La respuesta en estado de régimen permanente ante una entrada sinusoidal U(s)

Sistema lineal estable

G(s)

Y ( s )  G ( s )U ( s )

Y(s)

A s2   2

Nos centraremos en el estado estacionario y ss (t )  lim y (t )  Ysen (t   ) u (t )  Asent t 

U ( s) 

La salida en régimen permanente (después de pasar el transitorio) también es sinusoidal de igual frecuencia que la entrada pero con diferente amplitud y desfasada Por tanto, la respuesta en frecuencia queda determinada si se conoce la función de transferencia compleja G(jω)=G(S)|jω 3

Respuesta en frecuencia

(2/3)

U(s)

u (t )  Asent

G(s)

Y(s)

y ss (t )  A G ( j ) sen (t   )

Amplitud de la salida: Y  A G ( j ) Ángulo de fase:   arg( G ( j ))  G ( j ) La respuesta del sistema oscila con la misma frecuencia  que la sinusoide de entrada pero atenuada por un factor |G(j)| y desfasada un ángulo  = arg(G(j)) que dependen de  4

Ejemplo G (s) 

75 s 2  5s  15

Para una entrada

G ( j )  G ( s ) s  j Transitorio

u (t )  Asent

donde G ( j )  G ( j ) 

75

y(t)

A 1   5 rad / s

(15  w2 ) 2  25w2 75 (15  52 ) 2  25*52

G ( j )  2.7854 Y  A G ( j )  2.7854

  arctg

Im(G ( j )) 5w   arct g Re(G ( j )) 15  w2

 arctg (2.5)  1.1903 [rad ]  68.180 S 5

u(t)

Permanente

 Desfase t0   [s]

USO DE SIMULINK

6

transitorio

transitorio

7

estacionario

estacionario

Respuesta en frecuencia (3/3)

Los valores de la atenuación |G(j)| y el desfase  = arg(G(j)) que introduce un sistema lineal dependen solo de G(s) y pueden representarse en función de la frecuencia  en diversos tipos de diagramas sin más que sustituir la variable s por j en G(s) y calcular el módulo y el argumento del complejo G(j) resultante Bode Diagrams

Nyquist Diagrams

From: U(1)

-10

0.4

-20

0.2

0

-50

0 -0.2 -0.4

100

Frequency (rad/sec)

8

To: Y(1)

0.6

Imaginary Axis

0

-100 10-1

From: U(1)

0.8

50

To: Y(1)

Phase (deg); Magnitude (dB)

10

101

-0.6 -0.8 -1

-0.5

0

Real Axis

0.5

1

1.5

Representaciones de la respuesta frecuencial • Diagrama logarítmico (diagrama de Bode) (1945) 2 curvas en función de la frecuencia en escala logarítmica: 1. relación de amplitudes |G(j)| [dB] 2. ángulo de fase () [º] • Diagrama polar (diagrama de Nyquist) (1932) diagrama de la amplitud de G(j) en función del ángulo de fase de G(j) en coordenadas polares al variar  desde cero a infinito • Diagrama magnitud – fase (diagrama Nichols) diagrama del logaritmo del módulo en función de la fase para un rango de frecuencias de interés 9

ESTABILIDAD RELATIVA 

10

Es una propiedad por el cual se mide los tiempos relativos de estabilización de cada raíz o par de raíces los cuales se miden por especificaciones o parámetros

Especificaciones o Parámetros en dominio de la frecuencia

11

1.-Margen de ganancia: Es la cantidad de ganancia que se puede añadir a la F.T. en lazo abierto antes que el sistema en lazo cerrado se vuelva inestable. Se determina con la siguiente relación: M.G.=

1 G ( jw ).H ( jw )

Wπ: Es la frecuencia a la cual el argumento es igual a -180º.(Frecuencia de cruce de fase)

G ( jw) H ( jw)    180 12

2.- Margen de Fase: Es la cantidad en ángulo que se puede añadir a la F.T. en Lazo Abierto antes que el sistema en lazo cerrado se vuelva inestable y se determina:

M .F .  180  G ( jw1 ) H ( jw1 ) W1→ se determina a partir de la condición: (Frecuencia de cruce de ganancia)

G ( jw1 ) H ( jw1 )  1 13

3.-Frecuencia de resonancia(Wr) y Máximo Pico de resonancia (Mr) Frecuencia de Resonancia (Wr): Es la frecuencia a la cual ocurre el máximo pico de resonancia. Máximo pico de resonancia (Mr) Es valor máximo de la magnitud de la respuesta en frecuencia de la F.T. en lazo cerrado (Mr esta comprendido entre 1.1 hasta 1.5 en un sistema estable) Mr  max 14

C ( jw) R ( jw)

4.-Ancho de Banda (AB): Es la frecuencia en la cual el modulo CR(( jwjw)) cae a 70.7% de su valor máximo o tambien se puede decir 3 decibelios (dB) abajo de su valor de su frecuencia cero.

A.B  wn (1  2  2 )  4  4  4  2  2 (para sistemas de segundo orden) 15

EJERCICIO 1.Hallar el M.G. y M.F. de la F.T. en lazo abierto: G ( s) H (s) 

3  s    1  2 

3

Re emplazando en dominio de w 3 G ( jw) H ( jw)  3  jw   1   2  3 1 w G ( jw) H ( jw)    3 tan 3/ 2 2  w2  1    4  16

w 3 tan  180 2 W  3.4641rad / seg 1



3/ 2

3.46   1  4  M .G.    2.66 3 Para hallar m arg en de fase 3  1; w1  2.078 3/2  w12  1  4  

2

M .F .  180   3 tan  17

1

2.078   180  13 8.31  41, 69  2 

CALCULO GRAFICO PARA DETERMINAR M.G. Y M.F.

1

18

EJERCICIO 2 Se tiene la siguiente F.T. en lazo cerrado, determinar Mr y Wr C (s) 5  2 ; Reemplazando en dominio de w R( s) s  2s  5 C ( jw) 5 5 2w 1     tan 2 2 R( jw)  w  2 jw  5 5  w 2 2 2 5  w  (2w)



C ( jw)  R( jw)

19

5

5w



2 2

 (2 w) 2



DERIVANDO

d dW

C ( jw) R ( jw)

2(5  wr 2 )( 2 wr )  8 wr  0; wr (4 wr2  12)  0 wr 

3

C ( jwr ) Mr   R ( jwr ) Mr 

20

5



5  wr 2

5

 5  3

2

 4*3



2

 1.25

 (2 wr ) 2

Máximo pico de resonancia(Mr) y frecuencia de resonancia(Wr) para Sistemas de segundo orden C (s) Wn 2 C ( jw) Wn 2  2 ;  2 R( s) s  2 Wns  Wn R ( jw) W 2  2 j Wn  Wn 2 C ( jw) 1   W W R ( jw) ( )2  2 j  1 Wn Wn Derivando

d C ( jw) dw R ( jw)

1 (1  (

W 2 2 W 2 ) )  4 2 ( ) Wn Wn

e igualando a cero

wr  wn 1  2  2 Mr 

21

C ( jwr )  R ( jwr )

1 (1  (

Wr 2 2 W ) )  4  2 ( r )2 Wn Wn



2



1 1  2



EJERCICIO 3 C (s) 5  ; R( s) S 2  2S  5 Igualando a la ecuacion de sistemas de segundo orden Hallar Mr y Wr de :

C ( s) Wn 2 5  2  ; 2 2 R( s) s  2 Wns  Wn S  2S  5 Por comparacion tenemos: 5; y  

Wn  wr  wn Mr 

22

2

1  Wn

1 5

 0.4472 rad/s

1  2  2  2.236 1  0.4472 2  1.732 rad/s



1 1 

2





1 2 * 0.4472 1  0.4472

2

 1.25

Ejercicio 4 Hallar el Ancho de Banda (AB) de: C ( s) 5  R( s) s 2  2s  5

C ( jw) R ( jw)



5



5  wc 2



2

 4 wc2



50  (5  wc2 ) 2  jwc2 X  wc2 50  (5  X ) 2  4 X  X  8.83 A.B.  wc  2.97

23

rad / seg

1 2

ANALISIS DE BODE La representación de Bode consiste en 2 graficas de magnitud y argumento en función de la frecuencia. (De la F. T en lazo abierto G(jω)H(jω) ). La escala de magnitud o módulo es lineal y el eje de frecuencias es escala logarítmica.

24

Diagrama de Bode: escala logarítmica(eje de frecuencia) 10 0

10 1

102

103

 (rad/s)

década

Multiplicar por 10 la frecuencia supone subir una década Década: separación existente entre dos potencias consecutivas del ‘mismo número’, en este caso 10.

25

La representación logarítmica presenta las características de alta y baja frecuencia de la función de transferencia en un solo diagrama

Diagrama de Bode: decibelios(eje de magnitud) Multiplicar o dividir por 10 a |G(j)H(j ) | supone sumar o restar 20 dB a |G(j)H(j ) | 20log|G(j)H(j ) | [dB]

(la multiplicación de amplitudes se convierte en suma)

20 10 0 -10 -20

26

10* GH  j 





20 log10 10 GH  j  dB



 20 log10  10  dB  20 log10 GH  j 





 20dB  20 log10 GH  j  dB



dB

Diagrama de Bode Consta de 2 trazados representados en función de la frecuencia en escala logarítmica 1. Diagrama del logaritmo del módulo de una función sinusoidal 2. Diagrama del ángulo de fase

Matlab: bode(n,d)

Bode Diagrams

20log|GH(j)| [dB] (en decibelios)

27

-10

 en escala logarítmica

-20 50

To: Y(1)

arg(GH(j)) [º] En grados sexagesimales

From: U(1)

0

Phase (deg); Magnitude (dB)

dB = 20log | . |

10

0

-50

-100 -1 10

0

10

Frequency (rad/sec)

1

10

¿Por qué diagramas logarítmicos? (1/2)

Considerando la siguiente función de transferencia: G ( s) H ( S ) 

K ( s  z1 )( s  z2 )...( s  zk ) s l ( s  p1 )( s  p2 )...( s  pn )( s 2  2 n s  n2 )

La magnitud de la respuesta en frecuencia es el producto de la magnitud de las respuestas en frecuencia de cada término: K ( s  z ) ( s  z ) ... ( s  z ) G ( j ) H ( j ) 

1

2

k

s l ( s  p1 ) ( s  p2 ) ... ( s  pn ) s 2  2 n s  n2

s  j

Resulta que trabajando con el logaritmo de la magnitud, el proceso se simplifica puesto que la magnitud de las respuestas de los términos de ceros se sumarían y la magnitud de las respuestas de los términos de polo se restarían. 28

(2/2)

¿Por qué diagramas logarítmicos? GH ( j ) 

K ( s  z1 ) ( s  z2 ) ... ( s  zm ) s l ( s  p1 ) ( s  p2 ) ... ( s  pn ) s 2  2 n s  n2

s  j

20 log GH ( j )  20 log K  20 log ( j  z1 )  ... ...  20 log  j   20 log ( j  p1 )  ... l

En decibelios, el diagrama de |GH(j)| puede obtenerse por superposición de los diagramas de términos elementales correspondientes a cada polo, cero, ganancia y retardo.

arg(GH ( j ))  arg( K )  arg( j  z1 )  ...  arg(1/ j l )  arg(1/ ( j  p1 ))  ... 29

Factores básicos Los factores básicos que se producen frecuentemente en una función arbitraria GH(j) son:

1. Ganancia K 2. Factores integrales y derivativos 3. Factores de primer orden 4. Factores cuadráticos

 j  1 1  jT  1 

 j  2  1 j    n    n  

2

La respuesta en frecuencia del sistema puede obtenerse por superposición de los diagramas de los términos elementales 30 que componen la función de transferencia.

1

Bode real y asintótico (1) El diagrama de Bode asintótico es una aproximación en base a líneas rectas tanto de la magnitud como de la fase.  El diagrama de Bode real es el dibujo exacto. 



31

A mano es más sencillo y rápido dibujar el Bode asintótico.

Bode real y asintótico (2) El diagrama de Bode se puede dibujar tanto del sistema en lazo abierto como en lazo cerrado.  Para diseñar compensadores usamos el sistema en lazo abierto.  Para calcular el ancho de banda, normalmente se usa el sistema en lazo cerrado. 

32

FORMA DE BODE PARA TRAZOS ASINTOTICOS GH ( j ) 

K ( jw  z1 ) ( jw  z2 ) ........... ( s  zm ) jw ( jw  p1 ) ( jw  p2 ) ... ( jw  pn ) ( jw) 2  j 2 n w  n2 l

K z1 * z2 *......zm (1  GH ( j ) 

 j jw jw jw 2 jw p1 * p2 *..... pn .w (1  ) (1  ) ........... (1  ) 1 j    p1 p2 pn n  n  l

2 n

K B (1  GH ( j ) 

jw jw jw ) (1  ) ........... (1  ) z1 z2 zm

jw jw jw ) (1  ) ........... (1  ) z1 z2 zm

 j jw jw jw 2 jw (1  ) (1  ) ........... (1  ) 1  j    p1 p2 pn n  n 

2

l

arg(GH ( j ))  0  tan 1 ( / z1 )  ......tan 1 ( / zm )  90 * l  tan 1 ( / p1 )  ......  tan 1 ( / pn )  tan 1 (2 n / (n2   2 )

33

2

Bode: respuesta de una constante (ganancia) G ( s)  K G ( j )  K

20 log G ( j )  20 log K   G ( j )  arctg

0  0º  K   180º

K0 K0

El Bode de una constante son líneas rectas

34

Bode de una constante positiva Bode Diagram

Magnitude (dB)

41

G  s   100

40.5 40 39.5 39 1

Phase (deg)

0.5 0 -0.5 -1

-1

0

10

1

10

10 Frequency (rad/sec)

35

2

10

Bode de una constante negativa Bode Diagram

Magnitude (dB)

41 40.5 40

G  s   100

39.5 39 181

Phase (deg)

180.5 180 179.5 179

-1

0

10

1

10

10 Frequency (rad/sec)

36

2

10

Bode asintótico : respuesta de un polo en el origen (integrador) GH ( s ) 

1 s

20 log GH ( j )  20 log

GH ( j ) 

1 j

Pendiente = -20 dB/década

1  j

 20 log1  20 log    20 log 

[dB]

   0.1  20dB     1  0dB

   10  20dB  1 j  1  j  90º

  GH ( j )  

37

La curva de la magnitud logarítmica es una recta con una pendiente de –20 dB/década que pasa por cero dB en =1. La gráfica de fase es igual a una constante de –90º.

Bode asintótico: respuesta de un polo múltiple en el origen (integrador) 1 sn

GH ( j ) 

20 log GH ( j )  20 log

1

 j  1



j 

n

n

Bode Diagram

100

Pendiente = -20n dB/década

50



Magnitude (dB)

GH ( s) 

0 -50

 20 log1  20 log  n 

-100

 20n log 

-150

[dB]

-269

   0.1  20  ndB     1  0dB    10  20  ndB 

Phase (deg)

-269.5 -270 -270.5 -271

  GH ( j )  

 j 

 1  j  90 nº 38

-1

10

1 n

0

1

10

10

2

10

Frequency (rad/sec)

La curva de la magnitud logarítmica es una recta con una pendiente de –20n dB/década que pasa por cero dB en =1. La gráfica de fase es igual a una constante de –n90º.

Bode asintótico: respuesta de un cero múltiple en el origen GH ( j )   j 

GH ( s)  s n

n

Bode Diagram

150

Pendiente = 20n dB/década

20 log GH ( j )  20log  j   n

 20 log    20n log  n

Magnitude (dB)

100

[dB]

50 0 -50 -100 -89

Phase (deg)

-89.5

   0.1  20  ndB     1  0dB    10  20  ndB 

¡OJO!   GH ( j )    j   1  j  90 n º 39

n

-90 -90.5 -91

-1

10

0

1

10

10 Frequency (rad/sec)

2

10

La curva de la magnitud logarítmica es una recta con una pendiente de 20n dB/década que pasa por cero dB en =1. La gráfica de fase es igual a una constante de n90º.

Grados en en funcion a “n”       

Si tenemos 1 cero la fase será 90º Si tenemos 2 ceros la fase será 180º Si tenemos 3 ceros la fase será 270º=-90º Si tenemos 4 ceros la fase será 360º=0º Si tenemos 5 ceros la fase será 90º … Esto sucede por un tema numérico de Matlab y normalmente sólo pasa cuando la función de transferencia de la que se dibuja el Bode tiene el grado del numerador mayor que el del denominador 40

Bode Diagram

40

150

0 -20

1 G s   2 s

-80 -179 -179.5

0

G s   s

0.5

1

10

0

1

-180.5

-1

50

-100

-180

10

100

-50

Phase (deg)

-40 -60

Phase (deg)

Magnitude (dB)

Magnitude (dB)

20

-181

Bode Diagram

200

0 -0.5 -1

2

10

10

-1

10

0

Bode Diagram

Bode Diagram

80

0

Magnitude (dB)

Magnitude (dB)

10

60

1 G s   6 s

-100 -200 -300 -539

0

1

10 Frequency (rad/sec)

G s   s

2

180.5

41 10

0

181

-540.5

10

20

-40

-540

-1

40

-20

Phase (deg)

-539.5 Phase (deg)

2

10 Frequency (rad/sec)

100

-541

1

10

Frequency (rad/sec)

200

4

2

10

180 179.5 179

-1

10

0

1

10

10 Frequency (rad/sec)

2

10

Bode asintótico: respuesta de un polo simple

2   0 (bajas frecuencias)  10 log(1  2 )  0 p  (  1)  10 log1  0 dB   0º p

 

(1/3)

GH ( j ) 

20 log GH ( j )  20 log

 

1

 1 j p

   GH ( j )  arctg ( ) p





    (altas frecuencias)  20 log 1    20 log   p2 p 2



1

 10 log(1 



2 ) [dB] p2

Cuando /p=1 la aproximación de alta frecuencia es igual a la aproximación de baja frecuencia y también =-45º /p=1 = frecuencia de corte (de transición) Cuando /p=10, el log de la amplitud es de –20 dB 42



 1 j p

  ( p  1)  

 20 log

 p

  90º

(2/3)

Bode asintótico: respuesta de un polo simple  =  /p=1 = frecuencia de corte: c

la frecuencia a la que se encuentran las dos asíntotas Pendiente = -20 dB/década Curva exacta

/p=0.1 real

c asintótico

Pendiente = -45º/dec /p=10

43

La frecuencia de corte divide la curva de la respuesta de frecuencia en dos regiones: una curva (línea de 0 dB) para la región de baja frecuencia (0≤ /p≤1 ) y una curva (línea recta con pendiente –20 dB/década) para la región de alta frecuencia (1< /p<). El error máximo se produce en la frecuencia de transición.

Resumen: 

Magnitud:  Una

línea constante hasta la posición del polo  Una línea que cae 20 dB en cada década a partir del polo 

Fase: 0

hasta una década por debajo del polo.  -90 a partir de una década después del polo.

44

Ejemplos Bode Diagram

0

Magnitude (dB)

-5 -10 -15 -20

GH  s  

-25

Phase (deg)

0

-45

-90

0

10

45

1

10

Frequency (rad/sec)

2

10

10 s  10

Ejemplos Bode Diagram

0

Magnitude (dB)

-5 -10 -15 -20

GH  s  

-25

Phase (deg)

0

-45

-90

1

10

46

2

10

Frequency (rad/sec)

3

10

100 s  100

(2/8)

Bode asintótico: polos complejos conjugados

20 log G ( j )  20 log



1 

 1  2  j   n

Para bajas frecuencias tales que

   n



  j     n

2

2

    20 log  1  2   2   n n   2

2

20 log G ( j )  20 log1  0 db

La asíntota de baja frecuencia es una línea horizontal a 0 db.

Para frecuencias elevadas tales que

   n

Las asíntotas son independientes del valor de ρ 47

2 20 log G ( j )  20 log 2  -40log  40log n db n La asíntota de alta frecuencia es una línea recta con pendiente de –40 db/década que pasa por 0 dB cuando =n Frecuencia de corte para el factor cuadrático

Bode: polos complejos conjugados (5/8)

El ángulo de fase de G(j):

G ( j ) 

 

   2 n  

  G ( j )  arctg    0    0º    n    90º       180º



2

 1          n  



 1  2  j   n



  j     n

El ángulo de fase depende tanto de  como de ρ

En la frecuencia de transición el ángulo es –90º independientemente de ρ

En la frecuencia en que se produce el pico de resonancia =r: 48

1

1  2 2    arctg 

2

Bode asintotico : polos complejos conjugados Caso ρ< 0.707 (caso con resonancia)

(6/8)

Asíntotas r frecuencia de resonancia Real 20logMr

Pico de resonancia

La amplitud de la salida se ve amplificada a ciertas frecuencias y es máxima para r,, creciendo inversamente con 

 0



M r 

-40dB/dec n frecuencia de corte Ejemplo para n=1 y ρ=0.1

r  n 1  2  2 

0.1 n

 1  2(0.1) 2  0.9899 -90º/dec

49

Mr  10 n



1 2 1  

2



1 2(0.1) 1  (0.1)

2

 5.0252

Resonancia En la resonancia la amplitud de la oscilación es muy grande. Si un sistema mecánico entra en resonancia puede ocurrir que se destruya. Puente

antes

50

durante su destrucción (7.11.1940)

Bode: polos complejos conjugados (7/8)

Caso ρ> 0.707 (caso sin resonancia)

-40dB/dec

n frecuencia de corte

Sin resonancia, la atenuación es monótonamente decreciente, con pendiente -40dB por década para frecuencias superiores a n Ejemplo para n=1 y ρ =0.8 Mr  0

-90º/dec Asíntotas Real 51

Bode: polos complejos conjugados (8/8)

Comparación de la respuesta en frecuencia cuando se modifica el parámetro (ρ) Respuesta del logaritmo de la magnitud normalizada y escalada

52

Bode: ceros complejos conjugados

53

Bode Asintótico : ejercicio1 R(s)

+

-

10 s ( s  1)( s  5)

Se pide obtener el diagrama de Bode asintótico y determinar, M.G y M.F Forma de Bode:

10 s ( s  1)( s  5) 10 G ( jw) H ( jw)  jw( jw  1)( jw  5) 2 G ( jw) H ( jw)  jw jw jw(1  )(1  ) 1 5 G(s) H (s) 

54

Y(s)

Bode Diagram

100 80

-20db/dec

60

Magnitude (dB)

40

M.G.=8dB

-40db/dec

20

20log2=6 dB

0 -20

1/jw

-40 -60

-60db/dec

-80 -100 -90

Phase (deg)

-135

M.F=21° -180

-225

-270

W 1=1.35 -2

10

-1

10

0

1

10

Frequency (rad/sec)

W π=2.4

5

10

2

10

 n=[0

0 0 10 ];  d=[1 6 5 0 ];  bode(n,d);grid  [mg mf wpi w1 ]=margin(n,d)  Gbod=20*log10(mg)

57

M.G.=10 dB

M.F=

EJERCICIO2.- TRAZAR BODE ASINTOTICO DE: G(S ) H (S )  

2500( S  10) S ( S  2)( S 2  30S  2500)

Forma de Bode: Para trazo asintótico j 5(1  ) 10 G ( j ) H ( j )  j j 30  j 2 j (1  )(1  ( ) ) 2 50 50 50

60

Programa Matlab 

Se tiene: n=[0 0 0 0 2500 25000 ]; d=[1 32 2560 5000 0 ]; bode(n,d);grid [mg mf wpi w1 ]=margin(n,d) Gbod=20*log10(mg)

61

62

mg = 26.9405 mf = 48.5831 wpi = 47.5445 w1 = 2.9398 Gbod = 63

28.6081

Bode: ejercicio3 R(s)

+

-

1 s (0.5s  1)( s  1)

Se pide obtener el diagrama de Bode para el lazo cerrado y también el pico de resonancia, la frecuencia de resonancia y el ancho de banda.

Pico_resonancia =5.2388 Frec_resonancia = 0.7906 ancho_banda = 1.2649

64

Y(s)

numg=[0 0 0 1]; deng=[0.5 1.5 1 0]; G=tf(numg,deng); T=(G,1); w=logspace(-1,1); bode(T,w); grid [mag,fase,w]=bode(T,w); [Mr,i]=max(mag); M_r=20*log10(Mr) Wr=w(i) % Calcular el ancho de banda n=1; while 20*log10(mag(n))>=-3; n=n+1; end ancho_banda=w(n)

65

ESTABILIDAD CON DIAGRAMA DE BODE