1. Soal Barisan Dan Deret Aritmatika Dan Geometri 312921

Barisan dan Deret 1. USM STAN 2009 27, 64, 18, 48, 12, 36, ..... a. 8, 27 b. 8, 25 c. 6, 27 d. 6, 25 Penyelesaian : Suku ganjil, dibagi 3 kemudian dikali 2 (12 : 3 x 2 = 8) Suku genap, dibagi 4 kemudian dikali 3 (36 : 4 x 3 = 27) Jawaban A. 8, 27

:

2. UN 2004/2005 Suatu jenis bakteri, setiap detik akan membelah diri menjadi dua. Jika pada saat permulaan ada 5 bakteri, waktu yang diperlukan bakteri supaya menjadi 320 adalah ..... a. 5 detik b. 6 detik c. 7 detik d. 16 detik e. 20 detik Penyelesaian : Deret geometri r = 2 dan a = 5 Un = arⁿ 320 = 5. 2ⁿ => 64 = 2ⁿ 2⁶ = 2ⁿ => jadi n=6 detik Jawaban B. 6 detik

:

3. UN 2005/2006 Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian ¾ kali tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah ..... a. 65 m b. 70 m

c. 75 m d. 77 m e. 80 m Penyelesaian : Deret geometri a = 10 m, r = ¾ Lintasan bola bolak balik kecuali saat jatuh pertama => maka jumlah seluruh lintasannya ialah : S = 2. Sn-a a )–a 1 r 10 = 2. ( ) – 10 1 3/ 4

= 2. (

= 70 m Jawaban B. 70 m

:

4. UN 2006/2007 Suku ke-5 sebuah deret aritmatika adalah 11 dan jumlah nilai suku ke-8 dengan suku ke-12 sama dengan 52. Jumlah 8 suku pertama deret tersebut ialah ….. a. 68 b. 72 c. 76 d. 80 e. 84 Penyelesaian :  U₈ + U₁₂ = 52 (a+7b)+(a+11b) = 52 2a+18b = 52 1a+9b =26………………(1)  U₅ = a + 4b =11……………………..(2)  1a + 9b = 26  1a + 4b = 11 5b = 15 => b = 3 1a + 4b = 11  1a + 4.3 = 11  a = -1 Maka :

Sn =

n (2a + (n-1)b) 2

S₈ = 4 (2(-1)+(8-1)3) = 4 (-2+21) = 76 Jawaban

:

C. 76 5. USM STIS 2005/2006 Jika tiga bilangan q,s, dan t membentuk barisan geometri, maka qs = ….. q  2s  t q

s

a. q  t b.

c. q  s

s st

d.

q st

Penyelesaian : n 1 Un = a. r , q, s, t  geometri s = qr t = qr 2 = sr r = 

t s

q  qr qs 1 r = = 2 = q  2s  t q  2qr  qr 1  2r  r 2

1 1 1 r 1 s t = (s  t ) = = 2 = 1  (1  r ) 1 r st s s

Jawaban B.

:

s st

6. USM STIS 2007/2008 Jumlah tak hingga dari deret geometri adalah 81 dan suku pertamanya adalah 27. Jumlah semua suku bernomor genap deret tersebut adalah ….. a. 32 2 b. 21 3

c. 18 9

5

13 d. 12 6 13

5

Penyelesaian : Deret geometri bernomor genap adalah : ar, ar³, ar⁵, ….. ar S~ = = 1 r2

=

27. 2

3 1  (2 )2 3

162 = 32 5

2

5

Jawaban A. 32 2

:

5

7. USM STIS 2005/2006 Pada sebuah deret geometri diketahui bahwa suku pertamanya adalah 3 dan suku ke-9 adalah 768. Suku ke-7 deret itu adalah ….. a. 36 b. 72 c. 192 d. 256 Penyelesaian : a=3 U₉ = 768 Un = ar n 1 U₉ = 3r⁸ = 768 r⁸ = 256 r =2 U₇ = 3. 2⁶ = 3. 64 = 192 Jawaban C. 192

:

8. SNMPTN Matematika Dasar REGIONAL I tahun 2009/2010 Pada suatu ulangan matematika, terdapat soal mengenai jumlah barisan aritmatika. Pada berkas soal yang diterima Adam, rumus tidak tercetak sempurna sehingga hanya terbaca “ Sn = n² + ”, tetapi Adam masih bias menjawab soal tentang beda barisan tersebut. Nilainya adalah ….. a. 1 b. -1 c. 2 d. -2 e. 3 Penyelesaian : Missal Sn = n² + an Maka U₁ = S₁ = 1 + a

U₂ = S₂ - S₁ = (4+2a) – (1+a) = 3+a Jadi beda = U₂ - U₁ = 3 + a – (1+a) =2 Jawaban C. 2

:

9. SNMPTN Matematika Dasar REGIONAL III tahun 2009/2010 Jumlah 101 bilangan genap berurutan adalah 13130 jumlah bilangan terkecil yang pertama dari bilangan-bilangan genap tersebut adalah ….. a. 96 b. 102 c. 108 d. 114 e. 120 Penyelesaian : Deret aritmatika : n = 101 b=2 maka : Sn

=

13130 130 a

Sn = 13130

n (2a+(n-1)b) 2 101 = (2a+100.2) 2

= a+100 = 30

jadi 3 bilangan terkecil = 30 +32 + 34 = 96 Jawaban A. 96

:

10. SNMPTN Mata Ujian Matematika IPA Regional I tahun 2009/2010 Misalkan Un menyatakan suku ke-n suatu barisan geometri. Jika diketahui U₅ = 12 dan log U₄ + log U₅ - log U₆ = log 3, maka nilai U₄ adalah ….. a. 12 b. 10

c. 8 d. 6 e. 4 Penyelesaian : Un = suku ke-n suatu barisan geometri Log U₄ + log U₅ - log U₆ = log 3, maka : Log ar³ + log ar⁴ - log ar⁵ = log 3 ar 3 .ar 4  log = log 3 ar 5  ar² = 3 Diketahui U₅ = 12  ar⁴ =12, sehingga ar².r² = 12  3r² = 12  r² = 4 sehingga r = 2 U 12 diperoleh U₄ = 5 = =6 2 r Jawaban d. 6 11.

:

SNMPTN Mata Ujian Matematika IPA Regional II tahun 2009/2010 Misalkan Un menyatakan suku ke-n suatu barisan geometri. Jika diketahui U₆=64 dan log U₂+log U₃+log U₄=9 log 2, maka nilai U₃ adalah ….. a. 8 b. 6 c. 4 d. 2 e. 1 Penyelesaian : Un = suku ke-n suatu barisan geometri Log U₂ + log U₃ + log U₄ = 9 log 2, maka Log ar + log ar² + log ar³ = 9 log 2  log a³r⁶ = log 2⁹  a³r⁶ = 2⁹  (ar²)³ = (2³)³ Sehingga ar² = 2³ = 8 atau U₃ = 8 Jawaban A. 8

:

12.SNMPTN Mata Ujian Matematika IPA Regional II tahun 2009/2010 Koefisien x 49 pada hasil perkalian (x-1)(x-2)(x-3)….(x-50) adalah ….. a. -49 b. -50 c. -1250 d. -1275 e. -1350 Penyelesaian : (x-1)(x-2)(x-3)….(x-50) Untuk n=1, koefisien x⁰ adalah -1 Untuk n=2, koefisien x adalah -3 Untuk n=3, koefisien x² adalah -6 Untuk n=4, koefisien x³ adalah -10 . . . Untuk n=50, koefisien x adalah -1 -3 -6 -10 ….. -2 -3 -4 ….. -1 -1 a= -1 b= -2 c=-1 b( n  1) c( n  1)(n  2) Un= a + + 1! 2!  2( n  1)  1( n  1)(n  2) Un= -1 + + 1 2 = -n+1+ ½ (-n²+3n-2) = -1/2 n(n+1) Jadi koefisien x⁴⁹ terjadi pada n= 50 Sehingga U₅₀ = -1/2. 50(51)= -1275 Jawaban d. -1275

:

13.Matematika IPA UM UGM tahun 2009/2010 Sebuah deret dengan suku ke-n adalah an memiliki jumlah suku pertama 5n² + 3n. Nilai a₂ + a₅ + a₈ + ….. + a₂₀ = …. a. 726 b. 736

c. 746 d. 756 e. 766 Penyelesaian : Sn = 5n² + 3n Un = 10 n-2, maka : a₂ + a₅ + a₈ + ….. + a₂₀ = 18 + 48 + 78 + ….. + 198 =

7 (18+198) 2

=756 Jawaban d. 756

:

14. Matematika IPA UM UGM tahun 2008/2009 Suku ke-n deret geometri adalah Un. Jika diketahui 1 , maka nilai U₁₀ = ….. 3 1 a. 27

=

b.

3 27

c.

1 9

d. e.

3 9

1 3

Penyelesaian : Deret geometri, diketahui : U6 1 1 = 3  2 =3  r = U8 3 r 1 1  U₅ = a=3 3 3 3 1 1 1 1 . )= U₁₀ = ar⁹ = 3 3 ( )⁹ = 3 3 ( 81 3 3 27

U₂ . U₈ =

Jawaban

:

U6 = 3 dan U₂.U₈ U8

a.

1 27

15.Matematika IPA UM UGM tahun 2008/2009 Dari suatu deret aritmatika dengan suku ke-n adalah Un, diketahui U₃ + U₆ + U₉ + U₁₂ = 72. Jumlah 14 suku pertama deret ini adalah ….. a. 231 b. 238 c. 245 d. 252 e. 259 Penyelesaian : Deret aritmatika diketahui : U₃ + U₆ + U₉ + U₁₂ = 72  U₆ + U₉ = 36 S₁₄ = 7. 36 = 252 Jawaban d. 252 16.

:

Matematika IPA UM UGM tahun 2007/2008 Suatu barisan geometri mempunyai rasio positif. Jika suku ke-3 bernilai 2p dan suku ke-2 dikurangi suku ke-4 sama dengan p 2 , maka rasio barisan tersebut adalah ….. a. 2 b. 2 2 c.

1 2

2

d. 2 e.

1 2

Penyelesaian : Deret geometri Jika : U₃ = 2p dan U₂ - U₄ = p 2 ar² = 2p dan ar-ar³ = p 2 maka :

ar  ar 3 p 2 = 2 2p ar

1 r2 = r

2 2

2 – 2r² = 2r 2r² + 2r -2 = 0

(2r r=

2 )(r 

1 2

2 atau r = 

jadi r = Jawaban c. 17.

1 2

2)  0

1 2

2 ™

2

:

2

Matematika IPA UM UGM tahun 2007/2008 Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri idan jumlahnya -48. Jika bilangan ke-2 dan ke-3 ditukar letaknya menghasilkan sebuah barisan aritmatika, maka nilai bilangan ke-2 dari barisan semula ialah ….. a. -32 b. -28 c. 28 d. 32 e. 36 Penyelesaian :  a + ar + ar² = - 48 a(1 + r + r²) = -48, dan  a + ar + ar² = DA ar² - a = ar - ar² r² - 1 = r – r² (r – 1)(r + 1) = r (1 – r) r + 1 = -1 r=-

1 1  a (1 2 2

+

1 ) = -48 4

a = -64 U₂ = ar = (-64)(-

1 ) 2

= 32 Jawaban d. 32 18.

:

Matematika IPA UM UGM tahun 2007/2008 Jika dalam suatu deret berlaku ³log x + ³log² x + ³log³ x + …… = 1, maka nilai x adalah …..

a.

1 3

b.

3 3

c.

3

2 9 1 e. 9

d.

Penyelesaian : D ~ = ³log x + ³log² x + ³log³ x + …… = 1 S~=

a =1 1 r 3 log x =1 1 3 log x

³log x = 1 - ³log x 2. ³log x = 1 ³ log x = ½ X= 3 Jawaban c. 3

:

19.Matematika IPA UM UGM tahun 2006/2007 Diketahui deret aritmatika dengan beda 1. Jika jumlah pangkat tiga dri tiga suku pertamanya adalah 18 lebih besar dari 3 kali pangkat 3 dari suku ke-2 maka jumlah tiga suku pertamanya adalah ….. a. 6 b. 9 c. 12 d. 15 e. 18 Penyelesaian : Deret aritmatika b=1 U₁³ + U₂³ + U₃³ = 18 + 3 U₂³ U₁³ - 2 U₂³ + U₃³ = 18 a³ - 2 (a+ 1)³ + (a+ 2)³ = 18 a=2 U₁ + U₂ + U₃ = 2 + 3 + 4 = 9

Jawaban b. 9

:

20.Matematika IPA UM UGM tahun 2006/2007 Suku ke-5 dari barisan geometri adalah 243, hasil bagi suku ke-9 dengan ke-6 adalah 27. Suku ke-2 adalah ….. a. 3 b. 5 c. 7 d. 9 e. 11 Penyelesaian Deret geometri U₅ = 243 = ar⁴ U9 = r³ = 27 U6

:

r=3a=3 Jadi U₂ = ar = 3 . 3 = 9 Jawaban d. 9 21.

:

Matematika Dasar UM UGM tahun 2005/2006 Suku pertama dari deret geometri adalah 4 dan jumlah 8 suku pertamanya 17 kali jumlah 4 suku pertama. Rasio deret geometri itu sama dengan ….. a. 5 b. 4 c. 3 d. 2 e. 1 Penyelesaian Deret Geometri a=4 S₈ = 17 . S₄ a

:

r8 1 r 4 1 = 17 . a r 1 r 1

r8 1 = 17 r 4 1 r⁴ + 1 = 17  r⁴ = 16  r = 2

Jawaban d. 2

:

22.SPMB 2004 Suku pertama dan ke-2 dari suatu deret geometri berturut-turut ialah p⁴ dan p³ x . Jika suku ketujuh adalah p³⁴, maka nilai x adalah ….. a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 Penyelesaian : 3x U2 p r= = = p 3 x 4 p4 U1 U₇ = ar⁶ = p⁴(p 3 x  4 )⁶ p³⁴ = p⁴. p 18 x  24 = p 18 x  20 34 = 18x – 20 18x = 54  x = Jawaban c. 3 23.

54 =3 18

:

SPMB 2004 Suku ke-2 dari suatu deret aritmatika adalah 5. Jika jumlah dari suku ke-4 dan suku ke-6 dari deret terrsebut adalah 28, maka suku ke-9 adalah ….. a. 19 b. 21 c. 26 d. 28 e. 29 Penyelesaian : U₂ = a + b = 5 U₄ + U₆ = a + 3b + a + 5b = 28 2a + 8b = 28 a + 4b = 14 a+b = 5 3b = 9  b = 3 a+3=5a=2

U₉ = a + (9 – 1)b = a + 8b = 2 + 8(3) = 26 Jawaban c. 26

:

24.SPMB 2004 / IPA Diketahui suatu deret geometri tak hingga dengan suku awal a dan rasio r. jika jumlah suku awal dan rasio sama dengan 6 dan jumlah semua suku-sukunya sama dengan 5, maka

a adalah ….. r

a. -20 b. 25 5 6 1 d. 25

c.

e. -25 Penyelesaian : a+r=6a=6–r a =5 1 r

a = 5 – 5r 6 – r = 5 – 5r 4r = -1  r = a= 6 –(-

1 4

1 1 )=6 4 4

1 a = 4 = - 25 1 r  4 6

Jawaban

:

e. -25 25.SPMB 2005 Suku tengah suatu deret aritmatika adalah 23. Jika suku terakhirnya 43 dan suku ketiganya 13, maka banyaknya suku pada deret tersebut adalah ….. a. 5 b. 7

c. 9 d. 11 e. 13 Penyelesaian : 2 U t = U₁ + Un 2 (23) = a + 43 46 = a + 43  a = 3 U₃ = a + 2b = 13  b = 5 Un = a + (n - 1)b = 43 3 + (n – 1) 5 = 43 5n – 5 = 40 5n = 45  n = 9 Jawaban c. 9

:

26.SPMB 2005 Agar deret geometri tak hingga dengan suku pertama a mempunyai jumlah 2, maka a memenuhi ….. a. -2 < a < 2 b. -4 < a < 0 c. 0 < a < 2 d. 0 < a < 4 e. -4 < a < 4 Penyelesaian S∞ =

:

a =2 1 r

a = 2  a = 2 – 2r 1 r

-1 < a < 1 r=1a=0 r = -1  a = 4 maka 0 < a < 4 Jawaban : d. 0 < a < 4 27.UAN 2005 Diketahui suku ketiga dan suku kelima dari deret aritmatika berturut-turut adalah 18 dan 24. Jumlah tujuh suku pertamanya adalah ….. a. 117 b. 120

c. 137 d. 147 e. 160 Penyelesaian a + 2b = 18 a + 4b = 24 -2b = -6 b = 3  a = 12 S₇ =

:

7 (2(12) + (7-1)3) 2

= 147 Jawaban d. 147

:

28.Matematika Dasar UM UGM tahun 2009/2010 Dalam suatu deret aritmatika, jika U₃ + U₇ = 56 dan U₆ + U₁₀ = 86, maka suku ke-2 adalah ….. a. 8 b. 10 c. 12 d. 13 e. 15

Penyelesaian : Deret aritmatika U₃ + U₇ = 56 U₆ + U₁₀ = 86

56 = 28 2 86  U₈ = = 43 2

 U₅ =

U₈ - U₅ = 43 – 28  3b = 15  b = 5 b = 5  Un = 5n + 3 (karena U₅ = 28) U₂ = 10 + 3 = 13 Jawaban d. 13

:

29. Matematika Dasar UM UGM tahun 2009/2010 Jika suatu barisan geometri y + 1, 2y – 2, 7y – 1, ….. mempunyai rasio positif, maka suku ke-4 barisan tersebut adalah ….. a. 108

4 3 4 c. 3

b.

d. -108 e. -324 Penyelesaian : y + 1, 2y – 2, 7y – 1, …..  barisan Geometri dengan r > 0 (2y – 2)² = (y + 1)(7y – 1); r =

2y  2 y 1

4y² - 8y + 4 = 7y² + 6y -1 3y² + 14y – 5 = 0 (3y – 1) (y + 5) = 0 1 y= 3

y=-5

2 2 3 r= > 0 (tidak dipakai) 1 1 3  10  2  12 r= = =3  5 1 4

U₁ = y + 1 = -5 + 1 = -4 U₄ = ar³ = -4 . 3³ = -108

Jawaban d. -108 30.

:

Matematika Dasar UM UGM tahun 2008/2009 Suatu deret aritmatika memiliki beda 2 dan jumlah 20 suku pertamanya 240. Jumlah tujuh suku pertamanya adalah ….. a. -5 b. -6 c. -7 d. -8 e. -9 Penyelesaian : Deret aritmatika, b = 2 dan S₂₀ = 240 maka 20 (2a + 19b) = 240  2a + 19.2 = 24 2 7  a = -7, S₇ = (2. -7 + 6.2) = -7 2

Jawaban

:

c. -7