216047342 Solucionario Demidovich Tomo Ii Bypriale c5t5o

WWW.SO LUCIO NARIOS.N ET Solucionarlo de Análisis Matemático por Deminovich tomo I, lli Solucionarlo de Análisis Matemático por G.Berman, tomo I, II, III Solucionarlo de Matemática Aplicada a la istración y Economía por E.WEBER. Solucionarlo de Leithold 2da. Parte. Geometría Vectorial en R2 Geometría Vectorial en R3

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ANALISIS MATEMATICO II S O L U C IO N A R IO D E M ID O V IC H

SOLUCIONARIOS UNIVERSITARIOS

T O M O II CO

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♦

IN T E G R A L IN D E F IN ID A

♦

IN T E G R A L D E F IN ID A

♦

IN T E G R A L IM P R O P IA

♦

A P L IC A C IO N E S

E D U A R D O E S P IN O Z A R A M O S

INDICE

C A P ÍT U L O IV

INTEGRAL INDEFINIDA

Pag.

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1.1.

Reglas Principales para la Integración.

1.2.

Integración mediante la Introducción bajo el Signo de la Diferencial.

1.3.

Métodos de Sustitución.

45

1.4.

Integración por Partes.

57

1.5.

Integrales Elementales que contienen un Trinomio Cuadrado.

79

1.6.

Integración de Funciones Racionales.

88

1.7.

Integrales de algunas Funciones Irracionales.

116

1.8.

Integrales de las Diferenciales Binómicas.

129

1.9.

Integrales de Funciones Trigonométricas.

134

1.10.

Integración de Funciones Hiperbólicas.

157

1.11.

Empleo de Sustitución Trigonométricas e Hiperbólicas para el Cálculo de Integrales de la forma

’

J

R(x, Vax1 +bx + c ) d x .

1 8

161

1.12.

Integración de diversas Funciones Trascendentes.

167

1.13.

Empleo de las Fórmulas de Reducción.

176

1.14.

Integración de distintas Funciones.

180

1

Integral Indefinida

C A P ÍT U L O

C A P ÍT U L O V

IV

L A IN T E G R A L D E F IN ID A 2.1.

La Integral Definida como Limite de una Suma.

218

2.2.

Cálculo de las Integrales Definidas por Medio de Indefinidas.

223

2.3.

Integrales Impropias.

2.4.

Cambio de Variable en la Integral Definida.

2.5.

Integración por Partes.

2.6.

Teorema del Valor Medio.

234 248 261

4.

4.1.

IN T E G R A L

IN D E F IN ID A .

R E G L A S P R IN C IP A L E S P A R A L A IN T E G R A C IO N .

0

F '(je) = / ( x) entonces j" f ( x ) d x = F(x) + c , c constante.

(2 )

J kf(x)dx = k j / ( x)dx, * es una constante.

@

J(/(jc)±g(x)<¿x = j f ( x ) d x ± ^ g ( x ) d x .

268

C A P ÍT U L O V I .3 1 ,.

[A P L IC A C IO N E S D E L A IN T E G R A L D E F IN ID A © 3.1.

Areas de las Figuras Planas.

3.2.

Longitud de Arco de una Curva.

3.3.

Volumen de Revolución.

3.4.

Area de una Superficie de Revolución.

3.5.

Momentos, Centros de Gravedad, Teorema de Guldin.

3.6.

Aplicaciones de la Integral Definida a la Resolución de problemas de Física.

276

Si J / ( x > k = F ( x ) + c

y

u = yW .

se tiene: ^ f ( u ) d u - F ( u )

TABLA DE INTEGRACION INMEDIATA.

310 Sea u una función de x.

325 347 357

377

©

J ^ = 1 „ | „ | +C

©

J ^ T = r r c ,8 ,7 ) + c

2

Eduardo Espinoza Ramos

= ln(w + y¡u2+a) + c , a ? í 0

J

1032

J u 2 +a

3

Integral Indefinida

(i6x2 + 8jc + 3)dx. Desarrollo

du

■= are. sen f u ' + c = -are. eos

J y[a2 - u 2 J

audu = -

^szn(u)du

-+ c

, a> 0 ln(fl)

+ c, ;a > 0

(6x2 + 8* + 3)dx = 6 J x 2dx + 8J xdx + 3J dx + c = 2x* + 4x2 + 3x + c

J (l2) 12) j"I eosu du = senu + c 10) \ e ud u = e u +c

= -cos(m) +c

1033

x(x + a)(x + b)dx Desarrollo

?

+y *

C i x a + b 3 ab 2 í x(x + a) (x + b)dx= \ ( x 3 +( a+ b) x2 +abx)dx = — + - — x +c

í< j t g u d u = —ln|cosw| + c = lnjsecMj + C!

^4)

tg u.du = ln|sen m|+ c 1034

Jsec u.du = tgu + c

(a + bx^)2dx. Desarrollo

J c s c 2 u.du = - c t g u +c

Jcsc u.du = lnjsec¿¿ + tgu\ + c

(l^ jcscu .d u = Ln \c s c u -c lg u \ + c

Jsenh(M)rf«=cosh(«) + c

@ Jcosh(M)¿K =senh(«) ) + c

(a + bx3)2dx = I (a2 +2abx3 +b2x6)dx = a 2x + Y x * + ^ - j - + c

=I<

1035

J 2 p x dx. Desarrollo

@ Jsec2h(u)du = tgh(n)) + c

j c s c 2 h(u).du = c tg h (u )+ c

\ ¡ 2 7 x d x = V 2 ^ J x U2dx = ^ 3/2 y¡2p +c =

Hallar las siguientes integrales, empleando las siguientes reglas de integración: 1036 1031

I5a2x 2dx J


Desarrollo

x j l f x +c

4

Eduardo Espinoza Ramos

Integral Indefinida

\-n

= — X4y¡X-----x 2\f x ~ 6 y j x + c 13 7

I

1037

(nx) n dx. Desarrollo 1041

i Tx Desarrollo

P

P

j p llí

i

„n \2 f U .m m- xn )2 ,f jc2"1- 2jtm+n + *2n 2«

I (nx) n d x = \ u n — = — I m " du = (nx)n + c

1038

J—

(a2,3- x 2/3)3dx. í Desarrollo J ( a 2/3 —x 2/3 )3dx = j (a2 —3a4/3x 2/3+3a2/3x4/3- x 2)dx

2

9

=a x — a 5

4/3

x

5 /3

9

+—a 7

2/3

x

7 /3

1042

\f-

2x2m4~x

Axm+n4~x

2 xln4~x

4m +1

2m + 2n +1

4« +1

+c

4 x f _ dx yjax Desarrollo

----- + c f(V a -V jc )4 d _ f fl2 -4a yfax + 6 a x -4 x \[ a x + x 2 ^ \[ax

J

4ax

J (yfx + 1) ( x - \ [ x + \)dx. = J [a2( a x y i n - 4 a + 6-Jax - 4 x + x 2(ax)“1/2 ] dx

Desarrollo

J"(% /3c-H1) ( x - \ f x + \)dx = j í * 3' 2 +i)dx = ^ x 5/2 +X + C = —^ - J x + x + i 1040

----7i-- dx i

X3

J 1039

£2=* fr (x í ü2d - 2 a:2m+2n~1 2 + jc 2

J

2x3 = 2a J a x - Aax + Ax^fax - 2x2 +— = + c 5 yfax

(x 2 + \ )-------( x 2 - 2 ) dxj -------3^7

1043 Desarrollo

J U +l)^ _

2)dx =

~ l ^ 2 dx =

J í ! +7 Desarrollo

J (*10/3- X 4' 3 - 2 x - 2,3)dx

6

1044

Eduardo Espinoza Ramos

Í

dx

1048

jr2 —10

1

Integral Indefinida

a)

1 tg2 J Desarrollo

Desarrollo dx

1

2V10

¡ T T o ' Í T - - (Vio)2

1045

í

ln

x + Vio

r r J , 8! A»fe = J<Sec! í - Í ) * . l g í - « + c .

+c

C-VÍO b)

I tgh2

\¡4 + x 2

Desarrollo

Desarrollo Por la fórmula 7 se tiene:

1046

| J (x +4)

Jtgh 2 xdx

= In I x + \l x 2 + 4 I+ c

1049

a)

=

J(l-sec! Ax)iír

=

x -tg h + c .

1 c tg" xdx. *

I V8-JC2

Desarrollo

tV v

Desarrollo [ c t g 2 x d x - J (c s c 2 x - \ ) d x X

•------ --------- = ore. sen (— =■) + c ,

t

e

-

/

7 (2 7 2 )2 -* 2

2V2

resulta de la fórmula 8. b)

1047

J

■s/2 + x 2 - J 2 - X 2

1 c tgh xdx. w

Desarrollo

dx

•Ja-x*

J,,g

Desarrollo

í

C tgX -j:

yj2 + x 2 - y ¡ 2 - x 2 JC =/ J 2f + x 22 - * 2 ( ^X22 y / 2 -V dx dx » V^4-X4 V 4 - r 4

1050

¡3xexdx Desarrollo

= f~ 7 = = = ~ Í * - = are. sen J y í ^ x 2 J J 2 ÍX2 V2 por fórmulas 7 y 8.

Ln x + y¡2 + x 2 + c Í3 xejrd x = f(3e)*¿c = - ^ J ln(3e)

J

+ C.

*

8

4.2.

Eduardo Espinoza Ramos

9

Integral Indefinida Desarrollo

IN T E G R A C IO N M E D IA N T E L A IN T R O D U C C IÓ N B A JO E L SIG N O D E LA D IF E R E N C IA L . J ax + l3

Ampliaremos la tabla de integración transformando, la integral dada a la forma:

J* f(y/(x)).y/'(x)dx

=

J

f(u )d u , donde u = y/(x)

1056

J a

a

a + ¡i

a

a

\ ^ d x

J x-l

Desarrollo

a este tipo de transformaciones se llama introducción bajo el sigilo de la diferencial.

2

f X + 1 dx = f(x + l + —1 — )dx = — + x + 21n | x - l | + c

, , 1051

J x -l

adx ------ x JJ aDesarrollo

1057

J

x -l

f x 2 + 5x + 7 , I --------------dx J x+3 Desarrollo

sea u = a - x —>du = -d x —>dx = -du f adx f dx f du , , c I ------ = a I ------- = - a I — = —aLn + aLn - aLn \-----J a -x Ja- x J u a -. 1052

f 2x + 3 Idx 2x+l

f x + ^X + '! dx= j*(x + 2 h— -—)dx = — + 2x + In | x + 3 1+c J x+3 J x+3 2 1058

J

J

x -l Desarrollo

Desarrollo

------------

[ x U x 2 + 1 dx= f(x 3 + x 2 + 2x + 2 + - Í - )dx J x -l J x+l

[ l —^ d x f ( - —+ — (— í— ))dx ——x + — Ln | 2x + 3| +c J 3 + 2* J 2 2 2x + 3 2 4 1054

X

f xdx

r4

r3

= — + — + x2 + 2 x + 3 1 n |x - l |+ c 4 3

J a +bx Desarrollo

1055

1

I — + b dx ax+ ¡5

1059

í

(a +

- ~ -)2dx X -fl

Desarrollo r b i f 2 2ab b~ . , 2 o /1 1 i ^ I (a +------ Y dx = (a- + ----------------------------+ -----T)dx - a x + 2aMn | x - a | + c J x -a J x - a ( x - f l) “ x~a -

f xdx f 1 a, 1 , x a , . , . I --------= I [------- (-------- )]dx —------ —L n \a + bx\+c J a + bx J b b a + bx b b

10

1060

Eduardo Espinoza Ramos

11

Integral Indefinida

J (jt +X1)2 dx

f - ¡ J L = d x = í ( x 2 + i r 1/2^ =

\ u ~ U2 — = yfu+C = J x 2 +l+c

JV 77T

J

J

2

Desarrollo sea

1064

u = x + 1 => du = d x , x = u - l

f y / x + lnx -dx J

X

Desarrollo \ ~ T du=

i (JC+ 1)2

1061

J u2

f ( ~—

J

u2

U

= ln | w| +—+ c = ln|* + l|+ —— + c u

x +l

C y fx + ln x , f . 1 ln * \, 0 r , ln x - ----------dx= l(-p r + ----- )dx = 2 ^ x + —— + c J X J yjx X 2

f bdy

J Vw Desarrollo

1065

Í—

J 3x2 + 5 Desarrollo

Sea

J 1062

u = 1 - y => dy = - du í —t — = í

=b ~y^ll2(iy=~bj u~ll2(lu = ~2bu1' 2 +c = - 2 b y ] l- y + c

J 3x + 5 1066

JVa-b xdx .

f

r

f X—

J (J3x)2 + ( J 5 ) 2

= —J —¡=a r c t g C ^ - ) + c = -^ = a r c tg (x í ^ ) + c S S \¡5 %/I5 V5

dx

J 7*2 +8 Desarrollo

Desarrollo Sea

dx 1x 2 - 8

u - a - bx => dx = ~ — b

dx _ , --------------------- - ; 0 < b < a (a + b ) - ( a - b ) x Desarrollo

1067 f s¡a-bxd x= fwl/2( - ^ - ) = - - \ u m du = - — u>fü+c = - — ( a - b x ) J a - b x +c J J b bj 3b 3b

1063

f

dx

j*______ dx______ - ^ * in i V7jf —2>/2 +c J (V7x)2 -(2 > /2 )2 y¡l 4V2 Jlx+ 2 ^2

dx

dx

=r

J (a + b ) - ( a ~ b ) x 2 J (Ja + b)2 - ( J a - b x ) 2

11

yfa—b dx f __________________

J (Ja + bj2 -(-J a - b x )2

Desarrollo . yja+b + sja—bx . ~ln ,----- ---- f = = - \+c 2yja-b.\¡a + b \la + b - y / a - b x 1

12

Eduardo Espinoza Ramos

13

Integral Indefinida

1

. . yfa + b + y j a - b x . In | ------ -----— | +c 2yja2 - b 2 J a + b -->J a - b x 1068

r

x 2dx

=

1072

x2+2

1 Ln 12- 2 x + 7 +8 jc2 | +c , por la fórmula 7

2v2

dx

Í yjl - 5 x 2

Desarrollo

Desarrollo dx

r

1069

I

F

1073

f x3dx

i

2

f/ J

Jt2 - 5 x + 6

vf

x

x

2

Desarrollo a

2

o.

t

(* + ~ -----= - ( — + — In | jc - a 2

x~ - a

J 3* - 2 yftdx

|) + c

2

dx

1

x2 +4

f

Cx 2 - 5 x + 6 j I —

J

1

~

7

x +4

~

J

=

f

,

.

3

( 1 —

f

5x-2 r

~

; ) d x =

x +4

2

I * 1 —

J

5x 2—

5

. . y ¡ 3 x- y ¡ 2 ,

* +4

~ i —

x +4

In | *2 + 4 1+arc.tg(—) + c

2

2>/3.V2

\¡3x + yj2

oHonr,a»q =—In - 2l-2^ lnl ^ +V2 1,

2 +

) d x

1074

I,

2

T I

^

i„ | ' f i x

+c

3 - 2x ,

Í 5x

dx

+7 Desarrollo

dx

J yJl + Zx2

f

J 5jc2+7

Desarrollo

r

,

= - l n 3jc2 - 2 ----- r - r ' n H r ----- /x l +c Desarrollo

1071

'¡5dx------- =-^=arcsen(^í) + c

x3dx

~2 a -x

Desarrollo

1070

_ 1 |*

_ j*______dx

dx

j yll + Sx2

f j yjl + (2y¡2x)2

-

1 f 2\¡2

=2 f

SJ .X

f 5

ÜÜL =

5Jí! +7_ 5V7 5

2yfldx

J y¡7 + (2^/2x)2

3 a r c tg (^ x ) - ^ In 15x2 + 7 | +c >/35

- i l n 15 ^ + 71 +c

^7 5

14

Eduardo Espinoza Ramos

Integral Indefinida

3.x:+ 1

J \ls x 2 +1 dx

1075

) a 2x 2 +b2

J

) a"x +b"

a 2x 2 +b 2

Desarrollo ( - * 2 L dx. 3 [ ' tb+ ( * =1 f J y j 5 x 2 +l J s]5x2+l J yj5x2 +l 10 J y¡5x2 +1

i f

1 , 9 o »? i 1 = — l n | a 'j r + ¿ r |+ —arc.tg(— ) + c 2a a b

Vm.

S J ^(y¡5x)2 +1 1080

jcdx

J4 7 ^7

- j \ l 5 x 2 +1 + ~ L n \yÍ5x+y¡5x2 + 1 1+c 5 \5

Desarrollo (*

x +3

Is ¡ J ^ 4 -dx

1076

f

xdx

_ 1 f

2 xdx

2

_ J_ = -^arc. sen(— ) + c úT

J Va4-*4_2j^4_;c4"2 Desarrollo 1081 J i« 6

i r?' dx + 3 í ------- = V-*2 - 4 + 31n | x + yjx2 - 4 |+ c , por la fórmula j \x -4 Jyjx2- 4

Desarrollo „2 ,

f iL * L = f A
1077 í

x2 - 5

Desarrollo 1082 f ^ - = i f— J a:2 - 5 2 J x —5 1078

—ln |x 2 —5 |+ c 2'

j" x 2dx

J VTm Desarrollo

J 2jc2 +3 Desarrollo 1083

f x

1 f

j V*6 - l

3 J V(;t3)2 -1

3a

= - l n | x3 + \¡xb - l | + c , por la fórmula 7

3

f jares' arcsen* , dx

J vT : x 2

Desarrollo 1079

J a x +b Desarrollo

J S p * = | <arcsenJ.

dx

Eduardo Espinoza Ramos

16

donde u = arcsen x => du =

dx

donde u = ln(x + vi-+ x 2) => du

\¡ \ —X2

\ll + x 2

2 2 u 2du = —u 2 +c = —(arcsen x)2 + c 3 3 í

1084

17

Integral Indefinida

2du = 2\fü + c = 2\j\n(x + yfl + x2 ) + c

1087

f arctg(~) --------é~dx 4 +x2

J ae~mxdx Desarrollo

Desarrollo

f arctg(^)

j f 2arctg(^)

j f

du Sea u = -mx => dx = ----m x

2dx

arctg2(

fe“(-—) = - m- J\ e udu = - -me u +c = -m- e~mx+c m

” t C

1085

\ a e - mxdx = a J J 42~3xdx

1088 \

l + 4x2

Desarrollo

Desarrollo f Jr-7 a rc tg 2 Jr d,j = 1 f j £ * J 1+ 4x2 8 J 1+ 4*

du J 42 3^<íjc = 16J"4 3xd x , sea u = -3x => dx = -'-

i f (arclg 2 f ) 3 - i * l + 24x2 J

16 3

= - l n |l + 4jt2 I --(a rc tg 2 x )2 + c 8 3 )dt

1089 dx

1086

Desarrollo

h yj(l + x 2) ln(x + Vi + x2 ) Desarrollo

f ■

^

,____

J y/(l + x 2) ln (x + J l + x 2 )

- ¡ I M x + J u x 1 )] J

J ( e ' ~ e ~ ' ) d t - j e ' d t - j e ~ ' d t - e ’ +e~' + c

----- vl +x

4“

3 ln(4)

m

1090

*

I (ea +e a )2dx Desarrollo

- 4 2.4~3* 31n4

42~3* -+ c 31n4

Eduardo Espinoza Ramos

18 m

x

x

m

2x

2x

2x

2x

i (ea +e a )2d x - I (e a +2 + e a )dx = ^ e a + 2 x - ^ e a +c

Sea u —x~ => du = 2xdx => xd x = — 2

-x ,_^2 f (ax ~ b x)2 -dx J a xbx

J

2

1091

2

í x . l x dx = [ 7 ^ ^ =

J

Desarrollo 2 (■ 2* \ ^ x - b± d x = J axbx J

^„ x< x ..2 x dx= a 'b x

1095

f((a-by - 2 + £ aY ) d x

1 dx dx Sea u = — => d u= — ■? => — = -d u X

ix

X

„

y

1

Desarrollo r Sea u = yjx

dx dx => d u - — =• => 2d u = —j= 2\¡x s¡x

{ 5J~xdx = \ 5“.2du = 2 ( 5“d u = — + c = — 5 ^ + 0 ln(5) ln(5) Vi J J ln(5;

J

Desarrollo

1097

f — — dx J ex - \ Desarrollo

= — fe^du = ~ \ eU + c = _ ^ " (Jrí+1> + c Sea « = £ * - 1

1094

I

\_ +c = -e 1+c

Tx

2 o y

=> du = -2x dx => xd x = ~ — 2

X

dx I5^ —

x

f a -1 f, a 1, f.y -§ w 2a _ _ r f * = ( - = — -j=)dx= \ ( a 2 - a i ) d x = - . ~ — + ------- + c In a In a j ¿Y J y fc 77 J 3 lr

J e ~ ^ +l)xdx = J e \ ~ )

X

J e— dx = j e u(-du) = - J eudu = — 1096

3x

Sea u = -( a '2 +1)

7dx Desarrollo

[ alX ~ XA J- J T *

Je + ^ x d x

I

1

J

Desarrollo

1093

1 7 Í7 “ — = - Í 7 " d « = - — - + c = ---------2 ln(7) 21n(7) 2 2J 21n('

J

l

¿Y i-)x j fl b - b _ +^ — - 2 x +c = ± r - ( £ ) x + ( - ) x) - 2 x + c ln(—) ln(—) 'n a ~ hlb b a b a 1092

19

Integral Indefinida

=> du = e xdx

*.7* <£t í C>— - = f — = In | m| +c = In | e* - 1 1+c

Desarrollo

J ex - l

J «

+c

Eduardo Espinoza Ramos

20

f axdx 1 f du 1 1 , ------— = -— ----- ? = -— arctgM + c = -— arctg(a ) + c J l+a m a j\+ u lna lna

bexdx

1098

21

Integral Indefinida

Desarrollo Sea u = a - b e

,

. r. X. dU => du = -b e dx => e dx —----b

[ ( a - b e x )^e xd x - [u ^ J J X

1099

I

1

b

bJ

1102

e~fa¿jc

f-

I+ e~2hx J 1Desarrollo

Sea u = e hx => d u = -b e ~ hxdx => e~bxdx = - —

[u^du = ——u^ +c = - ^ - - J ( a - b e x)3 +c 3b 3b

X

f <¿r h—

(ea +1 y >eadx

J 1+e

lf á 1 , x 1 , h — 2’ = _ 7:arcts (M)+t: = - T arctg(^ ) + c ¿ J 1+ w b b

Desarrollo ¿ - dx Sea u = e a + 1 => du = e a — a

1103

Desarrollo Sea w = e' => du = e ‘dt f e!í/í C du 1, , 1+ u . 1, . 1+ e‘ . I — = I ----- í- = - l n ----- +c = —l n -------1+c J l —e J l-u 2 2 1-M 2' l - e' '

dx

J 2X+3

f-

-e2' J 1-«

=> adu = ea dx

* * f - — f f 3a 3a — I (ea + l)3e adx = I u 3adu = a \ u 3du = -^ -u i +c = — (ea -1 ) 3 + c

1100

dt

Desarrollo

1104

J sen(a + bx)dx Desarrollo

f— J 2* +3

— f ( l — - ) d x = - ( x — — ln 12X + 3 1)+ c 3J 2* + 3 3 ln2 Sea u = a + bx => du = b dx => d x - — b

110.

l-a ™ J \+a

Desarrollo

f r du 1 f J sen(a + bx)dx = J sen(w)— = — I sen(u)du

= - —cos(«) + c = -icos(« 6 fe

+ kO+ c

Eduardo Espinoza Ramos

22

1105

J

Jt

J senflog x ) ——= J sen(«).ln(10).dM = ln(10)J* sen(u)du

COS( ~7 =)dx

Sea

23

Integral Indefinida

v5 Desarrollo

= - ln(10) eos (u) + c = - ln(10) eos (log x) + c

u - -—= => \¡5

1109

J"cos(-JL)í£t'= J*cos(m)\^5í/m = V5j"cos(w)ài/ =

i sen2xdx

Desarrollo

5 sen(«) + c = . 5 sen( * ) + c

., ,

?

1 - cos2jc

Usar la identidad: sen x = ----------1106

J (cos(oa) + sen(ax))2dx

- cos(2jc) , x sen(2x) Jsen2.xí¿t = j i ­------------ d x - --------------- + c

Desarrollo

J"(cos(a.v) + sen(ax))2 sen(
(ax) + 2 sen(ax).cos(ax) + sen (ax))dx

2

1110

2

4

j e o s 2 xdx Desarrollo

= I (1 + 2sen(ax).cos(ox))cfcc = x — —cos(2
1107

2

1+ cos(2jc) 2

Usar la identidad eos x = --------------

Jcos(Vx). dx 4~x

J*cos2jc
Desarrollo r dx dx _ , Sea u = y/x => d u = — -¡= => —¡= = 2du 2\Jx yX

1111

j* cos(V x).-^- = J*cos(u).2du = 2 J eos (u)du = 2sen(w) + c = 2sen (\fx) + c

1108 í

a-

4

secz (ax+b)dx Desarrollo

[ see2(ax + b)dx = fsec2 u — = - | see2 udu = - t g n + c = -tg (o x + fc) + c J a aJ a a

J

Desarrollo => — = ln(10)í/w

2

du Sea u = ax + b => dx = — a

sen(log x).— x

Sea u = lo g x => d u - — —— ln(10)x

í

2

1112

j c t g 2(ax)dx

24

Eduardo Espinoza Ramos Desarrollo

1114 Usar la identidad:

25

Integral Indefinida

1+ c tg 2 x = ese2 x

dx K 3 c o s(5 x -—) 4 Desarrollo

je tg2(ax).dx = 1113

J (csc2(ax) -1 )dx =

_*+c

dx 1 i 5x JT. i " ------ = — ln |tg [— + - ] | + c o /« **15 2 8 3cos(5x---- ) 4

dx

f

sen(-) Desarrollo

1115

dx sen(ax + b) Desarrollo

_ x _ , x „ ,x , Se conoce que sen—= 2sen(— ).cos(— ) a 2a 2a

dx i—

' sen (-)

- \

J 2sen(— ).cos(— > 2a 2a

Se conoce

se c (^ ) 2a dx 2 ¡ sen(— ) 2a

f ■

-

J sen(ox + b)

2, X see (— ) 2a

du = see (— ).— 2a 2a

ax + b ax + b — ).cos( ^ )

dx ,ax + b s ax + b J 2 sen(— - —).cos(— - )

f

, . sec(—- — )

j f sec2( ^ ) - d x = -1 ‘f 2a dx - l i sen(— ).sec(— ) 2j 2a 2a Sea u = tg(— ) 2a

sen(ax + b) = 2 sen(

r s e c = (-í ^ >> , , [>sec

=1f- - - 2— dx= - i - - - 2 J sn ,(£ £ ± * )

1116

.g (H ± í,

xdx

J cos2(x2)~) Desarrollo

? JC De donde se tiene: see (— )dx = 2a dx 2a

h r dx

,

,ax+b..

“

2

= - lnltg(— )!+c

26

1117

Eduardo Espinoza Ramos

J * se n (l-jr)í£ c

1121 Desarrollo

1‘W^rb )dx Desarrollo

Sea u = l - x 2 => du = -2x dx => x d x - ~ —

J*.í sen(l - x~ )dx = J sen(l - x2)xdx = J sen

27

Integral Indefinida

Sea u = — a -b

=* dx = ( a - b )d u

J c tg(—^-j-)dx = Je tg a.(a - b)du = ( a - ¿?)J cigu du

f»

1 Jf $enudj u = — 1 cosu+c = —cos(l1 X 2) + c

1118

X = ( a - b ) In Isenu | +c = ( a - b )ln | sen(------ ) | +c a -b

r - \ ) 2dx I sen(;t sen(xv2)

1122 Desarrollo

I

dx ,x. W j) Desarrollo

J (¡en x v ^ ~ 1)2 ^ dX = J (CSC^

~ 1)2 ^ dX = J (CS° 2^(Xs^ ) " 2 csc(;cV2) + IWjc

= J ( l + c s c « ( ^ ) - _ ^ I A „ _ ^ ctg(^ ) _ _ | l n |,g(^

1119

r , r f c o s (|) I — — = I ctg(—)dx = I -------- dx = 51n | sen(—) | +c J t tgCj) g íí) J 5 J senA 5

)|+ c

1123

/ tg xd x

J tg(\fx). dX VI Desarrollo

Desarrollo Sea

f * * * = f — dx = -ln eos * +c J J eos Jf 1120

i— i dx dx ~ , z = \ x => dz - — => —¡ = - 2 d z 2yjx yjx

J tg(VÍ).-^ = Jtg z.2dz = 2j tg zdz = -21n | eos z | +c = -21n | eos Vz | +c

tg xdx Desarrollo 1124 \cig xd x = J J senjr

= ln | sen jc| +c

JxCtg(A'2 v" +1 )dx Desarrollo

28

Eduardo Espinoza Ramos

Sea u = x 2 + 1

29

Integral Indefinida

=> x dx ——2—

p o s ta d

J sen (ax)

J xc tg(x2 + 1)dx = Jr tg(x2 + l)xdx = j c l g u . ~2du

L a * « ,) ) - * .* * « ) * .

J

J

, +c = — J-+C = --------!¡ u a a sen (ax)

du

donde u = sen (ax) => cos(ax)dx - — a

= i ln | sen u | +c = ^ ln | sen(jr2 +1) | +c

1129

sen(3x)djc

I 3 + cos(3jc) Desarrollo

dx

1125

a

sen x. eos x

í

dz

Desarrollo

Sea u = 3 + eos (3x) => dz = - 3 sen (3x) dx => sen(3x)dx = ——

f dx f secx , f see x , , , , I ------------- = I ------- dx = I -------- dx = ln tg x \+c J sen x co s.r J senx J tg jc

f i E 2 f ^ L = - l f ^ = _ I l n l z l + c = - i l n | 3 + COS(3x) |+ c

J 3 + cos(3jc) 1126

íco s(—).sen(—) -)dx

J

a

a

1130 Desarrollo

sen*, eos jc

3J z

3

3

.

rdx

I Veos2 Jt-sen2 x

Desarrollo fcos(—).sen(—)dx = —sen2(— J

1127

I

a

a

2

a

Se conoce que: sen x.cos x = — ^—

sen3(6x).cos(6x)í¿v

f

sen xcosx

J Veos2 Jt.sen2 x

Desarrollo

= ¿ f sen(2*) ^ = 1 f ( c o s { 2 x ) ) ~ 2 sen(2x)dx ~

Sea u = sen 6x => du = 6 eos 6x dx

J*sen3(6x).cos(6A)¿x - Ju i du6

u4

— = —

1128

>/cos(2x)

2J

yJcos(2x)

2~

sen4(6jc)

+ c - --------- — - + C

24

24

1+ 3 eos2 x sen(2*)dx

1131 V

cos(ax) ,

J sen5(ax)

y eos x —sen x —cos(2.r)

Desarrollo

dx

Desarrollo

Sea u = l + 3cos2 x

=> du = - 6 eos x . sen x dx

30

Eduardo Espinoza Ramos

Integral Indefinida

du = - 3 sen (2x)dx ; — y = sen(2x)dx

J*(l + 3cos2 x ) 2 ,sen(2x)dx = —i j u 2du = ~ u 2 + c = - ^ y j ( l + 3cos2 jc)3 +<

1136

f l + sen(3.t) ¿jr_

f(sec2(3jt)+tg(3.x).sec(3jr))dx =

J cos2(3x)

J

tg(3x) | sec(3x) | c

(cos(üx) + sen(ax))2 sen(ax)

í

Desarrollo 1132

,sec2(—)dx

r(cos(ojc)+sen(ax))

3

Desarrollo

J

Sea u ~ tg(~) => 3du = scc2(^)dx

4 3 a .X. J tg 3(-Í).sec2(^)í¿c = j u 33du = ^u + c = - t g ( - ) + c 4 3

fl + 2sen(ax).cos(flx) ^ J

sen(ox)

J (csc(ax) + 2 cos(ax))dx = —(ln | csc(ax) - c tg(ax) | +2 sen(ax) + c

1137

f

csc3(3x) _ ^

J b - a c tg(3x) Desarrollo

eos2Xx Desarrollo

f ^ ^ J eos" x

Sea u = b - a ctg (3x) => du = 3 acsc“ (3x)í/x

í sen

J

3

V1

f _ £ ! £ ! 2 í L . ^ = _L f = ._ Lln | u | +c = J -ln | b-- aC tg(3x) | +c J /?-actg(3x) 3a J u 3a 3a

(x)

1138

J (2 senh(5x) - 3cosh(5x))t/x

Desarrollo

Desarrollo f

c c t s 3 (x) r ~ ^ ~ I r---- |c t g 3(x).csc (x)dx = — ctg 3(x) + c J sen (x) J 5

J1

dU 2 ~ ^ ¡ ~ csc

= f(tgx)2.sec2 x d x = —tg2(x) + c

2

1135

_

dx

1133

1134

sen(cijc)

+ sen(3x) ,

dx

1139

cos2(3.y)

Desarrollo

2 3 (2 sen(5x) - 3 cosh(5x))dx = - cosh(5x) - - senh(5x) + c

1

senh2 xd x

Desarrollo

Eduardo Espinoza Ramos

32

33

Integral Indefinida

cosh(2*)N,x senh(2x) Jsenh2 x d x = J (—i H-------------)dx —----- 1--------------1-c 2 2 4

í c tgh(x)dx = f C° Sh(A)^ = ln | senh(jc) | +c J J senh(x) Hallar las siguientes integrales indefinidas:

1140

í senh(jc) 1145

Desarrollo

í ' ^

■x2dx Desarrollo

d'X = ln | tghí^) | +<~ senh(x) 2 J x\¡5 - x 2dx = J* (5 -

X 2 )5 xdx

= —^ j*(5 - x 2 )5 (-2 x)dx =

dx

1141

cosh(jt) 1146

Desarrollo

J x - 4* +1 Desarrollo

f — —— = f ------- dx - 2 f e— - dx - 2 arctg(g*) + c J co sh U ) J \ + e2x J l + e2* 1142

Sea u = x 4 - 4 x + l

i senh(jc).cosh(jc) dx

f see h(x) J

Csech2( x ) ,

, .

,,

.

I -------------------- = -------— dx = --------— dx - ln | tgh(x) | + c J senh(x).cosh(*) J senh(x) J tgh(x)

1143

J

1147

= (x3 - l ) d x

1A + 5 Desarrollo

tgh(A‘)¿V

f x 3dx _ f

J ^ 5

Desarrollo J" tgh(x)dx = J* Senj^ *| dx = ln | cosh(x) | +c

4

f — - — í— dx = — f — = —ln |m |+ c = —ln | a 4 - 4 x + \ \ +c J x 4 —4jc + 1 4J u 4 4

Desarrollo

f

=$ -

1148

x 3dx

_ J (a4)2 +(y¡5)2

1 4^5

,x A tg(.-!=)+ C Js

í xe x dx Desarrollo

1144

\ctgh(x)dx Desarrollo

a2)6

+C

34

Eduardo Espinoza Ramos

j xe x dx = j e x xdx = —i j e udu

=—21 e« +c = — 21e

+c

35

Integral Indefinida

1152

f 1 -se n *

J * + cos*

dx Desarrollo

1149

J 3 - > / 2 + 3.í 2

dx

Seaz =

2 + 3*2 Desarrollo

fj—sen.x_¿x = í —

J * + cos*

dx J

2 + 3*

J 2 + 3*

J 72 + 3*‘

1153

Usando las formulas 4 y 7, se tiene:

f3 - 7 i7 p ^ _ J

2 + 3*

f

f

dx

J 2 + 3* =

ln | z | +c = ln | * + eos * | +c

=

J z

f tg(3*)-ctg(3*)^ J sen(3*) Desarrollo

f jg(3*)—ctg(3*) sen(3*)

Jx

J V2 + 3*2

a rc tg (* ^ -) -

_ f (Sec(3^ _ c tg(3x)csc(3*))d*

J

J = - [ln | sec( 3*) + tg(3*) | + ---- ——] + c 3 sen(3*)

ln | \¡3x + y¡2 + 3x2 \ +c 1154

1150

x + cosx =» dz = (1 - sen x)dx

f¡L±dx

dx

J * ln 2 *

Desarrollo

J *+1

Desarrollo f

(* - * + 1--- — )dx = -(-* —21n * + 1 +c *+1 3 2

1155 Desarrollo

- du 2 .= — 1 +c u J

d\ - = f(ln x) J * ln ' * J

x

donde u = ln x =>

dx du- — *

J

= f«

1 1- c ---------ln(*)

see2 xdx y¡ig2 x - 2

Desarrollo Sea u = tg x => d u = see2 x d x f see2 xdx

f

J s]tg2 x - 2

J yju2 - 2

I

—- I

du

, , r —In Iu + \lu 2 - 2 | +c = ln | lg x + \jtg 2 x - 2 l+ c

36

1156

Eduardo Espinoza Ramos

J (2h----- — )-

*

f

dx

f xdx 1 f 2 xdx 1 2\ I ,____ = — I —= = = = = = —aresen(x ) + c JV ÍI7 2 2

2x +1 2x +1

J

x

+

Desarrollo C dx

+

f

xdx

1160

J 2x2 +1 + J (2x2 +1)2

*" 2x2 + 1 2x2 1 ~

= \Í2 arctg(W2)--------—— + c 4(2x“ +1) 1157

í

í

Xg2(ax)dx

Desarrollo

I (sec~ (a*) -1 )dx = í^ a x'>- x + c J"tg¿(ax)dx= tg2(ax)dx = J*(

1161

a senx eos xdx

J sen2('(^r)dx 2 Desarrollo

Desarrollo «

Sea u - a senx => du - a scnx cos x. In a dx

=>

In a

,

i

1-cos(2jc)

—eos x . x sen* dx = --------------- hc J sen2(-^)ífa = J - --------2 2 1162

J* x 2dx

,

Por la identidad sen' x ---------------- se tiene:

= a senx eos xdx

f sen* f du 1 a senx la cos xd x = I ----- = ------u + c - ------- + c J J \na lna lna

1158

37

Integral Indefinida

J

see2 xdx \¡ 4 - tg 2x

JW T \

Desarrollo Desarrollo f see*2 xdx

„ 3 , Sea u = x +1

f X dx

=>

dU

■y

= aresen(-----) + c

— = x~dx 3

f 3 -r 2 . f du 1 I —...-.....- I (x +1) 3x~dx= I u 3 — = —u J 3 2

J

1163

f

dx

^ eos(—) Desarrollo

1159 x4 Desarrollo

38

1164

Eduardo Espinoza Ramos y¡\ + In x

sen x -e o s x , --------------- dx sen x + eos x

1168

---------- dx

1

39

Integral Indefinida

1

Desarrollo

Desarrollo

Sea u = sen x + eos x => du = (eos x - sen x) dx => -du = (sen x - eos x)dx

Sea u = 1 + ln x => du = l~ x

3 -

l

3

f sen x - eos x , f du , , . , --------------- dx = I ------ = -ln w + c = - l n |s e n x + co sx |+ c J senx + cosx J u

-

J Vi + ln x — - J*“ 3d u - —u 3’ + c = —(1 + ln x )3 + c 4 4 (1 - sen (-~ ))2 1165

x -1 ).-

1169

yJfxx-- l

J

í

--------s e „ < - |)

Desarrollo Sea z - y j x - l

dx „ , => dz= J í— => 2 dz = -

dx

2 y jx ~l

yjx-l

Desarrollo ,( l- s e n ( ™ ) ) 2 f -----------— — = í ( ---- -------- 2 + sen{-^=))dx

sen(-^=)

J*tg(V*-T).-^==== = 2J*tgzdz = -21n(cosz) + c = —2 ln | eos V x-1 | +c

1166

i

sen(x2))

2

Desarrollo

1170

f

xdx 1 , , , r %l 1 ,, I -------j - = -In Itg(— ) | +c = - ln(csc(x ) - c tg(x2)) + c

1167

J

2

2

e ^ '+ x ln ü + x V l 1+ x 2

x dx

I x2 - 2 Desarrollo

2

dx - 1(1 + —^— )dx = x + -^= ln j —— | +c x —2 V2 x+ V 2

dx Desarrollo

1171

+ x ^ + l ^. = ,f . e aMgv x ln(l + x2) 1 w dx = | (------ - + --------- - + --------)d x 1+x2 X ~ J 1+ X 1+ x~ 1+ X

Ce ^ + x W

J

"72

= V2 ln | f g ( ~ = ) | -2 x - yjl eos ( -j =) + c

xdx

J sen(x sen (x )

sen(^=)

=e

arctot

ln (1 +

X~)

° + ------------- + arctg * + c

f (1 + A-)2

-dx

J x(l + x¿) x2

Desarrollo

40

1172

Eduardo Espinoza Ramos

Integral Indefinida

j"esen* s e n l x d x 1176

Desarrollo

£ í , e — - dx s¡e2x- 2 Desarrollo

Sea u = sen2 x => du = 2 sen x . eos x dx = sen 2x dx f e 'd x J 4elx - 2 1173

5 f - .5 3A dx J JV4i"-3^ -3 r 2

1177 Desarrollo

f 5 -3 * f I ~~r ' ti* = 5 I J V4 - 3 * 2 1174

f - 7=¿ £ = J J ( e A)2 - 2

=

m |^ + V ¡ 2^ 2 | + c

dx ¡ sen(fl.v). cosía*) Desarrollo

f xdx 5 V3* I------- 7 -3 I = -= arcsen (——) + V 4 -3 * +c J V 4 -3 7 V3 2

d* .....

-

f dx = f sec(^2
= —ln | tg(ax) | +c «

f ¿*

J e*+1

1178 Desarrollo

f dx

f

,

I —----= I ------- -í/* = - l n 1+ e ■* +c = -{\n(} + e x ) - l n e x ] + c

J e +1

2tt? , sen(— + yf0)dt i' 1

Desarrollo

2Kt Sea u —-----+ i//n => d u = — dt T T

J l+e

= - [ ln |l + e JC|- * ] + c = * - l n | l + e* |+ c

2n ., => dt = T — ~ ¿n

rj. du

j s e n ( - ^ + 1/ 0)dt = J sen u.T — = ~ J sen u du

1175 h (a + b) + ( a - b) x~ eos 11 T , 2tt/ = - r ------ + c = ------ cos(-— +v^0) + c 27T 2n 1

Desarrollo

f _____ * ____ _ = _ L f _ dx

J (a + b) + ( a --bb))xx~1

a - b j aa + b |a - b

1 1 ¡a + b

t = arctg (~ t ) +c " ¡a+b

1179

r

rf*

J *(4-ln2. *(4-ln ~ *) Desarrollo

a ~b. -arctg(* /------ ) + c ■Ja2 - b 2 Vfl + ¿ 1

Sea u = !n x => du

dx =—

42

Eduardo Espinoza Ramos

f . f _ * J x ( 4 - l n ' x ) J 4 -u ~

l |„ |i ± ü 4 2-u

43

Integral Indefinida sen 2* sen x.cos * = --------

1, , 2 + ln x , + c - —l n --------- +c 4 2 - ln x

f -------—-------= 4 f — ^ = 4 f csc2(2x)dx = -2 c tg(2x) + c J sen“(2x) J -

. arccos(—)

J sen2 x.cos2 x

1180 Desarrollo

1184

dx Sea u = arccos(—) => du = — — 2

Desarrollo

du=-

/l_ ( |) 2

V^X2

¡

-arccos(-) f «2 1 I —-j— 2 dx = - \ udu = - — + c - — (arccos(—))2 + c J V4 V 4 -r 2

J

2

í

aresen x + x , dx •x2

2

2

1185

^

x

+

x

dx= ^

l

f _

^

+c

f secx.tgx , J

i

2.......

J vsec x + 1

1181 í

Desarrollo

e~lg 1see2 xdx

, If secx.tgx —
Desarrollo Sea u = - tg x =» du= —sec2 xdx

J*e~tg' .sec2 x d x = -J*eV « = —e" + c = - e _tgA + c

1186

cos(2x)

I 4 + cos2(2x)

dx Desarrollo

1182

f senx. eos .v , dx J V2 - sen4 x Desarrollo ,------ ----- - dx = —arcsen(—

V2-sen4*

=—) + c 2V2

1187

f cos(2x)

f

cos(2x)

J 4 + cos2(2x)

J 4 + 1—sen2(2x)

f cos(2x)rfx

J 5 -s e n 2(2x1

f— í i J 1+ cos Desarrollo

1183

dx

sen2.v.cos2* Desarrollo

1 ^ i ^+ sendx) 4^5

V5-sen(2x)

+c

44

1188

Eduardo Espinoza Ramos

4.3.

¡n(x + -Jx2 +1)

f

M E T O D O D E S U S T IT U C IO N .PRIM ERO.-

Desarrollo

SUSTITUCION O CAMBIO DE VARIABLE EN LA INTEGRACION INDEFINIDA.

na;- l

dx

Sea a = ln(x + yfx2 +1) => du =

45

Integral Indefinida

Se hace poniendo

x = y(t), donde t es una variable y f es una función

continua diferenciable,

x2

f(x)dx =

jv

ln(.v + n/a" + 1 ) (* /“’J 7 ^ dx f ^, ------ d x - I (\n(x + \¡x + 1 ))2 —p------ = I u du —

7 ,^ 7

j

i+x2

{NI I r*-i

f i

J

J f(\f/(t))xif\t)dt

...

( 1)

La función \\i se procura elegir de tal manera que el segundo miembro de (1) tome una forma más adecuada para la integración.

—■\](ln(x + y¡x2 + l))^ + c

SEGUNDO.-

3

1 1189

í jc2 cosh(;t3 + 3)<£c

SUSTITUCION TRIGON OM ETRICA

Si la integral contiene el radical \[a2 - x se toma: sen 0 =

a

; x = a sen 0

x dx = a eos 0 d0 => 9 = arcsen(—) a

Desarrollo o du , Sea u —x 3 +3-> => — = x 2 dx

f 2 , , 3 f , , . du senh(n) senh(x3 + 3) I x cosh(x + 3 ) d x - I cosh(«)~— = ------— + c = ------ --------

J

J

3

3

3

+ C

2

Si la integral contiene el radical \ x 2 —a 2 se toma: sec0 = —, x= a see 0

^tgh(A)

1190

, dx í cosh“(jc)

dx = a see 0. tg 0 d0 : 0 = aresec(-) a

Desarrollo Sea u = tgh x => du = see l r ( x ) d x j*

-jtglUjr)

/•

»

\/x2 - a 2 ~u

I - 1— ,-d x= I 3'gb*.see hx2dx = 13 “du = --------- + c

J cosh“(.v)

J

J

ln3

itghx

--------+ c

ln3

a

46

Eduardo Espinoza Ramos

3

47

Integral Indefinida dt

Si la integral contiene el radical 4 a 2 + x 2 se toma: tgd = —

L+ / l+c = - l n \ \ + e~x I +c x = a tg 0 ; dx = a see2 6 d6

J e '+ l

; 9 ~ arctg(—) a c)

J e " ln,+1

J l +í

I x(5x2 - 3)7dx , 5 x 2 - 3 = t i ‘ Desarrollo ? , dt 5x - 3 = t => jcí/x = —

10

1191

(5x - 3 ) \ x ( 5 x 2 - 3 ) 1dx= f / 7 - = 4 + c = ---------- — + c 80 J 10 80

Hallar las siguientes integrales, utilizando para ello las sustituciones indicadas.

J a)

dx

i*

1

J x J T ^ . ' x ~~>

d)

Desarrollo

f xdx i---- r I , t = J x +\ J Vx + 1 Desarrollo

1

x —-

t

-1

=> dx = — — ademas t = — r x Ad t

A

t = yj x+1 => dt = ---- 7 -dt xyjx2 - 2

J 2r2

J V l- 2 r 2

1

f dx

J ex +1

t = y ¡ X + 1 =>

X =

f 2 -1

arccos(v2 ?) + c (V2í)-

V2

1 V2 /- 7=arccos(— ) + c , x> \J2 V2 x b)

= = i

2y¡X + \

dt

eos xdx / ’ 1 = sen x J VI + sen a Desarrollo f

e)

x = - ln t Desarrollo

t = sen x => dt = eos x dx f eos xdx

J Vi + sen2 x

f

dt

J \¡\+t~

_ = In I?+ Vl + r I+c = ln | sen x +

+ sen2 x | +c

48

Eduardo Espinoza Ramos

i------Sea t = yj 2.V + 1

Hallar las integrales siguientes, empleando para ello las sustituciones mas adecuadas. 1192

I

49

Integral Indefinida

x(2x + 5)w dx

f

J

dX

=>

x \j2 x + 1

2 1195

2

2

i

= 2 a + 1

2 . t —1 ; x = ------ => dx = td t yj2x + 1 + 1 . +c [ +c = ln | i * + 1

- f - y —— = 2 f -y— - In 1

Desarrollo t = 2x + 5 => — = dx , x = -- ^

r

-i

J

r

-1

V2 a

í-1

+1 - 1

dx

í •je* -1 Desarrollo

f x(2x + 5)}0d x= f — J 2

J

2

= - f ( / n - 5 t w )dt = - [ - ----- — í “ ] + c 4j 4 12 11

; i í a * ± s F _ ± (2x+ 4 12 11 1193

1+ X

I l + yfx

Sea t = \Je' -1

t ~ —e x —1

e x —t +1

2tdt e cdx = 2id / => dx = t2 + 1

n

2tdt dx

f Desarrollo

Sea t - y í x

=$ t 2 = x

=> dx = 2t dt

—I— = f ? ± 1 = 2 f f '

J V ^ -l 1196

J

f

= 2 arctg t + c = 2arctg(V ?7 ■l) + c

Jr+l

fln(2x) dx

J ln(4x) a Desarrollo

J 1+ yJX

' J 1+ t

J

í+ 1

ln(2x) = ln x + ln 2 ; ln(4x) = ln x + ln 4 = ln x + 2 ln 2

T 2 /3 t2 2J ( r - t + 2 - — )df = 2 [ - — + 2 /- 2 1 n |f + l|] +
fln(2x)

J ln(4x)

dx _ j* lnA + ln2 ^ dx _ f ^ xJ

ln

x + 2 ln 2

a

J

ln2 lnA

+ 21n2

= ln x - (ln 2) ln |ln x + 2 ln 2¡ + c = 2[— -----—+ 2\[x - 2 \ n | \ + \[x |] + c

1197 1194

f dx J x\J2x + l

f(arcsenx)2 ,

J

Desarrollo Desarrollo

^dx x

Eduardo Espinoza Ramos

50

Integral indefinida

51

dx

Sea t = arcsen x => d t -

vr

f (arcsen r f J V J lT- x7 1198

f 2 1

/

(arcsen*)3 + c = ---------------í-c

f-7 ^ = =

■

j

* v tt 7

dt t.-zí -?==== = - f “ 7=== = “ In Ir + V í^+T | +c j

e2xdx

í Vex +]

.i

*

Cf_-

J V77I J

I

, , i + V i + *2 ,

. ,

1 l t d t = 2(t- - t ) + c =^-í(r2 - 3 ) + c - ~ ^ l e x + \ ( e x - 2 ) + c

*

1 +V 1 + * 2

*

1201

r

I" x 2dx

J VHv Desarrollo

sen xdx Desarrollo

Sea t 2 = eos * => 2t dt = - sen x dx ; como t 2 = eos * => í 4 = eos2 * - 1-sen* * ; sen~* = l - í 4

cos0 = V i - * 2 ; sen 9 = x => dx = co s0 d 0

j W « f a = f l z í l . (_ 2„ d, = - 2 f (1- , < v , = - 2 ( , - 4 ) + <' = 7'(>4 5) + c J t J

J v cosx

J V i-* 2

= y Veos *(cos2 * - 5) + c

fW O . c o s I ) ^ j cose

¡ 2 e d e ^ f i r ” * * ’) de J J 2

0

sen 9 eos 9

arcsen*

2

2

2

Vi

:------------------- hC = ------------* ------1200

*

Hallar las siguientes integrales, empleando sustituciones trigonométricas.

Sea t 2 = e x + 1 => ex = t 2 - 1 => e xdx = 2rdt r e2xdx

Vi+ * 2 1,

.

= —ln | — h----------1-t-c = —ln ¡-------------- ¡ +c = l n |------ = = ¡ + c Desarrollo

1199

r r

f y J *Vi+*~

1202

Desarrollo

í

x'dx

&

2

52

Eduardo Espinoza Ramos

53

Integral Indefinida

Desarrollo \Í2 eo s 8 - 7 2 - x 2 ; x = \¡2sen9

f \jx 2 - a 2 J x

=> dx = \Í2 co s9 d 9

_ j>a íg 0 .íis e c 0 .tg 0 í/0 _ J a se c 0

f^2

J

6d6

= « | (see2 0 - 1)d9 = a tg 9 - u9 + c - \ j x 2 - a 2 - a.are see( —) + c

J

a

= 7 ^ 2 - « 2 -a.arecos(—) + c x 7 2 -X 2

1204

f

dx

JxT T T Í x dx

í

y¡2-

Desarrollo

f 2V2 sen3 0.V2 eos 6 d 0

J

V 2cos0 c tg 0 = - ¡ = L = 7771

2>/2 J scn} sen3 0OdO d 6 = 2V2 2V 2 JI (1 ( l-- c o s ¿ 9 ) s e n 9 d 9 = 2 a /2 (-c o s0 +

;

cos0= —

9 =

árceos—

x

a

~"-) + c

x = see 0 => dx = sec 0 . tg 0 d0 = 2 \¡ 2 ( -

1203

7 ^ 7 .

V2

2

-x

2

2

7 T 7 )+ c

f—

' 3V2

— = fcos0rtg9.scc0.tg0 dO - f d 9 - 0 + l -aiccos(—) + t

JxT ^T

I

1205 Desarrollo

J

~

~

J

7 x 2 +1 , — dx

Desarrollo tg 0 = x => dv = sec2 0rf0. ; sec0 = 7 x 2 +1

x2 - a2

a.tg# = 7 x 2 - a 2 ; x = a see 0 => dx = a see 0 . tg 0 d0

1

54

Eduardo Espinoza Ramos

J

X

f í £ i . sec= í ) < » = r J tg 0 J

55

Integral Indefinida

sec0(l + tg~0)úí0 t20

J (see 0 .c tg 0 + see 0. tg 0 )d6 - J (ese 0 + see 0. tg 0 )dd ] _eos f)

= ln ¡ c s c 0 - c t g 0 | + sec 0 + c = ln| —------ -|+ se c 0 + c sen0

- _in | - St'n ^-1 + sec0 + c = V*2 + 1 - ln | 1 + COS0

l + Vx^ + l

J \ ¡ l - x 2dx = J +c

0

sen 0. eos 0 aresen x -+ c = -

2

2 +* 1206

f -----p - ----x 2y ¡ 4 - x 2

1208

Calcular la integra!

x \¡l

- x2

2

+c

valiéndose de la sustitución x - sen ‘ t .

I

JV IV T I

Desarrollo

Desarrollo x = 2 s e n 0 => dx = 2 c o s 0 d 0 ; j 4 - x 2 = 2eos0 Sea x = sen2 1 => dx = 2 sen t. eos t dt, como x - sen / => sen t

■

t = aresen V I

Jx

f — * L _ = f - 2 sen ' - i — - 1 = 2 f

J VIVICI 1209 1 f 2 ctg 0 J 4-X 2 f— = f — 12c°s0 ------------- d o = - ese 6 dO = ----- — + c = ------------ +c 4J 4 4x J x2y¡ 4- x2 J 4 sen20 -2 c o s 0

J sen rV i-sen 2/

- 2 t + c - 2 aresen VI + c

J sen/.cosí

j V ? + x 2dx Desarrollo Empleando la sustitución hiperbólica x = a senh t tenemos:

1207

x 1dx Va2 + a'2 = V«2 + « 2 sen2 ht = acoshf ; dx = a cosh t. dt Desarrollo x = sen 0 => dx = eos 0 d0 ; cos0 = V i - * 2

, senh2f )+ r J Va2 + x 2dx = a2J cosh2 f dt = «22 Jf 1+ cosh 2í-rfí, = —a22 (/+2

Eduardo Espinoza Ramos

56

= — (t + senhí.coshO + í' = — ln(x + yja2 + x 2 ) +—4 a 2 + a 2 + c 2 2 2

57

Integral Indefinida

4.4.

IN T E G R A C IO N P O R P A R T E S.Fórmula para la integración por partes: si u = vj/(x) y v =

t

, , x v « “ + X“ donde, senh t - —, cosh t = -----------a a

diferenciables, tendremos que:

» e' = cosh t + senh t

1210

x + yfa2 + x 2

2 x~dx Hallar I r-------- ; haciendo x = a cosh t í ;J T ^ a 2 Desarrollo

x'dx

Jyjx2 - a 2

1211

f a2 cosh2 í.senhí dt 7f , = I ------------------------= a I cosh t dt

J

= ° f

senhí

^ = „Ll + (, x~ xy"> senhf

V

J- xd x Haciendo

J

Desarrollo dx u = ln x =» d u - — x

J*\nxdx ln xdx = - A‘ln lnxx— - J| x —- = - jc.ln* . —Jt + c 1212

I arctg xdx Desarrollo

+x"

V

u - arctg x => du = Haciendo

I í +a 2 Va 2 + x“ , . x + vx~ e = senn i + cosn i = ---------------- =» t = l n ---------------a f

i

J 1213

J

dx (1 + JC2)

dv = dx =>

x~dx _ a 2 , x + 4 x 2 + a 2 . xyja2 + x 2 [ln i---------------- 1+--------r----- ] + c I o 7 o L 1 1 a„2 Jix 2 - a 2 i2 = — ln | .v + \[x~ + a 2 | + —yja2 + x~ +k

vdu

dv —dx => v = x

+ cosh2í , a2 . senh2í, a2 dt = ——[t + ~--------] + c = — [t + senhr.coshí] + c 2 2 2 2

como x = a cosh t => cosh t = —, además a

•

Hallar las siguientes integrales, utilizando la fórmula para la integración por partes.

x = a cosh t => dx = a senh t. dt f

»

u dv = uv~

v

=

a-

r x ¿x i . ,, ?, arctg a*dx = x. arctg x - I ----- = X arctg x - —ln 11+ x~ | +c 14"X~ are sen a dx Desarrollo

Eduardo Espinoza Ramos

58

Integral Indefinida

dx

u = arcsen x =$ du = Haciendo

xdx

í

r. 2 = x arcsen x + v i - x +c

1218

P Desarrollo u = x_ => <ím = 2xáx ,3* c/v = e3xc/x V= ■

xsen xdx

1214

2~* x ln 2 + l = - x .^ .+ c = ---------r— + c ln2 In -2 2jr ln2 2

L 2- ^ = - x . 2I - f - 2I ^ J ln2 J in 2

dv = dx => v - x arcsen x d x - x. arcsen x -

59

Haciendo Desarrollo u - x => d u - d x Haciendo

í 1216

dv = eos 3x dx

xsen3x xcos 3x dx = -

I;

v=

sen3x

fsen 3 x , -dx

x e ’xdx

xsen3x

í

u = x => d u = d x

cos3x -+ c

Haciendo -

-dx

r 2 „3j 0 X x 2„3* W x> = — eJJC- - [ 3 3

1

Desarrollo u = x => du = dx Haciendo

3

<*-.3* 2x 2e 3x - d x \ = - e 3x~ e3* + ------- + c 3 3 9 27

-P

II

e3x 2 - — (9x‘ - 6x + 2) + c 27

i

dx — =>

3x

j - e 3r' dx . => v = — e dv

ex 1219 dx - - I 1217

í

J “7 ~

x

1

ex

x+1 -+ c

2x + 5)e Xdx Desarrollo

ex + C ~ Haciendo

x.2 ' dx

ju = x -2 x + 5

du = 2(x-X)dx

\dv = e~xdx => v = -e~x Desarrollo u = x => du= dx

Haciendo dv = 2 xdx => v = —-

ln 2

60

Eduardo Espinoza Ramos « = * - 1 => du = dx

Haciendo

61

Integral Indefinida

1221

dv = e~xdx => v = -e~ (x¿ - 2 x + 5)e Xdx = - e X(x2 - 2 x + 5) + 2 ( x - l) ( - e x ) - 2 e x +c

Jxsen

x. cosxdx

Desarrollo

Usar la identidad sen 2x = 2 sen x. eos x

= - e ~x( x 2 +5 ) + c X

1220

J

í

x3e 3dx

x sen x. eos x d x ~ — í x sen 2x dx

2J

Desarrollo

u=x

Haciendo

u = x 3 => du - 3x2dx Haciendo

X

du = dx

eos 2x

dv = sen2xdx => v -

X

dv = e 3dx => v = —3e 3

f

1 f

N,

1, x

.

sen 2 x N

j xsenx.cosxdlx = —J xsen(2x)dx = —(——cos2xh----- — ) + c 2

2

e 3dx = - 3 x 3e 3 - J*(3x2)(-3e 3 )dx = ~3x3e 3 + 9 | x 2e 3dx x . sen2x = — cos(2x) + ---------- ve 4 8

u = x" => du = 2xdx

Haciendo

X

X

d v - e 3dx => v = -3 e 3

1222

J'

í

(x2 + 5x + 6)cos2xdx Desarrollo

J’ u = x2 + 5x + 6 => du = (2x + 5 )dx

u = x => d u - d x

Haciendo

Haciendo

X

dv —eos 2 x d x => v =

sen 2x

dv = e 3dx => v = - 3 e 3 m

_X

X

X

\ x 3e 3dx = - 3 x 2e 3 (x + 3) + 54(-3x
--

i

(x‘ + 5x + 6) eos 2x dx =

X

= - 3 x 2e 3 (x + 3 ) - 5 4 e 3(3x + 9) + c = -e ~ 3(3x3 + 9x2 + 162x + 486) + c X

= —3e 3(x3 + 3 x 2 + 54x + 162) + c

x + 5x + 6 sen(2x)— | (2x + 5)sen2xdx 2 2a

u = 2x + 5 => du = 2í/x Haciendo

dv = sen2xdx => v =

eos 2x

i

62

Eduardo Espinoza Ramos

i

( x2 + 5X+6)co&2xdx = ^ 5 ± l sen 2 xA {. ^ l l cos2x + ^ l ) + c 2

2x2 +lO x + l \

2

2

„

2x + 5

1225

2

fl nj

J x3

dx Desarrollo

= — --------------sen 2x + ---------- cos2x + c 4 4 1223

63

Integral Indefinida

u = lnx => du Haciendo

j x 2 l nxdx

1ll ^18-

i

=> v =

_ ¿x X 1 2x2

Desarrollo

dx _

lnx u = ln x => du ——

2x2

-+ c

. ! 2x2 X

4x

Haciendo dv = x 2dx => v = —

dx

1226

Desarrollo f i 1.. / lu >u/<

J

** iIn r - fI** dx — x3 ,ln jc-----jr3 -------* +c

’

J 3 x 3

dx

9

Haciendo

1224

J

ln1 x dx

u = ln x => d u = — x dv = \lx

=> v = 2VI

Desarrollo

Haciendo

M= ln*x => du = 2lnx.

dx = 2V i ln x - 1 2 V i

dx

d v - d x => v = x

1227

í

m = ln x => d u = — x d v - d x => v —x

ln2 x.dx = xln2x-2xlnx+2x+c

J y =

= 2 V I ln x - 2 V i

ln ^ +‘

xarctgx

j l n 2 x.dx = x l a 2 x - j x . 2 l n x.— = x \n2 x - 2J*ln xdx

Haciendo

^

Haciendo

Desarrollo . dx u = arctg x => du ------- 1+ x2 dv - x d x => v —

2

Jxarctgx
Eduardo Espinoza Ramos

64

f ln(* + Vi + *2)d* = *ln(* + Vi + *2) - í - /==== zzx]n(x+'h+x2) - 'J \ + x~ +c

x2 1 * *+1 , x - — arctg*H— atctg*— + c = --------arctg * - —+ c 2 2 2 2 2 1228

1

* arcsen* dx

J 1230

Desarrollo u - arcsen x => du =

65

Integral Indefinida

J Vi+ * 2 xdx

í

en2 * Desarrollo

dx síi^x2

Haciendo

*cos ec2xdx

dv = xd x => v = — íw = * =i> du = dx X1 If x arcsen x d¿ x = — arcsen*—l

J

2

C

Haciendo

2cdx —X¡ =

J- A = - c tg * + j c tg * dx = xc tg * + ln | sen * | +c j sen * J

Sea x = sen 0 => dx = eos 0 d0

““sen2O.cosOdd = f « n ’ # « ,» = í í ^ í " , » j sen" t) dt) = j ---- —

-2

V i-s e n 2 9

Luego:

líiv = cos ec2xdx =£ v = - c t g *

2 J ^ Z x2

9

sen 20

9

2

4

2

1231

sen9 eos 9

f xc o sxdx

J

sen2 * Desarrollo

arcsen* * v l - * 2

2 1 arcsen* * arcsen xd x = — arcsen * - —( J 2 2 2

*V l - * 2

f * c o s * ^ _ f x c o s e c x c Xgxdx J

J sen"* )+c

Haciendo arcsen*

1229

* r ,T + - V 1 - * +c

dv = cosecx.ctgxdx => v = - c o s e c x

f

J sen *

J

Haciendo

=

X x = -xcosecx + ln Ieos ecx - c tg * | +c = --------- + ln ¡ tg—| +c

sen*

dx 1232 V1 + * 2

dv = dx => v = *

,

— dx = -e o s e c x - I - e o s ecxdx

Desarrollo u = ln (* + Vl + *2 =>

=dx

f.vcosx ,

I

J ln(* + Vi + *2 W*

u = x => du

í

ex sen xd x Desarrollo

2

Eduardo Espinoza Ramos

66 u = sen x => du = eos x dx

Integral Indefinida

1234

Haciendo

í

dv = e dx => v = e

67

eax sen(bx)dx

Desarrollo ex senx d x - e x s e n x - j e * cosxdx

m= sen(¿x) ==> du = b cos(bx)dx

I Haciendo

dv = emdx =* v = ---a

u = eos x => du = - sen xdx Haciendo d v - e * d x => v = e*

I

f eax sen(bx)dx =sena bx -

J‘

e * sen x d x = e* sen x - ( e * eos x — \ e * ( - sen x)dx)

•*

\ b e— cosbxdx = -e ^ J a

^

- b a

faJ

u = eos bx => du = - b sen bxdx = e* sen x - e* cos x - I ex sen xdx = — (sen x -e o s x) + c

J‘

1233

Haciendo

2

e“* dv = eaxdx => v = a

3* eos xdx

1

Desarrollo

J eax sen bx dx =

u —eos x => du = - s e n x d x

Haciendo dv = 3xdx => v

3Xeos x d x =

1

3* eos x

ln3

3*

a

b . e ^ cosbx

--- (■ a

a

b +— f e

3X , 3Xeos ——sen xdx = -------- í +

ln 3

— f 3Xsen xdx

(1 + —r ) I e“* sen bxdx =

ln 3 j

7>J

aeax sen bx - beax eos bx

w = sen x => du = eos xdx Haciendo dv = 3xdx

ln3

l ax

Je

3X

v=-

ln3

, 3*cosx 3* sen x 3 cos x d x - --------- -H---------—

ln3 - ¡ y

, 3* (sen x + ln 3 co sx ) 3 co sx d x = ----------- ----------------- \-c ln 3 +1

sen bxdx)

e“* sen bx b m b2 f „ ----- —e eos b x — - l e sen bxdx a a a~ J

ln3

I- ln 3

e™ senbx

3Xeos xdx

1235

,

,

ax.asenbx-bcosbx,

sen bx dx = e°* (--------- — —------ ) + c a2 +b2

J sen(ln x)dx Desarrollo Sea z = ln x => x - e z

=> dx = e zdz

eos bxdx

68

Eduardo Espinoza Ramos f

f

e z sen ^—e" eos

7

J sen(ln x)dx = I ez sen z d z = -------- — ----------+ c , por el ejercicio 1234.

69

Integral Indefinida

1238

J

(x -2 x + 3 )ln x d x Desarrollo

í

e njrsen (ln x )-e cos(lnx) x sen(ln a) - xcos(ln x) sen(ln x)dx = ---------- -------------------- ----- - + c = ----------------------- ------- + c 2 2

Haciendo

i— . x2 +3x dv = ( x 2 - 2x + 3)dx => v = — 3

Hallar las siguientes integrales, empleando diferentes procedimientos: 1236

u = ln x => d u = — x

JI xa e~x - ' ,dx

J*(jc2 - 2 x + 3)lnxdx = ( ^ - - x 2 + 3x)I n —J * — jc + 3)dx

'

Desarrollo r3 h

= x 2 => du = 2xdx

Haciendo • dv = xe~* dx => v = ■

3

2

= (------x2 + 3 x )ln x------- ¡-------3x + c

3

9

2

e-* 1239

fx ln (|—:-)dx J 1+ x Desarrollo

j x 3e x dx = -~^-e x ~ j ~ xe * dx = - ~ - e

1237

-X1

e

x

e

x

■>

----------i-c = -------- (x~ + 1) + c

2

2

J x ln(|— - )d x = J"jcln(l —x)dx - J x ln(l + x)dx

( 1)

Ie^dx integrando J x ln (l-x )d x

Desarrollo Sea

z 2 = x => dx = 2zdz

u = ln(l - x ) => du = -

Haciendo J" e ^ d x = 2 f zezdz

dx \-x

dv - xdx => v = —

2

Haciendo

u = z => du —dz

I

xln(l - x)dx = — ln(l - x) + ^

dv = e zdz => v = e z

^e^dx =

2J zezdz = 2(zez - e z ) + c = 2(yfxe'^x - e ^ )

+ c = 2e'^x (\[x - l ) + t

2

2 J 1- x

x2

dx = — ln ( l-x )+ [

2

12 Jf(_x_l+J)dx] 1-; (2)

Eduardo Espinoza Ramos

70

Integral Indefinida

i

integrando I xln(l + x)í/x

du =

Haciendo

dx

í+ x

dv = xd x => v = —

ñ

2

I

u = ln x => d u= — x . dx 1 d v - — =* V —---x¿ X

Haciendo

u = ln(l + x)

x2 x2 x ln(l + x)dx - — ln(l + x) _ I f . — dx = — ln(l + x)- - f ( x - l + — ■)dx 2J 1+ ; 2 2 J 1+ x X

X

X

1

2

2

= — ln(l + x ) - — + ------- ln(l + x)

2

4

71

1241

ln2 x ln x -dx = — — + 2(— xx

f dx .

ln2 x

2 lnx

2

í

f ln(ln x) -dx y

Desarrollo u = ln(ln x) => du =

... (3) Haciendo

dx xln x

i —— dx => v = iln x dv x

reemplazando: (2), (3) en (1) se tiene: ln(in jc)

fxln(-—-)<£t = — ln (l-x )-—— — ln(l—x)—— ln(l+x)H--------- H— ln(l+x) 4 2 2 4' " 2 " 2 J 1+x 2 "

dx

dx = ln x.ln(ln x) - I ln x.-

xlnx

J

= ln x. ln(ln x) - ln x + c

= (ln(ln x) - 1) ln x + c x2 , 1 -x 1, , 1 - x . x2 - l . ,1 - * . = — ln ---------x — ln(-- ) + c = ---------- l n |------- 1- x + c 1+ x 2 1+ x 2 \+x

1240

\n¿x

I

x arctg(3x)í£c

1242

Desarrollo dx u = arctg(3x) => du =

Desarrollo Haciendo u = ln x => d u - 2lnx. Haciendo dv

dx

3 dx l + 9x2

j , x dv = x 2dx => v = -— -

dx

1 ,

J

x3

x arctg(3x)dx = — arctg(3x) -

J

f x dx

_ x'

J l+9x x

J 9

1

- — arctg(3x)-------1----- ln 11+ 9x2 | +c 3

18

162

18x -)dx 162 1+ 9x2

- f(-—— -

72

Eduardo Espinoza Ramos

1243

I

73

Integral Indefinida Sea z = arcsen x => x = sen z, dx = cos z dz

x(arctg x)2dx

J (arcsen x)2dx = J z2 cos z dz

Desarrollo Sea z = arctg x =* x = tg z => dx = sec2 z dz

Haciendo

J A(arctg x)2dx = J z 2 tg z. sec2 z dz

u = z2 =* du = 2z v = senz

J (arcsen x)2dx = z2 sen z - 2J z sen z dz u - z 2 => du = 2 z d z

Haciendo

7

tg 2 Z

Haciendo

dv = tgz.sec zdz => v = ——

2

i ■

I'm = z => d u = d z \dv = sen z */z => v = -c o s z

J (arcsen x)2dx = z2 sen z - 2 (-z cos z - J - cos zdz)

j*x(arctgx)2í¿x = ^ - t g 2 z - J z t g 2 zdz = ~ ~ tg 2 z - j"(zsec2 z ~ z ) d z

z 1 sen z + 2z cos z - 2 sen z + c = jc(arcsen x)2 + 2V1- x2 arcsen x - 2 x + c 72

-2

= — tg2 z + ~ - I zsecz zdz - I ' integrando

J z sec2 z dz = z tg z + In | cos z | es por partes

1245

f arcsen x IX „ -dx x2

J

Desarrollo

Sea z = arcsen x => x = sen z, dx = cos z dz Jx(arctg x ) 2dx = - y (tg2 z + 1) - z tg z - In | cos z | +c

fa r c se n x ^ _ f /Co s z d z = f zctgz.coseczcfz x J sen z J

J z2 = — (tg2 z + 1) - z tg z + In | sec z | +c

= i arct§ AL ( Ar2 + l)-jcarctgA + 2 ln (l + x 2) + c

Haciendo

U - z => du

= dz

dv = c tgz.cos eczdz => v = -cosecz

f ---------arcsen x dx. -z c o s f o s ecz az, = --------z , f dz I»-------- I -c ------= -zcos ecz — -cos eczdz = ------- ++ i>---x2 J sen z J sen z

J

1244

Í

(arcsen x)2dx

Desarrollo

+ l n |t g ( - ) |+ c senz

2

Eduardo Espinoza Ramos

74

farcsen x , z I ---------- dx = ---------+ ln|cosé,c z - c t g z | = ------------- + ln ¡------ - |+ c J

1246

*

sene

*

1+ V 1 -*

75

Integral Indefinida

, ,.,arcsen*,,*L , 1248

sen2 x , -------- dx

I

Desarrollo

f arcsen

J

jr r x dx

f sen" i 2 x , f f1-l-c cos o s2x 2* 1 f I -------- dx= I ------------ dx = — \ e J ex J 2ex 2J

Desarrollo Sea

[ z = arcsen V* => V* = sen z

e ~2

* = sen2 z => í/* = 2senzcoszdz f arcsen V* , f z-2senz.cosz ,„f , -dz = 2 I zsenzaz I — ------- dx - I — J v i-* J V i-s e n 2 z J Haciendo

integrando

Haciendo

dv = s e n zd z => v = -co sz

4 1 -e JCcos2xdx

,

... (1)

l e *cos2 x d x , por partes se tiene:

1

dv = e~xdx

v ——e x

j e ~ x cos2xdx = e ' ' co&2x+2j e~x s ea l x d x

= -2arcsen V*Vl~* + 2 \ f x + c

J x tg

eos 2 xd x

u = eos 2x => du = - 2 sen 2x dx

u = z => d u = d z

f arC^en - * dx = 2 (-z eos z - f -eos z dz) = -2 z eos z + 2 sen z + c J Vl~ * J

1247

1 f d x ---- l e 2j

integrando por partes se tiene:

j*e~x eos 2x dx = -------------- -------------- ... (2)

2*rf* reemplazando (2) en (1) se tiene:

Desarrollo (*sec2 2x - x ) d x u = x => du = d x

Haciendo

dv = sec2 2xdx => v = ^

1249

r

J

f sen2 x , e~x / c o s 2 * - 2 s e n 2 * - l | ------— dx = —r - (---------------------------- ;--) + < ■

y

eos2(ln x)dx Desarrollo

, J 2 1+ eos 2* Usar la identidad eos x = ------------

J eos2(ln x)dx = J 1+ COS^2 ln X- dx = ^ ^ J cos(2 ln x)dx

... (1)

Eduardo Espinoza Ramos

76

Integral Indefinida

77

u = x => du

Sea z = ln x => x —e l => dx —e 'd z

Haciendo

dv =

J cos(2 ln x)dx = J e z eos 2z dz

dv = cos2xdx => v = -

xdx

1 => v = — (1 + Jr2)2 2(x +1) dx

« =ez => du = ezdz Haciendo

= dx x 1 ^----- + —arctgx + c 2(x +1) 2

— f - + ( 2(x +1) J 2(x +1)

J ( l + x2)2 sen2z 1251

dx

í (x2 + a 2)2 Desarrollo

J cos(2 ln jc)í/jc = y sen 2z - —J e~ sen 2zdz

Sea x = a tg 0 => dx = a see2 9 d d u - e z =$ du = ezdz. Haciendo d v - s t n l z d z =* v = -

cos2z

f

_ f

dx

a3 J

= - sen 2(ln x) + - cos( 2 ln x) - - f eos 2(ln *)cfx 2 4 4J

2a3 J

2a3

arctg(-)

2a3,

arctg(-)

/7 CL\ 1 /i X --------- r — + -------r -------------- + C = ----- -----------------------h —-------- ^ ) + C

2a' ... (2)

1

a 4 sec4 9

9 sen 9 cos 9 = 4r [cos2Odd = -2 - f(l + cos26)dd = - — ■+ ---- ----- + c

Icos(2 ln x)dx = — sen 2z - -2 Jf ( - —2 cos2z + -2 J(Vcos22
f a ssee2 Odd

J (a 2 tg: 0 + a 2)2 J

J ( x 2 + a 2)2

cos(2 ln x)dx -

a sec~ 9 d 9

1252

J

2(«‘ + x ) a

2a 2

a

a+x

J a 2 - x 2dx

Desarrollo

reemplazando (2) en (1) se tiene: ‘l + cos(21nx)x x cos(2 ln x) + 2x sen(2 ln x) -dx = —+ j*eos2(ln x)dx = J -

2

10

+c

Sea x = a sen 0 => dx = a cos 0 d0 X

X

sen9 = — => 9 = arcsen(—) a a 1250

I

x dx (1 + *2)2 Desarrollo

J*'Ja2~—x2dx = j y f a 2 - a 7 sen2 9 .a co s9 d 9 - a2j c o s 2 9 d9

¡ 7g

Eduardo Espinoza Ramos

2 f l + cos20 a" a" a = a 2 I ------------ ¿Q = — 0H----- s e n 0 c o s0 + í

J

2

2

Integral Indefinida

79

x 2dx

1254

1y ¡ 9 - x 2

2

Desarrollo « arcsen(—) + — * v1a 2-•* 2 +, c =— 2 a 2

x = 3 sen 0 => dx = 3 eos 0 d9 X

x

3

3

sen 0 = — => 0 = arcsen(—) 1253

|V a + ;c2
f x 2dx (*9sen 20 f , I -y- — = I ---------- .3cos0 dO = 9 I sen' 0 ¿0 J V 9 -.Ï2 J 3eos0 J

Desarrollo Sea x = VÁtg 9 => dx = VÂ see2 9 d9

= 11-

90 9 2 eos 9)d9 = —- — sen0eos0 + c 2

2

tg 9 = -4= => 0 = arctg(-^=)

Va

Va

9 -v 9 x y ¡ 9 - x 2 9i jc r 7 = —aresen(—) — ( - ) ----- + c - - a r c s e n ( - ) — yJ9-x~ +c 2 3 2 3 3 2 3 2

J yjA + x 2dx = J s¡A + A ig 29.yfÁ sec2 dO = J A see39 dO 4.5.

IN T E G R A L E S E L E M E N T A L E S Q U E T R IN O M IO C U A D R A D O .-

se integra por partes:

J A see30 d9 = AJ (1 + tg2 9 ) see 9 d9 = A J (sec0 + tg2 9 see 9)d9

0

UN

INTEGRALES DEL TIPO.

r J ax

= A ln |sec0 + tg0 |+ A tg 0 s e c 0 - A js e c 30 ¿ 0

C O N T IE N E N

171X + Yl

,

+bx + c

.

dx, el procedimiento es el siguiente: El trinomio de

segundo grado ax2 + b x+ c, se reduce a la forma 2 "y ax +bx + c = a (x + k) + L , donde k, L; son constantes y esto se

= y [ ln |s e e 0 + tg0 | + tg0sec0] + c

consigue completando cuadrados. JV Â 7 7 d x -= |[ l n I

I+ ^ V Á ^ 7 ] + c

©

INTEGRALES DEL TIPO.mx + n

í \fax2 +bx + c d x , — 1n I a: + y f + x2 \ +—V Á + ~? + k 2

2

integrales inmediatos.

los caiculos son analogos del 1) y después son

Eduardo Espinoza Ramos

80

©

Integral Indefinida

INTEGRALES DEL TIPO.

f

_ 1

2x~l

2' j* 3x —2

1259

4

-dx

J x 2 - 4x + 5

de las integrales principales.

I

7

2 ] x2 - l x + \ 3 + ~x2 - 7 x + l 3 )dX

INTEGRALES DEL TIPO.ax1 +bx + c d x , se completan cuadrados y la integral se reduce a una

1255

xdx

J x 2 - 7 x + 13

, se usa la sustitución inversa-------- = t (mx + n) n)\¡ax2 +bx + c ,nx + n ©

81

Desarrollo

dx x 2 + 2.x + 5

Desarrollo

J x -4 x +5 x +2x + 5

J

(x + 1) + 4

2

- i

J x~ - 4 x + 5

f - î ï = i _ * +4 f

2 j x 2 - 4 x +5

*

J x 2 - 4 x +5

= |ln |x 2-4x + 5|+4arctg(x-2) + c

= - ¡ n l x 2 - 4 x +5 j + 4 j —

dx

1256

x 2 + 2x Ix

1260 Desarrollo

dx

f

J x 2+2x

_ f

dx

J x 2+2x + 1-1

J x2 + 3 x + 4 Desarrollo

_ 1 1 | x +1 —1

dx

_ f

f (x - 1 )2dx

J( x+1) 2 -1

x + 1+ 1

2

2

x+2

f ( x - 1 Ÿ dx _ f

5x + 3

5 f

9 2x + 3Ô

J ^ + í «+4 - J <1" ? T 5 7 r ï> & = I- [l J <ï w ï - 7 7 f c 7 ^ 1 1257 3x2 —x + 1

f^ - 3 ^ +3^+4

Desarrollo dx

dx

1 f

dx

3

3

1258

J

6 x -l. U n

3x2 —x + 1 3

6

1261 Desarrollo

+ í f— ± — 2 J u + 3 )¡ + 7 2 4

- x - - ln | x 2 + 3x + 4 1+ ~ a r c tg ( - ^ Í l) + c 2 V7 V7

36

xdx

x 2 - 7 x + 13

a

f

x2dx

J x 2 - 6 x + 10 Desarrollo

82

Eduardo Espinoza Ramos f x 2dx f 6 x -1 0 w f f 6 x -1 0 J I í— ------- = (l + -r ------------------------- )dx = dx+ - T-~ --------- dx J x - 6 x + 10 J x - 6 x + 10 J J x~ - 6x + 10

1265

f

3 x -6 ------ dx J \[x2 - 4 x +h5.‘

I

Desarrollo

f 2 x -6 f dx = x + 3 —----------- dx + 8 -------J x - 6 x + 10 J (x ( x--33)) ¿+1 J ’í i S — J y¡x - 4 x + 5

= x + 31n | x 2 - 6 x + 10|+ 8arctg(x-3) + c 1262

83

Integral Indefinida

w s L f ~ 2 — dx * \lx - 4x + 5

/------------x —2 Sea u = \ x 2 - 4x + 5 => du = —= = = = ■ dx Vx2 - 4 x + 5

dx

J y¡2 + 3 x - 2 x 2 Desarrollo dx

f

dx

(*

\¡2 + 3 x - 2 x 2

1 f

J j 2(l + 3 x _ x 2}

f —-j2~ ^L = J t= d x = 3 f - — L=^===rdx = 3 Id u = 3u + c = 3-v/*2 - 4 x + 5 + < J \¡x2 - 4 x + 5 * v x 2-4x +5 J

dx

4 2 J J 1 + 3 x _ x2

1266 r

72 í

I i

~

x

J

1 ,4 x - 3 , -------= —¡= arcsen(--------- ) + c

2 x -8 2X 6...- dx V i - x —x” Desarrollo

f

1263

J yjl-x-x2

í yjx-x2

= f e * +1)- y = f-7J £ Ü _ *=9f J >jl—x - x ?

*j\-x -x 2

J

« f ) 2 - U + 2-) , )5

Desarrollo = - 2 - v /l- x - x 2 - 9 arcsen(— Í - ) + c yf5

dx

= arcsen(2x -1 ) + c 1267

dx

1264

I -= = = J = = = = d x

í V5x2 - 2 x + l

Desarrollo

¡ f s + px + q Desarrollo

' J \ X

+ DX + a

~

=f~j-------- ~ X J

l

r> ^

f , - dx = l [ ^ - 1) + 1 dx » v5x2 - 2 x + l 5 J v5 x 2 - 2 x + 1 = \ n \ x + £ + 4 x 2 + px + q l + c

n

^ ..... * + l f . ^Jv5x2-2x + l V5x2 - 2 x + 1

84

Eduardo Espinoza Ramos

= -- >/5jc2 —2 x + l h— í = f - . =

1270

1268

^

7

^

Desarrollo

+ J _ t o U _ i t ^ T | 7 J | +c

1 i j dt => - = x - l => dx = — t t2

1 Sea t - ----x-l

dx

_dt

J x\Jl-x2

í ____ * ____ , r y , . = J í(jc-I)Vjc2 r _ n J J -I 22 J il ^ [li +.„2 1)2 _ 2„

Desarrollo Sea x = - => dx = —~ t t2 1271 dt

J-

= -arcsen( JJ Vl + 2 í - í 2

—)+ c J2(x-D

1(x + l ) 4 x 2 + 2x Desarrollo i

1 di Sea x +1 = - => dx - — — í í2 dt r _ _ _ ¿ __________ r ' - J (~ -l)2+ 2 (--l) í Vt t

d;c

1x\¡x2 + JC+1 Desarrollo

i

1272

Sea x = - => dx = ~ — t t2

J

j

dx

- 1 1+c

= - l n | i + — —— | +c = ln | ----- vX | +c . * * Í + V i^ ^ 1269

f ___ dx J ((xx -— l)y¡x2 - 2

- ) 2 + (-)2 5 5 4

85

Integral Indefinida

dx

= f

dt_ 12

* —

1 -. arcsen t + c = ~ arcsen(------ ) + c x +l

^

y x 2 +2x + 5dx

Desarrollo

* J V 7 7 2 ^ 5 d x = J V Ü ^ Í ) 2 + 4d x =_ f

dt

__ r

dt X +l

4 / 2 í =- ^ = - arcsen(— -) + c - ~ arcsen( , 2 - j r) + c v5

V5x

2

yj(x + l)2 + 4 + - l n | jc + I + Ví-í + I)2 + 4 l+c

2 v

2

= £ ± I V x 2 + 2x + 5 + 21n|x + l + >/x2 + 2x + 5 | + c 2

'

86

1273

Eduardo Espinoza Ramos

S '/*-*2

87

Integral Indefinida

dx 1277

exdx

T

J y¡Vve*~+e2x

Desarrollo

Desarrollo

1 j\fx

- + yjl + ex +e2* I+c

( x - —)2dx = ——í - J x - x 2 +-^.iarcsen(2*-l) + c

x~dx - j

2 x -l I 2 1 - — -— \ x - x + -arcsen(2A -l) + c 4 8 1278 1274

senjedx

í Veos2 x + 4cos.x + l Desarrollo

-ji1dx Desarrollo

f

sen a ¿ y

J Veos2 x + 4cos.x + l

l

-(*+—) - dx =— - 2 . y j 2 - x - x 2 +—arcsen(-^-í-í-)+c z 2 2 4 3

{ ' f a - x - x dx= í j —

J

J V4

_ 2x + l £ -------— \ 2 - x - x 4

7 92 * + l +-arcsen(------- ) + c 8 3

_ f

sen .ydx

J y[(cosx + 2 y - 3 = - l n |co sx + 2 + Vcos2 * + 4cosx + l |+ c

1279

f

lnjcrtx

J * V l- 4 1 n x - ln 2 x 1275

Desarrollo

xdx

;

J x4 - 4 xx22 +3

f

Desarrollo

f_

xdx

_ f

xdx

11

J x \¡l-4 \n x -ln 2x x2- 2 - 1 .

_

(a2 - 2 ) 2 - 1 i2 -2ln 2 'ITTiTI1 x 2 - 2 + 1' + !~ x 2 —1 +c J - 4^+3- J Í7TÍ7TT= " i4 ln' 17T71 1276

I

eos x d x sen2 x -6 s e n jcí + 12

Sea

f • Desarrollo

ln xdx

ln xdx f ____J| J Xy¡5- (ln x + 2)2

dx , t u = ln x + 2 => du - — , ln x - u - 2 x

lnAdt

j"

ln xdx

_ |‘(m-2)¿m _ |* udu

^ j* du

J vVl-4ln;c-ln2 a J xy¡5- ( \nx+2) 2 J y j 5 - u 2 J y¡5-u^ J y ¡5- u2 - -y¡5 - ii' - 2 arcsen( -^=r) + c = -V 1- 4 ln a

-

,lnA + 2 x ln" a - 2 arcscn( j - ) + c

Eduardo Espinoza Ramos

88

4.6.

89

Integral Indefinida SEGUNDO CASO:

IN T E G R A C IO N D E F U N C IO N E S R A C IO N A L E S .

Cuando los factores de Q(x) son todos lineales y

algunos se repiten, suponiendo que ( j c - a , ) es el factor que se repite P ®

METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS.-

veces, para este caso existe la suma de P fracciones parciales.

Consideremos dos funciones polinómicas: A A, AP — — + -----3 _ + ... + ------c— x - a ¡ (x - a ¡ f ( x - a i )p

P(x)=bnx" +bn_]x n~i +...+blx+b0 y Q(x)=amx m +amAx m~{ +...+alx + a0 Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas, es P(x) decir Q(x)

donde A,, A2, A3,..., Ap , son constantes que se van a determinar.

Cuando el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x) a la función

irreducibles y ninguna de los factores cuadráticos se repiten. Para el factor

racional se denomina función racional propia, en caso contrario se

cuadrático x 2 +bx + c la función racional es de la forma:

TERCER CASO:

Los factores de Q(x) son lineales y cuadráticos

denomina impropia. Ax + B Si la función racional es impropia al dividir el numerador por el

x2 +bx + c

denominador se puede representar la función dada como la suma de un

CUARTO CASO: Cuando los factores de Q(x) son lineales y

polinomio y de una función racional.

cuadráticos y algunos de los factores cuadráticos se repiten.

P(x) R(x) Es decir: ------ = C(x) + ---- ^ , donde el grado de R(x) es menor que el Q(x) Q(x) grado de Q(x).

Si x 2 + b x + c es un factor cuadrático que se repite m veces, entonces las fracciones parciales correspondientes a este factor son de la forma:

Nuestro interés es la integración de las funciones racionales propias: P(x) í Q(x)

A |X + P |

ax2 + bx + c

^

(ax2 +bx + c)2

j

(ax2 + bx + c)m

d x , para esto consideremos los siguientes casos: (2 )

PRIMER CASO:

Cuando los factores de Q(x) son todos lineales y distintos.

M ETODO DE OSTROGRADSKI.Si Q(x) tiene raíces múltiples, se tiene:

Es decir: Q(x) = ( x - a y) ( x - a 2) . . . ( x - a n ) , para este caso escribiremos: P(x) Q(x)

A2x + B2

x-a¡

x-a2

que se van a determinar.

x-an

donde Al , A 2,...,An , son constantes]

\ P^ d x = X M + Qx(x) J Q2( x ) • Q( x)

... (a )

donde Qt (x) es el máximo común divisor del polinomio Q(x) y de su derivada Q'(x).

90

Eduardo Espinoza Ramos

& (*) = -“ :* 0 i W . X(x) e Y(x) Qi(x)

91

Integral Indefinida

1282

dx

1

(jc—1)(jc+ 2)(jc+ 3) Desarrollo

son polinomios con coeficientes indeterminados, cuyos grados son 1 ( jc- 1 ) ( jc + 2)(.x + 3)

menores en una unidad que los Q¡ (x) y Q2( x ) , respectivamente, los coeficientes indeterminados de X(x), Y(x) se calcula derivando la identidad (a).

1 = (A + B + C )x 2 + (5A + 2B + C)x + (6A - 3B - 2C)

Hallar las integrales:

1280

A h— — + — — , efectuando y agrupando: x +2 x + 3

jc —1

A + B + C —0 A =— ; B =-~ ; C = 12 3 4

5A+2B+C=0

dx

J (x + a)(x + b)

6A -3B -2C = 0 Desarrollo

Cx + a)(x + b) A +B = 0 } 1 Ab+ Ba = l!

x +a

J

^ , efectuando y agrupando: x +b

i i A = -------- , B = a —b a —b

dx (jc-l)(;t+ 2 )(x + 3)

B 1------C )dx u + ------x + 2 x+ 3

_L f dx

1 f dx +J_ f dx

12

3 J x +2

J jc -l

4

J

„t + 3

1 ln !i jc —11 - -3- I n i! x + 2 |+ — ln | x + 3| +c i 4

f, *

J ( x + a)(x + b )

12

-J M — i-* ---L . fJ Ü - + - L . fjdxTb x + a x + ba - b J x + a a - b j a

= - | - [ l n |x - l ¡ - 4 1 n |x + 2 |+ 3 1 n |x + 3|] + c 12

1 > i i l . i ,i \ \ x +b, - ln | jc + « | h------- \ n \ x + b\+c = -------ln | -------¡+c, a ^ b a -b a -b a -b x+a

1283 1281

x2- 5

jc +

9

I x2- 5

jc +

6

r

2x2 + 4 U - 9 1

1 , . (jc-IX jc+3)3 ln|-

12

|+c

(x+3)

-dx

J ( x - i 1)( ) jc + 3 )( jc- 4 )

dx

Desarrollo Desarrollo

2 jc + 41jc—91 ( x - 1 ) ( j í + 3 )( x - 4 )

A x-l

B

C

h------- +.-------,

x +3

efectuando y agrupando se obtiene:

x-4

2 x 2 + 41jc-91 = (A + B + C )x 2 + ( - A - 5 B + 2 C ) x - l 2 ( A - 4 B + 3C)

92

Eduardo Espinoza Ramos A+B+C=2 de donde se obtiene:

93

Integral Indefinida

1285

- A - 5 B +2 C -41

dx

í x(x + l) Desarrollo

-(1 2 A -4 B + 2C) = -91

1 resolviendo se tiene: A = 4, B = -7, C = 5 2x2 + 41x-91 -dx ( x - l) ( x + 3)(x + 4)

1284

5x + 2 x 3 + 5x 2 + 4x

■

M r x-+ 3 +

J

JC— 1

X+

x (x + l )2

l = A (x + l ) 2 + B x (x + l) + Cx => 1 = ( A + B )x 2 +(2A + B + C)x + A , de donde:

3 , n |í i t ^ - 4)5 |+c (x + 3)

x-4

A +B = 0 resolviendo el sistema: A = 1, B = -1, C = -1

2A + B + C = 0 dx

A =1 Desarrollo

5x3 +2

= — h— — + — —— , efectuando la operación A' X + l (x + l)‘

.

25.x2 -2 0 * + 2

,

B (,A_ + -------+ . C ~ ) d x = [ ( i — 4 - — - ^ )dx J X x 1 (x + l)" J * X+l (x + l)

dx

J

J x(x + l )2

25x2 -2 0 * + 2

— ------- -------- = 5 + — -------- ----------= 5 + ------------------------

x - 5 x +4x

x - 5x“ + 4x

25x2 - 20x + 2

A

B

x ( x - l) ( x - 4 )

x

x -1

C c-4

x( x 4)(.\

I)

= ln x - ln I x + l I + —— + c = ln | ----- ¡ + -------+ c 1 1 x+l x+l x+l

de donde 1286

dx Jf — 4x 3 - A Desarrollo

25 .v" —20 x + 2 —{A + B + C)x~ + (5 A —4B~ ( )x ■+4 A x 3—1

A + B + C = 25 - 5 A - 3 B - C = -2 0 , resolviendo el sistema: A 4A = 2

1

2

.11

„ 7 ^ 161 . C =— 3 6

*_i

1 4 -= - + - ^

4x 3 x

4

de donde

4x'

x -4 x

A

B

C

1 + x —1 x(x + 2 ) ( x _ ^1 ). ~ x + x + — 2

2

B C\ A x - 4 = ( A+ B + C)x2 + ( - — + —) x —— 2 2 A

A +B +C = 0

C =1 2+2

_B

resolviendo el sistema: A =16, B = -9 , C = -7

Eduardo Espinoza Ramos

94

Integral Indefinida

95

IV

___ 8

x -4 A B C w . t i H----- 1------ —-i------ 7~)dx —— i— í| 1 . í/x \-^ T ^ d x = 1 „ 14 16J , lx(x v + - ) ( x - -1, J 4 x -x J 4 x x +, — ) x— 2 2 2 2 x 1 f 16 -9 7 x 1 ri¿, , L ti , —h— I (— +-— -------- r)dx = —h— [16lnx-9ln(x+ —) - 7 l n ( x - ~ )] 4 16 J x 1 1 4 16 2 2 xH— x — 2

1288

J ( x - 3 ) 2(x + 1)2 Desarrollo

2

(x + i ) 9( x - i ) 7 2 2

f x 4 - 6x 3 + 12x ‘ + 6

J x3- 6x2 + 12x -8

5x 2 +6x + 9 _

| +c = —+ — ln | y \ + c 4 16 (2x + l) ( 2 x - l)

B

A

x 3- 6x 2 + 12x -8

C

D

( x - 3 ) 2(x + 1)2 ~ x - 3 + ( x - 3 )2 + x + 1 + (x + 1)2 5x 2 + 6x + 9 = (A + C )x 3 + (-A + B - 5 C + D ) x 2 +

dx + (-5 A + 2B + 3 C - 6D)x + (-3 A + B + 9C + 9D)

Desarrollo x4 - 6x 3 + 12x 2 + 6

x-2

f (5x 2 + 6x + 9 )dx

„16

x 1 =— +—ln . 4 16

8x + 6 :x + x - 6x‘ + 12x -

= x+-

8

8x + 6

A +C = 0 -A + 5 -5 C + D = 5

(x~ 2)3

-5 A + 2Z? + 3C - 6D = 6

í

x 3 - 6x 2 + 12x -8

dx = I (x +

í‘

__x1 2

+

8x + 6 )dx ( x - 2)3

-3 A + B + 9C + 9D = 9

B ( x - 2)2

resolviendo el sistema se tiene: )dx ( x - 2)3 f 5x 2 + 6x + 9

8x + 6 A + — ! L _ +_ C _ =>s x + 6 = A x 2 + ( B - 4 A ) X + 2 A - 2 B + C ( x - 2)3 x - 2 ( x - 2)2 ( x - 2)3 A= 0 .B-4A = 8

j ( x - 3 ) 2(x + 1)2

1289 , resolviendo el sistema se tiene: A = 0, B = 8, C = 22

J

9 C

------------ ------------r - d x = -

f

dx

1 f

------------T + -

2 J (x -3 )

2 J (x + 1)

X Desarrollo

f

x 2 - 8x + 7

J

f

x2- 8 x + 7

,

I — i-------------^rdx— I ---------- --------- dx

J (x - 3 x - 1 0 )

9

1

1 , 1 ,

I ---------------------------------------------------------- — = ( ---------- ) ( ------

+7

J (x 2 - 3 x - 1 0 )2

2A -2B +C = 6 x 4- 6x 3 + 12x 2 + 6 , x2 f \ 8 22 w — ------ --------------dx = — + (-------- - + ------ — )dx

dx

9 l A = 0, C = 0, B = — , D = — 2 2

J ( x - 5 ) 2(x + 2 )2

2 x -3

2

x+1

-

x 4 - 6x 3+ 12x 2 +6

-

1287

2

11 ( x - 2)2 C

Eduardo Espinoza Ramos

96

Integral Indefinida

, A B t C | D x - 5 + ( x - 5 ) 2+ x + 2 (x + 2)2

97

A+ B = 0] de donde: C = 0 resolviendo el sistema: A = 1, B = -1, C = 0 A =1

x 2 - 8jc + 7 = A(x + 5){x + 2)2 + B(x + 2 )2 + C(.x + 2)(x - 5)2 + D(x - 5 )2 fAT3 +JC+l

343 ’

f

J

x 2 - S x +1

,

*=

30, , 543

c, ,

ln1' 5 -

8

1

49 ’

1

30 --3«

,

343 ’

49

x

= x + ln |

,

ln1A+21

\+c Va:2 +1

"

= _ » ________ - — + ü L i „ | — j * 49(jc— - 55)) 49U + 2) ~ 343 a:+ 2 ~

1290

f 1

| ---- r-----dx = x+ |( ------ — )dx = x+lnx — ln(jc +l) + c J x(x2 +1) J X X2 H +1 2

30 U n -- - __ 27 i 30 ! «= A8 , C C= agrupando y resolviendo se tiene: A = ——, B - _- — - -- — ——,

1292

f x 4dx Jx

4- 1 Desarrollo

2jc —3

—r — ddx x J (x~ (aT —3 :+ 2) 2)

\ s dx=L J*4-l J

a

Desarrollo Sea u = x 2 - 3 a: + 2 => du = ( 2 x - 3 ) d x Como

' ) d x =x + JC4 —1 J a4 -1

1

A

(ac- 1)(a. + 1)(at + 1)

*-1

B C x+ D - + ----- + JC- 1 x2 +1

1 + 2)3 J1 ((x2 ac —3jc 3ac+ 2) ~'

1291

X3 + AT+1

I a:(a:2 + 1)

J «3 w3

2m 2/ r2 +C

2 U 2 - 3 at+ 2 ) 2

A + B + C =0 A-B+ D =0 , resolviendo el sistema: A = —, B = — , C = 0, D 4 4 A +B - C = 0 A -B -D =1

dx Desarrollo

fAT3+JC+l

("

1 w

f

1= (A + B + C)x3 + (A —B + D)x2 + (A + B + C)x + A —B —D

d.V

-----r------dx = I (H —=--- )dx = x + ------- ----J x(x~ + 1) J x3 +x J x(x~ +1 )

f

ac4 f A B Cx + D 1 f dx 1 f dx 1 f dx —— dx = x+ |( ----- + ------ + —------)dx = x + - ---------- ------------- I - —

J x —1

___ !___ = A + Bx + C = (A + B ) x - + C x + A JC(.V2 +1) * X2 + l Af(A-2 +1)

^

l = x 2 ( A+C) + Cx +A

J x

1 x +1

x

1 , . JT- 1 . 1

+1

= x + -ln | ---- -1- - a r c t g x + c 4

AC+ 1

2

4 J x -1

4 j x + \

2 J x-+l

Eduardo Espinoza Ramos

98

f _______ * _______

Integral Indefinida

1294

J (x 2 —4x + 3)(x 2 + 4x + 5) Desarrollo 1

_

( jc2 - 4 x + 3)(x 2 + 4x + 5)

A + B + x-3

x-\

99

f dx

J77T Desarrollo

C x+D

i

i

A

Bx + C

x 2 + 4x + 5

x3 + l

(x + l)(x 2 - x + l)

*+l

X2 - X + l

efectuando operaciones y simplificando se tiene:

1 —(A + B)x~ + (“ A + B + C ) x + A + C

A(x3 + 4x + 5x) - A(x 2 + 4x + 5) + fí(x 3 + 4 + 5x) - 3fi(x 2 + 4x + 5) +

A +B = 0 -A + ¿f + C = 0 ,

+ C (x 3 - 4x 2 + 3x) + D(x 2 - 4x + 3) = 1

A +C = 1

1 „ 1 „ 2 resolviendo el sistema se tiene: A = —, B = — , C = — 3 3 3 x

(A + B + C ) x 3 +(3 A+B + 4C + D ) x 2 + ( A - 7 B + 3 C - 4 D ) x - 5 A - l 5 B + 3D = l \ ^ - = J X +1

A+B+C=0 3A + B - 4 C + D = 0

f(-^ -+ B 2 X+C )dx = ] - [ — + f J x + 1 x ~ -x + l 3 j x +1 J x

2

3 3 dx - x +1

= —ln(x + l)~ —ln(x 2 - x + 1) + —^ arctg(-:~ -) + c 3 6 V3 V3

A - 7 B + 3C - 4 D = 0 - 5 A - 1 5 B + 3D = 1

1 , , (x + 1)2 , , 1 6 x“ - x +1 v3

= —l n . - -

1 1 2 3 resolviendo el sistema se tiene'. A = — , B = ----- , C = — , D = — 52 20 65 36 dx f , A B Cx+D —-----------------------------= (------ + ------ + —----------- )dx J (x - 4 x + 3)(x + 4x + 5) J x - 3 x - \ x + 4x + 5 f

1295

2x - l

f dx Jx

4+1 Desarrollo Ax + B

=_L 52j x -3

f_*L+ f 65I j L d x 20j x - 1 J x 2 + 4x + 5

1 1 1 f 2x + 4 7 f dx = — ln ( x - 3 ) ----- ln(x-l)H ----- I —------------ dx + ~— I —-----------52 20 65 J x + 4x + 5 1 3 0 j x 2 + 4x + 5 = — ln ( x - 3 ) — —ln(x —1) + — ln(x 2 + 4x + 5) + — arctg(x + 2) 52 20 65 130

x4 + l

(x 2 +\ Jl x + l)(x2 - V2x + 1)

C x+D -+ X 2 +y[lx + \ x2-y¡lx + 1

l = (A + C)x3 +(B + D + y¡2C-y¡2A)x2 +(A + C + y ¡ 2 A - y Í 2 B ) x + B + D A+ C = 0 B + D + \¡2C - \Í2A = 0 A + C + y¡2D-y¡2B = 0 B+D =1

Eduardo Espinoza Ramos

100

integral Indefinida

resolviendo el sistema se tiene: A = —, B = —, C = ——, D = 2 2 2 2

resolviendo el sistema se tiene: A = —^=r, B = D = — , C - — 2V2 ’ 2’ 272

1 f dx

Ax + B

i*

1

X+ —

1

Cx+D C2V 2 2

1

f X + SÍ 2

_

1

+ yflx + 1

f

X -y¡2

1296

X2 - y í l x + \

4

I (l + .v2)2 7 Desarrollo Sea x = tg 0 => dx = see2 9 dO

J x4 + x 2! +1

í— ^ rT = Jf(-l ec2y-~ = f - ^ _ = fcos20dO + tg‘ 0)" J sec“0 J

Desarrollo

J (l + x“)~

x4+x2+l =x4+2x2+l-x2=(x2+1)2-x2 x4+x2+1=(x2+x+l)(x2— x+1) Ax+B + X 2 +1

dx

1 -x 2

dx

X4

x -x +

.

I?—+T1 * 2\/2 J .Y“ —yflx

■ + y f l ,X + 1 * V2 X y fí. I n I — -------= --------I + — « r c r g ( --------- - ) + c

4V2

x

1 , . x +x + l . 1 x -l = - ln | —--------- 1+ — j= arctgí— -=-) + c x x —x+1 2V3 x%/3 1297

2

x+ , x 2 x‘ x 2 x' x+

dx f . Ax+B C x+ D N, 1 f 1 1f —1 —------5— = (—---------------------------------------------------- + -3 --------- )dx = - , d x - + x +1 J x ' + x + l 1 J + +1 J 1 2\¡22, J f

1

----- T = X + -

Jx4+l“J x2+V2x+l+x2-V2x+lJV+>/2x+l x2-V2x+l 'í T í j

101

X~ + X +

C x+ D -+ 1 X —X + 1

x 2 2(1+x )

f l + cos20 9 sen0 eos9 arctgx = ------------ d G = - + --------------- + c = - — — + --------r -

J

1298

r

2

2

2

3 x +5

I —r----------r—^ d x J (x“ + 2 x + 2)

Desarrollo 1 —(Ax + fí)(x —x + 1) + (Cx + D)(x~ + x +1) (x 2 + 2x + 2)2 = (x + 1)2 + 12 => z = x + l => dz = dx 1= (í4 + C )x 3 + ( B - A + C + D ) x 2 + ( A - B + C + D ) x + B + D A +C = 0

f—

— 2 = 3 í —T ~ ~ — ~ t^x+ f

J ( x 2 + 2x + 2)

J ( x 2 + 2 x + 2)‘

J ( x 2 + 2 x + 2)~

B -A+ C + D = 0 A-B + C + D = 0 B +D = l

= _______2_____ + 2 f _____ * _____ 2 (x 2 + 2 x + 2 )

J (x 2 + 2 x + 2 ) 2

Eduardo Espinoza Ramos

102

3 2( x 2 + 2

________ 3_____ +2 f

dx

+ f x

J((x+1)2+1)2

+ 2)

2(x2 + 2 x

Integral Indefinida

103

dx

A +B =0

+2) J(z2+1)2

2A+2B+C=0 agrupando y por entidad de polinomios tenemos:

= -----+32 2ax..... + 2) 22(a~ ( x2'+ 2)

2(x2 + 2x + 2)

2A+ B + 2C + D + E = 0

+2Í( J (z

+ 1)

(z + 1)

+”2arctgz—21—--- -~J ( z 2 + 1)2

■J;:

A+C+E= 1 resolviendo el sistema se tiene: A = 1, B = -1, C = 0, D = -1, E = 0

... (1)

f - _____

J

arctg ; integrandoporpartes; 1' — ----- =------ h-— (z2 +l)2 2(z +1) 2 ,

„

,

z 2d z

J

í

, . ; ln | x + 1

2x+2 — ----------- dx = ------ ----- — + 2 arctg(a + 1) + — -------------- arctgU + 1)+c (x~ +2x+2) 2(x +2x+2) 2(a2 + 2 a + 2 ) „

3

J

A ++ ll

i

2x + \ = ---- ,------------ + arctg(.v + 1) + c 2(x~ + 2x + 2) 1300

i

a

. i

2a + i

i r 2 J

X

( A ^ + A + 1)

l .

i

X

ii

2

w

i r, 2a+1 1 ( ------------------ -)dx I (—- ---------) d x ------~

+ A+ 1

5

2 J (A

+ X + 1)

2a+1

x3+1

l

( a 2 —4 a + 5 ) 2

Desarrollo

( a + 1 ) 2 ( a 2 +Hxa + i1)) 2 a

+ 1 ) ( a 2 + A + l )2

A

Bx + C

-+ +l X2

+ A' + 1

A ( x 2 + a + 1) +

(B x + C )(a + 1 )(a 2

a

Cx+D

2 - 4 a+ 5

(a2 - 4 a + 5 )2

Dx + B (x 2 + x + l )2

efectuando operaciones y eliminando denominadores se tiene: 1=

Ax + B

3 +1

(a 2 - 4 a + 5 )2

A

+ x + l) + (x + l)(Dx+E)

efectuando operaciones y eliminado denominadores: a3 +

a

3

a + 2

(a

+ A + 1)“

+ i j — ln x + A + l + — =rarctg(— ?=^-) + ------------------- ;-------- + c 2 3V3 v3 3( a + a + 1)

! ----------------- d x

Desarrollo

(a

+ A+ 1

i

+ A +1

dx

í

A

t 1 ---------------------------------_)£ * * W/x (---A+l X~+X+l (x~ + X +1)

: In

1299

+

((A A + 11))((xa 2” + A ++ l1)) 2“

Bx + C Dx + E -+ —---------+ — ---------- -]dx

Z

Luego reemplazando en (1) se tiene: 3a + 5

3A + 2B + 2C' + D = 0

l = (A x+ i?)(x2 +

x+

1) + Cx +Z>

+ 1 = A*3 + (-4 A + B) x 2 + ( 5 A - 4 B + C)x + 5B + D

104

Eduardo Espinoza Ramos

por identidad se obtiene:

A=1

A =1

-4 A + fí= 0

B = 4A => B = 4

5 A - 4 B +C = 0

C = 11

5B + D = l

D = - 49

105

Integral Indefinida Dx5 +(E + D - A ) x 4 +(E + D+ F - 2 B ) x 3 + (x + l) 2(x 2 + l )2

(x + l) 2(x 2 + l )2 +(A + E + F - B + D - 3 C ) x ‘-+( 2A + E + F - 2 C ) x + B + F - C (x + l) 2(x 2 + l )2

J (x ~ -4 x + 5)-

=

,

. Ax+i? C x +D , ( - -----------+ —5------------ 7)dx J x 2 - 4 x + 5 (x —4x + 5)

de donde se tiene: 1 = Dx +(E + D - A ) x 4 + (E + D + F - 2B)x +(A + E + F —B + D —3C)x~ +

x +4 llx -1 9 , H — ------ + - T — ----- - r ) d * x 2 - 4x + 5 (x 2 - 4x + 5 )2

1«

+(2A + E + F - 2 C ) x + B + F - C D =0

1 f , 2x —4 12 J = - (-5-----------+ 2 J x - 4 x + 5 x ~ -4 x + 5

11 f 2x-4 J r dx — ------------- ¿ v + 3 I —-------------2 J ( x~- 4 x + 5)" J ( x " - 4 x + 5)

E + D - A =0 E+ D + F-2B= 0 A + E + F + D - B - 2 C =0

= —Inlx 2 -4 x + 5 |+ ó a rc tg (x -2 )-— (—-——------ )+ —arctg(x-2)H----- ~ — ----2 1 5 2 ;c2 _ 4jc + 5 2 6V 2(x - 4x + 5)

2A + E + F - 2C = 0

1 1 1 2 a c 1 15 , .. 3 x -1 7 = —ln x - 4 x + 5 h— arctgíx- 2 )-1------ -------------- he 2 ' 2 2(x - 4 x + 5)

1 1 1 3 resolviendo el sistema se tiene: D~0, A = — . B - — , C = 0 , E = — , F = — 4 4 4 4

Hallar las integrales siguientes, utilizando el método de Ostrogradski:

Como:

f

dx Desarrollo dx

J (x +1)2(x2 +1)2

__________________ dx

i (x + l) 2(x 2 + l )2

Ax2

+ Bx + C

(x + l)(x 2 + l)

__________ -X 2 + X r

J (x + l) 2(x 2 + l )2 f

B+ F -C =1

_ Ax2 + Bx + C ^ f Dx2 + Ex + F (x

+l)(x2 +1) J (x +l)(x2 + 1)

derivando y agrupando se tiene:

4(x + l)(x 2 + l) -X

+x

4(x + l)(x 2 +1)

4

|* Dx2 + E x + F

J (x + l)(x 2 + l /

x —3

J (x + l)(x~ + 1) dx

1 f -2 -I i ------dx + 1 7 h * -¡ 4 'J x + l

------^-+ —In I x + l | ~ —ln |x 2 + 1 | + —arctgx + c 4(x + l)(x +1) 2 ' ' 4 ' 4

6

106

1302

Eduardo Espinoza Ramos

I 1 _I , ------ 1 — + Í - 4 - * = -------í ------- 2 f , _ ^ _ + _ 4 _ + l í - )Jx 4(x —1) J x 4 -1 4(x - 1) 4 J x +l x - \ x + 1

dx

f

Desarrollo dx

í (x4 - l ) 2

A x ’ + Bx2 + C x +D x4 - l

107

Integral Indefinida

X 3 f 11 w 3 f dx ----- ----- + — I (-------- — )dx + ~ I —----4( x ' - 1) 16 J x + l x - 1 8 J jc +1

f E x ’ + Fx2 + G x + H

+J

x 4 +l

x

3 , i x+l , 3 - + — ln | ----- |+ -a rc tg x + c 4(x4 - 1) 16 x - 1

derivando, simplificando y agrupando se tiene: 1_ 3A(x6- x 2) + 2B( x 5 ~ x ) + C( x 4 - l ) - 4 A x 6+ 4B x5 - 4 Cx4 - 4 / l r 3 (x 4- l )2

3 x 3 , x -l - a r c tg x ------------------- ln -----8 4(x - 1) 16 x + l

(x4 - \ ) 2 Ex3 + Fx2 + Gx + H x4 —l 1303

1 = E x 7 + (F - A ) x6 + ( G - 2B ) x 5 + ( H - 3C)x4 + (-3 D - E ) x 3 + + (—3A —F ) x 2 + (—2 B - G ) x - C —H E =0 G -2B =0 -3 A - E = 0

í (x 2 + l )4)4 Desarrollo Sea x = tg 0 => dx = sec 2 ,Odd f dx f se c"d dd _ f sec~ 9 d 9 _ f d0 J(x2+1)4 J(tg20+1)4 J see89 J see60

F -A =0 H -3C =0

dx

, resolviendo el sistema se tiene:

JcOS 60 í/0 = J (c o s 20 ) 3d0 =

-3A-F= 0 -2B-G = 0 -C -H =1

■¿J(1 + 3cos2 29 + 3cos29 + eos329)d9

A = 0, B = 0, C = - 2 , d = 0, C = 0, F = 0, G = 0, H = - 4 4

+ cos40) + 3cos20 +cos 2 29 eos 29)d9 2 ■¿J(1 + -(1

Ax3 + Bx2 +Cx + D

f Ex3 + Fx2 + G x + H x4 - l

+ 3cos20 + ( l - s e n 20)cos201
Eduardo Espinoza Ramos

108

109

Integral Indefinida

1 r59 3 3sen 26» sen 326. :_ [— -+ —sen 4 0 + —sen 29 h— ------------------ ] + c 8 2 8 2 2 6

4x -lO x + 8x--2 - Cx3 + ( D - 2 C - A ) x ¿ + (2 C - 2 D - 2 B ) x + 2 A + 2B + 2D C —4 D - 2 C - A = -10

= —[— + —sen9 eos9 (2eos2 9 - 1) + 4 sen9 eos9 ——sen39 eos39] + c 8 2

2

resolviendo el sistema se tiene: A=-l, B=3, C = 4, D = -3

2C - 2D - 2 B = 8

3

2A + 2B + 2D = - 2 1.5 3 x 2 4x 4x3 = - [ - arctg x + ----- (—------- 1) + —------------------------- -- -] + c 82 2 ( x " + l ) x +1 x~ +1 3(x~ + l)

4x 3 —10x2 + 8 x - 2

1

(x 2 - 2 x + 3)2

15 15x5 +40x3 +33x =— arctg * + ----------- ----------- + c 48 48(x +1)

1304

í

4 x -3 x -3 dx = — ------------- 1-dx x 2 ~ 2x + 2 IJ -x z - 2x + 2 x-3

- + 21n |x 2 - 2x + 2 |+ a rc tg (x -l) x" - 2x + 2

x - 2x + 2 , —r-------------- d x (x - 2 x + 2)

reemplazando (2) en ( 1) se tiene:

r

‘4x 3 - 10x" + 8x - 2 2x 2 + 2 dx dx = * + J ‘ (x - 2x + 2) (x 2 - 2x + 2)2 x 4-

Desarrollo 4x 3 -1 0 x 2 + 8 x - 2

f —2 2X +22 d x = f(l + JJ (x - 2x + 2)

í )dx

J ((x~ x -- 22 xx + + 22))

: X —-

x -3

x =x+

f 4x 3 —1Ox2 + 8x - 2 , ------ -------------— dx J (x - 2x + 2)

f4 x -lO x + 8x + 2 , Ax+B f Cx+D ------ r------------ ~z— dx = — --------- + —--------- — dx J (x - 2x + 2) x - 2 x +2 J x - 2 x +2

(x 2 - 2x + 2)2

- A x 2 - 2 B x + 2A + 2B (x 2 - 2x + 2)3

Cx + D x 2 - 2x + 2

I (x

+ l)(x + 8) Desarrollo

f

dz = 3 x2dx

I (x 3 + l)(x 3 + 8)

(z + l)(- + 8)

— = x 2dx 3

x 3.x2dx

x 5dx

Cx3 + ( D - 2 C - A)x2 + (2C - 2 D - 2 B ) x + 2A + 2B + 2D (x 2 - 2x + 2)2

, 2 + 21n ¡x - 2x + 2 |+ a rc tg (x -l) + c

x5dx

Sea z = x 3

derivando, simplificando y agrupando se tiene:

2x + 2

Hallar las integrales siguientes empleando diversos procedimientos.

...( 1 ) 1305

4x 3-1 0 x 2 + 8x —2

(2)

j (x 3 + l)(x 3+ 8)

1f

z dz _ 1 f/ A B )dz (------- 1------3 , ¡ (z + l)(z + 8) 3 z + 1 z +8

A

B

( A + B ) z + 8A + B

z+1

z+ 8

(z + l)(z + 8)

J

•v 110

Eduardo Espinoza Ramos z = (A + B)z + 8a + B por igualdad se tiene:

resolviendo el sistema se tiene: A = 2, B = -2, C = -3

A +B = l ) 1 n 8 > entonces A = — , B = — 8A + £ = 0 7 7

f

.x7 + x 3

x5dx 1 f A B 1 . . , . —3— -------------------- i-----= o I (-T+ ---------- ñ ^ z ~ t81n U + 8 - l n z + 1 ] + c J (x 3 +l)(.r 3+ 8) 3 J z + l z + 8 21

1 f

A

Bz + C _

-

-¿ ta u -ii-i 2 4 Jz + z -l

1f

2

2z + 3

-)dz

z‘ + Z -1

r^ -* — 2 Jz" + z -l

1,1 .i 1 - i 2 ii 1 i i 2z + 1—y¡5 . = - ln z - 1 — ln z ' + z - l -t=- l n --------------------------■== 2 1 ' 4 ' 2>/5 2z + l+V 5

= ~ [8 1 n | -v3 + 81- l n | x3 + 11] + c x 7+*3

.

4 j
f

1306

111

Integral Indefinida

1 . ¿i , 1 i k 4 = —ln x - 1 — ln x + x 2 4

J

í xI2 - 2x4 + l dx

t l , i 2x 4 +1 —*J5 , 1 ------------------------p in — -------------- j= +c 2^5 2x +\ + \¡5

Desarrollo yP _L v-3

J x

- 2 x +1

r

1307

„ 3 , „4

J x

- 2 x +1

J

xl+x¡ Jx=l f x 12 - 2x 4+1 4

J

_ 1 f

=

l

1 f (z + l)
Bz + C z2 + z -

z+l

A

(z - l) ( z 2+ z - l )

z-1

-

-dx

( x —2)

jr2 - x + 14

z + lj . z3 _ 2z+ A

í;( x - 4 )

Desarrollo

Sea z = x 4 =* dz = 4 x 3dx

f

x 2 —x +14

J

1)

)dz

(x - 4 ) 3 (x - 2 )

A (x - 4

B C D -H----------—H--------- + )3 (x - 4 ) 2 (x - 4 ) x -2

efectuando operaciones y agrupando se tiene: x 2 - x + l4 = (C + D)x3 + ( B - \ 0 C - \ 2 D ) x 2 + ( A - 6 B + 32C + 4 8 D ) x -

1

-2 A - 8 B - 3 2 C - 6 4 D

Bz + C +z2 + z - l

C+ D =0

efectuando operaciones y agrupando se tiene:

B -1 0 C —12D = 1 A - 6 B + 32C + 48D = -1 A+ £ = 0

z + l = (A + B )z 2 + ( A - B + C ) z - A - C , de donde A ~ B + C = 1—A —C = 1

-2A + 8 B -3 2 C -6 4 D = 14 resolviendo el sistema se tiene: A = 13, B = -3, C = 2, D = -2

r

112

Eduardo Espinoza Ramos

fJ ( x'- 4 ) r( x "- 2) ,,, Jf, ( x -A4 )3

113

Integral Indefinida

B

C D H--------- 1------- )dx (x -4 )- x - 4 x - 2

Ix4(x 2 + l )2

= - ( l n x - - l n ( x 2 +1) + — ^ — —) - l n x + ^ l n ( x 3 +1)

3(x +1)

1 , ,x 3 + l , 1 1 , ,x 3 + l . - + - ln I = ” ln I —5— I ■ 3 ' x 3 ' 3(x3 +1) 3 * *' x 3

= 13 j*— - —— - 3 f —— —^ + 2 — 2 J ( x - 4 )3 J ( x - 4 )2 J x - 4 J x-2 13

3 ,x -4 , + -------+ 2 In I------- 1+c 2(x-4)~ x - 4 1308

3

dx

Ix4(x3+ l)2

1309

f

x3 + l

J

x 4(x 3 + l )2

1:

r

dx 4x 2 + 5 x - 2

1 i 3- 4 x 2 + 5 x - 2

)dx x 4(x 3 + 1)2<

J x 4(x 3 + 1) A

B

- i , * J+I J x (x + 1)

(x‘ + 1)

3x2

Desarrollo

i !

f dx ,J x(x 3 + 1)2

dx

1

1 „ . ,a + 1 , 1 1 ) + c - - [ 21n | --d x —1 xJ x3 3* x"

x3 ' 3 x3 + l

Desarrollo dx

1

3x

1 (x —l) 2( x - 2)

A

B C - H-------- f*( x - 1)2 x - 1 x - 2

efectuando operaciones y agrupando se tiene:

(1)

1 = A ( x - 2 ) + B ( x 2 - 3 x + 2 ) + C (x 2 - 2 x + l), de donde se tiene: X3

x (x + 1)

B +C = 0

)dx

A - 3 B - 2 C = 0 ■ resolviendo el sistema: A = -l, B = -l, C = 1 - 2 A + 2B + C = \

■ Í 7

(------------------------- )dx ——— - - l n x + -ln (x + 1) 3x 3

" I x(x +1) x(x +1)

í ____ * ____ , f(

J x 3—4x 2 +5x —2 J A= I

—- = — —r + —ln(x 3 +1) —In x 3x3 3

I:x 4(x3+ l)

dx 1 , , 3 ,, 1 , 1 B = I ---- — — 7 = — In | x + l | + - ( —-----) + lnx x(x +1) 3 ' 3 x3 + l

f

Luego:

1310

( x - 1 )2

f

dx

j

(x -1 )2

X -1

x -2

i* dx

j* dx

J

J x-2

x-1

f_ dx J x(x7 +■ 1) dX

Desarrollo

_

1 x-

- + lnj — j \ f c 1 x -1

+c

1] 4

Eduardo Espinoza Ramos

115

Integral Indefinida

f _________________ = f( J ( x 2 + 2x + 2)(x2 + 2 x + 5)

1f

3

*(x 5 + l )2

í

Desarrollo 1313 r

dx

f x5 + i

x*

f

dx_ r

dx

r

x4

J x(x5 +1)2 J x(xs +1) J (at5+1)2 J x(x 5+1) J (x5 +1)2

1

dx

J x 2 + 2x + 2 3 J x

1

,* + l \ ,

+ 2x + 5

f - ^ * J x(x x(xr>+ 11))

J x(x + 1)

-

J ( * - l ) 10

±x

Desarrollo

í /< b JJ U( ' + i r

f

2dx _ f ( z + l)~ 10 !ü J i “ J U -l)

4

;--------------- + c = l n x — ln | x + 1 |+ 5(x 5 +1) 5 5(x + 1) ■Jf-J x5 + l dx +-----

7-+ c

dx

J (x2 + 1x + 2)(x2 + 2x + 5)

36 62

f x 2dx ---------

Sea z = x --1 = > x = z + l = > =

1312

+ ^ x + D - )dx x2 +2x + 5

= - I --------------------- I ----------------- = - a r c t g ( x + l ) — arctg(---------) + c

dx

1311

1 f

dx

M+J -

J x 2 +2x + 2

dx = dz

1

2

' J z8+z9

.10

)dz

1

_ 1 ________ 1

Iz1

4 ( x - l )8 9 (x - l) '

4z

9z9+C

7 ( x - l )7

1314

Desarrollo

Desarrollo 1

Ax+B

(x 2 + 2 x + 2)(xz + 2x + 5)

x l +2 x + 2

^

Cx + D x ¿ +2 x + 5

f. d x . = f __ * __ = í ( - í l ± i ------------ % -----)dx

Jx8+x6 Jx6(x2+1) J x6(x2+l) x6(x-+l)

efectuando operaciones y agrupando se tiene: 1 = A(x 3 + 2 x 2 + 5x) + B(x 2 + 2x + 5) + C (x 3 + 2x 2 + 2x) + D ( x 2 +2x + 2)

de donde se tiene:

5x's

A +C = 0 2A + B + 2C + D = 0

__ ___

5A+2B+2C+2D=0 5A + 2 D - 1

KchiiIvIpihIo pI ilvtriiim k" (tone

A •* 0. II

___ L— f f . p - d x + \ - 4 — dx

^ , C' O , /)

^

J x (x_ + 1) J x (x +1)

1

1

f

5x

3x

*

x 2 +\ ,_f X2dx

“Í7 +Í7 +J x2(x2+1)íiA J x2(x2+l) 1 1 1 = ---- r + — ------- arctg x + c

+c

I ihuiiilii ! spinoza Ramos

4.7.

INTEGRALES

DE

ALGUNAS

FUNCIONES

1316

xdx Desarrollo

, 3 2 Sea z =ax + b => dx = — z d z a

INTEGRALES DEL TIPO.-

J

J

yjax+b

IRRACIONAL ES.(7 )

117

Integral Indefinida

cx + d

Como z 3 =ax + b => z = s a x + b además x =

cx + d

z3 - b

donde R es una función racional y p¡. q l p 1. q 2 ... son números enteros, estas integrales se hallan valiéndose de la sustitución. ax + b

z3 - b a

xdx

í i

i yjax + b

a z

3 z2 a

z)dz

„

ex + d

= JL ( i i - - z 2 ) + c = - 1 - (2^(ox + b f - 5bl](ax+b)2 ) + c a 5 2 10o

donde n es el mínimo común múltiplo de los números q { , q 2 1317

Hallar las integrales:

dx

f * Vx +1 +

(.x + 1)3 Desarrollo

Sea z 2 = x + l => z = Vx + 1 => z i =y j( x+\ Ÿ Desarrollo Sea z 2 = x -1

Como z 2 = x + l => x = z 2 - l

=> dx = 2z dz

dx = 2zdz

f dx —- —= = f ^ ^ - = 2 [ ^ Z = 2 arctg(z) + c = 2 arctg(Vx + l) + c J V x+I + ^ x + l )3 J z + z‘ J z "+1

Como z 2 = x —1 => z = Vx—1

1318

I Vx-+ Vx Desarrollo

=

2 (z + 3 : + 3z" + \)dz ■■2(— + - z 5 + z 3 + z) + c

í

7

5

= 2z(— + - z 4 + z 2 + l) + c = 2V x - l ( ————+ —(x —l )2 +x) + c 7 5 7 5

118

Eduardo Espinoza Ramos z3

119

Integral Indefinida A + fí = 0

z2

= 6(—---- — + z-ln(z + l)) + c

resolviendo el Sistema se tiene: A.= 1, B = -1, C= -1

de donde: A - B + C = \ A -C -2

1319 J f r r “

f— # i ^ =

J (x + l)2-VITl

Desarrollo

J Z -1

[ ^ j h ± d x = í - y - ^ - 6z5dz = 6 \ —y — dz

J z +1

*

-)dz

+1

z

77

75 74

73

72

1

7

5 4

3

2

2

1320

Z +Z + 1

VI - ^ V? - V? + 2VI + 3\fx - 6\¡x - 3 ln(VI + 1) + 6arctg yfx + c

2z + l arctgí—-j~~) + c

V3

y¡3

f VI dx

J x+2

'

.

Desarrollo

Sea z 2 = jc+1 => dx = 2z dz fz +2

2

(\fx + \ —Y)~ 2■ 2\Jx+1 +1 — ■).+ c = ln - ----- - ¡ = ?— -f=arctg( — X + 2 + v x +1 . V3 . . a/3 1321

Desarrollo

Vx+T + 2

V l z + -1ysT+ -3, 2 4

, ( z - 1)2 2 - 2z + 1 = ln—-------------7=-arctg(— -r -) + x

|— ±jL=dx h (a + 1) —yj X + 1

f

+- ^ - c-)dz Z +z:+l J z + z +1

■? = 2 ln(z - 1) - ln(z‘ + z + 1) -

= 6(---------------- + — + —— z — ln(z2 +l) + arctgz)

- “

z-1

z + z +1

= 21n ( z - l ) - l n ( z 2 + z + l ) - J

J z +1

6 | (z6 - z 4 - z 3 - z 2 - z - 1 —

f

=2 j*(—----- 2Z+ 1- ~)dz = 21n(z-D- f -2c+ 1- dz- f-

Sea x = z 6 => sfx = z? => Hx = z 2 aaemás dx = 6 z 5dz

J #t +l

f


o f z -*-2 ,„ f , A

Bz + C

,

I— t---- j = = d x = I — 2zdz = 2 I —— dz = 2 (------ + - T— )dz J ( x + 1)2 - V I Í T J z 4- z J z3- 1 J z - 1 z + z +1

Sea z 2 = x =$ dx = 2 zd z

2 \ ^ - d x = f - ^ - d z = 2 ( - ^ - d z = 2 Í ( l — 2 ■)dz J x +2 J z +2 J z +2 J z‘ +2

Z -1

Z -1

Z2 + Z+ l

= 2(z - -JL arctg(-^=)) + c = 2V I z + 2 = A( z 2 + z + l ) +( z - V) ( Bz + C ) = rel="nofollow"> z + 2 = A(z2 +z + \ ) + B ( z 2 - z ) + C ( z - l )

272 a r c t g ( ^ ) + c

dz

J z +Z + 1

120

1322

Eduardo Espinoza Ramos

121

Integral Indefinida

integrando por partes I see30 dO se tiene:

dx f (e2 ~ x ) y j l - x Desarrollo

J sec3 9 d 9 = ^ [ln | sec0 -r tg0 ¡ + sec0 tg0] Sea l - x = z 2 => 2 - x = z 2 +1 => dx = -2z dz dx

f - 2zdz

2 arctg(z) + c = —2 arctg(Vl —x ) + c

! x. ——~í£t = —[In I see# tg0 |+ s e c 0 t g 0 ] - t g # + c

jc + 1

2

= —[In I x + yfx2 - 1 I + W x 2 - \ ] - \ ¡ x2 - \ + c 2

1323 Desarrollo

= i l n | x + V 7 ^ l | + £ ^ -(x —2 ) + c 2 7 X2 - 1 -dx

1324

Desarrollo

J V*+i see 0 = x

3 x+\ z3 + l , -6 z 2dz Sea z ------- => x = — 5— => dx = —------x-l z3 - l (Z3 - 1 )2

JV T^I dx, = see 9. tg 0 d0

dz

eosec9 = 4 J....... , => T X

f x. —— -dx = f ,. X

J v*+i

l )2

, { x -l )d x

J f ______ M ______

=Jcos
B

1 Cz + D |

z-í

(z l)2

z2 + z + l

J ( z - l ) 2(z2 + z + l)2 J

=Jsec39 dQ - Jsec29 d9 ix-1 x^j— —dx: = J| see3 sec- 96 ddO 9 - J| ssee“ 9 d6

r, A |

A

z3

(z (a)

i)

z-i

B C z +D Ez + F - + --------------------- + -T---+

(z -ir

z +z+i (z¿ + z + ir

efectuando operaciones y agrupando se tiene:

Ez + F (z2 + z + l)

Eduardo Espinoza Ramos

122

123

Integral Indefinida

z2 - | + 3

z 3 =(A+C) z5 + ( A + B - C + D)z4 + ( A + 2 B - D + E ) z i + ( B - A - C - 2 E + F) z2

z 2 +3

f 2 X + l ^ d x = f------^ ---- zd z = 2 Í v 2x + 3

+ ( 2 B - A + C —D + E - 2F)z + B - A + D + F

* (z 2 ^ 3)2

J ^22 ——-)2^

dz

por identidad de polinomios se tiene: .

dz =

A +C =0

Áz + S Cz + D (—7----- 7 + --7— -) dz (z2 - 3)2 z 2 - 3

A+ B-C+ D = 0 A +2 B -D +E =l

derivando, simplificando v agrupando:

resolviendo el sistema se tiene:

B -A -C -2E + F =0

^

, 81

b

= ^ 9

c

j é ? * - 6!

(z 2 - 3 )2

(z2 - 3)2

B - A + D + F =0 a

Az —2Bz —3A + Cz + D

z +3

2 B - A +C - + E - 2 F = 0

= - ^ , 81

d

-4 *

- 2 8 - 3C = 0 D -A =l

resolviendo se tiene:

, , donde

J -í + 1 z=h V x -1

x+3

J

x+3

J

~dx x 2\J2x + 3 Desarrollo

2

Sea z = 2x + 3

z2 - 3 z dz = dx => x = -------

Az + B

Cz+D

z2 - 3

(z 2 - 3 )2

)dz = -

(2)

z2 - 3

reemplazando (2) en (1) se tiene:

L itL = * =

1325

A = -1, B = 0, C = 0, D = 0

-3A -3D =3

integrando cada termino y simplificando se tiene:

Jé?

(z2- 3 )2

C =0

1 11 31 7 11 — Z+— ZH----, 9 81 81 . 27 27 w . + -------- 7 — ........ + — -----------7 )dz ( z - 1)z~ + z + l (z" + z + l)~

x+1 , 1 , z2 + z + l 2 2z + l 2z -3/:-----dx = - ln --------— + —¡=arctg(— = - ) + —------ 1- c 1 3 (z —1) yfc * J3 z3 - l

z2 - 3

z + 3 = Cz + (£>- A)z + (-2 S - 3C)z - 3 A - 3 D

=- ^ , E = J - , f =^ 81 27 27

.A B Cz + D Ez + F , (_--- h--------- H----- ---- — H---- ------------)dz z - 1 (z —1) z + z + l (z +z + \ y 11

Cz3 + ( D - A ) z + ( - 2 B - 3 C ) z - 3 A - 3 D

©

x~V2x + 3

z+3

.

2z

V2x + 3

2f dz = -----,----- + C = ---------------he z -3 J (z (z2 - 3 ) 2

INTEGRALES DEL TÌPO.pn(x)dx

1yjax2 +bx + c

donde p n (x) es un polinomio de grado n, se supone que

124

Eduardo Espinoza Ramos dx f _ Pn^x ~ = d x = Qr '_x( x)'Jax2 +bx + c + A f -?= » y a x 2 +bx + c J \¡a ax‘ + bx +1

— — Vx2 - x + l - - l n | 2x - l + 2Vx2 - x + l|+ c

... (3)

donde Qn_,(x) es un polinomio de grado (n - 1) con coeficientes

1327

indeterminados y X es un numero. Los coeficientes del polinomio Q n-1 (•*) Y ®

r x^dx

j ^ /w 2 Desarrollo

numero A, se hallan derivando la identidad (3). f x dx - = (Ax4 + Bx3 + Cx2 +Dx+ E ) y j l - x 2 + A f JJ i-x2

INTEGRALES DEL TIPO.dx

I ( x - a ) n\fax2 +bx + i

x5 = s fl -

, se reduce al 2° tipo de integrales valiéndose de

la sustitución: ------ = t x-a

i ? ^ /T 2 x(Ax4 +Bx*+Cx2 + Dx+E) A = (4Ax3 + 3Bx + 2Cx+D)y¡l-x2 — ------------ = = ----------- - + ~ r = sfl-x

x 5 = -5A x 5 - 4 f lx 4 + (4 A -3 C )x 3 + (3 B -2 D )x 2 + ( 2 C - £ ) x + D + A -5A = 1

x 2dx

í;4 x ^ - x + l

-4 B = 0 Desarrollo

4 A -3 C = 0 3B - 2D = 0

x 2dx í

X

- x +l

x +l

1 4 • resolviendo se tiene: A = - - , C = _ ^ > D = 0, E =

2 C -E =0

= (Ax+ B)sjx2 - x + l + A í —j = ~ - - L = , derivando se tiene: •* Vx 2 - x +1

D+A= 0

2A(x 2 - x + 1) + A ( 2 x 2 - x) + B ( 2 x - 1) + 2

dx

2yfx2 ^ x + l

VÍ^X 2

2x2 = 4Ax 2 + ( 2 B - 3 A ) x + 2 A - B + 2Á,

J 4x2-x + l

— derivando se tiene

X5 = (4Ax 3 +3 Bx2 + 2 Cx + D)( 1- x 2) - ( A x 5 + B x 4 + Cx 3 + D x 2 + £ x ) + A

Hallar las integrales:

1326

125

Integral Indefinida

dedonde: A = - , 2

2 4 81j x

dx -x +l

B =- , 4

A= —

= ( _ £ _ _ ± ^ _ A ) V í r 7 = - 8 + 4 * + 3 x .^ 7 + c 5 15 15 15

8 1328

x.’dx

8

, A. = 0

Eduardo Espinoza Ramos

126

127

Integral Indefinida

Desa r r ollo

dt 4

i - , —*-

JJlTx2

dx = (Ax 4 + Bx 3+Cx2 + Dx + E)\ll + x 2 + A f —p

dt

dx

J Vi + x 2

tf \ t 2

derivando y agrupando se tiene: x6

= (At3 + Bt 2 + Ct + D ) \ J l - t 2 -A

_ 6Ax6 + 5Bx5 + (5A + 4C)x4 + (4B + 3D)x3 +

\ii+x2

1

derivando y agrupando se tiene:

v r + x 2" +(3C + 2 £ V2 + (2D + F) x + E + A Ví +

- , 4 = —4f4- 3Sí 3+ (3A - 2C)t2 + ( 2 B - D ) t + C + X 1 3 3 de donde: A = — , B = 0, C = —, D = 0 , A = — 4 8 8

X*

x 6 = 6Ax +5 Bx 5 + (5A+ 4C)x 4+ (4fí + 3D)x3+ (3C + 2 E)x2 +(2D+ F)x + E + X

f

p = = - [ - ^ L , = (A t3 + Bt2 + C í J x’ V ^ M j V T ?

de donde: A = - , B = 0, C = ~ — , D = 0, £ = — , A = - — 6 24 16 16

4

f _ í = ^ = = (Ax5 + Bx4 +Cx 3 + Dx2 + £x+F)Vl + *2 + A f , ¿X J V iT 7 J V iT ? /7~

6

24

16

7

5 f 16 J

8

+D)Vl-í2+a[-7¿L

l+ x2

=^ 6 Y ~ ^24d +T16¿ ^ l+x2 ~ y167 l n \ x + ^ ] + xl l +c

í (x +1 )3V *2 + 2x Desarrollo

1 / => x+1, = -1 => dx j = —Hacemos ------= x +1 / r

J x5 * Desarrollo

j Vw

* = (44 48)V ^ Tf —3arcsení + c

S jJZ S

= (—i—+ — -)V *2 - 1 - - arcsen(—) + c 4x 8x 8 x

dx 1330

1329

f

^ J V I-? .

128

Eduardo Espinoza Ramos

j

,

/

i

\2

4.8.

- í 2+ l - l 1f - t~dt = Ir — í//

i

donde x + 2x = (x + 1) - ] = -

129

Integral Indefinida

IN T E G R A L E S D E L A S D IF E R E N C IA L E S B IN O M IC A S .xm(a+bxn)pdx

- arcsen í - arcsen í + c J

J V ÍZ 7

2

... ( 1 )

donde m, n y p son números racionales.

2

CONDICIÓN DE CHEBICHEC.t rr~2 i i I. i i , i = —V l - í — are.* arcsent + c = --------- 1 ------------ — arcsen(------ ) + c 2(x + l)V (A + l )2 2 x+l

La integral (1), puede expresarse por medio de una combinación finita de funciones elementales, únicamente en los tres casos:

------— —Vx2 +2x - —arcseni— —) + c 2(x + l) 2 x +\

1331

x2+ X +

1

Cuando p es entero.

©

-(lx

:Vx2 - x + +l

Cuando

f

— 1 = = = d x =

j xVx - x + l

( — ?=•: ■

©

1

x(x + l) ^ + - -7=.=

J xvx2 - x + l

■

1 f 2jc—1 + 1 f i* 2J yjx2 - X

+ l

Cuando

=)<&

xvx2 - x + l

dx

Hallar las integrales: 3

f

J XW\ ¡ X^ 2- J- C X + + l

1332

fifx

J x 3 (1

2 x -l

3 f x+



+ 2 x 2 ) 2dx Desarrollo

JJ yjx2 - x + l m + 1

1 f

m+1 + p , es número entero, en este caso se emplea la n

sustitución ax~n + b = z

=•i~r===i£ï+ f - r fr W x "-x + l J xy¡x‘' - x + 1 _

es número entero, aquí se emplea la sustitución

a + bxn = z s , donde “s” es el divisor de la fracción p.

Desarrollo f x2 + x + l

m+1 nn

f

2 ¡ 4 7 ^ ¡ +I

dx

W ? :x+l

3 + 1

4

------ = ------ = — - 2 n 2 2

es un entero

integrando y de acuerdo a las integrales anteriores se tiene:

2 2 2 Z2 - l j Zdz entonces: l + 2 x “ - z ‘ => x = ------- => x d x = —— 2 2

= -\/x2 —x + l + l n | x |+ -^ ln | x - - ^ + Vx 2 - x + l | -I n

J x3(1+2x2) 2dx = Jx2(l +2x2) 2xdx = J 2 ^ *.(z2) 2

3

11 —-^ + Vx 2 - x + l |+ c

= ^ J ( 1 - z ’ )tiz

130

Eduardo Espinoza Ramos K K 1 z +1 1 2 + 2x N 1 1+ = - ( z + - ) + c = - ( ------- ) + c = —(—== = ) + c = —(—= = = ? ) + c 4 z 4 z 4 J 1+ 2x2 2 V! + 2.v2

1333

I

Integral Indefinida x

131

.

Jí —4 /—n V— = - Ji -z—“—1 = ~ ( ~4l n | —z—-+ 1| + —a r c t g z ) + c = —l

n | | — ar ct gz+c 2 4Z - l 2

dx 7

a , „ | ^ S ± I | - I a re,g ^ 4 'V ^ T l - l 2

Desarrollo 5

Sea x 4 + l = z 4 => .v4 = — ? -i

j c=

1. Vz4^ !

=> dx = - z 3(z 4 -1 ) 4¿z

+c

dx

1334

I -XXí'Jl\ + xX'2 Desarrollo

1 dt Sea x = - => dx = — t r dt

J Z - 1 J Z + 1 Z~1 z2 z4 - l

A Z+

Z+1

í -----$ = = f -----p = J x4^ / i í 7 J i C Z ,4 V t2

B Cz + D _ - H---------i- —r---- , efectuando operaciones y agrupando

1

Z -l

z2 + l

Sea z 2 = l + / 2 => z dz = t dt

z~ = (A + B + C)zi + ( B - A + D)z 2 +(A + B - C ) z + B - A - D de donde se tiene:

.3

A+B+C= 0 B-A + D = 1 A+ B-C =0

f -----^ ==r = - j ' - i = d f = - f ( z 2 - l ) z .zdz resolviendo el sistema se tiene: A = —- , fí = — ,C = 0, D = — 4 4 2

B - A - D =0

= - J ( z 2 -l)d z = - ( y - z ) + c = - | ( z

f z2 , f, A B Cz + D 1, .1, .. 1 — — dz= (— + ----- + ■)dz = —- l n |z + l |+ - l n |z - l | + - a r c t g z + c J z -1 J z+ 1 z - l z +1 4 4 2

2-3 ) + c =

i l i - ( l + , 2- 3 ) + C

1 1+ ^ V T -2 x ' - ( - A r - 2 ) + c = ^— ^ - ( 2 x 2 - l ) + c . } 0 ± L (ti - 2 ) + c = - ' ' 3 V 3x3

i, Iz -l I 1 = - - l n — - |+ - a r c tg z + c 4 z+1 2 Luego:

i = - [ - 4 ^ = = - [ / (1 + í ) 2dt J J

1335

J:

dx f l +x

Eduardo Espinoza Ramos

132

Desarrollo Sea l + ;t5 = z 3 =* x 5 = z3 - l

1336

i 3 _í => x = (z 3 - l ) 5 , dx = - - ( z 3 - l ) 5 z 2dz

= fjc_,(l + jc5) 3dx = f( z 3 - l )

f— J X\Jl r\/l + X' r5

J

5(z3)

3 - ( z3 - 1 )

J5

133

Integral Indefinida dx

f

5

x 2(2 + x 3)3 Desarrollo

5 z2dz

Sea 2x

-

1

3

2

3

l/l => x = --------- - => dx = --lf2(z3 - l i 3 z 2dz

+1 = z => x = ——

(z 3 - l )3

* zdz

= - í(z 3 - ir 'z d z = - [ - 5^ - * = - f ----5J 5J z - l 5 J ( z - l)(z 2 + z + l) a-2 = ( ^ 2 )2(z 3 - l ) = - f(— 5 J z-1 A z3 - l

Bz + C - + —--------

Z -l

3 => x 2 = (Z y } ] - = > 2 + a 3 - 2j:3(z 3 - l )-1

Bz + C : w + —------)dz z +z + l

5

j ------— — - = J jc _2(2 + jc3)

de donde se tiene:

3é/jc

jc2(2 + a 3)3

Z2 + Z + l

2 z = (A + B)z 2 + ( A - B + C)z + A - C

= J í i i j l i ( 2z3(z2 - i r ' ) 3(-^/2)(z3 -1) 3z2dz

A + fl = 0 A - B + C =1 A -C = 0

resolviendo el sistema se tiene: A = —, B = 3

3

, C=— 3

2 3^2. j (z3 _

z -5 (z3 _ {)i z 2 dz = - I J ( z 3 -l)z ~ 3

ft \ - r - ~ f l- £ - - < ^ - ) l* J jc^/i + x5 5 J z - l 3 z + z + l

= -[ f — * 5 J z -l J z +z + l

1+ c

= ^ [ln( z - 1 ) - - ^ \n(\lz 2 + z + l) + \/3 arctg(2^ -)] 1ln-------------( z - l) 2 -ln --------------(z 2 + z + l) +V3 /2z + _ are,g(_ ? l.r ) + c 1337 = — ln-^f——— l-^ -a rc tg (2~ ^ - ) + c 10 z 2 + z + l 5 V3

donde z = yjl + x5

dx

I Desarrollo

134

Eduardo Espinoza Ramos

Hacemos 1+ —L= = /3 , t = J 1 +

135

Integral Indefinida SEGUNDO CASO.-

1

Cuando n es un entero positivo impar dentro del integrando se saca el factor común sen x dx o eos

-7.V3

x dx, respectivamente, luego se usa la identidad:

1

- V = ^ i - = » í / í = 31 . 1 r3-1 3- l

sen 2 x + cos” x = l 0

4/ U = -------* - , v4/77 1 — V.v * = —----, t ( r -D " (f3 - l )3

f

@

f r V - u V - l )3

f - 4 r g 3 - i ) 2 d{

J

si n es par o impar se usan las identidades: 1

f

c tg" xdx

tg” xd x y

J

-At dt = 3t~dt => dx = ---- , Luego:

de 1+ .— = r ’ => —

PARA LOS INTEGRALES DE LA FORM A.-

+ tg 2 x = se£2 x , 1 + c tg 2 x = csc2 x

PARA LAS INTEGRALES DE LA FORM A.»

'lxi \ l \ + i [ 7

(P _

J jL . Vi - 1

1)3

(i 3 -

1)3

sen "1 x.cos" x dx

t

PRIM ER CASO.- Si m o n es un entero positivo impar y el otro 2/

+C =

- 2( 3/1 + —r =

)2

+c

— —2(]l(l +

cualquier numero.

x 4 )2 ) + c

V 4.9.

Se procede de la siguiente manera:

IN T E G R A L E S D E F U N C IO N E S T R IG O N O M E T R IC A S .(I)

Si m es impar se saca factor

sen x dx

sen2 x + eos 2 x = 1

INTEGRALES DE LA FORMA.-

SEGUNDO CASO.-

Jsen”jtí/jt, y Jcos" xdx donde m y n son números enteros.

Si m y n son enteros positivos pares se usa la fórmula:

•> l - c o s 2x 2 i + cos2x sen“ x = ----------- , eos x = ------ -----__________ 2________________ 2

PRIM ER CASO.- Cuando n es un entero positivo par se usan las identidades siguientes: @ •> 1 - eos 2x o 1 + eos 2.v sen- x = ——----- , eos" x --------------

y se usa la identidad:

PARA LAS INTEGRALES DE LA FORM A.-

• f ígmx.sec" x d x , rtg"' x.csc" x d x J J

136

Eduardo Espinoza Ramos

137

Integral Indefinida

PRIM ER CASO.- Cuando n es un entero positivo par y m es cualquier = J* I sen sen xxd d x - 2JI cos2 x.senxdx + I eos4 x.senxdx

número, se saca el factor.

2 eos3 x eos5 x

see 2 x d x o ese 2 x d x

= - C O S X + ---------------------------------l-C

y se usan las identidades: l + tg 2 x = see2 x , 1 + c t g 2 x = csc 2 x 1340 SEGUNDO CASO.-

i

Cuando m es un entero positivo impar, n es

sen 2 x.cos3xdx Desarrollo

cualquier número, se saca como factor.

J sen2 x.cos3x d x = J sen2 x.cos2 x.cos xd x

sec x. tg x dx o ese x. ctg x dx y se usa la identidad:

J*sen2 x(l - sen2 x) cos x dx = J sen2 Xcos x dx - J sen4x. eos x dx

1+ tg 2 x = sec 2 x , 1 + e t g 2 x = csc 2 x ’

Hallar las integrales 1338

sen 5x sen 5 x -----------h e

/ eos3x dx Desarrollo

1341

Jsen3(—2 ). eos5( -2)d x

J*cos x d x —J eos* x.cos x d x = f (1 —sen" x) eos x d x

= J cos x d x - J sen“ x.cos xdx = senx

1339

I

Desarrollo

j* sen 3(^).cos 5(~~)dx = J cos 5(^).sen 2(^).sen(^)dx

sen 3x --------- I-C

= J e o s 5(^).(l - eos 2(- ) ) sen¿ ) d x

sen 5 xdx Desarrollo

= J*| sen 5x d x = J* x= = Jj ((1 - e o s 2 x )2 sen x d x | sen 4x.sen x ddx

J

( l - 2 cos~ x + cos 4 x)senxdx

1342

J eos5(^ ) sen(^) dx - J

eos (—) eos ( ------2_ + ---------- -rt, eos7(—) sen(—)dx - 3 4

f eos5 X , ---- r- d x J sen x Desarrollo

138

Eduardo Espinoza Ramos fe o s3 * , f ( l - s e n “ *) I — t— dx = I ------ -------- eos xdx J sen' x J sen *

Integral Indefinida

1345

J

139

sen2 x c o s 4 xdx

Desarrollo f l - 2 sen 2 * + sen 4x , f, I -------------t----------eosx d x = ((c tg x c s c * - 2c tg * + senxcos*)d* J sen x J sen2 x 2

1343

2 1 - eos 2* 2 1+ eos 2* sen * = -------------, eos * = --------------2 2

1

f 2 4 . f l - c o s 2 * 1+ c o s 2 x 2 , I sen x c o s x dx = -------------.(------------- y d x

--2 1 n Isen I+c 2 sen“ *

j

sen4 xdx

J

2

2

= - J(1 - eos2 2*)(1 + eos 2x)dx = ~ J sen2 2*(1 + eos 2x)dx

1

Desarrollo - e o s 4*

1- eos 2* sen“ x = ------------2

■ & *

J*sen4 *dx = J*(- - ~^s

- x

)2C¡X

= i J*(l —2eos 2x +eos2 2x)dx

o

t u

l rA'

sen4*

sen3 2*,

8 2

8

6

2x c o s 2*]J* = - [ --------------+ ---------- l + c

sen3 2*

I

64

48

eos0 3xdx

Desarrollo t„ 1+ eos 6* eos“ 3* = -------------

sen2 x c o s 2 xdx

2

Desarrollo sen*, eo s* =

sen 4*

16

1346

I

2

2

-----------------------1------------------j_ Q

lr . x sen(4*) 3* sen(2*) sen(4*) = —[ x - sen(2*) + —+ ----- — -] + c = -------- — — - + ---- — - + c 4 2 8 8 4 32

1344

---------- +sen

J c o s 63xdx = J (c o s 23x)3dx

sen(2*)

f ,1 + cos6 jcx* , 1 f /4 , , 3 = J ( ----- ----- ) dx = —J (l + 3 c o s6 x -f3 eos ójc + cos 6x)dx

J sen2 * c o s2 x dx = J (sen *cos x f d x = J (—■-l^ X)dx = i j s e n 22xdx

4J1

- e o s 4* , 1 sen 4 *, * sen 4* ----------- dx = - [ * ----------- ] + c = ------------- + c

2

8

4

8

32

140

Eduardo Espinoza Ramo'. _ 1 ,5x

sen 6a

= 8 (T + ~ _ 5 a | senÓA

16

12

sen 12a sen 6.v sen3 6v +~ T - +^ -------- Ì 8~ , + C sen 12a

sen3 6 a

64

144

141

Integral Indefinida o 7 4 2 Ctg 3X C tg 5 X (ctg A.CSC*A + Ctg A.CSC x)dx = ----- --------------- + C

■J 1350

I sen2 a cos4 x

Desarrollo

dx

1347

I sen4 xx

f__ *__ = f”

Desarrollo

J sen2 a. eos4 a / sè n ^ I= J

2 CS° 4XdX = | CS° 2 JCCSC2 x dx = | (1 + <****)cscZ xdx

=

J sen2 a eos4 a

f(-L- + J eos a

1

,

y )dX

sen a. eos a

= J (s e c 4 a + 4 csc2 2x)dx = J*[(1 + tg2 a) sec2 a + 4 csc2 2x)]dx

3

-J 1348

(csc2 x + ctg2x.csc2 x)dx = - c t e x - - ~ — + c 3

= t gx + —^ - 2 c t g 2 x + c

dx

J cos6 x

1351

X

Desarrollo

J

dx

J sen5 a eos3 x

«6 v

í ---- — = f sec6 x d x = f sec4a. sec 2xdx COS° X J J

f__ ÉL__ = í ___ csc6/ J sen5 acos 3a J csc6 A.sen5 acos

= J*(l tg2 ax))2 sec 2 x d x == JI (1 + 2 tg2 x + tg4 a ) see2 xdx (1 + tg

r

a

= f CSCV ^ J csca.cos a

í í-l+ c tg f i - dx = [tg a sec2 a(1 + 3c tg 2 a + 3c tg 4x + c tg 6x)dx A

J Ctg A.COS

-J(sec- x + 2 tg2 a sec“ x+ tg4 a. see2x)dx = tg x + —3 tg3 x + ^ 5' A+ c i 1349

Desarrollo

J

= J(tgA .sec 2 A+ 3 ) ^ - ^ + 3tg tgA

3x se c 2 A+ tg

cos 2 A ,

r— dx J ---sen x

=

t 2^ x 2

Desarrollo 1352

I

dx X

3X

2

2

sen -.eo s -

3

1

+ 3 ln(tg A) - — — ■- — — -+c

2tg a

4tg a

5 x.sec2 x)dx

142

Eduardo Espinoza Ramos Desarrollo f

dx s e n c o s 3^ ¿ ¿

*

2

2

2

2 •*

tg2 see — , , x x x o = I ( s e c - - .tg - .s e c - + ------ ±-)dx 2 2 2 . a ■/<

1354

7T

In | see * + tg * |= ln | tg(—+ —) |

dx

I sen5 *x

Desarrollo

dx — ~ íese 5 x d x = f (l + c tg 2 *) ese3* dx

f

J

J sen *

J

= fcsc3 *d x + J c t g 2 *.cse3*d*

2 = sec 2J + 21n |tg ^ - |+ c = — — + 21n | t g - |+ c 2 2 2x 2 eos —

2

[In | esc * - c tg * | - c tg *. esc *]

i 1 , 1 eos * , 1 r, . 1 —eos * . , ese3x d x = —[ l n ---------------- 1- c tg *csc *J = —[ln | ------------ 1- c tg *csc*] J 2 sen * sen * 2 sen * f

Desarrollo eos——f-+sen sen—. —eos .eos* »»sen*, sen *. eos *

pr .

J

2

f ----------4_rfi= r----------- 4—

4—

sen*.cos*

—(l)

integrando se tiene: J* ese3 * dx =

,.sen(* + —) ---------- 1 - d x J sen*.eos*

J sen*.cos*

s¿r‘ A‘ sen*

2

x x y r see — tg ( - ) s e c 2(- )(l + c tg 2-)í/* = (tg -.s e c 2- + ------ ^ )dx J ¿ 2 2 J 2 2 *

.sen(* 1+- —) »SCIHX -;

senjc A

análogamente

2X

1353

V i-e o s 2 *

J c tg (-).c o s2(*)

2

f

=

Vl + cos*

l - ^ o s * _ _ lj-e o s* _ —l------ £2£jL = CSc ^ - c t g *

, ü ++cctg t 22(|))d ‘í , * |.(l

J csc2A .s e n ( |) .c o s 3( J )

2

l- c o s * =

2

2y*\ ax csc 2( 2 )dx

f

143

Integral Indefinida

dx = V2

J

= —[ln || - c tg *.csc*] = ^-fln | tg ^ | - c tg *.csc*] ...(2) 2 Vl + cos* 2 2

jen* + eos * ---------------dx senx. eos*

_ V2 f , l l w V2 f - “r - I v--------1- ------)dx = —— I (sec* + csc*)J* 2 J eos* .ve/!* 2 J

integrando por partes

u = c tg * .

3

.

,

dv = c sc x.c tg x d x

J e tg2 *.csc 3* dx

—■>

du = - e s c “ xdx i CSC X v = ----------

f , , , C tg x csc3* 1 f 5 , j c tg" *.csc x d x = -----SL-^--------- 3 j CSC X

144

Eduardo Espinoza Ramos

Integral Indefinida

reemplazando (3), (2) en (1) 1356 f dx I , J sen x

f

-

I CSC

5

J

I., x. 1 c tg x c s c 3 * 1 f s , dx = - ln jtg —I— c tg x c s c x ----- --------------- csc' xdx 2 2 2 3 3J

J

tg 2 5x d x Desarrollo tg¿ 5jc dx = | (secz 5x - 1 )dx =

5 3 . jc 3 eos x 1 eos x = I csc x d x = —ln | tg ———---- ------ ----- — he 8 2 8 sen 2 x 4 ™ 4x ‘ rsen i 1357 1355

145

sec54 xdx

1

I

—- x + c

c tg 3 xdx Desarrollo

Desarrollo j c i g 3 x d x = j (csc2 x - l)c tg x dx = J (c tg x e s e 2 x - c tg x)dx J s e c 54xdx = J*(l + tg 2 4x)sec 34xdx = Jsec 34xdx + J t g 24xsec 34xdx

... (1) c tg 2 x , . . ----------- ln sen x +c

integrando por partes:

J s e c 34 xdx = ^[sec4x. tg 4x + ln | sec4x + tg 4x |] 1358

integrando por partes: J tg 2 x. sec34x dx = — —' ^ C

- i J s e c 54xdx

í c tg 4xdx Desarrollo J e tg 4x d x = J (c s c 2 x - l)c tg 2 xdx - J íc s c 2 x c tg 2 j e - c s c 2 x + Y)dx

reemplazando en ( 1) se tiene: J sec54 x d x = J sec34x dx + J tg 2 4xsec 34xd x

c tg ’ x ---------+ ctgjc + jc + c

sec4xtg4jc 1 tg4x.sec 34x 1 f , , = ---------------+ in sec4jc + tg4x + —------------------- sec5 4xdx

8

8

12

3j

1359

í (tg

- + tg - ) d x Desarrollo

— fsec54x<¿t = - l n |s e c 4jc+tg4jc|H—sen4x + _ sen4x 3J

8

8eos 4x 12eos 4*

fsec 54 x ^ = -lln |s e c 4 A + ^ 4 x | + ^ J 32 12

+^

16

+e

Jtg3^dx = J(sec2^-l)tgjdx =- jtg2^ +3 1 n |c o s ^ | J

tg4^

=

J (sec2^ - 1) tg2~~dx ~ J (sec2~3 tg2^3 - sec2 ~ +1 )dx

... ( 1 )

... (2)

146

Eduardo Espinoza Ramos

- tg3 ——3 tg —+ X + 3 3

147

Integral Indefinida 16

C

3 t 3 t 3 e o sx 3 x : — eos 3 x + —e o s 3 x -----------------1- c 4 5 16

remplazando de (1) y (2) en la integral: = - —Veos4 x + --v e o s '% ——Veos16x + < 4 5 16

C, 3 x 4x . 3 2x 3x . x ,,, X. J (tg 3 +tg - ) dx = - t g - + t g —- 3 t g —+ 31n ¡eos—|+ x + c 1363 1360

J

x sen2 x 2dx

dx

í Vsen x.cos3 x Desarrollo

Desarrollo

f

2 2 , f 1- cos 2 x2 I xsen x dx= \ x ------------- dx = — | ( x - x c o s 2 x )dx = ----J J 2 2J 4

_ f ______ dx______ _ j*

dx

j*

eos x\/sen x. eos x J V Vsen ^ , x. c oeos s 33xx “ J cosxV senZcosx

1 f , 2x 2sen2x2 -+ c

=f 1361

eos2 x , ---- T ~ “x sen x

1

Desarrollo

1364

xdx. . . . ~

f

Desarrollo

« 9

J s e n 5 x.ljeos eos x dx

2 j 2zdz => x = arctg z , dx = ----- ^ 1+ z

Desarrollo

J v/ íg l

j*sen5x.yjcosx d x = j sen4x.cos3x senxdx = j*(1 -eos2x)2eos3x.senxdx

=J*(l- 2eos2x+eos4x)eos3x.senxdx I

7

sec2x^

13

(eos3 x sen x - 2 eos 3 x. sen x + eos3 x. sen x)dx

Jzl

+ Z

f sec^dx ^ 2^

J Vsen x. see2 x.cosx ■» VlS x

f dx

Sea z - t g x

1

jJ Vsenx.cosx -

•» V tg i

f eos2 x f 2 2 , c tg3 * I ----:— dx= I c tg x.csc x d x = ------ — + c J sen x J 3 1362

sef

J seexVsenx.cosx

secxdx

J z +1

de acuerdo al ejercicio 1294 se tiene:

+c

148

Eduardo Espinoza Ramos

149

Integral Indefinida

reemplazando (2) en ( 1) se tiene:

1367 f

—o f

di

1 . i Z~ + y¡2z +1 |

J V é í " J ? 7 I : W? ©

y¡2

z-Jl

' T - V S T T ^ T “ '“ 8 ?

^

i----

feos —.eos—dx 2 3

J

Desarrollo

d“ “^ = ^

f x x j lf/ x 5 1 x 6 5 I eos—eos—dx = — I (eos—+ cos—x)dx = —(6sen —+ —sen—x)+ c J 2 3 2J 6 6 2 6 5 6

INTEGRALES DE LAS FORMAS.-

x 3 5x = 3sen —+ -s e n — + c 6 5 6

j* sen mx. cosnx d x , J sen mx. sen nxdx , J eos mx.eos nxdx en estos casos es emplean las fórmulas siguientes:

1368

©

sen(rax).cos(nx) = ^-[sen(w + rt)x + sen(/w-n)x]

©

sen(mx). sen(nx) = i[co s(w - n )x - eos(m + n)x]

©

co s( w x ) .co s( h x )

Desarrollo

f x 2x , 1 r, , . I sen —.cos — dx = — I [sen x + sen(— )jdx 3 3 2J 3

J

1 x, = —(-c o s x + 3cos—) + c 2 3

= —[cos(m - n)x + eos (m + n)x]

Hallar las integrales: 1365

i

x 2.x sen—.eos—- dx 3 3

1369

J sen 3x. eos 5xdx

í

cosx 3 x -----------v —eos—+ c 2 2 3

eos(ax + b).cos(ax - b)dx

Desarrollo

*. ,x co s 2b sen 2ox b)dx = J cos(ax + b).cos(axb).cos(ax-b)dx “ ^—JI (eos2b + eo s2ax)dx = ■— - — + — ------ + c ~ 2 4a

Desarrollo

Jsen3x.cos5xdx - J* - [sen 8x + sen(-2x)]dx = ^ J (sen 8x - sen 2x)dx

1370 cos 8x eos 2x — —— + --------- + c

16

1366

i

í

sen w/.senívvr + \¡f )dt

Desarrollo

4

1f s , tcosw sen(2wt + i¡/) I sen wt.sen(wt+\¡f)dt = - I (cos(- i//) - cos(2w/ +y/)dt = — ------------- — ------+ c 4w f

senl0x.senl5xdx

Desarrollo

J sen 1Ox. sen 15x dx = ~ j*(eos 5* - eos 25x)dx = sen 5x 10

sen 25x 50 ~+C

1371

í

cosx. eos" 3xd x

Desarrollo

150

Eduardo Espinoza Ramos

COS

151

Integral Indefinida

2 J t = ------------------1 + cos 6x

©

Si se verifica la identidad para reducir la integral a la forma racional se puede emplear la sustitución tg x = t.

eos cos

f,™ „ 2 -, , f J x. ixdx - J

1+ COSÓJC , 1 f eos x.---------dx = — I (eos x + eos x. eos 6x)dx

4 / (eos * + -2 (eos 5a + eos lx))dx = 2 1372

Hallar las integrales:

+ ----5a + _ n7_ + c

20

28

1373

í sen x. sen 2x. sen 3x dx

sen 2x. sen 3* = —2 (eos x —eos 5a)

X -

1- r 1 +t 2

í_ —— = f_l±£Í__, f * = 4iin |líl 2-t

= i f(sen2*-eos4* + eos6*)í¿c 4J

J 3 + 5 cosa J 3 + -------5(1 - í ) J 4 - / ' z—

8

16

1+ í2

24

1374

í ----- — -----

J sen a + eos a Desarrollo

INTEGRALES DE LA FORMA.donde R es una función racional.

Valiéndose de la sustitución.t g ^ = f , donde s e n x ^ - ^ - , cosa = ^—t— , dx = - 2dt

1+ t2 '

x donde t = tg — 2

++ c

sen 6x sen 4x eos 2a- + c 24 16 8

©

r . eos

Desarrollo

2 dt

j*sen x. sen 2x. sen 3* dx = —J*(sen x. eos x - sen x. eos 5x)dx

/ /?(senx,cosx)<ÍA

13 + 5 eos x 2 dt dx = -----1+ r

Desarrolio

©

dx

1+ t2 '

1+ t2

La integral se reduce a integrales de funciones racionales de la nueva variable.

2 + tg x

+c

=—In I- - - — l+c 4

2- H i

132

1375

Eduardo Espinoza Ramos

J

153

Integral Indefinida

f

1 + COS X

J

Desarrollo

dx cosx + 2 sen x + 3

2 dt J 1+ eosx

f a - —1+ eos!— wx=x- J 1+ eos

J

X

= x - j d t = x --t + c =

1376

X

J

1- t 2 1+ - — 1+ r

f

J 1 -------t 2 j + ----4t j 2 í 2 + 4 í + 4 Jr 7+ 3 1+ r

Jf

x-tg— +c 2

2 dt 1+ r

... 2 f + 2,

dtf ______ dt_

+2í+2

1+ r

—— —— =arctg(í+1)+c =arctg(tg-f2 +1)+c +1

I (í + 1) ?79

f3 se n x + 2cosx , I ------------------- dx J 2senx + 3cosx Desarrollo

f se senx - sen

J 1-s x

3 sen x + 2 eos x = a(2 sen x + 3 eos x) + B(2 sen x + 3 eos x) Desarrollo 3 sen x + 2 eos x = (2a - 3Bx)sen x + (3a + 2B)cos x

x(l+ senx) fse n x + sen2 x 2 - d x = \J 1-senx J i -sen x J eos2x =J*(tgxseex+tg2x)dx = seex+tgx— x+c f _ s e n j c _ ^ = Tsen *sen

2 a-3 .fi = 3] 12 _ 5 > =£ a = ----- , fi = -----3a + 2fi = 2j 13 13 j*3senx + 2cosx ^

1377

J 2senx + 3cosx

J 8 - 4 sen x+ 7 eos x

12 f ^

5 f(2 se n x + 3cosx)í/x

13

13

J

J

2senx + 3cosx

= — x ——ln ! 2senx + 3cosx I+c 13 13

Desarrollo 2 dt

f----- ----- = íJ

J 8 - 4 s e n --x + 7eosx

1+ t 2 _+ 7 _ It -

8í 1+í2

dt = 2 Í t - 8 í + 15

1+í2

_o f dt , 11 —4 —1 , , ,/- 5 , , , tg ? 5 +c ■ 2J ¡ T l i T T I = ln 17 ^ 7 1+c = ln 1 1+ í = ln 14 18 2 ~ 1378

I

dx

cosx + 2senx + 3 Desarrollo

380

f 1 + tg.-.dx

J 1 - tg x

Desarrollo j dt Sea tg x = t => dx = i+ r

f jI±Éí"L =_in(í_i)+Iin(í2+l) +c f i t a ñ * . J 1-í 1+/2 Jf -±.% 1-/ J 1++í2 2

J 1-tgx

=- ln|tgx-11+— ln|tg2x+1¡+c =-2 In|see2x|-In|tgx-11+c 2

\

Integral Indefinida

154

1381

155

Eduardo Espinoza Ramos dx

1384

/ 1+ 3cos2 x

dx

í sen2 x - 5 sen xcos x Desarrollo

Desarrollo

Al igual que los casos anteriores. f

J

dx 1+ 3cos2 x

f see' xdx see2 x + 3

f sec2 xd x 1 tgx tg2 x + 4 ~ 2 drag(~^T) +(

J

J

I*

dx

f

sec2 sec xd x

sec2 xdx

f

J sen2 xj t—- 5 sen senxxcosji cosx- J tg2 x - 5 t g x J , Jtg2A-5tgA

-(-)2

1382 ¡ 3sen2 x + 5cos2 x

_ 5_5

Desarrollo

1 tg ^ t j i 1 . tg x —5 , = —In |------- i r I +c = —ín | ------ !+c 5 5 5 5 tg x tg a — + a

Dividiendo el numerador y denominador por eos2 a . dx

f

f sec2 x d x a +5

J 3cos2 x + 5cos2 J 3tg2 a

5

1V 3tgx he

ar° tg

1385

2

2

. sen a | -------------- - d x (1 -co s a )

J;

Desarrollo 1383

dx

/ sen* x + 3 s e n x c o s x -c o s2 x

Sea u = 1 - eos x f sen a dx

Desarrollo

J sen' x - 3 s e n x c o s x - c o s 2 x

fr

2 * sec ' x d x

J tg2 x + 3 t g A - l

T

> * v f ■ « * + !-”

_

1

- ~ 7=

v 13

2 tg x + 3 + Vl3

sec2 xdx

l

lS

3 VÍ3 x+~— —

t g I + ^ + ^ p l+c

2 tg x + 3 -V Í3 , l n I — ------------------ 7=

1386

sec2 xdx

„

+C

_ f du ____ 1_

J (1 - c o s a )3 ~J m3 ~

Al igual que el ejercicio anterior dividir por eos2 a f ___________ dx____________ f

=> du = sen x dx _______

2u2 * C~ 2(1 - eos c< a)

j +c

i sen 2a , | --------- «— dx l + sen x

ir

Desarrollo

f sen 2xdx _ f 2 senx. C O SA dx

J 1 + sen 2 a J

a 1 +sen2 si

Sea u = l + sen2 a => du = 2 sen x. eos x dx f sen2A<¿* f du , , . , ,, 2 i , I — = I — = In I u j +c = ln 11+ sen a | +c J l + sen a J u

1s,)

1387

Eduardo Espinoza Ramos

157

Integral Indefinida

f — C° S2* dx J cos x + sen x

2 rarctg ," (—« =¡=—) f " 1 — j=1 arctg(----3t« -=—) f* 1 +c

J;

Desarrollo

3z2 - 2 z + 3 - £ '

S

V2

2V l

eos 2 xdx

Icos4 x + sen4 x + 2x sen2 x cos2 x - 2 sen2 x cos2 x f __________ cos 2x 2xdx__________ dx

xdx ^ ff cos cos22xdx

J (cos2x+sen2x)2 - 2 s e n 2xcos2 x

1388

1390

J

^2 + 11 , ,V2+sen2A |

2 -s e n 2 2x

2^2

V2 - sen2x

,r iij^senx + co sx ^ =¡

J l + ssen x —eos x

Desarrollo +c Efectuando la división de:

cos xdx f — J sen x -- 6sen x + 5

1 - sen x + eos x entre 1 + sen x - eos x

1- sen x + eos X -= - l + 1 + sen x - eos x 1 + s e n x -c o s x Desarrollo

I*_______cos xdx______ f

J

sen 2x - 6senx + 9 - 4

cos x d x

J (s e n x -3 )2 - 4 _

1,1 i sen x - 3 - 2 , +c ~ 4 n 'se n jc - 3 + 2

sen x -1

4

2 dz 1+ z2 1+ Z’

1 , sen-v- 5 , 1 , , 5- s e n x , 7 ln I--------- -1+c = —In ----------- +c 4

1389

f 1-se n x + co sx f , 2 i0 f ------------------ dx= (-1 + -------------------)dx = - x + 2 I J 1+ sen x -co sx J 1+ sen x -co sx J

f J

1+ Z"

= —x + 4 -■---- j -~—------- 7 = - x + 4 í ----- ^—------------- = -x + 2 í - ^ 1 1+ z + 2z - l+ z " 1+ z"+ 2z - l + z" Jz" + z

1 -se n x

dx lJ a(2- - sen x)(3 - sen x)

J

X

tg 2 , = - x + 2 í ( - ---- — )dz = - x + 21n | —— |+ c = - x + 21n | ---- ±— \+c x , J z z +1 z+\

Desarrollo

lg2

Sea z = sen x de donde se tiene: 1—

------------ í________ = A (2 - sen x)(3 - sen x) 2 - z

B 3-z

4.10.

- z) + B(2 - z) => 1 = -(A + B) + 3A + 2B, de donde se tiene:

La integración de las funciones hiperbólicas es completamente análoga a la integración de las funciones trigonométricas. Se debe tener presente las

A -B =0 3A + 2B = 1

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES HIPERBOLICAS.-

=> A = 1, B = -1

í ----------- —-----------= f(------í------------- \

J (2 -sen x )(3 -sen x )

j

2 -s e n x 3 -s e n x

fórmulas siguientes:

-

2 f 1+ z2

J

2z

1+ z2

dz

2 dz

f

1+ z2

J

(T )

cosh 2 x - s e n h 2 x =

1

( 3)

senh2 x = * (cosh(2x ) - l )

cosh" x = —(cosh(2x) + l)

2z

1+ z2

(T )

senhx.coshx = -^senh(2x)

Eduardo Espinoza Ramos

158 Hallar las integrales. 1391

159

Integral Indefinida

| senh2 x.cosh2 x,dx =

(cosh(2x) - 1)^ (cosh(2x) + \)dx =

senh3 xd x

í

= i[J (^ (c o s h (4 x ) + l)-l]d x

Desarrollo J s e n h 3x d x ~ J s e n h 2 x.senh xd x = J (c o s h ' x -l)s e n h xdx

= í (cosh 2 x.senh x - senh x)dx = C0--

1395

- cosh x + c

(cosh2(2x) - 1)dx

cosh(4x) 1, , senh 4x x —— ¿— )dx = -------------- + c 2 2 32 8

dx

I

senh x. cosh2 sh2 x Desarrollo

f _____— ------- = f sec h dx = í 1 + tgh...- dx = í (ese hx + tgh x.sec hx)dx senhx J senhx J

J senh x. cosh2 x J 1392

J

cosh4 x dx

x x = In I tg h (-) I + sec hx + c = ln | tgh(—) | + ---- — + c 2 2 coshx

Desarrollo

J cosh 4x d x = J [-^(cosh(2x) + l)]2dx = ^ J (cosh 2( 2x) + 2 cosh(2x) + Y)dx

1396

1------- hC

1393

>sh2 x 1senh2 x.cosh2

í ____------------- = f —

- (cosh(4x) +1 )dx + senh(2x) + x] + c

senh(4x) 3x senh(2x) -------------i-----32 8 4

dx Desarrollo — = 4 íese h22xdx = —2c tgh 2x + c

J senh2 x.cosh2 x J senh2 2x 1397

senh3 x.cosh xdx

1tgh3 xd x

J

Desarrollo

J tgh3 xd x = J tgh2 x. tgh xdx = J(se c /)2x +1) tgh x dx Desarrollo r , , i , * tgh2 x = J (sec h -. tgh x + tgh x)dx = ln | cosh x | + — - — + c

senh3 x.cosh x d x = SCn^ X + c

1394

1398

senh2 x.cosh2 xd x Desarrollo

le tgh-*xdx Desarrollo

160

Eduardo Espinoza Ramos

Integral Indefinida

161

Je tgh4x d x = J (csc/z2x + l)ctgh2 x d x = J (ese/i2x.c tgh2 x +ese/z2x + l)dx = - |rsenhx.coshx + i(c o s h 2 x + l)]í/x =

J

c tg h ’ x - c tgh x + x + c 3 1399

2

í \j cosh 2x Desarrollo

I senh2x + cosh 2x

senh xdx _

Desarrollo

''/cosh 2x

¡ 4JJ

J senh" senh x + cosh cosh“ x 1400

2

senh2x x ----------------- hC

senh xdx

1402

dx

f

senh2 x

see h2xd x tgh x + 1

j* senh xdx

_ 1

j*

2 senh xdx

J y]2cosh2 x +1 ^2J yj(y¡2coshx)2 + 1

= arctg(tgh x) + c : —\= ln | \¡2 cosh x + V2 cosh ' x + 1 +e v2

dx

I 2senhx + 3coshx

ln | \Í2 cosh x + Vcosh 2x | +c Desarrollo

f

J

dx _ 2 senhx + 3coshx

dx

j*

_

f

J 2ex -2e~x- + -----------3ex +3e~x J

2 dx _ 2 f 5ex +e~x J 5e2x+ \

4.11.

E M P L E O D E S U S T IT U C IO N T R IG O N O M E T R IC A S E H IP E R B O L IC A S P A R A E L C A L C U L O D E IN T E Q R A L E S D E L A FO R M A .-

2 f Sex 2 , r- Xs = - p —r— —dx = —¡=arctg(V 5e ) + c V5 J 5e +1 75 1401

R(x, \lax2 +bx + c)dx

Donde R es una función racional, transformando el trinomio de segundo grado

dx

J tg h x - 1

ax~ +bx + c , en una suma o resta de cuadrados, reducimos la integral (1) o uno de los integrales de las formas siguientes:

Desarrollo

© J*(z,Vm

coshx -dx f— =í J tg h x - 1 J senh x - cosh x

© senh x -c o s h x

- (1)

—z )dz

© J/?(z,Vm

+;

)dz

) R ( z ,l z 2 - m 2 )dz

(senh x +cosh x ) , entonces:

f — —— = f ---------------------------------------------------- C j tg h x - 1 J se n h x -c o sh x J

Estas integrales se resuelven valiéndose de las sustituciones: X-dx = -

f cosh(senh x + cosh x)dx

(T )

z = m sen t o /. = m tgh t

( 3)

z = m sec t o z = m cosh t

(2^

z = m tg t o z = m senh t

Eduardo Espinoza Ramos

162 Hallar las integrales 1403

163

Integral Indefinida

1406

IVx2 - 2 x + 2dx Desarrollo

3 - 2 x - x 2dx Desarrollo

J ^ /x 2 - 2 x + 2dx = J* >/(x —1) “

+ 1 í/x

3 - 2 x - x 2 = 4 - ( x + l)2 x+1 |V 3 - 2 x - x 2dx = J ^ 2 2 ~ ( x + \ ) 2dx = ^ ( x + \ ) ^ 3 - 2 x - x 2 + 4 arctg ---------- h C

1404

—— - a / a 2 - 2 x

2

1407

2 + x 2dx

+2

+

—l n | ( x - l ) W * 2 - 2 x + 2 2

|+ c

|V x - 4 d x Desarrollo

Desarrollo J y¡2 + x 2dx =

jV x 2 - 4 d x = -^[xy¡x2 - 4 -41n | x + Vx2 - 4 1] =-^Vx2 - 4 -21n | x + 7 x 2 - 4 |+c

y¡2 + x 2 + 2 ln | x + ^ 2 + x 2 \ +c 1408

1405 I

x2

|

V

x2 + x dx

,dx Desarrollo Desarrollo JV x 2+xdx = j

Sea x = 3 tg t =» dx = 3sec2 t dt f x 2dx f 9 t g 2r.3sec2íí/r f o , . I = — . =— = 91 tg" t .s e c t d t , integrando por partes: J V 9 + X2 J V9 + 9tg 2 t J

9

f tg" f.sec" tdt J

secí

9r 2

4

4

f

J(x + i ) 2 -i-d x JV 2 4

= —((x + —)%/x2 + x - - l n [ x + - + Vx2 + x]) 2 2 4 2 _ 2 x + 2 ^ x 2 + x - —ln 12x +1 + 2-\/*2 + * I +c 4 8

= —[tg /.se c r-ln |se c f+ tgr |] + c f x'dx I —■■■ J a/9 + x2

Jx2+x + ^7-^dx =

.

. = 9 I ----= —[tg r.s e c í-ln | sec/ + tg? ||1409| Vx - 6x - 7 dx Desarrollo

164

Eduardo Espinoza Ramos

165

Integral Indefinida du = see2 OdO

u = tg 0

= X ^ 'Jx2 —6x —l -81n | x - 3 + j x 2 -6.x —7 | +c

see3 0

dv = see3 O.lgO dO 3

1410

(x„2 + x + \)2dx

J<

í

Desarrollo

J

,3 a0a.tg2 ¿a 0- dO te, o= tg sec0.- - — see5 0 dO see3

(3)

reemplazando (3), (2) en (1): j ( x 2 + x + \)2 dx = J V

2 +x +l )\ jx2 +x +l dx = J*KX+ "^ + —]^(x + ~)2 +~^dx tgfl.see3 0

]+ c

16 4 2 Sea x + — = ^ - t g G 2

=> dx = ^ - s e c 2 OdO

2

2

27 = — [ tg 9 .s e e g (- + SeC ^~) + ~ ln I see0 + tg0 |] + c 64 2 3 2

J*(x 2 + x + l )2 dx - J[(jc + —)“ + —]^(x + —)2 + ~ d x = - L (2x + l)(8x2 + 8* + 17 ) V ? + x + l + In 12x + 1 + 2\íx2 + x -f 1 1+c 64 1"° = |[ T t g 20 + | ] J | t g

20 + ^ s e c 20 d 0 1411

dx

1( x - l ) J x 2 - 3 x + 2 Desarrollo

— fsee2 0.— secO.— see2 OdO 4 ) 2 2 9_ - fsee50 d 0 = — | (see3 0 + see3 0.tg2 0)d0 16. >J 16 J integrando por partes

J see

1

... ( 1 )

—s e c 0 . t g 0 = d x ' , x - 1 2

I see3 0 dO , es decir:

1

OdO = —[tg0.see0 +ln | see# + tg0 |]

JS

integrando por partes I see3 0. tg2 9 dO

x2 - 3 x + 2 = ( x - - ) 2 2

—(2)

4

; see 0 = 2x - 3 sec0 + \

3

see 0

2

2

2

166

Eduardo Espinoza Ramos f

f ___________ d x _____________ i*

dx

(x l)\jx2 —3x+2 3x + 2 (x —l)y[x

» ,

I~ V

3 2

dx

4

CsecOdO J l + sec0

h

dx

1414

I \ .l - ,x 2)y¡l , , -+ x 2

dx

J

1 1 rV 2 sec2 OdO V2 J1 (y¡2tg0)2 +1

1 i-----1 V 2x = -j=arctg(yj2tg0) + c = -j= a r c t g ( - j = = ) + c -x 2

1 -c o sfl _ x -2 l + cos 0 ^ ^ y /x - 1 +
2 1412

r see26 dd í dd -I J 2 sen 20 + cos 20 J* 2 tg 20 + l

T JJ ((xx -_l ) y j x 2 - 3 x + 2

2- L

de

2 sec 0 tg O * sec 0 + l Isee2 0 - 1

_ f

167

Integral Indefinida

Desarrollo 3

(x 2 - 2 x + 5)i

tg 0 = x => dx = sec2 6 d0 Desarrollo dx

j"

x 2 ~2x +5 = ( x - 1 ) 2 +4

_ j*

sec20 d 0

J ( l - x 2)yjl + x 2 J ( l - t g 2 0)y¡\ + tg20 J C l-tg 2 ejseç 0

2 see2 OdO j ~ ~ F =J ~ — J =j (x - 2 x + 5)2 {{x - 1 ) 2 +A)2 (4tg‘ 0 + 4)2 donde x - l = 2 t g 0

sec2 0 dO

j*

fs e c 0 d 0 J l - t-tg g 20 0

; dx = 2 se c2 0 d 6

f

J

cos0dO

J cos eos 20 0 --ssee n 20 0

1 f yfícOsO d0

=± [ J _ f 2 s ec2OdO

J

(2sec20)2

Ç2sec20 . „ l f

Q

UseCG

4J

V2J 1--(V 2sen0)2

i

=7 I cos0 d 0 = - s e n 0 + c 4

4.12.

_ j* cosOdO

IN T E G R A C IO N T R A S C E N D E T E S .-

DE

J1

J l -— 22sse n 0

1 , I yj\ + x 2 + y[2x‘, In

2V2

, -------- +c sj\ + x 2 - j l x

D IV E R S A S

F U N C IO N E S

x-1

= +c 2x + 5

1413

f

dx

Hallar las integrales.1415

(l + X2) y / l - x 2

j"(

je 2

+ l)2e2xdx Des:; rrollo

Desarrollo it = (x2 + 1)2 => du = 4x(x2 +1 )dx Integrando por partes y haciendo

, = e 2xjdx dv

2.v

e => v = ---2

Eduardo Espinoza Ramos

168

J

( a 2 - l ) 2 e2xdx =

(x2 + 1 ) 2

- 2

J x(x + \)e2xdx

169

Integral Indefinida reemplazando en (2)

( 1)

p^x a3

- 3 a2 + 4 a -

>/-> I in

r p^x p^x I a ( a 2 + \)e2xdx = a ( a 2 + 1 ) ~ ------_ 6x + 5) = - ^ - ( 2 integrando j x(x2 +l)e2xdx por partes reemplazando en (1) se tiene: u = x( x 2 +1) => du = (3x~ + 1)dx haciendo:

f( x 2 +\)2e2xdx =

J

e 2x

dv = e2xdx

=> v = ----

- — ( a 2 + 1 ) 2 — —— ( 2 a 3 - 3 a 2 + 4 a - — ) + c

2

2

2

2x

-j

= -------- ( a 4 - 2 a 3 + 5 a 2 - 4 a + — ) + c

J

*(*2 + \)e2xdx = x( x 2

j ~ ~ Y ~ ~ e2X(ÍX

2

(2) 1416

integrando

!

3a +1 2x e dx por partes 2

2 c o s 2 ( 3 a ) c?a

I

Desarrollo f 2 2^ » f 0 , 1 + COS 6 A 1 f, 2 J a cos 3xdx = I x (----- - -----)dx = —J ( a +

3 a-2 + 1

l,x 3

J2x

integrando

3

I xelxdx =

2

J

xe2x

e2x

2

4

xe2xdx

reemplazando (4) en (3):

F r 1e2xdx = ?

f

= - ( — + 2 3

dv = e2xdx

2

2 a

s

\ j

cosox)ax

du = 3a dx

haciendo

J

2

(3)

(4)

integrando

f

JI a

2

Ja2eos

JA

( 1)

eos 6xdx) = 2 a í/a

U = A 6 a í /a

se tiene: ■ dv =

- , a 2 sen 6a Ta eos 6a dx = --------------I — sen 6a J a 6

J3

sen6x cos(6 a

a26

=

)¿a

sen 6 a 6

=>

v =

a

-H------COSÓA 18

reemplazando (2) en (1)

^ e 2x- - x e 2x+ - e 2x

í

o 2 „ , a3 a 2 sen 6 a a . sen 6 a a ‘ c o s 3 x d x = -------1------------------ H--------C O S Ó A ---------------- + c 6 12 36 432

1 , 3 (a 6

a

,

a

.

sen6A N

+ — sen 6 a + —eos 6 a ----- — -) + c 2

6

72

6 sen6x 216

. ( 2)

170

Eduardo Espinoza Ramos

1417

x sen x. eos 2xdx

i

171

Integral Indefinida

en a a .. ssen e n 3xdx =— J ex ssen 3a dx = —JI

ex(eo s2 x -co s4 A )d A

-

(1)

Desarrollo u —ex => du = exdx sen x eos 2x = ^ [sen 3a + sen(-x)] = i (sen 3* - sen x)

J x sen x. eos 2xdx ~ u =x

Sea

x (sen 3a - sen x)dx

sen 2 a dv = eos 2 a dx => v = -

f , . , ex sen 2 aa fC ex sen 2 a dx I e eos 2xdx —----- ------- I

du =dx

=>

dv = (sen 3 A -senx)dx =>

v

= cosa- -

eos 3a

£ ^ £ 2

J 1418

a

sen a . eos x d x = - [ 2

a co sa

2

4

j 4 | e*eos2xdx = — ^ 2 sen 2a + eos 2a) — = — ( 2 se n 2a + eos 2a)

- — eos 3 a ] - s e n x + ££Ü ÍL ?. + C

3

+ £ l COs 2A - - |^ C O S 2AdA

18

4

1e2x sen2 xd x

5

l e x eos 4 a dx = —

en forma análoga para:

(4

sen 4 a + eos 4x)

Desarrollo reemplazando (3), (2) en (1):

-dx = - | (elx - e2x eos 2x)dx

ex 2 sen 2 a + eos a 4 sen 4 a + eos 4 a ex sen a . sen 3 a dx = — (------------------------------- 7Z >+ c 2

= i [ I V ' * - f e 2' eos 2 * 1 * 2

J

J

4

e2x = —— (2 -s e n 2a - e o s 2x) + c O 1419

j e x sen a . sen 3xdx Desarrollo

sen a .sen 3a =

(eos 2a - eos 4a )

8

5

8

1420

Ae* eos xdx Desarrollo

...( 2)

5

17

...

(3 )

172

Eduardo Espinoza Ramos r £X integrando J ex sen x d x = ~ ( sen x - c o s x )

. integrando

Integral Indefinida

= - —+ - \ n ( e x + 2) + -ln (e jr- l ) + c

... (1)

f * , u = x e x => du = (xex +ex )dx i x e s e n x d x , se tiene: < J [dv = senxdx => v = -c o s x

173

2

1422

6

3

dx

I yje2x +ex +1 Desarrollo

j x e x senx dx = - x e x cos x + J*e* eos x dx + j x e x eosxdx

I* ex r = - x e x eos x + — (cos x + sen x + I xex eos x dx)

i*

dx

J y¡e2x +ex +1

... (2)

x\¡e2x +ex + { JJ yf, Je~2x +e~x + 1

-e xdx

■J (e-< + - )2 + r

&

xex eos x d x = xexsenx - — (senx - eos x) + xex eos x -

——(eos x + senx) - | xex eos x dx i

= —ln |

2 I xex eos x dx = xex (sen x + eos x) - ex sen x 1423

J 1421

1

e~xdx

JJ /

1 ,3 2

1 .7

I

_ j*

e 'dx

J e~x\¡e2x +ex +1

reemplazando (2), (1) en (a) x

f

e~xdx

= - ln | e ^ + —+ \]e 2x +e x + 1 1+c

3

2x e* + 2 + 2\[e^x + e x +1

2ex

4

2

| +c = x - ln | ex + 2 + 2\¡e2x +ex + 1 1+c

f x 2 l n ^ dx

J

1 —x

Desarrollo

6 xex eos x d x = — [x(sen x + eos x) - sen x] + c

. 1+ x , 2 dx u = ln ------ => du = ------1- x 1 —x

Haciendo

dx

J e2x+ex - 2

dv = x 2dx Desarrollo

f

dx

J eeL 2x+ 2 X + ex ef -—2

j*

dx

J ((ex e x +2)(ex + 2)(ex - 1l ) ~

1 f 3 JJ (ex ( +2

ex - l * * *

----- )dx —— -ln(l + 2ex) H——ln( 1—e x) + c 1 + 2e \~é~x 6 3 ■4J (--------------

l 1'

1—x

3

1+ x 2 f x3 x 3 ,1 + x , 2 f , x ---------- ----- - d x = — ln ----- — I (-x + ---- -)dx 1-* 3 J l - x 3 1- x 3J l —j

= £ _ i ,i |i ± £ | + ^ _ + i i n ¡ i - x2 l+c = i [ x 3 ln | 3

l-x

J

J

3

\-x

| + ln 11 - x 2 |] + <

Eduardo Espinoza Ramos

174

1424

J ln2(x + Vi

V i+ * 2

I

J ln 2(x + Vl + x2 )dx = x ln 2(x + V l ^ 5" ) - 2j

xln(x +V 1 + *“ )

dx

... ( 1 )

2

V lT + x^

x'dx

í Vl - ( 5 x - 2 )2

cos0 = y [ \ - ( 5 x - 2 ) 2

tomando sen 0 = 5x - 2 => dx = co s^ d0

sen 0 + 2

como sen9 = 5 x - 2

Vl + JC2

ln(jc+Vi+x2) xdx

dv = Vi + x 2

dn=

(sen 0 + - ) 2 ^ d 5 5

dx J y¡l-(5x-2r

Vl + x2

v = Vl VT'+ x- 2

[ x \ n ( x + J ^ ) d x = J — í in{x + J — í ) _ :

J

= — [(125

J

-e o s 2

V1 - s e n 2 0

0

* —125 Jf (sen

0 + 4 s e n 0 + 4)d0

20 /i a 1 ,90 sen 20 + 4 se n 0 + 4 )d 0 = — - ( — -------- ---- 4 co s0 ) + c 125

2

4

= (—arccos(5x- 2 ) — X+ J l - ( 5 x - 2 )2 ) 125 2 2

... (2)

V1 + JC2

(2)

reemplazando (2) en ( 1).

reemplazando (2) en ( 1):

í

J ln 2(x +V l + x2 )dx = x ln 2(x + Vl + *2 ) - 2 ' J \ + x 2 ln(x + yj\ + x 2 ) - 2 x + c

, x~ ,, „ 1 9arcsen(5x - 2) x arccos(5x - 2)dx = — arccos(5x - 2) + — (--------------------2 50 2 5x + 6

x arccos(5x - 2)dx

1425

... ( 1 )

-

haciendo

=> v = —

x2dx x -2 5 j" x arccos(5x - 2)dx = — arccos(5x - 2) + ^ 2 J V l-(5 x -2 )2

integrando

: ln(x + Vl + x2 )x dx

u=

J

dv = x d x

2 ln(x + Vl + x 2 )t¿x

=> v = x

J

V l - ( 5 x - 2 )2

Haciendo

u = ln2(x + Vl + x 2 ) => du = dv = dx

integrando

5dx

u = arccos(5x - 2) => du = Desarrollo

Haciendo

175

Integral Indefinida

í Desarrollo

1426

í

sen x. senh x dx Desarrollo

V20jx -25x" —3) + c

Eduardo Espinoza Ramos

176

Integral Indefinida

1 sen .v—eos x ~ 2 2 g _

( sen x -c o s

x 2í¿c

f

C f —6~X 1 f v F sen x. senh x dx = I sen*.---- ----- dx = —J (ex s e n x - e %e.nx)dx

x

_

J (x2 +a2)n

dx

f

2 ( n - l ) ( x 2 +a2)"~l + J 2 ( n - \)(x2 + a 2)n~l

reemplazando ( 2) en ( 1)

^

2 _

1 ex +e~x ex - e * . - —(---------- sen x ------------- eos x) + c 2 2 2

EMPLEO DE LAS FÓRMULAS DE REDUCCION.

1 f a2

”

= —(sen x. cosh x - eos x. senh x) + c 2

4.13.

177

L =

J

dx (x2 + a 2

1 f

+ x + 2a(n - l)(;t2 + a 2

a2

dx

J 2(n - l)(x2 + a 2

>í

(a 2

— 2a2(> ni-- l) \ ) JJ (x2 +a 2)n~' + 2a2( n - l ) ( x 2 + a 2)n~l

f

dx

_

J (x2 + a2 )"

x

2 n -3

2a2 ( n - l ) ( x 2 + a 2)"-1 + 2a2( n - 1)

dx

f

J

Deducir las fórmulas de reducción de las integrales I* dx

f

1427

""

1 ________ x_______

J (x2 + a2 )n ~ a2

n * 1 Hallar

(2n - 2)(*2 + o 2T 1

2 « -3

f

( 2« - 2)a 2

J

J (x2 + a 2)2

dx (x 2 + a 2T

/2 e /3

/n “

J

(X2

_ 1 fjc2^ 2 - ^ 2 .

+ a2 r

a2

J (x2 + a2)"

*2+«2 a 2 J U 2 + fl2)"

■

1 ,f

J

f

dx

"

a2 J ( x 2 + a 2 r l

* 2 (lx

por partes

dx

2a2 J (x2 + a 2)

x

3

f

dx

3 ~ J (x2 + a 2Ÿ ~ 4a2(x2 + a 2)2 + 4 ¿ ) ]

■

.. . ( 1)

1428

1(x2 + a 2Ÿ

x

3

4 a 2(x2 +a 2)3

.

x

4a 2 2a 2( x 2 + a 2)

dv =

xdx

(x2+a2)"

„ - f sen" x d x = _ sen” x.cosx + n_J_ f sen„_2 ^ J n n J Desarrollo

it —x => du = dx

1(*2 + a 2)"

2a2 (x2 + a 2)

1 C

1

x

2 a¡

a 2 ) (x2 + a 2)"

calcular la integral

x 2dx

+

(«2 + ** )" dx

/ =_L f ___^ ____

x

, 2— r + v a g i - ) +c 2a (x +a ) 2a a _ f

dx

_

1

Desarrollo f

dx

2(n-l)(jc2+a2)'1-1

^

Eduardo Espinoza Ramos

178

« = sen'! l x

du = ( n - 1) sen"

dv = senxdx

v = -c o sx

1429

2 xcosxdx

179

Integral Indefinida dx sen* n - 2 . „ , » = JfI— 7T~ = - - 7T-- +- - - - - 7 n- 2 » Hallar. /3, /4 eos x (n-1) (n-l)cos eos x n - 1

Desarrollo xdx = -se n "

x e o s x + (— n - li)» |J sen" S

x.eos x d x I„=

f——- = fsen" x d x = í (1+tg2x ) see" 2x d x

J eos" x =

, coS, + , „ - WJ s , n - ,

0-se » = ^ ]

integrando

{

K = tg X

n_2,

f „ , sen"~‘ x co sx n - 1 f /„ = I sen x d x = --------------------H--------I sen J n n J

xdx

J

x .lg x d x

J c

sen3xeosx 3 3x ------------------- sen xeos x + — + c 4 8 8 f í , sen 4xcos x 4 f , = I sen xdx = ------------------ h— I sen xdx 5 5 5

J

sen 4 x.eos x 4 / sen 2 x.eos x 2 . -------------------- (------------------ + — I senxdx) 5 5 3 ~ 1

\i

sen 4x. eos x 4 28 ---------------------- sen x .co sx ----- -eosx + c 5 15 15

n -2

reemplazando í| =

(1)

. ^ n -2 v v=—-n-2

f.I tg 2 x.secn-2 ,tgx.secn_l x xdx = —--------------- I --------

J

sen3 x co sx 3 , sen x c o sx 1 ------------------ + _ ( --------------------+ _ x ) + 4 4 2 2

J

...

por partes Jtg2xsec"~2x d x du = sec2x d x =>

dv = see

f 4 , sen 3 x.eosx 3 f 2 7d = I sen xdx = ------------------- I sen xdx 4 4

J

=Jf — + f tg2xsec"-2 x d x eos" x J

J*sen"xdx=-sen"_l x.eosx+(n-l)Jsen"-2xd x - (n-1)Jsen" xdx n js e n " xdx = - s e n "-1 x.eosx + ( n - l ) J s e n "~2 x dx

J

J

(2)

f see" J

n-

(2) en (1) se tiene:

xdx

f s e c " , * » f — ä x + t£x.secr~l x _ x dx

J eos" x J

J eos" f see" x d x + —-— i see" xdx = ----- —— — + Í J n - 2 J ( n - 2)cos x J eos x n-1 f . . senx — — see" xdx = ----------------— + — — n-2J (n-2)eos" x J eos ~ ( n - 1senx ) eos x n-2 f d. fI see „xdx, = -------------— + ------ — J (n-Dcos"-t x n-1 j eos dx

n-2n-

Eduardo Espinoza Ramos

180

j

r

" J 1430

dx

sen x íjvha

^ "n —2—i

eos" x

( n - l) c o s " 1 x

« -I

Integral Indefinida

181

= -^ln | x 2 - 2.x+ 2 1-4 a rc tg (x -l) + c

1433

l n = | xne~xdx = - x ne~x + n J xn~'e~xdx . Hallar I

Xsdx

J

X

2

1

+ X + -

Desarrollo

Desarrollo u = x n => du —nx"~]dx

In = J x"e Xdx , integrando por partes:

„3,

X + l { ))dx

j[(* - l) + V

dv = e~xdx => v = —e x

X * + X H—

2

l n = j xne-xdx = - x ne -x + n j x n 'e~xdx

x } + X H—

*

2

U -l)2 . i r _ -+ 4 J

2x + l _ ^ + , r * jc2 + jc + I 4 J 2 JC +JC + -1

2

7io = J x i0e~xdx = - x we~x +loJ x9e~xdx = - x ,0e x +10(-x9e x + 9 j x 9e Xdx)

(* -!) 1 . , ■» 1,1 „ = ---------- 1— In h r + jc + — h— arctg(2jr + l)... + c 2

= - x i0e~x - I 0 x 9e~x +90 + j x 9e~xdx = - x ' ° -1 0 *9-9 0 x 8 -7 2 0 * 7 + ... + C 1434

4.14.

IN T E G R A C IÓ N D E D IS T IN T A S F U N C IO N E S .

4

22

dx

J

5) Desarrollo

1431

dx

í 2x2 - 4 x + 9 f

J 1432

f dx f A Bx + C ^ . 1 I -----^------= (— + —5--------------)dx ; ----— J x x +5 jc(jc +5) x

J x(x +5)

Desarrollo

- 1 f dx I f — í — = _ L a rc .8( ^ i ^ ) + í 2.x2 - 4x + 9 2 v2 _ 2jc+9 2 J u _ 1)2+7 4 >/7

1

J

VÍ

I —r ~— dx x2 - 2.X+ 2 Desarrollo

efectuando operaciones y simplificando

x +5

Eduardo Espinoza Ramos

182

1 In x 2 - \n(x2 + 5) 1 x2 = - ( ----------- ----------------- -) + c = —In. —-+ c 5

1435

2

5

se tiene: A = — , B = ~ —, C = ——, D = 0 2 2 2

\ x2 +5

dx

I

183

Integral Indefinida

f dx f A B Cx+£) -------- ^ 7----- = (------ + -------- t + —ó----- )dx J ( x + l)(x ~ + l) x + \ (x + l)~ x+l

J

(x + 2 ) 2(x + 3 ) 2

Desarrollo Sea u = x + 2 ; u + 1 = x + 3

= 4 f (— + - j _ - - £ _ ) í£c = ± ( ln ( x + l)----- ’- - ^ l n U 2 + l)) + c

=> du = dx

2 J xx4+ l

r — j = f 2 du 2 = Mr+—— Jf---(x +2) (x +3)2 J u^(u + 1) J («[+1)—

U

W+l

U

U+ 1

1437

,x+3, 1 1 21n ------ --------------------+ r x+2

x+2

2

x+l

2

dx

í (x 2 + 2)2

x+3

Desarrollo

dx

Í (x + l) 2(x 2 + l) Desarrollo dx

f

_ f

A

B

Cx + D

J u+i)2u2+i)~J ^T+u+d2+ x2 + \ I (x + l) 2(x 2 + l)

A

B Cx + D - + --------r + X +\ (x + l )2 x 2 + l

efectuando operaciones y simplificando 1 = (A + C )x 3 +(A + B + 2C + D ) x 2 +(A +C+ 2D)x+ A + B + D A +C = 0 resolviendo el sistema

A + B + 2C + D = 0 A + C + 2D = 0 A+B+D= 1

SÍ2

x = \ Í 2t g 0

=> dx = y¡2 see2 OdO

f dx i*a/2 sec 2 d d d yfl f 2 n j n V2 |* l+ co s 20 I — ------ = I ------ —= -— cos Odd = — I --------------------dO 2 4(tg20 + )2 4 4 2

J (x + ) J

-

1436

U+ 1

x2 +\

1 . , x+l , 1 = —(l n l-7=r— I— - r ) + c 2 sjx2 + 1 X+l

u +u

1 iu il+c = 21- n, I------i m+ 11i-------------1 1 +c -—2 In I-----

1 U

=

r — Wu

(x + l)

l

J

J

y ¡ 2 sen 0 cosí) \¡2 x xy¡2 = -7r^e + ------ ;------) + c = - ¿ - ( arctg ( - r ) + —— ) + c 8 4 8 V2 x+2

Eduardo Espinoza Ramos

184

1438

185

Integral Indefinida Desarrollo

dx

í x 4 - 2x2 +1 Desarrollo I*

dx

_ j*

dx

J (x4- 2x 2 + l) " J (x 2 - l )2 n/

Vx2 - 1

xdx

f

_

£ 2

2x-\ 1 )dx (— ----------- + (x2 - x + l )3 x2 - x + l )3

1 r„

J (JC2 —JC+1)3 2 J

1

see0=x => dx=see0.tg0d0 f

dx

_ f

J x 3 - 2 x 2 +\

dx

J tg40

4(x 2 —x + 1)2

f l - s e n 28

J

sen 38

dd = J (ese38 -ese 8 )dd

= —[ln | ese8 —c tg8 \ -ctgé>csc 0] - ln | csc 0 - c t g d | +c

1

(1)

(jc2—jc+1)3

J

J (x 2 -1)2 J(sec20-1)2 J tg30 J sen38

2J

dx integrando i f — f 2 (x2 (x~ X + 1)

_ Cs ec 8t g 8d 8

Csec8t g8d8 _ f s ecOdO _ j"eos20 ^ _

dx

2 12 3 x - x +1 = (x - —)“ + —

completando cuadrados se tiene:

1

x— tg# = — V3 2

73

[ln | ese8 —c t g 8 | + c tg 0.csc 0 ] + r

^

; dx = ^ - s e c 2 8 d8

2

V3 r

1 r

dx

dx

f

2 sec~6 d e _ 73 I*see2 8 dd

+l)3 2 J(x2 J (x --x x + 1) 2 j [u_l)2 +3]3 2J (3^20+3)3 4j22sec60 2 , 1673 f 27

J

4

4

4

64

1673 f l + cos 20 27 2

J

8 sen 48 _ 4 73 f 473, ]+c (l + 2 cos 20+cos‘ 28)dd = ——[0+ sen 20 + —+ 27 27 J

Eduardo Espinoza Ramos

186

Integral Indefinida 3-4x

, x(3 + 2 Vx) , rfx = ---------- 7=—+ k (1 -2 Vx)2 l- 2 v 'j

4>/3r30 sen20cos20 4y¡3 36 ™ /4+c°s20 - — +sen 2 0 + --------------- ]+c = ------ [— + sen 2 0 (------------ )] + c 27 2 4 27 2 4 4 ■— -[3 0 + sen 0 co s0 (3 + 2 co s 20)] + c 27

187

- Ja ! 1441

( n/ I + 1)2 | - - T —-ax dx

J

Desarrollo 2V3 2\Í3 Q Q 4>/3 . _ = ----- 0 h-------sen 0 cos 0 + -------sen 0 cos 0 cos 6 9 9 27

2

2 ,2 x - l . 2 jc —1 2x-l ... = — -= arctg(— = - ) + — T------------------------------------------------ + ----- T----------r r •••(2) 23^3 73 6(x -x + 1 ) 12(x - x + 1)

1442

remplazando (2 ) en ( 1 ) se tiene: f

á

1

2x - l

2

i t f - x + l ? - ~ 4 ( x 2 - x + l)2 + 3 S

2x-\

2x-\

6(x2 - x + l)

I2(x2 - x + 1)2

f ( V I + i) 2 . fx + 2 7 7 + i r 1 2 1 1 4 1 ------r— í/x= ------- — dx= (-T + - r + - r )d x = --------------------* --------- — J X3 J x3 J x2 5 x3 x 3xVx 2.v

J

¿A V x2 +X + 1

Desarrollo [-= £ = =

f

xdx

x —2

(3 -4 x ) í

2

2x -l

—5-------- — = — ;------- — + — ------- — + z r ¡ z aicXB(.— ¡ r - ) + c

6(jc2 —jc -Hl)2

J (x2 ( x~-- Jx + l)3

1440

2x-\

f = ln | x + —+ V?+~v-M +c J I, 1,2 3 2 (x+-r+-

2

6(x2 - x + l)23^3 \¡3

J

1443

(1 - 2yfx)2

4

I— = ^d x

JJv'2 x

Desarrollo

Desarrollo

j*^

Sea z 2 = x => dx = 2z dz

dx

=j*l(2 x)

1

i

2 - ( 2 x ) 6 ]dx = \Í2x ~ ^ y [ ( 2 x f +í

,2

f 3~4* 2 = f (3 4z,) 2z
=

2 o

1 ^

l-2z

-(Z - 2 z ---- —

) =

1444

f

Jx

J(V7+7I)2 ( ~3 x- 2xy[ x + 2 y [ x - \ ) , _ ------------------------------------------------------ 7=-rC \-2s[x

3x + 2xy[x

1 - 2 Vx

x(3 + 2\[x)

l-2\[x

\ —2\¡x

1 - 2 Vx

= ------------- -------- 1-------------p=- + C = --------------- j= — 1- 1 + c

Desarrollo

Sea

|x = z6 => dz = 3z2dz

Ix = zJ => V ? = z 2 :

Eduardo Espinoza Ramos

188

dz,

r

f 3z 2dz

_3r

Integral Indefinida

189

4 x -l

dz

j (7?+7x)2 J (z2 + z ) 2 J (z +1)2

+ — ,................. = + c

+C

Z+ 1

yfx +1

2y¡4x2 - 2 x + \

2 s¡ 4 x 2 - 2 x + \

4x-2 dx

í j

1445

-

+c

^

2y¡4x2 -

7 x + l

(sfx2 + y f x ) 2

1446

(2 x + \)dx

í

2x —1 = + C = -T = +c 2x + l x z - 2x + l

dx

í ií^X + yf^-

s¡(4x2 - 2 x + \ f

Desarrollo Desarrollo

Sea 5 - x = z 4 => dx = - 4 z i dz \¡5-x = z f

J 4x2 -2 x

+ \ = 4 (x -

—)2 + — ; tgO = 2< * 4 > 4

dx

= -^ -sec 2 9

d6

V5 2

4

;

2x + l = -^ - (tg 0 + 73)

(2x + l)dx

_

f

j yj(4x2 - 2 x + l)3

J

3V3

3-

----- s e r 9

J

z+1

= - 2 7 5 - x + 4 \ / 5 - x - 4 1 n 1 7 5 - x + 11+c = ^ ( T ^ x - 1)2 - 4 ln | T ^ x + 1 1+/t

73

J

sec 0

"7T

+ sen 9 + c , efectuando la función trigonoméetrica tenemos:

z+1

- z + ln | z + 1 |) + c = - 2 z ~ + 4 z -4 1 n | z + 11 + c

x 2d x

I V(»2 - o 3 Desarrollo

= -4= I senQ+ \¡3cosQd6 =-^¡= Í(sen0 + y¡3cos6)d9 73 J 73J COS0

J

"

1447 f

dx f z 3dz . f z 2dz . f, , *1 . , =====---- = = = - 4 —-----= - 4 -------= - 4 ( z - l + ------ )dz 75-x +75-x z +z J

=

4 ,-1

y 7 5 - x = z2

7 x2-1 1

Eduardo Espinoza Ramos

190 Sea x = sec 0

dx = see 0. tg 0 d0

1 f l- s e n 0 1 fl-s e n 0 1 f 2 = — I -------- — d0 = — ----- t— d 9 = — I (see 0 -íg 0 .sec0 )c í0 2 J 1 -se n 0 2 J cos20 2 jV

sec2 0.sec0.tg0 dO _ f see Q.tgO -de J V(sec20 - 1 ) 3 J

= C s j¿ e c w = r ,

J

2 = —(fg 0 -se c 0 ) + c - — ( s e c 0 -tg 0 ) + c = — (■■■;.....—— ¡X )+ c 2 2 2 yjl-x* y ]\ - x 4

t f edBm\ j « f d e

J

tg 9

191

Integral Indefinida

J sen

1 1-JC2

0

1 1 -jc2

1

1- x 2

r + C = ------ <

= ~ 2 ' J Z 7 + C = ~ 2 ^ I T 7 7 +C = ~ 2 \ 7 7 7 + c

= Jse c 0 .c sc 20 í/0 = J s e c 0 (l + c tg ‘ 0)¿0 1449

xd x

1V í- 2jc2 - x4 Desarrollo

= J (s e c 0 + sec0.ctg2 9 ) d 6 = J (sec0+ C0Sy - ) d 9 sen 0 l - 2 x 2 - x 4 = 2 - ( x 2 + 1 )2

= In I x + J x - l I — , f=— + c

j*

xdx

_ j*

x dx

_ 1 |*

j yj\-2 x 2 - x 4 j j 2 - ( x 2 +l)2 2 J 1448

2 x dx í_______

1

xdx

í (l + x2 ) s j l - x 4

1450 Desarrollo

Sea

a:

2

J—

U 2 + l)2 Desarrollo

C°s 0 = s e n 0 ; xdx ---------dO

Sea x = tg 0 => dx = sec' 0 rf0 f (jr + 1)¿/jc _ f (tg0 + l)sec20 ¿ 0 _ 1*(tg0 + l)sec2 0 ^

J (x

2J

+1)2

_ ! tg0 + l J sec0 COS0

f

xdx

_ f

J (líl + x2) \ ¡ l - x 4 X1

— JC4

d9

d9

J (l + sen 0 )V l-se n 20 ■iji 2 J l + sen0

2

(tg"0 + l)2

J

sec3 0

_ f (c()S 0+S en0)í/0= S en0_ COS0+C J

x

1

y jx 2 +1

y jx 2 +1

.x ‘ + l.

= —arcsen(— = - ) + c ^ 2 - U 2 + l)2 2 y¡2

jc—1

: + C = —I

\lx 2 + \

+ C

v

Eduardo Espinoza Ramos

192

.451

J

Integral Indefinida f

dx

193

1 f

dx

J (x 2 + 4 x )V 4 -x 2

(.x2 + 4x)\J4 —x2

1f

dx

4 J x ^ 4 -x 2

dx

4 J (x + 4 ) y ¡ 4 - x 2

Desarrollo

„2

'

+ 4x

f

1 , , \¡4-x2 + 2 . 1 2(x + l) = — ln -------------- ------- = arcsen(--------- ) 8 x 8^3 x+4

- ±4 <x± --U x +4 _ 1f

dx

1f

dx

J (x2 + 4 x ) \ l 4 - x 2 4J x y ¡ 4 - x 2

integrando

I — ,^ ... ... í -x j ^ x 2

dx

(1)

4 J (x + 4 ) \ ] 4 - x 2

1452

I Vx - 9 dx

Desarrollo J V x 2 - 9 dx = i ( x \ / x 2 - 9 - 91n|x + >/x2 - 9 |+c

Sea x = - => dx = — l1 t2

dt

f

[*

dx

f

t2

= ^ ^ 9 - U n | x + Vx2 - 9 l+c

dt

= - l n | ^4

J WH?”J MTjl ~~'

,

1453

J;

Desarrollo

11

_dt_ f _______ r

dx

J Vx - 4 x 2dx

Sea x + 4 = - => dx = - ^ r

I --------dx. (x + 4 )y¡4 -x 2

f

...( 2)

~ 2

7V ~ , 2

integrando

*2— |

J (x + 4 ) y ¡ 4 - x 2 J i j . 1

_

(1 l - 4^2

f

dt

J V-12í3+ 8 r -l

=

((2x - ~ ) \ ¡ x - x 2 + ~ arcsen(8x -1))]

2

2

4

16

= i ( ——- V x - x 2 + — arcsen(8x - 1)) + c

-JlT

4

2^3

4

16

= ——- V x - x 2 + — arcsen(8x - 1) + c

1 arcsen( (2* + 2 )) = J L a r c s e n ( ^ ^ )

2>/3

X+

4

2>/3

X+

4

16

...(3)

1454 reemplazando (3), (2) en (1)

1

dx

xV x2 +X + 1

64

Eduardo Espinoza Ramos

194 Desarrollo

1

X = t

(je2N+2x+2)>Jx U 2.v + íW .V +2 + 2.(x +2 +2 ... 3..

—dt =>

dx = - r t2

dx

f2

= r

j x jx 2+x + l

=_ r

<&

J Ví2+r + 1

J l J , 2+t +l

dt

=_ r

Desarrollo

J J (í + i) 2 + | 1

x = -

.2

x+ 1. . i x . = -!„ I--------- ------------|+c = ln|----------l+c x +2 + 2Vx" + Jc+ 1 1455

=>

dt

dwx = — —

/

í~2 1 + —+ ------------+ JC+1 I|+c = -ln I|í + -1 + Ví‘ + f+ 71I|= —1ln I|— 2 i 2 , x ,x + 2 + 2yJx2 +

-+2JC+ 2 -^ -ln I jc+1 +Va :2 + 2jc + 2 |+ c

h

Sea

,

x +1

dx

1456

* f

195

Integral Indefinida

r dt

í ■ - f A~ = f ----- = - f ] dt ; sea t = sen 0 ; dt = eos J x 44 x ^ \ J i J V í^ í4 í

J x 'J x 2 + 2 x + 2 dx

Desarrollo J W

Sea

7

+ 2 jc + 2 í/jc = j* x y j ( x + ] ) 2 + 1 d x

z = X+1

=> dx = dz

z = x + 1

==>

v/1 - t 2 see tí =

jr- z - 1

f

J*x y j x 2 +2 x

=J

+ 2 dx

x y j(x

+1)2 +1 í/jc = j*(z - l)Vz2 -1 dz

J

2

J

3

f r3dr

J

_

Tsen30.eostíí/tí

J Vw7 J

-— —Vz 2 +1

2

2

ln | z + a/z 2 +1 l+c

= (z +1): -~ V z 2+ l- - ln | z + Vz2+l I+C 2

2

- 1 sen30 d 6

-i

■J

=cos 0

eos

+C

3 .2

3

eos 0

eos30 =- (1-cos 0)sentí¿0 = -(-costí + -------,)+ c

3

f zVz 2 +1 ¿ z - ÍV z 2 +1 í/z = —

*

yl(x2 - l f :------------- 1----------- + C 3*3

0 d0

196

1457

Eduardo Espinoza Ramos

197

Integral Indefinida

dx

4 4

1 -xv :Vli - x

= - J * * * — flfe = - J z ( z 3Desarrollo

1 - x3 = z 2 =$ dx Sea

dx

2 z dz

x

3-3z

dx

f

_ T

1

1)~3(z 3 - l ) 3dz

r (z 3 - l )3

2zdz 3x2

~ f X * ~ r — — -ft-ij. 2 J z 3-1J (z-l)(z2 + z + l) J z - 1 r + Z+ 1 dx

_ j* - 2 z dz

J x j l - x 3 J y ¡ ( l - x 3) x J z (3 -3 z 2)

2 f dz

z

Í J z 2- l

z3 - l

2 .z-\ . 2 . V l-x 3-1 = —ln | ----- 1+c = —In I —..... — | +c 3 z +1 3 xJ +1

_ A(z2 + z +1) + B(z2 - z ) + C ( z - l) ( z - l ) ( z 2 + z + l)

z = (A + B ) z 2 + ( A - B + C)z + A - C A +B =0

1458

dx

resolviendo se tiene: A = ■-, B = - —, C = — 3 3 3

A - B + C =0

í f l + Jt

A -C = 0 Desarrollo f

(1 + x3)

dx

f

z

,

f , A ^ Bz + C

J 1¡Í+X3 J z3+ l ' J :- l z2+z+l

3rfx; m = 0, n = 3, /? = —

l f ¿ x l f

z -1

3J Z-1 3 j ; : + z+l

'

y¡l + X

m +1 - + p = es un entero, entonces n -3

X

, i _

+1 = 2

3

__.

=>

v3 X

además * = (z 3 - l )

1

= —---- => Z = z 3- 1

= ——ln IZ—1| + — n/ i

= ——ln | z —1 1+ —ln | z 2 + z + l | — ^ a r c t g —■i ~ + c 3 6 V3 %/3

+ X' ’

_i 4 3 => dx = - z 2(z 3- 1) 3dz

f ^ — { f~2~~

6 J z “ + z + l6 J z “ + z + l 3 J z + z + l

3

1459

5xdx

J Desarrollo

Ít? <~~~t = f I----- 1

j ^/l + x 3

J i. A i'

=r(-z2(z3- l ) 3)¿Z

Z

[ 5xdx _ 5 j* J ^ 7

2xdx

2- \ W

_ 5

)2

2

2

^

donde z =

V í+ 7

198

Eduardo Espinoza Ramos J c o s 4x¿x

146«

199

Integral Indefinida

|*1 + -y/c,tg x dx J

Desarrollo

2 ~ = - C tg X - - C tg 2 X

I cos4x dx = I (cos2X f d x = J (~ C°s2a)2
_ f (csc2x + y]ctgx esc2x)dx J

sen x

1463

+

2 /----------C = -C tg X ---y /c tg 3X+C

j*sen se 3xdx Veos3x Desarrollo

3x 1----------sen 2x 1---------sen 4.v (. (• :---8 4 32

f sen^Sfáx _ f sen x(l - eos 2 x)dx = [ {senx(cosx)Í _ s m x.cJ

j Veos3X

f- - £ _ J eos x sen x

1461

í

- jsec x.csc 5x d x = f (1 + c tg 2 x )2 see x.ese xdx

J

Veos3X

J

= - —eos 5 x + — eo s 5 x + c = — (eos 2 x - 6)Vcos2 x + c 2 12 12

Desarrollo

J eos x. sen x

J

x)dx

J

1464

I

csc 55x¿x Desarrollo

= J*(l + 2c tg 2x + c tg 4x) see x.csc xdx

J CSC5 5xí£c = J(1 + c tg25x)csc35xdx = J esc35x áx + Je tg25x.cos35x d x ... (1 ) = J*(see x.csc x + 2c tg" x.see x.csc x + c tg 4x. see x.csc x)dx

/<

integrando f secx cosx cos3x , = (-------------------------------------------------- + 2 ------- — + ---- — )dx J senx sen' x sen x

J's(-+etgx2cc 2tgx x.csc* x + c 9tg

, X.CSC"

f ! sen"x Æ a

J

D esarrollo

, .„4 x)dx = In I tg x I-c H: c - ~ — +c

4

J*I csc35x d x

por partes

200

Eduardo Espinoza Ramos

integrando I c tg 2 5x. esc35x dx por partes

1466

f‘

201

Integral Indefinida

|“"(T

K -x) sen(— h x)dx 4 Desarrollo

u=ctg5x

du = —5 esc 25xdx n nn V2 sen(---- x) = sen —.eos x —sen x.cos— = — (eos x -s e n x) 4 44 2

dv = ese35x.ctg5xdx => v = - CSC— 15

71

„3 ,

f 2c 3r , Ctg5x.CSC 5 l 1 f < , I c tg 5x.csc 5x dx = ----- ------------------ I ese 5xdx J 15 3J

71

7t

,,

y¡2 .

sen(— + x) = sen—.eos x + eos—.sen x = — (eos x + sen x) 4 4 4 2

... (3)

. .n . y¡2 , 1/2 sen(----- x).sen(— + x) = — (eos x - sen x )— (eos x + sen x) 4 4 2 2

reemplazando (2), (3) en (1) se tiene: J esc 55x d x = J*ese35xdx + J*c tg 2 5x.csc 2 5xdx

1 2 2 ^ eos 2x = —(eos x - s e n x) = -------2 2

1 .. 5 x , ctg5x.csc5x ctg5x.csc 35x 1 f <„ , = — ln tg— 2------------------e--------- --------I ese 5xdx 10 2 10 15 3

f sen(—-x).sen (—+ x)dx = f cos 2x dx = i-se n 2x + c J 4 4 J 2 4

J

f 5c t 3 , 5x. 3 , , 1 , 3 I ese 5xdx = — ln tg— ----- ctg5x.csc5x------ ctg5x.csc 5x + c J 40 2 40 20

1467

f

i,X

7t. -)dx

J tg(r T }

Desarrollo cos5x 20 sen 45x 1465

I

3 , , 5x. + — ln | tg—- l+c 40 sen 2 5x 40 2 3cos5x

J t g ( | + ^ )d x = j tg2( | +

sen 2 x , —— dx eos x

J (sec2( f + ^ ) - 1) t g ( f +j ñ d x

= f (sec2( ^ + ^ ) t g ( í + ^ ) d x - ítg ( ^ + ^ )d x J 2 4 2 4 J 2 4

Desarrollo

- tg2(—+ —) + 21n Icos(—H— )|+ c 5 2 4 2 4

f Sen" X , f 2 4 , ¡ * 2 / . 2 , 2 , I -— dx = Itg 'x .s e c x d x ~ I tg x (l+ tg “ x)sec xdx J eos X J J f 2 1 f 5 2 tg 3X tg5X = J tg“ xsec“ xdx = I tg x.sec" xdx = — + ■- —- + c

t g ( | + ^ )d x =

1468

r dx -----------------------J 2senx + 3 c o s x -5 Desarrollo

Eduardo Espinoza Ramos

202

Se conoce que:

2t 1- í 2 sen a = -----— ; eos x = 1+ t2 ' ’ 1+ í2

f

dx

f _______^

1

1469

_

1 f 22JJ

sec 2 xdx 2x + t g x + _

1_

1+ í 2

J 2 senx + 3 co sx -5

see2 xdx

j*

J eos2 x +- 2 senxeosx + 2 sen2 x J 2 tg2 x + 2 tg x +l

x 2dt l ~ = t => dx =

2

203

Integral Indefinida

_

2 dt f 1+ í 2 J 413-3i J12~ Jl„ 1+ í 2 1+ í 2 4 /- 1

f

dt

_

f ____ dí_

J 4r2—2r + 1 J AítJ 4(fl->2 - —)2 + — 4

= _ _1 arctg(_

_

1 f — sec * dx = I .i- a r c tg ( -----— - ) + c = arctg(2 tg x + l) + c 2 j ((tg 2 i 1 t gxx++-I)2 '- r + i 6 2 4 2 2

1471

4

dx senxsen 2x

1

Desarrollo „„„2 f dx f sen, 2 x„ +. cos x , f, 1 cosx _ , I ------------- = I ------------------- dx = I (---------+ ---------- )dx senxcosx 2 sen2 xcosx 2 cosx 2 sen2 x

)+c

J

J

J

1 fI ,(secx + ctgx.cscx)dx = ~ ln 1I secx + tg x |1 =—

dx

12 + 3cos>2x

1 cscx + c

Desarrollo 1472

2 + 3 eos 2 x ~ 2 sen 2 x + 5cos 2 x

r _______ dx_______

J (2 + cosx)(3 + cosx) Desarrollo

f j 2

dx

_ f

+ 3cos2 x

dx

J 2 sen2 x + 5cos2 x

1 f \Í2 sec" xdx

1

: vf J (V5 tgx)2+5 1470

_ f sec° xdx j

1

dx

i eos2 x + 2 senxcosx + 2 sen2 x

1 1 A B Sea z = eos x ; entonces ------------------------ = ---------------- = -------- 1-(2+cosx)(3 + cosx) (2+z)(3+ z) 2 + z 3 + z

2 tg¿ x + 5 \¡2tgx

1

, 2 tg x N

v ^ )+c

1 = (A + B)z + 3A + 2B de donde se tiene:

1

1

1

(2 + cosx)(3 + cosx)

2 + cosx

3 -c o s x

A+B= 0 , [ 3A + 2B = 1|

A = l , B = -l

Desarrollo f ----------- - ----------- = f —

Dividiendo entre eos x se tiene:

J (2 + cosx)(3 + cosx)

—

f

J 2 + cosx J 3 + cosx

...a )

204

Eduardo Espinoza Ramos

, integrando:

,

Sea u = sen ax => du = a eos ax dx

dx 2 2 ----------- = - = arctg(—-£-) J 2 + cosx V3 V3 Ç

f

1

dx

tg

... (2)

cos axdx 1 , [~ ----------= _1 f _ ^acosaxdx _ _ _ = = . ==— ax ++\Vfl a 2 +sen 2 ax I +c —In InIIsen senax J sja2 + sen2 ax a J \Ja2 +(sen ax)2 a f

2

8

• " ,3>

1475

reemplazando (3), (2) en (1)

xdx

í eos23x Desarrollo

f x d x _ f xsec 23x d x , integrando por partes y haciendo: eos 2 3x

f dx 2 tg2 1 tg2 J (2 +-cosx)(3 c^ -w o _____ , = “/? arctg ( - 7r ) - — a r c t g ( ^ ) + c + cos.*) 73 y¡3 y¡2 \Í2

1473

205

Integral Indefinida

J

J

u =x

sec 2 xdx

du = dx

o j t ë 3* dv = sec 2 3xdx => v = ------

J 7 tg 2x + 4 tg x +1 Desarrollo

f

sec2 xrfx

f

f

J 7 tg2 x + 4 + tg x + l

xdx

_ r

J cos23x J

sec2 x d x

xsec2 3xdx = - t g 3 x - —— dx + c = - t g 3x + - l n |c o s 3 x |+ c 3 J 3 3 9

J y](tgx + 2)2 - 3 1476

j x sen1 xd x

Sea u = tg x + 2 => du = sec2 x d x |* j

sec 2 A g2

j*

4tg JC-J-1

sec2 x d x

j yf(tgx + 2 f ^ 3

Desarrollo _ f

dw

J Vm2 - 3

= ln |m +V «2 - 3 I +c = ln | tgx + 2 + -y/tg2 x + 4 tg x + l |+ c 1474

co sar

J æ2 + sen 2ax

dx

J x s e n 2 xdx = J x .1 C° ^~X dx = Ì J ( x - x c o s 2x)dx

= - [ f x d x - \ x c o s l x d x \ = — - — íx c o s 2x££x 2 4 2

J

integrando

J

J x eos 2x d x

J

por partes

Desarrollo f

eos a x d x

* V«2 + sen 2 ax

_ j*

eos a xd x

J y¡a2 + (sen a x)2

u = x => du = dx haciendo:

„ , sen 2x dv = c o s l x d x => v = --------

... ( 1 )

206

Eduardo Espinoza Ramos *

.

•* 2

-

cos 2x 4

jceos 2x dx = —sen 2 x + --------

1

... (2)

Sea

reemplazando (2) en (1) 2 , x 2 xsen 2 eos2 JEsen xdx = -------------------------------he je

u

= ln(l - ) => du = JEdx—1 je

.3

2,

X'

dv = x dx => v = — 3

je

J

1477

207

Integral Indefinida

f je2 l n \ J \ - x d x = —(— l n ( l - x ) - — í ------dx) 2 3 3 J jc —1

J

2 x*dx

íx e

3

Desarrollo r

Sea « =

x3

i

p

i

*

du = 3x2dx => x 2dx = —

= — I n V i - j E - - — —— ———ln | jc—11+c

3

V f 2 i1 . f u du eu e I x e dx = e — = — + c = - + c 3 3

J

______

= — ln V l- J t I (x2 + X+ 1H------- )dx 3 6J jc—1

3

1480

J

í

18

12 6 6

xarctgxdx, Jü x2 Desarrollo

1478

J

xe2xdx

u = arctg x =>

Desarrollo u= Sea

je

du =

dx \l 1 + x 2

=> d u - d x

e^x dv = e2xdx => v —----2x

í xe2xdx = - e 2x- ~ í e2xdx = - e 2x- — •fe J 2 2j 2 4 1479

f x a r c t |x J V ÍT 7

J x 2 ln yfí —x d x

^

f^ ^ d x = J 1+ *

= \ll + x 2 arctg x - ln | x + V1 + x2 | +c Desarrollo

J x2 ln V i - j e <±e =

»

i

1481 Jje2 ln(l - x)dx

ísen2(—).cos(— 2

2

)dx

Desarrollo

arctg x - f - *

J V1 + x 2

208

Eduardo Espinoza Ramos

J sen2(

)cos(~)dx =

i J (1 - eos x) cos(^f)dx

1484

1 f , ,3x ,3x 1 3x 1 f 5x ,x .. , = — (cos(— )—eosxcosí— ))dx = - s e n -------- I (cosí— ) + cos(—))ax 2 2 2 3 2 2

J

4J

I senh x.cosh xdx

Desarrollo

Sea u = senh x

4

du = cosh x dx

(senh x) Jsen h x.cosh xdx = j u d u = — + c = ---------— + c 2 2

1 3x 1 5x 1 x. = - sen(— ) ------sen(— ) — sen(-) + c 3 2 10 2 2 2 1482

209

Integral Indefinida

dx

1485

1(sen x + cos)Sxx)2

f senh Vi - * -dx

J VT^

Desarrollo

Desarrollo

f___*___=í-

,-----dx Sea u = V1 —x => du - -—-, 2 Vi - x

dx

J (sen (senxx + eosx) cosx )2 JJ ssen 2 x+ 2 sen xcos x + cos2 x _ j*

see2 x d x

J t tg g 2 x + 2 tg x + l

_ fI* sec2 x d x

1

J (tgx + 1)

tgx + 1

=>

0, _

dx 2du — V i-*

| !el^ V ^ . dx = j senh u.(-2dw) = J senh u du -2

= - 2 cosh u + c = - 2 cosh V i - * + c 1483

dx

1(tgx + 1) sen en 22 x Desarrollo

1486

í* senh x. cosh x

^

J senh2 x + cosh2 x

Desarrollo

f _____ dx_____ _ fc s c 2 x d * _ fe se 2 x .ctg x ^

J (tgx + l)sen 2x J 1+ tgx

J 1+ c tg x

| - e s c x + csc x + csc x c tg x - i ------------------------------------- dx 1+ Ctg X

=

__ 2 f ( l + ctg x )e sc 22 x. ,f - c s rc 2 xdx

f ese2 xdx f 2 —-----------+ -------- — -------- dx = ------------- + e s e ' x d x J 1 + ct g x J 1+ ct g x J l + ct g x J

= ln | 1 + ctg x | - ctg x + c

Sea u = senh2 x + cosh 2 x , derivando se tiene: du = (2 senh x cosh x + 2 cosh x senh x)dx => du = 4 senh x cosh x dx f senhxeoshxdx _ 1 f * 4J u

J senh2 x + cosh2 x

= I ln|H|+c = i ln | senh2 x + cosh 2 x |+ c 4

= iln |c o s h 2 x | + c 4

4

210

1487

Eduardo Espinoza Ramos x dx

f

1489

J senh 2 x Desarrollo xdx

f

_ f

J senh 2 x

sea

J

J

exdx _

I e2x - 6ex +i-1313 Desarrollo ex exdx f exdx 1 e *- 3 ----------------- = I ---------- ------= —arctg-------- + c J e 2x- 6 e x +l3 J ( e * - 3 ) 2 + 4 2 2 f

xcsch'xdx

u =x

ídu=dx

dv = ese h2x d x

[v = -ctghjc

s e n h 2 a- =

J ACSChxdx =

~ x c tg h x

+J ctghxdx =‘x ctghx +lnlsenh

1490

e2xdx

i (ex + 1)4 \_

Desarrollo x +c Sea

1488

j*

211

Integral Indefinida

fex +l = z4

^

\exdx = 4 t ' d z

dx

J e2x - - 2ex

p = z 4-l i e2xdx = (z 4 -1 )4 z3dz

Desarrollo (
e* - l = z => ex = z + l Sea dz = exdx =>

= —■z 4 — z 4 + c = —\J(ex + 1)7 - - $ l ( e x + 1)3 + c 7 3 1 3

= dx Z+ l

dx = ¡J ee¿x 2x-- 22ex J ( ? * -I)2 - l e x J(<

1491

f— *

r

dx

r

J e 2x- 2 e x

dx

J (z 2 - i) ( z + l) I

= í J z +l

l (z + l )2

r

dz J (z + l) 2( z - l )

= - - j l n | z + l | + — }— + —ln | z 4 2(z + l) 4 '

2Xdx

f 2 Xdx f 2 Xdx I ------- = I ---------- - ; sea J 1 -4* J i --(r2*)2

J_ Z—1

f

J 1-4* —4 X

u=2

r 2 ^ = p ^ _ =_L f * ln 2 j 1 -M

J 1- 4* J l - ( 2*)2

11 1 1492

= - j l n | ^ - l + l | + - L + i l n | ^ - l | + c = - - + — +-] n\ ex - 2 \ + c 4 2e 4 4 2ex 4

Desarrollo x

, du = 2 ln 2 dx

21n 2

J t f - 1) .10~2*í¿c Desarrollo

1- u

= _ !_ b i|l± 2 1 |+ c 21n 2 1 - 2*

212

Eduardo Espinoza Ramos u = x 2 ~ 1 => du = 2xdx Sea ■ . , n -2 x j K T 2* dv = 10 dx => i 21n l 0

Integral Indefinida

1494

213

dx

1

Desarrollo u = arctg x

í (x2 —1). 10 2xdx = - ~ — L l 0' 2jt+ - i - fjc.10~2xdx

J

21nl0

InlOj

...( 1 )

Sea

,

dv =

, n -2 x ,

10

dx =>

f arctg x ,

1 0 " 2*

arctg x

... (2)

arctg x x

“I

1 +- 4 — + — )10-2jr + c 21n l 0 21n 210 22 ln 310 21nl0

lnlO

21n2 10

1495

í

\z 2 =ex +l I exdx = 2 zdz

, 2 zdz dx = —---; 2- l

+ ln I

+c yjl-x2

Sea

u = arcsen(—) x

I

du = -

dx vVx 2 —1

v=-

X3arcsení—)dx = — arcsen(

integrando

... ( 1 )

I --------- dx por sustitución J x —1

j*Ve ‘ +1 dx - J —~ ^ dz = 2J*(1 + — .. )dz \/x2 - 1

= 2(z +-^-ln | - —í- |) + c = 2yjex + 1 + Ih | -^==¿2— - 1+c

2

Z+ 1

yjex

+1 +1

-)dx

Desarrollo

Desarrollo Sea

J x \ +x

x arcsen(—)dx

dv = x' dx

z 2 - l = ex

x

1

,

ex +1 dx

1493

arctg x | f i_

arctg x , I,,, 21 arctg x , , r 7 = ------------ t-lnx — l n |l + A | +c = -------h l n x - l n v l + A +< x 2 x

reemplazando (2) en ( 1 ), se tiene: .2

dx

i*

J x(\ + x 2)

21n l 0

r 2jt ¡ x . 10~2xdx = - f - 10- 2* + J r : 21n l 0 " ' 22 ln 210

J V - 1)10-2xdx =

l +x1

dx dv = — x2

u = x => du =dx

dx

du =

1

214

Eduardo Espinoza Ramos sec

Integral Indefinida

0 = x => dx = sec 0 tg 0 d 0

J cos(ln x)dx == J\ e z eos z dz = ez sen z + ez eos z -

j* x dx _ j*see 6. seed.tgOd6 _ fse e„ 440.tg 0 J yjx2-

1 J

'/see 2 9 -

1

tg0

J

_ f de = I see e de J

1

1497 (x¿ + 2)

3

...( 2)

reemplazando (2) en ( 1)

J*

J (x

4

—3x)sen5xáx Desarrollo du = (2x - 3)dx

\u = x* - 3x

x

4

cos5x

dv = sen 5x dx

*4 , 1 , 1 Va2 - 1 2 aresen(—)dx = — arcsen(—) H— .---------- (x + 2) + c x

3

I'"2-

1 .4 1 Va - 1 , 2 =— (jc aresen —H —+----------- (x + 2)) + c —(x 4 xjc 3

x 2 —3x 3x) sen 5x d x = - :------- —eos 5x + 5 x“ -3 x

1496

cos(ln x)dx

1

5 DesarroHo

í

du = ezdz

, 2 o s J , (x -3 x )se n 5 x a x x -3 x

I v = sen z

I

eos 5x dx

3) eos 5x dx

5

sen5x

Jv = eos5x£?x

J*I cos(ln eos(ln x)dx = = jIeez eos z dz

eos 5x +

2 x -3

du = 2 dx

í u = 2x - 3

Sea z = ln x => x = e z => dx = e zdz

dv = cos z dz

J*\ e z eos z d:

= \ e z eos z dz = — (sen z + eos z) + c = —(sen(ln x) + eos(ln x)) + c

= J ({\+tg-0)sec¿ l + íg 20)see 20 6 ddé? e = = j*\ (sec¿0 + tgz Osee2 9)d9 = l g9+ ^ ^ ~

3

215

5

x -3 x

2 x -3

2 f

= ----------------- c o s 5 x h -------------- s e n 5 x - — I sen5xdx 25 25 J

2 x -3 eos 5x + — — sen 5x + ----- eos 5x + c 25 125

2 2 3 = —( - x 2 eos 5x + —sen 5x + 3x eos 5x + — eos 5x — sen 5x) + c 5 5 25 5

Jco s(ln x)dx = j e z eos zdz = ez s e n z - j e z sen zdz

1498

I

x arctg(2x + 3)dx Desarrollo

Eduardo Espinoza Ramos

216

u = arctg(2x + 3)

dx

du =■

=> dv = a dx

u = arcsen

a 2 + 6a + O x~ v=2

Sea

5

a rc tg (2 A

2

a

2 + 12a + 10

z = sen

5

1 (*

3a H— = — arctg(2A + 3) — ( I dx+ I — ------- - ----- dx) 2 4 J 4a + 12a + 10

»

Ví^ 2

t í ü J V i —72

a2 , i 1 f 6a + 5 = —-arctg(2A + 3 ) - - + - — ---- -— — dx 2 4 2 J 4a + 12a+10

a2 x 4 f 2a +3 1 f = — arctg(2A + 3 ) - —+ — — ---------- — d x — I 8

J

2 ' , A2 + 3 a + —

^ J

+

í

arcsen Va

dx

J arcsenV*dx >

Desarrollo

= z 2 => dx = 2z dz

j* arcsen 7 a dx = 2j* z arcsen z dz

dz)

f

1 2

1 2

0 d8 =-~ f (1 —eos 29 )d9 J•*

z- zv1- z")/--+ Tc

dx= 2(— arcsen z— - (arcsen z- zV1 - z ) 2

J

4

z- —1 arcsen z-^ Vi-z 2

52 A2 + 3 a + —

=Í[(a2-2)arctg(2A+ +^-ln| +6a+5|~^] + c 2 a2

sen 2 9. eos 9 dO fse n ^V1- sen 2 9

= z‘ arcsen

2 = arcsen Vx(x — ) --------(V i- * ) +

jc A* 3 5 = :— arctg(2A + 3 ) - —+ —ln ( a 2 + 3 a + —| - arctg(2A + 3 ) 2 4 8 2

3)

.

Luego:


2

4

2

| p 72 I 2 J -y/i-Z 2

= - (0 - sen 9 eos 6 ) = —(arcsen

a2 . i ! f b xdx 5 f dx ■ ««gO x+ S - J + - j — — T + i j a2+ 3a + — a2+ 3a

2

7^ 2(— arcsen z—

0 => dz = eos 0 d0

-2

J

a

dz

du =

dv=zdz

í* I arcsen \fx dx = J

+ 3) - J* 4

Sea

z

2

J a a r c t g ( 2 A + 3)d* = ~

1499

217

Integral Indefinida

2

1500

2

JW Desarrollo

c

- arcsen(z2 - —) - ^ y J l - z ~

+c

218

Eduardo Espinoza Ramos

C A P IT U L O V

Integral Definida

1502

I

Jo

219

(V0 + gf

, donde V0 y g son constantes Desarrollo

Sean f ( t ) = V0 + g t , Ar, =

5.

L A IN T E G R A L D E F IN ID A

5.1.

LA INTEGRAL DEFINIDA COMO LIMITE DE UNA SUMA

& = l + i , A* = - ¿

;

n

^ =— n

/ ( í ) = / ( 6 )» V 0 + — «'

- 7-

n-1w-1 I (V0 + g O * = lim V /(£ , )Ax,. = lim V (V + g - i ) Jo Ax^oÁ—t Ax, ^ oJL j n n

DEFINICIÓN.- Si f es una función definida en el intervalo cerrado [a,b]. Entonces la integral definida de f de a a b, denotada por: fb

f ( x ) d x , está

Ja

donde x¡ <

I f (x)dx = lim

dada por: Ja

(= 0

T f' K T gT2 gT2 = lun > ( - 2- + ÍE— i) = lim(V0r + ^ — >

f h'ST' > / (£i)Ax- , si 3 el límite

1= 0

i= 0

Ax ( —>0 A m m i

'

ti

ft

^2

n —>°°

i)

< x M , Ax, = x M - x ¡, i = 0,1,..., n - 1

1;_ g 7 2 (B-lXn)

.

r2

- lim —--------------- = V^y + p —&x¡—>o n 2 2 0 * 2

Calcular las integrales siguientes, considerándolos como límites de las correspondientes suma integrales:

1501

1503

•b I dx

s

j :\

x l dx

y a

Desarrollo Desarrollo

r/ . . b-a „ , . . b-a . i(x) = 1, Ax¡ = ------ , g. tomamos de las siguiente manera: g¡ = a + i; £i =a + iAx¡, como f ( x ) = l

I dx= lim Ja Ax,-> 0

¿ 1. 1/

i=0

=> f (^ ¡ ) = 1

Sean f ( x ) = x 2 , Ax¡ = —

n

n

= - 2 + — = a + í'Ax, n

f ( x ) = x ¿ => / ( £ ) = (-2 + - ) 2/ ( £ ) = 4 ------ «+n 72

f(L¡)Ax¡ = lim——— = lim n ———= b - a A r( —*0 Z u /i Ax,->0 n i=0

[ * 2<¿x = lim y / ( I , )Ax¡ = lim V ( 4 - — + ^ - ) . J _2 n->°° ¿mj n n n i=0 i=0

Eduardo Espinoza Ramos

220

lim ( 12 - — n2

+ — (W 1)n(2n — ) =12 - 18 + 9 = - 6 + 9 = 3

2

«3

221

Integral Definida

1505

6

I

x 3dx Desarrollo

1504

f 10

2*dx

Sea /( x ) = x3 , Ax(- = ——- = —, £, = a + /Ax, = 1+ — n n n

Jo Desarrollo

Sea / (x) = 2

,

10

Como f ( x ) = x 3 => /(!,-) = 0 + — )3 n

10/

y A x ,= — ; £• = — n n

[ % 3dx= lim Y / ( ^ J, Ax— >0i a J i=0

10 Como f ( x ) = 2 x =* / ( £ ) = 2»

10 n-1 w-1 10 f 2 "dx = lim Y / ( £ • )Ar, = lim Y 2 " / — I„ Ax — >°° £¡mmí n— *°° '■■■ W

J0

' i

10

_

= lim —(1 + 2 " n— >°° n

2.10

------

3.10

,

------

1506

10

10

= lim — ( n-»°= n

1

_ 1- 2 "

donde r =

10 —

2"

= l i m ( l - 210) — 1'l—

12 1- 2 ”

10 = 0'*

210)lim

' n'->~

12 1- 2 "

10 2

2 10 — 1

por L ’HOSPITAL = (1 - 210) lim — —*■------- = — — ^ „_>» 12 ir> m2 2 " ,-^ ln 2 n

w2 ( n - l ) \

' -------- i -------- -----------------2

Hallar el área del trapecio mixtilíneo, limitada por la hipérbola y = — , el eje X, x y las dos ordenadas x = a, x = b, (0 < a < b) Desarrollo

10

256

= lim (4+24 — + 3 2 .(" ~ 1)l,2,' ~ 1>+ 62(” r 1)i) = 4<.24t64+64=156 n-*~ « n

,,1 0

(n-1).—

+2 " + 2 " +... + 2

1 —( 2~n 1„

192 (n - l)n(2n-1 )

“ i ! f . (4 + - 7 T - + T

<=o

'= 0

i«

„ 48(w-l)w

(1 + ^ + 1 ^ - + ^ - ) rt nz n n 1=0

= lim V

/J?, ( x )s = -1 x como

* = -----b ~ a ; q¡£ = a - i ------b~a => Ax,. n n

f ( x ) = - =* /(£ • ) = - ----- ------a + í(------ ) n

n- 1 A = lim V / ( £ , ) Ax¡ A l,- » 0 Á m J 1=0

Eduardo Espinoza Ramos

222

n- 1 V" 1 .b-a A — lim > (------ ----- ) ----.b -a n i=o a + 1 n n-1 A= lim y — — -— ,en forma análoga el ejercicio 1505; se tiene: A = ln — Ax,->oÁ^an+i(Jb-a)

5.2.

D E F IN ID A S

Io

LÍM ITE

DEFINIDA

^ ( x)~

J.

f ( t ) d t es una Ja F'(x) = f ( x ) p a r a a < x < b

Desarrollo 2o

I

INTEGRAL VARIABLE.-

EL

SUPERIOR

función

primitiva de

f(x),

es

decir:

b)

— db

FÓRM ULA DE NEWTON - LEIBNIZ.-

s e n t d t , donde f(t) = sen t

Jo

rh

ih f(x)dx=F(x)\ = F(b)-F(a) Ja la

Si F'(x) = f ( x ) se tiene At¡ = — , L = — n

como f(t) = sen t => /( £ ,) = sen —

n

n

n-1

x

«-1^

1508

/ (x) = |

se n t d t = lim y /(£ )A í- = lim y ^ sen(— ).— In A l-> 0 .¿ ^ Ai —>0 jLmM n n 0

1=0

ai, —>0 n

n

Sea / = f — , ( b > a > 1). Hallar: Ja InAr

n

n

a)

n

= lim —(----- ------ (eos — -e o s (/i- —) —)) Ar(->o n ~ x 2n 2 n 2 sen — 2 n x x 1 x = lim ----- ----- . lim (eos------- cos(n — ) —) n— X . n— 2n 2 n 2 sen(— )

b)

/=

I

J a lnx

dx J b ln.x

h dx - J a ln x

di _ da

di

1

db

ln b

1509

F(x )= I \ n t d t , x > 0

= 1 - eos x, aplicando L’HOSPITAL

Desarrollo

1 , « 1, . sen a + sen 2 a + ... + sen n a = -----------(eos —-co s(n + —)a) 2 sen — 2

1 In a

Hallar las derivadas de las siguientes funciones:

2n

„ a

a)

Desarrollo

1= 0

x x x x n —1 = lim —(sen(0. —) + sen 1 . —+ sen 2.—+ ...+ sen-------x)

NOTA.-

CON

POR

Consideremos la función f(t) continua en el segmento [a,b], la función

f ( x ) = I sent dt 'o

f(x)=

223

C Á L C U L O D E L A S IN T E G R A L E S M E D IO D E IN D E F IN ID A S.-

a

i=0

1507

Integral Definida

2

2

F(x) = I ln t d t

=> F '(x ) = lnx

— da

Eduardo Espinoza Ramos

224

1510

F(x) =

f

J

Integral Definida

1513

yjl + t4dt

X

Desarrollo F(x) = J

sj\ + t4dt = - j

F (x )= I

e~' dt

VT^ tAdt

=> F '(x) = - V

225

f x SCYlt Hallar los puntos extremos de la función: y = I ----- dt en el campo x > 0 . Jo { Desarrollo f x sent set , , sen x , „ dt => y = ------ => y = 0

=J „ "

i + X4

para los puntos críticos =» sen x = 0 => x = njt donde n = 1,2,3... 1511

v

juntos extremos de la función es x = mr, n = 1,2,3...

X

Desarrollo

Utilizando la fórmula de Newton - Leibniz.-

c x~ r. o 2 rx 2 F( x) = I e~' dt = I e~1 dt+ I e~‘ di J x

J x

Hallar las siguientes integrales:

Jo

F(jc) = —I e~r dt+ I e~r dt Jo Jo

entonces:

F '(x) = —é

y'1

+ 2xe

_r4

1514

1= I

í

Desarrollo T1 n —

Ji. 1512

1 dx ) 1+ X

II 1 = ln(l + ;c) = ln 2 - In 1 = ln 2

J01+*

eos (t2)dt

lo

X

Desarrollo r> -Jx

í» a

7 = 1 eos(t2)dt=

1515

(• \fx

i eos t 2dt+

1 dx 1-2 x 3 Desarrollo

eos(t2)dt -i

X

E í-il

sTx / = -- I1 *x eos eos t2dt entonces: costt ¿dt+ 2dt + I Ja Ja 1516 dI = - COS(— , 1—X / -1) X+ COS x(----/ 1 —X ) — ).(--dx

x~

X"

di 1 1 , 1 . — = — -= eos x + — cos( —) dx 2vx x* x“

i i -i _2

= - ( —- —) = 8

2

8

J> dt Desarrollo

2y[x

f

J -X

=£>*-
e'dt = e‘ I I

-X

ti

los

1517

Integral Definida

Eduardo Espinoza Ramos

226

ío

227

_L_)

Sea S„ = —— H— !— r... + —!— => j n +1 n + 2 «+n

cos t dt

= i(_ i_ +_ i_ + « 1 2 « 1+ 1+ 1+ — n n n

Desarrollo

Luego Ax,- = — es la “n” participación en [0.1 ] y f ( x ) = —— ; <¡? = — n 1+ x n

I eos t dt = sent\ = senx => I eos t dt - senx Jo lo Jo

mi

Valiéndose de las integrales definidas, hallar los límites de las sumas.

1518

..

lim

. 1

I

i f ( x ) d x = lim y n—>°°

J n

1=0

n -1 n*

Desarrollo

1

2

Sea S„ = — + — n~ n

n -1

1,1

2

n~

n n

n

)Ax, = lim y

- ( -----—

aí—>oo

/i i

=0

1+

í

-

n

n-l . I .! = u m y _ l = f ‘j L = to a + x)| = l n 2 » -* -n + i J o 1+ X Io

——)

n->°° n ¿

/

1=0

n-1 ----- ) n

1520

lp +2 p +... + n p lim --------------------n— np Desarrollo

Consideremos: Ax, = ^ y f(x) = x n

Luego el límite es igual a la integral

- 1

I / (x)dx

Jo

i= 0

sn =

n n

n

n

j

"-I

: / (x)dx = lim V Jn M u

_ _ l p + 2 p +... + n p 1 , l p +2 P +...+np s Sea S„ = --------------------- = —(----------------------) n p+1 n nP

Luego: Ax, = —, que es las “n” particiones en [0,1] y f ( x ) = x p n

f(£¡)áXi donde £ = - como f(x) = x => /(£,■) = «

p+i ■ i

■i-4 -r-i 1 ( n - l) n 1 /(x )d * = lim \ /( £ , )Ax,. = lim > — = lim — — = Jn n— Z-W n->~ n n->~ 2« ¿ ^U ,=0 <=0 f

1519

1

,• (------, 1 h-------1 1--------1 K..H-------1 )^ lim

»->“ n + 1 n + 2

n +3

«+n

Desarrollo

, p +1

-

Luego: lim Sn = íI /(x f ( x ))dd x = [I x; pdx = ------ 1 = ---------0 = ------/? + l l o p +1 p +1 Jo Jo Calcular las integrales: i2

1521

J

(x2 - 2 x + 3 )dx

Desarrollo

228

Eduardo Espinoza Ramos 2

3

i 2

(x2 - 2x + 3)dx = (—— x2 + 3x)

1i

3

h

= (—- 4 + 6) - ( —-1 + 3) = — - —= — 32333

229

Integral Definida

1526

3 dx

j:

-2 X2 - l

Desarrollo 1522

8

f

I (V2x + \¡x)dx Jo

3—

Desarrollo

f

= —ln 2 ~ —ln3 = —ln — 2 2 2 3

( y f ^ + \ f x ) d x = (— -j2x+ — y[x)

Jo

3

4 1527

1523

xdx

I ' x2 + 3x + 2 Jo

| U- ^ - d y

J,

Desarrollo

y

Desarrollo

f4 1 l —^ d y ^ \ + —y-)dy J iy Ji / f 4 1+ J y

r

J

J

2J

6

2 2

\ l x - 2 dx

= [—ln(x 2 +3x + 2 ) - —ln | -

2

2 2_ „i „ f yfx—2 d x = —( x - 2 ) 2 \ = - ( 6- 2)2 - 0 J2 3 | 2 3' 3

I

J

3 1 1 3 X + 9 ~ 9 '* =[—ln(x2 + 3x + 2) — ln | ------— 2 2 31 ¿ x + - + -o

Desarrollo

1525

dx 3 f 1 .2 2 o x2 + 3x + 2

f 1 * dx _ 1 f 1 2x + 3 ^ o x2 + 3x + 2 o x~ + 3x + 2

1 2 14 1 -5 7 --------- j=)\ = -(-j + l) + (l + 2) = — + 3 = — y ^ y 11 4 4 4

y2

1524

= —ln | ——- 11 3 = —ln|-^—Í-I-—ln|-^— 2 1 x + 1 'I _2 2 -3 + 1 2 -2 + 1

1 .2 *2 - 1

16 3

1528 Desarrollo

3

lo

3

3

1 y 2dy I -1 y +2 Desarrollo

f " ^ = = i v s í 3 j r 3= í - í “ = _ i

Jo \¡25 + 3x

x+o

= (—ln 6 - —ln —) - (—ln 2 - —ln —) = 2 ln 3 - 2 ln 2 = 2 ln -^ = ^ (7 ) 2 2 3 2 2 2 2 4

dx

V25 + 3x

2

3

V - f — d y = í 1 ( y - 2 + ^ - - ) d y = [ ( ^ — 2 y + 4 \n (y + 2)Í J -i ' y+2 2 l-i

J _i y + 2

230

Eduardo Espinoza Ramos

231

Integral Definida = (—- 2 + 4 1 n 3 )-(—+ 2 + 41nl) = 4 1 n 3 -4

2

2

1 z3dz

1531

oz8+1

Jo z 1529

dx

Desarrollo

í o x 2 + 4jc +5 +5 Desarrollo

Joz8+l Jo(z4)2+l

dx f dx | 1 —;----------- = I --------- ---- = arctg(x + 2)1 = arctg 3 - arctg 2 = arctg — J o * + 4*+ 5 J o ( j f + 2) +1 lo 7

4 |'

f '_ 4 z ^ = l

4

J o (z ) +1

lo

4

f

NOTA: Sea z = arctg 3 y = arctg

1 ,1 n n ■—arctg 1— arctg O = — 4 4 16

tg z = 3

K 1532

2 => tg y = 2

I 1see 2 a d a 11'

6

tg z -tg y tg ( z - y ) = 1+ tg tg y

z.

3 -2 1+ 6

Desarrollo

1 7

K 4

K 2

í

I4

ft

ft

i

1

sec" a d a = tga\ = tg — tg — = 1 — ■= 1 IZI 4 6 V3

tg (z - y ) = y =* z - y = arctg(-~)

6

6

75

arctg 3 - arctg 2 = arctg y

2

1533

J l-x 2

0

1530

dx Desarrollo

dx

J3x 2 - 33xx + 2

V2 2

Desarrollo 0

3

I = arcienxl

2

r-

v2 7T = arcsen------ arcsenU = —

\ll-x 2

1

x ~ z — z

I 4

> 3.5

1534 ( x ----Y ---2 4

sfi.

dx

X----+ 2 2

x-2 !4 2 1 = In | ------ Il = In — ln — = ln 2 - ln3 + ln 2 = ln4 - ln3 = ln x —l 1 3 3 2

2

dx \¡5 + 4x Desarrollo

f

^

J 2 j 5 +4 x - x 2

= f - ----- - = arcseni— J2 ^ 9 - ( x - 2 ) 2

J

= arcsen - - arcsen 0 = 3 >2 2 6

232

Eduardo Espinoza Ramos

1 1535

J.

233

Integral Definida

j y 2ay 1539 y6 + 4

í;

sen( ln x) , — -------- dx

Desarrollo

Desarrollo

1 y 2dy _ i f

r

1

3 v 2dv

3 *'í V(y 3 )2 + 4

0 V>’6+ 4

1 - l n | y 3 +>/ y6 + 4 3

f "í ew(lnX1 dx = - cos(ln x)| = -(co s(ln e)—cos(lnl)) = -(cosl-cosO ) = 1- cosí

Ji

= - l n | l + V5 | - i l n 2 = - l n | Ü ^ 3 ' '3 3 2

1540

11

x

I 4 tgxdx

J-* 4

1536

í,

2

i

Desarrollo

eos a J a

n_

Desarrollo

£

| % gx dx = - ln(cos x)| 4n = -(ln(cos

- ln(cos(- - ) ) )

« s e n la 4 _ n 1 í 4eos 2 a d. a = \ f í l—­ ■eos2a , ----------d a = (— + ----------) 2 2 4 o ~ ”8 + 4 Jo Jo = - ln(cos —) - ln(cos —)) = 0

4

1537

4

sen \¡í di¡t

í 1541

Desarrollo

f

3 ctg4\f/ d\¡/ 6

3

.

1 2 , ,

I 2 setv'xj/ dì/// / = sen y/ di - !I

Jo

i

,

Desarrollo

COS ' W I 2

( 1 - c o s - \f/)sen\i/d\j/ = (-c o si/m ---------—)r

J i -

3 I"

-

I“

f 3 ctg4y/d\j/= í 4 (eos2 y /-l)c tg 2\ i / d y f = - ^ ^ y K+(ctgii/+y/)\ ^ =

= (0- 0) - ( - l + I ) = | 3

1538

dx

í;

6

3

1542

xln x

r

í;

x ln x

= InOn x) \e

= ln(ln e 2 ) - ln(ln 3) = ln(-----) ln 3

«

1 exdx

j o l + e2* Desarrollo

Desarrollo dx

6

1------— = arcíge^, 1 ’ = arcfge , * - — J o l+ e lo 4 f

6

8

K

234

1543

Eduardo Espinoza Ramos

I cosh x dx

Jo

235

Integral Definida

(T )

Si “f” es continua en <-°°,b] y si lim í f ( x ) d x

DEFINICIÓN.-

existe, entonces definimos:

Desarrollo e-e-' 1 1 ------- = - ( e — ) 2 2 e

f cosh dx — \r ' e— +eI ' dx = e_ * - e " \ ' Jo Jo 2 ■In 3

1544

b

í

rb f { x ) d x = lim I f ( x ) d x a->-°°Ja

,

dx

(T )

J„

DEFINICIÓN.-

Si “f ’ es continua en

< - ° o ,+ o o >

entonces:

' In 2 C O S h 2 X

/•+00

Desarrollo

J f

'"3 dx

J in2 ^

f

in3

|l"3

BJ „, “Cb d X ' H „3=Win 3)- .ghdn2),

mO f ( x ) d x = lim J f ( x ) d x + lim í f ( x ) d x />->+“ J Q

NOTA.- Estas integrales son convergentes. Cuando existen estos límites en caso contrario se dice que es divergente.

1545

[I J

0

senh senh2jx d x (? )

DEFINICIÓN.-

Desarrollo f

J«

senh2x d x = ^ f

(g2t -

4J o

2 + e~2* )dx = - ( - 2.y + — ■ e

4

2

)| *

|o (? )

Jt 1 1^ 1 : ( - —+ —senh2x)\ = —cosh 2k - — 2 4

lo

4

‘

DEFINICIÓN.- Si

Si “f” es continua en /.ft (•&-£ / (x)dx = lim f(x)dx Ju °Ja límite exista. “f ’

es

f ( x ) d x = lim

2 Ja

DEFINICIÓN.-

Sea “f ’ es continua en [a,+°°>, existe, entonces definimos:

• •

f (x)d.x = lim I b—¥+oo I » <2

en

definimos

siempre que este



/ ( x ) d x , siempre

definimos que este

e ~ * ° j a+e

límite exista.

IN T E G R A L E S IM P R O P IA S .

(T )

continua

[a,b rel="nofollow">

f(x)dx

b ijm f f ( x ) d x , b— >+ooJ a

(ó )

DEFINICIÓN.-

Si “f” es una función en [a,b] exce>i.) en x = c donde a < c < b, entonces:

*b

i»c-£ rb f ( x ) d x = lim I f (x)dx+Y\m I f ( x ) d x , Ja £_>0Ja £_>0Jc+£ estos límites.

siempre que existan

236

Eduardo Espinoza Ramos Calcular las siguientes integrales impropias (o determinar su convergencia).

1 l ,£ 1 I 3 = - lim(------... 1 ---------1 ) - lim A(---------------) 1 = lim--------¡ + lim-------- 1

dx

1546

£->o

f Joo v *

í —f= = üm f = lim 2Vx| = lim( 2 Jo v x £ ~ * ° J e Vx £~>0 le f_>0

= -(-oo) -1 — + +oo = ° ° .

£-*o 1—e —1 0-1

Luego:

£— >o

^ dx j ---------—, es divergente

Jo ( x - l) 2

2Ve) = 2 1550

f

x-l|o £— >o x —1li+£

1 2

Desarrollo

1547

237

Integral Definida

2 dx

J-i x

dx rJo V i-*2 * Desarrollo

Desarrollo c2d x_ r°d x [ 2 dx r e dx h I — - lim i — + lim — J-1 x J X J () X e— »0J _J x E - + Ü X

=

f 2 dx lim In x| £->0 |_J

+

dX.... = lim f E— jÉ?L = = limarcsen xj ' *

f‘

j oVl-x2

, r £i : lim ln jcj £->0 ¡¿

£-*0

por tanto la integral es divergente. 1551 dx

1548

yfl-7

£^°

lo

n = lim (arcsen(l - e) - arcsen(O)) = arcsen 1 = — £-»o 2

= lim [ln (-e )-ln (-l)] + lim (ln 2 -ln e ) => 3

£->0

£^°Jo

r

dx x Desarrollo

i Desarrollo f

f *

, f dx 1 I1 ¿~P I1 i £i-p j — = hm — = lim -----------= lim ------ = lim(— ---- - — ) = — J o x p £->0J e X p £-* 0 (l -p )x p~l \e * - > ° l - p |£ £->0 1-/7 1 - p 1- j si p < 1549

1552 Desarrollo

/iv

J r ^ = Jo ( * - 1)

/ jv

Jo ( x - l )

j..

J l ( X - l )2

a

i—e

í — = lim ln x |

— = lim X />-»“ J i

X

11

=

lim (In b - ln 1) 6 -* “1

rdx Luego la integral I — es divergente. Ji x

1 es divergente, y si p > 1 es convergente.

Jo (x - l Ÿ 3

J]

j

»3

dx - lim f 1 6— — y + lim f Jo ( X - l )2 e->oJ,+e ( X - l )2

r

dx ~~2 Desarrollo

=

lim ln b = ln(°°) = í>-»~

21+e - l

238

Eduardo Espinoza Ramos

239

Integral Definida

1 x+ 2 ; lim —¡= arctg(—

r

a

5

1 x+2 I + lim —= arctg(—=^) \a

V5

h ~>°° V 5

V5

I 2

Desarrollo dx ¿ ~ p | fc ,bl~p ^ f •— = lim f — = lim— — I = lim(— — 1—)1=0- -i - - - -i - - - —s¡r»l Ji x p xp 1—/?Ii 1-/7 1 - p - p p- 1 r dx I — es convergente si p > J¡i x py

Luego:

1554 í

: lim ( ~ s arctg(O) — -r- a r c tg (^ ¿ ) + lim ( ~ arctg(-^=~ ) — \= arctg(O))

- S

S

S

b-~ s

s

s

1 arctg(-oo)x+ —= 1 arctg(oo) -=■

1 divergente si p < 1

S

S

2 K - 7=rarctg(oo) = —j= . Luego la integral es convergente. S n/5

dx > >1+ x 2 Desarrollo

f - ^ = f

J -oo 1+ ^

A

J-ool + X

t f

A

Jo l +

0

,

J-

dx

Ita f - V » f J( 1+ x 1+1 +X X Jo

X

Lo Desarrollo /» I . Pb ibO se n x d x = lim j s e n x d x = lim -c o s x = lim (eos b -e o s 0). Jo b^°°Ja b~,°° 10 b^°° MOO

= limarctg x| + limarctg x| |a |0 = lira (arctg 0- arcíg a) + lim (arctg b - arete 0) 71

por lo tanto la integral es divergente

K

= arctg(~) + arctg(oo) = —+ — = n . Luego la integral es convergente. 1557 dx

1555 L

x2

’2 dx

i

x ln x Desarrollo

+ 4x+9 Desarrollo

r

sen x dx

1556

dx

r

dx

r

2

í 2 dx = lim f 2— = lim ln(lnx)|" Jo x ln x c->oJ£ x ln x e->o |£

dx___ + r ~ ____ dx_

J-«,x 2 + 4x + 9 J-~(x + 2)2+ 5 J—((xx ++ 22)2+5+Jr + 5 J -2 ( x+ 2 )

+5

ln = lim[ln(ln —) - ln(ln e)] = lim ln(— —) = +°° e- > 0

2

Luego la integral es divergente.

£-»0 ln£

2

Eduardo Espinoza Ramos

240

Integral Definida

241

i 1558

2

dx

1561

L o x ln 2 x

I 2 c tg xdx

Jo Desarrollo

Desarrollo i í Ine —ln — dx f 2 dx ,. 1 \~2 = -h m ,(—1 -— -— 1 ,) = hm --------- — 2 ----- — = lim ---- — = lim --— Jo xln~ x £-*°Je x\ n x £_>0 ln jc|£ £_>0 £->0 2 ' 2 ]_ ln e + ln 2 e 1 1 1 1 = lim ------------ = - lim — ----- = - lim £->o 1 £-»o 1 1 £->o 1 1lnl —ln 2 ln 2 ln e .ln ln -.— ln ln p

n I2 r2 |2 7Ü I c \ g x d x = \ \ m I c t g x dx = lim !n(senx)| = lim(ln(sen—)-ln (se n e ))

i

le

2

2

2

£_>0Je

Jo

£— >0

= lim (ln l-ln O ) = 0 - l n 0

£->0

1562

f

e^dx

Jo

Desarrollo

Luego la integral es convergente

1559

|

í

Jo

- É L ., a > jcln x

3 . Luego la integral es divergente

í e kxdx = lim í e kxd x = lim -^—— I = —— lim(e bx- 1) = — Jo ¿j— >°°Jo b-*~ k lo k

1

La integral es divergente

Desarrollo pi>

f = lim f -ÉL— - ijm ]n(ln jc)I = lim fln(ln b) - ln(ln a)] = lim ln(——) Jo jcln* xlnx b-**> \a b->°° b->°° lna

1563

’ arctg rJo 1 + X

x IX 2 dx

Desarrollo = ln(—) = ln °° = oo . Luego la integral es divergente a

1560

(•“ arctg*

= ,.m f ” arctg*

Jo 1 + *

f " dx i -----, a > 1 Ja Jtln2 *

6~*°°Jo 1 + JC. arctg 2(°o)

D esarrollo

? " ,b = ^ arctg2b arctg2(0)^ = üm arctg_£| b— >°° 2 2lo b->°° b~*°°

arctg 2(0) _ n 2

i a

ln — rI —dx-— = ..hm r[ ----dx—- = hm ----------i f = -... i i, .. l i m ( ------------) = - l i m ----- b Ja Jtln * h-^°°Ja x \n~ x h~*°° lnxla b->~ \nb ln a f>->~lna. lnfc l• n b-1 j = lim ----- — = lim ~ -— = ------ . La integral es convergente. ln a.lnb ¿>->~ 1 lna —lna b

1564

dx

I2 U 2 - l )2)2 Desarrollo f°°

J2

dx

— ----- 7 = llm ( X 2 - 1 )2

Cb

dx

“ i ----- t

J2 (X 2 -

1 )2

integrando

f

dx

——

J (X 2 -

l)2

242

Eduardo Espinoza Ramos

243

Integral Definida

n/x 2 -

1

2; t - l

„ ,

• = —ln ------------—j=arctg — ■==-, por tanto se tiene: *3+ 1 6 6 rx

í

1

(* + l)2

1,

dx

j*fc dx rl , U + l)2 1 t 2jc-1 —— = lim [-ln —--------- + - = a rc tg — ■=Jo x +1 *-»“ Jo x +1 *->“ 6 x - x + 1 V3 V3 r

dx

—— = lim

Es decir: sec0 = x ; dx = s e c 0 tg 0 d 0 f

fsecfl. tgOdd

dx

fsec 0.tg 6>¿0

f

„

,

f

1, —r--------(*+D 1 arctg— 2b~K p A = lim (—ln + -¡= - ) - 01 — p arctg (— W r ) i->~ 6 (fo2 -¿> + l 73 V3 V3 V3

,

» O integrando por partes:

1566

=- f e

:L

2

+ta|^ é ;

f'

Jo

=

7T

n

2k

5jc2 Desarrollo

= - - l i m (—— -+ -

b->~J2 (x2 - l ) 22*—

(x2 - l ) 2

1

^ a r e tg ^ ^ ^ ^

Í¿C

V -l

i

V T Iíl

f - 3^ -

1

1

1

2 = lim f ~ J ~ ~ 2 = lim f ( - 2 5 - 4 + - ^ ) d x

Jox3 - 5;t2

e^oJe

e^oJf

x

JC-5

lim [ ( - ^ — + l n - /L _ L ) - ( - + 1„ _ L )j

2*-*“ ¿>2- l

V3

1 1

V5

= lim(— —ln x + — + — ln |x - 5 1) e-*o 25 5x 25 £

1 1

- - - r ( 0 - —+ ln>/3) = - - i- ln > /3 = - - —ln 3 2 3 3 2 3 4 1565

1

^ a r c t g W

= - - [ c s c 0.c tg 0 + ¡n | csc 0 - c t g 01|

í Luego

1

= 0+

I5 + —25 in(-4) + —25 lnO + — - + — ln (0 -5 ) 5(0) 25

10 JT +1 dx

D esarrollo f " dx Cb dx . f dx I ~ 5—- = Iwn I —-— integrando I Jo *3 + l Jo x +1 J x 3 +1

3 lim If —------ - por lo tanto la integral impropia es divergente. e->oJ£ »Je -jc3 - 5x 2 .100

1567

í

0

de acuerdo al ejercicio 1294 se tiene:

dx

y[x + 2\fx + X3 Desarrollo

244

Eduardo Espinoza Ramos

Sea /( * ) = _ --- 1—— Vx + 2^

x 2 + í[7

—

* +1

= arctg x|

7\

x +i

Luego f ------< í - ~x— , de donde

yfx + 2\fx + x 3 ~ J 0 x2 +l

f 100 dx Jo

Sea /(x ) = --------L = = = < —L - , V x > -1

Vx>O

x2 + l

i”00 dx

f '00___ dx Jo

1—

+ x3

245

Integral Definida

J - .x 2+ ^ / 7 7 i

I100

f 100 dx

lo

Jo

= arctg 100 =>

r

—---- , es convergente, por lo l

x2 + l

J - 1 A- + 1

dx 1“ n . , k n — - = arctg xl = --a r c tg (-l) = - + - = —

J-i x" +1

l-i

2

2 4

4

,

100

dx

tt=---- -t=---- t , es convergente o <]x + 2 y x + x s

r~

dx

r

dx

entonces I —----es convergente por lo tanto I -------- —....- es convergente J - , a 2+ V 7 T I

dx

1568

i

1570

2x + yjx2 +] +5

xdx

f Jo

'o 4 x 5 + \i

Desarrollo

Desarrollo

1

1

Sea / (x) = ------- r = = ---- ---------- • puesto que 2x + \fx 2 + 1 + 5 4* + 5 F

Sea /(x ) = -= ■■*....— , V x > 0 VTTí

*2 + i

yjx2 + 1 <2x => 2x + >/x2 + l + 5 < 4 x + 5

f ” xd x ^ (*“ dx , J I ,....— < I —r---- de donde se tiene:

------ r

1

2x + vx

1

---- -- ----- r

=>

f°° dx I ------- ¡ =

f” ------^ I

Ji 2jc+ V

+1+5 4* + 5

dx

Jo Vx5 +1

--------- , Pero:

f —

'

'I,

dx

f°° xdx

,

4

f~ dx f~ dx Luego I -------- es divergente, por lo tanto I -------- =====---- es divergente j> 4 jc + 5 J. 2 * + ^ n + 5

1569

f -----

1571

f1

Jo

dx

x4 Desarrollo

Sea f ( x ) = - j J = r =

J-i x 2 + Vx 4 + 1 Desarrollo

lo

2

Luego I —---- es convergente, por lo tanto: I ------ , es convergente. Jo x~ +1 Jo yjx5 +1

= -í-ln|4* + 5||°° = o = -—ln3 = <»

4

Jo x2+l

Jo x2 +l

+1 + 5 Ji4x + 5

f

Ji 4x + 5

dx r n n n I —---- = arctg .vi = -----0 = —

V l-x 4

1 i¡( l - x 2)(l + x2)

< J - ----- luego: y¡\ + x 2

2

246

Eduardo Espinoza Ramos

r de donde

JoÿTT ?

J .ÿ ïT ?

f 1 xí/x ",/ ■

3

-I1 3

J'Wl +JC2 4

h

2

f1

lo 4

•/

Jo ¿A+ v2

1574

ir

2

x1

x\E 2

n

n

rdx , . . I — es convergente, de donde

J - x"

Demostrar que la integral de Euler de primer especie (función Beta). B (p , q) =

dx

í

2

dx

sen.x , — — dx es convergente. ~ - ( l + .V )3=— ( 23 - 1) entonces l -| X ^ A es convergente, 2

. r ¿A.. es convergente. por lo tanto I Jo V i - * 4

1572

247

Integral Definida

x p~l ( \ - x ) q~l d x , es convergente cuando p > 0 y q > 0 .

Jo Jo

x ln x

Desarrollo Desarrollo

lnx Entonces

r

Sea f ( x ) = x p \ \ - x ) q

x Ir, a

í

d B(p,q) = í ; f ( x ) d x + j* f { x ) d x , por el criterio de comparación se tiene:

f

j ------- > | ~ d x de donde se tiene: j] In.r J, .xln x

2

dx f " dx I■ —-— = lim I -------= lim ln(ln x)| x ln x e->o J l+e xln x £->o Il+£

lim f ( x ) x ' ~ p = 1 y lim( 1 - x ) l~q f ( x ) = 1 x— ^0 x— »0

1 —p < 1 y 1 —q < 1, de donde p >0 y q >0 en este caso las

esto cuando -

integrales

i r dx i*2 dx Luego I —-— es divergente, por lo tanto I ----- es divergente. Ji * ln x Ji lnx

/:

J 2/ (x)dx y

i f ( x ) d x son convergentes, por tanto: 2

B(p ,q)= I x p~](1 - x)q~xdx es convergente cuando p > 0 y q > 0 .

senx , -dx

Jo 1575

Desarrollo Sea

f (x ) d x

2

= lim(ln(ln 2) - ln(ln(l - e)) = ln(ln 2) - ln(ln 1) = ln(ln 2) - ln 0 = -=o

1573

1 luego: Z?(¿>,g) = J f ( x ) d x = j 2 f ( x ) d x +

/(x ) = ~

< *

- L X2

de ¿onde

f ^ ^ d x < Jfl J?XT

Demostrar que la integral de Euler, de segunda especie (función Gamma). V(p)= I x p le Xdx es convergente cuando p > 0.

~ X2

e n to n c e s

Jo

Desarrollo

Eduardo Espinoza Ramos

248

En T (p )= I x p le Xd x , el factor e 1 —>0

cuando

t —>

»2 ___

Luego:

/»arccos2 h

Jo

x p le Xdx converge en el límite superior para cualquier valor de P, en el

límite inferior el factor e~‘ —» 1 , cuando t —» 0 y el factor

/ p' 1

»arccos2 5

k

2

sen3tdt no se puede calcular

2

Transformar las siguientes integrales definidas valiéndose de las sustituciones que se indican.

°° cuando

p < 1 y, para que sea convergente en el límite superior P debe ser positivo.

2

(senf) 3(-sen(W í = - l

\ J \ - x 2dx= i

Je

ío

249

Integral Definida

1577

J* \ / x + \ d x , x = 2t - l

(El límite se obtiene por el Teorema deL’HOSPITAL) Desarrollo NOTA.-

r(p ) =

5.4.

.3

f x p~le~xdx = lim í x p~le~xdx Jo

£ -Jx + Í d x = 2J y]2t - 1 + 1 dt = 2J V2 sit dt = 2V2 ^ V? dt

'-»“ Jo

1

C A M B IO D E V A R IA B L E E N L A IN T E G R A L D E F IN ID A .1578 Consideremos f(x) una función continua en [a,b] y x = \j/(t) continua y i (t)

i j*1

Ji Vi

dx

Desarrollo

continua en a < t < (3 donde a = y (a ) y b = \|/([i) y además la función f(\j/(t)) continua en [a ,(3], Entonces: rh

rP f (x)dx =

Ja 1576

Sea x = sen t => dx = eos t dt

f

f[y/{t)].\i/’(t)dt Ja

i

-

dx

_ 1*2 eos tdt

2V i- * 4

6 Vi -se n 4 í 7T

Se puede calcular la integral i \ ¡ \ - x 2dx valiéndose de las sustitución

_

Jo x = eos t?

*

costdt

-

(*2

eos tdt

oy

J* V (l-sen 2r)(l + sen2r) 7£

^ r2

dt

yjeos2 í(l + sen2 /) ’J^. Vi + sen2 f Desarrollo 4

Sea f ( x ) = \l 1 - x 2 =>

= yj\ —cos 2 1 = (sent)

donde \|/(t) = eos t y ij/'(t) = - s e n t

/ ( y / ( t ) ) y / \ t ) d t , donde x = eos t

1579

3 , x = senh t L 3 V 7 7 I >. Desarrollo H f In3 coshrdí f ln3 . I = ... .. ■ ■„=■ = 1 d t , donde J—V*2 +1 J'n2 Vsenh2 1+ 1 Jin2

250

Eduardo Espinoza Ramos

251

Integral Definida x = senil t => dx = cosh t dt

e' - e ~ ‘ jc = senh t = ---------

o , a= b-P para t = 0 => a = B ; t = 1 =» -----------a =b~a

3 4 para x = — , t = ln2, x = — , t = ln3 4 3

por tanto: x = a t + p ; x = (b - a)t + a Utilizando las sustituciones que se indican, calcular las siguientes integrales:

K 1580

i 2 f ( x ) d x , x = arctg t Jo

1582

Desarrollo

4 dx

í

0

\ + síx

Desarrollo x = arctg t => dx =

para x = Ü =>

dt

1+ t 2

Como x = t 2 =$ x = t 2

0 = arctg t => t = 0

71

x ~~2 ^

Tí

— = arctSí

además para x = 0 => t = 0 ; x = 4 => t = 2

t = °°

Luego: f / (x)dx = f /(arctg t) dt 1+ t 2 Jo Jo

1581

Jo 1 + f

, ,

Jo

l+t

o'

4 dx

I

x = a t + p que de por resultado que los límites de integración se hagan

t

yfx = 4 -2 1 n 3

0 y 1. Desarrollo

b

í

Jo 1 + Vx

1

(1- - — )dy

12= 2(2 - ln 3) - 2(0 - ln 1) = 4 - 2 ln 3

Para la integral i / ( x ) d x , (b > a) indicar una sustitución lineal entero Ja respectivamente iguales a:

f 4 d x f22t d t 0 f 2 ----- ■== ---- = 2

f (x ) d x , como x = a t + (3, la sustitución lineal entera entonces buscaremos

a y P para que los límites de integración sean 0 y 1 . Luego: a = a t + P ==> t = ——— a b = a t + p => t = - —— a

1583

I

x - 2 = z3 U - 2)3 +3 Desarrollo

Como x —2 = z 3 => dx = d>z2dz Para x = 3 => z = l ; x = 29 => z = 3 f 29 (x —2)^dx Luego; J -------- = ( x - 2 ) 3 +3

f 3z 23 z 2dz

=

z4dz

252

Eduardo Espinoza Ramos

253

Integral Definida 2dz

= 3 f (z2 - 3 + - ^ — )dz = 3(—— 3 z + - i a r c t g - ^ ) | Ji z +3 3 V3 V3 I

r ~ ± —

Jo 3+2cosf

2 - 2z + 1+ z 2

Jo

= 3 (9 -9 + ^ a r c t g - | ) - ( I - 3 + ^ a r c t g ( ^ ) )

1584

2

+8 = A - 8

,

V5

J * J í z ^ , 8+_ U

" J3

2j3

í 1586

Desarrollo

Luego:

I

«o

1585

i

i

V5 o

5

V5

n

dx

1o 1 + a 2 +sena i 2 x

Desarrollo , ademas senx =

t

Vl+í2

2

il

\lex —l d x = I —^—- = 2 I (1— -— )dz = 2 (z -arc tg z) = 2 - — Jo z '+ l Jo z +1 lo 2

—


1+7

_ r _ _ * _ = _ J L _ iim f

Jo l+a2sen2x Jo a2f2 Jo (l+a2)í2+l

• In2 ____ Jex - l d x = 2 - ? Jo * dt o 3 + 2cosí

fc->~V5

^¡5

o 3 + 2cosí

rf

,

*-*-Jo z +5

K Para x= 0, t = 0 ; x = — , t = °°

H

9

V5

1+ t2

+1

Para x = 0. z = 0 ; z = ln 2 , z = l y--

dt

V5

, dt Como tg x = t => dx = ------

^

z

pln2

K

C x-2 )3 +3

f ln2 ------ylex - \ d x , e x - l = z 2 Jo

Como e x - l = z 2 => e*dx = 2zdz. ; dx =

Jo z +5

= 2 lim (4 = a r c t g — j=arctgO) = \ arctgc*-Q = Z L

2 ^

ib

r ~ » ± ¿ T -

\[\ + a2

Jo(l+a“)r +1

1 + f2

=■limarctg(Vl+a2í)||o =Vl■+1a 2- lim(arctg\l\ + a 2b - arctg0)

t ®2

yfl + a 2 Desarrollo

Como tg —= z => dt = ■ y eos t = -—— 2 1+ z ' Para t = 0, z = 0 ; t = rc, z = °o

1

r[arctg(oo) - arctg(O)] = —7==Ltuvv5vvv/ Vl + a 2

1+ z2

n

2

-

dx

f0 1+ a2 sen2 a

K 2\]l + a 2

7T r2v l

254

Eduardo Espinoza Ramos

Integral Definida

Valiéndose de sustituciones adecuadas, calcular las integrales:

2V 2 0 - 11secg tggdg = f 3tg20J0 f, 2. ^ *2- 1U , = ff l3 Vsec Vsec20 Ji * Jo sec0 Jo

£2

1587

255

= f 3(sec20 - l ) í /0 = (tg 0 -

Desarrollo

Jo

0)|3 = ( - j 3 ~ ) - ( 0 - 0 ) = > ¡ 3 ~ lo

3

3

Sea x = sen 0 => dx = eos 0 d0 í 2^ ± d x = J Í - -

/. Para x = — 2

=* B = — \ 4

x = 1 => 0 = — 2

1589 J:fl

x2

JI

sen

0

J l sen

ln5exy[e*—Í

1

ex +3

, . 2 . 2zdz e - l = z => í/x = ----- 1+ z

= J^2c tg2e de = J 2(ese20 - 1)¿0 = (-£■tg0 - e )|2 4

4

=(-ctg0-e)

1 X2

para x = 0 = » z = 0 ; x = ln5 => z = 2. Luego:

T

F ' d E l « .

2= ( - o - * ) - ( - i - - ) = i - - + - = i - -

lí

4

1588

3

0

n

k

J 2i

X

Desarrollo

Luego:

-

Ji

2

4

2

4

Jo

4

ex + 3

Jo z~+4

1+ z

Joz"+4

Jo

z +4

= 2( z - l ar ct g- ) | = 2(2 - 2 arctg ( 1) ) - 2(0 - 2 arctg (0)) = 4 - n 2' o

dx = 1 ----

4 1590

,2V ^ ? Ji x

r ------ % = Jo 2x + y]?>x+ \ Desarrollo

Desarrollo Sea x = see 0 => dx = see 0 tg 0 d0 Para x = 1 => 0 = 0 ; x = 2 => 0 = j . Luego:

256

Eduardo Espinoza Ramos

Para x = O => z = 1 ; x = 5 => z = 4.

257

Integral Definida

Luego:

,

7 + 2V7 . 9 , , 7 + 2^

= ln------------ln—= l n ---------i»5

*4

j

—zdz

2

*

f ___ ÉL___ = f _ _ J _______ 2 I Ji 2 /_ _ 1n) +, z Ji1 (z 22 —

Jo 2x + \¡3x + l

1

+ ~’z 2

1592

4

1

4

1

9

dx

!)2 j; (1 + * 2)2 -1

2

Desarrollo

- 2 f ------— ----- = 2 j* (— + - ^ - ) d z = [-ln(2z -l)+ -ln (z + 2)J J, (2z-l)(z + 2)J, 2z - l z + 2 55| 1

2

4

4

í — ÉL— =

J (1+ x2)2

4

¿e acUerdo al ejercicio 1297

2(1 + x )

2

= (—ln7 + —ln6) - ( —lnl + —ln3) = -ln 7 + - ln 3 + - l n 2 - - l n 3 f

dx

i(1 + jc2)2 J-i(l +jc2)2

1 4 1 = - l n 7 + —ln 2 = —l n l l 2 5 5 5

dx

i

x

1593

1

1 n

1

arctg(l)

1

arctg(-l)

4

2

4

2

= ( —+ — - — ; - ( —- + - — - — ;

x" dx

Jo

x\l x ¿ + 5x +1

Desarrollo |n>I a

Sea x = - => dx = - É t

f ' ] a x - x 2d x = f j - — ( x - ~ ) 2dx = - [ ( x - —) \ l a x - x 2 + — arcsen(— -;j Jo Jo V 4 2 2 2 4 a lo

t2

2

Para x = 1 => t = 1 ; x = 3 => t = 3 i

.É

f ____ é l ____ = fa xsI x 2 + 5x +\

I

-)|

2

Desarrollo

Ji

arctgx l1 I

2(1 + xjc2)) +

= —+ arctg(l) = —+ — 2 2 4

Calcular las integrales: 1591

-

Ji l O

_

/2

“

n

,2x-a I 2 °2 2* - a Ia = (------------ v a x - x + — arcsen--- ) 4 8 a lo dt____ = r ' 1_ - U Vr2 +5í + l 3 'I

di

2

5,2 21 2 —~4 ln

- l n | ( - + í) + Ví 2 + 5í + l |j j = l n | - + >/7 | - l n | ^ - + ^ y -1

2

2

2

= (0 + — arcsen(l))-(0 + — arcsen(-l)) = — arcsen(l) = ——-

1594

ío

dx

5 -3 co sx sx Desarrollo

258

Eduardo Espinoza Ramos c . x 2 dz sean tg — = z , dx = ----- cosx = 1+ z fr2n

¿ir dx

rc2*

2 dz 1+ 722

259

Integral Definida

<•0

1- z 2 1+ . 2

por lo tanto

I

0O f{x)dx = I f(x)dx

J-a

i r2K i *

i

i2® i if-* 2dz

... (2)

Jo

*a

„ 1i„2¡2” tc 1x j

*a

reemplazando (2) en ( 1 ):

/ (x)dx =

2 j f ( x ) d x en forma análoga para

J-a

o

Jo

f(x) impar.

l +z 2 1596

v In Jt = —arctg(2 tg(-))| = arctg2tg(-)-arctg(2tg{0))

If “ e -*2J dx = 2„ f " e

Demostrar que:

J-o=

dx = If “ — p —

Jo

Jo V*

Desarrollo . 7T _ 7T - arctg oo - arctg(O) = —- 0 = —

1595

Demostrar que si f(x ) es una función par

_ 2

/(x ) = e x es simétrica respecto al eje “Y”.

Ja

contrario f(x) es una función impar L

•0 1 e~x e x dx = I eé~xx dx + I ee~xx dx = I ee~xx dx + I e x dx

/•a /•a ! f ( x ) d x = 2 j / (x)dx . Si por el

J-oo

JO

f(x)dx = 0

■i

Desarrollo rr>

J -a

j»a

1*0

f(x)dx= \

f(x)dx

/(x )d x +

J-a

J-eo

Jo

Jo

JO

Jo

e x dx ; por la simetría ahora demostraremos que:

. Sea z 2 = x => dx = 2z dz

2 i e~x dx = i e~x

...( 1 )

Jo

V*

Jo

Como z 2 = x => \ fx = z como f(x) es par => f(x) = f(-x) ~ xdx= rI e —=

Sea x = -y => dx = -dy I / (x)dx = - I

Jo

J-a

f j-a

f(x)dx = -

f Jo

Jo Vx

/ ( x ) d x , para x = 0 => y = 0; x = -a => y = a. Luego:

f ( x)dx = -

f /(-y X -y ) = - f f ( y ) - ( d y ) Jo Jo -

= Í f ( y ) d y = í /(x )d x

Jo

Jo

1597

_

Demostrar que:

= 1r e—-dz 2=z2. I en ~r ífe -z2 = 2 ,I eo f ”dx Jo 2 Jo Jo

1 dx J.C C 2 sen x , | ---------- = I ------- d x

J()arccosx J()

x

Desarrollo Sea arccos x = z => x = eos z ; dx = sen z dz K

Para x= 0 => z = — ; x = 1 2

z=0

260

Eduardo Espinoza Ramos

1

f dx Jo árceosx

o

[ -sen z d z _

J* 2

z

1

Luego:

k

5.5.

IN T E G R A C IO N P O R P A R T E S ,Calcular las siguientes integrales, empleando ía fórmula de integración por partes:

-

C dx f 2 sen x , I -------------= ---- -dx Jo árceos x J 0 x

£ 1598

re

o

f senz ^ _ j*2 s e n z ^ _ f 2Sen;c¿t Jí z J0 z Jo x 2

261

Integral Definida

1599 £

i,

x eos x dx Desarrollo

Demostrar que: I 2 /(senx)rfx = j ~ f (eos x)dx Jo Jo

u = x => du = dx

Haciendo

dv = c os x dx => v = senx

Desarrollo

n

Sea z = senx =$ V l - z 2 = eosx

í dz = eos x dx =>

k

x c o s x d x = x sen jdp - f sen xdx = xsenxi 2 + eos xl le !c lo Jo

— = dx Vl- z

\l 2

.

( 7Z

TZ

TT.

■(jesen a' + cosjc)| = (—sen— i-eos —) lo 2 2 2

para x = 0 => z = 0 ; x = -~ =s> z = 1

.

7t

2

1600

<•1 í 2 / (senx)dx = í f ( z ) - r ^ = Jo Jo Jvi1-~z7 2

... (1 )

í

ln xdx Desarrollo

sea y = eos x => dy = - sen x dx

Haciendo

K= lnx => d u = — x

dv = dx => v = x

como J l - y 2 = se n x =? — r¿ L = = dx J* lnxdx = x in x | - J* dx = (x ln x -x )J = ( e - e ) - ( O - l) = 71

para x = 0 => y = 1 ; ■*= — = ^ y = 0 1601

Tí

f 2/(C0Sx)dx= f f ( y ) ( - ! É = ) ) = Í l f ( y ) - Í L = = f'/(z )-^ = ... (2)

Jo

Ji

y j l —y '

í.

de (1) y (2) se obtiene:

*'°

y¡l-y2

*

| 2 /(senx)dx = i 2 f (cosx)dx Jo

Jo

*'°

f x3e2xdx Jo

Desarrollo

v i-z 2

u=x

du =3 x 2dx

Haciendo dv = e2xdx => v = -

_

.

7t

(0 + 1) = - + 0 -1 = ---- 1 2 2

1

262

Eduardo Espinoza Ramos 263

Integral Definida f x 3e2xdx = ~ - e 2x\ ¿

Jo

lo

x 2e2xdx 2 J0

1603

u. = x

Haciendo

=$ du = 2xdx „2x dv = e2xdx => v = -

Io

xe~xdx Desarrollo

u = x => du = dx dv = e~xdx => v = -e~x

í x 3e2xdx = ( ~ e 2x- ~ x 2e2x)¡ + - f xe2xdx Jo 2 4 ¡o 2 Jo (— e2*

xe~xdx = -xe~ r + i e 'xdx = - e _Jt (x +1),

A 2*)! o

4

i >+1 xe~xdx + lim f xé~xdx = lim - e x(x + 1)1 = - lim (—-— 1) = — (0 - 1) = 1

í

Jo e2x

3 3 2 3

------ ( X ------- X

2

fJo

e2

4 lo

88

+ — X -------) |

2

2

3

i-»00Jo

h~>°°

‘

¿>2 +3

= -----+ - = ------------

8

1604

í ,o

e_flJtcosbxdx, (a > 0) Desarrollo

sen xd x Desarrollo

k = e_ du = ~ ae axdx sen ¿x dv = cosbxdx => v = -

u = e x => du = exdx dv = senxdx =» v = —cosx

J

f“ I e

e* sen xdx = -e* eos x + | ex eos x d x í ‘

Jo

| u = ex => du = exdx

I ex sen xdx - ~ex cos+ ex sen x -

¿>

¿Jo

=> d u = - a e - axdx

dv = sen bxdx => v = -

eos ¿x

ex sen xdx = — (sen x - eos x) f°° -a* , j e “ senfcx a - e ^ c o s b x | e cosbxdx = --------------+ —(----------- —

_ Luego:

, . e~“ seniw a f “ _ai , , cos bxdx = ---------------- 1— j
u = e-“

[dv = eos xdx => v = sen x

n

ts>¡

1602

3 1'

Luego:

r* ex ¡- e2 i J ex sen xdx = — (se n x -c o sx )l = — (1) — (0 -1 ) = e Jo 2 lo 2 2

Jo x

b

b

b

a f” I e

^Jo

3 2 /•00 sen b x - a e cosbx = £e “ ------------------------- 1 — — | e r '^ J o

cosbxdx)

cosbxdx

264

Eduardo Espinoza Ramos

f e - eosbxdx = b2

senbx-ae~ax cosbxl~

1606

¿ 2lo

Jo

fV a*eos bxdx = L l i b s e a b x - a c m b x ) |°°_ 0 - ( 0 - fl )=; Jo

b2 +a~

lo

a2 +b2

265

Integral Definida Demostrar que para la función Gamma es válida

la

fórmula

de

reducción: T(p + 1) = P I\p ), p > 0, se deduce que F(n + 1) = n! Si n es un número natural.

a a 2 +b 2

Desarrollo La fu n c ió n Gamma por definición es: T (p) = I e 14u p ldu para u > 0

1605

l0

Jo

, e ■ax ‘“ senbxdx, a >0

sustituyendo p por p +

Desarrollo u = e ai => du = - a e ‘“dx

| e Jo

-a x

I

\ d v = e~udu => v = -e~“

e “ c o s ííjr

.

r ( p + \) = -e~u.up\ + p [

fl f ° °

senfaxdr = ---------------------I e “ cos bxdx b b Jo

lo

j , , senbx dv = eos bxdx => v = ----------

senfrxdr = - f _ T cos^

Jo

cuando u L u e g o :

T(n + 1) = n l\(n -

72 a 2 +b2

= -0 +

b

b

a2 + b 2

a2 + b 2

'

~

e

*--------i ---- 9------ t

a +b

e "up ldu

2)... 2.1

... ( 1 )

T(n + 1) = n!. K

_ax / beosbx + a sen bx ~

Jo

1) + 1) = n(n - D R n - 1 )

r( n + 1) =,n(n - l)(n -

.6cos fox+ a s e n to a 2 f~ ' = - e " ( ---------- ----------- ) — - e sen fotdx fo2 Jo ax/beosbx + asenbx^

+

T(p + l) = pHP) de esto se obtiene:

ü r ^ s e n f o + £ f* H— I eac senbxdx

¿Jo ¿>Jo

_

e~uu p~ldu

Jo

como p > 0 => e~" - * 0 , cuando u -> «> puesto que p es fija, e~“u p - > 0 ,

u = e ax => du = - a é axdx

f

e~uu pdu , integrando por partes:

Jo

j w = u p => d w = p u p~'du

eos bx dv = senbxdx ==> v = — b f

1 T(p + 1)=

|0

1607

7T_

Demostrar que para la integral /„ = I 2 sen" x d x = I eos" x d x es válido la

Jo

Jo

fórmula de reducción: /„ = ----- /„_2 • Hallar I n , si n es número natural, n

utilizando la fórmula obtenida. Calcular / 9 e / ,0

266 Eduardo Espinoza Ramos

267

Integral Definida

Desarrollo K Se conoce:

J

1608 ,#1-1 2sen" dx = " ' x'cosx ,

X(¡X

f

Calcular la integral siguiente empleando reiteradamente la integra! por partes: #(
*/’_1(1 - a )9-1 d x , donde p y q son enteros y positivos.

Jo

Desarrollo J

n

u = x p~] => du = ( p - l ) x p~2dx

n J

(l-x)q dv = ( \ - x ) q 1dx => v = —

K

Luego:

/, , P W

x dx -

f f ^ ' ^

Jo

n

f?

n J0

lo

B(p , q)= í xp~l ( l - x ) q~l dx = - - — (1 A) I + ^ —!- f vp 2(1 - x f d x

'■ = J . 2” n" x d x ‘ t

1 / , 2sra"'2 *

n

«

-

«i

u = x p 2 => d u = ( p - 2)xp 3dx

n J0

lo

*

ñ -x f^ dv = (1 - x)q dx => v = ------------<7 + 1

c° s" x d x = t

1 j ? ' “ 8""1 x i x = » = p e » ' ■ > * = —

u

Jo

f§ £ " sen" x d x = i 2cosn x d x = f 2 cosn ;r¿r

Jo

*'° n ^ I - f 2 «Pn" yiffr Jo

v 2 ... (2 )

2 A . . ( w - 2)« - 2

q + 1 a + 1 Jo u = xp 3

2 .4 ...(n -3 )(n -l) ’ nim par y

n>1

" P“ y ” >>

f

B ( p , q ) = P - l . P — ^ f x p- \ \ - x ) q+xdx

Jo

1 -3- - ( « - 3 ) ( /l- l) Jt

Í X ^ - 2)n

n

B( p , q ) = p - L [ ( - x p- 2 {l )| + ^ - 4 q<7+ 1 lo <7+ 1 Jo

de ( 1) y (2) se obtiene:

/„ =

lo

B(p,q) = ——- f x p l { \ - x ) q dx <7 Jo

Haciendo •!

'• ‘ r

<7

Jo

-

Haciendo

du = ( p - 3 ) x p 4dx

a - x ) q+2 dv = (l - x)q+l dx => v = — c¡ + 2


268

Eduardo Espinoza Ramos

4a - * r 2d*

B(P, q ) = J L 2 ' P z 2 ' P z l | V q q +1 í + 2Jo

269

Integral Definida

donde m es el valor mínimo absoluto y M es el valor máximo absoluto de la función f(x) en el segmento [a.b]. El particular cuando y(x) = 1. se tiene:

continuando con este procedimiento se llega B (p , q) = (P + q - l ) '

... (2)

m ( b - a ) < I / (x)dx < M (b - a) 1609

Expresar^

/"'"1

por

medio

de

B

(func.ón

Beta)

la

integral

=J0sení” XC0S” x dx ’ Si m y n son números enteros no negativos.

De (1) y (2) se puede sustituir por sus respectivas igualdades equivalentes.

Desarrollo f(x)y/(x)dx = f ( c ) í iff(x)dx y j* f ( x ) d x = f { $ ) ( b - a ) donde c y Ja *a Ja ¡;, son números que se encuentran entre a y b.

Sea / = sen2 x => l - t = cos2 x dt =

f

2 sen x. eos x dx => dx = ~ ___ — ©

para x = 0, t = 0 ; x = -

t=

2

In,m= i

1 Ch El número u ==-----— —I | f ( x ) d x se llama valor medio de la función f(x) b - a Ja en el segmento a < x < b.

1 m

tt

VALOR M EDIO DE LA FUNCION.-

n

2senmx.cos" x d x = f — ^ ~ tÍ í dL

Jo

1f * m~* =41 t 2 2 Jo

Jo 2 -2(1 _ 0 2-

1610

/

.(1

«-1

Determinar el signo de las integrales siguientes sin calcular las: a)

2

2

2

í X3dx J-i

b)

r x eos xd x Jo Desarrollo

5.6.

T E O R E M A D E L V A L O R M E D IO a) (T )

Graficando f ( x ) = x

ACOTACIÓN DE LAS INTEGRALES.Si f(x) < F(x) para a < * < b, se tiene

f f ( x ) d x < f F(x)dx ; Si f(x)

Ja

Ja

y vj/(x) son continuas para a < x < b y además \|/(x) > 0, se tiene: w j y /(x )d x< j f(x)y/(x)dx<M j

y( x )d x

...( 1 )

Luego

rI x d x , tiene signo más (+).

c)

f 2n sen x ------ dx Jo x

270

Eduardo Espinoza Ramos NOTA:

271

Integral Definida

Para determinar el signo de la integral sin calcular, se hace el

Desarrollo

gráfico en el segmento indicado.

V x e [0,1] => x 2 < x , luego x 2 sen 2 x < Jrsen'2 x

La región de la parte superior del eje X es positiva, y la parte inferior del eje X es negativa.

tomando integrales

I x 1 sen ~ x d x < I x sen 2 x d x .

Jo

Jo

b)

Haciendo la grafica de f(x) = x eos x Luego el segundo es mayor.

c)

J e x dx o J exdx Desarrollo V x e [1,2] => x 2 > x , de donde e x~ > e x , integrando de 1 a 2 J ex dx > J exd x , luego el primero es mayor.

Hallar los valores medios de las siguientes funciones en el segmento que se indican.

para c) tiene el signo mas (+). 161!

Determinar (sin cálculos), cual de las siguientes integrales es mayor.

1612

f( x ) = x 2,

0< x < 1 Desarrollo

a)

í yj 1+ x" o j" xdx

Jo

El valor medio de la función es:

Jo

Desarrollo X3 ! 1

V x e R , \ + x 2 > x 2 ; yjl + x 2 > x

tomando integrales

b) Jo

x~ sen 2 xd x o

I \j\ + x~dx > f x d x . Luego el primero es mayor

Jo

Jo

x sen 2 xd x

Jo

1 I f ‘ x l dx = u = ----3 lo 1 - 0 Jo

i

3

1 f* u = ------ I / (x ) dx, luego: b —a J a i

u=— 3

i r u = ----f(x)dx b-a j a

1 f* 1 Iff u = -----------I (a + ¿eos x)dx = — (ax + bsenx) I 7C-(-7t)J-„ 2k \-n

272

Eduardo Espinoza Ramos H = -í-[(OT + 0) - (-flTT + 0)] = — 2n 2k

1613

273

Integral Definida

1 f ’r l - c o s 2 x + 2cos 2 2x , 1 . 0 x sen4x dx = — (x - s e n 2x + —+ — - — ) . . i r1 4 4 k 2 8 “ Jo

f(x) = a + b eos x, -7t < x < n „ =j _ w , 4n

Desarrollo El valor medio de la función es:

1616

ur

L f ‘ / (x )dx, luego » -< i J .

n - ( - n ) J_„

(a + bcosx)dx

0+ í + o ) = ^ 4 2 8?r 8 ^ <ÍX

Demostrar que la integral í

Jo j 2

está comprendida entre

+x-x2

~ = 0.70 s[2 Desarrollo

1

1

9 u = - - ( a x + b senx) = — {(a + 0 ) - ( - a n + 0)] = — . Luego u = l-jt ¿Tt 2n 1614

I*

f (x) —sen í x ,

1

0< x < n =*

Desarrollo E! valor medio de la función es:

1

n

1615

Jn

1^ 1

I

u = -------i s,sen x dx

=*

=* 4

„

1 7r 7r'"2

4 4 4

2 4 .

¿ —<

i

i < -p r =>

x —x2

1 r El valor medio iio de la función es: u = -----f ( x ) d x . Luego sse tiene: b-a ja i r * l CT f I ^ ¡ 2 x j , dx ii = ------ | sen 4x d x = — I *-O j0 ffJ 0

- ( t4 , 2 s o 4

2

4

=> 2 < 2 + x - x 2 < — => V2 < yjl + x - x 1 < ^ 4 2

/ (a) - sen 4 x Desarrollo

s

- I + £ < £ - (¡t- I ) i < 2 =, 2 S í - ( x - i , » S i

71-0 J 0

eos 2* I r sen 2*.!*' -dx = ~ ( ~ «2 4 '|0

0< x < l

1i 1

i

- 2 ÍX ~ l-2

-

1

f

b -a Ja

para x e [0, 1] =>

2 +x - x2 = — (x — ) , 4 2

2 I1

rf '

V2

dx

3

loJo y¡2 + X - X 2

-

< f

dx

3 Jo v2 + x —x^

2

[ 2J r —¿X< |

Jo 3

,

dx ... .....= < | —7=

Jo -\/2 + x —x2

Jo x/2

< x ■' V2 I0 <_L

V2

1

luego la integral [ ,

^

■ esta comprendida

Jo v2 + x - x 2

entre —= 0.67 y —= = 0.70 ahora el valor exacto es: 3 V2

274

Eduardo Espinoza Ramos

x -= arcsen(——

r - r f i ^ . Jor

Desarrollo = arcsen(— —-)|

Se oonoce que: -1 < cos x < 1 ; -3 < 3 eos x < 3

I

" 0 \ 2 +x - x

1

1

7 < 10 + 3 eos x < 13 ; — < ------ ------- < 13 10 + 3eosx 7

1

= arcsen(-) - arcsenf— ) = 2 arcsen. 3 3 3

r 2K dx

2n

•i

i,

dx

1 => 0 < x 2 < 1

4 < 4 + x 2 < 5 => 2 < V4 + x 2 < Vs

Jo

Como la función crece monótamente

Jo

n_

8+ x 3r G [-1,1] => -1 <

Jo

X <

»-

1

0
=> 7 < x 2 +8 < 9 =>

f 1 dx

f‘

dx

9

A-3 + 8

<7

1621

f 1 dj

Jt

1 £

2 lo

Jo _______ _______ ;luego: 0 < I < —

32

2 _2

32

11

X

Desarrollo

*dx. < <£ —I [x*j 12 ,I* s f, _ ;----91i -ii J -i - ! xx3 j +8 7|_, 7 1., 1619

n_

n i4

.1

Luego:

2 re

Jt_ Jo

Jo

- l < x 3

0 < ^/tgx < 1 para x e [0 ,^ :

0 < í 4 x^tgxdx< í 4xdx ; 0 < | 4 x^ tgxd x < — | 4 Desarrollo

X

^ 2n

0 < x ^ tg x < x tomando integral

dx

Si

2n ^

Desarrollo

í 2dx< í \¡4 + x 2 < f \¡5 d x . Luego 2 < 1 < \fs

í,

2n

j 4 xyjtgx dx Jo

1620 V x e [0,1] => 0 < x <

1618

„ r K dx

K

Desarrollo

Jo

dx

— < I ------------- < — , por tanto: — < / < -— 13 Jo 10 + 3cosx 7 13 7

\¡4 + x 2dx

=>

r n

Luego tomando integrales se tiene: I — < ------------- S J0 13 Jo 10 + 3cosx Jo y

Acotar las integrales:

1617

275

Integral Definida

dx

10 + 3eosx

f 21 < dx f

9 9 jJ_i xJ +8

2 7

„ , => —< J —------- < —. 97

1 V2 2 , 2 En forma análoga a los demas —< 1< — —< / < —

Por lo tanto: 1622

r• 200n eos x Integrando por partes, demostrar que: 0 < j ------ dx< Jilooít x ejercicio 1609, por tanto dejamos para el lector.

100;r

análoga al

276

Eduardo Espinoza Ramos

277

Aplicaciones de la Integral Definida

C A P IT U L O V I

▲y Y = f2(x)

6 . _____A P L I C A C I O N E S D E L A I N T E G R A L D E F I N I D A

Y = f1(x)

6.1.__ AREAS DE LAS FIGURAS PLANAS.-

[ f 2( x ) - f t(x)\dx. Si las curvas se dan

Para a < x < b tenemos: 5 = Ja

0

en forma paramétrica: x =

EL AREA EN COORDENADAS CARTESIANAS.-

limitado por esta curva y dos verticales, x = a e y = b, respectivamente y por el segmento del eje X, se obtiene: Se determina por la fórmula S = í f ( x ) d x , donde y = f(x)> 0, que es Ja S = f i¡/(t)(p\t)dt, donde tx y t2 J'i

el área del trapecio mixtilíneo, limitado por dicha curva, dos verticales en los puntos x = a y x = b y el segmento a < x < b.

se determinan de las ecuaciones: a = tp(ti ) y b = (p(t2) (tp > 0) en el segmento [tx, t 2] (2 )

AREA EN COORDENADAS POLARES.Si la curva continua, se da en coordenadas polares por una ecuación r = f(\|/), el área del sector AOB, limitado por el arco de la curva y los radios polares OA y OB, correspondientes a los valores
B_ En un caso más general, cuando el área S de la figura limitada por dos curvas continuas y = f ¡ (x ) e y = f 2 (x) y por dos verticales x = a y x = b, donde

/ , (x) < f 2 (x)

r-

278

Eduardo Espinoza Ramos

279

Aplicaciones de la Integral Definida [ f(V)]2dy/ 1623

Luego: para y = 0 ; l n x = 0 => x = l S = J y d x = ^ \ n xd x = ( x l n - jc)|

Calcular el área de la figura limitada por la parábola y = 4 x - x 2 y el eje de abcisas.

S = (e ln e - e) - (1 ln 1 - 1) = (e - e) - (0 - 1); luego S = 1 u 2

Desarrollo y = 4 x - x 2 la intersección con el eje X es: para y = 0 => 4 x - x 2 = 0 ; x = 0 ; x = 4 como y = 4 x - x 2 => y —4 = —(x —2)2, es una parábola

\

y = 4x - x2 1625

Hallar el área de la figura limitada por la curva y= x(x - l)(x - 2) y el eje OX. Desarrollo

= f y d y = f ( 4 x - x 2)dx = (2x2 Jo Jo

3 lo

=(32-— ) - 0 = — 33

i c 32 2 Luego: 5 = — u ~ 3 1624

Calcular el área de la figura limitada por la curva y = ln x, el eje OX y la recta x = e. Desarrollo 4

Hallaremos la intersección con el eje X de y = ln x.

11

v4

12

5 = (------x ' + x H + (------+ x3 - x 2) 4 lo 4 li

280

Eduardo Espinoza Ramos

S = ( I - l + l)-(0)+ ( J £ + 8 _ 4 ) - ( - I + i - i ) 4

1626

4

281

Aplicaciones de la Integral Definida

.•.5 = i + I = I = I ¡<2

4

4

4

2

2

Hallar el área de la figura limitada por la curva y 3 = x , la recta y = 1, la vertical x = 8.

Desarrollo

1628

Calcular el área de la figura comprendida entre la curva y = tg x, el eje OX, n las rectas x = —

3

Desarrollo

,i y = tg x

Y J y3=

-V

=>

y = 2fx

A

( y - l) ¿ x = J (< /I-lW x = |j c 3 |X- x j 8

S = 2 (1 6 -1 )-(8 -l)= — 4 4

1627

- i 4l ;

lueeo:

S

/

u2 4

-

X li c j|s

/ t í l S

i i i 1K 2

r X

—

3 tg xdx = ln(cos x)| ’ = -(ln (co s^ ) - ln(cosO)) =J lo 3 Jo

Calcular el área de la figura comprendida entre una semionda de la sinusoide y = sen x y el eje OX.

S = -( ln —- l n l ) = - ( - l n 2 ) . Porlotanto: 5 = l n 2 M 2

2

Desarrollo '=

í y d x = Jor sen x dx = c o s J Jo

lo

Por lo tanto:

S =2u2

1629 = - (eos 71 - eos 0) =

-(-1 - 1) = 2

Hallar el área de la figura comprendida entre la hipérbola verticales x = a, x = 3a (a > 0) y el eje OX. Desarrollo El grafico de xy = m

es:

xy = m 2 , los

282

Eduardo Espinoza Ramos

283

Aplicaciones de la Integral Definida = 0 - a 2 arctg(-°°) + a 2 arctg(°°)-0 = 2 a 2arctg(°°) = a 2n

S

por lo tanto: 1631

O O S =a~K u~

Calcular el área de la figura limitada por la curva y = x 3, la recta y =

8 y el

eje OY. Desarrollo 3 El gráfico de y = a es: y < II

00

/y= / y

S - m" (\n?>a - \n a) = m 2 ln 3 porlolanto:

S = w 2 ln 3 « 2 /

1630

0

X

Hallar el área de la figura comprendida entre la curva de Agnesi. y = Como y = x

x 2+a2

y el eje de abcisas. Desarrollo

5=

El gráfico de y = —------ es: x 2 +a2

1632

=> x = ^Jy

~ f.8 8 í*8 r3 -4■ I8 3 Aífv= l [ y d y = - y 3\ = - ( 1 6 - 0 ) . Jo Jo ' 4 ’ lo 4

Por lo tanto: S =

Hallar el área de la figura limitada por las parábolas y “ = 2px y x~ = 2py Desarrollo

J—

f J - ~ a +íz

f” _ f L . A+ J ^ x +a Jo x ~ + a

Y , y-, =

7 2 px

L _ ( 2 p , 2 p) S = lim i — a a ~’~™Ja x~ + a

x f /

2 dx+ lim f - - ^ É L = lim arctg—I + lim a arctg-

o X +13“

X2

a-»-«

^ ^

aV™ (a atcíi= a ~ arctg(G))+ lim (a 2 a r c t g - - a 2 arctg(O)) ¿7 /]

12 u ‘

2p

X y2 = 2px

284

Eduardo Espinoza Ramos

285

Aplicaciones de ¡a Integral Definida

Buscaremos la intersección entre las curvas y 2 = 2 p x, x 2 = 2py

- 2 py =>

como x

X4 V

- Reemplazando en y 2 - 2 p x

3 •> ' ~ ‘-Px => x ' =8p~ => x = 2p y x = 0 y = 2x - x2

p a r a x = 2 p = > y 2 = 2 p x = 4 p 2 =*. y = 2 p ? x = 0 = > y = 0 f 2?

r 2p 2 ( : V i = I ( y ¡ 2 p x - — )dx Jo Jo 2n 3jc2 r \ | 3 27 27 „ 8 1 -5 4 27 9 n „ 1 2 = (----------- ) = ( ----- — ) - 0 = --------- = — = - . Por tanto: S = A - u ¿ 2 3 ¡o 3 3 6 6 2 2 *p 6

0) 1634

„ _ 8 /r

4 /> 2

4

,

3 ~ ~ 3 P ' Porlotanto: S = ~ P

3

Calcular el área del segmento de la parábola y = x 2 que corta la recta y = 3-2x

4

u2

Desarrollo Los puntos de intersección son:

1633

Calcular el área de la figura limitada por ia parábola y = 2 x - x 2 y la recta y = -x Desarrollo Buscaremos la intersección de: Luego:

y = 2 x —x 2 , y = -x

- x = 2 x - x 2 => 3-t-jc2 = 0 => x = 0, x = 3

Como y = 2 x - x 2 => y - l = - ( x 2 - 2 x + l) => y - i = _ ( ^ _ i )2 Es un parábola de vértices V(l, l). Su gráfico es:

y = x 2 ; y = 3 - 2 x => x 2 = 3 - 2 x => x 2 + 2 x - 3 = 0 para x = -3, y = 9 ; x = 1, y = 1.

Su gráfico es:

x = -3 => x = l

286

1635

Eduardo Espinoza Ramos

)J

S -J

[ ( 3 - 2 x ) ~ x 2]dx = ( 3 x - x 2

$- O

1 —) - ( - 9 - 9 + — ) = —- ( - 9 ) = —+ 9 . Por tanto S = —~ u 2 = 10 J 3 3 3 3

287

Aplicaciones de la Integral Definida

1636

Calcular el área de la figura comprendida entre las parábolas

x2 y =— -

U> | K>

y= 4--x2 3 Desarrollo Las intersecciones entre las parábolas son:

Calcular e! área de la figura comprendida entre las parábolas y = x 2 , y = —

2

y la recta y = 2x.

— = 4 - - x 2 => x 2 = 4 => x = - 2 o x = 2 3 3

Desarrollo Las intersecciones de las rectas y = 2x Con la parábola y = x 2 s o n *2 = 2* =* x = 0 o x =

4 4 Luego los puntos de intersección (- 2,—), (2,—). Su gráfico es:

2 4-^x

2

x2

X

5 = [ ' ( 4 - - x 2 - — )dx= f ‘ ( 4 - x 2)dx

J-2

Luego los puntos de intersección son (0,0), (2,4), las intersecciones de la recta

^

^

J-2

*2 y = 2x con y = — son (0,2) y (4,8). Luego: S = S, + S 2

.3 |4

1637

Calcular el área de la figura comprendida entre las curva de Agnesi:

2

y = — —- y la parábola y = — . l +x 2 ~ ^ 33 -66^_ 0 + ( 1 6 - ^6 “ ^_ 4 _ ^6 =3 T 3+ T ‘ Portanto: S = — 3 =4 u 2

Desarrollo

288

Eduardo Espinoza Ramos

ii

1 x ■ Las intersecciones entre la curva y = ----- - y la parábola y = :— , son: 1+ *2

289

Aplicaciones de la Integral Definida

'= JoloÍ (ex ~<-e~x)dx = (ex +e~x )f

2

S

1639

= (e + e 1) - 2 =

portanto: S = ——— m2

x2 y 2 Hallar el área de la figura limitada por la hipérbola — + ~ = 1 y la recta x= 2a a~ b Desarrollo Como:

+ -^- = 1 ; b 2x 2 - a 2y 2 = a 2b 2

a 2 b2 Luego los puntos de intersección son:

1 x2 (— ri — ~)dx = arctg J j- i l +x¿ 2 f*

-

S=

5 =2arctgQ)-- = 2~ 3

1638

4

(—1,—) , (1,—)

2

2 -y , 2 2 2, 2 , Vb2x 2 - a 2b 2 a y =b x - a b ; y = ± ------------------

2

Io x 3!1 1 1 —~\ = arctg (l) —arctg (—!) —[—+ —] |_i 6 !_[ 6 6

„ C2a \lb 2x 2 - a 2b 2 J , b C 2a r ^ 5=2 ----------------- d x = 2 V* - a 2dx Ja a a jn

- . Portanto: S = ( - - - ) u 2 3

2

3

S - — (—\ jx2 ~-a~ln \ x + y[x2 a 2 |)j a 2 2

Calcular el área de la figura limitada por las curvas y = e x , y = e~x y la recta x = 1 . Desarrollo

| 2a

S = —[ ( x j x 2 - a2 - a 2 ln | x + x 2 - a 2 |)]| a

la

La región comprendida por las curvas y la recta es: S =—[(2 a \]4 a 2

- a 2 - a 2 [n (2a + y ¡4 a 2

-

a2

)) + In a 1

5 = —[2a 2V 3- a 2 ln( 2a + a^ )] = ab[2sj3 - ln(2 + 7 3 )]u2 a a 2

1640

2

2

Hallar el área limitada por la astroide: x 3 + y 3 = a 3 Desarrollo

290

Eduardo Espinoza Ramos

291

Aplicaciones de la Integral Definida

3 2 f ^ r 1 - eos 49 + sen" 20.eos 29]d9

= 2 J„ [r _3

1641

2^6

sen 29 eos 29

sen 32 9 1 2 _ 3 ^2^

3a~n ^2

Hallar el área de la figura comprendida entre la catenaria y = a cosh(—) , el eje a ü 9 OY y la recta y = — (e~ +1). 2e Desarrollo

Como las cuatro regiones son simétricas se tiene: pa

5=4

ña _ 2 _2 _3 >>ÉÍr = 4 | (a 3 - x 3 ) 2 d x . Sea x = a z 3 => dx = 3az2dz Jo Jo

El gráfico de y = acosh(—) es: a

2 2 2 »> 3 5 = 4JoIr* (a3-a 3z2)23az2dz = 12a2 j Jo*(l-z2)2z2dz z = sen 0 => dz = eos 0 d0 para z = 0 =* 0 = 0 ;

z=l

K => 9 =■

2

^

r1 3 f3 S = 12a25II (1 2)22 z2dz = 12a z.cos zdz) ( l -- z 2) 12a 2 iI " ((11 --se s e n 2 z)2(sen z)2( Jo Jo *1X 2 O 10 Z I ¿ 4 Z _r io Z 1 0..1"^C O S 20 , . )d 6 5 - 1 2 « 2 Ií “ cos z dzz=- 12 a 2 If ^ ((------------)(-----------eos 4 z.sen“ z.sen 2 zd — Jo Jo K

' = — a 2

2

í 2' (sen 2 29 + sen 2 29.cos29)d0

Jo

-r* 1 it 1 _ a re 2 +1i ~* J a £ 2 .+1 S =■—í—-----x - a e a +ae a ]\ = —[-a - a e + ae 2 e lo 2 2

_i + a -a J

,

a re2 + l 1 a 2 e2 +l 1 a" 1 1 2a~ 2 -i S = - [ ------ -~ e + - ] = — [-----------e + - ] = — [e + — e + -] = — - = a~e 2 e e 2 e e 2 e e 2e Por tanto:

S = 2 a 2e

1u

292 Eduardo Espinoza Ramos 1642

Hallar el área de la figura limitada por !acurva

293

Aplicaciones de la Integral Definida

a2y2=x2(a2-x2)

Desarrollo

Como la curva es simétrica, se tiene: y = ---- (2 5 - x 2)2 luego: ' 125

Sea x = 5 sen 0 => dx = 5 eos 0 d0 Para x = 0 => 0 = 0 ; x = 5 => 9 = —

2

Como la figura es simétrica

4l

y dx ~

i6 r5 — i6 r l — S=— (25-A:2)2dx = - — (25 - 25 sen 2 9 )2 5 cosí» d9 125 Jo 125 Jo

y = ± —yja 2 - x 2

a

~ Va ~ ~ x d x . Sea x = a sen 0

dx = a eos 0 de

= 80 f 2 eos49 d9)\6 x 5 = 80 í 2 ( ^ ^ - ) 2d9 Jo Jo -

K S = 4J ' senQyfa2 - a 2 sen2 9 a eos 9 <19 = 4 a 2 f 2 eos 2 9 sen 0 dO

a

—

Jo

= 20 í 2 (1 + 2cos 29 + eos 2 29)d9 = 20(9 + sen 29 + - +

Jo

2

= - | a 2cos30| 2= - l a 2(O-l) => S = i aV J lo 3 3 1643

Calcular el area de la figura comprendida dentro de la curva

2 lo

n = 20(— + sen 29 + 2

(~)2 + ( 2 ,3 5

Desarrollo

8

4

1644

8

2 = 20(— —0) = 15tt por lo tanto: S = 15* u 2 lo 4

Hallar el área de la figura comprendida entre la hipérbola equilátero a 2 - y 2 = 9 , el eje OX y el diámetro que pasa por le punto (5,4).

Desarrollo

Y

Eduardo Espinoza Ramos

294

m = — => y = - jc ; la intersección es: x 2 - — x 2 =9 => 9 x 2 = 225 =¡> x=± 5 5 5 25

295

Aplicaciones de la Integral Definida

1646

Hallar el área de la figura limitada por la cisoide y x = 2a, ( a > 0).

2 ay- x

su asíntota

Desarrollo

como la curva es simétrica se tiene:

-52) = 2 lJ ~a.ííx: + J j x - y j x 2 - -9 í )dx]

|3

5 = 2(— + — 15- [ - j x 2 - 9 - - \ n [ x + J x 2 - 9 ] ] |5) 5 lo 5 |3 2 2 |3 1O

1O

Q

O

5 = 2f(— + 10---- )~(10 — ln9) — ln3]. Por tanto: 5 5 2 2

1645

~

S=91n3«

Hallar el área de la figura comprendida entre la curva y = —, el eje OX y la

Por la simetría se tiene:

recta x = 1, (x > 1 )

/»2a

— - — dx = 2a-x

Desarrollo

Hallamos la integral

f \~~X~ } X\ 2 a - x Sea z r

5 = i " ydx= Ji

= lim p ^ = l i m - - r = l i m Ji x *-x” Ji x b-*°° -xli í’~>“ b

S = -(0 - 1) = 1 por tanto 5 = 1

¿ -l)

fI x J 2a ~

- [ z 2-z-2zdz >/2a - z 2

J

dx'

?f

Se3 * Z

2 lim j

^

dx

Z*dZ

J ^ 2a - :

7\¡2asend => dz = \l2aeos9 d9 ~

f

7 4di

f 4 a 2 sen 49.y¡2a cos9 dO

f e r 2J— ^

xJ-^ -dx \2a x

2záz

296

Eduardo Espinoza Ramos

297

Aplicaciones de la Integral Definida f 2 fl

= 2a2 f (1- 2 eos20 + eos226)d6 = 2a2(---s e n 20 +—— ) J 2 8

= 21

Jfl

í«V2 a ( x - a ) —¡ = = d x = 2 | y¡2a-X' JyfZ

(z 2 - a) - ¡ = L = 2 z dz \¡2 a - z 2

* 2 a 2- £

como 5 —2 lim1 I

£-»°J •*Joo

x.j--------dx cambiando los limites se tiene: \ 2a - x

S = 2.2a2 ( ^ - sen 20 + 2

por tanto:

8

A =4

2 = 4 a 2( ^ - 0) = 3a2*

... ( 1 )

J.■Ja

sen 0 =

lo

v2a -

\¡2 a

: = V ía sen 0 derivando se tiene: dz = -Jla cosOdO I— 1 Tí z = \¡a, sen 0 = —¡=, u = —

S = 3a2n u 2

V

tg 0 = 1647

-¡2 a - z 2 Hallar el área de la figura comprendida entre la estrofoide su asíntota a > 0.

y 2 = — —— , y 2a - x = 4f

Desarrollo La grafica de la estrofoide y 2 = ———— 2 a —x

2

4

-—

tt

t

z = V2a, sen0 = l, 0 = —

(72 - a) z —

=4

| 2 (2asen 20 -a > '/2 a se n 0 .tg 0 .\/2 a c o s0 d 0

2 es:

71

„„ „ l - c o s 20 eos 20 - 1 ) ------------ dO

A = 8a I (2 s e n ~ 0 -a )s e n 0 d 0 = 8 a

'J¿

4

n

« 4 - eos 20(1 - eos 29)d9 = 4a

- e o s 40

-e o s

2 0)d9

X A = 4«*<® _ ü í i i _ 2 2

2

J í = V [ ( í -- 0) - ( | - 1)] I* 4 8 2

A = a (—+ 2)m

2

[ 2a .v = (.x - á ) - ¡ J L = ; V 2a - x

(x-a ) 2va ( ■J2 a

1648

Calcular el área de las dos partes en que la parábola y = 2x divide el circulo X2 + y 2 = 8 .

sea x = z 2 => dx = 2zdz, para x = a, z = 4 a

; x = 2a= > z = y¡2a

Desarrollo

298

Eduardo Espinoza Ramos

299

Aplicaciones de la Integral Definida

1649

Calcular el área de la superficie comprendida entre la circunferencia x 2 + y 2 = 16 y la parábola x 2 = 12( y - l ) . Desarrollo

Buscaremos los puntos de intersección x 2 + y 2 = 8 x2

+ 2 x - 8 = 0 => (x + 4 ) ( x - 2 ) = 0 => x = 4 o x

=2

Buscaremos los puntos de intersección: jt 2 + y 2 = 16 => .v2 = 1 6 - y 2 => * 2 =

Luego x = -4 no se toma en cuenta, por tanto los puntos de intersección es: (2,2), (2,-2), por la simetría se tiene: -

r2 B=

Jo

r 2'/2

+j

12( y - l )

=> 1 6 - y 2 = 12_y—12 => y 2 + 1 2 y -2 8 = 0

v>

-2

.y¡2 _____ ydx] = 2[J s¡2xdx + j y j s - x 2dx

de donde y = 2 => x = ± 2y¡3 ; por la simetría se tiene:

ir 2>/3

b

= 2 í ^ | í i | ! + ( £ V ¡ r 7 + 4 arcsen^ =)| 2V' ] 3 lo 2 2V2 I2 !

B = 2[—+4arcsen(l) J

5 =2

3

--------------

12

3

9

S = 2l2j3+ - - - S ] = —

3

|2>/3

4

36

lo

3

3

- - S

3

= ( - ^ - - V 3 )u2 3 3

3

. 2 16 4 /— 32 4 rr 2 para la parte A se tiene: A = x r - s = lb 7t - ( — n — V3) = (— n +—\l3)u

para la parte A se tiene: A = n r 2 - B = %n - (2n + - ) = (8n - 2 n - - ) u 2 3 3

3

1650 Por tanto: A = (6n - - ) u 2 3

2

.

(2 + 4arcsén 4 = )] = 2[ - + 2n - n] = (2* + - ) u 2 V2

Jo

.-------------

[V1 6 - x 2 ------------------------ \]dx = 2[—V16 —jc2 +8arcsen--a]|

3

3

3

Hallar el área contenida en el interior de la astroide x = a eos 3 1 , y = b sen 3 1 . Desarrollo

)0

Eduardo Espinoza Ramos

Aplicaciones de la Integral Definida

301

2 If a ( ,l- 2,e o s í + eos 2 t)dt x. 2/ o * sen 2í I2* = a ( t - 2 s e n t + —+ -------- )| Jo 2 4 lo

y/(f) = a cos 3 1 => para x = 0 =* i, = —

S=a

=> x = a => t 2 = 0 => \¡t(t) = b sen 3 r

2 3í „ sen 2r | 2,r „ 2 _ „ „ 2 2 5 = í j “(------ 2sení + -—-— )| = a ( 37T—0) = 3 a n . Por tanto: S =3a~n u"

como y/(t) = a cosi t

y/'(t) = - 3 a c o s 2 t .s tn td t 1652

C2

5=4

<*° . i//(/).v/'(Od/‘ = 4 | ¿>scn f(-3a cos t.sen t)dt

Hallar el área de la figura limitada por una de la trocoide x = at - b sen t; y = a - b eos t,

(0 < b < a) y la tangente a la misma en sus puntos inferiores. Desarrollo

«Q * ^0 5 = - 12afc f sen 4/cos 2 iJi = — y - I sen 2 2r(l - cos 2i)df 2 2

Como x = (p(t) = at - b sen t x = \j/(t) = a - b eos t

1 i- c o s 4 í o , 3ab,t sen At sen 32 /!° (i— 12_ _ _ Sen 2 t.cos 2 t)dt = — — [ - ----- ----------— I 7T

2 J" 2

3a b r„ n ,

2

2

*

"

3o/?*

2

8

6

"2

c 3abn 2

5 = ------- [0-----] = ------- por tanto: 5 = —-— u 2 4 8 8 651

Hallar el área de la superficie comprendida entre el eje OX y el arco de la cicloide: x = a(t - sen t ) ; y = a(l - eos t). Desarrollo Para x = 0 => /, = 0 ; x =2na => t 2 = 2n

S = j \ff{t)\¡f\t)dt-A\ hallaremos: f, y t 2 J',

Como: \|í(t) = a(l - eos t)

0 = y/(tl ) = atl - b s e n t l => 0 = a/, -b s e n f,

V|f(t) = a(t - sen t) =* y/'(t) = ( a - a e o s t ) d t C2rc

5=J

l C2” 2 o(l - eos t ) ( a - a eos t)dt = a 2 j (1 -c o s t) dt

2 aK =

2 a n = at 2 - b s e n t 2 como la tangente en los puntos inferiores es paralela al eje X => y ' = 0 , es decir:

Eduardo Espinoza Ramos

302

303

Aplicaciones de la Integral Definida

y'z=\fi'(t) = - b s e n t = 0 => /, =0 enx = 0

a (2 sen í - sen 2í)a( 2 sen 2t - 2 sen t)dt

-i

y '= y/ ' (?) = - b sení = 0 => t 2 = 2 n en x = 2na. Luego: r° = 2a 2 i (2 sen t - 2 sen t eos t )(4 sen t eos t - 2 sen t)dt

f 2* S = { \ f ( t ) ( p \ t ) d t - A = I (a - b eos t ) ( a - b eos t ) d t - ( a - b ) 2 K Jo J'i

S = 8a | (sen t - eos t sen /)(2 sen t eos t - sen t)dt í

i»2jt 5 = I (a 2 - 2 abeost + b 2 eos 2 t ) d t - 2 a2n + 2 abn Jo

_

. 2

¿>2 sen2f.|2,c - 2

„ ,

f° 5 = 8¿r I sen /(l-c o s f )(2 c o s /- l) d f = - 8a 2 j sen /( l- 3 c o s f + Jjl

í

.

S =(a t - 2 a b s e n t + — + ---------- ) - 2 a +2abn 2 4 lo

2 cos“ t)dt

„ 2,3r senícosf 3 sen 2 feos2 r / ° „ 2/ft 3?r. , 2 2 5 = - 8a 2(------------------------------------------------------------------------------- sen í -- ) / = 4 2 8 /* 4

S = 2 a 2n + b 2K - 2 a 2n + 2abn portanto: S = n ( b 2 +2ab)u 2 1654 1653

Hallar el área de la figura limitada por el lazo del folium de descartes

Hallar el área de la figura limitada por la cardiode x = a(2 eos t - eos 2t);

3a/

y = a (2 sen t - sen 2t)

3at 2 Desarrollo

Desarrollo S=

y/(t)(p'(t)dt, donde y = y(t), x =

3at 3at siendo \¡/(t) = ------ — y

S = f y/(í)i// \t)dt J»,

donde \j/(t) = a (2 sen t - sen 2t)

\j/(t) = a (2 cost - cos 2t) ; y/' (t) = a(2 sen 2t - 2 sen t )

Eduardo Espinoza Ramos

304

3a?

Como: 9 (0 = -— j i+ r

3a(l-2í )

S = 2.— f r 2dy/ = f [a(l + cosi^)] 2í/i/^ 2 Jo Jo

=> V (0 = n <3" (l + r )

5 = a 2J Jo

(1 + í 3)

(1+ f3)2

Jo

(r3+l)3

por tanto:

íÍí1 1656

S = 9 a ¿[ -

(l + 2 cosy/ + cos 2 \¡/)d\¡/ = a 2( ^ +

2 sen 0 + sei^ ~ ^ ) j

Jo (1 + f )

S = 9a2[ f ” —^ y y ¿ / - 2 f 4 ± Í T Jo

305

Aplicaciones de la Integral Definida

l + rr3) 2(1+ r3)2 3(1+ ) 7/ 0o

_ 3a2* S = -------

1

2

Hallar el área comprendida entre la primera y

segunda espiral de

Arquímedes: r = avy

9a 2f 0 - [ - - + - ] ]

2 3

Desarrollo De acuerdo al gráfico se tiene:

S = 9a 2(—) = ^ — por lo tanto: 6 2 1655

S = ^ —u~ 2

Hallar el área de la figura limitada por la cardioide r = 0 (1 + eos \|/) Desarrollo •P Se conoce que : 5 = 1 f r d y , donde r = f(\|/) 2 Ja

1 f 2*

El gráfico de r = 0 (1 + eos vj/) es:

S =—

2 Jo

(r22 - rf )d\ff , donde r, = a y/ ; r2 = (y/ + 2*)

1 f 2,1 S = — I ([a(i//+ 2*)]2 - a 2\¡/2 ]d\f/ por lo tanto: 5 = 8 a 2* 3M2 2 Jo

1656

Hallar el área comprendida entre la primera y segunda espiral de Arquímedes: r = a y Desarrollo

De acuerdo al gráfico se tiene:

Eduardo Espinoza Ramos

306

Aplicaciones de la Integral Definida 2

a

K

a , sen4w / t = — (v^ + 2 4 /o

(r 2 - r 2 )di¡/ , donde r, = a y ; r2 - (y + 2 n)

S=- f

2 Jo 1658

307 2

¿r/t

2

8

Hallar el área limitada por la curva r 2 = a 2 sen 4i^ Desarrollo

s= I

( 2 a 2y/n + 2 a 2Jt2 ) d y = {a2y 2K + 2 a 2n y ) j ^

Jo por tanto:

2

3

S = 8a K u

2

= 4.— f 2 Jo

1657

Hallar el área de las hojas de la curva. = - 2 a 2(—

Desarrollo De acuerdo al gráfico se tiene:

4

1659

4

) = a 2 por tanto:

S = a 2u 2

Hallar el área limitada por la curva r = a sen 3\|/ Desarrollo

Eduardo Espinoza Ramos

308

5 = —.3 f

3r 2dy/ = — f 3a 2 sen 2 3t//dy/ = - a 2 f 3(1 L° S^ -)d\f/

2 Jo

2 Jo

2

2

Jo

3a 1 , sen 6yr 3a2 t n _ = -----( w ----—) / 3 = ---------- (-----0 ). Por tanto: 4 6 / 0 4 3 1660

309

Aplicaciones de la Integral Definida

„ a2n 2 5 = ------u 4

Hallar el área limitada por le caracol de Pascal r = 2 + eos \|/ Desarrollo El área es el doble del área desde 0 a tc,

luego

5 = 2.— I r 2d\)f= I (2 + cosif/)2d\f/ =I (4 + 4cosy/ + cos? 2 Jo

Jo

1662

Hallar el área e la figura limitada por la elipse r =

Jo

1 + ecosi^

,

(0 < e <

1)

Desarrollo w sen 2u/ i n _ = (4w + 4senu/ + —+ ------ —) / . Por tanto: r r 2 4 / o 1661

Hallar el área limitada por la parábola

9 S = —ttm~ 2

r = a sec*

?

2

f 2 r 2d\¡/ = 2 f 2------ -------- - d y 2 Jo Jo (1 + ecosyO

5 = 4 .-

* y las sennrectas W ~ ~

n 71

y * '=

_

5 = 2/?

1 |*2 2 .

2 ;S = 2j í

4

Desarrollo

1663

dljf

— -— ■ —

1o (1+ ecosr)

,

Ttp

integrando se tiene: 5 = --------- - u

2

(1+e2)2

Hallar el área de la figura limitada por la curva r = 2a eos 3\|/ que esta fuera del circulo r = a Desarrollo

Eduardo Espinoza Ramos

310

Sean r, = 2a eos 3i¡/

y r2 = a

n 5

Aplicaciones de la Integral Definida ©

£

LONGITUD DE LA CURVA DADA EN FORM A POLAR.Si r = V|/(9) es la ecuación de la curva en coordenadas polares r y vj/, la

= 6. - f 6( r 2 - r2 )d\¡f = 3 j*^ (4a 2 eos 2 3y - a 2 )d\¡/

2 Jo

longitud L del arco es:

Jo

'

2

L- I

Ü TC 2 por lo tanto S = ----- u

donde a y P son los valores del ángulo polar en los puntos extremos del arco.

x 4 + y 4 = x~ + y " . Sugerencia: pasar a

Hallar el área limitada por la curva

coordenadas polares; por tanto 5 = K\¡2 u~

6^2.

\Jr2 + r ,2d y

J a ________________

2

1664

311

1665

L O N G IT U D D E A R C O D E U N A C U R V A .-

Calcular la longitud del arco de la parábola semicubica y 2 = x 3, desde el origen de coordenadas hasta el punto, cuyas coordenadas son x = 4; y = 8. Desarrollo

©

LONGITUD DEL RECTANGULARES

ARCO

EN

COORDENADAS

Consideremos y = f(x) una curva, la longitud L del arco de la curva comprendida entre dos puntos x = a; x = b es:

L = í x/l + y'2dx ____Ja__________ ©

LONGITUD DEL ARCO DE UNA CURVA DADA EN FORMA l'ARAM ETRICA.Sea x = \|/(t), y = vj/(t) ecuaciones de la curva en forma paramétrica, la longitud L del arco de la curva: L = fV ÍT y ¡d x = Jo

L = ( yjx12+ y ,2dt ____¿í,____________ donde

r,

y i, son los valores del parámetro correspondiente a los

extremos del arco.

1666

Jo V

4

=

27

4 X

/ 4= ± (io S ó -i)

/ o

27

Hallar la longitud de la catenaria y = acosh(—) desde el vértice A(0,a) hasta a el punto B(b,h). Desarrollo

Eduardo Espinoza Ramos

313

Aplicaciones de la Integral Definida

312 f V* + l , + 1 = 0 , despejando

£ ) = a(£ l ± f _ l ) de donde e '

f zlzdz

) ^ r dx- ) w

f z 2dz

r r 2)

^

z = see 0 => dz = see 0 tg 0 d0 4y 2

2y .

, ,y +E -* = ln(— a

-4

Z

C z dz f see d.secB.tgOdG f 3 Q ,a I ------- = ........ . ----- = I see 0 du , integrando por partes J Vz~ —1 J Vsec20 - 1 J

y ± \ ¡ y 2 -<■

x = aln(

.)

y+

■= |

J& -J1

a

dx

a

dy

^y2-ó 2

t d x s2 W dy

^

a y2 - a

OdO = —[ln | see# + tg0 | + tg0.sec0]

f - 5-^.... = l [ l n |z + Vz2 - l | + z V z 2 - l ]

2

(2)

2

JV ¡M

reemplazando (2) en ( 1) se tiene: í f W

dy ‘

1 f ^

= V^2 - a 1667

5

dy=

1

dy

v

J

'V-jf + 1

dx

~ 2J

r *2

= ln | z + Vz2 -

1 1+zVz2 - 1

2 “ O longitud L = \ h ~ - a 2 j* ~ j = J - d x = l n | V * + l + V x | +Va.V* + 1j

Calcular la longitud del arco de la parábola y = 2 ^ desde x = 0 hasta x = 1. Desarrollo

L= f y '2

dx = (In | yjx + \ + \l~x | +\¡x.yjx+ 1) /

’ o

Jo V*

=■

Por lo tanto L = V2 + ln(l + V2)

2

I

Il^X d x fx

1668

Calcular la longitud del arcó de la curva puntos (0, 1) y (l,e).

f ‘ V IT Í calculando | ——j=—d x , se tiene z Jo V* Vi '

x +1

Desarrollo

y = e x =* y'-e* => y'2 = e 2jr dz = 2z d z ; * = z 2 - l y

z = VT+T

y = e * , comprendido entré los

Eduardo Espinoza Ramos

314

y = ln x => y , =1 x

+ e2x dx calculamos J \f\ + e2xdx

para esto pero Luego

z 2 = \ + e 2x =>

315

Aplicaciones de la Integral Definida

=>

1 >' ,2 = — x

z dz = e 2xdx

l + e 2 x = z 2 => e 2x = z 2 -1 zd z = e 2xdx = ( z 2 - l ) d x de donde dx =

z dz

z2- 1 para esto x = tg 9 => dx = sec 2 9 dO N x~+ l . f yjtg2e + l 2 f --------- dx= - sec 6 d d = I sec d.— J x J tg 6 J -

I -- 1 . y]e2x + 1 -1 í, 57 1. + 1 -1 )“ = Vl + e2* + - l n ■= = = — = V l + e2x + —ln------- ^ -------2 V ¡ ^ +1 2

_ f sec 0 ^ J sen#

3

dd

C°S0

sen 9

_ f (cosccq + tg£ sccd)d 9 = ln | cosec J

0 - ctg 9 |+sec 9

ex L = J yl\+e2xdx = [y¡l + e2x + l n ^ e

L=^

+7 +

^

, . y]\ + x 2 1 . r j ,n/i + jc2 - 1 í. = l n |— ---- -— I+VI + a: = l n -------------- + Vl + x x x x

~ ~ ]/Q

L = í JÍJ M

y¡2 - ln(V 2 - 1)

e

0

L = ^ - J ~ 2 + ta Í

NOTA: in ^

1669

- ^

^

^

>/2 +1

M e ^

1

i

£

1

= l n ^ + lnv/3 + l = l n ( ^ ) + l = l + - l n V2 2

i n - J — = -ln(x/2 + l) v 2 +1

Desarrollo

X

L = (ln-yr + 3 ) - ( l n - r + 2 ) = ln -7= + l + ln>/3 v8 V3 v2

±2

Hallar la longitud del arco de al cuya y = ln x desde x = \¡3 hasta x = -s/8

dx = lln

X

1670

2

Hallar la longitud del arco y= arcsen e ”* desdex = 0 hasta x = l . Desarrollo

2

Eduardo Espinoza Ramos

316

y = arcsen e

=> y = — f=> y

_ — 757 ,2 =-

317

Aplicaciones de la Integral Definida

•e - 2 . 1 2_ t l ^

***

L= f

Ji

I-* ' 1673

Hallar

22yy

la

-2

1

4

2

r« e2 1 1 e2+l

= ( 2L + I i n y ) r = -

longitud

/ 11 4

del ^^ r

arco 2

de

2 la

4

4 curva

derecha

de

tractriz

2"

x = -^ a 2 - y2 + o ln | ——— ---- — | desde y = a hasta y = b (0 < b < c.) y = f ' eX
1

-1 [ / ’ = ln(é’+ V ¡ M ) - l n ( l + 0) = ln(e + V ¡ M ) 'o

1671

Calcular la longitud del arco de la curva x = ln sec y, comprendido entre n =0 a y=—

y

3

Desarrollo x = ln sec

y

dx sec y tg y => — = ------------= tg v dy sec y

n_ ________ L =

Jl

Jo V

+

it

f

( ~ ) 2d y= 3 n/i + tg 2 ydy dy Jo

=

í

sec y dy

Jo

a = ln(sec y + tg y ) j 3 = ln(2 + \¡3) - ln 1 = ln(2 + >/3)

1672

1 2 1

Hallar la longitud del arco de la curva x = —y* - —ln y desde Desarrollo

1 2 1 J‘ _ 4 'V ~ 2 n y ^ _

dx

y _1_

d y _ 2:

2y

dx _ y 2 - 1 dy~

2y

y = 1 hasta y = e

Desarrollo

318

1674

Eduardo Espinoza Ramos

Aplicaciones de la Integral Definida

319

Hallar la longitud de la parte cerrada de la curva 9ay 2 = x ( x - ' i a ) 2 . , x, y = ln(ctgh—) a

Desarrollo 9ay 2 = x ( x - 3 a )2 =» — = ( x - 3 a ) 2 + 2x(x~3a) dx

ea +e

v , x ea +e a => e ^ = c tg h —= ----------a í -~ e a —e “ eX +1

a

y = ln ----------- = ln -------£ _£ ex - 1 e a —e a

10 ¿y = 3o/( x - 3oa w dy = -----------------(x-3a)(x-a) 18ay— ) ( x - a )a ; — dx dx 6ay

dy _ e x dx

1 d (ex +l

ex - l

( - 2 ex)

ex + 1 (ex -

ex +1 dx ex —1

1)2

- f

Como

9ay 2 = x ( x ~ 3 a )2

y=-

Luego ¿ U Í f Z f W ? dx 2a\lx

dx

( x - 3 a)J~x 3\[a

(*)

e2x- \

dx

(e2x - Y )2

esta expresión sigue del asterisco.

( * ) 2 = <ÍZ2>! dx 4 ax

)dx -e-2x

Como la curva es simétrica respecto al eje y, se tiene: = [x + ln(l - e~2x) \ ¡ h = b - a + ln(l - e~b) - ln(l - e ~2b) L - 2 \ J 1 + (^ y d x = 2 r j l + ^ d x dx Jo V 4ax Í to

/

3a ' u + 2)2 dx Jn J o V 4<3A“

=2J

1 - e~2b e2b - 1 e2a e 2b e2a = b - a + ln------ - = b - a + l n - ----- .— = b - a + l n - ------ + ln ^— l - e - 2fl e 2fl- l e2¿ e2a- l e2b

L = [ a \ ± ± ¿ d x = -^=(—x 2 + 2 a x2) l “ = 4y¡3a

Jo \' V^

1675

3

hasta x = b,

2h _ , 2b _ | = b - a + ln —----- + ln e2a - \ n e 2b = a - b + ln ——— e -1 e -1

7o

Hallar la longitud del arco

de la curva

(0 < a < b)

y = ln(ctgh—) desde a

x = a

1676

Hallar la longitud del arco de la evolvente del circulo x = a(cos t sen t); y = a (sen t -

Desarrollo

a

1 eos t) desde, t = 0 hasta t = T. Desarrollo

+1

320

Eduardo Espinoza Ramos

321

Aplicaciones de la Integral Definida

dx x = a (eos t + 1 sen t) => — = at cos t dt

4

2

9c2

4

->

,

. f 2»

2

ICOS2 /

« T I 2/

tsen t + ——sen t c o s 't d t = 41 3c sentcosí.¡^=~~— i-----—a/ ¿>2 Jo V a

d\ y = a (sen t - 1 eos t) =» — = at sen/ dt

1 - s e n 2t

sen2t ,

2— +^ ~ dt 2

b2

,

L = \ J(~—)2 +(— )2dt = f Va 2/2 eos 2 / + a 2t 2sen2t dt J, V dt dt Jo \b~ +(a~-b")sen"t , 6c f 2 . /Ti 2~ j = 41 3c sent c o s t . ----------—;—------------------------------------------------ dt = ----- j Jo \ a2b2 ah Jo

f T. at 2 ,T a T 2 = I at dt = ---- / = -----Jo 2 / o 2 2

1677

Hallar la longitud de la evolvente de la elipse x = — eos / ; a í( c„2 = _ a 2 —b. 2-.)

=_ L .Í £ ^

2

aZ?c

y = — sen /, b

3

2 Í ¿ / L J _ , » 2 ^ 2 ,5 _ J _ „ 3 / 0

aZ?c

2 :_ í _ (a 2)f _ J _ fc3 = 4 a l _ 4 ^ = ^ - ¿ » c a¿>c abe be ac abe

Desarrollo

1678

= ^ (a 3 -Z>3) ab

Hallar la longitud de la curva x = a (2 eos t - eos 2t); y = a (2 sen t - sen 2t). Desarrollo x = a (2 eos t - eos 2t) => x'= a( 2 sen 2 t - 2 eos/) => x' = 2 a(sen 2 t —sent) y = a (2 sen t - sen 2t) =>

y'= 2a ( c o s r-c o s 2/)

Z- = 2 f J (—)2 + (— ) 2d/ = 2 f J 4 a 2 (senlt - sent )2 + 4 Jo V dz dt J0 y=

c

b

sen 3 t

Jo V d t

dy 3c 2 — = -----sen ico s/ d/ b

dt

= 4a J Jo

a

2(eos / - eos 2t )2 dt

sen 2 2t-2sent.sen2t+eos 2 /-2 c o s /c o s 2 / + cos 2 2/ dt

= 4 a f ^ : 4 s e n t cos / - 2 cos / + 2 cos tsen t dt Joo

I

Eduardo Espinoza Ramos

322

Aplicaciones de la Integral Definida /i a dr r = a ( 1 + eos y ) => — = -asemif dy/

= 4a í V2 - 2 eost(sen2t + eos 2 t)dt = 4a f V 2 -2 c o s tdt

Jü

Jo

r_ ñ>¡ _____ _tK - t C” t = 4a\¡2\ j l - eos t dt = 4 s ¡ 2 a I y¡2sen—dt =%a\ sen—dt Jo

Jo

= 8a(-2cos—) /

2 /o

2

Jo

como la curva es simétrica con respecto al eje X, la longitud total de la cardioide es:

2

= -16a(cos7T -cosO) = -16a(0-l) = 16a

¿ - 2 f \¡r 2 + r '2dr = 2 ^ yja2(l+ c o sy )2 + a 2sen2y/dy/ = 2a ¡ y¡2 + 2 cosy/dy/ Jo

1679

Jo

Jo

Hallar la longitud de la primera espiral de la espiral de Arquimides r = a \j/.

Desarrollo Si r = a\u

L = 2V2a

dr = > ---- = a dy/

»0 .---------

= 4a

f 2n .—---------*2re .— --------L = I s r 2 + r ,2dyf = i \¡a2y/ 2 + a 2 dy/ = a y¡y/2 + ld y/ Ja Jo Jo 1681

=l ~

1 ln!¥ +y¡¥2+1 il/

= ^(2*V4*2 +l + ln |2* + >/4*2 +11)

ñK _______ yfl+cosy/dy/ = 2\Í2a

Jo

2

y/ w / 71 tc cos— dy/ = 4a.2sen(—) / = 8a.ve/?------ SasenO = 8a Jo 2 2/0 2

Hallar la longitud dei arco de la parte de la parábola r = a sec2(—), cortada de

2

la misma por la recta vertical que pasa por el polo. Desarrollo

•••(*) 2

2

= aK\¡4n'’ +1 + ^ ! n ¡ 2 k + \[4k 2 +1 ¡ Hallar la longitud total de la cardioide r = a ( 1 + eos \|0

%/2cos(—)dyr

Jo

r

r = asee (—)

1680

323

L =2¡ Jo

Desarrollo

=

2j*

dr a 2 => ---- = —sec (—)tg(—)

dy/

2

22

r 2 + Á 2 dy, dy/

V

‘ ^J a

2 sec4 y

+

a 2 see4 Xj. t g

2~ d y / = 2a

J 2 sec3 % ¡d y /

2a[ln \tg~- + scc~-\ +tg•—sec —] / 2 = 2afln | íg —+ see— \ +tg —.sec —] 2 2 2 2 / 0 4 4 4 4 —2¿z(ln(l + V2 ) + V2 )

324 1682

Eduardo Espinoza Ramos

Aplicaciones de la Integral Definida

Hallar la longitud del arco de la espiral hiperbólica r\\i = 1 , desde el punto

r = y/± -Jy/ 2 - 1 como r >

325

1 se tiene:

( 2, i ) hasta el punto ( ^ , 2).

=yi +Jy/2-1

Desarrollo

1 => yr =1 -

rvj/ =

para

r

ry=l

„

1 1 => \¡/\= — 2 2

2

r,=

l^ = Z ( r + - ) 2 r

r,

i r,--------2

= [ln | -y/l + i/A +

1683

I

^

"

\

,

2

-------- ] / , = ln(— — ) + — y/ / 2 2

f

- i

y/~ -1

VV7'2 -1

1

w

2 -1

-y=iV tV v

- ame”'v

6.3.

aemsja + m 2 dy/ =— en"t>\l\ + ni2 / m *

Hallar la longitud del arco de la ciu vn

' 71 •

*

»'<

' 2 _ 1 + ~ ln I V + ' J y 2 “ 1 ll/ 3 porlotanto Z. =

V O L U M E N E S D E C U E R P O S SO L ID O S . VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN.Los volúmenes de los cuerpos engendrados por la revolución de un

i /'

•

*i

f

■■

I

Ih i m u

i

= 3 .

limitado por una curva y = f(x), el eje X y dos

verticales x = a, x = b, alrededor de los ejes OX y OY, se expresan respectivamente por las fórmulas.

Dr&lUI ollu De y/ = —(r + -—) despejamos i 2 r

dyr

5

trapecio mixtilíneo, 1684

í 3 ¡(y/ + -Jy/2 - l ) 2 +(1 + - j ^ = ) 2dy/

J¡ y

= pO/' + Vv'2-!) - r~r—dy/ = f 3(V'+ —X=)dy/

/ , que se

© L=

dyt

5

Desarrollo

d y/

¡r2 + ( ^ - ) 2d y / =

Ji¡/, V

= Í \ + \/y/T^ 7 )2 + ^ l É I l L d y r = f ’ L + Ji \ y/' -1 Ji

y Í5

Hallar la longitud del arco de la espiral logarítmica

r = aem

[

para r , = l , \|/, = 1, r 2 = 3 , y/, = ^ ’ 3

I i t "

, ,3 + v 5 ,

encuentra dentro del circulo r = a.

además como

„

dr 1 => r = — => ---- = ----- W dyt y/-

d v' /i

—

yjy/2 - 1

;r, = —=* \\fi =2

1

’ C

——= 1h— dV

L= l

de donde

• >il«m

© Ja

Vv = [ xy dx Ja

327

Aplicaciones de la Integral Definida Eduardo Espinoza Ramos

326

en el caso mas general, los volúmenes de los cuerpos engendrados por la

1686

x2 y — + a~ b

rotación de una figura, limitada por las curvas. e y 2 = f 2W

>’i - / ] W

Hallar el volumen del elipsoide, engendrado por la rotación de la elipse 2

alrededor del eje OX. Desarrollo

(siendo / , (x) < f 2 ( x ) ).

2

2

~ Z + ~ T ~ 1

a

Y por las rectas x = a, x = b, alrededor de los ejes de coordenadas OX, OY; serán respectivamente:

1685

; y2= V - ~ ) b 2 a~

Ca

Ca

x2

x3h2 I a

Jo'

Jo

a2

3a~ * °

V = 2 n I y 2dx = 2 n I (1 — -)b 2dx = 2 n(b2x -------- ) /

r b Ja

b

2

*b

(>2 - >f >dx y K = 2k I x (y'2 - >'¡)dx

,2 ob x =2n ( a b ------- ) -

Ja

0 = ----- b 2

Hallar el volumen del cuerpo engendrado por la rotación, alrededor del eje OX, de la superficie limitada por el eje OX y la parábola \y = a x - x 2 (a > 0). Desarrollo 1687

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX la X

superficie limitada por la catenaria y = a cosh(—) , el eje OX, y las rectas x =±a a Desarrollo X

y = acoshí—) = a. a

V=n\

fa

Jo

o ra , r v. 4 , y~dx = n \ (iax {ax~ —x ¿Y Y d x = n IJ (a 2x 2 - 2 a x. 3i ^+ x*)dx

Jo

Jo

a ^ x3 ax4 x5 : Tí(-------------- -f----

3

2

a / 5

0

a5

= 7T(-

a5

a5

n_ a_s

X

ea +e a

2

2 2x_ _2x y 2 = — (e a +e a + 2 ) 4

328

Eduardo Espinoza Ramos

329

Aplicaciones de la Integral Definida Desarrollo

»a

r a

2

^

V = 2n I y^dx = 2 n \ — (e a + e

Jo 4

Jo

2*

_2x

0 + 2 ) d x = ^ —(—e a ——e a +2 x) / 2 2 2 /

na a 2 a -2 * a a — ( - < r — e ¿ + 2a — + - + 0)

2

2

2

2

2

tffl2( _fl e 2— a e ~-2 + 2a) - ■= ----n a *-(e , i —e-2 +4) :-----

2

1688

2

2

4

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX, la curva y = sen 2x , en el intervalo x = 0 hasta x = jt Desarrollo


Y < 1690 (

^

r 2 V = n I y"dx = n Jo

^ 0

\

r 2 2 r (sen x) dx = n I sen x dx Jo Jo

r (iz c o s i x 2 d x = 1 r 2 4 Jo

Jo lo

rivVA n " .X

(1 —2 cos 2x + cos 2 x)dx

,3x sercx senAx„ ¡ n 3 3n~ = n ( --------------+ -------- ) / = n (— 0) = 8 4 32 / o8

1689

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la superficie limitada por la parábola semicúbica y 2 = x 3, el eje OX y la recta x = 1, alrededor del eje OX.

Hallar el volumen de! cuerpo engendrado al girar la misma superficie del problema (1689), alrededor del eje OY. Desarrollo

330 1691

Eduardo Espinoza Ramos Haiíar los volúmenes de los cuerpos engendrados al girar las superficies limitadas por las líneas y = e x , \ = 0 e y = 0 alrededor. a)

Del eje OX

b)

331

Aplicaciones de la Integral Definida

Y

1

2a

Del eje OY

Desarrollo ¡ C n ...... i .......................... : \0 i / / ✓ ¡ ✓ i ^ j- - " i -2a

= 2n f V - ( f ) 2» = 2*(* Jo

1693

4n

a

X

= 2*2«’ - f 4 ) SICin

/ 080/2

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor de la recta x = a, la parte de la parábola y 2 = 4a x , que se intercepta por la misma recta. Desarrollo

1692

Hallar el volumen del cuerpo engendrado a! girar alrededor del eje OY la parte de la parábola y 2 = 4ax que intercepta la recta x = a. Desarrollo

El volumen de la región cortada al girar alrededor de x = a, es:

332

Eduardo Espinoza Ramos

333

Aplicaciones de la Integral Definida

V = 7T 2[(p + y¡2px )2 - ( p - y [ 2 p x ) 2]dx = n ' 4 p ^ 2 p x dx Jo Jo

V = 2n f (a - x:)( y, - v-, )dx Ja

P

3

Luego para nuestro caso se tiene:

_ °1 =

= j t j 2 J 2 p x 2 p d x = 2 n [ ^ ( 2 px) 2 ] j 2 =

f

V = 4tt f [a-x)(\Í4 ax —0)dx = 4n (a —x)2-Jaxdx Jo Jo 3

=8

3 2

1

1694

3

3

^ - ) / " = Sk( 2 ^ ~ 5 /o 3 2

,to ( 3 ¿ _ í l „ 3

5

5

1695

47T /r

Hallar el volumen del cuerpo engendrado ai girar alrededor del eje OX, la superficie comprendida entre las parábolas y = .v2 e y = \¡x

1 5

Desarrollo

- 2 — — )/ “ 5 / o

8T(1 0 ? ! z 6 f Í l = S £ V 15

15

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar, alrededor de la recia y = -p, la figura limitada por la parábola v 2 = 2px y por la recta x = Desarrollo

2

= 7rlJo 1696

5 /0

2 5

10

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girara alrededor del eje OX, el lazo de la curva ( x - 4 a ) y 2 = a x ( x - 3 a ) . Desarrollo (x —4 a) y = a x (x -3 a )

2

y =

j = n fI 3ü a x ( x - 3 a ) dx = n If 3“ y 2dx x —4 a Jo Jo

ax(x-3a) -----. Luego: x-4 a •3a

J 4 a* (ax + a~ H---------- )dx x-4 a 10 Jo

334

Eduardo Espinoza Ramos

335

Aplicaciones de la Integral Definida

2 9 -x , ÜX i i 1 /j = ^ ( - z - + a * + 4« ln(jc-4a))/ = * (— + 4o 3ln (-— )) • o 2 4a = n ( ~ — 4 a 3In4) = ^ - ( 1 5 - 1 6 1 n 2 ) 1697

2

Hallar el volumen del cuerpo que se engendra al girar la cisoide y 2 = — — 2a - x alrededor de su asíntota x = 2a. Entonces para nuestro caso se tiene:

Desarrollo

H V = n \ (^fxy )2 dy = K [ ky dy = nk — I -=nk 2 Jo Jo 2 • o

R~ como kt = — H

HR H 2 R2 V = n — (— ) = n 2 H 2

1699

Un segmento parabólico recto de base igual a 2a y de altura h gira alrededor de su base. Determinar el volumen del cuerpo de revolución que se engendra (“Limón” de Cavalieri). Desarrollo 4 2

V - 2n \ ( 2 a - x)y d x ; para nuestro caso por simetría se tiene: Ja r 2a

IT.

/»2a

V = 4n \ ( 2 a - x ) x - = = d x = 4 n Jo \'2 a - x Jo

j(2 a -x ).x jx d x

calculando la integral, completando cuadrados se tiene: V = 2n V 1698

Cuando y =h, x = 2a; Luego k = - ^ — como: x" = ky => x = yfky = g ( y ) ; h por el método de la corteza cilindrica al hacer rotar alrededor de la recta x = h, • b se tiene: V = 2t t Í ( k - y ) g (y )d y , por lo tanto: Ja

3

Hallar el volumen del paraboloide de revolución, si el radio de su base es R y su altura es H. Desarrollo La ecuación de la parábola es x~ =ky de donde x = yjky cuando x = R, R2 y = H, luego k = — como:

eb V = n \ [f( x ) ] 2dx Ja

336

Eduardo Espinoza Ramos

Aplicaciones de la Integral Definida

337

f i— - 7- 2- i h16i 4a 2 V = 2tc I ( / i - y)y¡ky dy = 2 n k 2 (—hy 2 — v2) / = — ^ a / r donde k = — — Jo 3 5 / o 15 h 1700

Demostrar que el volumen de la parte del cuerpo de revolución, engendrado al girar la

hipérbola

equilátera

x~ - y 2 = a 2

alrededor del eje OX que

intercepta al plano x = 2a, es igual al volumen de una esfera de radio a. b)

Al hacer girar el tubo cilindrico alrededor del eje Y se tiene: V = 2 i r j x y d x ; de donde para x = 0, t = 0 ;

Luego:

^=1 In x y dx = 2/r Jo Jo •

x = 2rta, t = 2n

a(t-sent)a{ 1 - eost Y a dt

2n

V = 2ira 3 I (1 - e o s í) 2(/ - sent)dt = 6n i ai ’o

í

V

p 2a y 2dx = n I

ñ 2a = ;r i

Ja

r, 8fl3

~3

Ja

3

2

c)

(x 2 - a 2)dx = n ( x i - a 2x ) /

'a

El eje de simetría es x = Tra, y el volumen de este rectángulo rotado alrededor de la figura es dV = 27i(7ta - x) y dx, de donde: n

3 2fl3 2fl3 4 ^ 0 3 T ~ " n = « — +~ r , = —

V

V = f " dV = 2ain f ( n - t + sent)( 1 -eos t)~ dt Jo Jo

que es el volumen de una esfera de radio a.

.3

_

eos 21 ^ ,

V = 2<x'n í ( n - t + sent)(---- 2 cos t H--------- )dt

1701

Jo

Hallar los volúmenes de los cuerpos engendrados al girar la figura limitada por un arco de la cicloide x = a (t - sen t), y = a (1 - eos t) y por el eje OX alrededor de: a)

Del eje OX.

b)

V=

Desarrollo

;

sugerencia:

2

2 1 + cos 21 cos" t = -----------

Del eje OY.

1702 c)Del eje de simetría de la figura.

n a 3(9n 2 -1 6 )

2

Hallar el volumen dei cuerpo engendrado al girar la astroide _y = asen ^t, alrededor del eje OX. Desarrollo

x = a eos ’ t ,

338

Eduardo Espinoza Ramos

339

Aplicaciones de la Integral Definida 1704

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la curva

r = a c o s ‘ \|/

alrededor del eje polar. Desarrollo Í

tt

X

x y x —a eos 3 t , eos 3 t = —; y = asen 3 t , sen 3 t = — a a

-

eos 2 1 =

-

(—)3 , sen2t = (—)3 entonces 2

2

2

2

sen2í + eos 2/ = (—)3 + (—)3 = a a

1

1

1 La variación de la integral desde y = 0 hasta y/ =

2 3

de donde jc3 +>,3 = a 3 ; y = (a 3 - jc 3)2 2

(27rf

2

2?r f í 3 , . 47T f: ( r } seny/ dy/ ) = — 2a 3eos 6y/ senyr dy/ luego V = 2(— ) 3 Jo 3 Jo

3

ÍV) = V = 2(2tc\ x(a 3 - x 3 ) 2 dy) =— na2 105 Jo

1703

V=W 3

Hallar el volumen del cuerpo que resulta de la rotación de cardioide r=a

(1 + eos y ) alrededor del eje polar. Desarrollo

27r ^ Como V = — | r send d 6 . entonces Jo

3 Jo

2n r

3

3

V = — I «’ (1 + cosi//) íe/¡y/ dy/ =

3 Jo

K

\4 27raJ (1 + cosi//)4 /“ —---------- -■■■■/ 3 4 /o

1705

cos7 y/ p = W 7 / 0 21

= W 21

Hallar el volumen del obelisco, cuyas bases paralelas son rectángulos de lados A, B y a, b y la altura es igual a h. Desarrollo A

340

Eduardo Espinoza Ramos A

La ecuación de !a recta L:

341

Aplicaciones de la Integral Definida

a

a

~92 ~ 9

2

h

y —- = —— —(x - 0)

y =

A -a

a

2h

2

--------- x -i—

La ecuación de la recta L ': A

2

z=

b

B -b

a

2h

B -b

---------- x

2h

-(.v - 0)

b +— 2

Área del rectángulo, MNOP es: A = (2y).(2z)

Adx=

= f

Jo V

i/

V

1706

* 41Jo‘ h

= —

3

f

(2y)(2 z)dx

Jc y zd x

=4[

(A

-a)(B -b) x

( A - a ) b x~

Ah

Ab Ba (AB H------- + —

2

- +

2

2

(B-b)a x

+-

Ah

2

f ha x b x , abn Ch 2 , abn .x 3 ¡ h abnh 3 — .— dx = — T- \ x-dx = — ^-(— ) / = 3h¿ J0 h h h~ Jo h 3/0

V=7t \

ab i I ■at>

A 4

/ c V=

h , An Ab + aB ab) = —(AB + --------------- i- ab)

3

2

abnh

3

1 Hallar el volumen del cono elíptico recto, cuya base es una elipse de semi ejes a y b, y cuya altura es igual h.

Sobre las cuerdas de la astroide x 3 + y3 = a 3 paralelas al eje OX, se han construido unos cuadrados, cuyos lados son iguales a las longitudes de las

Desarrollo El i - esimo disco elíptico de la figura tiene por volumen

1707

2

cuerdas y los planos en que se encuentren son perpendiculares al plano XOY. dV = rcAB dx,

Hallar el volumen del cupero que forman estos cuadrados.

donde A y B son los semi - ejes. Desarrollo Luego por semejanza de triángulos se tiene: A

x

B

X

a

h

b

h

— = —, — = — de donde

ax bx A=— , B=— h h

Para el volumen del i - esimo sólido se tiene dV = área base x altura pero área base = ( 2a ) 2 y la altura es dy, luego:

342

Eduardo Espinoza Ramos

343

Aplicaciones de la Integral Definida

El volumen de i - esimo disco circular de la figura es dV = n y 2d x ; donde 2

2

iL + Z _ = i «2 b 2 Luego el volumen será cuatro veces el volumen de la región comprendida por le arco de AB es: fa r rab ■> -> V = 4 I dV = 41 n y 2dx = 4 n \ — (a 2 - x 2)dx Jo Jo Jo a" V=

2f Jo pq

2

2

ma

4

2

2

,b 2 , 2 I . I a 4b2n , 3 8/? V ;r 8Jtab2 = 4 - ( a 2x - x 2) J = — — ( a ^ - a 2) ^ - — — = — — a~ • o a" 3a“ 3

4

V = 8 j (a 3 —_y3)dy = 8 I (a 2 —3a 3 y 3 + 3 a 3;y3 —y 2)dy

Jo

Jo 4

1709

2

v 2 9 a 3 | 9«3 I # " 128 3 V =8 ( a y -----------------------— y J + ----------y 3) / 5 7/ o 105

El plano de un triangulo móvil permanece perpendicular al diámetro fijo de un círculo de radio a. La base del triángulo es la cuerda de dicho círculo mientras

= ----------

que su vértice resbala por una recta paralela al diámetro fijo que se encuentra a una distancia h del plano del círculo. Hallar el volumen del cuerpo (llamado

1708

Un círculo deformable se desplaza de tal forma que, uno de los puntos de su circunferencia descansa sobre el eje OY, el centro describe la elipse

2

2

conoide) engendrado por el movimiento de este triángulo desde un extremo del diámetro hasta el otro.

x y . ~¿2 + ^ 2 = 1, mientras que el plano del círculo es perpendicular al plano XOY,

Desarrollo

hallar el volumen del cuerpo engendrado por dicho círculo. Desarrollo

A=

2

= y.h

A(x) = j a 2 - x 2h

\plicaciones de la Integral Definida

345

Eduardo Espinoza Ramos

344

2

1711

V = J A(x)dx = J

\la 2 - x 2hdx = 2 h j \¡a 2 - x 2dx

2

y f-— z < x , interceptado Hallar el volumen dei segmento parabólico elíp tico ----2p 2 q por el plano x = a. Desarrollo

a reseni n — 7 JL + = 2 a h[2a 1710

] / a = 2a 2h(—) a lo 4

V=

n a 'h

La sección del sólido determinado por un plano paralelo al plano distancia x del origen, es una elipse cuya área es:

-> 2 _ 2 Hallar el volumen de! cuerpo limitado por los cilindros x~ + z - a e 2

y +z

2

>'z a una

A = n zy como y = yj2px , z = y¡2qx

2

= a¿.

luego: A = n^2px.^¡2qx = 2nx*Jpq . Por lo tanto:

Desarrollo 2

2

2

2

2

2

Las ecuaciones de los cilindros es: x + z ■—a~ y +Z = a de ( 1) se tiene: x = y¡a2 - z 2

;

...

(1)

... (2)

de (2) se tiene: y = Va2 - r

además el área de la sección es: xy, es decir el área = xy = a —z

Luego.

a 3 . 16a3 V = s f (a 2 —z2)dz = 8 (a 2z - 4 —) ^ = 8(a 3 ——) Jo mo r— a V = I 2n x j p q dx = 2 yf p q 1—■/ = n a 2J p q

2/0

Jo

1712

Hallar el volumen del cuerpo limitado por el hiperboloide de una hoja X2 a

2

V 2z — ----- - = 1 ; y losplanos z =0 y z = k. b

c~

Desarrollo Para cada valor z en [0,h] se tiene una sección plana elíptica al plano XY 2

anotada por la elipse — ■+ a" b

2

,2

2

el área de la sección plano es = n. c

Eduardo Espinoza Ramos

346

x2 y 2 c1 + z 2 (producto de semi - ejes), como — + = \—

Aplicaciones de la Integral Definida

6.4.

347

A R E A D E U N A S U P E R F IC IE D E R E V O L U C IO N .E1 área de una superficie engendrada por la rotación alrededor del OX, del arco

X =

de una curva regular y = f(x) entre los puntos x = a y x = b, se expresa por la

a 12 2 - \ l c ¿+ Z luego: V =

formula:

rh nxydz

Jo

y = —yfc2 +Z2

Sx = 2j" y ^ - d x = 2;r j* yyjl + y ,2dx

C

... ( 1 )

donde ds es la diferencial del arco de la curva. V = n \ —>Jc2 + z 2 —Ve2 + z 2dz = - j - í (c 2 + z 2)dz Jo c C c Jo

Cuando la ecuación de la curva se da de otra forma, el área de la superficie S x , se obtiene la formula ( 1), efectuando los correspondientes cambios de variables, es decir:

abn i zJ i h abn , 2, h 3 , n = — (c 2z + — ) / = — (c A+ — ) = a¿tor(l + —y ) r2 3 I o c¿ 3 3c

1713

V

*> 2 z7 x“ y Hallar el volumen del elipsoide — + — + — = 1 a b2 c2

1714

dy

En la figura se dan las dimensiones de un espejo parabólico AOB. Hallar la superficie de este espejo.

Desarrollo

Desarrollo ">

2

2

2

Una sección plana elíptica al plano xy

, x~ y c -z anotada por la elipse — + — - , a b c

se obtiene para cada valor de z en

[-c,c] donde el área de dichasección es:

a = n por el producto de sus semi - ejes de la elipse, donde se tiene:

x = - y J c 2 - z 2 y y = -by j c 2 - z 2 luego: c c

Adz = j

V=J

nab

2 '

3

sea y 2 = 4 px el punto a(a,4a), de donde 16a2 = 4ap entonces p = 4a

—z 2 ■'Je2 - z 2dz = —y - J* (c 2 - z 2)dz

^

- \ nabc /

-c

C

3

Ó

D

por lo tanto

i = 2n

y 2 =16ax => y ' = 2.

J*^ y yJl + y ’2dx = 2n J

£ 4a

4 \[ax. 1+ — dx = 8na I yfx + 4a dx X

Jo

Eduardo Espinoza Ramos

348

Aplicaciones de la Integral Definida 2 . du , sea u = tg x => du —see x dx => —---- = dx u~ +1

3

= 8ttV ^ - X-+ *a y ¡ Q a = ~ - ^ [ ( 5 a )2 - ( 4 a) 2 ] = ^ j - a 2(5^5 - 8)

2 1715

349

1 ' du i = 2n j 4tgx-J 1+ sec4x d x = 2n u-J(u 2 + l)2 + l u 2 +1 Jo Jo

I

Hallar el área de la superficie del “huso” que resulta al girar una semi - onda de la sinusoide y = sen x, alrededor del eje OX.

z —u

sea

Desarrollo

2 ,

dz

,

+1 => — = u du 2

2 . .2

desde x = 0 hasta x = n como:

. _ f 1 f. 2 7 du . f ' / z " +1 , A = 2n I u J ( u ~ + l Y + l ——- = 2 | ---------- dz Jo u +\ Ji z

A = 2n í ysj\ + y '2dx = 2n j senx\¡\ + eos 2 x dx = 2/r í s e n x j 1+ cos 2 x dx Jo Jo Jo

A = 2 n \ — —— dz efectuando la integral, se tiene: Ji z

Un arco completo de la curva y = sen x se obtiene haciendo varias x

consideremos u = eos x => du = - sen x dx

A = n ( S - S - ) +n \ n ^ ^ V5+1

cuando x = 0, u = 1 ; x = n, u = -l. luego: 1717 A = 2n j* senx\Jl + cos 2 x dx = ~K j

>/l + w2(-du) = 2 n j yj\ + u 2du

Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación alrededor del eje OX, del arco de la curva y = e~x comprendido entre x = 0 y x = +°°. Desarrollo

= 2 Jt[—-ju 2 +1 + —ln (u + yju2 + 1) ] / = 7t[ (u ju 2 + 1 +ln (u + \lu 2 + 1) ) ] / 2 2 / -i / -i = 7t[(J2 + ln(l+ V2) + y¡2 - ln(—1+ V2)] = k( 2^2 + ln ^ 1 ) = 2 k ( S + In(>/2 + 1)) V2-1 1716

Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación de la parte de tangentoide y = tg x, comprendida entre x = 0 y x = — alrededor del eje OX. 4 Desarrollo

y = e~x =* y '= -e ~ x => y '2 = e~2x

J

A =2

sea

y j l + ^ f d x = 2J

e~x Vi + e~2xdx

u = e x => d u = e Xd x , para x = 0, u = 1 ; x = +°°, u = 0

A = 2 í e~x\¡l + e~2xdx = e f yj\ + u2du = Jo Ji Jo = 2n(—y¡\ + u 2 + —ln(M +1 +a 2 ) /

2

2

2 j* sj\ + u 2 da

= 7T(V2 + ln(l + V2 )) /o

350 1718

Eduardo Espinoza Ramos

Aplicaciones de la Integral Definida i

Hallar el área de la superficie (denominada catenoide), engendrada por la rotación e la catenaria

351

12na3 ,

X

12*a2

y = a cosh — alrededor del eje OX, entre los a

limites x = 0 y x = a. Desarrollo

1720

, x dv , x y = a cosh — => — = senh — a dx a

»2 i Hallar el área de la superficie de revolución de la curva x = ^ - - —\n y y alrededor del eje OX, comprendida entre y = 1 e y = e. Desarrollo

A —2*1" y. II + ( ~ ) 2dx = 2 n \ acosh —.1+ senh 2 —dx Jo V dx J0 a\ a -)2dy ra x x ra x Ca 2x A = 2* I a cosh—. cosh—dx = 2an I cosh 2— = n a \ (cosh — +1 )dx Jo a a Jo « Jo a r a , 2x , Ia 2, senh 2x n a 2 , 2 -2 = n [ a - s e n h -— + x ] / = n a (--------- + 1) = ------(e ~ - e +4) 2 a / o 2 4

a

2

1719

2

2

=- K *

r)f

¥

¥

dy

=l í , (y í ■2,n^ 2+y!+7 *

= — I (------------Xy'+lVfy =— I (y - 2 y l n y - 2 — )dy 4Ji y 4J, y

Hallar el área de la superficie de revolución de la astroide x 3 + y 3 = a 3 alrededor del eje OY. Desarrollo

= —(y 4 - y 4 1721

2,

7 , ? , #£ * . e 4 - 2 9 n(e 4 - 29) lny + y - h r y ) / = - ( — ) = ----- ----/ i 4 4 16

Hallar el área de la superficie del tuvo engendrado por la rotación del círculo x 2 + (y - b )2 = a 2 alrededor del eje OX (b > a). Desarrollo Como x 2 + ( y - b ) 2 = a 2 => y = b ± \ ¡ a 2 - x 2 Primero calcula el área ,4, de la superficie engendrado por la rotación del arco CB, como el arco CB esta definido por la ecuación: y = b + yja2 - x 2 , 0< x < a de donde

Eduardo Espinoza Ramos

353

Aplicaciones de la Integral Definida

Luego por simetría calcularemos el área A de la superficie del tubo, es decir: A = 2(A, + A2) = 2[7T2a¿7 + 27T¿r + 7T2a b -2 7 ra 2] = 4a¿OT2

1722

-> 0 jT y“ Hallar el área de la superficie engendrada al girar la elipse: — + — = 1 a~

b"

alrededor: 1)

Del eje OX

2)

Del eje OY (a > b)

Desarrollo dy

-x

d*

\¡a2 —X2

X + 2_ = i a 2 b2

A, = 27T j* ( b + a 2 -

Jo

dx = 2/r j (

-2a¿arcsen—/

a>o

+ 2jcclx/

lo

=2abn(arcsen(X)-arcsenQi) + 2na2 = ab n 2 + 2 k ü 2

ahora calcularemos el área A2 de la superficie engendrada por la rotación del arco AB donde el arco AB es definido por la ecuación y = b —yja 2 —x 2 ;

0 < x < a de donde dy

—

2 •o = 2nb f eost\¡b 2 + V(«2 - b 2sent )2 dt

a~ - x

= 2 í (b —yja2 - x 2 ) yja2 - x

- 2 a x l = n 2a b - 2n a 2 0 0 ’ 0

= 2nabaresen—/

2

-> 2uab A = 2^¿" + ———aresen E

haciendo el calculo de la integral se tiene:

y^l + (~^-)2dx = 2J (¿ -V a 2 - x 2 )J l + - ^ j d x

Jo

^0 i-------------------------/•O *--------------------------A = 2 t t | bsent^a 2sen2i + b 2 eos 2 1 dt = 2n I bcostyjb 2 +{a 2 - b 2 )sen-t dt

-------------

a 2- * 2 Ai ~

A = 27T í y(t)yj[x'(t )]2 + [ y '(/)]'di Ja

además:

Je 'Ja2

Jo

>’ = —Va 2 - x 2 , parametrizando la ecuación se tiene

x = a eos t, y = b sen t para x = 0, t = — : x = a, t = 0

x2\¡ 1+ —2T-—-dx a —x2

= 2k \ (b + J a 2 x„ 2), ---- -

^

I 2 _fo2 donde E = ------------en forma similar para la otra parte se obtiene:

o 2 n b 2 , 1+ E ¿ A Ax = 2na +----ln ------- donde EV = E 1- E

a

Eduardo Espinoza Ramos

354

1723

Aplicaciones de la Integral Definida b)

Hallar el área de !a superficie engendrada al girar uno de los arcos de la cicloide x = a (t - sent t); y = a (1 - eos t), alrededor: Del eje OX

c)

De la tangente a la cicloide en su punto superior.

2„2 En forma similar cuando es alrededor del eje Y, de donde A = 16n~a

c) Un arco completo de la cicloide se obtiene haciendo variar t en el intervalo [0,2 ti] y además el punto mas alto es en t =

b)

a)

Y iL

Luego la pendiente en t = n es:

1 1 1

0 = 2-t

í

na

puesto que:

dy dx

, por lo tanto la ecuación de la t=n=0

tangente es y = 2a.

A s (

ti

dy _ y '(0 _ asent dx x '(0 a ( l- c o s í)

Desarrollo

2a

355

V

Luego la distancia del punto p(x,y) déla cicloide a la recta tangente es

X

(2jta - y) de donde el área pedida es:

* 2na

X A = 2. t Í Jo

y(t)yJ[xX,' ( . t ) f + [ y W d t

(2 a-y)yJ[x\t)] 2 +[yXt)]2dt

Jo

de donde al simplificar se tiene: x = a ( t - sen t) =* x'(r) = a ( l- c o s r) y = a(l-cost)

, o 2 f 2* 2 t t \6 n a 2 3 / r* 7>2na2 A = Una I eos ' —sen —di = — ------ - e o s —/ = -------2 2 3 2/ o 3

Jo

=> y'(t) = asent

A = 2 x ¡ a(l - eos t)>Ja 2( Ì - eos t )2 + a 2sen2tdt = 2Jta2 f Jo

Jo

2 t 1-COSÍ sen" —= --------i ">

A = 2na 2

( l - c o s í^ V l - c o s ? dt

f 2* J0

Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación alrededor del eje OX de la Cardioide x = a (2 eos t - eos 2t); y = a (2 sen t - sen 2t). Desarrollo

f 1. - eos t. = o2 sen 2 — 2

x=a

. t r 2* t 2 sen 2 - M M s e n ( - ) d t = 8*«" rc «3 2 2 Jo 2

= 8* a 2 ( - 2 eos - + - e o s 3 - ) / ^ = 8* o 2(2 + = 2 3 2 /0 3

1724

64^ — 3

(2 eos t - eos 2t) => x - a ( - 2 sent + 2 sen 2 t)

y = a (2 sen t - s e n

2t) => y'= a ( 2 c o s í - 2 cos 2r)

A = 2 ¡ y(t)y¡[x'(t )]2 +[y\t)]2dt Jo

Eduardo Espinoza Ramos

356 l*Æ

Se tiene: A -= 22n , I1 ' ,rseny Ir2 + ( - ^ ) 2d y Jo

i = AKyfla2 I lisent ~ sent eos t)\¡\ -eo s.' dt = 8n\Í2a2 (1 - c o s t )2 sent dt Jo Jo « / o

128 5

16 vR2wa“( -1/,l- c o s í sí 1/5 na A. = — )2 // " = — 5

1725

357

Aplicaciones de la Integral Definida

2

A = 2;r | 2a(l + eos y )senyy¡4a 2( 1+ eos i//)2 + 4a2sen 2y d y Jo

A = 8;rfl2 [ (l + cosy)senyyJl + 2 c o s y + COS2 y + sen2y d y

Hallar el área de la superficie engendrada al girar la Lemiscata r 2 = a ° cos2\|/

Jo

alrededor del eje polar. Desarrollo

= 8^rt2 l seny( 1+ eos y )\Í 2

+ cosy d y

Jo

K

^

= Sna 2 \Í2 j (1+ + COSI//)2 seny d y = -%Jta2 \¡2 Jo 5

16 / t 2 .. a In A = ----- \[2n a 2 (l + c o s y )1 1

6.5.

0 7T >= 47M 4 Jo

Hallar el área de

.

1287ra

A=-

M O M ENTO S, CENTRO S DE G RAV ED AD , TEO R EM A S D E G U L D IN . MOMENTO ESTÁTICO.Se llama momento estático de un punto material A, de masas m, situado a una

, , a"sen~ 2 y , eos l y s e n y ^ a " eos 2i/a + — — ----- d y

distancia d, del eje

1, con respecto a este mismo eje 1 , a la magnitud

M, = md .

f4 A = 47r« J 4aseny d y = -A n a 2 c o s y J 1726

5

~ ■/ /o

la

superficie

t y¡2

Se denomina momento estático de un sistema de n - puntos materiales, de

4 = -4 ;ra 2[ - ^ - - l ] = 2(l--V 2 );ra

engendrada

por

la

rotación

de

masas m] , m 2 ,..., mn situados en el mismo plano que el eje 1, con respecto al la

cual se toman y separados de el por la distancias d x, d 2,..., dn la suma es:

cardioide r = 2a (1 + eos y ) alrededor del eje polar. Desarrollo

M x = 2 ^ m idi i=i

...(a )

Eduardo Espinoza Ramos

358

Aplicaciones de la Integral Definida

359

debiendo tomarse la distancia de los puntos que se encuentran a un lado del eje

1, con signo mas (+), y los que están al otro lado con signo menos (-), en forma similar se determina el momento estático de un sistema de puntos con respecto a un plano. Si la masa ocupa continuamente toda una línea o una figura del

donde d{, d 2, ..., d n son las distancias desde los puntos al eje 1 , cuando la masa es continua en lugar de la suma, obtendremos la integral correspondiente.

plano XOY, los momentos estáticos M x y M y , respecto a los ejes de coordenadas

OX y OY en lugar de la suma (oc), se expresa por las

©

CENTRO DE GRAVEDAD.-

correspondientes integrales. Las coordenadas del centro de gravedad de una figura plana (ya sea arco o Cuando se trata e figuras geométricas, la densidad se considera igual a la

superficie) de masa M, se calcular por la formula:

unidad en particular: ©

My

Para la curva x = x(s); y = y(s), donde el parámetro s es la longitud del

M ' y

Mx M

arco, tenemos: donde M x , M y son los momentos estáticos de las masas, cuando se trata de figuras geométricas, la masa M es numéricamente igual al correspondiente arco o al área. Para las coordenadas del centro de gravedad ( X, Y ) de un arco donde ds = \](dx )2 + (dy )2 es la diferencial del arco.

de curva plana y = f(x), (a < x < b), que une los puntos A(a), f(a) y B(b), f(b) tenemos:

©

Para una figura plana, limitada por la curva y = y(x), el eje OX y dos verticales x = a e y = b, obtenemos:

Mx

©

í -* ■ds _ * A____

My =

M OM ENTO DE INERCIA.Se llama momento de inercia, respecto a un eje 1, de punto material de masa m,

s

f xyjl + (y')~dx J a __________ "

{yds y —J a '

Ja

m ¡, m2 , •••, mn a la suma:

1 de un sistema de n puntos materiales, de masa

}’\J\+(y')2dx _________

‘ J Tn + ( y T d x Ja

Las coordenadas del centro de gravedad (X ,7 ) del trapecio mixtilíneo a<x

0 < y < f(x) se puede calcular por las fórmulas:

situado a una distancia d, de dicho eje 1, a un número I¡ = >nd2 . Se denomina momento de inercia a un eje

5

"

f Ja

Tb

J

y * s

y

Í

y 2dx

a S

360

Eduardo Espinoza Ramos

361

Aplicaciones de la Integral Definida

donde ds = I y dx es el área de la figura. Ja

Ai,

V

Jo a

a2

a2

2

/ o

En forma similar se emplea para hallar las coordenadas del centro de gravedad

4

b'Ja2 + b 2

byja2 + u2

de los cuerpos sólidos.

M. = - "

2a

t - - [0 - a 2]

TEOREM A DE GULDIN.M

TEOREM A 1.- El área de la superficie engendrada por la rotación del arco de

=>

)2d y , donde x = - ( b - y )

b

dy

b

una curva plana alrededor de un eje situado en el mismo plano que la curva, pero que no se corta con ella, es igual al producto de la

M

longitud de dichos arcos por la longitud de la circunferencia que describe el

a U b 1
=I t

centro de gravedad del mismo. a-ja2 + b 2

TEOREM A 2.- El volumen del cuerpo engendrado por la rotación de una

Ib2

figura plana alrededor de un eje, situado en el mismo plano que la figura, pero que no se corte con ella, es igual al producto del área de dicha figura por la longitud de la circunferencia que describe el centro de

1728

Hallar los momentos estáticos del rectángulo de lados a y b, respecto a estos mismos lados. Desarrollo

gravedad de la misma. Y 1727

x =a

Hallar los momentos estáticos, respecto a los ejes de coordenados, del

y=a

segmento de la línea recta. b

Desarrollo x

y

a

b

—+ — = 1 , comprendidos entre dichos ejes de coordenados

0

a

X

Los momentos estáticos respecto a los ejes coordenados es: Para el eje y = b, se tiene: M b = 1 bxdx = Jo

a 2b

f

u - ‘

1 yí * X

y

a

b

W

como —+ — = 1 =»

dx

• " • =i b/

xf ^ W

„

dy

dy

b

dx

a

y = - ( a - x ) , — = ----a

rb ab 2 Para el eje x = a se tiene: M a = I ay dy = ----Jo 2 Luego los momentos estáticos respecto a los ejes x e y respectivamente son:

Eduardo Espinoza Ramos

362

M 1729

ab

M

363

Aplicaciones de la Integral Definida

ab

Hallar los momentos estáticos respecto a los ejes OX y OY y las coordenadas del centro de gravedad x + y = a, x = 0, y = 0. Desarrollo

I I I l 11 dy (J x 3 + y 3 = a 3 ; v = ( a 3 - J r3)3 derivando — = --------- ------- se sabe que dx i

*3

r Area = A = I (a Jo

Af _ f°

2

Mx =\ í Jo /o

x(a-x)dx = a6 y — = I y(a-y)dy = a x Jo

J Jo

2

. 2

-dx

■I

2 3

1

(a 3 - a 3)2(—)3dx = —a 2 x 5

realizando el mismo procedimiento se obtiene:

, y = —1 donde M es la masa y para este caso, M M - Ai, — — a Mv es el área; es decir: M = A luego x = — —, y = —— de donde x = y = — y A A 3

Para encontrar x =

1 11 (a 3 —,*3)2 1 + -

M,

las coordenadas del centro de gmvedad son:

M

los momentos estáticos

M x

M y

M M x = — - , y = —- , donde M es la masa total para nuestro caso, para el arco M ' M 2

a

2

2

va de (0,a) y (a,0) de la curva: x 3 + y 3 = a 3 nos piden hallar (x, y ) , como

6

i _I 1730

Hallar los momentos estáticos respecto a los ejes OX y OY y las coordenadas 2

2

2

del centro de gravedad del arco de la astroide: x 3 + y 3 =-a3 situado en el primer cuadrante. Desarrollo

dx = a ' .V :' d x .

3a i i l — I a 3x 3dx = ~ a Luego: x = - ~ — = ^ a

Jo

A

2a

5

en forma similar y = ^ a

Eduardo Espinoza Ramos

364

1731

Aplicaciones de la Integral Definida

Hallar el momento estático de la circunferencia r = 2a sen 0, respecto al eje

365

ra x ¡a Sea L = longitud del arco indicado = I ds = asenh — /

polar.

J-a

Desarrollo

a! -a

L = a senh (1) - a senh (-1) = 2a senh (1)

Mx = í

yds= í

J ~a

acosh2 * d x = a \

(cosh — + \)dx

d

a

j ~a

J —q

M x = a(—senh — + x) / = [(—senh 2 + a ) - ( —senh(- 2 ) - a ) ] 2 a • -a 2 2 M x = a(asenh( 2 )+ 2 a) = a 2(2 + senh( 2 )) M

pa = I xds = I

J-a

J-a

x c o sh --dx= (axsenh — a 2 cosh—) / « a a /

-a

M y = (a 2senh(\) - a 2 c o s h ( l) -(-a 2ie n / j ( - l ) - o 2 cosh(-l))

M =A =

M y = a 2 (senh(\) - cosh(l) + senh(- 1) + cosh(-l)) = 0

fiJT

a/j

= 2a 2 (l-cos20)dfl = 2a2( Jo 1732

Q

. ~ M y 0 - M a 2 (2 + senh( 2 )) luego: x = — - = — ——— = 0 ;y = — - = — --- ---------------L 2asenh(l) ' L 2asenh(X)

jr

) / = 2a2( n -0 ) = 2a2n 2 / o

- _ a (2 + senh( 2 )) - - _ 2 senh(l) ’

Hallar las coordenadas del centro de gravedad del arco de la catenaria y = ac o sh — comprendido entre x = -a y x = a. a

Desarrollo

1733

a (2 + senh( 2 )) 2 senh(\)

Hallar el centro de gravedad del arco de circunferencia de radio a, que subtiene el ángulo 2a. Desarrollo Si

x coincide con al abscisa del centro de gravedad de la mitad superior e

— . dx y y = 0 , tenemos: Si — = — , y, dy x

dx 2 a2 l + (— )= — dy x

Eduardo Espinoza Ramos

366

*2n j *2x i M x = I y d s = I a (\-c o s t) la s e n —d t = 4 a 2 \ sen3(—)dt Jo Jo 2 J0

Puesto que x 2 + y 2 = a 2 para la mitad superior del arco se tiene: S = T - a. aax | Jo

í

dr {aserta x
a a x - a sena

-

367

Aplicaciones de la Integral Definida

32 M x = — a 2 en forma similar para M y = 8a zJt.

aseria a

x = ----- — Luego el centro de gravedad es: 31a2 - M 8a2n - M 3 4 x = - + = — — = a n ; y = - ± = —2— = - a L Sa L Sa 3 1735

=>

---4 (x, y) = ( a n , - a ) 3

Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por la x 2 2y elipse — + — = 1 y por lo ejes de coordenadas OX y O Y: (x > 0, y > 0 ) a~ b'

Por lo tanto el centro de gravedad esta sobre la bisectriz a una distancia sena a.------ del centro de la circunferencia. Entonces el centro de gravedad del a arco de circunferencia esta: 1734

Hallar las coordenadas del centro de gravedad del primer cado de la cicloide: x = a (t - sen tj, y = a (1 - eos t). Desarrollo Se conoce que ds = \j(dx )2 +(dy )2 = asen X dt puesto que (dx )2 - a 2 ( l - e o s t) 2 (dt )2 => (dy )2 = a 2sen 2t(dt )2 yj(dx)2 + (dy )2 = íj^ /(1 - cosí)2 +sen2t dt = a\Í 2 y fl- c o s t dt = lasen —dt [ 2iz

[ 2k

= J ds= \ Jo Jo

t t ! 2k lasen —dt = —4a eos — / =8 a : 2/ o

(0 < t < 2k). Desarrollo

368

Eduardo Espinoza Ramos

1737 M

X

=

f

yf(y)dy=

Ja

f

Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por el primer arco de la cicloide x = a (t - sen t), y = a (1 - eos t) y por el eje OX.

^-yyjb2 - y 2dy = ^ ~

JO &

369

Aplicaciones de la Integral Definida

3

Desarrollo Las coordenadas del centro de gravedad son: 1736

x = ——= — ; y = =— M 3n M 3n

Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por las curvas y = x 2, y = \[jt . Desarrollo x = a (t - sen t), y = a

(1 - eos t)

pina

r»¿>

f f M = J ydx = J

y d x , (0,0) si t = 0, ( 2rca,0) si t = 2ji

Ahora encontrando el área se tiene:

1k pin .2 n M = f y d x = f a( 1 - cos t)a( 1 - eos t)dt = a 2 I Jo Jo Jeo

(1 - eos t )2dt

M = 3a n , ahora calcularemos M x , M y A- = y

' \fx + x 2

1o

f~

2

3

---- ----- ( y ¡ x - x - ) d x = —

2

20

a 2 (1 - eos í) 2fl(l~ eos t)dt

M.

3 p2n ,, c _3_ .3 . 5a tí (1 -c o s /) dt = ------

— M — M — g y = ~ r r i x - —— '■ luego: y = - ~ = — M M

4 i: b

para x se tiene

3 A- = — A

1

20

: A~ x~J X <^~X~

9 ; Luego: I => x = -— 20

x 2 )dx

M

fin

x)dx = = f x f(f (x)dx = If r2

x = y -= —- 9 20

a ( t -s e n t) a (\-e o s t)a (l-e o s t)dt

Jeo

Ja

=a3fJo

(t - sent)(\ —cost)2dt = 3 Jt2a3

370

Eduardo Espinoza Ramos

Por simetría se tiene que el centro de gravedad se encuentra en el eje Y; luego:

5ain - _ M v 3a 'n M 2 ' 5 x - - ¡ r r ~ - — Y ~ n a ' y ~~Tr~~TT~ =7 a M 3na M 3a n 6 1738

j c =z = 0

- 5 (x ,y )-(n a ,-a )

6

Calcularemos M xz = momento estático del cono, respecto del plano XZ. El disco de la figura de base paralelo al plano XZ., tiene volumen dv = na~dy, r ■ donde el radio a, por semejanza de triangulo se tiene: a = —( h - y ) - , Luego h

Hallar el centro de gravedad del hemisferio de radio a con el centro en el origen de coordenadas sobre el plano XOY. Desarrollo

ñh

tenemos que: Se conoce que ds = 2nr dz, donde r = a por hipótesis y dz es la altura de la

2k zona esférica.

f azdz

Hallar el centro de gravedad de un cono circular recto homogéneo, si el radio

_

ph

Luego el centro de gravedad esta a la distancia de

2

de la base es r y la altura es h.

2

2»2

. _ f . 7ir f . \2 j h M xz = ydv = —— I y ( n - y ) ay = 12 'J o h' Jo

h ,, n r 2h Luego y = —— = — puesto que V = y 4 3

z = — —-------- = — I z d z - — lúa1 a Jo 2

como x = y = 0 => el centro de gravedad es (0, 0,—) 1739

371

Aplicaciones de la Integral Definida

3

a partir de la base del

cono. 1740

Hallar el centro de gravedad del hemisferio de una bola homogénea de radio a, con el centro en el origen de coordenadas situado sobre el plano XOY.

Desarrollo Desarrollo Determinaremos z para esto se tiene lo siguiente: la masa de una de las caras elementales (dividido el hemisferio) por medio de planos paralelos se tiene: dm = P n r 2dz , donde P es la densidad, z la distancia entre el plano secante y

la base del hemisferio, r = s]a2 - z 2 , el radio de la sección, tenemos:

f

n («2 - z 2)dz 3 z = J o----------------= —a ; Luego por simetría se tiene: x = y = 0 2 -„3 8 —na 3 3 El centro de gravedad es: C.G. = (0,0, - a)

Eduardo Espinoza Ramos

372

1741

Hallar el momento de inercia de una circunferencia de radio a, respecto a su

373

Aplicaciones de la Integral Definida

1743

propio diámetro.

Hallar el momento de inercia de un segmento parabólico recto, respecto a su eje de simetría si la base es 2b y la altura es h.

Desarrollo

Desarrollo

r 2 I 7v7 Se conoce que: 7 = 41 y .11 + (— y dx Jo V dx

_ 4hb 3

15

Donde la ecuación de la circunferencia de radio a, es:

2 2 =a 2

X +y

, ‘ 4l ^

I2

3

/ = 4a I eos Jo

f

1742

dx

( a 2 ~ x2)i

n ,

1744

dy X => y 2 = a 2 —x 2 y — =—

+ 7 dx

= 4Jof \ C 2

y

je

3,0

Desarrollo

2dx

.« . send.cosd ¡ K 0¿0 = 4a (—+ ------------- ) / 2 2 / 0

2 /1

Hallar el momento de inercia de la superficie de la elipse —- + — = 1, a b respecto a sus ejes principales.

=»

,

.

3

.* .

I = 2a (—) = Ka

3

2

Hallar el momento de inercia de un rectángulo de lados a y b, respecto a estos lados: I a , l h . Desarrollo De acuerdo a la figura, el momento de inercia del tubo cilindrico generado por dm

Se conoce que / = I r dm I'

/ a = T y 2dm = a f y 2dy Jo Jo

dy

rotación alrededor del eje X, del rectángulo R de la figura que tiene por base dy, y altura 2x.

/ ' =-

3 ' o

Es decir: dla = y 2dv = y 1 (2ny)(2x)dy

d la = 4ny3xd x Luego Ia = I dla = 4n I y 'x d y

Jo

I, = I x“í/m , donde dm = b dx Jo

r

Jo

para esto paramétrizamos haciendo:

4=1

fJo

xAbdx = b^ l o =*

4 =

¿o1

»ft x = a eos t, y = b sen t; Ia = 4 n \

Jo

b 3sen3t.a eos íi> eos t dt

Eduardo Espinoza Ramos

374

n

n calculando la integral se tiene: I = — —— donde r es la densidad del cono.

Ia = 4 rtab4 I “ sen?t eos 2 / dt = 4nab4 I "(1 - eos 2 1)eos 2 t.sent dt Jo Jo 1747

, 4 . cos3í cos5r / r 8nab 4 . . - 4nab (--------- + --------) / = --------- en forma similar para el otro caso. 3 5 / o 15 1745

315

Aplicaciones de la Integral Definida

Hallar el momento de inercia de una bola homogénea de radio a y masa M, respecto a su diámetro. Desarrollo

Hallar el momento polar de inercia de un anillo circular de radios /?, y R 2

Escogemos un disco delgado paralelo al plano XZ y suponiendo que la

(Rl < R2) , es decir el momento de inercia respecto al eje que pasa por el centro del anillo y es perpendicular el plano del mismo.

densidad es P, el momento de inercia de un disco delgado de radio x, respecto al eje Y es ~ x 2 para hallar el momento de inercia I y de toda la esfera se

Desarrollo suman los momentos individuales que acabamos de hallar en donde: Dividimos el anillo, en anillos elementales concéntricos, donde la masa de cada uno de estos anillos será dm = r 2r

k

dr y el momento de inercia es:

C

I = 2 n \ r ' d r , donde r = l entonces Jr, 1746

4

R

dM = Pdv = Pnx2dy entonces í v = - ( P n x 2dy)x 2 = — Px4dy

y

2

2

jr

I = 2 n .— / 2= —(R% - R ? ) 4 / r, 2 21

Hallar el momento de inercia de un cono circular recto homogéneo, respecto a su eje, si el radio de la base es R, y la altura es H. Desarrollo Dividimos en una serie de tubos cilindricos elementales paralelos al eje del cono. El volumen de uno de estos tubos elementales será dv = 2rtrhr dr, donde r es el radio del tubo; es decir la distancia hasta el eje del cono.

La ecuación de la sección de la esfera en el plano XY (circulo) es x 2 + y 2 = R 2 , donde R = a.

r h = H ( 1 ----- ) es la altura del tubo, en este caso el momento de inercia es: R

Luego:

rR / = r I 2 n H (\--)r 'd r Jo ^

4 2a 2 2 7 se tiene: I „ = ( - t t a P \ ----- ) = - M a y 3 5 5

f

/„ = — (o 2 - y 2)dy = — nP R 5 como la masa es m = —n a 3P ; * Z J-a 15 3 2 ■> Respuesta: I = - M a ~ -v 5

Eduardo Espinoza Ramos

376

1748

Aplicaciones de la Integral Definida

Hallar el área y el volumen de un tubo engendrado por la revolución de un

377

Al girar la figura genera un cono cuyo

a)

círculo de radio a, alrededor de un eje situado en el mismo plano que el círculo volumen es:

y que se encuentra a una distancia b (b > a) del centro de este.

4n 3 V =— R

según el

teorema de guldin el producto del área de

Desarrollo

dicha figura por la longitud V = 2it 2a 2b; 1749

a)

S = 4 n 2ab

2

gravedad, es igual al volumen entonces:

2

x 3 + y 3 = a 3 situado en el primer cuadrante. b)

„

Área de la circunferencia =

y 2 = 2 px y x 2 = 2 py . Desarrollo - 2a

x,]\+ y '1 dx

J

comparando y efectuando se tiene: -

-

9p

b)

2n y

^ ( 2 n y) = —JtR3

Al girar el triangulo alrededor de su base genera un cono cuyo volumen Jtbh2

x=

es: V = ------- donde b es la base y h es la altura del triangulo, según el f

+ y '2dx

f y¡l + y '2dx JO

teorema de guldin este mismo volumen seria: V = 2

3 f /‘

2

7/

„

En forma similar el caso desarrollado de a)

a)

Hallar el centro de gravedad del semicírculo, aplicando el teorema de guldin.

bh x„ 2

nbh" 3

2 t t ( ———) = — - —

o

b)

donde x es

la distancia del centro de gravedad a la base, luego comprobando se tiene:

5 * / o 2a . , - — 2a x = ——-—- = — ; luego por simetría se tiene: x = y = — 3 - .a 5 5

b)

; longitud de la circunferencia =

, . , - 4R , írs4 R de donde y = — por lo tanto (0,-— ) 3tt 3/r

j" x J l + (—) 3dx

Ja

1750

rcR¿

Hallar el centro de gravedad de la figura limitada por la curvas:

j* x d x a)

la

circunferencia que describe el centro de

Determinar la posición del centro de gravedad del arco de la astroide 2

de

6.6. (T )

- h 3

=> x - —

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA A LA RESOLUCION DE PROBLEMAS DE FISICA. TRAYECTORIA RECORRIDA POR UN PUNTO.-

Demostrar aplicando el teorema de guldin que es el centro de gravedad de

Si un punto se mueve sobre una curva y el valor absoluto de su velocidad

un triangulo dista de su base a un tercio de la altura.

v = f(t) es una función conocida del tiempo t, el espacio recorrido por dicho

Desarrollo

punto en un intervalo de tiempo [tl,t2\ ser igual a:

Eduardo Espinoza Ramos

378

379

Aplicaciones de la Integral Definida

1751

-f

La velocidad de un cuerpo, lanzado hacia arriba verticalmente con una velocidad inicial v0 , despreciando la resistencia del aire, se expresa por la formula: v = v0 - g t , donde t es el tiempo transcurrido y g es la aceleración de

©

TRABAJO DE UNA FUERZA.-

la gravedad, a que distancia de la posición inicial se encontrara este cuerpo a

Si una fuerza variable x = f(x) actúa en la dirección del eje OX, el trabajo de

los t seg. de haberlo lanzado? Desarrollo

esta fuerza es el segmento [x¡,x2] será igual a:

A= ©

r

v = v0 - g t

f( x ) d x datos:

t = tiempo g = aceleración de la gravedad

ENERGIA CINETICA.-

cálculo de la distancia recorrida a los t seg.

Se da el nombre de energía cinética de un punto material, de masa m y velocidad v, a la siguiente expresión:

ds v « - = v0 - s ,

=> Jo

f'(v 0 - gt)dt Jo

La energía cinética de un sistema de n puntos materiales de masas m¡ , m2 ,..., s = v0t - g -

mn , cuyas velocidades respectivas sean v¡, v2 ,..., v„ es igual a:

1752

Para calcular la energía cinética de un cuerpo, hay que dividirlos convenientemente en partes elementales (que juegan el papel de puntos

La velocidad de un cuerpo, lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial v0 , contando la resistencia del aire, se expresa por la fórmula v = cJg(~— y + arctg — ) donde t es la tiempo transcurrido, g es la aceleración c c de la gravedad y c es una constante, hallar la altura a que se eleva el cuerpo.

materiales) y después, sumando la energía cinética de estas partes, y pasando a Desarrollo

limites, en lugar de la suma ( 1) se obtendrá la correspondiente integral. ©

PRESION DE LOS LIQUIDOS.Para calcular la fuerza con que presionan los líquidos se emplea la ley de pascal, según la cual, la presión que ejercen los líquidos sobre una área s sumergía a una profundidad h es igual a: p = yhs, donde y es el peso especifico del liquido.

v = c / g ( - g - + arctg (— )) datos:

t = tiempo c = constante g = gravedad

381

Aplicaciones de la Integral Definida

Eduardo Espinoza Ramos

380 dh , t v0 v = — = clg ( - g - + arctg — ) dt c c

1754

La velocidad del movimiento de un punto es:

v = te~°m u

seg

. hallar el

camino recorrido por dicho punto desde que comenzó a moverse hasta que paro por completo. Desarrollo

f dh= f [ c .tg (-g - +arctg — ))dt Jo Jo c c

dato: v = te~°'ou h = ~ — ln |s e c (-g —+ arctg— ) | / g c c >o 2

h=

2

calculo del camino recorrido por un punto desde que comenzó hasta que paro. 2

ds -oon • . v = — = te , integrando dt

ln | see ( - g —+ arctg — | + — ln(l + -y ) g C c g C¿ 2

2

2

2

2

h = - h +— ln (l+ ^ -) => 2 h = — ln(l + ^ - ) de donde g e 2 g e 1753

_ g -0-01' (1 -

0.0ir) 0.0001

2

h = — ln(l + ^ - ) 2g e

el punto para que se pare por completo es cuando v = 0 => t = 0.

Un punto del eje OX vibra armónicamente alrededor del origen de coordenadas con una velocidad que viene dada por la fórmula v = v0 cosco?, donde t es el

para t = 0, s = —

0, tenia una abscisa x = 0. a que será igual el valor medio de la

magnitud absoluta de la velocidad del punto durante el periodo de la vibración. Desarrollo

1755

Un proyectil cohete se levanta verticalmente, suponiendo que, siendo constante la fuerza de arrastre, la aceleración del cohete aumenta a causa e la

también la altura que alcanza el cohete en el instante t = tx. Desarrollo

v = — = v0cos©í => dx = v0 cos(ütdt a)

Vq

x = — sencot (O

104m

del cohete en cualquier instante t, si su velocidad inicial es igual a cero, hallar

calculo de la ley de vibración del punto.

vn cos cot d t , de donde

s=

disminución de su pero según la ley: j = ------- , (a - bt > 0). hallar la longitud a -b t

v = v0 coscor, t = 0, x = 0 a)

-m = \ 04m

(íor4

tiempo y v0 y co son unas constantes, hallar la ley de la vibración del punto, si para t =

r , f ' -ooir e“° ol'( 0.01f - l ) / ' I ds = I te dt = --------------- -------/ Jo Jo (0.01)2 / o

x = — sencot /

(0

10

= — sencüt 0)

Calculo de la velocidad del cohete: Datos:

v0 = 0 ; j = ------- » a - b t > 0 a -b t

dv A , A dt j = — = ------- => dv = dt a - b t a -b t

Eduardo Espinoza Ramos

382

Aplicaciones de la Integral Definida

fv f' Adt A , x /' I dv = I ------- => v = ------ln( a - b t ) I Jo a - b t b / o

T

A A A a A, a v = ---- \ n (a -b t) + — lna = — ln(-------------------------------------------------- )v= b b b a -b t b a -b t

H

Jo

—ln(---- —)

383

co-Fds=E„

E p - mgh , y =

mg

yv m = — donde y = peso especifico g

b) Calculo de la altura en el instante t. — = v = —ln(—-—) = —l n a - —\n(a-bt) => ds = - ( \ n a - \ n ( a - b t ) ) d t dt b a -bt b b b

V = itR~H , derivando se tiene: ( 1)

dV = nR dh

f ds = — f (ln a - ln(a - bt))dt Jo b Jo

d E p = d (mgh) s = —[/ ln a - 1 ln (a - b t ) + 1 + —ln(a - b t)] / b b I o

calculando dm:

s = A r [bt ln a - bt ln(a - bt) + bt + a ln (a - b t ) ] l lo bh 2

yv m~—

, dv => dm - y —

8

8

s = — (bt ln a - bt ln(a - bt) + bt + a ln(a - bt) - a ln a) b2

ahora (1) en (2) se tiene:

1756

Jo s = A r ( b t - ( a - b t ) ln(

a-¿í

■))

Calcular el trabajo necesario para sacar agua que hay en una cuba cilindrica vertical, que tiene un radio de base R y una altura H. Desarrollo

y

dE = ( y n R - — )gh

ch

s = -4 - (bt - (a - bt) ln a + (a - bt) ln(a - bt)) b2 s = A r(b t + ( a - b t ) ln( a ■- -)) fe2 a

dm = yrcR —

... (2)

t 1757

Jo

i 1

ghdh - ynR 2 I hdh Jo

yrrR2H 2 = ----------- pero E = a) por lo tanto

JtyR 2H 2 co = —---------

Calcular el trabajo necesario para sacar el agua que hay en un recipiente cónico, con el vértice hacia abajo, cuyo radio de la base es R y la altura H. Desarrollo

384

Eduardo Espinoza Ramos

Aplicaciones de la Integral Definida

1758

E p = F d s =m

385

Calcular el trabajo necesario para sacar el agua de una caldera semiesférica, que tiene un radio R = 10 m.

donde to = trabajo

Desarrollo

mg yv Y = — => m = — — v 8

El disco comprendido entre x y x + dx

(1)

0

y = peso especifico

dm< T _

/ ■(2)

dV = —Jtr2dh 3

reemplazando (2) en (3) se tiene:

jKr

h R —= — r H

Ó

Jo

yjcr dm = ------ dh 3g

f “

f*

Jo

Jo

R 2x 2

x4

I dco = I p n ( R 2 - x 2)xdx = Pn (—1------------ ) /

2

4*o

jz R

(ú = p = (0.79)10 3xl O4 , siendo p el peso de 1 dmi de agua 4

Rh H

/2

p d V = p n (R 2 - x 2)dx

— > — > [x, x+dx] => dW = F .d r = p n (R 2 - x 2 ) x d x , integrando en ambos :

(gh)dh , ahora cambio de r a R

h A 2 h2dh

el agua de este dV es igual a su peso.

.(3)

/.

1759 Ep = g ~ \

La fuerza F requerida para bombear

La distancia en el cual actúa esta fuerza es:

dv

~3g

=> r =

dx

X' r

=> dE = d(mgh)

f M "Jo Jo

dV = tiy2dx = n(R 2 - x 2)dx

-

E„ = mgh

tiene un volumen.

X

x

1 o V = —n r H 3

dm = y

R

Ep =-

3 //

Jo

12

(0= 0.79JtlO7 k g - f Im

Calcular el trabajo necesario para sacar, por el orificio superior, el aceite contenido en una cisterna de forma cilindrica con el eje horizontal, si el peso especifico del aceite es y, la longitud de la cisterna H, y el radio de la base R.

.

_^ / / p 12

Desarrollo

Eduardo Espinola Ramos

386

m8 y=—

Yv => m = —

387

Aplicaciones de la Integral Definida

=*

... /( i1\)

mM m8 = y —R-r

gR 2

=> v = - rMr

- (2)

H

de (2) en (1) se tiene: W = gm~- si hay que expulsar el cuerpo al infinito h->°° 1+

. .( 2)

-

R

mM

w = y----R

.. (3 )

1761

Dos cargas eléctricas e0 = 100 CGSE y e¡ = 200 CGSE, se encuentran en el eje OX en los puntos xQ= 0 , x i = 1 cm , respectivamente. ¿Que trabajo se

... (4 )

realizara si la segunda carga se traslada al punto x 2 = E p = co = mgh

Desarrollo

dcü = d(gmh)

Í

dh

Jo

1760

La fuerza de acción mutua de las cargas será F =

£c

dinas, por consiguiente, x el trabajo necesario para trasladar la carga e, desde el punto x x al punto x 2

(ù = ynR H

Jo

Jo.

10 cm ?

Que trabajo hay que realizar para levantar un cuerpo de masa m, de la

sera:

superficie de la tierra, cuyo radio es R, a una altura h?. A que será igual este trabajo si hay que expulsar el cuerpo al infinito.

w = e0et,

C*2 dx .1 1 . . o , ft4 -T = e0e¡( --------- ) = l . 8.d 0 ergios Jx, JC2 x, X2

»v^I.SaIO 4 ergios

■

Desarrollo

1762

Según la ley de gravitación universal, la fuerza F que ejerce la tierra un cuerpo , , „ mM de masa m esta dado por: F = y — — donde y = constante de gravitación R2

Para el proceso isotérmico pv = p 0v0. El trabajo realizado en al expresión del

R = radio de la tierra i CR^h mM

-J .

^

hace falta realizar para disminuir el volumen del vapor en dos veces si la temperatura es constante (proceso isotérmico)? Desarrollo

M = masa de la tierra, m = masa de un cuerpo cualquiera

w

Un cilindro con un embolo móvil, de diámetro D = 20 cm., y de longitud i = 80 cm., esta lleno de vapor a una presión de p - 1 0 kgf I c m2 . ¿Qué trabajo

mM / R+h

dR- y^ L

como la fuerza atracción es igual peso (mg)

w - y m M ( - ------ -— ) ' R R +h

... ( 1)

gas desde el volumen v0 hasta el volumen v, es igual a: v w = I p d v = p 0v0 ln — = 800*ln 2 kgf / m JV2 vo

.\

w = 800jtln2 k g f / m

388 1763

Eduardo Espinoza Ramos Determinar el trabajo realizado en la expresión adiabática del aire, hasta ocupar

El trabajo de la fuerza de frotamiento, sobre estos anillos, durante una vuelta

en volumen v , = 10 m3, si el volumen inicial es v0 = 1 m 3 y la presión

dw ■

completa es:

p 0 =1 k g f / c m2 . Desarrollo

w= Para el proceso adiabático es valida la ley de Paisson pvk = p 0Vq , donde k =

1755 1.4, de donde:

[ l - ^ - 1] J j2

k

k -1

389

Aplicaciones de la Integral Definida

V[

4nup f"

a2 Je

dr , por lo cual el trabajo total

2

r~dr = —Jtupa

Calcular la energía cinética de un disco, de masa M y radio R, que gira alrededor de un eje que pasa por su centro y es perpendicular al plano del disco con una velocidad angular co.

de donde al reemplazar sus valores se tiene: 1764

w = 15,000 kg - f / m

Desarrollo

Un árbol vertical, de peso P y radio a, se apoya en una zanja AB la fricción

La energía cinética de un elemento del disco:

entre una parte pequeña o de la base del árbol y la superficie del apoyo que esta

„ v2dm p r 2ío2 , , , , , , d k = -------= -- -------d a . donde d a = 27irdr 2

en o con ella es igual a F = upo donde p = constante es la presión del árbol sobre la superficie del apoyo, referida a la unidad de superficie del mismo

2

es el elemento de superficie, r, su distancia al eje de giro; p, la densidad ^ ^ 2 superficial p = ---- — de esta forma dk = ----— r2dr , de donde: 2 k RnR-

, y u es el coeficiente de función. Hallar el trabajo de la fuerza de fricción en una revolución del árbol.

k

1766

Meo 2 f Ä MR 2(02 r 3rfr = R2

MR 2(02 w =-

Jo

Calcular la energía cinética de un cono circular recto, de masa M, que gira alrededor de su eje con una velocidad angular ©. El radio de la base del cono es R, la altura H. Desarrollo Cdm) disco = P dV

/VI M

„2 , i :vix¿dz ' 3M KX dz = ■ k R2H R 2H

Si a es el radio de la base del árbol, la presión s sobre la unidad de superficie de apoyo será P = ——-, la fuerza de frotamiento de un anillo de anchura dr, que na' se encuentra a una distancia r del centro, será igual a

a

r dr .

(dEc)disco =

w 2x 2 3Mx 2 R2H

dz =

Z =— H =» dz ; = — -dx -----R -x

R

R

3Mw 2x*dz 4 R 2H

390

Eduardo Espinoza Ramos

\ 391

Aplicaciones de la Integral Definida r ° 3 M w2x\

(Ec)cono = I — ^ J* 4R H £ .=

1767

W

=

R

f

3Mw

4j

3Mwx

/«

----- — x*dx = ------- — / Jo 4/? 20/?

' o

1768

Un triangulo de base b y altura h esta sumergido verticalmente en agua, con el vértice hacia abajo, de forma que su base coincide con la superficie del agua.

3Mw 2R 2

Hallar la presión que el agua ejerce sobre el.

20

Desarrollo

Que trabajo es necesario realizar para detener una bola de hierro de radio

Se sap que dp = phl dh => por relación

R = 2m que gira alrededor de su diámetro con una velocidad angular co = 1000 H -h _H vueltas / crecimiento?. (El peso especifico del hierro es r = 7.8 gf /cm 3 ).

í

~ B

Desarrollo

y~~

=>m = yV = >

C^

F=

w - mad, hallamos masas “m” sabemos que:

B(H-h) ^

~

p h /d h =

Jo

M = ~ n r 3Y

H

rH H —h phB(------- )dh Jo H

B 3/ / 3—2 / / 3 /H B H3 P ~H 6 / o =PH 'T

... (1)

hallamos la aceleración a, este caso seria “a” por cinemática:

F ■r.-----BH F 2

c o 2

tú' = 2 aQ => 0 = — 20

... (2) 1769

dicha presa, sabiendo que la base superior tiene a = 70 cm, la base inferior

hallamos la distancia “d” este caso seria la longitud de arco:

0

2nr(—~) = d 271

Una presa vertical forma de trapecio. Calcular la presión total del agua sobre b = 50 cm y su altura h = 20 cm.

... (3)

=> d = n 9r

Desarrollo p=^

para n vueltas. Reemplazando (1), (2) y (3) en w = mad

empleando semejanza de triangulo se tiene:

4 3 0)2 0 j j , w - —7tYr — .nOr de donde 3 20

4 yurnO . w - —n l -I r dr 3 20

4,

r

1 = y*h a

4 2 r5 4 3 œ 2r 2 w - —rq'co'n = ^ Ylír )—^— Para n = 2 dos vueltas

w = 2 .3 a 1 0 8 k g - f / m

i

=1±

20

20 -70 1= 7 f (725- h ) - h 1II1 Jeo

725

525

5070

705 725 - h

— 70 N -, , w = — co~r k g f / m

b

70 = - - => / = (7 2 5 -A )—— / 725

/. p = l 13.60 tm