Geometria Del Espacio 1 1k5z29

IEP "FEDERICO VILLARREAL"

Geometría del Espacio

GEOMETRÍA DEL ESPACIO

1

MATEMÁTICA 5

Marco referencial El espacio geométrico puede considerarse como el conjunto de todos los puntos del universo físico. Así, todo punto, recta y plano está en el espacio. La definición de sólidos geométricos es un tema complicado. Una definición posible es la siguiente: Un sólido geométrico es una región cerrada del espacio limitada por ciertas superficies que pueden ser planas o curvas.

Cilindro Recto Es el sólido conformado por caras paralelas circulares y el conjunto de todos los segmentos de línea recta perpendiculares a sus caras y comprendidos entre ellas. El área de su superficie y su volumen, están dadas de la siguiente manera:

V= πr .h 2

r

h

También:

g

h=g

r

A L = 2πrg

A L :área lateral

A T = A L + 2B

A T :área total

V = B.h

V: volumen

Practicamos

B: base

5) Hallar el área total y volumen de un cilindro circular de 10 cm. de altura y 6 cm. de diámetro de la base.

6) El área lateral de un cilindro circular es 96π y su altura mide 12 cm. Hallar el volumen del cilindro.

1) Hallar el área total de un cilindro circular cuyo radio de la base mide 2 cm. y la altura 5 cm.

7) El área total de un cilindro de revolución es 150π y el radio de la base mide 5 cm. Hallar su volumen. 2) Hallar el área total de un cilindro cuya base tiene 14 cm. de diámetro y su generatriz mide 10 cm.

8) El volumen de un cilindro de revolución es 2000π. Hallar el área total de este cilindro, sabiendo que tiene 20 cm. de altura. 3) La circunferencia de la base de un cilindro mide 25,12 m. y su altura 12 m. Hallar el área total del cilindro.

TERCER NIVEL DE EDUCACIÓN BASICA REGULAR. VI CICLO. QUINTO GRADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA

A L = 2πr.h A T = 2πr. h + r

4) Hallar el volumen de un cilindro de 8 cm. de altura y cuyo radio de la base mide 1,5 cm.



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EDICIONES JGC(Juega, Gana, Campeona)

Ejercicios de Aplicación

MATEMÁTICA 5

TEORÍA Y PRÁCTICA

Cilindro Recto 1

Halla el área total del cilindro recto mostrado.

2

Halla el volumen del cilindro recto mostrado.

8√3

24

53°

60°

r

r

3

Halla el volumen de un cilindro recto de 2m de altura y cuya longitud de circunferencia de su base es 40πcm.

4

El área total de un cilindro recto es 12πm2. Si su altura es igual al diámetro de su base, calcule su volumen.



3



MATEMÁTICA 5

TEORÍA Y PRÁCTICA

Cilindro Recto 5

Si la generatriz de un cilindro equilátero mide 4m, calcula el área total de del cilindro.

6

Halla el volumen del cilindro recto mostrado.

12

53°

r

7

Halla el volumen de un cilindro recto de 6cm de radio de la base y que se halla inscrito en una esfera de 10 cm de radio.

Observemos el presente gráfico

10 cm

8cm

6 cm



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GEOMETRÍA DEL ESPACIO Tronco de Cilindro Recto

Variación del radio de un cilindro de revolución

Es el sólido que se obtiene al cortar el cilindro de revolución por un plano no paralelo a sus bases.

A L = πr. g + G V = πr

2

r

g+G 2

B

AL: área lateral V: volumen

MATEMÁTICA 5

r + x

h

G g

r: radio g: Generatriz mínima

A

r

G : Generatriz máxima

V2 - V1 = πx 2r + x h;

x>0

Practicamos

a) r = 1 cm ; g = 2 cm ; G = 3 cm. y h+y b) r = 1/2 cm ; g = 5 cm ; G = 7 cm.

h r

V 3 - V1 = π r 2 y c) r = 2 cm ; g = 3/2 cm ; G = 5/2 cm. 1) Plantea un ejercicio sobre Variación del radio de un cilindro de revolución

d) r = (√2 – 1) cm ; g = 2√2 cm ; G = 3 cm.

e) r = 2u ; g = 3u ; G = 5u.

2) Plantea un ejercicio sobre Variación de la altura de un cilindro de revolución


Variación de la altura de un cilindro de revolución

1) Calcular el área lateral y el volumen del tronco de cilindro recto cuando:


5


MATEMÁTICA 5

CONO DE REVOLUCIÓN

TRONCO DE CONO DE REVOLUCIÓN

Es el sólido que se genera mediante la rotación completa de una región triangular rectangular alrededor de uno de sus catetos.

2

A

g =h +r A L = πrg g

h

O

2

r

C

2

r

g

A T = πr r + g 1 2 V = πr .h B 3

h

R

B

D

A

2

g2 = R - r + h 2

Practicamos

AL = π r + R g

1) Calcular el área lateral, al área total y el volumen de un cono de 10 cm de generatriz y cuya base tiene un radio de 6 cm.

AT = π r + R g + r 2 + R 2 V=

1 h.π R 2 + r 2 + Rr 3

Practicamos 1) Calcular el área lateral, al área total y el volumen del tronco de cono mostrado en la gráfica. 2u

5u

4u

5u





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GEOMETRÍA DEL ESPACIO Variación del radio de un cono de revolución

MATEMÁTICA 5

SUPERFICIE ESFÉRICA Es el sólido generado mediante la rotación completa de un semicírculo alrededor de su diámetro.

B

B

A

A

h

r

V2 - V1 =

r+

x

1 πx x + 2r h; 3

x>0

Variación de la altura de un cono de revolución

Área de la superficie esférica

S = 4πR 2 4 3 V = πR 3

h+y h

O

r

V3 - V1 =

R

1 2 πr y 3

1) Plantea un ejercicio sobre Variación del radio de un cono de revolución

Practicamos 1) Calcula el área de la superficie esférica y el volumen de una esfera de radio 3u.

2) Plantea un ejercicio sobre Variación de la altura de un cono de revolución


Volumen de la esfera



GEOMETRÍA DEL ESPACIO Variación del volumen de la esfera

V2 - V1 =

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MATEMÁTICA 5

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS VINCULADOS CON LA REALIDAD

4 πx 3R 2 + 3Rx + x 2 3

Variación de la superficie de la esfera

S2 - S1 = 4πx 2R + x 1) Plantea un ejercicio sobre Variación del volumen de una esfera.

Practicamos

2) Plantea un ejercicio sobre Variación de la superficie de una esfera.

Respuestas A L = 12πm 2 A T = 14πm 2 V = 6πm3


1) Un camión cisterna traslada un tanque para combustible que tiene la forma de un cilindro de revolución de 6 m de largo y 2 m de alto.



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GEOMETRÍA DEL ESPACIO Seguimos practicando

MATEMÁTICA 5

3) Expresa en cm3:

2) Algunos de los postes para el alumbrado público tienen como soporte una estructura de concreto de forma de un tronco de cono de revolución de 20 cm de altura, cuyas bases tienen diámetros de 50 cm y 20 cm. Calcula el área lateral del soporte y su volumen.

a 1 m3 b 5 400 mm3 c 0,003 dam3 d) 1 litro

10 cm

Resolución: a 1 m3  1 · 1 000 000 cm3  1 000 000 cm3

20 cm

25 cm

c 0,003 dam3  0,003 · 1 000 000 000 cm3  3 000 000 cm3 d) 1 litro = 1 000 cm3

4) Calcula el volumen de estos cuerpos:

12 cm

16 cm

7 cm m

5 cm 8 cm Resolución: V

r 2h

V

ABASE h

3,14 25 12

8 2 16

942 cm 3

1 024 cm 3

V

4 3 r 3 4 3,14 7 3 3 1 436 cm 3

5) Un florero con forma cilíndrica tiene un diámetro interior de 12 cm y su altura es de 25 cm. Queremos llenarlo hasta los 2/3 de su capacidad. ¿Cuántos litros de agua necesitamos? Resolución:

Respuestas A L = 875πcm 2 V = 6500πcm3

Respuesta: Necesitamos 1884 litros de agua.


Observación: π = 3,14

8c

poste

b 5 400 mm3  5 400 : 1 000 cm3  54 cm3




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MATEMÁTICA 5

CASQUETE ESFERICO

SECTOR ESFÉRICO

h

Vs.e =

2 2 πR h 3

Practicamos 1) Hallar el volumen de un sector esférico de 30º correspondiente a una esfera de 15 cm. de radio.

Resolución

30º 360º

1 12

Será, pues, la doceava parte del volumen de la esfera.

375

1 πh 3a 2 h 2 6

1.177,5 cm3

2πrh Otra expresión para hallar el volumen del casquete esférico, en función del radio de la esfera y de la altura h, es:

1 2 πh 3r h 3

cm

Un genio de la Física y la Matemática

15

153

Si el radio de la esfera es , el radio de la base del casquete , y la altura del casquete, el volumen del casquete esférico será:

y el área superficial del casquete esférico es

V sector esférico =

1 4 12 3

Un casquete esférico, en geometría, es la parte una de esfera cortada por un plano. Si dicho plano pasa por el centro de la esfera, lógicamente, la altura del casquete es igual al radio de la esfera, y el casquete esférico será una hemiesfera (semiesfera).

30 °

Isaac Newton, uno de los más grandes genios de la ciencia, nació en el siglo XVII y murió en el siglo XVIII. Si quieres saber el año de su nacimiento y de su muerte, acá están los datos necesarios. El número formado por las cifras de las decenas y unidades del año de su nacimiento, aumentado en 12, es el doble del número formado por las decenas y unidades del año de su muerte que, aumentado en 1, es dos tercios del primero.


R




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MATEMÁTICA 5

1) Hallar el área total de un cilindro circular cuyo radio de la base mide 2 cm. y la altura 5 cm. 2) Hallar el área total de un cilindro cuya base tiene 14 cm. de diámetro y su generatriz mide 10 cm. 3) La circunferencia de la base de un cilindro mide 25,12 m. y su altura 12 m. Hallar el área total del cilindro. 4) Hallar el volumen de un cilindro de 8 cm. de altura y cuyo radio de la base mide 1,5 cm. 5) Hallar el área total y volumen de un cilindro circular de 10 cm. de altura y 6 cm. de diámetro de la base. 6) El área lateral de un cilindro circular es 96π y su altura mide 12 cm. Hallar el volumen del cilindro. 7) El área total de un cilindro de revolución es 150π y el radio de la base mide 5 cm. Hallar su volumen. 8) El volumen de un cilindro de revolución es 2000π. Hallar el área total de este cilindro, sabiendo que tiene 20 cm. de altura. 9) Si S es el área lateral de un cilindro cuyo radio de la base es R, probar que su volumen es igual a 10) Hallar el área lateral de un cono circular de 3 cm. de radio de la base y 9 cm. de generatriz. 11) Hallar el área total de un cono circular de 5 m. de radio de la base y 12 m. de altura. 12) La circunferencia de la base de un cono circular recto mide 12π y su altura 10,5 m. Hallar su área total. 13) La altura de un cono mide 20 cm. y la razón del radio de la base a la medida de la generatriz es 3:5. Hallar el área total del cono. 14) Hallar el área y el volumen de un cono circular de 9 cm. de altura y cuyo radio de la base mide 3 cm. 15) Hallar el volumen de un cono circular cuyo radio de la base mide 2 cm. y la altura 5 cm. 16) Un cono circular tiene 5 cm. de radio de la base y la generatriz mide 12 cm. Hallar su volumen. 17) El diámetro de la base de un cono circular mide 8 cm. y la altura del cono 16 cm. Hallar el área total y el volumen. 18) Hallar el volumen de un cono circular cuya generatriz mide 15 cm. y el radio de la base es igual a 3/5 de la generatriz. 19) Hallar el volumen del cono engendrado por la revolución de un triángulo rectángulo isósceles cuyo perímetro es de 2 cm. 20) Sobre la base superior de un cilindro de 4 cm. de radio de la base y 5 cm. de altura, se construye un cono circular de altura triple que el cilindro. Hallar el volumen del cuerpo formado. 21) El volumen de un cono circular de 10 m. de altura es 30π. Hallar el radio de su base. 22) El área total de un cono circular es 384π y el radio de la base 12. Hallar su volumen.

23) Una pirámide hexagonal regular de 2 cm. de lado de la base y 8 cm. de altura está inscrita en un cono circular. Hallar la diferencia entre los volúmenes de ambos cuerpos. 24) Hallar el área total del tronco de cono de revolución obtenido cortando a un cono de 15 cm. de altura y 6 cm. de radio de la base, por un plano distante 5 cm. del vértice. 25) Un trapecio rectángulo cuyas bases miden 6 y 9 cm., respectivamente, gira alrededor de un eje que contiene a su altura. Hallar el área total del tronco de cono engendrado, sabiendo que la altura del trapecio mide 4 cm. 26) Hallar el área lateral y el área total de un tronco de cono de 12 m. de altura, cuyos radios de las bases miden 11 y 6 m., respectivamente. 27) Hallar el área de una esfera de radio igual a 2 m. 28) Hallar el radio de una esfera cuya superficie mide 314 cm2. 29) Hallar el área de una superficie esférica que pasa por los vértices de un cubo cuya área total mide 216 cm2. 30) Demostrar que la superficie esférica es equivalente a la superficie lateral de un cilindro cuya altura y diámetro de la base sean iguales al diámetro de la esfera. 31) Hallar el área de una superficie esférica cuya circunferencia máxima tiene 14π m. 32) El área de una superficie esférica es 256π. Hallar el área del círculo máximo de esta esfera. 33) Hallar el área de una esfera sabiendo que un círculo máximo de la misma tiene 9π cm2 de área. 34) ¿Cuál es el radio de una esfera cuya superficie es igual a la de un cilindro circular de 10π cm2? 35) Hallar el volumen del cuerpo engendrado por la rotación de un triángulo equilátero de 6 cm. de lado que gira alrededor de un eje que pasa por un vértice, siendo el lado opuesto a este vértice, paralelo al eje. 36) En un vaso cilíndrico de 36 cm. de diámetro que contiene cierta cantidad de agua, se echan dos bolas de igual diámetro y el nivel del agua sube 6 cm. Hallar el radio de estas bolas. 37) Hallar el volumen de la esfera circunscrita a un cilindro circular cuyo radio de la base mide 12 cm. y su altura 32 cm. 38) Hallar el volumen del cubo inscrito en una esfera cuyo volumen es igual a 288π. 39) Demostrar que la razón de las áreas laterales de dos cilindros equivalentes es igual a la razón inversa de los radios de sus bases. 40) La diferencia entre los volúmenes de dos esferas concéntricas es 84π cm2. Si la menor tiene 1 cm. de radio, hallar el radio de la mayor.


Seguimos Practicando


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Lección laboratorio: Volumen de un cono. Objetivo: Que las y los estudiantes descubran la relación que existe entre el volumen de un cono circular recto y el volumen del cilindro inscrito. Materiales: Tarros de diferentes tamaños, cartulina, cinta adhesiva y arena colada o algún tipo de grano. Instrucciones: 1) Utilice un tarro, preferiblemente metálico o plástico, con forma de cilindro circular recto. Calcule el volumen. 2) Utilizando cartulina construya un cono circular recto cuyo radio de la base y altura tengan las longitudes iguales a las del tarro considerado en el punto anterior, respectivamente.

MATEMÁTICA 5

Leonhard Euler Leonhard Paul Euler) nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza, y murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo, Rusia. Fue un respetado matemático y físico, y está considerado como el principal matemático del siglo XVIII y como uno de los más grandes de todos los tiempos. 2) Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) La altura de un cilindro es un segmento paralelo a las bases. ( ) b) El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro es una región rectangular. ( ) c) El volumen de un cilindro es igual al área de la base por la altura del cilindro. ( ) d) Si se rota un rectángulo (completamente) alrededor de cada uno de sus lados se obtienen cilindros de igual volumen. ( ) e) La distancia de dos puntos de la superficie lateral al eje de rotación son iguales. ( )

Propiedad de un poliedro que se encuentra formado por polígonos de diferente número de lados Si un poliedro se encuentra formado por polígonos de diferente número de lados, el número de aristas se calcula de la siguiente manera:

3) Llene el cono de arena y vacíelo en el tarro. Repita este procedimiento tantas veces como sea necesario hasta llenar completamente el tarro. 4) Anote en su cuaderno la cantidad de veces que tuvo que vaciar el cono lleno de arena en el tarro para llenarlo completamente. 5) Repita los pasos anteriores para otros tarros de diferentes tamaños. 6) Anote sus conclusiones. 7) Prepare una presentación para exponer a sus compañeros.

A=

n1. p1 n2 . p2 n3 . p3 ... 2

Donde: n1 , n 2 , n 3 , ... es el número de lados de cada polígono. p1 , p 2 , p3 , ... es el número de polígonos que nos dan.





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MATEMÁTICA 5

POLIEDROS REGULARES

Para que estas condiciones se cumplan, el poliedro tiene que ser convexo, puesto que en los cóncavos los ángulos diedros no son todos iguales.

TEOREMA DE EULER En todo poliedro convexo, el número de caras más el de vértices, es igual al de aristas más dos.

C+V=A+2 TEOREMA No existen más que cinco poliedros convexos regulares. Los cinco poliedros regulares convexos se llaman: Forma de las caras

C

V

A

Tetraedro

Triángulo

4

4

6

Hexaedro o cubo

Cuadrado

6

8

12

Octaedro

Triángulo

8

6

12

Pentágono

12

20

30

Triángulo

20

12

30

NOMBRE

Dodecaedro Icosaedro

POLIEDROS CONJUGADOS son aquellos en que el número de caras de uno es igual al número de vértices de otro y viceversa. Según el teorema de Euler deben tener, el mismo número de aristas. Observando conjugados:

el

cuadro

anterior

Tetraedro

Hexaedro o cubo

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

Para mostrar por qué son cinco —y no más— se suele razonar del modo siguiente: (1) Cada vértice debe ser común por lo menos a tres caras para que se forme un sólido. (Si fuera común a dos, las caras estarían pegadas y no tendríamos un sólido.) (2) La suma de los ángulos interiores de las caras que se encuentran en cada vértice debe ser menor que 360°, de manera que la figura se cierre, que no sea plana. (3) Dado que cada ángulo interior de un triángulo equilátero mide 60°, tomando en cuenta lo señalado en los puntos (1) y (2), en un vértice podrían concurrir tres, cuatro o cinco de ellos. Ésos son los casos del tetraedro, el octaedro y el icosaedro, respectivamente. Cada ángulo interior de un cuadrado mide 90°, de modo que sólo podemos hacer coincidir tres de ellos en cada vértice. Ése es el caso del cubo. Los ángulos interiores del pentágono regular miden 108°. Poniendo tres de ellos en cada vértice se obtiene un dodecaedro. Con los polígonos siguientes ya no es posible formar poliedros regulares: los ángulos interiores de una hexágono miden 120° y no es posible poner tres juntos sin llegar al límite de 360°; los ángulos interiores de los siguientes son aun mayores.

TETRAEDRO REGULAR

AT = a 2 3 3

a 2 12 a h= 6 3

a a

V=

h a

a

a

Tetraedro

son

¿Por qué NO existen más de cinco poliedros convexos regulares?

Los centros de las caras de un poliedro regular son los vértices de un poliedro conjugado al primero.

a

a = arista h = altura AT = área total V = volumen


Poliedro regular es aquel cuyas caras son todas son polígonos regulares iguales, y todos sus diedros y ángulos poliedros también iguales.



GEOMETRÍA DEL ESPACIO HEXAEDRO REGULAR

D

D=a 3 a

d =a 2 a = arista AT = área total D = diagonal del cubo d = diagonal de la cara V = volumen

d

a

V = a3

MATEMÁTICA 5

1) La altura de una de las caras de un tetraedro regular mide 2√ 3. Encontrar el área total.

a

A T = 6a 2

13

2) En un cubo de 6 cm de arista, encontrar la distancia de uno de sus vértices al centro de una de su caras opuestas.

A T = 2a

2

3

a3 V= 2 3

3) En un cubo cuya arista mide 4cm, encontrar el área de la región triangular que se forma al unir los tres vértices del cubo. (Que no pertenecen a una misma cara)

D=a 2

DODECAEDRO REGULAR

ICOSAEDRO REGULAR

4) Encontrar el número de vértices de un poliedro que se encuentra limitado por 5 triángulos, 4 cuadriláteros y pentágonos.

5) Hallar el volumen de un tetraedro regular, si el área de la región de una de sus caras es 4√ 3.


OCTAEDRO REGULAR



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MATEMÁTICA 5

TEORÍA Y PRÁCTICA

Poliedros regulares. Nivel 2. 1

Encontrar el área total de un tetraedro regular, una de sus caras se encuentra inscrita en una circunferencia de 3cm de radio.

2

El volumen de un tetraedro regular 16/3 √2, encontrar el área de la región triangular que se forma al unir los puntos medios de tres aristas.

3

La altura de una de las caras de un tetraedro regular es congruente con la arista de un icosaedro regular. Hallar la relación de las áreas totales de los dos poliedros.

4

¿Cuántos lados tiene el polígono que se origina al cortar un plano paralelo a una de sus caras del ortaedro regular?

5

¿Qué poliedro regular se forma al unir los centros de las caras de un hexaedro regular?



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GEOMETRÍA DEL ESPACIO: PRISMAS

MATEMÁTICA 5

Prisma es un poliedro limitado por dos polígonos iguales y paralelos en las bases y paralelogramos en las caras laterales. En función del polígono de las bases, los prismas pueden ser: triangulares, cuadrangulares, pentagonales, hexagonales,.... Además los prismas pueden ser: Recto.- Las caras laterales son perpendiculares a las bases. Las caras son rectángulos. no

son

Regulares.- Este prisma debe ser recto y sus bases deben ser polígonos regulares.

Ejercicios de prismas 1) Calcula la altura de un prisma que tiene como área de la base 12 dm2 y 48 l de capacidad.

DESARROLLO DEL PRISMA Para calcular su área lateral se emplea la siguiente fórmula:

Resolución

Área lateral = perímetro de la base. altura del prisma. Para calcular su área total se emplea la siguiente fórmula:

Área total = área lateral + 2 área de la base Para calcular su siguiente fórmula:

volumen

se

emplea

la

Volumen del prisma = área de la base . altura

Altura de un prisma es la distancia entre las bases. Los lados de las bases constituyen las aristas básicas y los lados de las caras laterales las aristas laterales, éstas son iguales y paralelas entre sí.

2) Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un prisma cuya base es un rombo de de diagonales 12 y 18 cm. Resolución


Oblicuo.Las caras laterales perpendiculares a las bases.



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GEOMETRÍA DEL ESPACIO:

TIPOS DE PRISMAS

MATEMÁTICA 5

Prismas regulares

Paralelepípedos

Son los prismas cuyas bases son polígonos regulares.

Los paralelepípedos son prismas cuyas bases paralelogramos.

los son

Prismas irregulares

Ortoedros Los ortoedros son paralelepípedos que tienen todas sus caras rectangulares.

Prismas rectos Son los prismas cuyas caras laterales son rectángulos o cuadrados.

Clases de prismas según su base Prisma triangular Sus bases son triángulos.

Prismas oblicuos Son los prismas cuyas caras laterales son romboides o rombos.


Son los prismas cuyas bases son polígonos irregulares.



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TIPOS DE PRISMAS Prisma cuadrangular

MATEMÁTICA 5

Ortoedro

Sus bases son cuadrados.

Sus bases son pentágonos.

A L = 2a.c + 2b.c A T = 2a.b + 2a.c + 2b.c V = a.b.c D = a 2 + b2 + c2 Ejercicios de ortoedros 1) Calcular la diagonal de un ortoedro de 10 cm de largo, 4 cm de ancho y 5 cm de alto.

Prisma hexagonal

Resolución

Sus bases son hexágonos

2) Calcula el volumen, en metros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm de ancho y 2500 mm de alto. Resolución


Prisma pentagonal



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PIRÁMIDES

Elementos de una pirámide

·

La altura de la pirámide es el segmento perpendicular a la base, que une la base con el vértice.

·

Las aristas de la base se llaman aristas básicas y las aristas que concurren en el vértice, aristas laterales.

·

La apotema lateral de una pirámide regular es la altura de cualquiera de sus caras laterales.

Cálculo de la apotema lateral de una pirámide Calculamos la apotema lateral de la pirámide, conociendo la altura y la apotema de la base, aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado:

Cálculo de la arista lateral de una pirámide Calculamos la arista lateral de la pirámide, conociendo la altura y el radio de la base o radio de la circunferencia circunscrita, aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado:

PIRÁMIDE REGULAR

PB .a P 2 AT = AL + B AL =

1 B.h 3 PB = perímetro de la base V=

a P = apotema Ejercicios de pirámide regular 1) Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 10 cm de arista básica y 12 cm de altura.


Las pirámides son poliedros cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común, que es el vértice de la pirámide.

MATEMÁTICA 5



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Practicamos

02) Hallar el número de caras que tiene un prisma recto, cuya arista lateral es de 12 cm, cada lado de la base mide 4 cm y la superficie lateral es de 288 cm2. ( Resp.: 6 caras )

03) Calcular la superficie total de un prisma recto de 20 cm de altura, cuya base es un heptágno regular de 5 cm de lado y 6,23 cm de apotema. ( Resp.: 1101,66 cm2 )

08) El contenido de un cono, cuya base tiene 20 cm de diámetro y 30 cm de altura, se vuelca 6 veces en un cilindro cuya base tiene el mismo radio que dicho cono. Calcular la altura del cilindro. ( Resp.: 60 cm )

09) En un recipiente con forma de cubo y lleno parcialmente de agua, se echa una esfera de 6 cm de radio construida con cobre. Se observa que el nivel de agua a subido 6,28 cm. Calcular la arista del cubo. ( Resp.: 12 cm ) Ejercicios de áreas y volúmenes I http://www.vitutor.com/geo/esp/ vActividades.html

04) Si la suma de todas las aristas de un cubo es de 320 cm, calcular la superficie total del cubo. ( Resp.: 5766 cm2 )

1) Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm de ancho y 2500 mm de alto.

05) En un depósito de materiales hay un espacio de 8,4 m de largo por 4,5 m de ancho por 1,2 m de alto. En el se acomodaron ladrillos para la construcción de 28 cm por 15 cm por 4 cm. Averiguar cuántos ladrillos se apilaron.( Resp.: 27000 ladrillos )

2) Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Se pinta la piscina a razón de 6 € el metro cuadrado.

06) Determinar la profundidad de una piscina de 6 m de longitud y 4 m de ancho, sabiendo que para llenarla es preciso tener abierto, durante 12 horas, un grifo que arroja 50 dm3 de agua por minuto.( Resp.: 1,5 m )

07) Un vaso con forma de cilíndro, cuyo diámetro interior es de 8 cm, contiene 225 cm3 de agua. Se arrojan dentro de él, 10 monedas de 20 mm de diámetro y 3 mm de espesor. Calcular, si es posible, la altura, en cm, que alcanzará el agua dentro del vaso. ( Resp.: 4,66 cm )

1. Cuánto costará pintarla. 2.Cuántos litros de agua serán necesarios para llenarla.

3) En un almacén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4 dm de alto. ¿Cuantas cajas podremos almacenar?

4) Determina el área total de un tetraedro, un octaedro y un icosaedro de 5 cm de arista.

5) Calcula la altura de un prisma que tiene como área de la base 12 dm2 y 48 l de capacidad.


01) Calcular la altura de un prisma recto, sabiendo que el perímetro de la base es de 22,5 cm y la superficie lateral mide 202,50 cm2. ( Resp.: 9 cm )

MATEMÁTICA 5



20


Practicamos

7) Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base. Y la altura mide 125.66 cm. Calcular: 1 El área total. 2 El volumen

8) En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatro cubitos de hielo de 4 cm de arista. ¿A qué altura llegará el agua cuando se derritan?

Problemas sobre prismas. 01) Encontrar el área lateral de un prisma triangular regular, su arista lateral mide 4 y su arista básica mide 2. ( Resp.: 24 )

02) La base de un paralelepípedo recto es un cuadrado de 2 cm de lado, su altura es igual al perímetro de la base. Hallar su volumen. ( Resp.: 32 cm3 )

03) Encontrar el volumen de un prisma hexagonal regular, su altura es igual al radio “R” de la circunferencia circunscrita a la base.

(Resp.: V = 9) La cúpula de una catedral tiene forma semiesférica, de diámetro 50 m. Si restaurarla tiene un coste de 300 € el m2, ¿A cuánto ascenderá el presupuesto de la restauración?

10) ¿Cuántas losetas cuadradas de 20 cm de lado se necesitan para recubrir las caras de una piscina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de profundidad?

11) Un recipiente cilíndrico de 5 cm de radio y y 10 cm de altura se llena de agua. Si la masa del recipiente lleno es de 2 kg, ¿cuál es la masa del recipiente vacío?

12) Para una fiesta, Luís ha hecho 10 gorros de forma cónica con cartón. ¿Cuánto cartón habrá utilizado si las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y 25 cm de generatriz?

13) Un cubo de 20 cm de arista está lleno de agua. ¿Cabría esta agua en una esfera de 20 cm de radio?

3 3 2 R ) 2

4) El volumen de un paralelepípedo rectangular es 128, el mayor lado de la base es igual al doble del otro lado, además la altura es igual al menor lado de la base. Hallar el área total del paralelepípedo. ( Resp.: 160 )

5) El volumen de un prisma triangular regular es 90√3, su altura mide 10. Encontrar el lado de su base. ( Resp.: 6)

6) La altura de un prisma triangular regular mide 3√3, el desarrollo de su superficie lateral es un rectángulo cuya diagonal mide 6. Hallar su volumen. (Resp.: 81/4)

7) Encontrar el volumen de un paralelepípedo rectangular, las diagonales de sus caras miden √34, √58 y √74.(Resp.: 105)

8) El área lateral de un prisma hexagonal regular es 864, sus caras laterales son cuadrados. Hallar el volumen del prisma. ( Resp.: 2592√3 )


6) Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica de 10 cm de diámetro y 20 cm de altura.

MATEMÁTICA 5



21



Practicamos

MATEMÁTICA 5

Problemas sobre Pirámides 01) La arista básica de una pirámide cuadrangular regular mide 2, las caras laterales son triángulos equiláteros. Hallar el volumen de la pirámide.

(Resp.: V =

4 2 ) 3

02) Encontrar el volumen de una pirámide hexagonal regular, sus aristas laterales miden 6 y forman con el plano de la base ángulos que miden 30°. (Resp.: 70,1) 03) Una pirámide tiene 242 aristas. ¿Cuántos vértices y caras tiene? (Resp.: 122; 122) 04) Encontrar el área total de una pirámide cuadrangular regular, la altura mide √3 y el área de una de las caras laterales es igual al área de la base.(Resp.: 4) Ejercicios de áreas y volúmenes II http://www.vitutor.com/geo/esp/ vEvaluacion.html 1) Calcula el área y el volumen de un tetraedro de 5 cm de arista. 2) Calcular la diagonal, el área lateral, el área total y el volumen de un cubo de 5 cm de arista 3) Calcula el área y el volumen de un octaedro de 5 cm de arista. 4) Calcula el área y el volumen de un dodecaedro de 10 cm de arista, sabiendo que la apotema de una de sus caras mide 6.88 cm. 5) Calcula el área y el volumen de un icosaedro de 5 cm de arista. 6) Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un prisma cuya base es un rombo de de diagonales 12 y 18 cm. 7) Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 10 cm de arista básica y 12 cm de altura.

8) Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide hexagonal de 16 cm de arista básica y 28 cm de arista lateral. 9) Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular de aristas básicas 24 y 14 cm, y de arista lateral 13 cm. 10) Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya generatriz mide 13 cm y el radio de la base es de 5 cm.

11) Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya altura mide 4 cm y el radio de la base es de 3 cm.

12) Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de cono de radios 6 y 2 cm, y de altura 10 cm.

13) Calcular el área lateral, el área total y el volumen del tronco de cono de radios 12 y 10 cm, y de generatriz 15 cm. 14) Calcular el área del círculo resultante de cortar una esfera de 35 cm de radio mediante un plano cuya distancia al centro de la esfera es de 21 cm. 15) Calcular el área y el volumen de una esfera inscrita en un cilindro de 2 m de altura. 16) Calcular el volumen de una semiesfera de 10 cm de radio. 17) Calcula el área y el volumen del siguiente casquete esférico.

18) Calcular el área y el volumen de una zona esférica cuyas circunferencias tienen de radio 10 y 8cm, y la distancia entre ellas es de 5 cm.



22


Formulario

MATEMÁTICA 5

CILINDRO

CUBO O HEXAEDRO REGULAR

Pbase = 2 R

A base = a 2 A L = 4a

A base = R 2

r

V = A base .h PRISMA

Pbase = depende del polígono de la base. A base = depende del polígono de la base. AL

= Pbase .h

AT

= A L + 2A base

V = A base .h CONO

g .... generatriz del cono h .... altura del cono R ... radio de la base Pb 2 R Ab R2 Pb g AL 2 AT AL Ab Ab h V 3

h

g

g

h

2

R

d =a 2 2 = 1,41 aprox. 3 = 1,73 aprox.

Pb triáng. equilátero = 3L Ab triáng. equilátero

3 4

Ab cuadrado = L2 Pb hexágono = 6L A b hexágono

=

3 3 L2 2 3L 6

ap triáng. equilátero

r cuadrado

ap

3L 2

hexágono

L cuadrado

2

L

r triáng. equilátero

L

r hexágono

2

3 L

ESFERA

3,14

depende del polígono de la base

Pb Ap 2 AT AL Ab Ab h V a h Ap 3 Ap .. apotema de la pirámide ap h ..... altura de la pirámide r ap ... apotema de la base a ..... arista de la pirámide Ap2 h 2 ap2 r ..... radio de la base a 2 h2 r2

L2

=

Pb cuadrado = 4L

2

depende del polígono de la base

d

D=a 3

ap

PIRÁMIDE

Pb Ab

D2 = a 2 + d 2

R 2

a

= A L + 2A base

a

AT

V = a3


= Pbase .h

A T = 6a 2

h

D

AL

a

2

r

AL

d

R

Cia

Co máx Cia

R

máx

menor

Co menor

d .... distancia entre las Cias R ... radio de Cia máx ó de la Esfera r .... radio de cualquier Cia menor

2

R R2

2

r2 d2 R2

A 4 r

r2

R2

V

4

R 3

3



23



Seguimos Practicamos

MATEMÁTICA 5

01) Halla el volumen de una esfera inscrita en 2 un cubo de 6cm de arista. (Resp.: 36πcm )

06) En una esfera el área de su círculo 2 máximo es 16πm , entonces su área es: 2 (Resp.: 64πcm )

02) Halla el área lateral de un cono recto de 4cm de altura y cuyo radio de su base mide 3 2 cm. (Resp.: 15πcm )

07) El área lateral de un cilindro recto es 20cm2. Si el radio de su base mide 3cm, 3 halla su volumen. (Resp.: 30cm )

03) Halla el área total de un cilindro equilátero cuyo radio de su base mide 3 cm. 2 (Resp.: 54πcm )

08) Un cono recto se encuentra inscrito en un 3 cilindro recto de 30 cm de volumen, halla 3 el volumen del cono. (Resp.: 10cm )

288πm3,

09) La generatriz de un cono recto mide 3√5m. Si la altura es el doble de su radio, halla el radio de su base. (Resp.: 3m)

04) El volumen de una esfera es halla su radio. (Resp.: 6m)

5) Halla el volumen de un tronco de cilindro recto de 2 cm de radio de su base y de generatrices de 3cm y 5 cm. (Resp.: 16πcm3)

10) Si el radio de una esfera se duplica, ¿cuál es la relación entre su volumen inicial y final? (Resp.: 1/8)

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