29. Modul Matematika - Integral Dengan Substitusi 6m3h4a

Matematika Dasar

INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI

Substitusi Trigonometri Metode substitusi Trigonometri dapat digunakan untuk menghitung integral dengan bentuk integran adalah : a 2 − x 2 , a 2 + x 2 , x 2 − a 2 . Substitusi yang digunakan berturut-turut : x = a sin t , x = a tan t dan x = a sec t. Didapatkan 2 diferensiasinya : dx = a cos t dt, dx = a sec t dt dan dx = a sec t tan t dt. Oleh karena itu diperoleh : a 2 − x 2 = a cos t dengan -π/2 ≤ t ≤ π/2 a 2 + x 2 = a tan t dengan − π / 2 < t < π / 2 x 2 − a 2 = a sec t dengan 0 ≤ t < π / 2 atau π ≤ t < 3π / 2 Contoh. a.

∫

dx x2 4 − x2 Misal x = 2 sin t dan dx = 2 cos t dt. Maka : dx 2 cos t dt 1 1 2 = = sec t dt = − cot t + C 4 (2 sin t )2 2 cos t 4 x2 4 − x2

∫

∫

∫

=− b.

∫

1 4 − x2 +C 4 x

dx 1 + x2 2 Misal x = tan t dan dx = sec t dt. Maka :

sec 2 t dt =∫ = ∫ sec t dt = ln(sec t + tan t ) + C ∫ sec t 1 + x2 = ln  1 + x 2 + x + C dx

c.

∫

x 2 − 25 dx x Misal x = 5 sec t dan dx = sec t tan t dt. Maka :

∫

x 2 − 25 5 tan t dx = 5 sec t tan t ) dt = 5 tan2 t dt = 5 tan t − 5t + C ( x 5 sec t  x = x 2 − 25 − 5 sec −1   + C  5

∫

∫

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

Matematika Dasar

Substitusi bentuk Akar Bila

integran

memuat

faktor

berbentuk

n ax + b ,

maka

menyelesaikan integral dengan menggunakan substitusi : u = n

nu

n−1

kita

n ax + b

dapat sehingga

du

= dx . Kadang-kadang kita jumpai juga suatu a integral dengan integran dalam bentuk akar namun bukan merupakan suatu suku didapatkan u = ax + b dan

banyak akan tetapi merupakan fungsi eksponen, misal integran

(

n

1 + e x . Maka seperti

)

diatas juga kita ambil substitusi un = 1 + ex atau x = ln u n − 1 dan dx =

n u n−1

du . un − 1 Sedang untuk integran yang terdiri dari beberapa bentuk akar yang pangkatnya berbeda namun dengan fungsi dasar sama, kita dapat melakukakan substitusi dengan memisalkan dengan u berpangkat KPK dari akar pangkatnya. Bentuk integral setelah dilakukan substitusi akan lebih mudah untuk diselesaikan menggunakan metode yang dikenal sebelumnya. Contoh. dx a. . Misal u2 = x dan 2+2 x dx 2u ∫ 2 + 2 x = ∫ 2 + 2u du =

∫

= b.

∫

(

2u du = dx . Maka : 

1 

∫  1 − 1 + u  du = u − ln( 1 + u) + C

)

x − ln 1 + x + C

(

)

2u 1+ ex dx . Misal u2 = 1 + ex ⇔ x = ln u 2 − 1 dan dx = 2 du . Maka : u −1  2u  1 1   1 + ex dx = u 2  du =  2 + −  du  u − 1 u + 1  u − 1

∫

∫

∫

 1 + e x − 1  u − 1 x  +C = 2u + ln  + C = 2 1 + e + ln   u + 1 x  1 + e + 1 c.

x

∫ 1 + 3 x dx . Misal u6 = x dan 6 u5 du = dx . Maka :

∫

u8

 6 1  4 2   du dx = 6 du = 6 u − u + u − 1 +  1+ 3 x 1 + u2 1 + u2  6 6 = u 7 − u5 + 2 u 3 − 6u + 6 tan−1 u + C 7 5 6 7 / 6 6 5/ 6 = x − x + 2x1/ 2 − 6x1/ 6 + 6 tan−1 x1/ 6 + C 7 5 x

∫

∫

( )

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

Matematika Dasar

Substitusi bentuk Kuadrat. 2

Integral dengan integran memuat bentuk kuadrat ax + bx + c dengan b ≠ 0 dapat juga dikerjakan dengan menggunakan substitusi sebagai berikut : b 2 b2  ax 2 + bx + c = a x +  + c −  2a 4a b Bila disubstitusikan u = x + ke bentuk kuadrat di atas didapatkan bentuk : 2a b2 au + d ; d = c − . 4a 2

Contoh. a.

x

∫ x 2 − 4 x + 8 dx Misal u = x - 2 dan du = dx. Maka : x u+2 1 2 −1 u  dx = du = ln u + 4 + tan  +C  2 2 x 2 − 4x + 8 u2 + 4 1  x − 2 = ln ( x − 2) 2 + 4 + tan−1  +C  2  2 dx

∫

(

∫

)

[

b.

]

∫

5 − 4x − 2 x 2 2 2 Misal u = x + 1, didapatkan dari 5 - 4x - 2x = 7 - 2 ( x+1 ) . Maka : dx du 1 du 1 = = = sin−1 u 2 / 7 + C 2 2 ( 7 / 2) − u2 5 − 4x − 2 x 2 7 − 2 u2

∫

∫

(

∫

=

[

1 sin−1 2

]

2 / 7 ( x + 1) + C

Soal Latihan ( Nomor 1 sd 12 ) Pilihlah substitusi yang tepat untuk mencari solusi dari : 1. dx x 2 dx 5. ∫ 3/ 2 ∫ x2 + 9 9 − x2 2x − 3 6. ∫ x 3 x + 4 dx 2. ∫ dx 2 4−x x2 + 2x dx 7. ∫ dx 3. ∫ x +1 2 2 x x −1 t dx 8. ∫ dt 4. ∫ t+1 x x2 + 9 3x dx 9. ∫ x2 + 2x + 5

(

)

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

)

Matematika Dasar

10.

∫

11.

∫ x 2 + 2 x + 2 dx

5 − 4x − x 2 dx 2x + 1

12.

2x − 1

∫ x 2 − 6x + 18 dx

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung