100 Problemas Fisica 1 3t5y5n

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

Facultad de Ingeniería Geológica, Minera y Metalúrgica

100 PROBLEMAS Curso : Profesores : Alumno :

FISICA 1

CASTILLO ALEJOS

ESTEBAN CHUQUIN, STIFF

Código :

20084117F

Fecha de Presentación

26/11/2012

UNI - 2012 - I PROBLEMAS DE FISICA CINEMATICA 1. Un móvil viaja en línea recta con una velocidad media de 1.200 cm/s durante 9 s, y luego con velocidad media de 480 cm/s durante 7 s, siendo ambas velocidades del mismo sentido: a) ¿cuál es el desplazamiento total en el viaje de 16 s?. b) ¿cuál es la velocidad media del viaje completo?. Solución: Datos: v1 = 1.200 cm/s t1 = 9 s v2 = 480 cm/s t2 = 7 s a) El desplazamiento es: x = v.t Para cada lapso de tiempo: x1 = (1200 cm/s).9 s x1 = 10800 cm x2 = (480 cm/s).7 s x2 = 3360 cm El desplazamiento total es: Xt = X1 + x2 Xt = 10800 cm + 3360 cm Xt = 14160 cm = 141,6 m b) Como el tiempo total es: tt = t1 + t2 = 9 s + 7 s = 16 s Con el desplazamiento total recien calculado aplicamos: Δv = xt/tt Δv = 141,6 m/16 s Δ v = 8,85 m/s

2.

En el gráfico, se representa un movimiento rectilíneo uniforme, averigüe gráfica y analíticamente la distancia recorrida en los primeros 4 s.

Solución: Datos: v = 4 m/s t=4s v = x/t x = v.t x = 4 m/s.4 s x = 16 m

3. ¿Es cierto que si en un movimiento rectilíneo uniforme la velocidad es el doble que en otro, la gráfica x = f(t), trazada en un mismo par de ejes, tiene el doble de pendiente que en el primer caso?, ¿por qué? Solución: Si, ya que: v = x/t Si v1 = x1/t1. Si v2 = x2/t2. Por ejemplo para v1 sea el doble que v2 significa que: v1 = 2.v2 Para compara hacemos t1 = t2. Reemplazamos: v1 = x1/t1 (pendiente del movimiento 1). v2 = x2/t1 (pendiente del movimiento 2). Aplicamos la igualdad: v1 = 2.v2 x1/t1 = 2.x2/t1 x1 = 2.x2 Nos dice que recorre el doble de espacio en el mismo lapso de tiempo.

4. Un móvil se desplaza sobre el eje "x" con movimiento uniformemente variado. La posición en el instante t0 = 0 s es x0 = 10 m; su velocidad inicial es v0 = 8 m/s y su aceleración a = -4 m/s ². Escribir las ecuaciones horarias del movimiento; graficar la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo; y calcular (a) la posición, (b) velocidad y (c) aceleración para tf = 2 s. Solución: Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t ²/2 Las ecuaciones horarias son: vf = 8 m/s + (-4 m/s ²).tx = 10 m + (8 m/s).t + (-4 m/s ²).t ²/2 Empleando las ecuaciones horarias para t = 2 s: a) x = 18 m b) vf = 0 m/s c) 0 m/s ² 5.

Un móvil recorre una recta con velocidad constante. En los instantes t1 = 0 s y t2 = 4 s, sus posiciones son x1 = 9,5 cm y x2 = 25,5 cm. Determinar:

a) Velocidad del móvil. b) Su posición en t3 = 1 s. c) Las ecuaciones de movimiento. d) Su abscisa en el instante t4 = 2,5 s. e) Los gráficos x = f(t) y v = f(t) del móvil. Solución: a) Como: Δv = Δx/Δt Δv = (x2 - x1)/(t2 - t1) Δv = (25,5 cm - 9,5 cm)/(4 s - 0 s) Δv = 16 cm/4 s Δv = 4 cm/s b) Para t3 = 1 s: Δv = Δx/Δt Δx = Δv.Δt Δx = (4 cm/s).1 s Δx = 4 cm Sumado a la posición inicial: x3 = x1 + Δx x3 = 9,5 cm + 4 cm x3 = 13,5 cm c) x = 4 (cm/s).t + 9,5 cm d) Con la ecuación anterior para t4 = 2,5 s: x4 = (4 cm/s).t4 + 9,5 cm x4 = (4 cm/s).2,5 s + 9,5 cm x4 = 19,5 cm

6. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 7 m/s. a) ¿Cuál será su velocidad luego de haber descendido 3 s?. b) ¿Qué distancia habrá descendido en esos 3 s?. c) ¿Cuál será su velocidad después de haber descendido 14 m?. d) Si el cuerpo se lanzó desde una altura de 200 m, ¿en cuánto tiempo alcanzará el suelo?. e) ¿Con qué velocidad lo hará?.

Solución: Ecuaciones: (1) vf = v0 + g.t (2) y = v0.t + g.t ²/2 (3) vf ² - v0 ² = 2.g.h a) De la ecuación (1): vf = (7 m/s) + (10 m/s ²).(3 s) vf = 37 m/s b) De la ecuación (2): Δh = (7 m/s).(3 s) + (10 m/s ²).(3 s) ²/2 Δ h = 66 m c) De la ecuación (3): vf = 18,14 m/s d) De la ecuación (2): 0 = v0.t + g.t ²/2 - y Aplicamos la ecuación cuadrática que dará dos resultados:

t1 = 5,66 s t2 = -7,06 s (NO ES SOLUCION) e) De la ecuación (3): vf = 63,63 m/s

7.

Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 100 m/s, luego de 4 s de efectuado el lanzamiento su velocidad es de 60 m/s.

a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada?. b) ¿En qué tiempo recorre el móvil esa distancia?. c) ¿Cuánto tarda en volver al punto de partida desde que se lo lanzo?. d) ¿Cuánto tarda en alcanzar alturas de 300 m y 600 m?. Solución: Ecuaciones: (1) vf = v0 + g.t (2) y = v0.t + g.t ²/2 (3) vf ² - v0 ² = 2.g.h

a) Para la altura máxima vf = 0, de la ecuación (3): -v0 ² = 2.g.h h máx = -vf ²/(2.g) h máx = -(100 m/s) ²/[2.(-10 m/s ²)] h máx = 500 m b) De la ecuación (1) y para vf = 0: t = v0/g t = (-100 m/s)/(-10 m/s ²) t = 10 s c) Recordemos que en tiro vertical, cuando un objeto es lanzado hacia arriba y luego cae, cuando vuelve a pasar por el punto de partida posee la misma velocidad que en el momento del lanzamiento pero con sentido contrario (vf = -v0). Podemos asegurar que el resultado pedido es el doble del tiempo que requirió para alcanzar la altura máxima. t = 20 s e) No puede alcanzar una altura de 600 m porque la máxima es de 500 m. Para h = 300 m empleamos la ecuación (2): 0 = v0.t + g.t ²/2 - y Aplicamos la ecuación cuadrática que dará dos resultados:

t1 = 3,68 s t2 = 16,32 s (NO ES SOLUCION)

momento pasan dos móviles, uno desde A hacia B y el otro desde B hacia A, con M.R.U., de tal manera que uno de ellos tarda 2 s en llegar al punto B y el otro 1,5 s en llegar al punto A .. Hallar: a) El punto de encuentro. b) El instante del encuentro. 8.

Solución: Ecuaciones: v AB = d AB/t AB (1) v BA = d AB/t BA (2) El gráfico:

a) Para el punto de encuentro: d AB = d AO + d BO (3) Siendo el punto "O" el punto de encuentro. Como ambos comienzan su movimiento en el mismo instante el tiempo de encuentro es el mismo para ambos móviles. t AO = t BO = t E Para el encuentro las (1) y (2) ecuaciones quedan: v AB = d AO/t E d AB/t AB = d AO/t E v BA = d BO/t E d AB/t BA = d BO/t E Despejamos (t E) y luego igualamos: t E = t AB.d AO/d AB (4) t E = t BA.d BO/d AB (5) t AB.d AO/d AB = t BA.d BO/d AB t AB.d AO = t BA.d BO De la ecuación (3): d AO = d AB - d BO t AB.(d AB - d BO) = t BA.d BO t AB.d AB - t AB.d BO = t BA.d BO t AB.d AB = t AB.d BO + t BA.d BO t AB.d AB = (t AB + t BA).d BO d BO = t AB.d AB/(t AB + t BA) d BO = (2 s)(100 m)/(2 s + 1,5 s) d BO = 57,14 m (desde el punto B) ó d AO = 42,86 m (desde el punto A) b) Empleando la ecuación (4) ó (5): t E = (2 s).(42,86 m)/(100 m) t E = 0,86 s

9. Un motociclista pasa por un semáforo con velocidad constante de 50 km/h, en el mismo momento un camión pasa por el mismo lugar y con igual sentido a una velocidad constante de 80 km/h, ¿cuánto tiempo después estarán separados por 300 m?. Solución: Ecuaciones: v A = d A/t A (1) v B = d B/t B (2) El tiempo es el mismo para ambos: tA = tB = t y d = dB - dA dB = d + dA Las ecuaciones (1) y (2) quedan: v A = d A/t v B = (d + d A)/t

Despejando d A e igualando: v A.t = d A v B.t - d = d A v A.t = v B.t - d - v A.t + v B.t = d (v B - v A).t = d t = d/(v B - v A) t = (0,3 km)/(80 km/h - 50 km/h) t = 0,1 h t = 36 s 10. Se lanza una pelota de tenis hacia abajo desde una torre con una velocidad de 5 m/s. a) ¿Qué velocidad tendrá la pelota al cabo de 7 s?. b) ¿Qué espacio habrá recorrido en ese tiempo?. Solución: Ecuaciones: (1) vf = v0 + g.t (2) y = v0.t + g.t ²/2 (3) vf ² - v0 ² = 2.g.h a) De la ecuación (1): vf = 5 m/s + (10 m/s ²).(7 s) vf = 75 m/s b) De la ecuación (2): y = (5 m/s).(7 s) + (1/2).(10 m/s ²).(7 s) ² y = 280 m Dos puntos A y B están separados por una distancia de 100 m. En un mismo 11. Se tira una bolita A con una velocidad de 10 m/s y en el mismo momento pero, 5 m más adelante, se tira una bolita B con una velocidad de 8 m/s. a) ¿Cuánto tiempo después la bolita A pasa a la B?. b) ¿A qué distancia de la posición inicial de la bolita B?. Solución: Ecuaciones: v A = d A/t A (1) v B = d B/t B (2) v Para la distancia: d A - 5 m = d B (3) Las ecuaciones (1) y (2) para el encuentro: v A = d A/t E (4) v B = (d A - 5 m)/t E (5) a) Despejando d A e igualando: v A.t E = d A v B.t E + 5 m = d A v A.t E = v B.t E + 5 m v A.t E - v B.t E = 5 m (v A - v B).t E = 5 m

t E = (5 m)/(v A - v B) t E = (5 m)/(10 m/s - 8 m/s) t E = 2,5 s b) De la ecuación (4): d A = (10 m/s).(2,5 s) d A = 25 m De la ecuación (3): d B = 25 m - 5 m d B = 20 m

12. Una pelota de béisbol de 0,15 kg de masa se está moviendo con una velocidad de 40 m/s cuando es golpeada por un bate que invierte su dirección adquiriendo una velocidad de 60 m/s, ¿qué fuerza promedio ejerció el bate sobre la pelota si estuvo en o con ella 5 ms?. Solución: pf - pi = I m.vf - m.vi = F.t F = m.(vf - vi)/t F = 0,15 kg.(- 60 m/s - 40 m/s)/0,005 s F = 0,15 kg.(- 100 m/s)/0,005 s F = - 3000 N

IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

13. Un taco golpea a una bola de billar ejerciendo una fuerza promedio de 50 N durante un tiempo de 0,01 s, si la bola tiene una masa de 0,2 kg, ¿qué velocidad adquirió la bola luego del impacto?. Solución: pf - pi = I m.vf - m.vi = F.t m.(vf - vi) = F.t vf - vi = F.t/m vf = F.t/m vf = 50 N.0,01 s/0,2 kg vf = 2,5 m/s 14. Se rocía una pared con agua empleando una manguera, la velocidad del chorro de agua es de 5 m/s, su caudal es de 300 cm ³/s, si la densidad del agua es de 1 g/cm ³ y se supone que el agua no rebota hacia atrás, ¿cuál es la fuerza promedio que el chorro de agua ejerce sobre la pared?. Solución:

primero debemos hallar la masa de agua y el tiempo de acción: Φ M = Φ V. Δ ΦM = 300 cm ³/s.1 g/cm ³ ΦM = 300 g/s (caudal másico) Φ M = 0,3 kg/s éste dato nos dice que en t = 1 s la masa de agua es m = 0,3 kg Δp = I pf - pi = I m.vf - m.vi = F.t F = m.(vf - vi)/t F = 0,3 kg.(5 m/s - 0 m/s)/1 s F = 1,5N

15. Una fuerza actúa sobre un objeto de 10 kg aumentando uniformemente desde 0

hasta 50 N en 4 s. ¿Cuál es la velocidad final del objeto si partió del reposo?. Solución: Para el impulso debe usarse la fuerza media, por lo tanto: F = (Ff + Fi)/2 F = (50 N + 0 N)/2 F = 25 N Δp = I pf - pi = I m.vf - m.vi = F.t m.(vf - vi) = F.t vf - vi = F.t/m vf = F.t/m vf = 25 N.4 s/10 kg vf = 10 m/s

16. Se dispara horizontalmente una bala de 0,0045 kg de masa sobre un bloque de 1,8 kg

de masa que está en reposo sobre una superficie horizontal, luego del impacto el bloque se desplaza 1,8 m y la bala se detiene en él. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la superficie es de 0,2, ¿cuál era la velocidad inicial de la bala?.

Solución: La fuerza de impacto de la bala contra el bloque, provocó que luego del choque el bloque se desplazara y que 1,8 m más adelante éste se detuviera a causa del rozamiento entre la superficie y el bloque. Por lo tanto: FR = m.a N=P FR = μ .P P = m.g (siendo g = 10 m/s ² aceleración de la gravedad) m.a = μ .m.g a = μ .g a = 0,2.10 m/s ² a = 2 m/s ² De cinemática sabemos que: V2f ² - v1i ² = 2.a.Δx como la velocidad final del bloque es 0 m/s: vi ² = - 2.a.Δx vi ² = -2.(- 2 m/s ²).1,8 m vi ² = 7,2 m ²/s ² vi = 2,683 m/s (1) Δ pi = Δ pf p1i + p2i = p1f + p2f m1.v1i + m2.v2i = m1.v1f + m2.v2f pero como v2i = 0 m/s y v1f = 0 m/s: m1.v1i = m2.v2f Reemplazando con (1) vi = v2f: m1.v1i = m2.vi v1i = m2.vi/m1 v1i = 1,8 kg.2,683 (m/s)/0,0045 kg v1i = 1073 m/s

17. Se dispara una bala de 0,01 kg de masa contra un péndulo balístico de 2 kg de masa, la bala se incrusta en el péndulo y éste se eleva 0,12 m medidos verticalmente, ¿cuál era la velocidad inicial de la bala?.

Solución: En el instante del impacto: Δ pi = Δ pf p1i + p2i = p1f + p2f m1.v1i + m2.v2i = m1.v1f + m2.v2f pero como v2i = 0 m/s y v1f = 0 m/s: m1.v1i = m2.v2f (2) Luego del impacto el péndulo adquiere una velocidad inicial que se reducirá a cero debido a la aceleración de la gravedad. Para el péndulo balístico resulta: v2i ² = 2.g.Δy v2i ² = 2.10 m/s ².0,12 m v2i ² = 2,4 m ²/s ² v2i = 1,55 m/s De (2): v1i = m2.v2f/m1 v1i = 2 kg.1,55 (m/s)/0,01 kg v1i = 309,8 m/s

18. Una partícula A de masa mA se encuentra sujeta por medio de un resorte

comprimido a la partícula B de masa 2.mA, si la energía almacenada en el resorte es de 60 J ¿qué energía cinética adquirirá cada partícula luego de liberarlas?. Solución: p Ai + p Bi = p Af + p Bf mA.v Ai + mB.v Bi = mA.v Af + mB.v Bf mA.v Ai + 2.mA.v Bi = mA.v Af + 2.mA.v Bf Como v Ai = v Bi = 0 m/s: 0 = mA.v Af + 2.mA.v Bf mA.(v Af + 2.v Bf) = 0 v Af + 2.v Bf = 0 vA f = - 2.vB f (3) pero: Δ Ec = 0 Ec i = Ec f Ec i = Ec Af + Ec Bf Ec i = mA.v Af ²/2 + mB.vB f ²/2 Ec i = mA.vA f ²/2 + 2.mA.vB f ²/2 Reemplazando por (3): Ec i = mA.vA f ²/2 + 2.mA.(- vA f/2) ²/2 Ec i = mA.vA f ²/2 + mA.vA f ²/4 Ec i = 2.mA.vA f ²/4 + mA.vA f ²/4 2.Ec i = 3.mA.vA f ²/2 Pero: mA.v Af ²/2 = Ec Af 3.Ec Af = 2.E ci Ec Af = 2.60 J/3 Ec Af = 40 J Ec i = Ec Af + Ec Bf Ec Bf = Ec i - Ec Af

Ec Bf = 60 J - 40 J Ec Bf = 20 J 19. Un cuerpo de masa m1 = 2 kg se desliza sobre una mesa horizontal sin fricción con

una velocidad inicial v1i = 10 m/s, frente a él moviéndose en la misma dirección y sentido se encuentre el cuerpo de masa m2 = 5 kg cuya velocidad inicial es v2i = 3 m/s, éste tiene adosado un resorte en su parte posterior, cuya constante elástica es k = 1120 N/m, ¿cuál será la máxima compresión del resorte cuando los cuerpos choquen?.

Solución: p1i + p2i = p1f + p2f m1.v1i + m2.v2i = m1.v1f + m2.v2f m1.v1i + m2.v2i = (m1 + m2).vf vf = (m1.v1i + m2.v2i)/(m1 + m2) vf = (2 kg.10 m/s + 5 kg.3 m/s)/(2 kg + 5 kg) vf = 5 m/s (4) La fuerza elástica del resorte será: F = k.Δx Y la energía cinética almacenada en el instante de máxima compresión es: Ec = m.vf ²/2 Pero la energía cinética es igual al trabajo realizado por la fuerza del resorte: Ec = L Ec = F. Δx Ec = k.Δx.Δx Ec = k.Δx ² m.vf ²/2 = k.Δx ² m.vf ²/2.k = Δx ² Para el caso: (m1 + m2).vf ²/2.k = Δx ² De la ecuación (4): Δx ² = [(2 kg + 5 kg).(5 m/s) ²/2]/1120 N/m Δx ² = (87,5 kg.m ²/s ²)/1120 N/m Δ x = 0,28 m

20. Un patinador de 80 kg de masa le aplica a otro de 50 kg de masa una fuerza de 25

kgf durante 0,5 s, ¿qué velocidad de retroceso adquiere el primero y que velocidad final toma el segundo?. Solución:

Según la definición de impulso: I = F.t I = 245,17 N.0,5 s I = 122,58 kg.m/s El impulso en el momento del choque es el mismo para ambos cuerpos y el impulso también es igual a la cantidad de movimiento. I = m1.v1 I/m1 = v1 v1 = (122,58 kg.m/s)/80 kg v1 = 1,53 m/s I = m2.v2 I/m2 = v2 v2 = (122,58 kg.m/s)/50 kg v2 = 2,45 m/s

21. Un hombre colocado sobre patines arroja una piedra que pesa 80 N mediante una fuerza de 15 N que actúa durante 0,8 s, ¿con qué velocidad sale la piedra y cuál es la velocidad de retroceso del hombre si su masa es de 90 kg?. Solución: Según la definición de impulso: I = F.t I = 15 N.0,8 s I = 12 kg.m/s P1 = m1.g m1 = P1/g m1 = 80 N/10 m/s ² m1 = 8 kg El impulso en el momento del lanzamiento es el mismo para ambos cuerpos y el impulso también es igual a la cantidad de movimiento. I = m1.v1 I/m1 = v1 v1 = (12 kg.m/s)/8 kg v1 = 1,5 m/s I = m2.v2 I/m2 = v2 v2 = (12 kg.m/s)/90 kg v2 = 0,133 m/s 22. Con una escopeta se dispara un cartucho de 100 perdigones de 0,4 g cada uno, los que adquieren una velocidad de 280 m/s, ¿cuál es la velocidad de retroceso del arma si pesa 5 kg?. Solución: Primero calculamos la masa del total de perdigones. mp = 100.0,0004 kg mp = 0,04 kg Según la definición de impulso: I = m1.v1 I = 0,04 kg.280 m/s I = 11,2 kg.m/s

Este impulso es el mismo para la escopeta. I = m2.v2 I/m2 = v2 v2 = (11,2 kg.m/s)/5 kg v2 = 2,24 m/s

23. Mediante un palo de golf se aplica a una pelota una fuerza de 242,2 N y adquiere una velocidad de 95 m/s. Si la masa de la pelota es de 0,05 kg, ¿durante cuánto tiempo actuó el palo sobre la pelota?. Solución: Según la definición de impulso: I = F.t = m.v F.t = m1.v1 t = m1.v1/F t = 0,05 kg.(95 m/s)/242,2 N t = 0,0196 s 24. Una escopeta de masa 5,8 kg lanza un proyectil de masa 20 g con una velocidad inicial de 750 m/s. ¿cuál será la velocidad de retroceso?. Solución: Según la definición de la cantidad de movimiento: m1.v1 = m2.v2 v1 = m2.v2/m1 v1 = 0,02 kg.(750 m/s)/5,8 kg v1 = 2,59 m/s 25. Una pelota de futbol de 850 g de masa adquiere una velocidad de 40 m/s mediante un puntapié de 0,2 s de duración, ¿qué fuerza recibió la pelota?.

Solución: Según la definición de impulso y de la cantidad de movimiento: F.t = m1.v1 F = m1.v1/t F = 0,85 kg.(40 m/s)/0,2 s F = 170 N 26. Determinar la masa de una esfera metálica que por acción de una fuerza de 20 N durante 0,3 s le provoca una velocidad de 2 m/s. Solución: Según la definición de impulso y cantidad de movimiento: F.t = m.v m = F.t/v m = 20 N.0,3 s/(2 m/s) m = 3 kg

27. A un cuerpo de 50 kg de masa se le aplica una fuerza de 150 N durante 5 s, calcule el impulso y el incremento de velocidad.

Solución: Según la definición de impulso: I = F.t I = F.t I = 150 N.5 s I = 750 N.s Según la definición de impulso y cantidad de movimiento: I = m.v v = I/m v = 750 N.s/50 kg v = 15 m/s 28. A un cuerpo de 980 kg se le aplica una fuerza constante de 40 N durante 5 s. Calcular el impulso total y el incremento de velocidad. Solución: Según la definición de impulso: I = F.t I = 40 N.5 s I = 200 N.s Según la definición de impulso y cantidad de movimiento: I = m.v v = I/m v = 200 N.s/980 kg v = 0,204 m/s

DINAMICA 29. Una fuerza de 10 kgf actúa sobre una masa que se desplaza con una velocidad de 20 cm/s y al cabo de 5 s le hace adquirir una velocidad de 8 cm/s, ¿cuál es la masa del cuerpo?. Solución: De acuerdo a los datos la fuerza le produce a la masa una desaceleración. F = -98,0665 N

Primero, empleando ecuaciones de cinemática, calculamos la aceleración (negativa) producida por la fuerza.

v2 - v1 = a.t a = (v2 - v1)/t a = (0,08 m/s - 0,2 m/s)/5 s a = -0,024 m/s ² Luego: F = m.a m = F/a m = -98,0665 N/(-0,024 m/s ²) m = 4086,1 kg 30. Con los datos del problema anterior calcular α para que el sistema tenga una aceleración de 3 m/s ². Solución: Los gráficos son los mismos del ejercicio n° 3. Para el caso: ∑ Fx = m.a P2x - T = m2.a T = P2.sen α - m2.a (para la masa 2) T = m1.a (para la masa 1) Igualando: m1.a = P2.sen α - m2.a m1.a + m2.a = P2.sen α (m1 + m2).a/P2 = sen α sen α = (12 kg + 8 kg).(3 m/s ²)/(8 kg.10 m/s ²) sen α = 0,75 α = arcsen 0,75 α = 48° 35´ 25" 31. Si la tensión en el cable de un ascensor es de 2800 N, el peso del ascensor es de 300 kgf y transporta a una persona de 80 kgf de peso. Calcular: a) ¿Qué aceleración tiene?. b) ¿El ascensor sube o baja?. Solución:

a) La condición de equilibrio es: ∑F = 0 Pero como hay movimiento: ∑F = m.a La masa es: m = (PA + PP)/g m = (2942 N + 784,5 N)/10 m/s ² m = 372,65 kg

Las fuerzas sobre el eje (tomando el eje positivo hacia arriba) son: T - PA - PP = m.a a = (T - PA - PP)/m a = (2800 N - 2942 N - 784,5 N)/372,65 kg a = -2,49 m/s ² b) Como la aceleración del sistema es negativa el ascensor desciende.

32. Calcular para el sistema de la figura su aceleración y la tensión en la cuerda si m1 =

12 kg, m2 = 8 kg y α = 30°.

Solución: Los gráficos correspondientes a las masas puntuales son:

Nos interesa particularmente el movimiento a lo largo del eje "x", la condición de equilibrio es: ∑ Fx = 0 Pero como hay movimiento: ∑ Fx = m.a La ecuación en el eje "x" es: P2x - T = m2.a T = P2.sen 30° - m2.a (para la masa 2) T = m1.a (para la masa 1) Igualando: m1.a = P2.sen 30° - m2.a m1.a + m2.a = P2.sen 30° (m1 + m2).a = P2.sen 30° a = P2.sen 30°/(m1 + m2) a = 8 kg.(10 m/s ²).0,5/(12 kg + 8 kg) a = 40 N/20 kg a = 2 m/s ² Luego:

T = m1.a T = 12 kg.2 m/s ² T = 24 N

33. Sea un paralelepípedo rectángulo de hierro (δ = 7,8 g/cm ³) cuya base es de 32 cm ² y su altura es de 20 cm, determinar: a) La masa. b) La aceleración que le provocará una fuerza constante de 100 N. c) La distancia recorrida durante 30 s. Solución: a) La masa la hallamos mediante la fórmula de densidad. δ = m/V m = δ.V m = (7,8 g/cm ³).(32 cm ².20 cm) m = 4992 g m = 5 kg b) F = m.a a = F/m a = 100 N/5 kg a = 20 m/s ² c) Suponiendo que parte del reposo. e = v1.t + ½.a.t ² e = ½.a.t ² e = ½.(20 m/s ²).(30 s) ² e = 9000 m 34. Sobre un cuerpo actúa una fuerza constante de 50 N mediante la cual adquiere una aceleración de 1,5 m/s ², determinar: a) La masa del cuerpo. b) Su velocidad a los 10 s. c) La distancia recorrida en ese tiempo. Solución: a) F = m.a m = F/a m = 50 N/1,5 m/s ² m = 33,33 kg b) Como parte del reposo: v = a.t v = (1,5 m/s ²).10 s v = 15 m/s c) e = ½.a.t ² e = ½.(1,5 m/s ²).(10 s) ² e = 75 m

35. ¿Cuál será la fuerza aplicada a un cuerpo que pesa 12800 N si lo hace detener en 35 s?, la velocidad en el instante de aplicar la fuerza era de 80 km/h. Solución: Primero, empleando ecuaciones de cinemática, calculamos la aceleración (negativa) producida por la fuerza. v2 - v1 = a.t a = - v1/t a = (- 22,22 m/s)/35 s a = -0,635 m/s ² La masa resulta: P = m.g m = P/a m = 12800 N/(10 m/s ²) m = 1280 kg Luego: F = m.a F = 1280 kg.(-0,635 m/s ²) F = -812,7 N La fuerza es contraria al movimiento 36. ¿Cuál será la intensidad de una fuerza constante al actuar sobre un cuerpo que pesa 50 N si después de 10 s ha recorrido 300 m?. Solución: Primero calculamos la aceleración: e = ½.a.t ² a = 2.e/t ² a = 2.300 m/(10 s) ² a = 6 m/s ² Ahora calculamos la masa del cuerpo: P = m.g m = P/g m = 50 N/(10 m/s ²) m = 5 kg Con estos datos calculamos la fuerza: F = m.a F = 5 kg.6 m/s ² F = 30 N

37. Impulsado por una carga explosiva, un proyectil de 250 N atraviesa la cámara de fuego de un arma de 2 m de longitud con una velocidad de 50 m/s, ¿Cuál es la fuerza desarrollada por la carga explosiva?. Solución: Calculamos la masa del proyectil: P = m.g m = P/a

m = 250 N/(10 m/s ²) m = 25 kg Mediante cinemática calculamos la aceleración: v2 ² - v1 ² = 2.a.d Como la velocidad inicial es nula: v2 ² = 2.a.d a = v2 ²/(2.d) a = (50 m/s) ²/(2.2 m) a = 625 m/s ² Luego la fuerza: F = m.a F = 25 kg.625 m/s ² F = 15625 N 38. Un cuerpo posee una velocidad de 20 cm/s y actúa sobre él una fuerza de 120 N que después de 5 s le hace adquirir una velocidad de 8 cm/s. ¿Cuál es la masa del cuerpo?. Solución: De acuerdo a los datos la fuerza le produce a la masa una desaceleración.

Primero, empleando ecuaciones de cinemática, calculamos la aceleración (negativa) producida por la fuerza. v2 - v1 = a.t a = (v2 - v1)/t a = (0,08 m/s - 0,2 m/s)/5 s a = -0,024 m/s ² Luego: F = m.a m = F/a m = -120 N/(-0,024 m/s ²) m = 5000 kg

39. Determinar la fuerza F necesaria para mover el sistema de la figura, considerando

nulos los rozamientos, si la aceleración adquirida por el sistema es de 5 m/s ².

Solución: Para calcular la fuerza necesaria para mover una masa simplemente se plantea la situación de equilibrio: ∑F = 0 Si hay movimiento:

∑F = m.a F1 + F2 + F3 = R m1.a + m2.a + m3.a = R (m1 + m2 + m3).a = R R = (5 kg + 12 kg + 15 kg).5 m/s ² R = 160 N

40. Un cuerpo de masa 3 kg está sometido a la acción de dos fuerzas de 6 N y 4 N

dispuestas perpendicularmente, como indica la figura, determinar la aceleración y su dirección

Solución: El esquema es el siguiente:

Primero calculamos la fuerza resultante por Pitágoras: R ² = F1 ² + F2 ² R ² = (4 N) ² + (6 N) ² R = 7,21 N Ahora calculamos la aceleración: R = m.a a = R/m a = 7,21 N/3 kg a = 2,4 m/s ² Calculamos la dirección con respecto a F2: tg α = F1/F2 α = arctg (F1/F2) α = arctg (4 N/6 N) α = arctg (0,67) α = 33° 41´ 24"

41. Indicar el trabajo necesario para deslizar un cuerpo a 2 m de su posición inicial mediante una fuerza de 10 N. Solución: L=F×d L = 10 N × 2 m L = 20 J 42. ¿Qué trabajo realiza un hombre para elevar una bolsa de 70 kgf a una altura de 2,5 m?. Expresarlo en:

a) kgf.m b) Joule c) kW.h Solución: a) L=F×d L = 70 kgf × 2,5 m L = 175 kgf.m b) L = 175 kgf.m × 9,807 J/kgf.m L = 1716,225 J c) L = 175 kgf.m × 9,807 J/3.600.000 kgf.m L = 0,000477 kW.h 43. Un cuerpo cae libremente y tarda 3 s en tocar tierra. Si su peso es de 4 N, ¿qué trabajo deberá efectuarse para elevarlo hasta el lugar desde donde cayo?. Expresarlo en: a) Joule. b) kgm. Solucion: L = F.d En éste caso se trata de la fuerza peso, por lo tanto: L = P.d y al ser un movimiento vertical la distancia es la altura: L = P.h Mediante cinemática calculamos la altura para caída libre. h = ½.g.t ² h = ½ × 9,807 (m/s ²) × (3 s) ² h = ½ × 9,807 (m/s ²) × 9 s ² h = 44,1315 m Luego: a) L=P×h L = 4 N × 44,1315 m L = 176,526 J b) L = 176,526 J/(9,807 kgf.m × J) L = 18 kgf.m 44. Un proyectil que pesa 80 kgf es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 95 m/s. Se desea saber: a) ¿Qué energía cinética tendrá al cabo de 7 s?. b) ¿Qué energía potencial tendrá al alcanzar su altura máxima?. Solución: a) Mediante cinemática calculamos la velocidad luego de 7 s:

vf = v0 - g.t vf = 95 m/s + (- 9,807 m/s ²).7 s vf = 95 m/s - 68,649 m/s vf = 26,351 m/s Luego: Ec = ½.m.v ² La masa es: m = 80 kg Ec = ½.80 kg.(26,351 m/s) ² Ec = 27775,01 J b) Mediante cinemática calculamos la altura máxima: vf ² - v0 ² = 2.g.h - v0 ²/2.g = h h = (95 m/s) ²/(2.9,807 m/s ²) h = 460,13 m Con éste dato hallamos la energía potencial: Ep = m.g.h Ep = 80 kg.9,807 (m/s ²).460,13 m Ep = 361.000 J Pero mucho mas simple es sabiendo que la energía potencial cuando se anula la velocidad es igual a la energía cinética inicial (si no hay pérdidas): Ec1 = Ep2 Ec1 = ½.m.v1 ² Ec = ½.80 kg.(95 m/s) ² Ec1 = 361.000 J = Ep2

45. ¿Qué energía cinética alcanzará un cuerpo que pesa 38 N a los 30 s de caída libre?. Solución: Calculamos la velocidad: vf = g.t vf = 9,807 (m/s ²).30 s vf = 294,21 m/s Con éste dato calculamos la energía cinética: Ec = ½.m.v ² Ec = ½.(38 N/9,807 m/s ²).(294,21 m/s) ² Ec = 167.700 J 46. Un cuerpo de 200 N se desliza por un plano inclinado de 15 m de largo y 3,5 de alto, calcular: a) ¿Qué aceleración adquiere?. b) ¿Qué energía cinética tendrá a los 3 s?. c) ¿Qué espacio recorrió en ese tiempo?. Solución:

a) En el eje "x": Σ Fx = m.a Px = m.a pero: Px = P.sen α m.a = P.sen α m.a = m.g.sen α a = g.sen α Por otra parte: sen α = 3,5 m/15 m = 0,233 a = 9,807 (m/s ²).0,233 a = 2,29 m/s ² b) Suponiendo que parte del reposo: vf = a.t luego: Ec = ½.m.vf ² Ec = ½.m.(a.t) ² Ec = ½.(200 N/9,807 m/s ²).(2,29 m/s ².3 s) ² Ec = 480,54 J c) e = ½.a.t ² e = ½.2,29 m/s ².(3 s) ²

TRABAJO Y ENERGIA

47. ¿Qué energía cinética alcanzará un cuerpo de masa 350 kg si posee una velocidad de 40 m/s?. Solución: Ec = ½.m.v ² Ec = ½.350 kg.(40 m/s) ² Ec = 280.000 J 48. ¿Con qué energía tocará tierra un cuerpo que pesa 2500 g si cae libremente desde 12 m de altura?.

Solución: Si cae libremente su velocidad inicial es nula, por lo tanto toda su energía potencial (dada por la altura) se convertirá en energía cinética: Ec2 = Ep1 Ep1 = m.g.h Ep1 = 2,5 kg.9,807 (m/s ²).12 m Ep1 = 294,21 J = Ec2 e = 10,29 m 49. ¿Qué energía potencial posee un cuerpo de masa 5 kg colocado a 2 m del suelo?. Solución: Ep = m.g.h Ep = 5 kg.9,807 (m/s ²).2 m Ep = 98,07 J 50. Si el cuerpo del ejercicio anterior cae, ¿con qué energía cinética llega al suelo?. Solución: Si no hubo pérdidas por rozamiento, toda la energía potencial se transformó en energía cinética: Ec = 98,07 J 51. Sabiendo que cada piso de un edificio tiene 2,3 m y la planta baja 3 m, calcular la energía potencial de una maceta que, colocada en el balcón de un quinto piso, posee una masa de 8,5 kg. Solución: h = 2,3 m.4 + 3 m = 14,5 m El balcón del 5° piso es el techo del 4° piso Ep = m.g.h Ep = 8,5 kg.9,807 (m/s ²).14,5 m Ep = 1017 J 52. Un cuerpo de 1250 kg cae desde 50 m, ¿con qué energía cinética llega a tierra?. Solución: Recordemos que toda la energía potencial se transforma en energía cinética: Ep1 = Ec2 Ep1 = Ec2 = m.g.h1 Ep1 = 1250 kg.9,807 (m/s ²).50 m Ep = 612.937,5 J 53. Una grúa levanta 2000 kg a 15 m del suelo en 10 s, expresar la potencia empleada en:

a) cv. b) W. c) HP. Solución: W= W= W= W= W= a)

L/t P.d/t m.g.d/t 2000 kg.(10 m/s ²).15 m/10 s 30000 W

1W



0,00136 cv

30000 W W = 30000 W.0,00136 cv/1 W W = 40,8 cv 1W



0,102 kgf.m/s

30000 W W = 30000 W.0,102 (kgf.m/s)/1 W W = 3060 kgf.m/s 1W



0,00134 HP

30000 W W = 30000 W.0,00134 HP/1 W W = 40,2 HP 54. Un proyectil de 5 kg de masa es lanzado verticalmente hacia arriba con velocidad

inicial de 60 m/s, ¿qué energía cinética posee a los 3 s? y ¿qué energía potencial al alcanzar la altura máxima?. Solución: Primero hallamos la velocidad a los 3 s del lanzamiento: v2 = v1 + g.t v2 = 60 m/s + (- 9,807 m/s ²).3 s v2 = 30,579 m/s Luego calculamos la energía cinética: Ec2 = ½.m.v2 ² Ec2 = ½.5 kg.(30,579 m/s) ² Ec2 = 2.337,69 J Para la segunda parte debemos tener en cuenta que cuando alcanza la altura máxima la velocidad se anula, por lo tanto, toda la energía cinética inicial se transformó en energía potencial: Ec1 = ½.m.v1 ² Ec1 = ½.5 kg.(60 m/s) ² Ec1 = 9.000 J Ep2 = 9.000 J

55. Un motor de 120 cv es capaz de levantar un bulto de 2 ton hasta 25 m, ¿cuál es el tiempo empleado?.

Solución: 

cv

735 W

120 W W = 735 W.120 cv/1 cv W = 88200 W 1 ton 

1000 kg

2 ton 

m = 1000 kg.2 ton/1 ton

m = 2000 kg W = P.d/t W = m.g.d/t t = m.g.d/W t = 2000 kg.(10 m/s ²).25 m/88200 W t = 5,67 s 56. ¿Qué potencia deberá poseer un motor para bombear 500 l de agua por minuto hasta 45 m de altura?. Solucion: W= W= W= W= W=

P.d/t m.g.d/t (m/t).g.d (8,33 kg/s).(10 m/s ²).45 m 3750 W

57. ¿Cuál será la potencia necesaria para elevar un ascensor de 45000 N hasta 8 m de altura en 30 s?. ¿Cuál será la potencia del motor aplicable si el rendimiento es de 0,65?. Solución: W = P.d/t W = 45000 N.8 m/30 s W = 12.000 W η = Wc/Wm Wm = Wc/η Wm = 12000 W/0,65 Wm = 18.461,5 W 58. Calcular la velocidad que alcanza un automóvil de 1500 kgf en 16 s, partiendo del reposo, si tiene una potencia de 100 HP. Solución: HP



746 W

100 HP W = 100 HP.746 W/1 HP W = 74.600 W 1 kgf



9,80665 N

1500 kgf P = 1500 kgf.9,80665 N/1 kgf P = 14.710 N

Pero: P = m.g m = P/g m = 14.710 N/(10 m/s ²) m = 1.471 kg De la potencia obtenemos el trabajo empleado: W = L/t W.t = L L = 74600 W.16 s L = 1.193.600 J Como no hay fuerza de rozamiento ni cambios en la altura: L = ΔEM = ΔEc = Ec2 - Ec1 Debido a que el vehículo parte del reposo la energía cinética inicial es nula. Ec2 = ½.m.v2 ² v2 ² = 2.Ec2/m v2 ² = 2.1193600 J/1471 kg v2 = 40,28 m/s 59. Un automóvil de 200 HP de potencia y 1500 kgf de peso, sube por una pendiente de

60° a velocidad constante. Calcular la altura que alcanza en 20 s. Solución: 1 HP 

746 W

200 HP W = 200 HP.746 W/1 HP W = 149.200 W 1 kgf



9,80665 N

1500 kgf P = 1500 kgf.9,80665 N/1 kgf P = 14.710 N De la potencia obtenemos el trabajo empleado: W = L/t W.t = L L = 149.200 W.20 s L = 2.984.000 J Como no hay fuerza de rozamiento: L = ΔEM = ΔEc + ΔEp = Ec2 - Ec1 + Ep2 - Ep1 Como la velocidad es constante la energía cinética se anula. L = Ep2 - Ep1 = m.g.h2 - m.g.h1 Para facilitar los cálculos tomamos h1 = 0 m. L = m.g.h2 h2 = L/(m.g) h2 = 2984000 J/14710 N h2 = 202,86 m 60. Calcular la potencia de una máquina que eleva 20 ladrillos de 500 g cada uno a una altura de 2 m en 1 minuto. Solución: Primero calculamos la masa total:

mT = 20.0,5 kg mT = 10 kg No hay fuerzas no conservativas ni variación de la velocidad: L = ΔEM = ΔEc + ΔEp = Ec2 - Ec1 + Ep2 - Ep1 L = ΔEp = Ep2 - Ep1 = m.g.h2 - m.g.h1 Para facilitar los cálculos tomamos h1 = 0 m. L = m.g.h2 L = 10 kg.10 m/s ².2 m L = 200 J W = L/t W = 200 J/60 s W = 3.33 W 61. Un cuerpo de 1,5 kg de masa cae desde 60 m. Determinar la energía potencial y

cinética cada 10 metros a partir del origen. Solución: Para h = 60 m Ep60 = m.g.h Ep60 = 1,5 kg.(9,8 m/s ²).60 m Ep60 = 882 J Para la altura 60 metros la velocidad es nula, por lo tanto la energía cinética también es nula. Ec60 = 0 J Para h = 50 m Ep50 = m.g.h Ep50 = 1,5 kg.(9,8 m/s ²).50 m Ep50 = 735 J Para ésta altura la velocidad es distinta de cero, parte de la energía potencial se transformó en energía cinética. Ec50 = Ep60 - Ep50 Ec50 = 882 J - 735 J Ec50 = 147 J Para h = 40 m Ep40 = m.g.h Ep40 = 1,5 kg.(9,8 m/s ²).40 m Ep40 = 588 J Ec40 = Ep60 - Ep40 Ec40 = 882 J - 588 J Ec40 = 294 J Para h = 30 m Ep30 = m.g.h Ep30 = 1,5 kg.(9,8 m/s ²).30 m Ep30 = 441 J Ec30 = Ep60 - Ep30 Ec30 = 882 J - 441 J Ec30 = 441 J

Para h = 20 m Ep20 = m.g.h Ep20 = 1,5 kg.(9,8 m/s ²).20 m Ep20 = 294 J Ec20 = Ep60 - Ep20 Ec20 = 882 J - 294 J Ec20 = 588 J Para h = 10 m Ep10 = m.g.h Ep10 = 1,5 kg.(9,8 m/s ²).10 m Ep10 = 147 J Ec10 = Ep60 - Ep10 Ec10 = 882 J - 147 J Ec10 = 735 J Para h = 0 m Ep0 = m.g.h Ep0 = 1,5 kg.(9,8 m/s ²).0 m Ep0 = 0 J Al final de la caída toda la energía potencial se transformó en energía cinética. Ec0 = Ep60 - Ep0 Ec0 = 882 J - 0 J Ec0 = 882 J 62. La velocidad de sustentación de un avión es de 144 km/h y su peso es de 15000 kgf. Si se dispone de una pista de 1000 m, ¿cuál es la potencia mínima que debe desarrollar el motor para que el avión pueda despegar?. Solución: P = m.g m = P/g m = 147100 N/(10 m/s ²) m = 14710 kg No hay fuerzas no conservativas: L = ΔEM = ΔEc + ΔEp = Ec2 - Ec1 + Ep2 - Ep1 La altura no es requerida. L = ΔEc = Ec2 - Ec1 El avión parte del reposo: L = Ec2 L = ½.m.v2 ² L = ½.14710 kg.(40 m/s) ² L = 11.768.000 J Mediante cinemática calculamos aceleración necesaria para alcanzar la velocidad requerida en 1000 m. v2 ² - v1 ² = 2.a.d a = (v2 ² - 0 ²)/(2.d) a = (40 m/s) ²/(2.1000 m) a = 0,8 m/s ² Luego calculamos el tiempo: v2 = a.t t = v2/a

t = (40 m/s)/(0,8 m/s ²) t = 50 s Finalmente: W = L/t W = 11768000 J/50 s W = 235.360 W 63. Un carrito de 5 N es desplazado 3 m a lo largo de un plano horizontal mediante mediante una fuerza de 22 N. Luego esa fuerza se transforma en otra de 35 N a través de 2 m. Determinar: a) El trabajo efectuado sobre el carrito. b) La energía cinética total. c) La velocidad que alcanzó el carrito.

Solución:

El teorema de la energía mecánica dice que el trabajo de las fuerzas conservativas es igual a la variación de la energía mecánica del sistema. L FC = ΔEm Desarrollamos esta ecuación: L FC = ΔEm = ΔEc + ΔEp Como el movimiento es horizontal la variación de la energía potencial es nula. L FC = ΔEm = ΔEc La variación de la energía cinética total de este sistema es: ΔE cT = ΔEc1 + ΔEc2 ΔE cT = ½.m.vf1 ² - ½.m.vi1 ² + ½.m.vf2 ² - ½.m.vi1 ² ΔE cT = ½.m.(vf1 ² - vi1 ² + vf2 ² vi1 ²) No hay rozamiento y: vi1 = 0 vf1 = vi2 Por lo tanto: ΔE cT = ½.m.vf2 ² Adaptándolo a la ecuación de trabajo: L FC = ½.m.vf2 ² Como no hay fuerzas NO conservativas el trabajo del sistema es igual a la variación de la energía cinética del sistema (o total). El trabajo y la variación de la energía cinética tienen el mismo valor pero distinto sentido. Mediante cinemática calculamos la velocidad final pero por partes, hay que obtener la masa del cuerpo y la aceleración en cada tramo: Se emplea g = 9,8 m/s ² La masa del cuerpo es: P = m.g m = P/g

m = 5 N/(9,81 ms ²) m = 0,51 kg La aceleración en el primer tramo la obtenemos de: F1 = m.a1 a1 = F1/m a1 = 22 N / 0,51 kg a1 = 43,16 m/s ²

Para el segundo tramo F2 = m.a2 a2 = F2/m a2 = 35 N / 0,51 kg a2 = 68,67 m/s ²

Con este último dato calculamos el trabajo del sistema: L FC = ½.m.vf2 ² L FC = ½.0,51 kg.(23,10 m/s) ² L FC = 136 J por supuesto el trabajo se puede calcular sencillamente por: LT = L1 + L2 LT = 22 N.3 m + 35 N.2 m LT = 136 J Pero no tiene sentido hacerlo fácil!!! Luego la energía cinética: ΔE cT = ½.m.vf2 ² L FC = ½.0,51 kg.(23,10 m/s) ² L FC = 136 J

64. Un cuerpo de 150 g de masa se lanza hacia arriba con velocidad inicial de 400 m/s, calcular: a) La energía cinética inicial. b) La energía cinética a los 5 s de caída. Solución: a) Ec = ½.m.vi ² Ec = ½.0,15 kg.(400 m/s) ² Ec = 12.000 J b) Mediante cinemática calculamos la velocidad a los 5 s del lanzamiento. vf = vi + g.t vf = 400 m/s - 10 (m/s ²).5 s vf = 350 m/s Con éste dato calculamos la energía cinética.

Ec = ½.m.vf ² Ec = ½.0,15 kg.(350 m/s) ² Ec = 9.187,5 J 65. Un carrito de 10 kg de masa se mueve con una velocidad de 3 m/s, calcular: a) La energía cinética si debe subir una pendiente. b) La altura que alcanzará. Solución: a) Ec = ½.m.vi ² Ec = ½.10 kg.(3 m/s) ² Ec = 45 J b) La energía cinética inicial permitirá el ascenso hasta que se transforme completamente en energía potencial. Ec = Ep = m.g.h 45 J = 10 kg.10 (m/s ²).h h = 45 J/100 N h = 0,45 m 66. Una persona sube una montaña hasta 2000 m de altura, ¿cuál será su energía potencial si pesa 750 N? Solución: Ep Ep Ep Ep

= = = =

m.g.h P.h 750 N.2.000 m 1.500.000 J

67. Un cuerpo de 40 kg de masa cae por un plano inclinado que forma con la horizontal un ángulo de 20°. ¿Cuál será su energía cinética luego de recorrer 18 m sobre el plano si partió del reposo?. Solución:

Primero calculamos la altura que descendió al recorrer 18 m sobre el plano, podemos hacerlo mediante el teorema de Pitágoras o trigonométricamente. h = 18 m.sen 20° h = 6,16 m Luego calculamos la energía potencial que tenía al principio, es decir al tope de los 6,16 m. Ep = m.g.h Ep = 40 kg.10 (m/s ²).6,16 m Ep = 2.462,55 J Al final del recorrido ésta energía potencial se transformó en energía cinética, por lo tanto: Ep = Ec = 2.462,55 J

68. Un vagón de 95000 kg de masa que desarrolla una velocidad de 40 m/s, aplica los frenos y recorro 6,4 km antes de detenerse. ¿Cuál es la resistencia ejercida por los frenos?. Solución: La pérdida de energía cinética durante el frenado se manifiesta por el trabajo de la fuerza de frenado. E cf - E ci = LFf ½.m.vf ² - ½.m.vi ² = Ff.d Ff = ½.m.(0 ² - vi ²)/d Lo anterior nos indica que la ausencia de velocidad en un punto anula la energía cinética en ese punto. Ff = ½.95000.[- (40 m/s) ²]/6400 m Ff = - 11.875 N 69. Un cuerpo de 50 N de peso se halla en el punto más alto de un plano inclinado de 20 m de largo y 8 m de alto. Determinar: a) La energía potencial en esa posición. b) La energía cinética si cae al pié de esa altura. c) La energía cinética si cae al pié deslizándose por la pendiente. Solución: a) Ep = m.g.h Ep = 50 N.8 m Ep = 400 J b y c) Al caer al pié directamente o deslizándose por la parte inclinada, toda la energía potencial se transforma en energía cinética porque varía su altura en 8 m. Ec = Ep = 400 J 70. Un proyectil de 0,03 N de peso atraviesa una pared de 20 cm de espesor, si llega a ella con una velocidad de 600 m/s y reaparece por el otro lado con una velocidad de 400 m/s, ¿cuál es la resistencia que ofreció el muro?. Solución: Como la pared ofrece resistencia hay pérdida de energía cinética, esto se expresa como el trabajo de de la fuerza que ejerce la resistencia. E cf - E ci = LFr ½.m.vf ² - ½.m.vi ² = Fr.e Fr = ½.m.(vf ² - vi ²)/e De la fuerza peso obtenemos la masa del proyectil. P = m.g m = P/g m = 0,03 N/10 m/s ² m = 0,003 kg Luego: Fr = ½.0,003 kg.[(400 m/s) ² - (600 m/s) ²]/0,20 m Fr = - 1.500 N

71. Un cuerpo de 2,45 kg de masa se desplaza sin rozamiento por un plano inclinado de 5 m y 1 m de altura, determinar: a) La distancia recorrida por el cuerpo, que parte del reposo, en 1,5 s. b) La energía cinética adquirida en ese lapso. c) La disminución de la energía potencial en igual lapso. Solución:

a) La componente Px de la fuerza peso es la causante del desplazamiento. Px = P.sen α Geométricamente: Px = P.(1 m/5 m) Px = P.(1 m/5 m) Px = P.0,2 De estas fuerzas obtenemos la aceleración del cuerpo en dirección del plano: a.m = g.m.0,2 a = g.0,2 a = 10 m/s ².0,2 a = 2 m/s ² El espacio recorrido será: e = ½.a.t ² e = ½.2 m/s ².(1,5 s) ² e = 2,25 m b) Mediante cinemática calculamos la velocidad a los 1,5 s: vf ² - vi ² = 2.a.e vf ² - 0 = 2.2 m/s ².2,25 m vf = 3 m/s Ec = ½.m.vf ² Ec = ½.2,45 kg.(3 m/s) ² Ec = 11,025 J c) Como la energía potencial depende de la altura calculamos que altura se corresponde con el desplazamiento de 2,25 m. Por triángulos semejantes: 1 m/5 m = h/2,25 m h = 2,25 m/5 h = 0,45 m Ep = m.g.h Ep = 2,45 kg.10 m/s ².0,45 m Ep = 11,025 J 72. Calcular la energía cinética, potencial y mecánica de un cuerpo de 90 N que se encuentra a 95 metros del suelo a) al comienzo de la caída b) a 35 metros del suelo c) al llegar al suelo

Solución: El teorema de la energía mecánica es: ΔEM = ΔEc + ΔEp + Hf Como no hay fuerzas de rozamiento: Hf = 0 ΔEM = ΔEc + ΔEp = 0 Luego: ΔEM = ΔEc + ΔEp = Ec2 - Ec1 + Ep2 - Ep1 a) En el instante inicial su altura es máxima y su velocidad es nula, por lo tanto: ΔEM = Ec2 + Ep2 - Ep1 Como aún no se movió: ΔEM = - Ep1 ΔEM = - Ep1 = -m.g.h Tomando el eje "y" positivo hacia arriba y g se dirige hacia abajo: g = 10 m/s ² Recordemos que: P = m.g Si: P = 90 N 90 N = m.10 m/s ² m = 9 kg Tenemos: Ep1 = -m.g.h Ep1 = -9 kg.(-10 m/s ²).95 m Ep1 = 8.550 J Para éste caso: ΔEM = 8.550 J Ec1 = 0 J b) Para este punto tenemos: ΔEM = Ec2 + Ep2 - Ep1 = 0 Ec2 = Ep2 + Ep1 ½.m.v2 ² = - m.g.h2 + m.g.h1 ½.v2 ² = - g.h2 + g.h1 v2 ² = - 2.g.(h2 - h1) v2 ² = - 2.10 m/s ².(35 m - 95 m) v2 ² = 1.200 m ²/s ² Luego: Ec2 =½.m.v2 ² Ec2 =½.9 kg.1200 m ²/s ² Ec2 = 5.400 J Ep2 = m.g.h2 Ep2 = 9 kg.10 m/s ².35 m Ep2 = 3.150 J EM2 = Ec2 + Ep2 EM2 = 5.400 J + 3.150 J EM2 = 8.550 J c) En el suelo (punto 3) tenemos h3 = 0 m, la velocidad será máxima, y toda la energía potencial se habrá transformado en cinética. Por lo que tenemos: ΔEM = Ec3 + Ep3 - Ep1 = 0

Ep3 = 0 J Ec3 - Ep1 = 0 Ec3 = Ep1 Ec3 =8.550 J EM3 = Ec3 + Ep3 EM3 = 8.550 J 73. El movimiento de un cuerpo viene dado por las ecuaciones :

Para t = 2 segundos, calcular la velocidad, la aceleración y los cosenos de los ángulos que forma la velocidad con los ejes cartesianos

Solución: Sabemos que la velocidad es la derivada del espacio respecto al tiempo; por lo tanto, calculamos sus componentes :

Componiendo los tres valores obtenemos la velocidad, v, en función del tiempo :

que para t = 2 segundos nos da v = 27,8 m/s. Para saber la aceleración, derivamos de nuevo las expresiones anteriores :

Componiendo y sustituyendo para t = 2 segundos, resulta :

El valor de los cosenos de los ángulos que forma la velocidad con los ejes cartesianos viene dado por los cocientes respectivos de los módulos de las velocidades de cada componente respecto al módulo de la velocidad total. Tenemos que ya hemos calculado el valor del módulo de la composición de las tres ecuaciones para la velocidad y hemos obtenido un valor de 27,8. De ese modo:

74. La ecuación de un movimiento en función del tiempo es :

Calcular el valor de t para que la aceleración sea máxima y obtener la velocidad en

ese momento; Calcular también los valores de t para que la velocidad, por una parte, y la aceleración, por otra, sean nulas. Solución: El primer apartado significa que la segunda derivada de la ecuación del enunciado debe ser máxima. Para el cálculo obtenemos el valor de las raices de la primera derivada (que sería la velocidad) :

Sabemos que una función tiene un máximo cuando su primera derivada se anula y la segunda tiene un valor negativo. Si calculamos la segunda derivada de la expresión inicial resulta :

Sustituyendo los valores anteriores tenemos un máximo para t = 0,5 s. La velocidad en ese instante, según las operaciones efectuadas, será v = 0 cm/seg. Los valores de t para los que se anula la velocidad son, como hemos visto, las raices de la ecuación derivada de la expresión del espacio, es decir, t = 0 ; t = 1 y t = 0,5. Los valores de t para los que se anula la aceleración son las raices de la segunda derivada :

75. Un avión se mueve horizontalmente con una velocidad uniforme de 720 km/h

volando a una altura de 2000 m. Desde tierra se lanza un proyectil en el instante en que pasa por su vertical. Hallar la velocidad inicial mínima y el ángulo necesario para batir al avión.

Solución: El proyectil debe ser lanzado con un ángulo de inclinación, , tal que pueda alcanzar al avión en altura y desplazamiento. Si tenemos que vo debe ser la velocidad mínima, la altura a la que va el avión será la máxima. De acuerdo con la ley de conservación de la energía, podemos igualar las energías cinética y potencial para escribir :

Por otro lado, tenemos que la componente horizontal del proyectil será constante e igual a la velocidad del avión :

Sustituyendo en la primera ecuación el valor de vo dado por la segunda, tenemos :

Y la velocidad inicial vendrá dada por :

76. Desde alturas distintas y al mismo tiempo se dejan caer dos cuerpos que llegan al suelo con un intervalo de 4 segundos; la relación de alturas es h2/h1 = 9/4. Calcular : a) El tiempo que tarda cada cuerpo en caer. b) La velocidad con que llega al suelo cada cuerpo. c) El valor de cada una de las alturas Solución: La ecuación que nos da el espacio recorrido por cada uno de los cuerpos es :

y la relación entre ambos vale :

Por otro lado tenemos:

Con lo que podemos poner

Resuelta la ecuación de segundo grado obtenemos dos valores reales, uno de ellos negativo (1,6) y otro positivo (+ 8). En este caso sólo el segundo de los valores es válido, con lo que tendremos t2 = 12 segundos. Los espacios recorridos serán :

Las velocidades finales de cada cuerpo vendrán dadas por:

77. Con un cañón que dispara proyectiles con una velocidad de 117 m/s queremos alcanzar un blanco situado en un punto de coordenadas x = 1000 m ; y = 270 m, ¿qué dos ángulos de tiro pueden utilizarse?. Solución: Por un lado tenemos la siguiente fórmula general :

Por otro, sabemos de trigonometría :

y sustituyendo este resultado en la primera ecuación :

Tenemos así una ecuación de segundo grado en tg obtenemos

1

= 44º ;

2

. Como los otros valores son conocidos

= 61º.

78. Desde un punto situado a una altura h se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad v0. Sabemos que la velocidad se anula a los 2 segundos y que el cuerpo llega al suelo a los 7 segundos de su partida. Calcular: a) la altura desde la que se lanza el cuerpo. b) La velocidad v0. c) La ecuación de la posición con respecto a tierra en cualquier instante. d) Empleando la ecuación obtenida en el apartado anterior, calcular la posición del cuerpo a los 4 segundos Solución: Si la velocidad se anula a los 2 segundos, tendremos:

Para saber la altura desde la que cae el cuerpo hacemos:

Nota.- Hemos puesto para t el valor de 3 segundos por considerar que de los 7 segundos que el cuerpo tarda en caer, 2 segundos del tiempo total los emplea en subir hasta el punto mas alto, otros 2 segundos en llegar hasta el punto en el que tenía velocidad v0 y el resto, 3 segundos en caer hasta el suelo. Para el último apartado hacemos:

y para t = 4 tendremos:

resultado lógico teniendo en cuenta lo escrito en la nota anterior.

79. La velocidad del agua de un rio es de 5 m/s y la anchura del mismo de 80 m. De una

orilla y perpendicularmente a la misma, sale una barca con velocidad respecto a tierra de 2 m/s. Al mismo tiempo, por el centro del rio y a contracorriente, sale otra barca desde un punto situado a 500 m aguas abajo del primero. El cruce de ambos barcos tiene lugar en el punto medio del rio a igual distancia de ambas orillas. Calcular el tiempo que tardan en encontrarse, el espacio recorrido por la segunda barca y la velocidad de esta respecto al agua. Solución: El tiempo utilizado por ambas barcas en recorrer la distancia que las separa es, lógicamente el mismo. A la vez, cada componente de velocidad de la primera barca emplea también el mismo tiempo. De ese modo :

El espacio recorrido por la primera barca debido a la componente paralela a la velocidad del río, será : e1 = 5 x 20 = 100 m y, por lo tanto, la segunda barca avanzará e2 = 500 – 100 = 400 m y lo hará a una velocidad de v = 400/20 = 20 m/s. Por todo ello, la velocidad de la segunda barca respecto del agua será vr = 20 + 5 = 25 m/s.

80. La ecuación de la velocidad de un móvil es:

y para t = 0 el móvil ocupa la posición x = - 2 m. Calcular: a) el espacio recorrido desde t = 1 segundo hasta t = 4 segundos. b) La velocidad media en el intervalo anterior. c) La aceleración en el instante inicial Solución: El espacio viene dado por la integral de la velocidad en función del tiempo:

Sabiendo que el móvil estaba en la posición – 2 m, tenemos:

La velocidad media será:

La aceleración viene dada por la derivada de la velocidad respecto del tiempo:

81. Una partícula de 3 kg tiene una velocidad de (3i – 4j) m/s. Encuentre sus componentes de momento X, Y y la magnitud de su momento total. Solución: v = (3i – 4j) m = 3 kg. I = Impulso = m * v I = Impulso = 3 kg. * (3i – 4j) m/seg. I = (9i – 12j) kg. m/seg. I X = 9 kg. m/seg. IY = -12 kg. m/seg.

82. Desde una altura de 5 metros y horizontalmente se lanza un objeto con una velocidad de 7 metros por segundo. Calcular: a) la velocidad cuando el móvil se encuentra a 2,5 metros del suelo. b) El ángulo que forma dicha velocidad con la horizontal. Solución: Para conocer la velocidad cuando el móvil se encuentre a 2,5 metros del suelo consideramos la fórmula

De donde:

Para saber que ángulo forma dicha velocidad con la componente horizontal, hacemos:

83. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/segundo y, 2 segundos después, se lanza otro cuerpo con una velocidad de 20,8 m/segundo. Hallar: a) el tiempo que tardan en cruzarse b) altura a la que lo hacen c) velocidad de cada cuerpo en ese momento.

Solución: Podemos escribir las siguientes ecuaciones:

Despejando el valor del tiempo en la ecuación final, obtenemos para t un valor de 3 segundos. Conociendo el tiempo podemos obtener el espacio recorrido por ambos cuerpos en dicho intervalo: e = e1 = e2 :

Las velocidades de cada uno de los cuerpos en ese momento serán:

Nota.- La velocidad del cuerpo 1 es negativa lo que significa que el cuerpo uno está cayendo.

84. Un niño bota una gran pelota sobre una acera. El impulso lineal entregado por la acera a la pelota es 2 N-seg. durante 1/800 seg. de o. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza promedio ejercida por la acera sobre la pelota?

Solución:

85. Calcule la inercia de rotación de una regla de un metro cuya masa es de 0.56 k, en torno a una eje perpendicular a la regla y que está situado en la marca de 20 cm. Solución:

86. La molécula de oxígeno tiene una masa total de 5.30 ´ 10-26 kg y una inercia de rotación de 1.94 ´ 10-26 kg m2 en torno a un eje que pasa por el centro perpendicular a la línea que una a los átomos. Supóngase que tal molécula en el seno de un gas tiene una velocidad media de 500m/s y que su energía cinética de rotación es de dos tercios de energía cinética de traslación. Halle su velocidad angular promedio. Solución:

87. Un satélite de comunicaciones es un cilindro uniforme con 1220 kg de masa, 1.18 m de diámetro, y 1.72 m de longitud. Antes de lanzarlo desde la plataforma del taxi espacial, se le hace girar a razón de 1.46 rev/s en torno al eje del cilindro; véase la figura 34. Calcule la energía cinética de rotación del satélite. Solución:

a. Utilizamos le formula de I en este caso es I = ½ MD2 Y sustituimos datos conocidos.... I = ½ (1200Kg)(1.18m/2) = 2.21 * 10 Kg. m2

b. Ahora bien ya que tenemos I podemos calcular Krotación la cual es :K= ½ IW . sustituimos datos y la velocidad la convertimos a Rad. K = 1/2Iw = ½ ( 2.21 * 10 Kg .m2 )( 9.1734 rad/ s) = 9298.71 J

88. Un balón de fútbol de 0.5 kg se lanza con una velocidad de 15 m/s. Un receptor estacionario atrapa la pelota y la detiene en 0.02 seg. a) ¿Cuál es el impulso dado al balón? b) ¿Cuál es la fuerza promedio ejercida sobre el receptor?

Solución: Mb = 0,15 kg. masa del balón de fútbol Vf = 0 m/seg. Velocidad final del balón Vi = 15 m/seg. Velocidad inicial que se le imprime al balón ÄP = m VF – m Vi ÄP = 0,15 * (0) – 0,15 * (15) ÄP = 0 - 7,5 ÄP = - 7,5 kg * m/seg. = I

89. Un niño de 40 kg. parado sobre un lago helado arroja una piedra de 0,5 kg. hacia el este con rapidez de 5 m/seg. Despreciando la fricción entre el niño y el hielo, encuentre la velocidad de retroceso del hielo? Solución: (+) hacia el este. mn = masa del niño = 40 Kg. V = Velocidad de retroceso del hielo mp = masa de la piedra = 0,5 Kg. Vp = Velocidad de la piedra = 5 m/seg. mn * V = - mp * Vp 40 * V = - 0,5 * 5 40 V = - 2,5

90. Un pitcher dice que puede lanzar una pelota de béisbol con tanto momentum como una bala de 3gr. moviéndose con una rapidez de 1500 m/seg. Una pelota de béisbol tiene una masa de 0,145kg. Cual debe ser su rapidez, si la declaración del pitcher es valida? Solución: mb = masa de la bala = 3 gr. = 0,003 Kg. Vb = Velocidad de la bala = 1500 m/seg. mp = masa de la pelota de béisbol = 0,145 kg. Vp = Velocidad de la pelota de béisbol Cantidad movimiento de la pelota de béisbol = cantidad de movimiento de la bala

91. Una bola de 0,5 kg que viaja a 6 m/seg choca frontalmente con otra de 1 kg que viaja en dirección opuesta a – 12 m/seg La velocidad de la primera bola después de la colisión es de -14 m/seg Cual es la velocidad de la segunda bola? Solución: m1 = 0,5 Kg v1a = 6 m/seg v1d = -14 m/seg m2 = 1 Kg v2a = -12 m/seg v2d = ???? (m1 * v1a ) + (m2 * v2a) = (m1d ) v1d + (m2d ) v2d (0,5 * 6) + (1 * -12) = (0,5 ) * (-14) + (1 )* v2d (3) - (12) = -7 + v2d 3 - 12 + 7 = v2d v2d = - 2 m/seg. 92. Una granada de 5 kg en reposo explota en dos partes. Una de ella de masa de 3 kg sale disparada con velocidad de 10 m/seg. ¿Cuál es la velocidad de la otra parte? Solución:

Cantes = Cdespues 0 = m1 * V1 + m2 * V2 0 = 3 * 10 + 2 * V2 2 * V2 = - 30 V2 = - 15 m/seg. 93. Un fusil de 6 kg dispara una bala de 100 gr con una velocidad de 900 m/seg ¿Cual es la velocidad de retroceso del fusil? Pero: mb = 100gr = 0,1 Kg Vf = 6 Kg. Vb = 900 m/seg. Solución: Cbala = Cfusil mb * Vb = mf * (- Vf ) (0,1) * 900 = (6) * (- Vf ) 90 = - 6 Vf Vf = - 90/6 Vf = - 15 m/seg.

94. Calcular del momento de inercia de un disco. Solución: Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R respecto de un eje perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un anillo de radio x y de anchura dx. Si recortamos el anillo y lo extendemos, se convierte en un rectángulo de longitud 2x y anchura dx, cuya masa es

El momento de inercia del disco es

95. Calcular el momento de inercia de un cilindro. Solución: Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L respecto de su eje.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es una capa cilíndrica cuyo radio interior es x, exterior x+dx, y de longitud L, tal como se muestra en la figura. La masa dm que contiene esta capa es

El momento de inercia del cilindro es

96. Calcular el momento de inercia de un cilindro. Solución: Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L, respecto de un eje perpendicular a su generatriz y que pasa por su centro.

Dividimos el cilindro en discos de radio R y espesor dx. El momento de inercia de cada uno de los discos respecto de uno de sus diámetros es

Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de este disco, respecto de un eje paralelo situado a una distancia x.

El momento de inercia del cilindro es

97. Calcule el momento de inercia de una varilla en el eje X. Solución:

Vamos a calcular el momento de inercia de una varilla de masa M y longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de masas. La masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre x y x+dx es

El momento de inercia de la varilla es

Aplicando el teorema de Steiner, podemos calcular el momento de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular a la misma que pasa por uno de sus extremos.

98. Calcular el momento de inercia de un placa rectangular. Solución:

Vamos a calcular el momento de inercia de una placa rectangular delgada de masa M de lados a y b respecto del eje que pasa por la placa. Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un rectángulo de longitud a de anchura dx. La masa de este rectángulo es:

El momento de inercia de la placa rectangular es

99. Calcular el momento de inercia de un esfera.

Solución: Vamos a calcular el momento de inercia de una esfera de masa M y radio R respecto de uno de sus diámetros

Dividimos la esfera en discos de radio x y de espesor dz. El momento de inercia de cada uno de los discos elementales es

La masa de cada uno de los discos es

El momento de inercia de la esfera, es la suma de los momentos de inercia de todos los discos elementales.

Para resolver la integral tenemos que relacionar la variable x con la z. Como vemos en la figura x2+z2=R2

100.

Calcular el momento de inercia de un paralelepípedo.

Solución: Vamos a calcular el momento de inercia de un paralepípedo de masa M y de lados a, b y c respecto de un eje perpendicular a una de sus caras.

Dividimos el paralelepípedo en placas rectangulares de lados a y b y de espesor dx. El momento de inercia de cada una de las placas respecto de su eje de simetría es:

Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de esta placa respecto de un eje paralelo situado a una distancia x es:

El momento de inercia del sólido en forma de paralelepípedo es: