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ces MOf,1E\TOS U4Jtl.OS

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Bl,YECTCFI".

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DET~s

1 03

PPOPUES::'; DE ~q"'YECTCKlA REC:A DE LOS

104

BIBLJOGRAF[A

107

PRESENTACiÓN Es sabido que la gran r'ic>C\ lonta, de concreto es su escasa resistencia a los esfuerzos de tracción, efectivamente para esfuerzos de! orden del 10% de su resistencia a la compre~ el concreto se En consecuencia, ha sido un anheio de los ",,,,,r,i,vr,,-, contrarrestar esta desventaja del concreto reforzado, Es entonces cuando el concreto y su campa ideal de aplicació'l, preesforzaoo encuentra su Con esta técnica constructiva se somete deliberadamente al concreto a esfuerzos de compresión zonas er, dorde el material será forzado, debido a acción de las cargas exterlas, a esfuerzos de tracción, El precursor del concreto el mérito de haber desarrollado la

::;'QCVY',r'io

del

a quien se expresa

de los aceros de alta teórico en haber reconocido la En e: el apor~ para contrarrestar pérdidas de fuerza de consiste en haber 'ntroducido el sistema de ancla!es Dara los cables de preesfuerzo en los extremos de las estructuras preesforzadas, elemental de la 'VQf'rwnnm"i.An elimir:ar las tracciones análisis y diseño de los puer:tes pretensados con losa continua soore apoyos, El autor agradece muy al Hermar10 Carlos Gao~el Gómez por su inva'uable apoyo en la jr;;ó¡ de la Universidad de La así como al decarlO de la Facultad de Civl. ;n,-,,,n;Am El civil Lucas Pérez Ajagan colaboró con gran esmero en ia rrección de este manuscrito,

y co~

Ramiro Valleciila

LíNEAS DE INFLUENCIA DE VIGAS CONTINUAS MEDIANTE EL MÉTODO DE CROSS

1.1

INTRODUCCiÓN

Se define :a linea de inftuenc'a como la rep:-esentación de los valores que dUUUld una reacción, una fuerza intema (axial o o o una deformación íro:ación o rl~~~:~~~~'~d 0C"·".~'An determinada de una estructura cuando una carga aia se ala de esta. Para la determinación de la ,hea de innuenc:a de una acción intema es necesario dis si la estructura es estáticamente determinada o indeterminaaa. Eil e' caso de estructuras estática:nente determinadas, la obtención de las ecuacio res que la construcción de las líneas de influencia de acciones intemas cnr,n"'L,nt,..\ se lleva a cabo recurrendo a las ccndiciones de o al min"i",;,.. desplazamientos virtuales y el resultado es siempre una línea recta. En ei caso de estructuras estáticamente indetern'nadas, y para :a construcción de las líneas de influencia de acciones intemas (fuerzas o es necesario recurrir además cie las conciiciones de a las ecuaciones de de deformaciones. Este procedimento coi'lcide con estabiecido por los métodos tradicionales del análisis estruotural elástico, Estos son: el método de las fuerzas y el de las deformaciones. Este úiti:no método introduce corno Inoógnitas las las ouales son obtenidas a partir del de la estructura y de las condiciones de la misma. A su vez, las ser obtenidas medlar¡te la resolución de un sistema de n ecuaciones con n o a través de un prccedimiento de sucesi vas, tal como el introducido por Cross en 1932 y conocido corno el método de la distribución de momentos.

Pus"!:s o"eter-:saao :::on

sobre apoyos

Los numerales :Jreserta'l de manera detallada la manera como se obliene la línea de influencia de acciones internas y empleando el método de

1.2.

LíNEAS DE INFLUENCIA DE ESTRUCTURAS INDETERMINADAS

MEDIANTE EL MÉTODO DE CROSS

El método de Cross permite calcular la línea de in~uencia de las fuerzas internas (N,V,M) y de las reacciones en los apoyos en sección de las vigas continuas. Para el efecto basta con establecer las ecuaciones de los momentos fijos causados por una carga uníta~a sobre un elemento de viga con apoyos A y B, de longitud L y de sección constante y on sus apoyos.

es necesario la convención para el cálculo de los mementos de doble

Para la correcta aplicación dol métcdo de DVrYC'~lrw"::;,,

de

1 . 2. 1)

CONVENCiÓN DE SIGNOS

Son

los momentos que producen tracción en las fibras inferiores de las vigas.

La crr,nlc",

1 . reSUTle la convención de de los momentos flectores que se para la determinación de los momentos oe empotrarniento por una

carga unitaria que se desplaza a lo constante. Es claro de la gráfica que son tracciones en las fibras inferiores,

la

lUZ

del eemento de luz L y de sección los momentos flectores que

-)(

-)

m(+)

m(-)

Figura 1.1. Convención de signos

1.2.2]

DEFINICIONES y NOMENCLATURA

avy,ra(O,,,r'DC' ",r;icr

que siguen se han

r1QT,n,rln

producidos por una carga

en letra minúscula

momentos de em

puntual e igual a la unidad, En

se

han introducido las s:guientes definiciones: • Todos los va ores de los momentos de empotramiento mAB , m*¡\B y m* (minúsculas) deben multiplicarse por la longitud L de la viga AB. Se emplean las minúsculas (m) para denotar que los momentos son producidos por una carga unitaria.

8

de infiuencia de vigas continuas rY:ediante

y

• Los momentos

método de

se refieren a 'os momentos de unitaria aplicada en una viga doblemente empotrada,

IlJtit.;Uldtij

y se indican con su

fibras inferiores y negativo si oroduce teacciones en las

deneta el momento de y el apoyo B está articulado.

que se presenta cuando el

• E! momento m*B.l'., donota el momento de apoyo B está emootrado y e! apoyo A está articulado.

que se presenta cuando el

• El momento apoyo A está

¡,B

• Para la de~erminación de las ordenadas de ¡as líneas de influencia en lOS ejemplos de cálculo se empleó una ecuaciones indican para diferemes casos de apoyo.

1 .2.3)

de momento de

mAS y

ECUACIONES PARA LOS MOMENTOS DE DOBLE EMPOTRAMIENTO

E análisis estructural suministra las ecuaciones para los momentos de doble y por una carga unitaria, que se desplaza entre los miento aooyos Ay B.

Ecuaciones para

(\

"

~.- ~=:.L_---:=l% ~:

~

mBA

mAS

m AB mEA

=

L

2

L

2

m,\E

y

mEA

Figura 1.2. Momentos de empotramiento mAB y m BA

La tabla indica los valores de los momentos mAS y por la carga unitaria aplicada en posiciones tomadas arbitrariamente cada décimo de la luz AB. del apoyo A.

1 .2.4}

VIGA EMPOTRADA EN EL APOYO

A,

ARTICULADA EN EL APOYO

B

Del análisis estructural se conoce la expresión para el momento fijo m*AS producido por una (A) cuando el otro extremo está articulado. carga y móvil en el

9

8ont¡nL3 sotre

PU8'lte prete'lsado

Esta ecuación

Ecuación para m:lB

.

m AS

X

--'---~----'--

Figura 1.3. Momentos de empotramiento m*AS

tabla siguiente indica los valores del mo:nento de

.....

,

.

,'.

r-----~---r---,---__,--_¡_-----r_-___¡--___,_--_,_-___,

1

.5)

Al

VIGA EMPOTRADA EN EL APOYO

que el caso 1

A~_

B

y ARTICULADA EN EL APOYO

la ecuación para el momento

. . ___----,~. . .

_ --IS

B)

mSA

A

oe

m*

Ecuación para m~,1 m" = X(LX) (2L - X) EA

2L2

Figura 1.4. Momentos de empotramiento m*SA

La tabla

1.3.

indica

vaiores del momentc de "'rY'nr,tr~'rn;orYrr\

EJEMPLOS NUMÉRICOS

A continuación se resuelven algunos mJméricos ei ánimo de mostrar la apli cación del método de Cross en :a determinación de la I;r,ea de influencia de reacción en un apoyo, de la fuerza o del momento fector en una sección deTerMinada de indeterminadas de sección constante,

10

oretensado

'osa ccrthJ8 sobre apoyos

Esta eCL:ación 8S:

1

(A7-..- ----.. J---------~

\"

X)

m*AB

Figura 1.3. Momentos de empotramiento m*AB

La tabla indica los valores del mO:TIento de

la carga unitaria cada aécimo de la luz L. X se mide a

.'1.2.5] VIGA EMPOTRADA Al igual que el caso 1 .2.4,

EN EL tlPOYO

By

A

ARTICULADA EN EL APOYO

ecuación para el rromento

Arc----_ _ _ _,,_ _.. . ._ __ t: B) mSA

rr*

es:

Ecuación para m~1 . X(L X) '") mEA =---,--' (",L-X) 2Lk

Figura 1.4. Momentos de empotramiento m*BA

tabla

indica los valeres del momento de "n-;nn'fr"w~¡",n+n

luz L, X se mide

1.3.

EJEMPLOS NUMÉRICOS

A continuación rescJelven con el ániTlo de mostrar la cación de! método de Cross en la determinación la línea de influencia de la reaoción en un apoyo, de la fuerza cortar~:e o del momerrcc "ector en una sección dete:rninada de indeterminadas de sección constante.

10

de

método

de vigas

Ejemplo 1.1. Para 'a con un apoyo·

de8m. de

x:f Ar de

Bl

e

4m

1'"

A) La

de sección cons-

y otro

.. l.

B

~ 4m

.. 1

en el apoyo A.

del Il'omento

La línea de inftuencia de la reacción en el apoyo A.

e) La línea de influencia de 'a reacción en el apoyo 8. La linea de innuencia dei momento

~ector

en la sección

e.

El La linea de influencia de la fJerza cortante en la sección e. de un métodc elástico tradicional es posible por U:la carga mento de en el apoyo, ubicada a una distancia X del apoyo A. En los numerales se sJpone que estas ecuaciones son conocidas.

A) Línea de influencia del momento de

MA ·

Para la determinación de la linea de influencia del 'nomen~o de en el apoyo A basta con del análisis la ecuació:l del momento de QrY,,,r>TrQ :-niento por una carga a una ,jistancia X del apoyo Dmnntc'Orln Esta ecuación es:

;\1

.

X

= '

2L2

e\.

les valores numér1cos:

1\1

= el.

X r\ 8-X)n6\

128

momento cada 1 r:. de la luz AB.

)

08

muestra los valores de la línea de inftuencia del la carga unitaria en secciones tornadas arbitrariamente

11

La figura siguiente indica lOS valores ae la línea de in~uencia de rrOMen~o posiciones de la carga unitaria oada 1 m, El deos momentos indica trC)r'!""r'n en las fibras superiores de la en el apoyo A.

i - - - -.........................-

rrv."~,,v'V"

B) Línea de influencia de

8*1

en el apoyo A,

- - - - - - - 4m e

1(/ • . 1"

Del equilibrio' de la ,,. de'la'c§rg¿'ur;¡taria;es "

"

....."'..\. ~ .."-" ~ ;{ SR' 1(8 'L.,¡ l.Y B ,=, A

es claro que la reacción en el apoyo 1\ para vU'::"Y '",1 c;;

f,JU,::llvIVI

a:

8-X MA -+ ) -M "1. -R A = 8 8

X medido a partir de apoyo A. La tabla muestra los valores de ia línea de influencia oe la A, para OOSIClorlOS oe la carga unitaria en secciones tomadas aroitrariamer:e

La

12

ios valores dea línea de infuencia

la

e: apoyo 1M,

para

~ ~ ~: a'~te

Líneas

el

de influencia de la

re&::~ ::~

:=,

el "'étodo de Cross

B,

Del equilibrio de la viga AB, se cor.cuye:

~ M = 8R

X + MA

X medido a

del apoyo A.

B

B -

=~

RB

-

M,,, 8

La tabla siguiente muestra los valores de la línea de influencia de la reacción en el apoyo B, oara

dea carga unitaria en secciones tomadas arbitrariamente cada 1m,

La figura siguiente indica los valores de la línea de influencia de la reacción RB, para

';('<;r",,,,,,, de la carga unitaria cada 1 m,

o

("')

("')

N N

<.O c:o

oo

.,...

;z '" ~ "

lO ce

("')

C>:!.

.,...

~ 0, O. A~~-O ,'~ ~ "~ "~

' .• '8

I

=!~L

8*1

~-

L,I. RB

Es de in~erés mostrar que en cada una de las secciones en que ha sido dividida la viga, la suma de los valores de la línea de ir.fueneia de la reacción en apoyo A más la reacción en el apoyo B debe ser iQt;al al, tal corro se indica en la tabla

Unea de influencia del momento ftector Me en el centro de la luz,

La carga unitaria se encuentra en el intervalo (O s X s 4 m), X se mide a oartir de apoyo A.

Me

(e \.., I

,

"'~ Rs

1-~4m--

13

Puente

Del

()rAt",.n~"rl()

con lesa ccntinua

apoyos

cel tramo

La carga mitaria se encuentra en e intervalo (4 ~ X ~ 8 m).

Del

del tramo AC:

La tabla para OO¡3ICil:nElS

JlvIc

=

4R,\ - M.'1

de influencia momento tlecTor Me' muestra los valores de la carga unitaria en secciones tomadas arbitrariamente cada 1 m.

í

,000

0,36í

0,:87

0)000

0,531

0,254

0,000

irldica ¡os valores de la línea de influencia del momento flector en una ubicada a 4 m. del apoyo A, para

E) Línea de

de la fuerza cortante Vc en ei oentro

• La carga unitaria se encuentra en e1ntervalo Del

de la carga unitaria cada 1 m.

del trame CB (no se indican

te Ve

(O ~

momentos): B

t

RB 1--4m--l

14

~4

m).

mediante el método de Cross

Líneas

•

La carga unitaria se enciJem~& e-:; r:8"\:alo (4 m s X s 8 m), Del eauilibrio del tramo AC (no se indican los

A

f

.

e

~

R Ve A 1 - - 4m---l

Ve

=

R"

La tabla mues~ra los valores de la línea de influencia de la fuerza cortante Vc en una sección ubicada en el centro de la luz AB, para de la carga Lnitaria en secciones tomadas arbitrariamente cada rn. X(m)

0,000

°

0,820

0,000

0,022

1.000

0,978

0000

-0,022

-0,086

-0,185

-0,3'3 0,688

0,536

0,367

0,000

indica lOS valores de la línea de influencia de fuerza cortante Vc una secclon ubicada a 4 m, del apoyo A para de la carga unitaria cada 1 m, ::o

ce

(O

¡:j o

)8 o

:g o~ ~

Ó Ó Ó ¡ ~______ ¡ ·I.c ID c<'! c<'!

LO

..- o

B

A

r-. r-. ID::O . c<'! '\'""-

ó

M_

o

ci

L.I. Ve

1---- 1*4 ---;----- 1*4 ----i

Obsérvese que a suma de Ics valores de ia línea de influencia de la fuerza cortante en la sección C es igual a 1 3 .. 1),

Ejemplo 1.2. Dara la indicada en la l1gura

continua de dos iuces de 12 m. c/u, de sección se desea obtener:

12 m - - - - - - - - ¡ - - - -

12m

~

15

Puente

::::X1 losa ccn~i"ua sobre apoyos

A) Laínea de infiuencia de! momento ~ector en B,

8)

línea de

in~uencia

en A

dea

C) La línea de influencia del momento ~ector en una sección ubicada a 6 rn del apoyo

A

D), La línea de in~uencia de la fuerza cortante en la sección D,

Como se mostró en el e: método de Cross supone que todos los nudos de las vigas continuas se encuentran Mediante un proceso de liberación de cada uno de de distribución y de transporte de momentos se obtiene la solución que garantiza el de toda la de in~uencia del momento en B,

A) •

:"'a carga unitaria se encuentra en la luz AB, Para llevar cabo la distribución de se supone arbitrariamente un momento este ~;",,,,,nl~ -10 t.m; tracción fibras aolicado

en el nudo B, en el tramo AB y se determinan los momentos resultantes en los apoyos el de Cross, Es de notarse que un momento igual a menos 10 tm nOrl(YC)'" de la viga, de acuerdo con la convención de

tracciones en las fi establecida en esta

A continuación se indican factores que intervienen en la determinación de los momentos que resume los cálculos correspondientes a la distribución

flectores así como la de momentos,

Factores de 12

K AB

IT.nrnQrln

= Kuc =

. . KAB = ~c

arbitrariamentej

12

= 1; Rigdez relativa,

12

3

= -(1) = 0,75 4

(FD)BA = (FD)BC =

16

; Factores de rigidoz

= 0,50 ; Factores de distribución.

0,75+0,75

cont:lcuas mediante el métooo de Cross

de

~-x--~·..,

K' =0,75

K' =0,75

50%-~-

La distribución de momentos muestra que en el nudo B, el tramo AB toma el 50% del en ¡a luz AB. En estas condiciones momento por una carga móvil unitaria la ecuaoión para la linea de innuet'c'a del momento B, para la carga actuando en el tramo AB de luz 12 m, se convierte en:

MB

= -O,5m*BA = M B

¡ rCi0,.-,íAn

'" _X_'''-_~_ __ 288

= -O ,5 .

fibras

La tabla siguiente muestra los valores del momento en ei apoye B, MB , para de la carga unitaria móvil, supuesta arbitrariamente aplicada cada sexto de la luz AB,

En la tabla precedente X se mide a Ce la simetría de la

del apoyo B.

es claro que

lí1ea de influencia de momento M B , para es igual a la obtenida en la tabla

nnsidonAS de la carga unita:-ia entre los apoyos B y

m ~

~

~

N

~

~

~

~

~

~ ~

N

~

~

ro

~

~

~

AVlTN~~~c

i~~~ - - - - - - - 6*2

.--~-~-~

-

6*2

17

conti'lua

pretersado

apoyos

B) Linea de influencia de la reacción en A • Del

La carga unitaria se encuentra en la luz AB, de tramo AB:

"\."M L,¡ B =O=12RA

X

X+M -R =- B A 12 12

La tabia muestra los valores de la reaCCión en apoyo A, para pO;3icil::mEls de la carga unitaria móvil en la luz AB, arbitrariamente cada sexto de lauzAB,

•

La carga unitaria se encuentra en

luz BG,

De equilibrio del tra,110 AB:

La tabla muestra los va ores del momento en el apoyo B, 1\1B, para pO:3icilJnElS de la carga unitaria móvil, arbitrariamente aplicada cada sexto de la luz BG,

18

Uneas de !n~u8ilcía

vigas conti'luas med;a'lte el método de Cross

La figura muestra la línea de influencia de la reacción del apoyo A, para po siciones de la carga tomadas arbitrariamente cada m,

r-r---,...,

LO

o

..

<:t

(V)

~

o

o

(J)

Ó

Ó

~

<:t

.,....

o

(J)

)-..0

~

Ó

Ó

o ci

e

LI. R,..

Línea de influencia del momento flector en una sección ubicada en el centro de la luz AS O),

1 .3. 1 J LA Nota: X

CARGA UNITARIA SE ENCUENTRA EN EL TRAMO

Ao

(6 m:S; X ::;;

m) .

rlide a partir del apoyo B, 1

A

,

M

CD ~) "\

VD

2: M

D

1.3.2]

= O= 6R,.\" -l(X - 6) - M D

--

MD

=

6RA


A

O

-

(X - 6).

OS (O:s; X :s; 6 m).

~

¡~

Vo

Nota: X se mide a

2: 11

D

= 6RA - MD

del apoyo B, --

MD = 6RA

19

Puente pretensado con

La tabla

sobre apoyos

muestra los valores del momento f!ector Mo en el centro de a luz

AB, pa:a pm>lC!<JnElS oe la carga unitaria

arbitrariamente

cada

sexto de la luz AB.

En la tabla

1.3.3) LA

nrc,('c,r!c""to


EQUILIBRIO DEL TRAMO

La tabla AB, para

DEL

muestra los valores del momento flector Mo en el centro de la luz arbitrariamente aplicada cada

Be.

X(rn)

lv1 0

Be (O s X s 12 ro)

AD.

de la carga unitaria móvil,

sexto de la luz

Ms

X se mide a partir del apoyo B.

2

4

10

12

0.000

0.764

1.111

0,486

0,000

0.000

-0,064

-0.093

-0,041

0,000

-0,556

-0.243

0,000

0,000

La figura

muestra la línea de influencia oe

reacción de momento M D, para

posiciones de la carga unitaria, tomadas arbitrariamente cada 2 m. X se mide a partir del apoyo B.

A

vigas continuas mejiante el métoao de Cr-oss

Uneas de

1.4)

líNEA DE INFLUENCIA DE LA FUERZA CORTANTE EN UNA SECCiÓN UBICADA

EN EL CENTRO DE LA LUZ

1.4.1] LA

(6 ms; X

AB

(PUNTO

DJ.

CARGA UNITARIA SE ENCUENTRA UBICADA EN EL TRAMO

S;

12 m). 1 A

+j' =0= R A -l-V D

M

i X~ D'U

RA

2:

AD

6m

l'

VD

--v D =RA -1

L3 tabla siguiente muestra lOS valores de la fuerza cortante en el centro de la luz AB. cm,,-,nt,,, aplicada cada sexto oara de la carga unitaria rróvil, supuesta de luz AB. X medido a partir del apoyo B.

1.4.2] LA


OS (O s X s 6).

~F =O=RA -V D --VD-R "¿y A

DI

A

f

RA

6m

l'

VD

La tabla siguiente muestra los valores de la fuerza cortante VD en el centro de la luzAB, para de carga unitaria móvil, supLiesta de la luz AB. X medido a partir del apoyo B,

aplicada cada sexto

21

mediante el método de Cross

Ureas ce inftLencía de

1.4)

LINEA DE INFLUENCIA DE LA FUERZA CORTANTE EN UNA SECCiÓN UBICADA

EN EL CENTRO DE LA LUZ

1.4.1) LA

Aa

(PUNTO

DJ.


AO

(6 m s X s 12 m). 1

I A

•

M

X-6

,

I

O' 6m

RA

~

¡, ~

1) VD

=O=RA -l-V D -V D =RA -1

La tabla para de la carga unitaria móvil, supuesta de !a luz AB. X ¡redido a partir del apoyo B,

1.4.2) LA

en el centro de la luz AB, apllC8.oa cada sexto


OB (O s X s 6).

~Fy =O=RA -VD -VD =RA

r¡

A

RA

~

D 6m

I

VD

muestra los valores de la fuerza cortante en ei centro de la luzAB, para posICiones de la carga unitaria móvil, supuesta arbitrariamente aolicada cada sex'lo de la luz AB. X medido a Dartir de! apoyo B.

21

Puer,+e pre:ensado con losa continua sobre apoyos

1.4.3] LA


Be (O:s; X :s; 12).

6m

la. to:bla siguiente muestra los valores de la fuerza cortante VD en el centro de la luz AB" p'árá posiciones de la carga unitaria móvil, supuesta arbitrariamente aplicada cada seXto,> de la luzBe. ," X(m)

2

4

6

8

10

12

MB

0,000

0,76 L

',111

1,125

0,889

0.486

0000

RA

"Q,qoo ..

-0,064

-0,093

-0,09 L

-0,074

-0,041

0,000

VD

0,000

-0,064

-0,093

-0,094

-0,074

-0,041

0,000

°

..

,

La gráfica siguiente muestra la línea de ubicada a 6 m, del apoyo A (sección O).

in~uencia

C'?

o:>

o

o I

de la fuerza cortante en una sección

""oo:> ""o

1"-

oI

oI

:::¡: o

o

~

L.!. \J

6*2

6*2

Obsérvese que la suma de los valores de la línea de la sección O es igual a 1. (0,594+0,406= 1),

in~uencia

de la fuerza cortante en

Ejemplo 1.3. En la viga de 4 luces, de sección constante, mostrada en la figura siguiente, se desea obtener: A

B

F I

e

G I

E

D

(m) 5,75

A) Línea de

5,75

in~uencia

10

10

del momento

~ector

20

en los apoyos B,

11,5

e y O,

B) Línea de influencia de la fuerza cortante en el apoyo B, en la luz Be, e) Línea de influencia del momento flector en una sección ubicada en el centro de la luz Be (sección G),

22

de influenCia

vigas

Crass

cOG~Í'1uas meaE~:S

• Obtención de las constantes del método de Cross:

°

i)

(1 = 1

, 3 KAB = -4

*-11,5 =

10

supuesto):

°

' 65 ;

1<

""Be

= 1<, ""CD

=

°

10, 20 = ' 5; K

=

3 4

10

* -11,5 =

°' 65

ii) Factores de distrioución.

-,--

FDK \ = 0,65 + 0,5 FDBe =

= 0,57

0,5 == 0,43 0,65 + 0,5

iii) Distribución de momentos. de los momentos: son

los morrentos que

tracción en iv) Posiciones de la carga unitaria. • La carga l;nitaria se encuentra en la LJz .AB. Se supone Uó1 mornento de igual a - 10 t.m fibras en el nudo B, en la luz .Aa. .A partir de los resultados obtenidos de la distribución de mo memos indicada en el cuadro de cálculo que e' nudo B resiste un se momento a BA'

m

k

momento de sección cons::ante, de

uuuuuu por ur,a ca;ga uni1:aria en una con apoyos empotrado (B) y articulaoo (A).

de

son les mO'l1entos por una carga unitaria el una vioa de de una luz, con los dos apoyos .A y B ornnntmrlnc La distribución de mcmerto indicada en los cálculos la por extremo articulado.

se llevó a caDo em-

n;c<mrlr.

23

Puente

p~etensado

cen

conh;ua

apoyos

3,96

a -10 t m ,Tn:lrY'"nn en las fibras Nota: puesto que se supuso un momento fLo superiores) en el nudo B, del tramo BA es necesario dividir ~odos los resultados de la distrioución de momentos por 10, CEngura muestra el momento flector que se genera en une de los apoyos B, e y en función de m*AS cuando la carga uritaria se encuentra en la luz AB,

producen tracción en las

Ecuación para el momento

nQr,nrc,,"

m *B.~

-o ,396m *BA = -O , 396 * _X_ . Me = O,107m*BA

no,",""lur,C' ¡OS rromentos flectores oue Además X se mide a del apoyo B.

___--'--'_ _-' 264,5

264,5

La tabla muestra los valores de la línea de inAuencía oe los momentos fiectores en los apoyos B, e y D para ae la carga unitaria en luz AB tomadas arbitrariameme cada 1 , '1 ,5 m.

24

de illlluencia de vigas cO.1tín"as ¡,ediante e!"'lé~odo

•

La carga unitaria se encuentra en la

lUZ

Be,

El cálculo se lleva a cabo en dos etapas:

o t.m fibras de momentos de acuerdo con el

Se suoone un momento de en el nudo B, en la luz Be y se efectúa la método de eross,

A

...li..

:zs: 0.57 0,43 1,42

0,15 -2,5 1,57 1.08 -0.27 ! 0:12 ' 1-1,57

~a

l-x-3

B

0.65

0,50

:zs:

D 0,50

0,5 0,5 10 -5 -5 0,54 -0.54 -0,54 ' -0,54 0,06 0,06 -0,06

0.65

E ~

1,57

muestra los momentos en los apoyos B, e y o VUU'JUV;:' por un ,nccir;rOCl en el nudo B, oU;.JUbolO de -10 t.m íantiho:ario-tracción fibras

en la luz Be.

Se supone ahora un momento de eB y se efectúa la distribución de momentos,

La

de 10 t.m en

D

E

nudo e, en

tramo

muestra los momentos en lOS apoyos B, e y o de í O t.m (horario) en el nudo en la luz Be

oU;.JUe:;olU

por un

Puente pretensaoo

losa CO'ltlllua sobre apoyos

Es de nOlarse oue el mornento aplicado en el nudo C, en trame CB, tracciones en las fibras por lo tanto para calcular el valor ce las ordenaoas de la lrnea de se le toma como Sumando los de momento y teniendo en cuenta que X se I'lide a B, se ob!ienen las siguientes ecuaciones para las líneas de influencia de los momentos en los apoyos B, C y D Son

los momentos que

:racción en las fibras

,. (20 X)2 ,. z(20-X) M B =-O,604m'D -O,b7tTL , = -O,604X -O,b7X , '~1:Ia 400 400 .cu.>

MD

= O, 034 X -"-------'-- + 0,1

= 0,034mo\B + 0,1

400

2 -'--_ _-'-

400

Donde:

X

ffi,O\B

= --'------'-- =

400

2(L _X)2

X 2 (20-X)

2

400

L

La tabla muestra os valores de la línea de influencia de los momentos flectores los aooyos 8, C y D para de la carga unitaria en la luz BC tomadas arbitrariamente cada 2 m, X se mide a partir del apoyo B, LA CARGA. U'HARIA SE ENCUENTRA EN LA LUZ BC 20 000 0,000

!

•

0,000 !

La carga unitaria se encuentra en la luz CD,

El cálculo de la línea de influencia de los momentos en los apoyos B, C y D se lleva a cabo en dos

26

de ,nfiuencia de

ccntinues f;\ediante el método

C'oss

a -10tm

Se supone un momento de la luz CD y se

el nUdO lj, en rn6trvin

de Cross,

Se supone un momento de a 10 t.m en nudo en la luz CD y se efectúa la distribución de momentos de acuerdo con el rrétooo de Cross,

10 -4,3 0,54 _-0,23

-5,7 -0,31 -0,03 6,04

"Q,96_ -0,03 6,04 :

El resultado precedente coincide con las características de simetría de la nua,

conti

Sumando los momentós calcuados de acuerde con el métooo de Cross en cada uno de los nudos de la continua, se obtiene:

(0__-

B""" )

A

I

11,5m

0, 15l "As

~ """ B )

A 1----i1,5 m

Son

!!!!lo.

IHlJi-lIIVlk;

I

0,034

)

E

'---1

"A.

20 m

0,107 "A.

los momentos que producen tracción en las fibras

E

11,5m

11,5

de infiuencia de vigas contr~uas

~5J ~:"

"létodo

Oross

Se supone un momento de igual a -1 Ot.rn er; el nudo C, en la iuz y se efectúa la distribución de mon:e:ltos de acuerdo con el método de Cross,

a 10 t.m en el nudo D, la Se supone un momento de luz CD y se efectúa la distribución de momentos de acuerdO con el método de Cross

~,~~

-v,vu

,-v.~v

I

~,~V

.

~-

~

-

0,50 0,50 1,08 :2~,1~5 _ ....- _..~.~~- -0,12 1,08 ~._ -0,12 - - - -

-o1:571 12i

~10_..~

-4,3 '-0,31 0,54¡-0,03 --=º~ 6,04

- - - - - 1,08

0,06 ! -0,03, 6,04 !

El resultado precedente concide con las características de simetría de la viga conti nua, Sumando los momertos calculados oe acuerde con el de ícs nudos de la viga se obtiene:

de Cross en

uro

B""'"

A 11,5m

A

... ..,

__

/

I3_"""')

~

0,034 "As

Son

IHUnllVlJb

",------",v) 20m

E

I

0,107

~

los momentos que prcducen tracci6n en las fibras

11,5 m

. -{

Puente pretensadc een lélsa mn:inua sobre a::Joyos

2

M B = 0,lS7m-\.B + 0,034m1H = 0,1

M =-0 SOm e

MD

)

AB

_-'-_ _'-- + 0034 X (20- X) ,

400

400

-O 107 = -O 50 X (20-Xi -O 107 X \20-X) , 1Ds;\ , 400 ' 400

i

2

X (20-X) 400

= -0,157mAB - 0,6041Ds,\ = - 0,157-'-----'--- 0,604--'------' 400

Latabia muestra valores de la línea los apoyos 8, C y O para tomadas arbitrar'amente cada 2 m.

influencia de los momentos flectores de la carga unitaria en la luz CD

LA. CA.RGA UNiTARIA. SE ENCUENTRA EN LA. LUZ CD X(m)

•

4

6

1

8

0,504

I

0,5 1 7

-0,829. -1,348

-1,605. -1,645

-0,363

-1.2231-1,612 • ·1.903

-2,041

2

MB

°o

0,260

Me

O

Mo

O

OA24

i

-0,788

10

14

0,478

0,399

0.298

-1,5 1 8

-1,268

0,9"'-5

-1.9741 -1.647

-1,C07

18

20

0,188

0,083

-0.59"'-

-0,263

° °

La carga unitaría se encuentra en la luz DE.

De la simetría de es

en los apoyos 8,C y O se obtiene a

Son

los momentos que

ecuaciones:

tracción en las fibras

X M B = -0,034m*AB = -0,034-'------'--"----'

°

107 X (11,S-X)(23-X). , 264,5

M =-0 396m* D

28

-;6

12

,

=-0 396 X (11,S-X)(23-X). AB, 264 ,S

O

Uneas de i'iftuencia

vigas continuas rr:edia:lte el [T,étod::J

. * _ X(L -X)(2L -X)

iJande.

m

AB -

"

2L

Cross

.

La tabla [T,uestra los valores de la línea de influencia de los momentos ~ectares en los apoyos B, e y D para de la carga unitaria en la luz AB tomadas arbitrariamente cada ~., 15 rT..

9.2 -0,038 0,118 -0,437

B) Línea de influencia de la fuerza cortante en el apoyo B, en la luz Be.

IL.Z

Para la construcción de la línea de Influencia de la fuerza cortante en el apoyo 8, en la Be se deben considerar las siauientes posiciones de la carga unitaria:

• ~ carga unitaria se encuentra en la luz AB.

Dei

del tramo

se obtiene: V

~

_ M B + :~vlc 20

BC

~

() t ~m ~ ~

~

La tabla siguiente muestra los valores de la fuerza cortante para de la carga unitaria en la luz AB en secciones de la luz AB arbitrariamente cada 1 ,15 m. Es de notar que los momentos MB y Me se indican con su X medido a partir del apoyo B.

1 í ,5

0,000

!

0,000

!

0,000

• La carga unitaria se encuentra en la luz Be.

29

losa CO:l:n:a sobre

La carga unitaria se encuentra en el tramo Del

del tramo BC:

o

=o

20V BC -1(20 - X) - M B + Mc

para ¡JV,;)ivIVI

=

20

y

han sido tomados con su

La carga unitaria se encuentra en la luz CD.

Dei

del tramo BC V

BC

=

20

Me

Me

Ce

t

V BC

para

30

BC

muestra los valores de la línea de illfluencia de ia fuerza cortante de la carga unitaria en la luz BC tomadas arbitrariamente cada 2 m.

Los momentos

•

=O

rV'\'C'10,,,r,QQ

o)

20m

¡

VeD

muestra los valores de la de influencia de la fuerza cortante de la carga unitaria en la luz CD tornadas arbi!rariamente cada 2 m.

de influencia de vigas continuas mediarte

•

método de C,oss

La carga unitaria se encuentra en la luz DE, Del equilibrio del tramo

= MB+Mc

V BC

20

MB

Me

C¡=~)

20 m

VBC

VCB

La tabia siguiente ~uestra lOS valores de la línea de in~uencia de la fuerza cortame

para f-jUC¡IUUI de la carga unitaria en la luz DE to~adas arbi~rar¡amen~e cada 1,15 m,

10,35

0,038

0,019

0,118

0,061 , 0,000

0,008 , 0,004

Línea de influencia del momento en el centro de la luz Be

,"

9,2

~

0,000

0,000

¡;:;,t:1L,L,IUI

Para la construcción de la línea de in~uencia de! momento en !a sección ubicada en el centro cea lUZ Be, se deben considerar las siquientes de la carga unitaria: •

La carga unitaria se encuentra en la luz AB,

MB

MG

eB

1

vBC

G) 10 m

~

VGB

31

....

continua sobre a¡::cy::;s

Puente preter'sscíc

Del equilibrio del trarno

2:

=

O= 10 V BC

se obtiene: -

MB

MG - MG

-

=

1OV BC

La tabla rnuestra los valores del rnornento flector en la ciones de la carga unitaria cada 1,15 rn, en la AB,

·'La

unitaria se encuentra en la carga un:taria se encuentra en el t:amo BG,

Del

del trarno

O),

obtiene:

carga unitaria se encuentra en el trarno BC,

O).

De! equilibrio del tramo GC, se obtiene:

Me

Cfr--,-~----'lJ 10 m

t

MG

)

VGB

para

posi~

~

~étooo

Ufleas de infiuencia de vigas continJas mediame

Cross

La tabla muestra los valores dei momento fíector en la sección G, para ciones oe la carga unitaria caaa 2,0;n, en la luz BC,

r

°

r Xi I

I

LA C/\RGA UNTARA, SE ENCUENTRA EN LA LUZ BC

MB

I

4

I

6

I

i

1

11,974 1 2,041 11,903

°

0.263

1

0,594

1

1,000

0,937

0,853

I 0,000

0,365

I I

I I

0,880

0,945

1,541

¡

1.268

!

! 1,61

: 1,223

1,518 1 : .645

! 0,639

I 0,519 I 0,398

I

I 3,290

• La carga unitaria se encuentra en

1

18

'.007

1

Del

8

0,000

M" Ms

I

2,345

i

0,788 10,363

I ~ .605 t

0,281

, 2,37 1 11,586

e 0,172 I O,O??

I

I 0,40'"

I

0,932

I

luZ CD,

del tramo BG, se obtiene:

es~

MG

MB

G)

10 m

Vac

-"

'tv

"'~;:::YUt J/',(í ü~ ~'~:;";c-'-

GB

~

:¿~lG =ü=-10V BC + MB - MG -- MG = -lOV sc + Ms La tabla muestra los valores de! momento f1ector en la sección G, para clones dea carga unitaria cada 2,0 m, en la luz CD, LA CARGr~ UNl~I\RI.'" SE E~~CUENF....j¡'I ::1'-1

~A

"2

LUZ CD 14

0,000

o 0,000

i

• La carga u:ll~ara se encuentra en la luz DE, Del

oel tramo 8G, se obtiene

M B

MQ

Ce

f

VBC

G)

10m

={

VGrJ

33

Puente pre:ensaco ccr. :csa continua sobre a¡:;oyos

~M -M L,.¡G =ü=lOV BC -M B~G

-+

= lOV BC

-

MB

C) Línea de influencia del momento fiector en el apoyo C.

La carga unitaria se encuentra en la luz AB, Se supone un momento de en se efectúa la distribución de momer,tos, de la que se e es igualO, 107 veces el momento en B.

a -10 quo 01 ,-y;"...",,,,,j'" en el nudo

indica las rwri"n·",rlc)o de la línea de influencia del momento m, (U1 O), cuando la carga unitaria se encuentra en la uz

~1c

cada1,15

= -0,107 * 11,5m

En las dos Siguientes se muestra la línea de infll,encia de momento en el apoyo e así COnlO la linea de influencia del momento en el apoyo D. Además se indica la POSIClon de !a línea de ruedas del camión e 40-95 que produce el máximo momento el apoyo B y el centro de la luz

ut'eas

iníluenc:a de vigas continuas mediante

método de

0,018 D,038 0,053

si

~O066 , 0,073

0,075

0,070

0,056

0,033

IJJ

1-10945

il

8~,645 0,504

~0.424

!

n~li

1005 1~

!

1,223

~I

H1,9C3

1-11,605 ',,645

;JI

H

1.518

1.268

0945

~

'"

35

Puer,te prete"sado con losa continua sobre apoyos

» lb,.

:0» ~

022"

r D O,4~7- - - - i~ t-----T- I

g',~~ ____

P, 0,874

S .

(J'1

al

o,3:

1

,

s

0.389 - - - -

I

j-l'-~

-rr1

::-1'-

~~

~

,~

:::.:

1,007

0,880

~

1 ,647---

1,541 2,345~

~0~6~¡? 1

I

0622

\

-1'-

1.974

_ _ _--1

.

....

o

3,290

-1'-

1.903

N

2,37 ""-----1

~

2,041- -

~

1.612-

1 ,586 '.c----+

1,223

0,932

0,788

0,363

O¡ 0,26

0,550

0,564

o Ñ

~Q

3 ro -. o

0,424

0,462

ro

0,504

!

0,520

:

0,434

~

o..:::l

0,517

0,399

0,323

~

°-1'

ro (f)

e

ro o 0..,

0,478

(J'1

0,298

0,203 0,090

0,075 0,081 0,079 0,071 0,057 0,

-I'--..J

36

- - - - - -

021 1

0,03, - - - - '+-O=-~ 0,056 ' 1+'.

0'1

- - - - - --+-_+--

0,040

1

_-..J

0,03961 0,0660

,--+-_~

0'1

(11

o

-1

....0'1

0,070

0,075 ___ _

0,073

0,066 0,053

ame- - - - 0,018

1

(J'1

LíNEAS DE INFLUENCIA DE LOS GIROS Y DESPLAZAMIENTOS EN SECCIONES DETERMINADAS DE VIGAS CONTINUAS

2.1 J DEFINICIONES Al igual que para el cálculo de las líneas oe infiuencia de las fuerzas i'lternas o oe ¡as reacciones en secciones determinadas de es posible también obtener la línea de innuencia de la deformación o de la rotación de una sección de una viga continua, Er, este caso se trata de determinar la de''ormación (giro o que una carga en una sección de una estructura. Para el efecto de Maxvvell mediante el cual es fácl mostrar la relación que existe entre a deformación oducida en una sección determirlada de una estructura y la nos;ción de 'a carga

2.2)

LíNEA DE INFLUENCIA DE LA DEFLEXIÓN

0u

EN LA SECCiÓN U DE UNA VIGA

La línea de infiuencia de la defexión er una seccíór determinada u de una estructura e, punto u de la cualquiera es a la elást'ca producida una carga puntual aplicada

El precedente,

;a

FQr.¡nYf\I~'

de las deformadones oe Ma'(\¡vell

mostra08 en '8 de una carga en una sección ura de~exión 0u en una sección determinada u, de la misma

enunciado

2, ,sorr:etida a X. Esta carga

acción

cor.tinua sobre apoyos

Puen:e ore:ensaco con

2.1. en el punto u producido por una carga unitaria en X. Tómese ahora la viga de 2.2, sometida a la acción de una carga puntual uni taria en la sección u de la misma Esta carga una en la sección x a Del principio de Maxwe!1 es evidente que bXJ = bux'

A:r-~:::c----'-----+=------::-'7\

2.2. X producido po: una carga unitaria ClUlluCtUa En .~rv,C"",""

u. de una

ou

la línea de influencia de la deformación x en una sección es igual a la elástica que se obtiene al aplicar una carga unitaria en

la sección u. Para la determinación de la línea de de la defexión de una viga, en una sección determinada de ia basta con una carga unitaria en la sec la elástica de a estructura, cual y mediante un métodc elástico coincide con la línea de influencia de la deftexión en la sección especificada. disponer de .as siguientes que repre En eSTas condiciones es de de una viga 0Wy,nl,"CY"1"'''''''' apoyada, de sección constante, sentan ecuación de la a 15 acción de una carga puntual P, tal como se indioa en la 2.3.

a de! apoyo

P=1

¡-------

2.3.

38

cv-,rnoiirlo

L - - - - - - - 1 -I

a la acción de una carga

de influencia de

lOS

giros y desp'azarnientos en

deterrninadas de

ecuaciones, de acuerdo con

El análisis estructural suministra las en consideración,

?]

PbX [ 2L(L -X)-b2 -(L -Xr 0=--

(O :s;

6EIL

0= L~\U ~~J[2Lb-

-(L

6EIL

2.3)

-xf]

Ca s

LíNEA DE INFLUENCIA DE LA ROTACiÓN

Enunciado: la línea de es igual a la ""UQlI,-,a

:s; L)

EN LA SECCiÓN U DE UNA VIGA

....-

u de ,ma

~~-::;; \ ~

____ _ _---- ~M VXu

~- ---~..cL ~ -

SU

intervalo

:s; a)

de la rotación Sti en una uuucida por un momento unitario

x

continuas

2.4. Vioa sometida a la acción de un'llomento unitario en el apoyo, La siguiente ecuación representa elástica de una viga de sección sometida a la acción de un momento +Jector M en uno de sus apoyos,

,C+anfo

0= 11X (2L 2 -3LX +X2); (O:s;X :s;L),

6EIL

Ejemplo 2.1. Determinar la línea de influencia de ia defiexién en el centro de la luz e) de la viga simplemente indicada en 'a En otras se desea conocer cuánto vale la deftexión en el centro de la viga producida por una carga puntual, que se entre los apoyos A y 8,

r----~

4m

módulo de elasticidad del material: E

4 m ---l

2*1

39

Puente pretens3j:J

:::cn i083 ccntinua sobre apoyos

Sección rectangular de O,30íO,5C (m).

Por consiguiente:

El =2*10 6 *0,30*0,53 /12= 6250 trrf.

Ecuaciones para la deflexión en cualquier sección X de la v;ga, producida por una carga puntual, unitaria, aplicada en el centro de la luz AB. •

s:

U

•

La carga unitaria se encuentra en el intervalo

=

(O s X s 4) .

1 * 4 X [16 (16-X)-16-(8-Xt , T =1333*10-5 X [ 16 (16-X)-16-(8-Xy 6 * 6250 * 8 \ ' ? ]

La carga unitaria se encuentra en el intervalo

() =

1*4(8-X)[48_(8_ X 6 * 6250 * 8

? ]

(4 s X s 8) .

f] .

La tabla siguiente muestra los valores de la línea de influencia de la deflexión en el centro de la viga simplemente apoyada, de sección constante y de 8 m. de luz.

Comprobación: de acuerdo con el análisis estructural cuando la carga unitaria se en cuentra en el centro de la luz, la deflexión en ese punto (C) es:

pe

1*8 48 * 6250 3

()= - = - - - = 0,001707 m = 1,707 mm·

48El

Este valor coincide con el obtenido en la línea de influencia de Oc para X = 4 m. La gráfica siguiente muestra la línea de influencia de la de~exión Oc (en mm.), para posiciones de la carga unitaria escogidas arbitrariamente cada 2 m. A f-I- - - - - 8*1 - - - - - - 1 1 B

~~ o ("') N '" ~I'-.

o

40

~_

(01'-. L{)

N

Of'-w

R ¡g . . .-

ó

(m)

Líneas de i'lfluencia de los giros y desp:azamiertos en secciones oelerminadas de vigas continuas

Ejemplo 2.2. Encontrar la línea de inftuencia de la rotación de constante del elemolo anterior. El

8,\ en

81

apoyo A de la

de Maxvveli establece que oara obtener la Inea de infiuencia de la

en el aooyo A, basta con aplicar un momento unitario en ese apoyo y calcular la cual

elást'ce.

8A .

la línea de infiuencia de la

El análisis estructural suministra la ecuación para la elástica producida por un momer~::: M

= 1, s. Ux "

en el apoyo A de la

I\1X 6EIL

2

' = 8, =--(2L ~.

,ü

Dala estudio. Esta ecuación es de la forma: 2

-3LX +X ).

los valores

0x' =8, = ,

,~,

.>

se obtiene:

IX 6 * 6250 * 8

(128-24X +X 2 )=3,3333*10-6 (128-24X +X 2 ).

muestra los valores de la línea de infiuencia de la rotación 8 A en el apoyo

UUU",Ud

por la

de una carga unitaria en secciones tomadas arbitra

riamente cada 1 m.

estructural se conoce que un momento unitario

en

en el centro de la luz de la viga AS una deflexión en el centre de la luz IGUal a: 2 ÓX=VL\

8\ .

= MI} = 161*6250 *8 16EI

=

0,00064 rad.

Valor que coincide con ei indicado en !a tabla La apoyo Ade la

muestra bajo

línea de influencia de

paraX rotación

8A

4 m. de ia elástica en el

~10-5RAD

Verificación: otra manera de verificar

lOS

valores de la línea de Influencia de la rotación

8 A consiste en deterTiinar la rotación producida en el apoyo A por una carga Duntual unitaria 41

pretersado con

contnua

apllcaoa en cualquier sección, Así oor

apcyos

si !a carga

X = 2 ;n" la ro~ación en el apoyo A es, de acuerdo con el

+ b) e = Pal:(L , donde a 6LEI

2 myb

unitaria se encuentra en estructural:

6 m,

A

Sustituyendo los valores numéricos:

e = 1 * 2 * 6(8 + 6) = o 00056 6 * 8 * 6250

A

,

'

Valor que coincide con el indicado en la tabla orecedeme para X== 2 m.

Ejemplo 2.3. Obtener la línea de in4uencia de de~exión en sección indicada en la siguiente,

centro

la viga de

e

Datos:

(m). El = 2 * 1

* 0,2 *

2 =900

La línea de influencia de la oelrleX:¡On en el centro de la luz de la indicada en la equivale a la elástica producida por una carga puntual unitaria, aplicada en el

rm:,('crionto

punto

e de la viga.

El anáisis estructural suministra las siguientes ecuaciones para en X de la viga bajo estudio.

; (O s X s L/2) ,

42

cálculo de la deflexión

__ ~,'= s j' desp,azamientos en secciones detenninadas ,de vigas continuas

Lineas oe

p - [ 5X 3 -16(X 6 =96EI ' Sustituyendo los valores

6=

o

3 _

96EI

; (L/2 s X sL),

L /2)-3I}X ] se obtiene:

3r}X) = 1 (5X3 -192X) ; (O s X s 4),

96 *900

-p_[SX 3 16(X -L/2)-3L2 X] = 1 [SX 3 16(-4)-192X] ; 96EI 96 *900

(4~Xs8),

La tabla muestra los valores de la línea de in~uencia de la deflexión del punto C, ubicado en el centro de la 'uz AB de la viga bajo estudio, escoqieron arbitrariamente secciones cada 1 m.

La fIgura representa la linea de inf,uencia de la defiexión en e centro de la luz de la AB, En otras palabras: la gráfica representa los valores de la deflexión en el centro de la viga Cl cuando una carga unitaria se desolaza a lo largo de la uz AB, Así por cuando la carga unitaria se encuentra en la sección X 2 m, (X medido a oartir de apoyo A), a deflexión en el centro de la luz es 3,9815 mm,

~

'I:t 'I:t (O

10

~

ro

N

..q-

o

0')..::-

A~~si- ~" ::::

tÚ

N 1.()

ro

L..0

ro

(O

o <"Í ó B ._---_

N

~

o

tÚ

.¿

..q

o

'r

C0

l'

..

- - -/\ ~

~.~'.~--

(mm) Ejemplo 2.4. Ob~ener la línea de influencia de la deformación en el centro D) de la luz AB de la viga continua de dos de sección constante, mos~rada en la

Datos:

E= 2*106 (m),

Sección:

EI=21

*

2 = 900

PL.er:te pre,ef1sado ccn

con'inua

spoyos

m

o r0'TO(Orv'nrlo a la elástica producida

La línea de in~uencia de la defexión en el para aplicación de una carga en el

Una vez la carga unitaria en el O se a resolver la viga continua de dos luces. Mediante el empleo de un métooo elástico es oosiole cO'lcluir que el mo por carga unitaria de 1 l es igual a mento en el apoyo B fibras La figu:a resume las fuerzas intemas que se generan en la como consecuencia de la apllCalClé)n de la carga unitaria en la sección D.

dedos

0,05

El método de la doble integración permite obtener ecuación de la continua. Para el erecto basta con obtener las fuerzas y momentos en dos luces de la viga, tal como se muestra en la figura

2 m ,1

M

f-~'--1 "'\ A t '\ f--~--~~

I 0,425

f---------

0,30

0,05

V

X _ . _..-,

Ecuación diferencial de la elástica: El

M

B..------·~ 1--- X - - :

d2~ = EIY"= M .

dX

de la Lina de las

y clespazarnientos

ae :nfluerCiEi :::;'ó

•

secciones determinadas de vigas continuas

lramoAB. Método de la doble

intor

EIY"= M = 0,425X -l(X - 2)

Ca)

EIY'=f:MdX = 0,212SX2- O,S(X - 2)2 + el

(b)

EIY=

ffMdX= 0,070833X -0,167(X-2/ +e¡x+e 3

Ce)

2

Condiciones ce borde: X =

°-- ° y =

X

=4

las condiciones de borde en la

m -- Y

= O.

(c), se obtiene:

el = -0,80.

=0

C~

y C~ en la ecuación (e), se obtiene

elástica de la

en el tramo AB.

y = _1_ CO ,070833X 3 -0,167(X

rTuestra los va,ores de ia línea de :nfiuencla de la deflexión en el centro (O) secciones tomadas arbitrariamente cada 0.5 m.

de la luz

•

2/ -0,80X).

Trano BC. Método de la dobie

intoriYc>,-..ir..n

EIY"= ~I = 0,05X EIY'= 0,02SX 2 EIY =

-

0,30

(d)

0,30X + e,

Ce)

o,00833X 3 o,1

Condiciones de borde: X

=

+elx + ez

°-- = ° y


e2 = O

(E)

X = 6 m -- Y = O. se obtiene:

el = 0,60. 45

pretensadJ :;::n ,osa oontinua

y

en la ecuación

se obtiene la elastlc:a de la

estudio,

1 ' o y = -(O,070833x" O,lSx- + O,60x),

El

La tabla

muestra los valores de la deflexión del en el centre de la de la carga unitaria, en secciones tomadas arbitrariarrente cada luz AB, para ,JV'.'''''U' 1 m" en la luz BC,

La

muestra la línea de influencia deflexión luz AB para posiciones de la carga unitaria cada luzBC.

D, situado rr. en la luz AB y

Ejemplo 2.5. Obt8'ler la deflexión en una sección situada a m, de apoyo A de la causada por la lírea de ruecas del de luces :ndicada en la figura camión 40-95.

e

•

Sistema estatlc:o

•

de la viga, 180

A = 0,535,m2 m" E,e

Y, = 0,70 m Y, =0,32 m I

0,17

1m) 0.45

46

=

0,060 m4

El = 2 * 10 6 * 0,06 = 120000 tm"

Líneas de

y desplazamie:ltos

::3

seccior,es determinadas de vigas cont:nuas

PROCEDIMIENTO continua,

una carga unitaria en la sección F y resolver la

)

deterrr.inac¡ón de los momentos en los aooyos por la oarga unitaria ena secc;iór F de la viga se 'leva cabo empleado un elástico tradcional, :Jna vez efectuadas las mer:tos "leotores sobre apoyo,

se obtienen los siguientes mo

0,231 C, _ _ _

A tes:

.._ __

de los momentos en los apoyos, se obtienen las

fuerzas cortan

1~,5 m

1 0,006

Una vez resuelta la viga, es posible determinar la elástioa de la misma por e' métoClc de ia doble irteqrac:ón, el cual Darte de ecuación diferencial de ia e,ástica, íal como se mLiestra en la elástica es:

d2y El - -2= 1\1cLX

CLirsOS de análisis

la ecuación diferencial de

"= M, ecuación en la que:

E ~ móduo de elasticidad del material.

i = momento centro:dal

M

de Inercia de ia

rrv,,",iAn

rT:omento fiector actuante en la sección,

47

Puente

y = deflexión de la

'1r"I"""""1,, cOr' losa

y

=

scbre apoyos

fe X ).

2) Encontrar la ecuaciór de la elástica en cada uno de los tramos que compmen la continua. • Luz AB, Ecuación de la e:ástica,

EIY"=M= O,42SX-1(X-S,7S} EIY'=fMdX = O,212SX ElY=

ffMdX=

2 -

(a)

O,S(X - 5,7St + CI

O,070833X 3 -0,167(X-S,7S/ +C 1X+C 2

= O-+ Y = O

Condiciones de borde: X

las condiciones de borde

=0

(b)

; X = 11 ,5 m la ecuación

(e)

y=o

se obtiene:

=-6,607. {f}, se obtiene la

OIQ0Tlr"=>

de la viga

en el tramo Be,

y = _1_(O,070833X -O,167(X -5,75)3 -6,607X).

El

Nota: cuando el término (X de tesis se vuelve cero La tabla pO~3ic;l)nE)s

parén

muestra los valores de la línea de influencia de la defiexión en de la carga unitaria en la luz cada 2,3 m,

• Luz BC, Ecuación de

elástica,

EIY"= M = 0,OS4X - 0,857

(d)

EIY'= O,027X2

Ce)

EIY = O,009X

3

O,857X + -

2

O,4285X + C¡X + C2

(E)

para

U:leas de

infi~erD"

~;::s

:3

Condiciones de borde:

X

e1

y

=

O- Y

=

O

deter:;¡inadas de vigas continuas

X

20 ro - Y = O.

=

(e), se obtiene:


C1 =4,97,

C2 = O

y G" en

ecuación

se obtiene a elástica de la

en el tramo BC.

y = _1 (O,009X -0,4285X 2 +4,97X).

• Luz CO. Ecuación de la elástica,

EIY"= 11 =

-

O,0152X + 0,231

(g)

EIY'= -0,0076X 2 + 0231X + C l EIY =

-

3

(h)

2

O,00253X + O,1156X + C,X + C-


X = O- Y

=

O

(i)

7

~

X

=

20 ro - Y = O,

las condiciones de bcrde en la

=0

Cl =-1,3,

e y en

(1), se obtiene:

en la ecuación (i), se obtiene la

de la

tramo CO,

Y

1 ' -(O,00253X"' -0,1156X" El 7

=

La tabla

1,3X).

muestra los valores de la línea de la luz cada 2.0 IT, de la carga unita~a

de ia deflexiór, en F para

•

Luz DE.

G)

EIY"= M = 0,006X -0,073 2

EIY'=ü,003X -O,073X +C¡

(k)

EIY = O,OOlX 3

(1)

-

O,0365X 2 + C¡X + C 2


=O-y =0

; X=11,5 m -

as ccndicio18S de borde en la ecuación

e¡

=0

se obtiene:

0,2875.

C, y

en la DLAiUL'¡VI

se obtiene la

de la

estudio,

en ei tramo DE.

Y

La

=

1 ' ? -(O,OOlX" -O,0365X- +O,2875X).

muestra la línea de influencia de la deflexión en el punto F de la viga cíe sección constante.

Deformaciones en mm.

De la línea de influencia de la deformación vertical en el punto F se concluye que la máxima producida por el la línea de ruedas del camión C40-95 es:

50

Líneas de iniíuencia

Úp

=

y desplazamientos en

determinadas de vigas contiruas

7,5(0,0028 + 0,0036 + 0,18181 + 0,1453) + 5(0,0258 + 0,0029) = 2,692 mrr,

Máxima

por carga viva:

'A7.6.6.3. ~Limitación de las deflexiones de 'a defiexíones, estas deben los siguientes ItJljUI~llU0,

Cuando se calculen

A. 7 ,6.6.3.1, -Los elementos de estructuras o continuas deben aiserlarse para que la debida a la carga viva de servicio más el no sea mayor que ¡/800 de la luz, en puentes en áreas urbanas usados por peatones: en tal caso la relación no debe ser mayor que 1/1000, A.7.6.6.3,2. -La def1exión de Ics voladizos debida aa carga viva de servicio más im pacto debe ser menor que 1/300 de !a del donde hava tráfiCO de oeatones, caso en e cual la relación no debe ser mayor que 1/375".

Ol\~X

L _ 20000 = 1000 - 1000

=

20 mm> 2,692 mm

, "T- f ;

CAPíTULO TERCERO

EJEMPLO DEL DISEÑO DE UN PUENTE DE 4 LUCES CON LOSA CONTINUA SOBRE APOYOS PARA CARGA VIVA Se desea diseñar ia viga de 20 m. de 4 luces indicado en la figura

y la armadura sobre el apoyo del

Se criterios de diseño contenidos en el Sísmico oe Puentes -1995.

Colombiano de Diseño

1. Sección longituoina ~li,5m-~--20m------20m----l1,5m~

2.

• •

transversal del puente.

1,2

1.2

3.65

3.65

• •

0,17 (m)

3. Dimensiones i..B

de la viga

nrotcnCOQr'Q

muestra las dimensiones supuestas de la viga pretensada.

E!emp!o

_,e

Cl-ente de 4 luces con

0,30 ~~------I

continua sobre aooycs para carga viva

¡p,o?

0,14

I !

0,85

0,35

0,17 0,14 0,15 (m)

4, Materiales,

'~n~y~+~

de las

del concreto e~ el momento de la transferencia:

Resistencia

(= 315

el • Resistencia especificada oel concreto a los 28 días: :( = 350

• Concreto de la 'osa,

re = 245 • Acero de preesfuerzo. Se escogen arbitrariarrente cables de nominal ¡ 1,11 rrm, conformados Dar 7 alalTbres. Datos del fabricante del acero del Carga de rotura: 12250 Carga máxirla de tensionamiento= 8589 kg. N

Área del cabie de 1/16 = 5.

del puente.

Camión de diseño: C-40-95.

de

250 (ksi), diámetro

•

r:;retersajo cor:

c:::nt;nua sobre

los cuer.tes

y urcancs perler.eajontes a carreteras trcncales,

Grupo I! de Grupo' Puentes esenciales

TOG::JS

,'ías ucbanas, at::e~as y puer.'es que

8::::::0S0

a rrn\!oc',"'C:

Grupo" Puentes

•

de suelo:

•

Jbícacíón del ouente:

•

Puente

p..,=

de cuatro luces. Tabla A.3.5-2

i .

•

Categorías de comportamiento sísmico (CCS) Coeficiente de aceleración

Categoría de

Clasificación por importancia

f\

I

iI

p., s 0,09

CCS-B

CCS-A

0,09 < A, s 0. ' 9

ccs-c

0,19 < A s 0.29

CCS-C

CCS-C

CCS-C

0,29

CCS-D

CCSC

CCS~-8

sísmico: CCS-C

19 < A <

"nrY1n.nrT'orn,·,-,,,'rl"\

.

CCS-B

!

tll CCS

I

CCS-B

Procedimiento mínimo de análisis sísmico (PAS) Categoría de comportamiento sísmico (CCS)

!

I

Puentes irregulares con dos o más luces

, Puentes regulares Puentes de una luz (regulares e irregulares) I con dos o más luces

CCS-A

PAS-S

I

PASOS

PAS-S

CCS-B

PAS-S

i

Pf\S-'¡

PAS-1

PAS-1

I

i

P/',S-1 I CCS-D ! PAS2 L--.. _ _ _ _--'-_ _ _PAS-S _ _ _ _ _L -_ _ _ _ _ _ _- ' -_ _ _ _ _ _ _ _- '

54

=íempo del

::8

4 It.;cos con losa contnua sobre apoyos para carga viva

Procedimiento rrínimo de análisis síSfT,ico:

CCS-C: PAS -1 ,

de 4

6, Resumen del proceso constructivo, Las figuras

resumen el proceso constructivo, Secuencia oe construccIón

~

~

a) VIgas proosforzadas Izadas como vigas simotes

~

En esta etapa las trabajan como apoyadas y deben estar en capacidad de soportar, además de su propia peso, el peso de la losa cuando esta no ha b) Se funde la losa y el diafragma sobre apoyo

En esta etapa las vigas pretensadas como continuas y deben soportar el peso de la carga viva rnás el oeso de las cargas sobreimpuestas asfáltica, La continuidad se logra fJndiendo la losa en forma ry;nt"niiti"o 'os diaoramas transversales que se proyectan sobre los apcyos del La figura siguiente muestra un detalle de la arrT.adura no tensionada sobre apoyo, 50~ ~

!¡I

(mIT')

g! "'¿ L

56

Puente pretensado con losa ccntinua scbre a¡::oyos

Las amplían las definiciones precedentes e indican la manera como se integra la losa del puente con los sobre apoyo para formar una unidad es tructura: que emá en capacidad de les momentos que se presentan sobre apoyo, debidos a viva más las cargas sobrElímpuestas Detalle del diafragma sobre apoyo

Sección transversal

Planta de un diafragma típico

De la viga en el d'afragma

Nota: en el caso de cables rwc,tcl.,"'é,r1r"" rectos hacia los apoyos, se acostumbra a revestir las barras de acero tensionado con un material que no adhiera al concreto. Esto con e de disminuir los momentos en los apoyos de as simplemente

56

::jempio

O,S-3~ - ::;8 -' l

puente

4 :uces cCl

continua sobre apoyos para carga viva

Armadura para momento positivo- detalle constructivo

Fisura supuesta

Esquema de falla

25' (aprox.)

Acero de ptééSruéfZO no adhérido hac!a el 8;JOyO ~Détalja-

7. Esfuerzos en el concreto en etapa de ser'licio de acuerdo con el

de Diseño Sísmico de Puer~tes CCDSP-95.

A.8. .2.1.2- Ccncreto

Esfuerzos temporales antes de pérdidas cebidas al fiujo plásticc y retracc,ón de IId\..lUdUU. Compresión ~;iemrxos pretensados iV1iembros postensados ................ ................. .. ............. . ero momen:o de la transferencia. Zona a tensión preccMonmida. No se especifica'! esfuerzos isibles temporales. Ver n0meral A,8.7.2.1.2.2. Para esfuerzos isibles después de pérdidas. Refuerz:) no ad'lerldo Cuando los estJerzos a tensión ca:cu:ados excedan este vai:)f debe colocarse reL:erzo adherido oara resls+ir la fuerza tctal je ter.siór sobre el concreto 0alculada bajo supuesto de sección no agietaja. El máxir¡~o esL:erzo :ensión no debe exceder 2,0 vfcí A.8.7 .2.1.2.2-Esfuerzos bajo cargas de servicio después de que ocurrer , las pérdidas dependientes de: t:ernpo. Ccrnpres:ón .. .. ............................... ,.. .................. .. ................. .. ...0,40fc Tens:ón en ia zona preco~:p:irnida a tersiór Para 00n re:uerzo adherido ....... Paca ccr.d'ciones severas de exposioió'l a la corrosión. corro las zonas de la costa .......... b; Para rrdembr::ls si:, refuerzo ad'1eé.do

En consecuencia: • ::sfuerzo isible en el concreto a compresión -1400 -140

de cue ocurren las pérdidas:

• Esfuerzo isible en el concreto en el instante de la transferencia: = -1890 Vm 2=- 189

50

• ::sfJerzo isible en el concreto a tracción después de que ocurrefl las pérdidas: 1,6V'350 30

57

Puente pretensado

continua sobre apoyos

PROCEDIMIENTO

1 J OBTENER

LAS PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LA SECCiÓN.

Las propiedades

r10(,rY1,:;:,tn(~Cl"

de la sección que deben obtelerse oara la correcta apiica

ción de la fórmula de los esfuerzos combinados son: A

de la sección transversal de la viga.

I ::= Momento centroidal

Yi

::=

de inercia de 18. sección.

Distancia entre el

centroidal de la sección y la fibra inferior más

Distancia entre el

centroidai de la sección y la fbra superior más

Por otra parte, la fórmula de los esfuerzos combinados es: externas y por la fuerza ce

P

<J =- -

A

±

PeY 1

Convención: son

V'-l·,..lvICJVO

o.:v!o.u·a.

por las cargas

MY

:¡:

1

'C7UCW\JU,",

los esfuerzos de

Donde: en la c rel="nofollow">cv'.~.r\n

p::= Fuerza de M nas.

= Momento

actuante en la sección considerada debido a las cargas exter

e Excentricidad de la fuerza de centroidai de la 0Cy'r-IT,n y el punto de

y

::=

Distancia normal entre el

Esto es: distancia norrral entre e de la fuerza de

centroidal y la fibra considerada.

Debido al proceso constructivo del puente y aa manera como mismo soporta las scicitaciones a las que estará durante su vida es necesario calcular las de

sección

y de la sección

1 .1) Propiedades geométricas de la sección simple. Con e! ánimo de facílitar el cálculo de las prepiedades

simple en y rectángulos tal como se indica en la figura

58

Ejemplo

diseno

un puente de 4

con losa ccrtinua

apoyos para

viva

(m) /<>---

~=I

0,141

0.07t

.~

~

¡ 0,475

tO,15

En r.r-.r. ...

las propiedades geométricas de la

ñr""l

son:

de la sección rransyersal :

A = 0,30 *0,14 + 0,065 * 0,07 + 0,56 * 0,17 + 0,14 * 0,14 + 0,45 0,15 = 0,229 m2 Posición del centroide de la sección simple:

Y¡ = .'::'.:::~-'2.::.~~:'::"':-2~~_--,-_ ~ -,- - .-':~~-':"'------'0,229

._-'----

--=:.2..:'

~"~

Y¡ =0,375 m

Y, =0,475 m :yromellto cenuoidal de inercia de la sección Del teorema de Steíner :

1=

-' +030*014

.':.'~.'.-'

12

'

,

+2 (=.:........::'~+0,5~0,065*0,07 0,311')+

36

°

1 A4 -'---~~'~-+0,17*O 56*0 055 2 +2 (-'.~+O 5*0 14*0.14"

12

,

"

.~+0,15*0,45x ~

36'"

+

=0,017m4

1,2) Propiedades geométricas de la sección compuesta,

Para el cácuio de las prooiedades de la es necesario tener en cuenta ei ancho de la losa que resiste las solici~ac¡ones por flexión sobre el puente en servicio. A este resoecto el Códiao Coiombiano de Diseño Sísmico de Puentes "A7.6.7.1.1 .-EI31~cho de placa. efectivo como de Viga T. deoe exceder % de la luz la vi;;Ja. El efectiva b cue proyecta hacia cada ado ce! al:-r:a dece ele: a) veces el espesor :a !osa, ni b: La :r:itad de la distancia el alma siguiente,

A,l,6.7, é ,2-Para vigas con claca en un lado SOarri8TS, el alcro ala "o debe exceder de:

a; 1/1 de lauz de la víga

proter:sadc) con losa continua

apoyos

c) La mitad de la

los valores numéricos:

20 :::;;-=5 m 4

b :::;;6 t:::;;6*0,17=1,02

b:::;;

S 2

m (Rige).

2,4 =-=120 m. 2

1 .4 J Relación

'

n de módulos de elasticidad del concreto

El método de la sección transformada en secciones perTrite conver:l, materiales de diferente módulo de elasticidad en un solo material de referencia. En este pretensadas, de 350

se tomó el concreto de ¡as

de resistencia a la

como material de referencia. El Colombiano oe Diseño Sísmico de puentes para el cá,cuo del módulo de easticidad del concreto:

12500~

; (paraen f' e .

vv"U'-"'Cl

a siguiente ecuación

2).

~a resistenc:a especificada del concreto de las vigas

de la viga : ( :nn,~ro,rn de la losa:

y de la losa, es.

= 350

f'e = 243

¡cm.?' .

la rc.IC'f'lr\n modular de los concretos es: modLJiar: n

=

E losa

Sustituyendo los valores numérioos de los módulos de elastlc:ldEld del concreto de las y del concreto de la losa se obtiene una relación modular

n

=

12500,/350

a:

= 1,20

1 .5J Dimensiones de la sección compuesta El ancho efectivo de la losa de concreto se obtiene sumando al ancho del alma b w de la sección más las dos alas de ancho b que se proyectan a cada lado. Es decir:

60

b =2*1

+ 0,17

viva

cantinela sobre apoyos para

Ejemplo del diseño de un puente de ¿1 luces con

2,21 m.;

Con el fin de tener en cuenta los módulos de nID'2TI01" y de la losa, se divide

n --

re ación modular

por

ancho efectivo

1,

2,21 ,.., 1,80 m

1,20

Mediante este

se obtiene una p",.~,-.i;'.n

creto de resistencia a la en la figura siguiente.

en con so indican

a 350

.,. 1°,17

0,321

iO,14

E.C.

+ ~0.07

0,35

lo.1:rl

0,701

(m)

jo" 0,15

1.6) Propiedades geométricas de la sección compuesta. Area de la sección compuesta:

A = 0,229 + 0,17 *1,80 = 0,535 m.

Posición del eje centroidal de la sección compuesta:

0,535

0,32 m.

Y =1,02-0,32=0,70 m. Momento centroidal de inercia de la sección compuesta: Del teorema de Steiner:

I= 0,017+0,229"'(0,70-0,375)' + _,v 1;,u-+ O,17*l,80*CO,32-0,085)2 =0,0588 m 4

61

nro+"rQ"ri"

2)

cero ¡esa co:¡:inua

apoyos

EL AVALÚO DE CARGAS.

El de cargas que se 'ndca a continuación Interiores dei puente,

rnrr,'''"rv,nric

a una de las dos

Las cargas que actúar, sob:s las vigas pretensadas están reiacionadas can el proceso :;onstruct'vo de En .orimer se tiene el oeso dsa secció:1, el cual se 'Tl0viliza en el momento de transferencia de la Tuerza oe Una vez izada la se funde la losa de cuyo peso debe ser resistido por la corv"',r\n er: estas 0",nrlir':r\nC,Q colaborar mientras el concreto de la losa fraguado y en la resistencia de las sOlici:aciones, En otras palabras: en el instante en que se construye la losa, la sección debe estar en capaddad de no solamente su peso propio, sino también el peso de la puente (se SUDone oue !as vigas no nan apumaladas nrc>\¡Cln"'.,c>,--,l·o

cargas muertas tales como el peso de la e! peso de la barrera y de los andenes, A su vez, estas cargas son re de la viga, sistidas por la sección asfál~ica,

J Carga muerta sobre la sección simple

• •

Vm .

propio de la aferente: 2,4 rT,):

Peso dea losa

=O,9SVm,

2,2) Carga muerta sobre la sección compuesta

Vm,

•

0,80

andenes = - -

.

= 0,20 t /

m,

4

Vm, En 0,0,r'0"'0' de acuerdo Se sup~so que las barreras del puente pesan del CCDSP-95, se ei peso de las barreras entre el número con !a de vigas del puente,

62

Ejei'1p:o del dse'io de un

3)

de L luces con :osa

para carga viva

sobre

CÁLCULO LOS MOMENTOS MÁXIMOS DEBIDOS A LA CARGA MUERTA EN LA VIGA

PRETENSADA DE

20

M. LUZ, CONSIDERADA SIMPLEMENTE APOYADA

3.1) Momentos por carga muerta en el centro de la luz de la viga pretensada simplemente apoyada de 20 m. de luz.

Momento flector máximo debido al peso

M DS

*20

de la sección

2

-'---- = 27,5 t.m. 8

Momento fiector máx'mo debido al poso de la losa (cuando no ha m, y 0,17 m, de espesor, aferente de

de ancho

O 98 * 20 , = 49 t.m. 8 2

MD

No se consideró el peso de la cartela de 0,0 2 m, de altura, Las cargas actúan sobre la sección sobre el continuo de 4 luces,

y en consecuencia

4)

20

MOMENTO MÁXIMO POR CARGA VIVA EN LA VIGA PRETENSADA DE

DE LUZ,

PROYECTADA CONTINUA SOBRE APOYOS.

De acuerdo con el Colombiano de Diseño Sísmicc de Puentes -1 \:J\:Jb, carga viva que actúa sobre los es representada por ca;-nión C cuya acción se resume en el criterio: Para luces menores que 28 m" el ca;-nión C 40-95

el diseño

Para luces menores que 24 m.,

el

La C40-95,

ca;-nión C 40-95

a cortante,

siguiente resume las cargas por rueda y la distancia entre los

CaMión C40·95

15 ,

flexión

del camión

Planta Oei caMión C40-95 1St

10'

11

75 '

I"I I

'

Ido

,5,

7,5t

L:

ra9M

Ca:acterísticas del

de dissF::::

I

CaMión C4{)*95

__

5\

-.l

1,8fr'

±06m

-¡---4 m

40-95

63

pretensa::i:) c;::m losa continua sobre apoyos

4.1) Factor de impacto.

::Jara la inclusión dei factor de irn,,,af~tn en las solicitaciones por earga viva es tener en :Jenta que el camión e actCla sobre el puente continuo y no sobre 5~da simplemente de notar además que la eonti:luidad del se obtiene "~:ldlendo simultáneamente y les sobre les apoyos. De acuerdo con el ~3ctO; de Impac~o se calcula corr,o

de Diseño Sísmioo de Puentes

el

"A3.4,3.2.1- E inc'e;nsntc; psr:r,it,do de: impacto ss expresa ccrno porcentaje del esfuerzo de !a carga vj\"8 y deoe dete:'Tli'larse ce acue~jc C::;,1 :8 sigulents LÓJ'"'Tlula: I +L, ' En donde: I '" porcentaje de imoacte ,háxi:l"c 3J%,1 L= longitud W1 metros de par:e Que está cargada ¡:ara crcdusir 'os esfuerz::;s rr.áxh10S en elemento estructural.

A3,4,3,2,2- Para

~rifcr'naad

8p.!caciór de la fÓT'kila artericr,a Icng'tc.G

la siguiellce: a) Para :os eerrer,tos de b) Paraos elemell~os Tr"'r1"\i,'r"~;lp,,, íOS apoyos.

o) Para el c;álcl.llo de los mr,rrcu',i,,,,

desde el pun~o de eva!uac!:)1l d} Para el cálculo del

L,

centro

c;a'llión: la 'ong,ud de 19. luz. o

alejade,

la lc;ngíilJd de la paie car g9.da

lejaro, excepto pera voladizos

La Icr.gi:c.j de la luz bap consicerac'ór:, Pera "".~",orn'Q pr:)medio de ,j:::s :uees cmse:::i.J1ivas cerg9.oas.'

e) Para nonent)s Dos:,ivos er: negativos en luces contiruas:

De acuerdo ccn esta del ei factor de impacto para el diseño del apoyo B de la viga continua de 4 luces indicada en la figura siguiente es igual al nr0,rnC,('j,n de la suma de L1 más L2, Gráficamente:

Camión 000

LB E!l oonsecuel1cia e factor de sobre e apoyo B del 8uente

2

que se debe emplea' en el diseño de a armadura

a:

16 1= -----=0,287

40 + 20 + 11,5

2 L

Promedio de :as luces Que

en

nudo B,

Ejornpladol

do U:J

sobre apoyos para

do 4 luces con .osa

viva

De la mismE manera para la revisión de los esfuerzos en las Il~ces así como para la verircación de esfuerzos en la simp'e se debe emplear lauz de 20 m, En consecuencia:

1_

16 40 + 20 =0,267

4.2) Factor de rueda: E factor de rueda que se debe en el cálculo de las solicitaciones por carga viVE depende dei tipo de losa del y de la separación entre vigas El Colombiano de Diseno Sísmico de Puentes ai factor de rueda lo "A4,3A 1, -Vigas inter'ores- Los momentos fectcres oebidos aa carga viva para cada viga interior determinan aplicando a caca una ellas la Carga de Ruedas multlp!icada por los Factores de Rueda (~,R,) de la siguiente tabla, donde la cistar¡cia promedia entre vigas",

CLASE DE PISO

Puentes de una calzada

S

F.R.

Puentes de dos o más calzadas

ER.

S

!

Concreto sobre vigas acero o en I o de conoreto preesforzado

I Concreto sobre Vigas en T eJe concreto !

Parrii:as de

con espescr menor

S /2,1

:;; 3,0

S/2,O

:;;2

S 11,4

:;; 1

/1,7

:;;4,0

S /1,8

:;;3,0

S /1

:;;

i 10cm,

ParrHias oe acero con esoescr de 1O cm, o más Placas de acero cOmJgado espesor . mínr:lo de 5 cm"

j

I

/1,8

8/1,7

,8

11 ,5 8/1,4

I

"CuandJ S !cs va'ores a-:otados pa'a cada el Factor eJe Rueda se deterrn:na süoo.-,iendo oue ia simple, apcyada ~exión, V'gas exte.~ores, A,";,3,L,2-Vigas exteri:Jres- La carga n-uer:a soportada po, las vigas exteriores es igual al de la losa carga Clirec:arnelTe eíla, El 09S8 de gc:arda'TUedas, baranoas asfáltica y demás elem,entos oolocados después de Que :Jsa haya ';raguadc, repartirse igual todas de calzada, Les ';Iomentcs deb'dos a viva se oacu:ar con un factor de rueda suponiendo qL.e actúa CO!"1') viga ongitudinales, excepto una :OS8 de ccrcm'o esté soportaoa pJr ,.; este caso F.R= en el caso S I 1 ,7 !Jara 8<1,8 y ,2.,..J,258) para ',8< 8<4,3 . En ningür case, ,-na eX'enor Duece ura capacoad de rr:enor que la de viga ín:erior",

apoyes

De acuerdo con la res para puentes de dos sobre vigas

S 4 F.R=-=1,7 1,7

el factor con un ':ablero es:

1,41.

En consecuencia las cargas cmdueidas per la línea de ruedas de: C 40-95 que oeben consioerarse para diseño oe las secciones de las sobre los apoyos (incluyendo el factor 1,41 Y el factor 0,287). •

Rueda trasera e ,n-'::>YrY'O.4

7

•

Rueda deiantera

,41 = 8.95 t = 9.07 t.

,287*1

De la misma manera se obtienen las cargas de rueda del camión C4095, incluidos el impacto y el factor de para la revisión de los eS7jerzos en ¡auz de las de 20 rn. del puente, debidos C40-95. En este caso ei factor de

a •

Ruedas trasera e intermedia

•

Rueda delantera = 5*1

,26r1.4~

,41

t.

8,95 t "" 8,93 t.

La diferencia entre las cargas por rueda, debidas a la en el factor de es así que se toman ccmo representativas las cargas para el diseño de apoyos. 4.3J Determinación del momento máximo en el centro de la luz BC.

El momento máximo en el centro (sección G) de la luz se determina recurriendo a la línea de influencia del momento obtenido en el 3, del capítulo 2. y colocando la de ruedas del camión C 40-95 en la pos:ción más desfavorable.

'; ,;

66

-" '< ·4"'·'.:'~, ,,'. " ~,.

d."'''

.~

Eje~p'o

diseFo de un pt;ente

La figura

reSU:Tl8

,osa ccntinl.a sobre apoyos para carga viva

4 luces

este criterio:

L.!. M G

"

ID

g]

,,;

las cargas provenientes de la linea de ruedas del camión C40-95 (in cluidos el imoacto y el factor de por las ordenadas de la linea de inftuencia del momento en la G se obtiene: =

7,5 *1,41 *1,267(3,29 + 1,541 + 0,079 + 0,066) + 5 *1,41 *1,267(1,586 + 0,0396) '" 82 t.m

Es de interés comparar este momento ftector producido por la carga viva 82 de 20 m, de que se hubiese obtenido si se hubiera calculado la viga lUZ En este caso, el máximo momento producido por laínea de ruedas del camión C 40-95 se obtiene de acuerdo con la Cuando las tres ruedas se encuentran dentro oel supuesto de una luz, el momento máximo se !a rueda intermedia (8) a una distancia de la viga medida a partir del apoyo 7.5t

! A

7.5t

4.00

!

5.01 4.00

B

Carga por rueda Camión C 40-95

!

e

Puenie

La

nro~",,,,,,,,'i0

con losa

siguiente muestra la el máximo momento bajo B.

7,5\

Del equilibrio de ia momento en la luz:

=

M max

sobre apoyos

del eje de ruedas cel camión C40-95 que

7,5t

se obtiene la

5,0!

ecuación para el cálculo del máximo

20 [L + 0,25]2 _ 30 L 2

La tabla siguiente indica la magnitud del máxi:no momento de ruedas del camión C 40-95 en de una luz con ,""',-,,.,,,;-'" ni factor de rueda, Estos valores no

producido por línea entre ~ 2 Y 28 m,

De acuerdo con las definiciones precedentes se que el máximo momento producido por de ruedas de camión C 40-95 sobre ura de 20 rn. de luz es 75 :,m. En consecuencia el momento de diseño oor carga viva es:

M

,267*1,41*75='34 Lm >82 t.m

impacto y

de rueda)

En otras "",!bnY<:l'" e máximo momento en el centro de !a viga pretensaaa de 20 rn. es 63% mayor si se la proyecta como simplemente ap()vaoa. En efecto: (134 - 82) 100%

= 63%

82

Esta comparación sencilla muestra la de esta oublicación.

5]

del

rnr'pri¡rnl",n1'n

propuesto a lo argo

DETERMINACiÓN DE LA FUERZA Y LA TRAYECTORIA DE LA FUERZA DE PREESFUERZO

Se indican en los numerales siguientes dos de los crite:ios más empleados en la deter minación de la fuerza de preesfuerzo. El consiste en suponer que el momento

EJecepio de diseno de

puente ce

luces con losa con;i'OJa scbre apoyos para carga viva

paras carga totales sobre la sección es a un par interno resultado de la fuerza de por una fracción ce la altura de la viga. El segundo criterio consiste en determinar la fuerza de de manera que no se un determinado esfuerzo a tracción en la sección, 5.1.] Primera alternativa para la valoración de la fuerza aproximada de preesfuerzo La fuerza de

P se obt'ene a

fórmua

de

MT = O, 65Ph . Jonde:

= Mornento total

UUUGlUU

por

;3

carga muerta más la carga viva de servicio.

h = Mura total de la sección

De la r-¡Ar"\YV<,,,,frí de la sección compuesta de este Dara ia determinación ae la fuerza momentos:

claro que h = 1

m.

se suman los

de

al Morrentos por peso =1 peso ce asfáltica y de las barandas actúa sobre la sección compuesta y se incluye en el cálculo de las solicitaciones sobre el continuo. Por e momento total por peso propio sobie la sección es la suma de! momento por peso el momento debido al peso de losa antes de que e! concreto

':"lD

= 27,5 + 49 = 76,5

tm .

b) El morrento máximo factor de rueda y el y la acción continua dei obten do multiplicando as de la línea de influencia del rnomen:o M~ {centro de la por e! valor de las cargas por rueda para la oosición más C40-95. fue cacu!ado en numeral 4.3 . .i\1GL+r.

= 13,61(3,29 + 1,541 + 0,079 + 0,066) + 9,07(1,586 + 0,0396) "" 82 t.m

Una vez obtenido el momento total sobre a se recurre a la fórmula aproximada D ~jl- = O.65 h de la que se obtiene el valor a:xoximado de la fuerza de oreesfuerzo p,

76,5 + 82 0,65 *1,02

158,5 0,66

= 239

t

69

Puerte

cor :03a

Dre:e~sado

rn,TCl(OrV,nrio a de er e:apa de servicio, Esto

Es de notarse que esta fuerza efect!va en bíndice t =u ,

fuerza e su

es

Una vez calculada fuerza mere de cables de que se se escogen arbitrariamente cables cie

determinar e nú para resistir la fuerza, En este de diárretrc:; 7/16 u

,

Las características más imoortantes de este cable son: oe diámetro 7r 6'

neta del cabie de Esfuerzo de fluencía en

7825 c:rr:. 2.

= 160m

cable de

Determinación de :a fuerza máxima de: cabie,

Esfuerzo isible

acero de

nr:

fy = n 80*41 60vv

F adrn

'V,

Fuerza isible en el cable de

oe área

8992 kg ,.,,8589

crr,",

(Dato de,

Para determinar el número de cables de preesfuerzo basta con dividir la fuerza de entre la fuerza isible de cada cabie,

239000

N° de cables =

kg.

8992

"" 28 cables oe diámetro

a 7/16

5,2J Segunda alternativa para la valoración de la fuerza aproximada de preesfuerzo

Otra

para la valoración de la fuerza consiste en calcular la fuerza qLie anula las tracciones en la fibra inferior de ia sección cuando actúan las cargas muerta :-nás viva sobre el En estas condiciones

e

a ,

esfuerzo en el concreto en la fibra inferior de la C'nr'(',r'n com-

C'·

v,

0=

II'V''':Q,nr;r,

P( -eY a , + _'---'-_ 1 1

A

una exce"tncidad ce la fuerza

oreesfuerzo en el centro de la luz en

a:

e = 0,70 - 0,10

70

= 0,60

m.,

y

InV0c>nr ,r,ri",ri

referida a !a sección

E;ornplo del dseño de un

de

para carga viva

continua sobre

luces cor

L':

Esto equivae a suponer una distancia supuesta entre centroide del acero de pre y la fibra inferior de la sección de 0,10 m, En estas condiciones se obtiene !a fuerza de oreesfuerzo en etaoa de servicio P = Pt~U

o

(Ji

0,60 0,

0,535

+

0,0588

Se toma una fuerza a 209 1. Si se suponen ferencia (

Se

la fuerza de

el oentro

= 209

t:::: oo )

en

instarte de la

alternativa

ce la luz durante la transferencia

t

Fuerza de

t=C!

t

de

arbitrariamente los resultados obtenidos a partir de la la fuerza de Esto es: cálculo

= 232

en el

de servicio:

de la luz en

t

Número de cables de

6)

= 209

t"'" 239 t

1-0,10

Fuerza

P

-..

de servicio

del 1

209

Po

0,0588

de 7/1

de

=28,

DEFINIR UNA TRAYECTORIA DE LOS CABLES DE PREESFUERZO

arbitrariamente de los cables oe supone que de los 28 en el centre de la luz, 18 cabes son rectos y 10 restantes tercics de la luz ccn dos

UUdtj:->ld

se levantan haca • RedUCir

de'1exiones deoidas al

nr,v,,,f,-,r,""

• rJisminuir el esfuerzo de rvvrw-;r""IA sobre el concreto en los apoyos excentricidad de cab,es.

UlJlll,lllU

por la

71

¡:::retersaj;)

losa continua

apoyos

en

muestran a posición 0U¡JU'wQlD de los cabes de en diferentes secciones de la :T1isrra,

la viga Sección en el centro de la luz (Acero tensionado)

Sección en el apoyo (Acero tensionado)

Armadura pasiva

(28# 7/16")

5.3) Trayectoria propuesta del cable resultante. El cabe resutante se compone un cable rec~o de diámetro de 7/16 Y un cable inclinado hacia os tercios de la ta como se indica en la 10 torones de diámetro de 7 6

por 18 tormes por

r

28 cables 0,10

I----U3=7

m--····~

.....- - - - U3::: 6

m~-········-+_~

Punto de sujeción

de los cables

De la misma manera se prooone una distribución de los cables de centro de la luz de la de 20 m., resurrida en la Detalle del preesloaado

en el patín inferIor - Centro de la luz

#4

i 3.5 3,5

3

3.5 3,5

~~

___________

~-d

5

(cm)

(Acero tensio:nado)

en el

Ejemplo del diseño de un pJente de

luces con iosa continua sobre apoyos para carga viva

6.1) Verificación de la excentricidad de los cables en el centro de la luz

N° de cables: 28. Es de recoroar que oara la de la fuerza de debe ser verificada para miento de O, í O m. Esta precedente de los cables de establecida en la ala

di Distancia del centroide oel acero de sada de 20 m. de luz,

se supuso un recubr'~ diseño a la oosíción

inferior de

preter~

Ei de la del centroide del acero de ::xeesfuerzo en el centro de la luz se lleva a cabo tomallOo momentos de orimer orden con resoecto al borde inferior de la

d¡

8*5+8* 5+6*12+2*15+2* 28

En consecuencia la distancia (0,10 fuer¿o a la fibra es correcta.

5+2*22 ... 10,39 cm ... 10 cm

supuesta desde el centro del acero de

prees~

6.2) Posición de los cables sobre apoyo.

El criterio que debe para .a correcta de los cables de sobre de estos de manera que el momento sobre apoyo apoyo consiste en definir la igual a cero. sea Número de cables sobre apoyo: 10. La figura

muestra la en las vioas de 20 m. de luz.

sobre el apoyo de

~:

~: "'+

'" (cm)

(No se indica loda la armadura paSiva)

lOS

10 cables de

continua sobre apoyos

determinar la posición del centrolde del acero de preesfuerzo sobre el cáculo del momento aue estos producen en el apoyo. Tomando momentos obtiene:

prrrer orden con respecto a la

centroide

=

cm,

obte~ida

Una por el

esta clstancia es scbre el concreto en el apoyo,

deterrrinar los esfuerzos

18 P =-* 18 28

sobre los 18 cables de 7/1

Fuerza de

se

a la fibra

aaero de

ds = --'--------'----'-

de la

Fuerza de preesfuerzo sobre los 10 cables de 7/ 1 6pulg, :

= 149

10

p!O = - * 232 = 83

t

t

28

sobre el apoyo:

= 149(0, Es

o

O

- 0,12) = 11,51 t.m (Tracción fibras su-

- 0,10) - 83(0,

verificar ahora los esfuerzos

0,229

0,017

El esfuerzo

-691

0,017

a

= - - - - ---'---'--- = -1267 0,229

0,229

74

< -173

cm.'

! cm.'

< -173

kg.! cm,'

n'c:w",o>nr¡n

del momento

sobre apoyo,

232

0,

! cm.'

5= -189

Estos esfuerzos deben ooinoidir con los r\h'ron¡"r\C' oor el

-127

ti m.' = -69

es

sobre el con

por ei

= -1267 ti m,'

0,017

232 83

= ---0,229 0,017

UU'~v"A)O

0,017

t /

m. 2

=

-127 kg. / cm. 2 < -173 kg. / cm. 2

2 + 11,51 *0,475 = - 692 t / m. 2 = - 69 kg . / cm. < -173 kg. / cm. 0,017

Ejemolo del oiseño de un p"ente

7)

con

4

continua SObre apoyos para carga viva

VERIFICACiÓN DE LOS ESFUERZOS SOBRE EL CONCRETO EN LA SECCiÓN SIMPLE

de X (X medido a partir del centro de la lUZ) se

Las orde'ladas de los cables en

obtienen de la trayectoria supuesta de los cabies de Es de notarse además que la excentricidad (e) es la distancia ;¡ormal e;¡tre el eje cen traídal de la seccíón y el :Junto de aolicacíón de la fuerza de Notas: • Los ~i 8 cabes rectos tienen una excentricidad

a

constante e

• Los 10 cables levantados hacia los apoyos tiene una excentricidad

• Se calculó la excentricidad del cable de riamente cada metro de la semi-luz,

=

2 m"-"e lo =

=O,¿IJ

3 m- elo

= 0,275 m

=

m

= 0,275 m-;.

X=5 m -

= 0,275 m - elo = 0,275-

=

6

arbitra

= e18 = O' 275 m

X=4 m-

x

en secciones

- elQ = e: 8 = 0,275 m

X=l m"-" X

var:able,

del centre de la viga,

• X se mide a

X=o

m"-" e¡S =

O,

= 0,275-

m- e¡O = 0,275-

63 *1 = 0,185 m 7 63*2=0,095 m 7

*3 = 0,005 m

7

0,63 m-e l e =0275---*4= -O ' 085 m ' 7

X=7 m"-"e18 =0 '

I

X=8m-;.e =0275m-e =0275_°,63*5=_0175 m 18'

x = 9

m-

e18 =

10'

° '

275 m"-"

7

'

°

0,63

=

O, 275 - - - * 6 =- , 265 m I

=10 m-;.e1=0275 m-e1=0275 8' 0' queias

m,

por encirra del

-

0,63

'~

-"'1

7 ce'ltroidal

-o,

m

cont:nU8 sobre apoyos

~ figura tomadas cada 1m.

muestra la excentricidad de los cables de preesfuerzo en secciones

7.1 J Esfuerzos sobre el concreto durante la transferencia (t de la sección simple.

Para la determinación la

=

OJ en el centro de la luz

sobre el concreto en la sección 't-..""-'~~'~' En este se supone

necesario

Son excentricidades por debajo de eje centroida de la Qor'f"olr-,n Además se supone que son los esfuerzos de compí8sión. 7.1.1) Esfuerzos en el concreto debidos al preesfuerzo más el peso propio de la sección simple en el centro de la luz muestra los esfuerzos en el centro de la luz sobre el concreto de la durante de la transferencia. (Pt:
peso

de la seoción

-1013 0,4 75

dea

M ns = 27,5 t.m.

1783

-769

1 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+-~~~~

0,375

Cálculo de los esfuerzos en el oentro de la luz durante la transferenoia Pt=o

°= 1

0,=

76

232 0,229 232

232 *0,275 *

+

0,017 232 *0,275 *0,475 0,017

+

27,5 *0,375 0,017

27,5 *0,475

0,017

= 232

-1013 -1408 + 607 = -1814 tiro

-1013+1783-769=1 tiro'

t

2

Ejemplo oel

de LV. puente de

luces

viva

losa continua scbre apoyos para

De acuerdo con el Código Colombiano de Diseño de Puentes de ! 995: "A.S. 7.2. 1.2-COf\JCRETO A8. 7 .2.1.2. 1-Esfuerzos temporales antes fraguado:

péraijas debidas

flujo plástico y retracción de

Com~resón:

pre~ensados OJ60rd Mie'T1bros postensacJos . Tensión: a tensón precomprimda: No se especifican esfuerzos isibles".

sobre el

En negativas)

7.1.2) Esfuerzos en el concreto durante la transferencia en secciones ubicadas cada metro de la viga pretensada (sección simple) Caso de carga considerado: preesfuerzo más peso

de la

simple.

Se obtienen a continuación los esfuerzos en concreto en secciones riamente cada metro. Estos esfuerzos sen el resu'tado de sumar los esfuerzos más el peso prooio de la sección, por el La figura muestra el esquema estático 20 rn de luz, sometida a acció;) de su propio peso

5,5 t

de la viga pretensada de

Vm).

5,5 t

El momento en el centro de la luz es igual a 27,5 t.m. Por de la sección simoie en del momento ~ector debido al Deso a:

M = 27,5 X medido a

la fuerza apoyos,

0,275X 2

arbitra

.

la ecuación sección es

(O:s X:s 10 m.)

del centro de la en el centro de la luz de 232 t se divide proporcionalrrente a los 18 cables rectos y a los 1 O cables inclinados hacia los

Fuerza resultante en los 18 cables rectos: P

= 232

18

Fuerza resultante en los 10 cables

*-18 = 149 28

P. = 232 * III

10 28

=

t

83

t

Puente

nYü'QncQd,,",

con losa continua

apOjCS

La tabla siguiente muestra los esfuerzos sobre el concreto cada metro en la sección, es la misma a lo largo de la

la 7uerza de

medido a

del centro oea viga de 20 m, de luz, sobre el concreto en ia sección X = 6 m, --'----'--- + 17,6 *0,375 = -162O t

0,017 232 149 - -.- - + ---'----'--0,229 0,017 0;229

1It

'.,

(J

,

0,017

0,017

0,017

0,017

-244

I m'

ti

que los esfuerzos actuantes de "r.,-n"YQ,,;r,n son De la tabla anterior se El máximo esfuerzo de tracción sobre menores que el esfuerzo is:bie a a 70 7 por lo que el diseño se el concreto es muy reducido y considera aceptable, 7.2) Esfuerzos en el concreto en secciones ubicadas cada metro de la viga

pretensada en el momento de vaciar la losa de concreto

de carga considerado: peso

nn:"""tr;r7c;:¡rin

Se supone en los las de la fuerza de

78

más peso prooio de la

simple más

de la losa, que en el instante que se funde la losa del ya se han nrr:'Qnnt::>

Ejemplo del diseno de

pueme de 4 luces ccn losa continua sobre apoyos

carga viva

En consecuencia la fuerza efectiva de preesfuerzo en el centro de la luz es Iqua' a

pt-a = 209

t,

(Se supone de la fuerza de de 232 t en ei centro de la lUZ, durante la

del 10% 'o que equivae a Jna fuerza

Fuerza en ios cables en etapa de servicio (t = a) •

18 P == 209 *- = 134 18 28

P

=

10

10

209 * - = 75 28

Peso de la

los 18 cables

t

los 10 cables

t

simple más peso de la losa:

tlm,

U"JU-rU

Momento máximo producido por el peso de la sección losa:

más el peso de la

2

11 roax

53*20 =76,5 t.m. 8

Ecuación del mcmento nector debido al peso

de la sección:

más el peso de !a losa =

Momento máximo por peso

Ecuación dei momento por carga muerta en función de X.

11 = 76,5 - O, 765X

2

Esfuerzos en la fíbra la luz,

a'

= -

209 209 0229 -

~09

-+ -0,229

X medido a partir del centro (J

s

e ir:enor

(J

la luz,

de la sección

en el centro de

209

Fuerza de

a,

,

0,017

+

76,5*0,375 0,017

209*0,275"0,475 76,5*0,475 0,017 0, 01'I

-913-1268+1688

-493 kg./cm.

-913+1606-2137=-1444 kg./cm.

79

oretensado

CO'1t;nua

apoyos

La siguiente muestra el estado de esfuerzos en el centro de la luz de la sección simple sometida a la acción del = 209 t), de! peso propio de la y del peso de la losa Esfuerzos isibles f-------i

0,475

0,375

La tabla siguiente muestra los esfuerzos sobre el concreto en secciones tomadas arbi trariamente cada 1 m., debidos a la fuerza de p[~X =209 t, al peso prooio de la sección

tlm, yal peso de la ¡osa de concreto

tlm.

X(m)

o 0,229

0,017

2

0,229

0,017

3

0,229

0,017

Los esfuerzos actuantes en X= O y X= 1m, son mayores que el esfuerzo isible 400 tlm,2) ,Sin la diferencia es mínima por lO que el diseño se considera satisfactorio, cálculo de los esfuerzos sobre el concreto en la sección X = 8 m,

80

Ejen~¡:

=

(J

209

134 _,_ _ _,'"_

'0,229 209

(J

ccr¡

de 4

~',~'

0,017 134

~'~'~=-829

v:va

t/m,=<-1400 r/m,'

0,017

0,017

-',~'

= - - - + --'----"---

'0,229

continua sOOra aooyos para

0,017

-"-=-1019r/m, <-1400t/m,' 0,017 '

0,017

Algunos esfuerzos de sobre el concreto son mayores que el esfuerzo isible material (-: 400 Vm,2), En consecuencia el diseño considera satisfactopo, Resumen: tablas muestran el de los esfuerzos en el concreto en secciones 1 m, En particular se estudian dos casos de carga: arbitrariamente ~~~rI:~~+~

al

propio de la En este caso el máximo esfuerzo isible a en e' donde es la resistencia a la del concreto durante en este a 3~ 5 2), Para las caractensti cas de los diez cables que se levantan a de U3 ....6 m, hacia e! eje centroldal de la sección se ha el ~ O, Se tomó una fuerza tata' de preesfuerzo igual 232 t.

al El caso de carga del

b) El case de carga a la fuerza de preesfuerzo en etapa de servicio (t= 00 ), al peso yal peso de la losa (de ancho aferente cuya coaboraclón en ¡a resistencia de las no ser tenida en cuenta mientras el concreto de la misma no alcanzado la resistencia de diseño 2), Se tomó una fuerza total de preesfuerzo igual a 209 t ya que estipulada se supuso que en instante en que concreto de !a losa ha alcanzado su resistencia de ¡as pérdidas de la fuerza de ya han ocurrido, e) ~a

ecuación a la

P

en la determiración de los esfuerzos sobre el concreto corresde los esfuerzos combinados:

PeY 1

~fY

G=--±--±-

1

7.3) VerificaGÍón de los esfuerzos en el concreto el centro de la luz servicio (t = x l.

En de servicio las soiícitac;iones son resisticas por la sección 4 luces

y el

Be en

etapa de

pcr ia carga muerta más la carga viva como una viga continua de

puen~e

81

pre:er:SBC: :C r GS3 ~J1t¡nUa

de la sección

0.32 fr.; Y

8) C

=

0.70 m.; i = V.'-'vc..U

'TI.

CÁLCULO DE LOS MOMENTOS MÁXIMOS EN LA LUZ BC PRODUCIDOS POR EL CAMiÓN

40-95,

CONSIDERANDO LA CONTINUIDAD DEL PUENTE

8.1) Obtención del diagrama de momentos producido por las cargas sobreimpuestas

•

soore :as

Avaljo de .~ar·F\Cfto

asfá:lca de 5 cm. de espesor;

más

•

andenes;

Momento

carandas.

~as

carga muerta sobre¡mp~esta actúa sobre el considerado como una elástco para encontra~ tinua de 4uces, En consecuencia. es necesario recurrir a un la del momento Ilector debidc a :as cargas en la luz Be. se emoleó el mémoo de

Nota:

los resultados indicados

la determinación de las fuerzas recurrió

Irm::>YriOQ la rredian:e el nétodo ae la simpllfioación por simetría y por extremo articu'ado.

0.46 Ifm

4,33 3,40

17.03

11,93 -11,93

4.85

4.35

(t)

3.68

1,6~

5.75~

2,82 6,7

82

8,7

Ejemplo oel diseno de un O!Jente de

viva

con losa contnua sobre apoyos para

del momento fiector para la luz BC,

del tramo

Del

se

2

M"=10m

= 4,35*10-11,93-0,46*10 /2= 8,57t.m.

fr¡

M"

8i mo~ento

=

en

sección X es

a:

8,57 - 0,23X 2 + O,25X; (O < X < 10 m)

X medido a

del centre de la luz BC,

8.2) Cálculo del momento máximo producido por la línea de ruedas del camión C 40-94 en la luz BC, 8.2.1) Máximo momento en el apoyo B

muestra línea de influencia del momento ftector en el apoyo B así como d8 la línea de ruedas de: camión C 40-95 que el máximo momento flector en este apoye del Convención de fibras

son

AOFl~IV()S

mon;entos que

tracción en las

X~O

m

5'4

Momen~os

por carga viva

y factor de

7,5(1,639 + 2,034 + 0,75 + 0,6 7 + 0,07 + 0,06) + 5(1,610)

11Jl

=

M

L-l,

= 1,41"" 1,287'* 4 7 ,22 = -85,8

1.41), =

47,22t.m.

t.m.; (tracción en las fibras superiores)

83

Pcente n,dcnc""," con Ios8.

8.2.2) Máximo momento en una sección ubicada a 6 m. del centro de la luz BC De la línea de Influencia del rTomento lector en una sección ubicada a 6 m. a se conCiuye:

ce:-1tro de

20m

X=6m

M X =6

7,5(1,7694+0,5182+0,011+0,008)+5*0,17 7 =18,2 tm.

M eL +1 ),X=6

1,41 *1,267 18,2 = 32,5 tm,

8.2.3) Máximo momento en una sección ubicada a 2 m. del centro de la luz BC. La figura muestra la linea de in~uencia del momento flector en una secciÓn ubi cada a 2 m. del centro de la BC así como la de la linea de ruedas caTión el máximo momento. C 40-95 Que

X=2m

~fX=6

7,5 (1,7694+0,5182+0,011+0,008)+5*0,177=18,2 t.m. 41 *1,267 *18,2 = 32,5 t.m.

'::jemplo

diseño de eX) puer:te de 4 luces ccn losa continua sobre apoyos para carga viva

8.2.4) Máximo momento en una sección ubicada en el centro de la luz

Be

De la línea de influencia del momento flector en una secc'ón ubicada en el centro ce la luz BC, se

X=Om

1'Ix =o = 7,5(3,29 + 1,585 + 0,08 + 0,06) + 5 * 1,543 = 45,3 M(L+I),X=O=

9)

tm,

1,41*1,267*45,3=81 t.m.

DETERMINACiÓN DE LOS ESFUERZOS EN EL CONCRETO PRODUCIDOS POR LAS CARGAS

DE SERVICIO

Esfuerzos isibles en el concreto en

de seNicio,

De acuerdo con el Colombiano de Diseño Sísmico de Puentes 1 fuerzas isibles en el concfeto en estrJcturas oreesrorzadas son:

-0.40L

los es

= -0.40*3500 = -1400 tlm,

•

Esfuerzo a

•

Esfuerzo isible a tracción: 1,6)F: = 1,6.J350 = 30

Los esfuerzos actuantes sobre el concreto en mer,ores que los precedentes,

kg.; cm. 2 = 300

sección del

t; m.

deben ser

En los numerales se verifican 108 esfuerzos actuan~es sob:e el ccncreto en las secciones más solicitadas del Es de interés notar que una vez el concreto de losa del ha alcanzado la resistencia de diseño el puente trabaja como una estructura continua sometida la acción de la carga viva más las cargas sobre

.... o,etensacc con losa continua sobre a¡:;cycs

Es también imoortante tener en cuenta que la sección en consideración ha sido so esfuerzos: metida Los esfuerzos

VV\","",",",,,,

por el peso propio dea

esfuerzos mente apoyada, VU\AA~V0

Los esfuerzos otras cada una de las

conside:ada como

pcr el peso propio de la losa de concreto,

los esfuerzos resuitantes sobre concreto, en del en etapa de servicio, son iguales a:

= a

cr resuJ

pcr la fuerza de

:-lmple

+

sección de

compues::a

9.1) Esfuerzos en el concreto en la sección sobre el apoyo B.

Momento debido a la carga viva:

t.n. (De!a línea de in~uencia del mornento

~v10mento

debido al peso de ja

asfáltica más las barreras:

-11,93 t.m,

Convención de

para los

sobre eí concreto:

los esfuerzos de 0nrr,nrocoi;'

Son

producido por las cargas • Esfuerzo en la fibra viva \vC.lvL.IICU sobre la sección

a y =0,32

1

=-----

',",,-,,n/,,,,,,,,,,

0,0588

~-~-

0,0588

'f-'U' .... ú \ U 0

y por la carga

= 65 + 467 = 532 t / m 2 (tracción),

que el preesfuerzo no actúa en la fibra considerada,

• Esfuerzo sobre el concreto debido a las cargas c-r;I"\rc"rnn, más la carga viva en 0,15 m,l, en la flbra inferior de la losa, la unión losa -sección

*0,15 30 + 219 = 249t / 0,0588

---- =

86

") m 2 (tracClon,,

Ejernolo del diseño

•

un puente de

L

luces con

contír:l.,3 sobre aooyos

Esfuerzo sobre el concreto en las fibra inferior ( Y= 0.70 m) Duestas y por !a oarga viva:

aY~O,70

11,93*0,70 ,0588

°

=

• Esfuerzo en as fibra Y= O, í la

85, 7 *0,70

carga viva

UUUGlUU

por las cargas

-142-1021=-1163 t/m.

0,0588

m, por encima del

en ia fibra superior de

De los esfuerzos en el concreto debidos al preesfuerzo sobre a sección simole des de

se tiene:

.

a = -627 t 1m 2 En

\Ver tabla de la

e'

,-,r.nr.r.01

80), .

sobre el concrete en la fibra Y= 0,15 m, de la sección

es:

a =-627+

1

,

de

0,0588

+

85,8 *0,15 / 2 =-627+30+219=-378 t m. 0,0588

De los esfuerzos en el concreto debidos al sobre la sección simple ueéiuueéi se tiene un esfuerzo sobre el concreto en la fibra inferior,

\1=

m. por

a. = -1138 t / m. l

En

Cr\n0A0:

sección

a:

del 2 (

Ver tabla de

página

el, esfuerzo sobre el concreto en I,a fibra inferi,of Y= 0,70

ce ',a

es:

0,0588

viva

---':'-_-"-- = -1138 -142 -1021 = 0,0588

2301

ti m.

2

Sección romo,Jss:a

87

sobre aooyos

pr'ete¡sacc cop losa

9.2} Esfuerzos en el concreto en una sección ubicada a 6 m. del centro de la luz Be. (X

=6

m.)

Momento debido a la carga muer::a. De la C;\..AKllJIUI del momento

X medido a

deoido a las cargas

I;JUC:;vlQ'::>,

se tiene:

del centro de la

Mx = 8,57-0,23X +O,25X--;.~L'_6m = 8,57-0,23*62 +0,25*6=1,79 t.m 2

Este momento produce tracciones en las fibras inferiores.

Momento debido a la cacga viva

Factor de i,,pacto para rnomer::os en la

1=

16 40 + 20

de 20

rn.

= O 267 '

De la línea de infiJencia del momento fiector en una sección Jbicada a 6 m. del centro de la

se obtiene

numeral 8.2.2) :

== 1,41 *1,267 *18,2 = 32,5 t.m

yI(L+I)'X'6

tabla de;a

Esfuerzos sobre la sección

o=-1241t/m s o.

1

= -654 t/ m

2

2

En consecuencia, los esfuerzos sobre el concreto centro de la iuz

80).

una sección ubicada a 6 m. dOI

y O, ~ 5 m. por encima del eje centradal de la sección compuesta son

a: 0,=-1241Igualmente,

(Y

1,79 *0,15

0,0588

s

=

0,0588

=-1241-483=-1328tl

esfuerzos en e concreto en la fibra

m.) son

a

-

1,79 *0,32

0,0588

< -1400

ti

de la ,vvv',r,,, compuesta

a:

32,5*0,32 = -10-177= -187 t/m 2 <-1400 t/m 2 0,0588

para carga viva

Ejemplo de: dísei\o de un puente de 4 luces CO'1 lesa continua sobre

Los esfuerzos en el concreto en la fibra inferior (Y = 0,70 m) de la sección son iguales a :

a = - 654 + 1

1,79*0,70 32,5*0,70 + 0,0588 0,0588

= -654 + 21 + 387 = -246

t

/

2

ro <

Gráficamente: 4m

0,14 0,15

Sección compuesta

Las esfuerzos actuantes sobre e' corneta son menores que e máximo esfuerzo ad misible del concreto ( -1400 tlm 2 ), diseño es satisfactorio, 9,3J Esfuerzos en el concreto en una sección ubicada a 2 m del centro de la luz BC. (X 2 m,],

Momento debido a la carga muerta

Mx

=

8,57-0,23X +O,25X--i>~IX~6t1 2

=

8,57

2

0,23*2 +0,25*2

8,15 t.m.

para momentos en la luz de 2C m,

Factor de

1=

onhmlrn

16

40 + 20 = 0,267

De la de la luz

MX~2

ce influencia del momento flector en una sección ubicada a 2m, del centro se obtiene (ver numeral

7,5(1,574 + 3,070 + 0,05 + 0,04)+ 5 *1,1776 = 41,39 t.m. =

1,41 *1,267 *41,39

= 73,94

t,m.

Momento de diseño:

M

= 8,15 + 73,94 = 82,09

t.m.

Esfuerzos sobre la sección simple, LOs esfuerzos sobre la sección debidos al peso peso de la losa son a ( Ver tab'a de la página

de la

más el

89

Pl;on;o oreter:sado cor, osa

a

s

=

sobre aCloycs

ti m. ti m.

-1359

a¡ = -560

l

Esfuerzos sobre la QOr'''h''',n Esfuerzo en la fibra

a

-1359 -

= s

UU"~C!vICl

a Y = 0.15

82,09 * 15 0,0588

= -

::l,

_ b68

por encirra del t

I m.

> -1400

El esfuerzo actuante en el concreto es mayor que el Existe un sotJre,eSTuerzo, a compresión, igual a 68 tlm. considerarse Cl<.J':;;'" c,au"v ,

m. por

70

a = - 560 + --------'• 0,0588

417

tiro 1

t

?

isible en el material,

del

> 300

ti m.-

¡ 6,.8 kglcm. 2 que

>

Esfuerzo en la fibra ubicada a

centroida.

centroidal.

1m2 ,

El esfuerzo actuante en el concreto es mayor que el esfuerzo isible en el material, La diferencia de esfuerzo es igual a 117 tlm,L: = 11,7 ¿ que es aceptable. 9.4) Esfuerzos en el concreto en una sección ubicada en el centro de la luz

Be

lv1omento debidc a la carga De la ecuación de morrento flector debido a las cargas

se tiene:

X medido a partir del centro de la viga

Mx

=

8,57 - O,

t.m

en las fibras il1feriores,

Este momento

lv1omento debido a la carga viva,

Factor de impaoto para momentos ena luz de 20 m.

1

16 = 0,267

40+ 20

De la línea de influencia del momento floctor en una sección ubicada en el centro de la luz so concluye: M(L+I).X_O

==

1,41 *1,267 *45,3 = 81

t.m

Ejemplo del aiseño de un eJente de 4 luces con losa cor+inua sobre apoyas para carga viva

as

=

-1444

ti m

a i =-493 t/m 2

2 ,

,

Esfuerzo en el concreto en la fibra superior (Y

as

80) ,

la tabla de la

Esfuerzos sobre la sección

8,57 *0,32

81 *0,32

0,0588

0,0588

47

m.) de la secGÍón

441 = -488

ti m 2 < -1400 ti m 2

en la fibra ubicada a Y= 0,15

Esfuerzos en el concreto en la unión losa-sección m, por encima del ele centroidal de la sección

0,=

81 *0,15

0,0588 =-22

0,0588

(J,=

-1444

8,57 *0,15 0,0588

207=-229 t/m. <-1400 t/m.

81 *0,15 2 2 ---'--=-1444 22-207=-1673 t/m. >-1400 t/m. 0,0588

Esfuerzo en el concreto en la fibra inferior

-493 +

(Ji

m,) de la sección

57 7081*070 + ' = -493 + 102 + 964 = 573 0,0588 0,0588

La figura

" 7

ti m."

> 300

ti m.

muestra el estado de esfuerzos sobre el concreto en el centro de

luz de 20 m., en la

simple

y el la sección

B i 10,17

0,3S '0,14

0,15

I

~

-B

Sección compuesta

Del análisis

S€cción

Cargas sobre - Carga

símple

Impuestas

viva

resultantes

se deduce que lOS esfuerzos actuantes son ligeramente mayores

que los esfuerzos isibles, Efectivamente el esfuerzo a

sobre el concreto

( -1673 Vm 2 = í 67 kg.lcm. 2) es mayor que el esfuerzo isible a . Sin

Esfuerzos

( 140

la diferencia de esfuerzos no es sustancial por lo que el diseño

se considera satisfactorio.

E esfuerzo actuante a tracción sobre le concreto es

a 573 Vm, es resistido por

la armadura pasiva, tal como se indica en el numeral

91

pretensado con ,Osa continua sobre ap'iOS

1O)

DISEÑAR LA ARMADURA NO TENS10NADA SOBRE APOYO Y EN EL CENTRO DE LA LUZ

1D. 1 J Diseño de la armadura sobre apoyo empleando el método elástico de diseño

El concreto en las fibras de la sección sobre ei apoyo B se en cuentra some:ido a una distribución trapezoidal de esfuerzos de ~racGÍón iguales a 532 Vrr.. 2 y 249 ~rr. .. Para resistir estos esfuerzos es necesario cc;ocar U:la armadura pasiva tensionada) . 1I¡"'('ir",,"'0

de esfuerzos sob:-e la secGÍón

en la sección sobre el

Apoyo B. 532

0.32

0,70,

-2031 (Vm 2 )

Fuerza resultante

e área de esfuerzo trapezoica:

532+249 *0 17*18=120 2

'

,

t

Límite de proporcionalidad de acero: de acero equivalente

== í 600

16000 tlm,

120

=- = O0075 m.- = 75 cm.?

16000

En barras # 10, se tiene:

2

"

'

de la barra # 10 es 8,1 9 cm?,)

75 N o. de barras # 10: - - = 9 barras

8,19

en un ancho de 1 Es:as barras se separadas entre sí una distancia a:

180 Separación = - - = 22 cm 9-1

1#

m, En consecuencia se encuentran

10 c/0,22 m, Arriba sobie el apoyo B.

Ejemplo dal

de un puente de

luces cen losa ccntlnua sobre apoyos para carga viva

de las barras # 10 en el mercado. Se menor, Por ejemplo 1# 8 e/O, 12 m.

E:s necesario verificar la proyectar barras menores con una

10.2) Diseño de la armadura sobre apoyo empleando el método de la resistencia última El momento negativo en el apoyo B es ei resultado de sumar: al

por la carpeta asfáltica (0,26 más el peso de la barrera y andenes tlm), Estas cargas actúan sobre el puente continuo y producen las fuerzas internas mostradas en la figura siguiente,

..1: -=1 ¡ ¡ ¡ ~ K'= 1,30

O,46Vm

I ¡¡ I

I

11,5-

¡¡

II!

K=1

-20

20-···

0,56 0,44

7.60 -15,33 4,33 3,40

°

15,33

º

1,70

17,03

11,93 -11,93

(1)

4,35

3,68

1.61

3.68

4,35

11,931 5,75-.0

11,93

/1\

-U b) La carga viva que se obtiene a como continuo, Este M(l..+)

85,8 t.11I,

Il

(t-m)

/1\

"'--.

~ 8.7

~

1,7

8,7

y factor de rueda) producida por el camión e 40 -95 Y de la linea de :nnuencia del apoyo B considerando el puente rnnrneon incluidos impacto y e factor de rueda es igual a: la línea de

del momento

Mo,nentoJitimo sobre el apoyo B, Momento por carga muerta sObreimpuesta sobre el apoyo B: Momento por carga viva

e 40-95) sobre el apoyo B

MD

=

.M(L+I;

11,93 t.m , = 85,8 t.m.

:vomemo último. Método de la resistencia última. Grupo I de carga, ~Iu

=1,3(11,93+1,67*85,8)= 202 t.m,

93

ccr, :osa contirua sobre apoyos

PeleTe

Obtención de la armadura sobre el apoyo B diseño para momento dimiento:

a) Obtener el momento

se lleva a cabo de acuerdo co:)

úl~iTlo

proce

== 202 tm,

sobre apoyo:

b) Obtener K = , donde b es el ancho del patín inferior de la suposición de que el bloque de es uniforme y d es la altura efectiva la viga, c) Calcular la cuantía de acero

p

al valor de K, obtenido en el paso b,

Se supone conse~adoramente que el ancho del patín inferior sección simple como zona de en aooyo B, la contribución del diafragma), En consecuencia: b = 0,45 m, Se supone además una distancia entre el centroide del acero a tracción y la fibra de la losa igual m, Por la altura efectiva de la sección es:

d ==1,02-0,08 =

m,

los valores

'rY\D,nry\C

202 K = - - - - = 508 t/m2 2 0,45 *0,94 Además:

f

==

_-'-v_

0,85C e

dl

4200 0,85 * 245

se obtiene: 1 - (1-

p

m

= 2017, '

Calcuar la cuantía de acero, Resistencia del ccncreto de la losa:

Ce

245 kg. / cm.2

I

_ 1 2*20,17*508 -0016 p- 20,17(1- 1- 0,9*42000 ) - ,

V

e) Obtener la armadura:

pbd

=

numéricos, se obtiene: Armadura: En barras

As = pbd = 0,016 *45 *94 = 67,8 cm.

°(

1

No, de barras #10: 67,8 ... 8

8,19

Donde: m

=

del diseño de un puente de 4

oarga viva

cor:i:lcJa sobre apoyos

con

g) Obtener ei momento último resistente de la sección sobre apoyo: Cálculo de a: (a =

a

del

de

,016 *4200 = 0,322 _ a 0,85 *245

d

0,85f' e

Mu

<jlA,f,(d-a/2)-, Mu

= 0,322 *0,94 = 0,30 L+¿U,JUiU.:c1Lj.-U.

m

15)= 202 1 t.m

(Igual al momento último

1) Verilear que la cuantia de acero no sobreDase el límite estabieciao:

psO,75Pbal O,0016<0,75Pba, Notas: • En el cálculo del momento último sobre el aooyo no se tuvo en cuenta la contribución del acero pasivo en el inferior de la y que resiste esfuerzos de com-

Esto sionifica que en realidad la "",,,,,iAn tiene una resistencia mayor.

• Las soluciones mediante el método elástico y duce:1 a resultados muy similares. La

método de la resistencia última con

indica la armadura sobre apoyo B,

calcJlada:

0,32

0,94 0,70

J.

10.3) Verificación del refuerzo mínimo sobre apoyo B

La cantidad total de acero preesfuerzc debe ser 18 :lecesar'a para desarroliar un mo mento ú;timo en la sección critica de por lo r¡,encs 1

95

PU8'lte p'otonsado con ¡osa continua

apoyos

M Ui se ootiene a partir de la

El momento de

ecuación:

{iz' es etiilóduio de rotJra del cO'lcre~o, tal como lo define ei Diseño 8'smico de Puentes {1 995) en Al.6.1O.3

Además: Yt le

0,70

= distancia de:

0,0588

cemrcidal a la fibra extema a tracc:ón.

el morrento de

310 *0,0588 0,70

= 26,04

MOR es ttn ~ 1,2~ffcR

scbre apoye: 1\11='

Valor del momento

31 tm.

= 31

Tm.

La ecuación del momento último resistente de una secció'l reforzado es:

= <j>A/y(d -

Por otra eiones:

a / 2)

en concreto

= <j>pfy(l- 0,59 P~y )bd 2 f

del diseño de estructuras de concreto se obtienen

m= 0,8Sf'e y resolviendo a ecuación de 2° grado:

96

Colom

de inercia de ia sección bruta de

En

M

'J'-"UI'-'V

siguientes rela

EJemplo

dseño ,je

puente de 4 luces con losa continua sobre apoyos para carga viva

Sustituyendo los valores numéricos (para d =0,92

4200 m=--0,85 *245

20

=

,16;

..

K=

31 , ,

, f:. , ' ·,"11' 'el' 0,4S*092 . . .. 2 =81t/m¿1 ( I 'fe

= _ _ 116*81 \ ""'0-;;' ,.. "'..,.... - 2* 1 20,16l 0,9 * 42000 = 0,00219 < 0,016 - --

1

P mUl

~

J

La armadura mínima es menor que el refuerzo suministrado en las fibras sobre apoyo B, Por consiguiente el diseñe es satisfactorio. 10.4) Verificación de la armadura pasiva en la fibra inferior en el centro de la luz

La gráfica siguiente muestra el estado de esfuerzos resultantes sobre el concreto en el centro de la luz Be, b~

t-••• ~~--~---~~_ ••

0,70

1,80m

(m)

~"--"------1

0,45

Fuerza necesaria paro. resistir un esfuerzo a tracción de 573

573 Y

1673 _ y 085, Y

=

0,216 m.'" 0,22 m.

En consecuencia la fuerza resultante es:

F = ..!.. 2 * 573 *0 ' 22 *0 , 45 =28 , 3 t

573

Pue;-n:e o;-etensaco eor' lesa continua sobre apoyos

Para resistir una fuerza de 28,3 t se requiere un área de acero con un esfuerzo (f isible= 1600 kg/cm,2) igual a:

A

,

=

28300 kg

o

o

1600 kg /

cm,~

17,68 cm,-

=

En barras #5 (As= 2 cm,2) se tiene: l\jo de barras

= 17,68

=

8 barras #5

2

La figura siguiente muestra un detalle de la armadura pasiva en el centro de la luz BC, Detalle del patín inferior sobre apoyo Armadura para momento positivo /

;;/

/ 1

t

•

.1. .1. 8#5

•

,1

t

Es de notarse que el esfuerzo actuante a tracción, en la luz de la viga (57,3 kg./cm,2), exce de el máximo esfuerzo isible a tracción del concreto (35,5 kg./cm,2 en este ejemplo),

11]

DISEÑO A CORTANTE

11 ,1) Verificación del cortante en la sección simple Carga muerta: peso propio de la sección simple más peso de la losa:

D = 0,55+0,98= 1,53 tlm, Reacción en el apoyo debida al peso propio de la sección más el peso de la losa,

R = 1,53 * 20 = 15 3 2 '

t

Fuerza cortante última en el apoyo, Resistencia última, Grupo de cargas, 1

Vu = 1 ,3*15,3= 19,89 t Fuerza cortante nominal en el apoyo

V

= n

98

19,89 O, 85

=

23 4 '

t

carga vva

Ejemplo del dseñc de ul: puente de 4 luces con losa continua sobee

•

Esfuerzo resistido por el concreto.

De acuerdo con el Códiqo Colombiano de Diseño de Puentes en el esfuerzo cortante resistido por el concreto no necesita ser menor que:

Donde:

d fJ= 0,80h A

Se toma la resistencia del concreto

0,80*0,85

en e! instante de la transferencia (315

0,45(v'31

7*68=9232

Fuerza cortante resistida por el acero: V" ==23400-9232 Separación S entre estribos No. 4 (A= ~I "

A vf y

cm?)

A f d

~

S =-- vb s

4168

v S b \T d P

v;'"

v,

Tomando estribos # 4 de dos ramas se obtiene una

S

2*1

a:

4168=51 cm.

Qr>,vJI'"I'1f',iAn

El

sobre apoyo

máxirna:

del refuerzo a cortante colocado no debe ser mayor que d/2, ni 60 cm. (A7, ~

En consecuencia: S m.

máxina de los

al eje del

nnrncnrl

818

referida a la sección simple, es:

11.2) Verificación del cortante en la sección compuesta.

11.2.1) Fuerza cortante sobre el apoyo debida a las cargas sobre-impuestas

diagrama de fuerza cortante de las cargas

IUUC0Itlt:

se

para el aooyc

B:

VD

=

4,35 t

99

Puente pre18nsadc cen losa eont:nua sobre

11.2.2) Fuerza cortante sobre el apoyo B debida al camión C40-95

la línea de influencia de la fuerza cortante en

apoyo B, en el tramo

tiene:

VB = 7,5(1 + 0,852 + 0,014 + 0,011) + 5(0,638 + 0,08) = 17,67 1,41 *1,267 *17,67 == 31,6

t

de cargas 1. Resistencia última. Vu

= 1,3

(I+L))

= 1,3

,6r31 ,6) = 74,25 t

Diseño Simplificado: • Esfuerzo resistido por el concreto:

•

=

0,45*\1350*1

• Fuerza cortante nominal

02=11678 Vu/0,85 = 74250/0,85=87352 kg.

• Fuera cortante resistida por el acero: Vs = 87352 -1 1 678=75674 kg. • Separación S de los estribos (No. 4,

S

= 2*1

02/75674

12 cm.

Es decir: Un estribo No. 4, de dos ramas, cada 12 cm. sobre el apoyo.

12]

DE LOS ESTRIBOS EN EL DIAFRAGMA SOBRE APOYOS

Sea:

1\ el área del acero de los estribos. S la 00r,"'''::>011,r entre estribos.

100

t

se ob

Ejemplo (jel diseno de un puenTe de 4 luces con losa cor¡linua sot,e apoyos pa¡a

viva

el ancho del diafragma sobre apoyos (0,25 m.). La armadura mínima de los estribos debe ser IGual a:

Av> 3.5 b\",S I fy Se suponen estribos 1\10, 3 ( 0,71 de dos ramas (fy= 2400 kg.!cm. Por la S entre los mismos para ur ancho de! diafragma sobre apoyo igual a 0,25 m" es:

S=

2 *0,71 *2400

3,5 * 25

= 38

cm.

Se proyectan conservadoramente estribos # 3 colocados cada 25 cm, a lo largo del sobre apoyo,

13)

CÁLCULO DE DEFLEXlONES DEBIDAS AL PREESFUERZO

La resistencia de matera!es suministra las ecuaciones que oermiten calcular la deflexión UUUl..IUd por el preesfuerzo, ~al como se indica en la referida a la sección de 20 m, de luz. ~t

DI

--!!#is

~

,E.C

le =0,275 m:;;?""

:¿jre::o.35sm .

1491

149t

1---7 m ~-+-----6 m

7 m-~ "

Superposición de efectos

m

20m------------------~

149 t

-(;:-.4;;- ----

---------lO" """ ---- .

-- ~ - ~2!:71491

40,981.m

40,98 t.m

"-CE" ~

10.275

,

~

1---7 m --+-...._- 6 m 29,461.m

___ " ___ -"

UI-f...¡:¡;; - - 7,47!

7 m----j

To." _______ " _

i . '6m

1---7 m

?jr;,,, ~ 831

~ 1 - - - 7 m-----l

29,46lm

- - -

,

Fuerza equivalente en el cable

-~..::r83!

'-7m~

7,47!

101

Puente oretensado con losa continua sobre apoyes

Fuerza vertical U producida por el cable de preesfuerzo.

U = PTana = 83 *

(0,355 + 0,275) = 7 47 7 '

t

MI = 149 *0,275 = 40,98 t.m

M z = 83 *0,355 = 29,46 t.m

Oe~exión

<\ .

p

total debida al preesforzado:

= () 1

+ (),. (positiva hacia arriba).

De la resistencia de materiales:

()

ML2 8El

=_1_

1

Pa 2 Z MzLz

() =--(3L -4a ) - - 2 24El 8El En consecuencia, la deformación total de la viga pretensada es >:

MI~

()

= -T ,P

8El

Pa ? Mz~ + --(3L- - 4a-) - - 24 El 8El

?

Para una resistencia a la compresión del concreto en el instante de la transferencia de la fuerza de preesfuerzo es igual a 315 kg./cm. 2 , el módulo de elasticidad del material es igual a:

12.500J( = 12.500.J3i5 = 221853 kg. / cm.

z

Momento centroidal de inercia de la sección simple: 1= O,017m4

Además:

El = 2218530 *0,017 = 37715 tm.

2

Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación para la deflexión total, se tiene: 2

() TP

102

2

= 40,98*20 + 7,47*7 (3*20z _4*7 z)_ 29,47*20 =0,073 8 *37715 24 *37715 8 *37715

mi

Ejempü del

~j:seño

l.n euente de 4 luces

viva

losa centi:lua

Deformación debida al peso propio de la (')

5\"XlI} 384EI

=- D

Donde W es el peso de la secc;ón Sustituye 'Ido : (')

= D

5 *0 55 * 20 '

4

384 * 37715

=

-O 03 m '

t

Deformación total:

(')T == 0,073 - 0,03 = 0,043 m

1

Si se desea calcular las de~exiones en de serJicio es posible suponer un coefi ciente de a 1,5 Y suponer además pérdidas de la fuerza de del orden del 12%,

14)

DETALLES CONSTRUCTIVOS

L..a figura siguiente muestra un detalle del diafragma de cominuidad entre dos vigas pre esforzadas,

r,:-:

t"·

en todo 61 ancho de la losa

2#6

"

,

',,'

',7

:,:'

'.. - '

Através de

'::"""""::"

la viga

',":,'

... /'

1·-;'

",

3#6 A través de la viga

~ ;"

L-1#4cIO.15

1

I

,.'~,~ T-·· '-,_ ~ ~:..

I 1#4 c/O,25

103

PLien:e :xe3'1saéJo cen losa contirua sobre apoyos

Es acio libre enlrevigas

Continuas en todo el ancho de la losa

3#fj

T

117 (losa)

#4 elD 25 I Entre vigas

I

85 (Altura de la viga)

E'e de simetria

del apoyo izquierdo

1#6 continua

A través de orificio

en las vigas

1 5)

PROPUESTA DE TRAYECTORIA RECTA DE LOS CABLES

El levantamiento de los cables hacia los tercios de la luz representa un problema cons tructivo. Por esta razón es de interés analizar la posibilidad de tensionar el acero de prees fuerzo recto e la adherencia de cables hacia el aooyo, envolviéndolos en De eSTa manera se reducen los mementos debiaD al preesfuerzo sobre apoyo, para la viga tomaoa como C'lrY'Y'\liY1""",l'''' en donde los momentos por carga muerta y UU'JVU.\_KJ..

valen cero,

Por otra

es deseable que las barras

no adheridas

con las

especifcaciones: i)

El máximo número permisible de barras no adheridas no debe superar el 25% del tma barras de preesfuerzo,

j)

No deben coiocarse más del 40% de barras pretensadas no adheridas en una fila,

k) Las barras no adheridas deben 1)

No deben colocarse barras no

'-''''-'0'''''' "rll"""',rl,,,C'

de forma sirnétrica,

en elementos

"r~'TA",Q~,ri('\Q

con alturas me

nores de 380 mm.

En una

104

las barras

alejadéls del

de simetría deben ser

Qri~)"'YU"'''0

aiseño de

é'il JlJUlJ:

4 luces con

puente

indicada a

continua sobre apoyos para

viva

esboza la posición de los cables de

de la semiluz de la viga de 20 m. de

ala

a lo largo de la luz

se indica e refuerzo

Secc¡ónC

Sección B

"J ¿"

cables

28 cables

•• • • •

•• •• • • •• +

•• •• •• ••• ••••• •••• •• • •

~5

•• + +

3~

Sección A

••

•• • • .... ...... •• •• 1]1154

Tb't)Tg~5'5"

(cm)

16 cables

(cm)

• •• • + •+ • r •• •+ ....+• •+. • + ++ ++ + •• d:12,7

~5:::;5;::;:;;:5::;;:;::;;;=:;3;::::;5;::::;;:5:::;5=

(cm)

Convención

• Acero preesforzado adherido

+ Acero preesforzado no adherido

de transferencia de as barras preesforzadas: 60*

8ARRA=

60*~11 ,11 = 667 mr:1. =67 cm.

Esfuerzos durar:te la Número de cables

Fuerza por cable:

Fuerza de

7í 16 de J1

28

232 28

238 t.

riíArn"h"r\\

= 8 3 t.

'

1

P Jer:e

Representación

nrQ~Qr~"r,,~

losa continua sobre apoyos

de :as fuerzas de

Grupo 3 6 cables 1 Grupo 2 6 cables 28 cables adheridos

Grupo 3

Gru 01 16 cables

=6*8,3 =50 t 133 + 50 + 50= 233 t

Por lo el y diseño de las vigas pretensadas con cables ro adheridos en sus extremos se lleva cabo de acuerdo con los principios establecidos en esta cación.

106

BIBLIOGRAFíA y vigas en concreto reforzado Colombia. 124 p.

terio

Normas ColombIanas de Diseño y elación Colombiana de

11::.:

Sismo Resistente Sísmica. de

Colombiano de Diseño Oí.cmi" " \jacional de Vías. !\sociación

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C.

und

J.-:::¿~rnCJ0C'1

van SWtzen und

~

C:t¡'if7onC', lC'tCon- ""

des Brückenbaus ir¡ Stahlbetan ur ~ _.

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La torsión en las constrJcciones, Universidad de la Sale.

411 p.

107

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